Úvod do praktické fyziky – pˇrednáška 6 · 2019. 11. 20. · Úvod do praktické fyziky –...

Úvod do praktické fyziky – prednáška 6Spojitá náhodná promenná

Václav Rímal

19. listopadu 2019

Václav Rímal Úvod do praktické fyziky – prednáška 6 19. listopadu 2019 1 / 16

http://mff.cuni.cz

Prechod ke spojité náhodné promenné

Poissonovo rozdeleníPravdepodobnost, že se neco nekolikrát stane

Poissonovo rozdelení

Pravdepodobnost, že za daných podmínek jev nastane k-krát, je

Pµ(k) = P(k|µ) = µk

k!e−µ

Poznámky

k ∈N0

jediný parametr µ

umožnuje popsat experimenty v prípade, že pri jednom pokusu muže dojít k více úspechum

lze škálovat pomocí zmeny µ (více casu: µ = λt; vetší plocha; . . . )

nezávislost na minulosti



Poissonovo rozdeleníPravdepodobnost, že se neco nekolikrát stane




k!e−µ

Poznámky

k ∈N0

jediný parametr µ

umožnuje popsat experimenty v prípade, že pri jednom pokusu muže dojít k více úspechum

lze škálovat pomocí zmeny µ (více casu: µ = λt; vetší plocha; . . . )

nezávislost na minulosti



Pravdepodobnost události jako funkce casuPrechod od promenné k k t




k!e−µ

Jaká je pravdepodobnost ∆P, že jev nastane práve v casovém intervalu (t; t + ∆t)?

Škálujeme cas: µ = λtSoucin pravdepodobností, že

1 až do okamžiku t se nic nestane, tj. k = 0: Pλt(0) = e−λt ,2 behem ∆t se neco stane: P(t, t + ∆t) = λ∆t

∆P = λe−λt∆t

∆t→ dt :

dP = λe−λtdt

p(t) = λe−λt



Zjemnování intervalu dtGrafická ukázka prechodu od diskrétní ke spojité náhodné promenné

∆P = λe−λt∆t

dP = λe−λtdt

p(t) = λe−λt

Ukázka pro λ = 0,5 s−1:



Exponenciální rozdelení pravdepodobnostiUkázkové rozdelení pravdepodobnosti spojité náhodné promenné

Hustota pravdepodobnosti exponenciálního rozdelení

Pravdepodobnost, že k první události dojde v casovém intervalu (t; t + dt), je

P(t; t + dt) = p(t)dt,

p(t) = λe−λt ,

pricemž t = 0. Pro t < 0 je p(t) = 0.Funkce p(t) se nazývá hustota pravdepodobnosti


Hustota pravdepodobnosti

Vlastnosti rozdelení pravdepodobnosti spojité náhodné promennéOd sumy k integrálu

Hustota pravdepodobnosti (Probability density function)

Pravdepodobnost, že se spojitá náhodná promenná nachází v intervalu (x; x + dx), je

P(x; x + dx) = p(x)dx

Funkce p(x) se nazývá hustota pravdepodobnosti

Normalizacní podmínka

+∞∫−∞

p(x)dx = 1

Ocekávaná hodnota funkce f (x) spojité náhodné promenné x

E[ f (x)] ≡ 〈 f (x)〉 ≡ µ f (x) ≡+∞∫−∞

f (x)p(x)dx









+∞∫−∞

p(x)dx = 1


E[ f (x)] ≡ 〈 f (x)〉 ≡ µ f (x) ≡+∞∫−∞

f (x)p(x)dx









+∞∫−∞

p(x)dx = 1


E[ f (x)] ≡ 〈 f (x)〉 ≡ µ f (x) ≡+∞∫−∞

f (x)p(x)dx



Momenty rozdelení pravdepodobnosti spojité náhodné promennéZejména strední hodnota a disperze




Ocekávaná hodnota spojité náhodné promenné x

E[x] ≡ 〈x〉 ≡ µx ≡+∞∫−∞

xp(x)dx

Disperze spojité náhodné promenné x

σ2x ≡ V[x] ≡ Dx ≡ µ′2 =

⟨(x− µx)

2⟩≡

+∞∫−∞

(x− µx)2 p(x)dx

σ2x =

⟨x2⟩− 〈x〉2








E[x] ≡ 〈x〉 ≡ µx ≡+∞∫−∞

xp(x)dx


σ2x ≡ V[x] ≡ Dx ≡ µ′2 =

⟨(x− µx)

2⟩≡

+∞∫−∞

(x− µx)2 p(x)dx

σ2x =

⟨x2⟩− 〈x〉2








E[x] ≡ 〈x〉 ≡ µx ≡+∞∫−∞

xp(x)dx


σ2x ≡ V[x] ≡ Dx ≡ µ′2 =

⟨(x− µx)

2⟩≡

+∞∫−∞

(x− µx)2 p(x)dx

σ2x =

⟨x2⟩− 〈x〉2



Distribucní funkcePravdepodobnost výskytu promenné v urcitém intervalu

Praktický význam má pravdepodobnost, že x ∈ (a, b):

P(a, b) =b∫

a

p(ξ)dξ

Distribucní funkce náhodné promenné x

F(x) ≡x∫

−∞

p(ξ)dξ =∫

p(x)dx





P(a, b) =b∫

a

p(ξ)dξ


F(x) ≡x∫

−∞

p(ξ)dξ =∫

p(x)dx





P(a, b) =b∫

a

p(ξ)dξ = F(b)− F(a)


F(x) ≡x∫

−∞

p(ξ)dξ =∫

p(x)dx



Vlastnosti distribucní funkceA jaké podmínky splnuje

Distribucní funkce náhodné promenné x (Cumulative distribution function)

F(x) ≡x∫

−∞

p(ξ)dξ =∫

p(x)dx

F(x) je primitivní funkcí p(x): [F(x)]′ = F′(x) =dF(x)

dx= p(x)

F(x) je neklesající funkcelim

x→−∞F(x) = 0

limx→+∞

F(x) = 1



Rovnomerné rozdeleníUniform distribution

U(a, b)

Interval možných hodnot (a, b) musí být z obou stran omezenýVšechny hodnoty z daného intervalu stejne pravdepodobné:

p(x) je konstanta pro x ∈ (a, b)p(x) = 0 pro x /∈ (a, b)

Normovací podmínka:∫ b

a p(x)dx = 1

Distribucní funkce: F(x) =∫

p(x)dx



Rovnomerné rozdeleníUniform distribution

U(a, b)Interval možných hodnot (a, b) musí být z obou stran omezenýVšechny hodnoty z daného intervalu stejne pravdepodobné:

p(x) je konstanta pro x ∈ (a, b)p(x) = 0 pro x /∈ (a, b)

Normovací podmínka:∫ b

a p(x)dx = 1Distribucní funkce: F(x) =

∫p(x)dx

F(x) = 0 pro x ≤ aF(x) = 1

b−a (x− a) pro x ∈ (a, b)F(x) = 1 pro x ≥ b

x

f (x)

F (x)

a

1b−a

1

00b

f (x) F

(x)



Rovnomerné rozdeleníVlastnosti a príklady užití

U(a, b) =1

b− apro x ∈ (a, b)

µ =a + b

2

σ =b− a2√

3

Maximální chyba

Trída presnosti: Na mericím prístoji s rozsahem stupnice R je uvedena trída presnosti P. Je tovelikost maximální absolutní nejistoty v procentech rozsahu stupnice

Maximální nejistota ∆B = PR · 0.01Standardní nejistota σB = 1√

3PR · 0,01

Otácení, pohyb po kružnici: U(0, 2π)



Cauchyho rozdeleníaneb Lorentzovo rozdelení aneb Breitovo–Wignerovo rozdelení aneb Cauchy distribution

Jaká je pravdepodobnost dopadu fotonu (ci jejich hustota) na stínítko ve vzdálenosti l od zdroje?

Úhel je rozdelen rovnomerne: f (φ) = U(−pi/2,+π/2) = 1π

Jak je rozdelena vzdálenost od stredu? Hledáme p(x):

p(x)dx = f (φ)dφ

φ = arctgxl

dφ =dφ

dxdx =

(arctg

xl

)′dx

(arctg ξ)′ =1

(1 + ξ2)

p(x)dx =1π

ll2 + x2 dx



Cauchyho rozdeleníVlastnosti a príklady užití

C(x0, γ) = p(x) =1π

γ

γ2 + (x− x0)2

F(x) =1π

arctgx− x0

γ+

12

〈x〉 = ?



Cauchyho rozdeleníVlastnosti a príklady užití

C(x0, γ) = p(x) =1π

γ

γ2 + (x− x0)2

F(x) =1π

arctgx− x0

γ+

12

⟨xk⟩

není definováno pro k ≥ 1

Medián x0 : F(x0) =12

pološírka (FWHM: full width at half maximum): 2γ

rezonancní cáraVáclav Rímal Úvod do praktické fyziky – prednáška 6 19. listopadu 2019 13 / 16


Gaussovo rozdeleníaneb normální rozdelení aneb Gauss distribution

N(µ, σ) = p(x) =1√2πσ

e− (x− µ)2

2σ2

F(x) = ?



Gaussovo rozdeleníaneb normální rozdelení aneb Gauss distribution

N(µ, σ) = p(x) =1√2πσ

e− (x− µ)2

2σ2

F(x) =12

[1 + erf

(x− µ√

2σ

)]

erf(ξ) ≡ 2√π

ξ∫0

e−t2dt



Gaussovo rozdeleníVlastnosti a príklady užití

N(µ, σ) =1√2πσ

e− (x− µ)2

2σ2

〈x〉 = µ

D = σ2

erf(ξ) ≡ 2√π

ξ∫0

e−t2dt

limξ→+∞

erf(ξ) =2√π

+∞∫0

e−t2dt =

1√π

+∞∫−∞

e−t2dt = 1

Pološírka (FWHM)




N(µ, σ) =1√2πσ

e− (x− µ)2

2σ2

〈x〉 = µ

D = σ2

erf(ξ) ≡ 2√π

ξ∫0

e−t2dt

limξ→+∞

erf(ξ) =2√π

+∞∫0

e−t2dt =

1√π

+∞∫−∞

e−t2dt = 1

Pološírka (FWHM) 2γ = 2σ√

2 ln 2

Standardní Gaussovo rozdelení N(0, 1)




Zdroj: Wikipedia.org

p(

x ∈ (µ− σ, µ + σ))= erf

(1√2

)= 0,6827

p(

x ∈ (µ− 2σ, µ + 2σ))= erf

(2√2

)= 0,9545

p(

x ∈ (µ− 3σ, µ + 3σ))= erf

(3√2

)= 0,9973

Standardní chyba: napr. d = (5,1± 0,2)m

Difúze: koncentrace v jedné dimenzi je c(x, t) = c0 N(

µ,√

2Dt)=

c0

2√

πDte− (x− µ)2

4Dt ,

kde D je difúzní koeficient (rešení pro pocátecní podmínku, že v case 0 je veškerá hmotakoncentrovaná v jednom bode)


https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=1903871

Date post:	05-Mar-2021
Category:	Documents
Upload:	others
View:	0 times
Download:	0 times

Úvod do praktické fyziky – pˇrednáška 6 · 2019. 11. 20. · Úvod do praktické fyziky –...

Documents