29. 4. 2003 1

FII-03 Speciální elektrostatická pole. Kapacita.

29. 4. 2003 2

Hlavní body

• Elektrický náboj a pole ve vodičích• Pole elektrického dipólu• Chování elektrického dipólu ve vnějším

elektrickém poli• Příklad na jímání náboje.• kapacita x napětí = náboj.• Různé typy kondenzátorů.• Sériové zapojení kondenzátorů.• Paralelní zapojení kondenzátorů.

29. 4. 2003 3

Nabitý plný vodič I

• Nabít vodič znamená přenést do něj nějaké přebytečné náboje jedné z polarit.

• Speciálním případem jsou kovy, u nichž jsou volnými nositeli náboje elektrony. • Zde znamená záporné nabití přidání dalších elektronů,

kterých je látka schopna přijmout značné množství.• Naopak odebráním elektronů vznikne efektivní

přebytečný kladný náboj, což je ekvivalentní nabití tělesa kladně.

• Pro většinu úvah můžeme chování “mezer” po elektronech chápat jako volné kladné náboje.

29. 4. 2003 4

Nabitý plný vodič II

• Přebytečné náboje se odpuzují a protože jsou volné a mohou se v rámci vodiče volně pohybovat, musí skončit na povrchu.

• Rovnováha, které je nakonec díky pohyblivosti nábojů dosaženo, je charkteristická tím, že výslednice sil, působících na každý náboj, je rovna nule.

• Znamená to, že uvnitř vodiče je nulové pole a celý jeho objem včetně povrchů je ekvipotenciální oblastí.

29. 4. 2003 5

Dutá vodivá slupka I

• V rovnováze opět :• přebytečné náboje musí skončit na povrchu • uvnitř je nulové pole a celé těleso je

ekvipotenciální oblastí.• Tyto podnímky mají hlubokou souvislost s

platností Gaussovy věty.• Pro důkaz se vraťme ke Gaussově větě :

29. 4. 2003 6

Opět Gausova věta I

• Mějme kladný bodový náboj Q a kulovou Gaussovu plochu o poloměru r centrovanou v náboji. Předpokládejme nyní radiální pole :

• Siločáry jsou všude paralelní ke vnějším normálám, takže celkový tok je :

• Případ p2 by znamenal závislost toku na r !

prkQrE )(

pe QrSrE 21

0)(

29. 4. 2003 7

Opět Gausova věta II

• Platnost Gaussovy věty p = 2.• Užitím pojmu prostorového úhlu lze ukázat

• platnost pro bodový náboj umístěný kdekoli uvnitř kulové plochy.

• platnost pro každou uzavřenou plochu.• Z každého bodu objemu totiž vidíme každou

uzavřenou plochu pod celkovým prostorovým úhlem 4.

29. 4. 2003 8

Dutá vodivá slupka II

• Vezměme nejprve kulové těleso. Hustota náboje na jeho povrchu musí být ze symetrie konstantní.

• Ze symetrie dále plyne, že intenzity vyvolané elementárními ploškami se ve středu koule kompenzují a .

• V jiných bodech se ale budou kompenzovat a pole bude nulové pouze v případě, že p = 2.

• S použitím pojmu prostorového úhlu lze totéž dokázat pro jakoukoli uzavřenou plochu.

0E

29. 4. 2003 9

Dutá vodivá slupka III

• Závěr: existence nulového pole v jakémkoli bodě uvnitř nabité vodivé slupky libovolného tvaru je ekvivalentní platnosti Gaussovy věty.

• To je principem :• experimentálního důkazu Gaussovy věty s

velkou přesností : p – 2 = 2.7 3.1 10-16.• stínění a zemnění (např. Faradayova klec)

29. 4. 2003 10

Pole v blízkosti nabité plochy závisí na hustotě náboje

• Vezmeme malý válec a ponoříme jej do vodiče, aby osa válce byla k vodiči kolmá.

• Elektrické pole :• uvnitř vodiče je nulové• vně je kolmé k povrchu plochy

• Nenulový tok prochází pouze vnější podstavou

• Pozor na hrany! není obecně konstantní!0

E

29. 4. 2003 11

Elektrický dipól I

• Látky mohou vytvářet nenulové elektrické pole, i když je v nich celkový náboj vykompenzován.

• Musí obsahovat takzvané multipóly, tedy částice (oblasti), v nich jsou těžiště kladného a záporného náboje v různých bodech.

• Vytvářená pole obecně nejsou centrosymetrická a mizí rychleji než pole bodového náboje.

29. 4. 2003 12

Elektrický dipól II

• Nejjednoduším multipólem je elektrický dipól :• Skládá se ze dvou nábojů o stejné absolutní hodnotě ale

různého znaménka +Q and –Q. • Jejich vzájemnou polohu lze popsat vektorem .• Definujeme dipólový moment.

• Elektrické dipóly (multipóly) jsou důležité, protože jsou příčinou elektrického chování elektricky neutrální (i mikrosopicky!) hmoty.

l

lQp

29. 4. 2003 13

Elektrický dipól III

29. 4. 2003 14

Elektrický dipól IV

• Pomocí dipólových momentů vysvětlujeme tedy základní chování látek ve vnějším elektrickém poli.

• Oblasti látek (částice) mohou mít buď vlastní nebo indukovaný dipólový moment.

• Dipólový moment je také příčinou některých slabších meziatomových vazeb.

29. 4. 2003 15

Chování elektrického dipólu ve vnějším poli

• V homogenních elektrických polích působí na dipóly momenty síly , které se je snaží natočit do směru pole, tedy ztotožnit směr dipólového momentu se směrem vektoru elektrické intenzity (siločar).

• V polích nehomogenních jsou dipóly také taženy nebo posunovány.

29. 4. 2003 16

Příklady některých polí

• Pole homogenně nabité koule• Pole paralelních stejnoměrně nabitých rovin• Princip elektrostatické kopírky (xeroxu)

29. 4. 2003 17

Jímání náboje I

• V 18. Století byli lidé fascinováni prvními elektrickými jevy, zvláště velkými výboji. Baviči byli postaveni před problém jak akumulovat maximální možný náboj. Nejprve šli cestou větších a větších nádob, ale později nalezli lepší řešení!

• Mějme vodivou kouli o poloměru ra=1 m.• Můžeme na ní jímat libovolný náboj?

29. 4. 2003 18

Jímání náboje II• Odpověď je NE!• V praxi jsme limitováni mezní intenzitou. V

suchém vzduchu je to Em 3 106 V/m.• Mezní intenzita závisí na vlastnostech okolí

vodiče, ale je konečná i ve vakuu. • Je-li dosaženo mezní intenzity vodič se bude

samovolně vybíjet. (užitečné při studiu struktury)• Schopnost samovybíjení se zvětšuje u členitých

povrchů. Protože u výčnělků se intenzita zvětšuje.

29. 4. 2003 19

Jímání náboje III• Z Gaussovy věty plyne, že intenzita E=0

uvnitř koule a E=kQ/ra2 těsně u jejího

povrchu.• Ze vztahu potenciálu a intenzity těsně u

povrchu koule =kQ/ra .• Kombinací dostaneme : =raE for r>ra

• Maximální napětí a náboj na kouli tedy je : = 3 106 V Q = 3.3 10-4 C.

29. 4. 2003 20

Jímání náboje IV• Potom někdo (v Leydenu) udělal “zázrak”! Do

původní koule (nabité např. nábojem +Q) umístil soustředně menší kouli o poloměru rb a uzemnil ji.

• Protože vnitřní koule byla původně na potenciálu vnější koule, byly po uzemnění odpuzeny kladné náboje do země, až k dosažení rovnováhy, při které na vnitřní kouli zůstal náboj –Qb.

• Náboj na vnějším povrchu větší koule poklesl na Qa, protože náboj Qb je vázán na povrchu vnitřním

29. 4. 2003 21

Jímání náboje IV• Pole uvnitř tloušťky vnější koule musí být

nulové. Pro celkový náboj tedy platí :Q = Qa + Qb

• Potenciál a intenzita pole klesly. Přitom celkový náboj zůstal zachován!

• Systém dvou koulí má proti kouli jedné větší schopnost jímat náboj. Je totiž možné na vnější kouli přidat další náboj než by došlo k samovybíjení.

29. 4. 2003 22

*Jímání náboje V• The potential from the outer sphere:

a = kQ/ra for rra ; a = kQ/r for r>ra

• The potential from the inner sphere:b = -kQ/rb for rrb ; b = -kQ/r for r>rb

• From the superposition principle:(r) = a(r)+ b(r)

• The potential is zero outside the system!

29. 4. 2003 23

*Jímání náboje VI• The potential on the inner sphere is here

also the voltage between the spheres:V = (rb) = kQ(1/ra – 1/rb) = kQ(rb – ra)/rbra

• If rb>ra/2 it starts to be interesting. Let:

rb = 0.99ra and Q = 3.3 10-4 C V = 3 10-4 V• We can charge further up to Q 3.3 10-2 C!• We have obtained a capacitor (condenser).

29. 4. 2003 24

Jímání náboje VI• Celkový náboj, kterým je možné nabít

soustavu koulí závisí na jejich velikosti.• Čím jsou koule větší a jejich rozměry jsou

bližší, tím je náboj větší.• Například pro rb = 99 cm, Q 3.3 10-2 C,

čili 100 krát větší!• Získali jsme zařízení pro jímání náboje –

kondenzátor.

29. 4. 2003 25

Kapacita

• Napětí mezi dvěma vodiči nabitými na náboj +Q a –Q je obecně úměrné tomuto náboji :

Q = C U• Kladná konstanta úměrnosti C se nazývá

kapacita. Fyzikálně je to schopnost jímat náboj.

• Jednotkou kapacity je Farad 1 F = 1 C/V

29. 4. 2003 26

Různé typy kondenzátorů

• Je mnoho důvodů vyrábět elektronickou součástky, které mají schopnost jímat náboj – kondenzátory.

• Hlavní užití je pro jímání náboje a potenciální energie a některé doprovodné jevy související s nabíjením a vybíjením.

• Nejčastěji se užívá deskových, válcových, kulových a svitkových kondenzátorů.

29. 4. 2003 27

Dvě paralelní nabité roviny

• Dvě velké paralelní roviny jsou vzdáleny d. Jedna je nabita s plošnou hustotou druhá s hustotou -.

• Intenzita mezi deskami bude Ei a intenzita vně Eo. Co platí?• A) Ei= 0, Eo=/0

• B) Ei= /0, Eo=0• C) Ei= /0, Eo=/20

29. 4. 2003 28

Určení kapacity kondenzátoru

• Obecně najdeme závislost náboje Q na napětí U a vyjádříme kapacitu jako konstantu úměrnosti.

• Mějme například deskový kondenzátor s rovnoběžnými deskami o ploše S a vzdálenosti d, nabité na náboj +Q a -Q:

• Z Gaussovy věty : E = /0 = Q/0S• Také : E=U/d Q = 0AU/d C = 0S/d

29. 4. 2003 29

Nabíjení kondenzátoru

• Kondenzátor nabíjíme• budˇ propojíme jednu elektrodu kondenzátoru s

kladným a druhou se záporným pólem zdroje stejnosměrného napětí. Po dosažení rovnováhy bude každá elektroda kondenzátoru mít stejný potenciál jako elektroda zdroje s ní spojená a napětí na kondenzátoru bude rovné napětí zdroje.

• nebo uzemníme jednu elektrodu a na druhou přivedeme náboj. Po dosažení rovnováhy se na uzemněné elektrodě musí objevit náboj opačné polarity.

• Podrobnostmi procesů se budeme zabývat později.

29. 4. 2003 30

Sériové zapojení kondenzátorů I

• Mějme kondenzátory C1 a C2 zapojené do série. Můžeme je nahradit jedinou kapacitou:

• Nabijeme-li jednu elektrodu, ostatní se nabijí indukcí a náboj na všech sériově zapojených kondenzátorech musí být stejný :Q = Q1 = Q2

21

21

CCCCCs

29. 4. 2003 31

Sériové zapojení kondenzátorů II

• K sobě připojené elektrody jsou na stejném potenciálu. Celkové napětí na všech sériově zapojených kondenzátorech musí být tedy součtem napětí na jednotlivých kondenzátorech

U = U1 + U2

21

21 111CCQ

UQU

QU

Cs

29. 4. 2003 32

Paralelní zapojení kondenzátorů I

• Mějme dva kondenzátory C1 a C2 zapojené paralelně. Můžeme je nahradit jediným kondenzátorem s kapacitou Cp :

Cp = C1 + C2

• Celkový náboj se rozdělí na jednotlivé kondenzátoryQ = Q1 + Q2

• Napětí na všech kondenzátorech je stejnéU = U1 = U2

Cp = Q/U = Q1/U+ Q2/U = C1 + C2

Prostorový úhel I• Mějme povrch koule o poloměru r. Z jejího

středu vidíme element plochy dS pod prostorovým úhlem d :

2rdSd

442

2

rr

Celý povrch vidíme pod úhlem :

Prostorový úhel IIJe-li ve středu koule bodový náboj Q, je

elementární tok intenzity ploškou dS :

2

coscosr

dSkQdSESdEd e

0

4

QkQdkQe

Protože poslední zlomek je d, je celkový tok:

^

Intenzity v okolí zakřivenějších povrchů jsou větší

• Mějme velkou a malou vodivou kouli o poloměrech R a r, které jsou spojeny vodivým drátem. Když tento útvar nabijeme, rozloží se přebytečný náboj na Q a q tak, aby byl všude stejný potenciál :

rR

rR

Rr

SQ

Rr

Ss

rq

RQ

2

2

2

2

;

^

Potenciál elektrického dipólu I

• Mějme náboj –Q v počátku a +Q v bodě, určeném vektorem . Jaký je potenciál v bodě ? Použijeme princip superpozice a gradient :

)()(

)()()(

rkQgradld

rkQ

rkQ

ldrrr

ld

r

Potenciál elektrického dipólu II

• První dva pomalu klesající výrazy se zruší :

33)(r

rpkr

rlkQdr

• Potenciál má osovou symetrii, kde dipól leží v ose a osovou anti-symetrii kolmou na tuto osu. Potenciál klesá jako 1/r2!

^

Elektrický dipól – Moment síly• Mějme homogenní pole s intenzitou E. Síly

na oba náboje přispívají ve shodném smyslu k momentu síly :

sin2

2 QElT

• Obecně je moment síly vektorový součin:

EpT

^

Elektrický dipól - tah• Mějme nehomogenní elektrické pole, jehož

intenzita E se mění jen v jednom směru dipól paralelní se siločárami (-Q v počátku).

dxdEQdlQEQE

dlQEQEF

)0()0(

)()0(

• Obecně :pEgradF

^

The vector or cross product I Let c=a.bDefinition (components)

The magnitude |c|

kjijki bac

sinbac

Is the surface of a parallelepiped made by a,b.

The vector or cross product II

zyx

zyx

zyx

bbbaaauuu

c

The vector c is perpendicular to the plane made by the vectors a and b and they have to form a right-turning system.

ijk = {1 (even permutation), -1 (odd), 0 (eq.)}

^