RECKO

3000 nejstarsı osıdlenı Troje

2000 prıchod indoevropskych kmenu

1700 rozkvet Krety

1500–1200 rozkvet Myken

1240–1200 egejske stehovanı, vpad Doru do Recka, reckavyprava proti Troji

8.–6. stol. velka recka kolonizace, vznik mestskych statu

porectenı celeho severnıho pobrezı Stredozemnıhomore a celeho pobrezı Cerneho more

vznik mest:Kroton, Elea, Tarent, Syrakuzy, Metaponton, aj.

2

Elea

3

4

Prameny

• 5. – 6. stol. pr. Kr.: temer zadne prameny z filozofie a vedy

– lekarstvı: sbırka spisu Hippokratovske skoly

– matematika, filozofie: zlomky zapsane pozdeji

• castecne ci uplne se zachovaly:– spisy Platona (427–347 pr. Kr.)

– spisy Aristotela (384–322)

– spisy Eukledia (365?–300?)

Zaklady – nejstarsı zcela zachovale dılo recke mate-matiky; do znacne mıry kompilace del predchozıchmatematiku

– spisy pozdejsıch myslitelu

• 2. pol. 4. stol. pr. Kr., Eudemos z Rhodu:

Dejiny matematiky, Dejiny geometrie, Dejiny astronomie

(dıla se nezachovala)5

• Marcus Tullius Cicero (106–43 pr. Kr.):

ve spisech rada informacı o zivote a dıle reckych myslitelu;napr. Tuskulske hovory (45–44 pr. Kr.)

• Diogenes Laertios (3. stol. n.l.):

O zivote, nazorech a vyrocıch muzu, kterı vynikli ve filozo-fii

povrchnı a nekriticka kompilace vytvorena na zaklade star-sıch pramenu

• . . .

6

PUVOD RECKE MATEMATIKY

Poznatky zıskane v Egypte a Mezopotamii – do jake mıry?

Herodotos (484?–430?), Dejiny aneb devet knih dejin nazva-nych Musy:

Tento kral [egyptsky kral Sesostrisos] pry rozdelil pudu mezivsechny Egypt’any a kazdemu pridelil velky ctverhranny dıl; podletoho pak urcil dane a narıdil, aby byly odvadeny rocne. Jestlizereka nekomu kus pozemku urvala, prisel ke krali a oznamil, cose stalo. Kral poslal sve lidi, aby vec zhledli a vymerili, o kolik sepozemek zmensil, aby jeho majitel platil narızenou dan umernepodle zbyle vymery. Myslım, ze tak vzniklo zememericstvı a do-stalo se do Recka.Nastroj pro urcovanı rocnıch obdobı, slunecnı hodiny a rozdelenıdne na dvanact dılu poznali Rekove od Babylonanu.

Podobne nazory i u Prokla (410–485), Aristotela a Platona

7

4. – 6. stoletı pr. Kr.

• vyrazny kvalitativnı skok

• zpracovanı a pretvorenı nahromadenych empirickych i teore-tickych matematickych poznatku v exaktnı vedu

• vymezenı zakladnıch pojmu (bod, prımka, rovina, cıslo, pomeraj.) (rozvıjejıcı se abstraktnı myslenı)

• formulace axiomu, postulatu, logickych principu odvozovanı

• uvedomela vystavba matematickeho sveta ze zakladnıch prvkupodle pravidel danych axiomy a postulaty

• princip minimalizace vychozıch pojmu, predpokladu a postupu

8

PRVNI FILOZOFOVE – 6. STOL. PR. KR.

Vyznamnı filozofove v tehdejsıch civilizacıch:

• Cına: Konfucius (551–479)

• Indie: zakladatel dzinismu Mahavıra (599–527), Budha (563–483)

• zidovsky svet: proroci Jeremias a Ezechiel

• Recko: prvnı filozofove Thales, Anaximandros, Anaxime-nes, Pythagoras, Herakleitos a dalsıMala Asie: Milet a Efesospokus o prırodovedny vyklad vesmıru, opustenı mytolo-gickeho vykladu

9

THALES Z MILETU (625 – 545)

10

THALES Z MILETU (625 – 545)

pokladan za prvnıho reckeho filozofa

obchodnık (olivove lisy)inzenyrpoliticky cinitel(usiloval o sjednocenı ionskych osad na pobrezı Male Asie)matematik a astronom

navstıvil Babylonii, kde se seznamil s periodicitou slunecnych amesıcnıch zatmenı, uspesne predpovedel zatmenı Slunce v roce585 pr. n. l.

v Egypte se naucil pocıtat vysku pyramid podle jejich stınu

O prırode: povazoval vodu za pralatku, ze ktere vsechno vznikaa do ktere vsechno zanika (voda ma tri skupenstvı, bez vodyzanika zivot, vse je vysledkem redenı a zhust’ovanı).

11

Matematicke vysledky:

• prumer delı kruh na dve poloviny

• uhly pri zakladne rovnoramenneho trojuhelnıka jsou shodne

• vrcholove uhly jsou shodne

• vsechny uhly nad prumerem jsou prave

Nevıme, zda je pouze formuloval nebo i dokazal.

Ovladl pojem podobnosti trojuhelnıku, ktere vyuzıval k urcovanıvysek a vzdalenostı lodı na mori.

12

ANAXIMANDROS (610 – 546)

zak Thaleta

filozof, astronom, geograf

za pralatku povazoval neomezenou neurcitou latku apeiron(z nı procesem vydelovanı vznikajı veci)

nechal ve Sparte postavit gnomon (sloupek postaveny kolmo kvodorovne plose) k merenı casu, stanovenı rovnodennosti a slu-novratu

nakreslil mapu tehdejsıho sveta

vytvoril model hvezdne sfery

znal pojem ekliptiky, formuloval geocentricky model vesmıru; Zemipovazoval za valec, ktery se volne vznası ve stredu vesmıru; po-kousel se urcit rozmery Slunce, Zeme a Mesıce.

13

ANAXIMENES (585 – 528)

zak Anaximandra

za pralatku povazoval vzduch

nebeska telesa jsou plocha, vznasejı se ve vzduchu, ostatnılatky vznikajı zhust’ovanım a zred’ovanım vzduchu

HERAKLEITOS Z EFESU (540 – 480)

za zakladnı prvek povazoval ohen

svet je vecny, ale vse plyne a je pomıjive

14

Filozoficka skola ve meste ELEA(VELIA, jiznı Italie)

zakladatel: Xenofanes z Kolofonu (565–470)

nejdulezitejsı predstavitele:

PARMENIDES (540 – 450)

navazal na Xenofanovy myslenky o jedinem nehybnem a ne-mennem jsoucnu, souvisle latce, ktera je vsude stejna, ne-vznikla a nezanikne. Toto jsoucno vyplnuje prostor, ktery jeod latky neoddelitelny; proto neexistuje ani prazdno, ani po-hyb, ani denı. Do prıkreho protikladu stavı rozumove a smys-love poznanı. Smysly neprinasejı verohodne poznanı, ale jenpravdepodobne, ci dokonce nejiste zdanı.

15

ZENON (480 – 430)

zak Parmenida, hajı jeho nazory – sporem: prijıma namitkyodpurcu (existuje pohyb, prostor muze byt oddelen od latky)a odvozuje z nich absurdnı tvrzenı, aporie

APORIE:

• Dichotomie: Nenı pohybu, jezto to, co se pohybuje, musı dojıtdrıve do poloviny cesty, nez dojde k cıli ... nelze projıt nekonec-nym poctem mıst nebo se dotknout nekonecneho poctu mıst vkonecnem case.

odmıtnutı moznosti, ze by bylo mozne v konecnem case ura-zit nekonecne mnoho useku, tedy secıst nekonecnou radu ==odmıtnutı aktualnıho nekonecna(

s =1

2+1

22+1

23+ · · ·

)

16

• Achilles a zelva: Nejpomalejsı tvor nemuze byt v behu nikdydostizen nejrychlejsım, nebot’ pronasledujıcı musı drıve dojıttam, odkud vybehl prchajıcı, takze pomalejsı je nutne vzdy oneco napred.

• Sıp: pohybujıcı se . . . sıp stojı . . . nebot’ je-li vse vzdy v klidunebo v pohybu, (a nehyba-li se), cokoli je v stejnem prostoru,a je-li konecne to, co se pohybuje, v jednom okamziku (vzdy vstejnem prostoru), pak je letıcı sıp nepohnuty.

tj. pohybujıcı sıp je v kazdem okamziku sveho letu v urcitembode a v tomto bode je v tom okamziku v klidu. Pak je v kazdemokamziku v klidu a nepohybuje se

• Stadion: Necht’ existujı dve rady teles, kazda z nich se skladaze stejneho poctu teles o stejnem objemu. Necht’ se ta telesapohybujı jedno vedle druheho po zavodnı draze stejnou rych-lostı opacnymi smery. Pak dochazıme k zaveru, ze polovinadaneho casu se rovna jeho dvojnasobku.

17

RECTI ATOMISTE

Leukippos (500 – 440), Demokritos z Abder (460 – 370)

uznali prazdny prostor, pohyb, zmenu, vznik a zanik

za zakladnı prvky jsoucna pokladali nepatrne, neviditelne a ne-delitelne castecky, atomy – ruzne velke a ruzne hmotne, ne-menne, neznicitelne, oddelene prazdnym prostorem, v neusta-lem pohybu. Vznik a zanik vecı je spojovanı a rozlucovanı atomu,vse se deje dle osudu a zakona.

Demokritos – nekolik matematickych spisubod = prostorovy atom, usecka = tvorena konecnym poctembodu (i kdyz vetsım, nez lze smysly poznat)kruh = mnohouhelnık, jehoz kazdou stranu tvorı jen dva atomy.Geometricka telesa = tvorena rovnobeznymi destickami o sılejednoho atomu ⇒ vypocet objemu nekterych teles; zrejme doka-zal, ze objem hranolu je trikrat vetsı nez objem jehlanu o stejnezakladne a vysce.

18

19

PYTHAGOREJCI

PYTHAGORAS (570?–500?)politik, filozof, myslitel, matematik

pochazel z ostrova Samos (nedaleko Miletu)

pozdeji presıdlil do Krotonu v jiznı Italii, kde zalozil filozofickouskolu, ktera mela zaroven charakter nabozenske skoly ci sekty→ pozdeji vyhnani; Pythagoras zemrel v Metapontu

Podle Cicera byl Pythagoras vynalezcem slova filozofie

zaklad jsoucna= cıslo (arithmos): spolecny element vsech jevu

– prıtomne v pohybu planet, majestatu pyramid, v hudbe, tanci, . . .– neomylne, na rozdıl od vsech konkretnıch jevu je dokonale– jeho zakonitosti jsou nezavisle na nasem svete(soucet dvou sudych cısel je sude cıslo a na tom nic nezmenıZeus ani Moira, vybuch sopky ci mor)

stavbu sveta lze popsat prirozenymi cısly a jejich pomery

20

21

Pythagoras (570?–500?)

22

Pythagorejci prosazovali studium kvadrivia (geometrie, arit-metika, astronomie a hudba), mezi jeho jednotlivymi soucastmicıtili uzke souvislosti (napr. Pythagorova veta a pythagorejsketrojice cısel; pravidelne mnohouhelnıky a figuralnı cısla).

Pythagorejsky pohled na svet cısel:1 = zakladnı stavebnı jednotka aritmetiky (zakladnı jednotkacıselneho mnozstvı, nikoli cıslo) i geometrie (bod, zakladnı jed-notka obsahu plochy ci objemu)

prirozene cıslo = souhrn jednotek

kladna racionalnı cısla = pomery prirozenych cısel

Zpocatku se domnıvali, ze s tımto svetem cısel a velicin vystacı,pozdeji se vsak presvedcili o opaku:objev nesoumeritelnych velicin ⇒ 1. krize matematiky

23

Hudba

Pythagorejci hudbu chapali v uzkem vztahu k matematice

Vyska tonu je neprımo umerna delce struny nebo vysce vzdu-choveho sloupce (drıve zajiste intuitivne pouzıvano)

Monochord

24

Vyslovili zakon harmonie: k danemu tonu vytvorenemu napr.chvejıcı se strunou zıskame ton, ktery s nım ladı, kdyz strunuseskrtıme tak, aby pomer delek vznikleho useku a cele struny bylvyjadren pomocı malych prirozenych cısel

oktava: pomer 1 : 2, kvinta: 2 : 3, kvarta: 3 : 4

1

2=3

4·2

3

Hudebnı umera: (12, 9, 8, 6)

6 : 12 = oktava, 8 : 12 = kvinta, 9 : 12 = kvarta

9 = 12+62 (aritmeticky prumer), 8 = 2·6·12

12+6 (harmonicky prumer)

cely ton . . . 23 =812 =

912 · 89 (pulton: 89 = p · p ⇒ p = 2

√23 )

velka tercie . . . 89 · 89 =6481

pulton . . . 34 =6481 · p ⇒ p = 3

4 · 6481 =243256

25

26

Oktava rozdelena na 5 celotonovych a 2 pultonove kroky:

8

9·8

9·243

256·8

9·8

9·8

9·243

256Pythagorejske komma: o kolik se lisı od 1 pomer 7. oktavy a 12.kvinty:

(12

)7:(23

)12= 1, 01364...

Temperovane ladenı

Prvnı pokus:

Bartolome Ramos (1440 – 1491): De musica tractatus, 1482

Numericke vypracovanı a prakticke pouzitı:

Marin Mersenne (1588 – 1648): Harmonie Universelle, 1636

Oktava rozdelena na 12 stejnych kroku o stejnem podılu frek-vencı:

q12 = 2 ⇒ q = 12√2 = 1, 0594630944...

27

Kosmologie

Opustenı geocentrismu

Stred vesmıru: centralnı ohen, kolem neho rovnomerne obı-haly planety, Slunce, Mesıc, Zeme a Protizeme (tedy 10 objektua deset je dokonale cıslo).

Objekty se nachazejı na sferach, jejich prumery jsou pomery ma-lych prirozenych cısel, ktere odpovıdajı hudebnım pomerum.

Pohyb sfer zpusobuje dokonale krasnou hudbu, vnımanou snadjen rozumem.

Harmonie kosmu, hudba sfer

28

Cıselny mysticismus

jednotliva cısla mela ruzny vyznam a moc.

Suda byla zenska, licha muzska,

cıslo 4 predstavovalo spravedlnost, cıslo 5 manzelstvı apod.

Cıslo 10 je dokonale: 1 + 2 + 3 + 4 = 10, kde 1 je zakladnıjednotka, 2 body urcujı prımku, 3 rovinu a 4 prostor.

Magickym obrazcem byl pro pythagorejce pravidelny petiuhelnık.Snad proto, ze jeho uhloprıcky jsou navzajem deleny v pomeruzlateho rezu. Snad proto, ze schopnost konstruovat tento utvarpomocı pravıtka a kruzıtka byl prvnı velky uspech recke matema-tiky.

29

Pythagorova veta

Pythagorova veta byla pravdepodobne znama jiz v Egypte a zcelajiste davno pred Pythagorem v Mezopotamii. Nevıme vsak, zdabyl znam jejı dukaz. Byly znamy nektere pythagorejske trojicecısel, ktere byly zrejme vypozorovany z tabulek druhych mocnin.

Rekove pripisujı prvnı dukaz teto vety Pythagorovi, ktery pry jakovyraz vdecnosti obetoval bohum sto volu.

Platonuv dialog Menon – zdvojenı ctverce:

30

31

32

Jak vypadal Pythagoruv dukaz, nevıme. Nasledujıcı dukaz je ob-sazen v Eukleidovych Zakladech.

33

Trojuhelnıky ABD, FBC jsou shodne (sus):

34

Obsah trojuhelnıka FBC je roven polovine obsahu ctverce ABGF(BF je zakladna, FG vyska), obsah trojuhelnıka ABD je rovenpolovine obsahu obdelnıka BDLM, obsahy ABGF a BDLM jsou sitedy rovny

35

Analogicky pro trojuhelnıky ACE, KCB:

36

Obsah ctverce ACKH je roven obsahu obdelnıka LECM:

37

38

Figuralnı cıslaHledanı radu, zakonitostı a harmonie ve svete prirozenych cısel,snaha o klasifikaci

Geometricka interpretace cısel: cısla, ktera byla casto repre-zentovana hromadkou kamenku, zacali trıdit podle tvaru, do kte-rych je bylo mozne srovnat:

Trojuhelnıkova cısla:

3 = 1 + 2, 6 = 1 + 2 + 3, . . . , an = 1 + 2 + 3 + · · ·+ n = 12 · n(n+ 1)

39

Ctvercova cısla:

4 = 2 · 2, 9 = 3 · 3, 16 = 4 · 4, . . . , an = n2

Petiuhelnıkova cısla:

5, 12, 22, . . . , an = 12 · n · (3n − 1)

40

Obdelnıkova cısla:

6, 12, 20, . . . , an = n(n+ 1)

Prımkova cısla:

an = n2; diference: 2, 3, 4, . . .

Dale cısla kubicka, jehlanova aj.

Geometricke znazornenı cısel umoznuje objevovat a zviditelnovatmatematicke poznatky a jejich dukazy (vyuzitı i v dnesnı vyuce)

41

Suda a licha cısla

Sude cıslo je mozne usporadat do obdelnıku s jednou stranou 2,u licheho to mozne nenı:

Odtud je pak ihned zrejme, ze soucet dvou sudych (lichych) cıselje cıslo sude, soucet sudeho a licheho cısla je cıslo liche:

42

Delitelnost

Cısla slozena: lze je reprezentovat nejakym obdelnıkovym neboctvercovym cıslem

Prvocısla: nenı to mozne (cısla prımkova)

Soucet dvou cısel, ktera jsou delitelna jistym cıslem, je rov-nez tımto cıslem delitelny:

Pythagorejske trojice cısel

Pythagoras: 2p2 + 2p, 2p+ 1, 2p2 + 2p+ 1

Platon: p2 − 1, 2p, p2 + 1

43

Pomery, umery a zlaty rez

Geometricky prumer

Sestrojte ctverec, ktery ma stejny obsah jako dany obdelnık:

a · b = x2

a : x = x : b

Zlaty rez

Rozdelte usecku delky a tak, aby pomer delek cele usecky a jejıvetsı casti byl roven pomeru delek vetsı casti a mensı casti:

a : x = x : (a − x)

ax+ x2 = a2 ⇒ x = a ·√5− 12

≡ 0, 618 · a

44

Podobnost obdelnıku:

45

Prusecık uhloprıcek pravidelneho petiuhelnıka delı tyto uh-loprıcky v pomeru zlateho rezu:

46

Nesoumeritelnost

Spolecnou mırou usecek a, b nazveme takovou usecku m, jejı-miz nasobky jsou obe usecky:

a = p · m, b = q · m.

Existuje-li spolecna mıra dvou usecek, nazyvajı se soumeritelne.

Puvodnı domnenka: kazde dve usecky jsou soumeritelne (a tımi kazdy konecny konecny pocet usecek).

Strednı geometricka umerna: a : b = b : cco kdyz je a = 1, c = 2?

Nesoumeritelnost strany a uhloprıcky ctverce:

Predpokladejme, ze usecka m je nejvetsı spolecnou mırou stranya uhloprıcky ctverce; strana obsahuje a, uhloprıcka u jednotekurcenych useckou m.

47

Pythagorova veta:u2 = 2a2,

u2 a tudız i u je sude u = 2p

4q2 = 2a2

a2 = 2q2

a je proto take sude, coz je spor: 2m by byla rovnez spolecnamıra

48

Jina uvaha:

u2 = a2 + a2

u2 je sude, u take; celym poctem jednotlivych usecek m lze protozmerit i u/2Podle Pythagorovy vety:

a2 =(

u

2

)2+

(u

2

)2,

tj. a2 a tedy i a je sude cıslo, opet spor.49

PRVNI KRIZE MATEMATIKY

Objev nesoumeritelnosti ⇒ svet geometrickych velicin (reprezen-tovanych delkami usecek) je bohatsı nez svet cısel (prirozenycha kladnych racionalnıch)

Zhroucenı puvodnı predstavy o vzajemnem vztahu cısel a geo-metrickych velicin

Vychodiska

• Recka geometricka algebra

• Eudoxova teorie proporcı

50

Recka geometricka algebra

Vychodisko z krize: veliciny prestaly byt chapany jako prirozenacısla a jejich pomery, ale zacaly byt chapany jako delky, obsahya objemy.

Zakon homogenity: scıtat a odecıtat se mohou jen veliciny stej-neho rozmeru. Soucinem delek je obsah, soucinem delky a ob-sahu je objem.

Pomocı geometricke algebry je mozno vyjadrit mnoho algebraic-kych vztahu, na ktere dnes nahlızıme ryze algebraicky.

51

a2 − b2 = (a − b)(a+ b)

52

Resenı algebraickych rovnic:

Najdete obdelnık s jednou stranou a, jehoz obsah je roven ob-sahu daneho ctverce o strane b.

ax = b2

(uhloprıcka EH pulı obdelnık CEFH i obdelnıky ASDE, GHBS,proto je obsah obdelnıka FGSA roven obsahu ctverce SBCD,tedy SG = x)

53

Najdete ctverec, ktery ma stejny obsah jako dany obdelnık:

x2 = ab

S je stred usecky DF, GHFS je ctverec o strane a+b2(

a+b2

)2=

(a−b2

)2+ x2

x se sestrojı pomocı Pythagorovy vety

(Dnes bychom resili pomocı Eukleidovy vety)

54

ax − x2 = b2, b ≤ a2

55

ax+ x2 = b2

56

Resenı rovnice ax+ x2 = b2 pomocı Eukleidovy vety:

57

x2 − ax = b2

58

EUDOXOS Z KNIDU (408 – 355)

Resenı krize po objevu nesoumeritelnych velicin: teorie proporcı

Proporce vytvarena velicinami a, b se rovna proporci vytvorenevelicinami c, d, tj. a : b = c : d, jestlize pro libovolna prirozenacısla m, n platı:

na < mb ⇐⇒ nc < md;na > mb ⇐⇒ nc > md;na = mb ⇐⇒ nc = md.

Mnozina vsech dvojic prirozenych cısel se rozpadne na 3 dis-junktnı mnoziny:

X = {(m, n);na < mb}, Y = {(m, n);na > mb},

Z = {(m, n);na = mb}.59

Proporce se vyuzıvala jak pro soumeritelne, tak pro nesoumeri-telne veliciny.

Pokus o teorii realnych cısel

Teorie zpracovana v pate knize Eukleidovych Zakladu

Richard Dedekind (1831 – 1916) – teorie rezu: sleduje Eudo-xovu myslenku

Eudoxova exhaustivnı (vycerpavacı) metoda

Staroveka limitnı metoda: vychazı se z tvrzenı, ze pokud od veli-ciny M odejmeme velicinu vetsı nez je polovina M, pak od zbytkuopet velicinu vetsı nez je jeho polovina atd., dostavame vzdy podostatecne velkem poctu kroku zbytek mensı nez je libovolnapredem dana velicina m.

Vrcholu dosahla tato metoda v dıle Archimeda.

60