EXPLORATORNÍ STATISTIKA

Co je to statistika?

• Číselné údaje o hromadných jevech.

• Sběr, zpracování a vyhodnocování stat. údajů.

• Teoretická disciplína, která se zabývá metodami sloužícími k popisu odhalování zákonitosti při působení podstatných činitelů na hromadné jevy.

2

Základní pojmy

Hromadný jev - jev vyskytující se v masovém měřítku u velkého počtu prvků (statistických jednotek).

Vlastnosti statistických jednotek vyjadřují statistické znaky (proměnné).

3

Typy proměnných

4

Kategoriální proměnná nominální (nemá smysl uspořádání)

5

Číselné charakteristiky

TABULKA ROZDĚLENÍ ČETNOSTI

Hodnotyxi

Absolutní četnostini

Relativní četnostipi

x1 n1

x2 n2

xk nk

Celkem: 1

+ Modus

6

7

Grafické znázornění

A) Histogram – sloupcový graf (bar chart)

Co lze vyčíst z histogramu

Doc. Ing. Milan Hutyra, CSc. : Managment jakosti

(CZ.O4.01.3/3.2.15.2/0326 E-learningové prvky pro podporu výuky odborných a technických předmětů)

8

9

Grafické znázornění

B) Výsečový graf – koláčový graf (pie chart)

10

PříkladMinulý týden jsme zpracovali anketu týkající se názoru na

zavedení školného na vysokých školách.

Výsledky prezentuje následující graf:

11

Příklad

Níže uvedená data představují částečný výsledek zaznamenaný při průzkumu zatížení jedné z ostravských křižovatek, a to barvu projíždějících automobilů. Data vyhodnoťte a graficky znázorněte.

12

Řešení

13

Kategoriální proměnná ordinální (má smysl uspořádání)

14

Číselné charakteristikyTABULKA ROZDĚLENÍ ČETNOSTI

Hodnotyxi

Absolutní četnostini

Relativní četnostipi

Kumulativní četnostimi

Kumulativní relativní četnosti

Fi

x1 n1

x2 n2

xk nk

Celkem: 1

+ Modus

15

Grafické znázornění

A) Histogram – sloupcový graf (bar chart)

16

Grafické znázornění

B) Výsečový graf – koláčový graf (pie chart)

17

Grafické znázornění

C) Polygon kumulativních četností

(Galtonova ogiva, S-křivka)

18

Grafické znázornění

D) Paretův graf

Paretův graf

Doc. Ing. Milan Hutyra, CSc. : Managment jakosti

(CZ.O4.01.3/3.2.15.2/0326 E-learningové prvky pro podporu výuky odborných a technických předmětů)

19

20

Příklad

Následující data představují velikosti triček prodaných při výprodeji firmy TRIKO.

 

S, M, L, S, M, L, XL, XL, M, XL, XL, L, M, S, M, L, L, XL, XL, XL, L, M

a) Data vyhodnoťte a graficky znázorněte.

b) Určete kolik procent lidí si koupilo tričko velikosti nejvýše L.

21

Řešení

Kvantitativní (numerická) proměnná

22

23

Číselné charakteristiky

A) Míry polohy

B) Míry variability

24

Míry polohy

25

Aritmetický průměr

n

xx

n

ii

1

26

Vlastnosti aritmet. průměru

1.

neboli: Součet odchylek od průměru je 0.

2.

neboli: Přičteme-li ke každé hodnotě dat. souboru konstantu, průměr se o tuto konstantu změní.

3.

neboli: Vynásobíme-li každou hodnotu dat. souboru konstantou, průměr se změní také s násobkem této konstanty.

01

n

ii xx

xan

xa

n

xxa

n

ii

n

ii

!!:

xbn

bx

n

xxb

n

ii

n

ii

!!:

27

Průměr není rezistentní vůči

odlehlým pozorováním

!!!!

28

Kvantily

100p %-ní kvantil xp

odděluje 100p% menších hodnot od zbytku souboru

(100p% hodnot datového souboru je menších než toto číslo.)

29

Jak se kvantily určují

• Výběrový soubor uspořádáme podle velikosti• Jednotlivým hodnotám proměnné přiřadíme

pořadí, a to tak, že nejmenší hodnota bude mít pořadí 1 a nejvyšší hodnota pořadí n (rozsah souboru)

• 100p%- ní kvantil je roven hodnotě proměnné s pořadím zp, kde: , přičemž zp zaokrouhlujeme na celá čísla !!!!!

5,0npz p

30

Význačné kvantily

• KvartilyDolní kvartil x0,25

Medián x0,5 Horní kvartil x0,75

• Decily – x0,1; x0,2; ... ; x0,9

• Percentily – x0,01; x0,02; …; x0,99

• Minimum xmin a Maximum xmax

31

PříkladNásledující data představují věk hudebníků vystupujících na přehlídce dechových orchestrů. Proměnnou věk považujte za spojitou. Určete:

a)Mediánb)Dolní kvartilc)Horní kvartild)První decil

32

Interkvartilové rozpětí

25,075,0 xxIQR

Užití: např. při identifikaci odlehlých pozorování

33

MAD

• Medián absolutních odchylek od mediánu

• Pomocná proměnná sloužící k identifikaci odlehlých pozorování

34

PříkladPro data z předcházejícího příkladu určete MAD.

355,0 x MAD = 8

35

Identifikace odlehlých pozorování• 1,5 násobek IQR

• Z-souřadnice

• Mediánová souřadnice

mpozorováníodlehlýmjexIQRxxIQRxx iii 5,15,1 75,025,0

s

xxsouřz i

i

.

mpozorováníodlehlýmjexsouřz ii 3.

MAD

xxsouřmediánová i

i .483,1. 5,0

mpozorováníodlehlýmjexsouřmediánová ii 3.

36

PříkladV datech z předcházejícího příkladu identifikujte odlehlá pozorování:

a) Pomocí IQR

Odlehlé pozorování: 82

Vnitřní hradby

37

b) Pomocí z-souřadnice, resp. med.-souřadnice

PříkladV datech z předcházejícího příkladu identifikujte odlehlá pozorování:

38

Shorth

nejkratší interval,

v němž leží alespoň 50% hodnot proměnné

39

PříkladPro data z předcházejícího příkladu určete shorth.

Shorth = 43;34

40

Modus

střed shorthu

41

Příklad:Pro data z předcházejícího příkladu určete modus.

Shorth =

Modus:

43;34

5,382

4334ˆ

x

Modus = 38,5 let, tj. typický věk hudebníka vystupujícího na přehlídce dech. orchestrů je 38,5 let.

42

Míry variability

43

Výběrový rozptyl

1

1

2

2

n

xxs

n

ii

44

Vlastnosti výběrového rozptylu

1. Výběrový rozptyl konstanty je roven 0,neboli: jsou-li všechny hodnoty proměnné stejné, soubor má nulovou rozptýlenost.

2.

neboli: přičteme-li ke všem hodnotám proměnné konstantu, výběrový rozptyl se nezmění.

3.

neboli: vynásobíme-li všechny hodnoty proměnné konstantou, výběrový rozptyl se zvětší kvadrátem této konstanty (b2 krát)

21

2

1

2

21

2

2

111: x

n

ii

n

ii

yii

n

ii

x sn

xx

n

xaxasxay

n

xxsRa

221

22

1

22

1

2

21

2

2

1111: x

n

ii

n

ii

n

ii

yii

n

ii

x sbn

xxb

n

xxb

n

xbbxsbxy

n

xxsRb

45

Nevýhoda výběrového rozptylu

Rozměr rozptylu charakteristiky je

druhou mocninou rozměru proměnné.

46

Výběrová směrodatná odchylka

1

1

2

2

n

xxss

n

ii

47

Nevýhody výb. směr. odchylky a výb. rozptylu

Neumožňují srovnání rozptylu proměnných, které mají různé rozměry (jednotky).

48

Variační koeficient

%100x

sVx

(Směrodatná odchylka v procentech aritmetického průměru)

- Čím nižší var. koeficient, tím homogennější soubor.

- Vx>50% značí silně rozptýlený soubor.

49

Výběrová šikmost

3

1

3

21 s

xx

nn

na

n

ii

0

10

20

30

40

50

60

1 2 3 4 5 6 7

0

10

20

30

40

50

60

1 2 3 4 5 6 7

0

10

20

30

40

50

60

1 2 3 4 5 6 7

a=0 a>0 a<0

Jaký je vztah mezi šikmostí, mediánem a průměrem?

Úkoly:

V appletu generujte histogram odpovídající dat. souboru symetrickému (b=0), pozitivně zešikmenému (b>0) a negativně zešikmenému (b<0) a sledujte:

1. Průměrnou odchylku od průměru a průměrnou odchylku

od mediánu.

1. Vztah mezi průměrem a mediánem.

David M. Lane – Rice Virtual Lab in Statistics, Mean and Median

50

Jaký je vztah mezi šikmostí, mediánem a průměrem?

51

Symetrická data Pozitivně zešikmená data

Negativně zešikmená data

0

10

20

30

40

50

60

1 2 3 4 5 6 7

0

10

20

30

40

50

60

1 2 3 4 5 6 7

0

10

20

30

40

50

60

1 2 3 4 5 6 7

Průměr = medián

Polovina dat.souboru je menší než průměr

Průměr > medián Průměr < medián

Nadpoloviční většina dat.souboru je menší než průměr

Nadpoloviční většina dat.souboru je větší než průměr

52

Výběrová špičatost (normovaná)

32

13

321

1 2

41

4

nn

n

s

xx

nnn

nnb

n

ii

0

10

20

30

40

50

60

70

1 2 3 4 5 6 7

0

20

40

60

80

100

1 2 3 4 5 6 7

0

5

10

15

20

25

30

1 2 3 4 5 6 7

b=0 b>0 b<0

53

Grafické znázornění num. proměnné

A.) Krabicový graf (Box plot)

Odlehlé pozorováníMin(po odstranění odlehlých pozorování)

Max(po odstranění odlehlých pozorování)

X0,25 X0,75

X0,5

průměr

54

Grafické znázornění num. proměnnéB.) Číslicový histogram (Stem and leaf)