Vyu ití teorie náhodných matic - Krbalek · 2012. 5. 16. · Úvod Chaos Approach to ﬁnancial...

Úvod Chaos Approach to financial cross-correlations Analysis of Human EEG Data Control of HIV infection

Využití teorie náhodných matic

Hana Srbová

Fakulta jaderná a fyzikálne inženýrská, CVUT Praha

17. 4. 2012


Obsah

1 Úvod

2 Chaos

3 Approach to financial cross-correlations

4 Analysis of Human EEG Data

5 Control of HIV infection


Využití teorie náhodných matic

Statistika více promennýchNumerická analýzaTeorie grafuFinancní korelace pri dokonalé konkurenciModelování dopravy a pohybu chodcuJaderná a kvantová fyzikaBezdrátová komunikaceŠírení zvukuStudium lidského EEGStudium HIV


CHAOS IN ONE-DIMENSIONAL INTEGRABLEQUANTUM SYSTEM

Šeba P., Vašata D.. Physics Letters A, Vol. 373 (2009), pp. 826–831.


Model

Kvantová cástice rozmístena na kruhu s n bodovýmiinterakcemi rozmístenými na pozicích

0 < x1 < . . . < xn < 2π

Bodová interakce na pocátku popsána hranicnímipodmínkami

1α

f (0−) = f (0+), f ′(0−) = f ′(0+) ,

kde α ∈ (0,+∞) je parametr


Model

Hamiltonián systému je reprezentován jednorozmernýmLaplaceovým operátorem

Tα = − d2

dx2

a hranicními podmínkami:

f (2π−) = f (0+) , f ′(2π−) = f ′(0+) , (1)

1α

f (xk−) = f (xk+) , f ′(xk−) = f ′(xk+) . (2)

Pozice bodových interakcí jsou xk =2π√

pk√pn+1

, k = 1,2, . . . ,n,kde pk oznacuje k -té prvocíslo


Výsledky pro prípad α = 1

Místo vlastních císel El = k2l , které jsou dvakrát

degenerované, uvažujeme hodnoty el = 2|kl |Rešení: e2l−1 = e2l = 2l , l = 1,2, . . .Definujeme-li rozestupy sl = el+1 − el , je potom hustotapravdepodobnosti tvaru

P(s) =(δ(s) + δ(s − 2))

2


Výsledky pro prípad α 6= 1

Popis systému se liší pro sudá a lichá vlastní císlaRozestupy lichých vlastních císel podléhají Wignerovedistribuci blížící se distribuci PGOE

PW (s) =π

2s e−πs2/4

Distribuce rozestupu sudých vlastních císel se nikdynepriblíží teorii náhodných matic


Obrázek: Srovnání hustoty pravdepodobnosti rozestupu s2j−1 lichých vlastních císelpro 47 bodových interakci, α = 1,001 a pocet použitých rozestupu roven 1 · 105

s Wignerovou distribucí (plná cára) a presným rešením GOE (hvezdy).


Obrázek: Srovnání hustoty pravdepodobnosti rozestupu sudých vlastních císel pro 9bodových interakci, α = 1,9 a pocet použitých rozestupu roven 1 · 105 s Wignerovoudistribucí (plná cára) a presným rešením GOE (hvezdy).


Obrázek: Srovnání hustoty pravdepodobnosti rozestupu vlastních císel pro modelna prímce pro 9 bodových interakci, α = 1,8 a pocet použitých rozestupu 1 · 105

s Wignerovou distribucí (plná cára) a presným rešením GOE (hvezdy).


A RANDOM MATRIX THEORY APPROACH TOFINANCIAL CROSS-CORRELATIONS

Plerou V., Gopikrishnan P., Rosenow B., Amaral L.A.N., Stanley H.E.. J. Phys. A:

Statistical Mechanics and its Applications, Vol. 278 (2000), pp. 374–382.


Úvod do problematiky

Analyzujeme 30-minutový výnos 1 000 nejvetších US akciív rozmezí dvou let 1994–199520 z nejvetších vlastních císel (2%) vykazují odchylkyod RMT⇒ ukazují na vlastnosti specifické pro danýsystémU zbylých urcujeme korelacní matici a testujeme rozestupyvl. císel, abychom urcili, zda jsou opravdu náhodnéRozestupy získáme ze vztahu s ≡ λi+1 − λi , kde posl. λioznacuje rozbalená vlastní císla serazená podle velikosti


Výsledky

Pro korelacní matici C vypoctenou ze vztahu

Cij =〈GiGj〉 − 〈Gi〉〈Gj〉

σiσj,

kde Gi je casový sled cenových fluktuací pro i-tou akcii

i = 1, . . . ,N a σi =√〈G2

i 〉 − 〈Gi〉2 byla prokázána shodas reálnou symetrickou náhodnou maticí (ci GOE maticí)Aplikace mnohem citlivejšího testu - rozptyl poctu vlastníchcísel potvrdila shodu C s RMT


Problémy vycíslení korelací

Chybí algoritmus pro urcení interakcní síly mezi dvemaspolecnostmi (prestože by každá ze spolecností melainteragovat prímo ci neprímo, presná povaha interakcí jeneznámá)Korelace by nemely zahrnovat jen dve spolecnosti, ale celýshlukKorelace Cij se mení v casePro každou akcii máme pouze konecný pocet interakcí Gij ,ze kterých tvoríme prumernou korelaci mezi firmami i a j


Analýza vlastních vektoru

Složky vlastních vektoru náhodné korelacní matice jsounormálne rozloženy se strední hodnotou rovnou 0 arozptylem 1Nejvetší vlastní císlo je silne negaussovské, „má tendencibýt z rovnomerného rozdelení“, což signalizuje, ževšechny spolecnosti jsou navzájem propojenyStabilita vlastních vektoru klesá smerem k hranicipredpovedi RMT


Obrázek: Rozdelení složek vlastních vektoru.


Analýza výnosu a S&P 500 indexu

GSP500 ≡∑500

i=1 wiGi , kde Gi jsou výnosy jednotlivýchfirem, wi ≡ Si/

∑Nj=1 Sj , Si oznacuje trhové financování i-té

spolecnostiOcekávání konvergence GSP500 ke Gaussovu rozdeleníGi i GSP500 mají stejné asymptotické chování blížící sek 1

x1+α , kde 1 + α ≈ 4V prípade promíchání casu pro Gi(t), pozorované chovánímezi výnosy S&P 500 indexu již neplatí, což naznacujeexistenci netriviálních korelací


Další zajímavosti

Distribuce rustových sazeb firemních tržeb nezávisína odvetví prumyslu ani na trhovém financováníŠíre σ techto distribucí klesá se zvyšujícím se S,σ(S) ∼ S−β pro β ≈ 1/6Podobné β objeveny také napr. v prípade, že za S bylzvolen pocet zamestnancuObdobné statistické vlastnosti nalezeny i pro GDP (grossdomestic product) ci pro financování univerzitních výzkumu


RANDOM MATRIX ANALYSIS OF HUMAN EEGDATA

Šeba P.. Phys. Rev. Lett., Vol. 91 (2003), 198104.


Záznamy 90 lidí nejprve v klidu, poté stimulovanýchMerení elektrodami umístenými na pokožku hlavy - nekterémerení pomocí 19 elektrod, nekteré pomocí 15⇒sestavení korelacní maticePotvrzení ocekávání, že spektrální analýza je závislána jedinci, avšak nekteré rysy jsou spolecnéPro malá vl. císla závisí od jedince, pro velká pozorovánalgebraický chvost⇒ zdánlive individuální mozkováaktivita obsahuje urcitou hladinu synchronizace


Obrázek: Hustota vlastních císel pro data získaná od 3 osob v klidu.


Serazení vlastních císel ξn podle velikosti a definovánírozestupu sn = ξn+1 − ξn

Rozdelení rozestupu shodné s Wignerovou distribucí P(s)

Rozptyl poctu Σ2(L), kde L je pocet po sobe jdoucíchprvocísel, lze približne vyjádrit jako

Σ2(L) ≈ 2π2

(log(2πL) + 1,5772− π2

8

)Pri analýze vynechaná data s vlivy typu mrkání, pohybjedince atd.


Obrázek: Hustota rozestupu pro jedince v klidu (krížky) a pro stimulovaní jedince(ctverce) srovnaná s Wignerovou formulí (plná cára).


Obrázek: Rozptyl poctu pro jedince v klidu (krížky) a pro stimulované jedince (ctverce)srovnaný s výše uvedenou aproximací.


EFFECTS OF THYMIC SELECTION OF THE T-CELLREPERTOIRE ON HLA CLASS I-ASSOCIATED

CONTROL OF HIV INFECTIONKošmrlj A., Read E.L., Qi Y., Allen T.M., Altfeld M., Deeks S.G.,Pereyra F., Carrington

M., Walker B.D., Chakraborty A.K.. Nature, Vol. 465 (2010), pp. 350–354.


Úvod do biologických pojmu

T-bunka – imunitní bunka patrící ke skupine bílých krvinekTCR – receptor T-bunkyMHC (major histocompability complex) – komplex, kterývystavuje cásti proteinu T-bunce⇒ v prípade, že se jednáo „cizí“ proteiny, nastává imunitní reakceHLA (human leukocyte antigen) – lidský MHCMamu – MHC makakupMHC – peptid MHC


Clánek se skládá z techto 4 cástí:

HLA-peptide binding predictions

Thymic selection model and antigen recognition

Host-pathogen interaction dynamics

HLA-allele association with ability to control HIV


HLA-peptide binding predictions

Peptidy odvozené od lidského proteomu dávaly v podstatestejné výsledky jako náhodne generované peptidyPro cca 107 jedinecných peptidu odvozených od lidskéhoproteomu máme tyto výsledky:

7 · 104 se naváže na HLA-B*5701⇒ imunitní reakce18 · 104 se spojí s HLA-B*0701⇒ imunitní reakcenenastává

Využité metody:Artificial neural networks (ANN)Stabilized matrix method (SMM)


Obrázek: Pravdepodobnost, s kterou se repertoár T-bunky spojí urcitou interakcní silous peptidy viru. Konkrétní repertoár T-bunky rozpozná peptidu viru, když vazebná sílaprekrocí poznávací práh (prerušovaná cára).


Host-pathogen interaction dynamics

Koeficient šírení retezce viru pochází z rovnomernéhorozdelení mezi 0–2 000 nových bunek viru za den.Interakce volné energie mezi T-bunkou daného klonotypu azbytkem viru na urceném epitopu je náhodná velicinaz rovnomerného rozdelení, pricemž šírka tohoto rozdeleníurcuje, jaká je pravdepodobnost, že daná T-bunkarozpozná peptid viru.Rozdelení repertoáru T-bunek se blíží k normálnímurozdelení interagujících energií.Rozdílnosti ve vzájemném pusobení mezi antigenem aimunitním receptorem jsou krome virové širitelnostízachycené ve velicine σij , jejíž rozdelení je zobrazené viznásledující obrázek.


Obrázek: Model generování prvku σij matice popisující rozpoznání pMHC T-bunkou.Stupen reaktivity v simulacích závisí na rovnomerném rozdelení, ze kterého jsounáhodne vybrány interakcní síly mezi jednotlivými pozustatky epitopu a TRC (vpravo).


Dekuji za pozornost.

Date post:	04-Dec-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	0 times
Download:	0 times

Vyu ití teorie náhodných matic - Krbalek · 2012. 5. 16. · Úvod Chaos Approach to ﬁnancial...

Documents