Výukový materiál zpracován v rámci oblasti podpory 1.5„EU peníze středním školám“

Název školy Obchodní akademie a Hotelová škola Havlíčkův Brod

Název OP OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost

Registrační číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0258

Název projektu Inovace a individualizace výuky na OA a HŠ

Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Označení vzdělávacího materiálu VY_32_INOVACE_04_PVP_226_Sed

Druh učebního materiálu Prezentace

Autor Mgr. Karel Sedlák

VY_32_INOVACE_04_PVP_226_Sed

Vzdělávací obor, pro který je materiál určen Obchodní akademie, Hotelnictví

Předmět Matematika; Matematický seminář

Ročník 1. ročník; 3. – 4. ročník

Název tematické oblasti (sady) Rovnice, nerovnice a jejich soustavy

Název vzdělávacího materiálu Soustavy rovnic

Anotace

Prezentace je určena pro výuku „Matematiky“ v 1. ročníku čtyřletých oborů vzdělání Obchodní akademie a Hotelnictví. Lze ji rovněž využít pro rekapitulaci a upevnění učiva volitelného předmětu „Matematický seminář“ ve 3. – 4. ročníku výše uvedených oborů. Cílem prezentace je systematizace a osvojení základních metod při řešení soustav rovnic. Žáci mají dokonale zvládnout řešení soustav rovnic metodou, která jim nejvíce vyhovuje. Součástí prezentace jsou příklady na samostatnou práci žáků v hodině včetně správných řešení.

Zhotoveno, (datum/období) říjen 2013

Ověřeno 2. prosince 2013

SOUSTAVY ROVNIC

Obsah1. Základní pojmy2. Metody řešení soustav3. Soustavy 2 rovnic o dvou neznámých4. Soustavy 3 rovnic o třech neznámých5. Soustavy rovnic, z nichž jedna je kvadratická6. Slovní úlohy7. Příklady na procvičení8. Výsledky úloh9. Použitá literatura

Vymezení pojmůŘešením soustavy 2 lineárních rovnic o dvou neznámých je taková uspořádaná dvojice čísel , která po dosazení do původní soustavy za příslušné proměnné potvrdí platné rovnosti.Obecný zápis soustavy o 2 neznámých:

Kde:

Metody řešení soustav

1. Metoda sčítací (aditivní)

2. Metoda dosazovací (substituční)

3. Metoda srovnávací (komparační)

4. Metoda grafická

1. Metoda sčítacíVhodnou úpravou a sečtením obou rovnic se jedna neznámá vyruší. Řeší se pak rovnice o jedné neznámé.Příklad č. 1:

2. Metoda dosazovacíZ libovolné rovnice se vyjádří jedna neznámá a tento nový výraz se dosadí do rovnice druhé. Řeší se pak lineární rovnice o jedné neznámé.Příklad č. 2:

3. Metoda srovnávacíSpočívá v tom, že se z obou rovnic vyjádří stejná neznámá (případně stejné výrazy) a tyto výrazy se vzájemně porovnají.Příklad č. 3:

3. Metoda srovnávací - pokračování

4. Metoda grafická Každá z rovnic představuje lineární funkci, která je graficky vyjádřena přímkou. Řešením soustavy je pak uspořádaná dvojice [x;y],která charakterizuje bod společný oběma přímkám.Příklad č. 4:

x 0 1 5

y 5 4 0

Body A B C

x 0 6 -3

y 4 0 6

Body D E F

4. Metoda grafická- pokračování příkladu č. 4 Přímka p - graf lineární funkce č. 1: Je určena body: Přímka q - graf lineární funkce č. 2: Je určena body: Průsečík P – společný bod obou přímek, jeho souřadnice jsou řešením dané soustavy rovnic; y = 2

Příklad č. 5: Řešení:

Příklad č. 5: - pokračování

Řešením je uspořádaná dvojice čísel Poznámky:• Při řešení rovnice byly použity pouze ekvivalentní úpravy, proto

nejsou zkoušky nutnou součástí příkladu.• Případné zkoušky se provádí dosazením za x a y do obou rovnic.

Soustava třech rovnic o 3 neznámýchŘešením soustavy 3 lineárních rovnic o třech

neznámých je taková uspořádaná trojice čísel , která po dosazení do původní soustavy za příslušné proměnné potvrdí platné rovnosti.

K řešení lze využít všechny výše uvedené metody kromě metody grafické.

Vhodné je začít metodou dosazovací. Užitím tohoto postupu se zjednoduší zadaný příklad na soustavu dvou

rovnic o dvou neznámých.

Příklad č. 6: Z rovnice č. 1: Do rovnice č. 2: Do rovnice č. 3 :

Soustava lineární a kvadratické rovnicePři řešení těchto soustav se používá v drtivé většině

případů dosazovací metoda.

Z lineární rovnice se vyjádří jedna neznámá a dosadí do rovnice kvadratické.

Kvadratická rovnice se vyřeší.

Ze substituční rovnice se dopočítají hodnoty druhé neznámé.

Příklad č. 7: Z rovnice č. 2: Do rovnice č. 1:

Dosazením do substituce:

C. Slovní úlohy Většinu slovních úloh lze řešit také pomocí lineární rovnice o

jedné neznámé.

Postup řešení slovních úloh:1) Důkladné několikanásobné přečtení zadání2) Vyjádření jedné i druhé neznámé na základě textu3) Rozbor úlohy = matematizace reálné situace4) Sestavení dvou rovnic o dvou neznámých5) Zkouška, ověření výsledku6) Formulace odpovědi

Příklad č. 8:Rozdíl součtu a rozdílu dvou čísel je o 14 menší než dvojnásobek jejich součtu. Dvojnásobek druhého čísla je o tři větší než první číslo. Určete součin obou čísel. první číslo druhé číslo součet obou čísel rozdíl obou čísel dvojnásobek druhého číslaSestavení a řešení soustavy rovnic:

Odpověď : Součin hledaných čísel je 35.

Příklad č. 9:Matce a dceři je dohromady 34 let. Před dvěma roky byla matka pětkrát starší než dcera. Za kolik let dosáhne dcera plnoletosti? současný věk matky současný věk dcery věk matky před 2 lety věk dcery před 2 letySestavení a řešení soustavy rovnic:

plnoletost = 18 Odpověď : Dcera dosáhne plnoletosti za 11let.

Příklady na procvičení – I. část

1.

2.

3.

4.

Příklady na procvičení – II. část5.

6.

7.

Příklady na procvičení – III. část8. Zvětšíme-li jmenovatele neznámého zlomku o jedničku, dostaneme jednu čtvrtinu. Zvětšíme-li v onom zlomku čitatele o 1, dostaneme jednu třetinu. Určete původní zlomek.

9.Víno ze sudu o objemu 3 hl bylo stočeno do 375 lahví. Některé z nich měly objem 7 dl, některé 1000 ml. Kolik bylo litrových lahví ?

10.Na večírku bylo třikrát více mužů než žen. Po předčasném odchodu osmi párů zbylo na večírku pětkrát více mužů než žen. Kolik bylo na večírku mužů?

Výsledky příkladů

LITERATURA: POLÁK, Josef. Přehled středoškolské matematiky. 8. vyd. Praha:

Prometheus, 2005, 608 s. ISBN 80-719-6267-8.

HRUŠKA, Miroslav. Státní maturita z matematiky v testových úlohách včetně řešení. 1. vyd. Olomouc: Agentura Rubico, s.r.o., 2012. ISBN 80-7346-149-2.

VOŠICKÝ, Zdeněk. Matematika v kostce. 2. vyd. Havlíčkův Brod: Fragment, 1997, 124 s. ISBN 80-720-0012-8.

VOŠICKÝ, Zdeněk. Cvičení k matematice v kostce: [pro střední školy]. 1. vyd. Havlíčkův Brod: Fragment, c1999, 208 s. ISBN 80-720-0251-1

LITERATURA: KUBEŠOVÁ, Naděžda a Eva CIBULKOVÁ. Matematika: přehled

středoškolského učiva. 2. vyd. Třebíč: Petra Velanová, 2006, 239 s. Maturita (Petra Velanová). ISBN 978-808-6873-053.

SÝKORA, Václav. Matematika: sbírka úloh pro společnou část maturitní zkoušky : základní obtížnost. 1. vyd. Praha: Tauris, 2001, 96 s. Sbírky úloh pro společnou část maturitní zkoušky. ISBN 80-211-0400-7.

ČERMÁK, Pavel. Odmaturuj! z matematiky. Vyd. 2.(opr.). Brno: Didaktis, 2003, 208 s. ISBN 80-862-8597-9.

LITERATURA: KLODNER, Jaroslav. Sbírka úloh z matematiky pro obchodní

akademie. 5. upr. vyd. Svitavy: SOFICO-CZ, 2005, 168 s.

PETÁKOVÁ, Jindra. Matematika: příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1998, 303 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 80-719-6099-3.

Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další

využití podléhá autorskému zákonu.