1. Planimetrie - geometrické útvary v rovině 1. Základní pojmy Body • průsečíky čar, značí se velkými tiskacími písmeny • A = B … bod A je totožný (splývá) s bodem B • A ≠ B … různé body A, B Přímka • je dána dvěma různými body • značí se malými písmeny latinské abecedy nebo užitím symbolu ↔ • např. p = ↔ AB • D ∈ p - bod D leží na přímce p (přímka p prochází bodem D) • C ∉ p - bod C neleží na přímce p (přímka p neprochází bodem C) Pozn: A, B jsou incidentní s p, p je incidentní s A i B, C není incidentní s p. p není incidentní s C. Polopřímka • bod rozděluje přímku na dvě navzájem opačné polopřímky, je jejich společným počátkem • např. → ΕΒ … polopřímka EB Úsečka • např. KL … úsečka KL • KL = → KL ∩ → LK (průnik polopřímek KL a LK) • K, L … krajní body úsečky • M … vnitřní bod úsečky (analogicky vnitřní body, vnitřek úsečky) • |KL| … délka úsečky – vzdálenost bodů K, L • KL ⊂ → KL, KL ⊂ → LK, KL ⊂ ↔ KL • střed úsečky – dělí úsečku na dvě shodné úsečky • součtem úseček o délkách a, b je každá úsečka s délkou a + b rozdílem úseček o délkách a, b (a > b) je každá úsečka s délkou a – b 1
Transcript
1. Planimetrie - geometrické útvary v rovině
1. Základní pojmy
Body
• průsečíky čar, značí se velkými tiskacími písmeny
• A = B … bod A je totožný (splývá) s bodem B
• A ≠ B … různé body A, B
Přímka
• je dána dvěma různými body
• značí se malými písmeny latinské abecedy nebo užitím symbolu ↔
• např. p = ↔ AB
• D ∈ p - bod D leží na přímce p (přímka p prochází bodem D)• C ∉ p - bod C neleží na přímce p (přímka p neprochází bodem C)
Pozn: A, B jsou incidentní s p, p je incidentní s A i B, C není incidentní s p. p není incidentní s C.
Polopřímka
• bod rozděluje přímku na dvě navzájem opačné polopřímky, je jejich společným počátkem
• např. → ΕΒ … polopřímka EB
Úsečka
• např. KL … úsečka KL
• KL = → KL ∩ → LK (průnik polopřímek KL a LK)
• K, L … krajní body úsečky
• M … vnitřní bod úsečky (analogicky vnitřní body, vnitřek úsečky)
• |KL| … délka úsečky – vzdálenost bodů K, L
• KL ⊂ → KL, KL ⊂ → LK, KL ⊂ ↔ KL
• střed úsečky – dělí úsečku na dvě shodné úsečky
• součtem úseček o délkách a, b je každá úsečka s délkou a + b
rozdílem úseček o délkách a, b (a > b) je každá úsečka s délkou a – b
1
• Př.: součet a rozdíl úseček graficky
• osa úsečky – prochází středem úsečky a je k ní kolmá
Rovina
• je určena třemi různými body nebo přímkou a bodem neležícím na přímce • značí se malými písmeny řecké abecedy např. α, β nebo ↔ ABC nebo ↔ pC
Polorovina
• přímka dělí rovinu na dvě navzájem opačné poloroviny a je jejich společnou hraniční přímkou
• např. → pN ( → pM, příp. → ABN ) … polorovina určená přímkou p a bodem N ( přímkou p a bodem M, příp. body ABN)
Vzájemná poloha útvarů :
A ∈ p ... bod A leží na přímce p, přímka p prochází bodem A A ∈ ρ ... bod A leží v rovině ρ, rovina ρ prochází bodem Ap ⊂ ρ ... přímka p leží v rovině ρ (rovina ρ obsahuje přímku p, rovina ρ prochází přímkou p)A ∉ p, A ∉ ρ, p ⊄ ρ ... opak (neleží, neprochází)
2
Úhel
• úhlem rozumíme buď průnik dvou polorovin s různoběžnými hraničními přímkami (konvexní úhel) nebo jejich sjednocení (nekonvexní úhel).
• např. ∢ AVB … konvexní úhel AVB
V … vrchol úhlu→ VA, → VB … ramena úhlu M … vnitřní bod konvex. úhlu AVBN … vnitřní bod nekonvex. úhlu AVB
úhel
nekonvexní 180° < α < 360°
konvexní 0° ≤ α ≤ 180°
nulový α = 0°
pravý α = 90°
přímý α = 180°
plný α = 360°
kosý
ostrý 0° < α < 90°
tupý90° < α < 180°
3
Konvexní geometrický útvar
• geometrický útvar se nazývá konvexní, jestliže úsečka spojující kterékoliv dva body útvaru je součástí tohoto útvaru
• dvě různoběžky p, q se společným bodem V rozdělí rovinu na čtyři úhly - dvě dvojice úhlů jejichž ramena jsou opačné polopřímky.
• vrcholové úhly jsou shodné
• dvojice vrcholových úhlů:
Doplňkové úhly
• libovolné dva ostré úhly, jejichž součet velikostí je 90°
Výplňkové úhly
• libovolný ostrý úhel a tupý úhel, jejichž součet velikostí je 180°
Styčné úhly
• konvexní úhly AVB, BVC, které leží v rovině tak, že jejich průnikem je právě jen rameno VB
• vedlejší úhly – styčné úhly, jejichž grafickým součtem je úhel přímý
4
Osa úhlu
• polopřímka s počátkem ve vrcholu úhlu
• rozdělí úhel na dva shodné úhly
Velikost úhlu
• zápis: ∣∢AVB∣=α … velikost konvexního úhlu AVB
• při měření úhlů volíme za jednotkový úhel určitý díl pravého úhlu
• úhlový stupeň
• šedesátinný (označení 1°)
• je 1/90 pravého úhlu. Z úhlového stupně jsou odvozeny úhlová minuta (1') a úhlová vteřina (1″). Platí 1° = 60' = 3 600″.
• setinný (označení 1g )
• je 1/100 pravého úhlu. Grad se dělí na 100 setinných minut, setinná minuta se dělí na 100 setinných vteřin.
• oblouková míra – jednotkovým úhlem je radián (později)
Součet úhlů
• součet úhlů α, β je úhel o velikosti α + β
Rozdíl úhlů
• rozdíl úhlů α, β (α > β) je úhel o velikosti α β–
Př: Součet a rozdíl úhlů graficky.
5
Shodné geometrické útvary
• lze je přemístěním ztotožnit
• každé dvě přímky jsou shodné, každé dvě polopřímky jsou shodné
• shodné úsečky mají stejné délky, zápis: AB ≅ CD ⇔ |AB| = |CD|
• shodné úhly mají stejnou velikost,
zápis ∢AVB ≅ ∢CUD ⇔ ∣∢AVB∣ = ∣∢CUD∣
Příklady:1. Zapiš symbolicky:
a) bod B leží na polopřímce AC
b) úsečka AC je částí polopřímky BF
c) bod B neleží na úsečce AC
d) úsečka BA neleží na polopřímce CF
e) polopřímka CB nemá s polopřímkou AF žádný společný bod
f) úsečky AC a BD mají jediný společný bod C
g) přímka AC splývá s přímkou BF .
2. Zapiš symbolicky:
a) úsečka CD leží v polorovině ABE
b) polopřímka GD neleží v polorovině ABE
c) bod F leží v polorovině CDA
d) bod F neleží v polorovině CDE
e) polorovina CGB splývá s polorovinou CDE
f) přímka q leží v obou polorovinách ABE a ACG.
6
2. Vzájemná poloha přímek v rovině, souhlasné a střídavé úhly
Různoběžky
• mají společný právě jeden bod – průsečík P
a ∩ b = {P}; P ∈ a ∩ b
• zvláštní případ – kolmé přímky , průsečík P = pata kolmice
• daným bodem lze vést k dané přímce jedinou kolmici
• a⊥b∧a⊥c⇒b∥c
• b∥c∧a⊥b⇒a⊥c
Rovnoběžky a || b• nemají žádný společný bod a ∩ b = ∅ , nebo nekonečně mnoho společných bodů
• zvláštní případ – splývající (totožné) přímky a ∩ b = a = b
• daným bodem lze vést k dané přímce jedinou rovnoběžku
• a∥b∧b∥c⇒a∥c
Rovinný pás (a,b)
• část roviny ohraničená dvěma rovnoběžkami a, b
Úhly souhlasné a střídavé
Uvažujme dvě různé přímky a, b, které jsou proťaty příčkou p ve dvou bodech A, B(příčka – úsečka nebo přímka, která má specif. polohu k jednomu či několika útvarům).
• dvojice souhlasných úhlů:
• dvojice střídavých úhlů:
Jestliže jsou přímky a a b rovnoběžné, pak každá dvojice souhlasných (střídavých) úhlů jsou shodné a obráceně.
7
3. Odchylky a vzdálenosti
Odchylkou α dvou přímek a, b v rovině
• nazýváme• u různoběžných přímek velikost pravého nebo ostrého úhlu, který přímky
svírají• u rovnoběžných přímek velikost nulového úhlu
• zápis ∣∢ab∣=α ; α∈⟨0 ° ;90° ⟩
Vzdálenost bodu A od přímky a
• je vzdálenost bodů A, P
(P je pata kolmice vedené bodem A k přímce p)
• zápis ∣Aa∣
• A∈a⇒∣Aa∣=0
Vzdálenost rovnoběžných přímek a, b
• je vzdálenost bodů A, B ( viz nákres)
• zápis ∣a b∣
• a=b⇒∣ab∣=0
8
3. Trojúhelník
Trojúhelník ABC
• je průnik polorovin ABC, BCA, CAB; A ≠ B ≠ C; A, B, C neleží v jedné přímce.
• A, B, C … vrcholy trojúhelníku
• AB, BC, AC … strany trojúhelníku
• |AB| + |BC| + |AC| = O … obvod trojúhelníku ( délka hranice)
• součet vnitřních úhlů trojúhelníku je vždy úhel přímý.
• vnější úhly trojúhelníku
• vedlejší úhly k vnitřním úhlům trojúhelníku ABC
• vnější úhel je roven součtu vnitřních úhlů při zbývajících vrcholech.
• proti shodným stranám trojúhelníku leží shodné vnitřní úhly, proti větší straně trojúhelníku leží větší vnitřní úhel a naopak.
Dělení trojúhelníků podle délek stran
• různostranné • žádné dvě strany trojúhelníku nejsou shodné
• rovnoramenné • právě dvě strany trojůhelníku jsou shodné – ramena, třetí je základna,
• rovnostranné• všechny strany trojúhelníku jsou shodné
Dělení trojúhelníků podle velikosti vnitřních úhlů
• ostroúhlé
• všechny vnitřní úhly ostré
• tupoúhlé
• právě jeden vnitřní úhel tupý
• pravoúhlé
• právě jeden vnitřní úhel pravý
• strana proti pravému úhlu - přepona, ostatní dvě strany - odvěsny
9
Trojúhelníková nerovnost
• součet každých dvou stran trojúhelníku je větší než strana třetí
např. ∣AB∣⩽∣AC∣+∣BC∣ , přičemž A, B, C jsou vrcholy trojúhelníku
(neleží v jedné přímce)
Pozn: rovnost nastane právě tehdy, když C∈AB .
Úsečky o délkách a, b, c jsou stranami trojúhelníku právě tehdy, když platí ∣b−c∣<a<b+c .
Odvození:
Střední příčka trojúhelníku
• úsečka, která spojuje středy dvou stran trojúhelníku
• ∣A1 B1∣=12
∣AB∣; A1B1∣∣AB , atd...
Výška trojúhelníku
• úsečka , jejímiž krajními body jsou vrchol trojúhelníku a pata kolmice vedené tímto vrcholem k přímce určené zbývajícími vrcholy trojúhelníku
• va, vb, vc
• výšky trojúhelníku se protínají v jediném bodě O – orthocentrum
Těžnice trojúhelníku
• úsečka spojující vrchol se středem protější strany
• ta, tb, tc
• těžnice trojúhelníku se protínají v jednom bodě T – těžiště
• vzdálenost těžiště od vrcholu je rovna dvěma třetinám délky těžnice
10
Kružnice opsaná trojúhelníku
• prochází všemi vrcholy trojúhelníku
• střed je průsečíkem os stran trojúhelníku, poloměr r
Kružnice vepsaná trojúhelníku
• dotýká se všech stran trojúhelníku
• střed je průsečíkem os vnitřních úhlů trojúhelníku, poloměr ρ
Shodnost trojúhelníků
Věta SSS
• Dva trojúhelníky, které se shodují ve všech jeho stranách, jsou shodné.
Věta USU
• Dva trojúhelníky, které se shodují v jedné straně a úhlech přilehlých k této straně, jsou shodné.
Věta SUS
• Dva trojúhelníky, které se shodují ve dvou stranách a úhlu jimi sevřeném, jsou shodné.
Věta SsU
• Dva trojúhelníky, které se shodují ve dvou stranách a úhlu proti větší z nich, jsou shodné.
Podobnost trojúhelníků
• Trojúhelníky A'B'C' a ABC jsou podobné právě tehdy když existuje kladné reálné číslo k takové, že pro jejich strany platí:
∣A' B '∣=k⋅∣AB∣; ∣B' C '∣=k⋅∣BC∣; ∣C ' A'∣=k⋅∣CA∣
neboli c '=k⋅c ; a '=k⋅a ; b '=k⋅b .
• k … koeficient (poměr) podobnosti
k > 1 … zvětšení, k < 1 … zmenšení, k = 1 … shodnost
• Zápis: Δ ABC~Δ A ' B ' C '
• Je-li Δ ABC~Δ A ' B ' C ' s koeficientem k, pak je Δ A' B ' C '~Δ ABC s koef. 1/k.
Věta UU
• Dva trojúhelníky, které se shodují ve dvou úhlech jsou podobné.
Věta SUS
• Dva trojúhelníky, které se shodují v poměru délek dvou stran a úhlu jimi sevřeném, jsou podobné.
11
Příklady1. (J) (K)
Rozhodni, zda jsou podobné trojúhelníky ABC, A'B'C'.
a) a=83
cm , b=73
cm ,γ=55 ° , a '=4cm , b '=72
cm ,γ '=55°
b) a=15cm , b=17cm , γ=75° 40 ' , a '=10cm , b '=11cm , γ '=75° 40 '
*c) ∣AB∣=24mm , vc=16 mm ,∣A ' B'∣=72 mm ,∣A ' C '∣=60mm , trojúhelníky ABC a A'B'C' jsou rovnoramenné
d) a=12cm , b=16cm , c=19cm , a '=10cm , b '=1313
cm , c '=15cm
2. (J) Stín věže je dlouhý 70 m a stín metrové tyče má v tutéž dobu délku 150 cm. Vypočítejte výšku věže.
3. (J) Určete měřítko mapy, jestliže trojúhelníková pole o rozměrech 162,5 m; 117,5 m; 180 m je na mapě zakresleno jako trojúhelník o stranách 6,5 mm; 4,7 mm; 7,2 mm.
4. (J) V rovnoramenném trojúhelníku ABC se základnou AB veďte středem S ramene BC
kolmici na základnu AB s patou D. Dokažte, že platí ∣AD∣=34
∣AB∣ .
*5. (J) Vrcholy trojúhelníku ABC mají od přímky p vzdálenost dA = 3 cm, dB = 4 cm, dC = 8 cm. Vypočítej vzdálenost těžiště T trojúhelníku ABC od přímky p.
6. (J) Vypočítej délky stran a, b, c trojúhelníku ABC, který je podobný trojúhelníku A'B'C', jestliže obvod trojúhelníku ABC je 100 cm a a'= 8 cm, b'= 14 cm, c'= 18 cm.
7. (J) Pomocí redukčního úhlu (graficky) zkraťte úsečky o velikostech 4 cm, 8 cm, 12 cm v poměru 5 : 11.
8. (J) Pomocí redukčního úhlu (graficky) zvětšete úsečky o velikostech 2 cm, 5 cm, 6 cm v poměru 7 : 5.
9. (J) Přímá cesta rovnoměrně stoupá na každé 2 m o 10 cm. O kolik metrů stoupne cesta při vzdálenosti 1250 m?
10. (K) Trojúhelník ABC má délky stran a = 2 cm, b = 3 cm, c = 4 cm. Najděte trojúhelník podobný, jehož strana a' = 3 cm.
11. (K) Věž vrhá stín dlouhý 56 m. Tyč dlouhá 3 m má ve stejném okamžiku stín dlouhý 1,75 m. Jak vysoká je věž? Pod jakým úhlem dopadají sluneční paprsky k zemi?
Řešení:
1. a) A, b) N, c) A, d) N; 2. 140/3 m; 3. 1 : 25 000; 5. 5 cm; 6. a = 20 cm, b = 35 cm, c = 45 cm; 9. o 62,5 m; 10. b' = 4,5 cm, c' = 6 cm; 11. 96 m, 59°44'
• uzavřená lomená čára spolu s částí roviny, kterou ohraničuje
Pojmy: hranice mnohoúhelníku, obvod mn., vrcholy a strany mn., vnitřní body a vnitřek mn., konvexní mnohoúhelník
n–úhleník
• má n-vrcholů (n = 3 … trojúhelník, n = 4 … čtyřúhelník, atd...)
Úhlopříčka n-úhelníku
• úsečka s krajními body ve dvou nesousedních vrcholech
• počet úhlopříček: 12⋅n⋅(n−3)
Konvexní mnohoúhelník
• mnohoúhelník je konvexní, jestliže úsečka spojující kterékoliv dva body mnohoúhelníku je součástí tohoto útvaru
• tětivový mnohoúhelník – konvexní mnohoúhelník, jemuž lze opsat kružnici
• tečnový mnohoúhelník – konvexní mnohoúhelník, jemuž lze vepsat kružnici
• opěrná polorovina konvexního mnohoúhelníku
• každá polorovina, v niž konvexní mnohoúhelník leží a jejíž hraniční přímka má s mnohoúhelníkem společnou právě jednu hranu.
• konvexní mnohoúhelník je průnikem všech svých opěrných polorovin
• vnitřní úhel konvexního mnohoúhelníku
• součet velikostí všech vnitřních úhlů konvexního n-úhelníku: (n−2)⋅180 °
• vnější úhel konvexního mnohoúhelníku
Pravidelný n-úhelník
• má všechny strany a vnitřní úhly shodné
• vnitřní úhly mají velikost (n−2)⋅180 °
n
• lze mu opsat i vepsat kružnici
• např: čtverec, pravidelný pětiúhelník
13
Příklady:1. Velikosti vnitřních úhlů konvexního čtyřúhelníku jsou v poměru m : n : p : q, kde m, n, p, q jsou daná čísla. Jaké mají velikosti?
2. Lichoběžník ABCD s rameny AD délky 3 cm a BC délky 5 cm lze vepsat kružnici. Střední příčka EF dělí lichoběžník na dvě části, jejichž obsahy jsou v poměru 5 : 11. Vypočítej délky základen lichoběžníku.
3. Sestroj pravidelný trojúhelník, čtyřúhelník, pětiúhelník, šestiúhelník, sedmiúhelník a desetiúhelník.
14
5. Konvexní čtyřúhelníky
Různoběžníky
• každé dvě protější strany jsou různoběžné
• např. deltoid
Lichoběžníky
• právě dvě protější strany jsou rovnoběžné – základny, zbývající dvě strany jsou různoběžné - ramena.
• střední příčka lichoběžníku – úsečka spojující středy ramen ∣S1S 2∣=∣AB∣+∣CD∣
2
• výška lichoběžníku – vzdálenost základen
• součet vnitřních úhlů při rameni je 180° (výplňkové úhly)
• zvl. případy
• rovnoramenný lichoběžník – stejná délka ramen
• pravoúhlý lichoběžník - právě jedno rameno je kolmé k základnám
15
Rovnoběžníky
• každé dvě protější strany jsou rovnoběžné
• dělení podle vnitřních úhlů
• pravoúhlé (obdélník, čtverec)
• úhlopříčky jsou shodné
• kosoúhlé ( kosodélník, kosočtverec)
• dělení podle délek stran
• rovnostranné (čtverec, kosočtverec)
• úhlopříčky půlí vnitřní úhly a jsou navzájem kolmé
• různostranné (obdélník, kosodélník)
• v každém rovnoběžníku platí
• protější strany jsou shodné
• protější vnitřní úhly jsou shodné
• úhlopříčky se navzájem půlí, jejich společný bod je středem rovnoběžníku
• věty platí i obráceně: Jestliže konvexní splňuje kteroukoliv z uvedených vlastností, pak je to rovnoběžník.
• Má-li rovnoběžník dva sousední úhly shodné, pak jsou shodné všechny a jsou pravé.
• Má-li rovnoběžník dvě sousední strany shodné, pak jsou všechny jeho strany shodné.
?? Lze každému trojúhelníku opsat a vepsat kružnici?
?? Lze každému konvexnímu čtyřúhelníku opsat a vepsat kružnici?
16
Tětivový čtyřúhelník
• čtyřúhelník, jemuž lze opsat kružnici,
• obdélník, čtverec
• lichoběžník je tětivový, právě když je rovnoramenný
• součet protějších vnitřních úhlů tětivového čtyřúhelníku je úhel přímý
Tečnový čtyřúhelník
• čtyřúhelník, jemuž lze vepsat kružnici
• kosočtverec, čtverec, deltoid
• lichoběžník je tečnový, právě když součet délek jeho základen je roven součtu délek jeho ramen
• součty délek dvojic protějších stran tečnového čtyřúhelníky jsou si rovny
Dvojstředový čtyřúhelník
• čtyřúhelník, jemuž lze opsat i vepsat kružnici
• čtverec
Pozn: Kosodélník není ani tětivový, ani tečnový.
17
6. Kružnice, kruh
Kružnice k(S, r)
• množina všech bodů roviny, které mají od daného bodu S danou vzdálenost r
S … střed kružnice, r … poloměr kružnice
Kruh K(S, r)
• množina všech bodů roviny, které mají od daného bodu S vzdálenost menší nebo rovnu r
S … střed kruhu, r … poloměr kruhu
k(S, r) … hranice kruhu
vnitřní oblast (vnitřek) kruhu, vnější oblast (vnějšek) kruhu
Tětiva kružnice
• úsečka AB, kde A, B jsou dva různé body kružnice
• průměr kružnice d je tětiva procházející středem kružnice d = 2 . r
Kružnicové oblouky (oblouky kružnice) s krajními body A, B
Větší oblouk - oblouk v polorovině ABS , menší oblouk (AB neprochází bodem S)
Půlkružnice – oblouky pokud AB prochází bodem S
Otevřený oblouk – množina všech vnitřních bodů oblouku (oblouk bez krajních bodů)
A, B … krajní body obou oblouků
C1, C2 … vnitřní body jednoho oblouku
Kruhové výseče Kruhové úseče
18
Vzájemná poloha přímky a kružnice
Vnější přímka Tečna Sečna
žádný společný bod právě jeden společný bod právě dva společné body
v > r T … bod dotyku A, B … průsečíky
v = r v < r
tečna je kolmá k r úsečka AB … tětiva
Bodem M, který leží vně kružnice prochází právě dvě tečny kružnice.
|MT1| = |MT2|... délka tečny
Př 1: Je dána kružnice k a vnější bod M. Sestrojte všechny tečny kružnice k procházející bodem M.
19
Vzájemná poloha dvou kružnic k1(S1, r1 ), k2(S2, r2 )
Soustředné kružnice S1 = S2
• nemají žádný společný bod (r1 ≠ r2 ),
nebo nekonečně mnoho společných bodů (r1 = r2 )
• zvláštní případ – totožné (splývající) kružnice, r1 = r2
• mezikruží - všechny body, které mají od bodu S vzdálenost menší nebo rovnu r1 a větší nebo rovnu r2
• šířka mezikruží r1 – r2
• výseč mezikruží – průnik mezikruží a úhlu, jehož vrcholem je střed kružnice
Nesoustředné kružnice S1 ≠ S2
S1S2 … středná úsečka
Každá kružnice leží vně druhé|S1S2| > r1 + r2
Kružnice mají vnější dotyk |S1S2| = r1 + r2
Kružnice se protínají ve dvou bodechr1 - r2 < |S1S2| < r1 + r2
Kružnice mají vnitřní dotyk |S1S2| = r1 - r2
Jedna kružnice leží uvnitř druhé (nedotýkají se)0 < |S1S2| < r1 - r2
20
7. Úhly příslušné k oblouku kružnice k(S, r)
Úhel středový příslušný k oblouku AB ... úhel ω
• má vrchol v bodu S (střed kružnice k), ramena procházejí body A, B
• oblouk AB v daném středovém úhlu leží
• středový úhel k půlkružnici je úhel přímý
Úhel obvodový příslušný k oblouku AB … úhel α
• vrchol V leží na kružnici k, neleží na oblouku AB (ke kterému obvodový úhel přísluší), ramena úhlu procházejí body A, B
• obvodový úhel je vždy konvexní
Ke každému oblouku existuje právě jeden středový úhel a nekonečně mnoho obvodových úhlů.
21
Velikost středového úhlu (ω ) je rovna dvojnásobku velikosti obvodového úhlu (α) příslušného k témuž oblouku.
ω = 2 . α
Platí:
• Všechny obvodové úhly k danému oblouku jsou shodné.
• Obvodový úhel příslušný k menšímu oblouku je ostrý.
• Obvodový úhel příslušný k většímu oblouku je tupý.
• Obvodový úhel příslušný k půlkružnici je ostrý.
• Součet obvodových úhlů příslušných k oběma obloukům AB je úhel přímý (viz tětivový čtyřúhelník)
Thaletova věta
• všech úhly nad průměrem kružnice jsou pravé.
22
8. Obvody a obsahy geometrických obrazců
Geometrický obrazec
• geometrický útvar ohraničený uzavřenou čarou, která je také částí obrazce
Obvod O
• délka hranice geometrického útvaru
Obsah S
• kladné číslo přiřazené geometrickému obrazci tak, že platí
1. Shodné obrazce mají sobě rovné obsahy.
2. Skládá-li se obrazec z několika obrazců, které se nepřekrývají, rovná se jeho obsah součtu jejich obsahů.
3. Obsah čtverce se stranou 1 (mm, cm, …) je 1 (mm2, cm2, …)
