1
VŠB T h i ká i it Ot VŠB - Technická univerzita Ostrava VŠB Technická univerzita Ostrava Fakulta stavební Fakulta stavební Fakulta stavební Katedra stavební mechaniky 228 Katedra stavební mechaniky - 228 Vý čt jd d hý h k t kí l ti ké b ž áí id ál ě ž l ti kéh h áí t iál Výpočty jednoduchých konstrukcí v plastickém oboru s uvažováním ideálně pružnoplastického chování materiálu Výpočty jednoduchých konstrukcí v plastickém oboru s uvažováním ideálně pružnoplastického chování materiálu Výpočty jednoduchých konstrukcí v plastickém oboru s uvažováním ideálně pružnoplastického chování materiálu Stanovení trvalé deformace osově namáhaného prutu Stanovení posunutí neutrálné osy při plastizování nesymetrického průřezu s uvažováním ideálně pružnoplastického chování materiálu Ideálně pružno-plastický materiál Příklad 1: Stanovení trvalé deformace osově namáhaného prutu Příklad 3: Stanovení posunutí neutrálné osy při plastizování nesymetrického průřezu s uvažováním ideálně pružnoplastického chování materiálu. Ideálně pružno-plastický materiál Příklad 1: s uvažováním ideálně pružnoplastického chování materiálu. Příklad 3: Zadání: Určete polohu neutrálné osy nesymetrického průřezu tvaru T ohýbaného prutu za předpokladu: Pracovní diagram ideálně pružno plastického materiálu v tahu i tlaku s uvažováním ideálně pružnoplastického chování materiálu. Z dá í U č t t l df i l éh táhl délk l kt ébl Zadání: Určete polohu neutrálné osy nesymetrického průřezu tvaru T ohýbaného prutu za předpokladu: ) ál é ětí k jíh lák hj f Pracovní diagram ideálně pružno-plastického materiálu v tahu i tlaku Zadání: Určete trvalou deformaci ocelového táhla délky l = 2 m, které bylo a) normálové napětí v krajních vláknech je x = f yd x = -78/174. f y x = - f y 0 TAH protaženo o l = 24 mm Napětí na mezi kluzu oceli f = 235 MPa modul Vstupní údaje: x yd b) dojde k úplnému zplastizování průřezu m x y TLAK x y TLAK 0 úsek popis TAH AC x protaženo o l = 24 mm. Napětí na mezi kluzu oceli f y = 235 MPa, modul ž ti th tl k 210 000 Vstupní údaje: b) dojde k úplnému zplastizování průřezu mm TLAK TLAK 42 osa půlící x úsek popis f Y A,C R P í di pružnosti v tahu a tlaku E = 210 000 MPa. rozměry pásnice (flange) a stojiny (web) mm 12 f t 8 m ál á 4 osa půlící ůř mm 120 f b mm 8 w t mm 280 w h Y -Y’ Hookův zákon f y az R Pracovní diagram 24 l mm 12 f t Ř š í ) i ál í ál é ětí dí lák j f neutrálná 78 neutrálná posun průřez f mm 8 w t w Y Y 012 0 24 l Řešení: Řešení: a) maximální normálové napětí ve spodním vláknu je x = f yd T neutrálná osa 7 =0 T osa m posun n.o. Y -A Plastický stav – volný B x 012 , 0 2000 l Řešení: materiál ohýbaného prutu se stále chová pružně a neutrálná osa tedy prochází těžištěm T osa x = 0 T mm n.o. z Y A nárůst deformací arctan E B a Y 2000 l materiál ohýbaného prutu se stále chová pružně a neutrálná osa tedy prochází těžištěm ůř m m nárůst deformací arctan E 0 f y Y 235 f z Hookova průřezu . mm 10 262080 5 0 5 0 f f f f h t h t t b t S A-B Odlehčení 0 y 0,001119 235 f y l z Hookova ák m 21 mm 78 262080 5 , 0 . 5 , 0 . w f w w f f f x T h t h t t b t S z A B Odlehčení 0,001119 210000 E el zákona 74 = 2 mm 78 3360 w w f f T h t b t A z B-C Opětovné zvýšení napětí x pl el aktuální 210000 E b) dojde k úplnému zplastizování průřezu 17 z d = w w f f B C pl el aktuální pozice pl el b) dojde k úplnému zplastizování průřezu ) z 1680 5 0 A TLAK l ti ká (t lá) d f l pozice pl el neutrálná osa půlí plochu průřezu a u nesymetrických průřezů a) TAH b) TAH mm 210 1680 5 , 0 . A z TLAK pl … plastická (trvalá) deformace f l b 0 neutrálná osa půlí plochu průřezu a u nesymetrických průřezů tedy dochází k jejímu posunutí TAH TAH mm 210 8 d t z el … pružná deformace -f y b x 0 0 010881 001119 0 012 0 tedy dochází k jejímu posunutí. x = f y x = f y 8 w t Y’ el … pružná deformace 0,010881 001119 , 0 012 , 0 el pl x y x y Příkl d 5 Stanovení zatížitelnosti ohýbaného nosníku obdélníko- F Stanovení průřezového modulu obdélníkového průřezu s Příkl d 4 Příklad 5: Stanovení zatížitelnosti ohýbaného nosníku obdélníko vého průřezu s uvažováním ideálně pružnoplastického F el pl mm 76 21 0 010881 2 l l St ti k čité ě áh ék t k Stanovení průřezového modulu obdélníkového průřezu s uvažováním ideálně pružnoplastického chování materiálu Příklad 4: Příklad 5: vého průřezu s uvažováním ideálně pružnoplastického mm 76 , 21 0,010881.2 . l l pl pl Staticky neurčité osově namáhané konstrukce uvažováním ideálně pružnoplastického chování materiálu. Příklad 4: chování materiálu. N ék t k áh é hb chování materiálu. Z dá í Stanovení maximální zatížitelnosti staticky neurčité soustavy Zadání: Určete W y el pl pro průřez se zplastizovanými krajními čtvrtinami Nosné konstrukce namáhané ohybem Zadání : Určete maximální zatížitelnost nosníku q d [kN/m] za předpokladu: Příklad 2: Stanovení maximální zatížitelnosti staticky neurčité soustavy Zadání: Určete W y,el,pl pro průřez se zplastizovanými krajními čtvrtinami Nosné konstrukce namáhané ohybem d a) maximální normálové napětí = f Příklad 2: dvou táhel a zavěšené tuhé desky s uvažováním ideálně 2 2 2 3 1 1 h h h h Ř š í Analýza normálového napětí ohýbaného nosníku s obdélníkovým průřezem a) maximální normálové napětí x = f yd dvou táhel a zavěšené tuhé desky s uvažováním ideálně pružnoplastického chování materiálu 2 2 . . 3 . . 1 . . . 2 . . 1 h b h b h h h b h b W W W pl y el y pl el y Řešení: Př d kl d Id ál ě ž l ti ké h áí t iál b) dojde k zplastizování krajních čtvrtin průřezu pružnoplastického chování materiálu. Průřez táhel: Zadání: , , , , 16 24 8 4 4 2 6 pl y el y pl el y Předpoklad: Ideálně pružnoplastické chování materiálu c) dojde k úplnému zplastizování průřezu 2 l l 3 5 4 Průřez táhel: Zadání: W c) dojde k úplnému zplastizování průřezu mm 20 d d m 2 2 1 l l m 3 1 x m 5 2 x m 4 F x Výsledek: el y W , stav I. Normálové napětí nedosahuje hodnoty meze kluzu f yd q d = ? mm 20 2 1 d d 2 1 1 2 F Mt iál 15 1 l F 360/S235 GPa 210 E 2 11 Výsledek: l W el y , Průběh yd q d ? 2 4 10 14 3 A A Materiál: 15 , 1 M ocel Fe360/S235 GPa 210 E 2 . . 11 h b W pl el y (platí pouze pro případ pl y W , x Průřez Pracovní diagram Průběh x b a h 2 4 2 1 m 10 . 14 , 3 A A Ř š í , , 48 pl el y zplastizování krajních čtvrtin!!!) Průřez Pracovní diagram max x b a h l N 2 1 Řešení: zplastizování krajních čtvrtin!!!) max , x kN 198 64 A f N Mezní plastická únosnost v tahu 946 1 . l N pl stav W [m 3 ] Y tlak kN 198 , 64 . A f N yd pl Mezní plastická únosnost v tahu mm 946 , 1 A E pl Shrnutí: stav W y [m 3 ] f y Y tlak R R l . A E b f Shrnutí: y h R bz R az l b zplastizování prutu 2 N N l stav I b yd f 2 1 II h x bz b zplastizování prutu 2 pl N N 2 pl l 2 stav I. yd 2 . . 1 h b 2 . . 6 1 , 0 h b II. krajní vlákna y 6 l 20 b 80 h MP 235 f 15 1 Vt íúd j tlak 2 h 6 . . 6 1 , 0 h b průřezu Sd M tah m 6 l mm 20 b mm 80 h MPa 235 yk f 15 , 1 0 M Vstupní údaje: mm 168 1 1 x l y 4 x 11 III Sd M tah Ř š í mm 168 , 1 . 1 1 x l pl y h 4 x 2 11 h b 2 6 2291 0 h b III. z M Řešení: 2 x h h . . 48 h b . . 6 2291 , 0 h b b Sd M ) i ál í ál é ětí f A E M 1 h 48 1 0 b x W max , a) maximální normálové napětí x = f yd kN 519 , 38 . . 1 1 A E l N 2 l 1 l pl el Rd M , , tah 1 4 2 1 h b 2 25 0 h b IV. x 0 f y W f kN 519 , 38 . 1 1 l l N N N N 2 l 1 l f tah 4 . . 4 h b 2 . . 25 , 0 h b f yd f 2 1 l M M 3 5 2 10 3 1 2 1 h b W MPa 35 204 yk f f 1 N pl N N 2 zplastizování z yd f 4 yk f f d f Normálové napětí v krajních vláknech yd kde 2 , max , , . . 8 l q M M el d y el Ed 3 5 2 , m 10 . 3 1 , 2 . . 6 h b W el y MPa 35 , 204 yd f kN 136 109 . . 2 1 1 pl x N x N F 1 a zplastizování yd M yd f yd x f max , Normálové napětí v krajních vláknech kde stav IV , max , , 8 el d y el Ed , 6 el y 0 M kN 136 , 109 2 1 1 pl F 1 M M stav IV. M l 2 8 W f F x f h b f W M M 1 2 Posudek spolehlivosti 1 Ed M nebo el Sd M f , el d l q f 2 , . kN/ 97 0 . . 8 , W f el y yd F 0 R P í di yd yd y el Rd Ed f h b f W M M . . . 6 . , Posudek spolehlivosti 1 l Rd M nebo x Průřez Průběh Pracovní diagram yd x W f max , el d yd W f , 8 kN/m 97 , 0 2 , , l q el y yd el d x F x 0 a R Pracovní diagram 6 , el Rd M Průřez Průběh x Pracovní diagram f el y W , el y W , . 8 2 l x Y 1 x t II Normálové napětí v krajních vláknech dosahuje hodnoty yd f b) d jd k l ti á ík jíh čt ti ůř f Y x stav II. Normálové napětí v krajních vláknech dosahuje hodnoty kl f ůř á tál žé h áí f Y tl k A b) dojde k zplastizování krajních čtvrtin průřezu f y F x meze kluzu f yd , průřez má stále pružné chování. f y tlak 2 A 1 11 f 2 prut x P ůběh 2 1 l q M 3 5 2 m 10 3 9 2 11 h b W MPa 35 204 yk f f 2.prut 2 x x Průřez Průběh x Pracovní diagram l ti ký y h x , , , , . . 8 l q M pl el d pl el Ed , , m 10 . 3 9 , 2 . . 48 h b W pl el y MPa 35 , 204 yd f l Průřez Pracovní diagram f plastický y h x 8 48 0 M 1 t 1 l yd f kloub M A l l d l l Sd l q M 2 8 W f 1.prut Y tlak pl Rd M , tah 1 A pl el d pl el Sd d l q M f , , , , . kN/m 33 1 . . 8 , , W f q pl el y yd x 0 pl f y Y tlak 0 z f 1 pl el y pl el y yd x W W f max , . 8 kN/m 33 , 1 2 , , l q pl el d x 0 y h 0 z b yd f pl el y pl el y W W , , , , . 8 l krajní vlákna h x b zplastizování pl c) dojde k úplnému zplastizování průřezu zplastizování prutů 1 i 2 N N N N stav II průřezu y x zplastizování pl c) dojde k úplnému zplastizování průřezu zplastizování prutů 1 i 2 pl N N 1 pl N N 2 stav II. l Rd M tah 1 1 yk f pl 1 pl 2 el Rd M , tah 0 d A N 0 . d d 2 1 A A f A f A f d d d 2 . . 1 l q M l d l Ed 3 5 2 m 10 . 2 , 3 . . 1 h b W l MPa 35 , 204 yk yd f f 946 1 l z d f 0 d A N A x 0 . d d 2 1 A A f A f A f yd A yd A yd , , . . 8 l q M pl d pl Ed , m 10 . 2 , 3 . . 4 h b W pl y 0 M yd mm 946 , 1 1 pl l z b yd f A 2 1 A A 8 4 0 M l M 2 0 b zplastizování l A A ploch průře plastickém sta pl d pl Sd l q M f 2 , , . . . 8 W f pl y yd mm 244 3 2 x l x 0 el A 1 , A 2 … plochy průřezu v plastickém stavu. yd W W f 8 kN/m 45 , 1 2 , l q pl y yd pl d mm 244 , 3 . 2 x l pl l l k f Neutrálná osa půlí plochu průřezu A pl y pl y W W , , . 8 2 , l pl d 1 x 2 l 1 l yd x f max Normálové napětí v krajních vláknech yk yd f f kde Neutrálná osa půlí plochu průřezu. 2 1 A A A Shrnutí: N N l N N 1 N N yd x max , M yd kde (u nesymetrických průřezů se při plastizování posouvá) 2 2 1 A A Shrnutí: x P í di yd f kN 396 128 . . 2 1 pl pl x N x N F pl N N 1 pl N N 2 a 1 Ed M M 2 x Pracovní diagram y x yd a) kN 396 , 128 F a d d l Rd Ed f h b f W M M 1 2 Posudek spolehlivosti 1 Ed M nebo Únosnost za ohybu s uvažováním plastického chování materiálu: y x M a) F x yd yd y el Rd Ed f h b f W M M . . . 6 . , Posudek spolehlivosti el Rd M Únosnost za ohybu s uvažováním plastického chování materiálu: Y el Rd M , t III 6 , el Rd S S f A z f A z f A z M d d d f Y z yd f P í di F 0 a R stav III. V průřezu vznikají plastické oblasti. y y yd yd yd x pl Rd S S f A z f A z f A z M 2 1 , . d . . d . . d . . f y yd yd f x Pracovní diagram F 1 x a V průřezu vznikají plastické oblasti. A A A 2 1 x 1 x x Průběh Pracovní diagram S S 0 S S W f S f M 2 c) b) a) b) Y F x Průřez Průběh x Pracovní diagram f y y S S 2 1 0 2 1 y y S S pl y yd y yd pl Rd W f S f M , 1 , . . 2 . c) b) a) b) y x f y Y F Y Průřez yd f y y 2 1 y pl el Rd M y 2 x f y Y tlak 2 l S W 1 . 2 plastický průřezový modul [m 3 ] z pl el Rd , , 2 prut 1 prut 2 f y tlak 2 y pl y S W 1 , . 2 … plastický průřezový modul [m 3 ] 0 z yd f l ti áí 2.prut 1.prut pl 2 x y x x f zplastizování pl 2 . x pl krajní vlákna y h x Plastická rezerva obdélníkového průřezu Konkrétně: yd f 1 x pl krajní vlákna průřezu h A t W [ 3 ] [kN/ ] 0 1 průřezu M A A A 1 2 1 h h h 1 c) y stav W y [m 3 ] q d [kN/m] x 0 0 pl el Rd M , , tah 1 2 1 1 . . 1 . . . h b h b h h A S y 6 1 2 h b W c) y x y d Výsledky numericky: 0 z f 1 1 8 4 2 4 y 5 1 6 . . 4 , h b W pl y 50% pl Rd M , a) 2 13 10 -5 0 97 z b yd f l l 5 , 1 4 1 4 W 50% z f a) 2,13.10 0,97 stav F [kN] N [kN] l [mm] N [kN] l [mm] x b zplastizování el,pl 2 2 1 1 2 2 h b h b S W 4 . . 1 2 , h b W el y z yd f Pl ti ká bdél ík éh ůř stav F [kN] N 1 [kN] l 1 [mm] N 2 [kN] l 2 [mm] M M 2 2 1 . . 4 . . 8 . 2 . 2 h b h b S W y pl y . . 6 h b b) 2 93 10 -5 1 33 Plastická rezerva obdélníkového průřezu: I 109 136 38 519 1 168 64 198 1 946 Zvyšuje-li se stále zatížení , vznikají plastické oblasti: 1 – v tahu, el Rd Ed M M , 1 , 4 8 y pl y 6 b) 2,93.10 1,33 45 1 q I. 109,136 38,519 1,168 64,198 1,946 2 – v tlaku Zbytek průřezu stále pružné chování 5 1 45 , 1 , pl d q 50% 2 v tlaku. Zbytek průřezu stále pružné chování. f d Průřez je zplastizován, vznik tzv. plastického kloubu, únosnost v ohybu je c) 3 20 10 -5 1 45 5 , 1 97 0 q 50% II. 128,396 64,198 1,946 64,198 3,244 Bernouliho hypotéza platí i nadále, x je stále lineární. Ve vláknu A-A je f yd vyčerpaná c) 3,20.10 1,45 97 , 0 , el d q Bernouliho hypotéza platí i nadále, x je stále lineární. Ve vláknu A A je E x vyčerpaná.
