VYSOKA SKOLA BANSKA – TECHNICKA UNIVERZITA OSTRAVA
FAKULTA STAVEBNI
Stavebnı statika
Uvod, opakovanı, soustavy sil
Jirı Brozovsky
Kancelar: LP – H 406/3Telefon: 597 321 321
E-mail: [email protected]: http://fast10.vsb.cz/brozovsky
Stavebnı statika? (1)
2
Stavebnı statika? (2)
3
Doporucena literatura
1. on-line: prednasky doc. Martina Krejsy:
http://fast10.vsb.cz/krejsa/statika.htm
2. on-line: prıklady dr. Vladimıry Michalcove:
http://fast10.vsb.cz/michalcova
3. on-line: prıklady dr. Lenky Lausove:
http://fast10.vsb.cz/lausova
4. ucebnice: Jaroslav Kadlcak, Jirı Kytyr: Statika stavebnıch kon-
strukcı I., VUTIUM, 1998
4
Prubeh zkousky
• vstupnı test: kontrola zakladnıch znalostı (uspel/neuspel)
• pısemna cast: 3-5 prıkladu, pro uspesne absolvovanı je za
kazdy prıklad nutno zıskat nadpolovicnı pocet bodu
• ustnı cast: 3 otazky z teorie predmetu + diskuse o pısemne
casti
• bodovanı jako v ostatnıch predmetech (nutno zıskat nejmene
51 bodu, mozno zıskat maximalne 100 bodu)5
Napln predmetu
• Silove soustavy v rovine a prostoru (opakovanı).
• Vnitrnı sıly nosnıku, integralne–derivacnı vztahy.
• Prıme, lomene nosnıky, oblouky.
• Nosnıky s klouby.
• Prıhradove nosnıky.
• Prurezove charakteristiky.
• Pohyblive zatızenı, prıcinkove cary.
Varovanı: Znalosti uvedenych temat v rozsahu uciva strednı
skoly nestacı ani k zıskanı zapoctu, natoz pak k vykonanı
zkousky. Doporucuje se prubezne studium nove latky.
6
System souradnic v rovine X-Z
−z+x
+x+z
−z−x
z
x−x+z
Dale budeme tento system souradnic pouzıvat.
7
Opakovanı pojmu z matematiky
• Pythagorova veta.
• Goniometricke funkce.
• Prıklady pouzitı goniometrickych funkcı.
• Trojclenka.
8
Opakovanı: Pythagorova veta
Platı pouze pro pravouhle trojuhelnıky!
b c
a
c2 = a2 + b2
c =√
a2 + b2
a =√
c2 − b2
b =√
c2 − a2
a, b . . . odvesny,
c . . . prepona (naproti pravemu uhlu).
9
Opakovanı: Goniometricke funkce
Uvedene vztahy platı pouze pro pravouhle trojuhelnıky!
α
b c
a
• Sinus α: sin (α) = bc
• Kosinus α: cos (α) = ac
• Tangens α: tan (α) = ba
tanα = sin(α)cos(α)
a, b . . . odvesny, c . . . prepona (naproti pravemu uhlu).10
Aplikace opakovanı:Rozklad sıly na pravouhle slozky
Vyuzitı Pythagorovy vety a goniometrickych funkcı.
Fx
F
x
z
α
αFy
F =√
F 2x + F 2y
cos(α) =Fx
F⇒ Fx = F cos(α)
sin(α) =Fy
F⇒ Fy = F sin(α)
11
Aplikace opakovanı:Vypocet delky sikme usecky
Vyuzitı Pythagorovy vety a goniometrickych funkcı.
a
bL
b
a
z
α
xαL =
√
a2 + b2
cos(α) =a
L⇒ L =
a
cos(α)
sin(α) =b
L⇒ L =
b
sin(α)
12
Opakovanı: Trojclenka
b
x
a
e
a
b=
x
e⇒ x =
a
be
⇒ e =b
ax
Vyuzitı: napr. podobnost trojuhelnıku.13
Opakovanı: Fyzika – mechanika
• Zakladnı predpoklady
• Prımkova soustava sil
• Rovnobeznık sil
• Rovinny svazek sil
• Staticky moment sıly k bodu
• Dvojice sil v rovine
• Rovinna soustava rovnobeznych sil
• Obecna soustava sil v rovine
14
Fyzika – zakladnı predpoklady
• Zkoumame objekty z linearne pruzneho materialu (platı Ho-
okeuv zakon: vztah mezi zatızenım a deformacı je linearnı)
• Material vsech zkoumanych teles je izotropnı (ma ve vsech
smerech stejne vlastnosti)
• Predpokladame, ze deformace vyvolane zatızenım jsou male
(vliv deformacı na polohu sil muzeme zanedbat)
Tyto predpoklady umoznujı, ze muzeme ucinky ruznych zatı-
zenı (napr. sil) na konstrukci scıtat (velke zjednodusenı vypo-
ctu).
15
Prımkova soustava sil
F4 = 10 kN
F3 = 40 kN
F2 = 20 kN
F1 = 10 kN
R = 20 kN
• Vsechny sıly lezı v jedne prımce
• Na mıste pusobenı v ramci prımky
nezalezı
• Vyslednice (sıla, kterou lze sou-
stavu sil nahradit a ktera ma stejny
ucinek) :
R =n∑
i=1Fi
Prıklad: R =∑4i=1Fi = 10− 20 + 40− 10 = 20 kN
16
Prımkova soustava sil
• Stanovte smer a velikost vyslednic
• Urcete, zda nejaka ze soustav je v rovnovaze (R = 0)
63 3310
2010 10
20 5 10 5
a)
b)
c)
17
Rovnobeznık sil
F1
F2
R
φ
180 − φ
• Vypocet vyslednice dvou sil
• cıselne pomocı kosinove vety:
R =√
P 21 + F 22 + 2F1F2 cos(φ)
Napr. F1 = 10 kN, F2 = 11 kN, φ = 20o:
R =√
102 + 112 + 2 10 11 cos(200) = 20,68kN
18
Rozklad sıly na pravouhle slozky
Zvlastnı (jednodussı, tedy uzitecnejsı) prıpad rovnobeznıku sil
Fx
F
x
z
α
αFy
F =√
F 2x + F 2y
cos(α) =Fx
F⇒ Fx = F cos(α)
sin(α) =Fy
F⇒ Fy = F sin(α)
Silovy pravouhelnık je zde obdelnık.
19
Rovinny svazek sil
x
z
α R
• Skupina sil se spolecnym pusobis-
tem
• Vyslednici hledame ve trech krocıch:
1. rozklad vsech sil na slozky ve smeru
os X a Y
2. suma slozek v jednotlivych smerech:
Rx =∑ni=1Fx,i, Rz =
∑ni=1Fy,i
3. Urcıme vyslednici a jejı uhel od osy z:
R =√
R2x +R2z, cos(α) = RzR
20
Rovinny svazek sil – prıklad (1)
Stanovte smer a velikost vyslednice svazku sil:
F 1 = 10 kN, F 2 = 12 kN .
x
z
F1
F2
30
215
o
o
21
Rovinny svazek sil – prıklad (2)
Rozklad sıly F1:
F 1x = F 1× sin 30o = 10× 0, 5 = 5 kN (→)
F 1z = F 1× cos 30o = 10× 0, 866 = 8.66 kN (↓)
x
z
F1
F2
30
215
o
o
x
z
F1x
F1zF1
22
Rovinny svazek sil – prıklad (3)
Rozklad sıly F2:
F 2x = −(F 2× cos 55o) = −(20× 0, 574) = −6, 89 kN (←)
F 2z = −(F 2× sin 55o) = −(12× 0, 819) = −9, 83 kN (↑)
215o
x
z
x
z
F1
F2
30 o
F2
F2x
F2z215o
o55
23
Rovinny svazek sil – prıklad (4)
Vyslednice Fx sil ve smeru osy x:
n∑
i=1Fi,x = F 1x + F 2x = 5, 0− 6, 89 = −1, 89 kN (←)
x
z
F1x
F1zF1
x
z
F2
F2x
F2z215o
o55
24
Rovinny svazek sil – prıklad (5)
Vyslednice Fx sil ve smeru osy z:
n∑
i=1Fi,z = F 1z + F 2z = 8, 66− 9, 83 = −0, 17 kN (↑)
x
z
F1x
F1zF1
x
z
F2
F2x
F2z215o
o55
25
Rovinny svazek sil – prıklad (6)
Vyslednice F :
F =√
Fx2 + Fz2 =√
(−1, 89)2 + (0, 17)2 = 1, 90 kN (↖)
F2
xF
z
FzβFx
F1
cosβ =Fz
F=0, 17
1, 90⇒ β = −5, 13o
26
Staticky moment sıly k bodu (1)
90o
rameno síla
bod
s
pP
paprsek síly
+
• Stanovıme: |M | = |P | |p|
• Jednotka: [N m]
• Moment se nemenı, pokud se sıla
libovolne posunuje po svem pa-
prsku.
• Moment je kladny, otacı-li proti
smeru hodinovych rucicek.
27
Staticky moment sıly k bodu (2)
90 o
s
P = 20 000 N
+
p = 0,6 mVypocet velikosti momentu:
M = P × p
M = 20000× 0, 6 = 12 000N m
28
Staticky moment sıly k bodu (3)
Stanovte vysledny moment sil k bodu s (uhly jsou ve stupnıch):
20 kN
6 3
12
zs
90
72
60
45
6 kN
4 kN
12 kN
29
Dvojice sil
P
P
P
P
Pp
p
p
P
• Stanovıme: |M | = |P | |p|
• Jednotka: [N m]
• Otacenım dvojice sil se moment nemenı.
• Vyslednice vıce dvojic sil je jejich algebraic-
kym souctem.
• Moment dvojice sil je stejny ke vsem bodum
telesa.
30
Dvojice sil
Stanovte vysledny moment dvojic sil na obrazku.
30
30
10
20
20
10
12
10
3 4
31
Varignonova momentova veta
Md = Rd pd =n∑
i=1Pi pi +
m∑
j=1Mj,
kde Mj je moment j-te dvojice sil a Pi pi staticky moment i-te
sıly k momentovemu stredu d.
32
Rovinna soustava rovnobeznychsil
pi
S
d
R
Pi
• Vyslednice:
R =n∑
i=1Pi
• Vysledny staticky moment (k bodu S):
Mr = −R d = −n∑
i=1Pi pi
• Poloha vyslednice (k bodu S):
d =−Mr
R
33
Stanovte polohu a velikostvyslednice
210 20 25 30 8
1614128
M =∑
Fi×ri = 2×10−8×20+12×25+14×30−16×8 = 708 kNm
R =∑
Fi10−20+25+30−8 = 37 kN (↑), r =M
R=708
37= 19, 14m
34
Podmınky rovnovahyobecne rovinne soustavy sil
Vzdy 3, obvykle ve slozenı:
Rx =n∑
i=1Pi,x = 0
Rz =n∑
i=1Pi,z = 0
Ms =n∑
i=1(Pi,x pi,x + Pi,z pi,z) +
m∑
j=1Mj = 0
35
Vysledny ucinek rovinne soustavysil (1)
P2z
P2x
P2
z
x
P1
P1z P2z
P2x
P1x
P1z
P1x
a. Rozlozıme vsechny sıly
Pi na slozky Pi,x a Pi,z.
b. Posuneme pusobiste
vsech Pi,x do osy z
c. Posuneme pusobiste
vsech Pi,z do osy x
36
Vysledny ucinek rovinne soustavysil (2)
P1x
P2z
P1
P2
x
z
P2x
PPz
Px
α
c1
c2
d1 d2
P1z
d. Stanovıme vyslednice
sil ve smerech x a z:
Px =n∑
i=1Pi,x
Pz =n∑
i=1Pi,z
e. Stanovıme velikost a
smer vyslednice:
P =√
P 2x + P 2y , sin(α) =Px
P
37
Vysledny ucinek rovinne soustavysil (3)
P2z
P1
P2
z
x
P1x
Μc1d1
P1z
d2
c2
P2x
f. Stanovıme moment
soustavy sil k pocatku:
M =n∑
i=1Pi,x ci+
n∑
i=1Pi,z di
38
Vysledny ucinek rovinne soustavysil (4)
Varianty vyjadrenı
Rz
Rx
M
M
R
R
d
1.
2.
3.
α
α
Zo
1. Rx, Rz, M – slozky vyslednice v pocatku a
moment k libovolnemu bodu v rovine
2. R, (α), M – vyslednice v pocatku (a jejı smer)
a moment k libovolnemu bodu v rovine
3. R, (α), d – posunuta vyslednice (a smer) a jejı
rameno
39
Soustava sil – prıklad (1)
Stanovte vyslednici a vysledny moment rovinne soustavy sil.
12 kN
12
75
4
10 kNο50
ο30
0,0
z
x
40
Soustava sil – prıklad (2)
50
ο30
0,0
75
4
ο
P1z
P2z
P1x
P2x12
P1 = 10 kN
P2 = 12 kN
z
x
P1,x = 10 sin(30o) = 5,0kN(→)
P1,z = 10 cos(30o) = 8,660kN(↓)
P2,x = −12 cos(50o) =
= −7,714kN(←)
P2,z = 12 sin(50o) = 9,193kN(↓)
Znamenka jednotlivym slozkam prirazujeme podle jejich smyslu
(kladna sıla jde ve smeru kladne souradnicove osy)!
41
Soustava sil – prıklad (3)
P1z = 8,660P1x = 5,0
P1 = 10 kN
12
P2x = −7,714
P2z = 9,193
4
7
P2 = 12 kN
50,0
z
x
Px =2∑
i=1Pi,x = 5,0− 7,714 = −2,714kN(←)
Pz =2∑
i=1Pi,x = 8,660 + 9,193 = 17,853kN(↓)
P =√
P 2x + P 2z
P =√
(−2,714)2 + (17,953)2 = 18,058kNMoment k bodu [0,0]:
M =2∑
i=1Pi,x dx +
2∑
i=1Pi,z dz
M = 5,0×4−7,714×7 = −8,660×5−9,193×12 = −196,226kNm
42
Soustava sil – prıklad (4)
Vysledny ucinek:
z
0,0
Pz = 17,853
Px = −2,714
P = 18,058
α
Μ = −196,226
xtan(α) =
Px
Pz=2,714
18,057= 0,150
α = arctan(Px
Pz) = 0.150 = 8,53o
Pozn: Kladny moment otacı proti smeru hodinovych rucicek
(zde vysel zaporny – viz vypocet M).
43
