Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Rovnice
Ekvivalentní úpravy rovnic
2. část
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR.
Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Ekvivalentní úpravy rovnicNa úvod si zopakujeme tři již známé ekvivalentní úpravy:
1. Kořeny rovnice se nezmění, jestliže zaměníme levou a pravou stranu rovnice.
2. Kořeny rovnice se nezmění, jestliže k oběma stranám rovnice přičteme stejné číslo nebo mnohočlen.
3. Kořeny rovnice se nezmění, jestliže od obou stran rovnice odečteme stejné číslo nebo mnohočlen.
6 = 5 + xL = P
P = L5 + x = 6
x – 3 = 5 + 3+ 3+ 3x – 3 = 5
x = 8
/ - 3- 3- 3 x + 3 = 5
x + 3 = 5
x = 2
/
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR.
Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Další ekvivalentní úpravy rovnic
Nyní se již vraťme opět k analogii (podobnosti) rovnosti dvou stran rovnice s příklady na udržení rovnováhy na miskách vah.
Tak vzhůru na to. Klikněte na obrázek vah a začněte experimentovat s cihličkami na miskách vah podle uvedeného návodu. A dobře si zapamatujte, co jste zjistili!
Opět naskládejte na obě misky vah cihličky tak, aby nastala rovnováha. A nemusí to být ani podle zadané rovnice! Pak začneme znovu experimentovat.
Poté počet cihliček daného druhu na obou miskách zase dvakrát, případně třikrát zmenšíme.
Tentokrát však budeme počet cihliček daného druhu na obou miskách zdvojnásobovat, případně ztrojnásobovat.
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR.
Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Ekvivalentní úpravy rovnicCo jste zjistili tentokrát?
4.) Rovnováha opět nastává, když počet odpovídajících si cihliček na obou miskách vah zvýšíme ve stejném násobku
(tzn. zvětšíme-li počet cihliček obou druhů na levé i na pravé misce dvakrát, třikrát, …). 5.) A stejně tak rovnováha opět nastává, když počet odpovídajících si cihliček na obou miskách vah ve stejném násobku i snížíme (tzn. zmenšíme-li počet cihliček obou druhů na levé i na pravé misce dvakrát, třikrát, …).
A opět platí, že s rovnicemi je to podobné. Pojďme se na to tedy podívat.
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR.
Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
. 3. 3
4. ekvivalentní úpravaJestliže obě strany rovnice vynásobíme stejným číslem (výrazem) různým od nuly, kořen rovnice se nezmění.
. 3/ Zvolenou ekvivalentní úpravu poznamenáme vedle zápisu Na obou stranách rovnice provedeme naznačené početní operaceJestliže jsme kořen rovnice určili správně, po jeho dosazení
za neznámou do levé i pravé strany zadání rovnice nastane rovnost. Říkáme, že provádíme zkoušku.
nebo
53x
53x
15x
5315
3x
L
5P PL
53x
55
5315
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR.
Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
: 3: 3: 3
5. ekvivalentní úpravaJestliže obě strany rovnice vydělíme stejným číslem (výrazem) různým od nuly, kořen rovnice se nezmění.
/Zvolenou ekvivalentní úpravu poznamenáme vedle zápisu Na obou stranách rovnice provedeme naznačené početní operace
Jestliže jsme kořen rovnice určili správně, po jeho dosazení za neznámou do levé i pravé strany zadání rovnice nastane rovnost. Říkáme, že provádíme zkoušku.
nebo
153x
315
33x
5x
155)3.(3xL 15P
PL
513x
5151 515)3.(
153x
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR.
Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Příklad č. 1: Kořeny rovnice se nezmění, jestliže obě
strany rovnice vynásobíme stejným
číslem nebo mnohočlenem (různým od
nuly).
Na obou stranách rovnice provedeme naznačené početní
operace
252
,y
52252
,./,y
5225252
,.,.,y
5y
2525
52
,,y
LZk:
P ..... LP 2
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR.
Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Příklad č. 2:
8 = -4x
8 = -4x / :(-4)
8 : (-4) = -4x : (-4)
-2 = x
Zk: L = 8
Kořeny rovnice se nezmění, jestliže obě strany rovnice vydělíme stejným číslem
nebo mnohočlenem (různým od nuly).
Na obou stranách rovnice
provedeme
naznačené početní
operace.
P = -4x = -4.(-2) = 8 L = P
x = -2
Kořeny rovnice se nezmění, jestliže zaměníme
levou a pravou stranu rovnice.
__ __ 8 -4x -4 -4
= 2 1
-1 1
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR.
Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
85118
818
2 ,
xx
Příklad č. 3:
4
x x __ __ 2 8
- = 1,5
18
85182
/.,xx
1
1
1
85111
114
1 ,
xx
1211
4
xx
123 x 3:/
31233 :x:
312
33
x 41
1 1
5150284
24
82,,
xxLZk:
4x
51,P PL
Vynásobit musíme všechny členy rovnice!!!
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR.
Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
5188
4,
xx
A z násobení na dělení.
Celý předcházející příklad ještě jednou, ale s využitím zkráceného zápisu.
Přejde-li člen z jedné strany rovnice na
druhou, změní se matematická operace,
kterou je vázán k ostatním členům, na opačnou: Z dělení na násobení!
5182
,xx
8./5183
,x
8.5,13 x
312.3 /:x
312:x
5150284
24
82,,
xxLZk:
4x
51,P PL
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR.
Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
102
103
yy
A z násobení na dělení.
Podobně příklad č. 4:
Přejde-li člen z jedné strany rovnice na
druhou, změní se matematická operace,
kterou je vázán k ostatním členům na opačnou: Z dělení na násobení!
5103
yy
10./103
3y
y310.3
3.330 /:y
y )3(:30
3LZk:
10y
321510
1010
510
yyP
PL
y10
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR.
Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Ekvivalentní úpravy rovnicShrňme si tedy na závěr ještě jednou všechny již známé ekvivalentní úpravy rovnic:
1. Kořeny rovnice se nezmění, jestliže zaměníme levou a pravou stranu rovnice.
2. Kořeny rovnice se nezmění, jestliže k oběma stranám rovnice přičteme stejné číslo nebo mnohočlen.
3. Kořeny rovnice se nezmění, jestliže od obou stran rovnice odečteme stejné číslo nebo mnohočlen.
4. Kořeny rovnice se nezmění, jestliže obě strany rovnice vynásobíme stejným číslem nebo mnohočlenem (různým od nuly).5. Kořeny rovnice se nezmění, jestliže obě strany rovnice vydělíme stejným číslem nebo mnohočlenem (různým od nuly).
