Přímý šikmý prut

http://fast10.vsb.cz/lausova

Střednice nosníku je odkloněna od os globálního

souřadného systému xz. Pro výpočet reakcí je většinou

zapotřebí převést veškeré zatížení (případně i směry

reakcí při šikmém podepření) do směrů os globálního

souřadného systému.

Naopak pro výpočet vnitřních sil je zapotřebí převést

směry všech vnějších sil do směrů kolmého anebo

rovnoběžného s osou prutu, to znamená do lokálního

souřadného systému prutu, kdy lokální osa x = osa

prutu.

Přímý šikmý prut

b

la

h

Rbz

Raz

Rbx

Postup řešení:

1. Vyřešíme geometrii nosníku (pro rozklady sil je třeba určit goniometrické funkce sklonu prutu)

Podle druhu zadání směru působícího zatížení na prut postupujeme individuálně viz následující 3

příklady.

2. Rozklady silového zatížení

rozklad zatížení pro výpočet reakcí do globálního souřadného systému os x a z

rozklad zatížení pro výpočet vnitřních sil do lokálního systému osy prutu:

do složek rovnoběžných s osou prutu (osová úloha, N síly)

do složek kolmých k ose prutu (příčná úloha, V síly a ohybové momenty)

Pro další řešení vnitřních sil jsou pravidla shodných s vodorovným prutem

x

z

α

Příklad 1 - Zatížení kolmé k ose prutu (sání a tlak větru)

b

a Rbz

Raz

Rbx

α

Vypočteme délku prutu:

Určíme sin α a cos α :

l´

l = 4

�´ = 4� + 3��= 5 m

h = 3α

sin � =3

5= 0,6

cos � =4

5= 0,8

1. Geometrie nosníku

l = 4

h = 3

q = 8 kN/m

Nechejte si na příklad dvoustranu v sešitě, ať

neotáčíte stranu při dalších výpočtech

Místo na průběhy

vnitřních sil

2. Náhradní břemeno a rozklad si pro výpočet reakcí

Rozklad zatížení Q do složek x a z:

Q

Qx

Qzα

α

osa prutu

vodorovná osa x

Náhradní břemeno musí mít stejný směr jako zadané

zatížení ( tady kolmo k ose prutu). Pro výpočet reakcí,

které působí v osách x a z, je zapotřebí převést q (respekt.

Q) do směrů os globálního souřadného systému.

Nekreslete Qx a Qz do obrázku moc výrazně, v dalším

výpočtu vnitřních sil už nebudeme potřebovat.

� = � ⋅ �´ = 8 · 5 = 40 kN Zatížení působí na délce prutu ab, Q je

obsah obdélníka o délce l´ a výšce q

Příklad 1 - Zatížení kolmé k ose prutu (sání a tlak větru)

∑ ��� = 0: −"#� + Qx�� = 0

Qx = Q ⋅ sin � = 40 ⋅ 0,6 = 24 kN

Qz = Q ⋅ cos � = 40 ⋅ 0,8 = 32 kN

∑ %�& = 0: −Q ·'

�

�� + "#� · 3 + "#( · 4 = 0

b

l=4a

h=3

Rbz

Raz

Rbx

α

Qq = 8 kN/m

Qx

Qz

∑ %�# = 0: Q ·'

�

�� − "&( · 4 = 0

∑ ��( = 0: −"&( − "#( + Qz �� = 0

Kontrola:

Rbx = 24 kN ( )

Rbz = 7 kN ( )

Raz = 25 kN ( )

x

z

3. Výpočet reakcí:

b

l=4a

h=3

Rbz

Raz

Rbxα

QVnitřní síly vynášíme v lokálním souřadném systému, kdy osa x je

osa prutu. Převedeme veškeré vnější síly do osy rovnoběžné a

kolmé s osou prutu. Je zapotřebí převést reakce. Zatížení q působí

kolmo k ose prutu, přímo v lokální ose z, proto jej ponecháme v

původním směru.

Rozklad vodorovné

reakce:

Rozklady svislých reakcí:

Příklad 1 - Zatížení kolmé k ose prutu (sání a tlak větru)

4. Rozklady vnějších sil pro výpočet vnitřních sil do lok.souř.syst.

R║bx

R┴bx

bRbx

αvodorovná osa x

R║az

R┴az

Raz

a α

α

vodorovná osa x

Kromě výpočtu složek reakcí v

lokálním souřadném systému

určíme pomocí grafického

rozkladu sil také směry těchto sil.

sin � =3

5= 0,6

cos � =4

5= 0,8

Rbz

αbR║bz

R┴bzα

kNRR

kNRR

kNRR

kNRR

kNRR

kNRR

bxbxII

bzbx

bzbzII

bzbz

azazII

azaz

16,7cos.

58,3sin.

19,1sin.

385,2cos.

96,5sin.

96,11cos.

==

==

==

==

==

==

⊥

⊥

⊥

αααααα 20 kN

15 kN

5,6 kN

4,2 kN

14,4 kN

19,2 kN

Rbx

kNRR

kNRR

kNRR

kNRR

kNRR

kNRR

bxbxII

bzbx

bzbzII

bzbz

azazII

azaz

16,7cos.

58,3sin.

19,1sin.

385,2cos.

96,5sin.

96,11cos.

==

==

==

==

==

==

⊥

⊥

⊥

αααααα20 kN

15 kN

5,6 kN

4,2 kN

14,4 kN

19,2 kN

b

l=4a

h=3α

Q

Příklad 1 - Zatížení kolmé k ose prutu (sání a tlak větru)

q = 8 kN/m 5. Vnitřní síly – N síly, osová úloha

R║bx

R┴bx

b

Rbx

αvodorovná osa x

R║az

R┴az

Raz

a α

α

vodorovná osa x

R║bx

R┴bx

R┴az

R┴bz

R║az

R║bz

R║bz

R║az

-15

N-15

Osová úlohaR║bx

Kromě výpočtu složek reakcí

v lokálním souřadném

systému určíme pomocí

grafického rozkladu sil také

směry těchto sil.

Rbz

αbR║bz

R┴bz

α

vodorovná osa x

kNRR

kNRR

kNRR

kNRR

kNRR

kNRR

bxbxII

bzbx

bzbzII

bzbz

azazII

azaz

16,7cos.

58,3sin.

19,1sin.

385,2cos.

96,5sin.

96,11cos.

==

==

==

==

==

==

⊥

⊥

⊥

αααααα20 kN

15 kN

5,6 kN

4,2 kN

14,4 kN

19,2 kN

b

l=4a

h=3α

Q

Příklad 1 - Zatížení kolmé k ose prutu (sání a tlak větru)

q = 8 kN/m 6. Vnitřní síly – V, M – příčná úloha

R║bx

R┴bx

bRbx

αvodorovná osa x

R║az

R┴azRaz

a α

α

vodorovná osa x

R║bx

R┴bxR┴az

R┴bz

R║az

R║bz

R┴bz

R┴az

q

Příčná úloha

V

M

1°

R┴bx

)*+ =

�,

-= 2,5 m

)*. =

�,

-= 2,5 m

%* = "&(⊥ · )* -

0·�12 �

�= 25 345

Příklad 2 - Zatížení svislé (vlastní tíha)

Vypočteme délku prutu:

Určíme sin α a cos α :

l = 4

�´ = 4� + 3��= 5 m

h = 3α

sin � =3

5= 0,6

cos � =4

5= 0,8

1. Geometrie nosníku

Raz

b

a Rbz

Rbx

α

l = 4

h = 3

q = 8 kN/m

Nechejte si na příklad dvoustranu v sešitě,

ať neotáčíte stranu při dalších výpočtech

Místo na průběhy

vnitřních sil

Raz

b

a Rbz

Rbx

α

Příklad 2 - Zatížení svislé (vlastní tíha)

2. Náhradní břemeno

l = 4

h = 3

q = 8 kN/m

Místo na průběhy

vnitřních sil

Q

Náhradní břemeno musí mít stejný směr jako zadané

zatížení, tady působí ve svislém směru, v globální ose z. Pro

výpočet reakcí tedy není třeba toto zatížení přepočítávat.

Zatížení působí na délce

prutu ab, Q je obsah

obdélníka o délce l´ a

výšce q

x

z� = � ⋅ �´ = 8 · 5 = 40 kN

Výsledné hodnoty:

Raz = 20 kN (↑)

Rbz = 20 kN (↑)

Rbx = 0 kN

3. Výpočet reakcí z podmínek rovnováhy

=⋅−⋅=

=⋅+⋅+⋅−=

==

042:0

0342:0

0:0

azib

bxbzia

bxix

RQM

RRQM

RF

=+−−= 0:0

:

QRRF

Kontrola

bzaziz

4. Rozklady sil pro výpočet vnitřních sil

Příklad 2 - Zatížení svislé (vlastní tíha)

qq┴

q║

α

α

Rozklad zatížení Q :

V tomto případě je třeba provést rozklady do

směru kolmého a rovnoběžného s osou prutu jak

reakcí tak i zatížení q.

R║az

R┴az

Raz

αa

V bodě a:

α

V bodě b:

Rbz

αbR║bz

R┴bzα

Q║

Q┴

Q

α

α

kNRR

kNRR

kNRR

kNRR

bzbzII

bzbz

azazII

azaz

12sin.

16cos.

12sin.

16cos.

==

==

==

==

⊥

⊥

αααα

kNQQ

kNQQ

II24sin.

32cos.

====⊥

αα

Rozklad zatížení q:

q┴ = q . cos α = 6,4 kN/m

q║ = q . sin α = 4,8 kN/m

sin � =3

5= 0,6

cos � =4

5= 0,8

Raz

b

a Rbz

Rbx

α

l = 4

h = 3

q = 8 kN/mQ

Rbz

bq = 8 kN/m

α

4

a

3

Raz

Rbx

R║bz

R║az

q║

-12

N

12

R┴bz

R┴az

q┴

Na = - R║az

NLb = Na+ q║l´

NPb = R║bz

Osová úloha

Příčná úloha

kNRR

kNRR

kNRR

kNRR

bzbzII

bzbz

azazII

azaz

12sin.

16cos.

12sin.

16cos.

==

==

==

==

⊥

⊥

αααα

kNQQ

kNQQ

II24sin.

32cos.

====⊥

αα

q║

q┴

Příklad 2 - Zatížení svislé (vlastní tíha)

5. Vnitřní síly – N síly – osová úloha

Nekreslíme v

příkladech, tady jen pro

vysvětlení a názornost

Nekreslíme v příkladech, tady

jen pro vysvětlení a názornost

Q║

q┴ = 6,4 kN/m

q║ = 4,8 kN/m

R║az

R┴az

Raz

αa

α

Rbz

αbR║bz

R┴bzα

Q║

Q┴Q

α

α

Q┴

R║az

R║bz

R┴az

R┴bz

Rbz

bq = 8 kN/m

α

4

a

3

Raz

Rbx

R┴bz

R┴az

q┴

Příčná úloha

V 1°

MMn= 20 kNm

Příklad 2 - Zatížení svislé (vlastní tíha)

Nekreslíme v příkladech

6. Vnitřní síly – N, M – příčná úloha

kNRR

kNRR

kNRR

kNRR

bzbzII

bzbz

azazII

azaz

12sin.

16cos.

12sin.

16cos.

==

==

==

==

⊥

⊥

αααα

kNQQ

kNQQ

II24sin.

32cos.

====⊥

αα

q┴ = 6,4 kN/m

q║ = 4,8 kN/m

Q┴

Q┴

R║az

R║bz

R┴az

R┴bz

Raz

b

a Rbz

Rbx

α

Příklad 3 - Zatížení na průmět (zatížení sněhem)

Vypočteme délku prutu:

Určíme sin α a cos α :

l´

l = 4

�´ = 4� + 3��= 5 m

h = 3α

sin � =3

5= 0,6

cos � =4

5= 0,8

1. Geometrie nosníku

h = 3

l = 4

q = 8 kN/m

Raz

b

l=4a

h

Rbz

Rbx

α

Q

q´Q´

� = � ⋅ �

�´ = �´ ⋅ �´

Při zatížení zadaném na průmět přepočteme hodnotu

spojitého zatížení z q na q´ z úvahy, že výsledné zatížení Q

musí být stejné jako Q´:

� ⋅ � = �´ ⋅ �´ ⇒ �´ =0·8

8´= 6,4 kN/m

A další postup už je shodný s předešlým příkladem.

2. Převod zatížení z průmětu na délku prutu

q = 8 kN/m