Výukový materiál zpracován v rámci oblasti podpory 1.5„EU peníze středním školám“

Název školy Obchodní akademie a Hotelová škola Havlíčkův Brod

Název OP OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost

Registrační číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0258

Název projektu Inovace a individualizace výuky na OA a HŠ

Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Označení vzdělávacího materiálu VY_32_INOVACE_04_PVP_221_Sed

Druh učebního materiálu Prezentace

Autor Mgr. Karel Sedlák

VY_32_INOVACE_04_PVP_221_Sed

Vzdělávací obor, pro který je materiál určen Obchodní akademie, Hotelnictví

Předmět Matematika; Matematický seminář

Ročník 1. ročník; 3. – 4. ročník

Název tematické oblasti (sady) Rovnice, nerovnice a jejich soustavy

Název vzdělávacího materiálu Rovnice a nerovnice – základní přehled

Anotace

Prezentace je určena pro výuku „Matematiky“ v 1. ročníku čtyřletých oborů vzdělání Obchodní akademie a Hotelnictví. Lze ji rovněž využít pro výuku volitelného předmětu „Matematický seminář“ ve 3. – 4. ročníku výše uvedených oborů. Tato prezentace je úvodní částí sady „Rovnice a nerovnice“ a jejím cílem je systematizace učiva tohoto rozsáhlého tematického celku, charakteristika základních pojmů a klasifikace typů rovnic a nerovnic.

Zhotoveno, (datum/období) únor 2013

Ověřeno 18. listopadu 2013

ROVNICE A NEROVNICE–

ZÁKLADNÍ PŘEHLED

Pojem rovniceRovnice je zápis rovnosti dvou výrazů s proměnnou x z daného číselného oboru M

L(x) = levá strana rovnice P(x) = pravá strana rovnice x = neznámá (malá písmena latinské abecedy : y, z, t, u, v

…) xk = kořen rovnice (řešení rovnice) M = obor řešení rovnice (obvykle množina R) D = definiční obor rovnice K = množina všech kořenů (⇔obor pravdivosti rovnice P) Platí : K ⊂ D ⊂ M

Kořen rovniceŘešení rovnice

Kořen rovnice = řešení rovnice Dva ekvivalentní výrazy Číslo xk (hodnota neznámé), po jehož dosazení platí

rovnost L(x) = P(x) Řešení rovnice = označení pro postup, kterým hledáme

kořen rovnice

Obor řešení rovnice = M

Nejčastěji množina reálných čísel R Může to být ale jakákoli její podmnožina Číselná množina, ve které se nachází kořeny rovnice Pokud není na začátku stanoveno jinak, pak oborem

řešení rovnice M je množina reálných čísel R Platí: M ⊂ R

Definiční obor rovnice = D

Číselná množina, která obsahuje kořeny rovnice Průnik definičních oborů výrazů L(x) a P(x) Po dosazení libovolného čísla z D za neznámou x

vznikne výrok (pravdivý ∨ nepravdivý) Platí: D ⊂ M ⊂ R

Množina všech kořenů = KObor pravdivosti rovnice = P

Používají se obě značení Číselná množina, která obsahuje všechny kořeny

rovnice Po dosazení libovolného čísla z množiny K

za neznámou x vznikne výrok pravdivý Platí: K ⊂ D ⊂ M ⊂ R

Rozdělení rovnic s jednou neznámou:1) ALGEBRAICKÉ

a) Racionální Lineární ( 1. stupně) Kvadratické ( 2. stupně) Kubické ( 3. stupně) Rovnice 4. stupně, ..…… aj.

b) Iracionální ( s neznámou pod odmocninou)

2) TRANSCENDENTNÍ Logaritmické Exponenciální Goniometrické, ……… aj.

Úpravy rovnic

1. Ekvivalentní

2. Implikační (důsledkové)

1. Ekvivalentní úpravy Nezmění platnost rovnice; po jejich provedení má upravená i původní rovnice právě stejné kořeny. Smyslem ekvivalentních úprav je dostat rovnici do jednoduššího tvaru, ze kterého už lze stanovit kořen rovnice. Např.:

Přičtení téhož čísla nebo výrazu z definičního oboru D k oběma stranám rovnice

Násobení obou stran rovnice stejným číslem různým od nuly nebo výrazem z definičního oboru D různým od nuly

Záměna obou stran rovnice

2. Implikační úpravyPo jejich aplikaci má původní rovnice stejné kořeny jako upravená. Neplatí to ovšem naopak – tzn. že upravená rovnice může mít i některé další kořeny, které původní rovnice nemá. Proto je nezbytné vždy provádět důsledně zkoušky pro všechny kořeny. Patří sem např.:

Umocnění obou stran rovnice přirozeným mocnitelem Odmocnění obou stran rovnice Logaritmování obou stran rovnice

Pojem nerovniceV nerovnici s proměnnou x z číselného oboru M platí pro zápis dvou výrazů L(x) a P(x) právě jeden ze 4 vztahů:

1. {zkrácený zápis pro L(x)<P(x) L((x)=P(x) ∨ }

2. {zkrácený zápis pro L(x)>P(x) L((x)=P(x) ∨ }

Úpravy nerovnic

Při řešení nerovnic platí stejné ekvivalentní úpravy jako při řešení rovnic s jedinou podstatnou výjimkou:

násobíme-li obě strany nerovnice záporným číslem, změní se znak nerovnosti v opačný!!

Základní typy rovnic a nerovnic:

1) lineární rovnice2) lineární nerovnice3) rovnice s neznámou ve jmenovateli4) nerovnice s neznámou ve jmenovateli5) soustavy rovnic6) soustavy nerovnic7) rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou8) kvadratické rovnice9) kvadratické nerovnice10) iracionální rovnice11) rovnice s parametrem12) exponenciální rovnice13) logaritmické rovnice14) goniometrické rovnice

Doporučený postup řešení lineárních rovnic s jednou neznámou

1. Provedení naznačených početních úkonů2. Odstranění zlomků3. Převedení na jednotlivé strany rovnice členů bez

neznámé a členů s neznámou4. Osamostatnění neznámé5. Provedení zkoušky6. Zápis množiny K Poznámka: podle konkrétního zadání daného příkladu se některé kroky vynechávají

LITERATURA: POLÁK, Josef. Přehled středoškolské matematiky. 8. vyd. Praha:

Prometheus, 2005, 608 s. ISBN 80-719-6267-8. VOŠICKÝ, Zdeněk. Matematika v kostce. 2. vyd. Havlíčkův Brod:

Fragment, 1997, 124 s. ISBN 80-720-0012-8. KUBEŠOVÁ, Naděžda a Eva CIBULKOVÁ. Matematika: přehled

středoškolského učiva. 2. vyd. Třebíč: Petra Velanová, 2006, 239 s. Maturita (Petra Velanová). ISBN 978-808-6873-053.

LITERATURA: ČERMÁK, Pavel. Odmaturuj! z matematiky. Vyd. 2.(opr.). Brno:

Didaktis, 2003, 208 s. ISBN 80-862-8597-9. PETÁKOVÁ, Jindra. Matematika: příprava k maturitě a k přijímacím

zkouškám na vysoké školy. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1998, 303 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 80-719-6099-3.

Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další

využití podléhá autorskému zákonu.