14. 7. 2003 1

FII-6 Kapacita a kondenzátory

14. 7. 2003 2

Hlavní body

• Příklad na jímání náboje.

• kapacita x napětí = náboj.

• Různé typy kondenzátorů.

• Sériové zapojení kondenzátorů.

• Paralelní zapojení kondenzátorů.

14. 7. 2003 3

Jímání náboje I

• V 18. Století byli lidé fascinováni prvními elektrickými jevy, zvláště velkými výboji.• Baviči si všimli, že různá tělesa nabitá na stejné

napětí obsahovala různá „množství elektřiny“ ( nyní bychom řekli, byla nabita různým nábojem) a produkovala různá výboje.

14. 7. 2003 4

Jímání náboje II

• Vyvstal problém, jak pojmout co možná největší náboj, při maximálním dostupném napětí.

• Nejprve se šlo cestou větších a větších nádob, ale později nalezli lepší řešení!

• Mějme vodivou kouli o poloměru ri=1 m.

• Můžem pojmout libovolný náboj?

14. 7. 2003 5

Jímání náboje III• Odpověď je NE!

• V praxi jsme limitováni mezní intenzitou. V suchém vzduchu je to Em 3 106 V/m.

• Mezní intenzita závisí na vlastnostech okolí vodiče, ale jistá hodnota by existovala i ve vakuu.

• Je-li dosaženo mezní intenzity vodič se bude samovolně vybíjet (užívá se při studiu struktury).

• Schopnost samovybíjení se zvětšuje u členitých povrchů. Protože u výčnělků se intenzita zvětšuje.

14. 7. 2003 6

Jímání náboje IV• Z Gaussovy věty plyne, že intenzita E=0

uvnitř koule a E=kQ/ri2 těsně u jejího

povrchu.• Ze vztahu potenciálu a intenzity těsně u

povrchu koule =kQ/ri .

• Kombinací dostaneme : = riE pro r > ri

• Maximální napětí a náboj na kouli tedy je :

= 3 106 V Qmax = 3.3 10-4 C.

14. 7. 2003 7

Jímání náboje V• Toto napětí značně přesahuje tehdejší meze, které

byly přibližně 105 V.• Na naší kouli by tedy pro takové napětí byl náboj :

Q = Vri /k = 105/9 109 = 1.11 10-5 C.

• Původně se dal zvětšit pouze zvětšením koule ri.• Potom někdo (v Leydenu) udělal “zázrak”! Kouli

o poloměru ri umístil do o málo větší koule o poloměru ro, kterou uzemnil.

• Výboje se výrazně zvětšily!

14. 7. 2003 8

Jímání náboje VI

• Vnitřní koule, nabitá nábojem +Q, vytvořila náboj –Q na vnitřním povrchu vnější koule a náboj +Q na povrchu vnějším. Po jejím uzemnění byl však kladný náboj odveden do země, takže na vnější kouli zůstal náboj –Q, a to na jejím vnitřním povrchu.

• Výsledek: Potenciál vnitřní koule klesnul, přičemž náboj zůstal zachován!

14. 7. 2003 9

Jímání náboje VII

• Potenciál způsobený vnitřní koulí :

i = kQ/ri pro r ri ; i = kQ/r pro r > ri

• Potenciál způsobený vnější koulí :

o = -kQ/ro pro r ro ; o = -kQ/r pro r > ro

• Z principu superpozice :

(r) = i(r)+ o(r)

• Potenciál bude nulový pro r ro!

14. 7. 2003 10

Jímání náboje VI

• Potenciál na vnitřní kouli je tedy současně napětím mezi koulemi :

Vi = kQ(1/ri – 1/ro) = kQ(ro – ri)/riro

• Pro ro = 1.01 m and U = 104 V

Q = 1.12 10-3 C tedy náboj vzrostl 101 x!

• Sestrojili jsme kondenzátor.

• (Qmax = 3 10-4 C jsme však takto nezvýšili! )

14. 7. 2003 11

Kapacita

• Napětí mezi dvěma vodiči nabitými na náboj +Q a –Q je obecně úměrné tomuto náboji :

Q = C V• Kladná konstanta úměrnosti C se nazývá

kapacita. Fyzikálně je to schopnost jímat náboj.

• Jednotkou kapacity je Farad 1 F = 1 C/V

14. 7. 2003 12

Různé typy kondenzátorů

• Je mnoho důvodů vyrábět elektronickou součástku, která má schopnost jímat náboj – kondenzátor.

• Kapacita kondenzátoru by neměla záviset na okolí.

• Hlavní užití je pro jímání náboje a potenciální energie a některé doprovodné jevy související s nabíjením a vybíjením.

• Nejčastěji se užívá deskových, válcových, kulových a svitkových kondenzátorů.

14. 7. 2003 13

Dvě paralelní nabité roviny

• Dvě velké paralelní roviny jsou vzdáleny d. Jedna je nabita s plošnou hustotou druhá s hustotou -.

• Intenzita mezi deskami bude Ei a intenzita vně Eo. Co platí?• A) Ei= 0, Eo=/0

• B) Ei= /0, Eo=0

• C) Ei= /0, Eo=/20

14. 7. 2003 14

Určení kapacity kondenzátoru I

• Obecně najdeme závislost náboje Q na napětí U a vyjádříme kapacitu jako konstantu úměrnosti.

• Mějme například kondenzátor s rovnoběžnými deskami o ploše S a vzdálenosti d, nabité na náboj +Q a -Q:

• Z Gaussovy věty : E = /0 = Q/0S

• Také : E=U/d Q = 0SU/d C = 0S/d

14. 7. 2003 15

Určení kapacity kondenzátoru II

• Pro potenciál na jedné kouli ve vesmíru platí :

Ui = kQ/ri C = ri/k

• Druhá „elektroda“ tohoto kondenzátoru by bylo nekonečno nebo spíše zem, protože je blíže. Jeho kapacita by ale silně závisela na přítomnosti vodičů v jeho blízkém okolí.

14. 7. 2003 16

Určení kapacity kondenzátoru III

• V případě našeho kulového kondenzátoru jsme měli :

Ui = kQ(1/ri – 1/ro) = kQ(ro – ri)/riro

To odpovídá kapacitě :

)(

4

)(0

io

oi

io

oi

rr

rr

rrk

rrC

14. 7. 2003 17

Nabíjení kondenzátoru

• Kondenzátor nabíjíme• budˇ propojíme jednu elektrodu kondenzátoru s

kladným a druhou se záporným pólem zdroje stejnosměrného napětí. Po dosažení rovnováhy bude každá elektroda kondenzátoru mít stejný potenciál jako elektroda zdroje s ní spojená a napětí na kondenzátoru bude rovné napětí zdroje.

• nebo uzemníme jednu elektrodu a na druhou přivedeme náboj. Po dosažení rovnováhy se na uzemněné elektrodě objeví náboj opačné polarity.

• Podrobnostmi procesu se budeme zabývat později.

14. 7. 2003 18

Sériové zapojení kondenzátorů I

• Mějme kondenzátory C1 a C2 zapojené do série. Můžeme je nahradit jedinou kapacitou:

• Nabijeme-li jednu elektrodu, ostatní se nabijí indukcí a náboj na všech sériově zapojených kondenzátorech musí být stejný :

Q = Q1 = Q2

21

21

CC

CCCs

14. 7. 2003 19

Sériové zapojení kondenzátorů II

• K sobě připojené elektrody jsou na stejném potenciálu. Celkové napětí na všech sériově zapojených kondenzátorech musí být tedy součtem napětí na jednotlivých kondenzátorech

U = U1 + U2

21

21 111

CCQ

U

Q

U

Q

U

Cs

14. 7. 2003 20

Paralelní zapojení kondenzátorů I

• Mějme dva kondenzátory C1 a C2 zapojené paralelně. Můžeme je nahradit jediným kondenzátorem s kapacitou Cp :

Cp = C1 + C2

• Celkový náboj se rozdělí na jednotlivé kondenzátory

Q = Q1 + Q2

• Napětí na všech kondenzátorech je stejné

U = U1 = U2

Cp = Q/U = Q1/U+ Q2/U = C1 + C2

14. 7. 2003 21

Mezní náboj

• Kapacita deskového kondenzátoru (ve vakuu) může být zvětšena buď zvětšením ploch desek nebo jejich přiblížením. Pouze první způsob však povede ke snížení intenzity elektrického pole a tedy i ke zvýšení mezního náboje, který kondenzátor může pojmout!

• Z tohoto hlediska by bylo lepší uzemnit vnitřní a nabít vnější kouli v našem příkladu.

14. 7. 2003 22

Homework

• 24 – 4, 5, 6, 11, 26 due this Wednesday!

14. 7. 2003 23

Things to Read

• Chapter 24 – 1, 2, 3