Výukový materiál zpracován v rámci oblasti podpory 1.5„EU peníze středním školám“

Název školy Obchodní akademie a Hotelová škola Havlíčkův Brod

Název OP OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost

Registrační číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0258

Název projektu Inovace a individualizace výuky na OA a HŠ

Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Označení vzdělávacího materiálu VY_32_INOVACE_04_PVP_222_Sed

Druh učebního materiálu Prezentace

Autor Mgr. Karel Sedlák

VY_32_INOVACE_04_PVP_222_Sed

Vzdělávací obor, pro který je materiál určen Obchodní akademie, Hotelnictví

Předmět Matematika; Matematický seminář

Ročník 1. ročník; 3. – 4. ročník

Název tematické oblasti (sady) Rovnice, nerovnice a jejich soustavy

Název vzdělávacího materiálu Lineární rovnice

Anotace

Prezentace je určena pro výuku „Matematiky“ v 1. ročníku čtyřletých oborů vzdělání Obchodní akademie a Hotelnictví. Lze ji rovněž využít pro rekapitulaci a upevnění učiva volitelného předmětu „Matematický seminář“ ve 3. – 4. ročníku výše uvedených oborů. Cílem prezentace je přehled a systematizace základních postupů při řešení lineárních rovnic. Žáci si mají upevnit a procvičit toto základní učivo. Součástí prezentace jsou typologicky odlišné příklady na vlastní práci žáků v hodině včetně správných řešení.

Zhotoveno, (datum/období) srpen 2013

Ověřeno 18. listopadu 2013

LINEÁRNÍ ROVNICE

Definice:

Lineární rovnice s neznámou x je každá rovnice, kterou lze vyjádřit ve tvaru

a, b = koeficienty (reálná čísla) x = neznámá (x R) ax = lineární člen b = absolutní člen jedná se o algebraickou rovnici 1. stupně

Počet řešení1. Je-li a0, má rovnice právě jeden kořen

2. Je-li a=0 a b=0, má rovnice nekonečně mnoho řešení

3. Je-li a=0 a b0, nemá rovnice řešení

Podmínka Kořeny rovnice Množina kořenů

a0 K

a=b=0 nekonečně mnoho řešení

a=0 b0 žádný kořen K

Typy lineárních rovnic:

A. Klasické lineární rovnice

B. Lineární rovnice s neznámou ve jmenovateli

C. Slovní příklady

D. Lineární rovnice s absolutní hodnotou

E. Lineární rovnice s parametrem

A. Klasické lineární rovnice

Rovnice běžného typu Mohou obsahovat:

Závorky Naznačené početní výkony Zlomky s celočíselným jmenovatelem

Při řešení se používají ekvivalentní úpravy Vzhledem k jejich užití není nutno důsledně provádět

zkoušky správnosti řešení Pokud není stanoveno jinak, definičním oborem těchto

rovnic je množina reálných čísel: D=R

Příklad č. 1: Řešení:

Rovnice má pouze jeden kořen.Poznámky:• Při řešení rovnice byly použity pouze ekvivalentní úpravy, proto není

zkouška nutnou součástí příkladu• Zkouška je pouze ověřením správnosti numerických výpočtů• Není třeba zkoumat definiční obor; platí D=R

Příklad č. 2:

|.3 |-21+6-6x

Rovnice nemá žádné řešení. Neexistuje žádné reálné číslo x takové, aby platilo 0.x = -25

Příklad č. 3: |.6 |-12-x (- Rovnice má nekonečně mnoho řešení. Řešením je libovolné reálné číslo. Zkouškou se lze přesvědčit, že pro libovolné reálné číslo platí: L(x)=P(x)

B. Rovnice s neznámou ve jmenovateli

Jsou to rovnice, které obsahují lomené výrazy, např.:

Lomené výrazy mají smysl pouze tehdy, jsou-li výrazy ve jmenovatelích nenulové (nulou nelze dělit).

Při požadavku řešení rovnic za použití ekvivalentních úprav je proto nutné stanovit definiční obor rovnice D.

V našem případě: Zápis definičního obor rovnice: Jiná forma zápisu: Po vyřešení rovnice je nutno zvážit, zda získaná řešení

vyhovují dané rovnici.

Příklad č. 4: |.(x+4).(x+6) x-4 x-6∧

|: (-2) Zkouška: L(-9)=P(-9)

Příklad č. 5:

|: 5

Rozhodující jsou podmínky – rovnice nemá v R řešení.

C. Slovní úlohy Různé typy slovních úloh: • Úlohy o částech celku• Úlohy o společné práci• Úlohy o pohybu • Úlohy obecné (řešení a sestavení plyne ze zadání)

Některé typy slovních úloh lze často řešit rovněž pomocí soustav dvou rovnic o dvou neznámých

Postup řešení slovních úloh:1) Důkladné několikanásobné přečtení zadání2) Rozbor úlohy = matematizace reálné situace3) Sestavení rovnice4) Zkouška, ověření výsledku5) Formulace odpovědi

Příklad č. 6:Jarda jezdil na horách na dvou vlecích. Jedna jízda na kratším vleku byla za 6 bodů, na delším za osm. Ve středu projezdil celkem 206 bodů při 30 jízdách. Kolik jízd absolvoval na delším vleku? x počet jízd na delším vleku 30-x počet jízd na kratším vleku 8x počet proježděných bodů na delším vleku 6.(30-x) počet proježděných bodů na kratším vleku 206 celkový počet proježděných bodůSestavení a řešení rovnice: 8x+6.(30-x) = 206

2x = 26 x = 13 Odpověď : Ve středu Jarda absolvoval na delším vleku celkem 13 jízd.

Příklad č. 7:Písemný test z fyziky psalo celkem 37 žáků a nikdo z nich neměl pětku. Jedniček bylo dvakrát víc než čtyřek, dvojek bylo o 6 více než jedniček, trojek bylo o tři méně než dvojek. Jaký byl průměrný prospěch? x počet čtyřek 2x počet jedniček 2x+6 počet dvojek (2x+6)-3 počet trojek Sestavení a řešení rovnice: x+2x+(2x+6)+(2x+6)-3 = 37

x = 4Průměr: 2,297 Odpověď : Průměrný prospěch testu z fyziky byl asi 2,30.

4

8

14

11

D. Lineární rovnice s absolutní hodnotou

Neznámá x se vyskytuje v absolutní hodnotěNapř. rovnice typu: Na základě definice absolutní hodnoty se musí stanovit

řešení v jednotlivých intervalech. Intervaly se určí pomocí nulových (kritických) bodůPostup, vysvětlení a procvičení v samostatné prezentaci

E. Lineární rovnice s parametrem

Kromě neznámé x se v zadání vyskytuje i další proměnná, tzv. parametr (a, b, c, m, n, p, t,,…..)

Např. rovnice typu: Kořen rovnice je vyjádřen pomocí parametru Součástí řešení je diskuse řešení = stanovení hodnot

parametru, pro které má daná rovnice jedno, žádné nebo nekonečně mnoho řešení.

Příklady na procvičení – I. část

Příklady na procvičení – II. část

6. - 1 = -

7. V obdélníku je délka o 8 cm větší než šířka. Zmenšíme-li délku o šest centimetrů a zároveň zvětšíme šířku o 2 cm, dostaneme čtverec, jehož obsah je o 6800 mm2 menší než obsah obdélníku. Vypočtěte obvod obdélníka.

8. Otci je 52 let, staršímu synovi 24, mladšímu je o jednu čtvrtinu méně než je věk bratra. Za kolik let bude otci tolik, jako oběma synům dohromady?

Výsledky příkladů

1)

2)

3)

4) O = 8,8 dm

5) 10 let

LITERATURA: POLÁK, Josef. Přehled středoškolské matematiky. 8. vyd. Praha:

Prometheus, 2005, 608 s. ISBN 80-719-6267-8.

HRUŠKA, Miroslav. Státní maturita z matematiky v testových úlohách včetně řešení. 1. vyd. Olomouc: Agentura Rubico, s.r.o., 2012. ISBN 80-7346-149-2.

VOŠICKÝ, Zdeněk. Matematika v kostce. 2. vyd. Havlíčkův Brod: Fragment, 1997, 124 s. ISBN 80-720-0012-8.

VOŠICKÝ, Zdeněk. Cvičení k matematice v kostce: [pro střední školy]. 1. vyd. Havlíčkův Brod: Fragment, c1999, 208 s. ISBN 80-720-0251-1

LITERATURA: KUBEŠOVÁ, Naděžda a Eva CIBULKOVÁ. Matematika: přehled

středoškolského učiva. 2. vyd. Třebíč: Petra Velanová, 2006, 239 s. Maturita (Petra Velanová). ISBN 978-808-6873-053.

SÝKORA, Václav. Matematika: sbírka úloh pro společnou část maturitní zkoušky : základní obtížnost. 1. vyd. Praha: Tauris, 2001, 96 s. Sbírky úloh pro společnou část maturitní zkoušky. ISBN 80-211-0400-7.

ČERMÁK, Pavel. Odmaturuj! z matematiky. Vyd. 2.(opr.). Brno: Didaktis, 2003, 208 s. ISBN 80-862-8597-9.

LITERATURA: KLODNER, Jaroslav. Sbírka úloh z matematiky pro obchodní

akademie. 5. upr. vyd. Svitavy: SOFICO-CZ, 2005, 168 s.

PETÁKOVÁ, Jindra. Matematika: příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1998, 303 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 80-719-6099-3.

Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další

využití podléhá autorskému zákonu.