Erika Riveros Morán

Erika Riveros M

APLICACION DE LA DERIVADA

Interpretación Geométrica

Objetivo:

Encontrar la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto dado de ella.

Consideremos la gráfica de la función y sobre ella una recta secante

que pasa por los puntos A y B de coordenada, y respectivamente

La pendiente de esta recta secante viene dada por

= 00

00 )()(

xxx

xfxxf

=

x

xfxxf

)()( 00

Para precisar correctamente la idea de tangente a una curva en un punto, se utilizará la noción

de límite. Si hacemos tender a cero x el punto B sobre la gráfica se acercará al punto A y la

pendiente de esa recta secante tenderá hacia la pendiente de la recta tangente en el punto A; es

decir,

x

xfxxf

x

)()(lim 00

0 =

Donde denota la pendiente de la recta tangente.

Por lo tanto, la ecuación de la recta tangente es:

– –

Ejemplo

a) Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva 24y x x en el punto ( 1, 3 )

Solución.

La ecuación que se pide es de la forma – ( – )

Donde y ) = (4x – x2 ).

= 4 – 2xo evaluada en el punto , se tiene que –

Así tenemos, – –

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La pendiente de la recta tangente, la velocidad instantánea y la densidad de un material son

manifestaciones de la misma idea básica. Existen otras versiones de este concepto en el campo de

la Ingeniería Química, Economía, Biología, etc.

Un buen sentido matemático sugiere la necesidad de estudiar este concepto independientemente

de las diversas aplicaciones.

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LA DERIVADA EN EL TRAZADO DE CURVAS

Significados de los signos de la Primera y Segunda derivada.

Plantearemos a través del estudio del signo de la primera derivada, las condiciones que debe cumplir una función para que sea constante, creciente o decreciente. Veremos que si el gráfico de una función “sube” o “baja” depende directamente del signo de la primera derivada. Teorema

Sea f una función continua en a, b y derivable en ( a, b ). Entonces:

i) Si para todo , f es Creciente en a, b

ii) Si para todo , f es Decreciente en a, b Cuando una función es derivable en un punto, podemos conocer si es creciente o decreciente en dicho punto:

Una función es creciente en un punto a, si su derivada es positiva Una función es decreciente en un punto a, si su derivada es negativa.

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Tiene la siguiente interpretación geométrica: si la función es creciente en el intervalo , la recta tangente a la curva , forma con el eje X un ángulo agudo

Si la función es decreciente en el intervalo a, b , la recta tangente a la curva forma con el eje X un ángulo obtuso

Estudiar la monotonía de una función es hallar los intervalos en los que es creciente y decreciente

Se procede de la siguiente forma:

Se halla la derivada, se iguala a cero y se resuelve la ecuación resultante o

Con los puntos en los que se anula la derivada dividimos el dominio en intervalos.

Se estudia el signo de la derivada en un punto cualquiera de cada uno de los intervalos resultantes.

Ejemplo

Determinar los intervalos de monotonía de la función:

= x3 – 3x + 1, x R

Solución: Se debe realizar un estudio del signo de la primera derivada, lo que realizaremos con ayuda de un cuadro apropiado.

= 3x2 – 3x = 3 (x2 – 1 ) = 3 ( x + 1 )( x – 1 )

Por lo tanto, es Creciente en (- , -1 y 1, + )

es Estrictamente Decreciente en -1, 1 (ver gráfico de en la figura)

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Ejemplo

Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función 296)( 23 xxxxf

Hallamos la derivada 9123)( 2 xxxf

La igualamos a cero y resolvemos la ecuación resultante:

09123 2 xx 0342 xx

1

3

2

24

2

12164x

Dividimos el dominio R por los puntos y y obtenemos los intervalos

)1,( , )3,1( y ),3(

Estudiamos el signo de la derivada en un punto cualquiera de cada intervalo:

Para x = 0, 9)0( f es decir, positiva

Para x = 2, 3)2( f es decir, negativa

Para x = 4, 9)4( f positiva

La monotonía de la función queda reflejada en la siguiente tabla:

Intervalos (- ∞, 1) (1, 3) (3, +∞)

Signo de la derivada + - +

Función

Máximos y mínimos. Son los puntos en que la función cambia de monotonía.

Definición Diremos que una función f tiene un:

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Máximo Local (Relativo ) en si existe un intervalo abierto ( a, b ) que contiene a tal que

para todo x en

Mínimo Local (Relativo) en si existe un intervalo abierto (a, b) que contiene a tal que

para todo x en .

Máximo Global (Absoluto ) en si ) para todo

Mínimo Global (Absoluto) en si para todo

Ejemplo

Consideremos el gráfico de la siguiente función: y = x3 + 3x2 – 9x – 10.

Podemos observar que f tiene un: Máximo Local en , Mínimo Local en

Si una función derivable presenta un máximo o un mínimo en un punto ),( bac en

El mínimo o máximo de una función en un intervalo se llaman valores extremos o extremos de la función. ¿Dónde ocurren los valores extremos?

Los puntos claves en la teoría de máximos y mínimos son los llamados puntos críticos. Punto Crítico

Sea f continua en a, b, se dice que es punto crítico si o si no existe.

Ejemplo:

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Para = x3 – 3x + 1, x R del ejemplo 1) son puntos críticos los valores de y

Para 296)( 23 xxxxf del ejemplo 2) son puntos críticos los valores de y

CRITERIOS Para la determinación de máximos y mínimos podemos utilizar los siguientes criterios: Criterio de la primera derivada:

Se determinan los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Existe máximo relativo en los puntos en que la función pasa de creciente a decreciente.

Existe mínimo relativo en los puntos en que pasa de decreciente a creciente. Criterio de la segunda derivada:

Calculamos la primera derivada, la igualamos a cero y resolvemos la ecuación resultante.

Hallamos la segunda derivada.

Las raíces de la ecuación obtenida se sustituyen en la segunda derivada.

Si el resultado obtenido es positivo existe mínimo y si es negativo máximo. Ejemplo 2

Halla los máximos y mínimos de la función 33)( xxxf

Solución: Hallamos la primera derivada y resolvemos la ecuación 0)( xf :

033)( 2 xxf 12 x 1x

2ª derivada: xxf 6)(

Valores de la segunda derivada en los puntos obtenidos:

06)1(6)1( f Mínimo para x = - 1

061.6)1( f Máximo para x = 1

Concavidad y convexidad.

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Otra característica cualitativa importante del gráfico de una función es su concavidad, la cual está vinculada estrechamente al signo de la segunda derivada. Definición

Una curva es Cóncava hacia arriba o convexa si toda la curva está situada encima de la recta tangente en cualquier punto dado de la curva. ( figura )

Una curva es Cóncava hacia abajo si toda la curva está situada por debajo de la recta tangente en

cualquier punto dado de la curva ( figura )

A continuación enunciaremos los criterios que permiten determinar la concavidad del gráfico de una función Criterios para analizar concavidad

Suponga que f ´´ ( x ) existe en un intervalo( a, b ). Entonces:

Si f´´ ( x ) > 0 es Cóncava hacia arriba en ( a, b )

Si f´´ ( x ) 0 en ( a, b ), f es Cóncava hacia abajo en ( a, b ).

Puntos de inflexión son aquellos en los que la función cambia de convexa a cóncava o de cóncava a convexa. Ejemplo

Estudiar la concavidad del gráfico de la función

Solución.

De acuerdo al criterio debemos estudiar el signo de la segunda derivada.

–

– –

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Por lo tanto el gráfico de la función dada es:

Cóncava hacia arriba en y en

Cóncava hacia abajo en

Notemos que y = 0, además en y se produce un cambio de concavidad, por lo tanto, y son puntos de inflexión del gráfico de la función

Resolución de problemas de optimización. Son problemas en los que se trata de optimizar una función. Por ejemplo, en una producción obtener los mayores beneficios con los mínimos gastos. Con los datos del problema hay que construir una función que se ha de maximizar o minimizar dentro de las condiciones exigidas. Ejemplo 1 De una lámina cuadrada de lado 10 cm. se cortan cuadrados en cada uno de los vértices con el objeto de hacer una caja abierta por arriba. Calcula el lado del cuadrado que se debe cortar para que el volumen de la caja sea máximo.

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Volumen de la caja = xxx )210)(210(

xxxxV )440100()( 2

xxxxV 100404)( 23 (Función a maximizar)

1008012)( 2 xxxV ; 8024)( xxV

01008012 2 xx 025203 2 xx ;

35

5

6

1020

6

10020x

040805.24)5( V (Mínimo, no se forma caja)

40803

5.24)3

5( V (Máximo). La solución es 3

5x

Ejemplo 2 Un pastor dispone de 1000 metros de tela metálica para construir un cerco rectangular aprovechando una pared ya existente. Halla las dimensiones del cerco a fin que el área encerrada sea máxima.

Perímetro = x + 2y = 1000 x = 1000 – 2y

Área = x y, es decir, )21000( yyA 221000 yyA (Función a maximizar)

yA 41000 ; 4A

041000 y y = 250

Como la segunda derivada es negativa se trata de un máximo.

5000250.2100021000 yx Las dimensiones serán: 500 metros de largo y 250 de ancho.

x

y

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