4. 4. 2007 1

FI-14 Termika a termodynamika II

4. 4. 2007 2

Hlavní body• Ideální plyn a jeho vlastnosti• Stavová rovnice ideálního plynu• Kinetická teorie ideálního plynu

• Střední kvadratická rychlost a střední kinetická energie• Tlak a celková vnitřní energie • Ekvipartiční theorém• Avogadrův zákon a Daltonův zákon• Boltzmanův zákon• Maxwellovo rozdělení rychlostí

4. 4. 2007 3

Ideální plyn a jeho vlastnosti I• V mechanice jsme vycházeli z abstraktního pojmu

hmotného bodu, na němž jsme ukázali jisté veličiny a vztahy mezi nimi. Potom jsme postupovali přes složitější pojmy blíže k realitě.

• Obdobnou funkci má v termice a termodynamice ideální plyn. Také na něm lze ukázat řadu obecných veličin a jejich vlastností a zavedením určitých korekcí můžeme přejít k reálnějším systémům, které mohou mít principiálně nové vlastnosti.

4. 4. 2007 4

Ideální plyn a jeho vlastnosti I• Ideální plyn je soubor částic (molekul), které :

• jsou nekonečně malé• mají určitou hmotnost• mají kulový tvar a hladký povrch• na sebe nepůsobí žádnými dalekodosahovými silami!• chaoticky se pohybují a pružně se sráží navzájem a se

stěnami nádoby• jejich celková energie je tedy rovná součtu jednotlivých

kinetických energií a je-li systém tepelně izolován a uzavřen, zůstává energie při určité teplotě konstantní

4. 4. 2007 5

Stavová rovnice i.p. I

• Pro ideální plyn platí přesně Gay-Lussacův zákon pro děje izobarický :

• i izochorický :T

T

VTV

0

0)(

TT

pTp

0

0)(

4. 4. 2007 6

Stavová rovnice i.p. II

• Uvažujme systém ve stavu p1, V1, T1

• přejděme izochoricky do stavu p2, V1, T

• a z něj izobaricky do stavu p2, V2, T2

2

12

V

VTT

1

12

p

TpT

4. 4. 2007 7

Stavová rovnice i. p. III

• Spojením a přeskupením dostáváme stavovou rovnici ideálního plynu :

• Pro konkrétní množství n molů ideálního plynu platí : nR

T

pV

?2

22

1

11 T

Vp

T

Vp

4. 4. 2007 8

Stavová rovnice i. p. IV• R = 8.314 J mol-1 K-1 je tzv. univerzální plynová konstanta.• n = /M je množství v molech, celková hmotnost, M

molární hmotnost (hmotnost NA částic)

• Avogadrovo číslo NA = (6.022141990.00000047).1023

• Z rovnice je například patrné, že při izotermické změně platí :

• Tomuto vztahu se říká Boyle-Marriottův zákon a je znám již od roku 1660, tedy o mnoho déle než zákon Gay Lussacův!

2211 VpVp

4. 4. 2007 9

Stavová rovnice i. p. V• Ze stavové rovnice plyne, že ze tří stavových

veličin p, V , T jsou jen dvě nezávislé.• Můžeme například chápat teplotu T(p,V) jako povrch

zvláštního ‘kopce’, který stojí v rovině p,V.• Pracujeme-li s konkrétním množstvím plynu, musíme

se vždy pohybovat na tomto povrchu. • Pokud navíc změna probíhá nějakým speciálním

způsobem, např. izotermicky, znamená to speciální cestu na tomto povrchu, např. po vrstenici.

• Na jiný povrch se dostaneme jen změníme-li množství.

4. 4. 2007 10

Základy kinetické teorie i.p. I• Předchozí dosti zajímavé a obecné závěry byly

odvozeny bez jakýchkoli předpokladů o mikrostruktuře ideálního plynu.

• Jistě ale bude zajímavé zjistit, jak souvisí makroskopické parametry ideálního plynu s dalšími vlastnostmi, které u něj předpokádáme.

• Ukazuje se, že makroskopické parametry jsou jisté střední hodnoty veličin mikroskopických.

4. 4. 2007 11

Základy kinetické teorie i.p. II• V kulové nádobě o poloměru r mějme N stejných

částic ideálního plynu o hmotnosti m . N = nNA, kde n je množství v molech a NA Avogadrovo číslo, tedy počet částic v jednom molu.

• Definujme číselnou hustotu částic N0 a pomocí ní hustotu jako :

30 4

3

r

N

V

NN

mNV

Nm0

4. 4. 2007 12

Základy kinetické teorie i.p. III• Částice se chaoticky pohybují, pružně při tom

narážejí na sebe a na vnitřní stěny nádoby.

• Každá elementární ploška kulové plochy, na které dochází k nárazu, je kolmá k radiále. Proto při nárazu dochází pouze ke změně radiální složky hybnosti.

• Kulová nádoba má ale plošky všech směrů, takže mluvíme-li o rozdělení radiálních rychlostí mluvíme současně o rozdělení všech rychlostí.

4. 4. 2007 13

Základy kinetické teorie i.p. IV

• Při nárazu i-té částice s radiální složkou rychlosti vi, trvajícím t odevzdává částice stěně impuls síly Fi :

• Vzhledem ke své rychlosti narazí tato částice ve stejném směru (na druhé straně) za dobu t :

ii mvtF 2

iv

rt

2

4. 4. 2007 14

Základy kinetické teorie i.p. V

• Za tuto dobu je střední síla, kterou působí tato částice na stěnu nádoby a které musí nádoba odolat:

• Rychlosti jednotlivých částic jsou různé. Můžeme však zavést střední kvadratickou rychlost c (RMS) :

r

mvF i

i

2

N

iiN vc

1

212

4. 4. 2007 15

Základy kinetické teorie i.p. VI• Průměrná síla, kterou způsobí nárazy jedné částice

bude :

• A celkový tlak všech částic na celou nádobu :

r

mc

r

mvF

i

iNi

221

34

34 3

2

2

2

r

Nmc

rr

Nmc

S

FNp i

4. 4. 2007 16

Základy kinetické teorie i.p. VII• S použitím hustot zavedených dříve platí :

• Porovnejme tento výsledek se stavovou rovnicí pro 1 mol plynu, kde mN = mNa = M :

333

220

2 cmcN

V

Nmcp

RTMc

pVV

Mcp M

M

33

22

4. 4. 2007 17

Základy kinetické teorie i.p. VIII• Je zřejmé, že střední kvadratická rychlost je přímo

úměrná absolutní teplotě a nepřímo úměrná hmotnosti částic :

• k = 1.38 10-23 J K-1 je v přírodě velice důležitá Boltzmanova konstanta

m

kT

mN

kTN

M

RTc

a

a 3332

4. 4. 2007 18

Základy kinetické teorie i.p. IX • Pouze na teplotě závisí střední kinetická energie

jedné částice a dokonce i energie celková, protože v ideálním plynu neexistuje energie potencialní.

2

33

22

2 kT

m

kTmmcu

2

3RTuNU aM

4. 4. 2007 19

Základy kinetické teorie i.p. X • Srovnáním se stavovou rovnicí také platí :

Pro jeden mol je totiž : NA/VM = N0

• Číselná hustota částic tedy závisí pouze na termodynamických podmínkách, ale ne na vlastnostech částic. To je empiricky známo jako Avogadrův zákon :

kTNuNp

URTpV MM

0032

32

kT

pN 0

4. 4. 2007 20

Základy kinetické teorie i.p. XI • Protože střední kinetická energie nezávisí na hmotnosti

částice, bude v případě směsi více druhů neinteragujících částic pro každý druh stejná.

• Ze skutečnosti, že celková číselná hustota musí být tzv. aditivní, čili je součtem číselných hustot jednotlivých druhů čátic, dostáváme po rozšíření 2u/3 Daltonův zákon pro parciální tlaky :

...... 210232

0132

00

ppuNuNp

NNi

i

4. 4. 2007 21

Základy kinetické teorie i.p. XII • Částice ideálního plynu, která je vlastně hmotným

bodem, má tři stupně volnosti. Uvážíme-li její střední energii, je možné přiřadit jednomu stupni volnosti střední energii :

• Předpoklad, že se střední energie rovnoměrně rozdělí mezi stupně volnosti se nazývá ekvipartiční theorém. Jeho platnost je podpořena vlastnostmi plynů, jejichž molekuly mají více stupňů volnosti.

21

kTu

4. 4. 2007 22

Základy kinetické teorie i.p. XII • Došli jsme tedy k důležitým závěrům pro i.p.:

• Tlak plynu je vyvoláván nárazy částic na stěny. Je přímo úměrný druhé mocnině rychlosti částic a také teplotě.

• Střední kvadratická rychlost u směsi závisí na typu částice, ale kinetická energie je mezi částice rozdělena rovnoměrně.

• vnitřní energie je skryta v kinetické energii chaotického pohybu částic a je přímo úměrná teplotě a množství.

• vnitřní energii lze uvažovat jako součin střední energie na jeden stupeň volnosti a počtu stupňů volnosti