25
Slovní úlohy o pohybu Varianta 2: Pohyby stejným směrem.
Slovní úlohy o pohybu
Varianta 2: Pohyby stejným směrem.
Jak při řešení rovnic postupovat?
1. Pozorně si přečti text úlohy (raději několikrát).
2. Mezi neznámými údaji zvol jeden, o kterém nevíš vůbec nic, jako neznámou.
3. Pomocí zvolené neznámé a zadaných podmínek vyjádři všechny ostatní údaje z textu.4. Vyjádři logickou rovnost plynoucí z textu úlohy a na jejím základě sestav rovnici a vyřeš ji.5. Proveď zkoušku, kterou ověříš, že získané výsledky vyhovují všem podmínkám úlohy.
6. Napiš odpovědi na otázky zadané úlohy.
Slovní úloha o pohybu – varianta 2.Touto variantou se myslí úlohy, ve kterých pohybující se tělesa vycházejí, vyjíždějí, odlétají ze stejného místa, jen v jiném čase a pohybují se stejným směrem. Jelikož je těleso vyrážející později rychlejší, předpokládá se, že těleso první za určitou dobu dostihne.
A B
A B
C
Slovní úloha o pohybu – varianta 2.
Chodec jde průměrnou rychlostí 4 km/h. Za 20 minut vyjel za ním cyklista průměrnou rychlostí 24 km/h. Za jakou dobu předjede cyklista chodce a kolik kilometrů přitom ujede?
Ukázka zadání takové úlohy:
Slovní úloha o pohybu – varianta 2.
Obě pohybující se tělesa přitom urazí stejnou dráhu, a tudíž platí, že dráha s1 se rovná dráze s2.
Tato logická rovnost plynoucí
z textu úlohy je i základem pro sestavení rovnice pro výpočet hledané neznámé.s1 = s2
A B
A B
C
s1
s2
s1 = s2
Slovní úloha o pohybu – varianta 2.
A B
A B
C
s1
s2Ujetá dráha se přitom vypočítá jako součin průměrné rychlosti pohybujícího se tělesa a doby pohybu: s = v . t
s1=v1.t1
s2=v2.t2
v1.t1 = v2.t2
Příklad: Chodec jde průměrnou rychlostí 4 km/h. Za 20 minut vyjel za ním cyklista průměrnou rychlostí 24 km/h. Za jakou dobu dojede cyklista chodce a kolik kilometrů přitom ujede?
Při řešení nejen slovních úloh o pohybu je pro větší názornost vždy velmi přínosný obrázek vykreslující situaci úlohy. Do něj si zapíšeme všechny známé i neznámé údaje.
Nejprve tedy ty známé …
A potom ty neznámé…
V našem případě je to čas pohybu obou osob.Jelikož o čase cyklisty něco víme, bude tou úplně neznámou čas chodce. Označíme si jej tedy t.
A B
A B
C
Bod C je místo, kde se bude nacházet
chodec v době, kdy bude cyklista
teprve vyjíždět.
v1= 4 km/h
v2= 24 km/h
t
Příklad: Chodec jde průměrnou rychlostí 4 km/h. Za 20 minut vyjel za ním cyklista průměrnou rychlostí 24 km/h. Za jakou dobu dojede cyklista chodce a kolik kilometrů přitom ujede?
Jaký tedy bude čas cyklisty a co o něm vlastně víme?
A B
A B
C
Bod C je místo, kde se bude nacházet
chodec v době, kdy bude cyklista
teprve vyjíždět.
v1= 4 km/h
v2= 24 km/h
t
Víme, že cyklista vyjel o 20 minut později a tedy i čas bude o 20 minut kratší.Ovšem pozor! Rychlost máme vyjádřenou v km/h. Můžeme tedy počítat i s minutami?
Příklad: Chodec jde průměrnou rychlostí 4 km/h. Za 20 minut vyjel za ním cyklista průměrnou rychlostí 24 km/h. Za jakou dobu dojede cyklista chodce a kolik kilometrů přitom ujede?
Správně. Nemůžeme, a proto si 20 minut převedeme na hodiny.
A B
A B
C
Víme, jak na to?
v1= 4 km/h
v2= 24 km/h
t
20 : 60 = 0,33333333333333 …
Kdepak. Každé zaokrouhlení znamená odchýlení od přesného výsledku a my přece chceme počítat přesně!
A jej, perioda! Co s tím?
Zaokrouhlíme to?
Příklad: Chodec jde průměrnou rychlostí 4 km/h. Za 20 minut vyjel za ním cyklista průměrnou rychlostí 24 km/h. Za jakou dobu dojede cyklista chodce a kolik kilometrů přitom ujede?
Tak co s tím? Jak jinak a přesně můžeme vyjádřit část celku, když nám to desetinná čísla neumožňují?
A B
A B
C
Správně, pomocí zlomků.
v1= 4 km/h
v2= 24 km/h
t
A je to! Máme, co jsme
potřebovali.h
3
1
60
206020 :
Příklad: Chodec jde průměrnou rychlostí 4 km/h. Za 20 minut vyjel za ním cyklista průměrnou rychlostí 24 km/h. Za jakou dobu dojede cyklista chodce a kolik kilometrů přitom ujede?
Jak tedy vyjádříme, že cyklista vyjel o 20 minut, což je 1/3 hodiny později a což znamená, že jeho čas bude o 1/3 kratší?
A B
A B
Cv1= 4 km/h
v2= 24 km/h
t
3
1t
t – 1/3
Příklad: Chodec jde průměrnou rychlostí 4 km/h. Za 20 minut vyjel za ním cyklista průměrnou rychlostí 24 km/h. Za jakou dobu dojede cyklista chodce a kolik kilometrů přitom ujede?
A B
A B
Cv1= 4 km/h
v2= 24 km/h
t
t – 1/3
s1 = v1 . t = 4 . t
s2 = v2 . (t-1/3) = 24 . (t-1/3)A protože víme, že s1 se rovná s2, tak
platí:
4t = 24.(t-1/3)
Příklad: Chodec jde průměrnou rychlostí 4 km/h. Za 20 minut vyjel za ním cyklista průměrnou rychlostí 24 km/h. Za jakou dobu dojede cyklista chodce a kolik kilometrů přitom ujede?
3
1244 tt
8244 tt
8244 tt
820 t
ht 40,min24t
Kdyby už někdo nevěděl, jak se přijde
na minuty, tak:0,4 . 60 = 24
Prostě převod jednotek.
Příklad: Chodec jde průměrnou rychlostí 4 km/h. Za 20 minut vyjel za ním cyklista průměrnou rychlostí 24 km/h. Za jakou dobu dojede cyklista chodce a kolik kilometrů přitom ujede?
A B
A B
Cv1= 4 km/h
v2= 24 km/h
t
t – 1/3
s1 = v1 . t = 4 . t
s2 = v2 . (t-1/3) = 24 . (t-1/3)Tak jsme vypočítali, že čas t je 24 minut.
Znamená to tedy, že cyklista dojede chodce za 24 minut?Kdepak. POZOR! Čas t je časem chodce. Znamená to tedy, že 24 minut půjde chodec, než jej cyklista dojede.
t1 = 24 minut
Příklad: Chodec jde průměrnou rychlostí 4 km/h. Za 20 minut vyjel za ním cyklista průměrnou rychlostí 24 km/h. Za jakou dobu dojede cyklista chodce a kolik kilometrů přitom ujede?
A B
A B
Cv1= 4 km/h
v2= 24 km/ht – 1/3
s1 = v1 . t = 4 . t
s2 = v2 . (t-1/3) = 24 . (t-1/3)
O cyklistovi však víme, že vyjel za chodcem až za 20 minut, což znamená, že jeho čas je o 20 minut kratší! 24 – 20 = 4 min
t1 = 24 minut
t2 = 4 min
t1 = 24 minut
t2 = 4 min
Příklad: Chodec jde průměrnou rychlostí 4 km/h. Za 20 minut vyjel za ním cyklista průměrnou rychlostí 24 km/h. Za jakou dobu dojede cyklista chodce a kolik kilometrů přitom ujede?
A B
A B
Cv1= 4 km/h
v2= 24 km/h
s1 = v1 . t = 4 . t
s2 = v2 . (t-1/3) = 24 . (t-1/3)
A kolik kilometrů cyklista ujede?
kmtvs 61609660
96
60
424222 ,:
A proč ne 4, ale 4/60?
No protože si opět musíme dát pozor na
stejné jednotky.
Příklad: Chodec jde průměrnou rychlostí 4 km/h. Za 20 minut vyjel za ním cyklista průměrnou rychlostí 24 km/h. Za jakou dobu dojede cyklista chodce a kolik kilometrů přitom ujede?
t = 4 mins = 1,6 kmNa závěr se provede zkouška toho, zda získané hodnoty vyhovují podmínkám úlohy:
Kolik kilometrů ušel chodec při rychlosti 4 km/h za 24 minut své chůze do doby, než jej cyklista dojel?
Chodec ušel do doby, než jej cyklista dojel, stejnou dráhu jako on. Můžeme tedy napsat odpověď:
Cyklista dojede chodce
za 4 minuty a ujede přitom
1,6 km.
kmtvs 61609660
96
60
244111 ,:
Příklad: Za cyklistou, který jel rychlostí 16 km/h, vyjel o 3 hodiny později motocyklista rychlostí 48 km/h. Kdy motocyklista dohonil cyklistu?
Příklad: Za cyklistou, který jel rychlostí 16 km/h, vyjel o 3 hodiny později motocyklista rychlostí 48 km/h. Kdy motocyklista dohonil cyklistu?
A B
A B
Cv1= 16 km/h
v2= 48 km/h
t
t – 3
s1 = v1 . t = 16 . t
s2 = v2 . (t-3) = 48 . (t-3)
t
34816 tt1444816 tt
14432 t ht 5432144 ,:
h51354 ,, Motocyklista dojel cyklistu za 1,5
hodiny.
Příklad: Z vesnice vyjel traktor rychlostí 20 km/h. Za 10 minut jel za ním motocyklista rychlostí 60 km/h. Za jakou dobu a v jaké vzdálenosti od vesnice dohoní motocyklista traktoristu?
Příklad: Z vesnice vyjel traktor rychlostí 20 km/h. Za 10 minut jel za ním motocyklista rychlostí 60 km/h. Za jakou dobu a v jaké vzdálenosti od vesnice dohoní motocyklista traktoristu?
A B
A B
Cv1= 20 km/h
v2= 60 km/h
t
t – 1/6
s1 = v1 . t = 20 . t
s2 = v2 . (t-1/6) = 60 . (t-1/6)
t
6
16020 tt
106020 tt1040 t
min,: 152504010 ht
min51015
Motocyklista dohoní traktoristu za 5 minut,ve vzdálenosti 5 kilometrů.
kms 560
560 .
Příklad: V 7 hodin vyšel chodec průměrnou rychlostí 5 km/h. V 10 hodin vyjel za ním cyklista rychlostí 14 km/h. Kdy ho dojede?
Příklad: V 7 hodin vyšel chodec průměrnou rychlostí 5 km/h. V 10 hodin vyjel za ním cyklista rychlostí 14 km/h. Kdy ho dojede?
A B
A B
Cv1= 5 km/h
v2= 14 km/h
t
t – 3
s1 = v1 . t = 5 . t
s2 = v2 . (t-3) = 14 . (t-3)
t
3145 tt42145 tt
429 t min: 404
3
24942 hodht
Cyklista dojede chodce v 11:40 hodin.
Příklad: V 6:30 hodin vyplul z přístavu parník plující rychlostí 12 km/h. Přesně v 10:00 hodin za ním vyplul motorový člun, který plul průměrnou rychlostí 40 km/h. V kolik hodin dohoní člun parník?
Příklad: V 6:30 hodin vyplul z přístavu parník plující rychlostí 12 km/h. Přesně v 10:00 hodin za ním vyplul motorový člun, který plul průměrnou rychlostí 40 km/h. V kolik hodin dohoní člun parník?
A B
A B
Cv1= 12 km/h
v2= 40 km/h
t
t – 3,5
s1 = v1 . t = 12 . t
s2 = v2 . (t-3,5) = 40 . (t-3,5)
t
534012 , tt1404012 tt
14028 t ht 528140 : Člun dohoní parník v 11:30 hodin.
