Téma 2 - vsb.czfast10.vsb.cz/kolos/file/SSKIprednasky/tema02.pdf · 2010. 5. 6. · Příklad 2.3...

Katedra stavební mechaniky

Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

Statika stavebních konstrukcí I., 2.ročník bakalářského studia

Téma 2Deformace staticky

určitých prutových

konstrukcí

2 / 61

Osnova přednášky

Osnova přednášky

• Pojem deformace

• Princip virtuálních prací

• Deformace nosníku v osové úloze

• Deformace přímého nosníku v příčné úloze

(ve svislé hlavní rovině xz)

• Deformace přímého nosníku v krutové úloze

• Deformace rovinně lomeného nosníku v rovinné úloze

• Deformace rovinně zakřiveného nosníku v rovinné úloze

• Deformace rovinného kloubového příhradového nosníku

3 / 61

Deformace (přetvoření)

Pojem deformace

Označení a kladné smysly posunů a pootočení těžiště průřezuObr. 2.1. / str. 24

Deformace (přetvoření):

a) Celková podoba deformované konstrukce

b) Některá lokální sloţka deformace v určitém místě konstrukce

(posun, pootočení)

4 / 61


Proč se zabýváme deformacemi?

1. Použitelnost konstrukce

2. Řešení staticky neurčitých konstrukcí

3. Ověřování správnosti výpočtu měřením

Předpoklady výpočtu:

Fyzikální linearita (platí Hookův zákon)

Geometrická linearita (teorie malých deformací

Důsledek:

Podmínky rovnováhy se sestavují na nedeformované konstrukci –

teorie 1. řádu

Platí princip superpozice a princip úměrnosti

Pojem deformace

5 / 61


Nelineární mechanika:

Teorie 2. řádu – podmínky rovnováhy se sestavují na deformované

konstrukci (deformace malé)

Fyzikální nelinearita (nelineárně pružné nebo trvalé deformace)

Teorie velkých deformací

Konstrukce s jednostrannými vazbami

Nosná lana a lanové konstrukce

Pojem deformace

6 / 61

Práce vnějších sil a momentů

Princip virtuálních prací

Práce bodové síly a bodového momentuObr. 2.2. / str. 26

cos ce PPLPráce (externí) bodové síly:

Práce - skalár, vyjadřuje se v joulech (J = N.m), kJ, MJ

.MLe Práce bodového momentu:

Poznámka:

Předpokladem je, ţe () bylo

vyvoláno jinou příčinou neţ P (M).

Práce je kladná, shodují-li se smysl

vektoru síly a posunu ,

momentu a potočení .

7 / 61

Práce spojitého silového a momentového zatíţení


Práce silového liniového zatíženíObr. 2.3. / str. 26

( ) ( )

b

a

e xxwxqL d ( ) ( )

b

a

xe xxxmL d

Předpoklad – velikost zatíţení se během posunu nemění.

Práce vnějších sil a momentů:

8 / 61

Virtuální práce


K pojmu virtuální práceObr. 2.4. / str. 27

a) Deformační virtuální práce

b) Silová virtuální práce

1) Reálný zatěţovací stav

2) Virtuální zatěţovací stav:

2a) Deformační virtuální stav

2b) Silový virtuální stav

ce

ce

wPL

wPL

Deformační virtuální práce vypracovaná Lagrangem

ke studiu rovnováhy konstrukcí.

9 / 61

Práce vnitřních sil


Souřadnicová soustava prutuObr. 2.5. / str. 28

Prostorově namáhaný přímý prut: N, My, Mz, Vz, Vy, T

10 / 61

Práce vnitřních sil


Práce vnitřních sil prutuObr. 2.6. / str. 28

l

x

l

y

l

z

l

zz

l

yy

l

i TvVwVMMuNL dˆdˆdddd

Kladné smysly vnitřních sil

Práce vnitřních (interních) sil:

Vnitřní síly brání vzniku deformace, mají opačné smysly neţ na obr. 2.6.,

proto záporné znaménko při výpočtu Li.

11 / 61



0 ie LL

Axiom:

Celková virtuální práce na vyšetřované konstrukci (tj. součet

virtuálních prací vnějších i vnitřních sil) je roven nule.

A) Deformační princip virtuálních prací (princip virtuálních posunů)

B) Silový princip virtuálních prací (princip virtuálních sil)

Virtuální vnitřní síly

Reálné vnitřní síly, způsobují deformace

xEA

Nu dd

xGA

Vw

z

z dˆd*

xEI

M

y

y

y dd

xGA

Vv

y

ydˆd

*

xEI

M

z

zz dd

xGI

T

t

x dd

TVVMMN yzzy ,,,,,

12 / 61

Deformační zatíţení, způsobené oteplením


Rovnoměrné oteplení a rozklad lineárně proměnného oteplení po výšce průřezuObr. 2.7. / str. 29

Silový princip virtuálních prací:

l

tztyt

l

ty

yy

z

zz

z

zz

y

yy

e xb

tM

h

tMtNx

GI

TT

GA

VV

GA

VV

EI

MM

EI

MM

EA

NNL

0

210

0

**dd

dxtdu

h

etttt

t

zhdh

0

0 )(

h

dxtd

ttt

ty

hd

1

1

13 / 61

Bettiho věta o vzájemnosti virtuálních prací (1872)


K odvození Bettiho větyObr. 2.8. / str. 30

Enrico Betti

(1823 - 1892)

Virtuální práce vnějších sil

I. stavu na odpovídajících

deformacích II. stavu je rovna

virtuální práci vnějších sil

II. stavu na odpovídajících

deformacích I. stavu.

l

y

yyx

EI

MMPP

0

II,I,

2211 d

l

y

yyx

EI

MMMP

0

I,II,

4433 d

44332211 MPPP

14 / 61

Maxwellova věta o vzájemnosti posunů

Zvláštní případ Bettiho věty, kdy v každém z obou zatěžovacích

stavů působí na konstrukci jediná síla P nebo jediný moment M.


K odvození Maxwellovy větyObr. 2.9. / str. 31

James Clerk

Maxwell

(1831 - 1879)

Posun způsobený první silou v místě a ve směru druhé síly je roven

posunu způsobeném druhou silou v místě a ve směru první síly.

IIIIII PP PPP III III

Zvláštní případ Bettiho věty, kdy v každém z obou zatěžovacích

stavů působí na konstrukci jediná síla P nebo jediný moment M.

15 / 61

Metoda jednotkových sil


Metoda jednotkových silObr. 2.10. / str. 32

.1eL

l

ty

yy

z

zz

z

zz

y

yyx

GI

TT

GA

VV

GA

VV

EI

MM

EI

MM

EA

NN

0

**d

l

tztyt xb

tM

h

tMtN

0

210 d

Silové zatíţení

Oteplení

16 / 61

Deformace nosníku v osové úloze


Deformace nosníku v osové úlozeObr. 2.11. / str. 33

l

e xA

NN

Eu

0

d1

Nt

l

te AtxNtu 0

0

0 d

Silové zatíţení

Oteplení

EA

AxNN

EAu N

l

e

0

d1

Stálý průřez

Proměnný průřez

Simpsonovo pravidlo( ) ( )

324d 42310

0

dfffffxxf

l

17 / 61

Příklad 2.1

xN

R

R

ax

ax

.4,813

kN13

085,2.4,8


Zadání a řešení příkladu 2.1Obr. 2.12. / str. 34

A = 64 mm2,

E = 2,1.108 kPa, t = 1,2.10-5K-1

Nutno určit pro silový zatěţovací stav

i rovnoměrné ochlazení vodorovný

posun uc

Silový zatěţovací stav:

m000685,010.4,6.10.1,2

2,9

d

58

0

l

Nc

EA

Ax

EA

NNu

18 / 61

Příklad 2.1



mm48,0m00048,02).20.(10.2,1

dd

5

0

0

0

0

0

c

Nt

l

t

l

tc

u

AtxNtxtNu

Posun způsobený ochlazením:

19 / 61

Příklad 2.2



Beton

r = 2400 kg.m-3

E = 2.107 kPa

Nutno určit svislý

posun horního konce

sloupu wb od vlastní

tíhy.

20 / 61

Příklad 2.2



E

Zz

z

zz

E

zA

N

Ez

EA

NNw

i

ni

i i

ii

b

1

2

4

0

4

0

.2,08,0

.4,2.2,191

d1

d

2.4,2.2,19

2)..8,42,192,19()(

zz

zzzN

zz

zA .2,08,0)4

.8,08,0.(1)(

33kNm24Nm240002400.10

z

zAzn

.8,42,19

24)..2,08,0()(

21 / 61

Příklad 2.2

Řešení s využitím 1) Simpsonova pravidla

1

4

0

kNm895,1543

)7240.2)571,56600,21.(40(d

z

A

N


i z A N N/A

m m2 kN kNm-2

0 0 0,8 0 0,.0000

1 1 1 -21,6 -21,.6000

2 2 1,2 -48 -40,0000

3 3 1,4 -79,2 -56,5714

4 4 1,6 -115,2 -72,0000

3)2)(4(d)( 4231

4

0

0

dfffffxxf 1

4

4d

mm007745,0m10.745,710.2

895,154 6

7

bw

22 / 61

Příklad 2.2

Řešení s využitím

m10.749,710.2

9756,154

4,010

4

10

6

7

E

Zw

n

lzz

n

b

i


2) Obdélníkové metody

(numerická integrace)

i zi Ni /Ai

m kNm-2

1 0,2 1,874286

2 0,6 5,384348

3 1,0 8,64

4 1,4 11,69778

5 1,8 14,59862

6 2,2 17,3729

7 2,6 20,04364

8 3,0 22,62857

9 3,4 25,14162

10 3,8 27,59385

S Ni /Ai 154,9756

23 / 61

Nosník v osové úloze - sloup

Ukázka konstrukce s nosníkem v osové úloze

Odstupňovaný průřez sloupu konstrukce výškové budovy, Chicago, USA

24 / 61

Deformace přímého nosníku v příčné úloze

Deformace přímého nosníku v příčné úloze (ve svislé hlavní rovině xz)

Druhy přímých nosníků v příčné úlozeObr. 2.14. / str. 36

ll

xA

VV

Gx

I

MM

E0

*

0

d1

d1

l

t xM

t0

1 dh

Silové zatíţení

Oteplení

ll

xVVGA

xMMEI

0

*

0

d1

d1

Stálý průřez

25 / 61

Vereščaginovo pravidlo


Vereščaginovo pravidloObr. 2.15. / str. 37

TM

l

MAxMM .d0

Pomůcka pro výpočet integrálu

26 / 61

Vereščaginovo pravidlo


Parabolické části momentových obrazců při použití Vereščaginova pravidlaObr. 2.16. / str. 38

27 / 61

Příklad 2.3



Ţelezobetonová konzola

E = 2,2.107 kPa

S vyuţitím Vereščaginova

pravidla určete svislý

průhyb = wa.

Moţno zanedbat práci

posouvajících sil.

28 / 61

Příklad 2.3



3

3

1

0

33

3

2

2

1

22

3

1

1

0

11

3

321

2

0

23

37

3

kNm667,21)667,1.(13

d

kNm15)5,1.(10

d

kNm5,2)75,0.(333,3

d

m005407,010.24416,7

667,21155,2

)(1

d

kNm1024416,7

12

28,0.18,0.10.2,2

12

MAxMMS

MAxMMS

MAxMMS

SSSEI

xEI

MMw

bhEEI

M

M

M

a

29 / 61

Příklad 2.4


Reálné a virtuální posouvající síly konzoly z příkladu 2.3Obr. 2.18. / str. 39


G = 9,24.106 kPa

Výpočet příkladu 2.3 s uvaţováním

práce posouvajících sil.

00

´

5

5

´

2,2

1,1

56*

2*

21*

2

0

*

´

7,1100.407,5

093,0100.

mm093,0m10.276,910.8808,3

2610

kNm26)1.(1.26

kNm10)1.(2

1.20

kN10.8808,3042,0.10.24,9

m042,02,1

28,0.18,0

)(1

w

w

w

VAS

VAS

GA

bhA

SSGA

dxGA

VVw

c

c

V

V

c

30 / 61

Tabulka 2.2


Vzorce pro výpočet integrálů l

xMM0

d

str. 41

31 / 61

Příklad 2.5



Nutno určit

svislý

průhyb wc a

pootočení

a

Dřevo

E = 107 kPa

32 / 61

Tabulka 2.3


Lokální deformace konzoly a prostého nosníku stálého průřezu str. 42

33 / 61

Příklad 2.6



M

t

l

t Ah

txM

h

t 1

0

1 d

Ocel t = 1,2.10-5 K-1

Lineární oteplení po výšce průřezu.

Nutno určit průhyb wc a ws.

h = 0,24 m

34 / 61

Příklad 2.6



cM

tttc A

h

txM

h

tx

h

Mtw 1

9

0

9

0

11 dd

92

2.9

cMA

mm2,7m0072,024,0

)9.(16.10.2,15

cw

sM

ts A

h

tw 1

125,6

2

75,1.7

sMA mm9,4m0049,0

24,0

125,6.16.10.2,15

sw

35 / 61

Příklad 2.6



Tvar, zatíţení - příklad 2.3

Proměnný průřez


E = 2,2.107 kPa

36 / 61

Výzkumné energetické centrum, VŠB-TU Ostrava

Ukázka konstrukce s proměnlivým průřezem

Konzola ochozu:

• Ocelový svařovaný a

válcovaný profil I

• Trapézový plech

• Betonová podlaha

37 / 61

Výzkumné energetické centrum, VŠB-TU Ostrava

Ukázka konstrukce s proměnlivým průřezem

Konzola ochozu:

• Ocelový svařovaný a

válcovaný profil I

• Trapézový plech

• Betonová podlaha

38 / 61

Deformace přímého nosníku v krutové úloze


Deformace nosníku v krutové úlozeObr. 2.22. / str. 45

t

T

l

t

l

t

cGI

AxTT

GIx

GI

TT

00

d1

d

Krutové pootočení

Silový virtuální stav

39 / 61

Příklad 2.8



Metodou jednotkových sil nutno

určit krutové pootočení pravého

konce b

Ocel - G = 8,1.107 kPa

o

2

00

277

4544

4

1

4

2

20,2rad0384,08466,60

336,2

kNm336,26,0.72,0.2

11).52,172,2.(

2

1

d1

d

kNm8466,6010.5119,7.10.1,8

mm10.5119,7)2430.(2

)(2

b

T

t

T

l

t

l

t

t

pt

A

GI

AxTT

GIx

GI

TT

GI

rrII

40 / 61

Deformace rovinně lomeného nosníku v rovinné úloze


m

j

l

j

j

l

j

j

l

j

j

jjj

xA

VV

Gx

I

MM

Ex

A

NN

E1 0

*

00

d1

d1

d1

Tři lokální sloţky deformace: u, v a

m

j

l

j

j

j

xI

MM

E 1 0

d1

U staticky určitých případů se zanedbává práce posouvajících a

normálových sil

22

ccc uw V bodě cc

c

w

utan

Oteplení

m

j

l

j

j

j

l

jjt

jj

xh

MtxNt

1 0

,1

0

,0 dd

Stálý průřez

m

j

l

j

j

j

xMMIE 1 0

d11

41 / 61

Příklad 2.9



Nutno určit

ud , wd , a d

Ocel

I1 = 16.10-5 m4

I2 = 3,8.10-5 m4

I3 = 9,2.10-5 m4

E = 2,1.108 kPa

42 / 61

Rámová ocelová konstrukce průmyslové haly

Ukázky konstrukcí rovinně lomeného nosníku

Rozpětí 20,5 m

43 / 61

Hala pro výrobu komponent jaderných elektráren, Vítkovice


• Půdorys 130 x 320 m

• Jeřáby o nosnosti 80 a 200 t

• Poddolované území

44 / 61

Víceúčelová hala, Frýdek - Místek


• Čtvercový půdorys o straně 82,26 m, výška 31,06 m

• Hlavní nosný prvek střechy 2 rámy tvaru A

• Rozpětí 118,12 m, vzdálenost 10,2 m

• Průřez truhlíkový 3,65 m x 0,8 m

45 / 61

Víceúčelová hala, Frýdek - Místek


Rámová ocelová konstrukce

46 / 61

Tribuna fotbalového stadiónu na Bazalech, Ostrava


• Poddolované území

47 / 61

Tribuna fotbalového stadiónu na Bazalech, Ostrava


Detail momentového kloubu

48 / 61

Deformace rovinně zakřiveného nosníku v rovinné úloze


Tvar a podepření rovinného zakřiveného nosníku v rovinné úlozeObr. 2.25. / str. 48

Rozpětí l, vzepětí f, poměrné vzepětí Fl

fΦ

49 / 61



Vzepětí f a poměrná vzepětí F rovinných zakřivených nosníkůObr. 2.26. / str. 49

Rozpětí l, vzepětí f, poměrné vzepětí Fl

fΦ

50 / 61



Silové zatíţení

L jLL

sGA

VVs

EI

MMs

EA

NNddd

*

Teplotní zatíţení

L

t

L

t sh

MtsNt dd 10

cos

dd

xs Řešení Po úpravě:

Silové zatíţení b

a

b

a

b

a

x

x

x

x

x

x

xA

VV

Gx

I

MM

Ex

A

NN

Ed

cos

1d

cos

1d

cos

1*

Teplotní zatíţení

b

a

b

a

x

x

t

x

x

t xh

Mtx

Nt d

cosd

cos10

Pouţití metody jednotkových sil

51 / 61


Výpočet přetvoření

Numerická integrace

Simpsonovo pravidlo

Obdélníková metoda

3))...(2)...(4(d)( 2421310

0

dffffffffxxf nnn

l

n

i

i

i

iin

i

i

i

ii

n

i

i

ii

iin

i

i

ii

ii

x

x

x

x

sI

MM

Es

A

NN

E

xI

MM

Ex

A

NN

Ex

I

MM

Ex

A

NN

E

b

a

b

a

11

11

11

cos

1

cos

1d

cos

1d

cos

1


52 / 61

Příklad 2.10



( ) 2.xkxz

22

b

b

a

a

x

z

x

zk

Parabolická střednice

xkxkx

z..2.

d

dtg

2

2tg1

1cos

2tg1

tgsin

Nutno určit ub

EI = 6,72.104 kNm2

53 / 61

Příklad 2.10



i x

[m]

tg

ψ

cos ψ M [kNm] [m] M/ cos ψ

[kNm2]

0 -

5,00

-

0,8

0,7808

7

0,0000 0,000 0,000

1 -

3,75

-

0,6

0,8574

9

28,4375 0,875 29,018

2 -

,2,5

0

-

0,4

0,9284

8

47,5000 1,500 76,739

3 -

1,25

-

0,2

0,9805

8

57,1875 1,875 109,350

4 0,00 0,0 1,0000

0

57,5000 2,000 115,000

5 1,25 0,2 0,9805

8

43,1250 1,875 82,461

6 2,50 0,4 0,9284

8

28,7500 1,500 46,447

7 3,75 0,6 0,8574

9

14,3750 1,875 14,668

8 5,00 0,8 0,7808

7

0,0000 0,000 0,000

54 / 61

Rovinně zakřivený nosník

Gateway Arch, rozpětí a vzepětí ocelového oblouku z roku 1966 192,5 m, Saint Louis, Missouri.

Ukázky konstrukcí rovinně zakřiveného nosníku v rovinné úloze

55 / 61

Gateway Arch, rozpětí a vzepětí ocelového oblouku z roku 1966 192,5 m, Saint Louis, Missouri.

Ukázky konstrukcí rovinně zakřiveného nosníku v rovinné úloze


56 / 61Ukázky konstrukcí rovinně zakřiveného nosníku v rovinné úloze


Rovinně zakřivený vazník, Výzkumné energetické centrum VŠB-TU Ostrava

57 / 61

Deformace rovinného kloubového příhradového nosníku


p

j j

jjjp

j

l

j

j

jjp

j

l

j

j

jj

A

lNN

Ex

A

NN

Ex

EA

NN jj

11 01 0

.1d

1d

Oteplení

Virtuální práce pouze normálových sil

p

j

jjt

p

j

l

jjt

p

j

l

jjt ltNxtNxtN

jj

1

,0

1 0

,0

1 0

,0 dd

58 / 61

Příklad 2.11



Nutno určit wc

A1 = 24.10-4 m4

A2 = 12.10-4 m4

A3 = 18.10-4 m4

A4 = 18.10-4 m4

A5 = 12.10-4 m4

A6 = 12.10-4 m4

A7 = 18.10-4 m4

l2 = l3 = l6 = 2,236 m

Tabulkový výpočet

59 / 61

Příklad 2.11 Tabulkový výpočet

mm62,5m1062,5101,2

10192,11801 3

8

37

1

j j

jjj

cA

lNN

Ew

j Aj [m2] lj [m] Nj [kN] Ñj [1] (NjÑjlj/Aj).10-3 [kN/m]

1 0,0024 2,000 -90,000 -1,000 75,000

2 0,0012 2,236 134,164 2,236 559,017

3 0,0018 2,236 -67,082 0,000 0,000

4 0,0018 2,000 -60,000 -2,000 133,333

5 0,0012 1,000 0,000 0,000 0,000

6 0,0012 2,236 67,082 2,236 279,508

7 0,0018 2,000 -60,000 -2,000 133,333

1180,192


60 / 61

Ţelezniční most, Polanecká spojka

Ukázky kloubových příhradových konstrukcí

Most přes ţelezniční trať v Polance z r.1964

61 / 61

Most přes řeku Odru z r.1964, Polanecká spojka, Ostrava – Zábřeh

Ţelezniční most, Polanecká spojka


62 / 61

Silniční most, Ostrava - Hrabová


Příhradový most přes řeku Ostravici

Date post:	04-Sep-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	0 times
Download:	0 times

Téma 2 - vsb.czfast10.vsb.cz/kolos/file/SSKIprednasky/tema02.pdf · 2010. 5. 6. · Příklad 2.3...

Documents