řenáší zatížení do vazeb/podpor? * Modelování...

© 2005-2011 Petr Kabele

2. VNITŘNÍ SÍLY PRUTU

* Modelování (zjednodušení a popis) tvaru konstrukce.

2.1 Úvod

pruty

* Jak konstrukce přenáší zatížení do vazeb/podpor? Jak jsou prvky konstrukce namáhány?

1


Prut: konstrukční prvek, jehož jeden rozměr (délka) převládá nad ostatními.

l b

hl >> hl >> b

Průřez: příčný řez prutu

Střednice: čára tvořená těžišti průřezů prutu

∴∴∴∴ Pruty budeme modelovat jejich střednicí.

2


Prostorový prut - střednice je prostorová křivkanebo lomená čára

Rovinný prut - střednice je rovinná křivkanebo lomená čára

Prizmatický prut - přímý prut konstantního průřezu

osa

Obecný prut - zakřivený, proměnného průřezu

3


Prostý nosník

Nosník = podepřený prut

Konzolový nosník,konzola, krakorec

Prostý nosníks převislými konci

Př:

4


Nosníky

• přímé

• lomené

• obloukové

• prutové soustavy

5


2.2 Vnitřní síly prutu

Prut v rovnováze(reakce a zatížení ... rovnovážná soustava sil)

Akce a reakce:

FP = -FL

MP = -ML

rozdělíme fiktivním řezem na 2 části L a P

L

P

Aby každá část byla v rovnováze, musí v řezu působit síly a momenty:FP, MP ... účinek části P na L, uvádí část L do rovnováhy FL, ML ... účinek části L na P, uvádí část P do rovnováhy

P

FP

MP

ML

FLL

6


z

xy

FP

MP

Ve zkoumaném řezu zavedeme lokální souřadný systémx-y-z; osax tečna ke střednici,y, z normály

Vektory FP a MP rozložíme do složek:FPx = N ... normálová síla [N]

FPy = Vy ... posouvající síla [N]

FPz = Vz ... posouvající síla [N]

MPx = T = M x ... kroutící moment [Nm]

MPy = M y ... ohybový moment [Nm]

MPz = M z ... ohybový moment [Nm]

Vntiřní síly prutu

T=Mx

NVz

Mz

My

Vy

7


Kladná orientace vnitřních sil

Kladně orientovaný průřez(vidíme ze směru kladné poloosy x)

FL

ML

N

Záporně orientovaný průřez(vidíme ze směru záporné poloosyx)

FL = -FP

ML = -MP

→ kladné vnitřní síly orientovanéshodně se souřadnicovými osami

→ kladné vnitřní síly orientovanéopačně než souřadnicové osy

x

z

FP

MP

NTVz

Mz

My

Vy

x

z

y

y

T

Mz

MyVz

Vy

8


Rovinný prut zatížený v roviněxg

zg

Pokud:1) střednice - rovinná křivka2) vnější síly (zatížení a reakce)

- rovnovážná soustavav rovině střednice

∴ zjednodušení vnitřních sil:⇐ z podmínek rovnováhy

oddělené části

xy

z

NV

Μ

Vnitřní síly:N ... normálová síla [N]

Vz = V ... posouvající síla [N]

My = M ... ohybový moment [Nm]

Vy = 0T = Mz = 0

9


x

z

xg

zg

Kladná orientace vnitřních sil

N

V

Mx

z

N

V

M

Kladně orientovaný průřez(vidíme ze směru kladné poloosyx)

Záporně orientovaný průřez(vidíme ze směru záporné poloosyx)

10


Příklad 1:Určete vnitřní síly v průřezu A rovinného nosníku.

11

© 2005-2011 Petr Kabele 12


Příklad 2:Určete vnitřní síly v průřezu A prostorového nosníku.

13

© 2005-2011 Petr Kabele 14

© 2005-2011 Petr Kabele 15


2.3 Sřednicový model rovinného prutu

Pruty budeme modelovat jejich střednicí.

16


Zatížení prutu/nosníku

Pruty modelujeme jejich střednicí

∴∴∴∴ veškeré síly působící na konstrukci (zatížení i reakce)

redukujeme ke střednici

Příklady: F

h/2

Av

Ah

2h

hA

h/2

2h

FxFx

Fz

B

Av

Ah B osamělé síly/reakce redukujeme k těžišti průřezu, ve kterém působí

17


fz

fx

x

z

d x

z

fx

m = fx⋅ d

spojité momentové zatížení[Nm/m]

18


f

x

z

d

m = f cosα⋅ d

α

fz= f sinα fx = f cosα

fz= f sinα

fx = f cosα

19


zatížení působící v této oblasti redukujeme ke styčníku

FFzFx

d1

d2

FzFx M2 = Fz⋅d2

M1 = Fx⋅d1

d1

d2

20


zatížení působící v této oblasti redukujeme ke styčníku

F = f⋅d2

d2

Ms =F∙��

�

d2

f

F = f⋅d2

21


Orientace lokálního souřadnicového systému (rovinná kce.)

• osa x ... vždy tečná ke střednici prutu

• osa z ... preferujeme ve směru zemské tíže (shora dolu)

nebo zleva doprava

• x-zpravotočivá soustava souřadnic

x

z

x

z

x

z x

z

x

z

někdy též

x

z

x

z

x

z

x

z

x

z

* "spodní" vlákna (stranu) prutů označujeme čárkovanou čarou

22


2.4 Výpočet vnitřních sil v daném průřezu prutu (rovinná složená sousava)

1) Prut vyjmeme ze soustavy a určíme všechny vnější síly na něj působící (zatížení a reakce)

FR1

Ah

Av

Bh

Bv

AFf1

f2

AF

Určete vnitřní síly v průřezu A.

23


2) Prut rozdělíme řezem A na části L a P a do řezu zavedeme neznámé vnitřní síly.

FR1

Bh

Bv

Ah

Av

F

FR1

Ah

Av

Bh

Bv

AF

LP

N

V

MN

V

M

3) Pro výpočet vnitřních sil můžeme uvážit rovnováhu nebo ekvivalenci vnějších a vnitřních sil.

24


FR1

Ah

Av

BhBv

AF

3a) Rovnováha: Vnitřní síly interpretujeme jako síly uvádějící do rovnováhy oddělenou část prutu. Vnitřní síly v řezu určíme z podmínek rovnováhy všech sil působících na oddělenou část prutu L nebo P:

Ah

Av

F

L

N

V

M

L : Ah, Av, F, N, V, M ... musí být v rovnováze

* A ť použijeme část L nebo P, vnitř. síly N, V, M musí vyjít stejně (akcea reakce) ⇒ kontrola výsledku !

FR1

BhBv

PN

V

M

P: Bh, Bv, FR1, N, V, M ... musí být v rovnováze

25


3b) Ekvivalence: Vnitřní síly interpretujeme jako síly vyjadřující účinek jedné oddělené části prutu na druhou. Vnitřní síly v řezu určíme z podmínek ekvivalence všech sil působících na opačné straně průřezu:

* A ť použijeme část L nebo P, vnitř. síly N, V, M musí vyjít stejně (akcea reakce) ⇒ kontrola výsledku !

Ah, Av, Fjsou ekvivalentní

N, V, M působícím na P

PAh

Av

F

L N

V

MFR1

Bh

Bv

LP

N

V

M

Bh, Bv, FR1

jsou ekvivalentníN, V, M působícím na L

Ah

Av

F

L

26


6

Příklad: Vypočítejte vnitřní síly v řezech A, B, C dané konstrukce.

A

F1 = 8 kN

f = 1,5 kN/mB

C

2 2 4 (m)

33

Reakce:

8

5

4 4

9

4 4

3

3

8

6

(kN)

F2 = 2 kN

2

27


Průřez A:

(m, kN)

33

8

5

4

8

Výpočet z rovnováhy oddělené části prutu "zleva"

A

NA

VAMA

5 0 5A AN N kN↑ + = ⇒ = −

4 8 8 0 4A AV V kN→ + − + = ⇒ = −

4 6 8 6 8 3 0 0A AM M kNm∩ + ⋅ − ⋅ + ⋅ = ⇒ =

28


Průřez A:

(m, kN)

Výpočet z rovnováhy oddělené části prutu "zprava"

A

NA

VA

MA 6 3 2 0 5A AN N kN↓ + − + = ⇒ = −

4 0 4A AV V kN← + = ⇒ = −

4 3 6 2 0 0A AM M kNm∩ − + ⋅ − ⋅ = ⇒ =

4

3

1,5⋅4

2 2

2

29


Průřez A:

(m, kN)

33

8

5

4

8

Výpočet z ekvivalence vnitřních sil a sil působících na oddělenou část prutu "zleva"

NA

5AN kN↑ = −

4 8 8 4AV kN→ = − + − = −

4 6 8 6 8 3 0AM kNm∩ = − ⋅ + ⋅ − ⋅ =

AVA

MA

Pozn.: oproti výpočtu z rovnováhy není třeba hledané vnitř síly převádět na druhou stranu rovnice ... rychlejší výpočet

30


Průřez B:

(m, kN)

33

8

5

4

8

Výpočet z rovnováhy oddělené části prutu "zleva"

B NB

VB

MB

5 2 0 3B BV V kN↓ − + = ⇒ =

4 8 8 0 4B BN N kN→ + − + = ⇒ = −

4 6 8 6 8 3 2 0 0 0B BM M kNm∩ + ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⇒ =

2

31


Průřez B:

(m, kN)

Rovnováha ve styčníku

B NB

VB

MB2

A

NA

VA

MA

2 0 2 3B A B AV N V N kN↓ + + = ⇒ = − − =

0 4B A B AN V N V kN→ − = ⇒ = = −

0 0B A B AM M M M kNm∩ − = ⇒ = =

32


Průřez C:

(m, kN)

33

8

5

4

8

C NC

VC

MC

5 2 3 0 0C CV V kN↓ − + + = ⇒ =

4 8 8 0 4C CN N kN→ + − + = ⇒ = −

4 6 8 6 8 3 2 2 5 2 3 1 0 3C CM M kNm∩ + ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ = ⇒ =

2

2

1,5⋅2

33


C

VC

MC

Průřez C: (alternativní výpočet):

NB

VB

MB

3 0 3 0C B C BV V V V kN↓ − + = ⇒ = − =

0 4C B C BN N N N kN→ − = ⇒ = = −

2 3 1 0 3C B B CM M V M kN∩ − − ⋅ + ⋅ = ⇒ =

NC

2

(m, kN)

1,5⋅2

34


2.5 Vnitřní síly v průřezu vs. vnitřní síly v bodě střednice

V bodech, kde se• mění tvar střednice (a)• stýká více prutů (e)• působí osamělá síla či moment (b, c)• je umístěna vazba (d)mohou mít vnitřní síly nespojitost. V takovýchto bodechje třeba vypočítat vnitřní síly ve všech přilehlých průřezech.

a b

c

d

e

35


Viz předchozí příklad:

8

5

4

4

38

62a

V bodě a zleva≈ průřez A

(m, kN)

8

5

4

8A

NA

VAMA

Určete vnitřní sílyv bodě a.

8

5

4

8

B NB

VB

MB2

V bodě a zprava≈ průřez B

5

4

0

A

A

A

N kN

V kN

M kNm

= −= −=

4

3

0

B

B

B

N kN

V kN

M kNm

= −==

36


Tento dokument je určen výhradně jako doplněk k přednáškám z předmětuStavební mechanika 2 pro studenty Stavební fakulty ČVUT v Praze.Dokument je průběžně doplňován, opravován a aktualizován a i přes veškerou snahu autora může obsahovat nepřesnosti a chyby.

Datum poslední revize: 22.2.201137

Date post:	29-Jan-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	3 times
Download:	0 times

řenáší zatížení do vazeb/podpor? * Modelování...

Documents