Výukový materiál zpracován v rámci oblasti podpory 1.5„EU peníze středním školám“

Název školy Obchodní akademie a Hotelová škola Havlíčkův Brod

Název OP OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost

Registrační číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0258

Název projektu Inovace a individualizace výuky na OA a HŠ

Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Označení vzdělávacího materiálu VY_32_INOVACE_04_PVP_224_Sed

Druh učebního materiálu Prezentace

Autor Mgr. Karel Sedlák

VY_32_INOVACE_04_PVP_224_Sed

Vzdělávací obor, pro který je materiál určen Obchodní akademie, Hotelnictví

Předmět Matematika; Matematický seminář

Ročník 1. - 4. ročník

Název tematické oblasti (sady) Rovnice, nerovnice a jejich soustavy

Název vzdělávacího materiálu Kvadratické rovnicePrezentace je určena pro výuku „Matematiky“ v 1. - 2. ročníku čtyřletých oborů vzdělání Obchodní akademie a Hotelnictví. Lze ji rovněž využít pro rekapitulaci a upevnění učiva ve volitelném předmětu „Matematický seminář“ ve 3. – 4. ročníku výše uvedených oborů. Cílem prezentace je poskytnout přehled jednotlivých typů kvadratických rovnic a systematizace základních postupů při jejich řešení. Součástí prezentace jsou příklady pro samostatnou práci žáků v hodině včetně správných řešení.

Zhotoveno, (datum/období) září 2013

Ověřeno 16. dubna 2014

KVADRATICKÉ ROVNICE

Definice:

Kvadratická rovnice s neznámou x je každá rovnice, kterou lze vyjádřit ve tvaru

= koeficienty (reálná čísla; ) x = neznámá (x R) = kvadratický člen = lineární člen c = absolutní člen = kvadratický trojčlen jedná se o algebraickou rovnici 2. stupně

Typy kvadratických rovnicA. Ryze kvadratická:

B. Bez absolutního členu:

C. Úplná kvadratická rovnice: 0; c 0

Tvary kvadratických rovnicAnulovaný tvar = pravá strana rovnice je rovna nule; všechny členy se převedou na levou stranu a seřadípodle vzorce pro úplnou kvadratickou rovnici (kvadratický člen, lineární člen, absolutní člen).Např.:

Tvary kvadratických rovnicNormovaný tvar = úplná kvadratická rovnice, ve které je koeficient a kvadratického členu roven jedné.

Odvození: Substituce:

A. Ryze kvadratická rovnice

Řeší se odmocněním, případně rozkladem:

Řešení ryze kvadratické rovnicePříklad č. 1:

Případně rozkladem: 1. 2.

Řešení ryze kvadratické rovnicePříklad č. 2:

|+170

B. Rovnice bez absolutního členu

Řeší se vytýkáním; jeden kořen je vždy roven 0:

Poznámka: Součin je nulový, je-li alespoň jeden z činitelů roven 0!

Řešení rovnice bez absolutního členuPříklad č. 3:

Řešení rovnice bez absolutního členuPříklad č. 4:

C. Úplná kvadratická rovnice

Kořeny rovnice se určí užitím vzorce:

D = diskriminant kvadratické rovnice

Diskuse řešení kvadratické rovnice

1. Je-li 0, má rovnice 2 reálné kořeny

2. Je-li = 0, má rovnice 1 reálný kořen dvojnásobný

3. Je-li D , nemá rovnice v oboru reálných čísel řešení. Řešení ale existuje v oboru čísel komplexních.

Řešení úplné kvadratické rovnicePříklad č. 5:

Řešení úplné kvadratické rovnicePříklad č. 6:

Řešení úplné kvadratické rovnicePříklad č. 7:

Vietovy vzorceJsou-li kořeny kvadratické rovnice v normovaném tvaru , pak pro ně platí dva vztahy:

Jsou-li kořeny úplné kvadratické rovnice ve tvaru , pak pro ně platí obdobné dva vztahy:

Kořenoví činiteléMá-li úplná kvadratická rovnice kořeny , pak platí:

Jedná-li se o kvadratickou rovnici v normovaném tvaru, pak obdobně platí:

Výrazy se nazývají kořenoví činitelé.Používají se při rozkladu kvadratického trojčlenu

Rozklad kvadratického trojčlenu

• Využívá se zejména při řešení normované kvadratické rovnice:

• Nejrychlejší a nejjednodušší způsob jejího řešení.

• Na základě Vietových vztahů se určí kořeny .• Musí pro ně platit, že jejich součin se rovná

číslu q a jejich součet je číslo opačné ke koeficientu p.

Příklady na rozklad

Kvadratické rovnice s neznámou ve jmenovateli

Postup je obdobný jako při řešení lineárních rovnic. Při požadavku použití ekvivalentních úprav je nutné

předem stanovit definiční obor rovnice. Pokud se definiční obor nestanoví, pak je nezbytné důsledně

provádět zkoušku u všech získaných kořenů. Lomené výrazy mají smysl pouze tehdy, jsou-li výrazy ve

jmenovatelích nenulové (nulou nelze dělit). Takže např. v rovnici: stanovíme podmínky: Zápis definičního obor rovnice: Jiná forma zápisu:

Řešení kvadratické rovnice s neznámouve jmenovateliPříklad č. 8: |.3(x-4).(x+5) x4 x-5∧ :2 0

Příklady na procvičení – I. část

Příklady na procvičení – II. část

7.

Výsledky příkladů

1)2)

3)

4)

5)

LITERATURA: POLÁK, Josef. Přehled středoškolské matematiky. 8. vyd. Praha:

Prometheus, 2005, 608 s. ISBN 80-719-6267-8.

HRUŠKA, Miroslav. Státní maturita z matematiky v testových úlohách včetně řešení. 1. vyd. Olomouc: Agentura Rubico, s.r.o., 2012. ISBN 80-7346-149-2.

VOŠICKÝ, Zdeněk. Matematika v kostce. 2. vyd. Havlíčkův Brod: Fragment, 1997, 124 s. ISBN 80-720-0012-8.

VOŠICKÝ, Zdeněk. Cvičení k matematice v kostce: [pro střední školy]. 1. vyd. Havlíčkův Brod: Fragment, c1999, 208 s. ISBN 80-720-0251-1

LITERATURA: KUBEŠOVÁ, Naděžda a Eva CIBULKOVÁ. Matematika: přehled

středoškolského učiva. 2. vyd. Třebíč: Petra Velanová, 2006, 239 s. Maturita (Petra Velanová). ISBN 978-808-6873-053.

SÝKORA, Václav. Matematika: sbírka úloh pro společnou část maturitní zkoušky : základní obtížnost. 1. vyd. Praha: Tauris, 2001, 96 s. Sbírky úloh pro společnou část maturitní zkoušky. ISBN 80-211-0400-7.

ČERMÁK, Pavel. Odmaturuj! z matematiky. Vyd. 2.(opr.). Brno: Didaktis, 2003, 208 s. ISBN 80-862-8597-9.

LITERATURA: KLODNER, Jaroslav. Sbírka úloh z matematiky pro obchodní

akademie. 5. upr. vyd. Svitavy: SOFICO-CZ, 2005, 168 s.

PETÁKOVÁ, Jindra. Matematika: příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1998, 303 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 80-719-6099-3.

Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další

využití podléhá autorskému zákonu.