Téma 1 - vsb.czfast10.vsb.cz/kolos/file/SSKI_Kombi/SSKI_tema1_Kombi.pdfPříklad 1.3 Deformace...

Katedra stavební mechaniky

Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

Statika stavebních konstrukcí I

Téma 1Deformace staticky

určitých prutových

konstrukcí

2

Osnova přednášky

Osnova přednášky

Pojem deformace

Princip virtuálních prací

Deformace nosníku v osové úloze

Deformace přímého nosníku v příčné úloze (v rovině xz)

Deformace přímého nosníku v krutové úloze

Deformace rovinně lomeného nosníku v rovinné úloze

Deformace rovinně zakřiveného nosníku v rovinné úloze

Deformace rovinného kloubového příhradového nosníku

3

Deformace (přetvoření)

Pojem deformace

Označení a kladné smysly posunů a pootočení těžiště průřezuObr. 2.1. / str. 24

Deformace (přetvoření):

a) Celková podoba deformované konstrukce

b) Některá lokální složka deformace v určitém místě konstrukce

(posun, pootočení)

4


Proč se zabýváme deformacemi?

1. Použitelnost konstrukce

2. Řešení staticky neurčitých konstrukcí

3. Ověřování správnosti měření výpočtem

Předpoklady výpočtu:

Fyzikální linearita (platí Hookův zákon)

Geometrická linearita (teorie malých deformací)

Důsledek:

Podmínky rovnováhy se sestavují na nedeformované

konstrukci – teorie 1. řádu

Platí princip superpozice a princip úměrnosti

Pojem deformace

5


Nelineární mechanika:

Teorie 2. řádu – podmínky rovnováhy se sestavují na

deformované konstrukci (deformace malé)

Fyzikální nelinearita (nelineárně pružné nebo trvalé

deformace)

Teorie velkých deformací

Konstrukce s jednostrannými vazbami

Nosná lana a lanové konstrukce

Pojem deformace

6

Práce vnějších sil a momentů


Práce bodové síly a bodového momentuObr. 2.2. / str. 26

cos ce PPLPráce (externí) bodové síly:

Práce - skalár, vyjadřuje se v joulech (J = N.m), kJ, MJ

Práce bodového momentu:

Poznámka:

Předpokladem je, že (j) bylo

vyvoláno jinou příčinou než P (M).

Práce je kladná, shoduje-li se smysl

vektoru síly a posunu

momentu a potočení j

j.MLe

7

Práce spojitého silového a momentového zatížení


Práce silového liniového zatíženíObr. 2.3. / str. 26

( ) ( ) b

a

e xxwxqL d ( ) ( ) b

a

xe xxxmL dj

Předpoklad – velikost zatížení se během posunu nemění.

Práce vnějších sil a momentů:

8

Virtuální práce


K pojmu virtuální práceObr. 2.4. / str. 27

Deformační virtuální práce

Silová virtuální práce

o Reálný zatěžovací stav

o Virtuální zatěžovací stav - deformační virtuální stav

- silový virtuální stav

ce wPL

Deformační virtuální práce vypracovaná

Lagrangem ke studiu rovnováhy konstrukcí.

ce wPL

9

Práce vnitřních sil


Práce vnitřních sil prutuObr. 2.6. / str. 28

l

x

l

y

l

z

l

zz

l

yy

l

i TvVwVMMuNL jjj dˆdˆdddd

Kladné smysly vnitřních sil

Práce vnitřních (interních) sil:

Vnitřní síly brání vzniku deformace, mají opačné smysly než na obr. 2.6.,

proto záporné znaménko při výpočtu Li.

Prostorově namáhaný přímý prut:

N, My, Mz, Vz, Vy, T Souřadnicová

soustava prutuObr. 2.5. / str. 28

10



Celková virtuální práce na vyšetřované konstrukci

(tj. součet virtuálních prací vnějších i vnitřních sil)

je roven nule.

A) Deformační princip virtuálních prací (princip virtuálních posunů)

B) Silový princip virtuálních prací (princip virtuálních sil)

Virtuální vnitřní síly

Reálné vnitřní síly, způsobují deformace

xEA

Nu dd

xGA

Vw

z

z dˆd*

xEI

M

y

y

y dd j

xGA

Vv

y

ydˆd

*

xEI

M

z

zz dd j

xGI

T

t

x dd j

TVVMMN yzzy ,,,,,

0 ie LL

11

Deformační zatížení, způsobené oteplením


Rovnoměrné oteplení a rozklad lineárně proměnného oteplení po výšce průřezuObr. 2.7. / str. 29

Silový princip virtuálních prací:

l

tztyt

l

ty

yy

z

zz

z

zz

y

yy

e xb

tM

h

tMtNx

GI

TT

GA

VV

GA

VV

EI

MM

EI

MM

EA

NNL

0

210

0

**dd

xtu

h

etttt

t

zhdh

dd

)(

0

0

h

xt

ttt

ty

hd

dd 1

1

j

12

Bettiho věta o vzájemnosti virtuálních prací (1872)


K odvození Bettiho větyObr. 2.8. / str. 30

Enrico Betti

(1823 - 1892)

Virtuální práce vnějších sil

I. stavu na odpovídajících

deformacích II. stavu je rovna

virtuální práci vnějších sil

II. stavu na odpovídajících

deformacích I. stavu.

l

y

yyx

EI

MMPP

0

II,I,

2211 d

l

y

yyx

EI

MMMP

0

I,II,

4433 d

44332211 MPPP

13

Maxwellova věta o vzájemnosti posunů

Zvláštní případ Bettiho věty, kdy v každém z obou zatěžovacích

stavů působí na konstrukci jediná síla P nebo jediný moment M.


K odvození Maxwellovy větyObr. 2.9. / str. 31

James Clerk

Maxwell

(1831 - 1879)

Posun způsobený první silou v místě a ve směru druhé

síly je roven posunu způsobeném druhou silou v místě

a ve směru první síly.

IIIIII PP PPP III III

Zvláštní případ Bettiho věty, kdy v každém z obou zatěžovacích

stavů působí na konstrukci jediná síla P nebo jediný moment M.

14

Metoda jednotkových sil


Metoda jednotkových silObr. 2.10. / str. 32

1eL

l

ty

yy

z

zz

z

zz

y

yyx

GI

TT

GA

VV

GA

VV

EI

MM

EI

MM

EA

NN

0

**d

l

tztyt xb

tM

h

tMtN

0

210 d

Silové zatížení

Oteplení

15



Deformace nosníku v osové úlozeObr. 2.11. / str. 33

EA

AxNN

EAx

A

NN

Eu N

ll

e

00

d1

d1

Nt

l

te AtxNtu 0

0

0 d

Silové zatížení

Oteplení

stálý průřez

16

Příklad 1.1

( ) xxN

RR axax

4,813

kN13085,24,8


Zadání a řešení příkladu 1.1Obr. 2.12. / str. 34

A = 64 mm2

E = 2,1.108 kPa, t = 1,2.10-5 K-1

Určete pro silový zatěžovací stav

i pro rovnoměrné ochlazení

vodorovný posun uc bodu c.

Silový zatěžovací stav:

m000685,0104,6101,2

2,9

d

58

0

c

lN

c

u

EA

Ax

EA

NNu

17

Příklad 1.1



m00048,02)20(10.2,1

dd

5

0

0

0

0

0

c

Nt

l

t

l

tc

u

AtxNtxtNu

Posun způsobený ochlazením:

18

Příklad 1.2



Beton

r = 2400 kg.m-3

E = 2.107 kPa

Určete svislý posun

horního konce sloupu

wb od vlastní tíhy.

19

Příklad 1.2



4

0

2

4

0

4

0

d2,08,0

4,22,191

d1

d

zz

zz

Ew

zA

N

Ez

EA

NNw

b

b

( )

( )24,22,19)(

28,42,192,19)(

zzzN

zzzN

zz

zA 2,08,0)4

8,08,0(1)(

33 kNm24Nm240010

zzn

zAzn

8,42,19)(

24).2,08,0()(

20

Příklad 1.2

m1075,7102

9756,154

4,010

4

10

6

7

E

Zw

n

lzz

n

b

i


Řešení s využitím

obdélníkové metody

(numerická integrace)

i zi Ni /Ai

m kNm-2

1 0,2 1,874286

2 0,6 5,384348

3 1,0 8,64

4 1,4 11,69778

5 1,8 14,59862

6 2,2 17,3729

7 2,6 20,04364

8 3,0 22,62857

9 3,4 25,14162

10 3,8 27,59385

S Ni /Ai 154,9756

E

Zz

z

zz

Ew

zA

N

Ez

EA

NNw

i

n

i i

iib

b

1

2

4

0

4

0

2,08,0

4,22,191

d1

d

21

Deformace přímého nosníku v příčné úloze

Deformace přímého nosníku v příčné úloze (ve svislé hlavní rovině xz)

Druhy přímých nosníků v příčné úlozeObr. 2.14. / str. 36

llll

xVVGA

xMMEI

xA

VV

Gx

I

MM

E 0*

00*

0

d1

d1

d1

d1

l

t xM

t0

1 dh

Silové zatížení

Oteplení

stálý průřez

22

Vereščaginovo pravidlo


Vereščaginovo pravidloObr. 2.15. / str. 37

TM

l

MAxMM 0

dPomůcka pro výpočet integrálu

Integrál ze součinu dvou

momentových funkcí, z nichž první

M je hladká a spojitá a druhá M

je lineární, je roven součinu plochy

AM prvního momentového obrazce

a pořadnice MT druhého

momentové obrazce v místě

těžiště TM prvního momentového

obrazce.

23

Vereščaginovo pravidlo


Parabolické části momentových obrazců při použití Vereščaginova pravidlaObr. 2.16. / str. 38

24

Příklad 1.3



Železobetonová konzola

E = 2,2.107 kPa

S využitím

Vereščaginova pravidla

určete svislý průhyb wa

bodu a.

Možno zanedbat práci

posouvajících sil.

25

Příklad 1.3



3

2

1

3

3

2

1

2

3

1

0

1

3

321

2

0

23

37

3

kNm667,21)667,1(13

d

kNm15)5,1(10

d

kNm5,2)75,0(333,3

d

m005407,01024416,7

667,21155,2

)(1

d

kNm1024416,7

12

28,018,0102,2

12

33

22

11

TM

TM

TM

a

MAxMMS

MAxMMS

MAxMMS

SSSEI

xEI

MMw

bhEEI

26

Tabulka 2.2


Vzorce pro výpočet integrálů l

xMM0

d

str. 41

27

Příklad 1.4



Určete svislý průhyb wc bodu c a pootočení ja bodu a.

Dřevo

E = 107 kPa

28

Tabulka 2.3


Lokální deformace konzoly a prostého nosníku stálého průřezu str. 42

29

Příklad 1.5



M

t

l

t Ah

txM

h

t 1

0

1 d

• h = 0,24 m

• ocel t = 1,2.10-5 K-1

Určete průhyb wc a ws při lineárním oteplení po výšce průřezu h.

30

Příklad 1.5



mm2,7m0072,0)9(24,0

16102,1 5

1

cM

tc A

h

tw

mm9,4m0049,0125,624,0

16102,1 5

1

sM

ts wA

h

tw

s

92

29

cMA

125,62

75,17

sMA

31



Deformace nosníku v krutové úlozeObr. 2.22. / str. 45

t

Tl

t

l

t

cGI

AxTT

GIx

GI

TT

00

d1

dKrutové pootočení

Silový virtuální stavstálý průřez

32

Příklad 1.6



Určete krutové pootočení b

pravého konce b konzoly.

Ocel G = 8,1.107 kPa

o

2

00

277

4544

4

1

4

2

20,2rad0384,0847,60

336,2

kNm336,2

6,072,02

11)52,172,2(

2

1

d1

d

kNm847,6010512,7101,8

mm10512,7)2430(2

)(2

b

T

t

Tl

t

l

t

t

pt

A

GI

AxTT

GIx

GI

TT

GI

rrII

33



m

j

l

j

j

l

j

j

l

j

j

jjj

xA

VV

Gx

I

MM

Ex

A

NN

E1 0

*

00

d1

d1

d1

m

j

l

j

j

m

j

l

j

j

jj

xMMIE

xI

MM

E 1 01 0

d11

d1

U staticky určitých případů se zanedbává práce

posouvajících a normálových sil.

Oteplení

m

j

l

j

j

j

l

jjt

jj

xh

MtxNt

1 0

,1

0

,0 dd

stálý průřez

34

Příklad 1.7



Ocel

I1 = 16.10-5 m4

I2 = 3,8.10-5 m4

I3 = 9,2.10-5 m4

E = 2,1.108 kPa

Určete deformace ud, wd, a d.

22

ddd uw

d

d

w

utan

35Deformace rovinně zakřiveného nosníku v rovinné úloze

Tvar a podepření rovinného zakřiveného nosníku v rovinné úlozeObr. 2.25. / str. 48

• Rozpětí l

• Vzepětí f

• Poměrné vzepětí l

fΦ

Vzepětí f a poměrná vzepětí F rovinných zakřivených nosníkůObr. 2.26. / str. 49


36



Silové zatížení L jLL

sGA

VVs

EI

MMs

EA

NNddd

*

Teplotní zatížení L

t

L

t sh

MtsNt dd 10

cos

dd

xs Řešení po úpravě:

Silové zatížení b

a

b

a

b

a

x

x

x

x

x

x

xA

VV

Gx

I

MM

Ex

A

NN

Ed

cos

1d

cos

1d

cos

1*

Teplotní zatížení b

a

b

a

x

x

t

x

x

t xh

Mtx

Nt d

cosd

cos10

37


Výpočet přetvoření

• Numerická integrace

• Simpsonovo pravidlo

• Obdélníková metoda

( ) ( ) 3

...2...4d)( 2421310

0

dffffffffxxf nnn

l

n

i

i

i

iin

i

i

i

ii

n

i

i

ii

iin

i

i

ii

ii

x

x

x

x

sI

MM

Es

A

NN

E

xI

MM

Ex

A

NN

Ex

I

MM

Ex

A

NN

E

b

a

b

a

11

11

11

cos

1

cos

1d

cos

1d

cos

1


38

Příklad 1.8



( ) 2.xkxz 22

b

b

a

a

x

z

x

zk

Parabolická střednice:

xkxkx

z

2

d

dtg 2

2tg1

1cos

2tg1

tgsin

Určete vodorovný posun ub

bodu b.

EI = 6,72.104 kNm2

39

Příklad 1.8



ix

[m] tg ψ cos ψM

[kNm]

l

[m]

M ∙ cos ψ-1

[kNm2]

0 -5,00 -0,8 0,78087 0,0000 0,000 0,000

1 -3,75 -0,6 0,85749 28,4375 0,875 29,018

2 -2,50 -0,4 0,92848 47,5000 1,500 76,739

3 -1,25 -0,2 0,98058 57,1875 1,875 109,350

4 0,00 0,0 1,00000 57,5000 2,000 115,000

5 1,25 0,2 0,98058 43,1250 1,875 82,461

6 2,50 0,4 0,92848 28,7500 1,500 46,447

7 3,75 0,6 0,85749 14,3750 1,875 14,668

8 5,00 0,8 0,78087 0,0000 0,000 0,000

40



p

j j

jjjp

j

l

j

j

jjp

j

l

j

j

jj

A

lNN

Ex

A

NN

Ex

EA

NN jj

11 01 0

1d

1d

Oteplení

Virtuální práce pouze normálových sil

p

j

jjt

p

j

l

jjt

p

j

l

jjt ltNxtNxtN

jj

1

,0

1 0

,0

1 0

,0 dd

Silové zatížení

41

Příklad 1.9



Určete svislý posun wc.

A1 = 24∙10-4 m4

A2 = 12∙10-4 m4

A3 = 18∙10-4 m4

A4 = 18∙10-4 m4

A5 = 12∙10-4 m4

A6 = 12∙10-4 m4

A7 = 18∙10-4 m4

l2 = l3 = l6 = 2,236 m

42

Příklad 1.9, tabulkový výpočet

mm62,5m1062,5101,2

10192,11801 3

8

37

1

j j

jjj

cA

lNN

Ew

j Aj [m2] lj [m] Nj [kN] Nj [1] (Nj Nj lj /Aj )∙10-3 [kN/m]

1 0,0024 2,000 -90,000 -1,000 75,000

2 0,0012 2,236 134,164 2,236 559,017

3 0,0018 2,236 -67,082 0,000 0,000

4 0,0018 2,000 -60,000 -2,000 133,333

5 0,0012 1,000 0,000 0,000 0,000

6 0,0012 2,236 67,082 2,236 279,508

7 0,0018 2,000 -60,000 -2,000 133,333

1180,192


43

Použitá literatura

[1] Benda Jiří, Stavební statika II, VŠB-TU Ostrava 2005

Date post:	17-Sep-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	0 times
Download:	0 times

Téma 1 - vsb.czfast10.vsb.cz/kolos/file/SSKI_Kombi/SSKI_tema1_Kombi.pdfPříklad 1.3 Deformace...

Documents