Výukový materiál zpracován v rámci oblasti podpory 1.5„EU peníze středním školám“

Název školy Obchodní akademie a Hotelová škola Havlíčkův Brod

Název OP OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost

Registrační číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0258

Název projektu Inovace a individualizace výuky na OA a HŠ

Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Označení vzdělávacího materiálu

VY_32_INOVACE_04_PVP_198_Kli

Druh učebního materiálu Prezentace

Autor  Mgr. Květa Klímová

VY_32_INOVACE__04_PVP_198_Kli

Vzdělávací obor, pro který je materiál určen

Obchodní akademie, Ekonomické lyceum, Hotelnictví

Předmět Matematika, Matematický seminář

Ročník Třetí, čtvrtý

Název tematické oblasti (sady)

Statistika a pravděpodobnost

Název vzdělávacího materiálu

Výpočet pravděpodobnosti

Anotace

Vzdělávací materiál porovnává výpočet pravděpodobnosti průniku a sjednocení jevů. Zavádí pojmy neslučitelný a nezávislý jev. Materiál může být použit v Matematice při výkladu nové látky ve 3. ročníku nebo při maturitním opakování látky ve 4. ročníku.

Zhotoveno, (datum/období) leden 2014

Ověřeno 6. února 2014

Výpočet pravděpodobnosti

Neslučitelné jevyPříklad: Jaká je pravděpodobnost, že při hodu kostkou padne číslo nebo padne číslo sudé (nebo = sjednocení). Můžeme na tuto situaci pohlížet jako na dva jevy, které se navzájem vylučují (nemohou nastat současně):Jev A ... padne číslo , Jev B ... padne číslo sudé, Výsledek:

Jsou-li A a B dva neslučitelné jevy, pak pravděpodobnost jejich sjednocení je rovna součtu jejich pravděpodobností:

Neslučitelné jevy - příkladV osudí je 12 zelených, 14 modrých a 20

bílých koulí. Vytáhneme jednu kouli. Jaká je pravděpodobnost, že je zelená nebo modrá?jev A ... vytažená koule je zelená jev B ... vytažená koule je modrá

Jevy nemohou nastat současně, jsou neslučitelné, proto jejich pravděpodobnosti můžeme sečíst.

Sčítání pravděpodobnostíPříklad: Jaká je pravděpodobnost, že při hodu kostkou padne číslo větší jak tři nebo padne číslo sudé. Tyto jevy mohou nastat současně, pokud padnou čísla 4 nebo 6.Jev A ... padne číslo větší jak 3, Jev B ... padne číslo sudé, Výsledky nemůžeme sečíst, protože pravděpodobnost, že padne číslo 4 nebo číslo 6 je započítána dvakrát. Musíme tedy odečíst pravděpodobnost průniku jevů A, B.Jev AB ... padne číslo 4 nebo číslo 6, .

Obecný vzorec pro sčítání pravděpodobností

Jsou-li A a B libovolné jevy, pak platí:

Pro tři libovolné jevy A, B, C platí:

Sčítání pravděpodobností - příkladPříklad: Ve třídě je 30 žáků. Škola umožňuje připojení k internetu na vlastním zařízení. Mobilní telefon k tomuto účelu může použít 17 žáků, tablet 12 žáků, obojí současně 5 žáků.

S jakou pravděpodobností náhodně vybraný žák třídy může využít tuto službu školy?

Poznámka:

Žáci, kteří mají přístup pomocí mobilu, mohou mít současně i tablet. Proto je součet 17+12+5 větší než počet žáků ve třídě.

Opačný jevPříklad:a) jev A ... při hodu kostkou padne sudé číslo

jev A´... při hodu kostkou padne liché číslob) jev B ... při hodu dvěma kostkami padne součet 12

jev B´... při hodu dvěma kostkami nepadne součet 12c) jev C ... při rozdávání karet dostanu alespoň jedno eso

jev C´... při rozdávání karet nedostanu žádné esoUvedené dvojice jevů představují navzájem opačné jevy. Jsou neslučitelné a vždy nastává právě jeden z nich. Platí :

Nezávislé jevyNezávislostí dvou jevů rozumíme to, že uskutečnění

jednoho nemá vliv na uskutečnění nebo neuskutečnění druhého jevu.

Řekneme, že jevy A a B jsou nezávislé, jestliže platí:

Příklad: Na výrobku se objevují dva druhy vad. První vada s pravděpodobností 8 %, druhá (nezávislá na první) s pravděpodobností 3 %. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný výrobek bude bez vady?

Poznámka: Využili jsem pravděpodobnosti opačných jevů

Příklady1) Hodíme dvakrát hrací kostkou. Jaká je

pravděpodobnost, že padne součet větší jak 10?2) Jaká je pravděpodobnost, že se dva lidé narodili

ve stejném měsíci?3) Střelec se trefí do terče s pravděpodobností 92 %.

Jaká je pravděpodobnost, že při dvou pokusech zasáhl cíl právě dvakrát?

4) Žárovka svítí se spolehlivostí 0,85. Jaká je spolehlivost systému (alespoň část svítí), jsou-li zapojeny:

a) dvě žárovky sériově,b) dvě žárovky paralelně?

Řešení1) Součet větší než 10 padne, pokud bude

kombinace na kostkách 6+5, 5+6 nebo 6+6.

2) Jsou to nezávislé jevy. 3) a) průnik nezávislých jevů

b) jde o sjednocení jevů

Použitá literatura:

CALDA, Emil a DUPAČ, Václav. Matematika pro gymnázia. Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika. 5. vyd. Praha: Prometheus, 2008. 170 s. Učebnice pro střední školy. ISBN 978-80-7196-365-3.

ROBOVÁ, Jarmila, HÁLA, Martin a CALDA, Emil. Komplexní čísla, kombinatorika, pravděpodobnost a statistika: matematika pro střední školy. 1. vyd. Praha: Prometheus, 2013. 235 s. Učebnice pro střední školy. ISBN 978-80-7196-425-4.

PETÁKOVÁ, Jindra. Matematika - příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1998. 303 s. ISBN 80-7196-099-3.

Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu.