Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Radomír Macháň.Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního

rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Slovní úlohy o směsích

(řešené lineární rovnicí o jedné neznámé)

Jak při řešení rovnic postupovat?

1. Pozorně si přečti text úlohy (raději několikrát).

2. Mezi neznámými údaji zvol jeden, o kterém nevíš vůbec nic, jako neznámou.3. Pomocí zvolené neznámé a zadaných podmínek vyjádři všechny ostatní údaje z textu.4. Vyjádři logickou rovnost plynoucí z textu úlohy a na jejím základě sestav rovnici a vyřeš ji.5. Proveď zkoušku, kterou ověříš, že získané výsledky vyhovují všem podmínkám úlohy.6. Napiš odpovědi na otázky zadané úlohy.

Slovní úlohy o směsích

V květinářství prodávají růže dvou barev. Červené za 15 Kč za kus a žluté za 18 Kč za kus. Kolik růží každé barvy je v kytici stojící 81 Kč, navázané z pěti růží?

Ukázka zadání takové úlohy:

Slovní úlohy o směsíchV květinářství prodávají růže dvou barev. Červené za 15 Kč za kus a žluté za 18 Kč za kus. Kolik růží každé barvy je v kytici stojící 81 Kč, navázané z pěti růží?

Rozebereme si úlohu tak, že vyzkoušíme všechny možnosti, které mohou nastat.

Celkem … 75 + 0 = 75 Kč

Dle zadání: 5 růží … 81 Kč

5 červených růží

5 . 15 = 75 Kč

0 žlutých růží

0 . 18 = 0 KčNeodpovídá

ceně ze zadání –

není řešením!

Slovní úlohy o směsíchV květinářství prodávají růže dvou barev. Červené za 15 Kč za kus a žluté za 18 Kč za kus. Kolik růží každé barvy je v kytici stojící 81 Kč, navázané z pěti růží?

Rozebereme si úlohu tak, že vyzkoušíme všechny možnosti, které mohou nastat.

Celkem … 60 + 18 = 78 Kč

Dle zadání: 5 růží … 81 Kč

4 červené růže

4 . 15 = 60 Kč

1 žlutá růže

1 . 18 = 18 KčNeodpovídá

ceně ze zadání –

není řešením!

Slovní úlohy o směsíchV květinářství prodávají růže dvou barev. Červené za 15 Kč za kus a žluté za 18 Kč za kus. Kolik růží každé barvy je v kytici stojící 81 Kč, navázané z pěti růží?

Rozebereme si úlohu tak, že vyzkoušíme všechny možnosti, které mohou nastat.

Celkem … 45 + 36 = 81 Kč

Dle zadání: 5 růží … 81 Kč

3 červené růže

3 . 15 = 45 Kč

2 žluté růže

2 . 18 = 36 KčA máme řešení!

3 červené a 2 žluté růže.

Našli jsme řešení, a tak by se mohlo zdát, že jsme hotovi.

Nevyzkoušeli jsme ovšem ještě všechny možné kombinace růží, a tak nemáme jistotu, že nebude existovat ještě nějaké jiné řešení. Proto

musíme pokračovat ve zkoumání zbývajících

barevných kombinací růží.

Slovní úlohy o směsíchV květinářství prodávají růže dvou barev. Červené za 15 Kč za kus a žluté za 18 Kč za kus. Kolik růží každé barvy je v kytici stojící 81 Kč, navázané z pěti růží?

Rozebereme si úlohu tak, že vyzkoušíme všechny možnosti, které mohou nastat.

Celkem … 30 + 54 = 84 Kč

Dle zadání: 5 růží … 81 Kč

2 červené růže

2 . 15 = 30 Kč

3 žluté růže

3 . 18 = 54 Kč

Neodpovídá ceně

ze zadání – není řešením!

Slovní úlohy o směsíchV květinářství prodávají růže dvou barev. Červené za 15 Kč za kus a žluté za 18 Kč za kus. Kolik růží každé barvy je v kytici stojící 81 Kč, navázané z pěti růží?

Rozebereme si úlohu tak, že vyzkoušíme všechny možnosti, které mohou nastat.

Celkem … 15 + 72 = 87 Kč

Dle zadání: 5 růží … 81 Kč

1 červená růže

1 . 15 = 15 Kč

4 žluté růže

4 . 18 = 72 KčNeodpovídá

ceně ze zadání –

není řešením!

Slovní úlohy o směsíchV květinářství prodávají růže dvou barev. Červené za 15 Kč za kus a žluté za 18 Kč za kus. Kolik růží každé barvy je v kytici stojící 81 Kč, navázané z pěti růží?

Rozebereme si úlohu tak, že vyzkoušíme všechny možnosti, které mohou nastat.

Celkem … 0 + 90 = 90 Kč

Dle zadání: 5 růží … 81 Kč

0 červených růží

0 . 15 = 0 Kč

5 žlutých růží

5 . 18 = 90 Kč

Neodpovídá ceně

ze zadání – není řešením!

Nakonec tedy již žádná další barevná kombinace řešení

odpovídající zadání nepřinesla, a tak se vrátíme k té jediné možné kombinaci.

Slovní úlohy o směsíchV květinářství prodávají růže dvou barev. Červené za 15 Kč za kus a žluté za 18 Kč za kus. Kolik růží každé barvy je v kytici stojící 81 Kč, navázané z pěti růží?

Celkem … 45 + 36 = 81 Kč

Dle zadání: 5 růží … 81,- Kč

3 červené růže

3 . 15 = 45 Kč

2 žluté růže

2 . 18 = 36 Kč

Řešení postavené na zkoumání všech možných kombinací je příliš zdlouhavé a možné jen při malých počtech zadaných veličin. Odvodíme si tedy postup při řešení příkladů tohoto typu pomocí lineární rovnice o jedné neznámé.

Slovní úlohy o směsíchV květinářství prodávají růže dvou barev. Červené za 15 Kč za kus a žluté za 18 Kč za kus. Kolik růží každé barvy je v kytici stojící 81 Kč, navázané z pěti růží?

Celkem … 45 + 36 = 81 Kč

Dle zadání: 5 růží … 81 Kč

3 červené růže

3 . 15 = 45 Kč

2 žluté růže

2 . 18 = 36 Kč

červené růže žluté růže

x 5 – x15 . x

18 . (5 – x)

Jako neznámou

zvolíme počet červených růží.

Jak potom vyjádříme

počet žlutých růží, je-li všech

celkem 5?

Kolik Kč budou stát

červené růže?

A kolik Kč budou stát

žluté?

Slovní úlohy o směsíchV květinářství prodávají růže dvou barev. Červené za 15 Kč za kus a žluté za 18 Kč za kus. Kolik růží každé barvy je v kytici stojící 81 Kč, navázané z pěti růží?

Dle zadání: 5 růží … 81 Kč

červené růže žluté růže

x 5 – x15 . x

18 . (5 – x)

Cena červených + cena žlutých = cena všech růží

15 . x + 18 . (5 – x) = 81

Jaká logická rovnost bude základem naší

rovnice?

Slovní úlohy o směsíchV květinářství prodávají růže dvou barev. Červené za 15 Kč za kus a žluté za 18 Kč za kus. Kolik růží každé barvy je v kytici stojící 81 Kč, navázané z pěti růží?

Dle zadání: 5 růží … 81 Kč

červené růže žluté růžex 5 – x15 . x + 18 . (5 – x) = 8115 . x + 90 – 18 . x = 81 −3 . x = 81 –

90−3 . x = −9x = −9 : (−3)x = 3

= 3

= 5 – 3 = 2

Kytice je uvázána ze tří červených a dvou žlutých růží.

Příklad: Vstupné na divadelní představení je 50 Kč pro dospělé a 30 Kč pro děti. Kolik dospělých a kolik dětí navštívilo představení, jestliže bylo prodáno 450 vstupenek a na vstupném bylo vybráno celkem 17 100 Kč?

Příklad: Vstupné na divadelní představení je 50 Kč pro dospělé a 30 Kč pro děti. Kolik dospělých a kolik dětí navštívilo představení, jestliže bylo prodáno 450 vstupenek a na vstupném bylo vybráno celkem 17 100 Kč?

Dospělí:Počet vstupenek …

Cena za vstupenky …

x50 . x

Dospělí i děti:

Děti:Počet vstupenek …

Cena za vstupenky …

450 – x30 . (450 –

x)450 vstupenek … 17 100 Kč50 . x + 30 . (450 – x) = 17

10050 . x + 13 500 – 30 . x = 17 100 50 . x – 30 . x = 17 100 –

13 50020 . x = 3 600x = 3 600 :

20x = 180

450 – 180 = 270Představení navštívilo 180 dospělých a 270 dětí.

Zkouška:180 . 50 + 270 . 30 =

= 9 000 + 8 100 == 17 100 Kč

Příklad: 630 litrů postřiku bylo slito do 22 konví. Některé byly po 25 litrech, jiné po 35 litrech. Všechny konve byly plné. Kolik bylo kterých konví?

Příklad: 630 litrů postřiku bylo slito do 22 konví. Některé byly po 25 litrech, jiné po 35 litrech. Všechny konve byly plné. Kolik bylo kterých konví?

Menší konve:Počet konví …

Množství litrů v konvích …

x25 . x

Všechny konve:

Větší konve:Počet konví …

Množství litrů v konvích …

22 – x35 . (22 – x)

22 konví … 630 l

25 . x + 35 . (22 – x) = 63025 . x + 770 – 35 . x =

630−10 . x = 630 – 770−10 . x = −140

x = −140 : (−10)x = 14 22 – 14 = 8

Menších konví bylo 14 a větších 8.

Zkouška:14 . 25 + 8 . 35 =

= 350 + 280== 630 l

Příklad: Ze dvou druhů kávy v cenách 240 Kč a 320 Kč za kilogram se má připravit 100 kg směsi v ceně 300 Kč za kilogram. Kolik kilogramů každého druhu kávy bude třeba smíchat?

Příklad: Ze dvou druhů kávy v cenách 240 Kč a 320 Kč za kilogram se má připravit 100 kg směsi v ceně 300 Kč za kilogram. Kolik kilogramů každého druhu kávy bude třeba smíchat?

1. druh kávy:Počet kilogramů …

Cena kávy …

x240 . x

Směs:

2. druh kávy:Počet kilogramů …

Cena kávy …

100 – x320 . (100 –

x)100 kg … 100 . 300 = 30 000 Kč

240 . x + 320 . (100 – x) = 30 000240 . x + 32 000 – 320 . x =

30 000 −80 . x = 30 000 – 32 000−80 . x = −2 000 x = −2 000 :

(−80)x = 25 kg

100 – 25 = 75 kgBude třeba smíchat 25 kg levnější a 75 kg dražší kávy.

Zkouška:240 . 25 + 320 . 75 == 6 000 + 24 000 =

= 30 000 Kč30 000 : 100 =

= 300 Kč

Použité obrázky:

cit. 2010–13–07]. Dostupné pod licencí Creative Commons na WWW:

< http://www.clker.com/clipart-blackboard.html><http://www.clker.com/clipart-notepad-1.html><http://www.clker.com/clipart-25039.html><http://www.clker.com/clipart-12499.html>