Stavební mechanika 01 (K132SM01) - FSv ČVUT --...

© Petr Kabele 2005-2014

Stavební mechanika 01 (K132SM01 )

Přednáší:prof. Ing. Petr Kabele, Ph.D.Katedra mechaniky K11132místnost B328tel. linka: 4485e-mail: [email protected]://people.fsv.cvut.cz/~pkabele

a

doc. Ing. Matěj Lepš, Ph.D.Katedra mechaniky K11132

1


Petr Šmerkl, Wikipedia

Tři pilí ře studia na vysoké škole

Přednášky• širší pohled na

problematiku• teoretické základy pro další

tvůrčí rozvoj• ilustrativní příklady

Samostatná práce• studium látky z přednášek a cvičení - pochopení• domácí úkoly a příprava k testům a zkouškám -

využití získaných znalostí pro samostatné řešení konkrétních příkladů

Cvičení• využití získaných znalostí

pro řešení konkrétních příkladů pod vedením pedagoga

• praktické „triky“ a návody


Organizace a podmínky výuky p ředmětu:• http://people.fsv.cvut.cz/~pkabele → Stavební mechanika 1

Literatura:• Kabele a kol.: Stavební mechanika 1. Příklady, ES ČVUT (2014)• Kufner, Kuklík: Stavební mechanika 10, ES ČVUT• Kufner, Kuklík: Stavební mechanika 20, ES ČVUT• (Kufner, Kratěnová, Kuklík: Teoretická mechanika, Příklady, ES ČVUT)

(Beer, Johnston: Vector Analysis for Engineers, McGraw-Hill)

Další studijní materiály:• Wiki stránky katedry mechaniky:

http://mech.fsv.cvut.cz/wiki/index.php/Department_of_Mechanics:_Student%27s_corner

• PROJEKT: Posílení vazby teoretických předmětů a profesní orientace v prvních dvou ročnících bakalářského studijního programu Stavební inženýrstvíhttp://www.fsv.cvut.cz/oppa/


1. Úvod

Co je to mechanika?Nauka o chování těles vystavených působení sil.

zde chováním rozumíme:přenášení zatížení, změny tvaru a objemu (deformace), pohyb, ...

Stavební mechanika:studuje přenášení zatížení, deformace, pohyb, porušení, ... stavebních konstrukcí vystavených účinkům zatížení.

4

Statika se zabývá tělesy nacházejícími se v klidu, silami, které mezi takovýmito tělesy působí a rovnováhou celého systému.

Dynamika se zabývá tělesy v pohybu a zohledňuje působení setrvačných a tlumících sil.


Proč je nutno studovat (stavební) mechaniku?

1) Bezpečnost a spolehlivost stavebních konstrukcí

Specifika stavebních konstrukcí:• požadovaná životnost: desítky až stovky let• vážné společenské a hmotné následky případné chyby

v projektu či havárie

⇒ inženýr musí umět navrhnout stavební konstrukci tak,aby byla bezpečná a spolehlivá po celou dobu své životnosti

5


Havárie mostu Tacoma Narrows Bridge (USA)

• zavěšený most, délka 1810 m• uveden do provozu 1. července 1940• zřítil se 7. listopadu 1940 v důsledku vibrací vybuzených

větrem o rychlosti 70 km/h

6


Tacoma Narrows Bridge

7


Tacoma Narrows Bridge

8


Havárie mostu Tacoma Narrows Bridge (USA)

• příčina – použití nového řešení mostovky: plné I profily namísto příhradových → při obtékání větru pod a nad mostovkou interakce proudícího vzduchu a konstrukce způsobila nestabilní oscilace (aeroelastický flutter)

9


Velké zemětřesení v oblasti Hanšin (Kóbe) Japonsko)

• 17. ledna 1995, před 6. hodinou ráno• magnituda Mw6,8• intenzita 5-7 na sedmistupňové japonské stupnici• zrychlení na povrchu až 0,8 g (8 m/s2)• kolaps mnoha stavebních konstrukcí, zejm. postavených

podle starých norem

10


Velké zemětřesení v oblasti HanšinDálnice Hanšin

• monolitické železobetonové pilíře (typ „piltz“)

11


simulace: Concrete Lab., Univ. of Tokyo

• příčina kolapsu: nedostatečná a příliš nízko ukončená podélná výztuž, nedostatečné kotvení výztuže, nedostatečná smyková kapacita pilířů

12

Velké zemětřesení v oblasti Hanšin


Velké zemětřesení v oblasti Tóhoku (Japonsko)

• pilíř zesílený proti účinkům zemětřesení pomocí železobetonové obálky

•11. března 2011• magnituda Mw9• maximální zrychlení na povrchu 2,99 g

foto: Report by the First Joint Survey Team of the JSCE Concrete and Structural Engineering Committees on the damage caused by the Great East Japan Earthquake


Proč je nutno studovat (stavební) mechaniku?

2) Vzrůstající nároky na stavební konstrukce

• vyšší, delší, větší ... • kvalitnější• trvanlivější• levnější

konstrukce

Inovativní mechanická (statická) řešeníkonstrukce a vývoj a vyžití nových materiálů jsou kritickým faktory pro splnění těchto požadavků.

14


Engineered Cementitious Composite (ECC) - „ohebný be ton“

Vláknocementové kompozity s tahovým zpevn ěním

15


• víceúrovňový mechanický model• mikromechanicky odladěná skladba

Vývoj ECC materiálu

Makro Mezo II Mezo I Mikro

10-2 m

10-3 m

10-3 m

10-4 m

kS+

itɶ

σxi

r i

1

1 bNb

ic

t PA ϕ

== ∑��

i mcrack i

K

rσ

π′

=


KM Building(Ósaka, Japonsko, 9/2008)

• celková výška 210 m• počet podlaží: 54

nadzemních 1 podzemní

• počet bytových jednotek: 465

• výstavba: 15.9.2006 ~ 31.3.2009

• seizmické zatížení

Inovativní konstruk ční řešení s použitím ECC

17


Konstrukční řešení

Tradiční řešení:• ŽB jádro (superstěna)

+ super nosník+ tlumiče

Inovativní řešení:• supernosník

nahrazen smykovými nosníky z duktilního vláknobetonu ECC

obrázek: Kajima Technical Research Institute18





Metoda mechaniky

Matematickáúloha

Soustavarovnic

mode-lování

Fyzickáúloha

Výsledek:předpověď,reprodukce

chování kce.

řešení

22


Modelování:• idealizace, zjednodušení - identifikace dominantníhomechanismu chování

• definice veličin popisujících působení zatížení, jeho přenášenív konstrukci a následné chování konstrukce(síla, přemístění, napětí, deformace, ...)

• definice vztahů mezi těmito veličinami: vychází z obecněplatných fyzikálních zákonů a axiomů(zákony zachování energie, hmoty, hybnosti, zákon síly, ...)

Řešení:• podle typu matematické úlohy využíváme různýchmatematických a výpočetních technik(analytické, numerické - vhodné pro počítač, ...)

23


V tomto předmětu (SM1):

• konstrukce či její části budou idealizovány jako body nebo tuhé prvky (desky nebo tělesa)

• budeme studovat rovnováhu konstrukce a jejích částí, přenášení sil v konstrukci

24


2. Přehled některých základní znalostí z matematiky

Sinová věta:a : b : c = sin α : sin β : sin γ

Kosinová věta:a2 = b2 + c2 – 2bccos αb2 = a2 + c2 – 2accos βc2 = a2 + b2 – 2abcos γ

2.1 Trigonometrie

ab

c

α βγ

ac

αb

sin α = a/ccos α = b/ctan α = a/bPythagorova věta: c2 = a2 + b2

Pravoúhlý trojúhelník

Obecný trojúhelník

25


2. Přehled některých základní znalostí z matematiky2.2 Vektorový počet

2.2.1 Kartézský souřadnicový systém

Souřadnicový systém v prostoru:• soustava tří vzájemně kolmých os x, y, z• pravotočivá soustava: pootočení

x → y v kladném smyslu kolem zy → zv kladném smyslu kolem xz → x v kladném smyslu kolem y(kladný smysl - proti směru hodin. ručičekpři pohledu proti ose)

Souřadnicový systém v rovině:

x

y

z

x

x

y

z

x

y

z

26


Skalár:• veličina daná pouze velikostí, nezávisí na volbě souřadnicového systému

x

y

zVektor V:• veličina daná velikostí, směrem a orientací• vždy se vztahuje k souřadnicovému systému

VBázové vektory (souřadnicové vektory) e1, e2, e3:• jednotkové vektory v kladnýchsměrech souřadnicových os

e1

e2

e3

α

βγ

Směrové úhlyα, β, γ:• úhly mezi kladnými souřadnicovýmipoloosami a vektorem V

• platícos2α + cos2β + cos2γ = 1

2.2.2 Vektor

27


x

y

z

V

Vyjádření vektoru prostřednictvím složek:

Vx

Vy

Vz

• složky: kolmé průměty vektorudo směrů souřadnicových os

• V = { Vx; Vy; Vz }

e1

e2

e3

• bázové vektory:e1 = {1; 0; 0}e2 = {0; 1; 0}e3 = {0; 0; 1}

α

βγ

• s použitím směrových úhlů:

Vx = |V| cos αVy = |V| cos βVz = |V| cos γ

|V| ... velikost vektoru

28


• |V| ... velikost (délka) vektoru V:

• samotný symbol V ... může nabývat záporných i nezáporných hodnot,

nese informaci o velikosti vektoru V a jeho orientaci:

kladná hodnota ... orientace shodná s předpokládanou

záporná hodnota ... orientace opačná s předpokládanou

Např:

předpokládaná orientace vektoruV:

V

výsledek výpočtu:skutečná orientace vektoru V:

V = -5

V = 3

|V|=5

|V| = 3

29

2 2 2 0x y zV V V V= + + ≥�


Vektor určený dvěma body:

x

y

z

V

K

LK [xK, yK, zK] a L [xL, yL, zL]

xKyK

zK

xL

yL

zL

V = KL = {xL-xK, yL-yK, zL-zK}

30


2.2.3 Operace s vektory

Součet vektorůA a B je vektor C, pro který platí:

C = { Ax+Bx; Ay+By; Az+Bz}

• značení: C = A + B

• vlastnosti: A + B = B + A

•geometrický význam:

A

B

x

y

Ay

AxBx

By

Cx

CCy

31


Součinem skaláru s a vektoruA je vektor B,

pro který platí:

B = {s Ax, s Ay, s Az}

• značení:B = s A• vlastnosti:

* s A = A s* vektory A B jsou rovnoběžné

* velikost

A

x

y

Ay

Ax sAx = Bx

BsAy = By

32

2 2 2 2 2 2x y zB s A s A s A s A= + + =

��


f

Hledáme f = { fx; fy; fz }; | f| = 1

x

y

z

K

L

xKyK

zK

xL

yL

zL

Použití: Vyjádření složek jednotkového vektoruf ležícího v paprskudaném dvěma body K [xK, yK, zK] a L [xL, yL, zL]:

KL

KL = {xL-xK, yL-yK, zL-zK}

2 2 2( ) ( ) ( ) 1L K L K L Kx x y y z z= − + − + − ≠��

KL

Abychom získali jednotkový vektor,

přenásobíme KL skalárem ��1

KL

=� ��

��1

f KLKL

L K L K L Kx x y y z z− − −= = =�� x y zf ; f ; fKL KL KL

33


x

y

z

V

Použití: Vyjádření složek vektoru s použitím jednotkového vektoru ve směru V:

Vx = |V| fxVy = |V| fyVz = |V| fz

Dáno: f = { fx; fy; fz }; | f| = 1

hledáme V

fz

fx

fy

f

Takéfx = cos αfy = cos βfz = cos γ

34


Skalárním součinem vektorůA a B je skalár s,pro který platí:

s = |A| |B| cos ϕ= Ax Bx + Ay By + Az Bz

• značení: s = A . B• vlastnosti:

* A . B = B . A* pro A ⊥ B: cos ϕ = 0, s = 0

A

B

ϕ

• geometrický význam a použití: * např. vyjádření složek vektoru V

Vx = |V| cos α = V . e1

Vy = |V| cos β = V . e2

Vz = |V| cos γ = V . e3

* skalární součin V. e vyjadřuje průmětvektoru V do osy určené jednotkovýmvektorem e .

.V

V . e

e

x

y

z

V

Vx

Vy

Vz

α

βγ

Vx

Vy

Vz

Vx

Vy

Vz

e1

e2

e3

35


( ) ( ) ( )

}C ,C ,{CeCeCeC

e ABBAe ABBAe ABBA

BBB

AAA

eee

B AC

zyx3z2y1x

3yxyx2xzxz1zyzy

zyx

zyx

321

=++=

−+−+−==×=

��

��

��

��

Vektorovým součinem vektorůA a B je vektor C

který má následující vlastnosti:

1. velikost |C| = |A| |B| |sin ϕ| (plocha rovnoběžníka)

2. vektor C je kolmý k vektorům A a B

3. vektory A, B, C tvoří pravotočivou soustavu

A

B

ϕC

C

.

.

• značení: C =A x B

• vlastnosti:

* A x B = - B x A

* s (A x B) = (s A) x B = A x (s B)

* (A + B) x D = A x D + B x D

• vyjádření složek

36


Vsuvka: výpočet determinantu matice 3x3

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

a a a

a a a

= 11 22 33 21 32 13 12 23 31a a a a a a a a a⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

13 22 31 12 21 33 23 32 11a a a a a a a a a− ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅


• značení: s = (A x B) . C• geometrický význam: objem rovnoběžnostěnu

určeného vektory A, B, C

• vlastnosti:

* (A x B) . C > 0 jestliže vektory A, B, C neleží v jedné rovině a tvoří

pravotočivou soustavu

* (A x B) . C = 0 leží-li vektory A, B, C v jedné rovině nebo je-li

aspoň jeden z nich nulový

* (A x B) . C = C . ( A x B )

* (A x B) . C = -(B x A) . C* (A x B) . C = (B x C) . A = (C x A) . B

yzxzxyxyzyxzxzyzyx

zyx

zyx

zyx

CBACBACBA-CBACBACBA

CCC

BBB

AAA

s −−++==

• smíšeným součinem vektorůA , B a C je skalár s definovaný determinantem:

A

BC

..

38


3. Geometrie sil

3.1 Síly působící v jednom bodě

Úloha této kapitoly:matematicky popsat mechanickéúčinky zatížení na konstrukci a účinkyčástí konstrukce navzájem.

Účinky budeme popisovatprostřednictvím vektorovéveličiny -- síly.

Zjednodušující předpoklad:konstrukci (její části)můžeme idealizovat jako bod.

3.1.1 Zadání úlohy, předpoklady

39


3.1.2 Síla

• značení F, R• definice, např. ze zákona síly:

Změna hybnosti hmotného bodu za jednotku časuje rovna síle působící na hmotný bod:

při konstantní hmotnosti bodu:

• základní jednotka: N (Newton)1N = 1 kg m s-2

Fdt

vmd

dt

Hd ��

== )(

Famdt

vdm

��

==

40


* složky

F = { Fx; Fy; Fz }

Fx = F . e1 = |F| cos α = |F| fxFy = F . e2 = |F| cos β = |F| fyFz = F . e3 = |F| cos γ = |F| fz

* velikost síly: x

y

z

F

α

βγ

Fx

Fy

Fz

• síla je vektor vázaný na bod ve kterém působí (působiště)(operace se silami = operace s vektory)

f

41

2 2 2x y zF F F F= + +

��


3.1.3 Základní axiomy

• v souladu s vektorovým pojetím síly

• Axiom o rovnováze sil:

F + (-F) = { Fx+(-Fx); Fy+(-Fy); Fz+(-Fz) }

= { 0; 0; 0 } = 0

F

-F

Věta o posunu působiště síly po jejím paprsku:Účinek síly na tuhé těleso se nezmění, posune-lise její působiště po paprsku, v němž síla působí.

F

F=

(tuhá tělesa ... síla je vektor vázaný na paprsek)42


• Axiom o rovnoběžníku sil (sčítání sil):(geometrická interpretace)

F1

F2

x

yFr

ϕ1

ϕ2ϕ

π−ϕz kosinové věty:2 2

1 2 1 2

2 2

1 2 1 2

2 cos( )

cos( ) cos

2 cos

π ϕ

π ϕ ϕ

ϕ

= + − −

− = −

= + +

� � � � �

� � � � �

r

r

F F F F F

F F F F F

sinová věta:1 1

2 2

sin sin

sin( ) sin

sin sin

sin( ) sin( )

ϕ ϕπ ϕ ϕ

ϕ ϕπ ϕ ϕ

= =−

= =−

�

�2

r

1

r

F

F

F

FF1

F2

Fr

ϕ1

π−ϕ

ϕ2

Fr … výslednice sil F1 aF2

|Fr | … velikost výslednice

43


( ) ( )2 2

2 22 2

= + = + + +

= + + + + +

=

�2 2

r rx ry 1x 2x 1y 2y

2 21x 2x 1x 2x 1y 2y 1y 2y

F F F F F F F

F F F F F F F F

• výslednice Fr dvou sil F1 a F2

Fr = F1 + F2 = { F1x+F2x; F1y+F2y} (komutitativnost sčítání sil)

odvození pomocí vektorového počtu

• velikost výslednice Fr dvou sil F1 a F2

2

1

�

F2

2+�

F 212 FF��

⋅+This image cannot currently be displayed.

skalární součin

44


Příklad:Rozložte sílu do dvou složek, které působící v paprscích a ab.F

�

a

b10F kN=

30aϕ = °85bϕ = °

aFbF

sinová věta: sin sin sin3010 5,517

sin ' sin ' sin 65

sin sin sin8510 10,992

sin ' sin ' sin 65

a b ab

b a ba

FF F kN

F

FF F kN

F

ϕ ϕϕ ϕϕ ϕϕ ϕ

°= ⇒ = = =°°= ⇒ = = =°

180 30 85

5

'

6

ϕ = °− °− °

= °

'ϕ


3.1.4 Svazek sil

Soustava sil = seskupení sil působících na těleso {Fi} = {F1, F2, F3, ..., Fn}Svazek sil = soustava sil, jejichž paprsky se protínají v jednom bodě

- prostorový- rovinný: všechny paprsky leží v jedné rovině

46


Úlohy:

• výsledný účineksvazku sil: nahrazení svazku sil jedinou silouse stejným účinkem -výslednicí

=

• úloha rovnováhy: zrušení účinku svazku sil {Fi} přidáním svazku {Ri}

• úloha ekvivalence: nahrazení účinku svazku sil {Fi} svazkem {Ri}

+ = 0

=

{Fi}

{Fi}

{Fi}

{Ri}

{Ri}

Fr

47


Př.1: Určete výsledný účineksvazku sil

Fr=F1+F2+F3

Frx=F1x+F2x+F3x

Fry=F1y+F2y+F3y

Frz=F1z+F2z+F3z

Fix=|Fi| fixFiy=|Fi| fiyFiz=|Fi| fizi=1,2,3

1. Určit složky 2. Výslednice

3.1.5 Prostorový svazek sil

i Fib x y z b x y z x y z vel f ix f iy f iz Fix Fiy Fiz

1 5 A 3 3 3 B 0 3 0 -3 0 -3 4.243 -0.707 0 -0.707 -3.536 0 -3.5362 10 C 0 3 3 A 3 3 3 3 0 0 3 1 0 0 10 0 03 3 A 3 3 3 O 0 0 0 -3 -3 -3 5.196 -0.577 -0.577 -0.577 -1.732 -1.732 -1.732

r 4.7324 -1.732 -5.268

vektor sílypoč kon jednot. vektorvektor

krychle o hraně 3mx

y

z

F3=3kN

O

A

B

C

F1=5kN

F2=10kN

2 2 2 7.290 kNr rx ry rzF F F F= + + =�

3. Velikost výslednice

48


x

y

z

A4.732 kN

5.26

8kN

7.290 kNrF =�

49


Př.2: Uveďte svazek sil z př.1 do rovnováhy3 silami R1, R2, R3

Fr+R1+R2+R3=0

x: Frx+R1x+R2x+R3x=0

y: Fry+R1y+R2y+R3y =0

z: Frz+R1z+R2z+R3z =0

Podmínky rovnováhy

x: Frx+R1f1x+R2f2x+R3f3x=0

y: Fry+R1f1y+R2f2y+R3f3y =0

z: Frz+R1f1z+R2f2z+R3f3z =0

ib x y z b x y z x y z vel f ix f iy f iz

1 E 3 0 0 A 3 3 3 0 3 3 4.243 0 0.707 0.7072 D 0 0 3 A 3 3 3 3 3 0 4.243 0.707 0.707 03 B 0 3 0 A 3 3 3 3 0 3 4.243 0.707 0 0.707

poč kon jednot. vektorvektor

krychle o hraně 3mx

y

z

O

R3

R2

R1

B

E

D

A

Pozn.: Vyznačené orientace sil R1, R2, R3 předpokládáme. Protože skutečné orientace jsou neznámé, do výpočtu zavádíme R1, R2, R3 namísto velikostí |R1|, |R2|, |R3|. Znaménka R1, R2, R3

pak určí skutečnou orientaci.

50


x: 4.732 + 0 R1+ 0.707 R2+ 0.707 R3= 0

y: -1.732 + 0.707 R1+ 0.707 R2+0 R3 = 0

z: -5.268 + 0.707 R1+0 R2+ 0.707 R3= 0

R1 = 8.297 kNR2 = -5.847 kNR3 = -0.846 kN

|R2|=5.847 kN

nebox

y

z

O

B

E

D

A

|R1|=8.297 kN

|R3|= 0.846 kN

R2=-5.847 kN

x

y

z

O

B

E

D

A

R1=8.297 kN

R3= -0.846 kN

51


Př.3: Nahraďte svazek sil z př.1 třemi silami R4, R5, R6 (ekvivalence)

Fr=R4+R5+R6

x: Frx=R4x+R5x+R6x

y: Fry=R4y+R5y+R6y

z: Frz=R4z+R5z+R6z

Podmínky ekvivalence

x: Frx=R4f4x+R5f5x+R6f6x

y: Fry=R4f4y+R5f5y+R6f6y

z: Frz=R4f4z+R5f5z+R6f6z

ib x y z b x y z x y z vel f ix f iy f iz

4 A 3 3 3 G 3 3 0 0 0 -3 3 0 0 -15 D 0 0 3 A 3 3 3 3 3 0 4.243 0.707 0.707 06 B 0 3 0 A 3 3 3 3 0 3 4.243 0.707 0 0.707

poč kon jednot. vektorvektor

Pozn.: Vyznačené orientace sil R4, R5, R6 předpokládáme. Protože skutečné orientace jsou neznámé, do výpočtu zavádíme R4, R5, R6 namísto velikostí |R4|, |R5|, |R6|. Znaménka R4, R5, R6

pak určí skutečnou orientaci.

x

y

z

R6

krychle o hraně 3m

R5

R4

A

B

D

G

52


x: 4.732 = 0 R4+ 0.707 R5+ 0.707 R6

y: -1.732 = 0 R4+ 0.707 R5+ 0 R6

z: -5.268 = -1 R4+0 R5+ 0.707 R6

R4 = 11.732 kNR5 = -2.450 kNR6 = 9.143 kN

nebo x

y

z

A

B

D

G

R4 = 11.732 kN

R5 = -2.450 kN

R6 = 9.143 kN

x

y

z

A

B

D

G

|R4| = 11.732 kN

|R5| = 2.450 kN

|R6| = 9.143 kN

53


3.1.6 Rovinný svazek sil

54


Tento dokument je určen výhradně jako doplněk k přednáškám z předmětuStavební mechanika 1 pro studenty Stavební fakulty ČVUT v Praze.Dokument je průběžně doplňován, opravován a aktualizován a i přes veškerou snahu autora může obsahovat nepřesnosti a chyby.

Datum poslední revize: 24.9.2014 10:00

55

Date post:	29-Aug-2019
Category:	Documents
Upload:	doanh
View:	214 times
Download:	0 times

Stavební mechanika 01 (K132SM01) - FSv ČVUT --...

Documents