Ekvivalence silových soustav a statická rovnováha tělesa

Radek VlachÚstav mechaniky těles, mechatroniky a biomechaniky

FSI VUT BrnoTel.: 54114 2860

e-mail: vlach.r@fme.vutbr.cz, http://www.umt.fme.vutbr.cz/~rvlach/

- statika řeší pohyb tuhého tělesa – ano – ne

Základní problémy statiky

- příčinná souvislost mezi silovým působením a změnou pohybu

- se silovým působením na těleso a jeho pohybem souvisí dva statické problémya) Ekvivalence silových soustav P1 a P2

b) Rovnováha silové soustavy P

a1) těleso bez stykových vazeb

VBV MdtbdF

dthd

a2) nepohyblivě uložené těleso – nepohybuje se => PE nepoužitelná

Hledisko ekvivalence – nutné těleso uvolnit => vazby myšleně nahradit silovým působením – shodnost výsledných charakteristik soustav stykových sil PR1 a PR2

=> vazbová ekvivalence (VE)00 2121 dtbd

dtbd

dthd

dthd

a3) pohyblivě uložené těleso – pohybově vazbová ekvivalence (PVE)

Shrnutí ekvivalence silových soustav P1 a P2

– matematický zápis PE, VE a PVE je shodný a označujeme tyto podmínky jako podmínky statické ekvivalence SE

00 2121 VBVBVV MMFF

021 VBVB

- vektorově

- bivektorově

0jxix FF

0jyiy FF

0jziz FF

0jBxiBx MM

0jByiBy MM

0jBziBz MM

- algebraické rovnice

Statická rovnováha SR– v čase významně charakteristiky pohybu nemění => mechanický klid b1) těleso bez stykových vazeb

b2) nepohyblivě vázané těleso

uvolnění

6 algebraických rovnic

00 dtbd

dthd

0jRxix FF 0jRyiy FF 0jRziz FF

0jBRxiBx MM 0jBRyiBy MM 0jBRziBz MM

Silově:

Pohybově:

Shrnutí SE a SR

SE – se týká shody statického účinku P1 a P2 při jejich samostatném působení na tělesoSR – se týká chování tělesa (statického) při současném působení P1 a P2 na těleso

– u SE je úplně zadaná silová soustava působící místo P1 – u SR je neúplně zadaná silová soustava působící spolu s P1

statická podmínka: – pro SE + pro SR

00 2121 VBVBVV MMFF

Základní úlohy statikySE – I. těleso bez stykových vazeb

SE – II. nepohyblivě vázané tělesoúloha o kontrole

úloha o kontrole

Základní úlohy statikySR – III. těleso bez stykových vazeb

SR – IV. nepohyblivě vázané tělesoúloha o kontrole

neúplně zadané => úloha o statickém řešení NP

Vlastnosti statických podmínek

- nezávisí na poloze působišť jednotlivých sil na jejich nositelkách => statické podmínky nezávisí na ní- statické podmínky jsou nezávislé na volbě souřadného systému => vhodná volba souřadného systému- statické podmínky nezávisí na volbě vztažného bodu

021 VBVB

00 2121 VBVBVV MMFF021 VBVB

00 2121 VBVBVV MMFF2121 VBVBVV MMFF

SE SR

VB

– z nezávislosti statických podmínek na volbě souřadného systému a vztažného bodu plyne, že pouze k jednomu vztažnému bodu a souřadnému systému tvoří statickou podmínku ve složkovém tvaru obecně soustavu šestí nezávislých algebraických rovnic. Další rovnice k jiným bodům nebo souřadným systémům jsou již závislé => nepoužitelné !!!

MFVBVB 021 - počet nezávislých (použitelných) podmínek

obecný 3D případ obecný 2D případ

633 312

0jxix FF

0jyiy FF

0jziz FF

0jBxiBx MM

0jByiBy MM

0jBziBz MM

0jBziBz MM

0jxix FF

0jyiy FF

– připojíme-li k soustavě sil další silovou soustavu Ps, pro kterou platí , statická podmínka pro bude:

Silové působení na těleso se ze statického hlediska nezmění, pokud k soustavě P připojíme libovolnou rovnovážnou soustavu Ps.

21

21

PPPPP

0,0 VBsVsBs MF

sPP

!!! Deformace je jiná!!!

– věty o záměně statických podmíneka) Silové podmínky lze nahradit momentovými podmínkami k nezávislým osám.b) Žádnou z momentových podmínek nelze nahradit silovou podmínkou

Celkový počet podmínek se nezmění!

Statické podmínky pro silové soustavy se specifickým rozložením nositelek– obecné rozložení nositelek 6333 D

3122 D– specifické rozložení nositelek => počet nezávislých (použitelných) podmínek se mění!!!

a) silová soustava na jedné nositelceVolba souřadného systému: I) libovolně II) B leží na nositelce III) osa leží na nositelce

Použitelné statické podmínky obsahují právě všechny netriviální a nezávislé statické podmínky => Poskytují úplnou informaci o statickém problému a lze je použít k jeho řešení.

Silové soustavy s odchylkami– doposud byl předpoklad P je stálá <=> realita – P stálá být nemusí

Příklad