DIPLOMOVÁ PRÁCE - cvut.czgeo.fsv.cvut.cz/proj/dp/2011/iveta-valentova-dp-2011.pdf · Diplomová...

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

Fakulta stavební

Katedra speciální geodézie

DIPLOMOVÁ PRÁCE

Zhodnocení etapových měření svislých posunů a vodorovných náklonů

v katedrále sv. Víta na Pražském hradě

Vedoucí diplomové práce Ing. Lenka Línková, Ph.D.

Bc. Iveta Valentová

Prohlášení

Prohlašuji, ţe jsem svou diplomovou práci napsala samostatně a výhradně s pouţitím

citovaných pramenů za odborného vedení Ing. Lenky Línkové, Ph.D.

Souhlasím se zveřejněním práce podle zákona č. 111/ 1998 Sb., o vysokých školách, ve znění

pozdějších předpisů.

V Praze dne ……………… …………………………

Bc. Iveta Valentová

PODĚKOVÁNÍ

Na tomto místě bych ráda poděkovala panu Doc. Ing. Jaromíru Procházkovi CSc.

a paní Ing. Lence Línkové Ph.D., za umoţnění moji účasti na projektu sledování posunů

a náklonů v chrámu sv. Víta na Praţském Hradě, který pro mě byl velmi cennou zkušeností.

Zejména bych chtěla poděkovat vedoucí diplomové práce paní Ing. Lence Línkové, PhD.

za její odborné vedení, cenné připomínky a především za trpělivost a konzultace, které mi

byly poskytovány v průběhu zpracování celé diplomové práce. Rovněţ patří můj dík

Ing. Anetě Raszykové za poskytnutí její diplomové práce a kvalitní vyhodnocení chovaní

svislých posunů a vodorovných náklonů v závislosti na teplotě a čase, na které bylo moţné

navázat mojí diplomovou prací.

ABSTRAKT

Název práce: Zhodnocení etapových měření svislých posunů a vodorovných náklonů

v katedrále sv. Víta na Praţském hradě.

Autor: Bc. Iveta Valentová

Email autora: [email protected]

Katedra: Katedra speciální geodézie

Vedoucí diplomové práce: Ing. Lenka Línková, Ph.D.

Email vedoucí diplomové práce: [email protected]

Abstrakt: Diplomová práce se zabývá sledováním vodorovných náklonů a svislých posunů

v katedrále sv. Víta. Vodorovné náklony jsou vyhodnocovány na základě výsledků měření

z trigonometrické metody a svislé posuny pomocí metody přesné nivelace a trigonometrie.

V práci jsou porovnány metody měření svislých posunů a vyhodnoceny přesnosti měřených

a určovaných veličin.

Klíčová slova: vodorovný náklon, svislý posun, trigonometrická metoda, přesná nivelace,

zenitový úhel a vodorovný úhel.

ABSTRACT

Title: Evaluation of measurements of vertical displacements and horizontal tilts in St. Vitus

Cathedral in the Prague Castle.

Author: Bc. Iveta Valentová

Author´s e-mail: [email protected]

Department: Department of Special Geodesy

Supervisor: Ing. Lenka Línková, Ph.D.

Supervisor´s email: [email protected]

Abstract: This thesis describes monitoring of horizontal tilts and vertical displacements

in St. Vitus Cathedral. The thesis deals with evaluation size of horizontal tilts

from trigonometrical method and vertical displacements from method of precise levelling

and trigonometry. It compares both methods for measuring vertical displacements

and evaluates accuracy of measured and determined values.

Key words: horizontal tilts, vertical displacements, trigonometrical method, precise levelling,

zenithal angle and horizontal angle.

- 1 -

OBSAH

OBSAH ....................................................................................................................................... 1

1 ÚVOD ................................................................................................................................. 4

1.1 SLEDOVÁNÍ POSUNŮ A NÁKLONŮ V KATEDRÁLE GEODETICKÝMI

METODAMI ................................................................................................................ 4

2 KATEDRÁLA SV. VÍTA ................................................................................................... 6

2.1 HISTORIE STAVBY KATEDRÁLY SV. VÍTA ........................................................ 6

2.2 POPIS CHRÁMU SV. VÍTA ....................................................................................... 8

3 MĚŘENÍ V KATEDRÁLE SV. VÍTA ............................................................................. 12

3.1 MĚŘICKÉ PŘÍSTROJE A POMŮCKY .................................................................... 12

3.2 MĚŘENÍ SVISLÝCH POSUNŮ A VODOROVNÝCH NÁKLONŮ ...................... 14

3.2.1 Vztaţné body ....................................................................................................... 15

3.2.2 Pozorované body ................................................................................................. 17

3.2.3 Přesná nivelace pro určení svislých posunů ........................................................ 19

3.2.4 Trigonometrické měření svislých posunů a vodorovných náklonů .................... 20

3.2.5 Měřické chyby a jejich eliminace u metody přesné nivelace .............................. 21

4 PŘESNOST MĚŘENÝCH VELIČIN .............................................................................. 23

4.1 APRIORNÍ PŘESNOST MĚŘENÝCH VELIČIN .................................................... 23

4.1.1 Apriorní přesnost redukovaného vodorovného směru ........................................ 23

4.1.2 Apriorní přesnost vodorovného úhlu určeného z rozdílu dvou směrů ................ 26

4.1.3 Apriorní přesnost zenitového úhlu ...................................................................... 27

4.1.4 Apriorní přesnost určení nivelačního převýšení .................................................. 28

4.2 ROZBORY PŘESNOSTI PŘI MĚŘENÍ ................................................................... 30

4.2.1 Vodorovný redukovaný směr .............................................................................. 30

4.2.2 Zenitový úhel ....................................................................................................... 31

4.2.3 Nivelace ............................................................................................................... 31

4.3 APOSTERIORNÍ PŘESNOST MĚŘENÝCH VELIČIN .......................................... 32

- 2 -

4.3.1 Aposteriorní přesnost vodorovného úhlu ............................................................ 32

4.3.2 Aposteriorní přesnost zenitového úhlu ................................................................ 34

4.3.3 Aposteriorní přesnost měřeného převýšení ......................................................... 37

5 VÝPOČET POSUNŮ A NÁKLONŮ V KATEDRÁLE SV. VÍTA ................................ 40

5.1 VÝPOČET VODOROVNÉHO NÁKLONU Z TRIGONOMETRICKÉ METODY 41

5.2 VÝPOČET RELATIVNÍCH SVISLÝCH POSUNŮ Z TRIGONOMETRICKÉ

METODY ................................................................................................................... 43

5.2.1 Relativní svislý posun mezi horním a dolním bodem na jednom sloupu ............ 45

5.2.2 Relativní svislý posun II mezi dvěma body dvou protilehlých sloupů na severní

a jiţní straně chrámu ........................................................................................... 47

5.2.3 Relativní svislý posun III mezi prvním a čtvrtým řezem v podélné lodi chrámu48

5.3 VÝPOČET SVISLÝCH POSUNŮ Z PŘESNÉ NIVELACE .................................... 49

5.3.1 Svislý posun pozorovaných bodů na sloupu ....................................................... 52

5.3.2 Relativní svislý posun II mezi dvěma body na sloupech severní a jiţní strany

chrámu ................................................................................................................. 54

5.3.3 Relativní svislý posun III mezi body prvního a čtvrtého řezu v podélné lodi

chrámu ................................................................................................................. 55

6 PŘESNOST VYPOČTENÝCH VELIČIN ....................................................................... 57

6.1 PŘESNOST URČOVÁNÍ NÁKLONŮ Z TRIGONOMETRICKÉ METODY ........ 57

6.2 PŘESNOST URČOVÁNÍ RELATIVNÍCH SVISLÝCH POSUNŮ

Z TRIGONOMETRICKÉ METODY ........................................................................ 61

6.2.1 Přesnost určení relativního svislého posunu pro dva body umístěné na jednom

sloupu .................................................................................................................. 61

6.2.2 Přesnost určení relativního svislého posunu II mezi dvěma body na sloupech

severní a jiţní strany chrámu ............................................................................... 66

6.2.3 Přesnost určení relativního svislého posunu III .................................................. 67

6.3 PŘESNOST URČOVÁNÍ SVISLÝCH POSUNŮ Z METODY PŘESNÉ

NIVELACE ................................................................................................................ 69

6.3.1 Přesnost určení svislého posunu pozorovaných bodů ......................................... 69

6.3.2 Přesnost určení relativního svislého posunu II .................................................... 71

- 3 -

6.3.3 Přesnost určení relativního svislého posunu III mezi body prvního a čtvrtého

řezu v podélné lodi chrámu ................................................................................. 72

7 VYHODNOCENÍ POSUNŮ A NÁKLONŮ V KATEDRÁLE SV. VÍTA ..................... 73

7.1 VYHODNOCENÍ VODOROVNÝCH NÁKLONŮ URČENÝCH


7.2 VYHODNOCENÍ RELATIVNÍHO SVISLÉHO POSUNU


7.3 VYHODNOCENÍ SVISLÉHO POSUNU Z METODY PŘESNÉ NIVELACE ....... 81

7.4 POROVNÁNÍ SVISLÉHO POSUNU URČENÉHO ZE DVOU GEODETICKÝCH

METOD ...................................................................................................................... 84

7.4.1 Porovnání relativního posunu z trigonometrické metody a absolutního posunu

zjištěného přesnou nivelací ................................................................................. 84

7.4.2 Porovnání relativního svislého posunu II mezi oběma geodetickými metodami 86

7.4.3 Porovnání relativního svislého posunu III obou geodetických metod ................ 89

8 ZÁVĚR.............................................................................................................................. 93

SEZNAM POUŢITÉ LITERATURY ...................................................................................... 97

PŘÍLOHY ............................................................................ Chyba! Záložka není definována.

- 4 -

1 ÚVOD

Diplomová práce se zabývá sledováním vodorovných náklonů a svislých posunů

v katedrále sv. Víta, které budou vyhodnoceny na základě dvaceti etapových měření. Nejprve

budou zpracovány zápisníky měření, ze kterých se vypočte dosaţená přesnost měřených

veličin. Následně bude odvozena základní směrodatná odchylka měřených veličin a dojde

k posouzení přesnosti měření. Dále se přistoupí k výpočtu vodorovného náklonu v daných

etapách vzhledem k základní etapě měření zjištěného trigonometrickou metodou, změny

výšek sledované metodou přesné nivelace a změny převýšení určené trigonometrickou

metodou pro jednotlivé etapy vůči základní etapě. Následně bude odvozena přesnost

určovaných veličin. Pomocí směrodatných odchylek se vypočte mezní hodnota, která

se následně porovná s hodnotami dosaţených veličin. V případě překročení mezní hodnoty

dojde k prokázání posunu vůči základní etapě, v opačném případě nebude posun prokázán, ale

ani vyloučen. Na závěr práce budou vzájemně porovnány svislé posuny zjištěné metodou

přesné nivelace a trigonometrie.

1.1 SLEDOVÁNÍ POSUNŮ A NÁKLONŮ V KATEDRÁLE

GEODETICKÝMI METODAMI

Měření posunů stavebních objektů je podle ČSN 73 0405 [3] měřením změn polohy

a výšky objektů vzhledem k jejich poloze zaměřené v základní nebo předchozí etapě měření,

která je realizována od vztaţné soustavy tvořené geodetickými body. Poloha vztaţných bodů

je volena mimo pozorovaný objekt a vlivů, které by mohly přímo ovlivnit stálost jejich

polohy.

Důvodem zahájení geodetických měření v chrámu sv. Víta bylo zjevné poškození

historického objektu, které se projevilo trhlinami v klenbě chrámu, na vnějších schodištích

objektu a jiných místech. Pro stanovení příčin posunů a následných opatření k jejich zamezení

byla provedena rekognoskace daného objektu, které se zúčastnil statik Ing. Dobeš, geotechnik

Ing. Záleský a geodet Doc. Ing. Procházka, CSc. Na základě tohoto šetření a vzhledem

k trhlinám v klenbě, byla navrţena dlouhodobá opatření: 1. Sledování náklonů nosných pilířů

uvnitř chrámu ve čtyřech příčných řezech (dva řezy v historické části chrámu a dva řezy

v části novodobé), 2. sledování náklonů středních pilířů vnějších schodišť a hlavní chrámové

věţe a 3. sledování sedání nosných pilířů uvnitř chrámu (v příčných řezech). [10]

- 5 -

Statik stanovil očekávanou přesnost určení posunů, ze které se vycházelo při volbě

vhodné měřické metody. Protoţe očekávaná přesnost není obvykle známá, bývá často

poţadovaná přesnost zvolena tak, aby bylo moţné prokázat posun přesahující 1 mm, pokud

lze takové přesnosti geodetickými metodami dosáhnout. Pro měření svislých posunů

v chrámu sv. Víta byla zvolena metoda přesné nivelace, která byla přizpůsobena konkrétním

podmínkám daného objektu. Bylo stanoveno, ţe nivelační pořad bude veden přes pozorované

body při patách nosných pilířů a napojen na vztaţnou síť bodů umístěných vně objektu. [10]

Podle [3] se k tomuto účelu osazují nejméně tři vztaţné výškové body, za body vztaţné

soustavy bylo vyuţito bodů místní nivelační sítě. Nivelační pořad vedený v chrámu sv. Víta

byl vztaţen k výškovému bodu 100, který je napojen na tři hloubkové vrty (podkap. 3.2.1).

Pro měření vodorovných náklonů v chrámu sv. Víta byla zvolena trigonometrická metoda.

Bylo stanoveno, ţe budou měřeny vodorovné a zenitové úhly elektronickým teodolitem Leica

TC 1800 ve všech etapách měření a délky pouze v základní etapě. [10]

Po pečlivém zváţení poţadavků statika a pracovníků památkové péče byl zvolen

způsob rozmístění a označení pozorovaných bodů a stanovisek (podkap. 3.2.1 a 3.2.2). Dále

byl stanoven harmonogram etapového měření vzhledem k podchycení předpokládaných vlivů,

které způsobují posuny konstrukčních prvků chrámu (podkap. 3.2). [11] Od počátku sledování

posunů v červenci 2000 do konce roku 2010 bylo zaměřeno celkem 26 etap, osobně jsem

zúčastnila měření 25. etapy dne 3. 5. 2010, kdy jsem asistovala při měření

Doc. Ing. J. Procházkovi, CSc.

- 6 -

2 KATEDRÁLA SV. VÍTA

2.1 HISTORIE STAVBY KATEDRÁLY SV. VÍTA

Podle archeologických výzkumů byl chrám sv. Víta zaloţen kolem roku 925 kníţetem

Václavem v podobě předrománské rotundy. V roce 1060 byla rotunda přestavěna v trojlodní

baziliku se dvěma věţemi. Hlavní dobou rozkvětu pro Praţský hrad byla doba za vlády

Karla IV. a na základě jeho rozhodnutí měla stát nejkrásnější kaple nového chrámu

nad místem ostatků sv. Václava, prvního českého světce, kterému měla být nejvýznamnější

kaple Svatovítské katedrály zasvěcena. [8]

Karel IV. chtěl, aby se nový chrám postavil podle francouzských vzorů, proto pověřil

k vypracování plánů a řízení stavby architekta Matyáše z Arrasu. Základní kámen byl

poloţen 21. listopadu r. 1344. Nejprve bylo nutné zbourat románskou baziliku a další stavby,

které doposud stály na pozemku. Pak z lomového kamene byly vyzděny základy 300 - 350 cm

hluboké. Matyáš v plánech chrámu sv. Víta uplatnil zkušenosti ze staveb katedrál v jiţní

Francii. Stihl uskutečnit jen část svých záměrů, postavil část chóru (osm kaplí) aţ do výše

ochozu nad přízemními okny a obvodové zdi svatováclavské kaple. [6]

Po jeho smrti v roce 1352 se ještě několik let stavělo podle jeho plánů. Nových

architektem po smrti Matyáše se stal Petr Parléř, který původní návrhy přizpůsobil svým

představám. Chtěl vybudovat chrám moderně, jak se v té době stavělo v Evropě, jeho hlavní

inspirací byla katedrála v Kolíně nad Rýnem a katedrála ve Štrasburku. Parléř postavil

východní část katedrály s chórem a věncem kaplí po příčnou loď. Roku 1392 byl poloţen

základní kámen ke stavbě lodi a v roce 1396 byla započata stavba Velké věţe. Za doby

Parléře se postavilo severovýchodní vnější schodiště, Velká věţ do výšky 55 m a jiţní stěna

transeptu (příčná loď), která spojila Velkou věţ vnějším schodištěm. Během vlády

Vladislava II. Jagelonského byli stavitelé chrámu Hanuš Spiess a pak Benedikt Ried, za jejich

působení byla vystavěna královská oratoř propojená krytým mostem s královským palácem.

[9]

- 7 -

Obr. 2.1 Rozsah práce významných stavitelů chrámu [9]

Roku 1541 došlo na Hradě k poţáru, který zasáhl i katedrálu, došlo ke zničení

dřevěných částí a zvonů. Oprava katedrály probíhala zejména za vlády Ferdinanda I.

pod dohledem Paolo della Stella a pak Bonifáce Wolhmuta. K definitivní dostavbě chrámu

došlo na přelomu 19. a 20. století. Podle projektu Josefa Mockera bylo vystavěno trojlodí,

které po jeho smrti dokončil Kamil Hilbert. Katedrála byla dostavěna roku 1929. [9]

- 8 -

2.2 POPIS CHRÁMU SV. VÍTA

Katedrála sv. Víta je jednou z nejvýraznějších památek hlavního města. Nachází

se na třetím nádvoří Praţského hradu. Celková délka chrámu je 124 m a šířka kolem

60 metrů. Podélná osa chrámu svírá s místním poledníkem úhel 69,6°. Střed půdorysu chrámu

má GPS souřadnice 50°05'27,14''N, 14°24'02,00''E. [9]

Obr. 2.2 Katedrála sv. Víta na Pražském hradě [9]

Interiér chrámu

Půdorys katedrály je ve tvaru kříţe, po vstupu do katedrály vidíme neogotickou hlavní

loď s klenbou vysokou 33,2 metru, v polovině stavby se nachází jižní část transeptu neboli

příčná loď, která je dělítkem mezi gotickou a neogotickou částí chrámu. Před příčnou lodí je

po pravé straně vstup do Velké věže katedrály vysoké 96,5 m a za ní je kaple svatého

Václava s jeho hrobkou. Z kaple vedou schody do korunní komory určené pro korunovační

klenoty. [9] Zvýrazněné části jsou zobrazeny na obr. 2.3.

http://maps.google.com/maps?f=q&source=s_q&hl=en&geocode=&q=50%C2%B005%2727.14%27%27+N,14%C2%B024%2702.00%27%27E&sll=37.926868,-95.712891&sspn=53.356345,105.732422&ie=UTF8&ll=50.090948,14.400415&spn=0.002781,0.006453&t=h&z=18

- 9 -

Obr. 2.3 Pohled na interiér jižní a západní část [9]

Uprostřed hlavní lodi je vyvýšené místo obdélníkového tvaru, pod kterým je hrobka

sv. Vojtěcha. Ze středu hlavní lodi vidíme vítězný oblouk a vysoký chór. V chóru je umístěn

oltář a královské mauzoleum (hrobka v podobě chrámku na vysokém podstavci).

Nad věncem kaplí je vnitřní triforium, kde se nachází reliéfy (sochařská díla) osob

s ţivotopisnými údaji osob, které se zaslouţili o stavbu chrámu a plastiky osob pokračující

v novodobé výstavbě. V katedrále je kolem lodí umístěno celkem 19 kaplí např. Kaple

sv. Ondřeje, Kaple sv. Kříže, za ní je Královské oratorium, Kaple sv. Zikmunda. [9]

Zvýrazněné části zobrazeny na obr. 2.4.

Obr. 2.4 Pohled na interiér východní část [9]

- 10 -

Exteriér chrámu

Na vnějším ochozu chrámu se nachází tzv. vnější triforium, kde jsou umístěny plastiky

Krista, Panny Marie, českých světců a středověkých postav. Vnější triforium nelze vidět

z chrámu ani zvenku. Pouze část jedné plastiky lze spatřit z Velké věţe. Avšak na opěrném

systému katedrály lze pozorovat řadu plastik, reliéfy a chrliče na přepad vody, které

zpodobňují draky, zvířata a lidské postavy. V pilíři opěrného systému na jiţní straně chóru je

zvětšená kopie sochy sv. Václava s kopím, jejíţ originál je uvnitř kaple. [9]

Obr. 2.5 Chrlič na přepad vody [9]

Na Zlaté bráně je umístěna krásná barevná mozaika o ploše 82 metrů čtverečních,

která zobrazuje Poslední soud a postavy českých patronů a Karla IV. s Eliškou Pomořanskou.

Byla vytvořena v roce 1370 - 1371. Autor mozaiky je neznámý, předpokládá se, ţe ji vytvořili

benátští umělci z českého skla. Vedle Zlaté brány stojí 96,5 metrů vysoká Velká věž, na které

je zavěšeno několik zvonů. Na věţi upoutá pozornost renesanční Zlatá mříž a orloj s dvěma

ciferníky nad sebou, horní ciferník ukazuje hodiny a dolní čtvrthodiny a minuty. Neogotické

věţe dosahují délky 82 m. Z pravé strany od Velké věţe je Trubačské schodiště, které

se skládá ze tří částí umístěných nad sebou. [9]

- 11 -

Obr. 2.6 Exteriér chrámu sv. Víta [9]

- 12 -

3 MĚŘENÍ V KATEDRÁLE SV. VÍTA

3.1 MĚŘICKÉ PŘÍSTROJE A POMŮCKY

Pro trigonometrické měření vodorovných a zenitových úhlů ve všech etapách a délek

jen v základní etapě byl pouţit elektronický teodolit Leica TC 1800 (obr. 3.1), v. č. 413982.

Přístroj je horizontován podle krabicové a elektronické libely a centrován pomocí optického

centrovače vestavěného do trojnoţky přístroje. Elektronický teodolit je vybaven dvěma páry

ustanovek. Naměřené veličiny se zobrazují na displeji přístroje a jsou registrovány

na paměťovou kartu. Při měření v chrámu sv. Víta byly hodnoty současně zapisovány

do zápisníku, aby bylo moţné provést kontrolu měřených veličin přímo v terénu (rozbory

přesnosti při měření). Výrobce udává přesnost měřených délek 1mm + 2 ppm do 2,5 km

a přesnost vodorovných směrů a zenitových úhlů zaměřených v jedné skupině 0,3 mgon.

Elektronický teodolit má vestavěné programy, které umoţňují zpracování měřených veličin,

výpočet odhadu přesností, vyrovnání MNČ, tím se sniţují kancelářské práce na minimum,

tyto programy nebyly v našem měření vyuţity. [2]

Obr. 3.1 Leica TC 1800[15]

Metoda přesné nivelace byla zaměřena nivelačním přístrojem Zeiss Ni 007 (obr. 3.2)

s automatickým urovnáním kompenzátoru, který po hrubém urovnání přístroje podle

krabicové libely nastaví záměrnou přímku do vodorovné polohy. Kompenzátor je urovnán

vlivem zemské tíţe a díky tomu není potřeba urovnávat přístroj podle nivelační libely.

Při měření byla pouţita jedna invarová nivelační lať se dvěma stupnicemi vzájemně

- 13 -

posunutými o známou konstantu 60650, s půlcentimetrovým dělením. Lať je celistvá o délce

1,85 m a vybavená krabicovou libelou, v. č. latě 49743. Nivelační přístroj měří převýšení

s přesností jednoho čtení 0,1 mm. [4]

Obr. 3.2 Zeiss Ni 007[15]

V průběhu měření byla také měřena teplota vzduchu a sloupů. K měření povrchové

teploty sloupů byl pouţit bezkontaktní teploměr s laserovým zaměřovačem Ahlborn AMIR

7811 s přesností ±2°C (obr. 3.3). Výhoda teploměru oproti dříve pouţívanému kontaktnímu

teploměru je především v rychlosti získání měřené teploty a jeho mobilitě. Jeho nevýhodou je

niţší přesnost, která je však pro účely měření a sledování deformací objektu dostačující. [15]

Obr. 3.3 Alhborn Amir 7811 [15]

- 14 -

3.2 MĚŘENÍ SVISLÝCH POSUNŮ A VODOROVNÝCH NÁKLONŮ

V katedrále sv. Víta jsou svislé a vodorovné posuny sledovány od března roku 2000.

Původně byly etapy měřeny po čtvrt roce, ale od roku 2002 se etapy začaly měřit v půlročních

intervalech. Vzhledem k tomu, ţe katedrála sv. Víta je kulturní památkou navštěvovanou

mnoha turisty, není moţné provádět měření v době, kdy je objekt přístupný veřejnosti. Měření

tedy probíhá po 17. hodině, kdy v katedrále nejsou zcela optimální měřické podmínky, a je

nutné, aby jedna osoba asistovala měřiči a osvětlovala pozorované body. Všechny etapy byly

měřeny jednou osobou se stejným přístrojem, tato zásada byla porušena pouze v páté etapě

kvůli dlouhodobé nepřítomnosti měřiče. Měření na pozorované body probíhalo z vhodně

zvolených stanovisek, rozmístěných v podélné lodi chrámu. V kaţdé etapě se měřila teplota

venku i uvnitř katedrály pro moţné sledování závislosti posunů na teplotě. Předmětem měření

je osm nosných pilířů uvnitř chrámu sv. Víta rozdělených na čtyři příčné řezy v hlavní lodi

a na dva podélné řezy v příčné lodi. Kaţdý sloup je vyhodnocován samostatně vzhledem

k nulté etapě bez návaznosti na ostatní pozorované body [11]. Rozmístění jednotlivých řezů je

zobrazeno na následujícím obr. 3.4.

Obr. 3.4 Schéma rozmístění řezů v hlavní a příčné lodi katedrály [14]

- 15 -

3.2.1 Vztažné body

Výšková síť

Vztaţný výškový bod č. 100 byl stabilizován nivelační čepovou značkou na budově

umístěné naproti chrámu. Tento bod je napojen na hloubkové vrty MPD01, MPD02 a VB011,

jejich poloha je zobrazena na obr. 3.5. Stabilita vztaţného bodu je ověřována metodou přesné

nivelace ke geotechnickému vrtu č. MPD01. Tento vrt je veden přes základy aţ na skalnaté

podloţí do hloubky 10 m. Výšková stabilita MPD01 je kontrolována geotechnickým

měřením klouzavým mikrometrem s přesností 0,003 mm/m a na základě výsledků měření lze

konstatovat, ţe je bod stabilní. Polohu vztaţného bodu vzhledem k bodu MPD01

lze z dosaţených výsledků metody přesné nivelace povaţovat rovněţ za stabilní. Měření

splňují přesnost danou směrodatnou odchylkou vůči vztaţné soustavě, která byla stanovena

v projektu h ≈ 0,3 mm a 0,4 mm. Ověřovací měření probíhají etapově od března roku 2002.

Geodetické měření bylo napojeno na bod MPD01 pomocí přípravku, kterým lze realizovat

bod vrtu pro postavení nivelační latě. [12] [14]

Obr. 3.5 Hloubkové vrty na Pražském hradě [13]

- 16 -

Polohová síť

Dále bylo zvoleno pět bodů vztaţné polohové sítě (obr. 3.6), které byly trvale

stabilizovány mosazným válečkem s dírkou o průměru 1 mm do dlaţby v lodi chrámu

sv. Víta. Jejich poloha byla volena tak, aby záměry byly přibliţně kolmé na určovaný směr

náklonu. Stanovisko S1 bylo umístěno v průsečíku podélné a příčné lodi chrámu pro zaměření

prvního a čtvrtého řezu. Stanovisko S2 bylo zvoleno v přední části v podélné lodi chrámu

pro zaměření druhého řezu, v roce 2001 (4. etapa) bylo nahrazeno stanoviskem S4, z důvodu

zakrytí stanoviska novými lavicemi, stejně tak i čtvrté stanovisko bylo nahrazeno v roce 2005

(17. etapa) stanoviskem S7.

Pro zaměření bodů třetího řezu bylo zvoleno stanovisko S3. V roce 2004 (10. etapa)

byla zvolena další dvě stanoviska S5 a S6 v příčné lodi chrámu. Horní body 53,54,63 a 64

jsou trvale osazeny v horní části sloupů třetího řezu tak, aby záměry z daných stanovisek byly

přibliţně kolmé na určovaný směr náklonu (pro přehlednost obrázku nebudou body

v polohopisné síti graficky znázorněny). Dolní body jsou signalizovány značkami, které

se přemístí z bodů 31 a 32. Značka bodu 31 se pouţívá pro body 51 a 61 a značka bodu 32

pro body 52 a 62.

Obr. 3.6 Rozmístění stanovisek a bodů v chrámu sv. Víta [14]

- 17 -

3.2.2 Pozorované body

Kvůli sledování vodorovných náklonů a svislých posunů nosných pilířů chrámu byly

zvoleny pozorované body, na kterých se provádí etapové měření. Body umístěné při patě

pilířů slouţí pro měření výšková a body v dolní části sloupu ve výšce kolem 2 metrů

od podlahy a horní body ve výšce zhruba 17 m pro úhlové a délkové měření.

Signalizace pozorovaných bodů

Pozorované body při patách sloupů byly na základě poţadavků pracovníků památkové

péče osazeny mosaznými zděřemi, které byly zapuštěny do sloupu. Tyto zděře jsou opatřeny

vnitřním závitem pro našroubování mosazného nástavce pro měření výšek. Nivelační značky

o délce 60 mm jsou zašroubovány před zahájením měření na jednotlivých sloupech,

zobrazeno na obr. 3.7. Pro zachování stejné polohy značek ve všech etapách měření jsou

značky opatřeny číslem a zašroubovány na doraz. [11]

Obr. 3.7 Šroubovací nivelační značka

U trigonometrického měření byly pouţity kruhové značky modré barvy o průměru

20 mm se ţlutým středem (obr. 3.8). Značky pro dolní body sloupu jsou zašroubovány

do mosazných zděří pouze po dobu měření. Stejná poloha značek ve všech etapách je

zaručena očíslováním terče a zašroubováním na doraz. Body v horní části sloupu jsou osazeny

trvale od nulté etapy značkami stejných rozměrů. [11]

- 18 -

Obr. 3.8 Signalizace trigonometrických bodů

Označení pozorovaných bodů

Body pro výšková měření jsou označeny číslem řezu (první číslice) a polohou v řezu

(druhá číslice). Body v severní části lodi jsou značeny číslicí 5 a body v jiţní části číslicí 6

(obr. 3.9).

Obr. 3.9 Schéma bodů zaměřených přesnou nivelací [14]

Pozorované body pro úhlové a délkové měření jsou číslovány podle čísla řezu (první

číslice) a podle polohy bodu v řezu (druhá číslice). Body umístěné na sloupech na severní

straně katedrály jsou značeny lichými číslicemi pro dolní bod č. 1 a horní bod č. 3

a pozorované body na sloupech v jiţní části sudými číslicemi pro dolní bod č. 2 a pro horní

bod č. 4., zobrazeno na předchozím obr. 3.6.

- 19 -

3.2.3 Přesná nivelace pro určení svislých posunů

Před zahájením měření se vyrovnala teplota přístroje s okolní teplotou a nivelační

znaky se zašroubovaly do zděří všech pozorovaných sloupů. Body byly zaměřeny přístrojem

Zeiss Ni 007 a byla pouţita jedna invarová lať dlouhá 1,85 m s půlcentimetrovým dělením

a dvěma stupnicemi.

Nivelace byla zahájena před katedrálou sv. Víta, kde došlo k připojení k ověřenému

výškovému bodu č. 100 se známou výškou 100 258,13700h m . První měřené převýšení bylo

mezi body 100 a 16, následovalo měření uvnitř katedrály, kde se pak měřilo mezi body

16 a 26. Dále pak z jednoho postavení přístroje se měřily čtyři body č. 15, 16, 26, 25 dvou

sousedních řezů, z dalšího postavení body 25, 26, 36, 35. Mezi 3. a 4. řezem bylo potřeba

zaměřit body ze dvou postavení přístroje kvůli překáţce, tzn. z jednoho postavení byly

zaměřeny body 35, 45, 46 a z druhého postavení body 36, 45, 46. Schéma bodů zaměřených

metodou přesné nivelace je na obr. 3.9 v podkap. 3.2.2. Současně s měřením nivelace byla

měřena teplota vzduchu venku a uvnitř katedrály digitálním teploměrem, pro moţné

vyhodnocení vlivu teploty na určované posuny. Měření se z kaţdého postavení opakovalo

dvakrát. Jelikoţ při měření nebyly všude dodrţeny stejné délky záměr, tak se na závěr

nivelace provedlo měření pro zjištění chyby z nevodorovnosti záměrné přímky, které je

popsáno v podkap. 3.2.5. Vzhledem k obtíţné dostupnosti některých bodů nebylo vţdy moţné

stavět lať přímo na střed patky, proto byla lať na určitých bodech stavěna na krajní body

patky. Z toho důvodu bylo na závěr měření v katedrále provedeno měření na střed a jednotlivé

rohy patky nivelační latě, ze kterého se pak vypočítaly opravy, o které byla upravena

příslušná čtení, popsáno v podkap.3.2.5.

Pro zpracování zápisníků přesné nivelace jsem vytvořila vlastní program v Microsoft

Excel 2007, ve kterém jsem zpracovala celkem dvacet etapových měření (6. - 26. etapa), které

byly zaměřeny v období od ledna 2002 do října 2010. Osobně jsem se účastnila měření

25. etapy, které trvalo přibliţně 1,5 hodiny (zápisník přesné nivelace 25. etapy je zobrazen

v příloze I). Dosaţené výsledky byly ověřeny vedoucí diplomové práce Ing. Lenkou

Línkovou, Ph.D.

- 20 -

3.2.4 Trigonometrické měření svislých posunů a vodorovných náklonů

Po měření přesné nivelace následovalo trigonometrické zaměření bodů na sloupech

katedrály sv. Víta. Nejdříve byly zašroubovány modré znaky do zděří pro body v dolní části

sloupu a byla provedena temperace elektronického teodolitu Leica TC 1800. Tento přístroj

byl centrován nad stanovisky, která jsou stabilizována v dlaţbě mosazným válečkem s jemnou

dírkou o průměru 1 mm. Vţdy stejnou orientací optického dostředovače přístroje ve všech

etapách se dosahuje vysoké přesnosti v dostředění. Při tomto postupu a vhodně zvolené

poloze stanoviska přístroje se vyloučí systematická sloţka odchylky v dostředění, díky tomu

pak přesnost výsledných posunů není zatíţena touto odchylkou. Stanoviska byla zvolena

s ohledem na určovaný směr náklonu, aby záměry na něj byly přibliţně kolmé a úhel mezi

horním a dolním bodem sloupu byl velmi malý. Rozmístění bodů a stanovisek je zobrazeno

na obr. 3.6. Předpokládá se, ţe vzdálenost mezi stanovisky a pozorovanými body je

konstantní, proto byly délky měřeny pouze v nulté etapě. [11]

Ze všech stanovisek byla měřena osnova vodorovných směrů za současného měření

zenitových úhlů ve dvou skupinách s dvojím cílením na všechny pozorované body. Naměřené

hodnoty byly registrovány na paměťovou kartu přístroje a zároveň ručně zapsány

do zápisníků. Nejprve se měřilo ze stanoviska S1 na body čtvrtého řezu a prvního řezu, dále

ze stanoviska S3 byly zaměřeny body druhého řezu, ze stanoviska S7 body třetího řezu.

Na závěr byly zaměřeny body pátého a šestého řezu ze stanoviska S5 a body stanoviska S6.

Zápisníky měření byly zpracovány vlastním programem vytvořeným v Microsoft

Excel 2007. Stejně jako u nivelace bylo zpracováno dvacet etapových měření (6. - 26. etapa),

která byla zaměřena ve stejném období (leden 2002 aţ říjen 2010). Osobně jsem se zúčastnila

měření 25. etapy, měření trvalo přibliţně 3 hodiny (zápisník vodorovných směru, zenitových

vzdáleností, dálkoměrných úhlů a délek 25. etapy je zobrazen v příloze I). Výsledné hodnoty

byly ověřeny vedoucí diplomové práce nezávislým výpočtem.

- 21 -

3.2.5 Měřické chyby a jejich eliminace u metody přesné nivelace

Chyba z nekolmosti patky nivelační latě

Pokud patka latě není kolmá na stupnici a zejména není-li krabicová libela latě

zrektifikována, tak následně postavení latě na různé body patky určuje různé čtení. Z toho

důvodu bylo potřeba opravit příslušná převýšení o opravy, které se vypočítaly rozdílem

měření na střed patky latě a její rohy, hodnoty oprav dosahovaly cca 0,0001 mm.

Chyba z nevodorovnosti záměrné přímky

Při měření geometrické nivelace ze středu se přístroj postaví doprostřed mezi body,

takţe záměra vzad je stejně dlouhá jako záměra vpřed a chyba z nevodorovnosti záměrné

přímky se vyloučí při výpočtu převýšení podle vzorce (3.1)

1 1 1 1 1 1 1 1´ ´ ´ ´ijh z p z p z p (3.1)

V případě našeho měření, záměry vzad a vpřed nejsou vţdy stejně dlouhé. Bylo tedy

provedeno měření pro zjištění opravy z nevodorovnosti záměrné přímky na bodech 16 a 26

při dvojím postavení přístroje (obr. 3.10). Přístroj byl nejprve postaven doprostřed mezi body

16 a 26 a následně za bod 26 a změřilo se převýšení.

Chyba z nevodorovnosti se vypočte pro 1 m délky záměrné přímky podle vzorce (3.2)

, , 16,26 16,262´ ´

2

A B A Bh h h h

s d

(3.2)

kde h16,26 je správné převýšení mezi body, h16,26´ je převýšení změřené při

excentrickém postavení přístroje, d je vzdálenost mezi body při centrickém postavení

přístroje.

Velikost chyby vypočtené podle vzorce 3.2 se přepočte v závislosti na rozdílné délce

záměr, o které je opraveno příslušné převýšení.

2

ij z po d d (3.3)

- 22 -

kde ijo je oprava pro dané převýšení, zd je délka záměr vzad a pd je délka záměr

vpřed.

Obr. 3.10 Určení chyby z nevodorovnosti záměrné přímky [1]

- 23 -

4 PŘESNOST MĚŘENÝCH VELIČIN

4.1 APRIORNÍ PŘESNOST MĚŘENÝCH VELIČIN

Před měřením v chrámu sv. Víta byla stanovena očekávaná přesnost měřených veličin,

která je charakterizována základní směrodatnou odchylkou. Směrodatná odchylka

pro vodorovný redukovaný směr zaměřený ve dvou skupinách s dvojím cílením je odvozena

v následující podkapitole 4.1.1 vzorec (4.12), pro vodorovný úhel určený rozdílem dvou

směrů v podkapitole 4.1.2 vzorec (4.20), pro zenitový úhel rovněţ změřený ve dvou

skupinách s dvojím cílením je odvozena v podkapitole 4.1.3, výsledný vzorec (4.26).

Na závěr byla vypočtena očekávaná přesnost převýšení určeného nivelací, charakterizována

směrodatnou odchylkou průměrného převýšení z měření tam a zpět, odvozeno v podkapitole

4.1.4 vzorec (4.38).

4.1.1 Apriorní přesnost redukovaného vodorovného směru

Vodorovné směry na jednotlivých stanoviscích umístěných v chrámu sv. Víta byly

zaměřeny elektronickým teodolitem TC 1800 se základní směrodatnou odchylkou

vodorovného směru měřeného v jedné skupině (ve dvou polohách dalekohledu) s jedním

cílením 0 = 0,3 mgon [10]. Pro odvození směrodatné odchylky redukovaného

vodorovného směru určeného aritmetickým průměrem ze dvou měřických skupin s dvojím

cílením (4.12), bylo nejprve potřeba odvodit směrodatnou odchylku vodorovného směru

vypočteného průměrem ze dvou cílení v jedné skupině (4.4) a směrodatnou odchylku

výsledného redukovaného směru zjištěného z jedné skupiny (4.8).

Odvození směrodatné odchylky vodorovného směru zaměřeného v jedné skupině,

který je určen průměrem ze dvou cílení:

1 1 1 20 , 0 ,

,22

sk c sk c

sk c

(4.1)

kde 1 10 ,sk c , 1 20 ,sk c

je vodorovný směr určený v jedné skupině (dvě polohy

dalekohledu) při jednom cílení a ,2sk c je průměrná hodnota vodorovného směru v jedné

skupině ze dvou cílení.

- 24 -

Aplikací zákona hromadění skutečných chyb přejdeme na tvar (4.2) s platností vztahu

1 1 1 20 0 , 0 ,sk c sk c

1 1 1 20 , 0 ,

,22

sk c sk c

sk c

(4.2)

Následnou aplikací zákona hromadění směrodatných odchylek a za předpokladu

1 1 1 20 0 , 0 ,sk c sk c

získáme výsledný vztah:

1 1 1 2

2 2

2 0 , 0 ,

,24

sk c sk c

sk c

(4.3)

0,2 0,21

2sk c mgon

(4.4)

Odvození směrodatné odchylky redukovaného vodorovného směru (oprava směru

o počáteční čtení) zaměřeného v jedné skupině podle následujícího vztahu:

,2 ,2,2 sk c op sk cr sk c

(4.5)

kde ,2sk c je průměrná hodnota vodorovného směru určeného z jedné skupiny, ,2op sk c

je hodnota opravy směru o počáteční čtení, ,2r sk c výsledná hodnota redukovaného

vodorovného směru zjištěného v jedné skupině. Přechodem na skutečné chyby s daným

předpokladem ,2 ,2,2 sk c opsk cr sk c

získáme následující vztah:

,2 ,2,2 sk c op sk cr sk c

(4.6)

S pouţitím zákona hromadění směrodatných odchylek získáme vztah (4.8)

za předpokladu, ţe platí ,2 ,2sk c op sk c

2 2 2

,2 ,2,2 sk c opsk cr sk c

(4.7)

,2,22 0,3sk cr sk c

mgon (4.8)

- 25 -

Odvození směrodatné odchylky výsledného redukovaného vodorovného směru

získaného průměrem ze dvou skupin za platnosti vztahu:

1 ,2 2 ,2

2 ,22

r sk c r sk c

r sk c

(4.9)

kde 1 ,2r sk c je výsledná hodnota redukovaného vodorovného směru určeného z první

skupiny, 1 ,2r sk c hodnota téhoţ směru zjištěného z druhé skupiny a následně 2 ,2r sk c

je

průměrná hodnota redukovaného směru vypočteného z obou skupin.

S pouţitím zákona hromadění náhodných odchylek přejdeme na tvar (4.10)

za předpokladu 2 ,2 1 ,2 2 ,2r sk c r sk c r sk c

1 ,2 2 ,2

2 ,22

r sk c r sk c

r sk c

(4.10)

Dále aplikací zákona hromadění směrodatných odchylek získáme vztah (4.11)

za předpokladu, ţe platí 1 ,2 2 ,2r sk c r sk c

2 2

2 1 ,2 2 ,2

2 ,24

r sk c r sk c

r sk c

(4.11)

,2

2 ,22

r sk c

r sk c

= 0,21 mgon (4.12)

Pozn.: Při odvození zbývajících odchylek byl rovněţ pouţit zákon hromadění

náhodných a směrodatných odchylek se stejným předpokladem. Dále jsou uváděny jen

výsledné vztahy po aplikaci toho zákona.

- 26 -

4.1.2 Apriorní přesnost vodorovného úhlu určeného z rozdílu dvou směrů

Odvození směrodatné odchylky vodorovného úhlu vychází ze základního vztahu:

1 22 ,2 2 ,2sk c sk c (4.13)

kde 1 2 ,2,

sk c 2 2 ,2sk c je hodnota vodorovného směru určeného průměrem ze dvou

skupin a je vodorovný úhel určen z rozdílu dvou směrů.

Nejprve je potřeba odvodit směrodatnou odchylku vodorovného směru zaměřeného

ve dvou skupinách:

1 ,2 2 ,2

2 ,22

sk c sk c

sk c

(4.14)

kde 1 ,2sk c je průměrná hodnota směru určeného z jedné skupiny,

2 ,2sk c hodnota téhoţ

směru zjištěného z druhé skupiny a 2 ,2sk c

je průměrná hodnota směru vypočteného z obou

skupin.

1 ,2 2 ,2

2 ,22

sk c sk c

sk c

(4.15)

2 22

1 ,2 2 ,2

2 ,24

sk c sk c

sk c

(4.16)

2 ,2

0,21

2sk c

= 0,15 mgon (4.17)

Odvození směrodatné odchylky úhlu vychází ze vzorce (4.18)

1 22 ,2 2 ,2sk c sk c (4.18)

2 2

2

1 22 ,2 2 ,2sk c sk c (4.19)

2 ,2 2 0,21sk c mgon (4.20)

- 27 -

4.1.3 Apriorní přesnost zenitového úhlu

Zenitové úhly byly zaměřeny elektronickým teodolitem TC 1800 se směrodatnou

odchylkou zenitového úhlu měřeného v jedné skupině (ve dvou polohách dalekohledu)

s jedním cílením 0z = 0,3 mgon [10]. Pro odvození směrodatné odchylky zenitového úhlu

určeného ze dvou měřických skupin při dvojím cílením (4.26), bylo nejprve potřeba odvodit

směrodatnou odchylku zenitového úhlu vypočteného průměrem ze dvou cílení v jedné

skupině (4.23)

Odvození směrodatné odchylky zenitového úhlu zaměřeného v jedné skupině

při dvojím cílení dalekohledu

1 1 1 20 , 0 ,

,22

sk c sk c

sk c

z zz

(4.21)

1 1 1 2

2 2

2 0 , 0 ,

,24

sk c sk c

sk c

z zz

(4.22)

0,2 0,21

2sk c

zz mgon

(4.23)

kde 1 10 ,sk cz , 1 20 ,sk c

z je zenitový úhel určený v jedné skupině (dvě polohy dalekohledu)

při jednom cílení a ,2sk cz je zenitový úhel určený průměrem ze dvou cílení v jedné skupině.

Odvození směrodatné odchylky zenitového úhlu zaměřeného ve dvou skupinách

při dvojím cílení dalekohledu

1 ,2 2 ,2

2 ,22

sk c sk c

sk c

z zz

(4.24)

2 22

1 ,2 2 ,2

2 ,24

sk c sk c

sk c

z zz

(4.25)

,2

2 ,20,15

2

sk c

sk c

zz mgon

(4.26)

kde 1 ,2sk cz , 2 ,2sk cz je zenitový úhel určený z jedné skupiny a 2 ,2sk cz

výsledný zenitový

úhel zjištěný průměrem ze dvou skupin.

- 28 -

4.1.4 Apriorní přesnost určení nivelačního převýšení

Přesná nivelace byla měřena přístrojem Zeiss Ni 007 a jednou latí se dvěma

stupnicemi s danou základní směrodatnou odchylkou jednoho čtení 0h = 0,1 mm [4]. Pomocí

této směrodatné odchylky byla zjištěna směrodatná odchylka převýšení určeného z jedné

stupnice latě (4.30), následně směrodatná odchylka převýšení určeného z měření jedním

směrem (4.34) a nakonec směrodatná odchylka převýšení určeného z měření tam a zpět

v jedné sestavě (4.38).

Směrodatná odchylka převýšení z jedné stupnice latě vychází ze vzorce (4.27)

1 1 1

Z T

st st sth h h

(4.27)

1 1 1

Z T

st st sth h h

(4.28)

2 22

1 1 1

Z T

st st sth h h

(4.29)

1 2 0,14st hoh mm

(4.30)

kde 1

Z

sth je čtení na stupnici vzad, 1

T

sth je čtení na stupnici vpřed a 1sth je převýšení

určené z jedné stupnice.

Směrodatná odchylka průměrného převýšení určeného z měření jedním směrem

z obou stupnic

1 21 ,2

2

st stst st

h hh

(4.31)

1 21 ,2

2

st stst st

h hh

(4.32)

2 22 1 2

1 ,24

st st

st st

h hh

(4.33)

11 ,2 0,1

2

stst st

hh mm

(4.34)

kde 1sth , 2sth je převýšení určené z jedné a druhé stupnice a 1 ,2st sth průměrné převýšení

z obou stupnic určené jedním směrem.

- 29 -

Směrodatná odchylka průměrného převýšení z měření tam a zpět v jedné sestavě

1 ,2 1 ,2

2

T Z

st st st sth hh

(4.35)

1 ,2 1 ,2

2

T Z

st st st sth hh

(4.36)

2 2

2 1 ,2 1 ,2

4

T Z

st st st sth hh

(4.37)

1 ,20,07

2

h st sth mm

(4.38)

kde 1 ,2

T

st sth , 1 ,2

Z

st sth je průměrná hodnota převýšení určeného z měření tam a z měření

zpět a h je výsledná hodnota převýšení.

- 30 -

4.2 ROZBORY PŘESNOSTI PŘI MĚŘENÍ

Rozbor přesnosti při měření umoţňuje v terénu hodnotit přesnost měřených veličin.

Dodrţení přesnosti měřených veličin je důleţité pro zajištění předpokládané přesnosti měření.

Při známé směrodatné odchylce 0 a zvolené hladině významnosti α testujeme, zda nejsou

měření odlehlá. Testování se provádí pomocí mezního rozdílu met . [7]

Základní vztah pro výpočet mezního rozdílu:

02met pu (4.39)

up … koeficient spolehlivosti, který volíme 2 pro hladinu významnosti α = 5%.

σ0 … směrodatná odchylka jednoho měření (např. úhel v jedné skupině s dvojím

cílením).

4.2.1 Vodorovný redukovaný směr

Při měření byla dosaţená přesnost výsledného vodorovného redukovaného směru

kontrolována výpočtem rozdílu redukovaných směrů mezi dvěma skupinami, který byl pak

porovnán s mezním rozdílem. Vodorovné směry v katedrále sv. Víta byly měřeny

elektronickým tachymetrem TC1800 ve dvou skupinách s dvojím cílením.

Ze zadané směrodatné odchylky vodorovného směru měřeného v jedné skupině (dvě

polohy dalekohledu) s jedním cílením 0 = 0, 3 mgon, byla vypočtena směrodatná odchylka

redukovaného směru zjištěného v jedné skupině s dvojím cílením ,2r sk c

= 0,3 mgon, která

byla odvozena v podkapitole 4.1.1 (4.8)

Mezní rozdíl pro 2 skupiny:

02 2 2 0,3 0,84met pu mgon (4.40)

- 31 -

4.2.2 Zenitový úhel

Přesnost zenitových úhlů byla kontrolována výpočtem rozdílu zenitového úhlu mezi

dvěma skupinami, který byl pak porovnán s mezním rozdílem. Zenitové úhly byly zaměřeny

ve dvou skupinách s dvojím cílením, se zadanou směrodatnou odchylkou zenitového úhlu

měřeného v jedné skupině (dvě polohy dalekohledu) s jedním cílením 0z = 0,3 mgon.

Pomocí této směrodatné odchylky byla odvozena směrodatná odchylka zenitového úhlu

určeného v jedné skupině s dvojím cílením 0 =,2sk cz 0,21 mgon, odvození

viz kap. 4.1.3 (4.23).

Mezní rozdíl pro 2 skupiny:

02 2 2 0,21 0,59met pu mgon (4.41)

4.2.3 Nivelace

Dosaţená přesnost nivelace byla ověřena rozdílem čtení dvou stupnic, které se má

rovnat známé konstantě 60650. Z daného rozdílu čtení dvou stupnic a známé konstanty byl

vypočten rozdíl, který byl porovnán s mezním rozdílem čtení dvou stupnic od konstanty.

Hodnota mezního rozdílu u jednotlivých záměr je rovna 0,1 mm [1].

- 32 -

4.3 APOSTERIORNÍ PŘESNOST MĚŘENÝCH VELIČIN

Po měření v chrámu sv. Víta byla ze zápisníků vypočtena přesnost všech měřených

veličin. Dosaţená přesnost je charakterizována výběrovou směrodatnou odchylkou, která pro

vodorovný úhel je odvozena v podkap. 4.3.1 vzorec (4.44), pro zenitový úhel, v podkap.

4.3.2, vzorec (4.47) a pro nivelační převýšení v podkap. 4.3.3, vzorec (4.49). U nivelace byla

kromě výběrové směrodatné odchylky provedena kontrola přesnosti pomocí výpočtu hodnot

uzávěrů, která byla porovnána s mezním uzávěrem.

4.3.1 Aposteriorní přesnost vodorovného úhlu

Výběrová směrodatná odchylka řádkových průměrů vodorovných směrů změřených

na jednotlivých stanoviscích v chrámu sv. Víta byla vypočtena ze vzorce (4.42), dosaţené

hodnoty jsou uvedeny v tab. 4.1 pro podélnou a příčnou loď. Hodnoty, které překračují

základní směrodatnou odchylku, jsou v tabulce označeny červeně.

0 1

wws

k l l

(4.42)

2

2v

ww vk

(4.43)

kde v je oprava redukovaného vodorovného směru od průměrné hodnoty směru

vypočteného z obou skupin, k je počet směrů měřených na jednotlivých stanoviscích a l je

počet skupin.

Následně byl vypočten kvadratický průměr výběrových směrodatných odchylek

řádkových průměrů pro jednotlivé etapy podle vztahu (4.44), výsledné hodnoty jsou uvedeny

v posledním řádku tab. 4.1.

0

0

2

is

sn

(4.44)

kde n je počet stanovisek v dané etapě.

- 33 -

Tab. 4.1 Přehled výběrových směrodatných odchylek vodorovného úhlu v jednotkách mgon.

Podélná loď

Příčná loď

Řezy Stanovisko Etapa

10

Etapa

11

Etapa

12

Etapa

13

Etapa

14

Etapa

15

Etapa

16

Etapa

17

Etapa

18

5.řez S5 0,21 0,15 0,14 0,09 0,19 0,17 0,17 0,13 0,10

6.řez S6 0,17 0,13 0,08 0,06 0,12 0,14 0,13 0,11 0,14

Kvadr. pr. 0

s 0,19 0,14 0,11 0,08 0,16 0,16 0,12 0,12 0,12


19

Etapa

20

Etapa

21

Etapa

22

Etapa

23

Etapa

24

Etapa

25

Etapa

26

5.řez S5 0,17 0,03 0,09 0,11 0,14 0,10 0,14 0,16

6.řez S6 0,09 0,06 0,10 0,09 0,10 0,10 0,12 0,10

Kvadr. pr. 0

s 0,13 0,05 0,10 0,10 0,12 0,10 0,13 0,13

Na závěr byla vypočtena celková výběrová směrodatná odchylka vodorovného úhlu

jako kvadratický průměr ze všech etap pro podélnou loď 0,15 mgon a příčnou loď

0,12 mgon. Tyto hodnoty odpovídají, resp. jsou ještě menší neţ základní směrodatná

odchylka 0,21mgon. V některých etapách došlo k překročení apriorní přesnosti, v těchto

případech bylo provedeno testování nulové hypotézy, ţe výběrová směrodatná odchylka


6

Etapa

7

Etapa

8

Etapa

9

Etapa

10

Etapa

12

Etapa

15

Etapa

17

Etapa

18

1.řez S1 0,52 0,07 0,09 0,08 0,05 0,28 0,22 0,07 0,10

2.řez S3 0,09 0,12 0,07 0,04 0,09 0,19 0,16 0,08 0,08

3.řez S4,S7 0,14 0,12 0,15 0,04 0,12 0,06 0,05 0,11 0,13

4.řez S1 0,25 0,05 0,04 0,11 0,25 0,07 0,12 0,11 0,19

Kvadr. pr. 0

s 0,30 0,10 0,10 0,07 0,15 0,18 0,15 0,10 0,13


19

Etapa

20

Etapa

21

Etapa

22

Etapa

23

Etapa

24

Etapa

25

Etapa

26

1.řez S1 0,20 0,09 0,13 0,12 0,03 0,21 0,15 0,21

2.řez S3 0,05 0,07 0,12 0,14 0,13 0,28 0,05 0,05

3.řez S4,S7 0,18 0,14 0,14 0,20 0,13 0,08 0,07 0,08

4.řez S1 0,10 0,11 0,06 0,18 0,15 0,12 0,37 0,15

Kvadr. pr. 0

s 0,15 0,10 0,12 0,16 0,12 0,19 0,20 0,14

- 34 -

odpovídá základní směrodatné odchylce. Testovacím kritérium byla veličina 2 , která je daná

vzorcem (4.45) s 1n stupni volnosti a pro hladinu významnosti 5% byla nalezena

tabelovaná hodnota 2

.

2

2

21

sn

(4.45)

Tab. 4.2 Testování redukovaných vodorovných směrů

Etapa Stanovisko 0i

s mgon 2 1n 2

Etapa 6 S1 (řez 1) 0,52 18,39 3 7,81

Etapa 6 S1 (řez 4) 0,25 4,25 3 7,81

Etapa 10 S1 (řez 4) 0,25 4,25 3 7,81

Etapa 12 S1 (řez 1) 0,28 5,33 3 7,81

Etapa 15 S1 (řez 1) 0,22 3,29 3 7,81

Etapa 24 S3 (řez 3) 0,28 5,22 3 7,81

V šesté etapě došlo k překročení kritické hodnoty a zamítnutí nulové hypotézy. Je to

patrně z důvodu, ţe měření této etapy proběhlo v zimním období (dne 23. 1. 2002), kdy

nejsou v chrámu sv. Víta zcela optimální podmínky měření kvůli niţší viditelnosti na měřické

body a navíc kvůli velkému mnoţství turistů musí měření probíhat v pozdějších hodinách

aţ po uzavření katedrály pro veřejnost. Při měření je potřebné, aby jedna osoba asistovala

měřiči a osvětlovala horní pozorované body. Toto patrně způsobilo horší kvalitu měření

v prvním řezu v šesté etapě.

4.3.2 Aposteriorní přesnost zenitového úhlu

Výpočet výběrové směrodatné odchylky zenitového úhlu byl proveden podle vzorce

(4.46), výsledné hodnoty jsou uvedeny v tab. 4.3 pro podélnou a příčnou loď.

0 2

dds

l k

(4.46)

kde d je rozdíl zenitových úhlů mezi měřenými skupinami, k je počet měřených úhlů

na stanovisku a l počet skupin.

- 35 -

Dále byl vypočten kvadratický průměr výběrových směrodatných odchylek řádkových

průměrů pro jednotlivé etapy podle vztahu (4.47), výsledné hodnoty jsou uvedeny

v posledním řádku tab. 4.3. Hodnoty výběrových směrodatných odchylek, které překračují

základní směrodatnou odchylku, jsou v tabulce vyznačeny červeně.

0

0

2

is

sn

(4.47)

kde n je počet stanovisek v dané etapě.

Tabulka 4.3 Přehled výběrových směrodatných odchylek zenitového úhlů v jednotkách mgon

Podélná loď.


6

Etapa

7

Etapa

8

Etapa

9

Etapa

10

Etapa

12

Etapa

15

Etapa

17

Etapa

18

1.řez S1 0,25 0,06 0,36 0,19 0,13 0,12 0,20 0,09 0,05

2.řez S3 0,25 0,06 0,15 0,12 0,38 0,11 0,10 0,15 0,11

3.řez S4,S7 0,19 0,12 0,19 0,08 0,14 0,12 0,13 0,23 0,07

4.řez S1 0,27 0,17 0,14 0,11 0,03 0,19 0,14 0,30 0,22

Kvadr. pr. 0

s 0,24 0,11 0,23 0,13 0,22 0,14 0,15 0,21 0,13


19

Etapa

20

Etapa

21

Etapa

22

Etapa

23

Etapa

24

Etapa

25

Etapa

26

1.řez S1 0,19 0,12 0,20 0,20 0,10 0,14 0,11 0,23

2.řez S3 0,14 0,11 0,15 0,14 0,07 0,16 0,19 0,20

3.řez S4,S7 0,11 0,13 0,22 0,20 0,14 0,15 0,16 0,19

4.řez S1 0,14 0,24 0,19 0,09 0,11 0,18 0,08 0,04

Kvadr. pr. 0

s 0,15 0,16 0,19 0,16 0,11 0,16 0,14 0,18

Příčná loď


10

Etapa

11

Etapa

12

Etapa

13

Etapa

14

Etapa

15

Etapa

16

Etapa

17

Etapa

18

5.řez S5 0,18 0,06 0,09 0,07 0,11 0,02 0,08 0,09 0,23

6.řez S6 0,15 0,10 0,17 0,10 0,11 0,21 0,12 0,11 0,11

Kvadr. pr. 0

s 0,16 0,08 0,14 0,08 0,11 0,15 0,10 0,10 0,18


19

Etapa

20

Etapa

21

Etapa

22

Etapa

23

Etapa

24

Etapa

25

Etapa

26

5.řez S5 0,11 0,11 0,11 0,12 0,14 0,07 0,07 0,11

6.řez S6 0,07 0,15 0,14 0,21 0,15 0,07 0,07 0,11

Kvadr. pr. 0

s 0,09 0,13 0,12 0,17 0,15 0,07 0,07 0,11

- 36 -

Pomocí výběrových směrodatných odchylek vypočtených pro jednotlivé etapy byla

vypočtena celková výběrová směrodatná odchylka zenitových úhlů 0,17 mgon pro podélnou

loď a 0,12 mgon pro příčnou loď. Při porovnání obou odchylek se základní směrodatnou

odchylkou 0,15 mgon, bylo zjištěno, ţe hodnota dosaţené přesnosti zenitových úhlů

změřených v podélné lodi neodpovídá očekávané přesnosti, z tohoto důvodu bylo přistoupeno

k testování nulové hypotézy pro daná stanoviska. V tab. 4.4 je uvedeno testování hodnot

nulovou hypotézou (tzn. ţe výběrová směrodatná odchylka odpovídá základní směrodatné

odchylce), k zamítnutí nulové hypotézy došlo v šesté etapě měřené 23. 1. 2002, dále pak etapě

osmé, která byla měřena 30. 1. 2003 a v sedmnácté etapě ze dne 19. 10. 2005. Jedná

se o etapy, které byly zaměřeny v zimním a podzimním období, kdy je v chrámu měřeno

za sníţené viditelnosti, coţ můţe negativně ovlivnit kvalitu měření. K zamítnutí nulové

hypotézy došlo ještě v etapě desáté měřené dne 6. 5. 2004. Zde došlo k nesplnění očekávané

přesnosti pravděpodobně kvůli překročení mezního rozdílu na stanovisku S1. Podmínky

měření jsou v katedrále ztěţovány velkým mnoţstvím turistů, kvůli kterým musí měření

probíhat v pozdějších hodinách aţ po uzavření katedrály pro veřejnost. Při měření je potřeba,

aby jedna osoba asistovala měřiči a osvětlovala zespoda pozorované body. Tyto okolnosti

mohly patrně způsobit zhoršenou kvalitu měření.

Tab. 4.4 Testování zenitových úhlů (1. část)

Stanovisko 0i

s mgon 2 1n 2

Etapa6 1.řez 0,25 8,17 3 7,81

Etapa6 2.řez 0,25 8,60 3 7,81

Etapa6 3.řez 0,19 4,99 3 7,81

Etapa6 4.řez 0,27 9,76 3 7,81

Etapa7 4.řez 0,17 4,06 3 7,81

Etapa8 1.řez 0,36 17,27 3 7,81

Etapa8 3.řez 0,19 4,61 3 7,81

Etapa9 1.řez 0,19 4,67 3 7,81

Etapa10 2.řez 0,38 19,7 3 7,81

Etapa10 5.řez 0,18 4,20 3 7,81

Etapa12 4.řez 0,19 5,05 3 7,81

Etapa12 6.řez 0,17 5,79 3 7,81

Etapa15 1.řez 0,20 5,24 3 7,81

Etapa15 6.řez 0,21 5,79 3 7,81

Etapa17 3.řez 0,23 7,33 3 7,81

Etapa17 4.řez 0,30 12,19 3 7,81

- 37 -

Tab. 4.4 Testování zenitových úhlů (2. část)

4.3.3 Aposteriorní přesnost měřeného převýšení

Výpočet výběrové směrodatné odchylky průměrného nivelačního převýšení byl

proveden podle vzorce (4.48)

4h

dds

n

(4.48)

kde d je rovna rozdílu průměrných hodnot převýšení zjištěné z měření TAM a ZPĚT

(při měření přesné nivelace Tam byly změřeny dvě převýšení a při měření Zpět rovněţ dvě

převýšení, následně byl vypočten průměr pro měření TAM a ZPĚT), n je počet měřených

rozdílů.

Dále byl vypočten kvadratický průměr výběrové směrodatné odchylky nivelačního

převýšení pro jednotlivé etapy podle vzorce (4.49), výsledné hodnoty jsou uvedeny v tab. 4.5

2

h

h

ss

n

(4.49)

kde n je počet čtyřúhelníků (viz další odstavec)

Etapa Stanovisko 0i

s mgon 2 1n 2

Etapa18 4.řez 0,22 6,47 3 7,81

Etapa18 5.řez 0,23 7,26 3 7,81

Etapa19 1.řez 0,19 4,65 3 7,81

Etapa20 4.řez 0,24 7,56 3 7,81

Etapa21 3.řez 0,22 6,35 3 7,81

Etapa21 4.řez 0,19 4,91 3 7,81

Etapa22 1.řez 0,20 5,35 3 7,81

Etapa22 3.řez 0,19 4,77 3 7,81

Etapa22 6.řez 0,21 6,04 3 7,81

Etapa24 3.řez 0,16 3,55 3 7,81

Etapa24 4.řez 0,18 4,47 3 7,81

Etapa25 2.řez 0,19 5,03 3 7,81

Etapa26 1.řez 0,23 6,99 3 7,81

Etapa26 2.řez 0,20 5,22 3 7,81

Etapa 26 3.řez 0,19 5,03 3 7,81

- 38 -

Tabulka 4.5 Přehled výběrových směrodatných odchylek měřeného převýšení

v jednotkách mm.

Další kontrola nivelačního měření byla ověřena pomocí výpočtu uzávěrů nivelačního

pořadu. Nivelační pořad (obr. 3.9) byl rozdělen na dva čtyřúhelníky 1 16 15 25 26U

a 2 35 36 45 46U . Pomocí směrodatné odchylky pro průměrné převýšení h , byla

odvozena směrodatná odchylka uzávěru u (vzorec 4.50). Pro oba čtyřúhelníky byly

vypočteny uzávěry v tab. 4.6, které se následně porovnaly s mezním uzávěrem metU .

Mezní hodnota uzávěru je dána vztahem (4.50):

2 2 0,07 0,28metU p uu up n h mm (4.50)

kde n je počet převýšení ve čtyřúhelníku a up je koeficient spolehlivosti.

Tabulka 4.6 Přehled hodnot uzávěrů měřeného převýšení v jednotkách mm.

Etapa

6

Etapa

7

Etapa

8

Etapa

9

Etapa

10

Etapa

12

Etapa

15

Etapa

17

Etapa

18

hs 0,04 0,03 0,05 0,04 0,04 0,06 0,05 0,04 0,05

Etapa

19

Etapa

20

Etapa

21

Etapa

22

Etapa

23

Etapa

24

Etapa

25

Etapa

26

Etapa

19

hs 0,05 0,07 0,05 0,07 0,05 0,02 0,05 0,05 0,05

Čtyřúhelník Etapa

6

Etapa

7

Etapa

8

Etapa

9

Etapa

10

Etapa

12

Etapa

15

Etapa

17

Etapa

18

U 16-15-25-26 -0,11 0,01 0,20 -0,25 0,10 -0,07 -0,02 -0,08 -0,02

U 35-36-45-46 0,15 -0,07 -0,22 -0,20 -0,08 0,16 0,08 0,18 0,00

Čtyřúhelník Etapa

19

Etapa

20

Etapa

21

Etapa

22

Etapa

23

Etapa

24

Etapa

25

Etapa

26

U 16-15-25-26 0,08 -0,10 -0,11 0,13 -0,06 0,00 0,05 0,02

U 35-36-45-46 0,00 0,05 0,26 0,03 -0,17 0,20 0,05 0,17

- 39 -

Celková výběrová směrodatná odchylka průměrného nivelačního převýšení je

0,05 mm, v jednotlivých etapách se hodnoty výběrových směrodatných odchylek pohybují

v rozmezí od 0,02 do 0,07 mm. Ţádná z hodnot výběrové směrodatné odchylky nepřekročila

základní směrodatnou odchylku nivelačního převýšení 0,07 mm. Dosaţená přesnost

nivelačního měření tedy odpovídá očekávané přesnosti. Přesnost nivelačního měření byla

kontrolována i pomocí výpočtu uzávěrů nivelačního pořadu, jejichţ hodnota byla porovnána

s mezním uzávěrem. Ţádná hodnota uzávěru nepřekročila mezní hodnotu 0,28 mm. Nejvyšší

dosaţená hodnota byla 0,25 mm v 9. etapě. Lze tedy opět konstatovat, ţe dosaţená přesnost

nivelačního měření splňuje očekávanou přesnost.

- 40 -

5 VÝPOČET POSUNŮ A NÁKLONŮ V KATEDRÁLE SV. VÍTA

Po vyhodnocení přesnosti měřených veličin následuje výpočet určovaných veličin,

kterými jsou vodorovný náklon a svislý posun. K měření náklonů v chrámu sv. Víta byla

zvolena metoda trigonometrická a pro měření svislého posunu byly zvoleny dvě geodetické

metody, přesná nivelace a trigonometrie.

V případě sledování svislých posunů a vodorovných náklonů trigonometrickou

metodou došlo dvakrát ke změně stanoviska ve třetím řezu, a to ze stanoviska S2 na S4

a následně na stanovisko S7 viz podkap. 3.2.1. Z tohoto důvodu musely být přepočteny

vzdálenosti z daných stanovisek k pozorovaným bodům tak, jako by byly měřeny v základní

etapě z jednoho (stejného) stanoviska. Dále bylo nutné přepočítat hodnoty vodorovných

náklonů na jedno stanovisko, kterým bylo zvoleno S4, jelikoţ z tohoto stanoviska bylo

zaměřeno nejvíce etap (postup výpočtu je uveden v příloze II). V případě vodorovných

náklonů a svislých posunů zjišťovaných v hlavní lodi chrámu nebudou vypočteny hodnoty

těchto veličin v jedenácté, třinácté, čtrnácté a šestnácté etapě, jelikoţ tyto etapy nebyly

změřeny. U těchto etap došlo k zaměření pouze svislých posunů a vodorovných náklonů

v příčné lodi chrámu. Určované veličiny budou v podélné lodi vypočteny v jednotlivých

etapách vzhledem k nulté etapě změřené dne 10. 7. 2000 a v příčné lodi vzhledem desáté

etapě zaměřené dne 6. 5. 2004.

Pomocí metody přesné nivelace budou zjištěny svislé posuny pozorovaných bodů

osazených při patách jednotlivých sloupů. Svislé posuny byly do páté etapy vztaţeny

k jednomu z pozorovaných bodů v prvním řezu. Nebylo ale jisté, zda nejsou hodnoty

určované veličiny ovlivněny vlastním posunem tohoto bodu, a proto bylo měření od šesté

etapy vztaţeno k výškovému bodu č. 100. Tento bod je umístěn mimo vliv působící

na nosnou konstrukci (opěrný systém) katedrály a jehoţ stabilita je etapově ověřována

(podkap. 3.2.1). V následující podkap. 5.3 budou svislé posuny v jednotlivých etapách

vztaţeny vůči základní etapě, u trigonometrické metody se jedná o nultou etapu

(ze dne 10. 7. 2000) a v případě metody přesné nivelace o šestou etapu (ze dne 23. 1. 2002),

protoţe od této etapy se začalo měřit od nezávislého bodu č. 100. V poslední kapitole bude

základní etapou zvolena šestá etapa pro obě metody, aby naměřené hodnoty byly vztaţeny

ke stejné etapě a výsledky z obou metod mohly být vzájemně porovnány. Metoda přesné

nivelace nebyla pouţita v jedenácté, třinácté, čtrnácté a šestnácté etapě, takţe pro tyto etapy

nebudou zjištěny posuny pomocí dané metody.

- 41 -

5.1 VÝPOČET VODOROVNÉHO NÁKLONU

Z TRIGONOMETRICKÉ METODY

Pro výpočet vodorovného náklonu (posunu) bylo potřeba určit příčnou vzdálenost

q mezi horním a dolním pozorovaným bodem na daném sloupu. Vztah pro výpočet příčné

vzdálenosti (resp. vodorovné vzdálenosti horního a dolního bodu) byl odvozen z trojúhelníka,

jehoţ vrcholy tvoří stanovisko (S), horní bod (H) a dolní bod (D) sloupu (obr. 5.1).

q tg d (5.1)

kde je úhel určen z rozdílu směrů D H , které byly měřené ze stanoviska

na horní a dolní bod daného sloupu a d se rovná průměrné hodnotě vodorovné vzdálenosti

od stanoviska k hornímu bodu H a dolnímu bodu D na sloupu (měřeny pouze v základní

etapě).

Obr. 5.1 Zobrazení příčné vzdálenosti horního a dolního bodu na sloupu (půdorys)

Vzorec byl zjednodušen přechodem na obloukovou míru, jelikoţ maximální hodnota

úhlu byla malá a nepřekročila 1 gon. Hodnoty příčných vzdáleností byly tedy vypočteny

podle zjednodušeného vztahu (5.2). Přehled vypočtených hodnot příčných vzdáleností

v jednotlivých etapách je uveden v příloze III.

q d

(5.2)

kde je radián (1 radián 63,6620 gon )

- 42 -

Následně byl vodorovný posun určen z rozdílu příčné vzdálenosti v jednotlivých

etapách nq vzhledem k základní etapě 0q podle vzorce (5.3).

0

0

n

nq q q d

(5.3)

Vodorovným náklonům se ve vzorci (5.3), které jsou určeny u sloupů umístěných

vpravo od stanoviska, přidává znaménko mínus, aby bylo moţné určit, zda se sloup naklání

směrem k ose nebo od osy chrámu. Výsledné hodnoty zjištěných náklonů vztaţených k nulté

etapě jsou uvedeny v tab. 5.1. Hodnoty náklonů, které přesáhly mezní hodnotu, jsou

zvýrazněny tučně a v těchto případech povaţujeme náklon od nulté etapy za prokázaný.

Mezní hodnoty náklonů jsou odvozeny v šesté kapitole a uvedeny v tab. 6.2. Pokud je

hodnota náklonu se záporným znaménkem, znamená to, ţe se sloupy naklánějí směrem k ose

lodě chrámu. V případě, ţe vychází náklon se znaménkem plus, tak se sloupy naklánějí

směrem od osy lodi chrámu.

Tab. 5.1 Přehled hodnot náklonů jednotlivých sloupů vzhledem k nulté etapě

Podélná loď

Etapa Datum Teplota

uvnitř

[°C]

Řez 1 Řez 2 Řez 3 Řez 4

11 - 13

[mm]

12 - 14

[mm]

21 - 23

[mm]

22 - 24

[mm]

31 - 33

[mm]

32 - 34

[mm]

41 - 43

[mm]

42 - 44

[mm]

0 10.07.2000 20 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

6 23.01.2002 4 0,41 0,67 1,65 1,73 0,72 0,48 1,53 0,63

7 25.06.2002 23 0,05 -0,55 -0,54 -0,90 0,02 -0,35 0,19 -0,02

8 30.01.2003 4 1,03 1,01 1,67 1,85 0,51 0,78 1,74 1,24

9 30.06.2003 23 -0,19 -0,58 -0,81 -1,36 0,59 -0,63 0,10 -0,35

10 06.05.2004 16 -0,13 -0,20 0,32 -0,19 0,43 0,07 0,71 0,57

12 07.10.2004 17 0,83 0,06 0,69 -0,28 0,87 0,23 0,86 0,40

15 28.04.2005 14 0,43 -0,20 0,67 0,08 1,00 -0,09 1,27 0,73

17 19.10.2005 13 1,57 0,78 1,02 0,83 0,65 0,02 1,34 1,12

18 03.07.2006 22 0,35 -0,47 -0,37 -1,04 0,94 -1,06 0,46 0,06

19 03.09.2007 19,5 0,83 0,34 -0,21 -0,28 0,17 -0,41 0,57 0,67

20 08.11.2007 10 1,16 1,05 1,24 1,28 0,83 0,38 1,20 1,29

21 22.04.2008 11,5 0,36 0,21 0,59 0,56 0,60 -0,34 1,25 0,94

22 06.11.2008 11,0 0,99 0,90 0,84 0,85 0,50 -0,02 1,19 0,94

23 20.4.2009 16,5 0,37 -0,52 0,37 -0,87 0,84 -1,07 1,36 0,31

24 27.10.2009 14 1,22 0,45 0,60 1,04 0,45 0,33 0,75 1,03

25 03.05.2010 15,5 0,14 -0,63 -0,19 0,08 0,47 -0,95 0,76 0,74

26 14.10.2010 13 1,47 0,42 1,05 0,73 0,62 -0,39 1,06 0,78

- 43 -

Příčná loď

Etapa

Datum

Teplota

uvnitř

[°C]

Řez 5 Řez 6

51 - 53

[mm]

52 - 54

[mm]

61 - 63

[mm]

62 - 64

[mm]

10 06.05.2004 16 0,00 0,00 0,00 0,00

11 30.06.2004 20 -0,11 -0,18 -0,39 -0,05

12 07.10.2004 17 -0,25 0,17 -0,06 0,09

13 23.11.2004 8 0,29 0,80 1,28 0,81

14 10.02.2005 1,5 0,81 1,41 2,04 1,71

15 28.04.2005 14 0,27 0,19 0,32 0,32

16 25.08.2005 21,5 -0,20 -0,13 -0,80 0,55

17 19.10.2005 13 0,37 0,60 0,53 0,63

18 03.07.2006 22 -0,29 -0,52 -0,78 -0,14

19 03.09.2007 19,5 0,07 0,11 -0,35 0,21

20 08.11.2007 10 0,28 0,59 0,78 0,72

21 22.04.2008 11,5 0,17 0,13 0,54 0,44

22 06.11.2008 11 0,26 0,59 0,75 0,52

23 20.04.2009 16 0,37 0,10 0,02 0,21

24 27.10.2009 14 0,24 0,42 0,42 0,60

25 03.05.2010 15,5 0,26 0,21 -0,41 0,44

26 14.10.2010 13 0,33 0,18 0,64 0,60

5.2 VÝPOČET RELATIVNÍCH SVISLÝCH POSUNŮ


V následující kapitole budou vypočteny relativní svislé posuny určené rozdílem

převýšení mezi horním a dolním pozorovaným bodem na jednom sloupu v jednotlivých

etapách vůči základní etapě. Pro moţné porovnání této metody s metodou přesné nivelace

budou relativní svislé posuny dále zjištěny: 1. mezi dvěma body umístěnými na dvou

protilehlých sloupech severní a jiţní strany chrámu (relativní svislý posun II) a 2. mezi body

prvního a čtvrtého řezu umístěnými na stejné severní popř. jiţní straně chrámu (relativní

svislý posun III) v daných etapách vzhledem k základní etapě. Schéma bodů, mezi kterými

se počítá daný posun, je zobrazeno na následujícím obr. 5.2.

- 44 -

Obr. 5.2 Schéma bodů mezi kterými se počítá daný posun trigonometrickou metodou

- 45 -

5.2.1 Relativní svislý posun mezi horním a dolním bodem na jednom sloupu

Relativní svislé posuny byly určeny rozdílem převýšení dvou bodů umístěných

na jednom sloupu v jednotlivých etapách vzhledem k základní etapě. Převýšení mezi horním

a dolním bodem bylo vypočteno z trojúhelníku (obr. 5.3) s vrcholy: stanovisko (S), horní bod

(H) a dolní bod (D) sloupu, převýšení (h) mezi body je dáno vztahem (5.4). Vypočtené

hodnoty převýšení v daných etapách jsou uvedeny v příloze III.

cot cotH H D Dh d g d g (5.4)

kde Hd , Dd je vodorovná vzdálenost od stanoviska k hornímu a dolnímu bodu a H ,

D je zenitový úhel měřený ze stanoviska na horní a dolní bod sloupu.

Obr. 5.3 Zobrazení převýšení h mezi horním a dolním bodem na jednom sloupu

Dále je pak relativní svislý posun vzhledem k základní etapě určen z rozdílu:

n op h h (5.5)

kde nh , oh je převýšení v jednotlivých etapách a základní etapě měření.

V případě, ţe byla překročena mezní hodnota relativního svislého posunu, která byla

odvozena v šesté kapitole (tab. 6.4), relativní posun od nulté etapy byl povaţován

za prokázaný. Tyto hodnoty jsou v tab. 5.2 zvýrazněny tučně. Znaménko mínus znamená

relativní pokles pilíře a znaménko plus naopak jeho relativní zdvih vzhledem k nulté etapě.

- 46 -

Tab. 5.2 Přehled hodnot relativních svislých posunů vzhledem k nulté etapě na jednotlivých

sloupech

Podélná loď

Etapa

Datum


Teplota

uvnitř

[°C]

11 - 13

[mm]

12 - 14

[mm]

21 - 23

[mm]

22 - 24

[mm]

31 - 33

[mm]

32 - 34

[mm]

41 - 43

[mm]

42 - 44

[mm]

0 10.07.2000 20 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

6 23.01.2002 4 -1,62 -1,01 -4,24 -4,13 -3,48 -3,68 -3,70 -3,13

7 25.06.2002 23 0,24 0,57 0,93 0,72 2,18 1,75 0,30 0,78

8 30.01.2003 4 -2,72 -2,50 -2,01 -2,61 -1,59 -2,30 -2,06 -1,82

9 30.06.2003 23 0,13 0,65 0,06 0,39 2,39 2,22 0,42 0,46

10 06.05.2004 16 -1,23 -0,68 -0,69 -0,60 0,99 0,22 -0,41 -0,35

12 07.10.2004 17 -0,84 -0,35 -0,55 -1,06 1,26 0,58 -0,27 -0,10

15 28.04.2005 14 -0,96 -0,19 -1,36 -1,47 0,10 -0,50 -1,11 -0,88

17 19.10.2005 13 -1,03 -1,29 0,36 -0,30 -1,38 -2,65 -0,32 -0,72

18 03.07.2006 22 0,40 0,78 0,14 0,32 -0,63 -1,06 0,10 0,39

19 03.09.2007 19,5 -0,32 0,39 -0,57 0,22 -0,89 -1,33 -0,44 0,33

20 08.11.2007 10 -1,97 -1,57 -1,93 -2,06 -3,19 -4,45 -1,92 -1,44

21 22.04.2008 11,5 -1,61 -1,09 -1,55 -1,55 -2,47 -3,20 -1,48 -1,19

22 06.11.2008 11,0 -1,53 -1,07 -1,22 -1,91 -2,96 -4,05 -1,54 -1,26

23 20.04.2009 16,5 -0,65 -0,60 -0,36 -0,70 -1,40 -2,66 -0,22 -0,15

24 27.10.2009 14 -1,66 -1,63 -0,51 -1,37 -2,11 -3,35 -0,61 -1,04

25 03.05.2010 15,5 -0,26 -0,19 -0,28 -0,64 -1,27 -2,07 -0,23 -0,29

26 14.10.2010 13 -1,50 -1,50 -0,38 -0,84 -1,37 -2,63 -0,72 -0,37

Příčná loď

Etapa Datum Teplota

uvnitř

[°C]

Řez 5 Řez 6

51 -53

[mm]

52 - 54

[mm]

61 - 63

[mm]

62 - 64

[mm]

10 06.05.2004 16 0,00 0,00 0,00 0,00

11 30.06.2004 17 0,77 0,30 0,80 0,05

12 07.10.2004 14 -1,49 -0,82 -0,07 -0,31

13 23.11.2004 13 -2,21 -2,58 -1,64 -1,68

14 10.02.2005 22 -3,47 -4,27 -3,45 -2,75

15 28.04.2005 19,5 -1,21 -1,05 -0,89 -1,08

16 25.08.2005 10 1,48 0,91 1,32 0,43

17 19.10.2005 11,5 -0,32 -1,50 -0,28 -1,14

18 03.07.2006 11,0 1,44 1,67 1,36 0,68

19 03.09.2007 16,5 -0,25 -0,16 0,28 0,17

20 08.11.2007 14 -2,74 -3,01 -2,43 -2,15

21 22.04.2008 15,5 -1,64 -2,65 -1,40 -1,96

22 06.11.2008 13 -1,65 -2,16 -1,66 -1,74

23 20.04.2009 16 0,78 -0,65 1,69 -0,78

24 27.10.2009 17 -0,78 -2,43 -0,91 -1,38

25 03.05.2010 14 1,20 -0,80 0,30 -0,66

26 14.10.2010 13 -1,11 -2,49 -0,39 -1,35

- 47 -

5.2.2 Relativní svislý posun II mezi dvěma body dvou protilehlých sloupů na severní

a jižní straně chrámu

Relativní svislý posun II byl určen stejným způsobem jako v podkapitole 5.2.1

rozdílem převýšení daných bodů v jednotlivých etapách vztaţených vůči základní etapě.

Hodnota převýšení mezi pozorovanými body dvou protilehlých sloupů na jiţní straně (sloup

se sudým označením bodům) a severní straně (liché označení bodů) lodě chrámu byla

vypočtena z trojúhelníku s vrcholy: stanovisko, bod jiţního sloupu a bod severního sloupu.

Převýšení mezi body bylo určeno podle vztahu (5.6), přehled vypočtených hodnot

v jednotlivých etapách je uveden příloze III.

cot cotJS J J S Sh d g d g (5.6)

kde Jd , Sd jsou vzdálenosti od stanoviska k pozorovaným bodům daných sloupů

na jiţní a severní straně lodě a J , S jsou zenitové úhly měřené ze stanoviska k bodům

na jiţní a severní straně.

Dále pak relativní svislý posun II vůči základní etapě je dán vztahem:

II JS n JSop h h (5.7)

kde JS nh , JS oh je převýšení mezi pozorovanými body na sloupech severní a jiţní strany

v n-té a základní etapě.

Výsledné hodnoty relativního svislého posunu mezi horními a dolními body daných

sloupů jsou uvedeny v následující tab. 5.3. Hodnoty relativních posunů byly porovnány

s mezní hodnotou, uvedenou v tab. 6.7. V případě překročení mezní hodnoty byl relativní

posun vůči nulté etapě prokázán, tyto hodnoty jsou zvýrazněny tučně.

- 48 -

Tab. 5.3 Přehled hodnot relativních svislých posunů II vůči nulté etapě na jednotlivých

sloupech

Etapa Datum Řez 1 Řez 2 Řez 3 Řez 4

11 - 12

[mm]

13 - 14

[mm]

21 - 22

[mm]

23 - 24

[mm]

31 - 32

[mm]

33 - 34

[mm]

41 - 42

[mm]

43 - 44

[mm]

0 10.07.2000 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

6 23.01.2002 -0,42 0,09 0,28 0,33 0,04 -0,17 0,25 0,87

7 25.06.2002 -0,23 0,16 0,37 0,10 0,11 -0,33 0,10 0,63

8 30.01.2003 -0,06 0,18 0,25 -0,41 -0,40 -1,10 0,53 0,82

9 30.06.2003 -0,14 0,15 0,25 0,52 -0,04 -0,21 0,31 0,39

10 06.05.2004 -0,24 0,34 0,25 0,28 -0,20 -0,97 0,28 0,39

12 07.10.2004 -0,23 0,27 0,31 -0,25 0,24 -0,44 0,33 0,55

15 28.04.2005 -0,29 0,50 0,52 0,36 0,02 -0,58 0,14 0,41

17 19.10.2005 -0,08 -0,32 0,44 -0,27 0,05 -1,22 0,38 0,03

18 03.07.2006 -0,07 0,32 0,48 0,61 0,23 -0,20 0,23 0,58

19 03.09.2007 0,06 0,79 0,44 1,17 -0,18 -0,62 -0,04 0,77

20 08.11.2007 -0,14 0,27 0,46 0,27 -0,04 -1,30 0,17 0,69

21 22.04.2008 0,02 0,56 0,50 0,44 -0,38 -1,11 0,28 0,62

22 06.11.2008 -0,06 -3,21 0,61 -0,13 -0,25 -1,34 0,55 0,88

23 20.04.2009 0,02 0,08 0,39 -0,01 -0,57 -1,84 0,30 0,41

24 27.10.2009 0,18 0,23 0,62 -0,30 -0,49 -1,73 0,41 0,03

25 03.05.2010 0,07 0,15 0,63 0,21 -0,59 -1,39 0,35 0,34

26 14.10.2010 -0,01 0,01 0,57 0,05 -0,26 -1,52 0,42 0,82

5.2.3 Relativní svislý posun III mezi prvním a čtvrtým řezem v podélné lodi chrámu

Relativní svislé posuny byly určeny rozdílem převýšení mezi základní a n-tou etapou

dolních pozorovaných bodů prvního a čtvrtého řezu umístěných na stejné severní popř. jiţní

straně chrámu. Převýšení mezi danými body bylo zjištěno podle vztahu (5.8). Dosaţené

hodnoty převýšení jsou uvedeny v příloze III.

41 4 4 1 1cot coth d g d g (5.8)

kde 4d , 1d jsou vzdálenosti od stanoviska k bodům čtvrtého a prvního řezu a 4 , 1

zenitové úhly měřené ze stanoviska k bodům čtvrtého a prvního řezu V tab. 5.4 jsou uvedeny

dosaţené rozdíly vypočtené rozdílem převýšení mezi n-tou etapou a základní etapou.

Hodnoty, u kterých byl relativní posun vůči nulté etapě prokázán porovnáním s mezní

hodnotou uvedenou v tab. 6.9, jsou zvýrazněny tučně.

- 49 -

Tab. 5.4 Přehled hodnot relativních svislých posunů III vůči nulté etapě mezi prvním a

čtvrtým řezem chrámu

Etapa

Datum

Svislý posun III [mm]

11 - 41 S

[mm]

12 - 42 J

[mm]

0 10.7.2000 0,00 0,00

6 23.1.2002 -0,46 0,21

7 25.6.2002 0,12 0,45

8 30.1.2003 0,40 0,99

9 30.6.2003 0,02 0,47

10 6.5.2004 0,10 0,62

12 7.10.2004 -0,05 0,51

15 28.4.2005 0,17 0,60

17 19.10.2005 0,31 0,77

18 3.7.2006 0,43 0,74

19 3.9.2007 0,33 0,23

20 8.11.2007 0,33 0,65

21 22.4.2008 0,33 0,65

22 6.11.2008 0,12 0,73

23 20.4.2009 0,16 0,45

24 27.10.2009 0,24 0,47

25 3.5.2010 0,27 0,55

26 14.10.2010 0,21 0,64

5.3 VÝPOČET SVISLÝCH POSUNŮ Z PŘESNÉ NIVELACE

V této části budou vypočteny svislé posuny bodů na jednotlivých sloupech určené

rozdílem výšek v jednotlivých etapách vůči základní etapě. Pro moţné porovnání této metody

s trigonometrickou metodou budou svislé posuny dále určeny: 1. mezi dvěma body

umístěnými na dvou protilehlých sloupech severní a jiţní strany chrámu (relativní svislý

posun II) a 2. mezi body prvního a čtvrtého řezu umístěných na stejné severní popř. jiţní

straně chrámu (relativní svislý posun III) v daných etapách vzhledem k základní etapě.

Schéma bodů, pro které se počítá daný posun, je zobrazeno na obr. 5.4.

- 50 -

Obr. 5.4 Schéma bodů mezi kterými se počítá daný posun metodou přesné nivelace

Před tím, neţ se přistoupilo k výpočtu svislých posunů, bylo nutné opravit měřená

převýšení o tzv. vliv patek a chyby z nevodorovnosti záměrné přímky, jak je popsáno

v podkap. 3.2.5. Svislé posuny byly vypočteny z rozdílu vyrovnaných výšek jednotlivých

bodů mezi základní a n-tou etapou. Vyrovnané výšky bodů byly určeny z vyrovnaných

převýšení mezi jednotlivými body nivelačního pořadu, které byly připojeny k bodu č. 100

se známou výškou 100 258,13700h m . Převýšení byla vyrovnána pomocí výpočtu uzávěru

dvou čtyřúhelníků 1 16 15 25 26U a 2 35 36 45 46.U

- 51 -

Výpočet opravy jednotlivých převýšení je dán vzorcem:

hhij ij

u

Uo d

d

(5.9)

kde Uh se rovná součtu čtyř převýšení mezi body v daném čtyřúhelníku (hodnota

je blízká nule), du je celková délka čtyřúhelníku (suma délek mezi jednotlivými body), dij je

délka nivelační sestavy mezi dvěma body, pro které počítáme opravu převýšení ohij.

Vyrovnané převýšení se vypočte podle vztahu:

ij ij ijh h o (5.10)

Dále pak vyrovnaná výška je dána vztahem:

100 ijjH H h (5.11)

Tab. 5.5 Přehled hodnot vyrovnaných výšek bodů v jednotlivých etapách

Etapa Výšky bodů [m]

15 16 25 26 35 36 45 46

6 258,66552 258,67410 258,67291 258,67608 258,83703 258,72394 259,76001 259,84176

7 258,66509 258,67375 258,67225 258,67554 258,83682 258,72376 259,76012 259,84179

8 258,66537 258,67410 258,67279 258,67609 258,83762 258,72430 259,76046 259,84249

9 258,66506 258,67377 258,67252 258,67597 258,83723 258,72397 259,76022 259,84190

10 258,66539 258,67415 258,67249 258,67595 258,83743 258,72407 259,76033 259,84229

12 258,66543 258,67405 258,67252 258,67593 258,83712 258,72416 259,76014 259,84218

15 258,66493 258,67358 258,67194 258,67551 258,83657 258,72328 259,75969 259,84162

17 258,66549 258,67404 258,67246 258,67596 258,83720 258,72411 259,76020 259,84223

18 258,66544 258,67400 258,67246 258,67595 258,83698 258,72398 259,76070 259,84252

19 258,66539 258,67412 258,67236 258,67586 258,83690 258,72369 259,76001 259,84199

20 258,66581 258,67439 258,67264 258,67619 258,83706 258,72394 259,76018 259,84229

21 258,66525 258,67407 258,67203 258,67582 258,83691 258,72339 259,76003 259,84201

22 258,66621 258,67493 258,67313 258,67667 258,83775 258,72450 259,76082 259,84284

23 258,66568 258,67443 258,67251 258,67620 258,83726 258,72364 259,76044 259,84247

24 258,66575 258,67444 258,67258 258,67622 258,83739 258,72418 259,76055 259,84271

25 258,66591 258,67495 258,67264 258,67650 258,83783 258,72418 259,76096 259,84305

26 258,66626 258,67511 258,67317 258,67681 258,83799 258,72445 259,76109 259,84329

- 52 -

5.3.1 Svislý posun pozorovaných bodů na sloupu

Výpočet svislého posunu je pro kaţdý bod rozdílný, jelikoţ výšky bodů byly určeny

součtem příslušných převýšení.

Výpočet hodnoty posunu vůči šesté etapě vychází ze vzorce:

0n

i in H H

(5.12)

kde n

iH je výška bodů v jednotlivých etapách (7. – 26. etapa) a 0

iH je výška týchţ

bodů v základní etapě (6. etapa).

Vzhledem k tomu, ţe se výška bodu 100 nemění a ve všech etapách byla zachována

stejná měřická metoda, tak se při výpočtu změny převýšení výška bodu 100 vyloučí

a ve vzorci zůstanou pouze vyrovnaná převýšení. Vzorec (5. 12) lze zjednodušit na tvar:

0n

ij ijn h h (5.13)

Obecný tvar předchozího vzorce je:

0n

ij ijn h h (5.14)

kde n

ijh je převýšení mezi danými body v jednotlivých etapách a 0

ijh je převýšení mezi

body v základní etapě (6. etapa).

Následnou aplikací vzorce (5.14) získáme vztahy pro výpočet svislého posunu pro

jednotlivé pozorované body:

100,16 100,16

0

16

nn h h (5.15)

100,16 16,15 100,16 16,15

0 0

15

n nn h h h h (5.16)

100,16 16,15 15,25 100,16 16,15 15,25

0 0 0

25

n n nn h h h h h h (5.17)

100,16 16,15 15,25 25,26 100,16 16,15 15,25 25,26

0 0 0 0

26

n n n nn h h h h h h h h (5.18)

100,16 16,15 15,25 25,35 100,16 16,15 15,25 25,35

0 0 0 0

35

n n n nn h h h h h h h h (5.19)

- 53 -

100,16 16,15 15,25 25,35 35,36 100,16 16,15 15,25

25,35 35,36

0 0 0

36

0 0

n n n n nn h h h h h h h h

h h

(5.20)

100,16 16,15 15,25 25,35 35,36 36,46 100,16 16,15

15,25 25,35 35,36 36,46

0 0

46

0 0 0 0

n n n n n nn h h h h h h h h

h h h h

(5.21)

100,16 16,15 15,25 25,35 35,36 36,46 46,45 100,16

16,15 15,25 25,35 35,36 36,46 46,45

0

45

0 0 0 0 0

n n n n n n n

n

n h h h h h h h h

h h h h h h

(5.22)

Hodnoty svislých posunů byly posouzeny pomocí mezní hodnoty, která je vypočtena

dále v šesté kapitole a uvedena v tab. 6.11. Pokud byl posun větší neţ mezní hodnota, tak byl

posun vzhledem k šesté etapě prokázán (v tab. 5.6 tučně zvýrazněny). V opačném případě

nešlo posun vzhledem k šesté etapě prokázat, ale ani vyloučit. Posuny se záporným

znaménkem znamenají pokles bodu, kladné znaménko značí naopak jeho zdvih.

Tab. 5.6 Přehled hodnot svislých posunů vůči šesté etapě pro jednotlivé body

Etapa Datum Teplota

uvnitř

[°C]

Svislý posun bodu [mm]

15 16 25 26 35 36 45 46

6 23.01.2002 4 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

7 25.06.2002 22 -0,43 -0,35 -0,65 -0,54 -0,21 -0,18 0,10 0,02

8 30.01.2003 4 -0,15 0,00 -0,11 0,02 0,59 0,35 0,45 0,73

9 30.06.2003 23 -0,46 -0,33 -0,38 -0,10 0,21 0,03 0,20 0,14

10 06.05.2004 16 -0,13 0,05 -0,42 -0,12 0,40 0,13 0,32 0,52

12 07.10.2004 17 -0,09 -0,05 -0,39 -0,15 0,09 0,21 0,13 0,41

15 28.04.2005 13 -0,59 -0,51 -0,97 -0,57 -0,45 -0,66 -0,32 -0,15

17 19.10.2005 14 -0,03 -0,06 -0,44 -0,12 0,17 0,17 0,19 0,47

18 03.07.2006 22,5 -0,08 -0,10 -0,45 -0,12 -0,04 0,04 0,69 0,75

19 03.09.2007 19,5 -0,13 0,02 -0,55 -0,21 -0,12 -0,25 0,00 0,22

20 08.11.2007 10 0,29 0,30 -0,27 0,11 0,03 0,00 0,16 0,52

21 22.04.2008 12 -0,27 -0,03 -0,88 -0,25 -0,12 -0,55 0,02 0,25

22 06.11.2008 12 0,69 0,83 0,22 0,59 0,72 0,56 0,80 1,07

23 20.04.2009 16 0,16 0,34 -0,40 0,12 0,23 -0,30 0,43 0,71

24 27.10.2009 14 0,23 0,34 -0,33 0,14 0,37 0,23 0,54 0,94

25 03.05.2010 15 0,39 0,85 -0,27 0,42 0,81 0,24 0,94 1,28

26 14.10.2010 13 0,74 1,01 0,26 0,74 0,96 0,51 1,07 1,53

- 54 -

5.3.2 Relativní svislý posun II mezi dvěma body na sloupech severní a jižní strany

chrámu

Relativní svislý posun mezi pozorovanými body na sloupech severní a jiţní strany

chrámu je vypočten podle vztahu (5.23) mezi body v základní etapě a ostatními etapami.

0n

II sj sjn H H

(5.23)

kde n

sjH je rozdíl výšek mezi dvěma body v jednotlivých etapách, jeden z bodů je

umístěn na sloupu severní strany a druhý bod je na sloupu jiţní strany chrámu (hodnoty jsou

uvedeny v příloze III) a 0

sjH je rozdíl výšek mezi stejnými body v základní etapě.

Vzhledem ke stejné výšce bodu 100 ve všech měřických etapách a stejné měřické

metodě se výška bodu 100 při výpočtu posunu vyloučí a ve vzorci zůstane pouze převýšení.

Vztah (5.23) přejde na tvar:

0 0n n

nII sj sj sj sjn h h h h

(5.24)

kde n

sjh je převýšení mezi dvěma body pro jednotlivé etapy, jeden z bodů je umístěný

na sloupu severní strany a druhý bod je na sloupu jiţní strany chrámu, 0

sjh je převýšení mezi

stejnými body v základní etapě.

Následnou aplikací vzorce (5.24) získáme vztahy pro výpočet relativního svislého

posunu II vůči šesté etapě pro jednotlivé pozorované body:

15,16 15,16

0

15,16

n

IIn h h (5.25)

25,26 25,26

0

25,26

n

IIn h h (5.26)

35,36 35,36

0

35,36

n

IIn h h (5.27)

45,46 45,46

0

45,46

n

IIn h h (5.28)

- 55 -

Hodnoty relativních svislých posunů od šesté etapy jsou uvedené v mm v tab. 5.7,

v řádku etapy 6 jsou uvedeny hodnoty převýšení mezi body v metrech. Hodnoty, u kterých

byl prokázán relativní svislý posun od šesté etapy, jsou vyznačeny tučně. Mezní hodnota pro

posouzení relativního posunu je uvedena v podkap. 6.3.2.

Tab. 5.7 Přehled hodnot relativních svislých posunů II mezi dvěma body na sloupech severní

a jižní strany vztažených k šesté etapě

Etapa Datum Teplota

uvnitř

[°C]

Svislý posun II mezi body [mm]

15 - 16 25 - 26 35 - 36 45 - 46

6 23.01.2002 4 0,00858 0,00317 -0,11308 0,08175

7 25.06.2002 22 0,08 0,12 0,02 -0,08

8 30.01.2003 4 0,15 0,13 -0,24 0,28

9 30.06.2003 23 0,13 0,28 -0,18 -0,06

10 06.05.2004 16 0,19 0,29 -0,27 0,20

12 07.10.2004 17 0,04 0,24 0,12 0,29

15 28.04.2005 13 0,08 0,40 -0,21 0,17

17 19.10.2005 14 -0,03 0,33 0,00 0,28

18 03.07.2006 22,5 -0,02 0,33 0,08 0,06

19 03.09.2007 19,5 0,15 0,33 -0,13 0,22

20 08.11.2007 10 0,01 0,38 -0,03 0,36

21 22.04.2008 12 0,25 0,63 -0,44 0,23

22 06.11.2008 12 0,14 0,37 -0,16 0,27

23 20.04.2009 16 0,17 0,52 -0,53 0,28

24 27.10.2009 14 0,12 0,47 -0,13 0,41

25 03.05.2010 15 0,46 0,69 -0,57 0,34

26 14.10.2010 13 0,26 0,48 -0,45 0,46

5.3.3 Relativní svislý posun III mezi body prvního a čtvrtého řezu v podélné lodi

chrámu

Výpočet relativního svislého posunu mezi body prvního (neogotická část) a čtvrtého

řezu (gotická část) chrámu je podle vztahu:

0

41 41

n

IIIn H H

(5.29)

kde 41

nH je rozdíl výšek mezi body prvního a čtvrtého řezu na jiţní popř. severní

straně v n- té etapě a 0

41H je rozdíl výšek týchţ bodů v základní etapě.

- 56 -

Vzhledem ke stejné výšce bodu 100 v jednotlivých etapách a stejné měřické metodě

se výška bodu 100 při výpočtu posunu vyloučí a ve vztahu zůstane pouze převýšení. Vzorec

(5.29) přejde na tvar:

0

41 41

n

nIIIn h h (5.30)

kde 41

nh je převýšení mezi body prvního a čtvrtého řezu na jiţní popř. severní straně

v n- té etapě (hodnoty jsou uvedeny v příloze III) a 0

41h rozdíl výšek týchţ bodů v základní

etapě.

Následnou aplikací vzorce (5.30) získáme vztahy pro výpočet relativního svislého

posunu III vůči šesté etapě pozorovaných bodů jiţní (J) a severní (S) strany v podélné lodi

chrámu:

16,15 15,25 25,35 35,36 36,46 16,15 15,25 25,35 35,36 36,46

0 0 0 0 0n n n n n

IIIJn h h h h h h h h h h (5.31)

15,25 25,35 35,36 36,46 46,45 15,25 25,35 35,36 35,46 46,45

0n n n n n n n n n

IIISn h h h h h h h h h h (5.32)

Hodnoty, které překročily mezní hodnotu (podkap. 6.3.3) jsou vyznačeny tučně

a v těchto případech byl relativní posun od šesté etapy prokázán.

Tab. 5.8 Přehled hodnot relativních svislých posunů III mezi body prvního a čtvrtého řezu

vztažených k šesté etapě

Etapa Datum Teplota

uvnitř

[°C]


15 - 45 S 16 - 46 J

6 23.01.2002 4 0,00 0,00

7 250.6.2002 22 0,53 0,37

8 30.01.2003 4 0,60 0,73

9 30.06.2003 23 0,67 0,47

10 06.05.2004 16 0,45 0,47

12 07.10.2004 17 0,22 0,46

15 28.04.2005 13 0,27 0,36

17 19.10.2005 14 0,22 0,53

18 03.07.2006 22,5 0,77 0,86

19 03.09.2007 19,5 0,13 0,20

20 08.11.2007 10 -0,13 0,23

21 22.04.2008 12 0,29 0,27

22 06.11.2008 12 0,12 0,24

23 20.04.2009 16 0,27 0,37

24 27.10.2009 14 0,31 0,60

25 03.05.2010 15 0,55 0,43

26 14.10.2010 13 0,33 0,52

- 57 -

6 PŘESNOST VYPOČTENÝCH VELIČIN

6.1 PŘESNOST URČOVÁNÍ NÁKLONŮ Z TRIGONOMETRICKÉ

METODY

Přesnost určení náklonů je závislá na přesnosti měření délek a vodorovných úhlů.

Přesnost těchto veličin závisí na chybě v dostředění přístroje a cíle, na chybě ve čtení

a v cílení a na přístrojových vadách [7].

Chyba v cílení a ve čtení nebude ve výpočtu uvaţována, protoţe všechny etapy byly

měřeny stejným měřičem, aby byl vliv těchto chyb minimální. Vliv dostředění cíle lze také

zanedbat vzhledem k tomu, ţe pozorované body byly na sloupech osazeny mosaznými

zděřemi a pro zachování stejné polohy znaků ve všech etapách byly znaky opatřeny číslem

a zašroubovány na doraz. Vliv některých přístrojových vad byl vyloučen měřením ve dvou

polohách dalekohledu.

Dostředění přístroje na stanovisku lze zanedbat vzhledem k tomu, ţe se v kaţdé etapě

přístroj centruje ve stejné poloze s přesností 0,4 mm [11]. Vliv přesnosti měřených délek

můţe být také zanedbán, protoţe ve všech etapách ve výpočtech byly pouţity stejné délky,

které byly měřeny s přesností 1 mm + 2ppm. Vliv přesnosti měřených úhlů nelze zanedbat.

Aby bylo moţné dokázat, ţe vliv chyby v dostředění přístroje na stanovisku

a přesnosti měření délek jsou velmi malé, bude směrodatná odchylka náklonů odvozena

s uváţením těchto chyb pro názorný výpočet velikosti jejich hodnot.

Výpočet přesnosti náklonů je odvozen ze základního tvaru vypočtu náklonů (6.1)

0 0n nq q q d tg d tg

(6.1)

kde ωn, ω0 jsou úhly vypočtené z rozdílu směrů, které byly měřené ze stanoviska

na horní a dolní bod v jednotlivých etapách a základní etapě měření a d se rovná průměrné

hodnotě vzdáleností mezi stanoviskem k hornímu a dolnímu bodu na sloupu, které byly

změřené pouze v základní etapě. Aplikací zákona hromadění náhodných odchylek přejdeme

ze základního tvaru na vztah:

00 2 2

0cos cos

nn

n

d dq d tg d tg

(6.2)

- 58 -

Ve vzorci (6.2) se zavede vliv chyby dostředění přístroje na stanovisku pro vodorovný

úhel, její vzorec je odvozen v [7]. Náhodná odchylka měřeného vodorovného úhlu je

vyjádřena vztahem:

2 sin2

eex

d

(6.3)

kde εe je náhodná odchylka dostředění přístroje (excentricita) na stanovisku a je

radián (1 radián 63,6620 gon ). Se zavedením vlivu excentricity stanoviska přejdeme

na vztah:

0 0 00 2

2 sin 2 sincos 2 2

n en n en

n

dq d tg tg

d d

(6.4)

kde εωn´, εω0´ je náhodná odchylka měřených úhlů v jednotlivých etapách a v základní

etapě, εen, εe0 je náhodná odchylka v dostředění přístroje pro jednotlivé etapy a v základní

etapě.

Aplikací zákona hromadění směrodatných odchylek přejdeme na vztah:

2 2 2

2 2 2 2 2

0 4 2 2

22 20 20 0

4 2 2

4 sincos 2

4 sincos 2

n en nn

n

e

n

dq d tg tg

d

d

d

(6.5)

Vzhledem k tomu, ţe úhly byly měřeny se stejnou přesností, tak platí, ţe σωn´ = σω0´

= σω , dále platí σen = σε0 = σe a vztah (6.5) můţeme zjednodušit. Hodnota vodorovného úhlu

je malá a nepřesahuje 1 gon, můţeme tedy v předchozí rovnici nahradit cos ω ≈ 1 a výsledný

vzorec přejde na tvar:

22

2 2 2 2 2

22 2 4 sin

2e

qq d d

d

(6.6)

kde první část vzorce vyjadřuje vliv přesnosti měření délek, druhá část vliv přesnosti

měření vodorovných úhlů a třetí část vzorce vliv dostředění přístroje na stanovisku.

- 59 -

Vliv přesnosti měřených délek d lze zanedbat, jelikoţ maximální hodnota

náklonů je cca 2 mm. Délky záměr jsou v rozmezí od 20 do 46 metrů, pokud uváţíme

průměrnou hodnotu délek 33 m, tak po dosazení do vzorce získáme vliv přesnosti délek

cca 66,1 10 m. Hodnota je velmi malá a tento vliv byl zanedbán.

Vliv přesnosti dostředění přístroje na stanovisku e lze zanedbat vzhledem

k tomu, ţe přesnost dostředění přístroje na stanovisku je přibliţně 0,4 mm a hodnoty

vodorovných úhlů nepřesahují hodnotu 1 gon, chyba v dostředění je cca 0,009 mm. Tento vliv

není potřeba u náklonů uvaţovat vzhledem k tomu, ţe hodnoty náklonů jsou řádově

v desetinách mm.

Vliv přesnosti měření vodorovných úhlů nelze zanedbat vzhledem k zanedbání

vlivu přesnosti měřených délek a dostředění přístroje na stanovisku. Směrodatná odchylka

náklonu závisí tedy pouze na přesnosti měření vodorovných úhlů, vztah (6.6) se zjednoduší

na tvar (6.7), dosaţené výsledky jsou uvedeny v tab. 6.1.

2q d

(6.7)

Dále byla vypočtena mezní hodnota náklonu podle vztahu (6.8). Dosaţené hodnoty

vodorovného náklonu jsou porovnány s touto mezní hodnotou. Pokud je mezní hodnota

překročena, tak je vodorovný náklon prokázán. V opačném případě není náklon prokázán, ale

ani vyloučen.

q pmet u q

(6.8)

kde up je koeficient spolehlivosti, který je roven 2 při hladině významnosti α = 5%.

Výpočet očekávaných hodnot směrodatné odchylky náklonu byl proveden

ze vzorce (6.7) a mezní hodnoty náklonů podle vzorce (6.8) se základní směrodatnou

odchylkou vodorovného úhlu 0,21 mgon (4.20) a dɸ je průměrná hodnota délek ze stanoviska.

- 60 -

Tab. 6.1 Hodnoty očekávaných směrodatných odchylek a mezní hodnoty náklonu

Řezy q mm qmet mm

1.řez 0,19 0,38

2.řez 0,12 0,24

3.řez (6. - 15. etapa) 0,20 0,40

3.řez (17. - 26. etapa) 0,14 0,27

4.řez 0,17 0,34

5.řez 0,10 0,19

6.řez 0,14 0,28

Výpočet dosažených hodnot směrodatné odchylky náklonu byl určen

pomocí výběrové směrodatné odchylky vodorovného úhlu určené v podkap 4.3.1, průměrná

hodnota pro podélnou loď je 0,15 mgon a příčnou loď 0,12 mgon, dɸ průměrné hodnoty délek

ze stanoviska. Výsledné hodnoty jsou uvedeny v tab. 6.2.

Tab. 6.2 Hodnoty dosažených směrodatných odchylek a mezní hodnoty náklonu

Porovnáním získaných hodnot je patrné, ţe dosaţená přesnost odpovídá očekávané

přesnosti měření. K prokázání svislého posunu vůči základní etapě budou pouţity mezní

rozdíly uvedené v tab. 6.2, protoţe tyto hodnoty byly zjištěny z etapového měření v katedrále

a jsou tedy více objektivní. Vypočtené hodnoty náklonů budou porovnány s mezní hodnotou.

V případě překročení mezní hodnoty bude náklon vhledem k základní etapě prokázán, v

opačném případě nebude prokázán, ale ani vyloučen. Hodnoty, které překročily mezní

hodnotu, jsou tučně zvýrazněny v tab. 5.1 a 7.1.

Řezy s q mm S qmet mm

1.řez 0,14 0,28

2.řez 0,09 0,18

3.řez (6. - 15. etapa) 0,15 0,30

3.řez (17. - 26. etapa) 0,10 0,20

4.řez 0,12 0,25

5.řez 0,06 0,12

6.řez 0,08 0,17

- 61 -

6.2 PŘESNOST URČOVÁNÍ RELATIVNÍCH SVISLÝCH POSUNŮ


Přesnost určení svislých posunů je závislá na přesnosti měření délek a zenitových

úhlů. Stejně jako u přesnosti náklonů vliv těchto veličin závisí na chybě v dostředění přístroje

a cíle, chybě ve čtení a v cílení a přístrojových vadách. Vliv těchto chyb je popsán

v podkap. 6.1. Rozdílem u přesností svislých posunů je, ţe vliv přesnosti dostředění přístroje

na stanovisku nelze zanedbat, protoţe tato chyba roste se strmostí záměry a hodnoty

zenitových úhlů jsou podstatně větší, neţ jak tomu bylo u vodorovných úhlů. [10]

6.2.1 Přesnost určení relativního svislého posunu pro dva body umístěné na jednom

sloupu

Základní vztah výpočtu svislých posunů pro body umístěných nad sebou je dán

vzorcem:

cot cot cot cotH n H n Dn Dn H o H o Do Dop d g d g d g d g

(6.9)

kde ,H n H od d jsou vodorovné vzdálenosti od stanoviska k hornímu bodu v n-té

a základní etapě a ,Dn Dod d jsou vodorovné vzdálenosti od stanoviska k dolnímu bodu

v jednotlivých etapách (6. - 26. etapa) a základní etapě (0. etapa).

,H n H o jsou zenitové úhly měřené ze stanoviska k hornímu bodu sloupu v n-té

a základní etapě ,Dn Do jsou zenitové úhly měřené ze stanoviska k dolnímu bodu sloupu

v jednotlivých etapách a základní etapě.

Vzhledem k tomu, ţe délky byly měřeny jen v základní etapě, lze vztah zjednodušit

na tvar:

cot cot cot cotH H n D Dn H H o D Dop d g d g d g d g (6.10)

cot cotH H H n H op d g g

(6.11)

cot cotD D Dn Dop d g g (6.12)

Po úpravě vztahu (6.10) získáme následující vzorec:

cot cot cot cotH H n H o D Dn Dop d g g d g g (6.13)

- 62 -

Aplikací zákona hromadění náhodných odchylek přejdeme na vztah:

2 2 2 2sin sin sin sin

H o H n Do DnH H D DH D

H H o H n D Do Dn

p d p dp d d

d d

(6.14)

Náhodná odchylka chyby z centrace na přesnost určení zenitového úhlu je vyjádřena

vztahem (6.15), který byl odvozen [13].

cos sineex

d

(6.15)

kde εe je náhodná odchylka způsobená dostředěním přístroje (excentricita)

na stanovisku a d je vodorovná délka.

Po dosazení do vztahu pro celkovou náhodnou odchylku zenitového úhlu získáme

následující vztahy, které jsou pak dosazeny do vzorce (6.14).

H n Hn nex

2 2 2

cos sin

sin sin sin

eHn Hn

H n Hn

H n H n H n

d

2cot

sin

Hn

en H n

H n

g

(6.16)

H o H o oex

2 2 2

cos sin

sin sin sin

eHo Ho

H o Ho

H o H o H o

d

2cot

sin

Ho

eo H o

H o

g

(6.17)

kde Hn , Ho je náhodná odchylka měřeného zenitového úhlu v n-té a základní

etapě a nex , oex je odchylka vlivu centrace v n-té a základní etapě.

- 63 -

Se zavedením vlivu excentricity stanoviska přejdeme na vztah:

2 2

2 2

cot cotsin sin

cot cotsin sin

Ho HnH H HH eo H o en H n

H H o H n

Do DnD D DD eo Do en Dn

D Do Dn

p d dp d g g

d

p d dd g g

d

(6.18)

Aplikací zákona hromadění směrodatných odchylek získáme výsledný tvar (6.19)

za předpokladu, ţe platí vztahy:

,

cot cot

Hn Ho Dn Do

Hn Dn Ho Do

eo n ee

H D

H D

H D

d d d

d d d

hg g

d

Aplikací zákona směrodatných odchylek získáme výsledný vztah:

2 2 22 2 22

2 2 4 4 2

1 12 2 2

sin sine

H D

p hp d d

d d

(6.19)

kde první část vzorce vyjadřuje vliv přesnosti měření délek, druhá část vliv přesnosti

měření zenitových úhlů a třetí část vzorce vliv dostředění přístroje na stanovisku.

Vliv přesnosti měřených délek ( d ) lze zanedbat stejně jako u přesnosti náklonů,

vzhledem k tomu, ţe maximální hodnota svislých posunů je cca 4 mm. Pokud uváţíme

průměrnou hodnotu délek 33 m, tak po dosazení do vzorce získáme vliv přesnosti délek

cca 0,0002 mm, tato hodnota je velmi malá a vliv lze zanedbat.

Vliv přesnosti dostředění přístroje na stanovisku ( e ) nelze zanedbat vzhledem

k tomu, ţe přesnost dostředění přístroje na stanovisku je přibliţně 0,4 mm a hodnota

převýšení mezi body kolem 15 m, chyba z dostředění se pak pohybuje kolem 0,3 mm, vliv

této chyby je nutné uvaţovat.

- 64 -

Vliv přesnosti měření zenitových úhlů ( ) nelze zanedbat a výsledný vzorec

směrodatné odchylky svislého posunu přejde na tvar:

2 22 2

2 4 4 2

1 12 2

sin sine

H D

hp d

d

(6.20)

Následně byla vypočtena mezní hodnota svislého posunu podle vztahu (6.21).

Dosaţené hodnoty svislého posunu jsou porovnány s touto mezní hodnotou. Pokud je mezní

hodnota překročena, tak je posun vůči základní etapě prokázán. V opačném případě není

posun prokázán, ale ani vyloučen.

p pmet u p (6.21)

kde up je koeficient spolehlivosti, který je roven 2 při hladině významnosti α = 5%.

Výpočet očekávaných hodnot směrodatné odchylky relativního svislého posunu

byl proveden podle vztahu (6.20) nejprve pro všechny etapy a následně pak byly

kvadratickým průměrem získány výsledné hodnoty pro jednotlivé řezy. Ve výpočtu byla

pouţita základní směrodatná odchylka zenitového úhlu 0,15 mgon (4.26) a směrodatnou

odchylkou v dostředění 0,4 mm.

Tab. 6.3 Hodnoty očekávaných směrodatných odchylek a mezní hodnoty relativního

svislého posunu v jednotkách mm.

Výpočet dosažených hodnot směrodatné odchylky relativního svislého posunu byl

proveden podle stejného vzorce s průměrnou hodnotou výběrové směrodatné odchylky

Řezy Stanovisko e p pmet

1.řez S1 0,21 0,21 0,29 0,59

2.řez S3 0,15 0,33 0,36 0,72

3.řez S4(6.-15.etapa) 0,22 0,20 0,29 0,59

3.řez S7(17.-26.etapa) 0,16 0,29 0,33 0,67

4.řez S1 0,19 0,23 0,29 0,59

5.řez S5 0,13 0,41 0,43 0,86

6.řez S6 0,16 0,29 0,33 0,66

- 65 -

zenitového úhlu pro podélnou loď 0,17 mgon a příčnou loď 0,12 mgon, které jsou vypočteny

v podkap. 4.3.2.

Tab. 6.4 Hodnoty dosažených směrodatných odchylek a mezní hodnoty relativního svislého

posunu v jednotkách mm.

Z výsledných hodnot je patrné, ţe v případě řezů 1 aţ 4 došlo k mírnému překročení

hodnot očekávané přesnosti směrodatných odchylek svislého posunu. Z toho důvodu bylo

provedeno testování výsledků pomocí nulové hypotézy (tzn. ţe výběrová směrodatná

odchylka odpovídá základní směrodatné odchylce), test byl proveden pomocí veličiny 2

vzorec (4.45). U ţádného řezu nedošlo k zamítnutí nulové hypotézy a dosaţená přesnost tedy

odpovídá očekávané přesnosti. Vypočtené hodnoty svislých posunů budou porovnány s mezní

hodnotou. Pro posouzení posunu budou pouţity mezní hodnoty dosaţené přesnosti, protoţe

byly zpracovány z velkého mnoţství dat a díky tomu lépe odpovídají situaci v chrámu.

V případě překročení mezní hodnoty bude relativní svislý posun vůči základní etapě

prokázán, v opačném případě nebude prokázán ale ani vyloučen. Hodnoty, které přesáhly

mezní hodnotu, jsou tučně zvýrazněné v tab. 5.2 a 7.2.

Tab. 6.5 Testování hodnot dosažené směrodatné odchylky relativního svislého posunu

v jednotkách mm.

Etapa Stanovisko p s p χ2 n-1 χ2a

1.řez S1 0,29 0,31 21,7 19 30,10

2.řez S3 0,36 0,37 16,9 16 26,30

3.řez S4(6. - 15. etapa) 0,29 0,31 6,9 6 12,60

3.řez S7(17. - 26.etapa) 0,33 0,34 9,6 9 16,90

4.řez S1 0,29 0,31 18,3 16 26,30

Řezy Stanovisko s es s p

S pmet

1.řez S1 0,23 0,21 0,31 0,62

2.řez S3 0,16 0,33 0,37 0,74

3.řez S4(6. – 15. etapa) 0,24 0,20 0,31 0,62

3.řez S7(17. - 26. etapa) 0,17 0,29 0,34 0,68

4.řez S1 0,21 0,23 0,31 0,61

5.řez S5 0,11 0,41 0,42 0,85

6.řez S6 0,13 0,29 0,32 0,64

- 66 -

6.2.2 Přesnost určení relativního svislého posunu II mezi dvěma body na sloupech

severní a jižní strany chrámu

Odvození směrodatné odchylky relativního svislého posunu II zvlášť pro horní a dolní

body dvou protilehlých sloupů na jiţní a severní straně je stejné jako v případě svislého

posunu I, ve vzorci (6.20) bylo pouze upraveno indexování.

222 2

2 4 4 2

1 12 2

sin sin

SJII e

S J

hp d

d

(6.22)

kde d je průměrná vzdálenost k daným bodům, J , S jsou zenitové úhly měřené

ze stanoviska k bodům sloupů na jiţní a severní straně, SJh je převýšení mezi body na severní

a jiţní straně.

První část vzorce vyjadřuje vliv přesnosti měření zenitových úhlů ( ), který

nelze zanedbat.

Druhá část vzorce vyjadřuje vliv přesnosti dostředění přístroje na stanovisku

( e ), který lze zanedbat vzhledem k tomu, ţe přesnost dostředění přístroje na stanovisku je

0,4 mm a převýšení mezi body na severní a jiţní straně je velmi malé.

Hodnoty očekávané přesnosti byly vypočteny podle vzorce (6.22) se základní

směrodatnou odchylkou zenitového úhlu 0,15 mgon.

Tab. 6.6 Hodnoty očekávaných směrodatných odchylek a mezních hodnot relativního svislého

posunu II v jednotkách mm.

Řezy Body e pII pIImet

1.řez 11-12 0,13 0,00 0,13 0,26

1.řez 13-14 0,16 0,00 0,16 0,32

2.řez 21-22 0,09 0,00 0,09 0,18

2.řez 23-24 0,13 0,00 0,13 0,26

3.řez (6. - 15. etapa) 31-32 0,14 0,00 0,14 0,28

3.řez (6. - 15. etapa) 33-34 0,16 0,00 0,16 0,32

3.řez (17. - 26. etapa) 31-32 0,10 0,00 0,10 0,20

3.řez (17. - 26. etapa) 33-34 0,13 0,00 0,13 0,26

4.řez 41-42 0,12 0,00 0,12 0,24

4.řez 43-44 0,13 0,00 0,13 0,26

5.řez 51-52 0,07 0,00 0,07 0,14

5.řez 53-54 0,11 0,00 0,11 0,22

6.řez 61-62 0,10 0,00 0,10 0,20

6.řez 63-64 0,13 0,00 0,13 0,26

- 67 -

Hodnoty dosažené přesnosti byly vypočteny pomocí výběrové směrodatné odchylky

zenitového úhlu pro podélnou loď 0,17 mgon a příčnou loď 0,12 mgon, které byly vypočteny

v podkap. 4.3.2. V některých případech byla překročena očekávaná přesnost stejně jako

u svislého posunu v podkap. 6.2.1. Vzhledem k tomu, ţe u relativního svislého posunu II

se vychází ze stejných hodnot jako u relativního svislého posunu dvou bodů na sloupu pouze

bez vlivu centrace, test nulové hypotézy nebyl znova opakován, nulová hypotéza by opět

nebyla zamítnuta.

Tab. 6.7 Hodnoty dosažených směrodatných odchylek a mezních hodnot relativního svislého

posunu II v jednotkách mm.

Řezy Body s es pIIs S pIImet

1.řez 11-12 0,15 0,00 0,15 0,30

1.řez 13-14 0,17 0,00 0,17 0,34

2.řez 21-22 0,10 0,00 0,10 0,20

2.řez 23-24 0,13 0,00 0,13 0,26

3.řez (6. - 15. etapa) 31-32 0,16 0,00 0,16 0,32

3.řez (6. - 15. etapa) 33-34 0,18 0,00 0,18 0,36

3.řez (17. - 26. etapa) 31-32 0,11 0,00 0,11 0,22

3.řez (17. - 26. etapa) 33-34 0,14 0,00 0,14 0,28

4.řez 41-42 0,13 0,00 0,13 0,26

4.řez 43-44 0,14 0,00 0,14 0,28

5.řez 51-52 0,06 0,00 0,06 0,12

5.řez 53-54 0,09 0,00 0,09 0,18

6.řez 61-62 0,08 0,00 0,08 0,16

6.řez 63-64 0,10 0,00 0,10 0,20

6.2.3 Přesnost určení relativního svislého posunu III

Odvození směrodatné odchylky bylo provedeno v podkap. 6.2.1, výsledný vzorec

(6.20), u vzorce bylo upraveno indexování pro svislý posun III.

222 2 2 411 4 2 4 4 2 2

1 4 1 4

1 12

sin sinIII e

hp d d

d d

(6.23)

kde 1 4,d d jsou vodorovné vzdálenosti k daným bodům, 4 , 1 jsou zenitové úhly

měřené ze stanoviska na body prvního a čtvrtého řezu, 41h je převýšení mezi body prvního

a čtvrtého řezu.

První část vzorce vyjadřuje vliv přesnosti měření zenitových úhlů ( ), který

nelze zanedbat.

- 68 -

Druhá část vzorce vyjadřuje vliv přesnosti dostředění přístroje na stanovisku

( e ), který lze zanedbat ze stejného důvodu uvedeného v předchozí podkap. 6.2.2.

Hodnoty očekávané a dosaţené přesnosti byly vypočteny z přesnosti obou řezů

kvadratickým průměrem. Na základě výsledných hodnot lze říci, ţe dosaţená přesnost lehce

překračuje přesnost očekávanou, nebyl proveden test ze stejného důvodu uvedeného

v podkap. 6.2.2.

Tab. 6.8 Hodnoty očekávaných směrodatných odchylek a mezních hodnot relativního

svislého posunu III v jednotkách mm.

Tab. 6.9 Hodnoty dosažených směrodatných odchylek a mezních hodnot relativního

svislého posunu III v jednotkách mm.

Řezy

Body e IIIp S pIIImet

41 11 - 41 0,26 0,00 0,26 0,52

41 12 - 42 0,26 0,00 0,26 0,52

Řezy Body s es IIIs p S pIIImet

41 11 - 41 0,28 0,00 0,28 0,56

41 12 - 42 0,28 0,00 0,28 0,56

- 69 -

6.3 PŘESNOST URČOVÁNÍ SVISLÝCH POSUNŮ Z METODY

PŘESNÉ NIVELACE

6.3.1 Přesnost určení svislého posunu pozorovaných bodů

Výpočet svislého posunu je pro kaţdý bod rozdílný, z toho plyne, ţe směrodatná

odchylka a mezní hodnota bude pro kaţdý bod odlišná.

Odvození směrodatné odchylky svislého posunu vychází ze vztahu:

0n

ij ijn h h (6.24)

kde n

ijh je převýšení mezi danými body v jednotlivých etapách a 0

ijh je převýšení mezi

body v základní etapě (6. etapa).

Aplikací zákona hromadění náhodných odchylek přejdeme na tvar:

0n

ij ijn h h (6.25)

A následně zavedením zákona hromadění směrodatných odchylek získáme vztah:

2 2 2 0n

ij ijn h h (6.26)

Za předpokladu, ţe převýšení ve všech etapách jsou určena se stejnou přesností, lze

vztah zjednodušit na tvar:

2n n h

(6.27)

kde n je počet nivelačních sestav a σhɸ směrodatná odchylka průměrného převýšení

v jedné nivelační sestavě.

Výsledné hodnoty směrodatných odchylek, které jsou uvedeny v tab. 6.10, se pohybují

v rozmezí od 0,1 mm aţ 0,3 mm. Lze konstatovat, ţe hodnota směrodatných odchylek

se úměrně zvětšuje s počtem nivelačních přestav.

- 70 -

Dále byla vypočtena mezní hodnota svislého posunu podle vzorce (6.28). Dosaţené

hodnoty svislého posunu jsou porovnány s touto mezní hodnotou. Pokud je mezní hodnota

překročena, tak je posun vůči šesté etapě prokázán.

n pmet u n

(6.28)

kde up koeficient spolehlivosti, který je roven 2 při hladině významnosti α = 5%.

Výpočet očekávaných hodnot přesnosti posunu z přesné nivelace byl proveden

pomocí základní směrodatné odchylky průměrného převýšení v 1 nivelační sestavě, která je

rovna 0,07 mm (4.38).

Tab. 6.10 Hodnoty očekávaných směrodatných odchylek a mezních hodnot svislého posunu.

Výpočet dosažených hodnot přesnosti posunu z přesné nivelace byl proveden

pomocí celkové výběrové směrodatné odchylky průměrného převýšení 0,05 mm uvedené

v podkap. 4.3.3.

Tab. 6.11 Hodnoty dosažených směrodatných odchylek a mezních hodnot svislého posunu

Bod 15 16 25 26 35 36 45 46

n 1 2 3 4 4 5 6 7

s n mm 0,07 0,10 0,12 0,14 0,14 0,16 0,17 0,19

s nmet mm 0,14 0,20 0,24 0,28 0,28 0,32 0,35 0,37

Z hodnot je patrné, ţe dosaţené přesnosti splňují očekávanou přesnost. K hodnocení

posunů byly pouţity mezní hodnoty výběrových směrodatných odchylek v tab. 6.11, protoţe

byly vypočteny z velkého souboru dat a jsou vhodnější pro hodnocení svislých posunů

v chrámu sv. Víta neţ očekávané hodnoty směrodatných odchylek. Vypočtené hodnoty

svislých posunů budou porovnány s mezní hodnotou. V případě překročení mezní hodnoty

Číslo bodu 15 16 25 26 35 36 45 46

n 1 2 3 4 4 5 6 7

n mm 0,10 0,14 0,17 0,20 0,20 0,22 0,24 0,26

nmet mm 0,20 0,28 0,34 0,40 0,40 0,44 0,48 0,52

- 71 -

bude posun prokázán, v opačném případě nebude prokázán, ale ani vyloučen. Hodnoty,

u kterých došlo k prokázání posunu, jsou zvýrazněny tučně v tab. 5.6.

6.3.2 Přesnost určení relativního svislého posunu II

Výpočet relativního svislého posunu II pro body na sloupech severní a jiţní strany

chrámu vychází ze základního vztahu:

0n

II sj sjn h h

(6.29)

kde n

sjh je převýšení mezi body umístěnými na sloupech severní a jiţní strany v n- té

etapě a 0

sjh je převýšení mezi týmiţ body v základní etapě.

Aplikací zákona hromadění náhodných odchylek přejdeme ze základního vztahu

(6.29) na tvar:

0n

II sj sjn h h

(6.30)

A následně zavedením zákona hromadění směrodatných odchylek získáme vztah:

2 2

2 0n

II sj sjn h h

(6.31)

2IIn h (6.32)

Očekávaná hodnota přesnosti posunu je 0,1 mm pro n=1 (tab. 6.10) a dosaţená

přesnost je 0,07 mm pro n=1 (tab. 6.11), přesnost měření byla tedy dodrţena. Byly vypočteny

mezní hodnoty relativního svislého posunu podle vztahu (6.28), mezní hodnota posunu pro

očekávanou přesnost je 0,20 mm a pro dosaţenou přesnost je 0,14 mm. Pro posouzení

svislého posunu byla pouţita mezní hodnota 0,14 mm, která byla určena z dosaţené přesnosti

relativního svislého posunu, ze stejného důvodu uvedeného v podkap. 6.3.1.

- 72 -

6.3.3 Přesnost určení relativního svislého posunu III mezi body prvního a čtvrtého

řezu v podélné lodi chrámu

Výpočet relativního svislého posunu III mezi body prvního a čtvrtého řezu na stejné

severní popř. jiţní straně vychází ze základního vztahu:

0

41 41

n

nIIIn h h (6.33)

kde 41

nh je převýšení mezi body na sloupech severní a jiţní strany v n- té etapě a 0

41h

je převýšení mezi body v základní etapě.

Aplikací zákona náhodných odchylek přejdeme ze základního vztahu na tvar:

16,15 15,25 25,35 35,36 36,46 16,15 15,25 25,35 35,36 36,46

0 0 0 0 0n n n n n

IIIJn h h h h h h h h h h

(6.34)

15,25 25,35 35,36 36,46 46,45 15,25 25,35 35,36 36,46 46,45

0 0 0 0 0n n n n n

IIISn h h h h h h h h h h

(6.35)

a následně zavedením zákona hromadění směrodatných odchylek získáme vztah:

10nIIIn h

(6.36)

Obecný tvar předchozího vzorce (6.36) má následující tvar:

2IIIn n h (6.37)

kde n je počet nivelačních sestav a σhɸ je směrodatná odchylka průměrného převýšení

v jedné nivelační sestavě.

Očekávaná hodnota přesnosti posunu je 0,22 mm pro n=5 (tab. 6.10) a dosaţená

přesnost je 0,16 mm pro n=5 (tab. 6.11), přesnost měření byla tedy dodrţena. Mezní hodnoty

byly vypočteny podle vztahu (6.28), kde mezní hodnota posunu pro očekávanou přesnost je

0,44 mm a pro dosaţenou přesnost 0,32 mm. Přesnost měření byla tedy splněna a k posouzení

posunu byla pouţita mezní hodnota 0,32 mm, která byla vypočtena z dosaţené přesnosti

posunu, ze stejného důvodu uvedeného výše v podkap. 6.3.1 a 6.3.2.

- 73 -

7 VYHODNOCENÍ POSUNŮ A NÁKLONŮ V KATEDRÁLE SV.

VÍTA

Po vyhodnocení přesnosti určovaných veličin a prokázání posunů porovnáním s mezní

hodnotou bude přistoupeno k vyhodnocení dosaţených hodnot vodorovného náklonu

a svislého posunu vypočtených v předchozí kapitole. V této části budou náklony a svislé

posuny určené z trigonometrické metody vztaţeny k šesté etapě, aby tyto hodnoty bylo moţné

porovnat s hodnotami posunů zjištěné metodou přesné nivelace.

7.1 VYHODNOCENÍ VODOROVNÝCH NÁKLONŮ URČENÝCH


Náklony jsou charakterizovány změnou příčné vzdálenosti mezi horním a dolním

bodem na daném sloupu pro jednotlivou etapu vzhledem k základní etapě. Dosaţené hodnoty

náklonu vztaţených k nulté etapě jsou uvedeny v tab. 5.1. Hodnoty náklonů v podélné lodi

vztaţených k šesté etapě jsou uvedeny v tab. 7.1, tučně jsou zvýrazněny prokázané náklony.

V příčné lodi se změny příčné vzdálenosti začaly měřit aţ od desáté etapy, tudíţ tuto etapu

povaţujeme zde za základní, viz tab. 5.1. Na základě odvození přesnosti náklonu bylo

zjištěno, ţe přesnost v určení příčné vzdálenosti je nejvíce ovlivněna přesností měření

vodorovných úhlů. Záporná hodnota náklonu znamená, ţe se pozorované části sloupu

naklánění směrem k ose chrámu a kladná hodnota představuje náklon sloupu od osy chrámu.

Podle dosaţených hodnot lze říci, ţe s rostoucí teplotou se sloupy naklánějí směrem od osy

chrámu, hodnoty posunů mají záporné znaménko. Naopak s poklesem teploty se některé

sloupy naklánějí směrem k ose chrámu a posuny mají kladné znaménko. Tento jev je

pravděpodobně způsoben reakcí opěrného sytému katedrály na rozdílné teploty během roku.

Závislost vodorovných náklonů na teplotě byla prokázána v diplomové práci [13], lze ji lépe

pozorovat u náklonu vztaţeného k nulté etapě (tab. 5.1). Z dosaţených hodnot bylo odhaleno,

ţe vodorovné náklony se nejvíce projevují u sloupů druhého řezu. Je to pravděpodobně

způsobeno tím, ţe se tyto sloupy nachází na úrovni Velké Věţe, (zobrazena na obr. 7.2). Její

konstrukce nejspíše ovlivňuje chování sloupů druhého řezu, zejména sloup na jiţní straně

chrámu. U tohoto sloupu byla nalezena nejvyšší hodnota vodorovného náklonu 3,10 mm

v deváté etapě změřené v červnu roku 2003.

- 74 -

Průběh hodnot vodorovného náklonu jiţního sloupu druhého řezu v jednotlivých

etapách je znázorněn na obr. 7.1 Grafické zobrazení náklonu u ostatních sloupů je uvedeno

v příloze V.

Tab. 7.1 Hodnoty vodorovného náklonu jednotlivých sloupů vztažených k šesté etapě

Etapa Datum Teplota

uvnitř

[°C]


11 - 13

[mm]

12 - 14

[mm]

21 - 23

[mm]

22 - 24

[mm]

31 - 33

[mm]

32 - 34

[mm]

41 - 43

[mm]

42 - 44

[mm]

6 23.01.2002 4 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

7 25.06.2002 23 -0,36 -1,22 -2,19 -2,64 -0,69 -0,82 -1,34 -0,65

8 30.01.2003 4 0,62 0,34 0,02 0,12 -0,21 0,31 0,21 0,61

9 30.06.2003 23 -0,60 -1,25 -2,46 -3,10 -0,12 -1,11 -1,43 -0,97

10 06.05.2004 16 -0,54 -0,87 -1,33 -1,93 -0,29 -0,41 -0,82 -0,06

12 07.10.2004 17 0,42 -0,61 -0,96 -2,01 0,16 -0,24 -0,67 -0,23

15 28.04.2005 14 0,02 -0,87 -0,99 -1,65 0,28 -0,57 -0,26 0,10

17 19.10.2005 13 1,16 0,11 -0,63 -0,90 -0,07 -0,46 -0,18 0,50

18 03.07.2006 22 -0,06 -1,14 -2,02 -2,77 0,22 -1,54 -1,06 -0,57

19 03.09.2007 19,5 0,42 -0,33 -1,87 -2,01 -0,55 -0,89 -0,96 0,04

20 08.11.2007 10 0,75 0,38 -0,41 -0,45 0,11 -0,09 -0,33 0,67

21 22.04.2008 11,5 -0,05 -0,46 -1,06 -1,17 -0,12 -0,82 -0,28 0,31

22 06.11.2008 11,0 0,58 0,23 -0,81 -0,88 -0,22 -0,50 -0,34 0,31

23 20.4.2009 16,5 -0,04 -1,18 -1,28 -2,60 0,12 -1,55 -0,16 -0,32

24 27.10.2009 14 0,81 -0,22 -1,05 -0,69 -0,27 -0,14 -0,78 0,40

25 03.05.2010 15,5 -0,27 -1,30 -1,85 -1,65 -0,25 -1,43 -0,76 0,11

26 14.10.2010 13 1,06 -0,25 -0,60 -1,01 -0,09 -0,87 -0,47 0,15

Obr. 7.1 Hodnoty vodorovných náklonů sloupu druhého řezu na jižní straně chrámu

- 75 -

Obr. 7.2 Zobrazení konstrukce Velké Věže

7.2 VYHODNOCENÍ RELATIVNÍHO SVISLÉHO POSUNU


Relativní svislý posun zjištěný trigonometrickou metodou byl určen rozdílem změny

převýšení horního a dolního bodu daného sloupu v jednotlivých etapách vůči základní etapě.

Výsledné hodnoty změny převýšení vztaţené k nulté etapě jsou uvedeny v tab. 5.2. Hodnoty

relativních svislých posunů v podélné lodi v jednotlivých etapách budou vztaţeny k šesté

etapě (tab. 7.2), jako je tomu u svislých posunů určených metodou přesné nivelace. V tabulce

jsou tučně zvýrazněny prokázané hodnoty relativních svislých posunů vůči šesté etapě.

Pro příčnou loď zůstávají posuny vztaţeny k desáté etapě ze stejného důvodu uvedeného

výše. Na základě odvození přesnosti relativního svislého posunu se prokázalo, ţe hodnoty

posunu závisí na přesnosti dostředění přístroje na stanovisku a přesnosti měřených zenitových

úhlů. Z dosaţených výsledků bylo zjištěno, ţe hodnoty relativních svislých posunů mají

kladné znaménko v řezu 1 aţ 4 v podélné lodi a záporné znaménko v řezu 5 a 6 v příčné lodi

katedrály sv. Víta. Záporná hodnota znamená relativní pokles sloupu a kladná hodnota naopak

jeho relativní zdvih vzhledem k šesté etapě. Podle výsledků svislých posunů lze říci, ţe

dochází k relativnímu zdvihu pilířů u všech sloupů podélné lodi vzhledem k šesté etapě

a k relativnímu poklesu pilířů v příčné lodi chrámu od desáté etapy.

- 76 -

Maximální hodnota relativního zdvihu vůči šesté etapě byla zjištěna u sloupu třetího

řezu (pozorované body 31 - 33) 5,88 mm v 9. etapě zaměřené v červnu roku 2003. Grafické

znázornění posunů u třetího pilíře je na následujícím obr. 7.3. Hodnoty relativních svislých

posunů vůči šesté etapě u ostatních pilířů jsou zobrazeny v příloze V.

Tab. 7.2 Hodnoty relativního svislého posunu na jednotlivých sloupech vztažených k šesté

etapě

Etapa

Datum


Teplota

uvnitř

[°C]

11 - 13

[mm]

12 - 14

[mm]

21 - 23

[mm]

22 - 24

[mm]

31 - 33

[mm]

32 - 34

[mm]

41 - 43

[mm]

42 - 44

[mm]

6 23.01.2002 4 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

7 25.06.2002 23 1,86 1,58 5,17 4,86 5,66 5,40 4,00 3,90

8 30.01.2003 4 -1,10 -1,48 2,23 1,52 1,89 1,36 1,64 1,31

9 30.06.2003 23 1,75 1,66 4,30 4,52 5,88 5,87 4,12 3,59

10 06.05.2004 16 0,39 0,34 3,55 3,53 4,47 3,87 3,29 2,78

12 07.10.2004 17 0,78 0,66 3,69 3,07 4,74 4,23 3,43 3,03

15 28.04.2005 14 0,66 0,83 2,88 2,66 3,58 3,16 2,59 2,25

17 19.10.2005 13 0,59 -0,27 4,60 3,83 3,49 2,44 3,38 2,41

18 03.07.2006 22 2,02 1,80 4,38 4,45 4,24 4,03 3,80 3,52

19 03.09.2007 19,5 1,30 1,40 3,67 4,35 3,98 3,76 3,26 3,45

20 08.11.2007 10 -0,35 -0,56 2,31 2,07 1,68 0,64 1,78 1,68

21 22.04.2008 11,5 0,01 -0,08 2,69 2,58 2,39 1,89 2,22 1,94

22 06.11.2008 11,0 0,09 -0,05 3,02 2,22 1,91 1,04 2,16 1,87

23 20.04.2009 16,5 0,97 0,42 3,88 3,43 3,47 2,43 3,48 2,97

24 27.10.2009 14 -0,04 -0,61 3,73 2,76 2,76 1,74 3,09 2,09

25 03.05.2010 15,5 1,36 0,82 3,96 3,49 3,60 3,03 3,47 2,84

26 14.10.2010 13 0,12 -0,48 3,86 3,29 3,50 2,46 2,98 2,76

Obr. 7.3 Hodnoty relativního svislého posunu sloupů třetího řezu v podélné lodi chrámu

- 77 -

Relativní svislý posun II byl zjištěn změnou převýšení mezi dvěma body na sloupech

severní a jiţní strany chrámu pro jednotlivé etapy vzhledem k základní etapě. Hodnoty

relativního svislého posunu jsou uvedeny v tab. 5.3. Dosaţené hodnoty posunu budou také

vztaţeny k šesté etapě (tab. 7.3), tučně jsou zvýrazněny prokázané posuny vůči této etapě.

Po vyhodnocení přesnosti relativního svislého posunu se ukázalo, ţe relativní posun dvou

dolních popř. dvou horních bodů umístěných jednotlivě na protilehlých sloupech nezávisí

na vlivu dostředění přístroje, ale pouze na přesnosti měření zenitových úhlů. Důvodem je

malé převýšení mezi danými body. Podle výsledných hodnot změny převýšení pozorovaných

bodů lze konstatovat, ţe dochází k posunům sloupů vůči sobě v jednotlivých řezech.

Na základě posouzení relativního svislého posunu v průběhu celého etapového měření bylo

zaznamenáno, ţe dochází k největším posunům vůči šesté etapě u sloupů třetího řezu,

u kterých byla také zjištěna maximální hodnota posunu -1,70 mm ve 23. etapě změřené

v dubnu v roce 2009. Grafické znázornění sloupů třetího řezu je na následujícím obr. 7.4.

Ostatní řezy jsou zobrazeny v příloze V.

Tab. 7.3 Hodnoty relativního svislého posunu II vztažených k šesté etapě.

Etapa Datum Řez 1 Řez 2 Řez 3 Řez 4

11 - 12

[mm]

13 - 14

[mm]

21 - 22

[mm]

23 - 24

[mm]

31 - 32

[mm]

33 - 34

[mm]

41 - 42

[mm]

43 - 44

[mm]

6 23.01.2002 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

7 25.06.2002 0,19 0,07 0,09 -0,23 0,08 -0,19 -0,15 -0,24

8 30.01.2003 0,36 0,09 -0,03 -0,74 -0,43 -0,97 0,28 -0,05

9 30.06.2003 0,28 0,06 -0,03 0,19 -0,07 -0,08 0,05 -0,48

10 06.05.2004 0,18 0,25 -0,03 -0,05 -0,24 -0,83 0,03 -0,48

12 07.10.2004 0,19 0,19 0,03 -0,58 0,21 -0,30 0,08 -0,32

15 28.04.2005 0,13 0,41 0,24 0,03 -0,02 -0,44 -0,12 -0,46

17 19.10.2005 0,34 -0,41 0,16 -0,60 -0,04 -1,09 0,13 -0,84

18 03.07.2006 0,35 0,24 0,20 0,28 0,14 -0,07 -0,02 -0,29

19 03.09.2007 0,48 0,70 0,16 0,84 -0,26 -0,48 -0,29 -0,10

20 08.11.2007 0,27 0,18 0,18 -0,06 -0,12 -1,16 -0,08 -0,18

21 22.04.2008 0,44 0,47 0,22 0,11 -0,47 -0,97 0,03 -0,25

22 06.11.2008 0,35 0,47 0,33 -0,47 -0,34 -1,21 0,29 0,01

23 20.04.2009 0,43 -0,01 0,11 -0,34 -0,66 -1,70 0,05 -0,46

24 27.10.2009 0,59 0,14 0,34 -0,63 -0,58 -1,60 0,16 -0,84

25 03.05.2010 0,49 0,06 0,35 -0,12 -0,68 -1,26 0,10 -0,53

26 14.10.2010 0,41 -0,08 0,29 -0,29 -0,35 -1,39 0,17 -0,05

- 78 -

Obr. 7.4 Hodnoty relativního svislého posunu pro dolní a horní body sloupu třetího řezu

V případě relativního svislého posunu III byla určena změna převýšení mezi body

prvního a čtvrtého řezu umístěnými na stejné severní popř. jiţní straně podélné lodi chrámu

v jednotlivých etapách vztaţených k základní etapě měření. Výsledné hodnoty jsou uvedeny

v tab. 5.4. Hodnoty relativního svislého posunu mezi body prvního a čtvrtého řezu byly také

vztaţeny k šesté etapě, výsledky jsou uvedeny v tab. 7.4. Z odvození přesnosti tohoto svislého

posunu bylo zjištěno, ţe přesnost závisí pouze na přesnosti měření zenitových úhlu, ale není

ovlivněna přesností dostředění přístroje. Důvodem je malé převýšení mezi pozorovanými

body. Z dosaţených hodnot je patrné, ţe dochází k relativnímu svislému posunu severní

strany vůči šesté etapě (body 11-41), na jiţní straně (body 12-42) nebyl posun prokázán

(kromě 8. etapy), graficky znázorněno na obr. 7.5.

Obr. 7.5 Hodnoty relativního svislého posunu III mezi body prvního a čtvrtého řezu

- 79 -

Tab. 7.4 Hodnoty svislého posunu III vztažené k šesté etapě.

Etapa

Datum


11 - 41 S

[mm]

12 - 42 J

[mm]

6 23.01.2002 0,00 0,00

7 25.06.2002 0,59 0,25

8 30.01.2003 0,87 0,78

9 30.06.2003 0,48 0,26

10 06.05.2004 0,56 0,41

12 07.10.2004 0,41 0,30

15 28.04.2005 0,64 0,39

17 19.10.2005 0,77 0,56

18 03.07.2006 0,90 0,53

19 03.09.2007 0,80 0,02

20 08.11.2007 0,80 0,44

21 22.04.2008 0,80 0,44

22 06.11.2008 0,59 0,53

23 20.04.2009 0,62 0,24

24 27.10.2009 0,70 0,27

25 03.05.2010 0,73 0,34

26 14.10.2010 0,67 0,43

Na základě výsledných hodnot relativního svislého posunu lze říci, ţe dochází

ke zdvihu pilířů v podélné lodi vůči šesté etapě a k poklesu pilířů v příčné lodi chrámu

vzhledem k desáté etapě. Dále bylo odhaleno, ţe se nejvíce od šesté etapy posouvají pilíře

třetího řezu (relativní svislý posun II: prokázáno nejvíce hodnot posunu u daných sloupů).

Maximální hodnota relativního svislého posunu -1,70 mm byla zjištěna ve 23. etapě u sloupů

třetího řezu. Následně bylo odhaleno, ţe se vzájemně svisle posouvají vůči šesté etapě gotická

a neogotická část chrámu na severní straně (relativní svislý posun III: prokázání posunu mezi

body prvního a čtvrtého řezu). Body prvního řezu se nacházejí v neogotické části chrámu

a body čtvrtého řezu v gotické části chrámu, zobrazeno na obr. 7.6. Největší hodnoty

relativního svislého posunu u sloupu třetího řezu je pravděpodobně způsoben posunem

gotické a neogotické části chrámu.

- 80 -

Obr. 7.6 Situační schéma v chrámu sv. Víta

- 81 -

7.3 VYHODNOCENÍ SVISLÉHO POSUNU Z METODY PŘESNÉ

NIVELACE

U svislého posunu sledovaného metodou přesné nivelace byla zjišťována změna výšky

bodu osazeného při patě sloupu v jednotlivých etapách vůči základní etapě. Výsledné hodnoty

posunů jsou zobrazeny v tab. 5.6. Výpočet výšky je pro kaţdý bod rozdílný, jelikoţ výšky

byly určeny součtem příslušných převýšení k danému bodu, díky tomu je pak přesnost

svislého posunu kaţdého bodu charakterizována odlišnou směrodatnou odchylkou měřeného

převýšení.

Z uvedených hodnot je zřejmé, ţe do dubna roku 2008 hodnoty posunů u bodů 15, 16,

25, 26 a 36 jsou se záporným znaménkem a naproti tomu body 35, 45 a 46 mají znaménko

kladné. Od listopadu roku 2008 jsou hodnoty svislého posunu s kladným znaménkem u všech

pozorovaných bodů kromě bodu 25, u kterého se kladné znaménko projevilo aţ v poslední

měřické etapě. Stejně jako u trigonometrické metody, znaménko mínus představuje pokles

opěrného pilíře a znaménko plus naopak jeho zdvih vůči šesté etapě. Nejvíce prokázaných

hodnot posunů je u bodu 25, coţ pravděpodobně souvisí s polohou daného sloupu v chrámu.

Na základě hodnot lze říci, ţe v posledních letech dochází ke zdvihu pilířů vůči šesté etapě jak

v gotické (body 35, 36, 45, 46) tak v neogotické části (body 15, 16, 26) chrámu sv. Víta.

Výjimkou je pouze bod 25, u kterého se zdvih projevil aţ v poslední změřené etapě

v roce 2010. Hodnoty posunů u sloupů druhého řezu jsou zobrazeny na obr. 7.7, grafické

zobrazení ostatních bodů je uvedeno v příloze V.

Obr. 7.7 Hodnoty svislého posunu sloupů druhého řezu na severní (bod 25) a jižní (bod 26)

straně

- 82 -

Relativní svislý posun II byl vypočten z rozdílu výšek dvou bodů umístěných

na protilehlých sloupech stejného pilíře v daných etapách vzhledem k základní etapě měření.

Přehled hodnot je zobrazen v tab. 5.7. Na základě odvození přesnosti posunu mezi dvěma

body protilehlých sloupů bylo zjištěno, ţe přesnost určení posunu závisí na přesnosti

měřeného převýšení mezi danými body. Podle zjištěných hodnot relativního svislého posunu

vůči šesté etapě lze říci, ţe se sloupy severní a jiţní části chrámu vůči sobě svisle posouvají.

Nejvíce je relativními svislými posuny vůči šesté etapě zatíţen bod 25 druhého řezu a bod 46

čtvrtého řezu, u bodu 25 byla zároveň zjištěna maximální hodnota posunu 0,69 mm ve 25.

etapě změřené 3. 5. 2010. Průběh posunů u pilíře 2 je zobrazen na obr. 7.8, grafy ostatních

pilířů jsou uvedeny v příloze V.

Obr. 7.8 Hodnoty relativního svislého posunu II sloupů druhého řezu

V případě relativního svislého posunu III byla vypočtena změna výšky mezi body

prvního a čtvrtého řezu umístěnými na stejné severní popř. jiţní straně v podélné lodi chrámu

pro jednotlivé etapy vztaţené k základní etapě měření. Z dosaţených hodnot je patrné,

ţe dochází k relativnímu svislému posunu na severní i jiţní straně mezi první řezem

v neogotické části chrámu a čtvrtým řezem v gotické části chrámu vůči šesté etapě, graficky

znázorněno na obr. 7.9.

- 83 -

Obr. 7.9 Porovnání relativního svislého posunu III mezi 1. a 4. sloupem severní a jižní strany

chrámu

Bylo zjištěno, ţe v posledních letech (od roku 2008) dochází ke zdvihu pilířů

v neogotické i gotické části chrámu vůči šesté etapě, kromě bodu 25 druhého řezu. Atypické

chování tohoto bodu můţe být způsobeno tím, ţe se nachází na úrovni Velké Věţe. Její

konstrukce je vystavěna přímému slunečnímu záření a je moţné, ţe ovlivňuje chování tohoto

bodu, viz obr. 7.2. Dále porovnáním změn převýšení mezi dvěma body na sloupech severní

a jiţní strany (relativní svislý posun II) pro jednotlivé etapy vůči šesté etapě bylo zjištěno,

ţe k největším posunům dochází u bodu 25 druhého řezu a bodu 46 čtvrtého řezu. Dále byl

odhalen vzájemný posun gotické a neogotické části chrámu na severní a jiţní straně chrámu

(relativní svislý posun III: prokázání relativního posunu mezi body prvního a čtvrtého řezu

vůči šesté etapě). Body prvního řezu se nacházejí v neogotické části a body čtvrtého řezu

v gotické části chrámu, zobrazeno na obr. 7.6.

- 84 -

7.4 POROVNÁNÍ SVISLÉHO POSUNU URČENÉHO ZE DVOU

GEODETICKÝCH METOD

Následně po vyhodnocení svislých posunů pomocí obou geodetických metod, budou

v poslední podkapitole diplomové práce porovnány výsledky obou pouţitých metod

pro sledování svislých posunů v chrámu Sv. Víta.

7.4.1 Porovnání relativního posunu z trigonometrické metody a absolutního posunu

zjištěného přesnou nivelací

Na základě vyhodnocení relativního svislého posunu mezi horním a dolním

pozorovaným bodem na jednom sloupu trigonometrickou metodou bylo určeno, ţe dochází

ke zdvihu pilířů v podélné lodi. V tomto případě mluvíme o zdvihu či poklesu sloupu jako

celku vůči šesté etapě, není ale moţné říci, jakým způsobem se pohybují jednotlivé body

na daném sloupu. Je klidně moţné, ţe se kaţdý bod na sloupu pohybuje opačným směrem

s tím, ţe jeden z bodů se posouvá více. Z tohoto důvodu pak znaménko celkového posunu je

dáno posunem bodu, který dosahuje větší hodnoty.

Podle hodnot svislého posunu jednoho bodu na sloupu (osazen při patě sloupu)

určeného metodou přesné nivelace bylo zjištěno, ţe v posledních letech (od roku 2008)

dochází ke zdvihu pilířů vzhledem k šesté etapě v neogotické i gotické části chrámu.

Výjimkou je pouze sloup (bod 25) druhého pilíře, u kterého se kladné znaménko objevilo

v poslední měřické etapě. Hodnoty posunů v jednotkách mm jednotlivých metod jsou vedle

sebe zobrazeny v tab. 7.4 (kaţdý řez má dva sloupce, vlevo jsou trigonometricky určené svislé

posuny a vpravo nivelační posuny).

Podle výsledných hodnot obou metod bylo shodně určeno, ţe dochází ke zdvihu pilířů

vzhledem k šesté etapě. Samotné hodnoty svislých posunů mezi sebou ale nelze porovnávat,

vzhledem k tomu, ţe u trigonometrické metody je posun hodnocen relativním posunem dvou

bodů na sloupu a u metody přesné nivelace je svislý posun hodnocen posunem jednoho bodu

na sloupu vůči šesté etapě. Větší citlivost pro určení posunů metodou přesné nivelace lze

pozorovat na základě hodnot uvedených v tab. 7.5 a také na tendenci grafů uvedených

v příloze V. Metodu přesné nivelace lze tedy povaţovat za vhodnější pro stanovení sedání či

klesaní sloupů v chrámu sv. Víta.

- 85 -

Tab. 7.5 Hodnoty relativního svislého posunu pro dva body na sloupu z trigonometrie

a hodnoty svislého posunu bodů na jednotlivých sloupech z nivelace.

Severní strana chrámu

Jižní strana chrámu

Etapa Datum Teplota

uvnitř

[°C]


12 - 14 16 22 - 24 26 32 - 34 36 42 - 44 46

6 23.1.2002 4 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

7 25.6.2002 22 1,58 -0,35 4,86 -0,54 5,40 -0,18 3,90 0,02

8 30.1.2003 4 -1,48 0,00 1,52 0,02 1,36 0,35 1,31 0,73

9 30.6.2003 23 1,66 -0,33 4,52 -0,10 5,87 0,03 3,59 0,14

10 6.5.2004 16 0,34 0,05 3,53 -0,12 3,87 0,13 2,78 0,52

12 7.10.2004 17 0,66 -0,05 3,07 -0,15 4,23 0,21 3,03 0,41

15 28.4.2005 13 0,83 -0,51 2,66 -0,57 3,16 -0,66 2,25 -0,15

17 19.10.2005 14 -0,27 -0,06 3,83 -0,12 2,44 0,17 2,41 0,47

18 3.7.2006 22,5 1,80 -0,10 4,45 -0,12 4,03 0,04 3,52 0,75

19 3.9.2007 19,5 1,40 0,02 4,35 -0,21 3,76 -0,25 3,45 0,22

20 8.11.2007 10 -0,56 0,30 2,07 0,11 0,64 0,00 1,68 0,52

21 22.4.2008 12 -0,08 -0,03 2,58 -0,25 1,89 -0,55 1,94 0,25

22 6.11.2008 12 -0,05 0,83 2,22 0,59 1,04 0,56 1,87 1,07

23 20.4.2009 16 0,42 0,34 3,43 0,12 2,43 -0,30 2,97 0,71

24 27.10.2009 14 -0,61 0,34 2,76 0,14 1,74 0,23 2,09 0,94

25 3.5.2010 15 0,82 0,85 3,49 0,42 3,03 0,24 2,84 1,28

26 14.10.2010 13 -0,48 1,01 3,29 0,74 2,46 0,51 2,76 1,53

Etapa Datum Teplota

uvnitř

[°C]


11 - 13 15 21 - 23 25 31 - 33 35 41 - 43 45

6 23.1.2002 4 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

7 25.6.2002 22 1,86 -0,43 5,17 -0,65 5,66 -0,21 4,00 0,10

8 30.1.2003 4 -1,10 -0,15 2,23 -0,11 1,89 0,59 1,64 0,45

9 30.6.2003 23 1,75 -0,46 4,30 -0,38 5,88 0,21 4,12 0,20

10 6.5.2004 16 0,39 -0,13 3,55 -0,42 4,47 0,40 3,29 0,32

12 7.10.2004 17 0,78 -0,09 3,69 -0,39 4,74 0,09 3,43 0,13

15 28.4.2005 13 0,66 -0,59 2,88 -0,97 3,58 -0,45 2,59 -0,32

17 19.10.2005 14 0,59 -0,03 4,60 -0,44 3,49 0,17 3,38 0,19

18 3.7.2006 22,5 2,02 -0,08 4,38 -0,45 4,24 -0,04 3,80 0,69

19 3.9.2007 19,5 1,30 -0,13 3,67 -0,55 3,98 -0,12 3,26 0,00

20 8.11.2007 10 -0,35 0,29 2,31 -0,27 1,68 0,03 1,78 0,16

21 22.4.2008 12 0,01 -0,27 2,69 -0,88 2,39 -0,12 2,22 0,02

22 6.11.2008 12 0,09 0,69 3,02 0,22 1,91 0,72 2,16 0,80

23 20.4.2009 16 0,97 0,16 3,88 -0,40 3,47 0,23 3,48 0,43

24 27.10.2009 14 -0,04 0,23 3,73 -0,33 2,76 0,37 3,09 0,54

25 3.5.2010 15 1,36 0,39 3,96 -0,27 3,60 0,81 3,47 0,94

26 14.10.2010 13 0,12 0,74 3,86 0,26 3,50 0,96 2,98 1,07

- 86 -

7.4.2 Porovnání relativního svislého posunu II mezi oběma geodetickými metodami

Na základě posouzení svislého posunu mezi dolními pozorovanými body jiţní

a severní strany bylo oběma metodami zjištěno, ţe dochází k vzájemnému relativnímu posunu

pilířů všech řezů vzhledem k šesté etapě. Výjimkou je čtvrtý řez, kde byl posun prokázán

spíše jen metodou přesné nivelace.

Hodnoty jednotlivých metod jsou vedle sebe zobrazeny v tab. 7.6 (v kaţdé oddělené

části jsou dva sloupce, vlevo jsou nivelační svislé posuny a vpravo posuny určené

trigonometrickou metodou). V tab. 7.6 jsou tučně zvýrazněny prokázané relativní svislé

posuny vůči šesté etapě.

Tab. 7.6 Hodnoty relativního svislého posunu II mezi dvěma body na severní a jižní straně

chrámu

Etapa Datum Teplota

uvnitř

Svislý posun II [mm]

[°C] Řez 1 Řez 2 Řez 3 Řez 4

15 - 16 11 - 12 25 - 26 21 - 22 35 - 36 31 - 32 45 - 46 41 - 42

6 23.1.2002 4 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

7 25.6.2002 22 0,08 0,19 0,12 0,09 0,02 0,08 -0,08 -0,15

8 30.1.2003 4 0,15 0,36 0,13 -0,03 -0,24 -0,43 0,28 0,28

9 30.6.2003 23 0,13 0,28 0,28 -0,03 -0,18 -0,07 -0,06 0,05

10 6.5.2004 16 0,19 0,18 0,29 -0,03 -0,27 -0,24 0,2 0,03

12 7.10.2004 17 0,04 0,19 0,24 0,03 0,12 0,21 0,29 0,08

15 28.4.2005 13 0,08 0,13 0,4 0,24 -0,21 -0,02 0,17 -0,12

17 19.10.2005 14 -0,03 0,34 0,33 0,16 0,00 -0,04 0,28 0,13

18 3.7.2006 22,5 -0,02 0,35 0,33 0,2 0,08 0,14 0,06 -0,02

19 3.9.2007 19,5 0,15 0,48 0,33 0,16 -0,13 -0,26 0,22 -0,29

20 8.11.2007 10 0,01 0,27 0,38 0,18 -0,03 -0,12 0,36 -0,08

21 22.4.2008 12 0,25 0,44 0,63 0,22 -0,44 -0,47 0,23 0,03

22 6.11.2008 12 0,14 0,35 0,37 0,33 -0,16 -0,34 0,27 0,29

23 20.4.2009 16 0,17 0,43 0,52 0,11 -0,53 -0,66 0,28 0,05

24 27.10.2009 14 0,12 0,59 0,47 0,34 -0,13 -0,58 0,41 0,16

25 3.5.2010 15 0,46 0,49 0,69 0,35 -0,57 -0,68 0,34 0,10

26 14.10.2010 13 0,26 0,41 0,48 0,29 -0,45 -0,35 0,46 0,17

- 87 -

Pro dané pilíře se vypočte rozdíl relativních svislých posunů mezi geodetickými

metodami, které jsou zobrazeny v tab. 7.7 podle vzorce (7.1).

i II IIn p (7.1)

kde i je rozdíl posunů mezi geodetickými metodami, IIp je svislý posun určen

z trigonometrické metody a IIn je svislý posun určen pomocí metody přesné nivelace.

Tab. 7.7 Rozdíly hodnot svislého posunu II pro dané pilíře určený mezi dvěma geodetickými

metodami

Etapa Datum Teplota

uvnitř

[°C]

Rozdíl hodnot svislého posunu II mm

15,16

1 11,12 25,26

2 21,22 35,36

3 31,32 45,46

4 41,42

6 23.1.2002 4 0,00 0,00 0,00 0,00

7 25.6.2002 22 -0,11 0,03 -0,05 0,07

8 30.1.2003 4 -0,22 0,16 0,20 0,00

9 30.6.2003 23 -0,15 0,31 -0,10 -0,12

10 06.05.2004 16 0,00 0,33 -0,04 0,18

12 07.10.2004 17 -0,15 0,21 -0,09 0,20

15 28.04.2005 13 -0,05 0,15 -0,19 0,29

17 19.10.2005 14 -0,37 0,16 0,04 0,15

18 03.07.2006 22,5 -0,37 0,12 -0,06 0,08

19 03.09.2007 19,5 -0,33 0,18 0,13 0,52

20 08.11.2007 10 -0,27 0,20 0,09 0,44

21 22.04.2008 12 -0,19 0,41 0,04 0,20

22 06.11.2008 12 -0,21 0,04 0,18 -0,03

23 20.04.2009 16 -0,26 0,42 0,12 0,23

24 27.10.2009 14 -0,48 0,13 0,45 0,25

25 03.05.2010 15 -0,03 0,34 0,11 0,24

26 14.10.2010 13 -0,15 0,19 -0,10 0,29

Dalo by se předpokládat, ţe hodnoty posunů budou mít přibliţně stejné hodnoty

z obou geodetických metod, v tab. 7.7 lze pozorovat, ţe tomu tak není. Rozdílné hodnoty

posunů vyplývají z rozdílné přesnosti měřených veličin kaţdé metody. Vzhledem k tomu,

ţe veličiny mají odlišné směrodatné odchylky, tak mezní hodnoty pro posouzení relativního

svislého posunu jsou také rozdílné (viz níţe) a z tohoto důvodu se liší i hodnoty relativních

posunů od šesté etapy.

- 88 -

U metody přesné nivelace byl relativní posun ve všech řezech prokázán při překročení

mezní hodnoty 0,14 mm. U trigonometrické metody byl prokázán posun v prvním řezu

při překročení mezní hodnoty 0,30 mm, ve druhém řezu 0,20 mm, ve třetím řezu 0,32 mm

(do patnácté etapy), 0,22 mm ve třetím řezu (od sedmnácté etapy) a ve čtvrtém řezu

při přesaţení mezní hodnoty 0,26 mm.

Rozdíl mezi mezními hodnotami daných metod pro první řez je 0,16 mm, pro druhý

řez je 0,06 mm, pro třetí řez je 0,18 mm (do patnácté etapy), třetí řez (od sedmnácté etapy) je

0,08 mm a pro čtvrtý řez 0,12 mm.

V ideálním případě by se rozdíly relativních svislých posunů z obou geodetických

metod rovnaly rozdílům jejich mezních hodnot. Vzhledem k tomu, ţe jsou měřené veličiny

zjištěny odlišnými přístroji a ovlivněny jinými systematickými a náhodnými měřickými

chybami, dosaţené rozdíly se mezním hodnotám zcela nerovnají. Je tedy potřeba zhodnotit,

zda si hodnoty vzájemně odpovídají. Pro posouzení přesnosti je vypočtena mezní hodnota

rozdílu posunů pro obě metody podle vzorce:

cII p IImet u c (7.2)

kde cIImet je mezní rozdíl svislých posunů II, pu je koeficient spolehlivosti, který byl

zvolen 2 a IIc je směrodatná odchylka určena z rozdílu posunů obou metod, která byla

vypočtena podle vztahu (7.3). Dosaţené hodnoty jsou uvedeny v tab. 7.8.

2 2

II II IIc n p (7.3)

kde IIn je směrodatná odchylka metody přesné nivelace, IIp je směrodatná

odchylka určená z trigonometrické metody a IIc je celková směrodatná odchylka rozdílu

obou metod.

Tab. 7.8 Mezní hodnoty a směrodatné odchylky relativních svislých posunů II

v jednotkách mm jednotlivých řezů

Řezy IIp IIn IIc cIImet

1.řez 0,15 0,07 0,17 0,34

2.řez 0,10 0,07 0,12 0,22

3.řez (6. – 15. etapa) 0,16 0,07 0,17 0,34

3.řez (17. - 26. etapa) 0,11 0,07 0,13 0,26

4.řez 0,13 0,07 0,15 0,30

- 89 -

Rozdíly hodnot relativních svislých posunů vypočtené z obou metod (tab. 7.7) byly

porovnány s mezním rozdílem (tab. 7.8). Hodnoty, které překročily mezní hodnotu rozdílu,

byly v tab. 7.7 vyznačeny červeně. Důvodem překročení mezní hodnoty můţe být vliv

systematických a náhodných chyb daných metod, které se v rozdílech posunů mohou projevit

současně. Na základě porovnání hodnot rozdílů posunů s mezním rozdílem lze konstatovat,

ţe většina hodnot si vzájemně odpovídá. Dosaţené rozdíly posunů (tab. 7.7) jsou znázorněny

v příloze V.

7.4.3 Porovnání relativního svislého posunu III obou geodetických metod

Podle dosaţených hodnot obou metod je patrné, ţe dochází k relativnímu svislému

posunu mezi pozorovanými body prvního řezu v neogotické části chrámu a čtvrtého řezu

v gotické části chrámu.

Hodnoty relativních svislých posunů III z obou geodetických metod vztaţených

k šesté etapě jsou uvedeny v následující tab. 7.9 (v kaţdé části jsou dva sloupce tučně

oddělené, vlevo jsou posuny určené trigonometrickou metodou a vpravo nivelační svislé

posuny). Tučně jsou zvýrazněny prokázané hodnoty posunů vzhledem k šesté etapě. Grafické

znázornění posunů je uvedeno v příloze V.

Tab. 7.9 Hodnoty relativního svislého posunu III mezi dvěma body prvního a čtvrtého řezu

umístěných na severní popř. jižní straně.

Etapa Datum Teplota

uvnitř

[°C]


11 - 41 S 15 - 45 S 12 - 42 J 16 - 46 J

6 23.01.2002 4 0,00 0,00 0,00 0,00

7 25.06.2002 22 0,59 0,53 0,25 0,37

8 30.01.2003 4 0,87 0,60 0,78 0,73

9 30.06.2003 23 0,48 0,67 0,26 0,47

10 06.05.2004 16 0,56 0,45 0,41 0,47

12 07.10.2004 17 0,41 0,22 0,30 0,46

15 28.04.2005 13 0,64 0,27 0,39 0,36

17 19.10.2005 14 0,77 0,22 0,56 0,53

18 03.07.2006 22,5 0,90 0,77 0,53 0,86

19 03.09.2007 19,5 0,80 0,13 0,02 0,20

20 08.11.2007 10 0,80 -0,13 0,44 0,23

21 22.04.2008 12 0,80 0,29 0,44 0,27

22 06.11.2008 12 0,59 0,12 0,53 0,24

23 20.04.2009 16 0,62 0,27 0,24 0,37

24 27.10.2009 14 0,70 0,31 0,27 0,60

25 03.05.2010 15 0,73 0,55 0,34 0,43

26 14.10.2010 13 0,67 0,33 0,43 0,52

- 90 -

Pro dané pilíře se vypočte rozdíl relativních svislých posunů mezi oběma

geodetickými metodami podle vzorce (7.4), výsledné hodnoty jsou uvedeny v tab. 7.10.

i III IIIn p (7.4)

kde i je rozdíl posunů mezi oběma geodetickými metodami, IIIp je svislý posun

určen z trigonometrické metody a IIIn je svislý posun určen pomocí metody přesné nivelace.

Tab. 7.10 Rozdíly hodnot relativního svislého posunu III pro dané pilíře určené z rozdílu mezi

dvěma geodetickými metodami

Etapa Datum Teplota

uvnitř

[°C]


11,41

15,45S 12,42

16,46J

6 23.01.2002 4 -0,00 -0,00

7 25.06.2002 22 -0,05 0,13

8 30.01.2003 4 -0,27 -0,05

9 30.06.2003 23 0,19 0,21

10 06.05.2004 16 -0,11 0,06

12 07.10.2004 17 -0,19 0,16

15 28.04.2005 13 -0,37 -0,03

17 19.10.2005 14 -0,55 -0,03

18 03.07.2006 22,5 -0,13 0,32

19 03.09.2007 19,5 -0,66 0,18

20 08.11.2007 10 -0,92 -0,22

21 22.04.2008 12 -0,51 -0,17

22 06.11.2008 12 -0,47 -0,29

23 20.04.2009 16 -0,36 0,13

24 27.10.2009 14 -0,39 0,33

25 03.05.2010 15 -0,18 0,09

26 14.10.2010 13 -0,34 0,09

V tomto případě by bylo rovněţ moţné předpokládat přibliţně stejné hodnoty posunů

daných sloupů zjištěné oběma metodami. V tab. 7.10 lze pozorovat, ţe se hodnoty relativního

svislého posunu III liší, jak tomu bylo u svislých posunů II. Hodnoty jednotlivých posunů

dosahují odlišných hodnot ze stejného důvodu, který byl uveden v předchozí části. V kaţdé

metodě se měří různé veličiny s různou přesností. Vzhledem k tomu, ţe veličiny mají odlišné

směrodatné odchylky, mezní hodnoty pro posouzení svislého posunu jsou tedy také jiné.

Z tohoto důvodu se liší i hodnoty daných posunů.

- 91 -

U metody přesné nivelace byl posun mezi prvním a čtvrtým řezem prokázán

při překročení mezní hodnoty 0,32 mm. U trigonometrické metody došlo k prokázání posunu

při překročení mezní hodnoty 0,56 mm Rozdíl mezi mezními hodnotami obou metod

je 0,24 mm.

Jak bylo zmíněno v předchozí části, v ideálním případě by se hodnoty rozdílů posunů

měly rovnat rozdílům mezních hodnot. Dosaţené rozdíly posunů se ale mezním hodnotám

nerovnají, pravděpodobně je to vlivem odlišných systematických a náhodných chyb obou

metod. Dále je potřeba zhodnotit, zda si hodnoty vzájemně odpovídají. Pro posouzení

přesnosti rozdílu hodnot relativního svislého posunu III, je vypočtena mezní hodnota rozdílu

podle vzorce:

cIII p IIImet u c (7.5)

kde cIIImet je mezní rozdíl svislých posunů III, pu je koeficient spolehlivosti, který

byl zvolen 2 a IIIc je směrodatná odchylka určená z rozdílů posunů obou metod, která byla

vypočtena podle vztahu (7.6). Dosaţené hodnoty jsou uvedeny v tab. 7.11.

2 2

III III IIIc n p (7.6)

kde IIIn je směrodatná odchylka posunů z metody přesné nivelace, IIIp je

směrodatná odchylka určená z trigonometrické metody a c je celková směrodatná

odchylka rozdílu obou metod.

Tab. 7.11 Mezní hodnoty a směrodatné odchylky svislých posunů III v jednotkách mm

jednotlivých řezů

Řezy 4 a 1 IIIp IIIn IIIc cIIImet

0,28 0,16 0,32 0,64

Vypočtené rozdíly relativních posunů zjištěných z obou metod (tab. 7.10) byly

porovnány s mezní hodnotou (tab. 7.11). Většina hodnot nepřesahuje mezní rozdíl a splňují

dosaţenou přesnost. V případě hodnot, u kterých došlo k překročení mezního rozdílu

(zvýrazněny červeně v tab 7.10), nebyla přesnost dodrţena. Důvodem nesplnění přesnosti

jsou pravděpodobně (stejně jako u svislých posunů II) odlišné náhodné a systematické chyby

obou metod, které se mohly u obou posunů projevit současně. Dosaţená přesnost posunů byla

- 92 -

splněna u většiny měřických etap, a proto lze konstatovat, ţe si hodnoty vzájemně odpovídají.

Grafické znázornění posunů III určených oběma metodami a uvedených v tab. 7.10 je

zobrazeno v příloze V.

- 93 -

8 ZÁVĚR

Cílem diplomové práce bylo zpracování etapového měření vodorovných náklonů

a svislých posunů v katedrále sv. Víta. Dále pak zhodnocení dosaţených hodnot svislých

posunů z metody přesné nivelace a trigonometrie.

Nejprve byly zpracovány zápisníky měřených veličin a byla vypočtena dosaţená

přesnost měření, která je charakterizována výběrovou směrodatnou odchylkou. Pro moţné

posouzení přesnosti měření musela být odvozena základní směrodatná odchylka. Porovnáním

obou odchylek bylo zjištěno, ţe celková výběrová odchylka vodorovných redukovaných

směrů pro podélnou loď 0,15 mgon a příčnou loď 0,12 mgon odpovídá základní směrodatné

odchylce 0,21 mgon. U některých etap došlo k překročení základní směrodatné odchylky.

V těchto případech bylo provedeno testování nulovou hypotézou. K zamítnutí nulové

hypotézy došlo u stanoviska S1 v šesté etapě. V případě zenitových úhlů bylo zjištěno,

ţe výběrová odchylka je 0,17 mgon pro podélnou loď a 0,12 mgon pro příčnou loď.

Při porovnání obou odchylek se základní směrodatnou odchylkou 0,15 mgon, bylo zjištěno,

ţe přesnost zenitových úhlů v podélné lodi neodpovídá očekávané přesnosti. Z tohoto důvodu

bylo přistoupeno k testování nulové hypotézy, ţe výběrová směrodatná odchylka odpovídá

základní směrodatné odchylce. K zamítnutí nulové hypotézy došlo v šesté etapě u stanoviska

S1 a S3, v osmé etapě u stanoviska S1, v desáté etapě u stanoviska S3 a v sedmnácté etapě

u stanoviska S1. Na těchto stanoviscích neodpovídá výběrová směrodatná odchylka

zenitového úhlu základní směrodatné odchylce. Zhoršená kvalita měření v případě některých

etap je pravděpodobně způsobena tím, ţe jsou v katedrále podmínky měření ztěţovány

velkým mnoţstvím turistů. Kvůli této skutečnosti musí měření probíhat v pozdějších hodinách

aţ po uzavření katedrály pro veřejnost (tedy ve večerních hodinách bez přirozeného světla).

Při měření je nutné, aby jedna osoba asistovala měřiči a osvětlovala zespoda pozorované

body. U převýšení určeným metodou přesné nivelace bylo zjištěno, ţe celková výběrová

odchylka 0,05 mm odpovídá základní směrodatné odchylce 0,07 mm. Přesnost převýšení byla

zkontrolována i pomocí výpočtu uzávěrů nivelačního pořadu, ţádná hodnota uzávěrů

nepřekročila mezní uzávěr 0,28 mm. Mohlo být tedy konstatováno, ţe dosaţená přesnost

odpovídá očekávané přesnosti měření.

Následně po vyhodnocení přesnosti měřených veličin bylo přistoupeno k výpočtu

vodorovného náklonu horního pozorovaného bodu vůči dolnímu bodu na daném pilíři

trigonometrickou metodou. S vyuţitím této metody byl proveden výpočet relativního svislého

- 94 -

posunu mezi horním a dolním bodem na jednotlivých sloupech. Dále také mezi body

umístěnými jednotlivě na sloupech severní a jiţní části chrámu a zároveň body prvního

a čtvrtého řezu v podélné lodi katedrály. U metody přesné nivelace byl vypočten svislý posun

pro jeden bod na sloupu, pro dva body umístěné na severní a jiţní straně chrámu a také mezi

body prvního a čtvrtého řezu. Následně byla odvozena a vypočtena přesnost všech

určovaných veličin. Porovnáním hodnot bylo zjištěno, ţe dosaţená přesnost odpovídá

očekávané přesnosti určovaných veličin. Pomocí směrodatných odchylek byly vypočteny

mezní hodnoty, které byly porovnány s dosaţenými hodnotami těchto veličin. Pokud byla

mezní hodnota překročena, došlo k prokázání posunu vůči základní etapě, v opačném případě

posun nebyl prokázán, ale ani vyloučen. U náklonu byla určována změna příčné vzdálenosti

horního a dolního bodu na sloupu v jednotlivých etapách vzhledem k základní etapě.

V případě svislého posunu zjištěného trigonometrickou metodou byla určena změna převýšení

dvou bodů na jednom sloupu a mezi body na odlišných sloupech v jednotlivých etapách vůči

základní etapě. Svislé posuny sledované metodou přesné nivelace byly zjištěny změnou výšky

bodu na sloupu a také mezi dvěma body na odlišných (protilehlých) sloupech pro jednotlivé

etapy vzhledem k výškám v základní etapě.

Na základě dosaţených hodnot vodorovných náklonů bylo zjištěno, ţe nejvíce jsou

náklonem zatíţeny pilíře druhého řezu, které se nacházejí na úrovni Velké Věţe, která je

vystavěna přímému slunečnímu záření a její konstrukce můţe mít vliv na chování těchto

bodů. Podle hodnot relativního svislého posunu mezi horním a dolním bodem sloupu

zjištěných trigonometrickou metodou vzhledem k šesté etapě, bylo vyhodnoceno, ţe dochází

k relativnímu zdvihu vůči šesté etapě všech opěrných pilířů v podélné lodi chrámu sv. Víta.

Není moţné říci, jakým způsobem se pohybují jednotlivé body vůči sobě navzájem.

Maximální hodnota relativního svislého posunu vzhledem k šesté etapě 5,58 mm byla

zaznamenána u třetího sloupu (pozorované body 31 - 33) v 9. etapě. Porovnáním změn

převýšení mezi dvěma body na sloupech severní a jiţní strany pro jednotlivé etapy vůči šesté

etapě bylo zjištěno, ţe nejvíce jsou tímto posunem zatíţeny pilíře třetího řezu, u kterých byla

zjištěna maximální hodnota posunu vůči šesté etapě -1,70 mm ve 23. etapě. Na základě

vyhodnocení relativního svislého posunu, ţe dochází k posunu mezi body prvního a čtvrtého

řezu bylo odhaleno, ţe se relativně svisle posouvá severní strana vůči šesté etapě mezi

gotickou a neogotickou částí chrámu. Podle tohoto zjištění bylo moţné usoudit, ţe větší

zatíţení sloupů třetího řezu svislými posuny je pravděpodobně zapříčiněno posunem gotické

- 95 -

a neogotické části chrámu. Tento pilíř se totiţ nachází na rozhraní těchto dvou částí a navíc

v místě, kde dochází ke kříţení podélné a příčné lodě.

Podle hodnot svislého posunu bodu umístěného v dolní části sloupu zjištěných

metodou přesné nivelace lze konstatovat, ţe v posledních letech (od roku 2008) dochází

ke zdvihu nosných pilířů umístěných v podélné části chrámu vůči šesté etapě. Výjimkou je

pouze jeden sloup (bod 25) druhého řezu, u kterého se zdvih projevil aţ v poslední měřické

etapě. Porovnáním změn převýšení mezi dvěma body na sloupech severní a jiţní strany pro

jednotlivé etapy vůči šesté etapě bylo zjištěno, ţe svislými posuny je nejvíce zatíţen bod 25

druhého řezu a bod 46 čtvrtého řezu. U bodu 25 byla zároveň zjištěna maximální hodnota

posunu 0,69 mm ve 25. etapě. Tento bod se nachází na úrovni Velké Věţe, která můţe

ovlivňovat chování tohoto bodu, důvod uveden výše. Následně porovnáním změn výšek mezi

body prvního a čtvrtého sloupu pro jednotlivé etapy vůči základní etapě byl odhalen vzájemný

posun neogotické a gotické části chrámu.

Na základě vyhodnocení relativního posunu dvou bodů na sloupu z trigonometrické

metody a posunu jednoho bodu zjištěného přesnou nivelací vůči šesté etapě bylo shodně

určeno, ţe v poslední době dochází ke zdvihu sloupů v chrámu sv. Víta. Metodu přesné

nivelace lze povaţovat za vhodnější pro určení svislého posunu sloupu vzhledem k větší

citlivosti pro určení jednotlivých posunů a jednoznačnému stanovení zdvihu a poklesu daných

pilířů. Podle posouzení svislého posunu mezi dolními pozorovanými body jiţní a severní

strany bylo oběma metodami zjištěno, ţe dochází k vzájemnému posunu pilířů všech řezů.

Výjimkou je čtvrtý řez, kde byl posun prokázán spíše jen metodou přesné nivelace.

Zhodnocení dosaţených rozdílů z obou metod bylo provedeno pomocí mezního rozdílu.

U většiny hodnot nebyl mezní rozdíl překročen a bylo určeno, ţe si hodnoty vzájemně

odpovídají. Překročení mezní hodnoty u některých rozdílů posunu bylo pravděpodobně

způsobeno vlivem systematických a náhodných chyb daných metod, které se v rozdílech

posunů mohly projevit současně. Dále bylo oběma metodami shodně určeno, ţe dochází

k posunu severní strany mezi gotickou a neogotickou částí chrámu. Na jiţní straně byl

relativní posun u trigonometrické metody prokázán pouze v osmé etapě. Rozdíly posunů obou

metod byly porovnány s mezním rozdílem. Většina hodnot nepřesahuje mezní rozdíl

a hodnoty si vzájemně odpovídají.

Podle posouzení obou metod bych vyhodnotila metodu přesné nivelace vhodnější

a přesnější pro sledování svislých posunů pilířů v chrámu sv. Víta. Naopak trigonometrická

- 96 -

metoda je důleţitá pro sledování náklonu daných sloupů. Kombinace obou metod je tedy

velice vhodná pro komplexní zhodnocení chování pilířů v chrámu sv. Víta.

- 97 -

SEZNAM POUŽITÉ LITERATURY

[1] BLAŢEK, SKOŘEPA: Geodézie 3, vydavatelství ČVUT, Praha 2004.

[2] ČADA V.:Geomatika, elektronické tachymetry a nivelační přístroje dostupné online

z http://gis.zcu.cz/studium/gen1/html/index.html,[cit. 2010 - 11 -14].

[3] ČSN 730405, Měření posunů stavebních objektů, vydal Český normalizační institut,

Praha 1997.

[4] HÁNEK P., NOVÁK Z.: Geodézie v podzemních prostorách 10. Vydavatelství ČVUT,

Praha 2008, ISBN 987-80-01-03004-2.

[5] HAMPACHER M., RADOUCH V.: Teorie chyb a vyrovnávací počet 10, 20.

Vydavatelství ČVUT, Praha 2000, ISBN 80 -01-02250-1.

[6] MANDLOVÁ H.: Dějiny v Obrazech. České země za vlády Lucemburků,

Vydavatelství Albatros, Praha 1993. ISBN 80-00-00773-8.

[7] NOVÁK Z., PROCHÁZKA J.: Inţenýrská geodézie, nakladatelství ČVUT, 1996. ISBN

80-01-02407-5.

[8] Praţský hrad: Dějiny Praţského hradu, Dostupné online z http://www.hrad.cz/,

[cit. 2010 -10 -15].

[9] Praţský hrad: Katedrála sv. Víta. Dostupné online z

http://zhola.com/praha/cz.php?st=katedralasvvita [cit. 2010 - 10 -15].

[10] PROCHÁZKA J.: Projekt měření sedání a náklonů v chrámu sv. Víta na Praţském

Hradě, katedra speciální geodézie FSv ČVUT, Praze 1999.

[11] PROCHÁZKA J. VOBOŘILOVÁ P.: Stavební obzor 8/2003, Měření posunů

a přetvoření historických staveb geodetickými metodami Vydavatelství ČVUT,

Praha 2003.

[12] PROCHÁZKA J.: Technická zpráva měření náklonů v katedrále sv. Víta na Praţském

hradě, Praha 2009.

http://gis.zcu.cz/studium/gen1/html/index.html

http://www.hrad.cz/

http://zhola.com/praha/cz.php?st=katedralasvvita

- 98 -

[13] RASZYKOVÁ A.: Zhodnocení etapových měření posunů a přetvoření nosných

konstrukcí katedrály sv. Víta na Praţském hradě, diplomová práce, Praha 2009, ČVUT,

katedra speciální geodézie. Vedoucí diplomové práce Doc. Ing. J. Procházka, CSc.

[14] VOBOŘILOVÁ J. Monitoring of historical building of vide range focused od historical

building and slopes, katedra speciální geodézie, Praha 2003.

[15] VOBOŘILOVÁ J. Geodetická měření v chrámu sv. Víta na Praţském Hradě, katedra

speciální geodézie, Praha 2003.

Date post:	07-Jul-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	4 times
Download:	0 times

DIPLOMOVÁ PRÁCE - cvut.czgeo.fsv.cvut.cz/proj/dp/2011/iveta-valentova-dp-2011.pdf · Diplomová...

Documents