1

Stavební mechanika 1 (132SM01)

Přednáší:Ing. Jiří Němeček, Ph.D.

Katedra stavební mechaniky K132

místnost B331a

e-mail: jiri.nemecek@fsv.cvut.cz

http://mech.fsv.cvut.cz/

Literatura:Kabele a kol., Stavební mechanika 1. Příklady, ES ČVUT (2009)

Kufner, Kuklík: Stavební mechanika 10, ES ČVUTKufner, Kuklík: Stavební mechanika 20, ES ČVUT

(Kufner, Kratěnová, Kuklík, Teoretická mechanika, Příklady, ES ČVUT)(Beer, Johnston, Vector Analysis for Engineers, McGraw-Hill)

2

1. Úvod

Co je to mechanika?Nauka o chování těles vystavených působení sil.

zde chováním rozumíme:

pohyb, změny tvaru a objemu (deformace)

Stavební mechanika:studuje deformace, pohyb, porušení,... stavebníchkonstrukcí vystavených účinkům zatížení

3

4

Proč je nutno studovat (stavební) mechaniku?

1) Bezpečnost a spolehlivost stavebních konstrukcí

Specifika stavebních konstrukcí:• požadovaná životnost: desítky až stovky let• vážné společenské a hmotné následky případné chyby

v projektu či havárie⇒ inženýr musí umět navrhnout stavební konstrukci tak,aby byla bezpečná a spolehlivá po celou dobu její životnosti

Pokud se to nepodaří => katastrofa

5

•Havárie mostu Tacoma Narrows Bridge (USA)

• zavěšený most, délka 1810 m• dán do provozu 1. července 1940• zřítil se 7. listopadu 1940 v důsledku vibrací vybuzených

větrem o rychlosti 70 km/h• příčina - malá tuhost mostovky

Vážné případy: studie příčin, poučení, někdy též revize teorie

6

•Velké zemětřesení v Kóbe (Japonsko)• 17. ledna 1995, před 6. hodinou ráno• intenzita 5-7 na sedmistupňové japonské stupnici• zrychlení na povrchu až 800 gal (8 m/s2)• kolaps mnoha stavebních konstrukcí, zejm. postavených

podle starých norem

7

•Kolaps WTC (Twin towers) v New York (USA)• 11. září 2001, teroristický útok• lavinovité zhroucení ocelových sloupů v důsledku požáru a tíhy horních pater

8

Proč je nutno studovat (stavební) mechaniku?

2) Vzrůstající nároky na stavební konstrukce

• vyšší, delší, větší ... • levnější• kvalitnější

konstrukce

Správné mechanické (statické) řešení konstrukce je kritickýmfaktorem pro splnění těchto požadavků.

Příklad: Podzemní přečerpávací elektrárna Kazunogawa (Japonsko)

Extrémní podmínky:• v rozpraskané skále• hloubka ~500 m, délka 224 m, šířka 35 m, výška 56 m• nutno zajistit stabilitu stěn a stropu

9

Metoda mechaniky

Matematickáúloha

Soustavarovnic

mode-lování

Fyzickáúloha

Výsledek:předpověď,reprodukce

chování kce.

řešení

56 m

35 m

10

Modelování:• idealizace, zjednodušení - identifikace dominantníhomechanismu chování

• definice veličin popisujících působení zatížení, jeho přenášenív konstrukci a následné chování konstrukce(síla, přemístění, napětí, deformace, ...)

• definice vztahů mezi těmito veličinami: vychází z obecněplatných fyzikálních zákonů a axiomů(zákony zachování energie, hmoty, hybnosti, zákon síly, ...)

Řešení:• podle typu matematické úlohy využíváme různýchmatematických a výpočetních technik(analytické, numerické - vhodné pro počítač, ...)

11

V tomto předmětu (SM1):

• konstrukce či její části budou idealizovány jako bod čituhá tělesa

• budeme studovat rovnováhu konstrukce a jejích částí,přenášení sil v konstrukci

12

2. Přehled některých základní znalostí z matematiky

Sinová věta:

a /sin α = b / sin β = c / sin γ

Kosinová věta:

a2 = b2 + c2 – 2bc cos αb2 = a2 + c2 – 2ac cos βc2 = a2 + b2 – 2ab cos γ

2.1 Trigonometrie

ab

c

α βγ

ac

αb

sin α = a/ccos α = b/ctan α = a/b

Pravoúhlý trojúhelník

Obecný trojúhelník

13

2. Přehled některých základní znalostí z matematiky2.2 Vektorový počet

2.2.1 Kartézský souřadnicový systém

Souřadnicový systém v prostoru:• soustava tří vzájemně kolmých os x, y, z

• pravotočivá soustava: pootočeníx → y v kladném smyslu kolem zy → z v kladném smyslu kolem xz → x v kladném smyslu kolem y(klaný smysl - proti směru hodin. ručiček )

Souřadnicový systém v rovině:

x

y

z

x

y

z

x

y

z

x

14

Skalár:• veličina daná pouze velikostí, nezávisí na volbě souřadnicového systému

x

y

zVektor V:• veličina daná velikostí, směrem a orientací• vždy se vztahuje k souřadnicovému systému

VBázové vektory (souřadnicové vektory) e1, e2, e3:• jednotkové vektory v kladných

směrech souřadnicových os

e1

e2

e3

α

βγ

Směrové úhly α, β, γ:• úhly mezi vektorem V a kladnými

souřadnicovými poloosami• platí cos2α + cos2β + cos2γ = 1

2.2.2 Vektor

15

x

y

z

Vyjádření vektoru prostřednictvím složek:

Vx

Vy

Vz

• složky: kolmé průměty vektorudo směrů souřadnicových os

• = { Vx; Vy; Vz }

e1

e2

e3

• bázové vektory: 1 = {1; 0; 0}2 = {0; 1; 0}3 = {0; 0; 1}

α

βγ

• s použitím směrových úhlů:

Vx = V cos αVy = V cos βVz = V cos γ

• V ... délka (velikost) vektoru :

V= || = (Vx2 + Vy

2 + Vz2)1/2

16

• || ... velikost (délka) vektoru : || = (Vx2 + Vy

2 + Vz2)1/2 ≥ 0

• samotný symbol V ... může nabývat záporných i nezáporných hodnot,

nese informaci o velikosti vektoru a jeho orientaci:

kladná hodnota ... orientace shodná s předpokládanou

záporná hodnota ... orientace opačná s předpokládanou

Např:

předpokládanáorientace vektoru :

V

výsledek výpočtu:skutečná orientace vektoru :

V = -5

V = 3

||=5

|| = 3

17

Vektor určený dvěma body:

x

y

z

K

LK [xK, yK, zK] a L [xL, yL, zL]

xK

yK

zK

xL

yL

zL

= KL = {xL-xK, yL-yK, zL-zK}

18

2.2.3 Operace s vektory

Součet vektorů a je vektor , pro který platí:

= { Ax+Bx; Ay+By; Az+Bz}

• značení: = +

• vlastnosti: + = +

•geometrický význam:

x

y

Ay

AxBx

By

Cx

Cy

19

Součinem skaláru s a vektoru je vektor ,

pro který platí:

= {s Ax, s Ay, s Az}

• značení: = s

• vlastnosti:

* s = s

* vektory jsou rovnoběžné

* velikost B = (s2Ax2 + s2Ay

2 +s2Az2)1/2= s A

x

y

Ay

AxsAx = Bx

sAy = By

20

= { fx; fy; fz }; | | = 1

x

y

z

K

L

xKyK

zK

xL

yL

zL

Použití: Vyjádření složek jednotkového vektoru ležícího v paprskudaném dvěma body K [xK, yK, zK] a L [xL, yL, zL]:

KL

KL = {xL-xK, yL-yK, zL-zK}

2 2 2( ) ( ) ( ) 1L K L K L Kx x y y z z= − + − + − ≠uurKL

Abychom získali jednotkový vektor,

přenásobíme KL skalárem uur1

KL

=r uur

uur1

f KLKL

L K L K L Kx x y y z z− − −= = =uur uur uurx y zf ; f ; fKL KL KL

21

x

y

z

Použití: Vyjádření složek vektoru s použitím jednotkového vektoru ve směru :

Vx = V fxVy = V fyVz = V fz

= { fx; fy; fz }; | | = f = 1

fz

fx

fy

Takéfx = cos αfy = cos βfz = cos γ

fVVrr

⋅=

22

Skalárním součinem vektorů a je skalár s,pro který platí:

s = A B cos ϕ= Ax Bx + Ay By + Az Bz

• značení: s = .

• vlastnosti:* . = .

* pro A ⊥B: cos ϕ = 0, s = 0

ϕ

• geometrický význam a použití: * např. vyjádření složek vektoru

Vx = V cos α = . 1

Vy = V cos β = . 2

Vz = V cos γ = . 3

* skalární součin . vyjadřuje průmětvektoru do osy určené jednotkovýmvektorem

.

.

.

23

( ) ( ) ( )

}C ,C ,{CeCeCeC

e ABBAe ABBAe ABBA

BBB

AAA

eee

B AC

zyx3z2y1x

3yxyx2xzxz1zyzy

zyx

zyx

321

=++=

−+−+−==×=

rrr

rrr

rrr

rrr

Vektorovým součinem vektorů a je vektor

který má následující vlastnosti:

1. velikost C = A B sin ϕ (plocha rovnoběžníka)

2. vektor je kolmý k vektorům a

3. vektory , , tvoří pravotočivou soustavu

ϕ

C

.

.

• značení: = x

• vlastnosti:

* x = - x

* s ( x ) = (s ) x = x (s )

* ( + ) x = x + x

• vyjádření složek

24

• značení: s = ( x ) .

• geometrický význam: objem rovnoběžnostěnu

určeného vektory , ,

• vlastnosti:

* ( x ) . > 0 jestliže vektory , , neleží v jedné rovině a tvoří

pravotočivou soustavu

* ( x ) . = 0 leží-li vektory , , v jedné rovině nebo je-li

aspoň jeden z nich nulový

* ( x ) . = . ( x )

* ( x ) . = -( x ) .

∗ ( x ) . = ( x ) . = ( x ) .

yzxzxyxyzyxzxzyzyx

zyx

zyx

zyx

CBACBACBA-CBACBACBA

CCC

BBB

AAA

s −−++==

• smíšeným součinem vektorů , a je skalár s definovaný determinantem:

..

25

3. Geometrie sil

3.1 Síly působící v jednom bodě

Úloha této kapitoly:matematicky popsat mechanickéúčinky zatížení na konstrukci a účinkyčástí kostukce navzájem.

Účinky budeme popisovatprostřednictvím vektorovéveličiny -- síly.

Zjednodušující předpoklad:konstrukci (její části)můžeme idealizovat jako bod.

3.1.1 Zadání úlohy, předpoklady

26

3.1.2 Síla

• značení, • definice, např. ze zákona síly:

Změna hybnosti hmotného bodu za jednotku časuje rovna síle působící na hmotný bod:

při konstantní hmotnosti bodu:

• základní jednotka: N (Newton)1N = 1 kg m s-2

Fdt

vmd

dt

Hd rrr

== )(

Famdt

vdm

rrr

==

27

* složky

= { Fx; Fy; Fz }

Fx = . 1 = F cos α = F fxFy = . 2 = F cos β = F fyFz = . 3 = F cos γ = F fz

* velikost síly:

F = (Fx2 + Fy

2 + Fz2)1/2

x

y

z

α

βγ

Fx

Fy

Fz

• síla je vektor vázaný na bod ve kterém působí (působiště)(operace se silami = operace s vektory)

paprsek síly

28

3.1.3 Základní axiomy

• vycházejí z vektorového charakteru síly

• Axiom o rovnováze sil:

+ (-) = { Fx+(-Fx); Fy+(-Fy); Fz+(-Fz) }

= { 0; 0; 0 } =

-

Věta o posunu působiště síly po jejím paprsku:Účinek síly na tuhé těleso se nezmění, posune-ĺise její působiště po paprsku, v němž síla působí.

=

(tuhá tělesa ... síla je vektor vázaný na paprsek)

29

• Axiom o rovnoběžníku sil:

výslednice r dvou sil 1 a 2

r = 1 + 2

= { F1x+F2x; F1y+F2y}

(komutitativnost sčítání sil)

1

2

x

y

r

ϕ1

ϕ2ϕ

π−ϕ

z kosinové věty:

ϕ++=

ϕ−=ϕ−πϕ−π−+=

cos2

cos)cos(

)cos(2

2122

21r

2122

21r

FFFFF

FFFFF

sinová věta:

)sin(

sin

)sin(

sin

sin

sin

)sin(

sin

22

11

ϕϕ==

ϕ−πϕ

ϕϕ==

ϕ−πϕ

r

1

r

2

F

F

F

F

1

2

r

ϕ1

π−ϕ

ϕ2

30

3.1.4 Svazek sil

Soustava sil = seskupení sil působících na těleso {i} = {1, 2, 3, ..., n}Svazek sil = soustava sil, jejichž paprsky se protínají v jednom bodě

- prostorový- rovinný: všechny paprsky leží v jedné rovině

31

Úlohy:• výsledný účinek svazku sil: nahrazení svazku sil jedinou silou

se stejným účinkem- výslednicí

=

• úloha o rovnováze: zrušení účinku svazku sil {i} přidáním svazku {i}

•úloha o ekvivalenci: nahrazení účinku svazku sil {i} svazkem {i}

+ =

=

{i}

{i}

{i}

{i}

{i}

r

32

Př.1: Určete výsledný účinek svazku sil

r=1+2+3

Frx=F1x+F2x+F3x

Fry=F1y+F2y+F3y

Frz=F1z+F2z+F3z

Fix=|i| fix

Fiy=|i| fiy

Fiz=|i| fiz

i=1,2,3

1. Určit složky 2. Výslednice

3.1.5 Prostorový svazek sil

b x y z b x y z x y z vel fix fiy fiz Fix Fiy Fiz

A 3 3 3 B 0 3 0 -3 0 -3 4.243 -0.707 0 -0.707 -3.536 0 -3.536

C 0 3 3 A 3 3 3 3 0 0 3 1 0 0 10 0 0

A 3 3 3 O 0 0 0 -3 -3 -3 5.196 -0.577 -0.577 -0.577 -1.732 -1.732 -1.732

4.7324 -1.732 -5.268

vektor sílypoč kon jednot. vektorvektor

krychle o hraně 3mx

y

z

F3=3kN

O

A

B

C

F1=5kN

F2=10kN

2 2 2 7.290 kNr rx ry rzF F F F= + + =r

3. Velikost výslednice

33

x

y

z

A4.732 kN

5.2

68

kN

1.73

2kN

7.290 kNrF =r

34

Př.2: Uveďte svazek sil z př.1 do rovnováhy 3 silami 1, 2, 3

r+1+2+3=

x: Frx+R1x+R2x+R3x=0

y: Fry+R1y+R2y+R3y =0

z: Frz+R1z+R2z+R3z =0

Podmínky rovnováhy

x: Frx+R1f1x+R2f2x+R3f3x=0

y: Fry+R1f1y+R2f2y+R3f3y =0

z: Frz+R1f1z+R2f2z+R3f3z =0

i

b x y z b x y z x y z vel fix fiy fiz

1 E 3 0 0 A 3 3 3 0 3 3 4.243 0 0.707 0.707

2 D 0 0 3 A 3 3 3 3 3 0 4.243 0.707 0.707 0

3 B 0 3 0 A 3 3 3 3 0 3 4.243 0.707 0 0.707

poč kon jednot. vektorvektor

krychle o hraně 3mx

y

z

O

R3

R2

R1

B

E

D

A

Pozn.: Vyznačené orientace sil 1, 2, 3 předpokládáme.Protože skutečné orientace jsou neznámé, do výpočtu zavádíme R1, R2, R3 namísto velikostí |1|, |2|, |3|. Znaménka R1, R2, R3pak určí skutečnou orientaci.

35

x: 4.732 + 0 R1+ 0.707 R2+ 0.707 R3= 0

y: -1.732 + 0.707 R1+ 0.707 R2+0 R3 = 0

z: -5.268 + 0.707 R1+0 R2+ 0.707 R3= 0

R1 = 8.297 kNR2 = -5.847 kNR3 = -0.846 kN

|2|=5.847 kN

nebox

y

z

O

B

E

D

A

|1|=8.297 kN

|3|= 0.846 kN

R2=-5.847 kN

x

y

z

O

B

E

D

A

R1=8.297 kN

R3= -0.846 kN

36

Př.3: Nahraďte svazek sil z př.1 třemi silami 4, 5, 6 (ekvivalence)

r=4+5+6

x: Frx=R4x+R5x+R6x

y: Fry=R4y+R5y+R6y

z: Frz=R4z+R5z+R6z

Podmínky ekvivalence

x: Frx=R4f4x+R5f5x+R6f6x

y: Fry=R4f4y+R5f5y+R6f6y

z: Frz=R4f4z+R5f5z+R6f6z

i

b x y z b x y z x y z vel fix fiy fiz

4 A 3 3 3 G 3 3 0 0 0 -3 3 0 0 -1

5 D 0 0 3 A 3 3 3 3 3 0 4.243 0.707 0.707 0

6 B 0 3 0 A 3 3 3 3 0 3 4.243 0.707 0 0.707

poč kon jednot. vektorvektor

Pozn.: Vyznačené orientace sil 4, 5, 6 předpokládáme.Protože skutečné orientace jsou neznámé, do výpočtu zavádíme R4, R5, R6 namísto velikostí |4|, |5|, |6|. Znaménka R4, R5, R6pak určí skutečnou orientaci.

x

y

z

6

krychle o hraně 3m

5

4

A

B

D

G

37

x: 4.732 = 0 R4+ 0.707 R5+ 0.707 R6

y: -1.732 = 0 R4+ 0.707 R5+ 0 R6

z: -5.268 = -1 R4+0 R5+ 0.707 R6

R4 = 11.732 kNR5 = -2.450 kNR6 = 9.143 kN

nebo x

y

z

A

B

D

G

R4 = 11.732 kN

R5 = -2.450 kN

R6 = 9.143 kN

x

y

z

A

B

D

G

|4| = 11.732 kN

|5| = 2.450 kN

|6| = 9.143 kN

38

3.1.6 Rovinný svazek sil

Fi

αi

x

y

Př.4: Určete výsledný účinek svazku sil

Pozn.: fiy = cos β=sin α

βi

30024

21043

9042

4561

αFi

F2

x

y

FR

a) Grafické řešení

F1

F4

F3

x

y

39

i F α fix=cosα fiy=sinα Fix Fiy

1 6 45 0.707 0.707 4.243 4.243

2 4 90 0.000 1.000 0.000 4.000

3 4 210 -0.866 -0.500 -3.464 -2.000

4 2 300 0.500 -0.866 1.000 -1.732suma Frx= 1.779 4.511 =Fry

Fr2 = Frx

2 + Fry2 Fr= 4.848 kN

cos αr = Frx/ Fr = 1.779/4.848 = 0.367αr =68.5o

b) Početní řešení

4.848 kN

x

y

68.5ο

Výslednice svazku:

40

Př.5 Uveďte svazek z př.4 do rovnováhy pomocí dvou sil na daných paprscích a,b

x

y

30ο

110ο

Řešení:a) graficky, pomocí rovnoběžníka sil

bax

yFR

A

B-FR

41

b) Početně

x

y

30ο

110ο

ab

R1

R2

Předpoklad kladných směrů

r+1+2=

x: Frx+R1x+R2x=0

y: Fry+R1y+R2y=0

x: Frx + R1 cos30 + R2 cos110=0

y: Fry + R1 sin30 + R2 sin110=0

R1=-4.027 kNR2=-4.995 kN

Řešení

x

yFR

4.027

4.995