RNDr. Jiří Kocourek

Výroky, negace, logické spojky

Výrok: sdělení, (tvrzení, oznamovací věta) u něhož má smysl rozhodovat, zda je, či není pravdivé.

Výrok: sdělení, (tvrzení, oznamovací věta) u něhož má smysl rozhodovat, zda je, či není pravdivé.

Pravdivostní hodnota výroku:Pravdivý výrok má pravdivostní hodnotu „pravda“ (p, 1, TRUE)Nepravdivý výrok má pravdivostní hodnotu „nepravda“ (n, 0, FALSE)

Výrok: sdělení, (tvrzení, oznamovací věta) u něhož má smysl rozhodovat, zda je, či není pravdivé.

Příklady výroků: „Dnes je 3. září.“ „Číslo 2 je sudé.“ „Úhlopříčky libovolného čtverce jsou navzájem kolmé.“ „Praha je hlavní město Afghanistánu.“ „Na Marsu je život.“ „Pro každé reálné číslo x platí: x2 >0.“

Pravdivostní hodnota výroku:Pravdivý výrok má pravdivostní hodnotu „pravda“ (p, 1, TRUE)Nepravdivý výrok má pravdivostní hodnotu „nepravda“ (n, 0, FALSE)

Výrok: sdělení, (tvrzení, oznamovací věta) u něhož má smysl rozhodovat, zda je, či není pravdivé.

Příklady výroků: „Dnes je 3. září.“ „Číslo 2 je sudé.“ „Úhlopříčky libovolného čtverce jsou navzájem kolmé.“ „Praha je hlavní město Afghanistánu.“ „Na Marsu je život.“ „Pro každé reálné číslo x platí: x2 >0.“

Příklady vět, které nejsou výroky: „Běž domů !“ „Bude zítra pršet?“ „Úsečka je dlouhá.“ „a2 + b2 = c2“

Pravdivostní hodnota výroku:Pravdivý výrok má pravdivostní hodnotu „pravda“ (p, 1, TRUE)Nepravdivý výrok má pravdivostní hodnotu „nepravda“ (n, 0, FALSE)

Negace výroku: Výrok, jehož pravdivostní hodnota je vždy opačná než pravdivostní hodnota původního výroku.

Negace výroku: Výrok, jehož pravdivostní hodnota je vždy opačná než pravdivostní hodnota původního výroku.

Označení: Výroky označujeme písmeny, negaci pak symbolem „¬“ před písmenem označujícím původní výrok.

Příklad: Výrok ..... v Jeho negace .....¬ v

Negace výroku: Výrok, jehož pravdivostní hodnota je vždy opačná než pravdivostní hodnota původního výroku.

Označení: Výroky označujeme písmeny, negaci pak symbolem „¬“ před písmenem označujícím původní výrok.

Vyjádření: Negaci můžeme vždy vyjádřit uvedením formulace „Není pravda, že ..“ před původní výrok. Zpravidla se však snažíme o srozumitelnější vyjádření (tedy – co je pravda, když původní výrok neplatí)

Příklad: Výrok ..... v Jeho negace .....¬ v

Negace výroku: Výrok, jehož pravdivostní hodnota je vždy opačná než pravdivostní hodnota původního výroku.

Označení: Výroky označujeme písmeny, negaci pak symbolem „¬“ před písmenem označujícím původní výrok.

Vyjádření: Negaci můžeme vždy vyjádřit uvedením formulace „Není pravda, že ..“ před původní výrok. Zpravidla se však snažíme o srozumitelnější vyjádření (tedy – co je pravda, když původní výrok neplatí)

Příklad: Výrok ..... v Jeho negace .....¬ v

Příklad: Výrok v: „Daný trojúhelník je ostroúhlý“¬ v: „Není pravda, že daný trojúhelník je ostroúhlý“¬ v: „Daný trojúhelník je tupoúhlý nebo pravoúhlý

Výroky o počtu: a: „Ve třídě je aspoň 30 žáků“ ... 30 nebo více, b: „Ve třídě je nejvýše 30 žáků“ ... 30 nebo méně, c: „Ve třídě je právě 30 žáků“ ... přesně 30

Výroky o počtu: a: „Ve třídě je aspoň 30 žáků“ ... 30 nebo více, b: „Ve třídě je nejvýše 30 žáků“ ... 30 nebo méně, c: „Ve třídě je právě 30 žáků“ ... přesně 30

Jejich negace: ¬a: „Ve třídě je méně než 30 žáků“ ... 29 nebo méně, ¬b: „Ve třídě je více než 30 žáků“ ... 31 nebo více,

¬c: „Ve třídě je méně než 30 žáků nebo více než 30 žáků“ ... nejvýše 29 nebo alespoň 31

Výroky s kvantifikátory: týkají se vždy prvků nějaké množiny

Obecný (velký) kvantifikátor: výrok platí pro všechny prvky dané

množiny ..... označení

Výroky s kvantifikátory: týkají se vždy prvků nějaké množiny

Obecný (velký) kvantifikátor: výrok platí pro všechny prvky dané

množiny ..... označení Existenční (malý) kvantifikátor: výrok platí aspoň pro jeden prvek

dané množiny ..... označení

Výroky s kvantifikátory: týkají se vždy prvků nějaké množiny

Obecný (velký) kvantifikátor: výrok platí pro všechny prvky dané

množiny ..... označení Existenční (malý) kvantifikátor: výrok platí aspoň pro jeden prvek

dané množiny ..... označení

Příklady: xR: x2 > x „Pro každé x z množiny R platí ...“

xR: x2 > x „Existuje alespoň jedno x z množiny R, pro které platí ...“

Příklad: Vyslovte negace výroků v: xR: x2 > 0

w: n: n 0

Příklad: Vyslovte negace výroků v: xR: x2 > 0

¬ v: xR: x2 0

w: n: n 0

Příklad: Vyslovte negace výroků v: xR: x2 > 0

¬ v: xR: x2 0

w: n: n 0

¬ w: nN: n > 0

Příklad: Vyslovte negace výroků v: xR: x2 > 0

¬ v: xR: x2 0

Negace výroků s kvantifikátory: Kvantifikátor změníme na opačný a příslušný výrok nahradíme jeho negací.

w: n: n 0

¬ w: nN: n > 0

Složené výroky: „souvětí“ skládající se ze dvou nebo více výroků spojených logickými spojkami.

Složené výroky: „souvětí“ skládající se ze dvou nebo více výroků spojených logickými spojkami.

Logické spojky:

„a“ (konjunkce) .... platí oba výroky zároveň

Složené výroky: „souvětí“ skládající se ze dvou nebo více výroků spojených logickými spojkami.

Logické spojky:

„a“ (konjunkce) .... platí oba výroky zároveň

„nebo“ (disjunkce) .... platí alespoň jeden z výroků

Složené výroky: „souvětí“ skládající se ze dvou nebo více výroků spojených logickými spojkami.

Logické spojky:

„a“ (konjunkce) .... platí oba výroky zároveň

„nebo“ (disjunkce) .... platí alespoň jeden z výroků

„jestliže ... pak“ (implikace) .... z platnosti jednoho výroku vyplývá i platnost druhého

Složené výroky: „souvětí“ skládající se ze dvou nebo více výroků spojených logickými spojkami.

Logické spojky:

„a“ (konjunkce) .... platí oba výroky zároveň

„nebo“ (disjunkce) .... platí alespoň jeden z výroků

„jestliže ... pak“ (implikace) .... z platnosti jednoho výroku vyplývá i platnost druhého

„právě tehdy, když“ (ekvivalence) .... oba výroky mají stejnou pravdivostní hodnotu

Konjunkce

Označení: a bČteme: „Platí výrok a a (zároveň) výrok b.“

Příklad: a: „Do kina půjde Adam“ b: „Do kina půjde Bedřich“

a b : „Do kina půjde Adam a Bedřich.“

Konjunkce

Označení: a bČteme: „Platí výrok a a (zároveň) výrok b.“

Příklad: a: „Do kina půjde Adam“ b: „Do kina půjde Bedřich“

a b : „Do kina půjde Adam a Bedřich.“

Tabulka pravdivostních hodnot:

a b a b

1 1

1 0

0 1

0 0

Konjunkce

Označení: a bČteme: „Platí výrok a a (zároveň) výrok b.“

Příklad: a: „Do kina půjde Adam“ b: „Do kina půjde Bedřich“

a b : „Do kina půjde Adam a Bedřich.“

Konjunkce je pravdivá pouze tehdy, pokud jsou pravdivé oba výroky zároveň.

Tabulka pravdivostních hodnot:

a b a b

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

Disjunkce

Označení: a bČteme: „Platí výrok a nebo výrok b.“

Příklad: a: „Do kina půjde Adam“ b: „Do kina půjde Bedřich“

ab : „Do kina půjde Adam nebo Bedřich.“

Disjunkce

Označení: a bČteme: „Platí výrok a nebo výrok b.“

Příklad: a: „Do kina půjde Adam“ b: „Do kina půjde Bedřich“

ab : „Do kina půjde Adam nebo Bedřich.“

Tabulka pravdivostních hodnot:

a b a b

1 1

1 0

0 1

0 0

Disjunkce

Označení: a bČteme: „Platí výrok a nebo výrok b.“

Příklad: a: „Do kina půjde Adam“ b: „Do kina půjde Bedřich“

ab : „Do kina půjde Adam nebo Bedřich.“

Disjunkce je pravdivá, platí-li alespoň jeden z výroků (tedy i v případě, že platí oba).

Tabulka pravdivostních hodnot:

a b a b

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0

Implikace

Označení: a bČteme: „Jestliže (pokud) platí výrok a, pak platí i výrok b.“

Příklad: a: „Do kina půjde Adam“ b: „Do kina půjde Bedřich“

ab : „Pokud půjde do kina Adam, pak půjde i Bedřich.“

Implikace

Označení: a bČteme: „Jestliže (pokud) platí výrok a, pak platí i výrok b.“

Příklad: a: „Do kina půjde Adam“ b: „Do kina půjde Bedřich“

ab : „Pokud půjde do kina Adam, pak půjde i Bedřich.“Tabulka pravdivostních hodnot:

a b a b

1 1

1 0

0 1

0 0

Implikace

Označení: a bČteme: „Jestliže (pokud) platí výrok a, pak platí i výrok b.“

Příklad: a: „Do kina půjde Adam“ b: „Do kina půjde Bedřich“

ab : „Pokud půjde do kina Adam, pak půjde i Bedřich.“

Implikace je nepravdivá, pouze v případě, že první výrok platí a druhý neplatí.

Tabulka pravdivostních hodnot:

a b a b

1 1 1

1 0 0

0 1 1

0 0 1

Ekvivalence

Označení: a bČteme: „Výrok a platí právě tehdy, když platí výrok b.“

Příklad: a: „Do kina půjde Adam“ b: „Do kina půjde Bedřich“

ab : „Adam půjde do kina právě tehdy, když půjde Bedřich.“

Ekvivalence

Označení: a bČteme: „Výrok a platí právě tehdy, když platí výrok b.“

Příklad: a: „Do kina půjde Adam“ b: „Do kina půjde Bedřich“

ab : „Adam půjde do kina právě tehdy, když půjde Bedřich.“Tabulka pravdivostních hodnot:

a b a b

1 1

1 0

0 1

0 0

Ekvivalence

Označení: a bČteme: „Výrok a platí právě tehdy, když platí výrok b.“

Příklad: a: „Do kina půjde Adam“ b: „Do kina půjde Bedřich“

ab : „Adam půjde do kina právě tehdy, když půjde Bedřich.“

Ekvivalence je pravdivá, pokud oba výroky mají stejnou pravdivostní hodnotu.

Tabulka pravdivostních hodnot:

a b a b

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Negace složených výroků:

Konjunkce

¬ (a b)„Není pravda, že platí zároveň výroky a a b.“

Negace složených výroků:

Konjunkce

¬ (a b)„Není pravda, že platí zároveň výroky a a b.“

„Neplatí výrok a nebo výrok b.“

Negace složených výroků:

Konjunkce

¬ (a b)„Není pravda, že platí zároveň výroky a a b.“

„Neplatí výrok a nebo výrok b.“

a b ¬ a ¬ b a b ¬(a b) ¬a ¬b

1 1 0 0 1

1 0 0 1 0

0 1 1 0 0

0 0 1 1 0

Negace složených výroků:

Konjunkce

¬ (a b)„Není pravda, že platí zároveň výroky a a b.“

„Neplatí výrok a nebo výrok b.“

a b ¬ a ¬ b a b ¬(a b) ¬a ¬b

1 1 0 0 1 0

1 0 0 1 0 1

0 1 1 0 0 1

0 0 1 1 0 1

Negace složených výroků:

Konjunkce

¬ (a b)„Není pravda, že platí zároveň výroky a a b.“

„Neplatí výrok a nebo výrok b.“

a b ¬ a ¬ b a b ¬(a b) ¬a ¬b

1 1 0 0 1 0 0

1 0 0 1 0 1 1

0 1 1 0 0 1 1

0 0 1 1 0 1 1

Negace složených výroků:

Konjunkce

¬ (a b)„Není pravda, že platí zároveň výroky a a b.“

„Neplatí výrok a nebo výrok b.“

a b ¬ a ¬ b a b ¬(a b) ¬a ¬b

1 1 0 0 1 0 0

1 0 0 1 0 1 1

0 1 1 0 0 1 1

0 0 1 1 0 1 1

Výrok ¬(a b) má vždy stejnou pravdivostní hodnotu jako výrok ¬a ¬b.

Negace složených výroků:

Disjunkce

¬ (a b)„Není pravda, že platí výrok a nebo b.“

Negace složených výroků:

Disjunkce

¬ (a b)„Není pravda, že platí výrok a nebo b.“

„Neplatí výrok a ani výrok b.“

Negace složených výroků:

Disjunkce

¬ (a b)„Není pravda, že platí výrok a nebo b.“

„Neplatí výrok a ani výrok b.“

a b ¬ a ¬ b a b ¬(a b) ¬a ¬b

1 1 0 0 1

1 0 0 1 1

0 1 1 0 1

0 0 1 1 0

Negace složených výroků:

Disjunkce

¬ (a b)„Není pravda, že platí výrok a nebo b.“

„Neplatí výrok a ani výrok b.“

a b ¬ a ¬ b a b ¬(a b) ¬a ¬b

1 1 0 0 1 0

1 0 0 1 1 0

0 1 1 0 1 0

0 0 1 1 0 1

Negace složených výroků:

Disjunkce

¬ (a b)„Není pravda, že platí výrok a nebo b.“

„Neplatí výrok a ani výrok b.“

a b ¬ a ¬ b a b ¬(a b) ¬a ¬b

1 1 0 0 1 0 0

1 0 0 1 1 0 0

0 1 1 0 1 0 0

0 0 1 1 0 1 1

Negace složených výroků:

Disjunkce

¬ (a b)„Není pravda, že platí výrok a nebo b.“

„Neplatí výrok a ani výrok b.“

a b ¬ a ¬ b a b ¬(a b) ¬a ¬b

1 1 0 0 1 0 0

1 0 0 1 1 0 0

0 1 1 0 1 0 0

0 0 1 1 0 1 1

Výrok ¬(a b) má vždy stejnou pravdivostní hodnotu jako výrok ¬a ¬b.

Negace složených výroků:

Implikace

¬ (a b)„Není pravda, že pokud platí výrok a, pak platí výrok b.“

Negace složených výroků:

Implikace

¬ (a b)„Není pravda, že pokud platí výrok a, pak platí výrok b.“

„Výrok a platí a výrok b neplatí.“

Negace složených výroků:

Implikace

¬ (a b)„Není pravda, že pokud platí výrok a, pak platí výrok b.“

„Výrok a platí a výrok b neplatí.“

a b ¬ a ¬ b a b ¬(a b) a ¬b

1 1 0 0 1

1 0 0 1 0

0 1 1 0 1

0 0 1 1 1

Negace složených výroků:

Implikace

¬ (a b)„Není pravda, že pokud platí výrok a, pak platí výrok b.“

„Výrok a platí a výrok b neplatí.“

a b ¬ a ¬ b a b ¬(a b) a ¬b

1 1 0 0 1 0

1 0 0 1 0 1

0 1 1 0 1 0

0 0 1 1 1 0

Negace složených výroků:

Implikace

¬ (a b)„Není pravda, že pokud platí výrok a, pak platí výrok b.“

„Výrok a platí a výrok b neplatí.“

a b ¬ a ¬ b a b ¬(a b) a ¬b

1 1 0 0 1 0 0

1 0 0 1 0 1 1

0 1 1 0 1 0 0

0 0 1 1 1 0 0

Negace složených výroků:

Implikace

¬ (a b)„Není pravda, že pokud platí výrok a, pak platí výrok b.“

„Výrok a platí a výrok b neplatí.“

a b ¬ a ¬ b a b ¬(a b) a ¬b

1 1 0 0 1 0 0

1 0 0 1 0 1 1

0 1 1 0 1 0 0

0 0 1 1 1 0 0

Výrok ¬(a b) má vždy stejnou pravdivostní hodnotu jako výrok a ¬b.

Negace složených výroků:

Ekvivalence

¬ (a b)„Není pravda, že výroky a a b mají stejnou pravdivostní hodnotu.“

Negace složených výroků:

Ekvivalence

¬ (a b)„Není pravda, že výroky a a b mají stejnou pravdivostní hodnotu.“

„Výroky a a ¬b (případně ¬a a b) mají stejnou pravdivostní hodnotu.“

Negace složených výroků:

Ekvivalence

¬ (a b)„Není pravda, že výroky a a b mají stejnou pravdivostní hodnotu.“

„Výroky a a ¬b (případně ¬a a b) mají stejnou pravdivostní hodnotu.“

a b ¬ a ¬ b a b ¬(a b)a ¬b

¬a b1 1 0 0 1

1 0 0 1 0

0 1 1 0 0

0 0 1 1 1

Negace složených výroků:

Ekvivalence

¬ (a b)„Není pravda, že výroky a a b mají stejnou pravdivostní hodnotu.“

„Výroky a a ¬b (případně ¬a a b) mají stejnou pravdivostní hodnotu.“

a b ¬ a ¬ b a b ¬(a b)a ¬b

¬a b1 1 0 0 1 0

1 0 0 1 0 1

0 1 1 0 0 1

0 0 1 1 1 0

Negace složených výroků:

Ekvivalence

¬ (a b)„Není pravda, že výroky a a b mají stejnou pravdivostní hodnotu.“

„Výroky a a ¬b (případně ¬a a b) mají stejnou pravdivostní hodnotu.“

a b ¬ a ¬ b a b ¬(a b)a ¬b

¬a b1 1 0 0 1 0 0

1 0 0 1 0 1 1

0 1 1 0 0 1 1

0 0 1 1 1 0 0

Negace složených výroků:

Ekvivalence

¬ (a b)„Není pravda, že výroky a a b mají stejnou pravdivostní hodnotu.“

„Výroky a a ¬b (případně ¬a a b) mají stejnou pravdivostní hodnotu.“

a b ¬ a ¬ b a b ¬(a b)a ¬b

¬a b1 1 0 0 1 0 0

1 0 0 1 0 1 1

0 1 1 0 0 1 1

0 0 1 1 1 0 0

Výrok ¬(a b) má vždy stejnou pravdivostní hodnotu jako výrok a ¬b i výrok ¬a b.

Negace složených výroků:

Přehled:

Výrok Jeho negace

a b ¬ a ¬ b

a b ¬ a ¬ b

a b a ¬ b

a b ¬ a b ; a ¬ b

Obrácená implikace, obměna implikace:

a b ¬ a ¬ b a b ba(obrácená)

¬ b ¬a(obměna)

1 1 0 0 1

1 0 0 1 0

0 1 1 0 1

0 0 1 1 1

Implikace ¬ b ¬a se nazývá obměna implikace a b

Implikace ba se nazývá obrácená implikace k implikaci a b

Obrácená implikace, obměna implikace:

a b ¬ a ¬ b a b ba(obrácená)

¬ b ¬a(obměna)

1 1 0 0 1 1

1 0 0 1 0 1

0 1 1 0 1 0

0 0 1 1 1 1

Implikace ¬ b ¬a se nazývá obměna implikace a b

Implikace ba se nazývá obrácená implikace k implikaci a b

Obrácená implikace, obměna implikace:

a b ¬ a ¬ b a b ba(obrácená)

¬ b ¬a(obměna)

1 1 0 0 1 1 1

1 0 0 1 0 1 0

0 1 1 0 1 0 1

0 0 1 1 1 1 1

Implikace ¬ b ¬a se nazývá obměna implikace a b

Implikace ba se nazývá obrácená implikace k implikaci a b

Obrácená implikace, obměna implikace:

a b ¬ a ¬ b a b ba(obrácená)

¬ b ¬a(obměna)

1 1 0 0 1 1 1

1 0 0 1 0 1 0

0 1 1 0 1 0 1

0 0 1 1 1 1 1

Implikace ¬ b ¬a se nazývá obměna implikace a b

Implikace ba se nazývá obrácená implikace k implikaci a b

Obměna implikace má vždy stejnou pravdivostní hodnotu jako původní implikace.

Obrácená implikace může mít jinou pravdivostní hodnotu než původní implikace.