KvantovÆ teorie pole I, II (NJSF 145, 146)novotny/prednaska.pdfKvantovÆ teorie pole I, II (NJSF...

Kvantová teorie pole I, II (NJSF 145, 146)

J. Novotný

ÚCJF MFF UK

2018/2019

J. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 1 / 1311

Literatura

Silvan S. Schweber, “An Introduction to Relativistic Quantum Fields”,Row,Peterson&comp., New York 1961

James D. Bjorken and Sidney D. Drell, “Relativistic QuantumMechanics, Relativistic Quantum Fields”, McGraw-Hill book comp.,New York 1964

N.N. Bogolyubov, D.V. Shirkov, “Vvedenie v teoriu kvantovannychpolej”, Nauka Moskva 1984, “Kvantovyje polja”, Nauka Moskva 1980,

Claude Itzykson, Jean-Bernard Zuber, “Quantum Field Theory”,Dover Publication Inc., New York 1980

Steven Weinberg, “The Quantum Theory of Fields (vol. I, II, (III))”,Cambridge University Press 1995


Literatura

Piere Ramond, “Field Theory . A Modern Primer”, TheBenjamin/Cummings Publishing Comp.Inc. London 1981

Lewis H. Ryder, “Quantum Field Theory”, Cambridge University Press1985

M.E. Peskin and D.V. Schroeder, “An Introduction to Quantum FieldTheory”, Addison-Wesley Publishing Comp. 1995

Warren Siegel, “Fields”, arXiv:hep-th/9912205

A. Zee, “Quantum Field Theory in a Nutshell”, Princeton UniversityPress 2003

Mark Srednicki, “Quantum Field Theory”, Cambridge University Press2007


Literatura v ceštine a další ucebnice a monografie

J. Formánek, “Úvod do relativistické kvantové mechaniky a kvantovéteorie pole”, Karolinum, Praha 1998 (1. díl) 2008 (díly 2a,b)

Lowel S. Brown, “Quantum Field Theory”, Cambridge UniversityPress 1992

G. Sterman, “An Introduction to Quantum Field Theory”, CambridgeUniversity Press 1993

M. Kaku, “Quantum Field Theory: a Modern Introduction”, OxfordUniversity, 1993

D. Bailin and A. Love, “Introduction to Quantum Field Theory”, Inst.of Physics, 1993

Jean Zinn-Justin, Quantum Field Theory and Critical Phenomena,Clarendon Press, Oxford, 1996


Konvence a standardní znacení: jednotky

Jednotky c = = 1, pro pozorovatelnou O

[O ] = (eV)dim[O ]

napríklad

dim[v ] = dim[S ] = 0

dim[m] = dim[E ] = dim[p] = 1

dim[t] = dim[x ] = −1dim[J ] = 0, dim[L] = 4

Nekterá císla

1GeV = 1.8× 10−27kg1GeV−1 = 0.2fm = 6.6× 10−25s

1m = 5× 1015GeV−1

1s = 1.5× 1024GeV−1


Konvence a standardní znacení - lorentzovské indexy

prostorocasové indexy

α, β, . . . , µ, ν, . . . = 0, 1, 2, 3, i , j , k, . . . = 1, 2, 3

Minkowského souradnice

x ≡ (t, x) ≡ xµ = (x0, x i )

Minkowského metrika

ηµν = diag (1,−1,−1,−1) = ηµν

stahování/zvyšování indexu, napr.

aµ = ηµνaν, aµ = ηµνaν

aµ = (a0, a), aµ = (a0,−a)kontrakce indexu, napr. a = (a0, a), b = (b0,b)

a · b = ηµνaµbν = aνbν = aµbµ = ηµνaµbν

= a0b0 − a · b = a0b0 − aibi


Konvence a standardní znacení - lorentzovské indexy

parciální derivace

∂

∂xµ≡ ∂µ = (∂0, ∂i ) =

(∂

∂t,∇)

∂

∂xµ≡ ∂µ = (∂0, ∂i ) =

(∂

∂t,−∇

)dAlembertuv operátor

= ∂µ∂µ = ∂20 − ∂i∂i =∂2

∂t2−4

Levi-Civituv symbol

εµναβ = sign (σ) εσ(µ)σ(ν)σ(α)σ(β) = −εµναβ

ε0123 = 1 = −ε0123


I. Od polí ke (kvazi)cásticím

Kvantová mechanika - konecný pocet stupnu volnosti - zobecnenésouradnice qA, kde A ≡ diskrétní index, nabývá hodnot z konecnémnoziny

Klasická fyzika - i systémy s nekonecným poctem stupnu volnosti:zobecnené souradnice“ indexované“ spojitým indexem

struna u(x), x ∈ (0, L)ELMG pole E(x), B(x), x ∈ R3deformace R(x) = x′ − x, x ∈ R3

nebo diskrétním indexem nabývajícím nekonecného poctu hodnotnapr. struna s pevnými konci u(0) = u(L) = 0

u(x) = ∑nun sin

(πnLx)


Motivace: Proc kvantová teorie pole?

Jak kvantovat systémy s nekonecne mnoha stupni volnosti?

Co jsou elementární excitace takových systému?

Typická vlastnost - existence klasického základního stavu qn = 0(minimum potenciálu), zajímají nás fluktuace kolem tohoto základníhostavuHamiltonián v kvadratickém priblízení

H = ∑n

12p2n + ∑

m,n

12

Ωmnqmqn

ΩT = Ω ∈ R, Ω > 0

systém vázaných harmonických oscilátoru!



Matici Ω lze diagonalizovat prechodem k novým (kolektivním)souradnicím a sdruzeným impulsum

qn = ∑mOnmQm , pn = ∑

mOnmPm , O−1 = OT

H = ∑n

(12P2n +

12

ω2nQ

2n

)= ∑

nωn

(A+n An +

12

)≡ systém nezávislých harmonických oscilátoru.Standardní kreacní a anihilacní operátory [Am ,A+n ] = δmn

An =(ωn

2

)1/2(Qn +

iωnPn

), A+n =

(ωn

2

)1/2(Qn −

iωnPn

)H = ∑

nωn

(A+n An +

12

)= ∑

nωn

(Nn +

12

)Elementární excitace - neinteragující (kvazi)cástice (bosony) s energií ωn

kreované z “vakua“ |0〉 kreacními operátory A+nJ. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 10 / 1311


II. Od relativistických cástic k polím

Kvantová mechanika (QM) - formulována nerelativisticky - je trebamodifikovat tak, aby byla kompatibilní se speciální teorií relativity(STR)

“nejjednodušší prípad“ - jednocásticová relativistická QM - narází naradu problému

jak dále uvidíme, konzistentní relativistická kvantová teorie je teorií(nekonecne mnoha) cástic



Pripomenme: Volná cástice v QM

i∂

∂t|ψ(t)〉 = p2

2m|ψ(t)〉, |ψ(t)〉 = U(t)|ψ(0)〉 = exp

(−i p

2

2mt)|ψ(0)〉

Amplituda pravdepodobnosti prechodu z x′ v case t = 0 do x′′ v caset = T

〈x′′|U(T )|x′〉 =( m2πiT

)3/2exp

(i2m(x′′ − x′)2

T

)6= 0

Amplituda 〈x′′|U(T )|x′〉 ruzná od nuly i pro prostorupodobné intervaly

T 2 −(x′′ − x′

)2< 0

Narušení kauzality - nekompatibilita se STR jak jsme ocekávali.



Relativistická modifikacep2

2m→

√p2 +m2

i∂

∂t|ψ(t)〉 =

√p2 +m2|ψ(t)〉

na první pohled problematická

x−representaci p2 = −∇2, pro ψ(t, x) ≡ 〈x|ψ(t)〉

i∂

∂tψ(t, x) =

√−∇2 +m2ψ(t, x)

casová derivace a prostorové derivace vystupují asymetricky, rovnicenení manifestacne relativisticky invariantní (viz ale dále)operátor je nelokální, pravá strana obsahuje nekonecne mnohoderivací vlnové funkce ψ(t, x)√

−∇2 +m2 = m+ −∇2

2m−(−∇2

)28m2

+ . . .



Je zachránena alespon kauzalita? Nyní

U(T ) = exp(−iT

√p2 +m2

)〈x′′|U(T )|x′〉 = 〈x′′|U(T )

∫d3p|p〉〈p|x′〉

=∫

d3p exp(ip · (x′′ − x′)− iT

√p2 +m2

)Pro ∆x2 ≡ T 2 − (x′′ − x′)2 < 0 dostaneme explicite

〈x′′|U(T )|x′〉 = − im2T2π2∆x2

K2(m√−∆x2

)kde K2(z) je McDonaldova funkce s asymptotikou z → ∞

K2(z) =( π

2z

)1/2e−z

(1+O

(1z

))J. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 14 / 1311


Pro ∆x2 → −∞ tedy

〈x′′|U(T )|x′〉 ≈ e−m√−∆x 2 6= 0

a kauzalita je narušena!Tedy rovnice

i∂

∂tψ(t, x) =

√−∇2 +m2ψ(t, x)

není manifestacne relativistická

není lokální

narušuje kauzalitu

Lze ji “vylepšit“ aby alespon nekteré z techto nedostatku byly odstraneny?



Zderivováním podle casu dostáváme

i∂2

∂t2ψ(t, x) =

∂

∂t

√−∇2 +m2ψ(t, x) =

√−∇2 +m2 ∂

∂tψ(t, x)

=1i

(−∇2 +m2

)ψ(t, x)

tj. Kleinovu-Gordonovu (KG) rovnici(∂2

∂t2−∇2 +m2

)ψ(t, x) = 0

zkrácene (+m2

)ψ(t, x) = 0

Pokud se ψ(t, x) transformuje jako skalár, je KG rovnice manifestacneinvariantní, má ale jiné nedostatky



Nedostatky KG rovnice(+m2

)ψ(t, x) = 0

rovnice druhého rádu v casové derivaci - Cauchyova pocátecní úlohavyzaduje znalost ψ(0, x) a ∂tψ(0, x)hledejme rešení ve tvaru rovinné vlny

ψp(t, x) = Np exp (−iE (p)t + ip · x)tj. po dosazení do KG rovnice(

−E (p)2 + p2 +m2)= 0

aE (p) = ±

√p2 +m2

existují rešení se zápornou energií - nestabilita vzhledem k poruchám!KG rovnice je druhého rádu v casových derivacích ⇒ beznedefinovaná norma vlnové funkce

〈ψ(t)|ψ(t)〉 =∫

d3xψ∗(t, x)ψ(t, x)

zavisí na case - problém s pravdepodobnostní interpretací!J. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 17 / 1311


Alternativní pravdepodobnostní intepretace? Hustota pravdepodobnosti ahustota toku pravdepodobnosti musí splnovat rovnici kontinuity!Cvicení:Nech ,t ψi (x) , i = 1, 2 jsou rešení K.G. rovnice a definujeme-li ctyrvektorjµ = (ρ, j)

jµ =i2m

(ψ∗1∂µψ2 − ∂µψ∗1ψ2) ≡i2m

ψ∗1←→∂ µψ2

pak platí

∂µjµ =∂ρ

∂t+∇ · j = 0

Pro ψ1 = ψ2 = ψ je jµ∗ = jµ a

ddt

∫d3xρ(t, x) = 0

tedy∫

d3xρ(t, x) je kandidát na modifikovanou normu (pravdepodobnostvýskytu). Ale...J. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 18 / 1311


Cvicení:Spoctete

Q± ≡∫

d3xρ±(t, x) =i2m

∫d3xψ∗±

←→∂t ψ±

pro lineární superposici rovinných vln s kladnou a zápornou energií

ψ±(t, x) =∫

d3p a(p) exp(∓it√p2 +m2 + ip · x

)Ukazte, ze Q± ≷ 0.Q− tedy nemuze reprezentovat pravdepodobnost, ρ není interpretovatelnájako hustota pravdepodobnosti



Problémy s KG rovnicí cástecne zpusobeny druhým rádem v derivacích.Existuje relativistická rovnice prvního rádu v derivacích?Diracova rovnice (DR):

pro cástice se spinem, vlnová funkce vícekomponentní

ψ(x) =

ψ1(x)ψ2(x)...

ψN (x)

rovnice Schroedingerova typu,

i∂tψ(x) = Hψ(x)

hamiltonián 1. rádu v prostorových derivacích

H = α · p+ βm

αi , i = 1, 2, 3 a β jsou hermitovské matice (H = H+) N ×NJ. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 20 / 1311


v x− reprezentaci

i∂tψ(x) = (−iα · ∇+ βm)ψ(x)

pozadujeme, aby rovinné vlny tvaru

ψp(x) = u(p) exp (−iE (p)t + ip · x)

rešily DR pro E (p) =√p2 +m2.

Dosazením do DR

(α · p+ βm) u(p) = E (p)u(p)

(α · p+ βm)2 u(p) = E (p) (α · p+ βm) u(p) = E (p)2u(p)

postacující podmínka je tedy

(α · p+ βm)2 = p2 +m2



Máme

(α · p+ βm)2 = (α · p)2 + β, α · pm+ β2m2

=12αi , αjpipj + β, α · pm+ β2m2

!= p2 +m2

a tak dostáváme algebru tzv. Diracových matic

αi , αj = 2δij

αi , β = 0

β2 = 1

Cvicení: Ukazte, ze splnují-li matice N ×N αi a β algebru Diracovýchmatic, potom Trαi = Trβ = 0, N je nutne sudé a N ≥ 4.



Problémy a úspechy DR (N = 4)

Relativistická invariance (ukázeme pozdeji)Záporné energie: Z predchozího víme

(α · p+ βm) u(p) = E (p)u(p)E (p)2 = p2 +m2

a tak vlastní hodnoty (α · p+ βm) jsou

Ej (p) = ±√p2 +m2, j = 1, . . . , 4

Z cvicení Trαi = Trβ = 0, tedy

0 = Tr (α · p+ βm) =4

∑j=1Ej (p)

vlastní hodnoty ±√p2 +m2 se v párech ruší!



Cvicení: Nech ,t ψ(x) je rešení DR. Ukazte, ze ctyrvektor

jµ =(ψ+ψ,ψ+αψ

)se zachovává.

Pozitivne definitní hustota pravdepodobnosti

ρ(x) = j0(x) = ψ+(x)ψ(x) ≥ 0

definuje zachovávající se normu

ddt

∫d3xψ+(x)ψ(x) = 0

pravdepodobnostní interpretace vlnové funkce zdánlive zachránena(ale existují paradoxy...).



Náznaky nutnosti mnohocásticového popisu v rámci DR

N = 4 ale spin s = 1/2 “dvojnásobný pocet spinových stupnuvolnosti“ - jak interpretovat?

Proc se neprojevuje nestabilita spojená se záporne energetickýmistavy?

Rešení: Diracovo more - záporné hladiny plne obsazeny, Paulihoprincip zamezuje prechodum.

Diracovo more nepozorovatelné, meríme jen excitace nad Diracovýmmorem

Prechod elektronu ze stavu se zápornou energií do stavu s kladnouenergií: elektron + díra v mori záporne energetických stavu (chybejícínáboj, impuls, spin)

Díra se interpretuje jako anticástice (pozitron)

Prechod k (nekonecne)mnohocásticovému popisu



V relativistickém rezimu prirozený mnohocásticový popis

V experimentu vidíme kreaci a anihilaci cástic

Jednocásticový popis nutne jen aproximace - individuální cástici nelzelokalizovat v oblastech s charakteristickým rozmerem

∆x ∼ 1m=⇒ ∆p ∼ m

dost energie na kreaci dalších cástic

V oblasti energií E ∼ m mnohocásticový popis nutný, v oblastiE < m se vícecásticové stavy projeví jako príspevky virtuálních stavu

∆E0 = 〈0|Hint |0〉+∑n

|〈0|Hint |n〉|2E0 − En

+ . . .



V relativistické teorii prirozená lokalizace

Pozorovatelé provádející merení v prostorocasových oblastechoddelených prostorupodobným intervalem nemohou navzájem ovlivnitvýsledky merení (kauzalita)Pozorovatelné nutne lokální, resp. prirazeny prostorocasovýmoblastemPozorovatelné musejí komutovat, pokud jejich oblasti nejsou kauzálnespojené

[O1(M1),O2(M2)] = 0

(x1 − x2)2 < 0, xi ∈ Mi

Lokalizace pozorovatelných nemá analogii ani v nerelativistické QM,ani v relativistické klasické mechaniceLokalizace pozorovatelých má analogii v klasické teorii poleJe prirozené ocekávat, ze konsistentní relativistickou kvantovou teoriíbude kvantová teorie pole



Poznámka: Role casu v relativistické kvantové teorii

V QM je cas evolucní parametr, indexuje pozorovatelné (vHeisenbergove representaci). V relativistické kvantové teorii musejísouradnice také indexovat pozorovatelné

OH (t)→ O(t, x) ≡ O(x)

-operátory poleV QM souradnice pozorovatelné, representované samosdruzenýmioperátory. V relativistické kvantové teorii (souradnicový) cas musí býtpozorovatelná, representovaná samosdruzeným operátorem

t → x0

takze máme ctyrvektor pozorovatelných

xµ =(x0, x

)Evolucní parametr musí být nahrazen (napr. vlastním casem τ).



Oba prístupy mozné. Druhý komplikovanejší (ale lze zformulovatekvivalentne prvnímu), umoznující zobecnení

xµ(τ)→ xµ (τ, σ1, . . . , σk )

- struny, membrány

Shrnutí:Konsistentní relativistická kvantová teorie by mela být

teorií mnoha cástic

teorií s lokálními pozorovatelnými (kauzalita)

tedy kvantová teorie pole


Symetrie

I. Rekapitulace kvantové mechaniky

Hilbertuv prostor stavu H (separabilní).

Stav systému→ paprsek = mnozina vektoru eiθ |ψ〉 ∈ H s normalizací

〈ψ|ψ〉 = 1

Pozorovatelným prirazeny samosdruzené operátory O = O+ na H

〈ψ|O|φ〉 = 〈φ|O|ψ〉∗

Mozné výsledky merení jsou vlastní hodnoty λn operátoru O

O|ψn〉 = λn |ψn〉

Strední hodnota opakovaného merení 〈O〉ψve stavu |ψ〉

〈O〉ψ = 〈ψ|O|ψ〉


Symetrie

Pravdepodobnost namerení stavu |ψn〉 ve stavu |ψ〉 (tj. prinedegenerované λn pravdepodobnost namerení λn ve stavu |ψ〉)

P(ψ→ ψn) = P(λn) = |〈ψn |ψ〉|2

obecnejiP(λn) = 〈ψ|Πn |ψ〉

kdeΠn = ∑

i ,λi=λn

|ψi 〉〈ψi |

Pozorovatelné Oi a Oj jsou kompatibilní (soucasne meritelné) platí-li[Oi ,Oj ] = 0

pak existují spolecné vlastní vektory

Oi |ξn, ηm〉 = ξn |ξn, ηm〉Oj |ξn, ηm〉 = ηm |ξn, ηm〉


Symetrie

Úplný systém komutujících operátoru Oi ,i = 1, . . . , k ⇐⇒ |λ(1)n1 , . . . ,λ(k )nk 〉 nedegenerované (vlastní hodnotyλ(1)n1 , . . . ,λ(k )nk jednoznacne urcují stav) a tvorí bazi v HCasový vývoj ve Schroedingerove obrazu dán Schroedingerovou rovnicí

i∂t |ψ(t)〉 = H |ψ(t)〉|ψ(t0)〉 = |ψ0〉

resp.|ψ(t)〉 = U(t, t0)|ψ0〉

pro hamiltonián nezávislý na case

U(t, t0) = exp (−iH(t − t0))


Symetrie

Evolucní operátor splnuje

U(t0, t0) = 1,

U(t, t0)U(t, t0)+ = U(t, t0)+U(t, t0) = 1

U(t ′′, t)U(t, t ′) = U(t ′′, t ′), t ′′ > t > t ′

pro hamiltonián nezávislý na case

U(t, t0) = U(t + a, t0 + a)

= U(t − t0, 0)

Merení v case t > t0

〈O〉ψ(t) = 〈ψ(t)|O|ψ(t)〉= 〈ψ(t0)|U(t, t0)+OU(t, t0)|ψ(t0)〉= 〈ψ(t0)|O(t)|ψ(t0)〉


Symetrie

T.j. 〈O〉ψ(t) = 〈ψ(t0)|O(t)|ψ(t0)〉, kdeO(t) = U(t, t0)+OU(t, t0)

je (casove závislý) operátor v Heisenbergove obrazu a |ψ(t0)〉 (casovenezávislý) stav v Heisenbergove obrazu. Pritom

∂tO(t) = i [H,O(t)] , O(t0) = OPodobne

P(ψ(t) → ψn) = P(λn, t) = |〈ψn |ψ(t)〉|2 = |〈ψn |U(t, t0)|ψ〉|

2

= |〈ψn(t)|ψ〉|2

kde |ψn(t)〉 = U(t, t0)+|ψn〉 je vlastní stav operátoru O(t)O(t)|ψn(t)〉 = λn |ψn(t)〉

V Heisenbergove obrazu algebra pozorovatelých lokalizována v case: kmerení v case t potrebujeme operátory O(t) a jejich vlastní stavy|ψn(t)〉. Stavy systému lokalizovány v pevném referencním case t0.


Symetrie

Dva pozorovatelé s ruznou volbou referencního casu t0 a t ′0 = t0 + Tpopíší v Heisenbergove obrazu stav téhoz systému jako |ψ〉 a |ψ′〉

|ψ′〉 = U(t ′0, t0)|ψ〉

Merení v case t popíší operátory O(t) a O′(t)

O(t) = U(t, t0)+OU(t, t0)O′(t) = U(t, t ′0)

+OU(t, t ′0)= U(t0, t ′0)

+U(t, t0)+OU(t, t0)U(t0, t ′0)= U(t ′0, t0)O(t)U(t ′0, t0)+

Nyní pro hamiltonián nezávislý na case

U(t, t ′0)+OU(t, t ′0) = U(t − t ′0 + t0, t0)+OU(t − t ′0 + t0, t0)

= O(t − T )


Symetrie

Takze sumárne

O′(t) = O(t − T ) = U(t ′0, t0)O(t)U(t ′0, t0)+

|ψ′〉 = U(t ′0, t0)|ψ〉Operátor U(t ′0, t0) realizuje translaci v case - elementární príkladsymetrie

Symetrie v kvantové teorii:

Symetrie obecne zobrazení mezi paprsky Hilberova prostoru H|ψ〉 → |ψ′〉

které zachovává pravdepodobnost prechodu

|〈ψn |ψ〉|2 =

∣∣〈ψ′n |ψ′〉∣∣2Wigneruv teorém

|ψ′〉 = U |ψ〉kde U je unitární nebo antiunitární operátor,


Symetrie

Pripomenme:

Unitární a antiunitární operátory definovány takto

〈Uψ|Uφ〉 =

〈ψ|φ〉, U unitární〈φ|ψ〉 = 〈ψ|φ〉∗, U antiunitární

Antiunitární operátor je antilineární

U (α|ψ〉+ β|φ〉) = α∗U |ψ〉+ β∗U |φ〉

Sdruzený operátor k antilineárnímu operátoru

〈ψ|U+|φ〉 = 〈φ|U |ψ〉 = 〈Uψ|φ〉∗

takze stejne jako pro unitární operátor

U+ = U−1


Symetrie

Symetrie a dynamika:

Operátor symetrie pusobí na stavy i operátory

|ψU 〉 = U |ψ〉OU (t) = UO(t)U+

U je symetrie systému, pokud je hamiltonián invariantní

HU = UHU+ = H

Pasivní interpretace: dva pozorovatelé, tentýz systém - pro obapozorovatele casový vývoj generován tím samým hamiltoniánem =invariance popisu casového vývoje

Aktivní interpretace: jeden pozorovatel, transformované stavy a merícíaparatury = stejné pravdepodobnosti prechodu za cas t mezipuvodními a transformovanými stavy


Symetrie

Amplitudy pravdepodobnosti prechodu

Pro U unitární

MUf ,Ui ≡ 〈f U |U(tf , ti )|iU 〉 = 〈Uf |U(tf , ti )|Ui〉= 〈f |U+ exp (−iH(tf − ti ))U |i〉= 〈f | exp

(−iU+HU(tf − ti )

)|i〉

= 〈f | exp (−iH(tf − ti )) |i〉= Mf ,i

Pro U antiunitární navíc casová inverze

MUf ,Ui ≡ 〈f U |U(tf , ti )|iU 〉 = 〈Uf |U(tf , ti )|Ui〉= 〈f |U+ exp (−iH(tf − ti ))U |i〉∗

= 〈f | exp(iU+HU(tf − ti )

)|i〉∗

= 〈f | exp (iH(tf − ti )) |i〉∗

= 〈i | exp (−iH(tf − ti )) |f 〉 =Mi ,f


Symetrie

Grupy symetrií

Kvantové symetrie obvykle odpovídají klasickým symetriím tvorícímgrupu (rotace, translace,...) GPripomenme axiomy grupy

∃e ∈ G , ∀g ∈ G : eg = ge = g∀g1, g2, g3 ∈ G , g1(g2g3) = (g1g2)g3

∀g ∈ G , ∃g−1 ∈ G : g−1g = gg−1 = e

Na Hilbertove prostoru H máme prirazení

g → U(g)

kopírující algebru grupy GProtoze stavy jsou paprsky urcené az na fázi, musí být

U(g1)U(g2)|ψ〉 = e iα(g1,g2,ψ)U(g1g2)|ψ〉


Symetrie

Tvrzení: Ve formuli U(g1)U(g2)|ψ〉 = e iα(g1,g2,ψ)U(g1, g2)|ψ〉 fázenezávisí na |ψ〉Dukaz:

e iα(g1,g2,ψ+φ)U(g1g2) (|ψ〉+ |φ〉)= U(g1)U(g2) (|ψ〉+ |φ〉)= U(g1)U(g2)|ψ〉+ U(g1)U(g2)|φ〉= e iα(g1,g2,ψ)U(g1g2)|ψ〉+ e iα(g1,g2,φ)U(g1g2)|φ〉

Odtud násobením zleva U(g1g2)+

e±iα(g1,g2,ψ+φ) (|ψ〉+ |φ〉) = e±iα(g1,g2,ψ+φ)|ψ〉+ e±iα(g1,g2,ψ+φ)|φ〉= e±iα(g1,g2,ψ)|ψ〉+ e±iα(g1,g2,φ)|φ〉

porovnáním koeficientu

α(g1, g2,ψ+ φ) = α(g1, g2,ψ) = α(g1, g2, φ) ≡ α(g1, g2)


Symetrie

Operátory U(g) tedy splnují

U(g1)U(g2) = e iα(g1,g2)U(g1g2)|tzv. projektivní repretentace grupy G . Dále budeme predpokládatα(g1, g2) = 0 a U(g) unitární reprezentace.Lieovy grupy: elementy g(θ) spojite parametrizovány konecnou sadouparametru θa, a = 1, 2, . . . , dimG a platí

g(θ)g(θ′) = g(f (θ, θ′))

g(0) = e

Cvicení: Ukazte, ze funkce f (θ, θ′) musí splnovat1 f (0, θ) = f (θ, 0) = θ2 f (θ′′, f (θ′, θ)) = f (f (θ′′, θ′), θ)

Odtud plyne rozvoj v θ, θ′

f (θ, θ′)a = θa + θ′a +Kbca θbθ′c + . . .


Symetrie

Nech ,t U(g(θ)) je unitární representace (t.j. α(g1, g2) = 0 aU(g(0)) = U(e) = 1). Rozvoj v θ dává

U(g(θ)) = 1+ iθaT a +12

θaθbTab + . . .

kde T ab = T ba a pro U(g(θ)) unitární je T a+ = T a. Máme tak

U(g(θ))U(g(θ′))

=

(1+ iθaT a +

12

θaθbTab + . . .

)(1+ iθ′cT

c +12

θ′c θ′dTcd + . . .

)= 1+ i(θa + θ′a)T

a +12

(θ′aθ′b + θaθb

)T ab − θaθ

′bT

aT b + . . .


Symetrie

Na druhé strane

U(g(θ))U(g(θ′)) = U(g(f (θ, θ′)))

= 1+ if (θ, θ′)aT a +12f (θ, θ′)af (θ, θ

′)bTab + . . .

f (θ, θ′)a = θa + θ′a +Kbca θbθ′c+

takze

U(g(θ))U(g(θ′)) = 1+ i(θa + θ′a)Ta + iK abc θaθ

′bT

c

+12

(θa + θ′a

) (θb + θ′b

)T ab + . . .

!= 1+ i(θa + θ′a)T

a +12

(θ′aθ′b + θaθb

)T ab

−θaθ′bT

aT b + . . .

Odtud kvadratické (i vyšší) cleny pomocí lineárních (tzv. generátoru T a)

T ab = −T aT b − iK abc T cJ. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 44 / 1311

Symetrie

Generátory splnují komutacní relace plynoucí zT ab = −T aT b − iK abc T c[

T a,T b]= if abc T

c

f abc = −K abc +K bac = −f bacf abc jsou tzv. strukturní konstanty grupy GPro N → ∞, a abelovskou grupu

f (θ, θ′)a = θa + θ′a

mámeU(g(

1N

θ)) ≈ 1+ i 1N

θaT a

a tak

U(g(1N

θ)N ) = U(g(1N

θ))N =

(1+ i

1N

θaT a)N

→ exp (iθaT a)


Symetrie

Na druhé strane

g(1N

θ)N = g(N × 1

Nθ

)→ g(θ)

tedyU(g(θ)) = exp (iθaT a) .

V neabelovské Lieove grupe lze vhodnou volbou parametru θa (tzv.exponenciální parametritace) dosáhnout toho, ze predchozí rovnicezustává v platnosti, tj.

U(g(θ)) = exp (iθaT a)

Cvicení: Ukazte, ze strukturní konstanty splnují tzv. Jacobiho identituf alk f

bcl + cykl(a, b, c) = 0


Lorentzova grupa

Definice

Lorentzova grupa ≡ grupa lineárních transformací prostorocasuzachovávající interval

s2 = (t − tz )2 − (x− xz )2 = (t ′ − t ′z )2 −(x′ − x′z

)2= s ′2

t cas, x ≡x i kartézské souradnice.rovnice s2 = 0 je rovnice kulové vlnoplochy šírící se rychlostí svetla zbodového zdroje zapnutého v case tz v bodu xz pro t > tz

Cvicení: Oznacme ∆x = (tx − txz , x− xz ) a podobne ∆y . Ukazte, zes2 = s ′2 práve kdyz ∀∆x ,∆y platí

∆x0∆y0 − ∆x·∆y = ∆x0′∆y0′ − ∆x′·∆y′


Lorentzova grupa

Ekvivalentní definice Lorentzovy grupy tedy zní: grupa lineárníchtransformací prostorocasu zachovávající

∆x ′ · ∆y ′ = ∆x · ∆y

kde

a · b = ηµνaµbν

η = diag (1,−1,−1,−1)

Nejobecnejší lineární transformace má tvar

x ′µ = Λµνx

ν + aµ

Λµν reálná matice 4× 4 aµ pevne zvolený ctyrvektor

tedy∆x ′µ = Λµ

ν∆xν


Lorentzova grupa

definující podmínka je tak ∀∆x , ∆y

ηµνΛµαΛν

β∆xα∆y β = ηαβ∆xα∆y β

resp.ηµνΛµ

αΛνβ = ηαβ

maticový zápis

Λµν ≡ Λ, ηµν ≡ η, xµ ≡ x , aµ ≡ a

Lorentzovy transformace mají tvar

x ′ = Λ · x + aΛT · η ·Λ = η

Oznacme Lorentzovu transformaci jako dvojici (Λ, a)


Lorentzova grupa

Cvicení: Ukazte, ze Lorentzovy transformace tvorí grupu vzhledem keskládání, spec. Λ2 ·Λ1 splnuje podmínku ΛT · η ·Λ = η pokud ji splnujíΛ2 a Λ1

1 skládání(Λ1, a1) · (Λ2, a2) = (Λ1 ·Λ2,Λ1 · a2 + a1)

2 jednotka (1, 0)3 inverzní prvek

(Λ, a)−1 =(Λ−1,−Λ−1 · a

)a Λ−1 vzdy existuje a splnuje ΛT · η ·Λ = η

4 platí asociativita skládání


Lorentzova grupa

Další vlastnosti:z (Λ1, a1) · (Λ2, a2) = (Λ1 ·Λ2,Λ1 · a2 + a1) plyne

Transformace (Λ, 0) tvorí podgrupu

(Λ1, 0) · (Λ2, 0) = (Λ1 ·Λ2, 0)

tzv. homogenní Lorentzova grupa L = O(1, 3)Transformace (1, a) tvorí podgrupu

(1, a1) · (1, a2) = (1, a1 + a2)

grupa prostorocasových translací T4

Cvicení: Ukazte, ze T4 je normální podgrupa


Lorentzova grupa

Vlastnosti L = O(1, 3)relace ΛT · η ·Λ = η - relace ortonormality sloupcu matice Λ(

Λ00

)2 −Λi0Λ

i0 = 1

Λ0iΛ

0j −Λk

iΛkj = −δij

Λ0iΛ

00 −Λk

iΛk0 = 0

celkem 10 = 4+(42

)relací. Pocet nezávislých parametru

dimO(1, 3) = 4× 4− 10 = 6T4 má 4 parametry, nehomogenní Lorentzova grupa má tak 10parametrudetΛT · η ·Λ = − (detΛ)2 = det η = −1, takze

detΛ = ±1matice s detΛ = 1 tvorí podgrupu L+ = SO(1, 3)


Lorentzova grupa

normalizace prvního sloupce dává(Λ0

0

)2= 1+Λi

0Λi0 ≥ 1

=⇒ Λ00 ≥ 1 ∨Λ0

0 ≤ −1

Prípad Λ00 ≥ 1 jsou tzv. ortochronní podrupu L↑ , vlastní

ortochronní tvorí podgrupu (souvislou komponentu jednotky) L↑+Cvicení: Ukazte, ze L↑ je podgrupa.

O(1, 3) se tedy rozpadá na ctyri souvislé komonenty

L↑+ 3 1, detΛ = 1,Λ00 ≥ 1

L↑− 3 P, detΛ = −1,Λ00 ≥ 1

L↓+ 3 PT , detΛ = 1,Λ00 ≤ −1

L↓− 3 T , detΛ = −1,Λ00 ≤ −1


Lorentzova grupa

Význacné representatny jednotlivých komponent

P = diag (1,−1− 1− 1)T = diag (−1, 1, 1, 1)PT = diag (−1,−1− 1− 1)

takzeL↑− = PL

↑+, L

↓+ = PTL

↑+, L

↓− = TL

↑+

η2 = 1 =⇒ ΛT · η ·Λ = η =⇒(η ·ΛT · η

)·Λ = 1 a

Λ−1 =(

η ·ΛT · η)

v indexech (ηµν = diag(1,−1,−1,−1))(Λ−1

)µ

ν= ηµαΛβ

αηβν = Λ µν

ΛµαΛ α

ν = δµν

Cvicení: Ukazte, ze platí také ΛµαΛν

βηαβ = ηµν.


Lorentzova grupa

Významné podgrupy

Grupa rotací: nech ,t R je 3× 3 matice. Pak

Λ(R) =(1 00 R

)

Λ(R)T · η ·Λ(R) =

(1 00 RT

)(1 00 −1

)(1 00 R

)=

(1 00 −RTR

)!=

(1 00 −1

)a tak RTR

!= 1 a R ∈ O(3) ⊂ O(1, 3). Vlastní rotace tvorí podgrupu

SO(1, 3).Jednoparametrické podgrupy rotací, napr. rotace kolem x3 o úhel φ

R3(φ) =

cos φ sin φ 0− sin φ cos φ 00 0 1


Lorentzova grupa

Boost ve smeru osy x3 rychlostí v (pasivne)

x ′0 = γ(x0 − vx3

), x ′1 = x1, x ′2 = x2, x ′3 = γ

(x3 − vx0

)maticove

B3(u) =

γ 0 0 −γv0 1 0 00 0 1 0−γv 0 0 γ

=

cosh u 0 0 − sinh u0 1 0 00 0 1 0

− sinh u 0 0 cosh u

kde Lorentzuv faktor a rapidita jsou

γ =1√1− v2

= cosh u, u =12ln(1+ v1− v

)Boosty B3(u) tvorí jednoparametrickou podgrupu s parametrem u, vizcvicení.


Lorentzova grupa

Cvicení: Ukazte, ze

R3(φ)R3(φ′) = R3(φ′)R3(φ) = R3(φ+ φ′)

B3(u)B3(u′) = B3(u′)B3(u) = B3(u + u′)

tj. rotace kolem osy a boost tvorí abelovské jednoparametricképodgrupy.Cvicení: Definujme "light cone" souradnice

x± = x0 ± x3

x⊥ = (x1, x2, 0)

Ukazte, ze pri boostu B3(u) je

x ′± = e∓ux±

x′⊥ = x⊥


Lorentzova grupa

Boost rychlostí v = vn

x ′0 = γ(x0 − v · x)x′‖ = γ

(x‖ − vx0

)x′⊥ = x⊥

kde x = x‖ + x⊥ a x‖ je projekce x do smeru v

x‖ =vvv2· x = nn · x

Maticove

Bn(u) =(

γ −γvnT

−γvn 1+ (γ− 1) nnT)


Lorentzova grupa

Rotace kolem osy n o úhel φ :

x′‖ = x‖x′⊥ = x⊥ cos φ− (n× x) sin φ

Rotace kolem osy n maticove

Rn(φ)0 j = Rn(φ)i 0 = 0, Rn(φ)00 = 1

Rn(φ)i j = ninj +(

δij − ninj)cos φ+ nk εkij sin φ

Rotace jsou ortogonální, tedy unitární. Boosty jsou symetrické, nejsouunitární!


Poincareho algebra

Infinitesimální Lorentzovy transformace

V okolí jednotky lze psát

Λµν = δ

µν +ω

µν

aµ = εµ

kde ωµ

ν a εµ jsou infinitesimálníPodmínka η = ΛT · η ·Λ dává do prvního rádu v ω

µν

ηµν = ηαβ

(δα

µ +ωαµ

) (δ

βν +ω

βν

)= ηµν +ωµν +ωνµ +O(ω2)

kde ωµν = ηµαωαν

Tedyωµν = −ωνµ

je antisymetrický tensor, 6 nezávislých komponent


Poincareho algebra

Prepišme Λµν = δ

µν +ω

µν ve tvaru

Λµν = δ

µν +

i2

ωαβ

(Mαβ

)µ

ν

kde (Mαβ

)µ

ν= −i

(ηµαδ

βν − ηµβδα

ν

)Vlastnosti Mαβ

Mαβ = −Mβα

[Mµν,Mαβ] = i(

ηµαMνβ − ηναMµβ + ηνβMµα − ηµβMνα)

Cvicení: Dokazte poslední identitu.

Matice Mαβ jsou generátory Lorentzových transformací v definujícírepresentaci


Poincareho algebra

Pro konecné ωαβ a N → ∞ je

Λµν

(ω

N

)= δ

µν +

i2

ωαβ

N

(Mαβ

)µ

ν

infinitesimální Lorentzova transformace. Soucin N takových transformacípro N → ∞ je Lorentzova transformace

Λ (ω) = limN→∞

(1+

i2

ωαβ

NMαβ

)N= exp

(i2

ωαβMαβ

)≡ exponenciální parametrizace Lonrentzovy grupy L↑+, šest nezávislýchkomponent ωαβ odpovídá šesti parametrum grupy L↑+


Poincareho algebra

Nech ,t U(Λ, a) ≡ U ((Λ, a)) je unitární representace (nehomogenní)Lorentzovy grupybudeme také psát

U(Λ) ≡ U ((Λ, 0)) , U(a) ≡ U((1, a))Pro Λ(ω) = exp

( i2ωαβMαβ

)do prvního rádu v ω

U (Λ(ω), ε) = 1+i2

ωαβJαβ + iεαPα +O(ω2, εω, ε2)

platíJαβ = −Jβα

a z unitarity (Jαβ)+= Jαβ, (Pα)+ = Pα

Jαβ a Pα predstavuje celkem 6+ 4 samosdruzených operátoru, budouodpovídat dulezitým fyzikálním pozorovatelným (impulsmoment,impuls, viz dále).


Poincareho algebra

Pokud známe generátory Jαβ a Pα, známe i U (Λ(ω)) proΛ(ω) ∈ L↑+ a U(a) pro (1, a) ∈ T4Protoze v exponenciální parametrizaci

Λ(ω) = exp(i2

ωαβMαβ

)=

(exp

(i2

ωαβ

NMαβ

))N= Λ

(ω

N

)Nje

U (Λ(ω)) = limN→∞

U(

Λ(ω

N

)N)= lim

N→∞U(

Λ(ω

N

))N= lim

N→∞

(1+

i2

ωαβ

NJαβ

)N= exp

(i2

ωαβJαβ

)Podobne, translace jsou abelovské, tj. zákon kompozice translací zníf (a, a′) = a+ a′ a tak

U(a) = exp(iaµPµ

)J. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 64 / 1311

Poincareho algebra

Transformacní vlasnosti generátoru

Spocteme U(Λ, a)U(Λ(ω), ε)U((Λ, a)−1

)do prvního rádu v ω, ε.

Máme na jedné strane

U(Λ, a)(1+

i2

ωαβJαβ + iεαPα

)U (Λ, a)+

Na druhé strane

U(Λ, a)U(Λ(ω), ε)U((Λ, a)−1

)= U(Λ, a)U(Λ(ω), ε)U

(Λ−1,−Λ−1a

)= U (Λ+Λω,Λε+ a)U

(Λ−1,−Λ−1a

)= U

(1+ΛωΛ−1,Λε+ a− a−ΛωΛ−1a

)= 1+

i2

(ΛωΛ−1

)µνJµν + i

(Λε−ΛωΛ−1a

)µPµ

= 1+i2

Λ αµ ωαβΛ β

ν Jµν + i(

Λ αµ εα −Λ α

µ ωαβΛ βν aν

)Pµ


Poincareho algebra

Dohromady

U(Λ, a)(1+

i2

ωαβJαβ + iεαPα

)U (Λ, a)+

= 1+i2

Λ αµ ωαβΛ β

ν Jµν + i(

Λ αµ εα −Λ α

µ ωαβΛ βν aν

)Pµ

Porovnáním koeficientu u ωαβ a εα dostaneme

U(Λ, a)JαβU (Λ, a)+ = Λ αµ Λ β

ν Jµν

−(

Λ αµ Λ β

ν −Λ βµ Λ α

ν

)aνPµ

U(Λ, a)PαU (Λ, a)+ = Λ αµ Pµ


Poincareho algebra

tj. Pµ je invariant vzhledem k translacím, Jµν nikoliv

U(1, a)JαβU (1, a)+ = Jαβ + aαPβ − aβPα

U(1, a)PαU (1, a)+ = Pα

nebo

U(1, a)+PαU (1, a) = Pα

U(1, a)+JαβU (1, a) = Jαβ −(aαPβ − aβPα

)Pro U(Λ), s uzitím Λ α

µ =(Λ−1

)α

µ, se Pµ a Jµν transformují

jako ctyrvektor a antisymetrický tensor:

U(Λ)+PµU(Λ) = ΛµνP

ν

U(Λ)+JµνU(Λ) = ΛµαΛν

βJαβ

Poslední forma zápisu transformacních vlasností je vhodná pro pasivníinterpretaci U(Λ, a) na prostoru stavu


Poincareho algebra

Príklad: Pasivní interpretace operátoru U(Λ)

Dva inerciální pozorovatelé, spojení Lorentzovou transformacíx ′ = Λ · x , popíšou stav téhoz systému jako|ψ〉 a |ψ′〉, kde

|ψ′〉 = U(Λ)|ψ〉strední hodnota operátoru Pµ namerená cárkovaným pozorovatelem

〈Pµ〉′ = 〈ψ′|Pµ|ψ′〉 = 〈ψ|U(Λ)+PµU(Λ)|ψ〉= 〈ψ|Λµ

νPν|ψ〉 = Λµ

ν〈Pν〉

podobne〈Jµν〉′ = Λµ

αΛνβ〈Jαβ〉

tedy strední hodnorty Pµ a Jµν se transformují jako ctyrvektor aantisymetrický tensor


Poincareho algebra

Algebra generátoru

dosa,dme Λ = 1+ω, a = ε, tj. U(Λ, a)→ 1+ i

2ωµνJµν + iεµPµ do

U(Λ, a)JαβU (Λ, a)+ = Λ αµ Λ β

ν Jµν −

(Λ α

µ Λ βν −Λ β

µ Λ αν

)aνPµ

Do prvního rádu

LHS = Jαβ +i2

ωµν

[Jµν, Jαβ

]+ iεµ

[Pµ, Jαβ

]RHS = Jαβ + (ω α

µ δβν + δα

µωβ

ν )Jµν −(

δαµδ

βν − δ

βµδα

ν

)ενPµ

= Jαβ +ωµν(ηναJµβ + ηµβJνα)−

(Pαηβµ − Pβηαµ

)εµ

porovnáním[Jµν, Jαβ

]= i

(ηµαJνβ − ηναJµβ + ηνβJµα − ηµβJνα

)[Pµ, Jαβ

]= i



Poincareho algebra

Podobne dosa,dme Λ = 1+ω, a = ε, tj.

U(Λ, a)→ 1+ i2ωµνJµν + iεµPµ do

U(Λ, a)PαU (Λ, a)+ = Λ αµ Pµ

Do prvního rádu

LHS = Pα +i2

ωµν [Jµν,Pα] + iεµ [Pµ,Pα]

RHS = Pα +ω αµ Pµ = Pα +

12

ωµν (ηναPµ − ηµαPν)

porovnáním

[Pµ,Pα] = 0

[Jµν,Pα] = −i (ηναPµ − ηµαPν)

poslední komutátor je tentýz z predchozího kroku


Poincareho algebra

Algebra generátoru nehomogenní Lorentzovy grupy je tedy[Jµν, Jαβ

]= i


)[Pµ, Jαβ

]= i


)[Pµ,Pα] = 0

tzv. Poincareho algebra

Cvicení: Ukazte, ze operátory

M2 = PµPµ = ηµνPµPν

W 2 = W µWµ = ηµνWµW ν

kde W je tzv. Pauli-Lublanského vektor

W µ = −12

εµναβPνJαβ

komutují se všemi generátory nehomogenní Lorentzovy grupy


Representace Lorentzovy grupy

Pro kostrukci relativistické teorie budeme potrebovat vedet

1 Jak se ruzné fyzikální veliciny transformují vzhledem k Lorentzovýmtransformacím

2 Jak vytváret z ruzne se transformujících objektu relativistickéinvarianty

Obecné pozorovatelné budou prvky vektorového prostoru, na nemz jedefinována nejaká representace Lorentzovy grupy, a tedy algebrygenerátoru Jµν. Dále budeme klasifikovat representace této algebry



Interpretace generátoru Jµν

Definujme

J i = −12

εijkJ jk ,(J jk = −εijkJ i

)N i = J i0 = −J0i

Cvicení: Ukazte, ze v definující representaci

J i =

(0 00 −iεilm

)=(J i)+= −J iT

N i =

(0 iδiliδil 0

)= −

(N i)+= N iT

Cvicení: Ukazte, ze v definující representaci dostaneme exponecializacíboost ve smeru n a rapiditou u a rotace kolem osy n o úhel φ, tj.

exp (iun ·N) = Bn(u)

exp (iφn · J) = Rn(φ)



J i jsou tedy generátory rotací kolem i-té osy, N i jsou generátoryboostu ve smeru i-té osy

Cvicení: Ukazte, ze J i a N i splnují komutacní relace[J i , J j

]= iεijkJk[

J i ,N j]= iεijkNk[

N i ,N j]= −iεijkJk

Tedy N i tvorí komponenty vektoru vzhledem k rotacím ainfinitesimální boosty nekomutují (Thomasova precese)



"Propletené" komutacní relace pro J i a N i lze "rozplést" prechodemk novým generátorum

Li =12

(J i + iN i

), R i =

12

(J i − iN i

)Cvicení: Ukazte, ze [

Li ,R j]= 0[

Li , Lj]= iεijkLk[

R i ,R j]= iεijkRk

Nové generátory jsou hermitovské, pokud J i+ = J i , N i+ = −N i , totobudeme predpokládatKlasifikace representací algebry generátoru Jµν je tedy prevedena naproblém klasifikace representací algebry Li a R i , coz je formálnealgebra dvou nezávislých impulsmomentu (resp. prímé sumy dvouexempláru Lieovy algebry grupy rotací SO(3) resp. SU(2))



Rešení posledního problému dobre známé. Hilbertuv prostor HL, nanemz jsou representovány komutacní relace[

Li , Lj]= iεijkLk

Li+ = Li

se rozpadá na prímou sumu ireducibilních representací

HL = ⊕j ,AH(j)L,A

kde j je celé nebo polocelé,

dimH(j)L,A = 2j + 1



base v H(j)L,A je tvorena vektory|j ,m,A〉, m = −j ,−j + 1, . . . , j − 1, j

pro nez platí

L2|j ,m,A〉 = j(j + 1)|j ,m,A〉L3|j ,m,A〉 = m|j ,m,A〉

a pro L± = L1 ± iL2

L±|j ,m,A〉 = α±(j ,m)|j ,m± 1,A〉

α±(j ,m) =√(j ∓m) (j ±m+ 1)

Stejne pro algebru R i máme HR = ⊕j ,AH(j)R ,A(multi) index A odpovídá vlasním císlum nejaké úplné mnozinykomutujících operátoru (komutujících s Li , resp. s R i ), která obsahujeL2 a L3 resp. R2 a R3. Tedy A rozlišuje jednotlivé exempláre s týmz j .



Li a R i nezávislé =⇒ representacní prostor je tak

H = HL ⊗HR =(⊕jL ,AH

(jL)L,A

)⊗(⊕jR ,BH

(jR )R ,B

)= ⊕jL ,A,jR ,B

(H(jL)L,A ⊗H

(jR )R ,B

)Ireducibilní representace odpovídají podprostorumH(jL ,jR )A,B =

H(jL)L,A ⊗H(jR )R ,B ,

dimH(jL ,jR )A,B = dimH(jL)L,A ⊗H(jR )R ,B = (2jL + 1)(2jR + 1)

s basí|jL,mL,A〉|jR ,mR ,B〉

a s identifikací

Li → Li ⊗ 1R i → 1⊗ R i

standardní znacení D(jL ,jR )J. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 78 / 1311


Generátory rotací a boostu jsou pak

J i = Li + R i =(J i)+

N i = i(R i − Li

)= −

(N i)+

Jak víme, J i tvorí podalgebru. Representace této podalgebry naH(jL)L,A ⊗H

(jR )R ,B je reducibilní. Slozením dvou nezávislých

"impulsmomentu" Li a R i velikosti jL a jR se dostanou všechnyimpulsmomenty J i pro nez

j = |jL − jR | , |jL − jR |+ 1, . . . , jL + jR

tedy H(jL)L,A ⊗H(jR )R ,B se rozpadá na ireducibilní representace podalgebry

J i

H(jL)L,A ⊗H(jR )R ,B = ⊕

jL+jRj=|jL−jR |H

(j)



base v H(j) pomocí Clebshových-Gordanových koeficientu

|jL, jR , j ,m〉 = ∑mL ,mR

(jL,mL, jR ,mR |j ,m)|jL,mL,A〉|jR ,mR ,B〉

a standardne

J2|jL, jR , j ,m〉 = j(j + 1)|jL, jR , j ,m〉J3|jL, jR , j ,m〉 = m|jL, jR , j ,m〉J±|jL, jR , j ,m〉 = α±(j ,m)|jL, jR , j ,m± 1〉

D(jL ,jR ) tedy indukuje reducibilní representaci generátoru rotací(komponent impulsmomentu) se spinem

j = |jL − jR | , |jL − jR |+ 1, . . . , jL + jR



Príklady ireducibilních representací D(jL ,jR )

D(0,0), dimH(0,0) = 1 , generátory

Li = R i = J i = N i = 0

exponecializací U(Λ) = 1, tato representace predstavuje invariant(skalár), nese spin 0D(1/2,0), dimH(1/2,0) = 2,

Li =12

σi

R i = 0

kde

σ1 =

(0 11 0

), σ2 =

(0 −ii 0

), σ3 =

(1 00 −1

)jsou Pauliho matice.



Pak

J i = Li + R i =12

σi

N i = i(R i − Li

)= − i

2σi

elementy ψL ∈ H(1/2,0) ≈ C2 jsou tzv. levé Weylovy spinory.Representace nese spin 1/2Oznacme φ ≡ φn, u ≡ un a pišme

12

ωαβJαβ = φ · J+ u ·N

Exponencializací pak pro Λ(ω) = exp( i2ωαβMαβ

)máme

UL (Λ) = exp(i2

σ · (φ− iu))




UL (Rn (φ)) = cosφ

2+ i

σ ·φφ

sinφ

2

UL (Bn (u)) = coshu2+

σ · uu

sinhu2

Odtud plyneUL (Rn (2π)) = −1

ale Rn (2π) = 1, UL tedy není representace L↑+, je to tzv. dvojznacnárepresentace, viz dále.



D(0,1/2), dimH(0,1/2) = 2,

Li = 0

R i =12

σi

Pak

J i = Li + R i =12

σi

N i = i(R i − Li

)=i2

σi

elementy ψR ∈ H(0,1/2) ≈ C2 jsou tzv. pravé Weylovy spinory.Representace nese spin 1/2



Exponencializací pak pro Λ(ω) = exp( i2ωαβMαβ

)máme

UR (Λ) = exp(i2

σ · (φ+ iu))

Platí

UR (Rn (φ)) = UL (Rn (φ)) = cosφ

2+ i

σ ·φφ

sinφ

2

UR (Bn (u)) = UL (Bn (−u)) = coshu2− σ · u

usinh

u2

opet dvojznacná representace.



D(1/2,1/2), dimH(1/2,1/2) = 4, H(1/2,1/2) = H(1/2,0) ⊗H(0,1/2)

Li = R i =12

σi

J i =12

(σi ⊗ 1+ 1⊗ σi

)N i =

i2

(1⊗ σi − σi ⊗ 1

)U(Λ) = UL(Λ)⊗ UR (Λ)

representace nese spin 0 a 1. Jak dále ukázeme, tato representace jeekvivalentní definující representaci, elementy prostoru H(1/2,1/2) jsouv jednoznacné relaci s ctyrvektory.



D(0,1/2) ⊕D(1/2,0), reducibilní representace,dimH(0,1/2) ⊕H(1/2,0) = 4

H(0,1/2) ⊕H(1/2,0) 3 ψ =

(ψRψL

)

J i =12

(σi 00 σi

), N i =

i2

(σi 00 −σi

)Exponencializace pro Λ(ω) = exp

( i2ωαβMαβ

)dává

S(Λ) =(UR (Λ) 00 UL(Λ)

)ψ ∈ H(0,1/2) ⊕H(1/2,0) ≈ C4 jsou tzv. Diracovy (bi)spinory.representace nese spin 1/2, obsahuje reducibilní representaci grupyrotací (dva exempláre se spinem 1/2)



Poznámka:

Representace D(0,1/2) a D(1/2,0) umoznují sestrojit všechny ostatníireducibilní representace tzv. tensorovou metodou, tj. rozklademtensorových soucinu techto representací na ireducibilní komponenty.Napr. jak jiz víme

D(1/2,0) ⊗D(0,1/2) = D(1/2,1/2)

ale také napr. (pomocí Clebshovy-Gordanovy rady pro slození dvouspinu 1/2

D(1/2,0) ⊗D(1/2,0) = D(0,0) ⊕D(1,0)

Obecne D(j ,0) a D(0,j) obdrzíme jako symetrizovný tensorový soucin2j levých (pravých) spinorových representací

D(j ,0) = Sym(D(1/2,0)

)⊗2jD(0,j) = Sym

(D(0,1/2)

)⊗2jJ. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 88 / 1311


Vskutku, Sym(D(0,1/2)

)⊗2jobsahuje stav

|j , j〉 ≡ |0, 0〉|1/2, 1/2〉 ⊗ . . .⊗ |0, 0〉|1/2, 1/2〉

pro nejz R3 ≡(R3(1) + R

3(2) + . . .+ R3(2j)

)má vlastní hodnotu

m = 2j × 12 = j

Elementy Sym(D(0,1/2)

)⊗2jjsou totálne symetrické objekty s 2j

(pravými) spinorovými indexy D(0,j) 3 ψα1α2 ...α2j = ψσ(α1)σ(α2)...σ(α2j )transformující se podle predpisu

ψ′α1α2 ...α2j = (UR )β1α1(UR )

β2α2

. . . (UR )β2jα2j ψβ1β2 ...β2j

Cvicení: Ukazte, ze totálne symetrický tensor rádu 2j ve dvou dimenzíchmá práve 2j + 1 nezávislých komponent.Ukazte, ze vlastnost symetrie sezachovává pri Lorentzových transformacích.



Nekonecnomerné representace:

Na prostoru funkcí prostorocasových souradnic φ (x) definujmediferenciální operátory

Lµν = −i (xµ∂ν − xν∂µ)

Cvicení: Ukazte, ze platí[Lµν, Lαβ

]= i

(ηµαLνβ − ηναLµβ + ηνβLµα − ηµβLνα

)Tedy Lµν tvorí nekonecnedimenzionální representaci generátoruJµν Lorentzovy grupy



Infinitesimální Lorentzova transformace pusobí na φ (x) takto(1+

i2

ωαβLαβ

)φ (x) = φ (x)−ωβαx

α∂βφ (x)

= φ (x)−(

ωβ

αxα)

∂βφ (x)

= φ (x)− i2

ωµν (Mµν)βα x

α∂βφ (x)

= φ

((1− i

2ωµνMµν

)· x)

exponencializace dává

exp(i2

ωαβLαβ

)φ (x) = φ (Λ (−ω) · x) = φ

(Λ (ω)−1 · x

)kde jsme uzili

Λ (−ω) = exp(− i2

ωαβMαβ

)=

(exp

(i2

ωαβMαβ

))−1= Λ (ω)−1



Zobecnení: φ(x) nabývá hodnot v nejaké konecnomerné representaciD Lorentzovy grupy a pišme

J µν = Lµν + Sµν

kde Sµν jsou generátory Lorentzovy grupy v této representaci. PakJµν tvorí nekonecnedimenzionální representaci generátoru Lorentzovygrupy[

J µν,J αβ]= i

(ηµαJ νβ − ηναJ µβ + ηνβJ µα − ηµβJ να

)a máme

exp(i2

ωαβJ αβ

)φ (x) = D (Λ) · φ

(Λ−1 · x

)kde

D (Λ) = exp(i2

ωαβSαβ



Poslední formule predstavuje nejobecnejší transformaci klasickýchrelativistických polí. Volbou x → Λ · x ji muzeme psát jakosoucasnou transformaci polí a souradnic

x ′ = Λ · xφ′(x ′) = D(Λ) · φ(x)

Príklady:

Skalární pole, D = D(0,0), Sµν = 0, D(Λ) = 1

φ′(x ′) = φ(x)

Vektorové pole, D ≈ D(1/2,1/2), Sµν = Mµν, D(Λ) = Λ

V µ′(x ′) = ΛµνV

ν(x)

Pravé (levé) spinorové pole (Weyluv spinor) D = D(0,1/2)(resp.D(1/2,0)), S ij = − 12 εijkσk , S i0 = ± i

2σi , D(Λ) = UR ,L(Λ)

ψ′R ,L(x′) = UR ,L(Λ) · ψR ,L(x)



Další príklady:

Diracovo (bi)spinorové pole, D = D(0,1/2) ⊕D(1/2,0), Sµν = − 12σµν

(viz dále), D(Λ) = diag (UR (Λ),UL(Λ)) ≡ S(Λ)ψ′(x ′) = S(Λ)ψ(x)

Derivace skalárního pole se transformuje jako vektorové pole:

∂′µφ′(x ′) = ∂′µxα∂αφ′(x ′) = ∂′µx

α∂αφ(x)

alexα =

(Λ−1

)α

β· x ′β = Λ α

β x ′β

tj.∂′µφ′(x ′) = Λ α

µ ∂αφ(x), ∂′µφ′(x ′) = Λµα∂αφ(x)

Nebo také symbolicky

∂′µ = Λ αµ ∂α, ∂′µ = Λµ

α∂α,


Diracovy matice

I. Matice σµ, σµ

Definujme

σµ =(1, σi

)σµ =

(1,−σi

)kde σi jsou Pauliho matice. Pripomenme

σi , σj= 2δij ,

[σi , σj

]= 2iεijkσk , Tr

(σi)= 0 , σi+ = σi

Platí

σµσν + σνσµ = 2ηµν

σµσν + σνσµ = 2ηµν

Tr (σµσν) = 2ηµν

Cvicení: Dokazte.


Diracovy matice

Pro σµ, σµ platí

UR (Λ)+σµUR (Λ) = Λµνσν

UL(Λ)+σµUL(Λ) = Λµνσν

Dokázeme první identitu (druhá analogicky). Máme

UR (Λ) = limN→∞

(1+

i2N

σ · (φ+ iu))N

takze

UR (Λ)+σµUR (Λ)

= limN→∞

(1− i

2Nσ · (φ− iu)

)Nσµ

(1+

i2N

σ · (φ+ iu))N


Diracovy matice

Do prvního rádu v 1/N(1− i

2Nσ · (φ− iu)

)σµ

(1+

i2N

σ · (φ+ iu))

= σµ − i2N

[σ ·φ,σµ]− 12Nσ · u, σµ

ale [σi ,

(σ0

σj

)]=

(0

2iεijkσk

)=

= −2(0 00 −iεijk

)(σ0

σj

)= −2J i

(σ0

σj

)kde

J i =(0 00 −iεijk

)jsou generátory rotací v definující representaciJ. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 97 / 1311

Diracovy matice

Podobneσi ,

(σ0

σj

)=

(2σi

2δij

)= −2i

(0 iδij

iδij 0

)(σ0

σj

)= −2i

(N i)µ

νσν

kde

N i =(

0 iδij

iδij 0

)jsou generátory boostu v definující representaci.


Diracovy matice

Celkem (1− i

2Nσ · (φ− iu)

)σµ

(1+

i2N

σ · (φ+ iu))

= σµ − i2N

[σ ·φ,σµ]− 12Nσ · u, σµ

=

(δ

µν +

iN(J ·φ)µ

ν +iN(N · u)µ

ν

)σν

N− násobnou iterací a limitou N → ∞ dostaneme


kdeΛ = exp (i (J ·φ) + i (N · u))


Diracovy matice

II. Bilineární výrazy pro Weylovy spinory

Formulky



ukazují, ze pro dva pravé spinory ψ(1)R a ψ

(2)R se velicina

ψ(1)+R σµψ

(2)R

transformuje jako ctyrvektor(ψ(1)+R σµψ

(2)R

)′= ψ

(1)+R UR (Λ)+σµUR (Λ)ψ

(2)R = Λµ

νψ(1)+R σµψ

(2)R

totéz platí proψ(1)+L σµψ

(2)L


Diracovy matice

Z levého a pravého spinoru lze konstruovat skaláry ψ+R ψL a ψ+L ψRVskutku, uvázíme-li relace

UR ,L(Λ)+ = exp(i2

σ · (φ± iu))+

= exp(− i2

σ · (φ∓ iu))

tj.UR ,L(Λ)+ = UL,R (Λ)

−1

máme pri Lorentzove transformaci(ψ+R ψL

)′= ψ+RUR (Λ)

+UL (Λ)ψL = ψ+RUL (Λ)−1 UL (Λ)ψL = ψ+R ψL

a podobne pro ψ+L ψR


Diracovy matice

Formulkaσ2σiT σ2 = σ2σi∗σ2 = −σi

implikuje

σ2UR ,L (Λ)T σ2 = σ2 exp

(i2

σT · (φ± iu))

σ2

= exp(i2

σ2σT σ2 · (φ± iu))

= exp(− i2

σ · (φ± iu))

tedyσ2UR ,L (Λ)

T σ2 = UR ,L(Λ)−1


Diracovy matice

Tak máme další skaláry ze dvou pravých (levých) spinoru:

ψ(1)TR σ2ψ

(2)R a ψ

(1)TL σ2ψ

(2)L(

ψ(1)TR σ2ψ

(2)R

)′= ψ

(1)TR UR (Λ)

T σ2UR (Λ)ψ(2)R

= ψ(1)TR σ2σ2UR (Λ)

T σ2UR (Λ)ψ(2)R

= ψ(1)TR σ2UR (Λ)−1UR (Λ)ψ

(2)R = ψ

(1)TR σ2ψ

(2)R

podobne

σ2UR ,L (Λ)∗ σ2 = σ2 exp

(− i2

σ∗ · (φ∓ iu))

σ2

= exp(i2

σ · (φ∓ iu))= UL,R (Λ)

tj.σ2UR ,L (Λ)

∗ σ2 = UL,R (Λ)

komplexne sdruzená pravá representace je ekvivalentní levé a naopak,J. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 103 / 1311

Diracovy matice

Sumárne pro spinorové bilineární výrazy:

1 skaláry ze spinoru téhoz typu:

ψ(1)TR σ2ψ

(2)R , ψ

(1)TL σ2ψ

(2)L

2 ctyrvektory ze spinoru téhoz typu

ψ(1)+R σµψ

(2)R , ψ

(1)+L σµψ

(2)L

3 skaláry ze spinoru ruzných typu

ψ+R ψL, ψ+L ψR

4 V techto formulích lze zamenit ψL,R → σ2ψ∗R ,L


Diracovy matice

III. Bilineární výrazy pro Diracovy bispinory

pripomenme

ψ =

(ψRψL

)∈ D(0,1/2) ⊕D(1/2,0)

definujme 4× 4 matici γ5 (zapsanou v blocích 2× 2)

γ5 ≡(1 00 −1

)= γ5+,

(γ5)2= 1

potom

1+ γ5

2ψ ≡ P+ψ =

(ψR0

)≡ ψR

1− γ5

2ψ ≡ P−ψ =

(0

ψL

)≡ ψL

Cvicení : Ukazte, ze P± jsou projektory, tj. (P±)+ = P±, P2± = P± a ze

P+P− = P−P+ = 0J. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 105 / 1311

Diracovy matice

definujme 4× 4 matici γ0 (zapsanou v blocích 2× 2)

γ0 =

(0 11 0

)= γ0+,

(γ0)2= 1

pak máme pro dva bispinory skalární bilineární kombinaci

ψ(1)ψ(2) ≡ ψ(1)+γ0ψ(2) =(

ψ(1)+R ,ψ

(1)+L

)( 0 11 0

)(ψ(2)R

ψ(2)L

)= ψ

(1)+R ψ

(2)L + ψ

(1)+L ψ

(2)R

kde definujeme diracovsky sdruzený spinor ψ

ψ ≡ ψ+γ0 =(ψ+L ,ψ

+R

)podobne další nezávislý invariant

ψ(1)γ5ψ(2) =(ψ+L ,ψ

+R

) ( 1 00 −1

)(ψ(2)R

ψ(2)L

)= ψ

(1)+L ψ

(2)R −ψ

(1)+R ψ

(2)L


Diracovy matice

pro konstrukci ctyrvektoru muzeme psát

ψ(1)+(

σµ 00 σµ

)ψ(2) = ψ

(1)+R σµψ

(2)R + ψ

(1)+L σµψ

(2)L

totéz, pomocí diracovsky sdruzeného spinoru ψ ≡ ψ+γ0 (pripomenme(γ0)2= 1)

ψ(1)γ0(

σµ 00 σµ

)ψ(2) = ψ(1)γµψ(2)

kde jsme definovali tzv. Diracovy matice γµ

γµ = γ0(

σµ 00 σµ

)=

(0 σµ

σµ 0

)podobne další nezávislý ctyrvektor

ψ(1)γµγ5ψ(2) = ψ(1)+R σµψ

(2)R − ψ

(1)+L σµψ

(2)L


Diracovy matice

IV. Vlastnosti Diracových matic

spocteme antikomutátor Diracových matic

γµ,γν =

(0 σµ

σµ 0

)(0 σν

σν 0

)+ (µ↔ ν)

=

(σµσν 00 σµσν

)+ (µ↔ ν)

=

(σµσν + σνσµ 0

0 σµσν + σνσµ

)= 2ηµν1

algebra matic, splnujících

γµ,γν = 2ηµν

je tzv. Cliffordova algebra grupy O(1, 3). Naše konkrétní matice γµ

γµ =

(0 σµ

σµ 0

)pedstavují tzv. chirální representaci této algebry


Diracovy matice

Nech ,t γµ splnují relace γµ,γν = 2ηµν. Definujme

σµν =i2[γµ,γν] = −σνµ

spocteme komutátor[σµν, σαβ

]. S uzitím

[AB,C ] = A [B,C ] + [A,C ]B, [A,BC ] = A,BC −B A,C

je

[γµγν,γαγβ] = γµ[γν,γαγβ] + [γµ,γαγβ]γν

= γµ(2ηναγβ − 2ηνβγα

)+(2ηµαγβ − 2ηµβγα

)γν


Diracovy matice

tedy

[γµγν,γαγβ] = 2ηµαγβγν − 2ηµβγαγν

+2ηναγµγβ − 2ηνβγµγα

odtud

[i2[γµγν] ,γαγβ]

= i(

ηµα[γβ,γν

]− ηµβ [γα,γν] + ηνα

[γµ,γβ

]− ηνβ [γµ,γα]

)= −[ i

2[γµγν] ,γβγα]⇒[

σµν, σαβ]= −2i

(ηµασνβ − ηµβσνα + ηνβσµα − ηνασµν

)Tedy matice − 12σµν komutují jako generátory Lorentzovy grupy


Diracovy matice

Cvicení: Ukazte, ze v chirální representaci γ−matic

γµ =

(0 σµ

σµ 0

)platí

σµν =i2

(σµσν − σνσν 0

0 σµσν − σνσν

)J i =

14

εijkσjk =12

(σi 00 σi

)N i = −1

2σi0 =

i2

(σi 00 −σi

),

tj. matice − 12σµν jsou nám uz známé generátory representaceD(0,1/2) ⊕D(1/2,0).


Diracovy matice

Pomocí γµ lze sestrojit matice αi a β pro Diracovu rovnici

αι = γ0γi , β = γ0

Diracovu rovnicii∂0ψ =

(−iαi∂i + βm

)ψ

lze psát po vynásobení γ0 zleva

iγ0∂0ψ =(−iγ0αi∂i + γ0βm

)ψ =

(−iγi∂i +m

)ψ

tj. (iγµ∂µ −m

)ψ = 0

Cvicení: Presvedcte se, ze αι = γ0γi , β = γ0 splnují

αi , αj= 2δij ,

β2 = 1,

β, αi= 0 a ze jsou hermitovské.


Diracovy matice

V chirální representaci máme

(iγµ∂µ −m

)ψ =

(i(0 σµ

σµ 0

)∂µ −m

(1 00 1

))(ψRψL

)=

(iσµ∂µψL −mψRiσµ∂µψR −mψL

)tedy pro m 6= 0 máme soustavu rovnic pro Weylovy spinory

iσµ∂µψL −mψR = 0, iσµ∂µψR −mψL = 0

m 6= 0 je zodpovedná za propojení techto rovnic tj. vazbu levých apravých komponent bispinoru ψ.


Diracovy matice

Pro m = 0 (tzv. chirální limita) dostaneme sadu nezávislých rovnic -tzv. Weylovy rovnice

iσµ∂µψL = 0 , iσµ∂µψR = 0

Levá a pravá komponenta se vyvíjejí nezávisle

Tedy cástice s nulovou hmotou lze popsat pouze jedním Weylovýmspinorem (levým nebo pravým) splnujícím Weylovu rovnici, napr. pronehmotné neutrino levý spinor ψL

iσµ∂µψL = 0

Cvicení: Ukazte, ze hledáme-li rešení predchozí rovnice ve tvaru rovinnévlny ψp(x) = uL(p) exp (−iE (p)t + ip · x), pak E = ± |p|


Diracovy matice

Pro Diracovy γ - matice

γµ =

(0 σµ

σµ 0

)máme (pripomenme σ0 = σ0, σi = −σi )

γ0+ = γ0

γi+ = −γi = γ0γiγ0

Trγµ = 0

Cvicení: Ukazte, ze Diracova algebra γµ,γν = 2ηµν a tyto vlastnostijsou invariantní vzhledem k unitární transformaci

γµ′ = UγµU+, UU+ = U+U = 1


Diracovy matice

pro antikomutátor γ5 a γµ

γ5,γµ

=

(1 00 −1

)(0 σµ

σµ 0

)+

(0 σµ

σµ 0

)(1 00 −1

)=

(0 σµ

−σµ 0

)+

(0 −σµ

σµ 0

)= 0

tato vlastnost je opet invariantní vzhledem k unitárním transformacímCvicení: Ukazte, ze platí

γ5 = iγ0γ1γ2γ3

Ukazte, ze pro takto definovanou γ5 platí relace

γ5,γµ= 0 a(

γ5)2= 1 nezávisle na representaci (tj. pouze jako dusledek algebry

γµ,γν = 2ηµν).


Diracovy matice

Stopy monomu z γ− matic jsou urceny jednoznacne pomocí algebrya Tr1.spocteme

Trγµ1 . . . γµk = Tr(γ5)2

γµ1 . . . γµk

= Trγ5γµ1 . . . γµk γ5

= (−1)k Tr(γ5)2

γµ1 . . . γµk

= (−1)k Trγµ1 . . . γµk

TedyTrγµ1 . . . γµ2k+1 = 0

kde jsme uzili(γ5)2= 1 a cyklicnost stopy


Diracovy matice

dále

Trγµ1 . . . γµ2k = 2ηµ1µ2Trγµ3 . . . γµ2k − Trγµ2γµ1 . . . γµ2k

= 2ηµ1µ2Trγµ3 . . . γµ2k − 2ηµ1µ3Trγµ2γµ4 . . . γµ2k

+ . . .− Trγµ2γµ1 . . . γµ2k γµ1

coz je rekurentní formule pro stopy sudých monomu


Trγµγν = 4ηµν

Trγµγνγaγβ = 4(

ηµνηαβ − ηµαηνβ + ηµβηνα)

Trγµγνγαγβγ5 = −4iεµναβ


Diracovy matice

Poznámky k representacím Cliffordovy algebry:

Libovolná representace Cliffordovy algebry γµ,γν = 2ηµν mádimenzi ≥ 4Representace dimenze 4 jsou ireducibilní

Platí Pauliho lemma: Pro kazdé dva systémy 4× 4 matic γµ a γ′µ, pro nez

γµ,γν = 2ηµνγ′µ,γ′ν

= 2ηµν

existuje nesingulární matice S taková, ze

γ′µ = SγµS−1


Diracovy matice

Tedy všechny representace dimenze 4 jsou ekvivalentní chirálnírepresentaci (SγµS−1 znamená jen zmenu baze v representacnímprostoru)

γµ =

(0 σµ

σµ 0

)Jiné representace: Diracova

γ0 =

(1 00 −1

), γi =

(0 σi

−σi 0

)Majoranova - všechny γ matice ryze imaginární

γ0 =

(0 σ2

σ2 0

), γ1 =

(iσ3 00 iσ3

)γ2 =

(0 −σ2

σ2 0

), γ3 =

(−iσ1 00 −iσ1


Diracovy matice

16 matic ΓA, A = 1, 2, . . . , 16, kde

ΓA = 1,γ5,γµ,γµγ5, σµν

a kde

γ5 = iγ0γ1γ2γ3, σµν =i2[γµ,γν]

jsou1 lineárne nezávislé2 TrΓA = 0 s výjimkou Γ1 ≡ 13 Γ2A = ±1 ≡ εA4 Pro kazdou ΓA existuje ΓB tak, ze ΓA, ΓB = 05 Pro kazdé dve matice ΓA a ΓB existuje ΓC tak, ze ΓAΓB = ±(i)ΓC6 Libovolnou 4× 4 matici M lze psát ve tvaru

M =14

16

∑A=1

εAΓATr (MΓA)


Diracovy matice

V. Relativistická invariance Diracovy rovnice

Ukázeme, ze pro Diracovy matice platí

S (Λ)−1 γµS (Λ) = Λµνγν

kde S(Λ)je bispinorová representace Lorentzovy grupy

S(Λ) =(UR (Λ) 00 UL(Λ)

)Pripomenme, ze platí

U−1R ,L = U+L,RUR (Λ)+σµUR (Λ) = Λµ

νσν



Diracovy matice

Explicite tak

S (Λ)−1 γµS (Λ)

=

(UR (Λ)−1 0

0 UL(Λ)−1

)γ

(UR (Λ) 00 UL(Λ)

)=

(UL(Λ)+ 00 UR (Λ)+

)(0 σµ

σµ 0

)(UR (Λ) 00 UL(Λ)

)=

(0 UL(Λ)+σµ

UR (Λ)+σµ 0

)(UR (Λ) 00 UL(Λ)

)=

(0 UL(Λ)+σµUL(Λ)

UR (Λ)+σµUR (Λ) 0

)= Λµ

νγν


Diracovy matice

Pomocí γ−matic (iγµ∂µ −m

)ψ(x) = 0

nech ,t ψ(x) je Diracuv bispinor, potom pri Lorentzove transformaci

x ′ = Λ · x , ψ′(x ′) = S(Λ)ψ(x), ∂′µ = Λ νµ ∂ν,

S (Λ)−1 γµS (Λ) = Λµνγν

a protoze Λ νµ Λµ

α =(Λ−1

)ν

µΛµ

α = δνα, máme(

iγµ∂′µ −m)

ψ′(x ′) =(iγµΛ ν

µ ∂ν −m)S(Λ)ψ(x)

= S (Λ) S (Λ)−1(iγµΛ ν

µ ∂ν −m)S(Λ)ψ(x)

= S (Λ)(iS (Λ)−1 γµS(Λ)Λ ν

µ ∂ν −m)

ψ(x)

= S (Λ)(iΛµ

αγαΛ νµ ∂ν −m

)ψ(x)

= S (Λ) (iγν∂ν −m)ψ(x)


Diracovy matice

tedy levá strana Diracovy rovnice se transformuje jako Diracuvbispinor

pasivní interpretace: protoze S(Λ) je regulární matice, platí(iγµ∂µ −m

)ψ(x) = 0⇔

(iγµ∂′µ −m

)ψ′(x ′) = 0

aktivní interpretace: pokud ψ(x) je rešení Diracovy rovnice, je

ψ′(x) = S(Λ)ψ(Λ−1x

)také rešením Diracovy rovnice

Cvicení: Dokazte.Cvicení: Dokazte relativistickou invarianci Weylovy rovnice.


Diracovy matice

VI. Prostorová inverze

Pro generátory Jαβ v konkrétní representaci platí

U(Λ)−1JµνU(Λ) = ΛµαΛν

βJαβ

kde U (Λ) representují Lorentzovu transformaci Λ.Nech ,t Λ = P = diag (1,−1,−1,−1) = η, pak máme P−1 = P a

U(P)JµνU(P) = PµαP

νβJ

αβ = Jµν

takze

U(P)J iU(P) = −12

εijkU(P)J jkU(P) = J i

U(P)N iU(P) = U(P)J i0U(P) = −N i


Diracovy matice

Tedy je-li U(Λ) representace L↑, musíme representovat P tak aby

U(P)2 = ±1U(P)J iU(P) = J i

U(P)N iU(P) = −N i

nebo také

U(P)LiU(P) = R i

U(P)R iU(P) = Li

Representace L↑ indukuje representaci L↑+ ⊂ L↑, obecne reducibilní

H = ⊕jR ,jLH(jL ,jR )

Operátor U(P) tedy prevádí H(jL ,jR ) na H(jR ,jL)


Diracovy matice

Vskutku, pro vektor base |mL,mR 〉 ∈ H(jL ,jR ), pro nejz

L3|mL,mR 〉 = mL|mL,mR 〉, R3|mL,mR 〉 = mR |mL,mR 〉

splnuje U(P)|mL,mR 〉

L3U(P)|mL,mR 〉 = U(P)U(P)L3U(P)|mL,mR 〉= U(P)R3|mL,mR 〉 = mRU(P)|mL,mR 〉

a podobneR3U(P)|mL,mR 〉 = mLU(P)|mL,mR 〉

tj. U(P)|mL,mR 〉 je az na fázi |mR ,mL〉 ∈ H(jR ,jL)

Tedy pro jL = jR = j je D(j ,j) ireducibilní representace L↑, projL 6= jR je ireducibilní representací L↑

D(jL ,jR ) ⊕D(jR ,jL)


Diracovy matice

Príklady:

D(0,0) je ireducibilní representace L↑, U(P) = ±1 (skalár,pseudoskalár)D(1/2,0) a D(0,1/2) nejsou representace L↑, neexistuje UL,R (P).Teorie s Weylovými spinory narušují obecne parituD(1/2,0)⊕ D(0,1/2) je ireducibilní representace L↑, S(P) = ηPγ0, kdeη2P = ±1, tj.

S(P)ψ = S(P)(

ψRψL

)=

(ηPψLηPψR

)D(1/2,1/2) je ireducibilní representace L↑, ve ctyrvektorovém zápisuU(P) = ±η (vektor, axiální vektor)

Cvicení: Ukazte, ze bilineární výrazy ψ(1)ψ(2) a ψ(1)γ5ψ(2) ψ(1)γµψ(2) a

ψ(1)γµγ5ψ(2) se transformují jako skalár, pseudoskalár, vektor resp. axiálnívektor.J. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 129 / 1311

Volné skalární pole

Konstruovat relativistickou kvantovou teorii znamená

Zkonstruovat Hilbertuv prostor stavu H, interpretovat jeho strukturu,zejména jednocásticové a vícecásticové stavy

Zkonstruovat unitární representaci U (Λ, a) nehomogenní Lorentzovy(Poincareho) grupy na HZkonstruovat lokalizované pozorovatelné φa(x), mající správnétransformacní vlastnosti vzhledem k Poincareho grupe a splnujícípodmínky kauzality

V dalším budeme nejprve ilustrovat obecný postup na príkladu volnéhoreálného skalárního pole.



V pricipu jsou dve moznosti

Konstrukce "zdola", tedy známe Hilbertuv prostor H, kterýidentifikujeme s Fockovým prostorem cástic, jez chceme popsat aoperátory pole pak sestrojíme jako operátory na tomto Fockoveprostoru, splnující potrebné vlastnosti invariance a kauzality

Konstrukce "shora", kdy Hilbertuv prostor i potrebné struktury nanem nalezneme prostrednictvím procedury kvantování klasického pole

V dalším predvedeme oba tyto postupy, zacneme konstrukcí "zdola"



Jednocásticové stavy

Predpokládejme, ze máme H a representaci U (Λ, a) na nem. Mámetedy representaci generátoru Pα a Jαβ splnujících algebru[

Jµν, Jαβ]= i


)[Pµ, Jαβ

]= i


)[Pµ,Pα] = 0

Generátory Pα ≡ (H,P) odpovídají prostorocasovým translacím,predstavují tedy hamiltonián H a impuls P. Tyto operátory komutují,existují tedy jejich spolecné vlastní vektory

Pα|p, σ〉 = pα|p, σ〉

zde σ je sada dalších kvantových císel (diskrétních i spojitých)jednoznacne urcujících stav.



Jednocásticové stavy mají

p2 = m2

p0 > 0

kde m je hmota cástice a σ pouze diskrétní, v našem konkrétnímpríkladu bude jednocásticový stav urcen pouze p.

(ctyr)impuls jedno cásticových stavu zije na "hmotové nadplošep2 = m2"≡ hyperboloid v 4-dimenzionálním prostoru pµ.Lorentzovsky invariantní míra na tomto prostoru je

dp ≡ d4p(2π)3

θ(p0)δ(p2 −m2

)=

d3p(2π)32E (p)

, d (Λp) = dp

kdeE (p) =

√p2 +m2



proto budeme normalizovat jednocásticové stavy na invariantnítrídimenzionální δ−funkci

〈p′|p〉 = (2π)32E (p)δ(3)(p− p′)relace uzavrenosti pro jednocásticový podprostor pak zní∫

dp|p〉〈p| = Π(1)

kde Π(1) je projektor na jednocásticový podprostor H(1).Transformacní vlastnosti |p〉 vzhledem k U(1, a) jsou zrejmé

U(1, a)|p〉 = exp (ia · P) |p〉 = exp (ia · p) |p〉Pro U(Λ)|p〉 máme

PαU(Λ)|p〉 = U(Λ)U(Λ)+PαU(Λ)|p〉= U(Λ)Λα

βPβ|p〉 = U(Λ)Λα

βpβ|p〉

= Λαβp

βU(Λ)|p〉



tedy U(Λ)|p〉 je vlastní vektor Pα s vlastní hodnotou Λαβp

β, tedy

opet na hmotové nadploše p2 = m2, je to tedy stav |Λp〉 (U(Λ)unitární, fázi volíme 1)

U(Λ)|p〉 = |Λp〉sumárne

U (Λ, a) |p〉 = exp (ia · P)U(Λ)|p〉 = exp (ia ·Λp) |Λp〉je unitární representace Poincarého grupy na jednocásticovémprostoru H(1).Elementy H(1) jsou vlnové balíky s vlnovou funkcí ψ(p)

|ψ〉 =∫dpψ(p)|p〉

a skalární soucin〈χ|ψ〉 =

∫dpχ(p)∗ψ(p)

Cvicení: Najdete, jak pusobí U (Λ, a) na vlnové funkce.J. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 135 / 1311


Spin cástic

Pro generátory rotací (tj. operátory impulsmomentu) platí[H, J i

]= 0,

[P i , J i

]= iεijkPk

Tedy1 J i jsou integrály pohybu2 na podprostoru odpovídající vlastním hodnotám pi = 0 operátoruimplulsu P i operátory P i a J i komutují, takze existují spolecné vlastnístavy Pµ, J2 a J3

Tzn. stav |κ〉, kde κ = (m, 0) tj. cástice v klidu, je spolecnýmvlastním stavem Pµ s vlastní hodnotou κµ , pritom platí

U(R)|κ〉 = exp (iφ · J) |κ〉 = |Rκ〉 = |κ〉tj. v infinitesimální forme

J i |κ〉 = 0 ⇒ J2|κ〉 = J3|κ〉 = 0tedy cástice mají nulový spin



Parita a casová inverze na H(1)predpokládejme, ze na H(1) jsou representovány také P a TPripomenme transformacní vlastnosti operátoru ctyrimpulsu

U(Λ, a) (1+ iP · ε)U (Λ, a)+ = 1+ iΛ αµ εαPµ

⇒ U(Λ, a)iPαU (Λ, a)+ = Λ αµ iPµ

Pro U(P) ≡ P a U(T ) ≡ T tak máme

P iPαP+ = P αµ iPµ = i Pα ≡ iPα

T iPαT + = T αµ iPµ = −i Pα = −iPα



Speciálne pro α = 0

P iHP+ = iH

T iHT + = −iH

kdyby P byl antiunitární, pak

P iHP+ = iH ⇒ PHP+ = −H

a ke kazdému vlastnímu stavu H |ψ〉 = E |ψ〉 by existoval stav P|ψ〉 svlastní hodnotou − E

HP|ψ〉 = −PHP+P|ψ〉 = −PH |ψ〉 = −EP|ψ〉

ale v H(1) takové stavy nejsou ⇒ P je unitární!



stejne, pro T unitární

T iHT + = −iH ⇒ T HT + = −H

a ke kazdému vlastnímu stavu H |ψ〉 = E |ψ〉 by existoval stav T |ψ〉 svlastní hodnotou − E

HT |ψ〉 = −T HT +P|ψ〉 = −T H |ψ〉 = −ET |ψ〉

ale v H(1) takové stavy nejsou ⇒ T je antiunitární!



Uvazujme dále stav P|k〉, máme

PPµP+ = Pµ = Pµ

a tak

PµP|k〉 = PPµP+P|k〉 = PPµ|k〉 = kµP|k〉 = kµP|k〉

P|k〉 je tak vlastní vektor Pµ s vlastní hodnotou kµ. Protozejednocásticové stavy jsou urceny jednoznacne az na fázi vlastníhodnotou Pµ, je nutne

P|k〉 = ηP |k〉kde fáze ηP je tzv. vnitrní parita



Fázi stavu |k〉 lze zvolit tak, ze vnitrní parita je konstanta nezávislána k:

Libovolné k lze získat boostem

L(k) = exp(−iuk ·N

), u =

12ln(k0 + |k|k0 − |k|

), k =

k|k|

z kanonického κ ≡ (m, 0) (z klidového systému cástice)

k = L(k)κ

Cvicení: Presvedcte se, ze poslední relace platí.



Na H(1) platí pri naší volbe fáze U(Λ)|k〉 = |Λk〉, takze|k〉 = U (L(k)) |κ〉

pritom pro representaci L na H(1)PN iP+ = −N i

tedy

PU (L(k))P+ = P exp(−iuk ·N

)P+ = exp

(iuk ·N

)= U

(L(k)

)nech ,t

P|κ〉 = ηP |κ〉máme také

P|k〉 = PU (L(k)) |κ〉 = PU (L(k))P+P|κ〉= U

(L(k)

)P|κ〉 = ηPU

(L(k)

)|κ〉

= ηP |k〉J. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 142 / 1311


Podobne pro casovou inverzi

T PαT + = Pα = Pα

⇒ PµT |k〉 = T PµT +T |k〉 = T Pµ|k〉 = kµT |k〉 = kµT |k〉a tak z jednoznacnosti |k〉 az na fázi

T |k〉 = ηT |k〉

opet ηT nezávisí na k, nebo,t

T U (L(k)) T + = T exp(−iuk ·N

)T + = exp

(−T iuk ·NT +

)= exp

(iuk ·N

)= U

(L(k)

)



pokud tedyT |κ〉 = ηT |κ〉 = ηT |κ〉

je také

T |k〉 = T U (L(k)) |κ〉 = T U (L(k)) T +T |κ〉= U

(L(k)

)T |κ〉 = ηTU

(L(k)

)|κ〉

= ηT |k〉

Fázi ηT lze odstranit díky antiunitarite T redefinováním fázejednocásticových stavu

|k〉 → |k〉′ = η1/2T |k〉

T |k〉′ = T η1/2T |k〉 =

(η1/2T

)∗T |k〉 =

(η1/2T

)∗ηT |k〉

= η1/2T |k〉 = |k〉

′



Kompletní prostor H zkonstruujeme jako Fockuv prostor

F = H(0)⊕H(1)⊕(H(1) ⊗H(1)

)S ,A⊕(H(1) ⊗H(1) ⊗H(1)

)S ,A⊕ . . .

zde H(0) je jednodimenzionální prostor natazený na normovanýinvariantní základní stav (vakuum) |0〉

〈0|0〉 = 1,

U (Λ, a) |0〉 = P|0〉 = T |0〉 = |0〉

tj. impuls a impulsmoment vakua je nulový

H(n) ≡(H(1) ⊗H(1) ⊗ · · · ⊗H(1)

)S ,A

(n×) je symetrizovaný neboantisymetrizovaný tenzorový soucin, podle statistiky, kterou zatímnefixujme.



Base v H(n) je tvorena stavy se symetrií podle statistiky|p1p2 . . . pn〉 ≡ |p1〉|p2〉 . . . |pn〉S ,A

≡

1√n! ∑σ |pσ(1)〉|pσ(2)〉 . . . |pσ(n)〉1√n! ∑σ signσ|pσ(1)〉|pσ(2)〉 . . . |pσ(n)〉

pro bosony resp. fermiony.

Cvicení: Ukazte, ze pro tuto basi platí podmínky normalizace (pro bosonyresp. fermiony) a úplnosti

〈k1k2 . . . km |p1p2 . . . pn〉 =

δmn ∑σ

n

∏i=1(2π)32E (pi )δ(3)(pi − kσ(i ))

δmn ∑σ

n

∏i=1

signσ(2π)32E (pi )δ(3)(pi − kσ(i ))

1 = |0〉〈0|+∞

∑n=1

1n!

∫ n

∏i=1dpi |p1p2 . . . pn〉〈p1p2 . . . pn |



Representace Poincarého algebry, resp. grupy je prirozenýmprodlouzením z jednocásticového prostoru (stejne pro P a T )

U (Λ, a) |p1p2 . . . pn〉 = U (Λ, a) |p1〉U (Λ, a) |p2〉 . . .U (Λ, a) |pn〉S ,A

speciálne

U (Λ) |p1p2 . . . pn〉 = U (Λ) |p1〉U (Λ) |p2〉 . . .U (Λ) |pn〉S ,A= |Λp1Λp2 . . . Λpn〉

U (a) |p1p2 . . . pn〉 = U (a) |p1〉U (a) |p2〉 . . .U (a) |pn〉S ,A

= exp

(ia ·

n

∑i=1pi

)|p1p2 . . . pn〉



odtud rozvojem do prvního rádu v a

Pµ|p1p2 . . . pn〉 =n

∑i=1pµi |p1p2 . . . pn〉

Tedy spec. volbou µ = 0

H |p1p2 . . . pn〉 =n

∑i=1E (pi )|p1p2 . . . pn〉

Celková energie stavu je tak sumou jednotlivých jednocásticovýchenergií bez interakcních clenu.

Stav |p1p2 . . . pn〉 tedy odpovídá n neinteragujícím cásticím



Vlastnosti Fockova prostoru Fstandardne definujme kreacní a anihilacní operátory a+(k) a a(k)

a(k)|0〉 = 0, a+(k)|0〉 = |k〉,a+(k)|p1 . . . pn〉 = |kp1p2 . . . pn〉

a(k)|p1 . . . pn〉 =n

∑j=1(2π)3 2E (pj )δ(3)(pj − k)

×(−1)(j−1)α|p1 . . . pj . . . pn〉kde stríška znací vynechání, α = 0 pro bosony, α = 1 pro fermiony aplatí a(k) = (a+(k))+

Cvicení: Presvedcte se, ze platí kanonické (anti) komutacní relace[a(k), a+(k ′)

]± = (2π)3 2E (k)δ(3)(k− k′),[

a+(k), a+(k ′)]± =

[a(k), a(k ′)

]± = 0



pomocí techto operátoru máme pro stavy

|p1p2 . . . pn〉 = a+(p1)a+ (p2) . . . a+ (pn) |0〉

pro jednocásticové operátory

H =∫dp E (p)a+(p)a(p)

P =∫dp pa+(p)a(p)

máme[Pµ, a+(k)

]=

∫dp pµ

[a+(p)a(p), a+(k)

]=

∫dp pµa+(p)

[a(p), a+(k)

]± = k

µa+(k)

a stejne[Pµ, a(k)] = −kµa(k)



tedy exponencializací pro konecné translace

U(b)a+(k)U(b)+ = limN→∞

(1+

iNP · b

)Na+(k)

(1− i

NP · b

)N= lim

N→∞

(1+

iN(k · b)

)Na+(k)

= exp (ik · b) a+(k)

a stejneU(b)a(k)U(b)+ = exp (−ik · b) a(k)

Cvicení: K odvození predchozích formulí lze také s výhodou uzít jednu zforem Campbell-Baker-Hausdorffovy (CBH) formule ve tvaru

exp (A)B exp (−A) =∞

∑n=0

1n![A, [A, . . . [A,B ] . . .]

Dokazte CBH formuli.J. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 151 / 1311


dále uvazujme

U(Λ)a+(k)U(Λ)+|p1 . . . pn〉 = U(Λ)a+(k)|Λ−1p1 . . . Λ−1pn〉= U(Λ)|kΛ−1p1 . . . Λ−1pn〉= |Λkp1 . . . pn〉= a+(Λk)|p1 . . . pn〉

tedy vzhledem k Lorentzovým transformacím

U(Λ)a+(k)U(Λ)+ = a+(Λk)

a stejneU(Λ)a(k)U(Λ)+ = a(Λk)



Pro prostorovou inverzi máme obdobne

Pa+(k)P+|p1 . . . pn〉 = Pa+(k) (η∗P )n |p1 . . . pn〉

= (η∗P )n P|kp1 . . . pn〉

= (η∗P )n (ηP )

n+1 |kp1 . . . pn〉= ηPa

+(k)|p1 . . . pn〉

tedy

Pa+(k)P+ = ηPa+(k)

Pa(k)P+ = η∗Pa(k)

Cvicení: S vyuzitím téhoz postupu ukazte, ze platí

T a+(k)T + = ηT a+(k)

T a(k)T + = η∗T a(k)



Pozorovatelné na Fockove prostoru

Kreacní a anihilacní operátory tvorí generátory algebry operátoru naFockove prostoruKazdý operátor O na Fockove prostoru lze totiz zapsat ve tvaruintegrální lineární kombinace normálne usporádaných monomu

a+ (p1) . . . a+ (pn) a (q1) . . . a (qm)

s vhodnými koeficienty Onm(p1, . . . ,pn,q1, . . . ,qm), explicite

O = ∑n,m

1n!m!

∫ n

∏i=1dpi

m

∏j=1dqjOnm(p1, . . . ,pn,q1, . . . ,qm)

×a+ (p1) . . . a+ (pn) a (q1) . . . a (qm)

napríklad hamiltonián a impuls

H =∫dp E (p)a+(p)a(p), P =

∫dp pa+(p)a(p)



další príklad: operátor poctu cástic

N =∫dp a+(p)a(p)


N |p1p2 . . . pn〉 = n|p1p2 . . . pn〉

Ukazte dále, ze operátor N se transformuje jako translacne invariantnískalární operátor, tj.

U(a)NU(a)+ = N, U(Λ)NU(Λ)+ = N

a tedy výsledek merení poctu cástic nezávisí na vztazné soustave a jeintegrálem pohybu

V dalším nás budou zajímat lokální pozorovatelné (tj. prirazenélokalizovaným merením)



Budeme konstruovat lokální pozorovatelné (pole) φ(x) splnujícínásledující pozadavky

1 Samosdruzenostφ(x)+ = φ(x)

2 Kauzalita (podle statistiky)

[φ(x), φ(y)]± = 0 pro (x − y)2 < 03 Transformace vzhledem k nehomogenní Lorentzove grupe (skalárnípole)

U(Λ)+φ(x)U(Λ) = φ(Λ−1x)U(a)+φ(x)U(a) = φ(x − a)

4 Linearita v kreacních a anihilacních operátorech (zde a dálek0 = E (k) =

√k2 +m2)

φ(x) =∫dk(u(k, x)a(k) + v(k, x)a+(k)



Podmínka U(a)+φ(x)U(a) = φ(x − a) dáváφ(x) = U(x)φ(0)U(x)+

= U(x)∫dk(u(k , 0)a(k) + v(k, 0)a+(k)

)U(x)+

ale

U(x)a(k)U(x)+ = exp (−ik · x) a(k)U(x)a+(k)U(x)+ = exp (ik · x) a+(k)

tedy

φ(x) =∫dk(u(k, 0)a(k)e−ik ·x + v(k, 0)a+(k)eik ·x

)tj.

u(k , x) = u(k, 0)e−ik ·x

v(k , x) = v(k, 0)eik ·x



Podmínka U(Λ)+φ(x)U(Λ) = φ(Λ−1x) dává pro x = 0

φ(0) = U(Λ)+φ(0)U(Λ)

= U(Λ)+∫dk(u(k , 0)a(k) + v(k, 0)a+(k)

)U(Λ)

Ale U(Λ)a(k)U(Λ)+ = a(Λk) a U(Λ)+ = U(Λ−1), tedy

U(Λ)+a(k)U(Λ) = a(Λ−1k)U(Λ)+a+(k)U(Λ) = a+(Λ−1k)

Odtud

φ(0) =∫dk(u(k , 0)a(Λ−1k) + v(k, 0)a+(Λ−1k)

)=

∫dk(u(Λk , 0)a(k) + v(Λk, 0)a+(k)



Na druhé strane

φ(0) =∫dk(u(k, 0)a(k) + v(k, 0)a+(k)

)!=∫dk(u(Λk, 0)a(k) + v(Λk, 0)a+(k)

)tj.

u(Λk, 0) = u(k, 0)

v(Λk, 0) = v(k, 0)

funkce u(k , 0) a v(k, 0) jsou skaláry, tedy funkce k2. Na hmotvénadploše

k2 = m2

tj. u(k, 0) a v(k, 0) jsou konstanty



Tedy hledaný operátor je lineární kombinací operátoru

φ+(x) =∫dka(k)e−ik ·x , φ−(x) =

∫dka+(k)eik ·x =

(φ+(x)

)+s konstantními koeficienty. Pro jejich urcení aplikujme podmínkukauzality.(anti)komutátor operátoru φ±(x) je[

φ+(x), φ−(y)]± ≡ i∆

+(x − y)

i∆+(x − y) =

[∫dka(k)e−ik ·x ,

∫dpa+(p)eip·y

]±

=∫dkdpe−ik ·x+ip·y

[a(k), a+(p)

]±

=∫dkdpe−ik ·x+ip·y2E (k)(2π)3δ(3)(k− p)

=∫dke−ik ·(x−y )



V manifestacne invariantním tvaru

i∆+(x − y) =∫dke−ik ·(x−y ) =

∫ d4k(2π)3

θ(k0)δ(k2 −m2)e−ik ·(x−y )

Cvicení: Dokazte, ze

i∆+(x) = − i4π

ε(x0)

δ(x2)

+m

8π√x2

θ(x2)[N1(m√x2)+ iε

(x0)J1(m√x2)]

+m

4π2√−x2

θ(−x2)K1(m√−x2

)Speciálne pro x2 < 0

i∆+(x) =m

4π2√−x2

θ(−x2)K1(m√−x2

)⇒ ∆+(−x) = ∆+(x) pro x2 < 0



Hledejme proto φ(x) ve tvaru

φ(x) = κφ+(x) + λφ−(y)

tak, aby[φ(x), φ(y)]± = 0 pro (x − y)2 < 0

Máme

[φ(x), φ(y)]± = κλ[φ+(x), φ−(y)

]± + κλ

[φ−(x), φ+(y)

]±

= κλ[i∆+(x − y)± i∆+(y − x)

]pro x2 < 0 je ∆+(−x) = ∆+(x) a tak pro (x − y)2 < 0

[φ(x), φ(y)]± = κλ [1± 1] i∆+(x − y)podobne[

φ(x), φ(y)+]± = |κ|2 i∆+(x − y)± |λ|2 i∆+(y − x)

=[|κ|2 ± |λ|2

]i∆+(x − y)



Tedy musíme vybrat komutacní relace (cástice jsou bosony) a

|κ|2 = |λ|2

Príklad teorému o vazbe spinu a statistiky: celocíselný spin (s = 0)⇒ Bose-Ensteinova statistikabez újmy na obecnosti (modulo preškálování) lze zvolit κ = eiθ,pozadavek samosdruzenosti φ(x) implikuje

φ(x) = eiθφ+(x) + e−iθφ−(x)

redefinicí kreacních a anihilacních operátoru

a(k)→ a(k)e−iθ, a+(k)→ a+(k)eiθ

máme konecne

φ(x) = φ+(x) + φ−(x)

=∫dk(a(k)e−ik ·x + a+(k)eik ·x



Poznámka: do teorie nelze pridat další poleφ(x) = ei θφ+(x) + e−i θφ−(y), nebo ,t pak by[

φ(x), φ(y)]= e−i θ i∆+(x − y)− ei θ i∆+(y − x)

a φ(x), φ(y) by nekomutovaly pro (x − y)2 < 0Pole φ(x) splnují Kleinovu-Gordonovu rovnici. Vskutku,(+m2

)φ(x) =

(+m2

) ∫dk(a(k)e−ik ·x + a+(k)eik ·x

)=

∫dk(−k2 +m2

) (a(k)e−ik ·x + a+(k)eik ·x

)ale k0 =

√k2 +m2 a tak k2 = m2, tj.(

+m2)

φ(x) = 0

Cvicení: Ukazte, ze Kleinova - Gordonova rovnice je Heisenbergovoupohybovou rovnicí pro operátor π(t, x) ≡ ∂tφ(t, x).



Pole φ(x) je z konstrukce skalár vzhledem k Lorentzovýmtransformacím

U(Λ)+φ(x)U(Λ) = φ(Λ−1x)U(a)+φ(x)U(a) = φ(x − a)

Vzhledem k prostorové inverzi máme

φP (x) ≡ Pφ(x)P+ = P∫dk(a(k)e−ik ·x + a+(k)eik ·x

)P+

=∫dk(Pa(k)P+e−ik ·x + Pa+(k)P+eik ·x

)=

∫dk(

η∗Pa(k)e−ik ·x + ηPa

+(k)eik ·x)



PoleφP (x) =

∫dk(

η∗Pa(k)e−ik ·x + ηPa

+(k)eik ·x)

je opet kauzální pole, s jinou volbou fáze (eiθ → η∗P ). Jak víme,takové pole nekomutuje s φ(y) pro (x − y)2 < 0. Má-li být teoriesoucasne kauzální a invariantní vzhledem k prostorové inverzi, musíbýt

η∗P = ηP = ±1substitucí k = −q, tj. k = q dostaneme

q · x = q0x0 − (−q) · x = q0x0 − q · (−x) = q · x

φP (x) = ηP

∫dq(a(q)e−iq·x + a+(q)eiq·x

)= ηPφ(x)

resp.Pφ(x)P+ = ηPφ(x)



Podobne pro casovou inverzi

φT (x) ≡ T φ(x)T + = T∫dk(a(k)e−ik ·x + a+(k)eik ·x

)T +

=∫dk(T a(k)T +eik ·x + T a+(k)T +e−ik ·x

)=

∫dk(

η∗T a(k)eik ·x + ηT a

+(k)e−ik ·x)

Kauzalita vyzadujeη∗T = ηT = ±1

a máme, opet substitucí k = −q

φT (x) = ηT

∫dk(a(k)eik ·x + a+(k)e−ik ·x

)= ηT

∫dq(a(q)eiq·x + a+(q)e−iq·x

)= ηT φ(−x)

resp.T φ(x)T + = ηT φ(−x)



Shrnutí

Sestrojili jsme relativistickou teorii popisující volné neinteragujícícástice s nulovým spinem (skalární cástice)Hilbertuv prostor stavu je Fockovým prostorem generovanýminvariantním základním stavem |0〉 a kreacními a anihilacnímioperátory

a(k)|0〉 = 0, a+(k) = (a(k))+ ,[a(k), a+(k ′)

]= (2π)3 2E (k)δ(3)(k− k′),[

a+(k), a+(k ′)]=

[a(k), a(k ′)

]= 0

Na Fockove prostoru máme unitární representaci Poincareho grupy,splnující

U(Λ, a)|0〉 = |0〉U(Λ, a)a(k)U(Λ, a)+ = e−ia·Λka(Λk)U(Λ, a)a+(k)U(Λ, a)+ = e ia·Λka+(Λk)



Na Fockove prostoru máme operátory prostorové a casové inverze,splnující

P|0〉 = T |0〉 = |0〉

Pa+(k)P+ = ηPa+(k)

T a+(k)T + = ηT a+(k)

Hamiltonián a operátor impulsu mají tvar

H =∫dp E (p)a+(p)a(p), P =

∫dp pa+(p)a(p)

a platí[H,P] = [H, J] = [H,P ] = [H, T ] = 0



Stacionární stavy jsou

|p1p2 . . . pn〉 = a+(p1)a+ (p2) . . . a+ (pn) |0〉

a odpovídají energii a impulsu

Ep1p2 ...pn = E (p1) + E (p2) + . . .+ E (pn)pp1p2 ...pn = p1 + p2 + . . .+ pn

popisují n neinteragujících cástic s ctyrimpulsy pi , i = 1, . . . , n



Na Fockove prostoru jsme sestrojili kauzální skalární pole φ(x)kreující a anihilující cástice

φ(x) = φ+(x) + φ−(x) =∫dk(a(k)e−ik ·x + a+(k)eik ·x

)Pole φ(x) je

1 samosdruzené φ(x)+ = φ(x)2 splnuje Kleinovu-Gordonovu rovnici(

+m2)

φ(x) = 0

3 splnuje komutacní relace

[φ(x), φ(y)] = i∆+(x − y)− i∆+(y − x) ≡ i∆(x − y)4 vzhledem Lorentzovým transformacím, parite a casové inverzi

U(Λ)+φ(x)U(Λ) = φ(Λ−1x), U(a)+φ(x)U(a) = φ(x − a)Pφ(x)P+ = ηPφ(x), T φ(x)T + = ηT φ(−x)



Existence pole φ(x) na Fockove prostoru, tj. kauzalita + Lorentzinvariance + prostorová a casová inverze

1 Fixovala statistiku: spin s = 0 ⇒ bosony2 Fixovala vnitrní paritu cástic ηP = ±13 Fixovala casovou paritu cástic ηT = ±1

Pole φ(x) tvorí na Fockove prostoru bazi pro lokální pozorovatelné, jeúplným souborem operátoru, tj. pokud [O, φ(x)] = 0 pro všechna x ,je O = λ1

Jak uvidíme dále, pole φ(x) jsou základními stavebními objekty prokonstrukci invariantních (hustot) hamiltoniánu v poruchové teoriiinteragujících cástic


Kanonické kvantování

Kanonické kvantování - motivace

Komutátorová funkce ∆(x − y) = ∆+(x − y)− ∆+(y − x) jakofunkce x splnuje Kleinovu-Gordonovu rovnici.

Je tedy urcena jednoznacne pocátecními podmínkami na vhodnéprostorupodobné nadploše.

Napr. x0 = y0 = t = konst. Jako pocátecní podmínky vezmeme

i∆(x − y)x 0=y 0 = [φ(x), φ(y)]x 0=y 0∂t i∆(x − y)x 0=y 0 = [∂tφ(x), φ(y)]x 0=y 0 ≡ [π(x), φ(y)]x 0=y 0

kde π(x) = ∂tφ(x)



Ale máme

i∆(x − y)x 0=y 0 =

[∫dke−ik ·(x−y ) −

∫dkeik ·(x−y )

]x 0=y 0

=∫dkeik·(x−y) −

∫dke−ik·(x−y)

substitucí k→ −k ve druhém integrálu máme

i∆(x − y)x 0=y 0 =∫dkeik·(x−y) −

∫dkeik·(x−y) = 0

tedy komutacní relace pro pole φ(x) ve stejných casech (“equal time(ET) commutation relation”) jsou

[φ(x), φ(y)]x 0=y 0 = i∆(x − y)x 0=y 0 = 0



Dále

∂t i∆(x − y)x 0=y 0 =

[∫dk (−iE (k)) e−ik ·(x−y ) − (x ↔ y)

]x 0=y 0

= −i[∫

dkE (k)eik·(x−y) +∫dkE (k)e−ik·(x−y)

]= −i

∫dk2E (k)eik·(x−y)

= −i∫ d3k 2E (k)(2π)3 2E (k)

eik·(x−y) = −iδ(3)(x− y)

Sumárne dostáváme tzv. kanonické komutacní relace (ve stejnýchcasech)

[φ(x), φ(y)]x 0=y 0 = 0, [φ(x),π(y)]x 0=y 0 = iδ(3)(x− y)

Cvicení: Ukazte, ze platí dále [π(x),π(y)]x 0=y 0 = 0J. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 175 / 1311


Tedy komutacní relace

[φ(x), φ(y)] = i∆(x − y)jsou ekvivalentní dvema podmínkám

1 Operátory pole φ(x) splnují Kleinovu-Gordonovu rovnici(+m2

)φ(x) = 0

2 Operátory φ(x) a π(x) = ∂tφ(x) splnují kanonické komutacní relaceve stejných casech

[φ(x), φ(y)]x 0=y 0 = 0, [π(x),π(y)]x 0=y 0 = 0

[φ(x),π(y)]x 0=y 0 = iδ(3)(x− y)

Predpokládejme platnost techto podmínek a nepredpokládejmezádnou další informaci o Hilberove prostoru, na nemz jsou operátoryφ(x) representovány. Stací tyto podmínky k rekonstrukci Hilberovaprostoru?



Rešení Kleinovy-Gordonovy rovnice(+m2

)φ(x) = 0

lze pomocí Fourierovy transformace

φ(x) =∫ d4k(2π)4

e−ik ·x φ(k), φ(k) =∫d4xeik ·xφ(x)

prevézt na tvar (−k2 +m2

)φ(k) = 0

Tedy φ(k) = 0 všude mimo hmotovou nadplochu k2 = m2, tzn. nosicφ(k) je hmotový hyperboloid

φ(k) = (2π)a(k)δ(k2 −m2)



Rešení je tedy

φ(x) =∫ d4k(2π)3

e−ik ·xa(k)δ(k2 −m2)

=∫ d3kdk0

(2π)3e−ik ·xa(k0, k)δ(

(k0)2 − k2 −m2)

ale δ(g(x)) = ∑i |g ′(x)|−1 δ(x − xi ), kde xi jsou koreny g(xi ) = 0,

tj.

δ((k0)2 − k2 −m2) =

12 |k0|δ

(k0 −

√k2 +m2

)+

12 |k0|δ

(k0 +

√k2 +m2

)=

12E (k)

δ(k0 − E (k)

)+

12E (k)

δ(k0 + E (k)



odtud

φ(x) =∫ d3kdk0

(2π)3e−ik

0 ·x 0+ik·xa(k0, k)

×(

12E (k)

δ(k0 − E (k)

)+

12E (k)

δ(k0 + E (k)

))=

∫dke−iE (k)·x

0+ik·xa(E (k), k)

+∫dkeiE (k)·x

0+ik·xa(−E (k), k)

substitucí k→ −k ve druhém integrálu dostaneme

φ(x) =∫dke−iE (k)·x

0+ik·xa(E (k), k)

+∫dkeiE (k)·x

0−ik·xa(−E (k),−k)

≡∫dke−ik ·xa(k) +

∫dkeik ·xa(−k)

kde nyní k0 = E (k) =√k2 +m2J. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 179 / 1311


Obecné rešení Kleinovy-Gordonovy rovnice je tedy

φ(x) =∫dke−ik ·xa(k) +

∫dkeik ·xa(−k)

k0 = E (k) =√k2 +m2

Má-li být φ(x) operátor, jsou také a(k) a a(−k) operátory.Samosdruzenost φ(x) vyzaduje

φ(x)+ =∫dkeik ·xa(k)+ +

∫dke−ik ·xa(−k)+

=∫dke−ik ·xa(k) +

∫dkeik ·xa(−k)

tedya(k)+ = a(−k) ≡ a+(k), a(−k)+ = a(k)

odkudφ(x) =

∫dk(a(k)e−ik ·x + a+(k)eik ·x



Tedy je-li samosdruzený operátor φ(x) rešením Kleinovy-Gordonovyrovnice, je nutne

φ(x) =∫dk(a(k)e−ik ·x + a+(k)eik ·x

)π(x) = ∂tφ(x) = −i

∫dkE (k)

(a(k)e−ik ·x − a+(k)eik ·x

)kde a(k) a a+(k) = (a(k))+ jsou zatím neurcené operátory

K urcení vlastností a(k) a a+(k) pouzijeme kanonické komutacnírelace

[φ(x), φ(y)]x 0=y 0 = 0, [π(x),π(y)]x 0=y 0 = 0

[φ(x),π(y)]x 0=y 0 = iδ(3)(x− y)

K tomu potrebujeme vyjádrit a(k) a a+(k) pomocí φ(x) a π(x)



Spocítejme∫d3xe−iq·xφ(x) =

∫d3xe−iq·x

∫dk(a(k)e−ik ·x + a+(k)eik ·x

)

=∫d3xe−iq·x

∫dk(a(k)e−iE (k)·x

0+ik·x + a+(k)eiE (k)·x0−ik·x

)=

∫ d3k2E (k)

(a(k)e−iE (k)·x

0δ(3)(k− q) + a+(k)eiE (k)·x 0δ(3)(k+ q)

)=

12E (q)

(a(q)e−iE (q)·x

0+ a+(q)eiE (q)·x

0)

Podobne∫d3xe−iq·xπ(x) = − i

2

(a(q)e−iE (q)·x

0 − a+(q)eiE (q)·x 0)



Máme tedy∫d3xe−iq·xφ(x) =

12E (q)

(a(q)e−iE (q)·x

0+ a+(q)eiE (q)·x

0)

∫d3xe−iq·xπ(x) = − i

2

(a(q)e−iE (q)·x

0 − a+(q)eiE (q)·x 0)

Odtud

a(q) = eiE (q)·x0E (q)

∫d3xe−iq·xφ(x) + i

∫d3xe−iq·xπ(x)

=∫d3xeiq·x (E (q)φ(x) + iπ(x))

kde q0 = E (q) a

a+(q) =∫d3xe−iq·x (E (q)φ(x)− iπ(x))



Máme tedy

a(q) =∫d3xeiq·x (E (q)φ(x) + iπ(x))

a+(q) =∫d3xe−iq·x (E (q)φ(x)− iπ(x))

Všimneme si, ze tyto formulky nezávisí na volbe x0. Duvodem jevýsledek následujícího cvicení.

Cvicení: Ukazte, ze predchozí formulky pro a(k) a a+(k) lze prepsat dotvaru

a(q) = i∫d3xeiq·x

←→∂0 φ(x), a+(q) = −i

∫d3xe−iq·x

←→∂0 φ(x)

tedy ve tvaru integrálu z nulté komponenty zachovávajících se proudusestrojených z rešení Kleinovy-Gordonovy rovnice e±iq·x a φ(x)

jµq = i(e−iq·x

)∗←→∂µ φ(x), jµ+q = −i

(eiq·x

)∗←→∂µ φ(x)



Nyní spocteme komutátory operátoru a(k) a a+(k) pomocíkanonických komutacních relací ve stejných casech pro φ(x) a π(x):[a(k), a(k ′)

]=

∫d3xeik ·xd3yeik

′·y[(E (k)φ(x) + iπ(x)) ,

(E (k′)φ(y) + iπ(y)

)]x 0=y 0

=∫d3xeik ·xd3yeik

′·y iE (k) [φ(x),π(y)]x 0=y 0

+∫d3xeik ·xd3yeik

′·y iE (k′) [π(x), φ(y)]x 0=y 0

= −∫d3xeik ·xd3yeik

′·yE (k)δ(3)(x− y)

+∫d3xeik ·xd3yeik

′·yE (k′)δ(3)(x− y)

=∫d3xe−ix·(k+k

′) (E (k′)− E (k))= (2π)3 δ(3)(k+ k′)

(E (k′)− E (k)

)= 0



Stejne[a(k), a+(k ′)

]=

∫d3xeik ·xd3ye−ik

′·y[(E (k)φ(x) + iπ(x)) ,

(E (k′)φ(y)− iπ(y)

)]x 0=y 0

= −∫d3xeik ·xd3ye−ik

′·y iE (k) [φ(x),π(y)]x 0=y 0

+∫d3xeik ·xd3ye−ik

′·y iE (k′) [π(x), φ(y)]x 0=y 0

=∫d3xeik ·xd3ye−ik

′·yE (k)δ(3)(x− y)

+∫d3xeik ·xd3ye−ik

′·yE (k′)δ(3)(x− y)

=∫d3xe−ix·(k−k

′) (E (k′) + E (k))= (2π)3 δ(3)(k− k′)

(E (k′) + E (k)

)= (2π)3 2E (k)δ(3)(k− k′)



Hermitovským sdruzením máme[a+(k), a+(k ′)

]=[a(k ′), a(k)

]+= 0

Tedy je-li samosdruzený operátor φ(x) rešením Kleinovy-Gordonovyrovnice, je nutne ve tvaru


)a+(k) = (a(k))+

a pokud operátory φ(x) a π(x) = ∂tφ(x) splnují kanonickékomutacní relace ve stejných casech, a(k) a a+(k) splnují nutnekomutacní relace[

a(k), a+(k ′)]= (2π)3 2E (k)δ(3)(k− k′)[

a(k), a(k ′)]=

[a+(k), a+(k ′)

]= 0

Urcují tyto relace také jednoznacne Hilbertuv prostor, na nemz jsourepresentovány?



Ano, pokud navíc postulujeme v Hilbertove prostoru existencivakuového stavu |0〉, pro nejz

〈0|0〉 = 1

a(k)|0〉 = 0

Hilbertuv prostor je pak formálne generován stavy

a+(p1)a+ (p2) . . . a+ (pn) |0〉

akce operátoru a(k) a a+(k) na tyto stavy je jednoznacne urcenaalgebrou komutacních relací a vlastností vakua, napr.

a(k)a+(p)|0〉 =[a(k), a+(p)

]|0〉+ a+(p)a(k)|0〉

= (2π)3 2E (k)δ(3)(k− p)|0〉



skalární soucin je jednoznacne urcen algebrou komutacních relací,vlastnostmi vakua a relací a+(k) = (a(k))+, napr.

〈(a+(p)|0〉

)|(a+(k)|0〉

)〉

= 〈0|a (p) a+(k)|0〉= 〈0|

[a (p) , a+(k)

]|0〉+ 〈0|a+(k)a (p) |0〉

= (2π)3 2E (k)δ(3)(k− p)

kde jsme uzili (a+(p)|0〉

)+= 〈0|a (p)

a (p) |0〉 = 〈0|a+(k) = 0



Tj. Hilbertuv prostor je Fockovým prostorem, representacekanonických komutacních relací na Fockove prostoru je tzv. fockovskárepresentace ≡ F (a(k), a+(k), |0〉). Je jednoznacne urcena sadoukreacních a anihilacních operátoru a vakuem.

Všechy fockovské representace kanonických komutacních relací jsouunitárne ekvivalentní, tj. nech ,t F (a(k), a+(k), |0〉) aF (a(k)′, a+(k)′, |0′〉) jsou dve fockovské representace týchzkomutacních relací, pak operátor U , definovaný ve fockovské basia+(p1)a+ (p2) . . . a+ (pn) |0〉 predpisem

Ua+(p1)a+ (p2) . . . a+ (pn) |0〉 ≡ a+(p1)′a+ (p2)′ . . . a+ (pn)′ |0′〉

je unitární.



Existují i jiné nez fockovské representace komutacních relací. Nech ,tnapr. representace F (a(k), a+(k), |0〉) je fockovská. Definujme natémze Fockove prostoru nové operátory

b(k) = a(k)− cb+(k) = a+(k)− c∗

kde c je c-císlo. Pak b(k) a b+(k) splnují komutacní relace prokreacní a anihilacní operátory, na Fockove prostoru ale neexistujenormovaný stav |0〉〉, pro nejz by platilo

b(p)|0〉〉 = 0.



Cvicení: Hledejte |0〉〉 ve tvaru

|0〉〉 =∞

∑n=0

1n!

∫ n

∏i=1dpiφ(p1, . . . ,pn)a+(p1)a+ (p2) . . . a+ (pn) |0〉

Ukazte, ze podmínka b(k)|0〉〉 = 0 dává

φ(p,p1, . . . ,pn) = cφ(p1, . . . ,pn) = cn+1φ0

tj.

|0〉〉 = φ0

∞

∑n=0

cn

n!

∫ n

∏i=1dpia+(p1)a+ (p2) . . . a+ (pn) |0〉

Ukazte, ze pro φ0 6= 0 je norma stavu |0〉〉 nekonecná, tedy |0〉〉 nepatrí doFockova prostoru, na nemz jsou b(k) a b+(k) representovány.



Shrnutí:

Pozadavek, aby samosdruzený operátor φ(x) splnovalKleinovu-Gordonovu rovnici a operátory φ(x) a π(x) = ∂tφ(x)splnovaly kanonické komutacní relace ve stejných casech, spolu spozadavkem existence normovaného vakuového stavu jednoznacneurcuje skalární pole φ(x) a jeho representaci na Fockove prostoruskalárních cástic.

Prímocare však tyto pozadavky neurcují, jak vypadá representacePoincareho grupy, operátoru parity a casové inverze na Fockoveprostoru, speciálne nic neríkají o hamiltoniánu, impulsu,impulsmomentu a tedy o intepretaci fockovských stavu



Pridejme tedy ješte další pozadavky na pole φ(x)

Na Fockove prostoru existuje representace Poincareho grupy U(Λ, a) aprostorové a casové inverze P a T , splnující

U(Λ, a)|0〉 = P|0〉 = T |0〉 = |0〉

Pro pole φ(x) nech ,t platí


kde ηP ,T = ±1

Tyto pozadavky jednoznacne urcují pusobení operátoru U(Λ, a), P aT na stavy ve Fockove prostoru



Napr.

U(a)+φ(x)U(a)

=∫dk(U(a)+a(k)U(a)e−ik ·x + U(a)+a+(k)U(a)eik ·x

)!= φ(x − a)

=∫dk(a(k)eik ·ae−ik ·x + a+(k)e−ik ·aeik ·x

)porovnáním

U(a)+a(k)U(a) = a(k)eik ·a, U(a)+a+(k)U(a) = a+(k)e−ik ·a

resp.

U(a)a(k)U+(a) = a(k)e−ik ·a, U(a)a+(k)U+(a) = a+(k)eik ·a



Z relací

U(a)a(k)U+(a) = a(k)e−ik ·a, U(a)a+(k)U+(a) = a+(k)eik ·a

dostáváme

U(a)a+(p1) . . . a+ (pn) |0〉= U(a)a+(p1)

[U+(a)U(a)

]. . .

. . .[U+(a)U(a)

]a+ (pn)

[U+(a)U(a)

]|0〉

=[U(a)a+(p1)U+(a)

]U(a) . . .

. . .U+(a)[U(a)a+ (pn)U+(a)

][U(a)|0〉]

= a+(p1)eip1 ·a . . . a+(pn)eipn ·a|0〉sumárne obdrzíme známý výsledek

U(a)a+(p1) . . . a+ (pn) |0〉 = exp(ia ·

n

∑j=1pj

)a+(p1) . . . a+ (pn) |0〉



Cvicení: Odvo,dte z predchozí formule generátor translací Pµ a ukazte,

ze infinitesimální forma relace U(a)+φ(x)U(a) = φ(x − a) zní

∂µφ(x) = i[Pµ, φ(x)

].

Porovnejte s Heisenbergovou pohybovou rovnicí pro pole φ(x).Cvicení: Ukazte, ze relace U(Λ)+φ(x)U(Λ) = φ(Λ−1x) implikuje

U(Λ)a(k)U(Λ)+ = a(Λk), U(Λ)a+(k)U(Λ)+ = a+(Λk)

a standardní akci operátoru U(Λ) na fockovské stavy. Diskutujte obdobneP a T .



Teorie skalárního pole je jednoznacne zrekonstruována z pozadavku:

Samosdruzenosti pole φ(x)+ = φ(x)Transformacních vlastností pole vzhledem k Lorentzove grupe,prostorové a casové inverzi


Splnení Kleinovy-Gordonovy rovnice(+m2

)φ(x) = 0

Platnosti kanonických komutacních relací ve stejných casech pro φ(x)a π(x) = ∂tφ(x)

[φ(x), φ(y)]x 0=y 0 = [π(x),π(y)]x 0=y 0 = 0,

[φ(x),π(y)]x 0=y 0 = iδ(3)(x− y)Existence fockovského vakua

a(k)|0〉 = 0, U(Λ, a)|0〉 = P|0〉 = T |0〉 = |0〉J. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 198 / 1311


Existuje formalismus, který automaticky zahrnuje všechny výšezmínené pozadavky a tak implikuje všechny ingredience teorieskalárního pole?

Ano, tímto formalismem je tzv. procedura kanonického kvantováníklasického pole, vycházející z lagrangeovské formulace teorie pole.


Klasická teorie pole

I. Funkcionál akce

Klasické pole je systém s nekonecne mnoha stupni volnosti.Zobecnené souradnice odpovídají hodnotám pole v prostoru.

V analogii s mechanikou s N stupni volnosti, tj. s N zobecnenýmisouradniciem qi , i = 1, 2, . . .N :

index i je nahrazen spojitým indexem x a prípadne dodatecnýmdiskrátním indexem a

i → (x, a)

N zobecnených souradnic qi je nahrazeno (spojite) nekonecne mnohasouradnicemi φa(x)

qi → φa(x)

φa(x) popisuje jednoznacne konfiguraci pole. Casový vývoj φa(t, x) ≡φa(x)odvozen z funkcionálu akce S [φa(t, x)]



Vlastnosti akce:

Akci predpokládáme ve tvaru

S [φa(t, x)] =∫Md4xL

(φa(x), ∂µφa(x), . . .

)zde L je tzv. lagrangeovská hustota ≡ lagrangián, M jeprostorocasová oblastTeorie musí být relativisticky invariantní, tj. akci pozadujemeinvariantní vzhledem k Poincareho grupeTeorii postulujeme lokální, tj. L je funkcí pole a jeho (konecnemnoha) derivací ve stejném prostorocasovém bode x (analogie - vklasické mechanice je lagrangián funkcí zobecnených souradnic qi (t)ve stejných casech t)Akci predpokládáme reálnou - nutná podmínka unitarity kvantovéteorie.Pohybové rovnice odvozené z principu nejmenší akce pozadujemenejvýše druhého rádu v derivacích - nutná podmínka kauzality



Variace akce

δS [φa(x)] =∫Md4x

(∂L

∂φa(x)δφa(x) +

∂L∂∂µφa(x)

δ(∂µφa(x)

)+

∂L∂∂µ∂νφa(x)

δ(∂µ∂νφa(x)

)+ . . .

)Pokud L je funkcí nejvýše prvních derivací, máme s uzitímδ(∂µφa(x)

)= ∂µδφa(x)


(∂L

∂φa(x)− ∂µ

∂L∂∂µφa(x)

)δφa(x)

+∫Md4x∂µ

(∂L

∂∂µφa(x)δφa(x)

)



upravme ješte∫Md4x∂µ

(∂L

∂∂µφa(x)δφa(x)

)=∫

∂MdSnµ

∂L∂∂µφa(x)

δφa(x)

pro nulovou variaci pole na hranici M

δφa(x)|∂M = 0

je pak podmínka stacionarity akce


(∂L

∂φa(x)− ∂µ

∂L∂∂µφa(x)

)δφa(x)

!= 0

Odtud Eulerovy - Lagrangeovy rovnice v M(∂L

∂φa(x)− ∂µ

∂L∂∂µφa(x)

)= 0



Cvicení: Ukazte, ze pokud

δφa(x)|∂M = 0,

vede akceS [φa(x)] +

∫d4x∂µV µ(φa(x), ∂µφa(x)),

kde V µ(φa(x), ∂µφa(x)) je lokální funkce, na tytéz pohybové rovnice v Mjako akce S [φa(x)] .



Uvazujme obecnou infinitesimální transformaci souradnic a polí

x ′ = x ′(x), φ′a(x′) = Fa(φb(x))

príklad: Lorentzova transformace pole, transformujícího se podlerepresentace D(Λ)

x ′µ = Λµνx

ν, φ′a(x′) = D(Λ)baφb(x)

nebo zkrácene

x ′ = Λ · x , φ′(x ′) = D(Λ) · φ(x)Pasivní interpretace: dva pozorovatelé, uzívající souradnice x a x ′ apole φa(x) a φ′a(x

′). Obe pole popisují tutéz klasickou konfiguraci zhlediska dvou ruzných pozorovatelu.Aktivní interpretace: nové pole pole φ′a(x) v tech samýchsouradnicích je definováno v míste x ′ implicitne pomocí pomocíhodnoty pole φa(x) v míste x . Obe pole popisují ruzné klasickékonfigurace z hlediska téhoz pozorovatele.



Transformace akce pri aktivní interpretaci transformace polí asouradnic

x ′ = x ′(x), φ′a(x′) = Fa(φb(x))

φa(x)→ φ′a(x)

predpokládejme ze transformace x ′ = x ′(x) zobrazuje M na sebe

Transformovaná akce je definována

S ′[φa] = S [φ′a]

Akce S [φa] je invariantní vzhledem k transformacix ′ = x ′(x), φ′a(x

′) = Fa(φb(x)), pokud

S ′[φa] = S [φa]



Explicite

S ′[φa] = S [φ′a] =

∫Md4xL

(φ′a(x), ∂µφ′a(x)

)prejmenováním integracní promenné x → x ′

S ′[φa] =∫Md4 x ′L

(φ′a(x

′), ∂′µφ′a(x′))

substitucí x ′ = x ′(x) a uzitím ∂′µ =(

∂′µxα)

∂α máme

S ′[φa] =∫Md4 x

∣∣∣∣det(∂x ′

∂x

)∣∣∣∣L (Fa(φb(x)),(∂′µxα)

∂αFa(φb(x)))



Príklad: Translace pole

x ′ = x + a, φ′a(x′) = φa(x)

pri aktivní interpretaci

x = x ′ − a, φ′a(x) = φa(x − a)V tomto prípade máme

∂′µxα = δα

µ, det(

∂x ′

∂x

)= 1

a pokud M je celý Minkowského prostorocas, je

S ′[φa] =∫Md4 x

∣∣∣∣det(∂x ′

∂x

)∣∣∣∣L (Fa(φb(x)),(∂′µxα)

∂αFa(φb(x)))

=∫Md4 xL

(φa(x), ∂µφb(x)

)= S [φa]

Pokud tedy lagrangián nezávisí explicite na x , je akce translacneinvariantní.



II. Teorém Noetherové

Uvazujme infinitesimální transformace polí a souradnic

x ′ = x + θi δix(x), φ′a(x′) = φa(x) + θi δiφa((φb(x)))

kde konstanty θi jsou infinitesimální parametry, zkrácene

x ′ = x + θi δix , φ′a(x′) = φa(x) + θi δiφa(x)

máme

x = x ′ − θi δix(x) = x ′ − θi δix(x ′) +O(θ2)

φ′a(x) = φa(x − θi δix) + θi δiφa(x − θi δix) +O(θ2)

= φa(x)− θi δix · ∂φa(x) + θi δiφa(x) +O(θ2)

= φa(x) + θi δ0i φa(x) +O(θ2)

kde

θi δ0i φa(x) ≡ φ′a(x)− φa(x) ≡ θi [δiφa(x)− δix · ∂φa(x)]

je infinitesimální zmena pole pri aktivní interpretaciJ. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 209 / 1311


Definujme infinitesimální variaci akce pri infinitesimální variaci polí

δθφa(x) ≡ φ′a(x)− φa(x) = θi δ0i φa(x)

δθS [φa] ≡ S ′[φa]− S [φa] =∫d4 xθi δiL

tedy formálne

θi δiL ≡ L(φ′a(x), ∂µφ′a(x)

)−L (φa(x), ∂φb(x))

Pro invariantní akci S ′[φa] = S [φa] a tak

δiL = ∂µVµi

Jestlize φa(x) splnují pohybové rovnice, jedná se o variaci kolemstacionárního bodu akce, tedy

δθS [φa] = 0



Uvazujme nyní variaci akce vzhledem k modifikované variaci polízámenou θi → β(x)i

δβφa(x) = β(x)i δ0i φa(x)

Jestlize φa(x) splnují pohybové rovnice, jedná se o variaci kolemstacionárního bodu akce, tedy

δβS [φa] = 0

Na druhé strane, od predchozí variace δθS se δβS liší jen zámenoukonstantních parametru θi za funkce β(x)i - liší se tedy o clenyzávisející na derivacích β(x)i . Ty mohou pocházet z variace derivacípole φa(x).

Predpokládejme, ze lagrangián je funkcí jen prvních derivací pole,extra cleny budou obsahovat tedy jen první derivace β(x)i



Explicite, do prvního rádu v β(x)i

δθS [φa] =∫Md4 xθi δiL (φa(x), ∂φb(x))⇒

δβS [φa] =∫Md4 xβ(x)i δiL (φa(x), ∂φb(x))

+∫Md4 x∂µβ(x)i jµi (φa(x), ∂φb(x))

Vektorová funkce jµi (φa(x), ∂φb(x)) je tzv. noetherovský proudIntegrací per partes v dodatecném clenu, máme pro kazdé β(x)i a proφa(x) splnující pohybové rovnice

0 = δβS [φa] =∫Md4 xβ(x)i (δiL− ∂ · ji )

tedy máme bilancní rovnici noetherovského proudu ve tvaru:

∂ · ji = δiLJ. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 212 / 1311


Pro invariantní akciδiL = ∂µV

µi

tedy máme zachovávající se proudy

Nµi = jµi − V

µi

∂ ·Ni = 0

Zachovávající se proud generuje integrál pohybu - náboj

Qi (t) =∫x 0=t

d3xN0i

pakdQi (t)dt

=∫x 0=t

d3x∂0N0i = −∫x 0=t

d3x∇ ·N = 0



Explicitní tvar noetherovského proudu

δβS [φa] =∫Md4 x

(∂L∂φa

β(x)i δ0i φa(x) +∂L

∂∂µφa∂µβ(x)i δ0i φa(x)

)=

∫Md4 xβ(x)i

(∂L∂φa

δ0i φa(x) +∂L

∂∂µφa∂µδ0i φa(x)

)+∫Md4 x∂µβ(x)i

∂L∂∂µφa

δ0i φa(x)

odtud

jµi =∂L

∂∂µφaδ0i φa(x)



Príklad I. Infinitesimální translace s parametrem a

x ′ = x + a, φ′a(x′) = φa(x)

tedy

i → µ, θi → aµ, δixα → ηαµ, δiφa(x)→ 0,

δ0i φa(x) = δiφa(x)− δix · ∂φa(x)→ −∂µφa(x)

a tak

jαi → −∂L

∂∂αφa∂µφa



K bilancní rovnici proudu potrebujeme ješte δiL. Máme

L(

φ′a(x′), ∂′µφ′a(x

′))= L (φa(x), ∂φb(x))

tedyL(φ′a(x), ∂µφ′a(x)

)= L (φa(x), ∂φb(x))x→x−a

a tak jeaµδµL(x)= L(x − a)−L(x) = −aµ∂µL(x)

Tedy δiL je úplná ctyrdivergence

δiL→ −∂νηνµL (φa(x), ∂αφb(x)) = ∂νV νµ

kdeV νµ = −ηνµL



Zachovávající proud je tzv. kanonický tensor energie-hybnosti

θαµ =∂L

∂∂αφa∂µφa − ηαµL

∂αθαµ = 0

Zachovávající se náboje jsou hamiltonián a tríimpluls

H =∫x 0=t

d3xθ00 =∫x 0=t

d3x(

∂L∂∂tφa

∂tφa −L)=∫x 0=t

d3xH

P i =∫x 0=t

d3xθ0i =∫x 0=t

d3x∂L

∂∂tφa∂iφa



Príklad II. Infinitesimální Lorentzova transformace s parametry ωµν

Predpokládejme, ze pole φa(x) nabývá hodnot v prostoru nesoucímrepresentaci D (Λ) Lorentzovy grupy.Tj. transformace souradnic a polí zní

x ′ = Λ (ω) · xφ′(x ′) = D (Λ (ω)) · φ(x)

kde

Λ (ω) = exp(i2

ωµνMµν

), D(Λ (ω)) = exp

(i2

ωµνSµν

)Zde Sµν jsou matice representujcí generátory Lorentzovy grupy naprostoru hodnot polí φ(x)Derivace pole φ(x) se transformují

∂′φ′(x ′) = ∂′x · ∂D (Λ (ω)) · φ(x) = Λ−1 ·D (Λ (ω)) · ∂φ(x)



Infinitesimální forma

x ′α = xα +i2

ωµν (Mµν)αβ x

β = xα +ωαβx

β

φ′(x ′) = φ(x) +i2

ωµνSµν · φ(x)

tedyi → (µν) , θi → ωµν

δixα → 12(ηµαxν − ηναxµ)

δiφa(x) →i2Sµν · φ(x)



V aktivní interpretaci

φ′(x) = D (Λ (ω)) φ(Λ−1x) = exp(i2

ωµνJ µν

)φ(x)

= φ(x) +i2

ωµνJ µνφ(x) + . . .

kdeJ µν = Lµν + Sµν = −i (xµ∂ν − xν∂µ) + Sµν

Infinitesimální forma aktivní interpretace

δ0i φa(x)→i2(J µν)ba φb(x) =

12(xµ∂ν − xν∂µ) φa(x)+

i2(Sµν)ba φb(x)

Noetherovský proud (modulo 1/2)

jαµν = i∂L

∂∂αφa(J µν)ba φb(x) =

∂L∂∂αφa

[(xµ∂ν − xν∂µ) φa + i (S

µν)ba φb

]J. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 220 / 1311


Dále potrebujeme δiL. Pro jednoduchost predpokládejme nejeninvarianci akce, ale nadto ze lagrangián je skalár vzhledem kLorentzovým transformacím, tj.

L(

φ′a(x′), ∂′µφ′a(x

′))= L (φa(x), ∂φb(x))

resp. v aktivní interpretaci

L(φ′a(x), ∂µφ′a(x)

)= L (φa(x), ∂φb(x)) |x→Λ(ω)−1 ·x

a tak máme

ωµνδµνL(x) = L(Λ (ω)−1 · x)−L(x) = ω νµ xµ∂νL(x)

tzn.δµνL =1

2(xµ∂ν − xν∂µ)L



δµνL je úplná ctyrdivergence

δµνL =12(xµ∂ν − xν∂µ)L

=12

∂α [(xµηαν − xνηαµ)L] ≡ 12

∂αV αµν

Zachovávající se proud je tak (pomocí kanonického tensoruenergie-hybnosti θαµ)

Nαµν = jαµν − V αµν = i∂L

∂∂αφa(J µν)ba φb(x)− (xµηαν − xνηαµ)L

=

(xµ ∂L

∂∂αφa∂νφa − xν ∂L

∂∂αφa∂µφa

)+ i

∂L∂∂αφa

(Sµν)ba φb

− (xµηανL− xνηαµL)tj.

Nαµν = i∂L

∂∂αφa(Sµν)ba φb + (x

µθαν − xνθαµ)



Tedy∂αNαµν = 0

a odtud dostaneme zachovávající se náboje

Jµν ≡ −∫x 0=t

d3xN0µν

= −i∫x 0=t

d3x[

∂L∂∂tφa

(J µν)ba φb(x) + i(xµη0ν − xνη0µ

)L]

= −∫x 0=t

d3x∂L

∂∂tφa

[(xµ∂ν − xν∂µ) φa + i (S

µν)ba φb

]+∫x 0=t

d3x(xµη0ν − xνη0µ

)L



Napr. pro rotace o úhel α dostaneme zachovávající se celkovýimpulsmoment

J = −i∫x 0=t

d3x∂L

∂∂tφa

(Lφa + S

baφb(x)

)kde L je “orbitální impulsmoment”a S i jsou spinové matice

L = x× (−i∇) , S i = −12

εijkJ jk

Pro boosty máme (zde B i ≡ S i0)

N = −∫x 0=t

d3x[

∂L∂∂tφa

(x∂tφa + t∇φa + iB

baφb

)− xL

]= −

∫x 0=t

d3x[xH+ ∂L

∂∂tφaiBbaφb

]+ tP



Cvicení: Ukazte, ze zákon zachování proudu Nαµν lze prepsat na tvar

(θµν − θνµ) = −i∂α

[∂L

∂∂αφa(Sµν)ba φb

]Definujme nový tensor energie-hybnosti (tzv. Belinfantuv tensor)

T αµB = θαµ+

i2

∂σ

[∂L

∂∂σφa(Sαµ)ba φb −

∂L∂∂αφa

(Sσµ)ba φb −∂L

∂∂µφa(Sσα)ba φb

]Ukazte, ze

1 T αµB se zachovává

∂µTµνB = 0

2 T αµB generuje tentýz zachovávající se ctyrimpuls jako θαµ∫

x 0=td3xT 0µ

B =∫x 0=t

d3xθ0µ = Pµ

3 T αµB je symetrický (pokud jsou splneny pohybové rovnice)

T αµB = T µα

BJ. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 225 / 1311


Cvicení: Nech ,t T αµB je Belinfantuv tensor energie hybnosti. Definujme

Mαµν = xµT ανB − xνT αµ

B

Ukazte, ze∂αMαµν = 0

Spocítejte zachovávající se veliciny

K µν = −∫x 0=t

d3xM0µν

a porovnejte s Jµν

Jµν = −∫x 0=t

d3xN0µν



Príklad III. Vnitrní symetrie

Predpokládejme, ze pole φa(x) nabývá hodnot v prostoru nesoucímunitární representaci U(g(θ)) Lieovy grupy symetrie G

U(g(θ)) = exp(iθiTi

)kde T i jsou hermitovské generátory v této representaci, splnujícíkomutacní relace

[Ti ,Tj ] = ifijkTk

Pole a souradnice se pak transformují

x ′ = x ,

φ′(x) = U(g(θ))φ(x) = φ(x) + iθiTiφ(x) + . . .



Tedyδix = 0, δiφ(x) = iTiφ(x) = δ0i φ(x)

a noetherovský proud je

jαi = i∂L

∂∂αφa(Ti )

ba φb

Pokud je Lagrangián invariantní, tj. δiL = 0, máme zachovávající seproudy a náboje

∂µjµi = 0

Qi = i∫x 0=t

d3x∂L

∂∂tφa(Ti )

ba φb



III. Hamiltonovský formalismus

V klasické mechanice je prechod od lagrangeovského formalismu khamiltonovskému zprostredkován duální Legendrovou transformacílagrangiánu L(qi ,

.qi )

Definují se zobecnené impulsy

pj =∂L(qi ,

.qi )

∂.qj

a predpokládá se rešitelnost techto implicitních rovnic vzhledem kevšem

.qi

.qi =

.Q i (pj , qj )

tj. rovnice

pj =∂L(qi ,

.qi )

∂.qj

| .q i=

.Q i (p j ,qj )

,.Q i (pj , qj )|p j= ∂L(qi ,

.qi )

∂.qj

=.qi

jsou identicky splneny.J. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 229 / 1311


Hamiltonián je definován jako duální Legendrova transformace

H(pj , qj ) = pi.Q i (pj , qj )− L(qi ,

.Q i (pj , qj ))

takze

∂H(pj , qj )∂pi

=.Q i + pj

.

∂Q j∂pi− ∂L(qi ,

.Q i )

∂.qj

.

∂Q j∂pi

=.Q i + pj

.

∂Q j∂pi− pj

.

∂Q j∂pi

=.Q i (pj , qj )

Podobne

∂H(pj , qj )∂qi

= pj.

∂Q j∂qi− ∂L(qi ,

.Q i )

∂qi− ∂L(qi ,

.Q i )

∂.qj

.

∂Q j∂qi

= −∂L(qi ,.Q i )

∂qi

Dohromady tak máme

∂H(pj , qj )∂pi

|p j= ∂L(qi ,

.qi )

∂.qj

=.qi ,

∂H(pj , qj )∂qi

|p j= ∂L(qi ,

.qi )

∂.qj

= −∂L(qi ,.qi )

∂qi



Platí tedy

∂H(pj , qj )∂pi

|p j= ∂L(qi ,

.qi )

∂.qj

=.qi ,

∂H(pj , qj )∂qi

|p j= ∂L(qi ,

.qi )

∂.qj

= −∂L(qi ,.qi )

∂qi

Lagrangeovy pohybové rovnice

ddt

∂L∂.qi=

∂L∂qi

jsou ekvivalentní soustave Hamiltonových pohybových rovnic

.qi =

∂H(pj , qj )∂pi

,.pi = −∂H(pj , qj )

∂qi

nebo ,t algebraické rešení první sady vzhledem k pj dávápj = ∂L(qi ,

.qi )/∂

.qj , coz dosazeno do druhé sady dává Lagrangeovy

rovnice.J. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 231 / 1311


Pomocí Poissonových závorek

A,B = ∑i

(∂A∂qi

∂B∂pi− ∂B

∂qi

∂A∂pi

)lze zapsat Hamiltonovy rovnice ve tvaru

.qi = qi ,H ,

.pi =

pi ,H

a casový vývoj pozorovatelné O (neávislé explicite na case)

.O = O,H

Kanonické Poissonovy závorky

qi , qj =pi , pj

= 0

qi , pj= δji



Diracova kvantovací procedura

A → A, B → B

A,B = −i[A, B

]speciálne se postulují kanonické komutacní relace

[qi , qj ] =[pi , pj

]= 0[

qi , pj]= iδji

V Heisenbergove obrazu kvantovou verzí rovnice.O = O,H je

Heisenbergova pohybová rovnice

.iO = [O,H ]



V klasické terii pole lze akci psát ve tvaru analogickém mechanice,pokud za M bereme oblast ohranicenou nadplochami x0 = t1 ax0 = t2

S [φa] =∫ t2

t1dtL[φa(t, x), ∂tφa(t, x)]

kde funkcionál L je definován pomocí lagragiánu (lagrangeovskéhustoty)

L[φa(x), ∂tφa(x)] =∫d3xL (φa(x), ∂tφa(x),∇φa(x))

jako funkcionál zobecnených souradnic φa(x) a zobecnených rychlostí∂tφa(x)Prechod k Hamiltonovu formalismu vyzaduje definovat zobecnenýimpuls πa(x) kanonicky sdruzený se zobecnenou souradnicí φa(x)



V mechanice s konecne mnoha stupni volnosti pri variaci.qi je variace

lagrangiánu

δL(qi ,.qi ) = ∑

j

∂L(qi ,.qi )

∂.qj

δ.qj = ∑

jpjδ

.qj

V prípade nekonecne mnoha stupnu volnosti je prirozené nahradit

∑j→∑

a

∫d3x

a psát analogicky variaci L pri variaci zobecnených rychlostí ∂tφa(x) adefinovat tak πa(x)

δL[φa(x), ∂tφa(x)] =∫d3x πa(x)δ∂tφa(x)



Explicite

δL[φa(x), ∂tφa(x)] = δ∫d3xL (φa(x), ∂tφa(x),∇φa(x))

=∫d3x

∂L∂∂tφa(x)

δ∂tφa(x)

!=∫d3x πa(x)δ∂tφa(x)

Kanonicky sdruzený impuls πa(x) je tak

πa(x) ≡ ∂L∂∂tφa(x)

Predpokládejme, ze lze vyrešit tuto rovnici vzhledem k ∂tφa(x)

∂tφa(x) =.

Φa (π(x), φ(x),∇φ(x)) ≡.

Φa [π, φ] (x)



Pro hamiltonián v mechanice s konecne mnoha stupni volnosti

H(pi , qi ) = ∑jpj

.Q j (pi , qi )− L(qi ,

.Q i (pi , qi ))

proto v teorii pole analogicky definujme

H =∫d3x πa(x)

.Φa [π, φ] (x)− L

=∫d3x

(πa(x)

.Φa [π, φ] (x)−L

)Pripomenme, ze z teorému Noetherové jsme našli stejný výsledek

H =∫x 0=t

d3xθ00 =∫x 0=t

d3x(

∂L∂∂tφa

∂tφa −L)

=∫d3x

(πa(x)

.Φa [π, φ] (x)−L

)|πa(x)= ∂L

∂∂t φa (x)



Definujme nyní Poissonovy závorky v teorii pole

A[π, φ],B [π, φ] ≡∫d3x

(δA[π, φ]δφa (x)

δB [π, φ]δπa (x)

− δB [π, φ]δφa (x)

δA[π, φ]δπa (x)

)Variacní (funkcionální) derivace funkcionálu A[π, φ] jsou definoványjako koeficienty u variací δφa (x) a δπa (x) ve výrazu pro variaciδA[π, φ]

δA[π, φ] ≡∫d3x

(δA[π, φ]δφa (x)

δφa (x) +δA[π, φ]δπa (x)

δπa (x))

v analogii k parciálním derivacím v prípade konecne mnoha stupnuvolnosti

δA[pi , qi

]= ∑

j

(∂A[pi , qi

]∂qj

δqj +∂A[pi , qi

]∂pj

δpj)

zámenou

∑j→∑

a

∫d3x



Jako prirozené zobecnení kanonických Poissonových závorek

qi , qj =pi , pj

= 0

qi , pj= δji

dostaneme

φa(x), φb(y) =

πa(x),πb(y)= 0

φa(x),πb(y)

= δbaδ(3) (x− y)

Vskutkuδφa(x) = ∑

a

∫d3yδbaδ(3)(x− y)δφb(y)

tedyδφa(x)δφb(y)

= δbaδ(3)(x− y), δφa(x)δπb(y)

= 0



Stejne

δπa(x) = ∑a

∫d3yδabδ(3)(x− y)δπb(y)

odkudδπa(x)δπb(y)

= δabδ(3)(x− y), δπb(y)δφa(x)

= 0

takze napr.φa(x),π

b(y)

=∫d3z

(δφa(x)δφc (z)

δπb(y)δπc (z)

− δπb(y)δφc (z)

δφa(x)δπc (z)

)=

∫d3zδac δ(3)(x− z)δbc δ(3)(x− z)

= δbaδ(3) (x− y)



Pro obecný funckcionál F [fa] jehoz argumentem je sada nezávislýchfunkcí fa(x) definujme funkcionální derivaci predpisem

δF [fa] = ∑b

∫dx

δF [fa]δfb(x)

δfb(x)

Pomocí funkcionálních derivací nuzeme psát napr. (bereme-li φa(x) a∂tφa(x) jako nezávislé)

δL[φa(x), ∂tφa(x)] =∫d3x πa(x)δ∂tφa(x)⇒ πa(x) =

δL[φ, ∂tφ]δ∂tφa(x)

Eulerovy-Lagrangeovy rovnice pak muzeme pak psát jako

δS [φa]δφb(x)

= 0

nebo ,t

δS [φa] =∫d4x

(∂L∂φb− ∂µ

∂L∂∂µφb

)δφb(x)



Jiná verze zápisu Eulerových-Lagrangeových rovnic je

ddt


− δL[φ, ∂tφ]δφa(x)

= 0

nebo ,t

δL[φ, ∂tφ] = δ∫d3xL (φa(x), ∂tφa(x),∇φa(x))

=∫d3x

(∂L∂φa

δφa +∂L

∂∂iφaδ∂iφa +

∂L∂∂tφa

δ∂tφa

)=

∫d3x

(∂L∂φa− ∂i

∂L∂∂iφa

)δφa +

∫d3x

∂L∂∂tφa

δ∂tφa

odkud

ddt


= ∂0∂L

∂∂0φa,

δL[φ, ∂tφ]δφa(x)

=∂L∂φa− ∂i

∂L∂∂iφa



pri variaci π

δH [π, φ]

= δ∫d3x

(πa

.Φa [π, φ]−L

(φ,

.Φ [π, φ]

))=

∫d3x

δπa.

Φa [π, φ] + πa.

δΦa −∂L(

φ,.

Φ [π, φ])

∂∂tφa

.δΦa

=

∫d3x

(δπa

.Φa + πa

.δΦa − πa

.δΦa

)=∫d3x δπa

.Φa [π, φ]

tedy

δH [π, φ]δπa(x)

=.

Φa [π, φ] (x)⇒δH [π, φ]δπa(x)

|π= δL[φ,∂t φ]

δ∂t φ

= ∂tφa(x)



podobne pri variaci φ

δH [π, φ] = δ∫d3x

(πa

.Φa [π, φ]−L

(φ, ∂iφ,

.Φ [π, φ]

))=

∫d3x

(πa

.δΦa −

∂L∂φa

δφa −∂L

∂∂iφa∂i δφa −

∂L∂∂tφa

.δΦa

)=

∫d3x

(πa

.δΦa −

∂L∂φa

δφa −∂L

∂∂iφa∂i δφa − πa

.δΦa

)= −

∫d3x δφa

(∂L∂φa− ∂i

∂L∂∂iφa

)= −

∫d3xδφa(x)

δL [φ, ∂tφ]δφa(x)

|∂tφ=

.Φ[π,φ]

tedy

δH [π, φ]δφa(x)

= −δL [φ, ∂tφ]δφa(x)

|∂tφ=

.Φ ⇒

δH [π, φ]δφa(x)


δ∂t φ




Sumárne

δH [π, φ]δπa(x)


δ∂t φ

= ∂tφa(x),δH [π, φ]δφa(x)


δ∂t φ


Hamiltonovy rovnice ve tvaru

∂tφa(t, x) =δH [π, φ]δπa(x)

, ∂tπa(t, x) = −δH [π, φ]

δφa(x)

jsou ekvivalentní Eulerovým-Lagrangeovým rovnicím

ddt


− δL[φ, ∂tφ]δφa(x)

= 0

nebo ,t vyloucením πa z první sady obdrzíme πa = δL[φ, ∂tφ]/δ∂tφa,coz dosazeno do druhé sady dává Eulerovy-Lagrangeovy rovnice.



Hamiltonovy rovnice lze psát také ve tvaru

∂tφa(t, x) = φa,H∂tπ

a(t, x) = πa,H

Vskutku, napr.

φa,H =∫d3z

(δφa(x)δφc (z)

δHδπc (z)

− δHδφc (z)

δφa(x)δπc (z)

)=

∫d3zδac δ(3)(x− z) δH

δπc (z)=

δHδπa (x)


Kanonické kvantování klasických polí

Zobecnení Diracovy kvantovací procedury na pole:

Od lagrangeovského formalismu s lagrangiánem L prejdeme khamiltonovskému formalismu s hamiltoniánem HPolím φa(x) a πa(x) jsou prirazeny (samosdruzené) operátory

Tyto operátory splnují kanonické komutacní relace, kopírujícíPoissonovy závorky

·, · → −i [·, ·]tedy

[φa(x), φb(y)]x 0=y 0 =[πa(x),πb(y)

]x 0=y 0

= 0,[φa(x),π

b(y)]x 0=y 0

= iδbaδ(3)(x− y)



Dynamika je generována hamiltoniánem

H =∫d3xH [π, φ]

=∫d3x

(πa(x)

.Φa [π, φ] (x)−L (φa(x), ∂tφa(x),∇φa(x))

)Infinitesimální symetrie jsou representovány zachovávajícími se nábojiodvozenými z teorému Noetherové, speciálne pro Lorentzovu grupu

Jµν = −i∫d3x

[∂L

∂∂tφa(J µν)ba φb(x) + i

(xµη0ν − xνη0µ

)L]

P i =∫d3x

∂L∂∂tφa

∂iφa



Klasické reálné skalární pole

Lagrangián je skalární funkce pole Φ(x) = Φ(x)∗ a ∂µΦ(x).Nejobecnejší lagrangián je tak ve tvaru

L(Φ(x), ∂µΦ(x)) = f (Φ(x),X (x))

kdeX = ∂µΦ · ∂µΦ

Tedy, rozvojem do mocnin φ a X

L[Φ] = ω0 +m2vZ 1/2Φ+12ZX − 1

2Zm2Φ2 +O(φ3, φX ,X 2)

Nekteré konstanty jsou redundantní. Redefinicí pole

Φ = Z−1/2 (φ+ v)

dostaneme bez újmy na obecnosti

L[φ] = Ω0 +12

∂φ · ∂φ− 12m2φ2 + . . . , Ω0 = ω0 +

12m2v2,



Neinteragující skalární pole je popsáno lagrangiánem L0[φ] vkvadratickém priblízení

L0[φ] = Ω0 +12

∂φ · ∂φ− 12m2φ2

Eulerova-Lagrangeova rovnice je Kleinova-Gordonova rovnice

∂µ∂L0∂∂µφ

− ∂L0∂φ

=(+m2

)φ = 0

Zobecnený impuls

π =∂L0∂∂tφ

= ∂tφ



Hamiltonián obdrzíme standardním postupem

H =∫d3xH0 =

∫d3x [π∂tφ−L0] |∂tφ=π

=∫d3x

[π2 − 1

2

(π2 −∇φ ·∇φ−m2φ2

)−Ω0

]=

∫d3x

[12

π2 +12

φ(−∇ ·∇+m2

)φ−Ω0

]=

∫d3x

[12

π2 +12

φΩ2φ−Ω0

]kde operátor Ω je definován jako Ω =

√−∇ ·∇+m2 = E (i∇)

Hamiltonián je spojitou analogií hamiltoniánu systému vázanýchharmonických oscilátoru

HLHO = ∑i

12p2j +

12 ∑i ,jqiω2

ijqj



Hamiltonián

H =∫d3x

[12

π2 +12

φ(−∇ ·∇+m2

)φ−Ω0

]pro Ω0 6= 0 obsahuje infracervenou divergenci

Ω0

∫d3x = Ω0 lim

k→0

∫d3xeik·x = (2π)3 δ(3)(0)Ω0

= Ω0 limV→∞

∫Vd3x = lim

V→∞VΩ0

Tato divergence je spojena s oblastí dlouhých vlnových délek a malýchhybností (IR oblast). Lze ji regularizovat uzavrením systému dokonecného objemu, tzv. IR cutoffem λ < L, |k| > (2π)/L



Ostatní generátory Poincarého grupy dostaneme z teorémuNoetherové.Tensor energie-hybnosti θαµ a tensor Nαµν jsou

θαµ = ∂µφ∂αφ− ηµα

(Ω0 +

12

∂φ · ∂φ− 12m2φ2

)= θµα

Nαµν = xµθαν − xνθαµ

Generátory translací a Lorentzových transformací

P = −∫d3x

∂L∂∂tφ

∇φ = −∫d3xπ∇φ

Jµν = −∫d3x

[∂L

∂∂tφ(xµ∂ν − xν∂µ) φ(x)−


)L]

tedy

J = −∫d3xπ (x×∇) φ, N = −

∫x 0=t

d3x xH+ tP



Predepíšeme kanonické komutacní relace

[φ(x), φ(y)]x 0=y 0 = [π(x),π(y)]x 0=y 0 = 0,

[φ(x),π(y)]x 0=y 0 = iδ(3)(x− y)

Heisenbergovy pohybové rovnice pak jsou (IR divergentní clen nemávliv na komutátory)

∂tφ(x) = −i [φ(x),H ] = π(x)

∂tπ(x) = −i [π(x),H ] =(∇2 −m2

)φ(x)

Cvicení: Dokazte.

Odtud dostáváme Kleinovu-Gordonovu rovnici pro operátor φ(x)(+m2

)φ(x) = 0



Kvantová verze generátoru P, J a N závisí na soucinechnekomutujících operátoru π(x) a ∇φ(x)

[∇φ(x),π(x)]x 0=y 0 = i∇δ(3)(x− y)v principu tedy závisí na vybraném operátorovém usporádání.Protoze P, J a N jsou bilineární v π(x) a ∇φ(x), jednotlivá moznáusporádání se liší formálne na násobek jednotkového operátoruNapr. pro P máme formálne rozdíl mezi “πφ“ a “φπ“ usporádáním

−∫d3xπ∇φ+

∫d3x∇φπ = i∇δ(3) (0)

∫d3x = lim

V→∞Vi∇δ(3) (0)

Ale regularizujeme-li UV divergenci cutoffem Λ, máme formálne

limV→∞

Vi∇δ(3) (0) = limV→∞

V limΛ→∞

i∇∫|k|<Λ

d3k(2π)3

e−ik·(x−y)|x→y

= limV→∞

V limΛ→∞

∫|k|<Λ

d3k(2π)3

k = 0



Operátorové usporádání π(x) a ∇φ(x) tedy nemá vliv na P, (a stejnena J a N) a na komutacní relace mezi nimi a s ostatními operátory

Cvicení: Dokazte komutacní relace operátoru P, J a N v “πφ“ usporádání

P = −∫d3xπ∇φ, J = −

∫d3xπ (x×∇) φ, N = −

∫x 0=t

d3x xH+ tP

[φ(x),P] = −i∇φ(x), [φ(x), J] = −ix×∇φ(x)

[φ(x),N] = −i (xπ(x) + t∇φ(x)) = −i (x∂tφ(x) + t∇φ(x))

a dále ukazte, ze H, P, J a N splnují komutacní relace Poincareho algebry[H,P i

]=

[H, J i

]= 0[

P i , J j]= iεijkPk ,

[N i , J j

]= iεijkNk[

J i , J j]= iεijkJk ,

[N i ,N j

]= −iεijkJk[

P i ,N j]= iδijH,

[H,N i

]= iP i



Z predchozího cvicení plyne, ze (bez ohledu na operátorovéusporádání), H, P, J a N predstavují representaci Poincareho algebryna representacním prostoru kanonických komutacních relací vestejných casechFormální exponencializací (napr. pouzitím CBH formule) odvodíme

U(Λ)+φ(x)U(Λ) = φ(Λ−1x), U(a)+φ(x)U(a) = φ(x − a)kde pro J ij = −εijkJk a J i0 = N i

U(Λ) = exp(i2

ωµνJµν

), U(a) = exp (ia · P)

Tedy kanonické kvantování klasického pole reprodukuje (témer)všechny ingredience potrebné pro konstrukci kvantové teorieskalárního pole, jmenovite

1 kanonické komutacní relace2 Kleinovu-Gordonovu rovnici3 representaci Poincareho grupy



Z KG rovnice a kanonických komutacních relací dostaneme vyjádreníφ(x) a π(x) pomocí kreacních a anihilacních operátoru


)π(x) = −i

∫dkE (k)

(a(k)e−ik ·x − a+(k)eik ·x

)splnujících [

a(k), a+(k ′)]= (2π)3 2E (k)δ(3)(k− k′)[

a(k), a(k ′)]=

[a+(k), a+(k ′)

]= 0

a vybereme fockovskou representaci na Fockove prostoru s vakuem|0〉.Zbývá dorešit problém usporádání a invariance vakua. Spocítejmeproto Hamiltonián v termínech kreacních a anihilacních operátoru.



Hamiltonián nezávisí na case, tedy zvolme x0 = 0 v jeho definici.Máme

φ(0, x) =∫dk(a(k)eik·x + a+(k)e−ik·x

)=

∫dkeik·x

(a(k) + a+(k)

)π(0, x) = −i

∫dkE (k)

(a(k)eik·x − a+(k)e−ik·x

)= −i

∫dkE (k)eik·x

(a(k)− a+(k)

)Pocítejme

H =∫x 0=0

d3x[

π2 +12

φ(−∇ ·∇+m2

)φ

]− limV→∞

VΩ0



Mámeπ(0, x) = −i

∫dkE (k)eik·x

(a(k)− a+(k)

)a tak

12

∫x 0=0

d3xπ2 = −12

∫d3xdkdqE (k)

(a(k)− a+(k)

)×E (q)

(a(q)− a+(q)

)ei (k+q)·x

= −12

∫dkdq (2π)3 δ(3) (k+ q)E (k)E (q)

×(a(k)− a+(k)

) (a(q)− a+(q)

)= −1

4

∫dkE (k)

(a(k)− a+(k)

) (a(k)− a+(k)

)



podobne

φ(0, x) =∫dkeik·x

(a(k) + a+(k)

)a tak ∫

x 0=0d3x

[12

φ(−∇ ·∇+m2

)φ

]=

12

∫d3xdkdq

(a(k) + a+(k)

)×(q2 +m2

) (a(q) + a+(q)

)ei (k+q)·x

=12

∫dkdq (2π)3 δ(3) (k+ q)E (q)2

×(a(k) + a+(k)

) (a(q) + a+(q)

)=

14

∫dkE (k)

(a(k) + a+(k)

) (a(k) + a+(k)



Dohromady

H = −14

∫dkE (k)

(a(k)− a+(k)

) (a(k)− a+(k)

)+14

∫dkE (k)

(a(k) + a+(k)

) (a(k) + a+(k)

)− limV→∞

VΩ0

=12

∫dkE (k)

(a+(k)a(k) + a(k)a+(k)

)− limV→∞

VΩ0

a substitucí k→ −k konecne

H =12

∫dkE (k)

(a+(k)a(k) + a(k)a+(k)

)− limV→∞

VΩ0



Pouzitím komutacních relací dostaneme

H =12

∫dkE (k)

(a+(k)a(k) + a(k)a+(k)

)− limV→∞

VΩ0

=12

∫dkE (k)

(2a+(k)a(k) +

[a(k), a+(k)

])− limV→∞

VΩ0

=∫dkE (k)

(a+(k)a(k) + (2π)3 E (k)δ(3)(0)

)− limV→∞

VΩ0

=∫dkE (k)a+(k)a(k) + lim

V→∞V

(12

∫ d3k(2π)3

E (k)−Ω0

)=

∫dkE (k)a+(k)a(k) + lim

V→∞V E0

kde jsme polozili δ(3)(0) = limV→∞ V/(2π)3 a oznacili

E0 =12

∫ d3k(2π)3

E (k)−Ω0



Tj.

H =∫dkE (k)a+(k)a(k) + lim

V→∞V E0

Ve fockovské representaci s vakuem |0〉 máme

limV→∞

〈0|H |0〉V

= E0

a E0 má význam hustoty energie základního stavu.

E0 je v principu nemeritelná velicina, merit lze jen energii excitací nadzákladním stavem

Pozadujeme-li translacní invarianci základního stavu, je nutne

E0 =12

∫ d3k(2π)3

E (k)−Ω0!= 0



Podmínka translacní invariance vakua tedy zní

Ω0!=12

∫ d3k(2π)3

E (k)

Výraz na pravé strane je ultrafialove divergentní,

12

∫|k|<ΛUV

d3k(2π)3

E (k) =Λ4UV

(4π)2(1+O(Λ−1UV

))

pro ΛUV → ∞divergence pochází z oblasti integrace velkých impulsu a krátkýchvlnových délek |k| → ∞ , λ→ 0 (UV oblast), lze ji regularizovatvolbou tzv. UV cutoffu |k| < ΛUV , λ > (2π) /ΛUV



Parametr lagrangiiánu Ω0 je tedy nekonecný v limite sejmutéhocutoffu ΛUV → ∞První príklad procedury renormalizace. Protoze fyzikální velicinyobsahují UV divergence, je treba:

1 regularizovat UV divergence volbou vhodného UV cutoffu (zde ΛUV )2 identifikovat príspevky, které divergují v limite sejmutého cutoffu (zde

12

∫|k|<ΛUV

d 3k(2π)3

E (k))3 pridat do lagrangiánu tzv. kontrcleny závislé na cutoffu, jejichzpríspevky zruší výše uvedené divergence (zde Ω0)

4 protoze identifikace divergentních príspevku není jednoznacná, je trebafixovat konecné cásti kontrclenu prostrednictvím fyzikálnemotivovaných podmínek normalizace (zde E0 = 0)



Renormalizovaný hamiltonián je tak

H =∫dkE (k)a+(k)a(k)

Tento hamiltonián lze zapsat ve tvaru

H =:12

∫dkE (k)

(a+(k)a(k) + a(k)a+(k)

):

kde : O : je tzv. normální usporádádníNormální usporádání libovolného monomu sestrojeného z kreacních aanihilacních operátoru obdrzíme tak, ze preskupíme všechny anihilacníoperátory napravo od všech kreacních, pricemz postupujeme tak, jakokdyby kreacní a anihilacní operátory navzájem komutovaly, napr.

: a(k1)a+(q1)a(k2)a+(q2) := a+(q1)a+(q2)a(k1)a(k2)

Pro lineární kombinace monomu dodefinujeme normální usporádádnílineárne



Problém UV divergence hustoty energie vakua a soucasne problémtranslacní invariance vakua tedy souvisí s problémem operátorovéhousporádáníPredepíšeme-li normální usporádání pro hamiltonián, muzeme vlagrangiánu polozit Ω0 = 0.Podobne pro ostatní generátory Poincareho algebry.

Cvicení: Najdete rozdíl ∆P mezi “πφ“ usporádáním a normálnímusporádáním operátoru P

∆P = −∫d3xπ∇φ+ :

∫d3xπ∇φ :

Ukazte, ze regularizujeme-li v tomto rozdílu UV divergenci UV cutoffemΛUV a IR divergenci uzavrením do konecného objemu V , tj.∫

dk→∫|k|<ΛUV

dk, δ(3)(k− k′) k→k′

→ δ(3)(0) =V

(2π)3

pak tento rozdíl vymizí v poradí limit limV→∞ limΛUV→∞ ∆P = 0J. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 268 / 1311


Vlastnosti normálního usporádání:1 Ve fockovské representaci platí pro libovolný monom O 6= 1

〈0| : O : |0〉 = 02 Uvnitr znaku normálního usporádání všechny operátory komutují3 Maticové elementy normálne usporádaných monomu mezinormalizovatelnými stavy jsou konecné

4 Pro operátory pole máme φ(x) = φ+(x) + φ−(x) a φ+(x) 3 a(k),φ−(x) 3 a+(k), tedy

: φ(x)φ(y) : = :(φ+(x) + φ−(x)

) (φ+(y) + φ−(y)

):

= φ(x)φ(y)− φ+(x)φ−(y) + φ−(y)φ+(x)

= φ(x)φ(y)−[φ+(x), φ−(y)

]= φ(x)φ(y)− i∆+(x − y)

tedy: φ(x)φ(y) := φ(x)φ(y)− i∆+(x − y)

i∆+(x − y) = 〈0| φ(x)φ(y)|0〉 se nekdy nazývá normální kontrakceJ. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 269 / 1311


Ilustrace konecnosti maticových elementu normálne usporádanéhomonomu: pocítejme

M = 〈ψ| : a(l1)a+(l2) : |χ〉 = 〈ψ|a+(l2)a(l1)|χ〉

|ψ〉 =1√2!

∫dk1dk2ψ (k1, k2) |k1, k2〉

|χ〉 =1√2!

∫dq1dq2χ (q1,q2) |q1, q2〉

kde funkce ψ (k1, k2) a χ (q1,q2) jsou symetrické vzhledem k zámene1↔ 2 a kde normy a skalární soucin jsou konecné

〈ψ|ψ〉 =∫dk1dk2 |ψ (k1, k2)|2 < ∞

〈χ|χ〉 =∫dq1dq2 |χ (q1,q2)|2 < ∞

〈ψ|χ〉 =∫dk1dk2ψ∗ (k1, k2) χ (k1, k2) < ∞



Máme

M =12

∫ 2

∏i=1dki dqiψ∗ (k1, k2) χ (q1,q2)M (ki , li , qi )

kde

M (ki , li , qi ) =〈0|a (k1) a (k2) a+(l2)a(l1)a+(q1)a+(q2)|0〉

Pri výpoctu budeme postupne prekomutovávat a (k1) doprava, vevzniklých clenech pak a+(l2) doleva. Pro zkrácení zápisu oznacme

δ(3)(k− l) ≡ (2π)3 2E (k)δ(3)(k− l)



Máme tedy

M (ki , li , qi ) = 〈0|a (k1) a (k2) a+(l2)a(l1)a+(q1)a+(q2)|0〉

= δ(3)(k1 − l2)〈0|a (k2) a(l1)a+(q1)a+(q2)|0〉

+〈0|a (k2) a+(l2)a(l1)a (k1) a+(q1)a+(q2)|0〉

= δ(3)(k1 − l2)〈k2l1|q1q2〉

+δ(3)(k1 − q1)〈0|a (k2) a+(l2)a(l1)a+(q2)|0〉

+δ(3)(k1 − q2)〈0|a (k2) a+(l2)a(l1)a+(q1)|0〉

= δ(3)(k1 − l2)〈k2l1|q1q2〉

+δ(3)(k1 − q1)δ

(3)(k2 − l2)〈l1|q2〉

+δ(3)(k1 − q2)δ

(3)(k2 − l2)〈l1|q1〉



tedy, protoze

〈k2l1|q1q2〉 = δ(3)(k2 − q1)δ

(3)(l1 − q2) + δ

(3)(k2 − q2)δ

(3)(l1 − q1)

máme napr.

δ(3)(k1 − l2)〈k2l1|q1q2〉 = δ

(3)(k1 − l2)δ

(3)(k2 − q1)δ

(3)(l1 − q2)

+δ(3)(k1 − l2)δ

(3)(k2 − q2)δ

(3)(l1 − q1)

takze

12

∫ 2

∏i=1dki dqiψ∗ (k1, k2) χ (q1,q2) δ

(3)(k1 − l2)〈k2l1|q1q2〉

=12

∫dq1ψ∗ (l2,q1) χ (q1, l1) +

12

∫dq2ψ∗ (l2,q2) χ (l1,q2)

=∫dqψ∗ (l2,q) χ (l1,q) =

∫dqψ∗ (q, l2) χ (q, l1)



Poslední dva cleny vM (ki , li , qi )

δ(3)(k1 − q1)δ

(3)(k2 − l2)〈l1|q2〉+ δ

(3)(k1 − q2)δ

(3)(k2 − l2)〈l1|q1〉

se liší jen zámenou q1 ↔ q2, χ (q1,q2) je ale symetrická, tedy oba clenydají dohromady tentýz príspevek

12

∫ 2

∏i=1dki dqiψ∗ (k1, k2) χ (q1,q2) δ

(3)(k1 − q1)δ

(3)(k2 − l2)〈l1|q2〉

=12

∫dqψ∗ (q, l2) χ (q, l1)



Dohromady

M = 〈ψ| : a(l1)a+(l2) : |χ〉 = 2∫dqψ∗ (q, l2) χ (q, l1) < ∞

skoro všude vzhledem k míre d l1d l2, nebo,t∫

dq |ψ (q, l2)|2 < ∞,∫dq |χ (q, l1)|2 < ∞

skoro všude vzhledem k mírám d l1 a d l2. V obecném prípade je výsledekpodobný, schematicky : O := a+(lk ) . . . a(ll )

〈ψ| : O : |χ〉 3∫dki dqjψ∗ (ki ) χ (qj ) 〈0|a (ki ) . . . : O : a+(qj ) . . . |0〉

=∫

∏jdqjψ∗ (qj , li ) χ

(qj , lk

)< ∞



Casto je treba vyjádrit souciny operátoru pole pomocí normálneusporádaných monomu. Rešení této úlohy dává tzv. Wickova veta:

pro sudý monom máme Wickuv rozvoj

φ(x1)φ(x2) . . . φ(x2n) = W2n

W2n = : φ(x1)φ(x2) . . . φ(x2n) :+ ∑〈i<j〉

i∆+(xi − xj ) : φ(x1) . . . φ(x2n) :ij

+ ∑〈i<j〉〈k<l〉

i∆+(xi − xj )i∆+(xk − xl ) : φ(x1) . . . φ(x2n) :ijkl

+ . . .+ ∑〈i1<j1〉...〈in<jn〉

n

∏k=1

i∆+(xik − xjk )

kde : φ(x1)φ(x2) . . . φ(x2n) :i1 i2 ...im znací vynechání φ(xi1) . . . φ(xim )



resp. pro lichý monom máme Wickuv rozvoj

φ(x1)φ(x2) . . . φ(x2n+1) = W2n+1

W2n+1 = : φ(x1)φ(x2) . . . φ(x2n+1) :+ ∑〈i<j〉

i∆+(xi − xj ) : φ(x1) . . . φ(x2n+1) :ij

+ ∑〈i<j〉〈k<l〉

i∆+(xi − xj )i∆+(xk − xl ) : φ(x1) . . . φ(x2n+1) :ijkl

+ . . .+ ∑〈i1<j1〉...〈in<jn〉

n

∏k=1

i∆+(xik − xjk )φ(xl )

kde l 6= ik , jk pro k = 1, . . . , n.



Príklad aplikace Wickova teorému

φ(x1)φ(x2)φ(x3)φ(x4) =: φ(x1)φ(x2)φ(x3)φ(x4) :+i∆+(x1 − x2) : φ(x3)φ(x4) : +i∆+(x1 − x3) : φ(x2)φ(x4) :+i∆+(x1 − x4) : φ(x2)φ(x3) : +i∆+(x2 − x3) : φ(x1)φ(x4) :+i∆+(x2 − x4) : φ(x1)φ(x3) : +i∆+(x3 − x4) : φ(x1)φ(x2) :+i∆+(x1 − x2)i∆+(x3 − x4)+i∆+(x1 − x3)i∆+(x2 − x4)+i∆+(x1 − x4)i∆+(x2 − x3)

odtud máme okamzite napr.

〈0|φ(x1)φ(x2)φ(x3)φ(x4)|0〉 = i∆+(x1 − x2)i∆+(x3 − x4)+i∆+(x1 − x3)i∆+(x2 − x4)+i∆+(x1 − x4)i∆+(x2 − x3)



Dukaz Wickovy vety indukcí podle poctu n operátoru φ:Pro n = 2 máme

φ(x)φ(y) =: φ(x)φ(y) : +i∆+(x − y)

Predpokládejme splnení pro všechna m < n, pak (v dalším stríškaznací vynechání)

φ(x1)φ(x2) . . . φ(xn+1)

= φ(x1) . . . φ(xn)(φ+(xn+1) + φ−(xn+1)

)= φ−(xn+1)φ(x1) . . . φ(xn) + φ(x1) . . . φ(xn)φ+(xn+1)

+[φ(x1) . . . φ(xn), φ−(xn+1)

]= φ−(xn+1)φ(x1) . . . φ(xn) + φ(x1) . . . φ(xn)φ+(xn+1)

+n

∑j=1i∆+(xj − xn+1)φ(x1) . . . φ(xj ) . . . φ(xn)



Tedy podle idukcního predpokladu

φ(x1)φ(x2) . . . φ(xn+1)

= φ−(xn+1)φ(x1) . . . φ(xn) + φ(x1) . . . φ(xn)φ+(xn+1)

+n

∑j=1i∆+(xj − xn+1)φ(x1) . . . φ(xj ) . . . φ(xn)

= φ−(xn+1)Wn +Wnφ+(xn+1) +n

∑j=1i∆+(xj − xn+1)W (j)

n

Všechny cleny na pravé strane jsou normálne usporádány, první dvaobsahují všechny mozné kontrakce bez úcasti φ(xn+1), poslední clenpak všechny mozné kontrakce s úcastí φ(xn+1), tedy

φ(x1)φ(x2) . . . φ(xn+1) = Wn+1



Wickovu vetu lze uzít i k vyjádrení obycejného soucinu libovolnýchderivací polí φ(x), pritom kontrakce i∆+(x − y) je nahrazenaodpovídajícími derivacemi funkce i∆+(x − y), napr.

∂µφ(x)∂νφ(y) =: ∂µφ(x)∂νφ(y) : −i∂µ∂ν∆+(x − y)

tedy normální kontrakce polí ∂µφ(x) a ∂νφ(y), která nahradíi∆+(x − y) ve Wickove vete je

〈0|∂µφ(x)∂νφ(y)|0〉 = −i∂µ∂ν∆+(x − y)

Pomocí modifikované Wickovy vety lze jako lineární kombinacinormálních soucinu zapsat i obycejný soucin normálne usporádánýchoperátoru. Wickuv rozvoj pak obsahuje všechny normální kontrakce svýjímkou tech, které odpovídají kontrakci operátoru, jez jsou na levéstrane uvnitr normálního usporádání



Príklad modifikovaného Wickova rozvoje

: φ(x1)φ(x2) :: φ(x3)φ(x4) :=: φ(x1)φ(x2)φ(x3)φ(x4) :+i∆+(x1 − x3) : φ(x2)φ(x4) : +i∆+(x1 − x4) : φ(x2)φ(x3) :+i∆+(x2 − x3) : φ(x1)φ(x4) : +i∆+(x2 − x4) : φ(x1)φ(x3) :+i∆+(x1 − x3)i∆+(x2 − x4)+i∆+(x1 − x4)i∆+(x2 − x3)

Maticové elementy obycejného soucinu operátoru polí mezinormalizovatelnými stavy jsou UV divergentní, pokud nekteréprostorocasové argumenty koincidují. Wickuv rozvoj umoznuje tytosingularity izolovat, napr. zavedeme-li UV cutoff ΛUV

limx→y〈0|φ(x)φ(y)|0〉 = lim

x→y〈0| : φ(x)φ(y) : +i∆+(x − y)|0〉

= limx→y

i∆+(x − y) = limx→y

∫dke−ik ·(x−y ) =

∫|k|<ΛUV

dk ≈ Λ2UV

2 (2π)2



Puvodní pole Φ(x) vystupující v puvodním lagrangiánu

L[Φ] = ω0 +m2vZ 1/2Φ+12Z∂Φ · ∂Φ− 1

2Zm2Φ2

souvisí s polem φ(x)

Φ (x) = Z−1/2 (φ(x) + v)

= Z−1/2∫dk(a(k)e−ik ·x + a+(k)eik ·x

)+ Z−1/2v

Toto pole má na rozdíl od pole φ(x) nenulovou vakuovou stredníhodnotu

〈0|Φ (x) |0〉 = Z−1/2v

Zobecnený impuls je

Π (x) = Z∂tΦ (x) = Z 1/2π (x)

tedy Φ(x) a Π (x) splnují kanonické komutacní relace



Pole Φ (x) ale splnuje modifikovanou KG rovnici ve tvaru(+m2

)Φ (x) = m2vZ−1/2

Pole Φ(x) a Π (x) predstavují unitárne neekvivalentní representacikanonických komutacních relací ve stejných casech, tj. na Fockoveprostoru neexistuje unitární operátor U (t) s vlastností

U (t) φ(t, x)U (t)+ = φ(t, x) + vU (t)π(t, x)U (t)+ = π(t, x)

- viz následující cvicení.



Cvicení: Ukazte, ze operátor

A(t) = i∫d3xπ(t, x) = −A(t)+ = 1

2

(a(m, 0)e−imt − a+(m, 0)eimt

)splnuje relace

[A(t), φ(t, x)] = 1.Pomocí CBH formule ukazte, ze formálne

U (t) φ(t, x)U (t)+ = φ(t, x) + v

kdeU (t) = exp (vA(t)) .



Cvicení: Pomocí formule eAeB = eA+B+12 [A,B ] platné tehdy, je-li [A,B ]

násobek jednotky, ukazte, ze pro operátor

U (t) = exp(iv∫d3xπ(t, x)

)platí vyjádrení pomocí normálního usporádání ve tvaru

U (t) =: U (t) : exp(−14v2 (2π)3mδ(3) (0)

)tedy, zavedeme-li IR regularizaci (2π)3 δ(3) (0)→ V , platí pro maticovéelementy mezi normalizovatelnými stavy

limV→∞〈α|U (t) |β〉 = 〈α| : U (t) : |β〉 lim

V→∞exp

(−14v2mV

)= 0

Operátor U (t) je tedy na Fockove prostoru roven nule.J. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 286 / 1311


Komplexní skalární pole

Komplexní skalární pole muze být interpretováno jako teorie dvoureálných skalárních polí

φ (x) =1√2(φ1 (x) + iφ2 (x))

kde

φ1 (x) =√2Re φ (x) =

1√2(φ (x) + φ∗ (x))

φ2 (x) =√2 Im φ (x) = − i√

2(φ (x)− φ∗ (x))



Nejobecnejší lagrangián je tak funkcí φi (x) resp. reálnou funkcíφ∗ (x) φ (x) a φ∗ (x) a prvních derivací

L[φi ] = f (φi ,Xij )

kdeXij = ∂φi · ∂φj

resp. v komplexním znacení

L[φ, φ∗] = L∗[φ∗, φ] = g (φ, φ∗,X ,X ∗,Y )

kdeX = ∂φ · ∂φ, Y = ∂φ∗ · ∂φ



Volná pole odpovídají kvadratickému priblízení

L0[φi ] = ω0 + aiφi +12Z ijXij −

12M ijφiφj

Cvicení: Nech ,t M a Z jsou positivne definitní. Ukazte, ze redefinicí

φi = Oki

(Z k)−1/2

ϕk +(M−1

)ij a

j

kde matice O je orthogonální matice diagonalizující Z

OTZO = diag(Z 1,Z 2

)≡ Z

prejde L0[φi ] na tvar

L0[ϕi ] = Ω0 +2

∑i=1

12

∂ϕi · ∂ϕi −12Mij ϕi ϕj

kde (zde Z−1/2 = diag((Z 1)−1/2

,(Z 2)−1/2

))

M = Z−1/2OTMOZ−1/2 =MT , Ω0 = ω0 +12

(M−1

)kj a

kaj



Bez újmy na obecnosti je tak nejobecnejší lagrangián ve tvaru

L0[ϕi ] = Ω0 +2

∑i=1

12

∂ϕi · ∂ϕi −12Mij ϕi ϕj

orthogonální transformací, která nemení formu kinetického clenu

ϕi = Rji φj

takovou, ze R diagonalizujeM

RTMR = diag(m21 ,m

22

)dostaneme lagrangián dvou nezávislých skalárních polí φi s hmotamimi

L0[φi ] = Ω0 +2

∑i=1

(12

∂φi · ∂φi −12m2i φ2i



Pokud m1 = m2 = m, má lagrangián

L0[φi ] = Ω0 +2

∑i=1

(12

∂φi · ∂φi −12m2φ2i

)dodatecnou vnitrní O (2) ≈ U(1) symetrii

φ′i = Rjiφj

kde R ∈O (2) je orthogonální 2× 2 maticeV komplexním zápisu

L0[φ, φ∗] = Ω0 + ∂φ∗ · ∂φ−m2φ∗φ

je tato symetrieφ′ = e−iαφ, φ∗′ = e iαφ∗



V infinitesimální forme

δφ = δ0φ = −iφ, δφ∗ = δ0φ∗ = iφ∗

a mámeδL0[φ, φ∗] = 0

Tedy zachovávající se proud je

jµ =∂L0∂∂µφ

δ0φ+∂L0

∂∂µφ∗δ0φ∗ = −i∂µφ∗φ+ iφ∗∂µφ = iφ∗

←→∂ µφ

a zachovávající se náboj je

Q =∫d3xj0 = i

∫d3xφ∗

←→∂ tφ =

∫d3x

(∂tφi ε

ijφj

)kde εij = −εji , ε12 = 1 je dvoudimenzionální Levi-Civituv symbol.



Akce

S [φ, φ∗] =∫d4xL0[φ, φ∗] =

∫d4x

(Ω0 + ∂φ∗ · ∂φ−m2φ∗φ

)má ješte diskrétní symetrie

1 Nábojovou konjugaci

φ (x) → φc (x) = ζ∗φ∗ (x)

φ∗ (x) → φ∗c (x) = ζφ (x)

kde ζ je libovolná pevne zvolená fáze2 Paritu

φ (x) → φP (x) = η∗φ (x)

φ∗ (x) → φ∗P (x) = ηφ∗ (x)

3 Casovou inverzi

φ (x) → φT (x) = η∗T φ (−x)φ∗ (x) → φ∗T (x) = ηT φ∗ (−x)



Kanonické kvantování predepisuje kanonické komutacní relace[φi (x), φj (y)

]x 0=y 0

= [πi (x),πj (y)]x 0=y 0 = 0,

[φi (x),πj (y)]x 0=y 0 = iδijδ(3)(x− y)

a vede na dve kopie kvantového reálného skalárního pole

φi (x) =∫dk(ai (k)e−ik ·x + a+i (k)e

ik ·x)

πi (x) = −i∫dkE (k)

(ai (k)e−ik ·x − a+i (k)eik ·x

)kde [

ai (k), a+j (k′)]= (2π)3 δij2E (k)δ(3)(k− k′)[

ai (k), aj (k ′)]=

[a+i (k), a

+j (k

′)]= 0

representované fockovsky na direktním soucinu dvou Fockovýchprostoru F = F1 ⊗F2



Vakuum je direktním soucinem

|0〉 = |0〉1 ⊗ |0〉2, ai (k)|0〉 = 0

Predepíšeme-li normální usporádání pro generátory Poincareho grupy,máme Ω0 = 0 a

H = H1 +H2 =2

∑i=1

∫dkE (k)a+i (k)ai (k)

P = P1 +P2 =2

∑i=1

∫dk ka+i (k)ai (k)

podobne J = J1 + J2, N = N1 +N2Spocítejme ješte zachovávající se náboj Q, (všimneme si, ze zde neníproblém s usporádáním, nebo ,t πi a φj a stejne ai (k) a a

+j (k)

komutují pro i 6= j)J. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 295 / 1311


Máme

Q =∫d3x

(∂tφi ε

ijφj

)=∫d3x

(πi ε

ijφj

)=

= −i∫dkdqd3xei (k+q)·xE (k)εij

(ai (k)− a+i (k)

) (aj (q) + a+j (q)

)= − i

2

∫dkεij

(ai (k)− a+i (k)

) (aj (k) + a+j (k)

)= − i

2

∫dkεij

(ai (k)aj (k)− a+i (k)a+j (k)

)+i2

∫dkεij

(a+i (k)aj (k)− a+j (k)ai (k)

)ale první clen neprispeje po kontrakci s εij , nebo ,t je symetrický:∫

dkai (k)aj (k)k→−k=

∫dkaj (k)ai (k)∫

dka+i (k)a+j (k)

k→−k=

∫dka+j (k)a

+i (k)



Výsledek je tak

Q = i∫dkεij

12

(a+i (k)aj (k)− a+j (k)ai (k)

)= i

∫dkεija+i (k)aj (k)

Cvicení: Overte explicitním výpoctem ze Q je integrál pohybu, tj.[Q,H ] = 0. Ukazte, ze

[Q, φi (x)] = −iεijφj (x)[Q, a+j (k)

]= −iεjia+i (k)

Jaká je fyzikální interpretace náboje Q ? Na jednocásticové stavypusobí Q následovne

Q |k〉j = Qa+j (k)|0〉 =[Q, a+j (k)

]|0〉 = −iεjia+i (k)|0〉 = −iεji |k〉i

tj.Q |k〉1 = −i |k〉2, Q |k〉2 = i |k〉1



protozeQ |k〉1 = −i |k〉2, Q |k〉2 = i |k〉1

definujme nové jednocásticové stavy

|k±〉 = 1√2(|k〉1 ∓ i |k〉2)

pro |k±〉 máme

Q |k±〉 =1√2(Q |k〉1 ∓ iQ |k〉2) =

1√2(−i |k〉2 ± |k〉1)

= ± 1√2(|k〉1 ∓ i |k〉2) = ±|k±〉

Tedy stavy |k±〉 jsou vlastními stavy náboje Q



Stavy |k±〉 jsou kreovány z vakua novými kreacními operátory

a+± (k) =1√2

(a+1 (k)∓ ia+2 (k)

)které spolu hermitovsky sdruzenými operátory

a± (k) =1√2(a1(k)± ia2(k))

splnují komutacní relace[a±(k), a+±(k

′)]= (2π)3 2E (k)δ(3)(k− k′)[

a±(k), a+∓(k′)]=

[a±(k), a∓(k ′)

]=[a+±(k), a

+∓(k

′)]= 0[

a±(k), a±(k ′)]=

[a+±(k), a

+±(k

′)]= 0

Cvicení: Dokazte tyto relace.



Platí [Q, a+±(k)

]=

1√2

[Q,(a+1 (k)∓ ia+2 (k)

)]= ±a+±(k)

[Q, a±(k)] =1√2[Q, (a1(k)± ia2(k))] = ∓a±(k)

Cvicení: Dokazte.

Z predchozího výsledku plyne, ze stavy a+q1(p1)a+q2 (p2) . . . a+qn (pn) |0〉,

kde qi = ±1, jsou vlastními stavy Q s vlastní hodnotou ∑nj=1 qj

Qa+q1(p1)a+q2 (p2) . . . a+qn (pn) |0〉

=[Q, a+q1(p1)

]. . . a+qn (pn) |0〉+ a

+q1(p1)Qa

+q2 (p2) . . . a+qn (pn) |0〉

= q1a+q1(p1) . . . a+qn (pn) |0〉+ a+q1(p1)Qa

+q2 (p2) . . . a+qn (pn) |0〉

= . . . =

(n

∑j=1qj

)a+q1(p1)a

+q2 (p2) . . . a+qn (pn) |0〉



Pomocí operátoru

a± (k) =1√2(a1(k)± ia2(k)) , a+± (k) =

1√2

(a+1 (k)∓ ia+2 (k)

)muzme zapsat komplexní pole φ(x)

φ(x) =1√2(φ1(x) + iφ2(x))

=∫dk(a+(k)e−ik ·x + a+−(k)e

ik ·x)

a hermitovsky sdruzené pole

φ(x)+ =1√2(φ1(x)− iφ2(x))

=∫dk(a−(k)e−ik ·x + a++(k)e

ik ·x)



Pole

φ(x) =∫dk(a+(k)e−ik ·x + a+−(k)e

ik ·x)

φ(x)+ =∫dk(a−(k)e−ik ·x + a++(k)e

ik ·x)

splnují komutacní relace

[φ(x), φ(y)] =[φ(x)+, φ(y)+

]= 0[

φ(x), φ(y)+]= i∆(x − y)

[Q, φ (x)] = −φ (x) ,[Q, φ (x)+

]= φ (x)+

jde tudíz o kauzální pole

Pole φ(x) anihiluje cástice s nábojem q = 1 a kreuje anticástice snábojem q = −1, pole φ(x)+ anihiluje anticástice s nábojem q = −1a kreuje cástice s nábojem q = +1



Hamiltonián, impuls a náboj Q v termínech kreacních a anihilacníchoperátoru cástic a anticástic mají tvar

H =2

∑i=1

∫dkE (k)a+i (k)ai (k)

=∫dkE (k)

(a++(k)a+(k) + a

+−(k)a−(k)

)P =

∫dk k

(a++(k)a+(k) + a

+−(k)a−(k)

)Q = i

∫dkεija+i (k)aj (k) =

∫dk(a++(k)a+(k)− a+−(k)a−(k)

)Cvicení: Ukazte, ze [P,Q ] = 0.



Diskrétní symetrie representujme na Fockove prostoru unitárnímioperátory C, P a antiunitárním operátorem T tak, aby

Cφ (x) C−1 = ζ∗φ (x)+

Pφ (x)P−1 = η∗Pφ (x)

T φ (x) T −1 = η∗T φ (−x)C|0〉 = P|0〉 = T |0〉 = |0〉

hermitovským sdruzením

Cφ (x)+ C−1 = ζφ (x)

Pφ (x)+ P−1 = ηPφ (x)+

T φ (x)+ T −1 = ηT φ (−x)+



Pro C máme explicite

Cφ (x) C−1 =∫dk(Ca+(k)C−1e−ik ·x + Ca+−(k)C−1eik ·x

)!= ζ∗

∫dk(a−(k)e−ik ·x + a++(k)e

ik ·x)

Porovnáním a hermitovským sdruzením

Ca+(k)C−1 = ζ∗a−(k), Ca++(k)C−1 = ζa+−(k)

Ca+−(k)C−1 = ζ∗a++(k), Ca−(k)C−1 = ζa+(k)

Máme tedy

Ca++(k)C−1 = ζa+−(k), Ca+−(k)C−1 = ζ∗a++(k)

odtud plyne

C|k+〉 = Ca++(k)C−1C|0〉 = ζa+−(k)|0〉 = ζ|k−〉C|k−〉 = Ca+−(k)C−1C|0〉 = ζ∗a++(k)|0〉 = ζ∗|k+〉



Podobne

Pφ (x)P−1 =∫dk(Pa+(k)P−1e−ik ·x + Pa+−(k)P−1eik ·x

)!= η∗P

∫dk(a+(k)e−ik ·x + a+−(k)e

ik ·x)

= η∗P

∫dk(a+(k)e−ik ·x + a+−(k)e

ik ·x)

a tak

Pa+(k)P−1 = η∗Pa+(k), Pa++(k)P−1 = ηPa++(k)

Pa+−(k)P−1 = η∗Pa+−(k), Pa−(k)P−1 = ηPa−(k)

na jednocásticové stavy

P|k+〉 = Pa++(k)P−1P|0〉 = ηPa++(k)|0〉 = ηP |k+〉

P|k−〉 = Pa+−(k)P−1P|0〉 = η∗Pa+−(k)|0〉 = η∗P |k−〉

tj. soucin vnitrní parity cástice a anticástice je ηPη∗P = 1



Pro casovou inverzi

T φ (x) T −1 =∫dk(T a+(k)T −1eik ·x + T a+−(k)T −1e−ik ·x

)!= η∗T

∫dk(a+(k)eik ·x + a+−(k)e

−ik ·x)

= η∗T

∫dk(a+(k)eik ·x + a+−(k)e

−ik ·x)

odkud

T a+(k)T −1 = η∗T a+(k), T a++(k)T −1 = ηT a++(k)

T a+−(k)T −1 = η∗T a+−(k), T a−(k)T −1 = ηT a−(k)

na jednocásticové stavy

T |k+〉 = T a++(k)T −1T |0〉 = ηT a++(k)|0〉 = ηT |k+〉

T |k−〉 = T a+−(k)T −1T |0〉 = η∗T a+−(k)|0〉 = η∗T |k−〉



Cvicení: Ukazte, ze na obecný element base

Ca+q1(p1)a+q2 (p2) . . . a+qn (pn) |0〉 = ζQna+−q1(p1)a

+−q2 (p2) . . . a+−qn (pn) |0〉

Pa+q1(p1)a+q2 (p2) . . . a+qn (pn) |0〉 = ηQnP a

+q1(p1)a

+q2 (p2) . . . a+qn (pn) |0〉

T a+q1(p1)a+q2 (p2) . . . a+qn (pn) |0〉 = ηQnT a

+q1(p1)a

+q2 (p2) . . . a+qn (pn) |0〉.

kde Qn = ∑nj=1 qj je celkový náboj stavu.

Ukazte, ze

[Ji ,Q ] = [Ni ,Q ] = 0,

CQC−1 = −Q, PQP−1 = T QT −1 = Q



Pri konstrukci zdola v principu muzeme pripustit ruzné fáze ζ, ηP aηT u cástic a ζc , ηcP a ηcT u anticástic. Kauzalita ale vyzaduje, abyCφ (x) C−1, Pφ (x)P−1 a T φ (x) T −1byla kauzální pole, komutujícís φ(y) pro (x − y)2 < 0. Tento pozadavek vede na relace

ζc = ζ∗, ηcP = η∗P , ηcT = η∗T

Ve formalismu kanonického kvantování jsme je obdrzeli jako dusledeksymetrie akce.Reálné skalární pole lze chápat jako pole, pro nez cástice je identickás anticásticí, tj.

ζc = ζ, ηcP = ηP , ηcT = ηT

coz spolu s predchozími relacemi dává

ζ = ζ∗ = ±1, ηP = η∗P = ±1, ηT = η∗T = ±1.

Pole je pak az na fázi invariantní vzhledem k C, Cφ (x) C−1 = ζφ (x)



Príklad cástic popsaných reálným nebo komplexním skalárním polem

neutrální pion π0 (reálné skalární pole)

mπ0 = 134.9766± 0.0006MeV, JPC = 0−+

nabité piony π± (komplexní skalární pole, π− = (π+)∗, Q jeelektrický náboj)

mπ± = 139.57018± 0.00035MeV, JPC = 0−−

Pribliznemπ0 ≈ mπ± ≡ mπ

Duvodem je priblizná symetrie, tzv. izospinová symetrie



Pouzijeme-li reálný formalismus pro komplexní pole π± a oznacíme-li

π± → 1√2(φ1 ± iφ2) , π0 → φ3

lze psát pro lagrangián systému(π±,π0

)priblizne psát

Lπ =3

∑i=1

(12

∂φi · ∂φi −12m2πφ2i

)Lπ má O(3) ≈ SU(2) symetrii, v infinitesimálním tvaru (εijk je3-dimensionální Levi-Civituv symbol)

δ0i φj = εijkφk

Cvicení: Najdete zachovávající se náboje Qi , i = 1, 2, 3 a vyjádrete je vtermínech kreacních a anihilacních operátoru

(π±,π0

). Ukazte, ze Q3 je

elektrický náboj nabitých pionu. Dokazte komutacní relace

[Qi ,Qj ] = −iεijkQkJ. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 311 / 1311

Interagující pole

Interagující pole

Dosud diskutované konstrukce reálného skalárního pole a komplexníhoskalárního pole popisovaly neinteragující bosony s nulovým spinem,reálné cástice ale interagují, tento popis je tedy neúplný

Vícecásticové stavy z Fockova prostoru lze chápat jako priblízení,odpovídající dostatecne prostorove separovaným cásticím (tj. témernecícítícím interakci) v casech daleko pred resp. po rozptylovémexperimentu (srázce).

Stavy |k1, . . . kn〉 jsou vlastními stavy volného hamiltoniánu H0 avolného operátoru tríimpulsu P0 (prípadne zachovávajícího se nábojeQ). Na Fockove prostoru jsme meli definovány i další generátoryPoincareho grupy, J0 (celkový impulsmoment) a N0 (generátoryboostu), splnujících Poincareho algebru


Interagující pole

Interakci lze implementovat modifikací hamiltoniánu

H0 → H = H0 +HI

kde HI je interakcní hamiltonián.Tedy, pokud chceme relativistickou teorii, musíme

H = H0 +HI

chápat jako generátor casových translací v interagující teorii a doplnitho o modifikované generátory prostorových translací P, rotací J aboostu N, tak, aby tyto generátory splnovaly Poincareho algebru[

H,P i]=

[H, J i

]= 0[

P i , J j]= iεijkPk ,

[N i , J j

]= iεijkNk[

J i , J j]= iεijkJk ,

[N i ,N j

]= −iεijkJk[

P i ,N j]= iδijH,

[H,N i

]= iP i


Interagující pole

Poincareho algebra v termínech volných generátoru má tvar[H0,P i0

]=

[H0, J i0

]= 0[

P i0, Jj0

]= iεijkPk0 ,

[N i0, J

j0

]= iεijkNk0[

J i0, Jj0

]= iεijkJk0 ,

[N i0,N

j0

]= −iεijkJk0[

P i0,Nj0

]= iδijH0,

[H0,N i0

]= iP i0

Tedy pozadujeme-li [HI ,P

i0

]=[HI , J

i0

]= 0

a polozíme-liP = P0, J = J0

splníme automaticky relace neobsahující N[H,P i

]=[H, J i

]= 0,

[P i , J j

]= iεijkPk ,

[J i , J j

]= iεijkJk


Interagující pole

Protoze jsme zvolili P i = P i0, implikují relace[P i0,N

j0

]= iδijH0[

P i ,N j]=

[P i0,N

j ] = iδijH = iδijH0 + iδijHInutnost modifikovat také generátory boostu

N = N0 +NI

tak, aby [P i0,N

jI

]= iδijHI

dále, máme [H0,N i0

]= iP i0,

[H,N i

]= iP i = iP i0

a tak musí být [HI ,N

i0

]+[H,N iI

]= 0


Interagující pole

Konecne N iI musí být vektor vzhledem k rotacím[N iI , J

j0

]= iεijkNkI

a aby platilo [N i ,N j

]= −iεijkJk = −iεijkJk0

musí platit [N iI ,N

jI

]+[N i0,N

jI

]+[N iI ,N

j0

]= 0

Existují i jiné modifikace volné Poincaréhovy algebry, napr.

N = N0, J = J0Pµ = Pµ

0 + PµI

Jak uvidíme, nášvýber je svázán s metodou kanonického kvantování


Interagující pole

Jak víme z kanonického kvantování volného skalárního pole, naFockove prostoru jsou generátory H0, P0, J0 a N0 vyjádreny pomocívolných polí φ a π, jejichz casový vývoj je dán volnýmhamiltoniánem H0, spec.

H0 =∫x 0=t

d3x H0, P0 = −∫d3xπ∇φ,

J0 = −∫d3xπ (x×∇) φ, N0 = −

∫x 0=t

d3x xH0 + tP0

Pokud tedy chceme v interagující teorii podrzet

P = P0, J = J0

je vhodné pracovat v Diracove interakcním obrazu casového vývoje.


Interagující pole

Diracuv interakcní obraz

Nech ,t celkový hamiltonián je suma volné a interagující cásti

H = H0 +HI

Diracuv obraz stavu |ψD (t)〉 souvisí se Schroendingerovým obrazem|ψS (t)〉 a Heinsebergovým obrazem |ψH 〉 unitární tranformacízávislou na case

|ψD (t)〉 = eiH0t |ψS (t)〉 = eiH0te−iHt |ψS (0)〉 = eiH0te−iHt |ψH 〉

Pozadavek rovnosti maticových elementu

〈ψD (t)|OD (t) |χD (t)〉 = 〈ψS (t)|OS |χS (t)〉 = 〈ψH |OH (t) |χH 〉

dává pro casovou závislost operátoru

OD (t) = eiH0tOSe−iH0t = eiH0te−iHtOH (t) eiHte−iH0t

OD (0) = OS = OH (0)


Interagující pole

Casový vývoj operátoru je tak urcen volnou Heisenbergovou rovnicí

iddtOD (t) = [OD (t) ,H0] , OD (0) = OS

Stavy splnují

iddt|ψD (t)〉 = i

ddt

eiH0t |ψS (t)〉 = −H0eiH0t |ψS (t)〉+ eiH0t iddt|ψS (t)〉

S uzitím Schroendingerovy rovnice

iddt|ψS (t)〉 = (H0 +HI )S |ψS (t)〉 = (H0 +HI )S e−iH0t |ψD (t)〉

⇒ iddt|ψD (t)〉 = −H0|ψD (t)〉+ eiH0t (H0 +HI )S e−iH0t |ψD (t)〉

= eiH0tHISe−iH0t |ψD (t)〉Dohromady

iddt|ψD (t)〉 = HID (t)|ψD (t)〉, |ψD (0)〉 = |ψS (0)〉 = |ψH 〉


Interagující pole

Rešení rovnice

iddt|ψD (t)〉 = HID (t)|ψD (t)〉

lze formálne zapsat ve tvaru

|ψD (t)〉 = S(t, t0)|ψD (t0)〉

kde S(t, t0) je rešení rovnice

iddtS(t, t0) = HID (t)S(t, t0), S(t0, t0) = 1

nebo ekvivalentní integrální rovnice

S(t, t0) = 1− i∫ t

t0dτHID (τ)S(τ, t0)


Interagující pole

Pro S(t, t0) tak máme postupnými iteracemi rovnice

S(t, t0) = 1− i∫ t


⇒ 1− i∫ t


= 1− i∫ t

t0dτHID (τ)

+ (−i)2∫ t

t0dτ1HID (τ1)

∫ τ1

t0dτ2HID (τ2)S(τ2, t0)

= . . . =

=∞

∑n=0

(−i)n∫ t

t0dτ1

∫ τ1

t0dτ2 . . .

∫ τn−1

t0dτnHID (τ1) . . .HID (τn)


Interagující pole

Zavedením T− soucinu

T (HID (τ1) . . .HID (τn))= ∑

σ∈Snθ(τσ(1) − τσ(2))θ(τσ(2) − τσ(3)) . . . θ(τσ(n−1) − τσ(n))

HID (τσ(1)) . . .HID (τσ(n))

máme nakonec Dysonovu formuli

S(t, t0) =∞

∑n=0

(−i)n

n!

∫ t

t0dτ1 . . . dτnT (HID (τ1) . . .HID (τn))

= T exp(−i∫ t

t0dτHID (τ)

)


Interagující pole

Casový vývoj v Diracove obrazu souvisí s casovým vývojem veSchroedingerove obrazu

|ψD (t)〉 = eiH0t |ψS (t)〉 = eiH0te−iH (t−t0)|ψS (t0)〉= eiH0te−iH (t−t0)e−iH0t0eiH0t0 |ψS (t0)〉= eiH0te−iH (t−t0)e−iH0t0 |ψD (t0)〉

odkudS(t, t0) = eiH0te−iH (t−t0)e−iH0t0

Všimneme si, ze S(t, t0) je unitární

S(t, t0)+S(t, t0) = eiH0t0eiH (t−t0)e−iH0teiH0te−iH (t−t0)e−iH0t0 = 1


Interagující pole

Amplituda pravdepodobnosti prechodu z normalizovaného stavu |i〉 vcase ti do stavu |f 〉 v case tf je

Afi (tf , ti ) = 〈f |e−iH (tf −ti )|i〉 = 〈f |iS (tf )〉 = 〈fS (ti )|i〉= 〈fS (tf )|e−iH (tf −ti )|iS (ti )〉

kde |iS (τ)〉 a |fS (τ)〉 jsou rešení Schroedingerovy rovnice shamiltoniánem H a pocátecními podmínkami

|iS (ti )〉 = |i〉, |fS (tf )〉 = |f 〉

tj.|iS (τ)〉 = e−iH (τ−ti )|i〉, |fS (τ)〉 = e−iH (τ−tf )|f 〉

Všimneme si, ze také

Afi (tf , ti ) = 〈f |eiH (τ−tf )e−iH (τ−ti )|i〉 = 〈fS (τ)|iS (τ)〉


Interagující pole

V Diracove obrazu

Afi (tf , ti ) = 〈fS (tf )|e−iH (tf −ti )|iS (ti )〉= 〈fS (tf )|e−iH0tf eiH0tf e−iH (tf −ti )e−iH0ti eiH0ti |iS (ti )〉= 〈fD (tf )|S(tf , ti )|iD (ti )〉

kde|iD (ti )〉 = eiH0ti |i〉, |fD (tf )〉 = eiH0tf |f 〉

V Heisenbergove obrazu

Afi (tf , ti ) = 〈fS (tf )|e−iH (tf −ti )|iS (ti )〉= 〈fS (tf )|e−iHtf eiHti |iS (ti )〉= 〈fH |iH 〉

kde|iH 〉 = eiHti |i〉, |fH 〉 = eiHtf |f 〉


Interagující pole

Shrnutí Diracova interakcního obrazu:

Operátory v Diracove obrazu mají stejný casový vývoj, jakoheisenbergovské operátory volné teorie

OD (t) = eiH0tOSe−iH0t

Stavy v Diracove obrazu se vyvíjejí pomocí evolucního operátoru

S(t, t0) = eiH0te−iH (t−t0)e−iH0t0 = T exp(−i∫ t

t0dτHID (τ)

)Amplituda pravdepodobnosti prechodu z normalizovaného stavu |i〉 vcase ti do stavu |f 〉 v case tf je

Afi (tf , ti ) = 〈fD (tf )|S(tf , ti )|iD (ti )〉

kde|iD (ti )〉 = eiH0ti |i〉, |fD (tf )〉 = eiH0tf |f 〉


Interagující pole

Kanonické kvantování interagujícího pole v Diracove obrazu (poruchove)

Uvazujme lagrangeovskou teorii pole a pišme lagrangián ve tvarusouctu volného a interakcního lagrangiánu

L = L0 + LIa predpokládejme, ze LI je

1 Invariantní vzhledem k Loretnzove grupe2 Lokální funkce pouze polí φa(x) a nikoliv derivací polí

TedyLI = LI (φa(x))

Pri prechodu k Hamiltonovu formalismu se tak definice kanonickysdruzených impulsu nezmení

πa (x) =∂L

∂∂tφa (x)=

∂L0∂∂tφa (x)

tedy casová derivace ∂tφa (x) je vyjáddrena pomocí φa(x) a πa (x)stejne jako ve volné teorii.


Interagující pole

Hamiltonián interagující teorie má tvar

H ≡∫d3xH =

∫d3x (πa (x) ∂tφa (x)−L)

=∫d3x (πa (x) ∂tφa (x)−L0 −LI ) = H0 +HI

kdeH0 =

∫d3x (πa (x) ∂tφa (x)−L0) ≡

∫d3x H0

je hamiltonián volné teorie a

HI = −∫d3xLI ≡

∫d3x HI

je interakcní hamiltonián.


Interagující pole

Další generátory Lorentzovy grupy jsou, jak víme obecne

P = −∫x 0=t

d3xπa∇φa = P0

J = −∫x 0=t

d3xπa(x×∇φa + iS

baφb(x)

)= J0

N = −∫x 0=t

d3x[xH+πa iBbaφb

]+ tP

= N0 −∫x 0=t

d3x xHI

Tedy generátory prostorových translací a rotací P a J jsou vyjádrenypomocí πa a φa stejnými výrazy jako ve volné teorii

Naopak generátory boostu N jsou modifikovány interakcí.


Interagující pole

Aplikujme nyní formálne proceduru kanonického kvantování nainteragující teorii s interakcí nezávisející na derivacích, budemepracovat v Diracove interakcní representaci

Tj. potrebujeme najít1 representaci kanonických komutacních relací na vhodném Hilbertoveprostoru

2 zkonstruovat representaci Poincareho algebry, príp. grupy vnitrníchsymetrií

3 identifikovat základní stav |Ω〉, jednocásticové stavy a vícecásticovérozptylové stavy interagující teorie

4 rešit Heisenbergovy pohybové rovnice pro Heisenbergovy operátory φaa πa


Interagující pole

Hilbertuv prostor vyberme totozný s Fockovým prostorem volné teorieVšechny operátory na Fockove prostoru pak budou vyjádreny pomocíkreacních a anihilacních operátoru volných cásticV case t = 0 koincidují schroedingerovské, diracovské iheisenbergovské operátory

φa (x)S = φa (0, x)D = φa (0, x)Hπa (x)S = πa (0, x)D = πa (0, x)H

Operátory φa (t, x)D , πa (t, x)D v Diracove obrazu jsou totozné sheisenbergovskými operátory volné teorie, tj. jsou vyjádreny pomocíkreacních a anihilacních operátoru na Fockove prostoru a splnujíkanonické komutacní relace ve stejných casechSchroedingerovské operátory φa (x)S a πa (x)S tedy zvolme prepisem

φa (x)S = φa (0, x)D , πa (x)S = πa (0, x)D


Interagující pole

Operátory H, P, J a N jsou nezávislé na case, pokud jsou vyjádrenypomocí heisenbergovských operátoru.

K výpoctu H, P, J a N pouzijeme x0 = 0. Tím dostaneme jejichSchroedingeruv obraz nebo ,t

φa (x)S = φa (0, x)H , πa (x)S = πa (0, x)H

Interakcní representaci techto operátoru obdrzíme substitucí φa (x),πa (x)→ φa (x)D , πa (x)DVyjádrení P a J v Diracove obrazu je tak identické s volnýmioperátory P0 a J0; protoze ty nezávisí na case, jsou identické se isvým Schroedingerovým obrazem

Hamiltonián a generátory boostu jsou modifikovány interakcí

HIS =∫d3xHI (φa (0, x)D ) NIS = −

∫d3x xHI (φa (0, x)D )


Interagující pole

V Diracove obrazu

HID (t) =∫d3xHI (φa (t, x)D )

NID (t) = −∫d3x xHI (φa (t, x)D )

Cvicení: Dokazte pro prípad interagujícího reálného skalárního polenásledující komutacní relace (ignorujte problém operátorového usporádání)[

P i0,NjID (t)

]= iδijHID (t) ,

[HID (t) ,P

i0

]=[HID (t) , J

i0

]= 0

[HID (t) ,N

i0

]+[HD (t) ,N

iID (t)

]= 0[

N iID (t) ,NjID (t)

]+[N i0,N

jID (t)

]+[N iID (t) ,N

j0

]= 0


Interagující pole

Teorie rozptylu

rozptylový experiment - prostorove separované volné cástice (necítícíinterakci) v case ti → −∞ prodelají srázku v case t ≈ 0 a v casetf → ∞ meríme pravdepodobnost prechodu do stavu odpovídajícíchprostorove separovaným volným cásticímPocátecní a koncový stav jsou tedy ve Schroedingerove obrazupopsány jako ni resp. nf cásticové stavy

|iS (ti )〉 = ∑σj

∫ ni

∏j=1dkjψj (kj , i)σj e

−iE (kj )ti a+(kj , σj )|0〉

|fS (tf )〉 = ∑σj

∫ nf

∏j=1dkjψj (kj , f )σj e

−iE (kj )tf a+(kj , σj )|0〉

kde vlnové funkce ψj (kj , i)σj a ψj (kj , f )σj popisují vlnové balíky,

koncentrované kolem stredních hodnot k(i ,f )j a pro velká zápornáti → −∞ resp. velká kladná tf → ∞ dostatecne prostoroveseparované, tj. neinteragující


Interagující pole

Pocátecní stav v case t = ti → −∞


Interagující pole

Konecný stav v case t = tf → ∞


Interagující pole

V Diracove obrazu pak

|iD (ti )〉 ≡ |i〉 = eiH0ti |iS (ti )〉

= ∑σj

∫ ni

∏j=1dkjψj (kj , i)σj a

+(kj , σj )|0〉

|fD (tf )〉 ≡ |f 〉 = eiH0tf |fS (tf )〉

= ∑σj

∫ nf

∏j=1dkjψj (kj , f )σj a

+(kj , σj )|0〉


Interagující pole

V Diracove obrazu nás tedy zajímá tzv. S− matice

S = limtf ,i→±∞

eiH0tf e−iH (tf −ti )e−iH0ti = T exp(−i∫ ∞

−∞dτHID (τ)

)a její maticové elementy mezi pocátecním a koncovým stavem

Sfi = limtf ,i→±∞

〈f |S(tf , ti )|i〉 = 〈f |S |i〉

pravdepodobnost prechodu v Diracove obrazu je pak

Pfi (tf , ti ) = |〈fD (tf )|S(tf , ti )|iD (ti )〉|2 = |〈f |S(tf , ti )|i〉|2tf ,i→±∞→ |Sfi |2


Interagující pole

T−maticeDefinujme T−matici predpisem

S = 1+ iT

pro maticové elementySfi = δfi + iTfi

kde δfi ≡ 〈f |i〉V této formuli δfi odpovídá procesu bez interakce, Tfi popisujenetriviální cást rozptylového procesu, ovlivnenou interakcí

pro |i〉, |f 〉 orthogonální máme pro pravdepodobnost prechodu

Pfi (tf , ti )tf ,i→±∞→ |Tfi |2


Interagující pole

Vlastnosti S−matice: UnitaritaZ definice plyne, ze S−matice je unitární operátor

S+S = limtf ,i→±∞

S(tf , ti )+S(tf , ti ) = 1

S−matice je unitární, tedy máme

SS+ = 1+ i(T − T+

)+ TT+

!= 1

S+S = 1+ i(T − T+

)+ T+T

!= 1

⇒(T − T+

)= iTT+ = iT+T

odkud pro maticové elementy T−matice(Tfi − T ∗if ) = i ∑

k

TfkT∗ik = i ∑

k

T ∗kf Tki

a volbou i = f odtud dostaneme tzv. optický teorém ve tvaru

ImTii =12 ∑

f|Tif |2 =

12 ∑

f|Tfi |2


Interagující pole

Vlastnosti S−matice: Zachování energiePro S−matici obecne platí pro interakci nezávislou explicite na caseeiH0tSe−iH0t = lim

tf ,i→±∞eiH0teiH0tf e−iH (tf −ti )e−iH0ti e−iH0t

= limtf ,i→±∞

eiH0(tf +t)e−iH ((tf +t)−(ti+t))e−iH0(ti+t) = S

tedyS = eiH0tSe−iH0t = S + it [H0,S ] + . . .

a S− matice komutuje s volným hamiltoniánem

[H0,S ] = 0

Jsou-li tedy stavy |Ei 〉 a |Ef 〉 vlastními stavy volného hamiltoniánuH0, je

0 = 〈Ef | [H0, S ] |Ei 〉 = (Ef − Ei ) 〈Ef |S |Ei 〉a proto definujeme pro Sfi = 〈Ef |S |Ei 〉, (zde δfi ≡ 〈Ef |Ei 〉)

Sfi = δfi + iTfi = δfi + i (2π) δ(Ef − Ei )TfiJ. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 341 / 1311

Interagující pole

Vlastnosti S−matice: Relativistická invarianceV Diracove obrazu interagující teorie pole je S−matice operátorem naFockove prostoru volných polí, je vyjádritelná pomocí kreacních aanihilacních operátoruPro interakcní hamiltonián máme v Diracove obrazu

HID (t) =∫d3xHI (φa (t, x)D ) ≡

∫d3xHID (t, x)

a tak

S = T exp(−i∫ ∞

−∞dτHID (τ)

)= T exp

(−i∫d4xHID (t, x)

)Na Fockove prostoru máme representaci Poincarého grupy U0 (Λ, a) sgenerátory H0, P0, J0 a N0. Pozadovali jsme, aby interakcnílagrangián byl skalár, tedy na kvantové úrovni

U0 (Λ, a)HID (x)U+0 (Λ, a) = HID (Λx + a) ≡ HID(x ′)


Interagující pole

Pro rozvoj T−exponenty máme

S =∞

∑n=0

(−i)n

n!

∫d4x1 . . . d4xnT (HID (x1) . . .HID (xn))

HID (x) je skalární operátor, proto pro obycejný soucin

U0 (Λ, a)HID (x1) . . .HID (xn)U+0 (Λ, a) = HID(x ′1)

. . .HID(x ′n)

ale pro T−soucin

U0 (Λ, a)T (HID (x1) . . .HID (xn))U+0 (Λ, a)6= T ′

(HID

(x ′1)

. . .HID(x ′n))

kde T ′ je usporádání vyhledem k pretransformovaným casum

t ′i = x0′i = Λ0

µxµ + a0

nebo ,t Lorentzova transformace muze preusporádat poradí t ′ivzhledem k ti .


Interagující pole

Pro Λ ∈ L↑+ je t ′i ≶ t ′j pro ti ≷ tj mozné je tehdy, pokud

(xi − xj )2 < 0Tedy pokud

[HID (x) ,HID (y)] = 0 pro (x − y)2 < 0potom je S−matice invariantní vzhledem k Lorentzove transformaci

U0 (Λ, a) SU+0 (Λ, a) = S

Postacující podmínkou k invarianci S−matice je, aby HID (x) bylskalární funkcí kauzálních polí φa(x)DKauzální volná pole transformující se podle ruzných representacíD (Λ) Lorentzovy grupy

U0 (Λ, a) φa(x)DU+0 (Λ, a) = D

(Λ−1

)ba φb(Λx + b)D

jsou tak vhodnými stavebními kameny pro konstrukci interakcníholagrangiánu a invariantní S−matice


Interagující pole

Invariance S−matice v infinitesimální forme znamená

[P0,S ] = [J0, S ] = [N0,S ] = 0

tj. napr. pro vlastní stavy ctyrimpulsu Pµ0

Pµ0 |Pi ,f 〉 = Pi ,f |Pi ,f 〉

máme〈Pf |

[Pµ0 , S

]|Pi 〉 =

(Pµf − P

µi

)〈Pf |S |Pi 〉 = 0

Proto se obvykle píše pro maticové elementy T−matice mezivlastními stavy ctyrimpulsu |Pi ,f 〉

Sfi = δfi + iTfi = δfi + i (2π)4 δ(4)(Pf − Pi )Tfi

kde Sfi = 〈Pf |S |Pi 〉, δfi = 〈Pf |Pi 〉 a Tfi = 〈Pf |T |Pi 〉


Interagující pole

Vlastnosti S−matice: Stabilita vakua a asymptotických stavuZ[Pµ0 ,S

]= 0 a z unitarity S−matice plyne

Pµ0 S |0〉 = SP

µ0 |0〉 = 0

a tak, protoze ve Fockove prostoru je vakuum jednoznacné

S |0〉 = eiα|0〉kde

∣∣eiα∣∣ = 1, tj. vakuum je stabilní. Bez újmy na obecnosti lze prejítk matici

S → S〈0|S |0〉 = e−iαS

Podobne, pro stabilní jednocásticové cásticové stavy |k, σ〉 (pro nez jerozpad zakázán kinematicky, tj. neexistuje-li vícecásticový stav scelkovým impulsem k) máme

Pµ0 S |k, σ〉 = SP

µ0 |k, σ〉 = kµS |k, σ〉

tedy S |k, σ〉 je opet jednocásticový stav s týmz kJ. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 346 / 1311

Interagující pole

Vlastnosti S−matice: Souvislé komponentyDefinujme souvislé maticové elementy S−matice mezi stavy s nicásticemi ve stavu |i〉 a nf cásticemi ve stavu |f 〉

Sfi ≡ ∑〈fj ,ij 〉

∏jScfj ij

kde ∑〈fj ,ij 〉 je suma pres všechna mozná rozdelení cástic ve stavu |i〉a |f 〉 do klastru |ij 〉 a |fj 〉, napr.

|i〉 = |k1k2k3〉→ |k1k2k3〉, |k1k2〉 |k3〉, |k2k3〉 |k1〉, |k1k3〉 |k2〉

|k1〉 |k2〉 |k3〉Definice Scfi je rekurentní (rekurence podle poctu cástic ni a nf )

Sfi = Scfi + ∑

〈fj ,ij 〉6=〈f ,i 〉∏jScfj ij

s pocátecní podmínkou Sfi = Scfi = 〈kf |ki 〉 pro |i〉 = |ki 〉, |f 〉 = |kf 〉J. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 347 / 1311

Interagující pole

Graficky pro amplitudy 1→ 1 a 2→ 2


Interagující pole

Graficky pro amplitudu 3→ 3 (zde predpokládáme stabilníjednocásticové stavy)


Interagující pole

Souvislé maticové elementy S−matice tedy popisují rozptylovýproces, v nemz nedochází k nezávislé interakci subsystému cástic

Príspevky nezávislých interakcí subsystému se v jednotlivýchpríspevcích ke kompletní S−matici faktorizujíJak uvidíme v dalším, definujeme-li pro |i〉 a |f 〉, které jsou vlastnímistavy Pµ

0 ,

Scfi = δfi + iTcfi = δfi + i (2π)4 δ(4)(Pf − Pi )T cfi

pak maticové elementy T cfi jsou “hladké“ funkce impulsu cástic vestavech |i〉 a |f 〉, tj.neobsahují singularity typu δ−funkceV dalším se proto omezíme na maticové elementy T cfi , které jsoustavebními kameny kompletní S− matice.


Interagující pole

Rozpadová šírka a úcinný prurez

Uvazujme pocátecní koncový stav |f 〉 jako vlastní stav volnéhohamiltoniánu H0, odpovídající n volným cásticím (pro jednoduchostidentickým)

|f 〉 = |k1, σ1, . . . kn, σn〉= a+(k1, σ1) . . . a+(kn, σn)|0〉

Pripomenme rozklad jednotky na Fockove prostoru

1 = |0〉〈0|+∞

∑n=1

1n! ∑σjnj=1

∫ n

∏j=1dkj |k1, σ1, . . . kn, σn〉〈k1, σ1, . . . kn, σn |

Tedy projekcní operátor, popisující merení impulsu (a dalšíchdiskrétních kvantových císel σj ) n cástic v konecném stavu v oblasti ∆impulsového prostoru je

Π (σj ,∆) =1n!

∫∆

n

∏j=1dkj |k1, σ1, . . . kn, σn〉〈k1, σ1, . . . kn, σn |


Interagující pole

Pravdepodobnost namerení impulsu (a dalších diskrétních kvantovýchcísel σj ) n cástic v konecném stavu v oblasti ∆ impulsového prostorupri rozptylu z nenormalizovaného pocátecního stavu |i〉 je tak

P∆,i =〈i |T c+Π (σj ,∆)T c |i〉

〈i |i〉resp. v diferenciálním tvaru

dPfi =|〈k1, σ1, . . . kn, σn |T c |i〉|2

〈i |i〉1n!

n

∏j=1dkj

Jak víme,

〈k1, σ1, . . . kn, σn |T c |i〉 = (2π)4 δ(4)(Pi − Pf )T cfikde

Pf =n

∑j=1kj


Interagující pole

Tedy formálne

|〈f |T c |i〉|2 = (2π)4 δ(4)(0) (2π)4 δ(4)(Pi − Pf ) |T cfi |2

Regularizujme

(2π)4 δ(4)(0) = limk→0

∫d4xeik ·x

= limV ,T→∞

∫ T /2

−T /2dt∫Vd3x = lim

V ,T→∞VT

a pišme

dPfi =|〈f |T c |i〉|2

〈i |i〉1n!

n

∏j=1dkj

=VT〈i |i〉 |T

cfi |2 1n!(2π)4 δ(4)(Pi − Pf )

n

∏j=1dkj


Interagující pole

oznacme ješte element n−cásticového Lorentz invariantního fázovéhoprostoru (Lorentz Invariant Phase Space) jako

(2π)4 δ(4)(Pi − Pf )n

∏j=1dkj ≡ dLIPSn

Cvicení: Ukazte, ze v prípade dvou cástic se hmotami m1 a m2 vkoncovém stavu je po preintegrování pres δ−funkci

dLIPS2 = (2π)4 δ(4)(Pi − k1 − k2)2

∏j=1dkj =

pCMS(4π)2

√sdΩCMS

kde s = P2i je kvadrát invariantní hmoty ve stavu |i〉

pCMS =

√λ(s,m21 ,m

22)

2√s

, λ(a, b, c) = a2 + b2 + c2 − 2ab− 2ac − 2bc

je impuls cástic v koncovém stavu v CMS (center of mass system) v nemzk1 + k2 = 0 a dΩCMS je element prostorového úhlu impulsu k1 v CMS.J. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 354 / 1311

Interagující pole

Výsledná formule pro pravdepodobnost prechodu je tak

dPfi =1n!VT〈i |i〉 |T

cfi |2 dLIPSn

Nech ,t nyní |i〉 je jednocásticový stav, popisujeme tedy rozpadnestabilní cástice

|i〉 = a+(p, σ)|0〉potom formálne

〈i |i〉 = (2π)3 2E (p) δ(3)(0) = 2E (p) limV→∞

V

tedy pravdepodobnost rozpadu za jednotku casu v klidovém systémurozpadající se cástice (tj. p = 0, E (p) = M), tzv. parciálnídiferenciální rozpadová šírka (decay rate) je

dΓf = limT→∞

dPfiT

=1n!

12M|T cfi |

2 dLIPSn


Interagující pole

Pokud v koncovém stavu jsou cástice ruzných typu, tj. nα cástic typuα, α = 1, . . . , nF , tyto formule se modifikují. Projekcní operátorΠ (σj ,∆) je nahrazen

Π (σj ,∆)→ ⊗αΠα

(σ(α)j ,∆α

)a formule


cfi |2 dLIPSn →

(nF

∏α=1

1nα!

)VT〈i |i〉 |T

cfi |2 dLIPSn

Pro parciální diferenciální rozpadovou šírku pak máme

dΓf =nF

∏α=1

1nα!

12M|T cfi |

2 dLIPSn


Interagující pole

Parciální rozpadová šírka je integrálem pres celý fázový prostor asumou pres diskrétní kvantová císla σi (spin,....) cástic v koncovémstavu

Γf =

(nF

∏α=1

1nα!

)12M ∑

σi

∫LIPSn

|T cfi |2 dLIPSn

Totální šírka je pak suma pres všechny kinematicky prípustné konecnéstavy

Γ = ∑f

Γf

Γ souvisí s dobou zivota τ

Γ =1τ


Interagující pole

Nech ,t |i〉 je dvoucásticový stav s hmotami m a M, popisujeme tedysrázkový experiment 2→ n

|i〉 = a+(p, σ)a+(q, ζ)|0〉tedy formálne pro p 6= q〈i |i〉 = (2π)3 2E (p) δ(3)(p− p) (2π)3 2E (q) δ(3)(q− q)

± (2π)3 2E (p) δ(3)(p− q) (2π)3 2E (q) δ(3)(q− p)= (2π)3 2E (p) δ(3)(0) (2π)3 2E (q) δ(3)(0)= 4E (p)E (q) lim

V→∞V 2

kdeE (p) =

√p2 +m2, E (q) =

√q2 +M2

Pro pravdepodobnost prechodu tak máme


cfi |2 dLIPSn =

1n!

T4VE (p)E (q)

|T cfi |2 dLIPSn


Interagující pole

V experimentu se merí diferenciální úcinný prurez dσ, definovaný vlaboratorním systému (LAB) p ≡ pLAB 6= 0, q = 0, E (q) = M,

dnfi =dσfiANTNB

kde dnfi je pocet prechodu i → f , NB a NT je pocet srázejících secástic ve svazku a v tercíku a A je plocha tercíku zasazená svazkem -tj. dσNT je efektivní plocha tercíku.Pro celkový pocet cástic ve svazku, který dopadne na tercík ta dobuT trvání experimentu máme

NB = jBAT

kde jB = ρBvb je hustota toku cástic ve svazku (na jednotku plochy ajednotku casu)Tedy

dσfi =dnfiANTNB

=dnfijBTNT


Interagující pole

V našem výpoctu

dnfi = dPfi , NT = 1, jB = ρBvB = vB1V=

pLABE (pLAB )

1V

tj. v laboratorním systému

dσfi =1

jBTNT

1n!

T4VME (pLAB )

|T cfi |2 dLIPSn =

1n!|T cfi |

2

4MpLABdLIPSn

Prepišme ješte

MpLAB = M√E (pLAB )

2 −m2 =√M2E (pLAB )

2 −M2m2

=√(q · p)2 −M2m2

V obecném systému a s ruznými typy cástic v koncovém stavu

dσfi =

(nF

∏α=1

1nα!

)|T cfi |

2

4√(q · p)2 −M2m2

dLIPSn


Interagující pole


4√(q · p)2 −M2m2 = 2

√λ (s,m2,M2)

kde λ(a, b, c) je trojúhelníková funkce a s = (p + q)2. Ukazte, ze prorozptyl 1+ 2→ 3+ 4 ruzných cástic dostaneme v CMS

dσfidΩCMS

=1

64π2spfCMSpiCMS

|T cfi |2

kde pf ,iCMS jsou impulsy cástice 1 a 3 v CMS. Definujme dále kvadrátpreneseného impulsu

t = (p1 − p3)2

Ukazte zedσfidt

=1

64πs(piCMS

)2 |T cfi |2J. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 361 / 1311

Interagující pole

Pripomenme relace unitarity a optický teorém

(Tfi − T ∗if ) = i ∑k

TfkT∗ik = i ∑

k

T ∗kf Tki

ImTii =12 ∑

f|Tif |2 =

12 ∑

f|Tfi |2

kdeTfi = (2π)4 δ(4)(Pf − Pi )T cfi

V termínech amplitud T cfi dostáváme

T cfi − T c∗if = i ∑k(2π)4 δ(4) (Pk − Pi ) T c∗kf T cki

= i ∑k

n(k )F

∏αk=1

1nαk !

∫ T c∗kf T cki dLIPSnkJ. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 362 / 1311

Interagující pole

Pro optický teorém analogicky

Im T cii =12 ∑

f(2π)4 δ(4) (Pf − Pi ) |T cfi |

2

=12 ∑

f

n(f )F

∏αf =1

1nαf !

∫|T cfi |

2 dLIPSnf

Pro rozptyl 2→ nf porovnáním s formulí

dσfi =nF

∏α=1

1nα!

|T cfi |2

2√

λ (s,m2,M2)dLIPSn

máme

Im T cii = ∑f

√λ (s,m2,M2)

∫dσfi ≡

√λ (s,m2,M2)σtot

kde σtot je totální úcinný prurez


Interagující pole

Cvicení: S uzitím formulí pro (kvazi)elastický úcinný prurez procesu1+ 2→ 3+ 4

dσfidt

=1

64πs(piCMS

)2 |T cfi |2kde pocátecní impuls v CMS je

piCMS =

√λ (s,m2,M2)

2√s

dokazte, ze pro elastický proces 1+ 2→ 1+ 2 platí nerovnost

dσiidt≥ σ2tot16π


Interagující pole

Rozptyl v Heisenbergove obrazu, in a out formalismus

Definujme tzv. Møllerovy operátory

Ω± = limT→∓∞

eiHT e−iH0T

pak máme formálne

S = limtf ,i→±∞

eiH0tf e−iH (tf −ti )e−iH0ti = Ω+−Ω+

aSfi = 〈f , out|i , in〉

kde

|i , in〉 = Ω+|i〉 = limT→−∞

eiHT e−iH0T |i〉

〈f , out| = 〈f |Ω+− = lim

T→∞〈f |eiH0T e−iHT


Interagující pole

Stav |i , in〉 je heisenbergovský stav, který v case T → −∞ vypadájako neinteragující heisenbergovský stav |i〉 ve smyslu∣∣∣∣∣∣e−iHT |i , in〉 − e−iH0T |i〉

∣∣∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∣∣|i , in〉 − eiHT e−iH0T |i〉∣∣∣∣∣∣ T→−∞→ 0

podobne 〈f , out| je heisenbergovský stav, který v case T → ∞vypadá jako neinteragující heisenbergovský stav 〈f |∣∣∣∣∣∣〈f , out|eiHT − 〈f |eiH0T

∣∣∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∣∣〈f , out| − 〈f |eiH0T e−iHT∣∣∣∣∣∣ T→∞→ 0

Zde predpokládáme, ze stavy |i〉 a |f 〉 jsou normalizovatelnýmisuperposicemi vlastních stavu |E , α〉 volného hamiltoniánu H0,schematicky

H0|E , α〉 = E |E , α〉, 〈E ′, α′|E , α〉 = δ(E − E ′)δαα′ ,∫dEdα|E , α〉〈E , α| = 1, |i , f 〉 =

∫dEdαψi ,f (E , α)|E , α〉


Interagující pole

Operátory Ω± zachovávají normu (tj. jsou izometrické), nebo,t pro

normalizovatelný stav |ψ〉 díky unitarite e−iH0T a eiHT pro konecná T∣∣∣∣∣∣eiHT e−iH0T |ψ〉∣∣∣∣∣∣ = |||ψ〉||

⇒ ||Ω±|ψ〉|| = limT→∓∞

∣∣∣∣∣∣eiHT e−iH0T |ψ〉∣∣∣∣∣∣ = |||ψ〉||

Formálne pro

|i , f 〉 =∫dEdαψi ,f (E , α)|E , α〉

máme

|i , in〉 = Ω+|i〉 =∫dEdαψi (E , α)|E , α, in〉,

|f , out〉 = Ω−|f 〉 =∫dEdαψf (E , α)|E , α, out〉

kde jsme definovali

|E , α, in〉 ≡ Ω+|E , α〉, |E , α, out〉 ≡ Ω−|E , α〉J. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 367 / 1311

Interagující pole

Izometrie Ω± implikuje

|||i , in〉|| = |||i〉|| , |||f , out〉|| = |||f 〉||a to je mozné jen tehdy, platí-li

〈E ′, α′, in|E , β, in〉 = 〈E ′, α′, out|E , β, out〉 = 〈E ′, α′|E , α〉= δ(E − E ′)δαα′

Pro Møllerovy operátory dále platí

eiHtΩ±e−iH0t = limT→±∞

eiHteiHT e−iH0T e−iH0t

= limT→±∞

eiH (T+t)e−iH0(T+t) = Ω±

tedyΩ± = Ω± + it (HΩ± −Ω±H0) + . . .

a takHΩ± = Ω±H0


Interagující pole

Je-li tedy |E , α〉 vlastní stav volného hamiltoniánu s vlastní hodnotouE , je |E , α, in〉 = Ω+|E , α〉 vlastní stav hamiltoniánu H = H0 +HIse stejnou vlastní hodnotou

H |E , α, in〉 = HΩ+|E , α〉 = Ω+H0|E , α〉 = EΩ+|E , α〉 = E |E , α, in〉

a stejne pro |E , α, out〉 = Ω−|E , α〉

H |E , α, out〉 = E |E , α, out〉

V Heisenbergove obrazu se definuje operátor S−matice

SH = Ω+Ω+−

SH má stejné maticové elementy mezi in-stavy |i , f , in〉 jako má Smezi volnými stavy |i , f 〉, nebo ,t jak dále ukázeme, Ω+

+Ω+ = 1, a

〈f , in|SH |i , in〉 = 〈f |Ω++SHΩ+|i〉 = 〈f |Ω+

+Ω+Ω+−Ω+|i〉

= 〈f |Ω+−Ω+|i〉 = 〈f , out|i , in〉 = Sfi


Interagující pole

Tedy〈f , in|SH = 〈f , out|

resp.S+H |f , in〉 = |f , out〉

Oznacme F , Hin a Hout (pod)prostory H natazené na stavy |E , α〉,|E , α, in〉 resp. |E , α, out〉, potom pusobení jednotlivých operátoru lzezobrazit grafem

Predpoklad poruchové teorie je H = F = Hin = Hout, obecne všakHin,Hout ⊂ H. Dále predpokládejme Hin = Hout


Interagující pole

Spektrum volné teorie

0

k

k1, ..., kn

P

P0


Interagující pole

Spektrum interagující teorie

kbound

kin,out

P

P0


Interagující pole

Za predpokladu H = F máme∫dEdα|E , α〉〈E , α| = 1

V prípade existence vázaných stavu Hin = Hout ⊂ H a máme

1 =∫dEdα|E , α, in〉〈E , α, in|+

∫dEdα|E , α, bound〉〈E , α, bound|

≡∫dEdα|E , α, in〉〈E , α, in|+Πbound

a stejne pro |E , α, out〉∫dEdα|E , α, out〉〈E , α, out|+Πbound = 1

kde Πbound je projektor na orthogonální doplnek Hin = Hout


Interagující pole

V prípade Πbound 6= 0 nejsou Møllerovy operátory unitární, mámesice Ω+

+Ω+ = 1, nebo,t

〈E ′, α′|Ω++Ω+|E , α〉 = 〈E ′, α′, in|E , α, in〉 = 〈E ′, α′|E , α〉

= 〈E ′, α′|1|E , α〉ale

Ω+Ω++ =

∫dEdαΩ+|E , α〉〈E , α|Ω+

+

=∫dEdα|E , α, in〉〈E , α, in| = 1−Πbound

podobneΩ+−Ω− = 1, Ω−Ω+

− = 1−Πbound

Pro SH = Ω+Ω+− máme jako dusledek unitaritu na Hin = Hout

SHS+H = Ω+Ω+

−Ω−Ω++ = Ω+Ω+

+ = 1−Πbound

S+H SH = Ω−Ω++Ω+Ω+

− = Ω−Ω+− = 1−Πbound


Interagující pole

Ukázali jsmeHΩ± = Ω±H0

Protoze P = P0 a J = J0 jsou kinematické generátory a pozadovalijsme

[HI ,P0] = [HI , J0] = 0

máme tak (protoze platí [H0,P0] = [H0, J0] = 0)

[H,P0] = [H, J0] = 0

a jako dusledek

[Ω±,P0] = limT→±∞

[eiHT e−iH0T ,P0

]= 0,

[Ω±, J0] = limT→±∞

[eiHT e−iH0T , J0

]= 0

coz lze prepsat jako

PΩ± = Ω±P0, JΩ± = Ω±J0J. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 375 / 1311

Interagující pole

Cvicení: S uzitím relací

[N0,H0] = −iP0, [H0,P0] = 0

ukazte, ze [N0, e−iH0T

]= −TP0e−iH0T

Podobne s pomocí relací

[N,H ] = −iP = −iP0, [H,P0] = 0

ukazte, ze [N,eiHT

]= TP0eiHT


Interagující pole

Z predchozího cvicení máme[N0,eiHT e−iH0T

]=

[N0,eiHT

]e−iH0T + eiHT

[N0,e−iH0T

]=

[N−NI ,eiHT

]e−iH0T + eiHT

[N0,e−iH0T

]= TP0eiHT e−iH0T −

[NI ,eiHT

]e−iH0T

−TeiHTP0e−iH0T

tedy[N0,eiHT e−iH0T

]= −NI eiHT e−iH0T + eiHTNI e−iH0T

= −NI eiHT e−iH0T + eiHT e−iH0TNID (T )

odkud

NeiHT e−iH0T = eiHT e−iH0TN0 + eiHT e−iH0TNID (T )


Interagující pole

Odtud dostaneme v limite T → ∓∞

NΩ± = Ω±N0

pokudlim

T→∓∞NID (T ) = 0

Nutnou podmínkou pro splnení je, aby pro normalizovatelné stavylimT→∓∞〈f |NI (T ) |i〉 = 0. Ale

〈f |NI (T ) |i〉 =

=∫dEdαdE ′dα′〈f |E , α〉〈E , α|NI |E ′, α′〉〈E ′, α′|i〉e−i (E

′−E )T

=∫dEdαdE ′dα′ψ∗f (E , α)〈E , α|NI |E ′, α′〉ψi (E ′, α′)e−i (E

′−E )T

a tedy stací, aby 〈E , α|NI |E ′, α′〉 bylo hladkou funkcí E E ′(Riemann-Lebesque)


Interagující pole

V dalším budeme predpokládat, ze 〈E , α|NI |E ′, α′〉 je dostatecnehladká funkce a v dusledku toho máme

PµΩ± = Ω±Pµ0 , JΩ± = Ω±J0, NΩ± = Ω±N0

a odtudU (Λ, a)Ω± = Ω±U0 (Λ, a)

Speciálne

U (Λ, a) |0, in, out〉 = U (Λ, a)Ω±|0〉 = Ω±U0 (Λ, a) |0〉 = Ω±|0〉⇒ U (Λ, a) |0, in, out〉 = |0, in, out〉

a z izometrie Ω±〈0, in, out|0, in, out〉 = 1


Interagující pole

Z jednoznacnosti neporuchového vakua |Ω〉 (jediný normovanýinvariantní stav) plyne

|0, in, out〉 = e iαin,out |Ω〉

odtud dostáváme

S+H |Ω〉 = Ω−Ω++|Ω〉 = e−iαin Ω−Ω+

+|0, in〉 = e−iαin Ω−Ω++Ω+|0〉

= e−iαin Ω−|0〉 = e i (αout−αin)|Ω〉

Podobne z jednoznacnosti jednocásticových stavu plyne

|k, σ, in〉 = |k , σ, out〉

Obecne transformacní vlastnosti in a out stavu |E , α, in, out〉vzhledem k interagující representaci U (Λ, a) Poincareho grupy jsouidentické s transformacními vlastnostmi volných stavu |E , α〉vzhledem k volné representaci U0 (Λ, a)


Interagující pole

Pro S−matici v Heisenbergove obrazu máme SH = Ω+Ω+− a

U (Λ, a) SHU+ (Λ, a) = U (Λ, a)Ω+Ω+−U

+ (Λ, a)= Ω+U0 (Λ, a)U+0 (Λ, a)Ω+

−= Ω+Ω+

− = SH

Pro S−matici v Diracove obrazu máme S = Ω+−Ω+ a

U0 (Λ, a) SU+0 (Λ, a) = U0 (Λ, a)Ω+−Ω+U+0 (Λ, a)

= Ω+−U (Λ, a)U

+ (Λ, a)Ω+ = S

Odtud okamzite plyne zachování impulsu a impulsmomentu

[Pµ, SH ] = [J, SH ] = 0


Interagující pole

In a out s stavy energií E lze získat rešenímLippmannovy-Schwingerovy rovnice

|E , α, in, out〉 = |E , α〉+ 1E −H0 ± i0

HI |E , α, in, out〉

Vskutku, Lippmannova-Schwingerova rovnice je ekvivalentní rovnici

(E −H0 ± i0) |E , α, in, out〉 = HI |E , α, in, out〉

tj. platíH |E , α, in, out〉 = E |E , α, in, out〉


Interagující pole

Pro obecný volný stav

|ψ〉 =∫dEdαψ(E , α)|E , α〉

sestrojme |ψ, in, out〉 pomocí Lippmannovy-Schwingerovy rovnice

|ψ, in, out〉 =∫dEdα ψ(E , α)|E , α, in, out〉

=∫dEdα ψ(E , α)|E , α〉

+∫dEdα ψ(E , α)

1E −H0 ± i0


Ukazme, ze pak jsou splneny asymptotické podmínky

e−iHT |ψ, in, out〉 T→∓∞≈∫dEdα ψ(E , α)e−iET |E , α〉 = e−iH0T |ψ〉


Interagující pole

Máme

e−iHT |ψ, in, out〉 =∫dEdα ψ(E , α)e−iET |E , α, in, out〉

a dosa,dme

|E , α, in, out〉 = |E , α〉+ 1E −H0 ± i0


tj.

e−iHT |ψ, in, out〉 =∫dEdα ψ(E , α)e−iET |E , α〉

+∫dEdα ψ(E , α)e−iET

1E −H0 ± i0



Interagující pole

Dále

1E −H0 ± i0

HI |E , α, in, out〉 =∫dE ′dα′|E ′, α′〉 Tα′α(E ′,E )

E − E ′ ± i0

kdeTα′α(E

′,E ) = 〈E ′, α′|HI |E , α, in, out〉tedy

e−iHT |ψ, in, out〉 =∫dEdα ψ(E , α)e−iET |E , α〉

+∫dE ′dα′|E ′, α′〉

×∫dEdα ψ(E , α)

e−iET

E − E ′ ± i0Tα′α(E′,E )


Interagující pole

Pro T → ∓∞ lze uzavrít integracní krivku v promenné E vhorní/dolní komplexní polorovine. Póly jsou

E = E ′ ∓ i0Ei = ReEi + i ImEi

kde Ei jsou prípadné póly ψ(E , α)Tα′α(E ′,E ). Podle residuové vetytak máme

limT→∓∞

∫dE ψ(E , α)

e−iET

E − E ′ ± i0Tα′α(E′,E )

= ±2πi limT→∓∞

∑ImEi≷0

e−iEiTRes(

ψ(E , α)Tα′α(E ′,E )Ei − E ′ ± i0

,Ei

)= ±2πi lim

T→∓∞∑

ImEi≷0e−i ReEiT eImEiTRes

(ψ(E , α)Tα′α(E ′,E )Ei − E ′ ± i0

,Ei

)= 0


Interagující pole

Tedy máme modulo exponenciálne potlacený zbytek

e−iHT |ψ, in, out〉 T→∓∞≈∫dEdα ψ(E , α)e−iET |E , α〉 = e−iH0T |ψ〉

Cvicení: Ukazte, ze∫dE ψ(E , α)

e−iET

E − E ′ + i0Tα′α(E′,E )

T→∞= −2πiTα′α(E

′,E ′)ψ(E ′, α)e−iE′T

a odtud dokazte, ze pro

|ψ〉 =∫dEdα ψ(E , α)|E , α〉

〈E ′, α′, out|ψ, in〉 =∫dEdα ψ(E , α)

×[〈E ′, α′|E , α〉 − 2πiδ(E ′ − E )Tα′α(E

′,E )]


Interagující pole

Z predchozího cvicení plyne

Sfi = 〈E ′, α′, out|E , α, in〉 = 〈E ′, α′|E , α〉 − 2πiδ(E ′ − E )Tα′α(E′,E )

kdeTα′α(E

′,E ) = 〈E ′, α′|HI |E , α, in〉 = −TfiTedy iterací dostaneme formální rozvoj v HI

−Tfi = 〈E ′, α′|HI |E , α〉+ 〈E ′, α′|1

E −H0 ± i0HI |E , α, in〉

= 〈E ′, α′|HI |E , α〉+ 〈E ′, α′|1

E −H0 ± i0HI |E , α〉

+〈E ′, α′| 1E −H0 ± i0

HI1

E −H0 ± i0HI |E , α〉+ . . .

V nejnizším rádu, tzv. Bornove aproximaci

T Bornfi = −〈E ′, α′|HI |E , α〉


Interagující pole

Na Hilbertove prostoru stavu jsme tedy identifikovali rozptylovéheisebergovské stavy

|k1, σ1, . . . , kn, σn, in, out〉které mají stejné vlastnosti jako volné stavy

|k1, σ1, . . . , kn〉.Proto lze na Hin = Hout definovat kreacní a anihilacní operátoryain,out (k , σ), a+in,out (k, σ) predpisem

ain,out (k, σ) |Ω〉 = 0, a+in,out (k, σ) |Ω〉 = |k, σ, in, out〉

a+in,out (k, σ) |p1, σ1 . . . , in, out〉 = |k, σ, p1, σ1 . . . , in, out〉

ain,out (k, σ) |p1, σ1 . . . , in, out〉 =n

∑j=1(2π)3 2E (pj )δσσj δ

(3)(pj − k)

×(−1)jα−1|p1, σ1 . . . pj , σj , . . . , in, out〉J. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 389 / 1311

Interagující pole

Pak

|p1, σ1 . . . pn, σn, in, out〉 =n

∏j=1a+in,out (pj , σj ) |Ω〉

a ain,out (k, σ), a+in,out (k, σ) splnují kanonické (anti)komutacní relace[ain,out (k, σ) , a+in,out (p, ζ)

]± = (2π)3 2E (p)δσζδ(3)(p− k)

[ain,out (k, σ) , ain,out (p, ζ)]± =[a+in,out (k, σ) , a

+in,out (p, ζ)

]± = 0

Pomocí nich lze zkonstruovat kauzální in a out pole, definované naHin = Hout, napr. pro neutrální skalární cástice

φin,out(x) = φ+in,out(x) + φ−in,out(x)

=∫dk(ain,out(k)e−ik ·x + a+in,out(k)e

ik ·x)

[φin(x), φin(y)] = [φout(x), φout(y)] = i∆(x − y)J. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 390 / 1311

Interagující pole

Máme dále

S+H a+in(k, σ)SH |k1, σ1, . . . , kn, σn, out〉

= S+H a+in(k, σ)|k1, σ1, . . . , kn, σn, in〉

= S+H |k , σ, k1, σ1, . . . , kn, σn, in〉= |k, σ, k1, σ1, . . . , kn, σn, out〉= a+out(k, σ)|k1, σ1, . . . , kn, σn, out〉

tedyS+H a

+in(k, σ)SH = a

+out(k , σ)

a podobneS+H ain(k, σ)SH = aout(k , σ)

V termínech in a out polí

S+H φin(x)SH = φout(x)


Interagující pole

Podobne máme s uzitím Ω+±Ω± = 1

Ω+a+(k, σ)Ω++|k1, σ1, . . . , kn, σn, in〉

= Ω+a(k, σ)|k1, σ1, . . . , kn, σn〉= Ω+|k, σ, k1, σ1, . . . , kn, σn〉= |k, σ, k1, σ1, . . . , kn, σn, in〉= a+in(k , σ)|k1, σ1, . . . , kn, σn, in〉

a tak

Ω+a+(k, σ)Ω++ = a

+in(k, σ), Ω+a(k, σ)Ω+

+ = ain(k, σ)

a stejne

Ω−a+(k, σ)Ω+− = a

+out(k, σ), Ω−a(k, σ)Ω+

− = aout(k, σ)

In a out pole souvisejí tedy s diracovskými poli φD (x) vztahem

φin,out(x) = Ω±φD (x)Ω+±


Interagující pole

Protoze formálne

φD (x) = eiH0te−iHtφH (x)eiHte−iH0t

máme také

φin,out(x) = Ω±eiH0te−iHtφH (x)eiHte−iH0tΩ+

±

= eiHtΩ±e−iHtφH (x)eiHtΩ+

±e−iHt

= Ω±(t)HφH (x)Ω+±(t)H

kde Ω±(t)H je Heisenberguv obraz operátoru Ω± , resp. s uzitímrelace Ω+

±Ω± = Ω+± (t)H Ω± (t)H = 1 dostaneme

φH (x) = Ω+±(t)Hφin,out(x)Ω±(t)H


Interagující pole

Odtud máme formálne

limt→∓∞

〈f |φH (x)|i〉 = limt→∓∞

〈f |Ω+±(t)Hφin,out(x)Ω±(t)H |i〉

= limt→∓∞

〈f |eiHtΩ+±e−iHtφin,out(x)e

iHtΩ±e−iHt |i〉

= limt→∓∞

〈f |eiHte−iH0tΩ+±φin,out(x)Ω±eiH0te−iHt |i〉

= 〈f |Ω±Ω+±φin,out(x)Ω±Ω+

±|i〉= 〈f |Πin,outφin,out(x)Πin,out|i〉

kde Πin,out ≡ 1−Πbound = Ω±Ω+± je projektor na Hin = Hout.

Tedy na Hin = Hout platí slabá operátorová limita

limt→∓∞

〈f |φH (x)|i〉 = 〈f |φin,out(x)|i〉


Interagující pole

Pripomenme, ze pro volné skalární pole platí

a(k) = i∫d3xeik ·x

←→∂0 φ(x), a+(k) = −i

∫d3xe−ik ·x

←→∂0 φ(x)

kde k0 = E (k), tedy také

ain,out(k) = i∫d3xeik ·x

←→∂0 φin,out(x)

a+in,out(k) = −i∫d3xe−ik ·x

←→∂0 φin,out(x)

Sestrojme proto formálne na case závislé operátory

a(k, t)H = i∫x 0=t

d3xeik ·x←→∂0 φH (x)

a+(k , t)H = −i∫x 0=t

d3xe−ik ·x←→∂0 φH (x)

potom ve smyslu slabé operátorové limity na Hin = Hout

a(k, t)Ht→∓∞→ ain,out(k), a+(k, t)H

t→∓∞→ a+in,out(k)


Interagující pole

Máme tak formálne

〈f , out| (aout(k)− ain(k)) |i , in〉 =∫ ∞

−∞dtddt〈f , out|a(k, t)H |i , in〉

aleddta(k, t)H = i

∫x 0=t

d3x∂0eik ·x←→∂0 φH (x)

= i∫x 0=t

d3xeik ·x(∂20 + k

20

)φH (x)

= i∫x 0=t

d3xeik ·x(∂20 + k

2 +m2)

φH (x)

= i∫x 0=t

d3xeik ·x(

∂20 −←−∇2 +m2

)φH (x)

= i∫x 0=t

d3xeik ·x(∂20 −∇2 +m2

)φH (x)

= i∫x 0=t

d3xeik ·x(+m2

)φH (x)


Interagující pole

Nakonec

〈f , out| (aout(k)− ain(k)) |i , in〉

=∫ ∞

−∞dtddt〈f , out|a(k, t)H |i , in〉

= i∫d4xeik ·x

(+m2

)〈f , out|φH (x)|i , in〉

Stejne dostaneme

〈f , out|(a+out(k)− a+in(k)

)|i , in〉

=∫ ∞

−∞dtddt〈f , out|a+(k, t)H |i , in〉

= . . . = −i∫d4xe−ik ·x

(+m2

)〈f , out|φH (x)|i , in〉


Interagující pole

Uvazujme nyní maticový element S− matice

〈k1, . . . , knf , out|p1, . . . , pni in〉 = 〈Ω|nf

∏j=1aout(kj )

nf

∏l=1

a+in(pl )|Ω〉

= limt1, . . . , tnf→ ∞

τ1, . . . , τni→ −∞

〈Ω|T(nf

∏j=1a(kj , tj )H

nf

∏l=1

a+(pl , τl )H

)|Ω〉

Pod T−usporádáním oznacme

Xs =nf

∏j=1a(kj , tj )H

nf

∏l=1,l 6=s

a+(pl , τl )H


Interagující pole

formálne máme

a+(ps ,−∞)H = a+(ps ,∞) + i∫d4xse−ips ·xs

(s +m2

)φH (xs )

tedy

limτs→−∞

〈Ω|T(a+(ps , τs )Xs

)|Ω〉 = 〈Ω|a+(ps ,∞)TXs |Ω〉

+i∫d4xse−ips ·xs

(s +m2

)〈Ω|T (XsφH (xs )) |Ω〉

ale〈Ω|a+(ps ,∞)TXs |Ω〉 = 〈Ω|a+out(ps )TXs |Ω〉 = 0

takze nakonec

limτs→−∞

〈Ω|T(a+(ps , τs )Xs

)|Ω〉

= i∫d4xse−ips ·xs

(s +m2

)〈Ω|T (φH (xs )Xs ) |Ω〉


Interagující pole

Iterací tohoto postupu dostanemeLehmannovu-Symanzikovu-Zimmermanovu (LSZ) formuli pro skalárnípole

Sfi = 〈k1, . . . , knf , out|p1, . . . , pni in〉

=ni

∏j=1i∫d4xjeikj ·xj

(xj +m2

) nf

∏l=1

i∫d4yle−ipl ·yl

(yl +m2

)〈Ω|T (φH (x1) . . . φH (xni )φH (y1) . . . φH (ynf )) |Ω〉

S−matice je tedy urcena, známe-li Greenovy funkce (korelátory)heisenbergovských polí φH (x)

Gn (x1, . . . , xn) ≡ 〈Ω|T (φH (x1) . . . φH (xn)) |Ω〉


Interagující pole

Vlastnosti Greenových funkcí

Heisenbergovská skalární pole φH (x) se transformují predpisem

U (Λ, a)+ φH (x)U (Λ, a) = φH (Λ−1 (x − a))

a platíU (Λ, a) |Ω〉 = |Ω〉

odtud pro skalární pole

〈Ω|T (φH (x1) . . . φH (xn)) |Ω〉= 〈Ω|U (Λ, a)+ T (φH (x1) . . . φH (xn))U (Λ, a) |Ω〉= 〈Ω|T

(U (Λ, a)+ φH (x1)U (Λ, a) . . .U (Λ, a)+ φH (xn)U (Λ, a)

)|Ω〉

= 〈Ω|T(φH (Λ

−1 (x1 − a)) . . . φH (Λ−1 (xn − a))

)|Ω〉

tj. Greenova funkce skalárního pole je skalár

Gn (x1, . . . , xn) = Gn(Λ−1 (x1 − a) , . . . ,Λ−1 (xn − a)


Interagující pole

Cvicení: Ukazte, ze pro pole φH (x)a transformujcí se podle representaceD (Λ)ba Lorentzovy grupy

U (Λ, a)+ φH (x)aU (Λ, a) = D (Λ)ba φH (Λ

−1 (x − a))b

platí pro Greenovu funkci, definovanou jako

Ga1 ...an (x1, . . . , xn) ≡ 〈Ω|T (φH (x1)a1 . . . φH (xn)an ) |Ω〉

relace

Ga1 ...an (x1, . . . , xn)

= D (Λ)b1a1 . . .D (Λ)bnan Gb1 ...bn(Λ−1 (x1 − a) , . . . ,Λ−1 (xn − a)

)


Interagující pole

Z predchozích formulí máme speciálne volbou Λ = 1, a = xn

Gn (x1, . . . , xn) = Gn ((x1 − xn) , . . . , (xn−1 − xn) , 0)Pro Fourierovu transformaci (pro obecné off-shell impulsy kj ) pakmáme

Gn (k1, . . . , kn) =∫ n

∏j=1d4xjeikj ·xjGn (x1, . . . , xn)

=∫ n

∏j=1d4xjeikj ·xjGn ((x1 − xn) , . . . , (xn−1 − xn) , 0)

substitucí xi = ξ i + xn, i = 1, 2, . . . , n− 1 dostaneme

Gn (k1, . . . , kn) =∫d4xnei ∑n

i=1 ki ·xn∫ n−1

∏j=1

d4ξ jeikj ·ξ jGn (ξ1, . . . , ξn−1, 0)

= (2π)4 δ(4)

(n

∑i=1ki

)Gn (k1, . . . , kn−1)


Interagující pole

V obvyklém znacení se píše impulsová representace n−bodovéGreenovy funkce jako

Gn (k1, . . . , kn−1) =∫ n−1

∏j=1

d4ξ jeikj ·ξ jGn (ξ1, . . . , ξn, 0)

≡ 〈Ω|T(φH (k1) . . . φH (kn−1)φH (0)

)|Ω〉

LSZ formuli lze zformulovat prímo v impulsové representaci.Pripomenme


=ni

∏j=1i∫d4xjeikj ·xj

(xj +m2

) nf

∏l=1

i∫d4yle−ipl ·yl

(yl +m2

)〈Ω|T (φH (x1) . . . φH (xni )φH (y1) . . . φH (ynf )) |Ω〉


Interagující pole

Tedy v termínech off-shell Greenovy funkce


= limk 2j →m2, p2l →m2

ni

∏j=1(−i)

(k2j −m2

) nf

∏l=1(−i)

(p2l −m2

)×

〈Ω|T(φH (k1) . . . φH (knf )φH (−p1) . . . φH (−pni )

)|Ω〉

nebo alternativne, jako rozvoj Greenovy funkce v p−representaci vokolí pólu k2i → m2, p2j → m2

〈Ω|T(φH (k1) . . . φH (knf )φH (−p1) . . . φH (−pni )

)|Ω〉

=ni

∏j=1

ik2j −m2

nf

∏l=1

ip2l −m2

〈k1, . . . , knf , out|p1, . . . , pni in〉+ R

kde R jiz neobsahuje všechny póly k2i → m2, p2j → m2.Off-shell Greenovy funkce mají tedy jednocásticové póly, jejichzreziduum je maticový element S−matice


Interagující pole

Dysonova formule pro korelacní funkce

Mezi Diracovými a Heisebergovými operátory platí formální vztah

φH (x) = eiHte−iH0tφD (x)eiH0te−iHt

tedy

φH (x1) . . . φH (xn)

= eiHt1e−iH0t1φD (x1)eiH0t1e−iH (t1−t2)e−iH0t2φD (x2) . . .

. . . φD (xn−1)eiH0tn−1e−iH (tn−1−tn)e−iH0tnφD (xn)e

iH0tne−iHtn

= S (0, t1) φD (x1)S(t1, t2)φD (x2) . . .. . . φD (xn−1)S(tn−1, tn)φD (xn)S (tn, 0)

kde

S(t ′, t) = eiH0t′e−iH (t

′−t)e−iH0t = T exp(−i∫ t ′

tdtHID (t)

)je evolucní operátor v Diracove obrazu


Interagující pole

Tedy pro x01 > x02 > . . . > x0n

T (φH (x1) . . . φH (xn))

= S (0, t1)T [φD (x1) . . . φD (xn)S(t1, tn)] S (tn, 0)

Dále formálne

limT→∓∞

eiHT e−iH0T |0〉 = limT→∓∞

S (0,T ) |0〉 = |0, in, out〉 = e iαin,out |Ω〉

a tak

e i (αin−αout) = limTi ,f→∓∞

〈0|S+ (0,Tf ) S (0,Ti ) |0〉

= limTi ,f→∓∞

〈0|S (Tf ,Ti ) |0〉 = 〈0|S |0〉

a

〈Ω| (·) |Ω〉 = limTi ,f→∓∞

〈0|S (Tf , 0) (·) S (0,Ti ) |0〉〈0|S |0〉


Interagující pole

Z predchozích formulí pro x01 > x02 > . . . > x0n

〈Ω|T (φH (x1) . . . φH (xn)) |Ω〉 = limTi ,f→∓∞

1〈0|S |0〉

×〈0|S (Tf , 0) S (0, t1)T [φD (x1) . . . S(t1, tn)] S (tn, 0) S (0,Ti ) |0〉

= limTi ,f→∓∞

〈0|S (Tf , t1)T [φD (x1) . . . φD (xn)S(t1, tn)] S (tn,Ti ) |0〉〈0|S |0〉

= limTi ,f→∓∞

〈0|T [φD (x1) . . . φD (xn)S(Tf ,Ti )] |0〉〈0|S |0〉

Pravá strana je T−usporádaná, takze formule platí nejen prox01 > x

02 > . . . > x0n ale i obecne.


Interagující pole

Explicite tak máme Dysonovu formuli

〈Ω|T (φH (x1) . . . φH (xn)) |Ω〉

=〈0|T

[φD (x1) . . . φD (xn) exp

(−i∫d4xHID (x)

)]|0〉

〈0|T exp(−i∫d4xHID (x)

)|0〉

která podobne jako formule pro S−matici

S = T exp(−i∫d4xHID (x)

)umoznuje poruchový výpocet Greenových funkcí formálním rozvojemexponenciál.


Interagující pole

Poruchová teorie pro interagující skalární pole, Feynmanova pravidla

poruchový rozvoj S−matice v Diracove obrazu je generován radou


)=

∞

∑n=0

(−i)n

n!

∫d4x1 . . . d4xnT (HID (x1) . . .HID (xn))

kde HID (x1) = HID (φD (x)) je lokální funkce diracovských políPro výpocet maticového elementu

Sfi = 〈k1, . . . , knf |S |p1, . . . , pni 〉= 〈0|a(k1) . . . a(knf )Sa

+(p1) . . . a+(pni )|0〉je vhodné vyjádrit S−matici pomocí normálne usporádanýchoperátoru, symbolicky

S = ∑A

: OA :


Interagující pole

Pri výpoctu maticových elementu typu

〈0|a(k1) . . . a(knf ) : OA : a+(p1) . . . a+(pni )|0〉prokumutováváme postupne všechny a(ki ) napravo a a+(pj ) nalevokde zapusobí na |0〉 resp. 〈0|.Vznikají cleny obsahující všechny mozné komutátory, tedyodpovídající všem mozným spárováním (kontrakcím) všech kreacníchoperátoru se všemi anihilacními.Tyto kontrakce jsou pouze dvou typu:

1 Komutátor kreacního operátoru v pocátecním stavu a+(pj ) sanihilacním operátorem a(ki ) v koncovém stavu[

a(ki ), a+(pj )

]= (2π)3 2E (k) δ(3)

(pj − ki

)2 Komutátor kreacního operátoru v pocátecním stavu a+(pj ) sanihilacním operátorem z operátoru : OA : resp. komutátor anihilacníhooperátoru v koncovém stavu a(ki ) s kreacním operátorem z operátoru: OA :


Interagující pole

Príspevky k S−matici s alespon jedním komutátorem prvního typutedy obsahují alespon jeden faktor

(2π)3 2E (k) δ(3) (pj − ki )

odpovídají tedy procesu, pri kterém se alespon jedna cásticeneúcastnila interakce (její pocátecní a koncový stav koincidují).Pocítáme-li tedy príspevky do souvislého maticového elementu Scfi ,vynecháme všechny príspevky obsahující alespon jeden komutátorprvního typuPríspevky

〈0|a(k1) . . . a(knf ) : OA : a+(p1) . . . a+(pni )|0〉

do Scfi jsou tedy souctem pres všechny mozné kontrakce operátorua+(pj ) a a(ki ) s anihilacními, resp. kreacními operátory z : OA :Má-li být príspevek nenulový, : OA : musí mít ni anihilacních a nfkreacních operátoru


Interagující pole

Podobne pro poruchový rozvoj Greenových funkcí, generovaný radamitypu

〈0|T[

φD (x1) . . . φD (xn) exp(−i∫d4xHID (x)

)]|0〉

=∞

∑n=0

(−i)n

n!

∫d4y1 . . . d4yn

×〈0|T (φD (x1) . . .HID (y1) . . .HID (yn)) |0〉je výhodné vyjádrit T−souciny

T (φD (x1) . . .HID (x1) . . .HID (xn))pomocí normálne usporádaných soucinu, nebo ,t pro operátor : O : 6= 1máme

〈0| : O : |0〉 = 0Vztah mezi T−soucinem a normálne usporádaným soucinem dávátzv. Wickova veta pro chronologický soucin


Interagující pole

Wickova veta pro chronologický soucin

Protoze HID (x1) = HID (φD (x)) je typicky polynom, potrebujemevyjádrit T (φD (x1) . . . φD (xn)) pomocí : φD (x1) . . . φD (xn) :Protoze podle Wickovy vety pro obycejný soucin máme

φD (x)φD (y) =: φD (x)φD (y) : +i∆+(x − y)odtud okamzite s uzitím : φD (x)φD (y) :=: φD (y)φD (x) : a definiceT−soucinu

T (φD (x)φD (y)) = θ(x0 − y0)φD (x)φD (y)+θ(y0 − x0)φD (y)φD (x)

⇒ T (φD (x)φD (y)) =: φD (x)φD (y) : +i∆F (x − y)kde

∆F (x − y) = θ(x0 − y0)∆+(x − y) + θ(y0 − x0)∆+(y − x)je tzv. skalární Feynmanuv propagátor (chronologická kontrakce)


Interagující pole

Podobne, protoze vzdy

T (φD (x1) . . . φD (xm)) = φD (xσ(1)) . . . φD (xσ(m))

pro permutaci σ ∈ Sn pro níz x0σ(1) > x0σ(2) > . . . > x0σ(m) máme

napr. pro m = 2n pomocí Wickovy vety pro obycejný soucin

T (φD (x1) . . . φD (x2n))

= φD (xσ(1)) . . . φD (xσ(n))

= : φD (xσ(1)) . . . φD (xσ(2n)) :

+ ∑〈σ(i )<σ(j)〉

i∆+(xσ(i ) − xσ(j)) : φD (xσ(1)) . . . φD (xσ(2n)) :σ(i )σ(j)

+ . . .+ ∑〈σ(i1)<σ(j1)〉...〈σ(in)<σ(jn)〉

n

∏k=1

i∆+(xσ(ik ) − xσ(jk ))


Interagující pole

Ale pro x0σ(1) > x0σ(2) > . . . > x0σ(n) je pro σ(i) < σ(j)

∆+(xσ(i ) − xσ(j)) = ∆F (xσ(i ) − xσ(j))

takze

T (φD (x1) . . . φD (x2n))

= φD (xσ(1)) . . . φD (xσ(n))

= : φD (xσ(1)) . . . φD (xσ(2n)) :

+ ∑〈σ(i )<σ(j)〉

i∆F (xσ(i ) − xσ(j)) : φD (xσ(1)) . . . φD (xσ(2n)) :σ(i )σ(j)

+ . . .+ ∑〈σ(i1)<σ(j1)〉...〈σ(in)<σ(jn)〉

n

∏k=1

i∆F (xσ(ik ) − xσ(jk ))


Interagující pole

Platí ∆F (x − y) = ∆F (y − x) a normální soucin je symetrický.Protoze se na pravé strane se scítá pres všechny mozné kontrakce,muzeme díky tomu predchozí formuli prepsat na tvar

T (φD (x1) . . . φD (x2n))

= : φD (xσ(1)) . . . φD (xσ(2n)) :

+ ∑〈i<j〉

i∆F (xi − xj ) : φD (x1) . . . φD (x2n) :ij

+ . . .+ ∑〈i1<j1〉...〈in<jn〉

n

∏k=1

i∆F (xik − xjk )


Interagující pole

Stejne pro m = 2n+ 1

T (φD (x1) . . . φD (x2n+1))

= : φD (xσ(1)) . . . φD (xσ(2n)) :

+ ∑〈i<j〉

i∆F (xi − xj ) : φD (x1) . . . φD (x2n) :ij

+ . . .+ ∑〈i1<j1〉...〈in<jn〉

n

∏k=1

i∆F (xik − xjk )φD (xl )

kde l 6= ik , jk pro k = 1, . . . , n.Tedy Wickova veta pro chronologický soucin kopíruje Wickovu vetupro obycejný soucin se zámenou

∆+(x − y)→ ∆F (x − y)


Interagující pole

Odtud máme napr.

〈0|T (φD (x)φD (y)) |0〉 = 〈0| : φD (x)φD (y) : |0〉+ i∆F (x − y)= i∆F (x − y)

Tedy Feynmanuv propagátor i∆F (x − y) je dvoubodová Greenovafunkce volné teorie skalárního poleCvicení: Ukazte, ze 〈0|TφD (x1)φD (x2)φD (x3)|0〉 = 0,〈0|TφD (x1)φD (x2)φD (x3)φD (x4)|0〉 = i∆F (x1 − x2)i∆F (x3 − x4)

+i∆F (x1 − x3)i∆F (x2 − x4)+i∆F (x1 − x4)i∆F (x2 − x3)

a obecne〈0|T (φD (x1) . . . φD (x2n+1)) |0〉 = 0

〈0|T (φD (x1) . . . φD (x2n)) |0〉 = ∑〈i1<j1〉...〈in<jn〉

n

∏k=1

i∆F (xik − xjk )


Interagující pole

Skalární Feynmanuv propagátor

Feynmanuv propagátor je rešením Kleinovy-Gordonovy rovnice sδ−funkcí na pravé strane(

+m2)

∆F (x − y) = −δ(4) (x − y)

Cvicení: S uzitím toho, ze ∆+(x − y) a ∆+(y − x) reší homogenníKleinovu-Gordonovu rovnici a platí

∆(x − y)|x 0=y 0 = 0, ∂0∆(x − y)|x 0=y 0 = −δ(3)(x− y)

dokazte predchozí tvrzení.

∆F (x − y) je tedy Greenovou funkcí Kleinova-Gordonova operátoru vmatematickém smyslu. Ta je urcena modulo rešení homogenníKleinovy-Gordonovy rovnice


Interagující pole

Ve Fourierove obrazu (k2 −m2

)∆F (k) = 1

ale k2 −m2 má nulu pro k0 = ±E (k), není tedy invertibilní. Zpusobobejití pólu je soucástí definice

(k2 −m2

)−1 a definuje ∆Fjednoznacne

Explicite máme

i∆+(x) =∫dke−ik ·x , θ

(x0)=

i2π

∫dω

e−iωx0

ω+ i0

kde k = (E (k) , k), tedy

i∆F (x) = i∫ dω

2πdk

e−ik ·x−iωx0

ω+ i0+ (x → −x)


Interagující pole

substitucí ω = k0 − E (k) dostaneme

i∆F (x) = i∫ d4k

(2π)41

2E (k)e−ik ·x

k0 − E (k) + i0 + (x → −x)

= i∫ d4k

(2π)4e−ik ·x

2E (k)

(1

k0 − E (k) + i0 −1

k0 + E (k)− i0

)= i

∫ d4k

(2π)4e−ik ·x

k2 −m2 + 2i0E (k)

konecne

i∆F (x) =∫ d4k

(2π)4e−ik ·x

ik2 −m2 + i0


Interagující pole

Integrand

i∆F (x) =∫ d4k

(2π)4e−ik ·x

ik2 −m2 + i0

má póly k0 = ±E (k)∓ i0 v komlexní rovine k0, to odpovídá volbeFeynmanova konturu


Interagující pole

Jiný výber integracního konturu dává jiné Greenovy funkceKleinova-Gordonova operátoru. Napr. tzv. retardovaná aadvancovaná Greenova funkce jsou dané výrazem

i∆R ,A (x) =∫ d4k

(2π)4e−ik ·x

ik2 −m2 ± i0k0

Integrand má póly pro k0 = ±E (k)− i0 resp. k0 = ±E (k) + i0 cozodpovídá výberu konturu CR a CA


Interagující pole


∆R (x) = θ(x0)∆(x)∆A (x) = −θ(−x0)∆(x)

kde∆(x) = ∆+(x)− ∆+(−x)

je Pauli-Jordanova komutátorová funkce. Ukazte, ze ∆(x) má representaci

i∆(x) = −∫C

d4k

(2π)4e−ik ·x

ik2 −m2

kde kontur C má tvar


Interagující pole

Jednotlivé cleny Wickova rozvoje T−soucinu lze názorne symbolickyzapsat, napr. konkrétní clen se dvema kontrakcemi

i∆F (x1 − x3)i∆F (x2 − x4) : φD (x5) :

≡ : φD (x1)φD (x2)φD (x3)φD (x4)φD (x5) :

nebo znázornit graficky, pomocí prirazení

jako


Interagující pole

Pokud nekteré argumenty polí φD (x) pod znakem T−soucinukoincidují, v grafickém znázornení jednotlivých clenu Wickova rozvojeje umístíme do jednoho bodu, napr.

Napr. clen s jednou kontrakcí z rozvoje T[φD (x)

3]

: φD (x) : ∆F (0) =: φD (x) φD (x) φD (x) :

se graficky znázorní jako


Interagující pole

Naopak, kazdému grafu, sestrojenému z predchozích stavebníchbloku, odpovídá nejaký clen Wickova rozvoje, napr. grafum

odpovídají cleny se všemi moznými kontrakcemi z Wickova rozvojeT−soucinu

T(

φD (x1) φD (x2) φD (x3)4)

jmenovitei∆F (x1 − x3) i∆F (x2 − x3)i∆F (0)

ai∆F (x1 − x2) i∆F (0)2


Interagující pole

Zatímco danému grafu odpovídá jednoznacný výraz v termínech∆F (xi − xj ), tentýz graf odpovídá obecne nekolika moznýmkontrakcím, napr. grafu

odpovídají napr. kontrakce

: φD (x1) φD (x2) φD (x3) φD (x3) φD (x3) φD (x3) :

: φD (x1) φD (x2) φD (x3) φD (x3) φD (x3) φD (x3) :

atd., celkem 4 · 3 = 12 mozných kontrakcíJ. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 429 / 1311

Interagující pole

V tomto príkladu všechny kontrakce typu

: φD (x1) φD (x2) φD

(xσ(3)

)φD

(xσ(4)

)φD

(xσ(5)

)φD

(xσ(6)

):

vystupující na pravé strane Wickova rozvoje T−soucinu

T [φD (x1) φD (x2) φD (x3) φD (x4) φD (x5) φD (x6)]

dají po ztotoznení x4,5,6 → x3 tentýz príspevek

i∆F (x1 − x3) i∆F (x2 − x3)i∆F (0)

do Wickova rozvoje

T(

φD (x1) φD (x2) φD (x3)4)


Interagující pole

Podobne, konkrétní výraz v termínech ∆F (xi − xj ) muze odpovídatruzným grafum, napr.

odpovídajícím po rade clenum z Wickova rozvoje T−soucinu

T(

φD (x1) φD (x2) φD (x3)4)

T(

φD (x1)4 φD (x2) φD (x3)

)T(

φD (x1) φD (x2)4 φD (x3)


Interagující pole

Prirazenígraf →∏

i ,ji∆F (xi − xj ) : ∏

k

φD (xk ) :

je ale jednoznacné. To dává moznost organizovat Wickuv rozvoj:Wickuv rozvoj obecného monomu typu

T [φD (x1)n1 φD (x2)

n2 . . . φD (xk )nk ]

lze obdrzet jako výsledek následujícího algoritmu1 Nakreslíme všechny topologicky neekvivalentní grafy s k vertexy(jednotlivé vertexy mají po rade ni nozicek a pripíšeme jim body xi )

2 Kazdému grafu priradíme odpovídající výraz v termínech ∆F(xi − xj

)(za kazdou vnitrní linku) a normálne usporádaných soucinu operátoruφD (x1) (za kazdou vnejší linku)

3 Príspevek kazdého grafu vynásobíme kombinatorickým faktorem,vyjadrujícím pocet mozných clenu Wickova rozvoje, dávajícím tentopríspevek (tj. pocet zpusobu, jak kontrahovat jednotlivé ocíslovanénozicky jednotlivých vertexu mezi sebou)

4 Jednotlivé príspevky sectemeJ. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 432 / 1311

Interagující pole

Naivne je kombinatorický faktor dán jako

k

∏j=1nj !

ale ne nutne všechny permutace nozicek všech vertexu dávají odlišnýpríspevek, napr.


Interagující pole

Tedy kombinatorický faktor grafu Γ je

CΓ =

k

∏j=1nj !

SΓ

kde tzv. symetrický faktor SΓ je symbolicky

SΓ = 2β ∏VV ′,m

(m!)αVV′

m ∏V

nV !

kde β je pocet “tadpolu“ (linek, spojujících ten samý vertex),αVV

′m ∈ 0, 1 je pocet m−tic ekvivalentních vnitrních linek,spojujících dvojice vertexu V a V ′, a nV je pocet vnejších linekvycházejících z vertexu V


Interagující pole

Príklad: Uvazujme graf Γ príspívající do

T[φD (x1)φD (x2)

6φD (x3)4φD (x4)

3]

tomu odpovídá výraz

i∆F (x1 − x2) [i∆F (x2 − x3)]3 i∆F (x3 − x4)i∆F (0) : φD (x2)2 :

Dále β = 1, αx2x33 = 1, nx2 = 2. Odtud symetrický akombinatorický faktor

SΓ = 2× 3!× 2! = 24, CΓ =6!4!3!24

= 4320


Interagující pole

λφ4 teorie

Aplikujme nyní predchozí postup na výpocet Greenových funkcí aS−matice v konkrétním modelu interagujícího reálného skalárníhopoleInterakcní lagrangián musí být Lorentz invariantní lokální funkce poleφ (x), respektující prípadné další symetrie (napr. prostorovou acasovou inverzi), t.j.

Lint = ∑jcjO(j)

kde cj jsou tzv. vazbové konstanty a O(j) lokální monomy z pole φ ajeho derivacíDalší uzitecnou podmínkou je podmínka renormalizovatelnosti. Jakukázeme pozdejí, tato podmínka implikuje

dim cj ≥ 0kde dim (·) znací dimenzi v jednotkách hmoty.


Interagující pole

Dimenzi skalárního pole lze urcit napr. z hmotového clenu

4 = dimLmass = dim(−12m2φ2

)= 2+ 2 dim φ

tedydim φ = 1

Podmínce renormalizovatelnosti tedy vyhovuje

Lint = −µ

3!φ3 − λ

4!φ4, dim µ = 1, dimλ = 0

Pridejme jako další podmínku invarianci vzhledem k dodatecnédiskrétní symetrii

φ′ (x) = −φ (x)

Interakcní lagrangián je pak

Lint = −λ

4!φ4 = −HI


Interagující pole

Dysonova formule pro poruchový výpocet Greenových funkcí má tvar

〈Ω|T [φH (x1) . . . φH (xn)] |Ω〉

=〈0|T

[φD (x1) . . . φD (xn) exp

( iλ4!

∫d4xφD (x)

4)]|0〉

〈0|T exp( iλ4!

∫d4xφD (x)

4)|0〉

Jednotlivé cleny poruchového rozvoje jsou výrazy typu

1m!

(iλ4!

)m ∫ m

∏j=1d4yj 〈0|T

[φD (x1) . . . φD (xn)φD (y1)

4 . . . φD (ym)4] |0〉

Z Wickova rozvoje T−soucinu prispívají do vakuové strední hodnotyjen cleny s maximálním poctem kontrakcí bez nekontrahovanýchoperátoru φD (xi )


Interagující pole

Jednotlivé cleny Wickova rozvoje T−soucinu lze opet algoritmizovats uzitím grafu. Specifický typ výrazu, které nakonec pocítáme,umoznuje nekterá další zjednodušení

1 všechny vertexy mají jen ctyri nozicky2 kazdý vertex je doprovázen faktorem iλ3 príspevky grafu, lišících se jen permutací popisu vertexu y1 . . . ym , jsoustejné, nebo ,t pres yj se integruje, tyto vertexy tedy není trebapopisovat prostorocasovými body

Tedy príspevek grafu Γ s m vertexy doprovází celkem faktor

CΓ =1m!

(iλ4!

)m× CΓ ×

m!g

kde CΓ je kombinatorický faktor diskutovaný výše a g je pocetpermutací vertexu, které nechávají graf s popsanými vertexy y1 . . . ymnezmenený.


Interagující pole

Príklad grafu s g = 2

Obecný faktor CΓ je explicite

CΓ =1m!

(iλ4!

)m× CΓ ×

m!g=

1m!

(iλ4!

)m× (4!)m

SΓ× m!g

=(iλ)m

SΓ

kde SΓ je symetrický faktor grafu Γ s rozlišitelnými vertexy φD (yj )4

SΓ = SΓg = 2β ∏VV ′,m

(m!)αVV′

m g


Interagující pole

Výpocet poruchového rozvoje citatele a jmenovatele Dysonovyformule pro Greenove funkci

Gn (x1, . . . , xn) = 〈Ω|T [φH (x1) . . . φH (xn)] |Ω〉v m−tém rádu poruchové teorie lze tak zformulovat pomocíFeynmanových pravidel v x−representaci:

1 Nakreslíme všechny topologicky neekvivalentní grafy Γ s minterakcními vertexy (propojené navzájem tzv. vnitrními linkami), nvnejšími vertexy (popsanými body xj a pripojené tzv. vnejšími linkami)

2 S uzitím korespondence (po rade vnejší vertex, vnitrní nebo vnejší linka,interakcní vertex)

priradíme kazdému grafu Γ odpovídající clen Wickova rozvoje W (Γ)vyintegrovaný pres souradnice všech interakcních vertexu

3 Jednotlivé príspevky grafu Γ podelíme symetrickým faktorem SΓ asecteme


Interagující pole

Symbolicky tedy máme

〈0|T[

φD (x1) . . . exp(iλ4!

∫d4xφD (x)

4)]|0〉 = ∑

Γ

W (Γ)SΓ

Všimneme si, ze, ze pokud se graf Γ rozpadne na k topologickyruzných souvislých disjunktních komponent, které nejsou navzájempropojeny vnitrními linkami, symbolicky

Γ = Γ1 ∪ Γ2 ∪ . . . ∪ Γk , Γi 6= Γj

symetrický faktor se faktorizuje


(m!)αVV′

m g = SΓ1 × SΓ2 × . . .× SΓk

a vyintegrovaný clen Wickova rozvoje se také faktorizuje,

W (Γ) = W (Γ1)×W (Γ2)× . . .×W (Γk )

To umoznuje dále zjednodušit výpocet Greenových funkcí aneuvazovat tzv. vakuové grafy


Interagující pole

Pripomenme Dysonovu formuli

〈Ω|T [φH (x1) . . . φH (xn)] |Ω〉 =〈0|T [φD (x1) . . . φD (xn)S ] |0〉

〈0|S |0〉Faktor 〈0|S |0〉 ve jmenovateli má poruchový rozvoj, jehoz grafynemají vnejší vertexy, tzv. vakuové grafy, napr.

symbolicky

〈0|S |0〉 = ∑Γvac

W (Γvac )SΓvac

kde W (Γvac ) je vyintegrovaný clen Wickova rozvoje odpovídajícívakuovému grafu Γvac


Interagující pole

Kazdý graf Γ odpovídající rozvoji citatele〈0|T [φD (x1) . . . φD (xn)S ] |0〉 se rozpadá na disjunktní komponenty

Γ = Γext ∪ Γvac

kde Γext je komponenta obsahující všechny vnejší vertexy (aneobsahující vakuové komponenty) a Γvac je nejaký vakuový grafSuma príspevku s touz komponentou Γext je tak

∑Γvac

W (Γext ∪ Γvac )SΓext∪Γvac

=W (Γext )SΓext

∑Γvac

W (Γvac )SΓvac

=W (Γext )SΓext

〈0|S |0〉

a po dosazení do Dysonovy formule se faktor 〈0|S |0〉 vykrátí.Pri poruchovém výpoctu tedy nemusíme rozvíjet jmenovatel Dysonovyformule a stací uvazovat pouze grafy neobsahující vakuovékomponenty


Interagující pole

Jako príklad spocteme ctyrbodovou Greenovu funkci v prvním ráduporuchové teorie

G (1)4 (x1, x2, x3, x4)

= 〈0|T[

φD (x1)φD (x2)φD (x3)φD (x4)iλ4!

∫d4yφD (y)

4]|0〉|ext

tj. první korekci k volné ctyrbodové Greenove funkci

G (0)4 (x1, x2, x3, x4) = i∆F (x1 − x2)i∆F (x3 − x4)+i∆F (x1 − x3)i∆F (x2 − x4)+i∆F (x1 − x4)i∆F (x2 − x3)

Podle Feynmanových pravidel potrebujeme nakreslit všechnytopologicky nenekvivalentní grafy, sestrojené z jednoho interakcníhovertexu a ctyr vnejších vertexu a neobsahující vakuové komponenty


Interagující pole

Takové grafy jsou


Interagující pole

Odpovídající cleny Wickova rozvoje

W (Γc ) = iλ∫d4y

4

∏j=1i∆F (xj − y)

resp.W (Γd ) = W

(Γ(1)d

)×W

(Γ(2)d

)+ permutace

kde

W(

Γ(1)d)= i∆F (x3 − x4)

W(

Γ(2)d)= iλ

∫d4yi∆F (x1 − y)i∆F (x2 − y)i∆F (0)

Symetrické faktory jsou

SΓc = 1, SΓ(1)d= 1, S

Γ(2)d= 2


Interagující pole

Výpocet je vhodné dokoncit v p−representaci, kde∫d4xeip·x i∆F (x − y) =

∫d4xeip·x

∫ d4k

(2π)4ie−ik ·(x−y )

k2 −m2 + i0

=ieip·y

p2 −m2 + i0Tedy po Fourierove transformaci príspevku grafu Γc dostaneme

W (Γc )SΓc

=∫ 4

∏k=1

d4xkeipk ·xk iλ∫d4y

4

∏j=1i∆F (xj − y)

= iλ∫d4y

4

∏j=1

eipj ·yi

p2j −m2 + i0

= iλ (2π)4 δ(4)

(4

∑l=1

pl

)4

∏k=1

ip2j −m2 + i0


Interagující pole

Podobne, pro príspevky grafu Γ(1,2)d máme

W (Γd ) = W(

Γ(1)d)× W

(Γ(2)d

)+ permutace

kde

W(

Γ(1)d)

SΓ(1)d

=∫ 4

∏k=3

d4xkeipk ·xk i∆F (x3 − x4)

=∫d4x4eip4 ·x4

ieip3 ·x4

p23 −m2 + i0

= (2π)4 δ(4) (p3 + p4)i

p23 −m2 + i0


Interagující pole

Konecne

W(

Γ(2)d)

SΓ(2)d

=iλ2i∆F (0)

∫ 2

∏k=1

d4xkeipk ·xk

×∫d4yi∆F (x1 − y)i∆F (x2 − y)

=iλ2i∆F (0)

∫d4y

2

∏j=1

eipj ·yi

p2j −m2 + i0

= (2π)4 δ(4) (p1 + p2)iλ2i∆F (0)

2

∏j=1

ip2j −m2 + i0


Interagující pole

Z Greenovy funkce nyní spocítejme maticový element S−matice.Pripomenme LSZ formule v p−representaci

〈k1, k2, out|p1, p2in〉 = limk 2i p

2j →m2

2

∏j=1

k2j −m2

i

p2j −m2

iG4(k,−p

)Príspevky nesouvislých grafu Γd

W (Γd ) = (2π)4 δ(4) (p3 + p4)i

p23 −m2 + i0

× (2π)4 δ(4) (p1 + p2)iλ2i∆F (0)

2

∏j=1

ip2j −m2 + i0

+permutace

se faktorizují, jednotlivé faktory obsahují δ−funkce vyjadrující zákonzachování ctyrimpulsu subprocesu (napr. 3→ 4 a 1→ 2 v prvnímclenu). Prispívají tedy do nesouvislých príspevku do S−matice. Dosouvislé komponenty S−matice tedy prispeje jen Γc


Interagující pole

Pro príspevek souvislého gafu Γc máme

limk 2i →m2, p2j →m2

2

∏j=1

k2j −m2

i

p2j −m2

iW (Γc )SΓc

= limk 2i →m2, p2j →m2

2

∏j=1

k2j −m2

i

p2j −m2

i

×λ (2π)4 δ(4) (Pf − Pi )2

∏k=1

ip2j −m2 + i0

ik2j −m2 + i0

= i (2π)4 δ(4) (Pf − Pi ) λ

tedyT cfi = λ

a diferenciální úcinný prurez v nejnizším rádu poruchové teorie je

dσfidΩCMS

=1

64π2spfCMSpiCMS

|T cfi |2 =

λ2

64π2sJ. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 452 / 1311

Interagující pole

Predchozí výpocet naznacuje, ze Greenovy funkce v p−representaci jemozno konstruovat prímo, bez nutnosti nejprve pocítat vx−representaci a pak provádet Fourierovu transformaciVyjádríme kazdou chronologickou kontrakci i∆F (z − w) pomocíformule

i∆F (z − w) =∫ d4k

(2π)4e−ik ·(z−w )

ik2 −m2 + i0

Tím je kazdé lince grafu prirazen impuls, orientovaný tak, ze mírí odw k z a príslušný propagátor v p−representaci

i ∆F (k) =i

k2 −m2 + i0


Interagující pole

Priradíme vnejšímu vertexu faktor realizující Fourierovu transformaci∫d4xeip·x

Tím je kazdé vnejší lince prirazen impluls p, vycházející z grafu venVnejší vertex je vzdy pripojen k jinému vertexu (napr. s argumentemy) pres propagátor, tedy vnejší lince vzdy odpovídá faktor∫

d4xeip·x i∆F (x − y) =ieip·y

p2 −m2 + i0Je-li y argument vnitrního vertexu, z kazdého propagátoru k nemupripojeného tak dostaneme faktor e±ipi ·y podle toho, zda pi vychází zvertexu ci vchází do vertexu. To je jediná explicitní závislost na y .Vyintegrováním pres souradnici vnitrního vertexu dostaneme zákonzachování ctyrimpulsu v kazdém vertexu∫

d4y ∏i

e±ipi ·y = (2π)4 δ(4)

(∑i±pi


Interagující pole

Píspevek ke Greenove funkci v p−representaci odpovídající danémugrafu je tedy dán jednak faktory

iλ (2π)4 δ(4)

(∑i±pi

)

za kazdý interakcní vertex a jednak propagátory v p−representaci

i ∆F (k) =i

k2 −m2 + i0

prirazené jednotlivým linkám.

Výsledek je treba vyintegrovat pres všechny impulsy prirazenévnitrním linkám

S−matice se dostane tak, ze vynecháme propagátory príslušejícívnejším linkám, Scfi odpovídá souvislým grafum


Interagující pole

Muzeme tak zformulovat Feynmanova pravidla prímo vp−representaci.V m−tém rádu poruchové teorie pro Greenovu funkci G (p1, . . . , pn):

1 Nakreslíme všechny topologicky neekvivalentní grafy Γ s minterakcními vertexy (propojené navzájem vnitrními linkami), n vnejšímivertexy (z nichz vycházejí vnejší impulsy pj a které jsou pripojenévnejšími linkami)

2 i−té vnitrní lince priradíme impuls ki3 j−té vnejší lince priradíme impuls pj podle jejich vnejšího vertexu4 S uzitím korespondence

(po rade vnejší vertex, vnitrní nebo vnejší linka, interakcní vertex)priradíme kazdému grafu Γ odpovídající clen Wickova rozvoje W (Γ)vyintegrovaný pres impulsy všech vnitrních linek ki s mírou d4k/ (2π)4

5 Príspevky grafu Γ podelíme symetrickým faktorem SΓ a sectemeJ. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 456 / 1311

Interagující pole

Tato pravidla spolu s LSZ formulemi umoznují jednoduchoumodifikaci pro prímý výpocet elementu souvislé S−matice Scfi :

1 Uvazujeme jen souvislé grafy2 Amputujeme vnejší vertexy a vnejším linkám nepriradíme propagátory,tj.

vnej s ı linka→ 1

3 Impulsy cástic v in-stavu vcházejí do grafu, impulsy cástic v out-stavuvycházejí z grafu


Interagující pole

Pri integraci pres impulsy vnitrních linek je cást integrace triviální.Pro souvislý graf s I vnitrním linkami a V vertexy máme celkem Vδ−funkcí, vyjadrujících zachování impulsu v kazdém vertexu. Jedna znich ale závisí jen na vnejších impulsech pi a vyjadruje zachovánícelkového impulsu. Po zapoctení V − 1 netriviálních δ−funkcí zbydecelkem

L = I − V + 1nezávislých integrací pres tzv. smyckové impulsy li , i = 1, . . . , L.Pokud vyfaktorizujeme zbylou δ−funkci, dostaneme prímo príspevekdo iT cfiTopologicky císlo L udává pocet nezávislých smycek souvisléhoFeynmanova grafu, tj. maximální pocet vnitrních linek, jejichzodstranením se graf nerozpadne na nesouvislé komponenty. Platítotiz, ze minimální pocet vnitrních linek nutných “aby graf drzelpohromade“ je

Imin = V − 1J. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 458 / 1311

Interagující pole

Grafy, pro které je pocet vnitrních linek roven Imin, tj. pro nez

I = V − 1

se nazývají stromové grafy. Sromové grafy nemají smycky (tj.posloupnosti navazujících linek zacínajících a koncících v témzevertexu).

Pocet nezávislých smycek v grafu souvisí s mocninou Planckovykonstanty, spojené s príspevkem grafu.

Vskutku, zrestaurujeme-li závislost na v Dysonove formuli

〈0|T[

φD (x1) . . . exp(− i

∫d4xHID (x)

)]|0〉

prispívá kazdý vertex faktorem −1.


Interagující pole

Podobne protoze Diracova kvantovací podmínka zní

[φD (x),πD (y)] |x 0=y 0 = iδ(3) (x− y)

je treba nahraditi∆+ (x)→ i∆+ (x)

a v dusledku toho

i∆F (x)→∫ d4k

(2π)4e−ik ·x

ik2 −m2 + i0

Pro graf prispívající do Grennovy funkce s E vnejšími linkami, Ivnitrními linkami a V vertexy je tak

W (Γ) ∼ E+I−V = E+L−1

kde jsme uzili L = I − V + 1. Pro danou Greenovu funkci je tedyrozvoj v mocninách identický s rozvojem v poctu smycek L


Interagující pole

V našem príkladu λφ4 teorie je rozvoj v mocninách korelovaný srozvojem v mocninách λ. Platí totiz vztah mezi poctem linek apoctem interakcních vertexu

4V = E + 2I

odkud dostanemeI = 2V − 1

2E

a takW (Γ) ∼ E+I−V = 12E+V

To lze intuitivne pochopit i na úrovni bezrozmerné akce S [φ,λ] /

S [φ,λ] =

∫d4x

(12

∂φ · ∂φ− 12m2φ2 − λ

4!φ4)


Interagující pole

Preškálováním pole φΦ = λ1/2φ

dostaneme v termínech nového pole

S [φ,λ] =

∫d4x

(12

∂(

λ−1/2Φ)· ∂(

λ−1/2Φ)

−12m2(

λ−1/2Φ)2− λ

4!

(λ−1/2Φ

)4)=

S [Φ, 1]λ

a rozvoj v je vlastne rozvojem v λ

Podobná situace nastává v teoriích s jedinou vazbovou konstantou,vhodnou redefinicí polí ji lze zahrnout jako faktor do Planckovykonstanty


Interagující pole

Príklad: Prímý výpocet amplitudy procesu 2→ 2 v prvním a ve druhémrádu poruchové teorie

V prvním rádu máme jediný souvislý graf s jedním interakcnímvertexem a ctyrmi vnejšími linkami, symetrický faktor je 1

Podle našich pravidel tak muzeme okamzite psát

i (T cfi )(1) = iλ


Interagující pole

Ve druhém rádu máme tri ruzné topologie

Všechny grafy mají symetrický faktor SΓ = 2Príspevek grafu je tak

i (T cfi )(2) =

(iλ)2

2

∫ d4l

(2π)4i

l2 −m2 + i0i

(k1 + k2 − l)2 −m2 + i0

+(iλ)2

2

∫ d4l

(2π)4i

l2 −m2 + i0i

(k1 − p1 − l)2 −m2 + i0

+(iλ)2

2

∫ d4l

(2π)4i

l2 −m2 + i0i

(k1 − p2 − l)2 −m2 + i0


Cástice s nenulovým spinem

I. Cástice jako ireducibilní representace Poincareho grupy

Jak víme, jednocásticové stavy jsou jednoznacne urceny svýmctyrimpulsem p splnujícím podmínku p2 = m2 a konecným poctemdiskrétních kvantových císel, t.j. predstavují stav |p, σ〉, kde

Pµ|p, σ〉 = pµ|p, σ〉Vzhledem k prostorocasovým translacím tedy

U(a)|p, σ〉 = e ia·P |p, σ〉 = e ia·p |p, σ〉Pripomenme dále transformacní vlasnosti operátoru ctyrimpulsu

U(Λ)+PµU(Λ) = ΛµνP

ν

odkud

PµU(Λ)|p, σ〉 = U(Λ)ΛµνP

ν|p, σ〉 =(Λµ

νpν)U(Λ)|p, σ〉

tedy U(Λ)|p, σ〉 je vlasní stav ctyrimpulsu s vlastní hodnotoup′ = Λ · p, pro který je také p′2 = m2



Protoze jednocásticové stavy jsou urceny jednoznacne, nutne musí být

U(Λ)|p, σ〉 = ∑ρ

Cσρ (p,Λ) |Λ · p, ρ〉

kde Cσρ (p,Λ) je regulární matice. Toho lze vyuzít k zafixování bazestavu |p, σ〉 a jejich závislosti na σ.Nech ,t

kµ ≡ (m, 0)potom všechny impulsy p, splnující podmínku p2 = m2 lze dostat jako

p = L (p) · k

kde

L(p) = exp (−iup ·N) , u =12ln(p0 + |p|p0 − |p|

), p =

p|p|

je “kanonický“ boost.



Definujme stavy |p, σ〉 pomocí tohoto boostu

|p, σ〉 ≡ U (L(p)) |k, σ〉

kde |k , σ〉 predstavuje jednocásticový stav v klidovém systému.

Impuls kµ ≡ (m, 0) je invariantní vzhledem k rotacím (a pouzevzhledem k rotacím) - tzv. malá grupa impulsu k

Je-li tedy Λ (R) rotace, máme Λ (R) · k = k a proto

U(Λ (R))|k, σ〉 = ∑ρ

Cσρ (k,R) |Λ (R) · k , ρ〉

= ∑ρ

Cσρ (k,R) |k , ρ〉 ≡∑ρ

Dσρ (R) |k, ρ〉

kde transponované matice D (R)T tvorí representaci grupy rotací napodprostoru natazeném na |k, ρ〉



Vskutku, platí totiz

U(Λ (R1) ·Λ (R2))|k, σ〉= ∑

ρ

Dσρ (R1 · R2) |k, ρ〉 = U(Λ (R1))U(Λ (R2))|k, σ〉

= U(Λ (R1))∑κ

Dσκ (R2) |k, κ〉 = ∑ρ,κ

Dσκ (R2)Dκρ (R1) |k, ρ〉

a tak

D (R1 · R2) = D (R2) ·D(R1)⇒ D (R1 · R2)T = D (R1)T ·D(R2)T

Tedy transponované matice D (R)T tvorí konecnomernourepresentaci grupy rotací indukovanou representací Lorentzovy grupyU (Λ (R)). Klasifikace representací SO (3) ≈ SU (2) je dobre známá.



Pro obecnou rotaci Rn (φ) pišme

D (Rn (φ)) = exp (iφn · S)

kde generátory rotací v representaci D (R)T jsou(S i)T, i = 1, 2, 3;

t.j. platí [(S i)T,(S j)T ]

= iεijk (Sk )T

Cástici s daným spinem s odpovídá ireducibilní representace dimenze2s + 1 s S2 = s(s + 1). Zvolme standardní basi, v níz

S3σρ = σδσρ, S±σρ = α(±) (s, σ) δσ±1,ρ

kde σ, ρ = −s.− s + 1, . . . , s − 1, s, tedy kvantové císlo σ urcujícíjednoznacne stav |p, σ〉 má význam tretí komponenty spinu cástice vjejím klidovém systému, nebo ,t

J3|k, σ〉 = ∑ρ

S3σρ|k , ρ〉 = σ|k, σ〉, J±|k, σ〉 = α(±) (s, σ) |k, σ± 1〉



Od této baze prostoru natazeném na |k, ρ〉 lze prejít standardnímzpusobem k bazi, kde je diagonální operátor n · S, kde n2 = 1, σ jepak projekce spinu do smeru n v klidovém systému cástice.

Tento prechod lze také chápat jako jiný výber boostu L (p), jmenovite

L (p)→ L (p)R (n)

kde R (n) je rotace prevádející smer tretí osy do smeru urcenéhovektorem nPri jiném výberem boostu

L (p)→ L (p)R (p)

(kde R (p) je rotace prevádející smer tretí osy do smeru trímpulsu p)bude mít σ význam tzv. helicity, t.j. projekce impulsmumentu dosmeru impulsu.Cvicení: Dokazte.



Dále máme

U(Λ)|p, σ〉 = U(Λ)U (L(p)) |k, σ〉= U(L (Λ · p))U(L (Λ · p))−1U(Λ · L(p))|k , σ〉= U(L (Λ · p))U(L (Λ · p)−1 Λ · L(p))|k, σ〉≡ U(L (Λ · p))U (W (p,Λ)) |k, σ〉

kde jsme oznacili

W (p,Λ) = L (Λ · p)−1 Λ · L(p)

Ale

L(p) · k = p ⇒ (Λ · L(p)) · k = Λ · pW (p,Λ) · k = (L (Λ · p)−1 Λ · L(p) · k = L (Λ · p)−1 Λ · p = k

tedy W (p,Λ) nechává kµ ≡ (m, 0) invariantní - je to tedy nejakárotace (tzv. Wignerova rotace).



TedyU (W (p,Λ)) |k, σ〉 = ∑

ρ

D (W (p,Λ))σρ |k, ρ〉

Máme tak

U(Λ)|p, σ〉 = ∑ρ

D (W (p,Λ))σρ U(L (Λ · p))|k, ρ〉

= ∑ρ

D (W (p,Λ))σρ |Λ · p, ρ〉

Stavy normalizujme predpisem

〈p′, σ′|p, σ〉 = (2π)3 2E (p) δσσ′δ(3) (p− p′)



Tato normalizace je jako dusledek unitarity D (R) konsistentní sunitaritou U (Λ), tj platí

〈p′, σ′|U (Λ)+ U (Λ) |p, σ〉 = 〈p′, σ′|p, σ〉

Vskutku, máme totiz

〈p′, σ′|U (Λ)+ U (Λ) |p, σ〉= 〈Λ · p′, ρ′|∑

ρ′D (W (p,Λ))∗σ′ρ′ ∑

ρ

D (W (p,Λ))σρ |Λ · p, ρ〉

= ∑ρ′D (W (p,Λ))∗σ′ρ′ ∑

ρ

D (W (p,Λ))σρ δρρ′

× (2π)3 2E (pΛ) δ(3)(pΛ − p′Λ

)= (2π)3 2E (p) δσσ′δ

(3) (p− p′) = 〈p′, σ′|p, σ〉J. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 473 / 1311


Pro Λ = Λ (R), kde R je rotace, je

W (p,Λ (R)) = L (Λ (R) · p)−1 ·Λ (R) · L(p)

Ukázeme, zeW (p,Λ (R)) = Λ (R)

Vskutku, protozeL (p) = exp (−iup ·N)

máme

Λ (R) · L (p) ·Λ (R)−1 = exp(−iup ·Λ (R) ·N·Λ (R)−1

)Protoze se N transformuje vzhledem k rotacím jako vektor, dostaneme

Λ (R) ·N·Λ (R)−1 = RT ·N



a jako dusledek

Λ (R) · L (p) ·Λ (R)−1 = exp(−iup · RT ·N

)= exp (−iu (R · p) ·N) = L (Λ (R) · p)

Odtud

W (p,Λ (R)) = L (Λ (R) · p)−1 ·Λ (R) · L(p)= Λ (R) · L (p)−1 ·Λ (R)−1 ·Λ (R) · L(p)= Λ (R)

Pri rotacích tak máme

U (Λ (R)) |p, σ〉 = ∑ρ

D (R)σρ |Λ (R) · p, ρ〉

To je formule pro transformaci jednocásticového stavu vzhledem krotacím, jak je známá z nerelativistické kvantové mechaniky



Uvazujme dále diskrétní symetrie P a T .Jak víme

PPµP+ = Pµ = Pµ

PJP+ = JPNP+ = −N

a proto pro stav |k, σ〉, k = (m, 0), který je vlastním stavem Pµ a J3

P|k, σ〉 = ηP (σ) |k , σ〉

nebo ,t P · k = k. Fáze ηP (σ) nezávisí na σ, nebo ,t máme

J±|k, σ〉 = α(±) (s, σ) |k, σ± 1〉PJ±|k, σ〉 = α(±) (s, σ) ηP (σ± 1) |k, σ± 1〉

!= J±P|k, σ〉 = ηP (σ) α(±) (s, σ) |k , σ± 1〉



OdtudηP (σ± 1) = ηP (σ) ≡ ηP

Dále jak víme

PU (L(p))P+ = P exp (−iup ·N)P+ = exp (iup ·N) = U (L(p))

tedy

P|p, σ〉 = PU (L(p)) |k, σ〉 = U (L(p))P|k , σ〉 = ηP |p, σ〉

Máme tak konecneP|p, σ〉 = ηP |p, σ〉



Podobne

T PαT + = Pα = Pα

T JT + = −J, T NT + = N

odkudT |k, σ〉 = ηT (σ) |k,−σ〉

Aplikací T naJ±|k , σ〉 = α(±) (s, σ) |k, σ± 1〉

máme

T J±|k, σ〉 = α(±) (s, σ) T |k, σ± 1〉= α(±) (s, σ) ηT (σ± 1) |k,−σ∓ 1〉

!= −J∓T |k, σ〉 = −ηT (σ) α(∓) (s,−σ) |k ,−σ∓ 1〉



porovnání obou stran dostaneme

α(±) (s, σ) ηT (σ± 1) = −ηT (σ) α(∓) (s,−σ)

protoze ale platí

α(±) (s, σ) =√(s ∓ σ) (s ± σ+ 1) = α(∓) (s,−σ)

máme nakonec

ηT (σ± 1) = −ηT (σ)⇒ ηT (σ) = ηT (−1)s−σ

Odtud, protoze jak víme

T U (L(p)) T + = T exp (−iup ·N) T + = exp (iup ·N) = U (L(p))dostaneme

T |p, σ〉 = T U (L(p)) |k , σ〉 = U (L(p)) T |k, σ〉 = ηT (−1)s−σ |p,−σ〉

Máme tak konecne

T |p, σ〉 = ηT (−1)s−σ |p,−σ〉



Shrnutí:

Relativistické jednocásticové stavy |p, σ〉 cástic s nenulovou hmotoum a spinem s jsou jednoznacne urceny svým ctyrimpulsem p aprojekcí σ spinu do tretí osy (resp. do osy n) v klidovém systému,resp. helicitou (projekcí spinu do smeru tríimpulsu),

Pµ|p, σ〉 = pµ|p, σ〉|p, σ〉 = U (L (p)) |k, σ〉, k = (m, 0)

J3|k, σ〉 = σ|k , σ〉J±|k, σ〉 = α(±) (s, σ) |k, σ± 1〉J2|k, σ〉 = s (s + 1) |k, σ〉

σ ∈ −s,−s + 1, . . . , s − 1, sTyto stavy jsou normalizovány na invariantní δ−funkci

〈p′, σ′|p, σ〉 = (2π)3 2E (p) δσσ′δ(3) (p− p′)



Vzhledem k Poincareho grupe se transformují

U (Λ, a) |p, σ〉 = e ia·Λ·ps

∑ρ=−s

D(s)σρ (W (p,Λ)) |Λ · p, ρ〉

kde Wignerova rotace je

W (p,Λ) = L (Λ · p)−1 ·Λ · L (p)

a D(s)σρ (R) je ireducibilní representace grupy rotací se spinem sVzhledem k diskrétním symetriím P a T

P|p, σ〉 = ηP |p, σ〉T |p, σ〉 = ηT (−1)

s−σ |p,−σ〉

Jednocásticový prostor H(1) (s,m) natazený na |p, σ〉 neseireducibilní representaci Poincareho grupy, charakterizovanou hmotoum2 > 0 a spinem s.



Pomocí jednocásticového prostoru H(1) (s,m) sestrojíme standardnímzpusobem Fockuv prostor F (s,m) s basí

|p1σ1, . . . pnσn〉 = a+(p1, σ1) . . . a+(pn, σn)|0〉

generovanou z vakua kreacními a anihilacními operátory splnujícími[a(p, σ), a+(p′, σ′)

]± = (2π)3 2E (p)δσσ′δ

(3)(p− p′),[a+(p, σ), a+(p′, σ′)

]± =

[a(p, σ), a(p′, σ′)

]± = 0(

a+(p, σ))+

= a(p, σ)

a(p, σ)|0〉 = 0

Fockuv prostor F (s,m) nese representaci Poincarého grupystandardne rozšírenou z jednocásticového prostoruH(1) (s,m) ⊂ F (s,m)



n−cásticové stavy se transformují predpisem

U (Λ, a) |p1σ1, . . . pnσn〉

= exp

(ia ·Λ ·

n

∑j=1pj

)

×n

∏i=1

s

∑ρi=−s

D(s)σi ρi(W (pi ,Λ)) |Λ · p1ρ1, . . . Λ · pnρn〉

speciálne vzhledem k rotacím

U (Λ (R)) |p1σ1, . . . pnσn〉

=n

∏i=1

s

∑ρi=−s

D(s)σi ρi(R) |Λ (R) · p1ρ1, . . . Λ (R) · pnρn〉



Odtud pro generátory

Pµ|p1σ1, . . . pnσn〉 =(

n

∑j=1pj

)µ

|p1σ1, . . . pnσn〉

J|p1σ1, . . . pnσn〉 =n

∑j=1

s

∑ρj=−s

(Sσj ρj

+ i∇pj × pjδσj ρj

)|p1σ1, . . . pjρj , . . .〉

kde STσj ρj jsou spinové matice.Pro Hamiltonián a impuls dostáváme v termínech kreacních aanihilacních operátoru

H =s

∑σ=−s

∫dpE (p) a+(p, σ)a(p, σ)

P =s

∑σ=−s

∫dp pa+(p, σ)a(p, σ)



Transformacní vlastnosti a+(p, σ) a a(p, σ) vzhledem k Poincarehogrupe jsou

U (Λ, a) a+(p, σ)U (Λ, a)+

= e ia·Λ·ps

∑ρ=−s

D(s)σρ (W (p,Λ)) a+(Λ · p, ρ)

U (Λ, a) a(p, σ)U (Λ, a)+

= e−ia·Λ·ps

∑ρ=−s

D(s)σρ (W (p,Λ))∗ a(Λ · p, ρ)

Vzhledem k diskrétním symetriím

Pa+(p, σ)P+ = ηPa+(p, σ)

Pa(p, σ)P+ = η∗Pa(p, σ)

T a+(p, σ)T + = ηT (−1)s−σ a+(p,−σ)

T a(p, σ)T + = η∗T (−1)s−σ a(p,−σ)



II. Kauzální pole pro cástice s nenulovým spinem

K poruchové konstrukci Greenových funkcí a S−matice potrebujemsestrojit kauzální pole φa (x), transformující se podle ireducibilníchrepresentací Lorentzovy grupy, t.j. splnující

[φa (x) , φb (y)]± = 0 pro (x − y)2 < 0U (Λ, a)+ φa (Λx + a)U (Λ, a) = Dba (Λ) φb (x)

Pišme pro kladne frekvencní (anihilacní) a záporne frekvencní(kreacní) cást techto polí

φ+a (x) = ∑σ

∫dpua(p, σ, x)a(p, σ)

φ−a (x) = ∑σ

∫dpva(p, σ, x)a+(p, σ)



K urcení koeficientu ua(p, σ, x) a va(p, σ, x) pouzijeme pozadovanétransformacní vlastnosti pole φa (x), prepsané na tvar

D(Λ−1

)· φ (Λx + a) = U (Λ, a) φ (x)U (Λ, a)+

Translace: volbou x = 0, Λ = 1, a = x dostaneme

φa (x) = U (x) φa (0)U (x)+

porovnáním

φa (x) = ∑σ

∫dpua(p, σ, 0)U (x) a(p, σ)U (x)

+

+∑σ

∫dpva(p, σ, 0)U (x) a+(p, σ)U (x)

+

= ∑σ

∫dpua(p, σ, 0)a(p, σ)e−ip·x

∑σ

∫dpva(p, σ, 0)a+(p, σ)eip·x



Oznacíme-li ješte

ua(p, σ) ≡ ua(p, σ, 0), va(p, σ) ≡ va(p, σ, 0)

implikuje translacní invariance

φa (x) = ∑σ

∫dp(ua(p, σ)a(p, σ)e−ip·x + va(p, σ)a+(p, σ)eip·x

)Cvicení: Ukazte, ze

i[Pµ, φa (x)

]= ∂µφa (x)

kdePµ = ∑

σ

∫dp pµa+(p, σ)a(p, σ)

je operátor ctyrimpulsu.



Podobne volbou a = 0 máme

Dba(Λ−1

)φb (Λx) = U (Λ) φa (x)U (Λ)

+

Pro levou stranu dostaneme

D(Λ−1

)· φ (Λ · x) =

= ∑σ

∫dpD

(Λ−1

)· u(p, σ)a(p, σ)e−ip·Λ·x

+D(Λ−1

)· v(p, σ)a+(p, σ)eip·Λ·x

a substitucí p = Λ · q dostaneme dp =dq a

D(Λ−1

)· φ (Λ · x) =

= ∑σ

∫dq(D(Λ−1

)· u(Λ · q, σ)a(Λ · q, σ)e−iq·x

+D(Λ−1

)· v(Λ · q, σ)a+(Λ · q, σ)

)eiq·x



Na pravé strane dostaneme s uzitím

U (Λ) a+(p, σ)U (Λ)+ =s

∑ρ=−s

D(s)σρ (W (p,Λ)) a+(Λ · p, ρ)

U (Λ) a(p, σ)U (Λ)+ =s

∑ρ=−s

D(s)σρ (W (p,Λ))∗ a(Λ · p, ρ)

U (Λ) φ (x)U (Λ)+

= ∑σ

∫dq(u(q, σ)U (Λ) a(q, σ)U (Λ)+ e−iq·x

+v(q, σ)U (Λ) a+(q, σ)U (Λ)+ eiq·x)

= ∑σ,ρ

∫dq(u(q, σ)D(s)σρ (W (q,Λ))∗ a(Λ · q, ρ)e−iq·x

+v(q, σ)D(s)σρ (W (q,Λ)) a+(Λ · q, ρ)eiq·x)



Porovnáme-li obe strany, dostaneme

∑ρ

∫dq(D(Λ−1

)· u(Λ · q, ρ)a(Λ · q, ρ)e−iq·x

+D(Λ−1

)· v(Λ · q, ρ)a+(Λ · q, ρ)

)eiq·x

!= ∑

σ,ρ

∫dq(u(q, σ)D(s)σρ (W (q,Λ))∗ a(Λ · q, ρ)e−iq·x

+v(q, σ)D(s)σρ (W (q,Λ)) a+(Λ · q, ρ)eiq·x)

neboli

D(Λ−1

)· u(Λ · q, ρ) = ∑

σ

u(q, σ)D(s)σρ (W (q,Λ))∗

D(Λ−1

)· v(Λ · q, ρ) = ∑

σ

v(q, σ)D(s)σρ (W (q,Λ))



Predchozí formule po násobení zleva D (Λ) = D(Λ−1

)−1 dávajíu(Λ · q, ρ) = ∑

σ

D (Λ) · u(q, σ)D(s)σρ (W (q,Λ))∗

v(Λ · q, ρ) = ∑σ

D (Λ) · v(q, σ)D(s)σρ (W (q,Λ))

Dosa,dme nyní

q → k = (m, 0) , Λ = L (p)

kde L (p) je kanonický boost, t.j. protoze L (k) = 1

Λ · q → L (p) · k = p, W (q,Λ)→ W (k, L (p))

W (k, L (p)) = L (L (p) · k)−1 · L (p) · L (k) = L (p)−1 · L (p) = 1Odtud

u(p, σ) = D (L (p)) · u(k , σ)v(p, σ) = D (L (p)) · v(k, σ)



Úloha nalézt u(p, σ), v(p, σ) se tak redukuje na nalezení u(k, σ),v(k, σ), t.j. urcení techto funkcí v klidovém systému. K tomupouzijeme jejich transformacních vlastností vzhledem k rotacímRelace

D(Λ−1

)· u(Λ · q, ρ) = ∑

σ

u(q, σ)D(s)σρ (W (q,Λ))∗

D(Λ−1

)· v(Λ · q, ρ) = ∑

σ

v(q, σ)D(s)σρ (W (q,Λ))

proΛ→ Λ (R) , q → k = (m, 0)

dávají s uzitím Λ (R) · k = k, W (q,Λ (R)) = Λ (R)

D(

Λ (R)−1)· u(k , ρ) = ∑

σ

u(k, σ)D(s)σρ (R)∗

D(

Λ (R)−1)· v(k, ρ) = ∑

σ

v(k, σ)D(s)σρ (R)



V infinitesimální forme, píšeme-li

D (Λ (Rn (ϕ))) = exp (in · JD ϕ)

D(s) (Rn (ϕ)) = exp(in · J(s)ϕ

)máme

JD · u(k, ρ) = ∑σ

u(k, σ)J(s)∗σρ = ∑σ

u(k, σ)J(s)ρσ

JD · v(k, ρ) = −∑σ

v(k, σ)J(s)σρ = −∑σ

v(k, σ)J(s)∗ρσ

nebo

J3D · u(k, σ) = σu(k, σ), J±D · u(k, σ) = α(±) (s, σ) u(k, σ± 1)J3D · v(k, σ) = −σv(k, σ), J±D · v(k, σ) = −α(∓) (s, σ) v(k, σ∓ 1)



u(k, σ), v(k , σ) jsou prvky vektorového prostoru, na nemz pusobíireducibilní representace Lotentzovy grupy D (Λ). Ta indukuje obecnereducibilní representaci D (Λ (R))podgrupy rotací Λ (R), která serozpadá na direktní sumu ireducibilních representací grupy rotací,symbolicky pro D (Λ) = D(j1,j2)

D (Λ (R)) = ⊕j1+j2j=|j1−j2 |D(j) (R)

Poslední relace ukazují, ze u(k, σ), v(k , σ) se transformují vuciindukované representaci grupy rotací D (Λ (R)) jako base ireducibilnírepresentace D(s) (R), resp. D(s) (R)∗

Tedy v rozkladu D (Λ (R)) tato representace musí být zastoupena,tedy

s ∈ |j1 − j2| , |j1 − j2|+ 1, . . . , j1 + j2Predchozí rovnice urcují u(k, σ) a v(k, σ) jednoznacne az na fáziu(k, σ = s), v(k, σ = s)



Cvicení: Ukazte, ze pokud u(k, σ) je rešením podmínek

J3D · u(k, σ) = σu(k, σ), J±D · u(k, σ) = α(±) (s, σ) u(k , σ± 1)

splnuje v(k , σ) definované vztahem

v(k, σ) = (−1)s+σ u(k,−σ)

podmínky

J3D · v(k, σ) = −σv(k, σ), J±D · v(k, σ) = −α(∓) (s, σ) v(k, σ∓ 1)



Pokud cástice nesou dodatecný zachovávající se náboj Q

Q |p, σ,±〉 = ±|p, σ,±〉

t.j. pro odpovídající kreacní a anihilacní operátory platí[Q, a+± (p, σ)

]= ±a+± (p, σ)

[Q, a± (p, σ)] = ∓a± (p, σ)

pozadujeme navíc komutacní relace

[Q, φa (x)] = qaφa (x)

odkud [Q, φa (x)

+]= −qaφa (x)

+



Relace

[Q, φa (x)] = qaφa (x) ,[Q, φa (x)

+]= −qaφa (x)

+

umoznují konstrukci interakcního hamiltoniánu, komutujícího s Q,jako lineární kombinace monomuφa1 (x) . . . φan (x) φb1 (x)

+ . . . φbm (x)+ pro niz

n

∑i=1qai =

m

∑j=1qbj

Podobne jako v prípade skalárního pole, pozadované komutacní relaces Q vyzaduje

φ (x) = ∑σ

∫dp(u (p, σ) a+ (p, σ) e−ip·x + v (p, σ) a+− (p, σ) eip·x

)φ (x)+ = ∑

σ

∫dp(u (p, σ)∗ a++ (p, σ) eip·x + v (p, σ)∗ a− (p, σ) e−ip·x



Shrnutí:

Z kreacních a anihilacních operátoru cástic s hmotou m, spinem s anábojem ±1 lze sestrojit pole φa (x)

φa (x) = ∑σ

∫dp(ua (p, σ) a+ (p, σ) e−ip·x + va (p, σ) a+− (p, σ) eip·x

)transformující se vzhledem k Poincarého grupe predpisem

U (Λ, a)+ φa (Λx + a)U (Λ, a) = Dba (Λ) φb (x)

Zde D (Λ) = D(j1,j2) je ireducibilní representace Lorentzovy grupy,pro niz platí

s ∈ |j1 − j2| , |j1 − j2|+ 1, . . . , j1 + j2Tzv. vlnové funkce u (p, σ) a v (p, σ) jsou urceny pomocí svýchhodnot v klidovém systému u(k , σ), v(k, σ)

u(p, σ) = D (L (p)) · u(k, σ), v(p, σ) = D (L (p)) · v(k, σ)J. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 499 / 1311


Vlnové funkce u(k, σ), v(k, σ) v klidovém systému jsou urcenypodmínkami

J3D · u(k, σ) = σu(k , σ), J±D · u(k, σ) = α(±) (s, σ) u(k, σ± 1)J3D · v(k, σ) = −σv(k, σ), J±D · v(k, σ) = −α(∓) (s, σ) u(k, σ∓ 1)

kde J iD jsou generátory rotací v representaci D (Λ) = D(j1,j2)

Lorentzovy grupy

Pole φa má následující komutacní relace s nábojem Q

[Q, φa (x)] = qaφa (x) ,[Q, φa (x)

+]= −qaφa (x)

+

Zbýva vyšetrit, za jakých podmínek jsou splneny podmínky kauzality

[φa (x) , φb (y)]± =[φa (x) , φb (y)

+]±= 0 pro (x − y)2 < 0



III. Spin 1/2

Pro cástice se spinem s = 1/2 jsou mozná pole ψa (x) transformujícíse podle reprezentací D (Λ) = D(j1,j2), pro nez

|j1 − j2| =12

tedy

D(j+1/2,j), D(j ,j+1/2), j = 0,12, 1, . . .

Má-li být zachována parita, je treba pouzít reducibilní representace

D(j+1/2,j) ⊕ D(j ,j+1/2), j = 0,12, 1, . . .

Minimální prípad odpovídá j = 0, pole ψa (x) se pak transformujíjako Diracuv bispinor

U (Λ, a)+ ψ (Λx + a)U (Λ, a) = S (Λ)ψ (x)



V chirální representaci

S (Λ) =(UR (Λ) 00 UL (Λ)

), ψ (x) =

(ψR (x)ψL (x)

)Pokud cástice ponesou náboj, bude pole vyjádreno pomocí kreacníchoperátoru cástic a anticástic

ψ (x) = ∑s

∫dp(u (p, s) b (p, s) e−ip·x + v (p, s) d+ (p, s) eip·x

)ψ (x)+ = ∑

s

∫dp(u+ (p, s) b+ (p, s) eip·x + v+ (p, s) d (p, s) e−ip·x

)kde b (p, s), b+ (p, s) odpovídají cásticím a d (p, s), d+ (p, s)anticásticím[

Q, b+ (p, s)]= b+ (p, s) ,

[Q, d+ (p, s)

]= −d+ (p, s)



Vlnové funkce splnují

u (p, s) = S (L (p)) u (k, s) , v (p, s) = S (L (p)) v (k , s)

kde u (k, s) jsou vlnové funkce v klidovém systému k = (m, 0). Tyjsou rešením relací

J3D · u(k, s) = s u(k, s), J3D · v(k, s) = −s v(k, s),J±D · u(k, s) = α(±) (1/2, s) u(k, s ± 1)J±D · v(k, s) = −α(∓) (1/2, s) u(k, s ∓ 1)

Pripomenme

α(±) (1/2, s) =√(1/2∓ s) (1/2± s + 1) ∈ 0, 1

tedy napr. pro u(k , s) (a podobne pro v(k, s))

J+D u(k , 1/2) = 0, J−D u(k, 1/2) = u(k ,−1/2)J−D u(k,−1/2) = 0, J+D u(k,−1/2) = u(k , 1/2)

.J. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 503 / 1311


Pro matice J iD máme v D(1/2,0) ⊕ D(0,1/2)

J iD =12

(σi 00 σi

)Vlastní stavy operátoru J3D s vlastními hodnotami s = ±1/2 tak jsou

u(k, s) =(aRχsaLχs

)kde

12

σ3χs = sχs

kde aR ,L jsou libovolné konstanty. Zvolme standardne

χ1/2 =

(10

), χ−1/2

(01

)zbylé relace pro u(k, s) pak jsou automaticky splneny.Dále (viz cvicení výše) muzeme volit

v(k, s) = (−1)s+1/2(bRχ−sbLχ−s



Kanonický boost má tvar

UR ,L (L (p)) =(E (p) +m

2m

)1/2

±(E (p)−m

2m

)1/2 σ · p|p|

Cvicení: Dokazte predchozí formule. Ukazte dále, ze platí

γ0S (L (p)) γ0 = S (L (p))

kde p =(p0,−p

)a

γ0 =

(0 11 0

), S (L (p)) =

(UR (L (p)) 0

0 UL (L (p))

)



Odtud máme

UR ,L (L (p)) =

(E (p) +m

2m

)1/2

±(E (p)−m

2m

)1/2 σ · p|p|

=

[1

2m (E (p) +m)

]1/2

(E (p)± σ · p+m)

=

[1

2m (E (p) +m)

]1/2 pµσµ +mpµσµ +m

Tedy

u (p, s) =[

12m (E (p) +m)

]1/2 ( aR(pµσµ +m

)χs

aL(pµσµ +m

)χs

)a podobne pro v(p, s)



Omezení na konstanty aR ,L a bR ,L plynou z dalších pozadavku na pole

ψ (x) = ∑s


)Operátor parity transformuje ψ (x) na

Pψ (x)P+ = ∑s

∫dp(u (p, s)Pb (p, s)P+e−ip·x

+v (p, s)Pd+ (p, s)P+eip·x)

= ∑s

∫dp(u (p, s) η∗P ,bb (p, s) e−ip·x

+v (p, s) ηP ,dd+ (p, s) eip·x

)= ∑

s

∫dp(u (p, s) η∗P ,bb (p, s) e−ip·x

+v (p, s) ηP ,dd+ (p, s) eip·x



Aby nyníPψ (x)P+ ∼ ψ (x)

musí býtu (p, s) ∼ u (p, s) , v (p, s) ∼ v (p, s)

Ale platí

u (p, s) = S (L (p)) u (k, s) , v (p, s) = S (L (p)) v (k , s)

Máme také

u (p, s) = S (L (p)) u (k, s) = γ0S (L (p)) γ0u (k, s)!∼ u (p, s)

v (p, s) = S (L (p)) v (k, s) = γ0S (L (p)) γ0v (k, s)!∼ v (p, s)

coz je mozné pouze tehdy, existují-li konstanty A a B tak, ze

γ0u (k, s) = A u (k, s) , γ0v (k, s) = B v (k, s)



Tedy máme dodatecné podmínky

γ0u(k, s) = γ0(aRχsaLχs

)=

(aLχsaRχs

)= A u (k, s) =

(AaRχsAaLχs

)a podobne (

bLχ−sbRχ−s

)=

(BbRχsBbLχs

)Tedy

aL = AaR = A2aL, bL = BbR = B

2bL

Normalizujme tedy

u(k, s) =√m(

χsAχs

), v(k, s) = − (−1)s+1/2√m

(χ−sBχ−s

)kde

A2 = B2 = 1J. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 509 / 1311


Odtud máme

u (p, s) = S (L (p)) u (k, s) = γ0S (L (p)) γ0u (k, s) = Aγ0u (p, s)

v (p, s) = S (L (p)) v (k, s) = γ0S (L (p)) γ0v (k, s) = Bγ0v (p, s)

⇒ Pψ (x)P+

= ∑s

∫dp(u (p, s) η∗P ,bb (p, s) e−ip·x + v (p, s) ηP ,dd

+ (p, s) eip·x)

= γ0 ∑s

∫dp(u (p, s)Aη∗P ,bb (p, s) e−ip·x

+v (p, s)BηP ,dd+ (p, s) eip·x

)Pokud navíc pro vnitrní paritu cástic a anticástic platíAη∗P ,b = BηP ,d ≡ η∗P , je konecne, jak jsme pozadovali

Pψ (x)P+ = η∗Pγ0ψ (x)



Další omezení plyne z pozadavku kauzality. (Anti)komutátor políψ (x) a ψ (y) ≡ ψ (y)+ γ0 je[

ψa (x) ,ψb (y)]± = ∑

s

∫dpua (p, s) ub (p, s) e−ip·(x−y )

±∑s

∫dpva (p, s) vb (p, s) e−ip·(y−x )

= 2m∫dp(

Λ+ (p)ab e−ip·(x−y ) ∓Λ− (p)ab e−ip·(y−x ))

kde u (p, s) = u (p, s)+ γ0, v (p, s) = v (p, s)+ γ0a kde jsmedefinovali projektory Λ± (p)

2mΛ+ (p) = ∑su (p, s) u (p, s)+ γ0 = ∑

su (p, s) u (p, s)

−2mΛ− (p) = ∑sv (p, s) v (p, s)+ γ0 = ∑

sv (p, s) v (p, s)



Sumy pres spinové stavy dávají ∑s χsχ+s = 1, takze

2mΛ+ (p) = ∑su (p, s) u (p, s)+ γ0

= S (L (p))∑su (k , s) u (k, s)+ S (L (p))+ γ0

= mS (L (p))∑s

(χsAχs

) (χ+s ,Aχ+s

)S (L (p))+ γ0

= mS (L (p))∑s

(χsχ

+s Aχsχ

+s

Aχsχ+s χsχ

+s

)S (L (p))+ γ0

= mS (L (p))[∑s

(1+ Aσ1

)⊗ χsχ

+s

]S (L (p))+ γ0

= mS (L (p))((1+ Aσ1

)⊗ 1)S (L (p))+ γ0

= mS (L (p))(1+ Aγ0

)S (L (p))+ γ0



Stejne

−2mΛ− (p) = ∑sv (p, s) v (p, s)+ γ0

= mS (L (p))(1+ Bγ0

)S (L (p))+ γ0

Zbývá spocítat S (L (p)) S (L (p))+ a S (L (p)) γ0S (L (p))+. Máme

S (L (p)) S (L (p))+

=

(UR (L (p))UR (L (p))

+ 00 UL (L (p))UL (L (p))

+

)



S uzitím (σ · p)2 = p2

UR ,L (L (p))UR ,L (L (p))+

=

[(E (p) +m

2m

)1/2

±(E (p)−m

2m

)1/2 σ · p|p|

]2

=E (p) +m

2m+E (p)−m

2m± 2

√E (p)2 −m2

2mσ · p|p|

=1m(E (p)± σ · p) = 1

m

p · σp · σ

tedy

S (L (p)) S (L (p))+ γ0 =1m

(p · σ 00 p · σ

)γ0

=1m

(p · σ 00 p · σ

)(0 11 0

)=1mp · γ



Podobne, s uzitímU+R ,L = U

−1L,R

dostaneme

S (L (p)) γ0S (L (p))+

=

(0 UR (L (p))UL (L (p))

+

UL (L (p))UR (L (p))+ 0

)=

(0 11 0

)= γ0

Celkem tedy

2mΛ+ (p) = mS (L (p))(1+ Aγ0

)S (L (p))+ γ0 = (p · γ+ Am)

a stejným postupem

−2mΛ− (p) = mS (L (p))(1+ Bγ0

)S (L (p))+ γ0 = (p · γ+ Bm)



Máme tak konecne[ψa (x) ,ψb (y)

]±

= 2m∫dp(

Λ+ (p)ab e−ip·(x−y ) ∓Λ− (p)ab e−ip·(y−x ))=

∫dp[(p · γ+ Am)]ab e−ip·(x−y ) ± [(p · γ+ Bm)]ab e−ip·(y−x )

Tedy nakonec[

ψa (x) ,ψb (y)]± = [(iγ · ∂+ Am)]ab i∆+ (x − y)

± [(iγ · ∂+ Bm)]ab i∆+ (y − x)

Pro x2 < 0 je ∆+ (x) = ∆+ (−x)⇒ ∂∆+ (x) = −∂∆+ (−x)Kauzalita vyzaduje tedy antikomutátor a B = −A. Bez újmy naobecnosti lze volit A = 1 (jinak prejdeme k poli ψ′ = γ5ψ)



Celkem tedy máme

u (k, s) =√m(

χsχs

), v (k, s) = − (−1)s+1/2√m

(χ−s−χ−s

)a

u (p, s) =

[1

2 (E (p) +m)

]1/2 ( (pµσµ +m

)χs(

pµσµ +m)

χs

)=

(γ · p +m)√2 (E (p) +m)

(χsχs

)v (p, s) = (−1)s−1/2

[1

2 (E (p) +m)

]1/2 ( (pµσµ +m

)χ−s

−(pµσµ +m

)χ−s

)= (−1)s−1/2 (−γ · p +m)√

2 (E (p) +m)

(χ−s−χ−s



Vlnové funkce jsou tedy

u (p, s) ∼ (γ · p +m) , v (p, s) ∼ (−γ · p +m)splnují tudíz rovnice

(γ · p −m) u (p, s) = 0, (−γ · p −m) v (p, s) = 0Pro pole ψ (x) pak máme

(iγ · ∂−m)ψ (x)

= ∑s

∫dp (γ · p −m) u (p, s) b (p, s) e−ip·x

+∑s

∫dp (−γ · p −m) v (p, s) d+ (p, s) eip·x

tedy(iγ · ∂−m)ψ (x) = 0

Pole splnuje volnou Diracovu rovnici. Odtud název Diracovo pole.J. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 518 / 1311


Poznámka:

V impulsové representaci je Diracuv operátor

(iγ · ∂−m)→ (γ · p −m)tedy vlnová funkce u (p, s), která splnuje

(γ · p −m) u (p, s) = 0dává rešení klasické Diracovy rovnice s impulsem p, projekcí spinu sdo tretí osy v klidovém systému a positivní energií E (p)

ψE (p),p,s (x) = u (p, s) e−ip·x

Podobne v (p, s), která splnuje

(−γ · p −m) v (p, s) = 0dává rešení klasické Diracovy rovnice s impulsem −p, projekcí spinu−s do tretí osy v klidovém systému a negativní energií −E (p)

ψ−E (p),−p,−s (x) = v (p, s) eip·x



Tedy Diracovo pole ψ (x)+ “kreuje stav s positivní energií, impulsema spinem“ a “anihiluje stav s negativní energií, impulsem a spinem(kreuje díru v Diracove mori)“ a pole ψ (x) “anihiluje stav s positivníenergií, impulsem a spinem“ a “kreuje stav s negativní energií,impulsem a spinem (anihiluje díru v Diracove mori)“

Kdybychom tedy preznacili

d (p, s) ≡ h+ (−p,−s)d+ (p, s) ≡ h (−p,−s)

bude opet platith (−p,−s) , h+(−p′,−s ′)

=

d(p, s), d+(p′, s ′)

= (2π)3 2E (p) δss ′δ

(3) (p− p′)J. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 520 / 1311


Representace komutacních relacíh (−p,−s) , h+(−p′,−s ′)

= (2π)3 2E (p) δss ′δ

(3) (p− p′)na puvodním prostoru ale nebude Fockovská, vakuový stav nebudeanihilován novými anihilacními operátory h (−p,−s)

h (−p,−s) |0〉 = d+ (p, s) |0〉 6= 0

Kdybychom formálne definovali nové vakuum |0〉〉 podmínkou

h (−p,−s) |0〉〉 = 0

a pomocí |0〉〉 a h+(−p′,−s ′) konstruovali fockovskou representacikomutacních relací pro h (−p,−s) a h+(−p′,−s ′), odpovídalo bypuvodní vakuum “Diracovu mori“

|0〉 = ∏p,sh+ (−p,−s) |0〉〉



Shrnutí:

Nabité cástice se spinem s = 1/2 jsou nutne fermiony, jinak nenímozné skonstruovat odpovídající kauzální pole

Kreacní a anihilacní operátory cástic a anticástic splnujíantikomutacní relace

b(p, s), b+(p′, s ′)= (2π)3 2E (p) δss ′δ

(3) (p− p′)d(p, s), d+(p′, s ′)

= (2π)3 2E (p) δss ′δ

(3) (p− p′)všechny ostatní antikomutátory jsou nulové

Pro zachovávající se náboj platí[Q, b+(p, s)

]= b+(p, s), [Q, b(p, s)] = −b(p, s)[

Q, d+(p, s)]= −d+(p, s), [Q, d(p, s)] = d(p, s)



Operátor nábojového sdruzení

Cb(p, s)C+ = ζ∗bd(p, s), Cd+(p, s)C+ = ζdb+(p, s)

jak uvidíme dále,ζd = ζ∗b = ζ∗

Pro operátor parity P platíPb(p, s)P+ = η∗Pbb(p, s), Pd+(p, s)P+ = ηPdd

+(p, s)

kauzalita vyzadujeη∗Pb = −ηPd = η∗P

Operátor casové inverze

T b(p, s)T + = η∗Tb (−1)1/2−s b(p,−s),

T d+(p, s)T + = ηTd (−1)1/2−s d+(p,−s)

jak uvidíme dáleηTd = η∗Tb



Pomocí kreacních a anihilacních operátoru jsme sestrojili kauzálníDiracovo pole

ψ (x) = ∑s


)Pole splnuje volnou Diracovu rovnici

(iγ · ∂−m)ψ (x) = 0

Vlnové funkce jsou

u (p, s) =(γ · p +m)√2 (E (p) +m)

(χsχs

)v (p, s) = (−1)s−1/2 (−γ · p +m)√

2 (E (p) +m)

(χ−s−χ−s



spec. v klidovém systému

u (k, s) =√m(

χsχs

), v (k, s) = − (−1)s+1/2√m

(χ−s−χ−s

)χ1/2 =

(10

), χ−1/2 =

(01

)Pro polarizacní sumy máme

∑su (p, s) u (p, s) = 2mΛ+ (p) = (γ · p +m)

∑sv (p, s) v (p, s) = −2mΛ− (p) = (γ · p −m)

Antikomutacní relace jsouψa (x) ,ψb (y)

=

[(iγ · ∂(x ) +m

)]abi∆+ (x − y)

+[(iγ · ∂(y ) −m

)]abi∆+ (y − x)

= [(iγ · ∂+m)]ab i∆ (x − y)J. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 525 / 1311


IV. Diskrétní symetrie: nábojová konjugace

Operátor nábojového sdruzení

Cb(p, s)C+ = ζ∗bd(p, s), Cd+(p, s)C+ = ζdb+(p, s)

dává na pole ψ (x)

ψ (x) = ∑s


)

Cψ (x) C+

= ∑s

∫dp(u (p, s) ζ∗bd(p, s)e

−ip·x + v (p, s) ζdb+(p, s)eip·x

)Pozadujeme, aby Cψ (x) C+ bylo opet kauzální pole, komutující sψ (x) a ψ (x)+ pro prostorupodobné intervaly



Odtud pozadavekCψ (x) C+ ∼ ψ (x)+T

t.j.

∑s

∫dp(u (p, s) ζ∗bd(p, s)e

−ip·x + v (p, s) ζdb+(p, s)eip·x

)∼ ∑

s

∫dp(u (p, s)∗ b+ (p, s) eip·x + v (p, s)∗ d (p, s) e−ip·x

)Pokud najdeme matici M tak, ze

Mu (p, s)∗ = v (p, s)

Mv (p, s)∗ = u (p, s)

a pokudζ∗b = ζd ≡ ζ∗

budeme mítCψ (x) C+ = ζ∗Mψ (x)+T



Mámeσ2UR ,L (Λ)

∗ σ2 = UL,R (Λ)

tedy pro matici

C = −i(

σ2 00 −σ2

)= −C−1 = −C+ = −CT

dostaneme

C · S (L (p))∗ · C−1

=

(σ2 00 −σ2

)(UR (L (p))

∗ 00 UL (L (p))

∗

)(σ2 00 −σ2

)=

(UL (L (p)) 0

0 UR (L (p))

)a

γ0 ·C ·S (L (p))∗ ·C−1 ·γ0 =(UR (L (p)) 0

0 UL (L (p))

)= S (L (p))



Máme tak relaci

γ0 · C · S (L (p))∗ · C−1 · γ0 = S (L (p))

Odtud

γ0 · C · u (p, s)∗ = γ0 · C · S (L (p))∗ u (k , s)∗

=(γ0 · C · S (L (p))∗ · C−1 · γ0

)· γ0 · C · u (k, s)∗

= S (L (p)) · γ0 · C · u (k, s)∗

Ale

γ0 · C · u (k , s)∗ = −i√m(0 11 0

)(σ2 00 −σ2

)(χsχs

)= −i

√m(−σ2χsσ2χs



Dále

σ2χ1/2 =

(0 −ii 0

)(10

)= i

(01

)= iχ−1/2

σ2χ−1/2 =

(0 −ii 0

)(01

)= −i

(10

)= −iχ1/2

Tedyσ2χs = −i (−1)

s+1/2 χ−s

γ0 · C · u (k , s)∗ = −i√m(−σ2χsσ2χs

)= (−1)s+1/2√m

(χ−s−χ−s

)= −v (k, s)

a tak

γ0 · C · u (p, s)∗ = S (L (p)) · γ0 · C · u (k, s)∗ = −S (L (p)) v (k, s)= −v (p, s)



Podobne

γ0 · C · v (p, s)∗ = S (L (p)) · γ0 · C · v (k, s)∗

a s uzitímσ2χ−s = −i (−1)

−s+1/2 χs

nakonec

γ0 · C · v (k, s)∗

= i√m(0 11 0

)(σ2 00 −σ2

)(−1)s+1/2

(χ−s−χ−s

)= i (−1)s+1/2√m

(σ2χ−sσ2χ−s

)= −

√m(

χsχs

)= −u (k , s)

a jako dusledekγ0 · C · v (p, s)∗ = −u (p, s)



Konecne máme

Cψ (x) C+ = −ζ∗γ0Cψ (x)+T

Cvicení: Ukazte, ze matice, v chirální representaci definovaná jako

C = −i(

σ2 00 −σ2

)= −C−1 = −C+ = −CT

splnujeCγµTC−1 = −γµ

Na základe predchozího cvicení a relace γ0T = γ0 muzeme psát

Cψ (x) C+ = −ζ∗CC−1γ0Cψ (x)+T = ζ∗Cγ0Tψ (x)+T

= ζ∗C(

ψ (x)+ γ0)T

tedy konecneCψ (x) C+ = ζ∗Cψ (x)T



V. Diskrétní symetrie: casová inverze

Vzhledem k casové inverzi

T b(p, s)T + = η∗Tb (−1)1/2−s b(p,−s),

T d+(p, s)T + = ηTd (−1)1/2−s d+(p,−s)

a s uzitím antilinearity T

T ψ (x) T +

= T ∑s


)T +

= ∑s

∫dp(u (p, s)∗ η∗Tb (−1)

1/2−s b(p,−s)eip·x

+v (p, s)∗ ηTd (−1)1/2−s d+(p,−s)e−ip·x



po substituci p = q, (s uzitím q · x = q · x) a s = −rT ψ (x) T +

= ∑r

∫dq(u (q,−r)∗ η∗Tb (−1)

1/2+r b(q, r)eiq·x

+v (q,−r)∗ ηTd (−1)1/2+r d+(q, r)e−iq·x

)Pokud tedy najdeme matici M tak, ze

Mu (p, s) = (−1)1/2+s u (p,−s)∗

Mv (p, s) = (−1)1/2+s v (p,−s)∗

a pokudη∗Tb = ηTd ≡ η∗T

budeme mítT ψ (x) T + = η∗TMψ (−x)

a T nebude generovat nezávislé kauzální pole.J. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 534 / 1311


Z predešlého víme

γ0 · C · u (p, s)∗ = −v (p, s)

tedy s uzitím C−1 = −C ,(γ0)−1

= γ0

u (p,−s)∗ = −(γ0C

)−1v (p,−s) = Cγ0v (p,−s)

= Cγ0 (−1)s+1/2 (−γ · p +m)√2 (E (p) +m)

(χs−χs

)= (−1)s+1/2 C

(−γ · p +m)√2 (E (p) +m)

γ0(

χs−χs

)= (−1)s+1/2 C

(−γ · p +m)√2 (E (p) +m)

(−χsχs

)



Dále s uzitím(γ5)2= 1, kde γ5 = iγ0γ1γ2γ3 = diag (1,−1)

(−1)s+1/2 u (p,−s)∗ = C(−γ · p +m)√2 (E (p) +m)

(γ5)2 ( −χs

χs

)= −C (−γ · p +m)√

2 (E (p) +m)γ5(

χsχs

)= −Cγ5

(γ · p +m)√2 (E (p) +m)

(χsχs

)= −Cγ5u (p, s)

Podobne(−1)s+1/2 v (p,−s)∗ = −Cγ5v (p, s)

Cvicení: Dokazte poslední identitu.



Máme tedy

(−1)s+1/2 u (p,−s)∗ = −Cγ5u (p, s)

(−1)s+1/2 v (p,−s)∗ = −Cγ5v (p, s)

Tedy, s uzitím η∗Tb = ηTd ≡ η∗T

T ψ (x) T +

= ∑r

∫dq(u (q,−r)∗ η∗Tb (−1)

1/2+r b(q, r)eiq·x

+v (q,−r)∗ ηTd (−1)1/2+r d+(q, r)e−iq·x

)= −η∗T ∑

r

∫dq(Cγ5u (p, s) b(q, r)eiq·x

+Cγ5v (p, s) d+(q, r)e−iq·x)

a nakonecT ψ (x) T + = −η∗TCγ5ψ (−x)



Shrnutí:

Pri operaci parity

P|p, s, b〉 = ηP |p, s, b〉, P|p, s, d〉 = −η∗P |p, s, d〉

Pψ (x)P+ = η∗Pγ0ψ (x)

Pri nábojové konjugaci

C|p, s, b〉 = ζ|p, s, d〉, C|p, s, d〉 = ζ∗|p, s, b〉

Cψ (x) C+ = ζ∗Cψ (x)T



Pri casové inverzi

T |p, s, b〉 = ηT (−1)1/2−s |p,−s, b〉,

T |p, s, d〉 = η∗T (−1)1/2−s |p,−s, d〉

T ψ (x) T + = −η∗TCγ5ψ (−x)Cvicení: Ukazte, ze

Cψ (x) C+ = ζψ (x)T C ,

Pψ (x)P+ = ηPψ (x) γ0

T ψ (x) T + = ηTψ (−x) γ5C

Najdete transformacní vlastnosti bilineárních forem ψψ, ψγ5ψ, ψγµψ,ψγµγ5ψ a ψσµνψ vzhledem k diskrétním symetriím C, P a T



VI. Majoranovo pole

Pro neutrální fermion jsou cástice identické s anticásticemi, t.j.b (p, s) , b+ (p, s)d (p, s) , d+ (p, s)

→ a (p, s) , a+ (p, s)

Pole odpovídajíci neutrálním cásticím

ψM (x) = ∑s

∫dp(u (p, s) a (p, s) e−ip·x + v (p, s) a+ (p, s) eip·x

)splnuje podmínku “reálnosti“ (Majoranova podmínka)

ψ (x) = Cψ (x)T



Pro Majoranovy fermiony máme

η∗Pb = η∗Pa = −ηPd = −ηPa

tedyηPa = ±i

Podobneζ∗b = ζ∗a = ζd = ζa

a takζa = ±1



VII. Uzitecné formule pro vlnové funkce

Nech ,t n = L (p) · ν kde ν = (0,n) a n je smer projekce spinudiracovské (anti)cástice v klidovém systému. Potom platí

u (p, s) u (p, s) = (p · γ+m) 12

(1+ 2sγ5γ · n

)Vskutku, v klidovém systému pro k = (m, 0) máme

u (k , s) u (k, s) = u (k, s) u (k, s)+ γ0

= m(

χsχs

) (χ+s χ+s

) ( 0 11 0

)= m

(χsχ

+s χsχ

+s

χsχ+s χsχ

+s

)



Pritom12

σ · nχs = sχs , χ+s χs = 1

a takχs =

12(1+ 2sσ · n) χs

Odtud, protoze 12 (1+ 2sσ · n) je projektor na jednorozmerný podprostor,

t.j. Tr 12 (1+ 2sσ · n) = 1 a[12(1+ 2sσ · n)

]2=

14

(1+ 4sσ · n+ 4s2 (σ · n)2

)=

14

(1+ 4sσ · n+ 41

4n2)

=12(1+ 2sσ · n) ,

platí

χsχ+s =

12(1+ 2sσ · n)



Máme tedy

u (k , s) u (k, s) = m(

χsχ+s χsχ

+s

χsχ+s χsχ

+s

)= m

(1 11 1

)12

(1 2sσ · n

2sσ · n 1

)= m

(1+ γ0

) 12

(1− 2sγ5γ · n

)= (k · γ+m) 1

2

(1+ 2sγ5γ · ν

)kde k = (m, 0) a ν = (0,n).



Tedy

u (k , s) u (k, s) = (k · γ+m) 12

(1+ 2sγ5γ · ν

)a jako dusledek identit

γ0S (L (p))+ γ0 = S (L (p))−1

S (L (p)) γµS (L (p))−1 = L (p) µν γν

dostaneme nakonec s uzitím L (p) k = p a L (p) ν = n

u (p, s) u (p, s) = S (L (p)) u (k, s) u (k, s) γ0S (L (p))+ γ0

= S (L (p)) u (k, s) u (k, s) S (L (p))−1

= S (L (p)) (k · γ+m) S (L (p))−1

×S (L (p)) 12

(1+ 2sγ5γ · ν

)S (L (p))−1

= (p · γ+m) 12

(1+ 2sγ5γ · n



Cvicení: Dokazte pro v (p, s) v (p, s) analogickou identitu

v (p, s) v (p, s) = (p · γ−m) 12

(1+ 2sγ5γ · n

)Platí také

u (p, s) u(p, s ′

)= 2mδss ′

v (p, s) v(p, s ′

)= −2mδss ′

u (p, s) v(p, s ′

)=

[v(p, s ′

)u (p, s)

]+= 0

Vskutku, protoze jsou to skaláry, stací identity dokázat v klidovémsystému, kde máme

u (k , s) u(k, s ′

)= m

(χ+s χ+s

)γ0(

χs ′χs ′

)= m

(χ+s χ+s

) ( 0 11 0

)(χs ′χs ′

)= 2mχ+s χs ′ = 2mδss ′



Podobne

v (k, s) v(k, s ′

)= m

(χ+s −χ+s

) ( 0 11 0

)(χs ′−χs ′

)= −2mχ+s χs ′ = −2mδss ′

a konecne

v (k, s) u(k, s ′

)= m (−1)s−1/2 ( χ+s −χ+s

) ( 0 11 0

)(χs ′χs ′

)= m (−1)s−1/2 ( χ+s −χ+s

) ( χs ′χs ′

)= 0



Dále platí

u (p, s) γ0u(p, s ′

)= 2E (p) δss ′

v (p, s) γ0v(p, s ′

)= 2E (p) δss ′

u (p, s) γ0v(p, s ′

)= 0

v (p, s) γ0u(p, s ′

)= 0

Vskutku, s uzitím u (p, s) p · γ = mu (p, s) ap · γu (p, s ′) = mu (p, s ′) dostaneme

u (p, s) γ0u(p, s ′

)=

12mu (p, s)

(p · γγ0 + γ0p · γ

)u(p, s ′

)=

12mu (p, s)

p · γ,γ0

u(p, s ′

)=

E (p)m

u (p, s) u(p, s ′

)= 2E (p) δss ′



Podobne s uzitím

u (p, s) p · γ = mu (p, s)

p · γv(p, s ′

)= −mv

(p, s ′

)a pomocí

γ0p · γ = γ0(γ0E (p) + p · γ

)=(γ0E (p)− p · γ

)γ0

= p · γγ0

dostaneme

u (p, s) γ0v(p, s ′

)=

12mu (p, s)

(p · γγ0 − γ0p · γ

)v(p, s ′

)=

12mu (p, s)

(p · γγ0 − p · γγ0

)v(p, s ′

)= 0

Další identity plynou analogickyJ. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 549 / 1311


Platí také tzv. Gordonova identita

u (p, s) γµu(p′, s ′

)= u (p, s)

((p + p′)µ

2m+iσµν (p − p′)ν

2m

)u(p′, s ′

)kde σµν = i/2 [γµ,γν]. Máme totiz

u (p, s) γµu(p′, s ′

)=

12mu (p, s)

(p · γγµ + γµp′ · γ

)u(p′, s ′

)=

14mu (p, s)

(p · γ,γµ+

γµ,γ · p′

)u(p′, s ′

)+14mu (p, s)

([p · γ,γµ] +

[γµ,γ · p′

])u(p′, s ′

)=

12mu (p, s)

(p + p′

)µ u(p′, s ′

)+12mu (p, s)

(−ipνσνµ − iσµνp′ν

)u(p′, s ′



Cvicení: Dokazte analogické identity

u (p, s) γµv(p′, s ′

)= u (p, s)

((p − p′)µ

2m+iσµν (p + p′)ν

2m

)v(p′, s ′

)v (p, s) γµv

(p′, s ′

)= −v (p, s)

((p′ + p)µ

2m+iσµν (p − p′)ν

2m

)v(p′, s ′

)v (p, s) γµu

(p′, s ′

)= v (p, s)

((p′ − p)µ

2m− iσ

µν (p + p′)ν

2m

)u(p′, s ′

)Ukazte dále, ze platí

u (p, s) γµu(p, s ′

)= 2pµδss ′

v (p, s) γµv(p, s ′

)= 2pµδss ′



Shrnutí:

Vlnové funkce splnují rovnice (zde a dále p = (E (p) ,p))

(γ · p −m) u (p, s) = 0, (γ · p +m) v (p, s) = 0u (p, s) (γ · p −m) = 0, v (p, s) (γ · p +m) = 0

Normalizace vlnových funkcí

u (p, s) u(p, s ′

)= 2mδss ′ v (p, s) v

(p, s ′

)= −2mδss ′

u (p, s) v(p, s ′

)=

[v(p, s ′

)u (p, s)

]+= 0

Relace orthogonality

u (q, s)+ u(q, s ′

)= 2E (q) δss ′ , v (q, s)+ v

(q, s ′

)= 2E (q) δss ′

u (q, s)+ v(q, s ′

)= 0, v (q, s)+ u

(q, s ′

)= 0



Projekcní operátory

u (p, s) u (p, s) = 2mΛ+ (p)P (n, s)

v (p, s) v (p, s) = −2mΛ− (p)P (n, s)

kde

Λ± (p) =±p · γ+m

2m, P (n, s) =

1+ 2sγ5γ · n2

a platí

Λ+ (p) +Λ− (p) = 1

P (n, s) + P (n,−s) = 1

TrΛ± (p) = 2

TrP (n, s) = 2

Λ± (p)2 = Λ± (p) , Λ+ (p)Λ− (p) = Λ− (p)Λ+ (p) = 0,

P (n, s)2 = P (n, s) , P (n, s)P (n,−s) = P (n,−s)P (n, s) = 0J. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 553 / 1311


VIII. Kanonické kvantování Diracova pole-motivace

Pripomenme antikomutacní relaceψa (x) ,ψb (y)

=

[(iγ · ∂(x ) +m

)]abi∆+ (x − y)

+[(iγ · ∂(y ) −m

)]abi∆+ (y − x)

= [(iγ · ∂+m)]ab i∆ (x − y)

Protoze(iγ · ∂−m)ψ (x) = 0

je také (iγ · ∂(x ) −m

)ac

ψc (x) ,ψb (y)

= 0

a antikomutátor je jednoznacne urcen pocátecní podmínkou navhodné prostorupodobné nadploše



Pro nadplochu x0 = y0 mámeψa (x) ,ψb (y)

|x 0=y 0

= [(iγ · ∂+m)]ab∫dk(

e−ik ·(x−y ) − eik ·(x−y ))|x 0=y 0

=∫dk((γ · k +m)ab e−ik ·(x−y ) + (γ · k −m)ab eik ·(x−y )

)|x 0=y 0

=∫dk((γ · k +m)ab eik·(x−y) + (γ · k −m)ab e−ik·(x−y)

)Substitucí k→ −k ve druhém integrálu dostaneme

ψa (x) ,ψb (y)|x 0=y 0 =

∫dkγ0ab2E (k) eik·(x−y) = γ0abδ(3) (x− y)



Dostáváme tak kanonické antikomutacní relace ve stejných casech

ψa (x) ,ψb (y) |x 0=y 0 =

ψa (x)+ ,ψb (y)

+|x 0=y 0 = 0

ψa (x) ,ψb (y)+|x 0=y 0 = δabδ(3) (x− y)

Tedy antikomutátor je jednoznacne urcen temito relacemi apodmínkou

(iγ · ∂−m)ψ (x) = 0

Jak nyní ukázeme, podobne jako v prípade skalárního pole tytopodmínky umoznují rekonstruovat antikomutacní relace pro kreacní aanihilacní operátory.



Pišme obecné rešení operátorové Diracovy rovnice

(iγ · ∂−m)ψ (x) = 0

ve tvaruψ (x) =

∫d4pe−ip·x ψ (p)

potom(γ · p −m) ψ (p) = 0

Nsobením (γ · p +m) dostaneme(γ · p +m) (γ · p −m) ψ (p)

=((γ · p)2 −m2

)ψ (p) =

(p2 −m2

)ψ (p) = 0

tedyψ (p) = δ

(p2 −m2

)U (p)

kde navíc musí platit pro p = (±E (p) ,p)(γ · p −m)U (p) = 0



Lineárne nezávislými rešeními rovnice

(γ · p −m)U (p) = 0

jsou

U (p) =

u (p, s) pro p0 = E (p)v (p, s) pro p0 = −E (p) , s = ±1

2

nebo ,t jak víme, vlnové funkce u (p, s) a v (p, s) splnují Diracovu rovnici vp−representaci

(γ · p −m) u (p, s) = 0, (−γ · p −m) v (p, s) = 0

a podmínky orthogonality ve tvaru

u (p, s) γ0u(p, s ′

)= 2E (p) δss ′ , v (p, s) γ0v

(p, s ′

)= 2E (p) δss ′

u (p, s) γ0v(p, s ′

)= 0, v (p, s) γ0u

(p, s ′

)= 0



Poznámka: Diracovu rovnici lze pro u (p, s), v (p, s) prepsat na tvar

h (p) u (p, s) = E (p) u (p, s)h (p) v (p, s) = −E (p) v (p, s)

kdeh (p) = (p · α+ βm)

je jednocásticový Diracuv operátor v p−representacitedy

ψE (q),q,s (p) = u (q, s) δ(3) (p− q)

ψ−E (q),q,−s (p) = v (q, s) δ(3) (p− q)

jsou spolecné vlastní vektory operátoru jednocásticového impulsu (vp−representaci operátor násobení p), jednocásticového Diracovahamiltoniánu h (p) a operátoru spinu v klidovém systému s vlastnímihodnotami q , ±E (q) a ±1/2



Výšeuvedené relace orthogonality prepsané ve tvaru

u (q, s)+ u(q, s ′

)= 2E (q) δss ′

v (q, s)+ v(q, s ′

)= 2E (q) δss ′

u (q, s)+ v(q, s ′

)= 0

v (q, s)+ u(q, s ′

)= 0

vyjadrují orthogonalitu vlastních stavu príslušejícím ruzným vlastnímhodnotám.



Tedy

ψ (p) = δ(p2 −m2

)U (p)

=1

(2π)3 2E (p)δ(p0 − E (p)

)∑sb(p, s)u (p, s)

+1

(2π)3 2E (p)δ(p0 + E (p)

)∑sd+(p, s)v (p, s)

a po dosazení a substituci p→ −p ve druhém integrálu

ψ (x) =∫d4pe−ip·x ψ (p)

= ∑s


)



Vyjádreme nyní kreacní a anihilacní operátory pomocí

ψ (x) = ∑s ′

∫dq(u(q, s ′

)b(q, s ′

)e−iq·x + v

(q, s ′

)d+(q, s ′

)eiq·x

)Máme ∫

d3xeip·xu (p, s) γ0ψ (x)

= ∑s ′

∫dqd3x

[u (p, s) γ0u

(q, s ′

)b(q, s ′

)e−i (q−p)·x

+u (p, s) γ0v(q, s ′

)d+(q, s ′

)ei (q+p)·x

]= (2π)3 ∑

s ′

∫dq

×[u (p, s) γ0u

(q, s ′

)b(q, s ′

)δ(3) (p− q) e−i (E (q)−E (p))x

0

+u (p, s) γ0v(q, s ′

)d+(q, s ′

)δ(3) (p+ q) ei (E (q)+E (p))x

0]



Tedy ∫d3xeip·xu (p, s) γ0ψ (x)

= (2π)3 ∑s ′

∫dq[u (p, s) γ0u

(q, s ′

)b(q, s ′

)δ(3) (p− q)

+u (p, s) γ0v(q, s ′

)d+(q, s ′

)δ(3) (p+ q) e2iE (p)x

0]

=1

2E (p) ∑s ′u (p, s) γ0u

(p, s ′

)b(p, s ′

)+

12E (p) ∑

s ′u (p, s) γ0v

(p, s ′

)d+(p, s ′

)e2iE (p)x

0= b (p, s)

Podobne ∫d3xe−ip·xv (p, s) γ0ψ (x) = d+ (p, s)



Celkem tak máme

b (p, s) =∫d3xeip·xu (p, s) γ0ψ (x)

d (p, s) =∫d3xeip·xψ (x) γ0v (p, s)

b+ (p, s) =∫d3xe−ip·xψ (x) γ0u (p, s)

d+ (p, s) =∫d3xe−ip·xv (p, s) γ0ψ (x)

Poznámka: Pravá strana techto relací nezávisí na case. To je dusledektoho, ze pro dve rešení Diracovy rovnice ψ1 (x) a ψ2 (x) je

jµ12 (x) = ψ1 (x) γµψ2 (x)

zachovávající se proud a

Q12 =∫d3xj012 (x) =

∫d3xψ1 (x) γ0ψ2 (x)

je zachovající se nábojJ. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 564 / 1311


Nyní mámeb(p, s), b+

(p′, s ′

)=

∫d3xeip·xd3ye−ip

′·y (u (p, s) γ0)a

ψa (x) ,ψb (y)

(γ0u

(p′, s ′

))b

=∫d3xeip·xd3ye−ip

′·y (u (p, s) γ0)a

ψa (x) ,ψb (y)

+ub(p′, s ′

)Na pravé strane muzeme volit x0 = y0, máme tak postupne s uzitímkanonických antikomutacních relací ve stejných casechb(p, s), b+

(p′, s ′

)=

∫d3xeip·xd3ye−ip

′·y (u (p, s) γ0)a ub

(p′, s ′

)×δabδ(3) (x− y)

=∫d3xei (p−p

′)·xu (p, s) γ0u(p′, s ′

)= (2π)3 δ(3)

(p− p′

)u (p, s) γ0u

(p, s ′

)= (2π)3 2E (p) δss ′δ

(3) (p− p′)J. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 565 / 1311


Cvicení: Odvo,dte zbývající antikomutacní relace pro kreacní a anihilacní

operátory pomocí kanonických antikomutacních relací ve stejných casech.

IX. Kanonické kvantování Diracova pole - lagrangeovská formulace

Sestrojme nejprve lagrangián pro “klasické“ volné Diracovo pole

Pripomenme, ze diracovské bispinory se transformují podle dvojznacnérepresentace Lorentzovy grupy, samotné pole ψ (x) nepredstavujetedy klasikou pozorovatelnou. Ackoliv tedy budeme budovatkvantovou teorii kanonickým kvantováním klasického pole, je trebamít na pameti, ze klasická limita ve je ve skutecnosti pouze formální.

Lagrangián volného pole v kvadratickém priblízení musí býtzkonstruován z hermitovských bilineárních výrazu, sestrojených z políψ, ψ a jejich prvních derivací (zde a dále ψ (x) = ψ+γ0 je diracovskysdruzený spinor)



Lagrangián musí být skalár nebo pseudoskalár. Pokud pozadujemezachování parity, t.j. invarianci akce vzhledem k transformaci

ψ (x)→ η∗Pγ0ψ (x)

zbývaji pouze skalární bilineární formyK disposici tedy máme operátory, v poradí rostoucí dimenze

ψ (x)ψ (x) ,

ψ (x) γµ∂µψ (x) ,(∂µψ (x)

)γµψ (x) ,

∂µψ (x) ∂µψ (x) ,(∂µψ (x)

)σµν∂νψ (x)

Zdánlivá poslední moznost(∂µψ (x)

)σµν∂νψ (x) je az na

ctyrdivergenci rovna nule(∂µψ (x)

)σµν∂νψ (x) = ∂µ

(ψ (x) σµν∂νψ (x)

)− ψ (x) σµν∂µ∂νψ (x)

= ∂µ

(ψ (x) σµν∂νψ (x)



Az na ctyrdivergenci je tak nejobecnejší mozný lagrangiánzachovávající paritu a obsahující pouze operátory nejnizší dimenze

L0 = ZΨ (x) iγ · ∂Ψ (x)−MΨ (x)Ψ (x) +Ω0

kde Z , M a Ω0 jsou zatím neurcené konstanty

Konstatu Z lze eliminovat az na znaménko redefinicí pole

Ψ (x) = |Z |−1/2 ψ (x)

proto nášvýchozí lagrangián bude

L0 = ±ψ (x) (iγ · ∂−m)ψ (x) +Ω0

Znaménko m je irelevantní, jak ukazuje následující cvicení, budemeproto bez újmy na obecnosti predpokládat m > 0



Cvicení: Ukazte, ze lagrangián

L0 = ±Ψ (x) (iγ · ∂+m)Ψ (x)

kde m > 0 prejde na predchozí prípad redefinicí pole

Ψ (x) = γ5ψ (x)

Dále ukazte, ze lagrangián

L′0 = ±Ψ (x)[iγ · ∂−

(A+ iγ5B

)]Ψ (x)

prejde po redefinici pole

Ψ (x) = e iαγ5ψ (x) , tan 2α = −BA

na tvar

L0 = ±ψ (x) (iγ · ∂−m)ψ (x) , kde m =√A2 + B2



LagrangiánL0 = ±ψ (x) (iγ · ∂−m)ψ (x) +Ω0

dává pro zobecnený impuls kanonicky sdruzený s ψ (x)

πa (x) =∂L0

∂∂tψa (x)= ±i

(ψ (x) γ0

)a = ±iψa (x)

+

Hamiltonián je

H0 =∫d3xH0 =

∫d3xθ00

=∫d3x

[∂L0

∂∂tψa (x)∂tψa (x)−L0

]= ∓

∫d3x

[ψ (x)+

(iγ0γi∂i − γ0m

)ψ (x)−Ω0

]= ±

∫d3xψ (x)+ (−iα ·∇+ βm)ψ (x)− lim

V→∞VΩ0

kde αi = γ0γi a β = γ0



Naivne bychom ocekávali kanonické komutacní relace ve tvaru

[ψa (x) ,πb (y)] |x 0=y 0 = iδabδ(3) (x− y)a zbylé komutátory nulové, t.j.[

ψa (x) ,ψb (y)+]|x 0=y 0 = ±δabδ(3) (x− y)

[ψa (x) ,ψb (y)] |x 0=y 0 =[ψa (x)

+ ,ψb (y)+]|x 0=y 0 = 0

Odtud bychom odvodili Heisenbergovy pohybové rovnice

∂tψa (x) = i [H0,ψa (x)]

= ±i∫d3y

[ψ (y)+ (−iα ·∇+ βm)ψ (y) ,ψa (x)

]|x 0=y 0

= −i [(−iα ·∇+ βm)ψ (x)]aneboli po vynásobení γ0 = β zleva

(iγ · ∂−m)ψ (x) = 0



Cvicení: Spoctete komutátor[H0,ψa (x)

+]a ukazte, ze Heisenbergovy

pohybové rovnice pro diracovsky sdruzený spinor ψa (x) mají tvar

ψ (x)(iγ · ←−∂ +m

)= 0

Cvicení: Predepišme místo komutacních relací antikomutacní relaceψa (x) ,ψb (y)

+|x 0=y 0 = ±δabδ(3) (x− y)

ψa (x) ,ψb (y) |x 0=y 0 =

ψa (x)+ ,ψb (y)

+|x 0=y 0 = 0

Ukazte, ze i v tomto prípade mají Heisenbergovy pohybové rovnice tvar

(iγ · ∂−m)ψ (x) = 0

ψ (x)(iγ · ←−∂ +m

)= 0



Jak víme, rešení Diracovy rovnice lze psát ve tvaru

ψ (x) = ∑s

∫dq(u (q, s) b (q, s) e−iq·x + v (q, s) d+ (q, s) eiq·x

)kde b (q, s) a d+ (q, s) jsou operátorové koeficientyStejne jako jsme postupovali v prípade antikomutátoru dostanemenyní pro πa (x) = ±iψa (x)

+[b(p, s), b+(p′, s ′)

]= ± (2π)3 2E (p) δss ′δ

(3) (p− p′)[d(p, s), d+(p′, s ′)

]= ∓ (2π)3 2E (p) δss ′δ

(3) (p− p′)Porovnáním s obecnou formou komutacních relací pro kreacní aanihilacní operátory[

a(p, σ), a+(p′, σ′)]= (2π)3 2E (p) δσσ′δ

(3) (p− p′)dostáváme, ze pri volbe “+“ musíme interpretovat b(p, s) a d+(p, s)jako anihilacní a b+(p, s) a d(p, s) jako kreacní, pri volbe “−“naopak - viz téz následující cvicení



Cvicení: Uvazujte prípad[b(p, s), b+(p′, s ′)

]= − (2π)3 2E (p) δss ′δ

(3) (p− p′)a interpretujte naopak operátory b(p, s) jako anihilacní, t.j. b(p, s)|0〉 = 0a b+(p, s) jako kreacní. Spocítejte kvadrát normy stavu

|f 〉 = ∑s

∫dpfs (p) b+(p, s)|0〉

a ukazte, ze|||f 〉||2 < 0

“Špatná“ interpretace operátoru b(p, s) a b+(p, s) tedy narušujepositivní definitnost skalárního soucinu (negativní pravdepodobnost!)“Správná“ interpretace operátoru b(p, s) a b+(p, s) zdánlivepripouští obe znaménkové volbySpocteme proto dále hamiltonián

H0 = ±∫d3xψ (x)+ (−iα ·∇+ βm)ψ (x)− lim

V→∞VΩ0

= ±i∫d3xψ (x)+ ∂0ψ (x)− lim

V→∞VΩ0

kde jsme uzili Diracovu rovnici.



Potrebujeme tedy spocítat integrál

i∫d3xψ (x)+ ∂0ψ (x) = ∑

s ,s ′

∫dqdq′d3x

×(u(q′, s ′

)+ b+ (q′, s ′) eiq′·x + v

(q′, s ′

)+ d (q′, s ′) e−iq′·x)

×E (q)(u (q, s) b (q, s) e−iq·x − v (q, s) d+ (q, s) eiq·x

)H0 nezávisí na case, volme proto v poslední formuli x0 = 0. Máme tak

i∫x 0=0

d3xψ (x)+ ∂0ψ (x) = (2π)3 ∑s ,s ′

∫dqdq′E (q)

×[u(q′, s ′

)+ u (q, s) b+ (q′, s ′) b (q, s) δ(3)(q− q′

)−v(q′, s ′

)+ v (q, s) d (q′, s ′) d+ (q, s) δ(3)(q− q′

)−u(q′, s ′

)+ v (q, s) b+ (q′, s ′) d+ (q, s) δ(3)(q+ q′

)+v(q′, s ′

)+ u (q, s) d (q′, s ′) b (q, s) δ(3)(q+ q′

)]J. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 575 / 1311


Po integraci pres dq′ máme

. . . =12 ∑s ,s ′

∫dq[u(q, s ′

)+ u (q, s) b+ (q, s ′) b (q, s)−v(q, s ′

)+ v (q, s) d (q, s ′) d+ (q, s)−u(q, s ′

)+ v (q, s) b+ (q, s ′) d+ (q, s)+v(q, s ′

)+ u (q, s) d (q, s ′) b (q, s)]Uzitím relací orthogonality

u (q, s)+ u(q, s ′

)= 2E (q) δss ′ , v (q, s)+ v

(q, s ′

)= 2E (q) δss ′

u (q, s)+ v(q, s ′

)= 0, v (q, s)+ u

(q, s ′

)= 0

dostaneme

. . . = ∑s ,s ′

∫dqE (q) δss ′

[b+(q′, s ′

)b (q, s)− d

(q′, s ′

)d+ (q, s)



Konecne

H0 = ±∑s

∫dqE (q)

[b+ (q, s) b (q, s)− d (q, s) d+ (q, s)

]− limV→∞

VΩ0

= ±∑s

∫dqE (q)

[b (q, s) b+ (q, s)− d+ (q, s) d (q, s)

]− limV→∞

VΩ0

pri volbe “+“ jsou b(p, s) a d+(p′, s ′) anihilacní a b+(p′, s ′) ad(p, s) kreacní, pri volbe “−“ naopak; v obou prípadech neníspektrum omezeno zdola. Stavy kreované d (q, s) (v prípade “+“),resp. b (q, s) (v prípade “−“) mají zápornou energii. Systém je tedynestabilní!



Predepsané komutacní relace jsou tedy ve sporu s podmínkami,kladenými na spektrum relativistické teorie. Pokud bychom místokomutacních relací predepsali antikomutacní relace

ψa (x) ,ψb (y)+|x 0=y 0 = ±δabδ(3) (x− y)

ψa (x) ,ψb (y) |x 0=y 0 =

ψa (x)+ ,ψb (y)

+|x 0=y 0 = 0

meli bychomb(p, s), b+(p′, s ′)

= ± (2π)3 2E (p) δss ′δ

(3) (p− p′)d(p, s), d+(p′, s ′)

= ± (2π)3 2E (p) δss ′δ

(3) (p− p′)a zbylé antikomutátory nulové.

Interpretujme b(p, s) a d(p, s) jako anihilacní a b+(p′, s ′) ad+(p′, s ′) jako kreacní operátory. Jsou pak mozná obe znaménka?



Volba “−“ je opet ve sporu s positivní definitností skalárního soucinu,napr. ∥∥∥∥∑

s

∫dpfs (p) b+(p, s)|0〉

∥∥∥∥2= ∑

s ,s ′

∫dpdp′f ∗s (p)

′ fs ′(p′)〈0|b(p, s), b+(p′, s ′)

|0〉

= ±∑s

∫dp |fs (p)|2

jediná mozná volba je tedy “+“!



Pro hamiltonián pak máme

H0 = ∑s

∫dqE (q)

[b+ (q, s) b (q, s)− d (q, s) d+ (q, s)

]− limV→∞

VΩ0

= ∑s

∫dqE (q)

[b+ (q, s) b (q, s) + d+ (q, s) d (q, s)

]− limV→∞

VΩ0 −∑s

∫dqE (q)

d (q, s) , d+ (q, s)

= ∑

s

∫dqE (q)

[b+ (q, s) b (q, s) + d+ (q, s) d (q, s)

]kde jsme podobne jako v prípade skalárního pole nastavili kontrclenΩ0 tak, aby príspevek antikomutátoru vymizel a hustota energiezákladního stavu byla nulová

Ω0 = − limΛ→∞

∫|q|<Λ

dq(2π)3

E (q)



Positivita skalárního soucinu a positivita vlastních hodnothamiltoniánu je zarucena.

Cástice popsané Diracovým polem jsou tedy fermiony. To je dusledekobecného teorému o souvislosti spinu a statistiky:

Teorém (Pauli): Splnuje-li teorie následující pozadavky1 Poincare invariance2 Positivita spektra3 Positivne definitní skalární soucin4 Kauzalita

potom cástice se s celocíselným spinem jsou bosony a cástice spolocíselným spinem jsou fermiony



Volné Diracovo pole má tudíz akci

S0[ψ,ψ

]=∫d4xL0 =

∫d4xψ (x) (iγ · ∂−m)ψ (x)+ lim

V ,T→∞VTΩ0

Akce S0[ψ,ψ

]je invariantní vzhledem k Poincareho grupe, odtud

dostaneme standardním zpusobem zachovávající se proudy

θαµ =∂L0

∂∂αψa∂µψa − ηαµL0

= iψ (x) γα∂µψ− ηαµψ (x) (iγ · ∂−m)ψ (x)

Nαµν = i∂L

∂∂αψa

(−12

σµν

)ba

ψb + (xµθαν − xνθαµ)

=12

ψ (x) γασµνψ+ (xµθαν − xνθαµ)



Odtud dostaneme generátory translací, rotací a boostu

H0 =∫d3xψ (x)+ (−iα ·∇+ βm)ψ (x)− lim

V→∞VΩ0

P =∫d3xψ (x)+ (−i∇)ψ (x)

J =∫d3xψ (x)+

(x× (−i∇) + 1

2Σ)

ψ (x)

N = −∫d3xxψ (x)+ (−iα ·∇+ βm)ψ (x)

+i2

∫d3xψ(x)+ αψ (x) + tP

kde

Σ=(

σ 00 σ

)= γ5α



Cvicení: Pomocí antikomutacních relacíψ(x),ψ (y)+

|x 0=y 0 = δ(3) (x− y)

spoctete komutátory

[J,ψ(x)] ,[J,ψ(x)+

],[J,b+(p, s)

],[J,d+(p, s)

]Ukazte, ze jednocásticové stavy b+(k , s)|0〉 a d+(k, s)|0〉 kde k = (m, 0)jsou vlastními stavy operátoru J3 a J2 s vlastními hodnorami ±1/2 a 3/4a ze platí

J±b+(k , s)|0〉 = α± (1/2, s) b+(k, s ± 1)|0〉J±d+(k , s)|0〉 = α± (1/2, s) d+(k , s ± 1)|0〉



X. Symetrie diracovské akce

Akce

S0[ψ,ψ

]=∫d4xψ (x) (iγ · ∂−m)ψ (x) + lim

V ,T→∞VTΩ0

je invariantní vzhledem k diskrétní symetrii prostorové inverze

Pψ (x)P+ = η∗Pγ0ψ (x) ≡ ψP (x)

Pψ (x)P+ = ηPψ (x) γ0 ≡ ψP (x)

kde η∗P je libovolná fáze, t.j.

PS0[ψ,ψ

]P+ = S0

[ψP ,ψP

]= S0

[ψ,ψ

]



Vskutku, protoze platí

∂xψ (x) = ∂x x · ∂xψ (x) = η · ∂xψ (x) = ∂xψ (x)

γ0γγ0 = γ

máme postupne pro ψP (x) = η∗Pγ0ψ (x)

ψP (x) (iγ · ∂x −m)ψP (x) = η∗PηPψ (x) γ0 (iγ · ∂x −m) γ0ψ (x)

= ψ (x)(i γ · ∂x −m

)ψ (x)

= ψ (x) (iγ · ∂x −m)ψ (x)

a tak, protoze d4x = d4x

S0[ψP ,ψP

]=

∫d4xψ (x) (iγ · ∂x −m)ψ (x) + lim

V ,T→∞VTΩ0

=∫d4xψ (x) (iγ · ∂x −m)ψ (x) + lim

V ,T→∞VTΩ0

= S0[ψ,ψ



Cvicení: Ukazte, ze pri operaci nábojového sdruzení

Cψ (x) C+ = ζ∗Cψ (x)T ≡ ψC (x)

Cψ (x) C+ = ζψ (x)T C ≡ ψC (x)

CS0[ψ,ψ

]C+ = S0

[ψC ,ψC

]= −

∫d4x

[i∂ψ (x)T · γTψ (x)T − ψ (x)T ψ (x)T

]kde ζ je libovolná fáze.Tedy, pokud ignorujeme pravé strany antikomutacních relací pro operátoryψ (x) a ψ (x), t.j. zacházíme-li s nimi jako s antikomutujícími objektysplnujícími relace

ψ (x) ,ψ (y)= 0

mámeCS0

[ψ,ψ

]C+ = S0

[ψC ,ψC

]= S0

[ψ,ψ




T S0[ψ,ψ

]T + = S∗0

[ψT ,ψT

]= S0

[ψ,ψ

]kde T je antiunitární operátor casové inverze, pro nejz

T ψ (x) T + = −η∗TCγ5ψ (−x) ≡ ψT (x)

T ψ (x) T + = ηTψ (−x) γ5C ≡ ψT (x)

a kde S∗0[ψ,ψ

]je akce, v níz jsou všechny c-císelné faktory komplexne

sdruzené, t.j.

S∗0[ψ,ψ

]≡∫d4xψ (x) (−iγ∗ · ∂−m)ψ (x) + lim

V ,T→∞VTΩ0



Akce

S0[ψ,ψ

]=∫d4xψ (x) (iγ · ∂−m)ψ (x) + lim

V ,T→∞VTΩ0

je manifestacne invariantní vzhledem k U (1) transformaci

ψ′ (x) = e−iθψ (x) , ψ′(x) = e iθψ (x)

v infinitesimální forme

δ0ψ (x) = −iψ (x) , δ0ψ (x) = iψ (x)

odkud plyne zachovávající se proud

jα (x) = ψ (x) γαψ (x)

a náboj

Q =∫d3xψ (x)+ ψ (x)




Q = ∑s

∫dq[b+ (q, s) b (q, s) + d (q, s) d+ (q, s)

]= ∑

s

∫dq[b+ (q, s) b (q, s)− d+ (q, s) d (q, s)

]+ limV→∞

V ρ0

kde hustota náboje vakua je UV divergentní

ρ0 = 2 limΛ→∞

∫|q|<Λ

dqE (q)

Má-li být tedy vakuum invariantní vzhledem k U (1) transformaci, t.j.má-li být neutrální vzhledem k náboji Q, musíme prejít krenormalizovanému náboji

Qr ≡ Q − limV→∞

V ρ0 =∫d3x

[ψ (x)+ ψ (x)− ρ0



Podobná situace je u hamiltoniánu

H0 =∫d3xψ (x)+ (−iα ·∇+ βm)ψ (x)− lim

V→∞VΩ0

=∫d3x

[ψ (x)+ (−iα ·∇+ βm)ψ (x)−Ω0

]kde potrebujeme UV divergentní kontrclen

Ω0 = − limΛ→∞

∫|q|<Λ

dq(2π)3

E (q)

k zajištení konecné (nulové) hustoty energie základního stavu

Analogicky prípadu skalárního pole, renormalizaci automaticky zajistínormální usporádání



XI. Normální a chronologický soucin, Wickovy vety

Normální usporádání libovolného monomu sestrojeného zfermionových kreacních a anihilacních operátoru obdrzíme tak, zepreskupíme všechny anihilacní operátory napravo od všech kreacních,pricemz postupujeme tak, jako kdyby kreacní a anihilacní operátorynavzájem antikomutovaly, napr.

: b(k1, s1)b+(k2s2)d(k3, s3) : = −b+(k2s2)b(k1, s1)d(k3, s3)= b+(k2s2)d(k3, s3)b(k1, s1)

Pro lineární kombinace monomu dodefinujeme normální usporádádnílineárne



Tedy

: Q : = : ∑s

∫dq[b+ (q, s) b (q, s) + d (q, s) d+ (q, s)

]:

= ∑s

∫dq[b+ (q, s) b (q, s)− d+ (q, s) d (q, s)

]= Qr

Podobne

:∫d3xψ (x)+ (−iα ·∇+ βm)ψ (x) :

= : ∑s

∫dqE (q)

[b+ (q, s) b (q, s)− d (q, s) d+ (q, s)

]:

= ∑s

∫dqE (q)

[b+ (q, s) b (q, s) + d+ (q, s) d (q, s)

]= H0



Podobne jako v prípade skalárního pole definujme normální kontrakcepolí jako rozdíl mezi normálne usporádaným a obyceným soucinem,t.j. máme

ψa (x)ψb (y) =: ψa (x)ψb (y) : ψa (x)ψb (y) =: ψa (x)ψb (y) :

ψa (x)ψb (y) =: ψa (x)ψb (y) :

+∑s ,s ′

∫dqdpua(q, s)ub(p, s ′)

b(q, s), b+(p, s ′)

e−iq·x+ip·y

=: ψa (x)ψb (y) : +∑s

∫dqua(q, s)ub(q, s)e−iq·(x−y )

ale

∑su(q, s)u(q, s) = ∑

s(γ · q +m) 1+ 2sγ

5γ · n2

= (γ · q +m)



Tedy máme

ψa (x)ψb (y) = : ψa (x)ψb (y) : +∫dq (γ · q +m)ab e−iq·(x−y )

= : ψa (x)ψb (y) : + (iγ · ∂+m)ab∫dqe−iq·(x−y )

t.j.

ψa (x)ψb (y) =: ψa (x)ψb (y) : + (iγ · ∂+m)ab i∆+ (x − y)

a podobne dostaneme

ψa (x)ψb (y) =: ψa (x)ψb (y) : + (iγ · ∂−m)ba i∆+ (x − y)



Tedy sumárne, normální kontrakce Diracových polí jsou

ψa (x)ψb (y) = 0

ψa (x)ψb (y) = 0

ψa (x)ψb (y) = (iγ · ∂+m)ab i∆+ (x − y)

ψa (x)ψb (y) = (iγ · ∂−m)ba i∆+ (x − y)

Cvicení: Definujme

S+ (x) ≡ (iγ · ∂+m)∆+ (x)

Ukazte, ze

ψa (x)ψb (y) =

ψa (x) ,ψb (y)− iS+ (y − x)ba



Podobne jako v prípade skalárních polí platí pro Diracovo poleWickova veta pro obycejné souciny s následujícími modifikacemi:

1 Vzhledem k tomu, ze operátory ψa (x) a ψb (y) uvnitr symbolunormálního soucinu antikomutují, je treba pri kontrahování dodrzetrelativní poradí operátoru

2 Pred náhradou kontrakce c-císelnou funkci je treba uvnitr normálníhosoucinu proantikomutovat kontrahované operátory tak, aby bylykontrahované vzdy sousední operátory

3 Na pravé strane formule pro Wickuv rozvoj obycejného soucinuDiracových polí se tedy objeví normální souciny nekontrahovaných políve stejném poradí jako v rozvíjeném monomu, za kazdou dvojicikontrahovaných polí príslušná normální kontrakce a dodatecnéznaménkové faktory, pocházející z antikomutací kontrahovanýchoperátoru k sobe



Ukazme postup úprav na príkladu:

Nejprve vyznacíme všechny relevantní (nenulové) kontrakce

ψa1 (x1)ψb1 (y1)ψb2 (y2)ψa2 (x2) =

= : ψa1 (x1)ψb1 (y1)ψb2 (y2)ψa2 (x2) :

+ : ψa1 (x1)ψb1 (y1)ψb2 (y2)ψa2 (x2) :

+ : ψa1 (x1)ψb1 (y1)ψb2 (y2)ψa2 (x2) :

+ : ψa1 (x1)ψb1 (y1)ψb2 (y2)ψa2 (x2) :

+ : ψa1 (x1)ψb1 (y1)ψb2 (y2)ψa2 (x2) :

+ : ψa1 (x1)ψb1 (y1)ψb2 (y2)ψa2 (x2) :

+ : ψa1 (x1)ψb1 (y1)ψb2 (y2)ψa2 (x2) :



Dále proantikomutujeme kontrahované operátory uvnitr normálníchsoucinu k sobe, t.j.

ψa1 (x1)ψb1 (y1)ψb2 (y2)ψa2 (x2) =

= : ψa1 (x1)ψb1 (y1)ψb2 (y2)ψa2 (x2) :

+ : ψa1 (x1)ψb1 (y1)ψb2 (y2)ψa2 (x2) :

− : ψa1 (x1)ψb2 (y2)ψb1 (y1)ψa2 (x2) :

+ : ψa1 (x1)ψb1 (y1)ψb2 (y2)ψa2 (x2) :

− : ψa1 (x1)ψb2 (y2)ψb1 (y1)ψa2 (x2) :

+ : ψa1 (x1)ψb1 (y1)ψb2 (y2)ψa2 (x2) :

− : ψa1 (x1)ψb2 (y2)ψb1 (y1)ψa2 (x2) :



Nakonec nahradíme kontrakce príslušnými c-císelnými funkcemi

ψa1 (x1)ψb1 (y1)ψb2 (y2)ψa2 (x2) =

= : ψa1 (x1)ψb1 (y1)ψb2 (y2)ψa2 (x2) :

+ (iγ · ∂+m)a1b1 i∆+ (x1 − y1) : ψb2 (y2)ψa2 (x2) :

− (iγ · ∂+m)a1b2 i∆+ (x1 − y2) : ψb1 (y1)ψa2 (x2) :

+ (iγ · ∂−m)a2b2 i∆+ (y2 − x2) : ψa1 (x1)ψb1 (y1) :

− (iγ · ∂−m)a2b1 i∆+ (y1 − x2) : ψa1 (x1)ψb2 (y2) :

+ (iγ · ∂+m)a1b1 i∆+ (x1 − y1) (iγ · ∂−m)a2b2 i∆

+ (y2 − x2)− (iγ · ∂+m)a1b2 i∆

+ (x1 − y2) (iγ · ∂−m)a2b1 i∆+ (y1 − x2)



Také definice T−usporádaného soucinu Diracova pole vyzadujemodifikaci. Naivní definice

Tψa (x)ψb (y) = θ(x0 − y0

)ψa (x)ψb (y)+ θ

(y0 − x0

)ψb (y)ψa (x)

vede ke sporu s lorentzovskou kovariancí!

Je prirozené pozadovat, aby T−soucin byl kovariantní vzhledem kLorentzove transformaci, t.j. aby se pri Lorentzových transformacíchtransformoval podle predpisu

U (Λ)+ T ′ψa(x ′)

ψb(y ′)U (Λ) = Sa

′a (Λ) S

T (Λ−1)b ′b Tψa′ (x)ψb ′ (y)

kdex ′ = Λx , y ′ = Λy

a T ′ znací usporádání vzhledem k pretransformovaným casum x ′0 ay ′0



Napr. x0 > y0 máme

Tψa (x)ψb (y) = ψa (x)ψb (y)

t.j. pozadavek kovariance zní

U (Λ)+ T ′ψa(x ′)

ψb(y ′)U (Λ) = Sa

′a (Λ) S

T (Λ−1)b ′b ψa′ (x)ψb ′ (y)

Pokud je ale (x − y)2 < 0, muze být x ′0 < y ′0 a v takovém prípadepodle naivní definice T−soucinu

T ′ψa(x ′)

ψb(y ′)= ψb

(y ′)

ψa(x ′)= −ψa

(x ′)

ψb(y ′)

Meli bychom tak

U (Λ)+ T ′ψa(x ′)

ψb(y ′)U (Λ) = −U (Λ)+ ψa

(x ′)

ψb(y ′)U (Λ)

= −Sa′a(Λ−1

)ST (Λ)b

′

b ψa′ (x)ψb ′ (y)

coz je ve sporu s pozadavkem kovariance



Definice T−soucinu, která je kompatibilní s lorentzovskou kovariancía antikomutacními relacemi je tedy

Tψa (x)ψb (y) ≡ θ(x0 − y0

)ψa (x)ψb (y)− θ

(y0 − x0

)ψb (y)ψa (x)

a stejne pro ostatní kombinace



(y0 − x0

)ψb (y)ψa (x)



(y0 − x0

)ψb (y)ψa (x)



(y0 − x0

)ψb (y)ψa (x)

Obecne pro libovolné fermionové operátory O1 (x), O2 (y)

TO1 (x)O2 (y) ≡ θ(x0 − y0

)O1 (x)O2 (y)− θ

(y0 − x0

)O2 (y)O1 (x)

OdtudTO1 (x)O2 (y) = −TO2 (y)O1 (x)

t.j. fermionové operátory pod znamením T−soucinu antikomutují!J. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 603 / 1311


Zobecnení na prípad n fermionových operátoru

TO1(x1)O2 (x2) . . .On (xn)

≡ ∑σ∈Sn

sign (σ) θ(x0σ(1), x

0σ(2), . . . , x0σ(n)

)×Oσ(1)(xσ(1))Oσ(2)(xσ(2)) . . .Oσ(n)(xσ(n))

kde

θ(x01 , x

02 , . . . , x0n

)=

n−1∏i=1

θ (xi − xi+1)

Potom platí

TOσ(1)(xσ(1))Oσ(2)(xσ(2)) . . .Oσ(n)(xσ(n))

= sign (σ)TO1(x1)O2 (x2) . . .On (xn)



Pomocí Wickovy vety pro obycejný soucin máme

Tψa (x)ψb (y)

= θ(x0 − y0


(y0 − x0

)ψb (y)ψa (x)

= θ(x0 − y0

) (: ψa (x)ψb (y) : + (iγ · ∂x +m)ab i∆+ (x − y)

)−θ(y0 − x0

) (: ψb (y)ψa (x) : + (iγ · ∂y −m)ab i∆

+ (y − x))

t.j.Tψa (x)ψb (y) =: ψa (x)ψb (y) : +iSF (x − y)ab

kde jsme uzili

: ψb (y)ψa (x) := − : ψa (x)ψb (y) :

a definovali chronologickou kontrakci (Feynmanuv propagátor) jakorozdíl mezi T−soucinem a normálním soucinem

iSF (x − y)ab = θ(x0 − y0

)(iγ · ∂x +m)ab i∆+ (x − y)

+θ(y0 − x0

)(iγ · ∂x +m)ab i∆+ (y − x)



Dále máme

Tψa (x)ψb (y) = −Tψb (y)ψa (x)

= − : ψb (y)ψa (x) : −iSF (y − x)ba= : ψa (x)ψb (y) : −iSF (y − x)ba

Všechny ostatní chronologické kontrakce jsou nulové. Vskutku, napr.

Tψa (x)ψb (y)

= θ(x0 − y0


(y0 − x0

)ψb (y)ψa (x)

= θ(x0 − y0

)ψa (x)ψb (y) + θ

(y0 − x0

)ψa (x)ψb (y)

= ψa (x)ψb (y) =: ψa (x)ψb (y) :

a podobne

Tψa (x)ψb (y) = ψa (x)ψb (y) =: ψa (x)ψb (y) :



Feynmanuv propagátor upravme na tvar

iSF (x − y) = θ(x0 − y0

)(iγ · ∂x +m) i∆+ (x − y)

+θ(y0 − x0

)(iγ · ∂x +m) i∆+ (y − x)

= (iγ · ∂x +m) i∆F (x − y)−iγ0δ

(x0 − y0

) [i∆+ (x − y)− i∆+ (y − x)

]a tak

iSF (x − y) = (iγ · ∂x +m) i∆F (x − y)− iγ0δ(x0 − y0

)i∆ (x − y)

kde

i∆F (x − y) = θ(x0 − y0

)i∆+ (x − y) + θ

(y0 − x0

)i∆+ (y − x)

i∆ (x − y) = i∆+ (x − y)− i∆+ (y − x)

je skalární propagátor a Pauli-Jordanova komutátorové funkce



Ale s uzitím vlastnosti

i∆ (x − y) |x 0=y 0 = 0máme nakonec

iSF (x − y) = (iγ · ∂x +m) i∆F (x − y)Pripomenme

i∆F (x − y) =∫ d4p

(2π)4e−ip·(x−y )

ip2 −m2 + i0

a tak

iSF (x − y) =∫ d4p

(2π)4e−ip·(x−y )

i (γ · p +m)p2 −m2 + i0

=∫ d4p

(2π)4e−ip·(x−y )

iγ · p −m+ i0

kde jsme uzili (γ · p −m+ i0) (γ · p +m− i0) = p2 −m2 + i0J. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 608 / 1311


Všimneme si, ze platí

(iγ · ∂x −m) SF (x − y) = (iγ · ∂x −m) (iγ · ∂x +m)∆F (x − y)= −

(+m2

)∆F (x − y) = δ(4) (x − y)

a tak(iγ · ∂x −m) SF (x − y) = δ(4) (x − y)

a Feynmanuv propagátor je Greenovou funkcí Diracovy rovniceDalší nekdy pouzívané speciální funkce jsou retardovaná aadvancovaná Greenovy funkce

SR ,A (x) = (iγ · ∂x +m)∆R ,A (x)= ± (iγ · ∂x +m) θ

(±x0

)∆ (x)

Cvicení: Overte prímým výpoctem, ze platí

〈0|Tψa (x)ψb (y) |0〉 = iSF (x − y)abθ(±(x0 − y0

))〈0|

ψa (x) ,ψb (y)|0〉 = iSR ,A (x − y)ab



Tedy sumárne, chronologické kontrakce Diracových polí jsou

ψa (x)ψb (y) = 0, ψa (x)ψb (y) = 0

ψa (x)ψb (y) = iSF (x − y)ab

ψa (x)ψb (y) = −iSF (y − x)ba

V impulsové representaci

ψa (p)ψb (0) = 0, ψa (p)ψb (0) = 0

ψa (p)ψb (0) =

(i

γ · p −m+ i0

)ab

ψa (p)ψb (0) =

( −i−γ · p −m+ i0

)ba



Pro T−soucin platí Wickova veta, plne analogická Wickove vete proobycejný soucin, se zámenou normálních kontrakcí za chronologické

Tψa1 (x1)ψb1 (y1)ψb2 (y2)ψa2 (x2) =

= : ψa1 (x1)ψb1 (y1)ψb2 (y2)ψa2 (x2) :

+ : ψa1 (x1)ψb1 (y1)ψb2 (y2)ψa2 (x2) :

− : ψa1 (x1)ψb2 (y2)ψb1 (y1)ψa2 (x2) :

+ : ψa1 (x1)ψb1 (y1)ψb2 (y2)ψa2 (x2) :

− : ψa1 (x1)ψb2 (y2)ψb1 (y1)ψa2 (x2) :

+ : ψa1 (x1)ψb1 (y1)ψb2 (y2)ψa2 (x2) :

− : ψa1 (x1)ψb2 (y2)ψb1 (y1)ψa2 (x2) :



Odtud

Tψa1 (x1)ψb1 (y1)ψb2 (y2)ψa2 (x2) =

= : ψa1 (x1)ψb1 (y1)ψb2 (y2)ψa2 (x2) :

+iSF (x1 − y1)a1b1 : ψb2 (y2)ψa2 (x2) :

−iSF (x1 − y2)a1b2 : ψb1 (y1)ψa2 (x2) :

−iSF (x2 − y2)a2b2 : ψa1 (x1)ψb1 (y1) :

+iSF (x2 − y1)a2b1 : ψa1 (x1)ψb2 (y2) :+iSF (x1 − y1)a1b1 iSF (x2 − y2)a2b2−iSF (x1 − y2)a1b2 iSF (x2 − y1)a2b1



V konkrétních aplikacích potrebujeme T−soucin následujícího typu

T [jΓ1 (x1) jΓ2 (x2) . . . jΓn (xn)]

kdejΓ (x) =: ψ (x) Γψ (x) :

aΓ ∈ 1,γ5,γµ,γµγ5, σµν

Obecne podle Wickovy vety

T [jΓ1 (x1) jΓ2 (x2) . . . jΓn (xn)] = : jΓ1 (x1) jΓ2 (x2) . . . jΓn (xn) :+ kontrakce

kde kontrakce mezi ψ (x) a ψ (x) jsou vynechány díky normálnímuusporádání v definici operátoru jΓ (x)



Typický clen s kontrakcemi ve Wickove rozvoji T−soucinu

T [jΓ1 (x1) jΓ2 (x2) . . . jΓn (xn)] = T[jΓσ(1)

(xσ(1)

). . . jΓσ(n)

(xσ(n)

)]se skládá z normálních soucinu “souvislých“ faktoru typu

ψ (xi1) Γi1ψ (xi1)ψ (xi2) Γi2ψ (xi2)ψ (xi3) . . . ψ (xim−1)ψ (xim ) Γimψ (xim )

kontrahovaných “za sebou“, dále typu


kontrahovaných “do smycky“, a konecne nekontrahovaných faktorutypu

jΓi1 (xi1) jΓi2 (xi2) . . . jΓim (xim )

Všechny tyto faktory jsou obsahují sudý pocet Diracových polí, protov normálním soucinu komutují a na jejich poradí nezálezí



Po provedení kontrakcí dostaneme explicite


= ψ (xi1) Γi1 iSF (xi1 − xi2) Γi2 . . . iSF (xim−1 − xim ) Γimψ (xim )

a pod znamením normálního usporádání (zde musíme nejprvepreantikomutovat ψ (xi1) na konec monomu pres 2 (m− 1) + 1 polí)


= −TrΓi1 iSF (xi1 − xi2) Γi2 iSF (xi2 − xi3) Γi3 . . . Γim iSF (xim − xi1)



Podobne jako ve skalárním prípade je výhodné jednotlivé cleny skontrakcemi zobrazit pomocí grafu

Grafy sestávají z vertexu odpovídajících maticím Γi , vnitrních liniíodpovídajících chronologickým kontrakcím iSF (xi − yj )aibj a vnejšíchlinií odpovídajících nekontrahovaným polím ψai (xi ) a ψbj (xj )

Prirazení je podle následujících pravidel



Podle techto pravidel dostaneme napr.

: ψ (x1) Γ1ψ (x1)ψ (x2) Γ2ψ (x2)ψ (x3) Γ3ψ (x3) :

a podobne

: ψ (x1) Γ1ψ (x1)ψ (x2) Γ2ψ (x2)ψ (x3) Γ3ψ (x3) :



Kazdému clenu Wickova rozvoje T−soucinu “proudu“

T [jΓ1 (x1) jΓ2 (x2) . . . jΓn (xn)]

je tak jednoznacne prirazen graf sestávající z1 n vertexu, popsaných dvojicí Γi , xi ,2 z I ≤ n orientovaných vnitrních linek3 z E = 2n− 2I orientovaných vnejších linek.

Typický graf je sjednocením souvislých komponent, representovaných“otevrenými liniemi“ nebo “uzavrenými liniemi“ (smyckami)

Naopak, kazdému výše popsanému grafu odpovídá jednoznacnekonkrétní clen Wickova rozvoje



Clen Wickova rozvoje odpovídající danému grafu obdrzíme tak, ze:1 vybereme souvislou komponentu2 postupujeme proti smeru orientovaných linek (u otevrených liniípocínaje vnejší linkou)

3 postupne zapisujme jednotlivé faktory podle grafických pravidel provertexy a linky zleva doprava

4 u smycky spocteme stopu z výsledného výrazu representujícího smyckua pridáme znaménko “-“

5 príspevky jednotlivých souvislých komponent vynásobíme v libovolnémporadí a výsledek normálne usporádáme.



Poznamenejme, ze orientace linek grafu je podstatná, pro obecná Γinapr.

−TrΓ1iSF (x1 − x2) Γ2iSF (x2 − x3) Γ3iSF (x3 − x1)6= −TrΓ3iSF (x3 − x2) Γ2iSF (x2 − x1) Γ1iSF (x1 − x3)



Cvicení: Ukazte, ze pro diracovský propagátor platí

CSF (x)T C−1 = SF (−x)

kde C je matice nábojového sdruzení.Cvicení: Ukazte pomocí výsledku predchozího cvicení, ze pro Γi = γµi ,i = 1, 2, . . . , n platí

Trγµ1 iSF (x1 − x2) γµ2 iSF (x2 − x3) γµ3 . . . iSF (xn − x1)= (−1)n Trγµn iSF (xn − xn−1) γµn−1 . . . iSF (x2 − x1) γµ1 iSF (x1 − xn)

t.j. príspevky opacne orientovaných lichých smycek do Wickova rozvojemají opacné znaménko (tzv. Furryho teorém). Ukazte, ze pro obecná Γiplatí

TrΓ1iSF (x1 − x2) Γ2iSF (x2 − x3) Γ3 . . . iSF (xn − x1)= TrCΓTn C

−1iSF (xn − xn−1)CΓTn−1C−1 . . .CΓT1 C

−1iSF (x1 − xn)



Podobne lze analyzovat Wickuv rozvoj T−soucinu typu

TO1 (x1) . . .On (xn)

kdeOi (xi ) = ∑

A

: ψ (xi ) Γ(i )A ψ (xi )ψ (xi ) Γ(i )A ψ (xi ) :

Vertexy mají v tomto prípade tvar

Grafy sestávají z linií a smycek jako v predchozím prípade, linie ismycky jsou však “pripnuté“ po dvou k sobe ztotoznenímprostorocasových bodu ve vertexu



Napr. do Wickova rozvoje T−soucinu

TO1 (x1)O2 (x2)

prispívá graf

= ∑A,B

: ψ (x2) Γ(2)B iSF (x2 − x1) Γ(1)A ψ (x1)

×ψ (x2) Γ(2)B iSF (x2 − x1) Γ(1)A ψ (x1) :



XI. LSZ formule pro Diracovo pole

Podobne jako v prípade skalárního pole, pro interagující Diracovo poleGreenovy funkce

〈Ω|Tψa1 (x1)H . . . ψan (xn)H ψb1 (y1)H . . . ψbn (yn)H |Ω〉

umoznují nalézt elementy S−matice s (anti)cásticemi se spinem 1/2v in nebo out stavuPripomenme, ze pro volné pole (resp. pole v Diracove obrazu) platí

b (p, s) =∫d3xeip·xu (p, s) γ0ψ (x)D

d (p, s) =∫d3xeip·xψ (x)D γ0v (p, s)

b+ (p, s) =∫d3xe−ip·xψ (x)D γ0u (p, s)

d+ (q, s) =∫d3xe−ip·xv (p, s) γ0ψ (x)D



Ve smyslu slabé operátorové limity na Hin = Hout pak máme

ψ (x)Hx 0→∓∞→ ψ (x)in,out

ψ (x)Hx 0→∓∞→ ψ (x)in,out

kde

ψ (x)in,out =

= ∑s

∫dq(u (q, s) bin,out (q, s) e−iq·x + v (q, s) d+in,out (q, s) eiq·x

)

ψ (x)in,out =

= ∑s

∫dq(u (q, s) b+in,out (q, s) eiq·x + v (q, s) din,out (q, s) e−iq·x



Jako dusledek dostaneme formálne mezi in a out stavy〈f , out| (·) |i , in〉∫

d3xeip·xu (p, s) γ0ψ (x)Hx 0→∓∞→ bin,out (p, s)∫

d3xeip·xψ (x)H γ0v (p, s)x 0→∓∞→ din,out (p, s)∫

d3xe−ip·xψ (x)H γ0u (p, s)x 0→∓∞→ b+in,out (p, s)∫

d3xe−ip·xv (p, s) γ0ψ (x)Hx 0→∓∞→ d+in,out (p, s)



Máme tak napr.

〈f , out|bout (p, s)− bin (p, s) |i , in〉

= 〈f , out|∫ ∞

−∞dx0∂0

∫d3xeip·xu (p, s) γ0ψ (x)H |i , in〉

= 〈f , out|∫d4xeip·xu (p, s)

(γ0∂0 + iγ0p0

)ψ (x)H |i , in〉

platí ale

u (p, s) (γ · p −m) = 0⇒ u (p, s) iγ0p0 = u (p, s) (iγ · p+ im)tedy výraz mezi in a out stavem je

. . . =∫d4xeip·xu (p, s)

(γ0∂0 + iγ · p+ im

)ψ (x)H

=∫d4xeip·xu (p, s)

(γ0∂0 − γi

←−∂ i + im

)ψ (x)H

=∫d4xeip·xu (p, s)

(γ0∂0 + γi∂i + im

)ψ (x)H



Konecne

〈f , out|bout (p, s)− bin (p, s) |i , in〉

= −i∫d4xeip·xu (p, s) (iγ · ∂−m) 〈f , out|ψ (x)H |i , in〉

Cvicení: Ukazte, ze podobne platí

〈f , out|d+out (p, s)− d+in (p, s) |i , in〉

= −i∫d4xe−ip·xv (p, s) (iγ · ∂−m) 〈f , out|ψ (x)H |i , in〉

〈f , out|dout (p, s)− din (p, s) |i , in〉

= i∫d4x〈f , out|ψ (x)H |i , in〉

(−iγ · ←−∂ −m

)v (p, s) eip·x

〈f , out|b+out (p, s)− b+in (p, s) |i , in〉

= i∫d4x〈f , out|ψ (x)H |i , in〉

(−iγ · ←−∂ −m

)u (p, s) e−ip·x



Odtud, podobne jako v prípade skalárního pole dostaneme maticovýelement S−matice

Sfi = 〈ki , si ,k j , s j

, out| pl , σl , pn, σn , in〉,

kde ki , si (resp. k j , s j ) a pm , σm (resp. pn, σn) jsou impulsy a spinycástic (resp. anicástic) v out a in stavu, zapusobením diferenciálníchoperátoru (a následnou Fourierovou transformací) na Greenovu funkci

〈Ω|Tψa1 (x1)H . . . ψan (xn)H ψb1 (y1)H . . . ψbn (yn)H |Ω〉



Konkrétne redukcní formule zneji:

cástice k, s v out stavu

−i∫d4xeik ·xua (k, s) (iγ · ∂x −m)ab 〈Ω|T . . . ψb (x)H . . . |Ω〉

cástice p, σ v in stavu

−i〈Ω|T . . . ψa (y)H . . . |Ω〉∫d4y

(−iγ · ←−∂ y −m

)abub (p, σ) e−ip·y

anticástice p, σ v in stavu

i∫d4xe−i p·xv a (p, σ) (iγ · ∂x −m)ab 〈Ω|T . . . ψb (x)H . . . |Ω〉

anticástice k, s v out stavu

i〈Ω|T . . . ψb (y)H . . . |Ω〉∫d4y

(−iγ · ←−∂ y −m

)bava(k, s)

ei k ·y



Sumárne symbolicky:


, out| pl , σl , pn, σn , in〉

= ∏i(−i)

∫d4xieiki ·xiu (ki , si ) (iγ · ∂xi −m)

×∏ni∫d4xne−i pn ·x nv (pn, σn) (iγ · ∂x n −m)

×〈Ω|T ∏i

ψ (xi )H ∏n

ψ (xn)H ∏l

ψ (yl )H ∏j

ψ(y j)H |Ω〉

×∏l(−i)

∫d4yl

(−iγ · ←−∂ yl −m

)u (pl , σl ) e−ipl ·yl

×∏ji∫d4y j

(−iγ · ←−∂ y j

−m)v(k j , s j

)ei k j ·y j



V impulsové representaci


, out| pl , σl , pn, σn , in〉

= limon shell

∏iu (ki , si ) (−i) (γ · ki −m)

×∏niv (pn, σn) (−γ · pn −m)

×〈Ω|T ∏i

ψ (ki )H ∏n

ψ (−pn)H ∏l

ψ (−pl )H ∏j

ψ(k j)H |Ω〉

×∏l(−i) (γ · pl −m) u (pl , σl )

×∏ji(−γ · k j −m

)v(k j , s j

)kde on shell limita znamená

limon shell

= limk 2i ,k

2j ,p

2n ,p

2l →m2



Všimneme si, ze

limon shell

u (ki , si ) (γ · ki −m) = 0

limon shell

v (pn, σn) (γ · pn +m) = 0

limon shell

(γ · pl −m) u (pl , sl ) = 0

limon shell

(γ · k j +m

)v(k j , s j

)= 0

Aby tedy Sfi 6= 0, musí Greenovy funkce podobne jako ve skalárnímprípade pro k2i , k

2j , p

2n, p

2l → m2 obsahovat jednocásticové póly



Symbolicky tedy pro k2i , k2j , p

2n, p

2l → m2

〈Ω|T ∏i

ψ (ki )H ∏n

ψ (−pn)H ∏l

ψ (−pl )H ∏j

ψ(k j)H |Ω〉

= ∏i

i (γ · ki +m)k2i −m2

∏n

i (γ · pn −m)p2n −m2

Γ(ki , k j , pl , pn

)×∏

m

i (γ · pl +m)p2l −m2

∏j

i(γ · k j −m

)k2j −m2

+ R(ki , k j , pl , pn

)kde tzv. useknutá (amputovaná) Greenova funkce Γ je regulární a Rjiz neobsahuje všechny póly

Pro S−matici pak máme symbolicky

Sfi = ∏iu (ki , si )∏

nv (pn, σn) Γ

(ki , k j , pl , pn

)∏l

u (pl , σl )∏jv(k j , s j



XII. Príklad interagující teorie s Diracovými fermiony: Yukawova interakce

Uvazujme model popisující interakci nabitých cástic se spinems = 1/2 , hmotou m a vnitrní paritou η

ψP a neutrálních cástic se

spinem s = 0, hmotou M a vnitrní paritou ηφP = −1

Pro konstrukci interakcního Lagrangiánu Lint pouzijeme Diracovopole ψ (x) a hermitovské skalární pole φ (x)

Hustotu interakcního hamiltoniánu pišme ve tvaru

HI (x) = −Lint [ψ,ψ, φ](x) = −n

∑i=1giO(i ) (x)

Lint [ψ,ψ, φ](x) zkonstruujeme tak, aby byly splneny následujícípozadavky, zarucující kauzalitu, relativistickou invarianci, unitaritu arenormalizovatelnost poruchového rozvoje



HI (x) je lokální, t.j. O(i ) (x) jsou lokální monomy z operátoru ψ (x),ψ (x) a φ (x) (odtud plyne kauzalita)HI (x) je skalár vzhledem k Lorentzovým transformacím a parite ainvariant vzhledem k nábojové konjugaci, t.j.

U (Λ)+HI (x)U (Λ) = HI(Λ−1x

)PHI (x)P+ = HI (x)

(odtud a z kauzality plyne invariance S−matice)HI (x) je hermitovský

HI (x)+ = HI (x)(odtud plyne unitarita S−matice)Kanonická dimenze jednotlivých clenu v HI (x) je nejvýše ctyri

dim[O(i ) (x)

]≤ 4

(odtud renormalizovatelnost, jak uvidíme pozdeji)J. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 636 / 1311


Navíc budeme pozadovat invarianci vzhledem k nábojové konjugaci,t.j.

CHI (x) C+ = HI (x)a invarianci vzhledem k U (1) transformaci

ψ′ (x) = e−iθψ (x) , ψ′(x) = e iθψ (x) , φ′ (x) = φ (x)

v infinitesimální forme

δ0ψ (x) = −iψ (x) , δ0ψ (x) = iψ (x) , δ0φ (x) = 0

(odtud zachování náboje)



U (1) symetrie implikuje, ze na ψ a ψ muze HI (x) záviset jenprostredníctvím U (1) invariantních “proudu“ jΓ (x) kde

jΓ (x) = ψ (x) Γψ (x)

dim [jΓ (x)] = 3

Dalšími stavebními bloky jsou mocniny skalárního pole φ (x)n

Pripomenmedim [φ] = 1

Kanonickou dimenzi Diracova pole urcíme napr. z hmotového clenuDiracova Lagrangiánu

dim[mψψ] = 2 dim [ψ] + 1!= 4

odkuddim [ψ] =

32



Tedy operátorové monomy O(i ) (x) pro nez dim[O(i ) (x)

]≤ 4 jsou

φ (x)3 , φ (x)4 , ψ (x) Γψ (x) φ (x)

Lorentz invariance vyzaduje Γ = 1,γ5, protoze ale

Pφ (x)P+ = −φ (x)

Pψ (x)ψ (x)P+ = ψ (x)ψ (x)

Pψ (x) γ5ψ (x)P+ = −ψ (x) γ5ψ (x)

vzhledem k pozadované transformacní vlastnosti vzhledem k paritezbývá nakonec Γ = γ5

Platí [ψ (x) γ5ψ (x)

]+= −ψ (x) γ5ψ (x)

takze pozadavek hermiticity vyzaduje nakonec

Lint = −HI = −λ

4!φ4 + igψγ5ψφ

kde λ a g jsou reálné vazbové konstantyJ. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 639 / 1311


Cvicení: Ukazte, ze ignorujeme-li antikomutátor ψ (x) ,ψ (x), platí

CHI (x) C+ = HI (x)

Poruchový rozvoj Greenových funkcí

〈Ω|T[φH (x1) . . . ψa1 (y1)H . . . ψa1 (y1)H . . .

]|Ω〉

obsahuje cleny typu

(−i)m

m!

∫ m

∏j=1d4zj

×〈0|T[φD (x1) . . . ψa1 (y1)D . . . ψa1 (y1)D . . .HID (z1) . . .

]|0〉



Wickuv rozvoj techto clenu lze podobe jako v λ4! φ

4 modelu znázornitpomocí grafu, symbolicky

〈Ω|T[φH (x1) . . . ψa1 (y1)H . . . ψa1 (y1)H . . .

]|Ω〉 = ∑

Γ

W (Γ)SΓ

kde W (Γ) je clen Wickova rozvoje odpovídající grafu Γ a SΓ jesymetrický faktor. Postup je podobný jako u λ

4! φ4 modelu:

Nakreslíme všechny topologicky neekvivalentní grafy Γ, pritomneuvazujeme vakuové (pod)grafyGrafy Γ jsou sestavené z následujících stavebních bloku

1 z bosonových a fermionových vnejších vertexu (popsaných pomocí xi ,resp.

(yj , aj

)a(y j , aj

))

2 z interakcních vertexu (nyní jsou dvojího typu, popsané pomocí zk )3 z bosonových a fermionových vnejších linek, spojujících vnejší vertexyse zbytkem grafu

4 z bosonových a fermionových vnitrních linek, spojujících interakcnívertexy mezi sebou



Feynmanova pravidla v x−representaci, prirazující grafu Γ clenyWickova rozvoje jsou



Zde chronologické kontrakce jsou

iSF (x − y) =∫ d4p

(2π)4i

γ · p −m+ i0e−ip·(x−y )

=∫ d4p

(2π)4i (γ · p +m)p2 −m2 + i0e−ip·(x−y )

i∆F (x − y) =∫ d4p

(2π)4i

p2 −M2 + i0e−ip·(x−y )



Schematicky mají grafy odpovídající Greenove funkci

〈Ω|TφH (x1) . . . φH (xm)ψa1 (y1)H . . . ψan (yn)H . . . ψan (yn)H |Ω〉tvar

zde jsme vyznacili pouze vnejší vertexy a vnejší linky, “blob“predstavuje souhrn interakcních vertexu a vnitrních linekTedy polím uvnitr T−soucinu odpovídají vnejší vertexy podlepredpisu (pri “ctení“ grafu tato pole nevypisujeme!)



Pri “ctení“ grafu postupujeme u fermionových linií proti smeru šipky,pocínaje vnejší linkou

Jednotlivé faktory píšeme zleva doprava, scítáme pres sousednímaticové indexy

Pro kazdou uzavrenou fermionovou linku spocítáme stopu taktovznikleho cyklu propagátoru a vertexu a pridáme znaménko “-“

Výsledný výraz zintegrujeme pres souradníce zk všech interakcníchvertexu a podelíme symetrickým faktorem SΓ

Predchozí pravidla urcují príspevek ke Greenove funkci moduloznaménkový faktor. Grafy, lišící se od jiného grafu jen permutacíoznacení dvou stejných fermionových linií (t.j. topologickyekvivalentní), je treba zapocítat s dodatecným relativním znaménkem“-“. Obecne kazdou permutaci σ oznacení stejných fermionových liniígrafu s touz topologií provází relativní faktor signσ

Takto získané príspevky jednotlivých grafu secteme



Puvod dodatecného relativního znaménka snadno nahlédneme.Uvazujme napr. grafy lišící se oznacením dvou vnejších vertexu,schematicky

Tyto grafy schematicky predstavují kontrakce

W (ΓI ) = : ψa (x)Xψb (y)Yψa (x)Zψb (y)W :

a

W (ΓII ) = : ψa (x)Xψb (y)Yψa (x)Zψb (y)W :

kde X , Y , Z a W predstavuje kontrahované monomy z operátoru ψ,ψ a φ (t.j. zbytek grafu, na obrázku znázorneno “blobem“)



Upravme druhý výraz

W (ΓII ) = : ψa (x)Xψb (y)Yψa (x)Zψb (y)W :

= (−1)2n(X )+1 : ψb (y)Xψa (x)Yψa (x)Zψb (y)W :

= − : ψa (x)Xψb (y)Yψa (x)Zψb (y)W : |(x ,a)↔(y ,b)= −W (ΓI ) |(x ,a)↔(y ,b)

kde n (X ) je pocet fermionových operátoru obsazených v monomu X

Naivní “prectení“ druhého grafu podle Feynmanových pravidel by aledalo

W (ΓII ) = W (ΓI ) |(x ,a)↔(y ,b)proto relativní extra znaménko “-“ musíme dodat “rucne“



Symetrický faktor grafu je stejne jako v prípade λ4! φ

4 modelu dánformulí


(m!)αVV′

m g

kde β je pocet bosonových “tadpolu“, αVV′

m ∈ 0, 1 je pocet m−ticekvivalentních bosonových linek spojujících vertexy V a V ′ a g jepocet permutací oznacených interakcních vertexu, které prizafixovaném oznacení vnejších vertexu nechávají graf beze zmeny



Príklad: Uvazujme Greenovu funkci

Gabab (x , y , x , y) = 〈Ω|T[ψa (x)H ψb (y)H ψa (x)H ψb (y)H

]|Ω〉

V nultém rádu poruchového rozvoje máme

G (0)abab

(x , y , x , y) = 〈0|T[ψa (x)D ψb (y)D ψa (x)D ψb (y)D

]|0〉

a tedy dva grafy Γ1 a Γ2

odpovídající dvema ruzným typum kontrakcí

W (Γ1) =: ψa (x)D ψb (y)D ψa (x)D ψb (y)D :

W (Γ2) =: ψa (x)D ψb (y)D ψa (x)D ψb (y)D :J. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 649 / 1311


Upravme ješte

W (Γ1) = : ψa (x)D ψb (y)D ψa (x)D ψb (y)D :

= − : ψa (x)D ψa (x)D ψb (y)D ψb (y)D :

W (Γ2) = : ψa (x)D ψb (y)D ψa (x)D ψb (y)D :

= : ψa (x)D ψb (y)D ψb (y)D ψa (x)D :

TedyW (Γ1) = −W (Γ2)(x ,a)←→(y ,b)



To odpovídá Feynmanovým pravidlum, podle nichz je relativníznaménko príspevku grafu Γ1 a Γ2 , které se liší zámenou(x , a)←→

(y , b), záporné.

Symetrické faktory SΓ1 = SΓ2 = 1

Tedy, podle Feynmanovách pravidel

G (0)abab

(x , y , x , y) =

= −iSF (x − x)aa iSF (y − y)bb + iSF (x − y)ab iSF (y − x)ba



V následujícím rádu máme opet dva grafy Γ3 a Γ4:

Podle Feynmanových pravidel (zde SΓ3 = SΓ4 = 1)

W (Γ3) = −∫d4z1d4z2

[iSF (x − z1) gγ5iSF (z1 − x)

]aa

×[iSF (y − z2) gγ5iSF (z2 − y)

]bb i∆F (z1 − z2)

W (Γ4) =∫d4z1d4z2

[iSF (x − z1) gγ5iSF (z1 − y)

]ab

×[iSF (y − z2) gγ5iSF (z2 − x)

]ba i∆F (z1 − z2)



Tedy nakonec ve druhém rádu poruchové teorie

G (2)abab

(x , y , x , y) =∫d4z1d4z2i∆F (z1 − z2)[iSF (x − z1) gγ5iSF (z1 − y)

]ab

×[iSF (y − z2) gγ5iSF (z2 − x)

]ba

−[iSF (x − z1) gγ5iSF (z1 − x)

]aa

×[iSF (y − z2) gγ5iSF (z2 − y)

]bb

Cvicení: Najdete G (2)

ababv p−representaci, t.j. spocítejte

G (2)abab

(p, k, p, k

)=∫d4xd4yd4xd4ye ip·x+ik ·y+ip·x+i k ·yG (2)

abab(x , y , x , y)



Fourieruv obraz Greenových funkcí lze získat prímo pomocíFeynmanových pravidel v p−representaci

Zde impulsy u kvartického vertexu smerují dovnitr, u kubickéhovertexu jsou pak orientovány ve smeru šipek



Poznamenejme, ze fermionový propagátor je orientovaný, tedy napr.

Kazdému vnejšímu vertexu je prirazen impuls smerující ven z grafu,tím je prirazen (orientovaný) impuls kazdé vnejší lince, schematicky

T.j. polím v ψa (p)H , ψa (p)H a φH (k) v Greenove funkci odpovídajívnejší vertexy podle schematu

Kazdá vnitrní linka nese (orientovaný) impulsJ. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 655 / 1311


Pravidla pro “prectení“ grafu jsou pak analogická jako vx−representaci, t.j.

1 fermionové linky se procházejí proti smeru šipek,2 fermionovým smyckám prísluší stopa a znaménko “-“,3 permutaci oznacení dvou stejných fermionových linek relativníznaménko “-“

Výsledný výraz se integruje pres impulsy všech vnitrních linek. Prokazdou souvislou komponentu je pouze L = I − V + 1 integracínetriviálních (I je pocet vnitrních linek, V je pocet vetexu a L jepocet smycek, t.j. maximální pocet vnitrních linek, které lze rozpojit,aniz by se graf rozpadl na nesouvislé komponenty)V dusledku translacní invariance

Ga...a... (p1, . . . , p1, . . . , k1, . . .) = (2π)4 δ(4)

(n

∑i=1pi +

n

∑j=1pj +

m

∑l=1

kl

)×Ga...a... (p1, . . . , p1, . . . , k1, . . .)



V našem príkladu pocítáme G(2)abab

(p, k , p, k

)=

= −(

iγ · k −mgγ5

i

−γ · k −m

)bb

(i

γ · p −mgγ5i

−γ · p −m

)aa

× i

(p + p)2 −M2

+

(i

γ · k −mgγ5i

−γ · p −m

)ba

(i

γ · p −mgγ5i

−γ · k −m

)ab

× i(p + k

)2 −M2



Pomocí téze off shell Greenovy funkce Gabab(p, k, p, k

)a LSZ formulí

muzeme spocítat príspevek do souvislé S−matice Scfi pro ruznéprocesy se dvema (anti)cásticemi v pocátecním a koncovém stavuNapr. pro proces ψ (p, s)ψ (k, σ)→ ψ (p′, s ′)ψ (k ′, σ′), t.j. proelastický rozptyl fermionu, máme

Sfi = limon shell

〈Ω|T[ψa(p′)H ψb

(k ′)H ψa (−p)H ψb (−k)H

]|Ω〉

×[u(p′, s ′

)(−i)

(γ · p′ −m

)]a

[u(k ′, σ′

)(−i)

(γ · k ′ −m

)]b

× [(−i) (γ · p −m) u (p, s)]a [(−i) (γ · k −m) u (k, σ)]bt.j. v nejnizším rádu (pripomenmeSfi = δfi + i (2π)4 δ(4) (Pf − Pi ) Tfi)

iT cfi = limon shell

G(2)abab

(p′, k ′,−p,−k

)×[u(p′, s ′

)(−i)

(γ · p′ −m

)]a

[u(k ′, σ′

)(−i)

(γ · k ′ −m

)]b

× [(−i) (γ · p −m) u (p, s)]a [(−i) (γ · k −m) u (k, σ)]bJ. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 658 / 1311


Ale explicite máme: G(2)abab

(p′, k ′,−p,−k) =

= −(

iγ · k ′ −mgγ5

iγ · k −m

)bb

(i

γ · p′ −mgγ5i

γ · p −m

)aa

× i

(p′ − p)2 −M2

+

(i

γ · k ′ −mgγ5i

γ · p −m

)ba

(i

γ · p′ −mgγ5i

γ · k −m

)ab

× i

(p′ − k)2 −M2

a tak

iT cfi = −u(p′, s ′

)gγ5u (p, s)

i

(p′ − p)2 −M2u(k ′, σ′

)gγ5u (k, σ)

+u(p′, s ′

)gγ5u (k, σ)

i

(p′ − k)2 −M2u(k ′, σ′

)gγ5u (p, s)



Podobne pro proces ψ (p, s)ψ (p′, s ′)→ ψ (k, σ)ψ (k ′, σ′), t.j. proelastický rozptyl fermionu a antifermionu máme

Scfi = limon shell

〈Ω|T[ψa(−p′

)H ψb (k)H ψa (−p)H ψb

(k ′)H

]|Ω〉

×[v(p′, s ′

)i(−γ · p′ −m

)]a [u (k, σ) (−i) (γ · k −m)]b

× [(−i) (γ · p −m) u (p, s)]a[i(−γ · k ′ −m

)v(k ′, σ′

)]b

t.j. v nejnizším rádu

iT cfi = limon shell

G(2)abab

(−p′, k ,−p, k ′

)×[v(p′, s ′

)i(−γ · p′ −m

)]a [u (k, σ) (−i) (γ · k −m)]b

× [(−i) (γ · p −m) u (p, s)]a[i(−γ · k ′ −m

)v(k ′, σ′

)]b



Zde explicite máme G(2)abab

(−p′, k,−p, k ′) =

−(

iγ · k −mgγ5

i−γ · k ′ −m

)bb

(i

−γ · p′ −mgγ5i

γ · p −m

)aa

× i

(p + p′)2 −M2

+

(i

γ · k −mgγ5i

γ · p −m

)ba

(i

−γ · p′ −mgγ5i

−γ · k ′ −m

)ab

× i

(k ′ − p′)2 −M2

Po úprave nakonec

iT cfi = −u (k, σ) gγ5v(k ′, σ′

) i

(p′ + p)2 −M2v(p′, s ′

)gγ5u (p, s)

+u (k, σ) gγ5u (p, s)i

(p′ − k)2 −M2v(p′, s ′

)gγ5v

(k ′, σ′



Cvicení: Spocítejte podobne pomocí G(2)abab

(p′, k ′,−p,−k) a LSZredukcních formulí amplitudu procesu

ψ(p′, s ′

)ψ(k ′, σ′

)→ ψ (p, s)ψ (k, σ)

t.j. amplitudu elastického rozptylu antifemionu.

Jak vidíme z predchozích príkladu, aplikace LSZ formulí na Greenovufunkci v p−representaci znamená efektivne:

1 kancelaci propagátoru, príslušejícího vnejší lince2 nahrazení tohoto propagátoru (modulo znaménko) vlnovou funkcípodle predpisu

fermion v in stavu → u (p, s)

fermion v out stavu → u (p, s)

antifermion v in stavu → v (p, s)

antifermion v out stavu → v (p, s)

Proto lze zformulovat Feynmanova pravidla prímo pro elementysouvislé S−matice Scfi



Grafy representující jednotlivé príspevky do Scfi jsou souvislé grafysestávající z vnejších linek, interakcních vertexu a vnitrních linek,schematicky

Zde (pi , si ), (pi , s i ) a ki odpovídají po rade fermionum,antifermionum a bosonum v in stavu |i , in〉 a (pf , sf ), (pf , s f ) a kfpo rade fermionum, antifermionum a bosonum v out stavu |f , out〉



Impulsy všech cástic v in i out stavech jsou on shell, pro cástice v instavu vcházejí do grafu, pro cástice v out stavu vycházejí z grafuInterakcním vertexum a vnitrním linkám odpovídají stejné faktory,jako v grafech pro Greenovy funkce v p−representaciVnejším linkám odpovídají vlnové funkce podle schématu

Pravidla pro “ctení“ grafu jsou stejná jako v prípade Greenovýchfunkcí



Príspevky jednotlivých grafu doprovázejí relativní znaménkové faktory.Permutaci σ ekvivalentních vnejších fermionových linek odpovídáfaktor signσ

Krome techto faktoru je treba zapocítat dodatecné znaménkovéfaktory, mající puvod v LSZ formulích a Feynmanových pravidlech proGreenovy funkce. Ekvivalentní vnejší linky v grafech pro Greenovyfunkce (permutace jejichz znacení mení relativní znaménko) mohoutotiz být redukovány LSZ redukcí dvojím zpusobem, bu

,d jako cástice

nebo jako anticástice. Takto redukované linky odpovídají pak aleneekvivalentním linkám grafu pro element S−matice, viz následujícípríklad



XIII. Príklad aplikace Feynmanových pravidel pro S−maticiUvazujme znovu maticový element souvislé S−matice pro elastickýrozptyl fermionu a antifermionu

Scfi = 〈pf , sf , pf , s f , out|pi , si , pi , s i , in〉c

= i (2π)4 δ(4) (pf + pf − pi − pi ) T cfi

Definujme tzv. Mandelstamovy promenné

s = (pi + pi )2 = (pf + pf )

2

t = (pi − pf )2 = (pi − pf )2

u = (pi − pf )2 = (pi − pf )2

Cvicení: Ukazte, ze s + t + u = 4m2



V nejnizším rádu poruchové teorie máme dva príspevky, první z nichodpovídá tzv. anihilacnímu grafu s výmenou bosonu v s−kanálu

= u(pf , sf )gγ5v(pf , s f )i

(pi + pi )2 −M2

v(pi , s i )gγ5u (pi , si )

t.j.

i (T cfi )s = u(pf , sf )gγ5v(pf , s f )i

s −M2 v(pi , s i )gγ5u (pi , si )



Druhý príspevek odpovídá grafu s výmenou bosonu v t−kanálu

= u(pf , sf )gγ5u (pi , si )i

(pi − pf )2 −M2v(pi , s i )gγ5v(pf , s f )

t.j.

i (T cfi )t = u(pf , sf )gγ5u (pi , si )i

t −M2 v(pi , s i )gγ5v(pf , s f )



Ackoli oba grafy nevznikají jeden z druhého permutací ekvivalentníchvnejších linek, presto je relativní znaménko záporné, jak víme zkonstrukce pomocí LSZ formulí

T.j. nakonec

iT cfi = i (T cfi )t − i (T cfi )s= u(pf , sf )gγ5u (pi , si )

it −M2 v(pi , s i )gγ5v(pf , s f )

−u(pf , sf )gγ5v(pf , s f )i

s −M2 v(pi , s i )gγ5u (pi , si )

Diferenciální úcinný prurez procesu v CMS pak dostaneme standardnejako

dσfidΩCMS

=1

64π2spfCMSpiCMS

|T cfi |2 =|T cfi |

2

64π2s



V CMS máme pi = −pi a pf = −pf a |pi | = pCMS , tedyEi = E i = Ef = E f = ECMC a tak

s = (pi + pi )2 = 4E 2CMS ≥ 4m2

t = (pi − pf )2 = − (pi − pf )2 = −2p2CMS (1− cos θCMS ) ≤ 0u = (pi − pf )2 = − (pi − pf )2 = −2p2CMS (1+ cos θCMS ) ≤ 0

Dále máme s uzitím γ0γ+γ0 = γ

u (pi , si ) =γ · pi +m√2 (ECMS +m)

(χsiχsi

)u(pf , sf ) =

(χ+sf ,χ

+sf

) γ+ · pf +m√2 (ECMS +m)

γ0

=(χ+sf ,χ

+sf

) γ · pf +m√2 (ECMS +m)



Tedy explicite dostaneme

2 (ECMS +m) u(pf , sf )γ5u (pi , si )

=(χ+sf ,χ

+sf

)(γ · pf +m) γ5 (γ · pi +m)

(χsiχsi

)=

(χ+sf ,χ

+sf

) ( m σ · pfσ · pf m

)(1 00 −1

)×(

m σ · piσ · pi m

)(χsiχsi

)=

(χ+sf (m+ σ · pf ) ,χ+sf (m+ σ · pf )

) ( (m+ σ · pi ) χsi− (m+ σ · pi ) χsi

)= χ+sf [(m+ σ · pf ) (m+ σ · pi )− (m+ σ · pf ) (m+ σ · pi )] χsi



Odtud úpravami

2 (ECMS +m) u(pf , sf )γ5u (pi , si )

= χ+sf [(m+ σ · pf ) (m+ σ · pi )− (m+ σ · pf ) (m+ σ · pi )] χsi= χ+sf [(m+ ECMS − σ · pf ) (m+ ECMS + σ · pi )− (m+ ECMS + σ · pf ) (m+ ECMS − σ · pi )] χsi

= 2 (ECMS +m) χ+sf σ · (pi − pf ) χsi

Konecneu(pf , sf )γ

5u (pi , si ) = χ+sf σ · (pi − pf ) χsi

Cvicení: Ukazte, ze obdobne dostaneme

v(pi , s i )γ5v(pf , s f ) = (−1)s i+1/2 (−1)s f +1/2 χ+−s i σ · (pi − pf ) χ−s f



S uzitím relacev (p, s) = Cu (p, s)T

dostaneme

v(pi , s i )γ5v(pf , s f ) = u(pi , s i )

TCγ5Cu(pf , s f )T

= −u(pi , s i )TCγ5C−1u(pf , s f )T

= −u(pi , s i )T γ5T u(pf , s f )T

= −u(pf , s f )γ5u(pi , s i )= −χ+s f σ · (pi − pf ) χs i

Tedy nakonec

v(pi , s i )γ5v(pf , s f ) = χ+s f σ · (pi − pf ) χs i

kde jsme uzili pi − pf = −pi + pf (viz téz následující cvicení)



Cvicení: Ukazte, ze pro

χ1/2 =

(10

), χ−1/2 =

(01

)platí

iσ2χs = (−1)s i+1/2 χ−s

a jako dusledek

v(pi , s i )γ5v(pf , s f ) = (−1)s i+1/2 (−1)s f +1/2 χ+−s i σ · (pi − pf ) χ−s f

= −χ+s f σ · (pi − pf ) χs i = −u(pf , s f )γ5u(pi , s i )



Odtud, oznacíme-li prenesený impuls q ≡ (pi − pf )

i (T cfi )t = χ+sf σ · qχsi χ+s f σ · qχs i

ig2

q2 +M2

Tento výsledek lze interpretovat v rámci nerelativistické kvantovéteorie jako amplitudu rozptylu v bornovské aproximaci

(T cfi )t = −〈pf , sf , s f |V |pi , si , s i 〉

= −∫d3xeiq·xV (x)sf ,s f ,si ,s i

kde |p, s, s〉 je nerelativistický stav systému fermion-antifermion vCMS s relativním impulsem p a projekcemi spinu fermionu aantifermionu do tretí osy po rade s, s



Spinove závislý potenciál V (x)sf ,s f ,si ,s i má v p−representaci maticovýtvar

V (q) = − g2

q2 +M2 σ · q⊗ σ · q

Máme

−g2∫ d3q(2π)3

e−iq·xqiqj

q2 +M2 = −∂i∂jVY (r)

kde

VY (r) = −g2∫ d3q(2π)3

eiq·x

q2 +M2 = −g2

4π

e−Mr

r

je Yukawuv potenciál



Cvicení: Ukazte, ze v x−representaci

V (x) = −[13g2δ(3) (x) +

M2

3VY (r)

]δijσi ⊗ σj

−M2

3VY (r)

[1+

3Mr

+3

M2r2

] (3x ix j

r2− δij

)σi ⊗ σj

Pro M = Mπ jde o tzv. one pion exchange potential - OPEP, kterýpopisuje spin-spinovou ∼ δijσi ⊗ σja tensorovou

∼(3x ix j/r2 − δij

)σi ⊗ σj interakci

OPEP dominuje nukleon-(anti)nukleonový potenciál na velkýchvzdálenostech r & 2fm a popisuje interakci pri nízkých energiích

Stejný potenciál (spolu s výmenou interakcí) figuruje i v procesechψψ→ ψψ a ψψ→ ψψ



Kvadrát modulu invariantní amplitudy v modelech s fermiony lze svýhodou spocítat tzv. technikou “špurování“ (die Spur - stopa).Ilustrujme ji na jednoduchém príkladuUvazujme proces φ (p)→ ψ (k, s)ψ

(k, s), t.j. rozpad bosonu na

fermion-antifermionový pár, kinematicky mozný pro M > 2mPodle Feynmanových pravidel v nejnizším rádu prispívá jediný graf

Príspevek grafu je pak

iT cfi = u(k, s)gγ5v(k, s), dΓss =12M|T cfi |

2 dLIPS2



Dále

(iT cfi )∗ = g

[u(k , s)γ5v(k, s)

]∗= g

[u(k, s)γ5v(k, s)

]+= gv(k, s)+γ5+u(k, s)+ = gv(k, s)+γ5+

[u(k, s)+γ0

]+= gv(k, s)+γ5+γ0+u(k, s)

aleγ5+γ0+ = γ5γ0 = −γ0γ5

takze nakonec(iT cfi )

∗ = −gv(k, s)γ5u(k, s)Odtud

|T cfi |2 = −g2v(k, s)γ5u(k, s)u(k, s)γ5v(k , s)= −g2Trv(k, s)γ5u(k, s)u(k, s)γ5v(k, s)= −g2Trγ5u(k , s)u(k, s)γ5v(k, s)v(k, s)



Ale jak víme

u(k, s)u(k, s) = (γ · k +m) 12

(1+ 2sγ5γ · n

)v(k, s)v(k, s) =

(γ · k −m

) 12

(1+ 2sγ5γ · n

)takze

|T cfi |2 = −g2Tr

[γ5 (γ · k +m) 1

2

(1+ 2sγ5γ · n

)×γ5

(γ · k −m

) 12

(1+ 2sγ5γ · n

)]Výpocet kvadrátu modulu amplitudy je tak preveden na rutinní úlohuvýpoctu stop retezce γ matic.



Casto nemeríme polarizace fermionu v koncovém stavu, tedyrelevantní velicinou je

dΓ = ∑s ,sdΓss =

12M ∑

s ,s|T cfi |

2 dLIPS2

Pak se stopa zjednoduší

∑s ,s|T cfi |

2 = −g2Tr[

γ5 (γ · k +m)∑s

12

(1+ 2sγ5γ · n

)×γ5

(γ · k −m

)∑s

12

(1+ 2sγ5γ · n

)]= −g2Trγ5 (γ · k +m) γ5

(γ · k −m

)= g2Tr (γ · k +m)

(γ · k +m



S uzitím identit

Tr1 = 4, Trγµ = 0, Trγµγv = 4ηµν

dostaneme nakonec

∑s ,s|T cfi |

2 = g2Tr (γ · k +m)(γ · k +m

)= 4g2

(k · k +m2

)= 2g2M2

kde jsme uzili zachování impulsu

M2 = P2 = (k + k)2 = 2m2 + 2k · k



KonecnedΓ =

12M ∑

s ,s|T cfi |

2 dLIPS2 = g2M dLIPS2

a po integraci pres fázový prostor

Γ =g2M8π

(1− 4m

2

M2

)1/2

Cvicení: Spocítejte rozpadovou šírku Γss pro rozpad bosonu napolarizovaný fermion-antifermionový pár.

Pokud se v pocátecním stavu nejakého procesu (napr. rozptylu)vyskytují fermiony, casto máme jen cástecnou informaci o jejichpolarizaci. Spíše nez v cistém stavu s ostrou hodnotou polarizace sefermiony nacházejí ve smíšeném stavu, v nemz obe mozné polarizacejsou obsazené s pravdepodobnostmi ws .



Pravdepodobnost procesu prechodu tohoto smíšeného stavu dokoncového stavu je pak schematicky úmerná

∑sws |T cfi (s)|

2 ∼ ∑swsTr . . . (γ · k +m) 1

2

(1+ 2sγ5γ · n

). . .

= Tr . . . (γ · k +m) 12 ∑

sws(1+ 2sγ5γ · n

). . .

= Tr . . . (γ · k +m) 12

(1+ 2〈s〉γ5γ · n

). . .

kde jsme oznacili〈s〉 = ∑

sws s



Plne polarizovaný svazek odpovídá 〈s〉 = ±1/2, obecne−1/2 ≤ 〈s〉 ≤ 1/2. Velicina P = 2〈s〉 se nekdy nazývá stupenpolarizace.

Pro nepolarizovaný svazek je w±1/2 = 1/2, t.j. P = 0 a výpocetstopy se zjednoduší

∑sws |T cfi (s)|

2 ∼ 12

Tr . . . (γ · k +m) . . .

Výhodou metody špurování je1 lorentzovská kovariance v kazdém (mezi)kroku2 snadná algoritmizace celého postupu (výpocty stop implementoványnapr. v Mathematica packages FeynCalc nebo Tracer)



Cvicení: Spocítejte metodou špurování kvadráty modulu maticových

elementu∣∣∣Tψψ→ψψ

∣∣∣2(ss , us |ts ) a ∣∣Tψψ→ψψ

∣∣2(su , uu |tu) vyscítané pres spinycástic v koncovém stavu pro elastický rozptyl nepolarizovaného fermionuna nepolarizovaném (anti)fermionu v nejnizsím rádu poruchové teorie, t.j.pro procesy

ψ (p)ψ(p′)→ ψ (k)ψ

(k ′), ψ (p)ψ

(k ′)→ ψ

(p′)

ψ (k)

kde Mandelstamovy promenné v s−kanálu a u−kanálu jsouss =

(p + p′

)2, us =

(p − k ′

)2su =

(p + k ′

)2, uu =

(p − p′

)2ts = tu = (p − k)2

Ukazte, ze platí krízová (crossing) symetrie:∣∣∣Tψψ→ψψ

∣∣∣2(ss , us |ts ) = ∣∣Tψψ→ψψ

∣∣2(us , ss |ts )J. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 686 / 1311


XIV. Cástice se spinem s = 1

Pripomenme: (anti)cástice s hmotou m a se spinem s = 1 jsou podlePauliho teorému bosony

Fockuv prostor je svázán s kreacními a anihilacními operátorya+(p,λ), a(p,λ) (cástice) a b+(p,λ), b(p,λ) (anticástice), kdeλ = ±1, 0 je projekce spinu do tretí osy v klidovém systému a platí[

a(p,λ), a+(p′,λ′)]= (2π)3 2E (p) δλλ′δ

(3) (p− p′)[b(p,λ), b+(p′,λ′)

]= (2π)3 2E (p) δλλ′δ

(3) (p− p′)Ty se transformují vzhledem k Poincareho grupe podle predpisu

U (Λ, a) a+(p,λ)U−1 (Λ, a)

= e ia·Λ·p ∑ρ=0,±1

D(1)ρλ (W (p,Λ)) a+ (Λp, ρ)



Matice D(1)λρ (W (p,Λ)) jsou v tomto prípade orthogonální 3× 3matice representující Wignerovu rotaci W (p,Λ), t.j.

W (p,Λ) = L (Λp)−1 ΛL (p) =(1 00 D(1) (W (p,Λ))

)podobne pro b+(p,λ) a hermitovským sdruzením pro anihilacníoperátory

U (Λ, a) a(p,λ)U−1 (Λ, a)

= e−ia·Λ·p ∑ρ=0,±1

D(1)ρλ (W (p,Λ))∗ a (Λp, ρ)



Na Fockove prostoru stavu máme Hamiltonián, operátor impulsu aoperátor náboje

H = ∑λ=0,±1

∫dpE (p)

(a+(p,λ)a(p,λ) + b+(p,λ)b(p,λ)

)P = ∑

λ=0,±1

∫dpp

(a+(p,λ)a(p,λ) + b+(p,λ)b(p,λ)

)Q = ∑

λ=0,±1

∫dp(a+(p,λ)a(p,λ)− b+(p,λ)b(p,λ)

)pro nez[H, a+(p,λ)

]= E (p) a+(p,λ),

[P, a+(p,λ)

]= pa+(p,λ)[

Q, a+(p,λ)]= a+(p,λ),

[Q, b+(p,λ)

]= −b+(p,λ)



S operátory a+(p,λ), a(p,λ) a b+(p,λ), b(p,λ) lze asociovatkauzální pole Wa (x) a hermitovsky sdruzené pole Wa (x)

+, kdeobecne

W (x) = ∑λ=0,±1

∫dp(u (p,λ) a(p,λ)e−ip·x + v (p,λ) b+(p,λ)eip·x

)Wa (x) se transformují vzhledem k Lorentzove grupe podleireducibilních representací D(j1,j2)

U (Λ)W (x)U (Λ)−1 = D(j1,j2)(Λ−1

)·W (Λx)

Pro cástice se spinem s = 1 jsou mozné jen representace D(j1,j2), pronez

1 ∈ |j1 − j2|, |j1 − j2|+ 1, . . . , j1 + j2 − 1, j1 + j2t.j.

|j1 − j2| ≤ 1 ≤ j1 + j2Této podmínce vyhovují representace D(j ,j) kde j = 1/2, 1, . . . a dáleD(j+1,j) a D(j ,j+1) kde j = 0, 1/2, . . .



Pokud má být zachována parita, jsou jediné moznosti ireducibilnírepresentace D(j ,j) a reducibilní representace D(j+1,j)⊕ D(j ,j+1)Minimální ireducibilní representace D(j ,j) odpovídá j = 1/2, t.j.vektorová representace D(

12 ,12 ) (Λ) = Λ

dimD(12 ,12 ) = 4

Tomu odpovídá vektorové pole

W µ (x) = ∑λ=0,±1

∫dp(

εµ

(λ) (p) a(p,λ)e−ip·x + η

µ

(λ) (p) b+(p,λ)eip·x

)kde jsme oznacili vlnové funkce

u (p,λ) ≡ εµ

(λ) (p) , v (p,λ) ≡ ηµ

(λ) (p)

Pro vektorové pole máme

U (Λ)W µ (x)U (Λ)−1 =(Λ−1

)µ

νW ν (Λx) = W ν (Λx)Λ µ

ν



Pro vlnové funkce (tzv. polarizacní vektory) εµ

(λ) (p) a ηµ

(λ) (p) musíplatit

εµ

(λ) (p) = L (p)µ

ν εν(λ) (k) , η

µ

(λ) (p) = L (p)µ

ν ην(λ) (k)

kde k = (m, 0) a L (p) je kanonický boostV klidovém systému pak

J3 · ε(λ) (k) = λε(λ) (k) , J± · ε(λ) (k) = α(±) (1,λ) ε(λ±1) (k)

J3 · η(λ) (k) = −λη(λ) (k) , J± · η(λ) (k) = −α(∓) (1,λ) η(λ∓1) (k)

kde generátory rotací v representaci D(12 ,12 ) jsou

J i =(0 00 −iεijk



Protoze (J i)∗=

(0 00(−iεijk

)∗ ) = −J ia tak (

J±)∗=(J1 ± iJ2

)∗= −J∓

máme

−J3 · ε(λ) (k)∗ = λε(λ) (k)∗ , − J∓ · ε(λ) (k)∗ = α(±) (1,λ) ε(λ±1) (k)

∗

Tedy az na libovolnou fázi, kterou vybereme rovnou jedné, máme

η(λ) (k) = ε(λ) (k)∗

Protoze L (p) je reálná matice, je také

ηµ

(λ) (p) = L (p)µ

ν ην(λ) (k) = L (p)

µν εν(λ) (k)

∗ = εµ

(λ) (p)∗



Pišme

ε(λ) (k) =

(ε0(λ)ε(λ)

)takze

J i ε(λ) (k) =(

0iei × ε(λ)

)kde (ei )

j = δji je jednotkový vektor ve smeru i−té osyTedy ε0(λ) = 0, a az na fázi

ε(0) = e3

Dále je

ε(±1) =1

α(±) (1, 0)i (e1 ± ie2)× ε(0) =

1√2i (e1 ± ie2)× e3

a takε(±1) = ∓

1√2(e1 ± ie2)



S uzitím explicitního tvaru standardního kanonického boostu

L (p) =

(E (p)m

pTm

pm Π⊥ +

E (p)m Π‖

)kde

Π‖ =ppT

p2, Π⊥ = 1− Π‖

jsou projektory na podprostor rovnobezný a kolmý k vektoru pOdtud

ε(λ) (p) = L (p)(

0ε(λ)

)=

(1mp · ε(λ)

Π⊥ · ε(λ) +E (p)m Π‖ · ε(λ)

)

=1m

(p · ε(λ)

mε(λ) +p·ε(λ)

(E (p)+m)p

)



Explicite dostaneme

ε(0) (p) =1m

(p3

me3 + p3

(E (p)+m)p

)

ε(±1) (p) =1m

(p±

mε(±1) +p±

(E (p)+m)p

)

kde p± jsou sférické komponenty vektoru pVšimneme si, ze pro vektory ε(λ) (p) neexistuje konecná limita m→ 0



Jak víme, lze volit i jiný tvar kanonického boostu, dulezitý je výberL (p)→ L (p)R (p) kde R (p) je rotace transformující e3 do smeruimpulsu pTento výber boostu je príslušný helicitním stavumPro polarizacní vektory pak máme

ε(0) (p) =1m

(|p|

E (p) p

), ε(±1) (p) =

(0

ε(±1)

)kde

ε(±1) = ∓1√2(e1 (p)± ie2 (p))

a vektory e1 (p), e2 (p) a p tvorí othonormální pravotocivou basiJe zvykem nazývat ε(0) (p) vektorem longitudinální polarizace a ε(±1)jsou pak vektory pravotocivé (levotocivé) polarizaceVšimneme si, ze pro vektor longitudinální polarizace neexistujekonecná limita m→ 0



Pro polarizacní vektory ε(λ) (k) v klidovém systému v nemzk = (m, 0) platí

ε(λ) (k) · ε(λ′) (k)∗ = −δλλ′

k · ε(λ) (k) = 0

Protoze p = L (p) k a ε(λ) (p) = L (p) ε(λ) (k), máme také

ε(λ) (p) · ε(λ′) (p)∗ = −δλλ′

p · ε(λ) (p) = 0

Polarizacní vektory jsou tedy normované a transverzální



Dále máme v klidovém systému relace úplnosti pro vektory ε(λ)

∑λ=0,±1

εi(λ) (k) · εj(λ) (k)

∗ = δij

a dále

∑λ=0,±1

ε0(λ) (k) · εj(λ) (k)

∗ = ∑λ=0,±1

εi(λ) (k) · ε0(λ) (k)∗

= ∑λ=0,±1

ε0(λ) (k) · ε0(λ) (k)∗ = 0

Protoze k = (m, 0), lze souhrne psát

∑λ=0,±1

εµ

(λ) (k) · εν(λ) (k)

∗ = −ηµν +kµkν

m2



Odtud máme s uzitím p = L (p) k

∑λ=0,±1

εµ

(λ) (p) · εν(λ) (p)

∗ = L (p)µα L (p)

νβ ∑

λ=0,±1εα(λ) (k) · ε

β

(λ) (k)∗

= L (p)µα L (p)

νβ

(−ηαβ +

kαkβ

m2

)a tak

∑λ=0,±1

εµ

(λ) (p) · εν(λ) (p)

∗ = −ηµν +pµpν

m2

Všimneme si, ze neexistuje konecná limita pro m→ 0



Máme tak

W µ (x) = ∑λ=0,±1

∫dp[ε

µ

(λ) (p) a(p,λ)e−ip·x + ε

µ

(λ) (p)∗ b+(p,λ)eip·x

](pripomenme ze v této formuli p0 = E (p), t.j. p2 = m2)Pole W µ (x) pak automaticky splnuje Kleinovu-Gordonovu rovnici(

+m2)W µ (x) = 0

Dále máme

∂ ·W (x) =

= ∑λ

∫dp[−ip · ε(λ) (p) a(p,λ)e−ip·x + ip · ε(λ) (p)∗ b+(p,λ)eip·x

]tedy, protoze p · ε(λ) (p) = 0, platí

∂ ·W (x) = 0

Pole W µ (x) je tedy transverzální



Protoze platí (+m2

)W µ (x) = 0

∂ ·W (x) = 0

splnuje pole W µ (x) také tzv. Procovu rovnici[(+m2

)ηµν − ∂µ∂ν

]W ν (x) = 0

Tato rovnice je plne ekvivalentní predchozí dvojici rovnic. Vskutku,splnuje-li pole W µ (x) Procovu rovnici, máme

0 = ∂µ[(+m2

)ηµν − ∂µ∂ν

]W ν (x)

=[(+m2

)∂ν −∂ν

]W ν (x)

= m2∂ ·W (x)

a tak ∂ ·W (x) = 0. Zpetným dosazením do Procovy rovnice máme(+m2

)W µ (x) = 0



Pro komutátory polí dostáváme

[W µ (x) ,W ν (y)] =[W µ (x)+ ,W ν (y)+

]= 0

Cvicení: Ukazte, ze[W µ (x) ,W ν (y)+

]=∫dp(−ηµν +

pµpν

m2

)(e−ip·(x−y ) − eip·(x−y )

).

Tedy nakonec[W µ (x) ,W ν (y)+

]= −

(ηµν +

∂µ∂ν

m2

)i∆ (x − y)

kdei∆ (x − y) =

∫dp(

e−ip·(x−y ) − eip·(x−y ))

je Pauli-Jordanova komutátorová funkce



Protoze Pauli-Jordanova funkce i∆ (x) = 0 pro x2 < 0, splnujekomutátor podmínku kauzality[

W µ (x) ,W ν (y)+]= 0 pro (x − y)2 < 0

Cvicení: Ukazte, ze pokud bychom predepsali pro kreacní a anihilacníoperátory ve sporu s Pauliho teorémem antikomutacní relace, dostalibychom místo tohoW µ (x) ,W ν (y)+

= −

(ηµν +

∂µ∂ν

m2

) ∫dp(

e−ip·(x−y ) + eip·(x−y ))

Diskutujte v tomto prípade kauzalitu.



Cvicení: Ukazte, ze pro komutátory ve stejných casech dostaneme[W i (x) ,W j (y)+

]|x 0=y 0 = 0[

W 0 (x) ,W j (y)+]|x 0=y 0 =

im2

∂jδ(3) (x− y)[W 0 (x) ,W 0 (y)+

]|x 0=y 0 = 0

a dále pro casové derivace[∂0W i (x) , ∂0W j (y)+

]|x 0=y 0 = 0[

∂0W 0 (x) , ∂0W j (y)+]|x 0=y 0 =

im2(−∇2 +m2

)∂jδ(3) (x− y)[

∂0W 0 (x) , ∂0W 0 (y)+]|x 0=y 0 = 0



Cvicení: Pro “smíšené“ komutátory dokazte relace

[∂0W i (x) ,W j (y)+

]|x 0=y 0 = −i

(δij − ∂i∂j

m2

)δ(3) (x− y)[

∂0W 0 (x) ,W j (y)+]|x 0=y 0 = 0[

W 0 (x) , ∂0W j (y)+]|x 0=y 0 = 0[

∂0W 0 (x) ,W 0 (y)+]|x 0=y 0 =

im2∇2δ(3) (x− y)



Normální usporádání monomu sestavených z polí W µ (x) a W ν (y)+

se definuje bezným zpusobem pro bosonové operátory (t.j. operátoryW µ (x) a W ν (y)+ uvnitr normálního soucinu komutují)Normální kontrakce je

W µ (x)W ν (y)+ = W µ (x)W ν (y)+− : W µ (x)W ν (y)+ :

=[W µ+ (x) ,W ν− (y)+

]kde W µ+ (x) je anihilacní (positivne frekvencní) cást operátoruW µ (x)

W µ+ (x) = ∑λ=0,±1

∫dp ε

µ

(λ) (p) a(p,λ)e−ip·x

a W ν− (x)+ je kreacní (negativne frekvencní) cást operátoruW µ (x)+

W µ− (x)+ =(W µ+ (x)

)+J. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 707 / 1311


Celkem tedy máme pro normální kontrakci

W µ (x)W ν (y)+ = W µ (x)W ν (y)+− : W µ (x)W ν (y)+ :

=∫dp(−ηµν +

pµpν

m2

)e−ip·(x−y )

= −(

ηµν +∂µ∂ν

m2

)i∆+ (x − y)

Podobne

W ν (y)+W µ (x) =[W µ+ (y)+ ,W ν− (x)

]= −

(ηµν +

∂µy ∂νy

m2

)i∆+ (y − x)

Wickova veta pro obycejné souciny pak platí ve tvaru analogickémWickove vete pro skalární pole



Chronologická kontrakce je

W µ (x)W ν (y)+ = TW µ (x)W ν (y)+− : W µ (x)W ν (y)+ :

a s uzitím predchozích formulí

W µ (x)W ν (y)+ = −θ(x0 − y0

) (ηµν +

∂µ∂ν

m2

)i∆+ (x − y)

−θ(y0 − x0

) (ηµν +

∂µy ∂νy

m2

)i∆+ (y − x)

= −θ(x0 − y0

) (ηµν +

∂µ∂ν

m2

)i∆+ (x − y)

−θ(y0 − x0

) (ηµν +

∂µ∂ν

m2

)i∆+ (y − x)



Upravme ješte

θ(x0) (

ηµν +∂µ∂ν

m2

)i∆+ (x) =

(ηµν +

∂µ∂ν

m2

)θ(x0)i∆+ (x)

− 1m2i∂µ∆+ (x) ∂νθ

(x0)

− 1m2i∂ν∆+ (x) ∂µθ

(x0)

− 1m2i∆+ (x) ∂µ∂νθ

(x0)

ale

∂µθ(x0)= ηµ0δ(1)

(x0), ∂µ∂νθ

(x0)= ηµ0ην0∂0δ

(x0)



Takze

W µ (x)W ν (y)+

= −(

ηµν +∂µ∂ν

m2

)i∆F (x − y)

+1m2

ηµ0δ(1)(x0 − y0

)∂ν[i∆+ (x − y)− i∆+ (y − x)

]+1m2

ην0δ(1)(x0 − y0

)∂µ[i∆+ (x − y)− i∆+ (y − x)

]+1m2

ηµ0ην0∂0δ(x0 − y0

) [i∆+ (x − y)− i∆+ (y − x)

]



a tak

W µ (x)W ν (y)+ = −(

ηµν +∂µ∂ν

m2

)i∆F (x − y)

+1m2

ηµ0δ(1)(x0 − y0

)∂νi∆ (x − y)

+1m2

ην0δ(1)(x0 − y0

)∂µi∆ (x − y)

+1m2


)i∆ (x − y)

kde

i∆F (x) = θ(x0)i∆+ (x) + θ

(−x0

)i∆+ (−x)

i∆ (x − y) = i∆+ (x − y)− i∆+ (y − x)

je skalární propagátor a Pauli-Jordanova komutátorová funkce



T.j.

W µ (x)W ν (y)+ = −(

ηµν +∂µ∂ν

m2

)i∆F (x − y)

+1m2

ηµ0δ(1)(x0 − y0

)∂νi∆ (x − y) |x 0=y 0

+1m2

ην0δ(1)(x0 − y0

)∂µi∆ (x − y) |x 0=y 0

+1m2


)i∆ (x − y) |x 0=y 0

− 1m2

ηµ0ην0δ(x0 − y0

)i∂0∆ (x − y) |x 0=y 0

Ale jak víme, z vlastností Pauli-Jordanovy funkce plyne

i∆ (x − y) |x 0=y 0 = 0

∂µi∆ (x − y) |x 0=y 0 = −ηµ0iδ(3) (x − y)



Konecne máme pro chronologickou kontrakci

W µ (x)W ν (y)+ = −(

ηµν +∂µ∂ν

m2

)i∆F (x − y)

+im2

ηµ0ην0δ(4) (x − y)

Wickova veta pro T−soucin platí pak v analogickém tvaru jako proskalární pole, s touto chronologicou kontrakcíVšimneme si, ze vedle manifestacne kovariantního prvního clenu

i∆µνF (x) ≡ −

(ηµν +

∂µ∂ν

m2

)i∆F (x)

obsahuje chronologická kontrakce navíc nekovariantní kontaktní clen

i∆µνc (x) ≡

im2

ηµ0ην0δ(4) (x)



Pokud tedy má být poruchová teorie pro interagující cástice se spinems = 1 kovariantní, musí hamiltonián obsahovat nekovariantní cleny,kompenzující efekty nekovariantního kontaktního clenu v propagátoru.Takovéto nekovariantní interakcní cleny automaticky produkujeprocedura kanonického kvantování, jak uvidíme v dalšímEfekt kompenzace nekovariantních príspevku v poruchové teorii je pakekvivalentní následujícímu postupu:

1 Chronologickou kontrakci nahradíme kovariantním propagátorem

W µ (x)W ν (y)+ → i∆µνF (x) = −

(ηµν +

∂µ∂ν

m2

)i∆F (x − y)

= −∫ d4p

(2π)4e−ip ·(x−y )

i(

ηµν − pµpν

m2

)p2 −m2 + i0

2 V Hamiltoniánu ponecháme jen kovariantní cleny

Výše uvedený postup automaticky vyplývá m.j. z procedurykvantování funkcionálním integrálem



Cvicení: Ukazte, ze kovariantní propagátor

i∆µνF (x) = −

(ηµν +

∂µ∂ν

m2

)i∆F (x − y)

je Greenovou funkcí Procovy rovnice, t.j.[(+m2

)ηµα − ∂µ∂α

]∆ανF (x) = δν

µδ(4) (x)

Cvicení: Ukazte, ze v p−representaci lze psát

∆µνF (p) = −

1p2 −m2 + i0Πµν

⊥ +1m2

Πµν

‖

kde

Πµν

‖ =pµpν

p2, Πµν

⊥ = ηµν − pµpν

p2

jsou projektory na podprostor rovnobezný a kolmý k vektoru pJ. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 716 / 1311


XVI. Diskrétní symetrie P , T a CJak víme

Pa (p,λ)P+ = η∗Paa (p,λ) , Pb+ (p,λ)P+ = ηPbb+ (p,λ)

Odtud

PW µ (x)P+

= P∑λ

∫dp[ε

µ


µ

(λ) (p)∗ b+(p,λ)eip·x

]P+

= ∑λ

∫dp[ε

µ

(λ) (p) η∗Paa(p,λ)e−ip·x + ε

µ

(λ) (p)∗ ηPbb

+(p,λ)eip·x]

= ∑λ

∫dp[ε

µ

(λ) (p) η∗Paa(p,λ)e−i p·x + ε

µ

(λ) (p)∗ ηPbb

+(p,λ)ei p·x]



Máme aleε(λ) (p) = L (p) · ε(λ) (k)

kde k = (m, 0) a ε(λ) (k) =(0, ε(λ)

)Platí s uzitím NT = N

L (p) = exp (iup ·N) = [exp (−iup ·N)]−1 = L (p)−1

= ηL (p)T η = ηL (p) η

Tedyε(λ) (p) = L (p) · ε(λ) (k) = ηL (p) η · ε(λ) (k)

Ale

η · ε(λ) (k) =(1 00 −1

)(0

ε(λ)

)= −ε(λ) (k)

odkud

ε(λ) (p) = −ηL (p) · ε(λ) (k) = −η · ε(λ) (p) = −ε(λ) (p)



Takze

PW µ (x)P+

= ∑λ

∫dp[ε

µ

(λ) (p) η∗Paa(p,λ)e−i p·x + ε

µ

(λ) (p)∗ ηPbb

+(p,λ)ei p·x]

= −∑λ

∫dp[ε

µ

(λ) (p) η∗Paa(p,λ)e−ip·x + ε

µ

(λ) (p)∗ ηPbb

+(p,λ)eip·x]

Pozadavek kauzality PW µ (x)P+ ∼ W ν (x) je splnen pro

η∗Pa = ηPb ≡ η∗P

Konecne tedy máme

PW µ (x)P+ = −η∗PWµ (x)



Pro operátor casové inverze máme

T a (p,λ) T + = (−1)1−λ η∗Taa (p,−λ)

T b+ (p,λ) T + = (−1)1−λ ηTbb+ (p,−λ)

Cvicení: Ukazte, ze platí

(−1)1+λ εµ

(−λ) (p)∗ = ε

µ

(λ) (p)

a pomocí tohoto výsledku ukazte, ze pozadavek kauzalityTW µ (x) T + ∼ W ν (x) implikuje

η∗Ta = ηTb ≡ η∗T

a transformace polí W µ (x) vzhledem k casové inverzi je pak

TW µ (x) T + = η∗T Wµ (−x)



Operátor nábojového sdruzení transformuje kreacní a anihilacníoperátory predpisem

Ca (p,λ) C+ = ζ∗ab (p,λ)

Cb+ (p,λ) C+ = ζba+ (p,λ)

Cvicení: Ukazte, ze pri nábojovém sdruzení pozadavek kauzalityCW µ (x) C+ ∼ W ν (x)+ implikuje

ζ∗a = ζb ≡ ζ∗

a transformace polí W µ (x) je

CW µ (x) C+ = ζ∗W µ (x)+



Reálné vektorové pole je sdruzeno s neutrálními cásticemi, které jsousvými vlastním anticásticemi

Z µ (x) = ∑λ

∫dp[ε

µ


µ

(λ) (p)∗ a+(p,λ)eip·x

]t.j. pole je hermitovské

Z µ (x)+ = Z µ (x)

a vzhledem k diskrétním symetriím

PZ µ (x)P+ = −η∗P Zµ (x)

CZ µ (x) C+ = ζ∗Z µ (x)

T Z µ (x) T + = η∗T Zµ (−x)

Pro vnitrní paritu a C−paritu platí v tomto prípadeη∗P = ηP = ±1ζ∗ = ζ = ±1



LSZ formule popsané vektorovým polem odvodíme standardnímzpusobemProtoze volná pole v Diracove obrazu splnují Kleinovu-Gordonovurovnici, máme stejne jako v prípade skalárních polí

i∫d3xe ip·x

←→∂ 0W (x)D = ∑

ρ

ε(ρ) (p) a (p, ρ)

−i∫d3xe−ip·x

←→∂ 0W (x)D = ∑

ρ

ε(ρ) (p)∗ b+ (p, ρ)

S uzitím podmínek othogonality pro polarizacní vektory máme

ε(λ) (p)∗ · i

∫d3xe ip·x

←→∂ 0W (x)D = ε(λ) (p)

∗∑ρ

ε(ρ) (p) a (p, ρ)

= −∑ρ

δλρa (p, ρ) = −a (p,λ)

a stejne pro b+ (p,λ)



Celkem tedy

a (p,λ) = −iε(λ) (p)∗ ·∫d3xe ip·x

←→∂ 0W (x)D

b+ (p,λ) = iε(λ) (p) ·∫d3xe−ip·x

←→∂ 0W (x)D

a hermitovským sdruzením

a+ (p,λ) = iε(λ) (p) ·∫d3xe−ip·x

←→∂ 0W (x)+D

b (p,λ) = −iε(λ) (p)∗ ·∫d3xe ip·x

←→∂ 0W (x)+D



Pro interagující pole v Heisenbergove obrazu, ve smyslu slabéoperátorové limity na Hin = Hout

W (x)Hx 0→±∞→ W (x)out ,in

= ∑λ

∫dp[ε

µ

(λ) (p) aout ,in(p,λ)e−ip·x + ε

µ

(λ) (p)∗ b+out ,in(p,λ)e

ip·x]

Tedy

−iε(λ) (p)∗ ·∫d3xe ip·x

←→∂ 0W (x)H

x 0→±∞→ aout ,in (p,λ)

iε(λ) (p) ·∫d3xe−ip·x

←→∂ 0W (x)H

x 0→±∞→ b+out ,in(p,λ)

iε(λ) (p) ·∫d3xe−ip·x

←→∂ 0W (x)+H

x 0→±∞→ a+out ,in (p,λ)

−iε(λ) (p)∗ ·∫d3xe ip·x

←→∂ 0W (x)+H

x 0→±∞→ bout ,in(p,λ)



Stejným postupem jako v prípade skalárního pole dostaneme tak LSZformule ve tvaru

Sfi = 〈k1,λ1 . . . , , k1,λ1 . . . out|p1, ρ1 . . . , , p1, ρ1 . . . in〉

=nf

∏i=1(−i) ε

µi(λi )(ki )

∗∫d4xieiki ·xi

(xi +m2

)×

nf

∏j=1(−i) ε

µi

(λj)

(k j)∗ ∫

d4x jei k j ·x j(x j +m2

)×

ni

∏l=1(−i) ενl

(ρl )(pl )

∫d4yle−ipl ·yl

(yl +m2

)×

ni

∏n=1

(−i) ενl(ρn)

(pn)∫d4yne−ipn ·y n

(y n +m2

)〈Ω|TW µ1(x1)H . . .W µ1(x1)+H . . .W ν1(y1)+H . . .W νni

(yni)|Ω〉



Totéz v impulsové representaci

Sfi = 〈k1,λ1 . . . , , k1,λ1 . . . out|p1, ρ1 . . . , , p1, ρ1 . . . in〉

= limon−shell

nf

∏i=1iεµi(λi )(ki )

∗ (k2i −m2) nf

∏j=1iε

µj

(λj)

(k j)∗ (

k2j −m2

)×

ni

∏l=1

iενl(ρl )(pl )

(p2l −m2

) ni

∏n=1

iενn(ρn)

(pn)(p2n −m2

)〈Ω|TW µ1(k1)H . . . W µ1(k1)+H . . . W ν1(−p1)+H . . . W νni

(−pni

)|Ω〉



Pole transformující se podle representace D(12 ,12 ) lze asociovat s

cásticemi se spinem s, kde

s ∈ |j1 − j2| , . . . , j1 + j2 = 0, 1

Vektorové pole lze zkonstruovat i na Fockove prostoru(pseudo)skalárních cástic se spinem s = 0 a hmotou mStandardní konstrukce dává

φµ (x) =∫dp(uµ (p) a+(p)e−ip·x + vµ (p) a+−(p)e

ip·x )kde vlnové funkce jsou

uµ (p) = L (p)µν u

ν (k) , vµ (p) = L (p)µν v

ν (k)

a v klidovém systému k = (m, 0)

J3 · u (k) = J± · u (k) = J3 · v (k) = J± · v (k) = 0



T.j. ctyrvektory u (k) a v (k) jsou invariantní vzhledem k rotacím,tedy az na fázi

u (k) , v (k) ∼ (1, 0) = 1m(m, 0) =

km

Vhodný výber fáze je

u (k) = −i km, v (k) = i

km

Obecne tak

u (p) = −v (p) = −i 1mL (p) · k = −i p

m

a

φµ (x) = − im

∫dp(pµa+(p)e−ip·x − pµa+−(p)e

ip·x )J. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 729 / 1311


T.j.

φµ (x) =1m

∂µφ (x)

kde φ (x) je skalární pole

φ (x) =∫dp(a+(p)e−ip·x + a+−(p)e

ip·x )Vektorové pole φµ (x) je tedy longitudinálníProtoze

(+m2

)φ (x) = 0, pro pole φµ (x) tak máme

− 1m

∂µφµ (x) = − 1m2

∂µ∂µφ (x) = φ (x)

pole φ (x) a φµ (x) tedy nejsou nezávislá, pro popis cástic se spinems = 0 lze pouzít libovolné z nich.Pole φµ (x) splnuje rovnici(

∂µ∂ν +m2ηµν

)φν (x) = 0



Cvicení: Ukazte, ze pro komutátor, normální kontrakci a chronologickoukontrakci dostaneme[

φµ (x) , φν (y)+]=

1m2

∫dppµpν

[e−ip·(x−y ) − eip·(x−y )

]= −∂µ∂ν

m2i∆ (x − y)

φµ (x) φν (y)+− : φµ (x) φν (y)+ := −∂µ∂ν

m2i∆+ (x − y)

Tφµ (x) φν (y)+− : φµ (x) φν (y)+ := −∂µ∂ν

m2i∆F (x − y)

+im2

ηµ0ην0δ(4) (x − y)



XV. Kanonické kvantování vektorového pole

Pro jednoduchost uvazujme reálné vektorové pole Vµ (x).Nejobecnejší Lagrangián v kvadratickém priblízení má tvar

L = Ω0 −12Z1 (∂ · V)2 −

12Z2∂µVν∂µVν − 1

2Z3∂µVν∂νVµ +

12

µV2

Ale máme

∂µVν∂νVµ = ∂µ (Vν∂νVµ)− Vν∂ν∂ · V= ∂µ (Vν∂νVµ)− ∂ν (Vν∂ · V) + (∂ · V)2

Tedy az na ctyrdivergenci muzeme psát

L = Ω0 −12ξ(∂ · V )2 − 1

4εVµνV µν +

12

ηm2V 2

kde ε = sign (Z2) , η = sign (µ), ξ = |Z2| (∑i Zi )−1, m2 = |µ/Z2|

aV = |Z2|1/2 V , Vµν = ∂µVν − ∂νVµ



Lagrangián je tak

L = Ω0 −12ξ(∂ · V )2 − 1

4εVµνV µν +

12

ηm2V 2

Tedy, protoze V αβ = ∂αV β − ∂βV α = −V βα, máme

∂L∂V µ

= ηm2Vµ

∂L∂ (∂νV µ)

= −1ξ

∂ · V∂(

ηαβ∂αV β)

∂ (∂νV µ)− 12

εVαβ∂V αβ

∂ (∂νV µ)

= −1ξ

∂ · V ηαβ

∂(∂αV β

)∂ (∂νV µ)

− εVαβ∂(∂αV β

)∂ (∂νV µ)

= −(1ξ

∂ · V ηαβ + εVαβ

)δα

νδβµ

= −1ξ

∂ · V ηνµ − εVνµ



Odtud máme Eulerovy-Lagrangeovy rovnice

∂ν ∂L∂ (∂νV µ)

− ∂L∂V µ

= −∂ν

(1ξ

∂ · V ηνµ + εVνµ

)− ηm2Vµ = 0

Po úprave (ε+ ηm2

)V µ −

(ε− 1

ξ

)∂µ (∂ · V ) = 0

Pro ε = η a ξ → ∞ máme tak Procovu rovnici s hmotou m,(+m2

)V µ − ∂µ (∂ · V ) = 0

pro ε = 0 a ξη > 0 dostaneme rovnici pro vektorové pole asociovanés cásticemi se spinem s = 0 a hmotou

√ξηm

∂µ (∂ · V ) + ξηm2V µ = 0



V obecném prípade rozlozme pole V µ na longitudinální atransverzální komponentu V µ = V µ

L + VµT , explicite

V µL =

∂µ∂ν

V ν, V µT = V

µ − V µL =

(δ

µν −

∂µ∂ν

)V ν

takze∂ · VL = ∂ · V , V µν

L = 0, ∂ · VT = 0

Máme formálne

∂µ∂ν

[(ε+ ηm2

)V ν −

(ε− 1

ξ

)∂ν (∂αV α)

]=

(ε+ ηm2

) ∂µ∂ν

V ν −(

ε− 1ξ

)∂µ∂α

V α

=(ε+ ηm2

)V µL −

(ε− 1

ξ

)V µ

L =1ξ

(+ ξηm2

)V µL



Podobne (δ

µν −

∂µ∂ν

) [(ε+ ηm2

)V ν −

(ε− 1

ξ

)∂ν (∂αV α)

]=

(ε+ ηm2

) (δ

µν −

∂µ∂ν

)V ν

=(ε+ ηm2

)V µT

Tedy V µL,T splnují tedy pro ε = η a ξη > 0 Kleinovy-Gordonovy

rovnice s obecne ruznými hmotami(+ ξηm2

)V µL = 0,(

+m2)V µT = 0

Pole V µ tedy obsahuje oproti Procovu poli dodatecné stupne volnosti,Lagrangián v termínech VL,T je az na ctyrdivergenci

L = Ω0 −12ξ(∂ · VL)2 +

12

ηm2V 2L −14

εVT µνVµνT +

12

ηm2V 2T



Hamiltonovský formalismus pro obecný prípad vektorového pole:

V obecném prípade máme ctyri zobecnené souradnice V 0 a V i .Zobecnené hybnosti jsou

π0 (x) =∂L

∂∂0V 0= −1

ξ∂0V 0 (x)−

1ξ

∂iV i

πi (x) =∂L

∂∂0V i= −εV0i (x)

Zobecnené rychlosti tak jsou

∂0V 0 (x) = −ξπ0 (x)− ∂iV i

∂0V i (x) =1ε

πi (x)− ∂iV 0 (x)

Všimneme si, ze limity ξ → ∞ a ε→ 0 jsou singulární

π0 (x)ξ→∞→ 0, πi (x)

ε→0→ 0

rychlosti pak nelze vyjádrit pomocí zobecnených hybnostíJ. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 737 / 1311


Cvicení: Ukazte, ze hustota Hamiltoniánu má tvar

H = π0∂0V 0 + πi∂0V i −L

=12ε

π2 +12

ε (∇×V)2 + 12

ηm2V2

−12

ξπ20 −12

ηm2(V 0)2

−π ·∇V 0 − π0∇ ·V−Ω0

a Hamiltonovy kanonické rovnice jsou

∂0V 0 = −ξπ0 −∇ ·V

∂0V (x) =1ε

π −∇V 0 (x)

∂0π0 = −∇ ·π + ηm2V 0

∂0π = −ε∇× (∇×V)−∇π0 − ηm2V



Limita ξ → ∞ a Procovo pole:

První Hamiltonova rovnice reprodukuje definici π0, v limite ξ → ∞

π0 = −1ξ

(∂0V 0 +∇ ·V

) ξ→∞→ 0

Tretí rovnici prepišme do tvaru

V 0 =1

ηm2(∂0π0 +∇ ·π)

ξ→∞→ 1ηm2

∇ ·π

V limite ξ → ∞ tyto rovnice neobsahují casové derivace, predstavujívazby na fázovém prostoru.

Kanonické promenné(π0,V 0

)nejsou v limite ξ → ∞ nezávislé,

nepredstavují dynamické stupne volnosti a jsou vyjádreny pomocí(π,V)



Po dosazení vazeb

π0 = 0, V 0 =1

ηm2∇ ·π

do hustoty Hamiltoniánu

H =12ε

π2 +12

ε (∇×V)2 + 12

ηm2V2

−12

ξπ20 −12

ηm2(V 0)2

−π ·∇V 0 − π0∇ ·V−Ω0

dostaneme

H ξ→∞→ HProca = −Ω0 +12ε

π2 +12

ε (∇×V)2 + 12

ηm2V2

− 12ηm2

(∇ ·π)2 − 1ηm2

π ·∇∇ ·π



Úpravou

− 1ηm2

π ·∇∇ ·π =1

ηm2(∇ ·π)2 − 1

ηm2∇· (π∇ ·π)

a tak az na trídivergenci

HProca = −Ω0 +12ε

π2 +12

ε (∇×V)2 + 12ηm2

(∇ ·π)2 + 12

ηm2V2

Positivita energie vyzaduje ε = η = 1, takze nakonec

HProca = −Ω0 +12

π2 +12(∇×V)2 + 1

2m2(∇ ·π)2 + 1

2m2V2

Pripomenme, ze Lagrangián Procova pole je formálneLProca = limξ→∞ L, tedy

LProca = Ω0 −14VµνV µν +

12m2V 2



Nekovariantní interakce pro Procovo pole:

Pridáme-li do obecného Lagrangiánu v prípade konecného ξ interakcníclen

LI = −HI = JµV µ = J0V 0 − J ·Vkde Jµ je sestrojen z ostatních polí (napr. Jµ = ψγµψ), modifikují sepohybové rovnice pro π0 a π

∂0π0 = −∇ ·π + ηm2V 0 + J0

∂0π = −ε∇× (∇×V)−∇π0 − ηm2V− J

V limite ξ → ∞ vazba na V 0 nyní zní

V 0 =1

ηm2(∇ ·π − J0

)t.j. v této limite opet

(π0,V 0

)nejsou nezávislé kanonické souradnice.



Hustota Hamiltoniánu má pak tvar

HProca (J) = −Ω0 +12

π2 +12(∇×V)2 + 1

2m2V2

− 12m2

(∇ ·π−J0

)2 − 1m2

π ·∇(∇ ·π − J0

)− JµV µ

Tedy az na trídivergenci

HProca (J) = HProca − JµV µ − 12m2

(J0)2

= HProca −1m2J0∇ ·π + J ·V+

12m2

(J0)2

a interakcní hustota Hamiltoniánu je

HProca,I = −1m2J0∇ ·π + J ·V+

12m2

(J0)2



Kanonické kvantování Procova pole

Fázový prostor Procova pole odpovídá nezávislým zobecnenýmsouradnicím V (x) a zobecneným hybnostem π (x)Predepíšeme kanonické komutacní relace[

V i (x) ,V j (y)]|x 0=y 0 =

[πi (x) ,πj (y)

]|x 0=y 0 = 0[

V i (x) ,πj (y)]|x 0=y 0 = iδijδ(3) (x− y)

Volný hamiltonián je

H0 =∫d3xHProca (x)

=∫d3x

[12

π2 +12(∇×V)2 + 1

2m2V2 +

12m2

(∇ ·π)2 −Ω0

]



Cvicení: Ukazte, ze Heisenbergovy pohybové rovnice volného pole majítvar

∂0V= π− 1m2∇ (∇ ·π)

∂0π =−∇× (∇×V)−m2V

Definujme ješte

V 0 =1m2∇ ·π

a polozmeV µ ≡

(V 0,V

)Cvicení: Ukazte, ze z Heisenbergových rovnic pak plyne(

+m2)V µ − ∂µ (∂ · V ) = 0

t.j. V µ (x) splnuje Procovu rovnici.



Cvicení: Pomocí kanonických komutacních relací ve stejných casechdokazte, ze platí[

V 0 (x) ,V i (y)]|x 0=y 0 = − i

m2∂i δ

(3) (x− y)[∂0V i (x) ,V j (y)

]|x 0=y 0 = −i

(δij +

∂i∂jm2

)δ(3) (x− y)[

∂0V i (x) ,V 0 (y)]|x 0=y 0 =

[∂0V 0 (x) ,V j (y)

]|x 0=y 0 = 0[

∂0V 0 (x) ,V 0 (y)]|x 0=y 0 =

im2∇2δ(3) (x− y)[

∂0V i (x) , ∂0V j (y)]|x 0=y 0 =

[∂0V 0 (x) , ∂0V 0 (y)

]|x 0=y 0 = 0[

∂0V 0 (x) , ∂0V j (y)]|x 0=y 0 =

im2(−∇2 +m2

)∂jδ(3) (x− y)



Jak víme z predchozího, obecné hermitovské rešení Procovy rovnicelze psát ve tvaru

V µ (x) = ∑λ

∫dp[ε

µ


µ


]kde tri nezávislé polarizacní vektory splnují

p · ε(λ) (p) = 0, ε(λ) (p) · ε(λ′) (p)∗ = −δλλ′

a operátorové koeficienty jsou

a (p,λ) = −iε(λ) (p)∗ ·∫d3xe ip·x

←→∂ 0V (x)

a+ (p,λ) = iε(λ) (p) ·∫d3xe−ip·x

←→∂ 0V (x)



Cvicení: Ukazte pomocí kanonických komutacních relací ve stejnýchcasech, ze platí[

a (p,λ) , a(p′,λ′

)]=

[a+ (p,λ) , a+

(p′,λ′

)]= 0[

a (p,λ) , a+(p′,λ′

)]= (2π)3 2E (p) δλλ′δ

(3) (p− p′)Cvicení: Ukazte, ze pri vhodné volbe (divergentního) kontrclenu Ω0 lzeHamiltonián H0 vyjádrit pomocí operátoru a (p,λ), a+ (p,λ) ve tvaru

H0 = ∑λ

∫dpE (p) a+(p,λ)a(p,λ)

Podobne pro generátory translací, rotací a boostu. Pri Lorentzovýchtransformacích pak platí

U (Λ)+ V µ (Λx)U (Λ) = ΛµνV

ν (x) , V µ =

(1m2∇ ·π,V

)Tím je zrekonstruováno Procovo pole metodou kanonickéhokvantování



Jak víme, propagátor Procova pole obsahuje nekovariantní clen

V µ (x)V ν (y) = i∆µνF +

im2

ηµ0ην0δ(4) (x − y)

i∆µνF = −

(ηµν +

∂µ∂ν

m2

)i∆F (x − y)

Stejne tak Interakcní Hamiltonián je nekovariantní. Máme totiz, jakjsme jiz ukázali

HProca,I = −1m2J0∇ ·π + J ·V−

12m2

(J0)2

a tak v Diracove obrazu

HProca,ID =: −JµDVµD −

12m2

(J0D)2 :

nebo ,t pro volné pole

V 0D (x) =1m2∇ ·πD (x)



Ukazme, jak se nekovariantní príspevky navzájem vyruší v nejnizšímrádu poruchové teorie.Pro Dysonuv rozvoj S−matice máme

S = 1− i∫d4x :

(−JµD (x)V

µD (x)−

12m2

(J0D (x)

)2) :

−12

∫d4xd4yT

[:(−JµD (x)V

µD (x) +

12m2

(J0D (x)

)2) :

× :(−JνD (y)V

νD (y) +

12m2

(J0D (y)

)2) :]+ . . .

Uvazujme cleny kvadratické v J, t.j.

SJJ = i∫d4x

12m2

:(J0D (x)

)2 :

−12

∫d4xd4yT

[: JµD (x)V

µD (x) :: JνD (y)V

νD (y) :



Wickuv rozvoj posledního clenu obsahuje kontrakci

SJJ 3 −12

∫d4xd4y : JµD (x)V

µ (x)V ν (y) JνD (y) :

= −12

∫d4xd4y : JµD (x) i∆

µνF (x − y) JνD (y) :

−12

∫d4xd4y : JµD (x)

im2

δ(4) (x − y) ηµ0ην0JνD (y) :

= −12



−∫d4x

i2m2

:(J0D (x)

)2 :

Celkem se tedy nekovariantní cleny navzájem vyruší a máme

SJJ = −12





Obecný prípad - ξ konecné

V obecném prípade máme nezávislé zobecnené souradnice V µ (x) azobecnené impulsy πµ (x), (zde klademe ε = η = 1, ξ > 0)

π0 (x) = −1ξ

∂0V 0 (x)−1ξ

∂iV i

πi (x) = −V0i (x)Kanonické komutacní relace ve stejných casech mají tvar

[V µ (x) ,V ν (y)] |x 0=y 0 =[πµ (x) ,πν (y)

]|x 0=y 0 = 0

[V µ (x) ,πν (y)] |x 0=y 0 = iδµν δ(3) (x− y)

Volný Hamiltonián je

H0 =∫d3x

[−Ω0 +

12

π2 +12(∇×V)2 + 1

2m2V2

−12

ξπ20 −12m2(V 0)2 −π ·∇V 0 − π0∇ ·V



Heisenbergovy pohybové rovnice znejí

∂0V 0 = −ξπ0 −∇ ·V∂0V (x) = π −∇V 0 (x)

∂0π0 = −∇ ·π +m2V 0

∂0π = −∇× (∇×V)−∇π0 −m2V

a jsou ekvivalentní rovnici(+m2

)V ν −

(1− 1

ξ

)∂ν∂αV α = 0

resp. rovnicím(+ ξm2

)V µL = 0,

(+m2

)V µT = 0

pro longitudinální a transversální komponentu.



Obecné rešení lze psát ve tvaru V µ = V µL + V

µT , kde

V µT (x) = ∑

λ

∫dp[ε

µ


µ


]je Procovo pole s hmotou m a

V µL (x) = −

im

∫dk(kµaL(p)e−ik ·x − kµa+L (p)e

ik ·x)=1m

∂µφL (x)

kdeφL (x) =

∫dk(aL(p)e−ik ·x + a+L (p)e

ik ·x)

je skalární pole s hmotou√

ξm, tedy v techto formulích

dp =d3p

(2π)3 2p0, p0 =

√p2 +m2, dk =

d3k(2π)3 2k0

, k0 =√p2 + ξm2

a tri lineárne nezávislé polarizacní vektory splnují

p · ε(λ) (p) = 0, ε(λ) (p) · ε(λ′) (p)∗ = −δλλ′



Cvicení: Ukazte, ze kanonické komutacní relace ve stejných casechimplikují komutacní relace[

V α (x) ,V β (y)]|x 0=y 0 = 0[

∂0V 0 (x) ,V α (y)]|x 0=y 0 = iξηα0δ(3) (x− y) ,[

∂0V i (x) ,V α (y)]|x 0=y 0 = iηiαδ(3) (x− y)[

∂0V 0 (x) , ∂0V 0 (y)]|x 0=y 0 =

[∂0V i (x) , ∂0V j (y)

]|x 0=y 0 = 0[

∂0V 0 (x) , ∂0V i (y)]|x 0=y 0 = (1− ξ) i∂i δ

(3) (x− y)



Cvicení: Ukazte, ze kanonické komutacní relace ve stejných casechimplikují komutacní relace[

a (p,λ) , a+(p′,λ′

)]= (2π)3 2

√p2 +m2δλλ′δ

(3) (p− p′)[aL (k) , a

+L

(k ′)]

= − (2π)3 2√k2 + ξm2δ(3)

(k− k′

)Všimneme si znaménka “−“ na pravé strane komutátoru[aL (k) , a+L (k

′)]. Fockovská representace techto relací, pro niz

aL (k) |0〉 = 0, a+L (k) = (aL (k))+

pak nedává positivne definitní skalární soucin, standardnípravdepodobnostní interpretace není mozná!

Jednocásticové stavy s negativní normou jsou tzv. duchy, jejichprítomnost v teorii predstavuje vzdy patologii, kterou je treba ošetrit.



Cvicení: Ukazte, ze s uzitím pohybových rovnic pro Hamiltonián on-shelldostaneme

H0 =∫d3x

12

[V 0iT V

0iT + (∇×VT )

]− V 0iT ∂iV 0T −

12m2V 2T

−12

[(∂0φL)

2 + (∇φL)2 + ξm2φ2L

]−Ω0

kde jsme oznacili

φL (x) = −m∂ · VL (x)Cvicení: S uzitím predchozího výsledku ukazte, ze pro vhodnou volbukontrclenu Ω0 dostaneme

H0 = ∑λ

∫dp√p2 +m2a+(p,λ)a(p,λ)−

∫dk√k2 + ξm2a+L (k)aL(k)

Všimneme si “−“ u príspeveku duchu se spinem s = 0. Prostandardní relace pro a+L (p) a aL(p) by byl systém formálne nestabilní!



Spocteme ješte komutátor

[V µ (x) ,V ν (y)] =[V µT (x) ,V

νT (y)

]+[V µL (x) ,V

νL (y)

]Ale V µ

T (x) je Procovo pole, tedy[V µT (x) ,V

νT (y)

]= −

(ηµν +

∂µ∂ν

m2

)i∆ (x − y ,m)

V µL (x) je az na normalizaci vektorové pole asociované se skalárnímduchovým polem φL (x), odkud[V µL (x) ,V

νL (y)

]=

∂µx ∂νy

m2[φL (x) , φL (y)] =

∂µ∂ν

m2i∆(x − y ,

√ξm)

Ale[φL (x) , φL (y)] = −i∆

(x − y ,

√ξm)

Zde je opacné znaménko oproti standardnímu skalárnímu poli, nebo ,tkreacní a anihilacní operátory komutují s opacným znaménkem.



Celkem tedy

[V µ (x) ,V ν (y)] = −(

ηµν +∂µ∂ν

m2

)i∆ (x − y ,m)

+∂µ∂ν

m2i∆(x − y ,

√ξm)

Normální kontrakce jsou analogicky

V µ (x)V ν (y)− : V µ (x)V ν (y) :=

= −[

ηµν +∂µ∂ν

m2

]i∆+ (x − y ,m)

+∂µ∂ν

m2i∆+

(x − y ,

√ξm)



Chronologická kontrakce

V µ (x)V ν (y) = TV µ (x)V ν (y)− : V µ (x)V ν (y) :=

= θ(x0 − y0

) [−(

ηµν +∂µ∂ν

m2

)i∆+ (x − y ,m)

+∂µ∂ν

m2i∆+

(x − y ,

√ξm)]

+θ(y0 − x0

) [−(

ηµν +∂µ∂ν

m2

)i∆+ (y − x ,m)

+∂µ∂ν

m2i∆+

(y − x ,

√ξm)]



Po úprave

V µ (x)V ν (y) = TV µ (x)V ν (y)− : V µ (x)V ν (y) :=

=

[−(

ηµν +∂µ∂ν

m2

)i∆F (x − y ,m) +

im2

ηµ0ην0δ(4) (x − y)]

+

[∂µ∂ν

m2i∆F

(x − y ,

√ξm)− im2

ηµ0ην0δ(4) (x − y)]

Všimneme si, ze díky opacnému znaménku u príspevku od skalárníhoduchového pole se nekovariantní cleny navzájem vyruší a máme takkovariantní propagátor

V µ (x)V ν (y) = −(

ηµν +∂µ∂ν

m2

)i∆F (x − y ,m)

+∂µ∂ν

m2i∆F

(x − y ,

√ξm)



V impulsové representaci pak

V µ (x)V ν (y) =∫ d4p

(2π)4e−ip·(x−y )i ∆µν

ξ (p)

kde

i ∆µνF (p, ξ) = −

(ηµν − p

µpν

m2

)i

p2 −m2 + i0 −pµpν

m2i

p2 − ξm2 + i0

V limite ξ → ∞ zrekonstruujeme kovariantní propagátor Procova pole

i ∆µνF (p, ξ)

ξ→∞→ i ∆µνF (p) = −

(ηµν − p

µpν

m2

)i

p2 −m2 + i0



Pridejme k volnému lagrangiánu

L = Ω0 −12ξ(∂ · V )2 − 1

4εVµνV µν +

12

ηm2V 2

interakcní clenLI = JµV µ = J0V 0 − J ·V

kde Jµ je sestrojen z ostatních polí φa (x), t.j. Jµ (x) = Jµ (φa (x))

Na rozdíl od Procova pole π0 (x) 6= 0 a V 0 (x) je nezávislá kanonickápromenná, protoze LI nezávisí na derivacích, máme

HI = −LI = −JµV µ

a Hamiltonián neobsahuje nekovariantní clenyPohybové rovnice pak mají tvar(

+m2)V µ −

(1− 1

ξ

)∂µ∂αV α = Jµ



Ctyrdivergence této rovnice dává

1ξ

(+ ξm2

)∂ · V = ∂ · J

Pokud se tedy proud J zachovává, t.j. platí-li

∂ · J = 0

máme (+ ξm2

)∂ · V = 0

resp. protoze VL = (∂/) ∂ · V(+ ξm2

)VL = 0

a pole VL (x) zustává volné i v interagujcí teorii



Skalární duchy se tudíz neucastní interakcePišme Hilbertuv prostor interagující teorie ve tvaru

H = HVT ,φ ⊗HVLkde HVT ,φ je Fockuv prostor Procova pole VT a ostatních polí φa aHVL je Fockuv prostor skalárních duchuS−matice má pak faktorizovaný tvar

S = SVT ,φ ⊗ 1Na prostoru s indefinitní metrikou HVL je tak S−matice triviální.Omezíme-li se tedy na prostor HVT ,φ a S−matici SVT ,φ, t.j.pocítáme-li maticové elementy mezi stavy typu

|i , f 〉 ⊗ |0〉L, |i , f 〉 ∈ HVT ,φ, |0〉L ∈ HVLnemáme problém se skalárními duchy. Podmínka ∂ · J = 0 je tak vobecném prípade ξ 6= ∞ postacující podmínkou pro konsistentníporuchovou teorii.



Upravme ješte i ∆µνF (p, ξ) =

−(

ηµν − pµpν

m2

)i

p2 −m2 + i0 −pµpν

m2i

p2 − ξm2 + i0

= − iηµν

p2 −m2 + i0 + (1− ξ)ipµpν

(p2 − ξm2 + i0) (p2 −m2 + i0)Na rozdíl od Procova pole limita m→ 0 existuje a je konecná

i ∆µνF (p, ξ)

m→0→ − ip2 + i0

[ηµν − (1− ξ)

pµpν

p2

]Asymptotika pro p → ∞ je v prípade Procova pole

i ∆µνF (p) = O (1) , p → ∞

Pro i ∆µνF (p, ξ) máme, podobne jako u skalárního pole, príznivejší

asymptotikui ∆µνF (p, ξ) = O

(p−2



XVII. Príklad interagující teorie s hmotným vektorovým polem:Elektrodynamika s hmotným fotonem

Uvazujme model popisující interakci nabitých fermionu se spinems = 1/2 a hmotou m a neutrálních cástic se spinem s = 1 a hmotouµ, s vnitrní paritou ηP = −1 a nábojovou paritou ζ = −1Ke konstrukci interakcního Lagrangiánu LI pouzijeme Diracovo poleψ (x) a hermitovské vektorové pole V µ (x)

Volný Lagrangián zvolíme ve tvaru

L0 = Ω0 −12ξ(∂ · V )2 − 1

4VµνV µν +

12

µ2V 2

+ψ (x) (iγ · ∂−m)ψ (x)

Jak uvidíme v dalším, pokud bychom místo toho volili pro pole V µ

Procuv Lagrangián ξ → ∞, výsledná poruchová teorie by nebylarenormalizovatelná



Pro LI budeme pozadovat1 Lokalitu, t.j.

LI (x) = ∑igiOi

(ψ (x) ,ψ (x) ,V µ (x)

)2 Hermiticitu, t.j. L+I = LI3 Lorentzovskou invarianci, t.j.

U (Λ)LI (x)U (Λ)+ = LI (Λx)

4 Invarianci vzhledem k parite, t.j.

PLI (x)P+ = LI (x)

5 Invarianci vzhledem k nábojové konjugaci, t.j.

CLI (x) C+ = LI (x)

6 Renormalizovatelnost, t.j. dimOi ≤ 4J. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 768 / 1311


Predchozí pozadavky redukují mozné operátory na dva

O1 = −ψ (x) γµψ (x)V µ (x) , O2 = (V · V )2

T.j. oznacíme-li g1 = e, g2 = g/4, máme

LI = −eψγµψV µ − g4(V · V )2

Cvicení: Ukazte, ze Heisenbergovy pohybové rovnice jsou ekvivalentnírovnicím

iγ · ∂ψ− eV µγµψ−mψ = 0

−iγ · ∂ψ− eV µψγµ −mψ = 0(+ µ2

)V µ −

(1− 1

ξ

)∂µ∂αV α = −eψ (x) γµψ (x) + g (V · V )V µ

Cvicení: Ukazte, ze tyto rovnice implikují zachování fermionového proudu

∂µeψ (x) γµψ (x) = 0



V prípade g = 0 se tedy skalární duchy dekuplují. Jak uvidíme vdalším, clen s operátorem O2 = (V · V )2 není nutný ani jakokontrclen ve vyšších rádech poruchové teorieJako výchozí interakcní Lagrangián v Diracove obrazu tedy vezmeme

LID = −e : ψDγµψDVµD :

Feynmanova pravidla pro Greenovy funkce v x−representaci pak znejí



Feynmanova pravidla pro Greenovy funkce v p−representaci jsou

kde

i ∆µνF (p, ξ) = − iηµν

p2 − µ2 + i0

+ (1− ξ)pµpν

(p2 − ξµ2 + i0) (p2 − µ2 + i0)



Od Greenových funkcí k S−matici prejdeme pomocí LSZ formulí,pripomenme jejich formu pro neutrální cástice se spinem s = 1 ahmotou µ asociované s hermitovským polem V µ v in- a out- stavech

Sfi = 〈k1,λ1 . . . , out|p1, ρ1 . . . , in〉

= limon−shell

nf

∏i=1iεµi(λi )(ki )

∗ (k2i − µ2) ni

∏l=1

iενl(ρl )(pl )

(p2l − µ2

)×〈Ω|TV µ1(k1)H . . . V ν1(−p1)H . . . |Ω〉

Napr. pro cástici s impulsem k a spinem (helicitou) λ v koncovémstavu schematicky



Ale protoze ε(λ) (k)∗ · k = 0, máme

limk 2→µ2

iε(λ)µ (k)∗ (k2 − µ2

)i ∆µνF (k, ξ) =

= limk 2→µ2

iε(λ)µ (k)∗ (k2 − µ2

) [− iηµν

k2 − µ2 + i0

+ (1− ξ)kµkν

(k2 − ξµ2 + i0) (k2 − µ2 + i0)

]= εν

(λ) (k)∗ +

ε(λ) (k)∗ · k

µ2kν = εν

(λ) (k)∗

Vnejším vektorovým linkám pri výpoctu S−matice pak odpovídajípravidla



Jako príklad aplikace Feynmanových pravidel spocítejme amplitudupruzného fermion-antifermionového rozptyluψ (pi , si )ψ (pi , s i )→ ψ (pf , sf )ψ (pf , s f )Prispívají dva grafy

i (T cfi )s = u(pf , sf )ieγµv(pf , s f )i ∆µνF (pi + pi ) v(pi , s i )ieγνu (pi , si )

i (T cfi )t = u(pf , sf )ieγµu (pi , si ) i ∆µνF (pi − pf ) v(pi , s i )ieγνv(pf , s f )



Ukazme, ze podélné cleny v propagátorech i ∆µνF (pi + pi ) a

i ∆µνF (pi − pf ) neprispejí

Vskutku, spocteme napr.

(pi + pi )µ v(pi , s i )γµu (pi , si )

= v(pi , s i ) [(γ · pi −m) + (γ · pi +m)] u (pi , si )ale jak víme, pro vlnové funkce platí Diracova rovnice vp−representaci ve tvaru

(γ · pi −m) u (pi , si ) = 0

v(pi , s i ) (γ · pi +m) = 0

tedy(pi + pi )

µ v(pi , s i )γµu (pi , si ) = 0

Cvicení: Ukazte obdobne, ze

(pi − pf )µ u(pf , sf )ieγµu (pi , si ) = 0



Efektivne muzeme tedy polozit ve formulích pro amplitudy

i ∆µνF (pi + pi )

eff= − iηµν

(pi + pi )2 − µ2

= − iηµν

s − µ2

i ∆µνF (pi − pf )

eff= − iηµν

(pi − pf )2 − µ2= − iηµν

t − µ2

kde Mandelstamovy promenné jsou

s = (pi + pi )2

t = (pi − pf )2

u = (pi − pf )2



Celkem máme (se zapoctením znaménka “−“ za preznacenéfermionové linky téhoz typu na úrovni Greenovy funkce)

iT cfi = i (T cfi )t − i (T cfi )s

=ie2

t − µ2u(pf , sf )γµu (pi , si ) v(pi , s i )γ

µv(pf , s f )

− ie2

s − µ2u(pf , sf )γµv(pf , s f )v(pi , s i )γ

µu (pi , si )

Podobne jako v prípade Yukavovy interakce spocteme expliciteu(pf , sf )γµu (pi , si ). Máme v chirální representaci

u (pi , si ) =γ · pi +m√2 (Ei +m)

(χsiχsi

)u(pf , sf ) =

(χ+sf ,χ

+sf

) γ · pf +m√2 (Ef +m)



Cvicení: Ukazte, ze v CMS

u(pf , sf )γ0u (pi , si ) = (ECMS +m) χ+sf

[1+

(pf · σ) (pi · σ)(ECMS +m)

2

]χsi

u(pf , sf )γu (pi , si ) = χ+sf [σ (pi · σ) + (pf · σ)σ] χsi

a podobne

v(pi , s i )γ0v(pf , s f ) = (ECMS +m) χ+s f

[1+

(pf · σ) (pi · σ)(ECMS +m)

2

]χs i

v(pi , s i )γiv(pf , s f ) = χ+s f [σ (pi · σ) + (pf · σ)σ] χs i


Cástice s nulovou hmotou

Cásticím s nulovou hmotou odpovídají stavy |p, σ〉 v Hilberoveprostoru, kde p2 = 0 a σ jsou diskrétní kvatová císla.Podobne jako pro cástice s nenulovou hmotou, obecný impuls p lzezískat kanonickým boostem ze standardního nulového ctyrvektoru k

p = L (p) k, k = (E , 0, 0,E ) , E > 0

Standardní boost má tvar

L (p) = B−p (u)R (p)

kde R (p) je rotace prevádející jednotkový vektor ve smeru tretí osydo smeru tríimpulsu p

R (p) e3 = p

a B−p (u) je boost ve smeru −p a rapiditou u

B−p (u) = exp (−iup ·N) , u = ln|p|E



Konkrétním výber rotace R (p) není jednoznacnýObecne lze R (p) parametrizovat pomocí Eulerových úhlu

U (R (p)) = U (R3 (α)R2 (β)R3 (γ)) = exp(iαJ3

)exp

(iβJ2

)exp

(iγJ3

)a protoze R3 (γ) e3 = e3, platí

R (p) e3 = R3 (α)R2 (β) e3 = R3 (α) (e3 cos β− (e2 × e3) sin β)

= R3 (α) (e3 cos β− e1 sin β) = e3 cos β− sin βR3 (α) e1= e3 cos β− sin β (e1 cos α− e3 × e1 sin β sin α)

= e3 cos β− e1 sin β cos α+ e2 sin β sin α

Je-li tedy v polárních souradnicích p = (sin ϑ cos φ, sin ϑ sin φ, cos ϑ),máme

α = −φ, β = −ϑ,

φ ∈ 〈0, 2π), ϑ ∈ 〈0,π〉a γ je libovolné. Standardní volba je γ = 0



Infinitesimální transformace Λµν = δ

µν +ω

µν, vuci kterým je

standardní vektor k invariantní, splnují

ωµνkν = 0

tedyω03 = −ω30 = 0, ωi0 +ωi3 = 0

resp.

ω =i2

ωαβ

(Mαβ

)= iωi0M i0 + iω12M12 + iω13M13 + iω23M23

= iω12M12 + iω13(M13 −M10)+ iω23

(M23 −M20)

= −iω12J3 − iω13(−J2 +N1

)− iω23

(J1 +N2

)Oznacme

T 1 = J1 +N2, T 2 = −J2 +N1

potom podgrupa invariance standardního impulsu k je tríparametrická

S (θ; ai ) = exp(iθJ3) exp(iaiT i



Cvicení: Ukazte, ze platí komutacní relace[T i ,T j

]= 0,

[J3,T i

]= −iεijT j

kde εij = −εji , ε12 = 1 je dvoudimenzionální Levi-Civituv symbol.Podgrupa invariance je tedy grupa isometrií abstraktní roviny ISO (2),T i jsou generátory translací a J3 je generátor rotaceRepresentace Poincarého grupy na prostoru jednocásticových stavucástic s nulovou hmotou se nyní konstruují standardne. Definujme

|p, σ〉 = U (L (p)) |k , σ〉, k = (E , 0, 0,E )

Pµ|k, σ〉 = kµ|k , σ〉Pro translace pak máme standardním postupem

Pµ|p, σ〉 = PµU (L (p)) |k, σ〉= U (L (p))U (L (p))+ PµU (L (p)) |k , σ〉= U (L (p)) L (p)µ

ν Pν|k, σ〉 = U (L (p)) L (p)µ

ν kν|k , σ〉

= pµU (L (p)) |k, σ〉 = pµ|p, σ〉J. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 782 / 1311


Odtud

PµU (Λ) |p, σ〉 = U (Λ)U (Λ)+ PµU (Λ) |p, σ〉 = Λµνp

νU (Λ) |p, σ〉

a takU (Λ) |p, σ〉 = ∑

ρ

Cσρ (p,Λ) |Λp, ρ〉

Specilne pro podgrupu invariance standardního impulsu k

U (S (θ; ai )) |k, σ〉 = ∑ρ

Dσρ (θ; ai ) |S (θ; ai ) k, ρ〉

= ∑ρ

Dσρ (θ; ai ) |k , ρ〉

Podprostor natazený na vektory |k, ρ〉 tedy nese repesentaci podgrupyinvariance ISO (2)



Representace grupy ISO (2) jsou známé, ne všechny však majífyzikální význam.Protoze

[T i ,T j

]= 0, lze v representacním prostoru ireducibilní

representace ISO (2) najít basi spolecných vlastních vektoru

T i |λi , h〉 = λi |λi , h〉Cvicení: Ukazte, ze

exp(−iθJ3

) ( T 1

T 2

)exp

(iθJ3

)=

(T 1 cos θ − T 2 sin θT 2 cos θ + T 1 sin θ

)Odtud dokazte, ze

T 1 exp(iθJ3

)|λi , h〉 =

(λ1 cos θ − λ2 sin θ

)exp

(iθJ3

)|λi , h〉

T 2 exp(iθJ3

)|λi , h〉 =

(λ2 cos θ + λ1 sin θ

)exp

(iθJ3

)|λi , h〉

Tedy spektrum vlastních hodnot λi je spojité, pokud(λ1,λ2

)6= (0, 0).



Jednocásticové stavy mají ale konecný pocet diskrétních kvantovýchcísel, jediná fyzikálne akceptovatelná representace odpovídá tedyλi = 0.V tomto prípade

T i exp(iθJ3

)|λi = 0, h〉 = 0

t.j. podprostor natazený na |λi = 0, h〉 je invariantní vzhledem k J3

Dále platí [J3,T i

]|λi = 0, h〉 = iεijT j |λi = 0, h〉 = 0

a na podprostoru natazeném na |λi = 0, h〉 všechny generátoryISO (2) komutují. Lze tedy najít bazi vlastních vektoru J3

J3|λi = 0, h〉 = h|λi = 0, h〉a

exp(iθJ3

)|λi = 0, h〉 = e iθh |λi = 0, h〉



Fyzikálne akceptovatelné ireducibilní representace D grupyISO (2)jsou tedy jednorozmerné,

D(exp

(iθJ3

))= e iθh

Jednocásticové stavy |k, h〉 lze tedy charakterizovat jako spolecnévlastní stavy J3 a T i s vlastními hodnotami h a λi = 0

J3|k, h〉 = h|k, h〉T i |k, h〉 = 0

pro nezU (S (θ; ai )) |k, h〉 = e iθh |k, h〉

Protoze k je orientován ve smeru tretí osy, h má význam projekceimpulsmomentu do smeru impulsu, t.j. h je helicitaProtoze J3 je generátor grupy rotací SO(3), mozné hodnoty h jsou

h = 0,±12,±1,±3

2, . . .



Stavy s obecným impulsem p a helicitou h jsou pak

|p, h〉 = U (L (p)) |k, h〉

Pro Lorentzovy transformace pak máme

U (Λ) |p, h〉 = U (Λ)U (L (p)) |k, h〉= U (L (Λp))U (L (Λp))+ U (Λ)U (L (p)) |k, h〉= U (L (Λp))U

(L (Λp)−1 ΛL (p)

)|k, h〉

AleL (Λp)−1 ΛL (p) k = L (Λp)−1 Λp = k

tedy

W (p,Λ) = L (Λp)−1 ΛL (p) ≡ S (θ (p,Λ) ; ai (p,Λ)) ∈ ISO (2)



Odtud

U (Λ) |p, h〉 = U (L (Λp))U (W (p,Λ)) |k, h〉= e iθ(p,Λ)hU (L (Λp)) |k , h〉 = e iθ(p,Λ)h |Λp, h〉

NakonecU (Λ) |p, h〉 = e iθ(p,Λ)h |Λp, h〉

kde

L (Λp)−1 ΛL (p) = exp(iθ (p,Λ) J3

)exp

(iai (p,Λ)T i

)Pokud normalizujeme

〈p′, h′|p, h〉 = (2π)3 2 |p| δ(3)(p− p′

)je tato representace unitární



Diskrétní symetrie

Jak víme

PPµP+ = Pµ = Pµ, P+PµP = Pµ = Pµ

a tak pro k = (E , 0, 0,E )

PµP|k, h〉 = PP+PµP|k, h〉 = P Pµ|k, h〉 = kµP|k , h〉

kde k = (E , 0, 0,−E )Podobne, v dusledku relace

PJ3P+ = J3, t.j. PJ3 = J3P

mámeJ3P|k, h〉 = PJ3|k, h〉 = hP|k , h〉

Stav P|k, h〉 je tedy jednocásticovým stavem s nulovou hmotou,impulsem k, a tretí komponentou impuslmomentu h. Projekceimpulsmomentu do smeru impulsu je tedy −h.



Stav P|k, h〉 je dán tedy az na fázi ηP

P|k, h〉 = ηP |k ,−h〉

Stav |k,−h〉 je zkonstruován pomocí standardního stavu |k,−h〉standardním predpisem

|k,−h〉 = U(L(k))|k,−h〉 = U (R (−e3)) |k,−h〉

kde R (−e3) je rotace, prevádející e3 v −e3Na rozdíl od cástic s nenulovou hmotou, P neponechává podprostornatazený na |k, h〉 invariantní. Stav P|k, h〉 = ηP |k,−h〉 máopacnou helicitu nez |k, h〉



Máme tedy pro kanonický impuls

P|k, h〉 = ηP |k ,−h〉

Pro obecný impuls pak

P|p, h〉 = PU (L (p)) |k, h〉 = PU (L (p))P+P|k, h〉= PU (L (p))P+ηP |k,−h〉

Dále, protoze PJP+ = J, máme

PU (L (p))P+ = PU (B−p (u)R (p))P+

= PU (B−p (u))P+PU (R (p))P+

= PU (B−p (u))P+U (R (p))

Protoze PNP+ = −N, je

PU (B−p (u))P+ = P exp (−iup ·N)P+ = exp (iup ·N) = U (Bp (u))



Máme tak

P|p, h〉 = ηPPU (L (p))P+|k,−h〉= ηP (h)U (Bp (u))U (R (p)) |k,−h〉

Na druhou stranu

|k,−h〉 = U(L(k))|k,−h〉 = U (R (−e3)) |k,−h〉

kde R (−e3) je rotace, prevádející e3 v −e3, takze

P|p, h〉 = ηP (h)U (Bp (u))U (R (p)R (−e3)) |k ,−h〉= ηP (h)U (Bp (u)R (−p))×U

(R (−p)−1 R (p)R (−e3)

)|k,−h〉

= ηP (h)U (L (p))U(R (−p)−1 R (p)R (−e3)

)|k,−h〉



Ale

R (−p)−1 R (p)R (−e3) e3 = −R (−p)−1 R (p) e3 = −R (−p)−1 p= R (−p)−1 (−p) = e3

tedy je to rotace, nemenící e3, a tak musí být

U(R (−p)−1 R (p)R (−e3)

)= exp

(iθ (p) J3

)Odtud

P|p, h〉 = ηPU (L (p)) exp(iθ (p) J3

)|k,−h〉

= ηPe−iθ(p)hU (L (p)) |k,−h〉 = ηPe−iθ(p)h |p,−h〉

Tvar fáze θ (p) závisí na konkrétním výberu kanonických rotací R (p).



Pro p = (sin ϑ cos φ, sin ϑ sin φ, cos ϑ), pri výberu

U (R (p)) = exp(−iφJ3

)exp

(−iϑJ2

),

U (R (−e3)) = exp(−iπJ2

)kde φ ∈ 〈0, 2π), ϑ ∈ 〈0,π〉, je v závislosti na znaménku p · e2

U (R (−p)) = exp(−i (φ± π) J3

)exp

(−i(π − ϑ)J2

)kde píšeme ±π = sign (p · e2)π, t.j.

U(R (−p)−1

)= exp

(i(π − ϑ)J2

)exp

(i (φ± π) J3

)



OdtudU(R (−p)−1 R (p)R (−e3)

)=

= exp(i(π − ϑ)J2

)exp

(i (φ± π) J3

)× exp

(−iφJ3

)exp

(−iϑJ2

)exp

(−iπJ2

)= exp

(−iϑJ2

)exp

(iπJ2

)exp

(±iπJ3

)exp

(−iπJ2

)exp

(−iϑJ2

)Ale

exp(iπJ2

)exp

(±iπJ3

)exp

(−iπJ2

)= exp

(∓iπJ3

)a tak

U(R (−p)−1 R (p)R (−e3)

)= exp

(−iϑJ2

)exp

(∓iπJ3

)exp

(−iϑJ2

)= exp

(∓iπJ3



Nakonec mámeP|p, h〉 = ηPe−iθ(p)h |p,−h〉

kdeθ (p) = −πsign (p · e2)

Analogicky, protoze

T PµT + = Pµ = Pµ, T J3T + = −J3

máme az na fázi

T |k, h〉 = ζ|k, h〉 = ζU (R (−e3)) |k, h〉

Odtud

T |p, h〉 = T U (L (p)) |k, h〉 = T U (L (p)) T +T |k, h〉= ζT U (L (p)) T +|k, h〉= ζT U (L (p)) T +U (R (−e3)) |k, h〉



Protoze T NT + = N, máme

T U (L (p)) T + = T U (B−p (u)) T +T U (R (p)) T +

= U (Bp (u))U (R (p))

Stejne jako v prípade parity je tak nakonec

T U (L (p)) T +U (R (−e3)) = U (L (p)) exp(iθ (p) J3

)odkud

T |p, h〉 = ζeiθ(p)h |p, h〉kde pro volbu

U (R (p)) = exp(−iφJ3

)exp

(−iϑJ2

),

U (R (−e3)) = exp(−iπJ2

)je

θ (p) = −πsign (p · e2)J. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 797 / 1311


Na Fockove prostoru sestrojeném pomocí jednocásticovýchHilbertových prostoru natazených na stavy s nulovou hmotou |p, h〉definujme standardním zpusobem kreacní a anihilacní operátory cástica anticástic b (p, h), b+ (p, h) splnující (anti)komutacní relace[

a (p, h) , a+(p′, h′

)]± = (2π)3 2 |p| δhh′δ(3)

(p− p′

)[b (p, h) , b+

(p′, h′

)]± = (2π)3 2 |p| δhh′δ(3)

(p− p′

)Kreacní operátory se vzhledem k Lorentzovým transformacímtransformují jako jednocásticové stavy

U (Λ) a+ (p, h)U (Λ)+ = eiθ(p,Λ)ha+ (Λp, h)

Odtud pro anihilacní operátory

U (Λ) a (p, h)U (Λ)+ = e−iθ(p,Λ)ha (Λp, h)

a stejne pro anticástice



Sestrojme pole φa (x) standardním zpusobem

φa (x) = ∑h

∫dp(a (p, h) ua (p, h) e−ip·x + b+ (p, h) va (p, h) eip·x

)kde p0 = |p|, a dp = d3p/ (2π)3 2 |p|, a pozadujme transformacnívlastnosti

U (Λ) φa (x)U (Λ)+ = D

(Λ−1

)ba φb (Λx)

Odtud máme pro vlnové funkce podmínku

u(Λ−1p, h

)e−iθ(Λ−1p,Λ)h = D

(Λ−1

)· u (p, h)

v(Λ−1p, h

)eiθ(Λ−1p,Λ)h = D

(Λ−1

)· v (p, h)

resp. polozíme-li p = Λq

u (Λq, h) = D (Λ) · u (q, h) e−iθ(q,Λ)h

v (Λq, h) = D (Λ) · v (q, h) eiθ(q,Λ)h



Volbou standardního impulsu k = (E , 0, 0,E ) a boostu L (p) odtud

u (p, h) = D (L (p)) · u (k, h) e−iθ(k ,L(p))h

ale

W (k, L (p)) = L (L (p) k)−1 L (p) L (k) = L (p)−1 L (p) = 1

t.j.u (p, h) = D (L (p)) · u (k, h)

a stejnev (p, h) = D (L (p)) · v (k , h)



Volbou k a Λ = S (ϑ; ai ) kde S (ϑ; ai ) je element podgrupyinvariance standardního impulsu k

S (ϑ; ai ) = exp(iϑJ3) exp(iaiT i

), S (ϑ; ai ) k = k

dostaneme

u (k , h) = D (S (ϑ; ai )) · u (k, h) e−iθ(k ,S (ϑ;ai ))h

v (k , h) = D (S (ϑ; ai )) · v (k, h) eiθ(k ,S (ϑ;ai ))h

ale

W (k ,S (ϑ; ai )) = L (S (ϑ; ai ) k)−1 S (ϑ; ai ) L (k)

= L (k)−1 S (ϑ; ai ) L (k) = S (ϑ; ai )

a takθ (k, S (ϑ; ai )) = ϑ



Speciálne pro ai = 0 máme

u (k, h) = D (R3 (ϑ)) · u (k, h) e−iϑh

v (k, h) = D (R3 (ϑ)) · v (k, h) eiϑh

Pro ϑ = 0 máme

u (k, h) = D (S (0; ai )) · u (k, h)v (k, h) = D (S (0; ai )) · v (k, h)

V infinitesimálním tvaru

D(J3)· u (k, h) = hu (k, h)

D(J3)· v (k, h) = −hv (k, h)

D(T i)· u (k, h) = D

(T i)· v (k , h) = 0



Jak víme, generátory rotací a boostu v jsou

J = L+R, N = i (R− L)

kde L a R jsou “nezávislé impulsmomenty“Máme tak

J3 = L3 + R3

T 1 = J1 +N2 = L− + R+T 2 = −J2 +N1 = i (R+ − L−)

Podmínky pro u(k, h) tedy znejí

D(J3)u(k, h) =

(D(L3)+D

(R3))u(k, h) = hu(k, h)

D(T 1)u(k, h) = (D (L−) +D (R+)) u(k, h) = 0

D(T 2)u(k, h) = i (D (R+)−D (L−)) u(k, h) = 0



Ekvivalentne muzeme tyto podmínky psát ve tvaru(D(L3)+D

(R3))u(k, h) = hu(k, h)

D (L−) u(k, h) = D (R+) u(k, h) = 0

Podobne pro vlnové funkce v(k, h) dostaneme(D(L3)+D

(R3))v(k, h) = −hv(k, h)

D (L−) v(k, h) = D (R+) v(k, h) = 0

Sada podmínek pro u (k, h) a v (k, h) však nemá obecne rešení prokazdou ireducibilní representaci D = D(j1,j2)



Uvazujme konkrétní ireducibilní representaci D(j1,j2)

Representacní prostor H(j1,j2) = H(j1)L ⊗H(j2)R representace D(j1,j2) je

natazený na vektory |mL,mR 〉 pro nezD(L3)|m1,m2〉 = m1|m1,m2〉, D

(R3)|m1,m2〉 = m2|m1,m2〉

D (L±) |m1,m2〉 = α(±) (j1,m1) |m1 ± 1,m2〉D (R±) |m1,m2〉 = α(±) (j2,m2) |m1,m2 ± 1〉Pišme tedy pro u(k, h) ∈ H(j1,j2)

u(k, h) = ∑m1,m2

um1,m2 |m1,m2〉

Podmínka (D(L3)+D

(R3))u(k, h) = hu(k , h)

dáváu(k, h) = ∑

m1+m2=h

um1,m2 |m1,m2〉



PodmínkaD (R+) u(k, h) = 0

dává

∑m1+m2=h

um1,m2α(+) (j2,m2) |m1,m2 + 1〉 = 0

⇒ uh−m2,m2α(+) (j2,m2) = 0

Ale pouze α(+) (j2, j2) = 0, tedy

u(k, h) = uh−j2,j2 |h− j2, j2〉

PodmínkaL−u(k, h) = uh−j2,j2L−|h− j2, j2〉 = 0

dáváh− j2 = −j1



Tedy nakonech = j2 − j1

a az na normalizaciu(k , h) = | − j1, j2〉

Analogicky dostaneme

v(k, h) = | − j1, j2〉

s podmínkou−h = j2 − j1

Tedy obecné kauzální pole transformující se podle ireducibilnírepresentace D(j1,j2) muze být asociované s cásticemi s nulovouhmotou a helicitou h = j2 − j1 a jejich anticásticemi s helicitouh = −(j2 − j1)



Naopak, pro popis cástic s nulovou hmotou a helicitou h > 0 a jejichanticástic s helicitou −h lze pouzít pole, transformující se podleireducibilních representací

D(j ,j+h), j = 0,12, 1,32, . . .

φa (x) =∫dp(a (p, h) ua (p, h) e−ip·x + b+ (p,−h) va (p,−h) eip·x

)Pokud chceme popsat cástice s nulovou hmotou a helicitou −h < 0 ajejich anticástic s helicitou h lze pouzít pole, transformující se podleireducibilních representací

D(j+h,j), j = 0,12, 1,32, . . .

φa (x) =∫dp(a (p,−h) ua (p,−h) e−ip·x + b+ (p, h) va (p, h) eip·x



Pokud chceme popsat oba typy (anti)cástic, musíme pouzítreducibilní representaci

D = D(j ,j+h) ⊕D(j+h,j)

a pole má pak tvar

φa (x) = ∑h

∫dp(a (p, h) ua (p, h) e−ip·x + b+ (p, h) va (p, h) eip·x

)Nejjednodušší moznost je tak

D = D(0,h) ⊕D(h,0)



Dusledky:1 Vektorové pole, transformující se podle ireducibilní representace

D(12 ,12 ), muze být asociováno pouze s (anti)cásticemi s nulovou

hmotou a helicitou h = 0, nikoliv s (anti)cásticemi s nulovou hmotou ahelicitou h = ±1

2 Nejjednodušší kovariantní pole asociované s (anti)cásticemi s nulovouhmotou a helicitou h = ±1 se transformuje podle reducibilnírepresentace D(0,1) ⊕D(1,0) která odpovídá antisymetrickému tensoruF µν = −F νµ

3 (Anti)cástice s nulovou hmotou a helicitou h = ±2 nemohou býtkovariantne popsány symetrickým tensorem s nulovou stopouodpovídajícímu ireducibilní representaci D(1,1)

4 Nejjednodušší kovariantní pole asociované s (anti)cásticemi s nulovouhmotou a helicitou h = ±2 se transformuje podle reducibilnírepresentace D(0,2) ⊕D(2,0) která odpovídá tensoru ctvrtého ráduRµναβ se symetriemi Riemannova tensoru krivosti



Helicita h = 0

Nejjednodušším polem, asociovaným s neutrálními cásticemi snulovou hmotou a helicitou h = 0 je hermitovské skalární pole,

φ (x) =∫dp(a (p) e−ip·x + a+ (p) eip·x

)Toto pole je formální limitou pro m→ 0 hmotného hermitovskéhoskalárního pole.

Cvicení: Spoctete (anti)komutátor [φ (x) , φ (y)]±. Ukazte, ze kauzalitavyzaduje kanonické komutacní relace pro kreacní a anihilacní operátory a

[φ (x) , φ (y)] = − i2π

sign(x0 − y0

)δ((x − y)2

)Cvicení: Spoctete transformaci pole φ (x) vzhledem k prostorové a casovéinverzi. Ukazte, ze kauzalita vyzaduje pro vnitrní paritu a casovou parituηP = η∗P = ±1 resp. ζ = ζ∗ = ±1 a pak platí

Pφ (x)P+ = ±φ (x) , T φ (x) T + = ±φ (−x)J. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 811 / 1311


Cvicení: Spoctete normální a chronologickou kontrakci. Ukazte, ze

φ (x) φ (y)− : φ (x) φ (y) :

= − i

4π2 (x − y)2− i4π

sign(x0 − y0

)δ((x − y)2

)= lim

m→0i∆+(x − y ,m) ≡ i∆+(x − y , 0)

a

Tφ (x) φ (y)− : φ (x) φ (y) :

= − i

4π2[(x − y)2 − i0

] = ∫ d4p

(2π)4e−ip·(x−y )

ip2 + i0

= limm→0

i∆F (x − y ,m) ≡ i∆F (x − y , 0)



Helicita h = ± 12Nejjednodušší pole asociované s cásticemi s nulovou hmotou ahelicitou h = 1/2 a anticásticemi s helicitou h = −1/2 setransformuje podle ireducibilní representace D(0,

12 ), t.j. pole se

transformuje jako pravý spinor

U (Λ)ψR (x)U (Λ)+ = UR

(Λ−1

)ψR (Λx)

Explicite

ψR (x) =∫dp[b (p, h) uR (p, h) e−ip·x + d+ (p,−h) vR (p,−h) eip·x

]kde h = 1/2



Vlnové funkce pro standardní ctyrimpuls k = E (1, e3) splnují

12

σ3uR (k, 1/2) =12uR (k , 1/2) ,

12

σ3vR (k,−1/2) = −(−12

)vR (k,−1/2)

tedy az na normalizaci N

uR (k, 1/2) = vR (k ,−1/2) = Nχ1/2 = N(10

)Pro obecný impuls

uR (p, 1/2) = UR (L (p)) uR (k, 1/2) = NUR (B−p (u)R (p)) χ1/2

= NUR (B−p (u)) χp

kde jsme oznacili χp ≡ UR (R (p)) χ1/2; stejne máme

vR (p,−1/2) = NUR (B−p (u)) χp



Explicite máme

UR (B−p (u)) = exp(12ln|p|Ep · σ

)= cosh

(12ln|p|E

)+ p · σ sinh

(12ln|p|E

)=

1

2√|p|E

[|p|+ E + p · σ (|p| − E )]

=1

2√|p|E

[pµσµ + E (1− p · σ)

]Ale protoze pro χp = UR (R (p)) χ1/2 platí

p · σχp = χp

mámeUR (B−p (u)) χp =

1

2√|p|E

pµσµχp



Tedy nakonec, volíme-li N =√2E

uR (p, 1/2) = vR (p,−1/2) =σ · p√2 |p|

χp =√2 |p|χp


χp = UR (R (p)) χ1/2 =

(e−iφ/2 cos ϑ

2e iφ/2 sin ϑ

2

)Cvicení: Ukazte, ze platí

σ · puR (p, 1/2) = σ · pvR (p,−1/2) = 0

Tedy pole ψR (x) splnuje Weylovu rovnici

σ · ∂ψR (x) = 0



Vimneme si, ze muzeme psát(uR (p, 1/2)

0

)= lim

m→0

(1 00 0

)γ · p +m√2 (E (p) +m)

(χpχp

)= lim

m→01+ γ5

2u (p, 1/2)

kde u (p, 1/2) je vlnová funkce pro hmotné Diracovo pole,odpovídající impulsu p a helicite 1/2Podobne máme(vR (p,−1/2)

0

)= − lim

m→0

(1 00 0

) −γ · p +m√2 (E (p) +m)

(χp−χp

)= lim

m→01+ γ5

2v (p,−1/2)

kde v (p,−1/2) je vlnová funkce pro hmotné Diracovo pole,odpovídající impulsu p a helicite −1/2



V tomto smyslu lze chápat pole ψR (x) jako limitu pro m→ 0 pravékomponenty [ψ (x)]R hmotného Diracova pole ψ (x)

ψ (x) = ∑s


)kde spinové stavy jsou vybrány jako vlastní stavy helicity, t.j.

u (p, s) = L (p)R (p) u (k , s) , v (p, s) = L (p)R (p) v (k, s)k = (m, 0) , L (p) k = p

Explicite (ψR (x)0

)= lim

m→01+ γ5

2ψ (x) ≡ lim

m→0[ψ (x)]R

Pravá komponenta Diracova pole splnuje

γ5 [ψ (x)]R = [ψ (x)]R

t.j. má tzv. chiralitu (vlastní hodnotu γ5) rovnou jednéJ. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 818 / 1311


Cvicení: Ukazte, ze pro pravou komponentu [u (p, s)]R bispinorové vlnovéfunkce u (p, s) odpovídající hmotnému Diracovu poli platí

[u (p, s)]R [u (p, s)]+R ≡ 1+ γ5

2u (p, s) u (p, s)+

1+ γ5

2

=12

(γ · p + 2msγ5γ · n

)γ01+ γ5

2

Ukazte, ze odpovídá-li u (p, s) helicitnímu stavu, t.j. vybereme-li vklidovém systému smer kvantování impulsmomentu ν = (0, p) a

n =1m(|p| ,E (p) p) ,

potom platí

limm→0

[u (p, s)]R [u (p, s)]+R =

1+ 2sγ5

2γ · pγ0

1+ γ5

2



Cvicení: S vyuzitím predchozího výsledku ukazte, ze

uR (p, 1/2) uR (p, 1/2)+ = vR (p,−1/2) vR (p,−1/2)+

= σ · p

Cvicení: Spocítejte (anti)komutátor[ψR (x) ,ψR (y)

+]±. Ukazte, ze

kauzalita vyzaduje antikomutacní relace pro kreacní a anihilacní operátorya ze pak platí

ψR (x) ,ψR (y)+= i σ · ∂i∆ (x − y , 0)

kde

i∆ (x − y , 0) = limm→0

i∆ (x − y ,m) = − i2π

sign(x0 − y0

)δ((x − y)2

)je Pauli-Jordanova komutátorová funkce pro nulovou hmotu.



Cvicení: Spocítejte normální a chronologickou kontrakci. Ukazte, ze

ψR (x)ψR (y)+− : ψR (x)ψR (y)

+ := i σ · ∂i∆+(x − y , 0)

a

TψR (x)ψR (y)+− : ψR (x)ψR (y)

+ := i σ · ∂i∆F (x − y , 0) ≡ iSRF (x − y)

=∫ d4p

(2π)4e−ip·(x−y )

i σ · pp2 + i0



Zcela analogicky, s cásticemi s helicitou h = −1/2 a jejichanticásticemi s helicitou h = 1/2 je asociováno levé spinorové poleψL (x), pro nez

U (Λ)ψL (x)U (Λ)+ = UL

(Λ−1

)ψL (Λx)

explicite

ψL (x) =∫dp[b (p, h) uL (p, h) e−ip·x + d+ (p,−h) vL (p,−h) eip·x

]kde nyní h = −1/2Pro vlnové funkce pro standardní ctyrimpuls k = E (1, e3) máme

uL (k,−1/2) = vL (k, 1/2) =√2Eχ−1/2 =

√2E(01

)a oznacíme-li χ−p ≡ R (p) χ−1/2, máme

uL (p,−1/2) = vL (p, 1/2) =σ · p√2 |p|

χ−p =√2 |p|χ−p



Pro vlnové funkce dostaneme

uL (p,−1/2) uL (p,−1/2)+ = vL (p, 1/2) vL (p, 1/2)+

= σ · p

Levé spinorové pole ψL (x) proto splnuje Weylovu rovnici ve tvaru

σ · ∂ψL (x)

Pro pole ψL (x) platí(0

ψL (x)

)= lim

m→01− γ5

2ψ (x) ≡ lim

m→0[ψ (x)]L

t.j. ψL (x) je limitou pro m→ 0 levé komponenty [ψ (x)]L hmotnéhoDiracova pole ψ (x)Levá komponenta pole ψ (x) má zápornou chiralitu

γ5 [ψ (x)]L = − [ψ (x)]LJ. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 823 / 1311


Antikomutátor, normální a chronologická kontrakce jsou po radeψL (x) ,ψL (y)

+= i σ · ∂i∆ (x − y , 0)

ψL (x)ψL (y)+− : ψL (x)ψL (y)

+ := i σ · ∂i∆+(x − y , 0)

a

TψL (x)ψL (y)+− : ψL (x)ψL (y)

+ := i σ · ∂i∆F (x − y , 0) ≡ iSLF (x − y)

=∫ d4p

(2π)4e−ip·(x−y )

i σ · pp2 + i0



Pole ψL.R (x) lze obdrzet metodou kanonického kvantování zLagrangiánu

LR = ψ (x)+R i σ · ∂ψR (x) , LL = ψ (x)+L i σ · ∂ψL (x)

a kanonických antikomutacních relací ve stejných casechψR (x)a ,ψR (y)

+b

|x 0=y 0 =

ψL (x)a ,ψL (y)

+b

|x 0=y 0

= δabδ(3) (x− y)

Cvicení: Ukazte, ze Lagrangiány LR a LL jsou hermitovskéCvicení: Ukazte, ze Lagrangiány LR a LL jsou invariantní vzhledem kchirálním transformacím

ψR ,L (x)′ = e iαR ,LψR ,L (x) , ψR ,L (x)

+′ = e−iαR ,LψR ,L (x)+

a najdete zachovávající se noetherovské proudy a náboje.J. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 825 / 1311


Pro vlnové funkce uR (p, 1/2) máme normalizaci

uR (p, 1/2)+ uR (p, 1/2) =√2 |p|χ+p

√2 |p|χp

= 2 |p| χ+p χp

= 2 |p|

a dále

uR (p, 1/2)+ uR (p, 1/2) =√2 |p|χ+p

√2 |p|χ−p

= 2 |p| χ+p χ−p= 0



Odtud dostaneme

b (p, 1/2) =∫d3xeip·xuR (p, 1/2)+ ψR (x)

d+ (p,−1/2) =∫d3xe−ip·xvR (p,−1/2)+ ψR (x)

b+ (p, 1/2) =∫d3xe−ip·xψR (x)

+ uR (p, 1/2)

d (p,−1/2) =∫d3xeip·xψR (x)

+ vR (p,−1/2)

Cvicení: Ukazte, ze kanonické antikomutacní relace ve stejných casechψR (x)a ,ψR (y)

+b

|x 0=y 0 = δabδ(3) (x− y)

implikují kanonické antikomutacní relace pro kreacní a anihilacníoperátory



Cvicení: Odvo,dte pravidla pro LSZ formule pro pravá spinorová pole

cástice v out stavu∫d4xeip·xuRa (p, 1/2)+ (σ · ∂)ab i〈Ω|T . . . ψRb (x)H . . . |Ω〉

cástice v in stavu

−i〈Ω|T . . . ψ+Ra (y)H . . . |Ω〉∫d4y

(σ · ←−∂

)abuRb (p, 1/2) e−ip·x

anticástice v in stavu

−∫d4xe−i p·xv+Ra (p,−1/2) (σ · ∂)ab i〈Ω|T . . . ψRb (x)H . . . |Ω〉

anticástice k, s v out stavu

i〈Ω|T . . . ψRb (y)H . . . |Ω〉∫d4y j

(σ · ←−∂

)bavRa

(k,−1/2

)ei k ·x



Helicita h = ±1Pokusme se asociovat vektorové pole Aµ (x) s neutrálními cásticemi snulovou hmotou a helicitami ±1. Zde

D(J3)=

(0 00 −iε3jk

)Jak víme, vlastní vektory této matice s vlastními hodnotami ±1 atedy kandidáty na funkce u (k, h) jsou polarizacní vektory

ε(±1) (k) =(

0ε(±1)

), ε(±1) = ∓

1√2(e1 ± ie2)

Tyto vektory ale nesplnují podmínky D(T i)

ε(±1) (k) = 0



Vskutku, máme

T 1 = J1 +N2, T 2 = −J2 +N1

a tak

D(T 1)= i

(0 eT2e2 −ε1ij

), D

(T 2)= i

(0 eT1e1 ε2ij

)Cvicení: Ukazte, ze

D(T 1)· ε(±1) (k) = i

(e2 · ε(±1)e1 × ε(±1)

)=

1√2

(1e3

)D(T 2)· ε(±1) (k) = i

(e1 · ε(±1)−e2 × ε(±1)

)= ∓ i√

2

(1e3

)



Podobne, kandidáty na funkce v (k, h) jsou komplexne sdruzenépolarizacní vektory ε(±1) (k)

∗, opet ale nesplnují podmínkyD(T i)

ε(±1) (k)∗ = 0

Definujme presto formálne

ε(±1) (p) = B−p (u) · ε(±1) (k) =(

0ε(±1) (p)

)kde

ε(±1) (p) = R (p) · ε(±1)a zkonstruujme pole

Aµ (x) = ∑h=±1

∫dp(a (p, h) ε

µ

(h) (p) e−ip·x + a+ (p, h) εµ

(h) (p)∗ eip·x

)



Pole Aµ (x) splnuje nekovariantní podmínku

A0 (x) = 0

nebo ,tε0(h) (p) = 0

Protoze dále0 = p · ε(h) (p) = −p · ε(h) (p)

máme∂ · A (x) = ∇ ·A (x) = 0

Protoze p0 = |p| je také

A (x) = 0



Pro polarizacní vektory pro standardní ctyrimpuls k = E (1, e3) mámedále

∑h=±1

ε0(h) (k) ε0(h) (k)∗ = ∑

h=±1εi(h) (k) ε0(h) (k)

∗

= ∑h=±1

ε0(h) (k) εi(h) (k)∗ = 0

∑h=±1

εi(h) (k) εj(h) (k)

∗ = ∑h=±1

12

(δi1 + ihδi2

) (δj1 − ihδj2

)= δi1δ

j1 + δi2δ

j2 = δij − δi3δ

j3 = δij − k i k j

t.j.

∑h=±1

εi(h) (k) εj(h) (k)

∗ = δij − kik j

|k|2



Protoze máme

ε(±1) (p) =(

0R (p) · ε(±1)

), R (p) k = p

je také

∑h=±1

ε0(h) (p) ε0(h) (p)∗ = ∑

h=±1εi(h) (p) ε0(h) (p)

∗

= ∑h=±1

ε0(h) (p) εi(h) (p)∗ = 0

∑h=±1

εi(h) (p) εj(h) (p)

∗ = R (p)ik R (p)jl ∑h=±1

εk(h) (k) εl(h) (k)∗

= R (p)ik R (p)jl

(δkl − kk k l

)= δij − pi pj

t.j.

∑h=±1


∗ = δij − pipj

|p|2



Totéz lze zapsat kompaktne pomocí ctyrvektorových indexu.Definujme ctyrvektor

n = (1, 0)

potom (0 00 δij

)= −η + nnT ,

pp · n = (1, p)

a pp · n − n = (0, p)

Máme tak

∑h=±1


∗ = δij − pi pj = δij −(pp · n − n

)i ( pp · n − n

)j



Tedy (pp · n − n

)(pp · n − n

)T=

(0 00 pi pj

)V kompaktním tvaru konecne

∑h=±1

εµ

(h) (p) εν(h) (p)

∗ = −ηµν + nµnν −(pp · n − n

)µ ( pp · n − n

)ν

resp. po úprave pro p on shell (t.j. p2 = 0)

∑h=±1

εµ

(h) (p) εν(h) (p)

∗ = −ηµν +nµpν + nνpµ

p · n − pµpν

(p · n)2≡ Pµν (p)

Poznamenejme, ze Pµν (p) není tensor, nebo ,t jak uvidíme, vlnováfunkce ε

µ

(h) (p) se netransformuje jako ctyrvektor a n = (1, 0) senetransformuje vzhledem k Lorentzovým transformacím



Spocteme dále (anti)komutátor. Standardní postup dává

[Aµ (x) ,Aν (y)]± = ∑h=±1

∫dp[ε

µ

(h) (p) εν(h) (p)

∗ e−ip·(x−y ) ± h.c.]

=∫dpPµν (p)

[e−ip·(x−y ) ± eip·(x−y )

]t.j. [

A0 (x) ,A0 (y)]± =

[Ai (x) ,A0 (y)

]±

=[A0 (x) ,Ai (y)

]± = 0

a[Ai (x) ,Aj (y)

]± =

∫dp

(δij − p

ipj

|p|2

) [e−ip·(x−y ) ± eip·(x−y )

]=

(δij − ∇

i∇j

∇2

) ∫dp[e−ip·(x−y ) ± eip·(x−y )



Kauzalita vyzaduje znaménko “−“ ve shode s Pauliho teorémem, pakmáme [

Ai (x) ,Aj (y)]=

(δij − ∇

i∇j

∇2

)i∆ (x − y , 0)

Komutátor je však nekovariantní. Podobne pro normální achronologickou kontrakci, nenulové jsou

Ai (x)Aj (y)− : Ai (x)Aj (y) :=

(δij − ∇

i∇j

∇2

)i∆+ (x − y , 0)

TAi (x)Aj (y)− : Ai (x)Aj (y) :=

(δij − ∇

i∇j

∇2

)i∆F (x − y , 0)



Ukazme, ze εµ

(h) (p) se netransformuje jako standardní vlnová funkce

u (p, h). Pro obecnou Lorentzovu transformaci máme

ε(h) (Λp) = L (Λp) ε(h) (k) = ΛL (p) L (p)−1 Λ−1L (Λp) ε(h) (k)

= ΛL (p)W (p,Λ)−1 ε(h) (k)

kdeW (p,Λ) = exp

(iθ (p,Λ) J3

)exp

(iai (p,Λ)T i

)je element podgrupy invariance standardního impulsu k.


T 1 = i(0 eT2e2 −ε1ij

), T 2 = i

(0 eT1e1 ε2ij

)platí

exp(iaiT i

)ε(h) (k) = ε(h) (k) +

i√2E(a1 − iha2) k



Máme tak (zde zkrácene θ ≡ θ (p,Λ), ai ≡ ai (p,Λ))

ε(h) (Λp) = ΛL (p) exp(−iaiT i

)exp

(−iθJ3

)ε(h) (k)

= ΛL (p) exp(−iaiT i

)ε(h) (k) e−iθh

= ΛL (p) ε(h) (k) e−iθh − i√2E(a1 − iha2) e−iθhΛL (p) k

= Λε(h) (p) e−iθh − i√2E(a1 − iha2) e−iθhΛp

zatímco kovariance pole Aµ (x) by vyzadovala

ε(h) (Λp) = Λε(h) (p) e−iθ(p,Λ)h



Cvicení: Ukazte, ze pri Lorentzových transformacích

U (Λ)Aµ (x)U (Λ)+ =(Λ−1

)µ

νAν (Λx) + ∂µα (x)

= Λ µν Aν (Λx) + ∂µαΛ (x)

kde

αΛ (x) = ∑h=±1

∫dp

[a1(p,Λ−1

)− iha2

(p,Λ−1

)√2E

a (p, h) e−ip·Λx + h.c

]

Pole Aµ (x) se tedy netransformuje kovariantne jako ctyrvektor.

Lorentzova transformace je doprovázena kalibracní transformací

A′ (x) = A (x) + ∂µα (x)

pro speciální parametr α (x) = αΛ (x)



Nutnost kompenzujícího clenu ∂µαΛ (x) je zrejmá. Víme, ze poleAµ (x) splnuje nekovariantní relaci

A0 (x) = 0

odkudU (Λ)A0 (x)U (Λ)+ = 0

Pro obecnou Lorentzovu transformaci, je ale

Λ 0ν Aν (Λx) = Λ 0

j Aj (Λx) 6= 0Napr. pro infinitesimální boost ve smeru i−té osy je

Λ 0j (1+ iuei ·N) = uδij

a takΛ 0j Aj (Λx) = uAi (Λx) 6= 0

Aby tedy U (Λ)A0 (x)U (Λ)+ = 0, potrebujeme vedle kovariantníhoclenu Λ µ

ν Aν (Λx) ješte kompenzující príspevek.J. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 842 / 1311


Tenzor intenzity F µν (x), sestrojený pomocí pole Aµ (x)

F µν (x) = ∂µAν (x)− ∂νAµ (x)

= ∑h=±1

∫dp(a (p, h) ε

µν

(h) (p) e−ip·x + a+ (p, h) εµν

(h) (p)∗ eip·x

)kde

εµν

(h) (p) = −ipµεν(h) (p) + ip

νεµ

(h) (p)

se transformuje kovariantne,

U (Λ) F µν (x)U (Λ)+ = Λ µβ Λ ν

α F βα (Λx)

t.j. jako antisymetrický tensor odpovídající reducibilní representaciD(0,1) ⊕D(1,0)



Vskutku, máme

U (Λ) F µν (x)U (Λ)+ == U (Λ) [∂µAν (x)− ∂νAµ (x)]U (Λ)+

= ∂µU (Λ)Aν (x)U (Λ)+ − ∂νU (Λ)Aµ (x)U (Λ)+

= Λ να ∂µAα (Λx) + ∂µ∂να (x)−Λ µ

α ∂νAα (Λx)− ∂ν∂µα (x)

= Λ να Λ µ

β ∂′βAα (Λx)−Λ µα Λ ν

β ∂′βAα (Λx)

= Λ να Λ µ

β

[∂′βAα (Λx)− ∂′αAβ (Λx)

]= Λ µ

β Λ να F βα (Λx)

Cvicení: Ukazte, ze tenzor intenzity F µν (x) splnuje Maxwellovy rovnice

∂µF µν (x) = 0, ∂αF βγ + ∂γF αβ + ∂βF γα = 0



Cvicení: Ukazte, ze polarizacní suma pro vlnové funkce

εµν

(h) (p) = −ipµεν(h) (p) + ip

νεµ

(h) (p)

je

∑h=±1

εµν

(h) (p) εαβ

(h) (p)∗ = −pµpαηνβ + pνpαηµβ + pµpβηνα − pνpβηµα

Cvicení: Ukazte, ze[F µν (x) ,F αβ (y)

]=

=(

ηνβ∂µ∂α − ηµβ∂ν∂α + ηνα∂µ∂β − ηµα∂ν∂β)i∆ (x − y , 0)

a

F µν (x) F αβ (y)− : F µν (x) F αβ (y) := 〈0|F µν (x) F αβ (y) |0〉 ==

(ηνβ∂µ∂α − ηµβ∂ν∂α + ηνα∂µ∂β − ηµα∂ν∂β

)i∆+ (x − y , 0)



Cvicení: Ukazte, ze propagátor pole F µν (x) je

TF µν (x) F αβ (y)− : F µν (x) F αβ (y) := 〈0|TF µν (x) F αβ (y) |0〉 ==

(ηνβ∂µ∂α − ηµβ∂ν∂α + ηνα∂µ∂β − ηµα∂ν∂β

)i∆F (x − y , 0)

−i(

ηνβnµnα − ηµβnνnα + ηναnµnβ − ηµαnνnβ)

δ(4) (x − y)

Propagátor tedy obsahuje nekovariantní kontaktní clen



Transformacní vlastnosti pole Aµ (x) omezují podstatne moznouinterakci nehmotných cástic s helicitou h = ±1Aby S−matice


)byla relativisticky invariantní, t.j. má-li platit

U0 (Λ) SU0 (Λ)+ = S

musí se interakcní Hamiltonián, popisující interakci cástic s nulovouhmotou a helicitou h = ±1, a dalších cástic transformovat jakoskalár, t.j.

U0 (Λ)HID (x)U0 (Λ)+ = HID (Λx)



To nastane pokud1 HID (x) je v interakcní representaci skalárním monomem sestrojeným zF µνD (x) a dalších kovariantních polí φa (x)D

2 HID (x) je v interakcní representaci skalárním monomem sestrojeným zAµD (x) a dalších kovariantních polí φa (x)D a je navíc invariantnívzhledem ke kalibracní transformaci (modulo ctyrdivergence)

Príkladem interakcního Hamiltoniánu druhého typu je

HID (x) = JµD (x)AµD (x)

kdeU0 (Λ) JµD (x)U0 (Λ)

+ = ΛνµJνD (Λx)

je vektorový proud sestavený z polí φa (x)D který se zachovává, t.j.

∂ · JD (x) = 0



Potom máme

U0 (Λ)HID (x)U0 (Λ)+

= ΛνµJνD (Λx)

[Λ µ

α Aα (Λx) + ∂µαΛ (x)]

= JµD (Λx)Aµ (Λx) +ΛνµJνD (Λx) ∂µαΛ (x)

Ale

ΛνµJνD (Λx) ∂µαΛ (x) =

= ∂µ[Λν

µJνD (Λx) αΛ (x)]− αΛ (x)Λν

µ∂µJνD (Λx)

= ∂µ[Λν

µJνD (Λx) αΛ (x)]− αΛ (x)Λν

µΛ µα ∂′αJνD (Λx)

= ∂µ[Λν

µJνD (Λx) αΛ (x)]− αΛ (x) ∂′αJαD (Λx)

= ∂µ[Λν

µJνD (Λx) αΛ (x)]

⇒ U0 (Λ)HID (x)U0 (Λ)+ = HID (Λx) + ∂µ[Λν

µJνD (Λx) αΛ (x)]



Kalibracní invariance HID (x) však sama o sobe nestací, pripomenme,ze T−soucin operátoru obsahujících pole Aµ (x) a F µν (x) neníobecne kovariantní, nebo ,t chronologické kontrakce techto polí jsounekovariantní

HID (x) tedy musí obsahovat kompenzující nekovariantní clenyTakovéto cleny automaticky vznikají pri procedure kanonickéhokvantování

Podobne jako v prípade hmotného vektorového pole však existujekvantovací procedura, která vede na kovariantní propagátor a kteráneprodukuje nekovariantní cleny v Hamiltoniánu - tzv.Guptova-Bleuerova metoda



Diskrétní symetrie

Pri transformaci parity máme pro cástice s nulovou hmotou obecne

P|p, h〉 = ηPe−iθ(p)h |p,−h〉, θ (p) = −πsign (e2 · p)

Pro helicitu h = ±1 tedy

P|p, h〉 = −ηP |p,−h〉

resp. pro kreacní operátor

Pa+ (p, h)P+ = −ηPa+ (p,−h)

Odtud

PAµ (x)P+ = − ∑h=±1

∫dp(

η∗Pa (p,−h) εµ

(h) (p) e−ip·x + h.c .)

= − ∑h=±1

∫dp(

η∗Pa (p, h) εµ

(−h) (p) e−i p·x + h.c.)



Ale z konstrukce polarizacních vektoru plyne

ε(−h) (p) = R (−p) ε(−h) (k) = ε(h) (p)

takze pokudη∗P = ηP = ±1

dostaneme nakonec

PAµ (x)P+ = −η∗P Aµ (x)

Tato relace je stejná jako pro hmotné vektorové pole



Podobne máme

T |p, h〉 = ηT eiθ(p)h |p, h〉, θ (p) = −πsign (e2 · p)

a tak pro kreacní operátor a helicitu h = ±1

T a+ (p, h) T + = −ηT a+ (p, h)

Odtud

T Aµ (x) T + = − ∑h=±1

∫dp(

η∗T a (p, h) εµ

(h) (p)∗ eip·x + h.c.

)= − ∑

h=±1

∫dp(

η∗T a (p, h) εµ

(h) (p)∗ ei p·x + h.c.

)



S uzitím

ε(h) (p)∗ = R (−p) ε(h) (k)

∗ = −R (−p) ε(−h) (k)

= −ε(h) (p)

dostaneme nakonec pro

η∗T = ηT = ±1

T Aµ (x) T + = η∗T Aµ (−x)

Pro nabité pole dostaneme dále transformaci vzhledem k nábojovékonjugaci ve standardním tvaru

CW µ (x) C+ = ζW µ (x)+



Kanonické kvantování vektorového pole s nulovou hmotou

Naivne bychom ocekávali, ze výchozím Lagrangiánem bez duchu provektorové pole s nulovou hmotou bude limita Procova Lagrangiánupro m→ 0, t.j.

L = −14FµνF µν

kdeFµν = ∂µAν − ∂νAµ

Tento Lagrangián je invariantní vzhledem ke kalibracní transformaci

A′ (x) = A (x) + ∂α (x)

kde α (x) je libovolná funkceEulerovy-Lagrangeovy rovnice jsou limitou Procovy rovnice prom→ 0

∂µF µν (x) = Aν (x)− ∂ν∂ · A = 0J. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 855 / 1311


Na úrovni klasických pohybových rovnic kalibracní invarianceznamená, ze Cauchyova pocátecní úloha pro Eulerovy-Lagrangeovyrovnice

Aν (x)− ∂ν∂ · A = 0

Aµ (ti , x) = Aµ

(i ) (x) ,·A

µ

(ti , x) =·A

µ

(i ) (x)

nemá jednoznacné rešení.

Rešení jsou parametrizovány kalibracní funkcí α (x) splnující

∂α (ti , x) = 0, ∂·α (ti , x) = 0

Zobecnené souradnice Aµ (x) a zobecnené rychlosti·A

µ

(x) tedyneurcují klasickou casovou evoluci systému jednoznacne



Abychom zachránili kauzální interpretaci, musíme ztotoznit rešeníA (x) a A′ (x) = A (x) + ∂α (x)Fyzikální význam pak mají jen kalibracne invariantní pozorovatelné,t.j. závisející jen na Fµν

Fµν = ∂µAν − ∂νAµ

Jednoznacného casového vývoje lze dosáhnout i tzv. fixací kalibrace,t.j. predepsáním dodatecných podmínek na Aµ (x), které ze všechrešení pohybových rovnic vyberou jednoznacný exemplár, t.j. fixujíα (x)Príkladem je napr. axiální kalibrace

A3 (x) = 0

nebo Lorentzova kalibrace

∂ · A (x) = 0



V bezném hamiltonovském formalismu1 zobecnené souradnice a zobecnené impulsy jednoznacne odpovídajízobecneným souradnicím a rychlostem v lagrangeovském popisu

2 zobecnené souradnice a zobecnené impulsy v daném pocátecním caseurcují casový vývoj jednoznacne

Tedy ocekáváme, ze prechod k hamiltonovskému popisu pole Aµ budesingulární

Vskutku, zobecnené impulsy jsou stejne jako pro Procovo pole

π0 (x) =∂L

∂∂0A0= 0

πi (x) =∂L

∂∂0Ai= −F0i (x)

Zobecnenou rychlost·A0

(x) tedy nelze vyjádrit pomocí πµ (x)



Cvicení: Ukazte, ze Eulerovy Lagrangeovy rovnice lze pomocí πµ (x)prepsat do tvaru

·A = π −∇A0, ·

π = −∇× (∇×A)

∇ ·π =0, π0 = 0

První dve rovnice

·A = π −∇A0, ·

π = −∇× (∇×A)

lze identifikovat s Hamiltonovými rovnicemi, odpovídajícímiHamiltoniánu

H =∫d3xH =

∫d3x

(12

π2 +12(∇×A)2 + A0∇ ·π

)



Druhé dve rovnice∇ ·π =0, π0 = 0

neobsahují casové derivace a predstavují vazbyNa rozdíl od Procova pole však tyto vazby neumoznují vyjádrit A0 vtermínech π . Pripomenme: pro Procovo pole V µ jsme meli

V 0 =1m2∇ ·π

Zobecnená souradnice A0 je tedy zcela neurcená a parametrizujekalibracní volnost v hamiltonovském formalismuTo však není jediná redundance. Hamiltonovy rovnice

·A = π −∇A0, ·

π = −∇× (∇×A)

jsou invariantní vzhledem ke kalibracní transformaci

A′ (x) = A (x)−∇α (x)



Opet pocátecní podmínka neurcuje casový vývoj jednoznacne

Tedy klasická hamiltonovská dynamika na fázovém prostoru sesouradnicemi

(A0 (x) ,A (x) ,π0 (x) ,π (x)

)a Hamiltoniánem

H =∫d3xH =

∫d3x

(12

π2 +12(∇×A)2 − A0∇ ·π

)1 je omezená na nadplochu π0 (x) = 0, ∇ ·π =02 abychom zachránili kauzalitu, musíme ztotoznit body

(Aµ (x) ,πν (x)) ≈(A0 (x) + a (x) ,A (x)−∇α (x) ,πν (x)

)Regulární hamiltonovskou dynamiku dostaneme fixací kalibrace, t.j.dodatecnými podmínkami na (Aµ (x) ,πν (x))



Pripomenme, ze kauzální pole Aµ (x), které jsme zkonstruovali,splnovalo

A0 (x) = 0, ∇ ·A (x) = 0, A (x) = 0Na klasické úrovni tyto jsou tyto rovnice ekvivalentní Maxwellovýmrovnicím

∇ ·B = 0, ∇× E+∂B∂t= 0

∇ · E = 0, ∇×B−∂E∂t= 0

ve speciální, tzv. radiacní kalibraci.Vskutku, první dvojice rovnic má obecné rešení

B = ∇×A, E = −∇A0 − ∂A∂t

kde Aµ je urceno az na kalibracní transformaci

Aµ (x)→ Aµ (x) + ∂µα (x)J. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 862 / 1311


Fixujeme-li kalibracní nejednoznacnost podmínkami

A0 (x) = 0, ∇ ·A (x) = 0

je tretí rovnice

∇ · E = −∇·∂A∂t= −∂∇ ·A

∂t= 0

automaticky splnena a poslední rovnice dává

∇×B−∂E∂t

= ∇× (∇×A) + ∂2A∂t2

= ∇∇ ·A−∇ ·∇A+ ∂2A∂t2

= 0

tedyA (x) = 0



Ocekáváme tedy, ze naše konstrukce kauzálního pole Aµ (x) by melabýt reprodukovatelná aplikací metody kanonického kvantování nakalibracne invariantní Lagrangián v radiacní kalibraci

L = −14FµνF µν =

12E2 − 1

2B2

kde

E i = F i0, B i =12

εijkF jk

F µν = ∂µAν − ∂νAµ

V radiacní kalibraci A0 (x) = 0, ∇ ·A (x) = 0 pak máme

L =12

·A2

T −12(∇×AT )2

kde zobecnenými souradnicemi jsou transverzální pole

AT (x) =(1− ∇∇

∇2

)·A (x)



Radiacní kalibrace narušuje lorentzovskou invarianci jiz na úrovniLagrangiánu, je však invariantní vzhledem k rotacímOd zacátku však pracuje pouze s fyzikálními stupni volnosti, proto jeprechod k hamiltonovskému formalismu regulárníZobecnené impulsy jsou

π (x) =·AT (x)

a Hamiltonián

H = π ··AT −L =

12

π2 +12(∇×AT )2

Kanonické komutacní relace ve stejných casech musejí splnovat[∇ ·AT (x) ,πj (y)

]|x 0=y 0 = ∂i

[AiT (x) ,π

j (y)]|x 0=y 0 = 0

tedy [AiT (x) ,π

j (y)]|x 0=y 0 = i

(δij − ∂i∂j

∇2

)δ(3) (x− y)



Cvicení: Ukazte, ze komutacní relace pro dríve zkonstruované kauzálníoperátory Aµ (x)[

Ai (x) ,Aj (y)]=

(δij − ∂i∂j

∇2

)i∆ (x − y , 0)

implikují výše uvedené kanonické komutacní relace ve stejných casech.Cvicení: Ukazte, ze Heisenbergovy pohybové rovnice mají tvar

·AT = π·

π = ∇2AT

a jsou tak ekvivalentní rovnici

AT (x) = 0resp. dvojici rovnic

A (x) = 0, ∇ ·A (x) = 0J. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 866 / 1311


Rešením posledních rovnic je jak víme

A (x) = ∑h

∫dp(a (p, h) ε(h) (p) e−ip·x + a+ (p, h) ε(h) (p)

∗ eip·x)

kde p0 = |p| a dva lineárne nezávislé polarizacní vektory musísplnovat

p · ε(h) (p) = 0, ε(h) (p) · ε(h′) (p)∗ = δhh′

∑h

εi(h) (p) · εj(h) (p)

∗ = δij − pipj

|p|2

Cvicení: Ukazte, ze jako dusledek kanonických komutacních relací vestejných casech dostaneme pro komutátory operátoru a (p, h), a+ (p, h)[

a (p, h) , a+(p′, h′

)]= (2π)3 2 |p| δhh′δ(3)

(p− p′

)[a (p, h) , a

(p′, h′

)]=

[a+ (p, h) , a+

(p′, h′

)]= 0



Cvicení: Ukazte, ze normálne usporádaný Hamiltonián je v dusledku∇ ·AT (x) = 0

H = :∫x 0=t

d3x(12

·A2

T +12(∇×AT )2

):

= :∫x 0=t

d3x(12

·A2

T +12∇AiT · ∇AiT

):

Formálne je H ekvivalentní Hamiltoniánu trí exempláru “skalárních“poli AiTZe známých formulek pro skalární pole tak okamzite dostáváme vtermínech operátoru a (p, h), a+ (p, h),

H = ∑h

∫dp |p| a+ (p, h) a (p, h)

Tedy jednocásticové stavy |p, h〉 = a+ (p, h) |0〉 mají energii |p|, jakjsme ocekávali



Nerelativistický Lagrangián

L =12

·A2

T −12(∇×AT )2

je invariantní vzhledem k translacím a rotacím. Zachovávající seimpuls a impulsmoment mají podle obecných formulí tvar

P = − :∫x 0=t

d3x∂L

∂∂tAiT∇AiT :

J = −i :∫x 0=t

d3x∂L

∂∂tAiT

(LAiT + S

ijAjT

):

kde

L = x× (−i∇) ,(Sk)ij= −iεkij



Tedy explicite

P = − :∫x 0=t

d3x·Ai

T∇AiT := ∑h

∫dp pa+ (p, h) a (p, h)

J = − :∫x 0=t

d3x ·Ai

T [x×∇]AiT +·AT ×AT

:

Cvicení: Ukazte, ze pri standardním výberu polarizacních vektoruε(h) ≡ ε(±) platí [

J3, a+(k, h)]= ha+(k, h), h = ±1

kde k = E (1, e3) je standardní ctyrimpuls.

Tedy jednocásticové stavy |k, h〉 = a+ (k, h) |0〉 mají helicitu h = ±1,podobne pro obecné stavy |p, h〉



Nerelativistický Lagrangián

L =12

·A2

T −12(∇×AT )2

není manifestane invariantní vzhledem k boostum, bezná procedurapro konstrukci generátoru N proto není pouzitelná.Vyjdeme proto z relativistického Lagrangiánu

L = −14FµνF µν

Standardní konstrukce dává

N = −∫x 0=t

d3x[

∂L∂∂tAµ

(x∂tAµ + t∇Aµ + iBµ

νAν)− xL

]Zde

B i =(

0 ieTiiei 0

),

(B i)µ

νAν = i

(Ai ,A0ei



Dosazením∂L

∂∂tA0= 0, A0 = 0, A = AT

dostaneme s vyuzitím ∇ ·AT (x) = 0

N = −∫x 0=t

d3x[

∂L∂∂tAi

(x∂tAi + t∇Ai

)− xL

]= −

∫x 0=t

d3x xH+ tP

= −∫x 0=t

d3x x(12

·A2

T +12∇AiT · ∇AiT

)+ t

∫x 0=t

d3x·Ai

T∇AiT

Cvicení: Ukazte, ze platí (bez ohledu na operátorové usporádání)

[AiT ,N

]= −i

(x·Ai

T + t∇AiT)+ i∂i

1

∇2

·AT



Pokud by se operátory Aµ transformovaly jako ctyrvektor, platilo by

U (Λ)+ Aµ (x)U (Λ) = ΛµνA

µ(Λ−1x

)tedy pri infinitesimálních boostech[

Ai (x) ,N j]= −i

(x j·Ai

T (x) + t∂jAiT (x)

)+ iδijA0 (x)

[A0 (x) ,N j

]= −i

(x j·A0

T (x) + t∂jA0T (x)

)+ iAj (x)

V našem prípade máme ale, protoze A0 = 0[AiT ,N

j ] = −i(x j·Ai

T (x) + t∂jAiT (x)

)+ iδijA0 (x)

+i∂i1

∇2

·Aj

T[A0 (x) ,N j

]= 0



S uzitím pohybových rovnic máme

−i∂01

∇2

·AT = −i

1

∇2

··AT = −i

1

∇2∇2AT = −iAT

Odtud v radiacní kalibraci

−i(x j·A0

T (x) + t∂jA0T (x)

)+ iAj (x)− i∂0

1

∇2

·Aj

T = 0

Dohromady tedy[Aµ (x) ,N j

]= −i

(x j·A

µ

T (x) + t∂jAµT (x)

)+(B j)µ

νAν (x)

+∂µ

(−i 1∇2

·Aj

T

)Tedy i v kanonickém formalismu je reprodukován výsledek, ze Aµ (x)není ctyrvektor a pri boostech pribírá dodatecnou kalibracní

transformaci s parametrem αj (x) = −i∇−2·Aj

T



Kanonické kvantování v radiacní kalibraci reprodukuje plne konstrukcikauzálního pole pro neutrální nehmotné cástice s helicitou h = ±1Procedura však není kovariantní vzhledem k Lorentzovýmtransformacím, speciálne propagátor není kovariantní

〈0|TAi (x)Aj (y) |0〉 =

(δij − ∇

i∇j

∇2

)i∆F (x − y , 0)

=∫ d4p

(2π)2e−ip·(x−y )

(δij − p

ipj

|p|2

)i

p2 + i0

Podobne jako v prípade hmotného vektorového pole lze proceduruformulovat kovariantne za cenu modifikace Lagrangiánu a pridánímnefyzikálních stupnu volnosti, které se pak eliminují vhodnoukovariantní podmínkou na fyzikální prostor stavu



Guptovo-Bleulerovo kvantování

Uvazujme obecný kvadratický Lagrangián pro vektorové pole Aµ (x) snulovou hmotou, jak jiz víme, bez újmy na obecnosti má tvar

L = −14FµνF µν − 1

2ξ(∂ · A)2 +Ω0

Fµν = ∂µAν − ∂νAµ

který je limitou pro m→ 0 obecného Lagrangiánu pro hmotnévektorové poleLagrangián není invariantní vzhledem ke kalibracní transformaci

A′ (x) = A (x) + ∂α (x)

s libovolným α (x), má však reziduální kalibracní invarianci, pokudα (x) = 0Vskutku, Fµν je invariant a pro α = 0

12ξ

(∂ · A′

)2=12ξ(∂ · A)2 + 1

ξ(∂ · A)α+

12ξ(α)2 =

12ξ(∂ · A)2



Zobecnené hybnosti jsou stejne jako v prípade hmotného pole

π0 (x) =∂L

∂∂0A0= −1

ξ∂0A0 (x)−

1ξ

∂iAi

πi (x) =∂L

∂∂0Ai= −F0i (x)

Hamiltonián (opet pomocí limity pro m→ 0)

H0 =∫d3x

[−Ω0 +

12

π2 +12(∇×A)2

−12

ξπ20 −π ·∇A0 − π0∇ ·A]

Kanonické komutacní relace ve stejných casech jsou

[Aµ (x) ,Aν (y)] |x 0=y 0 =[πµ (x) ,πν (y)

]|x 0=y 0 = 0

[Aµ (x) ,πν (y)] |x 0=y 0 = iδµν δ(3) (x− y)



Generátory Lorentzových transformací sestrojíme uzitím standardníkonstrukce

Jµν = −i∫x 0=t

d3x[πα (J µν)α

β Aβ + i


)L]

P i =∫x 0=t

d3xπµ∂iAµ

Cvicení: Ukazte s uzitím kanonických komutacních relací ve stejnýchcasech, ze pri infinitesimálních Lorentzových transformacích(

1+i2

ωµνJµν

)Aα (x)

(1+

i2

ωµνJµν

)+= Aα (x) +ω α

β Aβ (x) +ωµ

νxν∂µAα (x)

t.j. pole Aα (x) se transformuje kovariantne jako ctyrvektor



Heisenbergovy pohybové rovnice vedou na rovnice pro Aµ

Aµ (x)−(1− 1

ξ

)∂µ∂ · A = 0

Odtud máme1ξ∂ · A = 0

Tato rovnice zustává v platnosti i v prípade pridání interakcního clenu

LI = JµAµ

je-li Jµ zachovající se proud ∂ · J = 0



Reziduální kalibracní invariance implikuje dále, ze je-li Aµ (x) rešenímrovnice

Aµ (x)−(1− 1

ξ

)∂µ∂ · A = 0

je jím takéA′ (x) = A (x) + ∂α (x)

pokud α = 0.

Cauchyova pocátecní úloha má však jednoznacné rešení, A (x) |x 0=ti a·A (x) |x 0=ti urcují casový vývoj jednoznacne



Vskutku, pocátecní podmínky v case ti pro α (x)

∂α (x) |x 0=ti = ∂·α (x) |x 0=ti = 0

znamenají

·α (x) |x 0=ti = 0, α (x) |x 0=ti = αi = konst.

Ale jediné rešení rovnice α = 0 s temito pocátecními podmínkami jeα (x) = αi = konst. t.j. ∂α (x) = 0

Reziduální kalibracní transformace tudíz nepredstavuje parametrizaciredundantního nefyzikálního stupne volnosti



Hledejme nyní obecné rešení rovnice

Aµ (x)−(1− 1

ξ

)∂µ∂ · A = 0

ve tvaru

Aµ (x) ≡∫ d4p

(2π)4e−ip·x Aµ (p)

V impulsové representaci tak máme

−p2Aµ (p) +(1− 1

ξ

)pµp · A (p) = 0

Odtudp2p · A (p) = 0

tedy, podobne jako v prípade skalárního pole

p · A (p) = (2π) b (p) δ(p2)

s nejakou funkcí b (p)J. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 882 / 1311


Dosazením do puvodní rovnice

p2Aµ (p) =(1− 1

ξ

)pµ (2π) b (p) δ

(p2)

S uzitím identityp2δ′

(p2)= −δ

(p2)

dostaneme

Aµ (p) = (2π) aµ (p) δ(p2)−(1− 1

ξ

)pµ (2π) b (p) δ′

(p2)

kde aµ (p) je funkce, svázaná s funkcí b (p) podmínkoup · A (p) = (2π) b (p) δ

(p2)



Vskutku, dosadíme-li predchozí výsledek, dostaneme

p · A (p) = (2π) b (p) δ(p2)

= (2π) p · a (p) δ(p2)−(1− 1

ξ

)p2 (2π) b (p) δ′

(p2)

= (2π)

[p · a (p) +

(1− 1

ξ

)b (p)

]δ(p2)

a porovnánímb (p) = ξp · a (p)

Konecne obecné rešení má v p−representaci tvar

Aµ (p) = (2π)[aµ (p) δ

(p2)− (ξ − 1) pµp · a (p) δ′

(p2)]



Upravme ješte

pµp · a (p) δ′(p2)=

12

∂

∂pα

[pµaα (p) δ

(p2)]

−12

δ(p2) [aµ (p) + pµ ∂

∂pαaα (p)

]a tak

Aµ (p) = (2π)

[aµ (p) +

ξ − 12aµ (p)

]δ(p2)

− (2π)ξ − 12

∂

∂pα

[pµaα (p) δ

(p2)]

+pµ

[(2π)

ξ − 12

δ(p2) ∂

∂pαaα (p)

]




Aµ (x) ≡∫ d4p

(2π)4e−ip·x Aµ (p)

= Aµ (x) +ξ − 12

∂µ (x · A (x)) + ∂µβ (x)

kde

Aµ (x) =∫ d4p

(2π)3δ(p2)

e−ip·xaµ (p)

β (x) = iξ − 12

∫ d4p

(2π)3δ(p2)

e−ip·x∂

∂pαaα (p)



Všimneme si, ze platíβ (x) = 0

poslední clen obecného rešení

Aµ (x) = Aµ (x) +ξ − 12

∂µ (x · A (x)) + ∂µβ (x)

tedy muzeme odstranit reziduální kalibracní transformací sparametrem α (x) = −β (x), t.j. bez újmy na obecnosti pišme obecnérešení tvaru

Aµ (x) = Aµ (x) +ξ − 12

∂µ (x · A (x))



Rozepišme nyní

Aµ (x) =∫ d4p

(2π)3δ(p2)

e−ip·xaµ (p)

=∫dp[aµ (p) e−ip·x + aµ (−p) eip·x

]Hermiticita vyzaduje

aµ (−p) = aµ (p)+

Rozlozme ješteaµ (p) = ∑

h

εµ

(h) (p) a (p, h)

kde εµ

(h) (p) jsou ctyri lineárne nezávislé vektory. Zvolme je takto

εµ

(±) (p) =(0, ε(±) (p)

)ε

µ

(T ,L) (p) =i√2(1,±p)




εµ

(±) (p) =(0, ε(±) (p)

), ε

µ

(T ,L) (p) = i (1,±p) /√2

platíp · εµ

(±) (p) = p · εµ

(T ) (p) = 0, p · εµ

(L) (p) =√2i |p|

ε(±) (p) · ε(±) (p)∗ = −ε(T ) (p) · ε(L) (p)∗ = −1ε(±) (p) · ε(∓) (p)∗ = ε(±) (p) · ε(T ,L) (p)∗ = 0ε(T ) (p) · ε(T ) (p)∗ = ε(L) (p) · ε(L) (p)∗ = 0

a

∑h=±1

εµ

(h) (p) εν(h) (p)

∗ − εµ

(T ) (p) εν(L) (p)

∗ − εµ

(L) (p) εν(T ) (p)

∗ = −ηµν



Máme tedy nakonec

Aµ (x) = Aµ (x) +ξ − 12

∂µ (x · A (x))

kde

Aµ (x) = ∑h

∫dp[ε

µ

(h) (p) a (p, h) e−ip·x + εµ

(h) (p)∗ a+ (p, h) eip·x

]Dále máme

∂ · A = ∂ · A+ ξ − 12 (x · A)

= ∂ · A+ ξ − 122∂ · A = ξ∂ · A

aF µν = Fµν ≡ ∂µAν − ∂νAµ



V dalším pro jednoduchost polozíme ξ = 1 (tzv. Feynmanovakalibrace). Potom máme

Aµ (x) = ∑h

∫dp[ε

µ

(h) (p) a (p, h) e−ip·x + εµ

(h) (p)∗ a+ (p, h) eip·x

]Lagrangián ve Feynmanove kalibraci má tvar

L = −14FµνF µν − 1

2ξ(∂ · A)2

= −12

(∂µAν∂µAν − ∂µAν∂νAµ

)− 12

∂µAµ∂νAν

= −12

∂µAν∂µAν +12

∂µ (Aν∂νAµ)− 12Aν∂ν∂µAµ − 1

2∂µAµ∂νAν

= −12

∂µAν∂µAν +12

∂µ (Aν∂νAµ)− 12

∂ν(Aν∂µAµ

)Tedy modulo ctyrdivergence

L = −12

∂µAν∂µAν = −12

∂µA0∂µA0 +12

∂µA · ∂µAJ. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 891 / 1311


Tedy Lagrangián je

L = −12

∂µA0∂µA0 +12

∂µA · ∂µA

a formálne je sumou Lagrangiánu ctyr nezávislých “skalárních“ políA0 a Ai s nulovou hmotouVšimneme si znaménka “−“ u kinetického clenu pole A0. Jak jizvíme, indikuje to prítomnost duchu v teorii.Formální podobnost s Lagrangiánem skalárních polí umoznuje pouzítjiz odvozených výsledku. Píšeme-li

Aµ (x) =∫dp[aµ (p) e−ip·x + aµ (p)+ eip·x

]máme okamzite

aµ (p) = i∫d3x eip·x

←→∂ 0Aµ (x)

aµ (p)+ = −i∫d3x e−ip·x

←→∂ 0Aµ (x)



Protozeaµ (p) = ∑

h

εµ

(h) (p) a (p, h)

máme s uzitím relací orthogonality pro εµ

(h) (p)

a (p,±) = −i∫d3x ε

µ

(±) (p)∗ eip·x

←→∂ 0Aµ (x)

a (p,T ) = i∫d3x ε

µ

(L) (p)∗ eip·x

←→∂ 0Aµ (x)

a (p, L) = i∫d3x ε

µ

(T ) (p)∗ eip·x

←→∂ 0Aµ (x)

Hermitovským sdruzením dostaneme formule pro kreacní operátory



Podobne Hamiltonián je sumou ctyr nezávislých “skalárních“Hamiltoniánu

H = −∫dp |p| aµ (p)+ aµ (p)

Všimneme si záporného znaménka u clenu a0 (p)+ a0 (p). Pokud bya0 (p)+ a a0 (p) standardne komutovaly, systém by byl nestabilníUzitím aµ (p) = ∑h ε

µ

(h) (p) a (p, h) a relací orthogonality dostaneme

H =∫dp |p|

[a+ (p,+) a (p,+) + a+ (p,−) a (p,−)

−a+ (p, L) a (p,T )− a+ (p,T ) a (p, L)]

Podobne

P =∫dp p

[a+ (p,+) a (p,+) + a+ (p,−) a (p,−)

−a+ (p, L) a (p,T )− a+ (p,T ) a (p, L)]



Cvicení: Ukazte pomocí kanonických komutacních relací ve stejnýchcasech, ze ve Feynmanoe kalibraci platí pro h = ±1[

a (p, h) , a+(p′, h′

)]= (2π)3 2 |p| δhh′δ(3)

(p− p′

)a dále pro h = ±1, L,T[

a (p, L) , a+(p′,T

)]= − (2π)3 2 |p| δ(3)

(p− p′

)[a (p,T ) , a+

(p′, L

)]= − (2π)3 2 |p| δ(3)

(p− p′

)[a (p,±) , a+

(p′, L

)]=

[a (p,±) , a+

(p′,T

)]= 0[

a (p, L) , a+(p′,±

)]=

[a (p,T ) , a+

(p′,±

)]= 0[

a (p, L) , a+(p′, L

)]=

[a (p,T ) , a+

(p′,T

)]= 0[

a (p, h) , a(p′, h′

)]=

[a+ (p, h) , a+

(p′, h′

)]= 0



Tyto komutacní relace representujme na Fockove prostoru,generovaném kreacními operátory a+ (p,±), a+ (p, L,T ) zfockovského vakua

|0〉 = |0,±〉 ⊗ |0, L,T 〉kde

a (p, h) |0,±〉 = 0 pro h = ±1a (p, h) |0, L,T 〉 = 0 pro h = L,T

Krome stavu s helicitou h = ±1 obsahuje Fockuv prostor nefyzikálnístavy odpovídající helicitám L a TKomutacní relace pro kreacní a anihilacní operátory implikujíindefinitnost skalárního soucinu, napr. jednocásticové stavy |p, L〉 a|p,T 〉 mají nulovou normu. Vskutku, máme

〈p, L|p′, L〉 = 〈0|a (p, L) a+(p′, L

)|0〉

= 〈0|[a (p, L) , a+

(p′, L

)]|0〉 = 0

a stejne pro |p,T 〉J. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 896 / 1311


Cvicení: Ukazte, ze komutátor, normální a chronologická kontrakce jsou

[Aµ (x) ,Aν (y)] = −ηµνi∆ (x − y)

Aµ (x)Aν (y)− : Aµ (x)Aν (y) := 〈0|Aµ (x)Aν (y) |0〉 = −ηµνi∆+ (x − y)

TAµ (x)Aν (y)− : Aµ (x)Aν (y) := 〈0|TAµ (x)Aν (y) |0〉 = −ηµνi∆F (x − y)

Tyto funkce jsou tedy Lorentz kovariantní a pole splnují podmínkukauzality. To je dusledek faktu, ze operátor Aµ (x) obsahuje kreacní aanihilacní operátory nefyzikálních helicit L a T

Fyzikální intepretace Aµ (x) na celém Fockove prostoru narází ale naproblém indefinitního skalárního soucinu



Proto je treba eliminovat nefyzikální stavy a zajistit positivituskalárního soucinu vhodnou kovariantní podmínkou

Jak víme, pole φL (x) ≡ ∂ · A (x) je volné, t.j.

φL (x) = ∂ · A (x) = 0

jako dusledek pohybových rovnic, a to i v prípade interakcníhoLagrangiánu

LI = JµAµ

je-li Jµ zachovající se proud ∂ · J = 0Máme

φL (x) = ∂ · A (x)

= −i ∑h

∫dp[p · ε(h) (p) a (p, h) e−ip·x − p · ε(h) (p)∗ a+ (p, h) eip·x



Ale jak jiz víme

p · ε(±) (p) = p · ε(T ) (p) = 0, p · ε(L) (p) =√2i |p|

tedy

φL (x) = ∂ · A (x) =√2∫dp |p|

[a (p, L) e−ip·x + a+ (p, L) eip·x

]Pripomenme ale, ze [

a (p, L) , a+(p′, L

)]= 0

tedy pole φL (x) není bezným skalárním polem, jako tomu bylo vprípade hmotného vektorového pole.

Pokusme se presto postupovat pri eliminaci nefyzikálních stupnuvolnosti obdobne



Namísto podmínky na fyzikální pocátecní a koncové stavy

|ψ, phys〉 = |ψ,±, 0〉 ⊗ |0〉L

kterou jsme predepsali pro hmotná vektorová pole, pozadujmeobecneji formulovanou podmínku.

Predchozí podmínku pro hmotné vektorové pole lze prepsat na tvar

a (p)L |ψ, phys〉 = 0

Pozadujme proto v nehmotném prípade stejnou podmínku

a (p, L) |ψ, phys〉 = 0



Protoze

φL (x) = ∂ · A (x) =√2∫dp |p|

[a (p, L) e−ip·x + a+ (p, L) eip·x

]muzeme pozadovat ekvivalentne

φ(+)L (x) |ψ, phys〉 = ∂ · A(+) (x) |ψ, phys〉 = 0

kde O(+) (x) znací positivne frekvencní (t.j. anihilacní) cástoperátoru O (x), t.j.

∂ · A(+) (x) =∫ d3p√

2 (2π)3a (p, L) e−ip·x

Tato podmínka je lorentzovsky kovariantní, je analogická eliminacighostu v prípade hmotného vektorového pole



Hermitovským sdruzením podmínky

∂ · A(+) (x) |ψ, phys〉 = 0

dostaneme〈ψ, phys |∂ · A(−) (x) = 0

kde ∂ · A(−) (x) je negativne frekvencní (kreacní) cást operátoru∂ · A (x).Obe podmínky zarucují, ze na prostoru fyzikálních stavu

〈ψ, phys |∂ · A (x) |χ, phys〉= 〈ψ, phys |

[∂ · A(+) (x) + ∂ · A(−) (x)

]|χ, phys〉 = 0

t.j. maticové elementy operátoru ∂ · A (x) se anulují.



Operátor ∂ · A (x) ale není nulový, operátorová identita ∂ · A (x) = 0je ve sporu s kanonickými komutacními relacemi ve stejných casech.Pripomenme

π0 = −∂ · Aa platí [

A0 (x) ,π0 (y)]|x 0=y 0 = iδ(3) (x− y)

Anulování maticových elementu

〈ψ, phys |∂ · A (x) |χ, phys〉 = 0

interpretujeme jako splnení Lorentzovy kalibracní podmínky nafyzikálním prostoru H±,L



Podmínkaa (p, L) |ψ, phys〉 = 0

ale neeliminuje všechny nefyzikální polarizace.

Protoze [a (p, L) , a+

(p′, L

)]= 0

vyjádrení |ψ, phys〉 pomocí a+ (p, h) muze obsahovat libovolný pocetoperátoru a+ (p, L)

Protoze platí[a (p, L) , a+

(p′,T

)]= − (2π)3 2 |p| δ(3)

(p− p′

)stavy |ψ, phys〉 neobsahují operátory a+ (p,T )



Obecné rešení podmínky

a (p, L) |ψ, phys〉 = 0je tak lineární kombinací stavu typu

|ψ, phys〉 = |ψ,±〉 ⊗ |0, L,T 〉+∞

∑n=1|ψ(n),±〉 ⊗ |ψ(n), L〉

kde |ψ,±〉 a |ψ(n),±〉 obsahují jen fyzikální polarizace h = ±1, t.j.napr.

|ψ,±〉 = ∑m,hi=±

∫ ( m

∏j=1dpj

)ψ(m)± (p1, h1 . . .) a+ (p1, h1) . . . |0,±〉

a |ψ(n), L〉 obsahuje n operátoru a+ (p, L)

|ψ(n), L〉 =∫ ( n

∏j=1dpj

)ψ(n)L (p1, . . . , pn)

n

∏k=1

a+ (pk , L) |0, L,T 〉



Fyzikální prostor H±,L tedy ješte obsahuje nefyzikální stavy,odpovídající kreacním operátorum a+ (p, L)Uvazujme stav |ψ, phys〉

|ψ, phys〉 = |ψ,±〉 ⊗ |0, L,T 〉+∞

∑n=1|ψ(n),±〉 ⊗ |ψ(n), L〉

kde

|ψ(n), L〉 =∫ ( n

∏j=1dpj

)ψ(n)L (p1, . . .) a+ (p1, L) . . . |0, L,T 〉

Protoze [a (p, L) , a+

(p′, L

)]= 0

máme pro n,m ≥ 1〈0, L,T |ψ(n), L〉 = 〈ψ(m), L|ψ(n), L〉 = 0

t.j. stavy obsahující alespon jeden kreacní operátor a+ (p, L) majínulovou normu



Odtud máme〈ψ, phys |ψ, phys〉 = 〈ψ,±|ψ,±〉

Obecneji, pro dva takové stavy |ψ, phys〉 a |χ, phys〉 máme

〈ψ, phys |χ, phys〉 = 〈ψ,±|χ,±〉

Prímes nefyzikálních stavu tedy nemá vliv na skalární soucin, ten jeplne urcen jen |ψ,±〉 a |χ,±〉 jejichz vyjádrení pomocí kreacníchoperátoru a+ (p, h) obsahuje jen operátory s helicitami h = ±1, t.j.

|ψ,±〉 = ∑n,hi=±

∫ ( n

∏j=1dpj

)ψ(n)± (p1, h1 . . .) a+ (p1, h1) . . . |0,±〉



Stavy, |ψ, phys〉 a |χ, phys〉 lišící se pouze o stav s nulovou normou,t.j. pokud

|ψ, phys〉 − |χ, phys〉 = |∆ψχ〉kde

|∆ψχ〉 = ∑ζ,α

|ζ,±〉 ⊗ |α, L〉

|α, L〉 = ∑n>0

∫ ( n

∏j=1dpj

)α(n)L (p1, . . .) a+ (p1, L) . . . |0, L,T 〉

je tedy treba ztotoznit.

Fyzikální podprostor je pak faktorprostor

Hphys = H±,L/H0

kde H0 je prostor natazený na vektory s nulovou normou typu |∆ψχ〉J. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 908 / 1311


Fyzikální pozorovatelná O pak musí splnovat

OH±,L ⊂ H±,LOH0 ⊂ H0

t.j. pro dva ekvivalentní stavy

|ψ, phys〉 = |χ, phys〉+ |∆ψχ〉, |∆ψχ〉 ∈ H0pak jsou stavy O |ψ, phys〉 a O |χ, phys〉 také ekvivalentníPro maticové elementy fyzikálních pozorovatelných pak platí

〈ψ, phys |O |ψ, phys〉 = 〈χ, phys |O |χ, phys〉+ 〈χ, phys |O |∆ψχ〉+〈∆ψχ|O |χ, phys〉+ 〈∆ψχ|O |∆ψχ〉

= 〈χ, phys |O |χ, phys〉

nebo ,t O |∆ψχ〉 ∈ H0 a stavy s nulovou normou jsou ortogonální všemstavum z H±,L



Operátory Aµ (x) toto kritérium nesplnují. Vskutku, nech ,t |ψ,±〉neobsahuje operátory a+ (p, L) a

|ψ, phys〉 = |ψ,±〉+

+ ∑∞n=1 |ψ(n),±〉 ⊗

∫ ( n

∏j=1dpj

)ψ(n)L (p1, . . .) a+ (p1, L) . . . |0, L,T 〉

pak sice

〈ψ, phys |a (p,±) |ψ, phys〉 = 〈ψ,±|a (p,±) |ψ,±〉〈ψ, phys |a+ (p,±) |ψ, phys〉 = 〈ψ,±|a+ (p,±) |ψ,±〉

〈ψ, phys |a (p, L) |ψ, phys〉 = 〈ψ,±|a (p, L) |ψ,±〉 = 0〈ψ, phys |a+ (p, L) |ψ, phys〉 = 〈ψ,±|a+ (p, L) |ψ,±〉 = 0



Ale s uzitím[a (p,T ) ,

∫dqψ(1) (q) a+ (q, L)

]= −ψ(1) (p)

dostaneme

〈ψ, phys |a (p,T ) |ψ, phys〉= 〈ψ,±|a (p,T ) |ψ,±〉 − ψ

(1)L (p) 〈ψ,±|ψ(1),±〉

a analogicky

〈ψ, phys |a+ (p,T ) |ψ, phys〉= 〈ψ,±|a+ (p,T ) |ψ,±〉 − ψ

(1)L (p)∗ 〈ψ(1),±|ψ,±〉



Odtud

〈ψ, phys |Aµ (x) |ψ, phys〉= 〈ψ,±|Aµ (x) |ψ,±〉

−∫dpε

µ

(T ) (p) e−ip·xψ(1)L (p) 〈ψ,±|ψ(1),±〉

−∫dpε

µ∗(T ) (p) eip·xψ

(1)L (p)∗ 〈ψ(1),±|ψ,±〉

Ale εµ

(T ) = ipµ/√2 |p|, takze

〈ψ, phys |Aµ (x) |ψ, phys〉 = 〈ψ,±|Aµ (x) |ψ,±〉+ ∂µα (x)

kde

α (x) =∫dp

1√2 |p|

e−ip·xψ(1)L (p) 〈ψ,±|ψ(1),±〉+ h.c



Volnost ve výberu |∆ψχ〉 se zde projevuje jako reziduální kalibracnítransformace maticového elementu

Cvicení: Presvedcte se, ze operátory P a H representují fyzikálnípozorovatelné a ze efektivne

〈ψ, phys |H |ψ, phys〉 = 〈ψ,±|H±|ψ,±〉

kdeH± = ∑

h=±

∫dp |p| a+ (p, h) a (p, h)

a obdobne pro P



Uvazujme obecný prípad s ξ 6= 1. Pro chronologickou kontrakci máme

TAµ (x)Aν (y)− : Aµ (x)Aν (y) := 〈0|TAµ (x)Aν (y) |0〉

Ukazme, ze(δ

µα −

(1− 1

ξ

)∂µ∂α

)〈0|TAα (x)Aν (y) |0〉 = iηµνδ(4) (x − y)

Vskutku, máme(δ

µα −

(1− 1

ξ

)∂µ∂α

)〈0|TAα (x)Aν (y) |0〉

=

(δ

µα −

(1− 1

ξ

)∂µ∂α

)θ(x0 − y0

)〈0|Aα (x)Aν (y) |0〉

+

(δ

µα −

(1− 1

ξ

)∂µ∂α

)θ(y0 − x0

)〈0|Aν (y)Aα (x) |0〉



Ale pro libovolnou funkci f (x) máme

∂α∂β

[θ(±x0 ∓ y0

)f (x)

]= θ

(±x0 ∓ y0

)∂α∂βf (x)± ηα0ηβ0δ

′ (x0 − y0) f (x)±ηα0δ

(x0 − y0

)∂βf (x)± ηβ0δ

(x0 − y0

)∂αf (x)

= θ(±x0 ∓ y0

)∂α∂βf (x)± ηα0ηβ0δ

′ (x0 − y0) f (x) |x 0=y 0∓ηα0ηβ0δ

(x0 − y0

)∂0f (x) |x 0=y 0

±ηα0δ(x0 − y0

)∂βf (x) |x 0=y 0 ± ηβ0δ

(x0 − y0

)∂αf (x) |x 0=y 0



Tedy

〈0|TAµ (x)Aν (y) |0〉 =

= 〈0|TAµ (x)Aν (y) |0〉+δ′

(x0 − y0

)〈0| [Aµ (x) ,Aν (y)] |0〉|x 0=y 0

+δ(x0 − y0

)〈0| [∂0Aµ (x) ,Aν (y)] |0〉|x 0=y 0

= 〈0|TAµ (x)Aν (y) |0〉+δ(x0 − y0

)〈0| [∂0Aµ (x) ,Aν (y)] |0〉|x 0=y 0

a tak

〈0|TAµ (x)Aν (y) |0〉 =

= 〈0|TAµ (x)Aν (y) |0〉+δ(x0 − y0

)〈0| [∂0Aµ (x) ,Aν (y)] |0〉|x 0=y 0



Podobne

∂µ∂α〈0|TAα (x)Aν (y) |0〉 =

= 〈0|T ∂µ∂αAα (x)Aν (y) |0〉+δ′

(x0 − y0

)〈0| [Aµ (x) ,Aν (y)] |0〉|x 0=y 0

+δ(x0 − y0

)ηµ0〈0| [∂αAα (x) ,Aν (y)] |0〉|x 0=y 0

= 〈0|T ∂µ∂αAα (x)Aν (y) |0〉+δ(x0 − y0

)ηµ0〈0| [∂αAα (x) ,Aν (y)] |0〉|x 0=y 0

a nakonec

∂µ∂α〈0|TAα (x)Aν (y) |0〉 =

= 〈0|T ∂µ∂αAα (x)Aν (y) |0〉+δ(x0 − y0

)ηµ0〈0| [∂αAα (x) ,Aν (y)] |0〉|x 0=y 0



Pritom∂αAα = −ξπ0

odkud

[∂αAα (x) ,Aν (y)] δ(x0 − y0

)= ξδν

0iδ(4) (x − y)

Podobne

∂0Aµ = ηµ0 (−ξπ0 − ∂iAi)−

3

∑j=1

ηµj (πj − ∂jA0)

a tak

[∂0Aµ (x) ,Aν (y)] δ(x0 − y0

)= iδ(4) (x − y)

(ηµ0δν

0ξ +3

∑j=1

ηµjδνj

)



Celkem tedy (δ

µα −

(1− 1

ξ

)∂µ∂α

)〈0|TAα (x)Aν (y) |0〉

= δ(x0 − y0

) [〈0| [∂0Aµ (x) ,Aν (y)] |0〉|x 0=y 0

−(1− 1

ξ

)ηµ0〈0| [∂αAα (x) ,Aν (y)] |0〉|x 0=y 0

]= iδ(4) (x − y)

(ηµ0δν

0ξ +3

∑j=1

ηµjδνj

)

−(1− 1

ξ

)ηµ0ξδν

0iδ(4) (x − y)

= iηµνδ(4) (x − y)



Máme tak(δ

µα −

(1− 1

ξ

)∂µ∂α

)〈0|TAα (x)Aν (y) |0〉 = iηµνδ(4) (x − y)

Pišme

〈0|TAµ (x)Aν (y) |0〉 =∫ d4p

(2π)4e−ip·x i ∆µν

F (p, ξ)

potom (−p2δµ

α +

(1− 1

ξ

)pµpα

)∆ανF (p, ξ) = ηµν



Upravme ješte

−p2δµα +

(1− 1

ξ

)pµpα = −p2 (ΠT )

µα −

1ξp2 (ΠL)

µα

kde

(ΠL)µα =

pµpα

p2, (ΠT )

µα = δ

µα −

pµpα

p2

jsou podélný a transverzální projektor,

Π2L,T = ΠL,T , ΠL ·ΠT = 0, ΠL +ΠT = 1



Máme tak (−p2ΠT −

1ξp2 (ΠL)

)· ∆F (p, ξ) = η

resp. (−p2ΠT −

1ξp2 (ΠL)

)· ∆F (p, ξ) · η = 1

odkud

∆F (p, ξ) · η =

(−p2ΠT −

1ξp2 (ΠL)

)−1= − 1

p2 + i0ΠT − ξ

1p2 + i0

ΠL



Konecne

〈0|TAµ (x)Aν (y) |0〉 =∫ d4p

(2π)4e−ip·x i ∆µν

F (p, ξ)

kde

i ∆µνF (p, ξ) = −

ip2 + i0

(ηµν − (1− ξ)

pµpν

p2

)Výsledný propagátor je kovariantní, je limitou pro m→ 0kovariantního propagátoru hmotného vektorového pole

Pro ξ → 1 prechází v propagátor ve Feynmanove kalibraci. V limiteξ → 0 je prícný, (tzv. Landauova kalibrace).

Limita ξ → ∞ neexistuje



V obecné kalibraci závisí chronologická kontrakce pole Aµ (x) nalibovolném parametru ξ

Jak ukázeme pro konkrétní interagující teorie, fyzikální velciny na ξnezávisí.

Zde fyzikální veliciny jsou1 elementy S−matice na fyzikálním prostoru2 maticové elementy kalibracne invariantních operátoru mezi fyzikálnímistavy

3 Greenovy funkce kalibracne invariantních operátoru

Greenovy funkce operátoru Aµ (x) však na ξ obecne závisí, nebo ,tAµ (x) nerepresentují fyzikální pozorovatelné



Intuitivní argument pro nezávislost elementu S−matice na ξ jenásledující. Uvazujme interakci se zachovávajícím se proudem

LI = JµAµ

kde∂ · J = 0

Potom píšeme-li

Jµ (x) =∫ d4p

(2π)4e−ip·x Jµ (p)

platí jako dusledek zachování proudu

pµJµ (p) = 0



Pro typický stavební blok Wickova rozvoje S−matice pak máme∫d4xd4yJµ (x)Aµ (x)Aν (y) Jν (y)

=∫ d4p

(2π)4Jµ (p) i ∆

µνF (p, ξ) Jν (−p)

= −i∫ d4p

(2π)4Jµ (p) Jν (−p)p2 + i0

(ηµν − (1− ξ)

pµpν

p2

)= −

∫ d4p

(2π)4iηµν

p2 + i0Jµ (p) Jν (−p)

nebo ,tpµJµ (p) = −pµJµ (−p) = 0

Výsledek je tak stejný jako ve Feynmanove kalibraci ξ = 1 a nezávisítedy na ξ


Diskrétní symetrie S-matice a CPT teorém

Symetrie S−matice a CPT teorémJak víme, S−matice je symetrická vzhledem k vlastním ortochronímLorentzovým transformacím, pokud se interakcní Hamiltoniántransformuje jako skalár

U0 (Λ, a)HID (x)U0 (Λ, a)+ = HID (Λx + a)

platí[HID (x) ,HID (y)] = 0, (x − y)2 < 0

a chronologický soucin a chronologické kontrakce jsou kovariantní

Pro S−matici v Diracove obrazu pak platí

U0 (Λ, a)+ SU0 (Λ, a) = S



Na úrovni maticových elementu pak máme

〈p′i , s ′i ; q′j , h′j |U0 (Λ, a)+ SU0 (Λ, a) |pl , sl ; qm , hm〉

= 〈p′i , s ′i ; q′j , h′j |S |pl , sl ; qm , hm〉

kde pl , sl resp. qm , hm jsou impuls a spin v klidovém systému resp.impuls a helicita pro cástice s nenulovu resp. nulovou hmotou

Pripomenme

U0 (Λ, a) |p, s〉 = eia·ΛpD(j)sσ (W (p,Λ)) |Λp, σ〉U0 (Λ, a) |q, h〉 = eia·Λqeihθ(q,Λ)|Λq, h〉



T.j. pro Λ = 1

〈p′i , s ′i ; q′j , h′j |S |pl , sl ; qm , hm〉 = eia·(Pi−Pf )〈p′i , s ′i ; q′j , h′j |S |pl , sl ; qm , hm〉

Odtud, protoze levá strana nezávisí na a, dostáváme známý vztah

〈p′i , s ′i ; q′j , h′j |S |pl , sl ; qm , hm〉 = δfi + i (2π)4 δ(4) (Pf − Pi ) Tfi

Pro a = 0

〈p′i , s ′i ; q′j , h′j |S |pl , sl ; qm , hm〉

= ∏i ,jD(ji )∗s ′i σ

′i

(W(p′i ,Λ

))e−ih

′j θ(q ′j ,Λ)∏

l ,m

D(ji )slσl (W (pl ,Λ)) eihmθ(qm ,Λ)

〈Λp′i , σ′i ;Λq′j , h′j |S |Λpl , σl ;Λqm , hm〉



Na úrovni in a out stavu

〈p′i , s ′i ; q′j , h′j |S |pl , sl ; qm , hm〉 = 〈p′i , s ′i ; q′j , h′j , out|pl , sl ; qm , hm , in〉

a relativistická invariance znamená

U (Λ, a) |pl , sl ; qm , hm , in〉= eia·ΛPi ∏

l ,m

D(ji )slσl (W (pl ,Λ)) eihmθ(qm ,Λ)|Λpl , σl ;Λqm , hm , in〉

a podobne pro out stav



Pro transformaci parity (pokud je na prostoru volných stavurepresentována operátorem P), znamená invariance S−maticevzhledem k P

P+SP = SPro maticové elementy

〈p′i , s ′i ; q′j , h′j |P+SP|pl , sl ; qm , hm〉 = 〈p′i , s ′i ; q′j , h′j |S |pl , sl ; qm , hm〉

t.j.


= ∏i ,j

η∗Piη∗Pje

ih′j θ(q′j)∏l ,m

ηPlηPme−ihmθ(qm )

×〈p′i , s ′i ; q′j ,−h′j |S |pl , sl ; qm ,−hm〉



Postacující podmínkou pro invarianci vzhledem k parite jetransformace interakcního Hamiltoniánu predpisem

PHID (x)P+ = HID (x)t.j. HI (x) musí být skalár vzhledem k parite.Vskutku, protoze platí

PH0P+ = H0a protoze

PHIP+ = P∫d3xHID (0, x)P+ =

∫d3xHID (0,−x)

=∫d3xHID (0, x) = HI

a tak

P+SP = limtf ,i→±∞

P+eiH0tf e−iH (tf −ti )e−iH0tiP

= limtf ,i→±∞

eiH0tf e−iH (tf −ti )e−iH0ti = SJ. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 932 / 1311


Invariace vzhledem k P muze být narušena1 pokud P neexistuje na prostoru stavu - napr. ve spektru jsounehmotné cástice s helicitou h a chybí cástice s helicitou −h, napr. veStandardním modelu s nulovou hmotou neutrin jsou pouze neutrina shelicitou h = −1 a chybí neutrina s helicitou h = 1

2 pokud HI (x) není skalár, ale lineární kombinace skaláru apseudoskaláru, napr. tzv. θ−clen v kvantové chromodynamice

Lθ =g2θ

32π2εµναβF aµνF

aαβ



Invariance vzhledem k nábojové konjugaci C vyzaduje

C+SC = S

Pro maticové elementy

〈p′i , s ′i ; q′j , h′j |C+SC|pl , sl ; qm , hm〉 = 〈p′i , s ′i ; q′j , h′j |S |pl , sl ; qm , hm〉

t.j.

〈p′i , s ′i ; q′j , h′j |S |pl , sl ; qm , hm〉= ∏

i ,jζ∗i ζ∗j ∏

l ,m

ζ l ζm〈p′i , s ′i ; q′j , h′j |S |pl , sl ; qm , hm〉

kde pi , si resp. qj , hj znací anticástici k pi , si resp. qj , hjT.j. pravepodobnost procesu s cásticemi je stejná jako pro proces santicásticemi



Postacující podmínkou pro C−invarianci je

CHID (x) C+ = HID (x)

Vskutku, protozeCH0C+ = H0

a protoze

CHI C+ = C∫d3xHID (0, x) C+ =

∫d3xHID (0, x) = HI

máme

C+SC = limtf ,i→±∞

C+eiH0tf e−iH (tf −ti )e−iH0ti C

= limtf ,i→±∞

eiH0tf e−iH (tf −ti )e−iH0ti = S



Invariance vzhledem k casové inverzi T vyzaduje

T +S+T = S

tedy pro maticové elementy

〈f |S |i〉 = 〈f |T +S+T |i〉 = 〈S+T i |T |f 〉 = 〈T i |S |T f 〉

nebo podrobneji


= ∏i ,j

ηTi (−1)j ′i−s ′i ηTje

ih′j θ(q′j)∏l ,m

η∗Tl (−1)jl−sl η∗Tme−ihmθ(qm )

×〈pl ,−sl ; qm , hm |S |p′i ,−s ′i ; q′j , h′j 〉



Postacující podmínkou invariance vzhledem k casové inverzi T je

T HID (x) T + = HID (−x)

Vskutku, protozeT H0T + = H0

a protoze

T HIT + = T∫d3xHID (0, x) T + =

∫d3xHID (0, x) = HI

máme

T ST + = limtf ,i→±∞

T eiH0tf e−iH (tf −ti )e−iH0tiT +

= limtf ,i→±∞

e−iH0tf eiH (tf −ti )eiH0ti

nebo ,t T je antiunitárníJ. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 937 / 1311


Úpravami dostaneme postupne

T ST + = limtf ,i→±∞

e−iH0tf eiH (tf −ti )eiH0ti

= limtf ,i→±∞

(e−iH0ti e−iH (tf −ti )eiH0tf

)+= lim

tf ,i→±∞

(eiH0(−ti )e−iH ((−ti )−(−tf ))e−iH0(−tf )

)+= lim

−tf ,i→∓∞

(eiH0(−ti )e−iH ((−ti )−(−tf ))e−iH0(−tf )

)+= S+

a takT ST + = S+ ⇒ T +S+T = S



Kombinovaná CPT symetrie θ ≡ CPT implikuje

θ+S+θ = S

To dává pro maticové elementy

〈f |S |i〉 = 〈θi |S |θf 〉

t.j. podrobneji


= ∏i ,j

ηTiηPi ζ i (−1)j ′i−s ′i ηTjηPj ζ je

ih′j θ(p′j)−ih′j θ(−p′j)

∏l ,m

η∗Tlη∗Pl ζ∗l (−1)

ji−sl η∗Tmη∗Pmζ∗me−ihmθ(qm )+hmθ(−qm )

×〈pl ,−sl ; qm ,−hm |S |p′i ,−s ′i ; q′j ,−h′j 〉



Pri našem výberu kanonického boostu je

θ (p) = −πsign (p · e2) = −θ (−p)

takzeeihθ(p)−ihθ(−p) = e2ihθ(p) = e∓2ihπ = (−1)2h

Navíc, jak víme, fáze ηT je nefyzikální, nebo,t ji lze odstranit redefinicí

jednocásticových stavu. Lze ji tedy volit libovolne, vhodný výber jetakový, aby platilo

ηT ηP ζ = 1

Nakonec tedy CPT symetrie implikuje

〈p′i , s ′i ; q′j , h′j |S |pl , sl ; qm , hm〉= ∏

i ,j(−1)j

′i−s ′i (−1)2hj ∏

l ,m(−1)ji−sl (−1)2hm

×〈pl ,−sl ; qm ,−hm |S |p′i ,−s ′i ; q′j ,−h′j 〉



Postacující podmínka pro CPT symetrii zní

θHID (x) θ+ = HID (−x)

Odtud

θHI θ+ = θ

∫d3xHID (0, x) θ+ =

∫d3xHID (0,−x) = HI

a protozeθH0θ

+ = H0

je podobne jako v predchozích prípadech

θSθ+ = S+

Cvicení: Dokazte.



CPT teorém

V dalším ukázeme, ze postacující podmínka pro CPT symetrii

θHID (x) θ+ = HID (−x)je vzdy splnena, (t.j. S−matice je invariantní vzhledem k CPTsymetrii), pokud HID (x) je lokální hermitovský skalární operátorsestrojený ze skalárních, vektorových a bispinorových políJak víme kauzální volná pole se transformují vzhledem k diskrétnímsymetriím následovne:Skalární pole

T φ (x) T + = η∗T φ (−x) , Pφ (x)P+ = η∗Pφ (x)

Cφ (x) C+ = ζ∗φ (x)+

t.j. pri našem výberu ηT

θφ (x) θ+ = η∗T η∗P ζ∗φ (−x)+ = φ (−x)+



Diracovo pole

T ψ (x) T + = −η∗TCγ5ψ (−x)Pψ (x)P+ = η∗Pγ0ψ (x)

Cψ (x) C+ = ζ∗Cψ (x)T

takze s uzitím Cγ0T = −γ0C a Cγ5C = −Cγ5C−1 = −γ5

θψ (x) θ+ = −η∗T η∗P ζ∗γ5ψ+ (−x)T = −γ5ψ+ (−x)T

Odtud

θψ (x) θ+ = θψ+ (x) γ0θ+ = θψ+ (x) θ+γ0∗ = −ψ (−x)T γ5+γ0∗

= −ψ (−x)T γ5γ0



Celkem tedy

θψ (x) θ+ = −γ5ψ+ (−x)T , θψ (x) θ+ = −ψ (−x)T γ5γ0

Pro bilineární formy konstruované pomocí Diracova pole

θ : ψ1 (x) Γψ2 (x) : θ+ = : ψ1 (−x)T γ5γ0Γ∗γ5ψ+2 (−x)

T := − : ψ+2 (−x) γ5T Γ+γ0T γ5Tψ1 (−x) := − : ψ+2 (−x) γ5Γ+γ0γ5ψ1 (−x) := : ψ+2 (−x) γ5Γ+γ5γ0ψ1 (−x) :

=[: ψ1 (−x) γ5Γγ5ψ2 (−x) :

]+a pritom platí

γ51γ5 = 1, γ5(γ5)

γ5 = γ5, γ5γµγ5 = −γµ,

γ5(γµγ5

)γ5 = −γµγ5, γ5σµνγ5 = σµν

⇒ θ : ψ1 (x) Γψ2 (x) : θ+ = (−1)rank(Γ) [: ψ1 (−x) Γψ2 (−x) :]+



Pro vektorové pole

T V µ (x) T + = η∗T Vµ (−x)

PV µ (x)P+ = −η∗P Vµ (x)

CV µ (x) C+ = ζ∗V µ (x)+

takzeθV µ (x) θ+ = −η∗T η∗P ζ∗V µ (−x)+

a takθV µ (x) θ+ = −V µ (−x)+

Pro tensorová pole, odpovídající derivacím skalárních a vektorovýchpolí nebo fermionových bilineárních forem tedy platí

θT µ1µ2 ...µn (x) θ+ = (−1)n T µ1µ2 ...µn (−x)+



Obecný interakcní Hamiltonián HID (x) je hermitovskou lineárníkombinací skalárních normálne usporádaných monomu sestrojených ztensoru T µ1µ2 ...µn (x), schematicky

HID (x) = ∑i1 ...in

ci1 ...in : T (i1) (x) · . . . · T (in) (x) :

V jednotlivých monomech vzdy musí být sudý pocet kontrahovanýchlorentzovských indexu

Máme tak schematicky

θHID (x) θ+ = ∑i1 ...in

c∗i1 ...in : T (i1) (−x)+ · . . . · T (in) (−x)+ :



Tedy úpravou

θHID (x) θ+ = ∑i1 ...in

c∗i1 ...in : T (i1) (−x)+ · . . . · T (in) (−x)+ :

= ∑i1 ...in

c∗i1 ...in : T (in) (−x)+ · . . . · T (i1) (−x)+ :

= ∑i1 ...in

c∗i1 ...in :[T (i1) (−x) · . . . · T (in) (−x)

]+:

=

[∑i1 ...in

ci1 ...in : T (i1) (−x) · . . . · T (in) (−x) :

]+= HID (−x)+ = HID (−x)



Teorém lze dokázat i pro prípad, kdy HID (x) je lokální hermitovskýskalární operátor sestrojený z obecných kauzálních polí asociovaných scásticemi s libovolným spinemPro pole φ(j1,j2) (x) transformující se podle ireducibilní representaceD(j1,j2) totiz platí

θφ(j1,j2) (x) θ+ = (−1)2j2 φ(j1,j2) (−x)+

Aby existoval monom, sestrojený z takovýchto polí

O (x) = ∏i

φ

(j (i )1 ,j

(i )2

)(i ) (x)

který by se transformoval jako skalár, musí tenzorový soucinrepresentací D(j1,j2) obsahovat skalární representaci D(0,0), t.j.⊗

i

D(j (i )1 ,j

(i )2

)= D(0,0) ⊕ . . .



To je mozné pouze tehdy, jsou-li císla J1,2, kde

J1 ≡∑ij (i )1 , J2 ≡∑

ij (i )2

celá

Tedy podobne jako v predchozím speciálním prípade je znaménkovýfaktor (−1)2J2 = 1 a tak pro lokální normálne usporádanýhermitovský Hamiltonián kostruovaný z normálne usporádanýchskalárních monomu typu O (x) platí

θHID (x) θ+ = HID (−x)+ = HID (−x)

V rámci (poruchové) kvantové teorie pole je tedy CPT symetrie vzdysymetrií interakcního Hamiltoniánu a S−matice.


Kvantová elektrodynamika


(Spinorová) Kvantová elektrodynamika popisuje interakci fotonu,(nehmotných cástic s helicitou h = ±1, JPC = 1−−) a nabitýchfermionu se spinem J = 1

2 (leptonu, kvarku)

Jak víme, s fotony lze asociovat kauzální pole Aµ (x), které, pokudobsahuje pouze fyzikální polarizace, se netransformuje jako ctyrvektor,nebo, pokud se transformuje jako ctyrvektor, obsahuje kromefyzikálních polarizací i nefyzikální polarizace T , L

V obou prípadech je treba pozadovat kalibracní invarianci, v prvnímprípade abychom zajistili lorentzovskou invarianci, ve druhém pakabychom eliminovali nefyzikální stupne volnosti a závislost nalibovolném “kalibraci fixujícím parametru“ ξ



Invariance interakcní akce vzhledem ke kalibracní transformaci

A′ (x) = A (x) + ∂α (x)

(alespon on-shell, t.j. jsou-li splneny volné pohybové rovnice) je taknutnou podmínkou konzistence poruchové teorieNabité fermiony a jejich anticástice lze asociovat s Diracovskýmpolem ψ (x) s volným Lagrangiánem

L0 = ψ (x) (iγ · ∂−m)ψ (x)

který má globální U (1) symetrii s parametrem α

ψ′ (x) = e−ieαψ (x) , ψ′(x) = eieαψ (x)

kde e je libovolná konstanta (elektrický náboj), jak víme, tatosymetrie implikuje zachování noetherovského proudu

Jµ = −eψγµψ



Konzistentní Interakcní Lagrangián lze tedy sestrojit jako

LI = JµAµ = −eψγ · Aψ

Všimneme si, ze celkový fermionový Lagrangián lze zapsat ve tvaru

Lψ = L0 + LI = ψ (x) (iγ ·D −m)ψ (x)

kde Dµ je tzv. kovariantní derivace

Dµ = ∂µ + ieAµ

Lψ je invariantní vzhledem k lokální U (1) kalibracní symetrii sparametrem α (x) závislým na x

A′ (x) = A (x)+ ∂α (x) , ψ′ (x) = e−ieα(x )ψ (x) , ψ′(x) = eieα(x )ψ (x)



Cvicení: Ukazte, ze pri lokální U (1) kalibracní transformaci platí[Dµψ (x)

]′= e−ieα(x )Dµψ (x) .

S vyuzitím tohoto výsledku ukazte, ze Lagrangián Lψ je invariantnívzhledem k lokální U (1) kalibracní transformaci.

Kalibracne invariantní Lagrangián Lψ lze obdrzet formálne z volnéhoLagrangiánu L0 zámenou parciální derivace za kovariantní derivaci

∂µ → Dµ = ∂µ + ieAµ

Tento zpusob zavedení elektromagentické interakce se nazýváminimální vazba. Existují i jiné mozné neminimální kalibracneinvariantní interakcní cleny, napr. tzv. Pauliho clen LI ,µ (interakce smagnetickým momentem) nebo clen LI ,d odpovídající interakci selektrickým dipólovým momentem, explicite

LI ,µ = gem

ψσµνψFµν, LI ,d = dem

ψγ5σµνψFµν



Všimneme si, ze v dusledku kalibracní symetrie Lψ se proud Jµ

zachovává i v interagující teorii. To je nutné pro eliminacinefyzikálních stupnu volnosti a nezávislost na “kalibraci fixujícímparametru“ ξ v kovariantní formulaci pro interagující pole Aµ (x)

Lokální U (1) kalibracní symetrie celkového lagrangiánu Lψ je taknutným dusledkem konzistence kvantové elektrodynamiky

Naopak, lokální U (1) kalibracní symetrie spolu s výctem polí apozadavkem renormalizovatelnosti jednoznacne definuje kvantovouelektrodynamiku.



Vskutku, sestrojme nejobecnejší klasický Lagrangián ve tvaru

L = ∑igiO(i ) (x)

kde gi jsou c-císelné konstanty a operátory O(i ) (x) obsahujínehmotné vektorové pole Aµ (x) a bispinorové pole ψ (x)

Pozadujme splnení následujících podmínek1 lokalita2 lorentzovská invariance3 hermiticita4 U (1) kalibracní symetrie5 renormalizovatelnost, t.j. dimO(i ) (x) ≤ 4



Nejobecnejší Lagrangián, vyhovující temto podmínkám, je sestrojen zoperátoru dimenze dimO = 3, 4

ψψ, ψγ5ψ, F µνFµν, ψγ ·Dψ, ψγ ·Dγ5ψ

kdeD = ∂+ ieA

Poznamenejme, ze pozadavek renormalizovatelnosti vylucuje Paulihoclen a elektrický dipólový clen, nebo ,t

dim[ψσµνψFµν

]= dim

[ψγ5σµνψFµν

]= 5

Pišme tedy

L= − 14ZF µνFµν + ZRψiγ ·D 1+ γ5

2ψ+ ZLψiγ ·D 1− γ5

2ψ

−Mψ1− γ5

2ψ−M∗ψ1+ γ5

2ψ



Jak víme, v chirální representaci

ψ =

(ψRψL

)odkud

1+ γ5

2ψ =

(ψR0

),

1− γ5

2ψ =

(0

ψL

)a

ψiγ ·D 1+ γ5

2ψ = iψ+R σ ·DψR

ψiγ ·D 1− γ5

2ψ = iψ+L σ ·DψL

ψ1± γ5

2ψ = ψ+L,RψR ,L



Tedy redefinicí

A→ Z−1/2A, e → Z 1/2e, ψR ,L → Z−1/2R ,L ψR ,L, M → Z 1/2

R Z 1/2L M

prejde Lagrangián L

L= − 14ZF µνFµν + ZR iψ

+R σ ·DψR + ZL iψ

+L σ ·DψL

−Mψ+R ψL −M∗ψ+L ψR

na tvar

L = −14F µνFµν + iψ+R σ ·DψR + iψ

+L σ ·DψL

−Mψ+R ψL −M∗ψ+L ψR

= −14F µνFµν + ψiγ ·Dψ−Mψ

1− γ5

2ψ−M∗ψ1+ γ5

2ψ



Ale jak jiz víme, redefinicí

ψ→ e−iθγ5ψ

pro vhodné θ lze poslední dva cleny prevést na tvar

−Mψ1− γ5

2ψ−M∗ψ1+ γ5

2ψ→ −mψψ

kde m > 0

Nakonec tedy bez újmy na obecnosti

L = −14F µνFµν + ψ (iγ ·D −m)ψ



Všimneme si, ze výsledný Lagrangián jiz automaticky splnujepodmínky invariance vzhledem k P a CDále budeme konstruovat kvantovou teorii v kovariantním formalismu,tedy modifikujeme Lagrangián pridáním clenu fixujícího kalibraci

L = L0 + Lξ + LI

= −14F µνFµν −

12ξ(∂ · A)2 + ψ (iγ ·D −m)ψ

Interakcní Lagrangián má pozadovaný tvar

LI = JµAµ

kde∂µJµ = 0

V prípade, ze uvazujeme více typu nabitých fermionových polí ψ (x , i)s náboji ei a hmotami mi , zameníme D → Di = ∂+ ieiA a

ψ (iγ ·D −m)ψ→∑i

ψ (x , i) (iγ ·Di −mi )ψ (x , i)



LSZ formule pro fotony

Pro jednoduchost polozme ξ = 1. Potom, jak jiz víme, v Diracoveobrazu

Aµ (x) = 0

a jako dusledek (pripomenme ε(L) · ε(T ) = 1)

a (p,±) = −i∫d3x ε

µ

(±) (p)∗ eip·x

←→∂ 0Aµ (x)D

a (p,T ) = i∫d3x ε

µ

(L) (p)∗ eip·x

←→∂ 0Aµ (x)D

a (p, L) = i∫d3x ε

µ

(T ) (p)∗ eip·x

←→∂ 0Aµ (x)D



Pro in a out pole ve smyslu slabé operátorové limity

Aµ (x)in,out = limx 0→∓∞

Aµ (x)H

dostaneme stejne

ain,out (p,±) = −i∫d3x ε

µ

(±) (p)∗ eip·x

←→∂ 0Aµ (x)in,out

ain,out (p,T ) = i∫d3x ε

µ

(L) (p)∗ eip·x


ain,out (p, L) = i∫d3x ε

µ

(T ) (p)∗ eip·x




Stejným postupem jako v prípade skalárního pole odtud plyne

aout (p,±)− ain (p,±) = −i∫d4xeip·x ε

µ

(±) (p)∗Aµ (x)H

aout (p,T )− ain (p,T ) = i∫d4xeip·x ε

µ

(L) (p)∗Aµ (x)H

aout (p, L)− ain (p, L) = i∫d4xeip·x ε

µ

(T ) (p)∗Aµ (x)H

a hermitovským sdruzením podobné formule pro kreacní in a outoperátory.

a+out (p,±)− a+in (p,±) = i∫d4xe−ip·x ε

µ

(±) (p)Aµ (x)H

a+out (p,T )− a+in (p,T ) = −i∫d4xe−ip·x ε

µ

(L) (p)Aµ (x)H

a+out (p, L)− a+in (p, L) = −i∫d4xe−ip·x ε

µ

(T ) (p)Aµ (x)H



Ve Feynmanove kalibraci jsou Heisenbergovy pohybové rovniceekvivalentní rovnicím

Aµ (x)H = −Jµ (x)H = eψ (x)H γµψ (x)H

takze nakonec

aout (p,±)− ain (p,±) = i∫d4xeip·x ε

µ

(±) (p)∗ Jµ (x)H

aout (p,T , L)− ain (p,T , L) = −i∫d4xeip·x ε

µ

(L,T ) (p)∗ Jµ (x)H

a

a+out (p,±)− a+in (p,±) = −i∫d4xe−ip·x ε

µ

(±) (p) Jµ (x)H

a+out (p,T , L)− a+in (p,T , L) = i∫d4xe−ip·x ε

µ

(L,T ) (p) Jµ (x)H

V této poslední forme formule zustávají v platnosti i pro obecné ξ 6= 1J. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 964 / 1311


Pro elementy S−matice tedy potrebujeme znát Greenovy funkcezachovávajících se proudu

Jµ (x)H = −eψ (x)H γµψ (x)H

a operátoru ψ (x)H a ψ (x)H , t.j.

〈Ω|Tψ (x1)H . . . ψ (y1)H . . . Jµ1(z1)H . . . |Ω〉

LSZ redukce fermionových stavu je standardní, napr. pro cástici k, s vout stavu

−i∫d4xeik ·xua (k, s) (iγ · ∂x −m)ab 〈Ω|T . . . ψb (x)H . . . |Ω〉

atd.



LSZ formule pro fyzikální polarizace fotonu s helicitou h = ±1 mápak tvar

〈pihi , out|qj , hj , in〉 = ∏i

∫d4xieipi ·xi iε

µi(hi )(pi )

∗

×∏i

∫d4yje−iqj ·yj iε

νj(hj )(qj )

×〈Ω|TJµ1(x1)H . . . Jν1 (y1)H . . . |Ω〉

V p−representaci

〈pihi , out|qj , hj , in〉 = ∏iiεµi(hi )(pi )

∗∏iiενj(hj )(qj )

×〈Ω|TJµ1(p1)H . . . Jν1 (−q1)H . . . |Ω〉



Formálne dostaneme i pro nefyzikální polarizace, schematicky vp−representaci

〈pi , L, qk ,T , out|kj , L, lm ,T , in〉 =

= ∏i(−i) ε

µi(T ) (pi )

∗∏k(−i) ενk

(L) (qk )∗∏j(−i) ε

κj(T ) (kj )∏

m(−i) ελm

(L) (lm)

×〈Ω|TJµ1(p1)H . . . Jν1 (q1)H . . . Jκ1 (−k1)H . . . Jλ1 (−l1)H |Ω〉

T.j. pro LSZ redukci fotonu s nefyzikální polarizaci L je treba násobitGreenovu funkci proudu polarizacním vektorem ε

µ

(T ) (p) a naopak



Odtud máme okamzite Feynmanova pravidla pro vnitrní linky ainterakcní vertex



Pro výpocet Greenových funkcí typu

〈Ω|T ψa (p)H . . . ψa (p)H . . . Aµ (q)H . . . |Ω〉

potrebujeme ješte interpretovat vnejší vertexy jako

- zde pole pri ctení Feynmanova grafu nevypisujemePro výpocet Greenových funkcí typu

〈Ω|T ψa (p)H . . . ψa (p)H . . . i Jµ (q)H . . . |Ω〉

potrebujeme vnejší vertex odpovídající proudu i Jµ



Ze známých redukcních formulí pro spinorové pole plynou pravidla provnejší fermionové linky



Z redukcních formulí dostaneme pro vnejší fotonové linky sfyzikálními polarizacemi

Podobne pro vnejší fotonové linky s nefyzikálními polarizacemi



Tato Feynmanova pravidla odpovídají poruchové konstrukci S−maticena Fockove prostoru s indefinitní metrikou, který obsahuje kromefotonu s helicitou h = ±1 i fotony s nefyzikálními polarizacemi L a TAby teorie byla konzistentní, je treba ukázat, ze takto zkonstruovanáS−matice splnuje podmínky pro fyzikální pozorovatelné, t.j.

1 Prostor fyzikálních stavu H±,L definovaný podmínkou

∂ · A(+) (x) |phys〉 = 0

je invariantní vzhledem S2 Maticové elementy S−matice mezi fyzikálními stavy jsou nezávislé navýberu representantu ve faktorprostoru

Hphys = H±,L/H0



Ukazme, ze H±,L je invariantní vzhledem S . K tomu stací ukázat, zepro stav S |i , phys〉 platí

a (p, L) S |i , phys〉 = 0

neboli〈f |S |i , phys〉 = 0

kdykoliv 〈f | obsahuje alespon jeden operátor a (p, L), t.j.

〈f | = 〈ψ|a (p, L)

V takovém prípade lze s uzitím redukcních formulí maticový elementpsát ve tvaru

〈f |S |i , phys〉 = −iεµ

(T ) (p)∗ 〈ψ, out|Jµ (p)H |i , phys, in〉

kdeJµ (p)H =

∫d4xeip·xJµ (x)H



Pro polarizacní vektor εµ

(T ) (p) máme

εµ

(T ) (p) =i√2(1, p) =

i√2 |p|

pµ

Tedy

〈f |S |i , phys〉 = − 1√2 |p|

pµ〈ψ, out|Jµ (p)H |i , phys, in〉

Máme ale

−ipµJµ (p)H =∫d4xeip·x∂µJµ (x)H = 0

nebo ,t proud Jµ (x)H se zachováváKonecne tedy

〈f |S |i , phys〉 = − i√2 |p|〈ψ, out|∂µJµ (p)H |i , phys, in〉 = 0



Úplne stejne dokázeme, ze

〈f , phys |S |i〉 = 0

kdykoliv stav |i〉 obsahuje alespon jeden operátor a+ (p, L), t.j.

|i〉 = a+ (p, L) |ψ〉

Ukazme nyní, ze maticové elementy S−matice mezi fyzikálními stavyjsou nezávislé na výberu representantu ve faktorprostoru Hphys .Pišme pro |i〉, |f 〉 ∈ H±,L

|i〉 = |i±〉+ |i , L〉|f 〉 = |f±〉+ |f , L〉

kde |i , f±〉 neobsahuje operátory a+ (p, L) a kde |i , f , L〉 ∈ H0 jsoustavy s nulovou normou obsahující alespon jeden operátor a+ (p, L)



Z formální unitarity S na celém prostoru s indefinitní metrikou H±,L,Tplyne ze pro |i , L〉 ∈ H0 platí S |i , L〉 ∈ H0. Vskutku,

〈Si , L|Si , L〉 = 〈i , L|S+S |i , L〉 = 〈i , L|i , L〉 = 0Potom, protoze kazdý |χ〉 ∈ H0 je orthogonální ke všem stavum zH±,L〈f |S |i〉 = 〈f ± |S |i±〉+ 〈f ± |S |i , L〉+ 〈f , L|S |i±〉+ 〈f , L|S |i , L〉

= 〈f ± |S |i±〉Tedy S−matice korektne definuje operátor S na fyzikálním Hilbertoveprostoru Hphys = H±,L/H0Vskutku, pro trídu stavu

|i〉 ≡ |i〉+H0definujme

S |i〉 = S |i〉+H0kde trída S |i〉 nezávisí na výberu representantu |i〉 nebo ,t SH0 ⊂ H0



Ukazme, ze S−matice je unitární na HphysVskutku, S−matice S je formálne unitární na celém prostoru sindefinitní metrikou H±,L,T , t.j. pro |i〉, |f 〉 ∈ H±,L,T

〈Sf |Si〉 = 〈f |i〉

Pak nech ,t |i〉, |f 〉 ∈ H±,L representují fyzikální stavy |i〉, |f 〉 ∈Hphys . Máme

〈S f |S i〉 = 〈Sf |Si〉 = 〈f |S+S |i〉 = 〈f |i〉 = 〈f |i〉

nebo ,t skalární soucin〈f |i〉 = 〈f ± |i±〉

nezávisí na výberu representantu



Jako ilustraci aplikace Feynmanových pravidel spocítejme amplituduprocesu

e− (k, s) µ− (p, σ)→ e−(k ′, s ′

)µ−(p′, σ′

)V nejnizším rádu poruchové teorie existuje jen jeden graf

Odtud máme pro amplitudu okamzite

iT cfi = ue (k ′, s ′)(−ieγα)ue (k, s) uµ(p′, σ′)(−ieγβ)uµ (p, σ)

× iq2

(−ηαβ + (1− ξ)

qαqβ

q2



Všimneme si, ze platí

(k · γ−me )ue (k, s) = 0, ue (k ′, s ′)(k ′ · γ−me ) = 0

a tedy

qαue (k ′, s ′)γαue (k, s) = ue (k ′, s ′)(k − k ′) · γue (k, s)

= ue (k ′, s ′)[(k · γ−me )− (k ′ · γ−me )

]ue (k, s)

= 0

a podobneqβuµ(p′, σ′)(−ieγβ)uµ (p, σ) = 0

Amplituda tedy nezávisí na parametru ξ a máme stejne jako pro ξ = 1

T cfi =e2

q2ue (k ′, s ′)γαue (k, s) uµ(p′, σ′)γαuµ (p, σ)



Poznamenejme, ze tuto amplitudu lze získat pomocí LSZ formulí zctyr bodové Greenovy funkce kalibracne neinvariantních operátoruψ (x), ψ (x)

Gabab(−p,−k, p′, k ′

)= 〈Ω|T

[ψa(p′, µ

)H ψb

(k ′, e

)H ψa (−p, µ)H ψb (−k, e)H

]|Ω〉

V nejnizším rádu poruchové teorie máme

Gabab(−p,−k, p′, k ′

)=



ExpliciteGabab

(−p,−k, p′, k ′

)=

=

[i

γ · k ′ −me(−ieγµ)

iγ · k −me

]bb

×[

iγ · p′ −mµ

(−ieγν)i

γ · p −mµ

]aa

× iq2

(−ηµν + (1− ξ)

qµqν

q2

)Tentoktát však

qµi


iγ · k −me

6= 0

qνi

γ · p′ −mµ(−ieγν)

iγ · p −mµ

6= 0



Vskutku, máme napr.

qµi


iγ · k −me

= −ie iγ · k ′ −me

[(k · γ−me )− (k ′ · γ−me )

] iγ · k −me

=ie

γ · k ′ −me− ie

γ · k −me

Stejne

qνi

γ · p′ −mµ(−ieγν)

iγ · p −mµ

=ie

γ · p −mµ− ie

γ · p′ −mµ



Takze nakonecGabab

(−p,−k, p′, k ′

)=

=e2

q2

[i

γ · k ′ −meγα i

γ · k −me

]bb

×[

iγ · p′ −mµ

γα

iγ · p −mµ

]aa

+e2

(q2)2(1− ξ)

[i

γ · k ′ −me− i

γ · k −me

]bb

×[

iγ · p −mµ

− iγ · p′ −mµ

]aa

T.j. Greenova funkce Gabab (−p,−k, p′, k ′) závisí explicite na ξ



Clen úmerný (1− ξ)

e2

(q2)2(1− ξ)

[i

γ · k ′ −me− i

γ · k −me

]bb

×[

iγ · p −mµ

− iγ · p′ −mµ

]aa

generuje celkem ctyri cleny,

e2

(q2)2(1− ξ)

[i

γ · k ′ −me

]bb

[i

γ · p −mµ

]aa

+ . . .

které mají vzdy jen dva on-shell póly, neprispívají tedy do LSZ formulípro ctyrcásticový maticový element S−matice



Pro amplitudu tak zreprodukujeme puvodní výsledek

T cfi =e2

q2ue (k ′, s ′)γαue (k, s) uµ(p′, σ′)γαuµ (p, σ)


|T cfi |2 ≡ 1

4 ∑s ,σ,s ′,σ′

|T cfi |2 =

8e4

(q2)4[(k · p)

(k ′ · p′

)+(k ′ · p

) (k · p′

)−m2e

(p · p′

)−m2µ

(k · k ′

)+ 2m2em

2µ

]



Cvicení: Ukazte, ze v laboratorním systému kde

p =(mµ, 0

), k = (E , k) , k ′ =

(E ′, k′

)k · k′ = |k| ·

∣∣k′∣∣ cos θ

platí

|T cfi |2 =

16e4

(q2)4m2µEE

′[1+

q2

4EE ′

(1− E − E

′

mµ

)− m2e2EE ′

E − E ′mµ

]



Cvicení: Ukazte, ze v laboratorním systému

dLIPS2(p′, k ′

)=

116π2

∣∣k′∣∣ dE ′dΩ′δ(E − E ′ + q2

2mµ

)Cvicení: Ukazte, ze v laboratorním systému

dσ

dΩ′dE ′=

(2α)2

(q2)4|k′||k| EE

′[1+

q2

4EE ′

(1− E − E

′

mµ

)+

m2e2EE ′

E − E ′mµ

]×δ

(E − E ′ + q2

2mµ

)a

dσ

dΩ′=

(2α)2

(q2)4mµ |k′|2

|k|(mµ |k′|+ E |k′| − E ′ |k| cos θ

)EE ′×[1+

q2

4EE ′

(1− E − E

′

mµ

)+

m2e2EE ′

E − E ′mµ



Cvicení: Ukazte, ze v limite mµ → ∞ platí tzv. Mottova formule,odpovídající rozptylu na statickém zdroji Colombického potenciálu

dσ

dΩ′mµ→∞→ α2

4E 2β4 sin2 θ2

(1− β2 sin2

θ

2

)kde

β =|k|E

a v nerelativistické limite β→ 0 pak známá Rutherfordova formule

dσ

dΩ′mµ→∞,β→0→ α2

4E 2β4 sin2 θ2



Explicitním dosazením

u (k, s) =γ · k +m√2 (Ee +m)

(χsχs

), u(k ′, s ′) =

(χ+s ′ ,χ

+s ′) γ · k ′ +m√

2 (E ′e +m)

dostaneme

ue (k ′, s ′)γ0ue (k, s) = (Ee +me )1/2 (E ′e +me)1/2

×χ+s ′

[1+

(k′ · σ) (k · σ)(Ee +me ) (E ′e +me )

]χs

ue (k ′, s ′)γue (k , s) = (Ee +me )1/2 (E ′e +me)1/2

×χ+s ′

[σ (k · σ)(Ee +me )

+(k′ · σ)σ

(E ′e +me )

]χs



Rozvojem v k/me a k′/me dostaneme nerelativistickou aproximaci

ue (k ′, s ′)γ0ue (k, s) = (Ee +me )1/2 (E ′e +me)1/2

×χ+s ′

[1+

(k′ · σ) (k · σ)(Ee +me ) (E ′e +me )

]χs

= 2me

(1+|k|2

8m2e+|k′|2

8m2e+ . . .

)

×χ+s ′

[1+

(k′ · σ) (k · σ)4m2e

+ . . .]

χs

ue (k ′, s ′)γue (k , s) = (Ee +me )1/2 (E ′e +me)1/2

×χ+s ′

[σ (k · σ)(Ee +me )

+(k′ · σ)σ

(E ′e +me )

]χs

= χ+s ′[σ (k · σ) +

(k′ · σ

)σ + . . .

]χs



Upravme ješte (k′ · σ

)(k · σ) = k′ · k+ i

(k′ × k

)· σ

σ (k · σ) +(k′ · σ

)σ = k′ + k+ i

(k− k′

)× σ

= k′ + k+ iq× σ

1q2

= − 1

|q|2 − (Ee − E ′e )2

= − 1

|q|2

1+(|k|2 − |k′|2

)28 |q|2m2e

+

(|p|2 − |p′|2

)28 |q|2m2µ

. . .



Tedy nakonec

ue (k ′, s ′)γ0ue (k , s)

= 2meχ+s ′

[1+|k|2

8m2e+|k′|2

8m2e+k′ · k+ i (k′ × k) · σ

4m2e+ . . .

]χs

ue (k ′, s ′)γue (k , s) = χ+s ′[k′ + k+ i

(k− k′

)× σ + . . .

]χs

Podobne

uµ(p′, σ′)γ0uµ (p, σ)

= 2mµχ+σ′

(1+|p|2

8m2µ+|p′|2

8m2µ+p′ · p+ i (p′ × p) · σ

4m2µ+ . . .

)χσ

uµ(p′, σ′)γuµ (p, σ) = χ+σ′[p′ + p+ i

(p− p′

)× σ + . . .

]χσ



Nakonec tedy v nerelativistickém priblízení

T cfi = − e2

|q|2

1+(|k|2 − |k′|2

)28 |q|2m2e

+

(|p|2 − |p′|2

)28 |q|2m2µ

×2meχ+s ′

(1+|k|2 + |k′|2

8m2e+k′ · k+ i (k′ × k) · σ

4m2e

)χs

×2mµχ+σ′

(1+|p|2 + |p′|2

8m2µ+p′ · p+ i (p′ × p) · σ

4m2µ

)χσ

−χ+s ′[k′ + k+ i

(k− k′

)× σ

]χs

·χ+σ′[p′ + p+ i

(p− p′

)× σ

]χσ



Abychom mohli tento výsledek interpretovat, je treba ješte prejít knerelativistické normalizaci

〈k′|k〉 = δ(3)(k− k′

)T cNRfi = δ(3) (Pf −Pi ) T cNRfi

t.j. prenormovat

T cfi → T cNRfi = (2π)3 T cfi ∏j

1√(2π)3 2Ej (pj )

=T cfi

(2π)3 2me2mµ

(1− |k|

2

4m2e− |k

′|2

4m2e+ . . .

)

×(1− |p|

2

4m2µ− |p

′|2

4m2µ+ . . .

)



Potom

T cNRfi = − e2

(2π)3 |q|2

1+(|k|2 − |k′|2

)28 |q|2m2e

+

(|p|2 − |p′|2

)28 |q|2m2e

×

χ+s ′

(1− |k|

2

8m2e− |k

′|2

8m2e+k′ · k+ i (k′ × k) · σ

4m2e

)χs

×χ+σ′

(1− |p|

2

8m2µ− |p

′|2

8m2µ+p′ · p+ i (p′ × p) · σ

4m2µ

)χσ

−χ+s ′

[k′ + k+ i

(k− k′

)× σ

2me

]χs

·χ+σ′[p′ + p+ i (p− p′)× σ

2mµ

]χσ



Nakonec

T cNRfi ≈ − e2

(2π)3 |q|2

1+(|k|2 − |k′|2

)28 |q|2m2e

+

(|p|2 − |p′|2

)28 |q|2m2µ

×

χ+s ′

(1− |q|

2

8m2e− i (q× k) · σ

4m2e

)χs

×χ+σ′

(1− |q|

2

8m2µ+i (q× p) · σ

4m2µ

)χσ

−χ+s ′

[2k− q+ iq× σ

2me

]χs · χ+σ′

[q+ 2p− iq× σ

2mµ

]χσ



Po úprave

− (2π)3

e2T cNRfi

≈ χ+s ′χsχ+σ′χσ

(1

|q|2− 18m2e− 18m2µ

− k · pmemµ |q|2

+(k · q) (p · q)memµ |q|4

)

−χ+s ′

(i (q× k) · σ4m2e |q|2

− i (q× p) · σ2memµ |q|2

)χsχ

+σ′χσ

+χ+s ′χsχ+σ′

(i (q× p) · σ4m2µ |q|2

− i (q× k) · σ2memµ |q|2

)χσ

−χ+s ′

[σ

2me

]χs · χ+σ′

[σ

2mµ

]χσ

+1

4memµ |q|2χ+s ′q · σχs · χ+σ′q · σχσ



V nerelativistické kvantové mechanice v Bornovské aproximaci

δ(3) (Pf −Pi ) T cNRfi = −〈p′, σ′; k′, s ′|V(xe − xµ, pe , pµ

)|p, σ; k, s〉

Vlozením jednotky

δ(3) (Pf −Pi ) T cNRfi = −∑ξζ

∫d3xed3xµ〈p′, σ′; k′, s ′|xe , ξ; xµ, ζ〉

×〈xe , ξ; xµ, ζ|V(xe − xµ, pe , pµ

)|p, σ; k, s〉

= −∫ d3xed3xµ

(2π)6e−ixµ·(p′−p)+ixε·(k−k′)

×χ+σ′χ+s ′V (r, k,p) χσχs

kde r = xe − xµ a predpokládáme usporádání V(xe − xµ, pe , pµ

)s

operátory pe , pµ napravo od xe − xµ



Standardním zpusobem prejdeme k souradnicím r a X

X =mexe +mµxµ

me +mµ, d3xed3xµ = d3rd3X

−xµ ·(p′ − p

)+ xe ·

(k− k′

)=

= X· (Pi −Pf ) + r·mµ (k− k′) +mµ (p′ − p)

me +mµ

Nakonec pro Pi = Pf máme (k− k′) = (p′ − p) = q a jakodusledek

T cNRfi = −∫ d3r(2π)3

ei r·qχ+σ′χ+s ′V (r, k,p) χσχs

resp.

χ+σ′χ+s ′V (r, k,p) χσχs = −

∫d3qe−i r·qT cNRfi



Uzitím ∫ d3q(2π)3

e−i r·q1

|q|2=

14πr

dostáváme pro nejnizší rád nerelativistického rozvoje

TCoul . =e2

(2π)3 |q|2

v souradnicové representaci

VCoul . =e2

4πr=

α

r

coz je Coulombická interakce



Uzitím

−e2∫ d3q(2π)3

e−i r·q1

|q|2i (q× k) · σ

4m2e=

14m2e

(∇VCoul . × k) · σ

=1

2m2e rV ′Coul . (r) (r× k) ·

σ

2

dostáváme tzv. spin-orbitální interakci

TSL(e) = −e2

(2π)3 |q|2i (q× k) · σ

4m2e

v souradnicové representaci

VSL(e) =1

2m2e rV ′Coul . (r) Le · se

kde Le je orbitální impulsmoment a se je spin

Le=r×pe , se =12

σ



Spin-orbitální interkaci lze chápat jako interakci magnetickéhomomentu elektronu s magnetickýn polem, které elektron “cítí“ vesvém klidovém systému a které odpovídá coulombickému poli mionu

Vskutku, interakcní energie je

V = −µe ·B′Coul (r) =emese ·B′Coul (r)

kde magnetický moment elektronu je

µe = −e

2me sse = −

emese

Transformace Coulombovského pole do klidového systému elektronudává magnetické pole

B′Coul . ∼ −v× ECoul . (r)



Upravme ješte

B′Coul . ∼ −v× ECoul . (r) ∼ ECoul . (r)×pme

= − 1me r

V ′Coul . (r)(−e) (r× p) = 1

eme rV ′Coul . (r) Le

Tedy nakonec

V =emese ·B′Coul (r) ∼

1m2e r

V ′Coul . (r) Le ·se

coz az na faktor 1/2 souhlasí se spin-orbitální interakcí



Dále

TD (e) =e2

(2π)3 8m2evede na

VD (e) = −e2

8m2eδ(3) (r)

VD (e)je tzv. Darwinuv potenciál, který lze zapsat ekvivalentne vetvaru

VD (e) =e8m2e

∇ · ECoul . (r)

kdeECoul . (r) = −

e4πr3

r, ∇ · ECoul . (r) = −eδ(3) (r)

Darwinuv potenciál odpovídá efektivne interakci elektronu selektrickým polem mionu zpusobenou fluktuacemi souradniceelektronu na škálách δr ∼ 1/me



Vskutku, v dusledku malých fluktuací δr souradnice r elektron “cítí“skalární potenciál

A0 (r+δr) = A0 (r) + δr ·∇A0 (r) + 12

δr i δr j∂i∂jA0 (r) + . . .

Vystredováním pres orientaci δr dostaneme

〈A0 (r+δr)〉 = A0 (r) + 〈δr〉 ·∇A0 (r) + 12〈δr i δr j 〉∂i∂jA0 (r) + . . .

Ale

〈δr〉 = 0,

〈δr i δr j 〉 =13

δij 〈|δr|2〉 ∼ 13

δij1m2e



Tedy

〈A0 (r+δr)〉 ∼ A0 (r) +16m2e

∇ ·∇A0 (r) + . . .

= A0 (r)− 16m2e

∇ · E (r) + . . .

a dodatecná interakcní energie je tedy

δV = −e(〈A0 (r+δr)〉 − A0 (r)

)∼ e6m2e

∇ · E (r)

coz az na císelný faktor odpovídá Darwinovu potenciálu

VD (e) =e8m2e

∇ · ECoul . (r)



Clen

Tdd =e2

(2π)3

(σ

2me⊗ σ

2mµ− 1

4memµ |q|2q · σ ⊗ q · σ

)dává s pouzitím formule

∂i∂j1r= 3

r i r j

r5− δij

(1r3+4π

3δ(3) (r)

)tzv. dipól-dipóplový potenciál

Vdd = Vhyp + Vtensor

kde

Vhyp = −83

πα

memµδ(3) (r) se · sµ

Vtensor = − α

memµ

1r3(3 (se · r)

(sµ · r

)− se · sµ

)je tzv. hyperjemná a tensorová interakce



Vdd lze interpretovat jako interakci magnetického momentu elektronus magnetickýn polem generovaným magentickým momentem mionu

Vdd = −µe ·Bµ =emese ·B(µ)

kdeB(µ) = ∇×A(µ)

a

A(µ) (r) = −∫ d3r′

(4π)

j(µ) (r′)|r− r′| = −µµ ×∇

14πr

t.j.

B(µ) = −∇×(

µµ ×∇) 14πr

=emµ∇×

(sµ ×∇

) 14πr



Dohromady

Vdd =e2

memµse ·∇×

(sµ ×∇

) 14πr

=e2

memµ

[se · sµ∇2 − (se ·∇)

(sµ ·∇

)] 14πr

= − e2

memµse · sµδ(3) (r)

− e2

memµ

14πr3

[3 (se · r)

(sµ · r

)− se · sµ

]+

e2

memµse · sµ

13

δ(3) (r)



Konecne

Vdd = −83

πα

memµδ(3) (r) se · sµ

− α

memµ

[3 (se · r)

(sµ · r

)− se · sµ

]= Vhyp + Vtensor

Dohromady obdrzíme tzv. Breituv-Fermiho interakcní potenciálodpovídající jednofotonové výmene

V1γ = VCoul . + VD (e) + VD (µ) + VSL(e) + VSL(µ) + Vhyp + Vtensor

+α

r

[se · (r× p)− sµ · (r× k)

memµr2− k · p+r (r · k) · p

2memµ

]obsahující navíc “zkrízené“ spin-orbitální interakce a orbit-orbitálníinterakci. Pro interakci elektronu s (bodovým) protonem obdrzímestejný potenciál s opacným znaménkem.



Jako další príklad uvazujme Comptonuv rozptyl

γ (k, h) e− (p, s)→ γ(k ′, h′

)e−(p′, s ′

)Amplitudu lze získat pomocí LSZ formulí z Greenovy funkce

〈Ω|T[ψa(p′)

ψa (−p) Jµ(k ′)Jν (−k)

]|Ω〉

≡ (2π)4 δ(4) (Pf − Pi ) Gµνaa

(−p,−k, p′, k ′

)Explicite

iT cfi = limp2,p ′2→m2

[u(p′, s ′

) (γ · p′ −m

)]a [(γ · p −m) u (p, s)]a

×εµ(h′)(k ′)∗

εν(h) (k) Gµνaa

(−p,−k, p′, k ′



TedyiT cfi ≡ −ε

µ

(h′)

(k ′)∗

εν(h) (k)Mµν

(p, k, p′, k ′

)kde

Mµν

(p, k, p′, k ′

)= 〈p′, s ′, out|T

[Jµ(k ′)Jν (−k)

]|p, s, in〉

Odtud plyne tzv. Bose symetrie amplitudyMµν

Mµν

(p, k, p′, k ′

)=Mνµ

(p,−k ′, p′,−k

)Zachování proudu (resp. dekuplování fotonu s polarizací T ) implikujeprícnost amplitudyMµν

k′µMµν = kνMµν = 0

Tedy T cfi je invariantní vzhledem k zámene

ε(h) (k)→ ε(h) (k) + C(h)k, ε(h′)(k ′)→ ε(h′)

(k ′)+ C(h′)k

′



Dále potrebujeme

|T cfi |2 = ε

µ

(h′)

(k ′)∗

εν(h) (k) εα

(h′)

(k ′)

εβ

(h) (k)∗MµνM∗

αβ

Pokud nemeríme helicitu fotonu v koncovém stavu, scítáme presh′ = ±1, t.j.

∑h′=±1

|T cfi |2 = εν

(h) (k) εβ

(h) (k)∗MµνM∗

αβ ∑h′=±1

εα(h′)

(k ′)

εµ

(h′)

(k ′)∗

Jak jiz víme, pro k ′ on shell

∑h′=±1

εα(h′)

(k ′)

εµ

(h′)

(k ′)∗= −ηαµ +

nαk ′µ + nµk ′α

n · k ′ − k ′αk ′µ

(n · k ′)2



S uzitím prícnostiMµν

k′µMµν = 0

tak máme

M∗αβ

(nαk ′µ + nµk ′α

n · k ′ − k ′αk ′µ

(n · k ′)2

)Mµν = 0

a tak

∑h′=±1

|T cfi |2 = −εν

(h) (k) εβ

(h) (k)∗MµνM∗

αβηαµ

Tedy efektivne lze provést zámenu

∑h′=±1

εα(h′)

(k ′)

εµ

(h′)

(k ′)∗ → −ηαµ



Efektivne lze provést zámenu

∑h=±1

εα(h) (k) ε

µ

(h) (k)∗ → −ηαµ

vzdy, scítáme-li kvadrát maticového elementu libovolného procesu sfotonem (k, h) v pocátecním nebo koncovém stavu

Vskutku, v takovém prípade z redukcních formulí napr. pro foton(k, h) v koncovém stavu

T cf +γ,i = −iεµ

(h) (k)∗ 〈f , out|Jµ (k) |i , in〉 ≡ ε

µ

(h) (k)∗Mµ

a zachování proudu implikuje prícnost

kµMµ = 0

t.j. podélná cást polarizacní sumy neprispeje.



V nejnizším rádu prispívají dva grafy

Tedy, podle Feynmanových pravidel (pišme zkrácene ε(h′) (k′) ≡ ε(h′),

ε(h) (k) ≡ ε(h))

iT cfi = u(p′, s ′

) (−ieγµ

) iγ · (p − k ′)−m (−ieγν) u(p, s)ε

ν∗(h′)ε

µ

(h)

+u(p′, s ′

) (−ieγµ

) iγ · (p + k)−m (−ieγν) u(p, s)ε

µ∗(h′)ε

ν(h)



Upravme ješte príspevek prvního grafu

u(p′, s ′

) (−ieγµ

) iγ · (p − k ′)−m (−ieγν) u(p, s)ε

ν∗(h′)ε

µ

(h)

= −ie2u(p′, s ′

)γ · ε(h)

γ · (p − k ′) +m(p − k ′)2 −m2

γ · ε∗(h′)u(p, s)

Máme [γ ·(p − k ′

)+m

]γ · ε∗(h′)

= 2ε∗(h′) ·(p − k ′

)− γ · ε∗(h′)

[γ ·(p − k ′

)]−m]

= 2ε∗(h′) ·(p − k ′

)− γ · ε∗(h′)

[(γ · p −m)− γ · k ′

]= 2ε∗(h′) · p − γ · ε∗(h′)

[(γ · p −m)− γ · k ′



Vyuzitím invariance

ε(h′) → ε(h′) + C(h′)k′

a volbouC(h′) = −

p · ε(h′)p · k ′

máme tak pro nový polarizacní vektor ε∗(h′) · p = 0 a[γ ·(p − k ′

)+m

]γ · ε∗(h′) = −γ · ε∗(h′)

[(γ · p −m)− γ · k ′

]Odtud pro príspevek prvního grafu

−ie2u(p′, s ′

)γ · ε(h)

γ · (p − k ′) +m(p − k ′)2 −m2

γ · ε∗(h′)u(p, s)

= ie2u(p′, s ′

) γ · ε(h)γ · ε∗(h′)γ · k ′

2p · k ′ u(p, s)



Podobne pro druhý graf

u(p′, s ′

) (−ieγµ

) iγ · (p + k)−m (−ieγν) u(p, s)ε

µ∗(h′)ε

ν(h)

= ie2u(p′, s ′

) γ · ε∗(h′)γ · ε(h)γ · k2p · k u(p, s)

takze dohromady

iT cfi = ie2u(p′, s ′

) [γ · ε∗(h′)γ · ε(h)γ · k2p · k +

γ · ε(h)γ · ε∗(h′)γ · k ′

2p · k ′

]u(p, s)

Cvicení: Ukazte, ze v laboratorním systému, kde p = (m, 0)

12 ∑s ,s ′|T cfi |

2 =|k||k′| +

|k′||k| + 4

∣∣∣ε∗(h′) · ε(h)∣∣∣2 − 2J. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 1019 / 1311


Cvicení: S uzitím obecné formule pro rozptyl 1+ 2→ 3+ 4

dσ

dt=

116πs

|T cfi |2

λ (s,m21 ,m22)

kdes = (p1 + p2)

2 , t = (p1 − p3)2

ukazte, ze v laboratorním systému platí Kleinova-Nischinova formule proComptonuv rozpyl na nepolarizovaných elektronech

dσ

dΩ=

α2

4m2|k′|2

|k|2[|k||k′| +

|k′||k| + 4

∣∣∣ε∗(h′) · ε(h)∣∣∣2 − 2]kde dΩ = d cos θdφ, a θ, φ jsou sférické úhly k′ vzhledem ke k a pritom

1|k′| −

1|k| =

1m(1− cos θ)



Odtud pro |k| /m→ 0 dostaneme klasickou Thomsonovu formuli

dσ

dΩ=

α2

m2

∣∣∣ε∗(h′) · ε(h)∣∣∣2Cvicení: Ukazte, ze

∑h,h′

∣∣∣ε∗(h′) · ε(h)∣∣∣2 = 1+ cos2 θ

Pro nepolarizované dopadající fotony, nemeríme-li polarizaci fotonu vkoncovém stavu, pak dostaneme

dσ

dΩ=

α2

2m2|k′|2

|k|2[|k||k′| +

|k′||k| − sin

2 θ

]Cvicení: Spoctete totální úcinný prurez. Ukazte, ze

σ→ 8πα2

3m2

1− 2 |k|m +O(|k|2m2

), |k| m

3m8|k|

[ln(2 |k|m

)+ 1

2 +O(m|k| ln

(|k|m

))], |k| m


Smycky a renormalizace

I. Smyckové korekce a unitarita

Príspevky vyšších rádu poruchové teorie k maticovým elementumS−matice a Greenovým funkcím vede na smyckové grafy

Smyckové grafy jsou nezbytné, nebo ,t1 zpresnují predpove

,d teorie zapoctením kvantových fluktuací; jak jiz

víme, rozvoj v poctu smycek koinciduje s rozvojem v mocninách

S (L) ∼ L−1

2 zajiš,tují unitaritu teorie t.j. platnost relace(T − T+

)= iTT+ = iT+T

která je nelineární v T a mixuje tak jednotlivé rády poruchové teorie



Napr. v λφ4 teorii máme pro amplitudu rozptylu procesu 2→ 2 vnejnizším rádu príspevek stromového grafu

Tomu odpovídá príspevek

T c (tree)fi = λ = T c (tree)∗if

Všimneme si, ze v tomto tzv. stromovém priblízení je amplitudareálná



Jak uvidíme, to je v rozporu s podmínkou unitarity, v obecném tvaru

T cfi − T c∗if = i ∑k(2π)4 δ(4) (Pk − Pi ) T c∗kf T cki

= i ∑n

1n!

∫T c∗(n)f T c(n)idLIPSn

kde T c(n)i je amplituda procesu i → n s n cásticemi v koncovém stavu

Cvicení: Ukazte, ze v λφ4 teorii jsou nenulové jen amplitudy T cfi pro nez

ni + nf = 2k, k = 1, 2, . . .

kde nf ,i je pocet cástic v koncovém resp. pocátecním stavu.Cvicení: Ukazte, ze v λφ4 teorii platí T cfi = T cif t.j. má podmínka unitaritymá tvar

2 Im T cfi = ∑n

1n!

∫T c∗(n)f T c(n)idLIPSn



Spocítejme príspevek dvoucásticového intermediálního stavu do pravéstrany relace unitarity v nejnizším rádu poruchové teorie

Máme ve stromovém priblízení

T c(2)i = T c∗(2)f = Tc (tree)if = λ

a tak ∫T c∗(2)f T c(2)idLIPS2 = λ2

∫dLIPS2

=λ2

8πθ(s − 4m2

)σ (s)

kde

s = (k1 + k2)2 = (p1 + p2)

2 , σ (s) =

√1− 4m

2

s



Tedy pro s ∈(4m2, 16m2

)máme

2 Im T cfi =λ2

16πσ (s) > 0

Imaginární cást amplitudy je tedy O(λ2)a je tak generována az

následujícím rádem poruchové teorie, který odpovídá jednosmyckovýmgrafum

iT c (1loop)fi = iT c (1)fi + iT c (2)fi + iT c (3)fi =



Vskutku, spocítejme imaginární cást príspevku prvního grafu. Mámepomocí Feynmanových pravidel

iT c (1)fi =(iλ)2

2

∫ d4l

(2π)4i

l2 −m2 + i0i

(K − l)2 −m2 + i0

Pišme

1l2 −m2 + i0 =

1(l0 − E (l) + i0) (l0 + E (l)− i0)

=1

2E (l)

(1

l0 − E (l) + i0 −1

l0 + E (l)− i0

)



Podobne dále

1

(K − l)2 −m2 + i0

=∫d3kδ(3) (K− l− k)

× 1K 0 − l0 − E (k) + i0

1K 0 − l0 + E (k)− i0

=∫dk (2π)3 δ(3) (K− l− k)

×(

1K 0 − l0 − E (k) + i0 −

1K 0 − l0 + E (k)− i0

)



Dohromady máme

iT c (1)fi =λ2

2

∫d ldk (2π)2 δ(3) (K− l− k)∫

dl0(

1l0 − E (l) + i0 −

1l0 + E (l)− i0

)×(

1K 0 − l0 − E (k) + i0 −

1K 0 − l0 + E (k)− i0

)kde jsme oznacili

K = k1 + k2, s = K 2

Integrand se pro velká l0 → ∞ chová jako O((l0)−4). Uzavreme

proto integracní kontur v promenné l0 v dolní komplexní polorovine apouzijme reziduovou vetu.



Integrand má v dolní komplexní polorovine dva póly

l0(1) = E (l)− i0, l0(2) = K0 + E (k)− i0

Tedy

T c (1)fi = −λ2

2

∫d ldk (2π)3 δ(3) (K− l− k)

×2

∑i=1

Res[(

1l0 − E (l) + i0 −

1l0 + E (l)− i0

)×(

1K 0 − l0 − E (k) + i0 −

1K 0 − l0 + E (k)− i0

), l0(i )

]



Pro residuum v bode l0(1) = E (l)− i0 máme

Res[l0(1)]

=

(1

K 0 − l0 − E (k) + i0 −1

(K 0 − l0 + E (k)− i0)

)|l0=E (l)−i0

=1

K 0 − E (l)− E (k) + i0 −1

K 0 − E (l) + E (k)



Podobne pro residuum v bode l0(2) = K0 + E (k)− i0 dostaneme

Res[l0(2)]=

(1

l0 − E (l) + i0 −1

l0 + E (l)− i0

)|l0=K 0+E (k)−i0

=

(1

K 0 + E (k)− E (l) −1

K 0 + E (k) + E (l)− i0

)



Celkem tedy

T c (1)fi = −λ2

2

∫d ldk (2π)3 δ(3) (K− l− k)

×(

1K 0 − E (k)− E (l) + i0 −

1K 0 + E (l) + E (k)− i0

)Uzitím formule

1x ± i0 = P

1x∓ iπδ (x)

dostaneme

2 Im T c (1)fi =λ2

2

∫d ldk (2π)4 δ(3) (K− l− k)

×[δ(K 0 − E (k)− E (l)

)+ δ

(K 0 + E (k) + E (l)



AleK 0 = (k1 + k2)

0 ≥ 2mtakze ve výrazu

2 Im T c (1)fi =λ2

2

∫d ldk (2π)4 δ(3) (K− l− k)

×[δ(K 0 − E (k)− E (l)

)+ δ

(K 0 + E (k) + E (l)

)]druhý clen neprispívá a nakonec

2 Im T c (1)fi =λ2

2

∫d ldk (2π)4 δ(4) (K − l − k)

=λ2

2

∫dLIPS2 =

λ2

16πθ(s − 4m2

)σ (s)



Pro príspevek druhých dvou grafu do imaginární cásti dostanemeanalogickým postupem

2 Im T c (2,3)fi =λ2

2

∫d ldk (2π)4 δ(3) (Kt ,u−l− k)

×[δ(K 0t ,u − E (k)− E (l)

)+δ(K 0t ,u + E (k) + E (l)

)]kde

Kt = k1 − p1, t = K 2tKu = k1 − p2, u = K 2u

V CMS máme

k1 = (E (p) ,p) , k2 = (E (p) ,−p)p1 =

(E (p) ,p′

), p2 =

(E (p) ,−p′



Tedy pro K 0t ,u dostaneme v CMS

K 0t ,u = 0

Ve fyzikální oblasti odpovídající s−kanálu máme tedy s uzitím

E (k) + E (l) ≥ 2m

nakonec2 Im T c (2,3)fi = 0

a tak v rádu λ2 máme

2 Im T cfi =λ2

16πθ(s − 4m2

)σ (s)



Všimneme si, ze formálne lze výsledek výše uvedeného výpoctuimaginární cásti jednotlivých grafu získat z puvodního výrazu, napr.

iT c (1)fi =(iλ)2

2

∫ d4l

(2π)4i

l2 −m2 + i0i

(K − l)2 −m2 + i0zámenou propagátoru podle predpisu

il2 −m2 + i0 → (2π) θ

(l0)

δ(l2 −m2

)i

(K − l)2 −m2 + i0→ (2π) θ

(K 0 − l0

)δ((K − l)2 −m2

)a zámenou vertexu napojeného na vnejší linky odpovídající cásticím vkoncovém stavu podle predpisu

iλ→ −iλTento predpis je soucásti obecnejších tzv. Cutkoskyho pravidel provýpocet imaginární cásti grafu



II. Cutkoskyho pravidla pro výpocet imaginární cásti souvislého grafuprispívajícího do S−matice

Rozríznutím dostatecného poctu vnitrních linek rozdelíme graf napráve dva podgrafy (ne nutne souvislé)

Vybereme jednu z takto vzniklých komponent, v této komponentnenahradíme všechny faktory ve vertexech komplexne sdruzenýmifaktory, t.j. napr. v λφ4 teorii

iλ→ −iλ

a všechny nerozríznuté propagátory komplexne sdruzenýmipropagátory, t.j. v λφ4 teorii

il2 −m2 + i0 → −

il2 −m2 − i0

Doplnkovou komponentu ponecháme beze zmen



Kazdý rozríznutý propagátor, jemuz odpovídá impuls l nahradímepodle pravidla

il2 −m2 + i0 → (2π) θ

(l0)

δ(l2 −m2

)pokud je impuls l je orientován smerem dovnitr výše vybranéhopodgrafu, resp.

il2 −m2 + i0 → (2π) θ

(−l0

)δ(l2 −m2

)pokud impuls l je orientován smerem ven z výše vybraného podgrafu

Imaginární cást grafu je pak sumou príspevku všech moznýchtakových rozríznutí puvodního grafu



Schematicky Cutkoskyho pravidla pro λφ4 teorii mají tvar



III. UV divergence poprvé

Uvazujme znovu príspevek

iT c (1)fi =(iλ)2

2

∫ d4l

(2π)4i

l2 −m2 + i0i

(K − l)2 −m2 + i0≡ i λ

2

2J (s)

kde jsme oznacili

J (s) = −i∫ d4l

(2π)41

l2 −m2 + i01

(K − l)2 −m2 + i0

Pro l → ∞ se integrand chová jako

1l2 −m2 + i0

1

(K − l)2 −m2 + i0l→∞≈ 1

(l2)2

integrál je tedy UV divergentní tato divergence je logaritmická



Obecne stupen divergence DΓ grafu Γ (tzv. povrchová divergence) jepodle definice stupen homogenity odpovídajícího integrálu pressmyckové impulsy pri preškálování všech smyckových impulsulk → Λlk v limite Λ→ ∞Graf je (povrchove) divergentní, pokud stupen divergence

DΓ ≥ 0

DΓ = 0 odpovídá logaritmické divergenci, DΓ = 1 lineární divergenciatd.

Obdobne stupen divergence podgrafu γ ⊂ Γ (tzv. poddivergence) jedefinován jako stupen homogenity pri preškálování smyckovýchimpulsu lr → Λlr odpovídajících vybranému podgrafu γ puvodníhografu Γ v limite Λ→ ∞



V našem prípade máme jediný smyckový impuls l , pri preškálováníl → Λl ∫ d4l

(2π)4i

l2 −m2 + i0i

(K − l)2 −m2 + i0

→∫ Λ4d4l

(2π)4i

Λ2l2 −m2 + i0i

(K −Λl)2 −m2 + i0Λ→∞→

∫ d4l

(2π)41

(l2)2

= O(Λ0)

t.j. divergence je logaritmická

Dále budeme manipulovat s tímto integrálem formálne, jako kdybykonvergoval, t.j. predpokládáme implicitní UV regularizaci, dovolujícípríslušné manipulace



K výpoctu integrálu typu∫∏j

d4lj(2π)4

∏r

iq2r −m2 + i0

je výhodná tzv. Feynmanova parametrizace, uzívající identitu

n

∏j=1A−njj =

Γ (∑nr=1 nr )

n

∏j=1

Γ (nj )

∫ 1

0

[n

∏j=1dxj x

nj−1j

]

×δ

(1−

n

∑k=1

xk

)(n

∑l=1

xlAl

)−∑nr=1 nr



Platí totiz z definice Γ funkce

A−njj =1

Γ (nj )

∫ ∞

0dαjα

nj−1j e−αjAj

a takn

∏j=1A−njj =

1n

∏j=1

Γ (nj )

∫ ∞

0

[n

∏j=1dαj α

nj−1j

]e−∑n

k=1 αkAk

Vlozme jednicku ve tvaru

1 =∫ ∞

0dαδ

(α−

n

∑k=1

αk

)a prove

,dme substitucí

αk = αxk , xk ∈ 〈0, 1〉J. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 1045 / 1311


dostaneme

n

∏j=1A−njj =

1n

∏j=1

Γ (nj )

∫ 1

0

[n

∏j=1dxj x

nj−1j

]dαα

∑nr=1 nr

×δ

(α−

n

∑k=1

αxk

)e−α ∑n

k=1 xkAk



S uzitím

δ

(α−

n

∑k=1

αxk

)=1α

δ

(1−

n

∑k=1

xk

)máme

n

∏j=1A−njj =

1n

∏j=1

Γ (nj )

∫ 1

0

[n

∏j=1dxj x

nj−1j

]δ

(1−

n

∑k=1

xk

)

×∫ ∞

0dαα

∑nr=1 nr−1e−α ∑nk=1 xkAk

odkud plyne Feynmanova formule integrací pres α



V našem prípade máme pomocí Feynmanovy parametrizace pron = 2, ni = 1

1l2 −m2 + i0

1

(K − l)2 −m2 + i0

=∫ 1

0dxdyδ (1− x − y)

× 1[x((K − l)2 −m2 + i0

)+ y (l2 −m2 + i0)

]2



Po úprave

1l2 −m2 + i0

1

(K − l)2 −m2 + i0

=∫ 1

0dx

1[(1− x) l2 + x (K − l)2 −m2 + i0

]2=

∫ 1

0dx

1

[l2 − 2xK · l + xK 2 −m2 + i0]2



Máme tak

J (s) = −i∫ 1

0dx∫ d4l

(2π)41

[l2 − 2xK · l + xK 2 −m2 + i0]2

= −i∫ 1

0dx∫ d4l

(2π)41[

(l − xK )2 + x (1− x)K 2 −m2 + i0]2



Substitucíl = k + xK

dostaneme nakonec

J (s) = −i∫ 1

0dx∫ d4k

(2π)41

[k2 − A (x , s) + i0]2

kde s = K 2 aA (x , s) = m2 − x (1− x) s

Jak jsme ocekávali, integrál

I (x , s) =∫ d4k

(2π)41

[k2 − A (x , s) + i0]2

je logaritmicky divergentní. Jaká je struktura této divergence?



Pocítejme formální derivaci tohoto integrálu podle s. Máme

I (x , s) =∫ d4k

(2π)41

[k2 − A (x , s) + i0]2

A (x , s) = m2 − x (1− x) s

a tedy derivací za integracním znamením

∂I∂s= 2

∂A∂s

∫ d4k

(2π)41

[k2 − A+ i0]3

Stupen divergence ∂I (s) /∂s je D = −2, integrál je konvergentní!Pišme∫ d4k

(2π)41

[k2 − A+ i0]3=∫ d3kdk0

(2π)41[

(k0)2 − k2 − A+ i0]3



Pro x ∈ 〈0, 1〉 je x (1− x) ∈ 〈0, 1/4〉, tedy pro s < 4m2 je

A (x , s) = m2 − x (1− x) s > 0

Pro s < 4m2 má tedy integrand

1[(k0)2 − k2 − A+ i0

]3póly v bodech k0±

k0± = ±√k2 + A∓ i0



Poloha pólu umoznuje provést tzv. Wickovu rotaci integracníhokonturu C → CW , pri rotaci neprecházíme pres póly



Nový kontur CW parametrizujme parametrem k4

k0 = ik4, dk0 = idk4

pritomk2 = −k2E

kde kE = (k, k4) je euklidovský ctyrimpuls a

k2E = k2 +

(k4)2

Máme tak rotacne ivariantní ctyrdimenzionální euklidovský integrál

∂I∂s= −2∂A

∂s

∫ id4kE(2π)4

1

[k2E + A]3



Uzitímd4kE = 2π2k3E dkE = π2k2E dk

2E

dostaneme∂I∂s= − 2i

(4π)2∂A∂s

∫ ∞

0dk2E

k2E[k2E + A]

3

Integrály typu

f (β,γ) =∫ ∞

0dk2E

(k2E)β

[k2E + A]γ

snadno spocítáme pomocí formule

1

[k2E + A]γ =

1Γ (γ)

∫ ∞

0dα αγ−1e−α[k 2E+A]



S uzitím Fubiniho vety

f (β,γ) =1

Γ (γ)

∫ ∞

0dα αγ−1e−αA

∫ ∞

0dk2E k

2βE e−αk 2E

=1

Γ (γ)

∫ ∞

0dα αγ−1e−αA Γ (β+ 1)

αβ+1

=Γ (γ− β− 1)

Γ (γ)A−γ+β+1

Nakonec

∂I∂s= − 2i

(4π)2∂A∂sf (1, 3) = − i

(4π)2∂A∂s1A= − i

(4π)2∂

∂sln(Am2

)



Tedy pro s < 4m2 integrací

I (x , s)− I (x , 0) =∫ s

0ds

∂I (x , s)∂s

= − i

(4π)2

[ln(A (x , s)m2

)− ln

(A (x , 0)m2

)]kde

A (x , s) = m2 − x (1− x) sa tak

I (x , s)− I (x , 0) = − i

(4π)2ln[1− x (1− x) s

m2

]



Protoze jak víme

I (x , s) =∫ d4k

(2π)41

[k2 − A (x , s) + i0]2

je UV divergentní, I (x , s) i I (x , 0) jsou nekonecné a závislé nazvolené implicitní regularizaciNa druhou stranu, formálne

I (x , s)− I (x , 0) =∫ d4k

(2π)4

1

[k2 − A (x , s) + i0]2− 1

[k2 −m2 + i0]2

V integrandu je odectena vedoucí UV asymptotika, integrál je tedykonecný, a jak jsme spocetli

I (x , s)− I (x , 0) = − i

(4π)2ln[1− x (1− x) s

m2



Nakonec máme tedy pro s < 4m2

J (s) = J (s) + J (0)

= −i∫ d4l

(2π)41

l2 −m2 + i01

(K − l)2 −m2 + i0

= −i∫ 1

0dx [I (x , s)− I (x , 0)]− i

∫ 1

0dxI (x , 0)

= − 1

(4π)2

∫ 1

0dx ln

[1− x (1− x) s

m2

]+ J (0)

Smyckový integrál J (s) je tedy urcený az na UV divergentníkonstantu J (0)

J (0) = −i∫ 1

0dxI (x , 0) = −i

∫ d4k

(2π)41

[k2 −m2 + i0]2

jejíz konkrétní tvar závisí na zvolené implicitní regularizaci.Pro s > 4m2 dostaneme J (s) analytickým prodlouzením



IV. Analytické vlastnosti a dispersní relace

K analytickému prodlouzení funkce J (s) je vhodná alternativníintegrální representace J (s). Máme integrací per partes

J (s) = − 1

(4π)2

∫ 1

0dx ln

[1− x (1− x) s

m2

]= − 1

(4π)2x ln

[1− x (1− x) s

m2

]|10

− s

(4π)2

∫ 1

0dxx

11− s

m2 x (1− x)dx (1− x)m2dx

Tedy

J (s) = − s

(4π)2

∫ 1

0

dx(1− x)

1m2

x (1−x ) − sdx (1− x)

dx



Cvicení: Ukazte, ze substitucí

z =m2

x (1− x) , dz = −m2

[x (1− x)]2dx (1− x)

dxdx

z ∈ 〈4m2,∞〉, x± =1±

√1− 4m2

z

2

dostaneme

J (s) =s

(4π)2

∫ ∞

4m2

dzz

1z − s

√1− 4m

2

z

Poslední formule je tzv. dispersní reprezentace funkce J (s)



Dispersní representace

J (s) =s

(4π)2

∫ ∞

4m2

dzz

1z − s

√1− 4m

2

z

umoznuje prímocaré analytické prodlouzení z oblasti s < 4m2 dolibovolného bodu s pro nejz

Im s 6= 0

Vskutku, integrand má jako funkce z pól v bodech z∗ (s) = s, je-litedy Im s 6= 0, lezí pól z∗ (s) mimo integracní kontur a integrál jekonecný, nebo ,t integrand je na integracním konturu hladký a proz → ∞ se chová jako O(z−2).Pro Im s0 6= 0 je J (s) analytická v okolí s0 takovém, ze pro s v tomtookolí z∗ (s) nelezí na integracním konturu, nebo ,t pak je integrandanalytickou funkcí s





Pro reálné s > 4m2 lezí pól itnegrandu z∗ (s) na integracním konturu,integrál není definován. Presto i v tomto prípade lze provéstanalytické prodlouzení deformací integracního konturu tak, aby sevyhnul pólu



Bod s = 4m2 je pevným koncovým bodem konturu, do tohoto bodunelze tudíz funkci J (s) analyticky prodlouzit.Bod s = 4m2 je tzv. end point singularitou funkce J (s)Analytické prodlouzení do všech ostatních bodu ale není jednoznacné(bu

,d prímo bez deformace konturu, nebo prechodem pres puvodní

kontur s deformací konturu)s = 4m2 je tedy vetvící bod funkce J (s), která je analytická vkomplexní rovine s rezem (resp. na vícelisté Riemannove ploše)



Na horní hranici rezu, na prvním (tzv. fyzikálním) listu, kde J (s)odpovídá prímému analytickému prodlouzení z oblasti s < 4m2,máme pro s > 4m2

J (s + i0) =s

(4π)2

∫ ∞

4m2

dzz

1z − s − i0

√1− 4m

2

z

=s

(4π)2

∫ ∞

4m2

dzz

(P

1z − s + iπδ (z − s)

)√1− 4m

2

z

tedy

Im J (s + i0) =116π

√1− 4m

2

s=

σ (s)16π



Jak víme

T c (1)fi (s) =λ2

2J (s) =

λ2

2J (s) +

λ2

2J (0)

a unitarita vyzaduje

2 Im T c (1)fi (s) = λ2σ (s)16π

< ∞

Tedy musí být nekonecná cást J (s) reálná

Im J (0) = 0

Protoze

Im J (s + i0) =σ (s)16π

musíme klást ve smyslu analytického prodlouzení na fyzikálním listu

T c (1)fi (s) =λ2

2J (s + i0)



Všimneme si, ze pro komplexní s platí na prvním listu

J (s)∗ =

(s

(4π)2

∫ ∞

4m2

dzz

1z − s

√1− 4m

2

z

)∗

=s∗

(4π)2

∫ ∞

4m2

dzz

1z − s∗

√1− 4m

2

z

t.j.J (s)∗ = J (s∗)

Na prvním listu je tedy J (s) reálná analytická funkce

Spocteme ješte diskontinuitu na rezu s > 4m2

disc J (s) = J (s + i0)− J (s − i0) = J (s + i0)− J (s + i0)∗

= 2i Im J (s + i0) =i8π

σ (s)



Prodlouzíme-li tedy amplitudu T c (1)fi (s) pro komplexní hodnoty z , je

1 T c (1)fi (z) je analytická v komplexní rovine s rezem 〈4m2,∞〉, je reálnápro z < 4m2

2 T c (1)fi (z) je reálná analytická na prvním (fyzikálním) listu

T c (1)fi (z∗) = T c (1)fi (z)∗

3 Fyzikální amplituda je hranicní hodnotou analytické funkce T c (1)fi (z)na prvním listu pro z = s + i0, s > 4m2

T c (1)fi (s) = T c (1)fi (s + i0)

4 Relaci unitarity lze psát jako podmínku pro diskontinuitu na rezu

T c (1)fi (s + i0)− T c (1)fi (s − i0) = i2!

∫T c (tree)∗(2)f T c (tree)

(2)i dLIPS2



Poznamenejme, ze pro funkci f (z), která je analytická v komplexnírovine s rezem 〈4m2,∞〉 umoznuje znalost diskontinuity na rezurekonstruovat tuto funkci modulo polynomVskutku, f (z) lze representovat pomocí Cauchyho integrální formulepres uzavrený kountur CΛ

f (z) =12πi

∫CΛ

dxf (x)x − z



T.j.

f (z) =12πi

∫CΛ

dxf (x)x − z

=12πi

∫ Λ

4m2dxf (x + i0)− f (x − i0)

x − z +12πi

∫|x |=Λ

dxf (x)x − z

=12πi

∫ Λ

4m2dx

discf (x)x − z +

12πi

∫|x |=Λ

dxf (x)x − z



Je-li nynílim|z |→∞

f (z) = 0

máme

f (z) = limΛ→∞

12πi

∫CΛ

dxf (x)x − z =

12πi

∫ ∞

4m2dx

discf (x)x − z

nebo ,t

limΛ→∞

12πi

∫|x |=Λ

dxf (x)x − z = lim

Λ→∞

12π

∫ 2π

0dθΛeiθ

f(Λeiθ

)Λeiθ − z = 0



Pokud pro |z | → ∞f (z) = O (|z |n)

aplikujme predchozí postup na funkci

g (z ; ai) =f (z)

Qn+1 (z)|z |→∞→ 0,

kde Qn+1 (z) je polynom stupne n+ 1

Qn+1 (z) =n+1

∏i=1(z − ai ) , ai /∈ 〈4m2,∞〉

Funkce g (z ; ai) má dodatecné póly ai



Pro dostatene velké Λ lezí dodatecné póly ai uvnitr konturu CΛ amodifikují Cauchyovu formuli príspevky odpovídajících reziduí, tedypro z 6= ai

g (z ; ai) = −n+1

∑j=1

Res[g (x ; ai)x − z , aj

]+12πi

∫ ∞

4m2dx

discg (x ; ai)x − z

=n+1

∑j=1

Res [g (x ; ai) , aj ]z − aj

+12πi

∫ ∞

4m2

dxQn+1 (x)

discf (x)x − z



Nakonec

f (z) = Qn+1 (z) g (z ; ai)

=n+1

∑j=1

Res [g (x ; ai) , aj ]∏i 6=j(z − ai )

+Qn+1 (z)2πi

∫ ∞

4m2

dxQn+1 (x)

discf (x)x − z

Známe-li pouze disc f (x), máme tzv. dispersní relaci s nsubtrakcemi pro f (z) ve tvaru

f (z) = Pn (z) +Qn+1 (z)2πi

∫ ∞

4m2

dxQn+1 (x)

discf (x)x − z

kde Pn (z) je neurcený tzv. subtrakcní polynom stupne n.



V našem príkladu výpoctu jednosmyckového integrálu J (s) lze uzítdispersní relace následovne:

1 Pomocí Cutkoskyho pravidel najdeme diskontinuitu J (s)

discJ (s) = 2i Im J (s) =iσ (s)8π

2 Pro |z | → ∞ je discJ (s)→ 1/8π, tedy musíme provést alespon jednusubtrakci. Zvolme

Q1 (z) = z

3 Dispersní representace s jednou subtrakcí pro J (z) pak zní

J (z) = P0 (z) +z2πi

∫ ∞

4m2

dxx

discJ (x)x − z

kde P0 (z) je polynom stupne 0 (subtrakcní konstanta)4 Pro z = 0 máme

J (0) = P0 (z)

neurcená subtrakcní konstanta je tak neznámá hodnota J (z) pro z = 0



Dispersní relace nám také umoznují “uhodnout“ explicitní tvarjednosmyckového integrálu J (s) aniz bychom museli pocítat dispersníintegrál.K tomu stací nalézt funkci f (z), analytickou v komplexní rovine srezem 〈4m2,∞〉, která má diskontunuitu

discf (s) = discJ (s) =iσ (s)8π

Jak víme, je pakJ (s)− f (z)

funkce analytická v celé komplexní rovine, tedy polynom.Pozadujeme-li navíc asymptotiku pro |z | → ∞

f (z) = O (1)

je nutneJ (s) = f (z) + konst.



Cvicení: Ukazte, ze funkce

f (z) =1

16π2σ (z) ln

(σ (z)− 1σ (z) + 1

)je analytická v komplexní rovine s rezem 〈4m2,∞〉 a pro s > 4m2 platí

f (s + i0)− f (s − i0) = i8π

σ (s)

Ukazte, ze

J (z) = f (z) +18π2

Zde bereme hlavní vetev logaritmu s rezem 〈−∞, 0〉



V. UV divergence podruhé

V našem príkladu jednosmyckové amplitudy v λφ4 teorii je tedyvýsledek ve tvaru

T c (1loop)fi = T c (1)fi + T c (2)fi + T c (3)fi

=λ2

2

(J (s) + J (t) + J (u)

)+32

λ2J (0)

kde

J (z) =1

16π2

(2+ σ (z) ln

(σ (z)− 1σ (z) + 1

))a J (0) je reálná UV divergentní konstanta, jejíz konkrétní hodnotazávisí na zvolené regularizaci, formálne po Wickove rotaci

J (0) =∫ d4kE(2π)4

1

[k2E +m2]2



Regularizujme napr. tzv. impulsovým orezáním (momentum cut-off)

Jreg (0,Λ) =∫k 2E<Λ2

d4kE(2π)4

1

[k2E +m2]2

=1

16π2

[ln(

Λ2

m2

)+ ln

(1+

m2

Λ2

)− 11+m2/Λ2

]Λ→∞≈ 1

16π2

[ln(

Λ2

m2

)− 1]

T.j. T c (1loop)fi diverguje logaritmicky pro Λ→ ∞, jak jsme ocekávalijako dusledek DΓ = 0.



UV divergentní cást grafu je tedy v tomto prípade1 polynom stupne DΓ ve vnejších impulsech2 koeficienty tohoto polynomu jsou reálné3 pri regularizaci impulsovým orezáním tyto koeficienty divergují v limitesejmutého cut-offu ve shode se stupnem divergence DΓ

Explicite

T c (1loop)fi,div =3λ2

32π2ln(

Λ2

m2

)Výše uvedené vlastnosti divergentních cástí grafu zustávají v platnostii pro obecné tzv. jednocásticove ireducibilní (1PI) jednosmyckovégrafy (a vícesmyckové 1PI grafy bez poddivergencí)



1PI grafy jsou takové souvislé grafy, které nelze rozríznutím jednélibovolné vnitrní linky rozdelit na dve disjunktní souvislé komponentyPríklad grafu, které nejsou 1PI

V dalším se omezíme na “useknuté“ off-shell 1PI grafy, t.j.odpovídající poruchovému rozvoji Greenových funkcí, s odstranenýmipropagátory odpovídajícími vnejším linkám. Suma všech takovýchgrafu s fixním poctem vnejších linek definuje tzv. 1PI Grenovy funkce.Kazdý souvislý graf lze sestavit z useknutých off-shell 1PI grafu tak,ze vytvoríme stromový graf, jehoz vertexy jsou 1PI podgrafy a linkámodpovídají volné propagátoryUV divergence souvislých grafu jsou tak dusledkem UV divergencíjejich 1PI podgrafu



Spocteme stupen divergence 1PI grafu.Uvazujme teorii v d prostorocasových dimenzích. Nech ,t v teorii jsoupole φ jejichz volný propagátor má UV asymptotiku

∆φF (p) = O

(p2dφ−d

), p → ∞

Napr. pro d = 4 máme pro skalární, spinorové a hmotné vektorovépole

∆φF (p) =

ip2 −m2 + i0 , dφ = 1

∆ψF (p) =

iγ · p −m+ i0 , dψ = 3/2

∆WF (p)µν = −

(ηµν − p

µpν

m2

)i

p2 −m2 + i0 , dW = 2

S výjimkou hmotného vektorového pole je dφ = dim φ



Pro graf Γ oznacme1 Iφ pocet vnitrních linek odpovídajících poli φ2 nV pocet vertexu typu V3 dV pocet derivací vertexu typu V4 Eφ pocet vnejších linek odpovídajících poli φ5 L pocet smycek6 nφ

V pocet nozicek typu φ u vertexu typu V

Potom pro graf Γ, schematicky

Γ =∫ L

∏l=1

dd ll(2π)d

∏V

VV(pr ,V

)∏

φ

Iφ

∏j=1

∆φF

(pφj

)máme

DΓ = dL+∑V

nV dV +∑φ

(2dφ − d

)Iφ



Pro pocet smycek platí

L = ∑φ

Iφ −∑V

nV + 1

Bilance nozicek typu φ u všech vertexu je

∑V

nV nφV = Eφ + 2Iφ

Odtud

Iφ =12 ∑V

nV nφV −

12Eφ

L =12 ∑V ,φ

nV nφV −

12 ∑

φ

Eφ −∑V

nV + 1



Takze

DΓ = dL+∑V

nV dV +∑φ

(2dφ − d

)Iφ

= d

(12 ∑V ,φ

nV nφV −

12 ∑

φ

Eφ −∑V

nV + 1

)

+∑V

nV dV +∑φ

(dφ −

12d)(

∑V

nV nφV − Eφ

)

Dohromady

DΓ = d +∑V

nV

(dV +∑

φ

nφV dφ − d

)−∑

φ

Eφdφ



Ale s výjimkou hmotného vektorového pole

dV +∑φ

nφV dφ = dimV

t.j. v teoriích bez hmotných vektorových polí

DΓ = d +∑V

nV (dimV − d)−∑φ

Eφdφ

Pokud jsou tedy v interakcním Lagrangiánu vertexy pro nez

dimV > d

t.j. ve ctyrech dimenzíchdimV > 4

roste stupen divergence s rádem poruchové teorie. V takové teoriilibovolná Greenova funkce má UV divergence, je-li rád poruchovéteorie dostatecne vysoký



Teorie rozlišujeme na1 Power counting nerenormalizovatelné, pokud alespon pro jedeninterakcní vertex

dV +∑φ

nφV dφ > d

Potom pocet UV divergencí nekontrolovatelne roste s rádem poruchovéteorie

2 Power counting superrenormalizovatelné, pokud pro všechny interakcnívertexy

dV +∑φ

nφV dφ < d

Potom v teorii vzniká jen konecný pocet divergentních grafu3 Power counting renormalizovatelné, pokud pro všechny interakcnívertexy

dV +∑φ

nφV dφ ≤ d

Potom jen konecný pocet typu 1PI Greenových funkcí má divergentnípríspevky



Souvislost stupne divergence a UV chování 1PI grafu je dána tzv.Weinbergovými teorémyUvazujme 1PI graf Γ a všechny jeho 1PI podgrafy γ ⊂ Γ. Potom

1 Jestlize platíDΓ < 0

a dále platí pro kazdý podgraf γ

Dγ < 0,

potom je graf Γ UV konvergentní2 Jestlize

DΓ ≥ 0a pro kazdý 1PI podgraf γ ⊂ Γ

Dγ < 0,

potom UV divergentní cást grafu je polynom stupne DΓ ve vnejšíchimpulsech



První tvrzení je intuitivne jasné. Naznacme dukaz druhého z nich.

Jak jsme videli na príkladu integrálu J(s), formálním derivovánímimplicitne regularizovaného grafu podle vnejších impulsu se zmenšístupen divergence o jednicku, napr.

i

(l − p)2 −m2 + i0= O

(l−2)

∂

∂pµ

i

(l − p)2 −m2 + i0= − 2i (lµ − pµ)[

(l − p)2 −m2 + i0]2 = O (l−3)

Pokud graf nemá divergentní 1PI podgrafy, lze DΓ + 1 derivacemipodle vnejších impulsu dosáhnout záporného stupne divergence, tedykonecného integrálu, v nemz lze odstranit implicitní cut-off

UV divergentní cást grafu tedy musí být polynom ve vnejšíchimpulsech rádu DΓ



VI. UV divergence v λφ4 teorii pro d = 4

V teorii λφ4 jsme uvazovali interakcní Lagrangián ve tvaru

LI = −λ

4!φ4

Protoze pro skalární pole je UV dimenze

dφ = dim φ = 1

je UV dimenze interakcního vertexu

4dφ = dimLI = 4

λφ4 teorie ve ctyrech dimenzích je tedy renormalizovatelná



Pripomenme vztah pro stupen divergence obecného 1PI grafu Γ

DΓ = d +∑V

nV (dimV − d)−∑φ

Eφdφ

Pro teorii λφ4 ve ctyrech dimenzích tak máme dimV − 4 = 0 a

DΓ = 4− E

DΓ > 0 pouze pro 1PI grafy se dvemi nebo ctyrmi vnejšími linkamiUV divergentní jsou tak bu

,d 1PI grafy s E = 2, 4 nebo grafy, které,

obsahující 1PI grafy s E = 2, 4 jako podgrafy



Povrchové UV divergence (t.j. DΓ ≥ 0) tak mohou mít jen grafyprispívající do dvoubodové nebo ctyrbodové 1PI Greenovy funkceΓ2 (p) resp. Γ4 (p1, p2, p3, p4)Pro takové grafy γ2, γ4 máme

Dγ2 = 2, Dγ4 = 0

a pokud nemají poddivergence, máme podle Weinbergova teorému

Γ2 (p)γ2div = −Kmm2 +Kφp2

Γ4 (pi )γ4div = −Kλ

kde Km , Kφ a Kλ jsou UV divergentní konstanty



Ve stromovém priblízení Γ(tree)2 = p2 −m2, Γ(tree)4 = −λV jednosmyckovém priblízení prispívají grafy

T.j.

iΓ(1loop)2 (p) = λ∫ d4k

(2π)41

k2 −m2 + i0

iΓ(1loop)4 (pi ) =iλ2

2[J(s) + J (t) + J (u)]

kde

s = (p1 + p2)2 = (p3 + p4)

2

t = (p1 + p3)2 = (p2 + p4)

2

u = (p1 + p4)2 = (p2 + p3)

2



Cvicení: Ukazte, ze v regularizaci impulsovým orezáním k2E ≤ Λ2

dostaneme

Γ(1loop)2 (p,Λ)reg = m2 λ

16π2

[−Λ2

m2+ ln

(Λ2

m2

)+ ln

(1+

m2

Λ2

)]Z predchozího dále víme, ze

Γ(1loop)4 (pi ) =λ2

2

[J (s) + J (t) + J (u)

]+32

λ2J (0,Λ)reg

kde

J (z) =1

16π2

(2+ σ (z) ln

(σ (z)− 1σ (z) + 1

))a

Jreg (0,Λ) =1

16π2

[ln(

Λ2

m2

)+ ln

(1+

m2

Λ2

)− 11+m2/Λ2



Protoze jednosmyckové grafy nemají poddivergence, máme

Γ2 (p)(1loop)div = −K (1loop)m m2 +K (1loop)φ p2

Γ4 (pi )(1loop)div = −K (1loop)λ

kde pro Λ→ ∞

K (1loop)m =λ

16π2

[Λ2

m2− ln

(Λ2

m2

)]+O (1)

K (1loop)φ = 0

K (1loop)λ = − 3λ2

32π2

[ln(

Λ2

m2

)− 1]+O (1)

Jednosmyckové UV divergence jsou tedy lokální



VII. Formální procedura renormalizace

Pripomenme: v teorii λφ4 jsme konstruovali interakcní Lagrangián

Lint = ∑jcjO(j) [φ] (x)

na základe pozadavku1 lokality2 Lorentzovské invariance3 invariance vzhledem k diskrétní transformaci φ′ (x) = −φ (x)4 renormalizovatelnosti, t.j. dimO(j ) [φ] (x) ≤ 4

Nejobecnejší mozný interakcní Lagrangián muze tedy obsahovatkrome operátoru φ (x)4, který má dimenzi dim φ4 = 4, ješte další dvaoperátory, jmenovite

O(φ) = ∂φ · ∂φ, dimO(φ) = 4

O(m) = φ2 , dimO(m) = 2



Zobecneme proto naši teorii a pišme interakcní Lagrangián ve tvaru

Lint =12cφ∂φ · ∂φ− 1

2cmm2φ2 −

14!cλφ4

Protoze poruchovou teorii organizujeme jako rozvoj v mocnináchjediné vazbové konstanty λ, predpokládejme dále

cj =∞

∑n=1

c (n)j λn

a definujme konstantu λ predpisem

c (1)λ = 1



Kompletní Lagrangián pak pišme ve tvaru

L = Lb + Lct

kde tzv. základní (basic) Lagrangián Lb je

Lb =12

∂φ · ∂φ− 12m2φ2 − 1

4!λφ4

a tzv. kontrclenný Lagrangián Lct má tvar

Lct =12cφ∂φ · ∂φ− 1

2cmm2φ2 −

14!(cλ − λ) φ4



Interakcním vertexum kontrclenného Lagrangiánu Lct odpovídajídodatecná Feynmanova pravidla, tzv. kontrcleny, v p−representaci



Kontrcleny prispívají do dvoubodové a ctyrbodové 1PI Greenovyfunkce v nejnizším rádu

Γ2 (p)(ct) = −λc (1)m m2 + λc (1)φ p2

Γ4 (pi )(ct) = −λ2c (2)λ

Celkem tedy na úrovni jedné smycky

Γ2 (p) = p2 −m2 + Γ(1loop)2 (p,Λ)reg + Γ2 (p)(ct)

Γ4 (pi ) = −λ+ Γ(1loop)4 (pi ,Λ)reg + Γ4 (pi )(ct)

Pritom UV divergentní cást jednosmyckového príspevku je, jak víme,

Γ2 (p)(1loop)div = −K (1loop)m m2 +K (1loop)φ p2

Γ4 (pi )(1loop)div = −K (1loop)λ

Všimneme si, ze príspevek kontrclenu je co do formy stejný jakodivergentní cást jednosmyckových príspevku



Formálne lze tedy odstranit divergentní príspevky vhodnou volboukontrclenu, tak, aby pro Λ→ ∞

−λc (1)m m2 + λc (1)φ p2 −K (1loop)m m2 +K (1loop)φ p2 = O (1)

−λ2c (2)λ −K(1loop)λ = O (1)

Pripomenme

K (1loop)m =λ

16π2

[Λ2

m2− ln

(Λ2

m2

)]+O (1)

K (1loop)φ = 0

K (1loop)λ =3λ2

32π2

[ln(

Λ2

m2

)− 1]+O (1)

Konecné cásti kontrclenu tedy nejsou fixovány jednoznacne samotnoupodmínkou konecnosti Γ2 (p) a Γ4 (pi )



Obecne tedy máme

c (1)m = − 116π2

[Λ2

m2− ln

(Λ2

m2

)]+ c (1,r )m , c (1)φ = c (1,r )φ

c (2)λ = − 332π2

[ln(

Λ2

m2

)− 1]+ c (2,r )λ

kde c (1,r )m , c (1,r )φ a c (2,r )λ jsou O (1) pro Λ→ ∞Konecné cásti kontrclenu predstavují tedy volné parametry teorie,jejich fixace je soucástí tzv. renormalizacního schématuVýsledná teorie je tedy jednoznacne urcena

1 hmotovým parametrem m a vazbovou konstantou λ2 zpusobem regularizace a identifikace UV divergentních príspevku3 renormalizacním schématem, t.j. fixací konecných cástí kontrclenuc (k ,r )m , c (k ,r )φ a c (k ,r )λ

Jak uvidíme, fyzikální obsah teorie je nezávislý na regularizaci arenormalizacním schématu. Ukazme to na úrovni jedné smycky



Na úrovni jednosmyckového priblízení máme pro Λ→ ∞ konecné 1PIGreenovy funkce

Γ2 (p) = p2 −m2 + λc (1,r )φ p2 − λc (1,r )m m2

Γ4 (pi ) = −λ+λ2

2

[J (s) + J (t) + J (u)

]− λ2c (2,r )λ

Jednotlivé regularizace a renormalizacní schémata se liší konkrétnímihodnotami c (1,r )φ , c (1,r )m a c (2,r )λ

1PI Greenovy funkce Γ2 (p) a Γ4 (pi ) prímo souvisí s pozorovatelnýmiv λφ4 teorii - s hmotou cástic mphys , a s amplitudou rozptylu 2→ 2 vpevne zvoleném kinematickém bode (s0, t0, u0), oznacmeT cfi |(s0,t0,u0) ≡ −λphys . Jak uvidíme, mphys a λphys (a nikolivregularizace a renormalizacní schéma) jsou parametry, rozlišujícíjednotlivé teorie s ruzným fyzikálním obsahem



Vskutku, pomocí 1PI Greenových funkcí lze rekonstruovat souvisléGreenovy funkce

kde tzv. vlastní energie Σ (p) je definována jako

−Σ(p2)≡ Γ2 (p)−

(p2 −m2

)T.j.

Gc2 (p) =i

p2 −m2 + i0 +i

p2 −m2 + i0[−iΣ

(p2)] ip2 −m2 + i0 + . . .

+ . . . =i

p2 −m2 + i0∞

∑n=0

[[−iΣ

(p2)] ip2 −m2 + i0

]n=

ip2 −m2 − Σ (p2)



Podobne

T.j.

Gc4 (pi ) = iΓ4 (pi )4

∏j=1Gc2 (pj )

= iΓ4 (pi )4

∏j=1

i

p2j −m2 − Σ(p2j)

Ale podle LSZ formulí, Gc4 (pi ) musí mít jednoduchý pól prop2j → m2phys kde m

2phys je hmota fyzikálních cástic



Γ4 (pi ) z definice takový pól nemá, hmota fyzikálních cástic je tedypólem dvoubodové souvislé Greenovy funkce

Gc2 (p) =i

p2 −m2 − Σ (p2)

Tedy pro fyzikální hmotu platí

p2 −m2 − Σ(p2)|p2=m2phys = 0

t.j.m2phys = m

2 + Σ(m2phys

)Puvodní parametr m2 základního Lagrangiánu tedy obecne nenítotozný s fyzikální hmotou interagujících cástic!



Definujme ješte subtrahovanou vlastní energii Σ(p2)

Σ(p2)= Σ

(m2phys

)+(p2 −m2phys

)Σ′(m2phys

)+[1− Σ′

(m2phys

)]Σ(p2)

t.j. Σ(p2)az na faktor odpovídá subtrakci prvních dvou clenu

Taylorova rozvoje z Σ(p2)(zde Σ′ ≡ Σ′

(m2phys

))[

1− Σ′]

Σ(p2)= Σ

(p2)− Σ

(m2phys

)−(p2 −m2phys

)Σ′

Pro p2 → m2phys je tak

Σ(p2)= O

((p2 −m2phys

)2)Oznacme

Z =1

1− Σ′(m2phys



Potom máme

p2 −m2 − Σ(p2)= Z−1

(p2 −m2phys − Σ

(p2))

a tak

Gc2 (p) = 〈Ω|T φH (p) φH (0) |Ω〉 =i

p2 −m2 − Σ (p2)

=iZ

p2 −m2phys − Σ (p2)

Pro p2 → m2phys tak máme

Gc2 (p) ≈iZ

p2 −m2phys



Σ(p2)tedy souvisí jednak s hmotou interagujících cástic relací

m2phys = m2 + Σ

(m2phys

)jednak s normalizací polí φ (x)Vskutku, aplikujme LSZ formule na dvoubodovou souvislou Greenovufunkci prenormovaných polí

φH (x)phys = Z−1/2φH (x)

Dostaneme

〈p, out|φH (0)phys |Ω〉= −i lim

on−shell

(p2 −m2phys

)〈Ω|T φH (p)phys φH (0)phys |Ω〉c

= −iZ−1 limon−shell

(p2 −m2phys

)〈Ω|T φH (p) φH (0) |Ω〉c

= −iZ−1 limon−shell

(p2 −m2phys

) iZ

p2 −m2phys − Σ (p2)= 1



Pole φH (0) = Z 1/2φH (x)phys tedy nejsou správne normovanáheisenbergovská pole

Do LSZ formulí je treba dosadit Greenovy funkce polí φH (x)phys .Teprve pro ne platí

〈p, out|φH (0)phys |Ω〉 = 〈p, out|φout (0) |Ω〉

coz je nutná podmínka pro slabou limitu

φH (x)physx 0→∓∞→ φin,out (x)

Greenovy funkce polí φH (x)phys dostaneme multiplikativnírenormalizací Greenových funkcí polí φH (x)

G cn (pj )phys = Z−n/2G cn (pj )



Speciálne

Gc2 (pj )phys =i

p2 −m2phys − Σ (p2)=

iΓr2 (p)

kde tzv. renormalizovaná 1PI Greenova funkce Γr2 (p) je

Γr2 (p) ≡ ZΓ2 (p)= p2 −m2phys − Σ

(p2)

Pro p2 → m2phys tak máme

Gc2 (p)phys ≈i

p2 −m2phys



Podobne

Gc4 (pj )phys = Z−2iΓ4 (pi )4

∏j=1Gc2 (pj )

= Z−2iΓ4 (pi )4

∏j=1

i

p2j −m2 − Σ(p2j)

= iΓ4 (pi )Z−24

∏j=1

iZ

p2j −m2phys − Σ(p2j)

a tak pomocí LSZ formulí

iT cfi = Z 2iΓ4 (pi ) ≡ iΓr4 (pi )

kde Γr4 (pi ) je tzv. renormalizovaná 1PI Greenova funkce, obecne

Γrn (pi ) ≡ Z n/2Γn (pi )



V jednosmyckovém priblízení

Σ(p2)= −λc (1,r )φ p2 + λc (1,r )m m2

a tak

m2phys = m2 + Σ(m2)+O

(λ2)

= m2[1+ λ

(c (1,r )m − c (1,r )φ

)+O

(λ2)]

aZ =

1

1+ λc (1,r )φ

= 1− λc (1,r )φ +O(λ2)



Dále,

T cfi = Γr4 (pi ) = Z2Γ4 (pi ) =

(1− 2λc (1,r )φ

)×[−λ+

λ2

2

[J (s) + J (t) + J (u)

]− λ2c (2,r )λ

]= −λ− λ2

(c (2,r )λ − 2c (1,r )φ

)+

λ2

2

[J (s) + J (t) + J (u)

]+O

(λ3)

Napr. pro s0 = t0 = u0 = 0 máme modulo vyší rády v λ

λphys = −T cfi |(0,0,0) = λ+ λ2(c (2,r )λ − 2c (1,r )φ

)



Souhrne, na úrovni jedné smycky a pro s0 = t0 = u0 = 0 a modulovyší rády v λ

λphys = λ+ λ2(c (2,r )λ − 2c (1,r )φ

)m2phys = m2

[1+ λ

(c (1,r )m − c (1,r )φ

)]Z = 1− λc (1,r )φ

Fyzikální pozorovatelné jsou tedy na renormalizacním schématu (t.j.

na fixaci c (1,r )m , c (1,r )φ a c (2,r )λ ) závislé funkce puvodních parametru ma λ základního Lagrangiánu Lb



Merení mphys a λphys umoznuje fixovat m a λ

Modulo vyšší rády

λ = λphys − λ2phys

(c (2,r )λ − 2c (1,r )φ

)m2 = m2phys

[1− λphys

(c (1,r )m − c (1,r )φ

)]Pro dve ruzná renormalizacní schémata tak dostaneme z experimentuodlišné hodnoty (m,λ) a

(m′,λ′

). Tyto parametry však nemají prímý

fyzikální význam, predstavují jen parametrizaci teorie odpovídajícídané regularizaci a renormalizacnímu schématu.

Proto je vhodné parametrizovat teorii prímo fyzikálními parametry(mphys ,λphys )



To je ekvivalentní volbe tzv. on-mass-shell renormalizacního schématu

c (1,r )φ = 0

c (2,r )λ − 2c (1,r )φ = 0

c (1,r )m − c (1,r )φ = 0

tedyc (1,r )φ = c (1,r )m = c (2,r )λ = 0

Pripomenme, ze parametr c (1,r )φ pouze fixuje normalizaci pole φH (x)

c (1,r )φ je tudíz nefyzikální, nebo ,t ho lze odstranit prechodem krenormalizovaným polím φH (x)phys . To je ekvivalentní volbe

c (1,r )φ = 0



V on-mass-shell renormalizacním schématu tedy

λphys = λ, m2phys = m2, φH (x)phys = φH (x)

a

Γ2 (p) = p2 −m2 = p2 −m2phys

Γ4 (pi ) = −λ+λ2

2

[J (s) + J (t) + J (u)

]= −λphys +

λ2phys2

[Jphys (s) + Jphys (t) + Jphys (u)

]Cvicení: Ukazte, ze reparametrizujeme-li renormalizované 1PI Greenovyfunkce Γr2 (p) a Γr4 (pi ) spoctené v obecném renormalizacním schématupomocí fyzikálních parametru (mphys ,λphys ), výsledek nezávisí narenormalizacním schématu a je totozný s výberem on-mass-shell schématu(modulo cleny vyšších rádu).



Poznamenejme, ze on-mass-shell schéma lze ekvivalentne definovatprímo prostrednictvím následujících podmínek normalizace pro 1PIGreenovy funkce Γ2

(p2)a Γ4

(p2i)

Γ2(m2)= 0

Γ′2(m2)= 1

Γ4 (pi ) |(0,0,0) = −λ

Poslední podmínku lze modifikovat volbou jiného kinematického bodu(s0, t0, u0), napr. volbou symetrického bodu

s0 = t0 = u0 =43m2



Je mozná i obecnejší volba

s0 = t0 = u0 =43

κ2

kde |κ| <√3m je libovolný parametr s dimenzí dim κ = 1, t.j.

pozadujeme

Γ4 (pi ) |( 43 κ2, 43 κ2, 43 κ2) ≡ −λphys (κ) = −λ

Ruzný výber κ predstavuje ruzná renormalizacní schémata, konstantyλphys (κ) mají ruzný fyzikální význam, spec. pro κ 6= 0 je konstantaλphys (κ) ruzná od výše zavedené pozorovatelné λphys (0) ≡ λphys .

Prechod od jedné volby κ k jinému κ′ (obecneji od jednohorenormalizacního schématu k jinému) odpovídá reparametrizaci teorie,pri fixovaném (mphys ,λphys ) je však její fyzikální obsah nezmenen.



Shrnutí jednosmyckové renormalizace

λφ4 teorii jsme definovali pomocí Lagrangiánu

L = Lb + L(1loop)ct

Lb =12

∂φ · ∂φ− 12m2φ2 − 1

4!λφ4

L(1loop)ct =12

λc (1)φ ∂φ · ∂φ− 12

λc (1)m m2φ2 − 14!

λ2c (2)λ φ4

Poruchový rozvoj jsme organizovali jako rozvoj v λ, t.j. volný ainterakcní Lagrangián definující Feynmanova pravidla jsou

L0 =12

∂φ · ∂φ− 12m2φ2

LI = − 14!

λφ4 +12

λc (1)φ ∂φ · ∂φ− 12

λc (1)m m2φ2 − 14!

λ2c (2)λ φ4



Zvolili jsme konkrétní regularizacní schéma (impulsové orezáník2E < Λ2) a spocítali UV divergentní 1PI Greenovy funkce Γ2 (p) aΓ4 (pi ) v jednosmyckovém priblízení, se zapoctením kontrclenu

Γi (p,Λ)reg = Γi (p)(tree) + Γi (p,Λ)

(1loop)reg + Γi (p)

(ct) , i = 2, 4

Fixovali jsme nekonecné cásti Γ2 (p,Λ)(1loop)reg a Γ4 (pi ,Λ)

(1loop)reg , tyto

divergentní cásti jsou polynomiální v impulsech, stejne jako príspevkykontrclenu Γ2 (p)

(ct) a Γ4 (pi )(ct)

Nastavili jsme závislost kontrclenu c (1)φ , c (1)m a c (2)λ na parametruorezání Λ tak, aby pro Λ→ ∞ 1PI Greenovy funkce Γ2 (p) a Γ4 (pi )byly konecné



Explicite

c (1)m = − 116π2

[Λ2

m2− ln

(Λ2

m2

)]+ c (1,r )m , c (1)φ = c (1,r )φ

c (2)λ = − 332π2

[ln(

Λ2

m2

)− 1]+ c (2,r )λ

Vybrali jsme renormalizacní schéma, t.j. fixovali jsme konecné cástikontrclenu c (1,r )φ , c (1,r )m a c (2,r )λ

Odstranili jsme regularizaci, t.j. provedli jsme limitu Λ→ ∞

Γi (p) = limΛ→∞

Γi (p,Λ)reg

Výsledné 1PI Greenovy funkce Γ2 (p) a Γ4 (pi ) (a jak víme i všechnyostatní Γi (p), i > 4) jsou pak konecné v jednosmyckovém priblízení



Pro pevne zvolené renormalizacní schéma (t.j. pro fixované c (1,r )φ ,

c (1,r )m a c (2,r )λ ) stací dve nazávislá merení k urcení parametru (m,λ)základního Lagrangiánu. K tomuto úcelu nám poslouzila hmota cásticmphys a vazbová konstanta λphys

m2phys = m2 + Σ(m2phys

)= m2

[1+ λ

(c (1,r )m − c (1,r )φ

)]λphys = −T cfi |(0,0,0) = λ+ λ2

(c (2,r )λ − 2c (1,r )φ

)odkud formálne

λ = λ(

λphys , c(1,r )φ , c (1,r )m , c (2,r )λ

)m2 = m2

(m2phys ,λphys , c

(1,r )φ , c (1,r )m , c (2,r )λ

)



Ruzná renormalizacní schémata odpovídají ruzným parametrizacímtéze teorie. Volba c (1,r )φ = c (1,r )m = c (2,r )λ = 0 (tzv. on-mass-shellschéma) odpovídá parametrizaci pomocí fyzikálních pozorovatelných(mphys ,λphys )

λ = λphys , m2 = m2physToto schéma lze fixovat podmínkami normalizace

Γ2(m2)= 0

Γ′2(m2)= 1

Γ4 (pi ) |(0,0,0) = −λ

V obecném renormalizacním schématu ale

m2phys = m2[1+ λ

(c (1,r )m − c (1,r )φ

)]6= m2

a pole φ (x)H nejsou správne normalizována, platí slabá limita

φH (0)x 0→∓∞→ Z 1/2φin,out (0) , Z = 1− λc (1,r )φ



Souvislé Greenovy funkce Gcn (pj )

Gcn (pj ) = 〈Ω|T φ (p1) . . . φ (pn−1) φ (0) |Ω〉

konstruované pomocí 1PI funkcí Γi (p), je tak treba pred dosazenímdo LSZ formulí renormalizovat, t.j. nahradit renormalizovanýmisouvislými Greenovými funkcemi Gcn (pj )

r

Gcn (pj )phys ≡ Z−n/2Gcn (pj )

To je ekvivalentní nahrazení všech 1PI Greenových funkcí Γn (pj )renormalizovanými 1PI Greenovými funkcemi Γrn (pj )

Γrn (pj ) ≡ Z n/2Γn (pj )

Pro Feynmanova pravidla pro elementy S−matice to znamenádodatecný faktor Z 1/2 za kazdou vnejší linii, postup je známý jakorenormalizace vnejších linek



VIII. Renormalizace do všech rádu

Zatím jsme ukázali, jak eliminovat UV divergence na úrovni jednésmycky. Celý postup lze zobecnit do všech rádu.

Úlohou je konstruovat rád po rádu kontrclenný Lagrangián

Lct =12cφ∂φ · ∂φ− 1

2cmm2φ2 −

14!(cλ − 1) φ4

kde

cj =∞

∑n=1

c (n)j λn

tak, aby 1PI Greenovy funkce Γ2 (p) a Γ4 (pi ) byly v kazdém rádusmyckového rozvoje konecné v limite Λ→ ∞Tuto úlohu lze rešit rekurentne.



Ilustrujme obecný postup na príkladu Γ2 (p) do dvou smycek. Vtomto rádu máme grafy (s implicitními symetrickými faktory)

Cvicení: Spoctete symetrické faktory jednotlivých grafu.



Dvousmyckové grafy mají poddivergence. Napr. dvousmyckový graf

má dve jednosmyckové poddivergence



Z konstrukce jednosmyckových kontrtclenu plyne, ze poddivergence

je eliminována príspevkem grafu s kontrcleny c (1)φ a c (1)m



Podobne poddivergence

je eliminována jednou tretinou príspevku grafu s kontrclenem c (2)λ



Tedy suma

jiz nemá poddivergence

Podle Weinbergova teorému je tedy UV divergentní cást této sumypolynomem stupne dva ve vnejším impulsu



Podobne dvousmyckový graf

má tri jednosmyckové poddivergence

Jedná se o tzv. prekrývající se (overlapping) divergence, jednotlivépodgrafy mají vzdy jednu linku spolecnou



Uvazujme regularizovanou sumu grafu

Pripomenme, ze první graf se násobí faktorem 1/3! (symetrický faktor3! odpovídá trem ekvivalentním vnitrním linkám) a druhý graffaktorem 1/2 (za tadpole). Tedy s explicitními symetrickými faktoryje tato suma



Kontrclen c (2)λ byl konstruován tak, aby platilo (zde je symetrickýfaktor 1/2 explicite vypsán)

Tedy uvázíme-li, ze v sume

má dvousmyckový graf tri poddivergence téhoz typu, symbolicky

vidíme, ze v této sume jsou všechny poddivergence odstraneny



Tedy podle Weinbergova teorému UV divergentní cást sumy

je polynom druhého rádu ve vnejším impulsu p a jak jiz víme totézplatí i pro sumu

Je tedy mozné nastavit kontrcleny c (2)m a c (2)φ tak, aby suma všechgrafu prispívajících do Γ2 (p) byla UV konecná.



Stejne lze postupovat v prípade Γ4 (pj ) v dvousmyckovém priblízení.

Jednosmyckové grafy s kontrcleny vykompenzují poddivergencedvousmyckových grafu, zbyde jen logaritmická povrchová divergence

Ta se vykompenzuje vhodným nastavením kontrclenu c (3)λ

Pro 1PI Grenovy funkce Γn (pk ) s n > 4, jednosmyckové grafy skontrcleny vykompenzují poddivergence dvousmyckových grafu.

Protoze pro n > 4 nejsou povrchové divergence, výsledné Γn (pk ) jsoukonecné

Konecné cásti kontrclenu c (2,r )m , c (2,r )φ a c (3,r )λ nejsou urcenyjednoznacne a definují renormalizacní schéma



Rekurentní konstrukce kontrclenu podle poctu smycek probíháanalogicky:

1 Predpokládejme, ze kontrcleny do rádu n− 1 v poctu smycek jsouznámé

2 Pridáme ke všem n−smyckovým grafum pro libovolnou 1PI Greenovufunkci i všechny n− 1 smyckové s jedním jednosmyckovýmkontrclenem, n− 2 smyckové s jedním dvousmyckovým nebo se dvemajednosmyckovými kontrcleny atd. az po jednosmyckové grafy skontrcleny sumárního rádu n− 1

3 Grafy s kontrcleny vykompenzují všechny poddivergence ve všechuvazovaných smyckových grafech

4 Výsledná suma bude mít jen povrchovou divergenci. PodleWeinbergova teorému bude polynomiální ve vnejších impulsech. To setýká jen Γ2 (p) a Γ4

(pj), ostatní Γn jiz budou konecné

5 Nastavíme kontrcleny c (n)m , c (n)φ a c (n+1)λ tak, aby kompenzovaly zbylé

polynomiální povrchové divergence v Γ2 (p) a Γ4(pj)

6 Volba konecných cástí kontrclenu definuje renormalizacní schéma



On-mass-shell renormalizacní schéma je urceno normalizacnímipodmínkami na 1PI Greenovy funkce Γ2 (p) a Γ4 (pj )

Γ2(m2)= 0

Γ′2(m2)= 1

Γ4 (pi ) |(0,0,0) = −λ

Tyto podmínky umoznují rekurentne jednoznacne fixovat c (n)m , c (n)φ a

c (n+1)λ v kazdém rádu rozvoje v poctu smycekHmotový parametr m Lagrangiánu pak koinciduje s fyzikální hmotoucástic, pole φH (x) je správne normalizované, t.j. platí slabáoperátorová limita

φH (0)x 0→∓∞→ φin,out (0)

a parametr λ odpovídá hodnote amplitudy v bode s = u = t = 0

λ = −T cfi |(0,0,0)J. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 1141 / 1311


Volba on-mass-shell schématu je ekvivalentní reparametrizaci teorie vobecném schématu pomocí fyzikálních parametru (mphys ,λphys )Vskutku, v obecném schématu máme

λphys = λphys (λ) = λ+O (λ)

m2phys = m2phys(λ,m2

)= m2 (1+O (λ))

φH (x)phys = Z−1/2 (λ) φH (x) = φH (x) (1+O (λ))

Tyto relace vyrešme poruchove vzhledem k λ, m2 a φH (x)

λ = λ∗ (λphys ) = λphys + . . .m2 = m2∗

(λphys ,m

2phys

)= m2phys + . . .

φH (x) = Z 1/2 (λ∗) φH (x)phys = φH (x)phys + . . .

a uvazujme renormalizované a reparametrizované 1PI Grenovy funkce

Γphysn

(pj ;λphys ,m

2phys

)≡ Z (λ∗)n/2 Γn

(pj ;λ∗,m2∗



Ale z definice m2phys

Γ2(m2phys ;λ,m

2) = 0a tedy

Γphys2

(m2phys ;λphys ,m

2phys

)= Z (λ∗) Γ2

(m2phys ;λ∗,m

2∗)= 0

Podobne z definice Z (λ)

Z (λ) =1

Γ′2(m2phys ;λ,m

2)

je

Γphys2

(m2phys ;λphys ,m

2phys

)′= Z (λ∗) Γ′2

(m2phys ;λ∗,m

2∗)= 1



Konecne z definice λphys

λphys = −T cfi |(0,0,0) = −Z (λ)2 Γ4

(λ,m2

)|(0,0,0)

máme

Γphys4

(λphys ,m

2phys

)|(0,0,0) = Z (λ∗)

2 Γ4(λ∗,m2∗

)|(0,0,0)

= −λphys

Renormalizované a reparametrizované 1PI Greenovy funkce Γphys2 aΓphys4 splnují normalizacní podmínky pro on-mass-shell schéma.



Na druhé strane, poruchový rozvoj Γphys2 a Γphys4 v λphys lze generovatpomocí reparametrizovaného Lagrangiánu

Lphys(

φphys ,λphys ,m2phys

)= L

(Z 1/2 (λ∗) φphys ,λ∗,m

2∗

)kde

L(φ,λ,m2

)= Lb

(φ,λ,m2

)+ Lct

(φ,λ,m2

)je puvodní Lagrangián s kontrcleny.Lagrangián L

(φ,λ,m2

)vede na konecné 1PI Greenovy funkce, to

samé musí platit i pro Lphys(


). Protoze Γphys2 a

Γphys4 splnují normalizacní podmínky pro on-mass-shell schéma, jsou

konecné cásti kontrclenu v Lphys(


)totozné s

on-mass-shell schématem.Reparametrizované a renormalizované 1PI Greenovy funkce jsou taktotozné s výsledkem výpoctu s Lagrangiánem Lphys v on-mass-shellrenormalizacním schématu.



IX. Dimenzionální regularizace a minimální subtrakce

V predchozím jsme pouzívali “fyzikální“ regularizaci orezánímimpulsových integrálu k2E < Λ2. Pro praktické výpocty se témervýhradne pouzívá tzv. dimenzionální regularizace

Pripomenme formuli pro stupen divergence

DΓ = dL+∑V

nV dV +∑φ

(2dφ − d

)Iφ

Protoze UV chování propagátoru

∆φF (p) = O

(p2dφ−d

)nezávisí na dimenzi d , je stupen divergence lineární funkcí dimenze

Formální snízení d < 4 tedy regularizuje UV divergence



Uvazujme napríklad jednosmyckový príspevek k vlastní energiiskalárních cástic v λφ4 teorii v d prostorocasových dimenzích

−iΣ(1loop)(p2, d

)= −i λ

2

∫ ddk

(2π)di

k2 −m2 + i0

Σ(1loop)(p2, d

)je UV konecná pro d = 1, pro d > 1 je UV

divergentní se stupnem divergence

DΓ = d − 2

Jak uvidíme v dalším, lze Σ(1loop) (p, d) analyticky prodlouzit jakofunkci komplexní promenné d , pritom singularity této funkce prod = 4 souvisejí s UV divergencemi



Predpokládejme tedy formálne obecné d . Po provedení Wickovyrotace k0 = ik4 dostaneme

Σ(1loop)(p2, d

)=

λ

2

∫ ddkE(2π)d

1k2E +m

2

S formálním uzitím formule platné pro prirozená d

ddkE =2πd/2

Γ (d/2)kd−1E dkE =

πd/2

Γ (d/2)(k2E) d2−1 dk2E

dostaneme

Σ(1loop)(p2, d

)=

λ

2 (4π)d/2 Γ (d/2)

∫ ∞

0dk2E

(k2E) d2−1

k2E +m2



Pišme dále1

k2E +m2=∫ ∞

0dαe−α(k 2E+m2)

Takze pro 0 < d < 2

Σ(1loop)(p2, d

)=

λ

2 (4π)d/2 Γ (d/2)

∫ ∞

0dk2E

(k2E) d2−1

k2E +m2

=λ

2 (4π)d/2 Γ (d/2)

∫ ∞

0dαe−αm2

∫ ∞

0dk2E

(k2E) d2−1 e−αk 2E

=λ

2 (4π)d/2

∫ ∞

0dαα−

d2 e−αm2

T.j. nakonec

Σ(1loop)(p2, d

)=

λ

2Γ (1− d/2)

(4π)d/2

(m2) d2−1



Pripomenme, ze Eulerova Gamma funkce Γ (z) je analytická vkomplexní rovine s výjimkou pólu v bodech

zn = −n, n = 0, 1, 2, . . .

Laurentuv rozvoj v okolí techto pólu je

Γ (−n+ ε) =(−1)n

n!

(1ε+ ψ (n+ 1) +O (ε)

)kde

ψ (n+ 1) = 1+12+ . . .+

1n− γ

a γ = 0.5772 . . . je Eulerova konstanta



Výsledek pro Σ(1loop)(p2, d

)Σ(1loop)

(p2, d

)=

λ

2Γ (1− d/2)

(4π)d/2

(m2) d2−1

je tedy funkcí promenné d , kterou lze analyticky prodlouzit dokomplexní roviny s póly

1− d/2 = −n, n = 0, 1, 2, . . .

t.j.d = 2n, n = 1, 2, , . . .

Fyzikální hodnota je d = 4, UV divergence ve ctyrech dimenzích setedy projevuje jako pól funkce Σ(1loop)

(p2, d

)pro d = 4



Definujme ješte

ε ≡ 2− d2

pak máme (zde µ je libovolný parametr dimenze hmoty, tzv.renormalizacní škála)

Σ(1loop)(p2, d

)= µ−2ε λm2

2 (4π)2Γ (ε− 1)

(4πµ2

m2

)ε

Rozvojem v ε dostaneme

Σ(1loop)(p2, d

)= −µ−2ε λm2

2 (4π)2

(1ε− γ+ 1+O (ε)

)×(1+ ε ln

(4πµ2

m2

)+O

(ε2))



Nakonec

Σ(1loop)(p2, d

)= −µ−2ελ

m2

2 (4π)2

[1ε− γ+ 1+ ln

(4πµ2

m2

)+O (ε)

]Fyzikální hodnote d = 4 odpovídá ε→ 0. Výsledná formule proΣ(p2, d

)tak zní

Σ(p2, d

)= Σ(1loop)

(p2, d

)+ Σ(ct)

(p2, d

)kde Σ(ct)

(p2, d

)je príspevek kontrclenu

Σ(ct)(p2, d

)= −λc (1)φ p2 + λc (1)m m2

Jak víme, kontrcleny je treba konstruovat tak, ze Σ(p2, d

)je UV

konecná, t.j. existuje konecná limita, odstraníme-li regularizaci, t.j.spocteme-li limitu pro fyzikální hodnotu dimenze d

Σ(p2)= lim

d→4Σ(p2, d



Tento pozadavek fixuje UV divergentní cásti kontrclenu

c (1)m = µ−2ε

[1

2 (4π)21ε+ c (1,r )m (µ)

]c (1)φ = µ−2εc (1,r )φ (µ)

Volba konecných cástí kontrclenu c (1,r )m (µ) a c (1,r )φ (µ) spolu svýberem konkrétní hodnoty µ definuje renormalizacní schéma.Nejednodušším schématem je tzv. schéma minimálních subtrakcí(zkrácene MS schéma), kdy pevne zvolíme µ a polozíme

c (1,r )m (µ) = c (1,r )φ (µ) = 0

potom kontrcleny mají pouze pólové cleny v ε

V rámci MS schématu je renormalizacní škála µ volný parametr,rozlišující jednotlivá MS schémata. Parametry Lagrangiánu veschématech s ruzným µ je zvykem znacit λ (µ), m (µ)



Ve schématu MS tak máme na úrovni jedné smycky

Σ(p2)= lim

d→4µ−2ελ (µ)

m2 (µ)

2 (4π)2

[γ− 1− ln

(4πµ2

m2 (µ)

)+O (1)

]= λ (µ)

m2 (µ)

2 (4π)2

[γ− 1+ ln

(m2 (µ)4πµ2

)]Fyzikální hmota je pak, jak víme, je dána vztahem

m2phys = m2 (µ) + Σ(m2phys

)= m2 (µ) + λ (µ)

m2 (µ)

2 (4π)2

[γ− 1+ ln

(m2 (µ)4πµ2

)]Všimneme si, ze zde je jak explicitní tak i implicitní (prostrednictvímm (µ) a λ (µ)) závislost na renormalizacní škále µ

V MS schématu máme Σ′(p2)= 0 a tak Z = 1, t.j.

φ (x) = φphys (x)



Podobne lze postupovat i pri dimenzionální regularizaci 1PI Greenovyfunkce Γ4 (pj ). Pripomenme

Γ(1loop)4 (pj ) =λ2

2[J (s) + J (t) + J (u)]

kde pro s = P2 formálne

J (s) = −i∫ d4k

(2π)41

(k2 −m2 + i0)((k − P)2 −m2 + i0

)



Pro obecné d

Γ(1loop)4 (pj , d) =λ2

2[J (s, d) + J (t, d) + J (u, d)]

kde

J (s, d) = −i∫ ddk

(2π)d1

(k2 −m2 + i0)((k − P)2 −m2 + i0

)Integrál je konvergentní pro d < 4, pro d ≥ 4 je stupen divergenceDΓ = d − 4



Pro 0 < d < 4 dostaneme pomocí Feynmanovy parametrizacesoucinu jmenovatelu (podobne jako dríve ve ctyrech dimenzích)

J (s, d) = −i∫ 1

0dx∫ ddk

(2π)d1

[k2 − A(x , s) + i0]2

kdeA (x , s) = m2 − x (1− x) s

a po Wickove rotaci

J (s, d) =∫ 1

0dx∫ ddkE(2π)d

1

[k2E + A]2



Opet uzijeme formální relaci

ddkE =2πd/2

Γ (d/2)kd−1E dkE =

πd/2

Γ (d/2)(k2E) d2−1 dk2E

t.j.

J (s, d) =1

(4π)d/2 Γ (d/2)

∫ 1

0dx∫ ∞

0dk2E

(k2E) d2−1

[k2E + A]2



Cvicení: Ukazte, ze pro A > 0, α > 0, β− α > 0 platí∫ ∞

0dz

zα−1

(z + A)β=

Γ (α) Γ (β− α)

Γ (β)Aα−β

V našem prípade pocítáme

J (s, d) =1

(4π)d/2 Γ (d/2)

∫ 1

0dx∫ ∞

0dk2E

(k2E) d2−1

[k2E + A]2

t.j. v predchozí formuli α = d/2 > 0, β− α = 2− d/2 = ε > 0

Tedy

J (s, d) =µd−4Γ

(2− d

2

)(4π)d/2

∫ 1

0dx(Aµ2

) d2−2

kde jsme opet zavedli renormalizacní škálu µ



Výsledek

J (s, d) =µd−4Γ

(2− d

2

)(4π)d/2

∫ 1

0dx(Aµ2

) d2−2

lze analyticky prodlouzit do komplexní roviny v promenné d , s póly

2− d2= −n, n = 0, 1, 2, . . .

a UV divergence se projevuje jako pól pro d = 4, 6, . . .Explicite rozvojem v ε = 2− d/2

J (s, d) =µ−2ε

(4π)2Γ (ε)

∫ 1

0dx(m2 − x (1− x) s

4πµ2

)−ε

=µ−2ε

(4π)2

(1ε− γ+O (ε)

)×∫ 1

0dx[1− ε ln

(m2 − x (1− x) s

4πµ2

)+O

(ε2)]



Tedy úpravami

J (s, d) =µ−2ε

(4π)2

[1ε− γ−

∫ 1

0dx ln

(m2 − x (1− x) s

4πµ2

)+O (ε)

]=

µ−2ε

(4π)2

[1ε− γ− ln

(m2

4πµ2

)+ (4π)2 J (s) +O (ε)

]kde

J (s) = − 1

(4π)2

∫ 1

0dx ln

[1− x (1− x) s

m2

]



Dohromady

Γ(1loop)4 (pj , d) =λ2

2[J (s, d) + J (t, d) + J (u, d)]

=32

λ2µ−2ε

(4π)2

[1ε− γ− ln

(m2

4πµ2

)]+

λ2

2

[J (s) + J (t) + J (u)

]+O (ε)



Celkem tedy na úrovni jedné smycky

Γ4 (pj , d) = −λ+ Γ(1loop)4 (pj , d) + Γ(ct)4 (pj , d)

kdeΓ(ct)4 (pj , d) = −λ2c (2)λ

Pozadavek kancelace UV divergencí, t.j. pólu 1/ε v limite d → 4(ε→ 0) dává

c (2)λ = µ−2ε

[3

32π21ε+ c (2,r )λ (µ)

]kde µ a c (2,r )λ (µ) definuje renormalizacní schéma.



Ve schématu MS c (2,r )λ (µ) = 0 a v limite d → 4

Γ4 (pj ) = −λ (µ)− 32

λ (µ)2

(4π)2

[γ+ ln

(m (µ)2

4πµ2

)]

+λ2

2

[J (s) + J (t) + J (u)

]Protoze jak víme v tomto schématu Z = 1, máme

λphys = −T cfi |(0,0,0) = −Γ4|(0,0,0)

tedy explicite

λphys = λ (µ) +32

λ (µ)2

(4π)2

[γ+ ln

(m (µ)2

4πµ2

)]



Souhrne tedy v MS schématu na úrovni jedné smycky

λphys = λ (µ)

[1+

32

λ (µ)

(4π)2

(γ+ ln

(m (µ)2

4πµ2

))]

m2phys = m2 (µ)

[1+

λ (µ)

2 (4π)2

(γ− 1+ ln

(m2 (µ)4πµ2

))]φphys = φ (µ)

Kontrcleny jsou

c (2)λ = µ−2ε 332π2

1ε

c (1)m = µ−2ε 132π2

1ε

c (1)φ = 0

Všimneme si, ze v MS schématu jsou kontrcleny nezávislé na hmotem (µ)



Cvicení: Najdete jaké konecné cásti kontrclenu odpovídají pri uzitídimenzionální regularizace s fixovanou škálou µ on-mass-shellschématu

Γ2(m2)= 0

Γ′2(m2)= 1

Γ4 (pi ) |( 43 κ2, 43 κ2, 43 κ2) ≡ λphys (κ) = −λ



Pišme ve schématu MS

λphys = Zλ (µ) λ (µ) , m2phys = Zm (µ)m2 (µ)

φphys = Z (µ) φ (µ)

kde v jednosmyckové aproximaci

Zλ (µ) = 1+32

λ (µ)

(4π)2

(γ+ ln

(m (µ)2

4πµ2

))

Zm (µ) = 1+λ (µ)

2 (4π)

(γ− 1+ ln

(m2 (µ)4πµ2

))Z (µ) = 1



Pri zmene renormalizacní škály tedy

λ(µ′)=

Zλ (µ)

Zλ (µ′)λ (µ) ≡ zλ

(µ′, µ

)λ (µ)

m2(µ′)=

Zm (µ)Zm (µ′)

m2 (µ) ≡ zm(µ′, µ

)m2 (µ)

φ(µ′)=

Z (µ)Z (µ′)

φ (µ) ≡ z(µ′, µ

)φ (µ)

Jak ukázeme v dalším, faktory zλ (µ′, µ), zm (µ′, µ) a z (µ′, µ) jsou

funkcí pouze λ (µ) a nezávisejí na hmotovém parametru m (µ)



Zmena renormalizacní škály µ ve schématu MS odpovídá zmenerenormalizacního schématu, λphys a m2phys jsou však narenormalizacním schématu nezávislé.

Explicitní závislost parametru λphys a m2phys na µ musí býtkompenzována implicitní závislostí λ (µ) a m (µ)

Tedy musí platit tzv. rovnice renormalizacní grupy

µddµ

λphys = 0

µddµm2phys = 0



Rozepsáním dostaneme rovnice renormalizacní grupy ve tvaru

µ∂

∂µλphys + β (λ)

∂

∂λλphys + 2γm (λ)m

2 ∂

∂m2λphys = 0

µ∂

∂µm2phys + β (λ)

∂

∂λm2phys + 2γm (λ)m

2 ∂

∂m2m2phys = 0

Zde jsme definovali tzv. beta funkci β (λ) a anomální dimenzi γm (λ)

β (λ) ≡ µ∂λ

∂µ, m2γm (λ) ≡

12

µ∂m2

∂µ



V jednosmyckové aproximaci

λphys = λ (µ)

[1+

32

λ (µ)

(4π)2

(γ+ ln

(m (µ)2

4πµ2

))]

m2phys = m2 (µ)

[1+

λ (µ)

2 (4π)2

(γ− 1+ ln

(m2 (µ)4πµ2

))]

tedy

µ∂

∂µλphys = − 3λ2

(4π)2, µ

∂

∂µm2phys = −m2

λ

(4π)2

∂

∂λλphys = 1+O (λ) , m2

∂

∂m2m2phys = m

2 [1+O (λ)]

m2∂

∂m2λphys = O

(λ2),

∂

∂λm2phys = m

2O(λ0)



Tedy rovnice renormalizacní grupy

β (λ)∂

∂λλphys + 2γm (λ)m

2 ∂

∂m2λphys = −µ

∂

∂µλphys

β (λ)∂

∂λm2phys + 2γm (λ)m

2 ∂

∂m2m2phys = −µ

∂

∂µm2phys

mají tvar

β [1+O (λ)] + 2γmO(λ2)=

3λ2

(4π)2

βO(λ0)+ 2γm [1+O (λ)] =

λ

(4π)2

Odtud dostáváme

β (λ) =3λ2

(4π)2+O

(λ3), γm (λ) =

λ

2 (4π)2+O

(λ2)



Pro malá λ tedy máme

µ∂λ

∂µ=

3λ2

(4π)2⇒ dλ

λ2=

3

(4π)2d ln µ

Rešení této rovnice je

1λ (µ)

− 1λ (µ′)

=3

(4π)2ln(

µ′

µ

)t.j.

λ(µ′)=

λ (µ)

1− 3λ(µ)

(4π)2ln(

µ′

µ

)a

zλ

(µ′, µ

)=

1

1− 3λ(µ)

(4π)2ln(

µ′

µ



Nevhodný výber renormalizacní škály µ muze mít za následek špatnoukonvergenci poruchové rady

Vskutku, pripomenme

Γ4 (pj ) = −λ (µ)− 32

λ (µ)2

(4π)2[γ− ln 4π]

+λ (µ)2

2[Jr (s) + Jr (t) + Jr (u)]

kde

Jr (s) = −∫ 1

0dx ln

(m2 − x (1− x) s

µ2

)



Tedy pro

λ (µ) ln(s

µ2

), λ (µ) ln

(m2

µ2

)& 1

je smyckový príspevek srovnatelný se stromovým

V takové oblasti energií λ (µ) není rozumný parametr poruchovéhorozvoje

Je tedy vhodné volitµ ∼ E

kde E je typická škála energií pro kinematickou oblast, v níz chcemeucinit predikci

λ (µ) je tak efektivní vazbovou konstantou (parametrem poruchovéhorozvoje) v oblasti energií E ∼ µ, tzv. bezící vazbovou konstantou



Je-li známa beta funkce β (λ) a anomální dimenze γm (λ), lze obecnérešení rovnic pro λ (µ) a m2 (µ)

µ∂λ

∂µ= β (λ)

µ∂m2

∂µ= 2m2γm (λ)

psát ve tvaru

ln(

µ′

µ

)=∫ λ(µ′)

λ(µ)

dλ

β (λ)

a

ln(m2 (µ′)m2 (µ)

)=∫ λ(µ′)

λ(µ)

dλ

β (λ)γm (λ)



Hodnoty λ∗, pro nezβ (λ∗) = 0

jsou tzv. pevné body (fixed points).λ (µ) = λ∗ automaticky reší rovnici pro bezící vazbovou konstantu

µ∂λ

∂µ= β (λ)

rešením

µ∂m2

∂µ= 2m2γm (λ)

je pak

m2(µ′)= m2 (µ)

(µ′

µ

)2γm (λ∗)

bezící hmota m (µ) se tedy pak pri preškálování µ→ tµ škáluje jakotγm (λ∗)



V malém okolí pevného bodu lze psát λ = λ∗ + (λ− λ∗) a odchylkaod pevného bodu

δλ ≡ λ− λ∗

splnuje

µ∂

∂µδλ = β (λ∗ + δλ) = β′ (λ∗) δλ+O

(δλ2)

Tedy v nejnizším rádu v δλ máme

dδλ

δλ= β′ (λ∗)

dµ

µ

a integrací

δλ(µ′)= δλ (µ)

(µ′

µ

)β′(λ∗)



Tedy v okolí fixního bodu


(µ′

µ

)β′(λ∗)

Nerovnostβ′ (λ∗) < 0

implikujeδλ (µ)→ 0 pro µ→ ∞

jedná se o tzv. UV pevný bod (λ (µ) s pocátecní podmínkou blízkopevného bodu λ∗ se blízí λ∗ v UV oblast parametru µ)Pro

β′ (λ∗) > 0

mámeδλ (µ)→ 0 pro µ→ 0

jedná se o tzv. IR pevný bod (λ (µ) s pocátecní podmínkou blízkopevného bodu λ∗ se blízí λ∗ v IR oblast parametru µ)



V obecnejším prípade, pokud

β′ (λ∗) = β′′ (λ∗) = . . . = β(k−1) (λ∗) = 0

β(k ) (λ∗) ≡k !k − 1b 6= 0, k > 1

máme v nejnizším rádu

µ∂

∂µδλ = β (λ∗ + δλ) =

bk − 1δλk

a tak

b ln(

µ′

µ

)=

1

δλ (µ)k−1− 1

δλ (µ′)k−1



Po úprave


1

1− bδλ (µ)k−1 ln(

µ′

µ

) 1k−1

Tedy probδλ (µ)k−1 < 0

t.j. pro β (λ) < 0 pro λ > λ∗ máme UV pevný bod a pro

bδλ (µ)k−1 > 0

t.j. β (λ) > 0 pro λ > λ∗ dostaneme IR pevný bod



λ = 0 je vzdy pevný bod, tzv. gaussovský pevný bod

Je-li pro malá λ > 0β (λ) > 0

je gaussovský pevný bod IR pevným bodem. Efektivní vazbovákonstanta λ (µ) zustává malá v oblasti nízkých energií, poruchováteorie v IR oblasti je dobre definovaná

Prikladem je λφ4 teorie s λ > 0

Naopak je-li pro malá λ > 0

β (λ) < 0

jde o gaussovský UV pevný bod. Efektivní vazbová konstantaλ (µ)→ 0 pro µ→ ∞, poruchová teorie má dobrý smysl v UVoblasti, teorie je tzv. asymptoticky volná

Formálním príkladem je λφ4 teorie s λ < 0



Pripomenme obecné rešení pro bezící vazbovou konstantu

ln(

µ′

µ

)=∫ λ(µ′)

λ(µ)

dλ

β (λ)

Pokud je ∫ ∞

λ(µ)

dλ

β (λ)< ∞

potom pro

µ∞ = µ exp(∫ ∞

λ(µ)

dλ

β (λ)

)< ∞

je

λ (µ)µ→µ∞→ ∞

T.j. poruchová teorie dává smysl pouze pro energie

E µ∞



To je prípad λφ4 teorie (λ > 0), pokud aproximujeme β (λ) nejnizšímrádem poruchového rozvoje

β (λ) =3λ2

(4π)2

potom ∫ ∞

λ(µ)

dλ

β (λ)=(4π)2

3λ (µ)

a pouzitelnost poruchové teorie je omezena shora energetickou škálou

µ∞ = µ exp

((4π)2

3λ (µ)

)



Pokud je ∫ ∞

λ(µ)

dλ

β (λ)= ∞

jeλ(µ′)→ ∞

proµ′ → ∞

ale λ (µ′) zustane konecné pro konecné µ.



X. Formální definice dimenzionální regularizace

Zajímají nás integrály typu

T µ1 ...µn (p1, . . . , pm) =∫ ddk

(2π)dkµ1 . . . kµn f (k, pj)

kde f (k, p1, . . . , pm) je skalární funkce, pj jsou fixované vnejší impulsyProstor smyckových impulsu formálne chápeme jako nekonecnedimenzionální, t.j. k ∈ R∞

Pro vnejší impulsy predpokládáme, ze generují konecne dimenzionálnípodprostor Mext ⊂ R∞, typicky dimMext ≤ 4Pro pevne zvolené hodnoty indexu µ1, . . . , µn definujmekonecnedimenzionální podprostor RJ ⊂ R∞ tak, ze je generovanývnejšími impulsy pj a jednotkovými vektory e

µ

(µj)= δ

µµjve smeru os

µ1, . . . , µn, t.j.Mext ⊂ RJ



Rozepišmek = k‖ + k⊥, k‖ ∈ RJ

a k⊥ je orthogonální k RJ , tedy

k⊥ · pj = 0, j = 1, 2, . . . ,mk⊥ · eµ

(µi )= kµi

⊥ = 0, i = 1, 2, . . . , n

Potom skalární funkce f (k, p1, . . . , pm) závisí pouze na k2⊥

f (k, pj) ≡ F(pj , k‖, k2⊥

)



Nyní definujme∫ ddk

(2π)dkµ1 . . . kµn f (k, pj)

=∫ dJk‖

(2π)Jkµ1‖ . . . kµn

‖

∫ ∞

0

dk2⊥(2π)d−J

πd−J2

Γ( d−J

2

) (k2⊥) d−J2 −1

×F(pj , k‖, k2⊥

)



Pro skalární integrandy nezávislé na vnejších impulsech tak mámeJ = 0, po Wickove rotaci∫ ddk

(2π)df(k2)= i

∫ ddkE(2π)d

f(−k2E

)= i

∫ ∞

0

dk2⊥(2π)d

πd2

Γ( d2

) (k2⊥) d2 −1 f (−k2⊥)ve shode s predchozími naivními manipulacemi



Nech ,t pro k2⊥ → 0 je asymptoticky

F(k2⊥)= O

((k2⊥)α)

Potom integrál

∫ dd−Jk⊥(2π)d−J

F(k2⊥)=∫ ∞

0

dk2⊥(2π)d−J

πd−J2

Γ( d−J

2

) (k2⊥) d−J2 −1F(k2⊥)

je IR divergentní prod − J2

+ α ≤ 0

V takovém prípade definujeme tento integrál analytickýmprodlouzením v d z oblasti d−J2 + α > 0 kde je dobre definován



Jako príklad takového analytického prodlouzení uvazujme integrál

I (a) =∫ ∞

0dxxa−1f (x)

kde f (x) je analytická pro x = 0 a platí

f (x) = O (xn) , x → 0

f (x) = O (xm) , x → ∞n > m

Potom I (a) je dobre definovaný pro

−n < a < −mPro −n < a < −m zvolme Λ > 0 a rozepišme

I (a) =∫ ∞

Λdxxa−1f (x) +

∫ Λ

0dxxa−1

[f (x)− 1

n!f (n) (0) xn

]+∫ Λ

0dxxa−1

1n!f (n) (0) xn



Tedy pro −n < a < −m máme

I (a) =∫ ∞

Λdxxa−1f (x) +

∫ Λ

0dxxa−1

[f (x)− 1

n!f (n) (0) xn

]+

1(n+ a) n!

f (n) (0)Λn+a

Poslední výraz je dobre definovaný i pro

−n− 1 < a < −nnebo ,t

f (x)− 1n!f (n) (0) xn = O

(xn+1

), x → 0

Pro −n− 1 < a < −n spocteme limitu Λ→ ∞, máme

I (a) =∫ ∞

0dxxa−1

[f (x)− 1

n!f (n) (0) xn

]coz je vhodné analytické prodlouzení I (a) do této oblasti parametru a



Tedy definujme pro

F(pj , k‖, k2⊥

)= K

(k2⊥)α+O

((k2⊥)α+1

)a

d − J2

+ α ≤ −1∫ dd−Jk⊥(2π)d−J

F(pj , k‖, k2⊥

)≡∫ dd−Jk⊥(2π)d−J

[F(pj , k‖, k2⊥

)−K

(k2⊥)α]

a rekurentne dále prod − J2

+ α ≤ −n

Speciálne odtud dostáváme pravidlo∫ ddk

(2π)d(kµ)α = 0



Pocítejme (po Wickove rotaci) jednoduchý tensorový integrál∫ ddk

(2π)dkµf

(k2)

Zde J = 1 a tak∫ ddk

(2π)dkµf

(k2)

=∫ dkµ

(2π)kµ∫ ∞

0

dk2⊥(2π)d−1

πd−12

Γ( d−1

2

) (k2⊥) d−12 −1 f (− (kµ)2 − k2⊥)

= −∫ dkµ

(2π)kµ∫ ∞

0

dk2⊥(2π)d−1

πd−12

Γ( d−1

2

) (k2⊥) d−12 −1 f (− (kµ)2 − k2⊥)

= 0

kde jsme provedli substituci kµ → −kµ



Podobne, pro µ 6= ν substitucí bu,dto kµ → −kµ nebo kν → −kν

(zde J = 2)∫ ddk

(2π)dkµkνf

(k2)

=∫ dkµdkν

(2π)2kµkν

×∫ ∞

0

dk2⊥(2π)d−2

πd−22

Γ( d−2

2

) (k2⊥) d−22 −1 f (− (kµ)2 − (kν)2 − k2⊥)

= 0



Pro µ = ν je J = 1 a máme∫ ddk

(2π)d(kµ)2 f

(k2)

=∫ dkµ

(2π)(kµ)2

∫ ∞

0

dk2⊥(2π)d−1

πd−12

Γ( d−1

2

) (k2⊥) d−12 −1 f (− (kµ)2 − k2⊥)

=π

d2

dΓ( d2

) ∫ ∞

0

dp2

(2π)d(p2) d2−1 p2f

(−p2

)=1d

∫ ddk

(2π)dk2f

(k2)

Tedy celkem∫ ddk

(2π)dkµkνf

(k2)=

ηµν

d

∫ ddk

(2π)dk2f

(k2)



Shrnme základní pravidla pro pocítání s dimenzionální regularizací∫ ddk

(2π)d(kµ)α = 0,

∫ ddk

(2π)df (k + a) =

∫ ddk

(2π)df (k)

∫ ddk

(2π)dkµf

(k2)= 0

∫ ddk

(2π)dkµkνf

(k2)=

ηµν

d

∫ ddk

(2π)dk2f

(k2)

∫ ddk

(2π)d

(k2)α

[k2 − C + i0]β

= i(−1)α−β

(4π)d2

Γ(α+ d

2

)Γ(

β− α− d2

)Γ( d2

)Γ (β)

C α−β+ d2

Cvicení: Dokazte poslední formuliJ. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 1198 / 1311


V dalším budeme ješte potrebovat algebraická pravidla pro tensory aγ−matice

ηµν = ηνµ, ηµαηαν = δνµ, ηµνηµν = d

kα = ηαβkβ

γµ,γν = 2ηµν

Tr1 = 4, Trγµ = 0

Pravidla pro stopy jsou tak stejná jako v d = 4

Cvicení: Ukazte, ze tato pravidla implikují

γαγα = d

γαγµγα = (2− d) γµ

γαγµγνγα = dηµν − 2 [γµ,γν] = 4ηµν + (d − 4)γµγν

γαγµγνγργα = (2− d) γµγνγρ + 2 (γνγργµ − γµγργν)



XI. Teorie s cut-offem a fyzikální význam renormalizace

Uvazujme obecné renormalizacní schéma v teorii s impulsovýmorezáním ΛKompletní Lagrangián má tvar

L = Lb + Lct

kde

Lb =12

∂φ · ∂φ− 12m2φ2 − 1

4!λφ4

Lct =12cφ∂φ · ∂φ− 1

2cmm2φ2 −

14!(cλ − λ) φ4



Poruchová teorie generuje rozvoj 1PI Greenových funkcí Γn (pj ,Λ) vparametru λ, pricemz kontrcleny závisejí na Λ tak, aby existovalakonecná limita pro Λ→ ∞

Γn (pj ) = limΛ→∞

Γn (pj ,Λ)

Pri konecné hodnote Λ je závislost na Λ slabá, t.j.

Γn (pj ,Λ) = Γn (pj ) +O(pj

Λ,mphys

Λ

)Pro mphys Λ, a v oblasti energií pj Λ je teorie s konecnýmcut-offem dobrou aproximací



Napr. v jednosmyckové aproximaci

Γ2 (p,Λ) = p2 −m2 + λc (1,r )φ p2 − λc (1,r )m m2

+m2λ

16π2ln(1+

m2

Λ2

)Γ4 (pi ,Λ) = −λ+

λ2

2

[J (s) + J (t) + J (u)

]− λ2c (2,r )λ

−32

λ2

16π2

(1

1+m2/Λ2 − 1)

Γ2n (0,Λ) =(2n− 1)!2n (n− 2)

λn

16π2

[1

(n− 1)m2n−4

− 1Λ2n−4

(1+O

(m2

Λ2

))]



Nepresnost, které se dopouštíme ponecháním konecného Λ lzeefektivne kompenzovat pridáním dodatecných kontrclenu doLagrangiánu, genericky

Leff = ∑n

cnΛdn−4On [φ]

kde dn je kanonická dimenze operátoru On [φ]

Príspevek takovýchto clenu je potlacen zápornými mocninami ΛTeorii s konecným cut-offem je tedy treba chápat jako tzv. efektivníteorii platnou v kinematické oblasti E Λ



Príkladem teorie s konecným cut-offem je napr. kvantová teorie polena mrízi. Numerické výpocty se provádejí pro konecnou mríz skonecnou mrízovou konstantou a, impulsy jsou pak orezány

pE < Λ ∼ 2π

a

Duvodem pro pouzití efektivní teorie s cut-offem muze být i existencenových stupnu volnosti (nová fyzika), napr. cástic s hmotou

M & Λ

které nejsou zahrnuty do efektivního nízkoenergetického Lagrangiánu.Príkladem je Fermiho ctyrfermionová teorie slabých interakcí, která jedobrým priblízením v oblasti energií

E MW ± ,MZ



Definujme tzv. holé pole, holou hmotu a holou vazbovou konstantuvztahy

φ0 ≡(1+ cφ

)1/2φ ≡ Z 1/2

Λ φ

m20 ≡ m21+ cm1+ cφ

λ0 ≡ cλ

(1+ cφ

)−2V techto promenných má puvodní Lagrangián

L =12

(1+ cφ

)∂φ · ∂φ− 1

2m2 (1+ cm) φ2 − 1

4!cλφ4

tvar

L =12

∂φ0 · ∂φ0 −12m20φ20 −

14!

λ0φ40 ≡ Lb

(φ0,λ0,m

20



Platí tedy

L(φ,λ,m2,Λ

)= Lb

(φ,λ,m2

)+ Lct

(φ,λ,m2,Λ

)= Lb

(φ0,λ0,m

20

)Pro konecný cut-off Λ jsou holé parametry λ0 a m20 a puvodníparametry λ a m formálne naprosto rovnocené

Prechod od(λ,m2

)k(λ0,m20

)predstavuje pouze reparametrizaci

teorie, podobne jako prechod od(λ,m2

)k(

λphys ,m2phys)

Prechod od puvodních polí φ k holým polím φ0 znamená navícprenormování puvodních Greenových funkcí, podobne jako prechodod φ ke kanonicky normovaným polím φphysPro Λ→ ∞ ale holé parametry a pole divergují



Napr. v jednosmyckové aproximaci, v obecném renormalizacnímschématu,

φ0 = φ(1+ 2c (1,r )φ

)λ0 = λ− λ2

3

32π2

[ln(

Λ2

m2

)− 1]− c (2,r )λ + 2c (1,r )φ

m20 = m2 −m2λ

1

16π2

[Λ2

m2− ln

(Λ2

m2

)]− c (1,r )m + c (1,r )φ



Vycházejíce z Lagrangiánu Lb(φ0,λ0,m

20

)dostaneme formálním

poruchovým rozvojem v holé vazbové konstante λ0 tzv. holé 1PIGreenovy funkce Γ(0)n

(pj ,λ0,m20 ,Λ

)Pritom platí

L(φ,λ,m2,Λ

)= Lb

(φ0,λ0,m

20

)tedy

L(φ,λ,m2,Λ

)= Lb

(Z 1/2

Λ φ,λ0,m20)

Tudíz holé 1PI Greenovy funkce Γ(0)n (pj ,Λ) souvisí s puvodními 1PIGreenovými Γn (pj ,Λ) funkcemi vztahem

Γ(0)n(pj ,λ0,m20 ,Λ

)= Z−n/2

Λ Γn (pj ,Λ)

kde pravá strana je reparametrizována pomocí holých parametru λ0 am0



Pocítáme-li poruchove pomocí Lb(φ0,λ0,m

20

)rozvojem v holé

vazbové konstante λ0 , dostaneme

Γ(0)2 (p,Λ) = p2−m20+m20λ016π2

[−Λ2

m20+ ln

(Λ2

m20

)+ ln

(1+

m20Λ2

)]

Γ(0)4 (pi ,Λ) = −λ0 +λ202

[J0 (s) + J0 (t) + J0 (u)

]+32

λ20J (0,Λ)reg

kde

Jreg (0,Λ) =1

16π2

[ln(

Λ2

m20

)+ ln

(1+

m20Λ2

)− 11+m20/Λ2

]a J0 (s) je J (s) se zámenou m→ m0



Cvicení: Presvedcte se explicitním výpoctem, ze relace

Γ(0)n(pj ,λ0,m20 ,Λ

)= Z−n/2

Λ Γn (pj ,Λ)

platí pro n = 2, 4 do rádu O (λ0) resp. O(λ20)

Pracujeme-li tedy s teorií s konecným (pevným) cut-offem Λ, lzeprechodem k holým polím a parametrum “zapomenout“ nakontrcleny, z merení urcit λ0 (Λ) a m20 (Λ) a k predikcím pouzívat

holé 1PI Greenovy funkce Γ(0)n(pj ,λ0,m20 ,Λ

)Procedura odstranení divergencí pak znamená takovou volbu novýchparametru a polí, ze po reparametrizaci a renormalizaci je závislost nacut-offu slabá



Pri zmene cut-offu Λ→ Λ′ < Λ dostaneme efektivní teoriipouzitelnou pro energie E Λ′, srovnáním s experimentemdostaneme novou sadu holých parametru λ0 (Λ′) a m20 (Λ

′)Fyzikální obsah je az na korekce rádu O (E/Λ′) tentýz, speciálneλphys a mphys

m2phys = m20 (Λ) +m20 (Λ)

λ0 (Λ)(4π)2

×[

Λ2

m20 (Λ)− ln

(Λ2

m20 (Λ)

)− ln

(1+

m20 (Λ)Λ2

)]λphys = λ0 (Λ)−

32

λ20 (Λ)(4π)2

×[ln(

Λ2

m20 (Λ)

)+ ln

(1+

m20 (Λ)Λ2

)− 11+m20 (Λ) /Λ2

]se nezmení modulo príspevky rádu O (E/Λ′)



Tedy musí být splneny rovnice Wilsonovy renormalizacní grupy

Λdm2physdΛ

= ΛdλphysdΛ

= O (E/Λ)

Definujme opet

β

(λ0,

m0 (Λ)Λ

)≡ Λ

∂λ0 (Λ)∂Λ

m20 (Λ) γm

(λ0,

m0 (Λ)Λ

)≡ 1

2Λ

∂m20 (Λ)∂Λ



Odtud, s uvázením

β

(λ0,

m0 (Λ)Λ

)= O

(λ20), γm = O (λ0)

a zanedbáme-li korekce O (E/Λ) dostaneme

β

(λ0,

m0 (Λ)Λ

)=

3λ20

(4π)2+O

(λ30)



Závislost λ0 (Λ) na cut-offu je tedy dána rešením rovnice

Λ∂λ0 (Λ)

∂Λ= β

(λ0,

m0 (Λ)Λ

)=

3λ20

(4π)2+O

(λ30)

V nejnizším rádu pak

λ0(Λ′)=

λ0 (Λ)

1− 3λ0(Λ)(4π)2

ln(

Λ′Λ

)to be continued...


Kvantová elektrodynamika na úrovni jedné smycky

Kvantová elektrodynamika na úrovni jedné smyckyI. Klasifikace divergencí

Lagrangián kvantové elektrodynamiky pišme ve tvaru

L = Lb + Lct

kde základní Lagrangián je

Lb = −14F µνFµν −

12ξ(∂ · A)2 + ψ (iγ ·D −m)ψ

Pro jednoduchost budeme pracovat ve Feynmanove kalibraci ξ = 1,t.j. fotonový propagátor má tvar

i ∆µνF (p) = −

iηµν

p2 + i0p→∞= O

(p−2



UV dimenze dA pole Aµ (x) a UV dimenze dψ fermionového pole tedyjsou

dA = 1, dψ =32

Proto pro základní interakcní clen

Lb,int = −eψγµψAµ

platídimLb,int = 4

Stupen diveregence obecného grafu v QED je tedy

DΓ = 4−32Eψ − EA

kde Eψ a EA je po rade pocet fermionových a fotonových vnejšíchlinek



Povrchové divergence mají tedy grafy pro nez

DΓ = 4−32Eψ − EA ≥ 0

Ne všechny takové 1PI Greenovy funkce jsou skutecne divergentní

Pripomenme, ze základní interakcní Hamiltonián je invariantnívzhledem k diskrétní symetrii C

Cψ (x)D C−1 = ζ∗CψT(x)D

Cψ (x)D C−1 = ζψT (x)D C

CAµ (x)D C−1 = −Aµ (x)DC|0〉 = |0〉



Základní interakcní Hamiltonián je invariantní i vzhledem ke globálníU (1) symetrii s generátorem Q (elektrickým nábojem)

[Q,ψ (x)D ] = −eψ (x)D[Q,ψ (x)D

]= eψ (x)D

[Q,Aµ (x)D ] = 0

Q |0〉 = 0

Pritom, protoze

OH (t) = eiHte−iH0tOD (t) eiH0te−iHt

a pokud je i Lct invariantní vzhledem k C a Q

CH0C−1 = H0, CHI C−1 = HI , [Q,H0] = [Q,HI ] = 0

tytéz relace proto platí i pro heisenbergovské operátory ψ (x)H ,ψ (x)H , A

µ (x)H a neporuchový základní stav |Ω〉J. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 1218 / 1311


Cvicení: Ukazte, ze jako dusledek výše uvedených symetrií platí

(1− (−1)n) 〈Ω|TAµ1 (x1)H . . .Aµn (xn)H |Ω〉 = 0

(m− l)〈Ω|Tψa1 (z1) . . . ψal (zl )ψb1 (w1) . . . ψbm (wm)Aµ1 (x1) . . . |Ω〉 = 0

Tedy nenulové mohou být jen Greenovy funkce typu

〈Ω|TAµ1 (x1)H . . .Aµ2n (x2n)H |Ω〉

t.j. se sudým poctem polí Aµ (x) (tzv. Furryho teorém) a

〈Ω|Tψa1 (z1) . . . ψam (zm)ψb1 (w1) . . . ψbm (wm)Aµ1 (x1)Aµn (xn) |Ω〉

t.j. se stejným poctem polí ψ (x) a ψ (x)



Ve formuliDΓ = 4−

32Eψ − EA ≥ 0

je tedy celkový pocet fermionových linek Eψ vzdy sudý, a pokudEψ = 0, musí být EA sudéDΓ ≥ 0 nastává v následujících prípadech 1PI Greenových funkcí

1 Eψ = 0, EA = 2,

ΓµνAA (p) = −ηµνp2 +Πµν (p)

kde Πµν (p) je tzv. polarizace vakua, stupen divergence DΠ = 22 Eψ = 2 , EA = 0,

Γψψ (p) = γ · p −m− Σ (p)

kde Σ (p) je tzv. vlastní energie fermionu, DΣ = 13 Eψ = 2 , EA = 1,

Γµ

ψψA (p, q) = −ieγµ − ieΛµ (p, q)

kde Λµ (p, q) je tzv. vertexová korekce, DΛ = 0J. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 1220 / 1311


V jednosmyckové aproximaci máme grafy



Krome techto prípadu je potenciálne divergentní i následující 1PIGreenova funkce pro niz

Eψ = 0,EA = 4

to odpovídá tzv. rozptylu svetla na svetle Πµναβ (p, q)

se stupnem divergence DΠ = 0. Jak uvidíme v dalším, tato GF jekonecná



V nejnizším rádu máme pro polarizaci vakua

= −Tr∫ ddk

(2π)d(−ieγν)

iγ · k −m+ i0

× (−ieγµ)i

γ · (k − p)−m+ i0

= −e2∫ ddk

(2π)dTr [γν (γ · k +m) γµ (γ · (k − p) +m)](k2 −m2 + i0)

((k − p)2 −m2 + i0



Stopu v citateli upravme s uzitím formulí

Tr [γνγ · aγµγ · b] = 4 (aνbµ − ηµνa · b+ aµbν)

Tr [γνγµ] = 4ηµν, Tr [γνγµγα] = Tr [γα] = 0

t.j.

Tr [γν (γ · k +m) γµ (γ · (k − p) +m)]= 4

[kν (k − p)µ − ηµνk · (k − p) + kµ (k − p)ν + ηµνm2

]= 4

[2kµkν − kµpν − kνpµ − ηµν

(k2 −m2 − k · p

)]



Máme tedy

iΠµν (p)

= −4e2∫ ddk

(2π)d2kµkν − kµpν − kνpµ − ηµν

(k2 −m2 − k · p

)(k2 −m2 + i0)

((k − p)2 −m2 + i0

)Rozepišme ješte

k2 −m2 − k · p =12

[k2 + (k − p)2 − p2 − 2m2

]=

12

[k2 −m2

]+12

[(k − p)2 −m2

]−12p2



Oznacme základní tensorové integrály

A0 = −i (4πµε)2∫ ddk

(2π)d1

(k2 −m2 + i0)

B0 ≡ −i (4πµε)2∫ ddk

(2π)d1

(k2 −m2 + i0)((k − p)2 −m2 + i0

)Bµ ≡ −i (4πµε)2

∫ ddk

(2π)dkµ

(k2 −m2 + i0)((k − p)2 −m2 + i0

)Bµν ≡ −i (4πµε)2

∫ ddk

(2π)dkµkν

(k2 −m2 + i0)((k − p)2 −m2 + i0

)



Potom

Πµν (p)

= 4ie2∫ ddk

(2π)d2kµkν − kµpν − kνpµ − ηµν

(k2 −m2 − k · p

)(k2 −m2 + i0)

((k − p)2 −m2 + i0

)= −4e

2µ−2ε

(4π)2[2Bµν − pµBν − pµBµ]

−2ie2ηµν∫ ddk

(2π)d

[k2 −m2

]+[(k − p)2 −m2

]− p2

(k2 −m2 + i0)((k − p)2 −m2 + i0

)Dohromady

Πµν (p) = −4e2µ−2ε

(4π)2

[2Bµν − pµBν − pµBµ − ηµν

(A0 −

12p2B0



Tensorové integrály Bµν a Bµ lze vyjádrit pomocí skalárních integráluA0 a B0. Tato procedura je tzv. Passarinova-Veltmanova redukce

Z lorentzovské invariance v d dimenzích dostáváme

Bµ = pµB1Bµν = ηµνB00 + pµpνB11

OdtudpµBµ = p2B1

a

ηµνBµν = dB00 + p2B11

pµpνBµν = p2[B00 + p2B11



T.j.

B1 =1p2pµBµ

= −i (4πµε)2

p2

∫ ddk

(2π)dp · k

(k2 −m2 + i0)((k − p)2 −m2 + i0

)= −i (4πµε)2

2p2

∫ ddk

(2π)d

k2 −m2 −[(k − p)2 −m2

]+ p2

(k2 −m2 + i0)((k − p)2 −m2 + i0

)=

12B0



Podobne z

ηµνBµν = dB00 + p2B11

pµpνBµν = p2[B00 + p2B11

]plyne

B00 =1

d − 1

(ηµν −

pµpν

p2

)Bµν

B11 =ηµνB

µν − dB00p2



Ale

ηµνBµν

= −i (4πµε)2∫ ddk

(2π)dk2

(k2 −m2 + i0)((k − p)2 −m2 + i0

)= −i (4πµε)2

∫ ddk

(2π)d

(k2 −m2

)+m2

(k2 −m2 + i0)((k − p)2 −m2 + i0

)Tedy

ηµνBµν = A0 +m2B0



Konecne

pµpνBµν

= −i (4πµε)2∫ ddk

(2π)d(k · p)2

(k2 −m2 + i0)((k − p)2 −m2 + i0

)= −i (4πµε)2

2

∫ ddk

(2π)dk · p

(k2 −m2 + i0)((k − p)2 −m2 + i0

)×k2 −m2 −

[(k − p)2 −m2

]+ p2

= −i (4πµε)2

2

∫ ddk

(2π)dk · p

(k − p)2 −m2 + i0− k · pk2 −m2 + i0

+12p2pµBµ



Ale

−i (4πµε)2

2

∫ ddk

(2π)dp · k

k2 −m2 + i0 = 0

a

−i (4πµε)2

2

∫ ddk

(2π)dk · p

(k − p)2 −m2 + i0

=∫ ddk

(2π)dk · p + p2k2 −m2 + i0

=12p2A0



Nakonec tedy

ηµνBµν = A0 +m2B0

pµpνBµν =12p2(A0 +

12p2B0

)Dosazením dostaneme

B00 =1

d − 1

(ηµν −

pµpν

p2

)Bµν

=1

2 (d − 1)

[A0 +

12B0(4m2 − p2

)]p2B11 = ηµνB

µν − dB00

=1

4 (d − 1)[2 (d − 2)A0 +

(dp2 − 4m2

)B0]



Passarinova-Veltmanova redukce tensorových integrálu má tedy tvar

Bµ =12pµB0

Bµν =1

2 (d − 1)

[A0 +

12B0(4m2 − p2

)]ηµν

+1

4 (d − 1)[2 (d − 2)A0 +

(dp2 − 4m2

)B0] pµpν

p2



Máme tak

Πµν (p)

= −µ−2ε 4e2

(4π)2

[2Bµν − pµBν − pµBν − ηµν

(A0 −

12p2B0

)]= −µ−2ε 4e

2

(4π)2

(ηµν − p

µpν

p2

)1

d − 1

×[(2− d)A0 +

(2m2 +

d − 22

p2)B0

]≡

(ηµν − p

µpν

p2

)p2Π

(p2)= Πµν

T p2Π(p2)



Pripomenme

A0 = m2[1ε− γ+ ln

(4πµ2

m2

)+ 1+O (ε)

]B0 = (4πµε)2 J (s, d)

=1ε− γ+ ln

(4πµ2

m2

)+ (4π)2 J (s) +O (ε)

kde

ε = 2− d2

Dále

1d − 1 =

13

(1+

23

ε+O(ε2))

2− d = −2 (1− ε)



Po úprave dostaneme

Π(p2)= − 4e2

(4π)2µ−2ε

d − 11p2

[(2− d)A0 +

(2m2 +

d − 22

p2)B0

]= −µ−2ε α

3π

[1ε− γ− 1

3+ ln

(4πµ2

m2

)]−µ−2ε α

3π

(1+

2m2

p2

)(4π)2 J

(p2)

kde

α =e2

4π

Divergentní cást je tak

Πµν (p)div = −µ−2ε α

3π

1ε

(ηµνp2 − pµpν



V jednosmyckovém priblízení máme

=∫ ddk

(2π)d−iηµν

(k − p)2 + i0

(−ieγµ

) iγ · k −m+ i0 (−ieγν)

= −e2∫ ddk

(2π)dγµ (γ · k +m) γµ[

(k − p)2 + i0][k2 −m2 + i0]



S uzitím

γµγµ = d

γµγ · kγµ = (2− d) γ · k

mámeγµ (γ · k +m) γµ = (2− d) γ · k + dm

Odtud

Σ (p) = −ie2∫ ddk

(2π)d(2− d) γ · k + dm[

(k − p)2 + i0][k2 −m2 + i0]



Oznacme

B0(p2,m2, 0

)= −

∫ ddk

(2π)di (4πµε)2

[k2 −m2 + i0][(k − p)2 + i0

]Bµ(p2,m2, 0

)= −i

∫ ddk

(2π)d(4πµε)2 kµ

[k2 −m2 + i0][(k − p)2 + i0

]= pµB1

(p2,m2, 0

)T.j.

Σ (p) = −ie2∫ ddk

(2π)d(2− d) γ · k + dm[

(k − p)2 + i0][k2 −m2 + i0]

=e2µ−2ε

(4π)2

[(2− d) γµB

µ(p2,m2, 0

)+ dmB0

(p2,m2, 0




B1(p2,m2, 0

)= − 1

2p2A0(m2)+12

(1+

m2

p2

)B0(p2,m2, 0

)Cvicení: Ukazte, ze pro p2 < m2

B0(p2,m2, 0

)=

1ε− γ−

∫ 1

0dx ln

(xm2 − x (1− x) p2

4πµ2

)+O (ε)

≡ 1ε− γ+ ln

(4πµ2

m2

)+ 1+ (4π)2 J

(p2,m2, 0

)+O (ε)

kde

J(p2,m2, 0

)=

1

(4π)2

[1−

(1− m

2

p2

)ln(1− p2

m2

)]Diskutujte analytické prodlouzení v promenné p2.



Spocítejme ješte

∂

∂p2B0(p2,m2, 0

)|p2=m2

= − ∂

∂p2

∫ ddk

(2π)di (4πµε)2

[k2 + i0][(k + p)2 −m2 + i0

] |p2=m2S uzitím identity

pµ ∂

∂pµf(p2)= 2p2

∂

∂p2f(p2)

dostaneme∂

∂p2B0(p2,m2, 0

)|p2=m2 =

12p2

pµ ∂

∂pµB0(p2,m2, 0

)|p2=m2

=12m2

∫ ddk

(2π)di (4πµε)2 2p · (k + p)

[k2 + i0][(k + p)2 −m2 + i0

]2 |p2=m2J. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 1243 / 1311


S uzitím

2p · (k + p) =[(k + p)2 −m2

]− k2 + p2 +m2

dostaneme∂

∂p2B0(p2,m2, 0

)|p2=m2

=12m2

∫ ddk

(2π)di (4πµε)2 2p · (k + p)

[k2 + i0][(k + p)2 −m2 + i0

]2 |p2=m2=

12m2

[B0(m2,m2, 0

)− B0

(0,m2,m2

)]+∫ ddk

(2π)di (4πµε)2

[k2 + i0] [2k · p + k2 + i0]2|p2=m2

=1m2+∫ ddk

(2π)di (4πµε)2

[k2 + i0] [2k · p + k2 + i0]2|p2=m2



Nakonec tedy

∂

∂p2B0(p2,m2, 0

)|p2=m2

=1m2+∫ ddk

(2π)di (4πµε)2

[k2 + i0] [2k · p + k2 + i0]2|p2=m2

Všimneme si, ze poslední integrál je UV konecný pro d < 6 (stupendivergence je D = −2), presto ale nemuzeme regularizaci odstranit,nebo ,t pro k → 0 se integrand chová jako

1

[k2 + i0] [2k · p + k2 + i0]2∼ 1k4

Integrál je tedy pro d = 4 logaritmicky divergentní v infracervenéoblasti, jedná se o tzv. IR divergenci



Integrál ∫ ddk

(2π)di (4πµε)2

[k2 + i0] [2k · p + k2 + i0]2|p2=m2

je UV i IR konecný pro4 < d < 6

Dimenzionální regularizace tedy regularizuje jak UV tak i IRdivergence

Cvicení: Ukazte pomocí Feynmanovy parametrizace, ze pro ε < 0

∫ ddk

(2π)di (4πµε)2

[k2 + i0] [2k · p + k2 + i0]2|p2=m2

=1m2

∫ 1

0dxx−2ε−1Γ (1+ ε)

(4πµ2

m2

)ε

= − 12m2

Γ (ε)(4πµ2

m2

)ε



Nakonec tedy

∂

∂p2B0(p2,m2, 0

)|p2=m2 = −

12m2

(1ε− γ+ ln

(4πµ2

m2

)− 2+O (ε)

)Pripomenme

Σ (p) =e2µ−2ε

(4π)2

[d − 22

γ · p(1p2A0 −

(1+

m2

p2

)B0

)+ dmB0

]tedy muzeme ocekávat, ze derivace Σ (p) pro p on-shell bude IRdivergentní



Výsledek po úprave

Σ (p) = µ−2ε α

4πγ · p

[−1

ε+ γ− ln

(4πµ2

m2

)+ 1

−(1+

m2

p2

)(4π)2 J

(p2,m2, 0

)]+µ−2ε α

πm[1ε− γ+ ln

(4πµ2

m2

)+12+ (4π)2 J

(p2,m2, 0

)]Divergentní cást je tak

Σ (p)div = −µ−2ε α

π

1ε

(14

γ · p −m)



Pro vertexovou korekci máme v jednosmyckové aproximaci

=∫ ddk

(2π)d−iηαβ

k2 + i0(−ieγα)

iγ · (q − k)−m+ i0 (−ieγµ)

× iγ · (p − k)−m+ i0

(−ieγβ

)= −e3

∫ ddk

(2π)dγα [γ · (q − k) +m] γµ [γ · (p − k) +m] γα

[k2 + i0][(q − k)2 −m2 + i0

] [(p − k)2 −m2 + i0



S pomocí Feynmanovy parametrizace dostaneme

iΛµ (p, q)

= −2e2∫ 1

0dxdydzδ (1− x − y − z)

∫ ddk

(2π)d

× γα [γ · (q − k) +m] γµ [γ · (p − k) +m] γα

[k2 − (x + y)m2 + xp2 + yq2 − 2xp · k − 2yq · k + i0]3



Substitucí k → k + xp + yq dostaneme

Λµ (p, q)

= −2ie2∫ 1

0[dxdydz ]

∫ ddk

(2π)dγαNµγα

[k2 − C + i0]3

kde[dxdydz ] = dxdydzδ (1− x − y − z)

C = (x + y)m2 − x (1− x) p2 − y (1− y) q2 + 2xyp · qNµ = [γ · (q (1− y)− xp − k) +m] γµ [γ · (p (1− x)− yq − k) +m]



S pomocí symetrické integrace dostaneme

[γ · (q (1− y)− xp − k) +m] γµ [γ · (p (1− x)− yq − k) +m]eff= γ · kγµγ · k +Mµ eff

=1dk2γβγµγβ +M

µ

=2− dd

k2γµ +Mµ

kde jsme oznacili

Mµ = [γ · (q (1− y)− xp) +m] γµ [γ · (p (1− x)− yq) +m]



PišmeΛµ (p, q) = Λµ

(1) (p, q) +Λµ

(2) (p, q)

kde logaritmicky divergentní cást je

Λµ

(1) (p, q) = −2ie2∫ 1

0[dxdydz ]

2− dd

γαγµγα

×∫ ddk

(2π)dk2

[k2 − C + i0]3

= −2ie2γµ∫ 1

0[dxdydz ]

(2− d)2

d

×∫ ddk

(2π)dk2

[k2 − C + i0]3



Konecná cást je pak

Λµ

(2) (p, q) = −2ie2∫ 1

0[dxdydz ] γαMµγα

×∫ ddk

(2π)d1

[k2 − C + i0]3

Cvicení: Dokazte, ze pro C > 0 platí

∫ ddk

(2π)dk2

[k2 − C + i0]3=

iµ−2ε

4 (4π)d2

dΓ(2− d

2

)(Cµ2

) d2−2

∫ ddk

(2π)d1

[k2 − C + i0]3= − iµ−2ε

2 (4π)d2

Γ(3− d

2

)C

(Cµ2

) d2−2



Odtud máme

Λµ

(1) (p, q) = −2ie2γµ∫ 1

0[dxdydz ]

× (2− d)2

diµ−2ε

4 (4π)2dΓ(2− d

2

)(C

4πµ2

) d2−2

=µ−2εα

2πγµ∫ 1

0[dxdydz ]

× (1− ε)2 Γ (ε)(

C4πµ2

)−ε

a divergentní cást je tedy

Λµ (p, q)div =µ−2εα

2πγµ 1

ε

∫ 1

0dxdydzδ (1− x − y − z)

=µ−2εα

4πγµ 1

ε



Podobne

Λµ

(2) (p, q) = 2ie2∫ 1

0[dxdydz ] γαMµγα

× iµ−2ε

2 (4π)d2

Γ(3− d

2

)C

(Cµ2

) d2−2

= − α

4π

∫ 1

0[dxdydz ]

γαMµγα

C+O (ε)



Dohromady tedy


3π

1ε


)Σ (p)div = −µ−2ε α

π

1ε

(14

γ · p −m)

Λµ (p, q)div = µ−2ε α

4πγµ 1

ε

Tyto divergence lze odstranit vhodnými lokálními kontrcleny



Uvazujme nejobecnejší kontrclenný Lagrangián ve tvaru

Lct = −eK1ψγ · Aψ+K2iψγ · ∂ψ− 14K3F µνFµν

−Kmmψψ− 12ξKξ (∂ · A)2

kde

Kj =∞

∑n=1

K (n)j αn

Jak uvidíme v dalším, koeficienty Kj nejsou nezávislé. Jako dusledekkalibracní invariance

K1 = K2



Príslušná Feynmanova pravidla jsou



Tedy protoze


3π

1ε


)Σ (p)div = −µ−2ε α

π

1ε

(14

γ · p −m)

Λµ (p, q)div = µ−2ε α

4πγµ 1

ε

máme ve schématu MS

K (1)1 = K (1)2 = −µ−2ε 14π

1ε

K (1)3 = −µ−2ε 13π

1ε, K (1)m = −µ−2ε 1

π

1ε

K (1)ξ = 0



Takze ve schématu MS

Π(p2)=

α

3π

[γ+

13− ln

(4πµ2

m2

)−(1+

2m2

p2

)(4π)2 J

(p2,m2,m2

)]

Σ (p) =α

4πγ · p

[γ− ln

(4πµ2

m2

)+ 1

−(1+

m2

p2

)(4π)2 J

(p2,m2, 0

)]+

α

πm[−γ+ ln

(4πµ2

m2

)+12+ (4π)2 J

(p2,m2, 0

)]



Pro dvoubodovou 1PI Greenovu funkci pole Aµ (x) tak máme vjednosmyckovém priblízení

ΓµνAA (p) = −ηµνp2 +Πµν (p)

= −p2[ηµν −Πµν

T Π(p2)]

= −p2[ΠµνL +Πµν

T

(1−Π

(p2))]

kde

ΠµνL =

pµpν

p2, Πµν

T = ηµν − pµpν

p2

Fotonový propagátor je tedy

〈Ω|TAµ (p)Aν (0) |Ω〉c = −i

p2 (1−Π (p2))ΠµνT −

ip2

ΠµνL

a má jednocásticový pól pro p2 = 0. Foton zustává nehmotný, jak sedá ukázat, tento výsledek zustane v platnosti do všech ráduporuchového rozvoje



Pro p2 → 0 máme

〈Ω|TAµ (p)Aν (0) |Ω〉cp2→0= − iZ3

p2ΠµνT −

ip2

ΠµνL

kdeZ3 =

11−Π (0)

= 1+Π (0) +O(α2)

Fyzikální fotonové pole, správne normalizované pro dosazení do LSZformulí je tedy

Aµphys (x) = Z

−1/23 Aµ (x)H

Explicite v jednosmyckové aproximaci

Z3 = 1+α

3π

[γ− ln

(4πµ2

m2

)]



Pro fermionovou dvoubodovou 1PI Greenovu funkci máme

Γψψ (p) = γ · p −m− Σ (p)

a propagátor je tak

〈Ω|T ψ (p)ψ (0) |Ω〉c =i

γ · p −m− Σ (p)

Definujme skalární funkce ΣS(p2)a ΣV

(p2)rozkladem matice Σ (p)

do baze γ−maticΣ (p) = mΣS

(p2)+ (γ · p)ΣV

(p2)

Potom dvoubodová souvislá Greenova funkce je

〈Ω|T ψ (p)ψ (0) |Ω〉c =i

γ · p (1− ΣV )−m (1+ ΣS )

=i [γ · p (1− ΣV ) +m (1+ ΣS )]p2 (1− ΣV )

2 −m2 (1+ ΣS )2



Dvoubodová souvislá Greenova funkce má tedy jednocásticový pól pro

p2(1− ΣV

(p2))2 −m2 (1+ ΣS

(p2))2

= 0

Fyzikální fermionová hmota je tedy

mphys = m1+ ΣS

(m2phys

)1− ΣV

(m2phys

)V jedmosmyckové aproximaci

mphys = m[1+ ΣS

(m2)+ ΣV

(m2)+O

(α2)]



Explicite

ΣV (p) =α

4π

[γ− ln

(4πµ2

m2

)+ 1

−(1+

m2

p2

)(4π)2 J

(p2,m2, 0

)]ΣS (p) =

α

π

[−γ+ ln

(4πµ2

m2

)+12+ (4π)2 J

(p2,m2, 0

)]Tedy modulo O

(α2)

mphys = m[1+ ΣS

(m2)+ ΣV

(m2)]

= m[1+

3α

4π

(−γ+ ln

(4πµ2

m2

)+53

)]kde jsme uzili vztah

(4π)2 J(m2,m2, 0

)= 1



Pro p2 → m2phys máme

∂

∂p2

[p2(1− ΣV

(p2))2 −m2 (1+ ΣS

(p2))2] |p2=m2phys

=[(1− ΣV )

2 − 2m2phys (1− ΣV )Σ′V − 2m2 (1+ ΣS )Σ′S]

Takze modulo O[(p2 −m2phys

)2]p2(1− ΣV

(p2))2 −m2 (1+ ΣS

(p2))2

=(p2 −m2phys

)×[(1− ΣV )

2 − 2m2phys (1− ΣV )Σ′V − 2m2 (1+ ΣS )Σ′S]



Po úpravách dostaneme

p2(1− ΣV

(p2))2 −m2 (1+ ΣS

(p2))2

= (1− ΣV ) |p2=m2phys(p2 −m2phys

)×[1− ΣV − 2m2physΣ′V − 2m2

1+ ΣS1− ΣV

Σ′S

]|p2=m2phys

=(p2 −m2phys

)(1− ΣV ) |p2=m2phys

×[1− ΣV − 2m2physΣ′V − 2mphysmΣ′S

]|p2=m2phys



Tedy pro p2 → m2phys

〈Ω|T ψ (p)ψ (0) |Ω〉c =i [γ · p (1− ΣV ) +m (1+ ΣS )]p2 (1− ΣV )

2 −m2 (1+ ΣS )2

→i[γ · p +m 1+ΣS

1−ΣV

]|p2=m2phys(

p2 −m2phys) [1− ΣV − 2m2physΣ′V − 2mphysmΣ′S

]|p2=m2phys

T.j.

〈Ω|T ψ (p)ψ (0) |Ω〉cp2→m2phys=

iZ2 (γ · p +mphys )(p2 −m2phys

)kde

Z2 =[1− ΣV − 2m2physΣ′V − 2mphysmΣ′S

]−1 |p2=m2physJ. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 1269 / 1311


Fyzikální pole ψ (x)phys normalizované pro pouzití v LSZ formulích jetedy

ψ (x)phys = Z−1/22 ψ (x)H

V jednosmyckové aproximaci, modulo O(α2)

Z2 = 1+ ΣV(m2)+ 2m2Σ′V

(m2)+ 2m2Σ′S

(m2)

Cvicení: S uzitím

Σ (p) = µ−2ε α

4π

[d − 22

γ · p(1p2A0 −

(1+

m2

p2

)B0

)+ dmB0

]+µ−2ε α

4π

1ε(γ · p − 4m)

ukazte, ze

Z2 = 1+ µ−2ε α

π

[− 12ε+34

γ− 34ln(4πµ2

m2

)+ 1]



Pól ve výrazu pro Z2

Z2 = 1+ µ−2ε α

π

[− 12ε+34

γ− 34ln(4πµ2

m2

)+ 1]

odpovídá IR divergenci, kterou jsme jiz dríve identifikovali ve formuli

∂

∂p2B0(p2,m2, 0

)|p2=m2 = −

12m2

(1ε− γ+ ln

(4πµ2

m2

)− 2+O (ε)

)IR divergence se objevují i ve fyzikálních pozorovatelných, existují všaktzv. infracervene bezpecné (IR safe) pozorovatelné (obvykle inkluzivníúcinné prurezy a rozpadové šírky), v nichz se IR divergence vyruší



Poznamenejme, ze pro p a q on shell má i vertexová korekce IRdivergence

Vskutku, pripomenme

Λµ (p, q) = −ie3∫ ddk

(2π)d1

[k2 + i0]

× γα [γ · (q − k) +m] γµ [γ · (p − k) +m] γα[(q − k)2 −m2 + i0

] [(p − k)2 −m2 + i0

]Pro p2 = q2 = m2 tak máme

Λµ (p, q) = −ie3∫ ddk

(2π)d1

[k2 + i0]

×γα [γ · (q − k) +m] γµ [γ · (p − k) +m] γα

[k2 − 2q · k + i0] [k2 − 2p · k + i0]



Tedy v IR oblasti pro k → 0 se integrál chová jako

∼∫

λ

ddk

(2π)dkonst.

k2 (q · k) (p · k) ∼ λd−4

a pro d ≤ 4 tedy diverguje pro λ→ 0UV divergentní cást diverguje pro d ≥ 4

Λµ (p, q)UV = −ie3∫ ddk

(2π)d1

[k2 + i0]

× γαγ · kγµγ · kγα

[k2 − 2q · k + i0] [k2 − 2p · k + i0]ale v IR oblasti

∼∫

λ

ddk

(2π)dγαγ · kγµγ · kγα

k2 (q · k) (p · k) ∼ λd−2

konverguje pro d > 2, t.j. pro 2 < d < 4 je UV i IR konecnáJ. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 1273 / 1311


Rozdelíme-li tedy vertexovou korekci na UV divergentní a UVkonecnou cást

Λµ (p, q) = Λµ (p, q)UV +Λµ (p, q)IR

má pro d = 4 cást Λµ (p, q)UV pouze UV divergenci a cástΛµ (p, q)IR ≡ Λµ (p, q)−Λµ (p, q)UV pouze IR divergenci

Volbou 2 < d < 4 pro Λµ (p, q)UV a 6 > d > 4 pro Λµ (p, q)IR lzetak formálne regularizovat oba typy divergencí pomocí dimenzionálníregularizace soucasne



Podobne jako v prípade λφ4 definujme fyzikální náboj pomocí 1PIGrenovy funkce správne normalizovaných polí Aµ

phys (x) a ψ (x)phys .Experimentální merení náboje odpovídá kinematickému bodu p = qkdy oba fermiony jsou on-shell t.j.

−iephysu (p, s) γµu (p, s) ≡ Z 1/23 Z2u (p, s) Γµ

ψψA(p, p) |p2=m2physu (p, s)

K úprave pravé strany pouzijeme tzv. Wardovu identitu

− ∂

∂pµΣ (p) = Λµ (p, p)

Overme tuto identitu v jednosmyckové aproximaci. Máme

Λµ (p, p) =∫ ddk

(2π)d−iηαβ

k2 + i0(−ieγα)

iγ · (p − k)−m+ i0γµ

× iγ · (p − k)−m+ i0

(−ieγβ



Na druhé strane

− ∂

∂pµΣ (p)

=∂

∂pµ

∫ ddk

(2π)d−iηαβ

k2 + i0(−ieγα)

1γ · (p − k)−m+ i0

(−ieγβ

)Ale

∂

∂pµ

1γ · (p − k)−m+ i0

=i

γ · (p − k)−m+ i0γµ iγ · (p − k)−m+ i0

odkud plyne Wardova identita porovnáním s predchozí formulí proΛµ (p, p)



Máme tedy

ephysu (p, s) γµu (p, s)

= eZ 1/23 Z2u (p, s)

(γµ +Λµ (p, p) |p2=m2phys

)u (p, s)

= eZ 1/23 Z2u (p, s)

(γµ − ∂

∂pµΣ (p) |p2=m2phys

)u (p, s)

kde

Z3 =1

1−Π (0)

Z2 =1

1− ΣV − 2m2physΣ′V − 2mphysmΣ′S|p2=m2phys



Ale

∂

∂pµΣ (p) |p2=m2phys =

∂

∂pµ

[mΣS

(p2)+ (γ · p)ΣV

(p2)]|p2=m2phys

=[2mpµΣ′S + γµΣV + 2pµ (γ · p)Σ′V

]|p2=m2phys

Platí také

u (p, s) pµu (p, s) = u (p, s)12(γ · p) ,γµ u (p, s)

= mphysu (p, s) γµu (p, s)

nebo ,t

(γ · p) u (p, s) = mphysu (p, s)

u (p, s) (γ · p) = mphysu (p, s)



Tedy

ephys = eZ1/23 Z2

(1− 2mmphysΣ′S − ΣV − 2m2physΣ′V

)|p2=m2phys

Pripomenme

Z2 =[1− ΣV − 2m2physΣ′V − 2mphysmΣ′S

]−1 |p2=m2physa tak

ephys = eZ1/23 = e [1−Π (0)]−1/2

V jednosmyckové aproximaci modulo O(α2)

ephys = e (µ)[1+

12

Π (0)]

= e (µ)[1+

α

6π

[γ− ln

(4πµ2

m2

)]]Z experimentu

ephys =√4παphys , α−1phys = 137.03599976 (50)



Vztahy mezi parametry Lagrangiánu e (µ) a m (µ) jsou tedy

ephys = e (µ)

[1+

e (µ)2

24π2

[γ− ln

(4πµ2

m (µ)2

)]]

mphys = m (µ)

[1+

3e (µ)2

16π2

(−γ+ ln

(4πµ2

m (µ)2

)+53

)]Cvicení: Ukazte, ze odtud plyne

β (e (µ)) = µ∂

∂µe (µ) =

e (µ)3

12π2+O

(e (µ)4

)a ve vedoucím rádu

e(µ′)=

e (µ)

1− e(µ)2

6π2ln(

µ′

µ



Tedy e∗ = 0 je IR gaussovský pevný bod a Landauova singularita,omezující platnost poruchové teorie je

Λ = µ exp

(6π2

e (µ)2

)∼ µ× 10280

Poruchová QED tedy funguje prakticky bez omezení

Efektivní vazbová konstanta zustává malá v IR oblasti, t.j. na velkýchvzdálenostech. To je efekt analogický efektu stínení náboje polarizacídielektrika, v této souvislosti se hovorí o “polarizaci QED vakua“ astínení náboje virtuálními fermion-antifermionovými páry,odpovídajícími fluktuacím základního stavu



On-mass-shell renormalizacní schéma, pro nez

ephys = e, mphys = m

lze fixovat podmínkami na 1PI Greenovy funkce

Π (0) = 0

am2(1− ΣV

(m2))2 −m2 (1+ ΣS

(m2))2

= 0

Poslední podmínku lze prepsat ve tvaru

0 =[γ · p −m− (γ · p)ΣV

(m2)−mΣS

(m2)]

·[γ · p +m− (γ · p)ΣV

(m2)+mΣS

(m2)]|p2=m2

= [γ · p −m− Σ (p)]·[γ · p +m− (γ · p)ΣV

(m2)+mΣS

(m2)]|p2=m2

a tak schematickyΣ (p) |p2=m2,γ·p=m = 0



V on-mass-shell schématu je pole Aµ (x)H fyzikální a máme

Π(p2)=

α

3π

[13−(1+

2m2

p2

)(4π)2 J

(p2,m2,m2

)]p→0= − α

15π

p2

m2+ . . .

kde jsme pouzili asymptotiku

(4π)2 J(p2,m2,m2

) p→0=

16p2

m2+160

(p2

m2

)2+ . . .

Pro kompletní propagátor interagujícího pole Aµ (x) je tak vnejnizším rádu

i ∆µνF ,int (p) = − i

p2 (1−Π (p2))ΠµνT −

ip2

ΠµνL

= − ip2

(1− α

15π

p2

m2+ . . .

)ΠµνT −

ip2

ΠµνL



Uvnitr Feynmanova grafu tedy efektivne

i ∆µνF ,int (p)

eff= − iη

µν

p2

(1− α

15π

p2

m2+ . . .

)= − iη

µν

p2+ iηµν α

15πm2+ . . .

To vede na korekci ke coulombovskému potenciálu

VCoul . (r)→α

r+

α

15πm2δ(3) (r)

-tzv. Uehlingova korekce, která prispívá do štepení hladin spektraatomu vodíku


Anomální magnetický moment

Spocítejme elektromagnetický formfaktor fermionu ψ (napr.elektronu)

〈q, s ′|jµphys (0) |p, s〉

= −ephysu(q, s′)

[γµF1

(r2)+iσµνrν2mphys

F2(r2)]u (p, s)

kde r je prenesený impuls, r = q − p a kde

jµphys (x) = −Aµphys (x) ,

Aphys (x) = Z−1/23 Aµ

H (x)

F1(r2)je tzv. Diracuv formfaktor, F2

(r2)je Pauliho formfaktor



〈q, s ′|jµphys (0) |p, s〉 popisuje interakci fermionu s vnejšímelektromagnetickým polem Aµ (x)

Sfi = i∫d4x〈q, s ′|jµphys (t, x) |p, s〉Aµ (x)

= i∫d4xe ir ·x 〈q, s ′|jµphys (0) |p, s〉Aµ (x)

Pomocí Gordonovy identity

u(q, s′)γµu (p, s) = u

[(p + q)µ

2mphys+ i

σµνrν2mphys

]u

dostaneme


= −ephysu[(p + q)µ

2mphysF1 +

iσµνrν2mphys

(F1 + F2)]u



Pro r → 0, p = (mphys , 0)∫d4xe ir ·x 〈q, s ′|jµphys (0) |p, s〉Aµ (x) =

−ephys∫d4xe ir ·xu

[F1 (0)A0 −

σµν

2mphys(F1 (0) + F2 (0)) ∂νAµ

]u

= −ephys∫d4xe ir ·xu

[F1 (0)A0 +

σµν

4mphys(F1 (0) + F2 (0))Fµν

]u

kdeFµν = ∂µAν − ∂νAµ

První clen odpovídá interakci s elektrostatickým potenciálem A0,nezávisí na spinu. Jak ukázeme, druhý clen popisuje interakcimagnetického momentu s magnetickým polem B.



Uvazujme statické magnetické pole B = ∇×A a upravme

σµν

4mphysFµν =

εijkSk

2mphysεijlB l =

22mphys

S ·B

kde jsme uzili

Fij = −εijlB l , − 12

σij = −εijkSk , S =12

(σ 00 σ

)V nerelativistickém priblízení, pro p = (mphys , 0)

u (p, s) → 1√(2π)3 2mphys

√mphys

(χsχs

)SNRfi = 2πiδ (r0) T NRfi



Nakonec, pro A0 = 0, r → 0, p = (mphys , 0)

T NRfi = −∫ d3x(2π)3

e−i r·xχ+s ,

[gephys2mphys

s ·B]

χs

= −∫ d3x(2π)3

e−i r·xχ+s , [µ ·B] χs

kdeµ = g

ephys2mphys

s, s =12

σ

je magnetický moment

Pro fermion (elektron) tak máme gyromagnetický pomer

g = 2 (F1 (0) + F2 (0)) .



Pomocí 1PI Greenovy funkce Γµ

ψψA≡ Γµ

ψψA(p, q) |p2=q2=m2phys a

interagujícího fotonového propagátoru ∆µν (r) máme

−〈q, s ′|Aµphys (0) |p, s〉 = r

2Z−1/23 〈q, s ′|Aµ

H (0) |p, s〉= r2Z−1/2

3 Z2u(q, s′)Γµ

ψψAu (p, s)∆µ

ν (r)T

= Z 1/23 Z2u(q, s

′)Γµ

ψψAu (p, s) r2∆µ

ν (r)T Z−13

Pripomenme

∆µν (r)T = −i

r2 (1−Π (r2))ΠµνT , Z3 =

11−Π (0)

Nakonec

〈q, s ′|jµphys (0) |p, s〉 = −Z1/23 Z2u(q, s

′)Γµ

ψψAu (p, s) i

1−Π (0)1−Π (r2)



Tedy

limr→0〈q, s ′|jµphys (0) |p, s〉 = lim

r→0−iZ 1/2

3 Z2u(q, s′)Γµ

ψψAu (p, s)

= −ephysu(q, s′)γµu (p, s)

Odtud a z formule



[γµF1

(r2)+

σµνrν2mphys

F2(r2)]u (p, s)

dostáváme s platností do všech rádu

F1 (0) = 1

Gyromagnetický pomer je tedy

g = 2 (1+ F2 (0)) .



Výsledek F1 (0) = 1 lze snadno pochopit, uvedomíme-li si, zeelektromagnetický náboj je

Q =∫d3xj0phys (x) =

∫d3xe iP ·x j0phys (0) e

−iP ·x

Pro maticový element Q mezi jednocásticovými stavy máme jednak

〈q, s ′|Q |p, s〉 = −ephys 〈q, s ′|p, s〉 = −ephys (2π)3 2E (p) δs ′sδ(3) (r)

(zde opet r = q − p), nebo ,tQ |p, s〉 = −ephys |p, s〉

jednak ale také

〈q, s ′|Q |p, s〉 =∫d3x〈q, s ′|j0phys (x) |p, s〉

=∫d3xe ir ·x 〈q, s ′|j0phys (0) |p, s〉

= (2π)3 δ(3) (r) 〈q, s ′|j0phys (0) |p, s〉|r=0J. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 1292 / 1311


Ale

〈q, s ′|j0phys (0) |p, s〉|r=0


[γ0F1

(r2)− σ0i r i

2mphysF2(r2)]u (p, s) |r=0

= −ephysu(p, s′)+u (p, s) F1 (0) = −ephys2E (p) δs ′sF1 (0)

Tedy

−ephys 〈q, s ′|p, s〉 = (2π)3 δ(3) (r) 〈q, s ′|j0phys (0) |p, s〉|r=0= −ephys (2π)3 δ(3) (r) 2E (p) δs ′sF1 (0)

odkud znova dostanemeF1 (0) = 1



Z predchozího plyne, ze vyintegrovaný maticový element v tzv.Breitove systému, v nemz p = q, t.j. r = q − q = (0, 2q)∫ d3r(2π)3

〈q, s ′|j0phys (0, x) |q, s〉 =∫ d3r(2π)3

e−i r·x〈q, s ′|j0phys (0) |q, s〉

≡ −ephysρe (x) 2mphysδs ′s

souvisí s hustotou náboje jednocásticového stavu |p, s〉Zde ρe (x) je normovaná distribucní funkce∫

d3xρe (x) = 1

Spocítejme ješte tzv. nábojový polomer (charge radius) re definovanýformulí

r2e ≡ 〈x2〉 =∫d3xρe (x) x

2



Pro maticový element v Breitove systému dostaneme pomocíGordonovy identity

− 1ephys

〈q, s ′|jµphys (0) |q, s〉

= u(q, s′)

[γµF1

(r2)− σµνrν2mphys

F2(r2)]u (q, s)

= u(q, s′)

[γµ(F1(r2)+ F2

(r2))− (q + q)

µ

2mphysF2(r2)]u (q, s)

Protozeu (q, s) = γ0u (q, s)

máme

− 1ephys

〈q, s ′|j0phys (0) |q, s〉

= u(q, s′)

[F1(r2)+ F2

(r2)− γ0

2E (q)2mphys

F2(r2)]u (q, s)



Odtud s uzitím

u(q, s′)u (q, s) = 2mphysδs ′s

u(q, s′)γ0u (q, s) = 2E (q) δs ′s

dostaneme

− 1ephys

〈q, s ′|j0phys (0) |q, s〉

= 2mphysδs ′s

[F1(r2)+ F2

(r2)− E (q)

2

m2physF2(r2)]

= 2mphysδs ′s

[F1(r2)− q2

m2physF2(r2)]

= 2mphysδs ′s

[F1(−r2

)− r2

4m2physF2(−r2



Definujme tzv. Sachsovy elektrický a magnetický formfactor

GE(r2)= F1

(r2)+

r2

4m2physF2(r2)

GM(r2)= F1

(r2)+ F2

(r2)

Potom v Breitove systému

〈q, s ′|j0phys (0) |q, s〉 = −2ephysmphysδs ′sGE(r2)

a tak nábojová distribucní funkce je Fourierovou transformacíGE(−r2

)ρe (x) =

∫ d3r(2π)3

e−i r·xGE(−r2

)Pro nábojový polomer tak máme

r2e =∫d3xρe (x) x

2 =∫d3x

∫ d3r(2π)3

e−i r·xGE(−r2

)x2



Tedy, s uzitím x2e−i r·x = ∇2r e−i r·x dostaneme

r2e = −∫d3x

∫ d3r(2π)3

(∇2r e−i r·x)GE (−r2)

= −∫d3x

∫ d3r(2π)3

e−i r·x∇2rGE

(−r2

)= −

∫d3r∇2

rGE(−r2

) ∫ d3x(2π)3

e−i r·x

= −∇2rGE

(−r2

)|r=0 = 6G ′E (0)

Máme tak pro malé predané impulsy

GE(q2)= 1+

16r2e q

2 + . . .

GM(q2)=

g2+ . . .



V dalším dále spocítáme F2 (0) v jednosmyckovém priblízení.Jak víme,

Γµ

ψψA= −ieγµ − ieΛµ

Λµ = Λµ

(1) +Λµ

(2)

Ve schématu MS (Λµ

(1) je on-shell IR divergentní)

Λµ

(1) = µ−2ε α

2πγµ∫[dxdydz ]

[(1− ε)2 Γ (ε)

(4πµ2

C

)ε

− 1ε

]Λµ

(2) = − α

4π

∫[dxdydz ]γαMµγα

1C

zde pro p2 = q2 = m2phys = m2 +O (α)

C =(x2 + y2

)m2 + 2xy (p · q) = (x + y)2m2 − xyr2

Mµ = [γ · (q(1− y)− px) +m] γµ [γ · (p(1− x)− qy) +m]J. Novotný (ÚCJF MFF UK, Praha) 2018/2019 1299 / 1311


Uzitím

γαγµγα = −2γµ,

γαγµγνγα = 4ηµν ,

γαγµγνγργα = −2γργνγµ

dostanemeγαMµγα =

= γα [γ · (q(1− y)− px) +m] γµ [γ · (p(1− x)− qy) +m] γα

= −2γ · [p(1− x)− qy ] γµγ · [q(1− y)− px ]− 2m2γµ

+4m [qµ (1− 2y) + pµ (1− 2x)]



On shell, pomocí

γ · pu (p, s) = mu (p, s) , u(q, s′)γ · q = mu(q, s ′)

dostaneme

−2u(q, s ′)γ · [p(1− x)− qy ] γµγ · [q(1− y)− px ] u (p, s)= −2u(q, s ′) [γ · p(1− x)−my ] γµ [γ · q(1− y)−mx ] u (p, s)

Dále

u(q, s′) (γ · p) γµu (p, s) = u(q, s

′) [2pµ −mγµ] u (p, s)

u(q, s′)γµ (γ · q) u (p, s) = u(q, s

′) [2qµ −mγµ] u (p, s)



Podobne

u(q, s′) (γ · p) γµ (γ · q) u (p, s)

= u(q, s′) [2pµ (γ · q)− γµ (γ · p) (γ · q)] u (p, s)

= u(q, s′) [2pµm− 2γ (p · q) + γµ (γ · q) (γ · p)] u (p, s)

= u(q, s′)[2pµm− 2γµ (p · q) + 2qµm−m2γµ

]u (p, s)

= u(q, s′)[2m (pµ + qµ) + γµ

(r2 − 3m2

)]u (p, s)



Dohromady

−2u(q, s ′) [γ · p(1− x)−my ] γµ [γ · q(1− y)−mx ] u (p, s) =

−2(1− x)(1− y)u(q, s ′)[2m (pµ + qµ) + γµ

(r2 − 3m2

)]u (p, s)

+2mx (1− x) u(q, s ′) [2pµ −mγµ] u (p, s)

+2my (1− y) u(q, s ′) [2qµ −mγµ] u (p, s)

−2m2xyu(q, s ′)γµu (p, s)



Po úprave

u(q, s′)γαMµγαu (p, s)

= −2u[γ · [p(1− x)− qy ] γµγ · [q(1− y)− px ]− 2m2γµ

]u

+4m [qµ (1− 2y) + pµ (1− 2x)] uu

= −2r2(1− x)(1− y)u(q, s ′)γµu (p, s)

+2m2u(q, s′)γµu (p, s)

[2+ (x + y)2 − 4 (x + y)

]+2m (p + q)µ (x + y) [1− x − y ] u(q, s ′)u (p, s)+2m (p − q)µ (x − y) [1+ x + y ] u(q, s ′)u (p, s)



Pipomenme

C (x , z) = (x + y)2m2 − xyr2 = C (y , x)[dxdydz ] = dxdydzδ (1− x − y − z)

Tedy efektivne prispejí jen cleny sudé vzhledem k x ←→ y


eff= −2r2(1− x)(1− y)u(q, s ′)γµu (p, s)


[2+ (x + y)2 − 4 (x + y)

]+2m (p + q)µ (x + y) [1− x − y ] u(q, s ′)u (p, s)



S uzitím x + y = 1− z


eff= −2r2(1− x)(1− y)u

(q, s

′)

γµu (p, s)


[z2 + 2z − 1

]+2m (p + q)µ z (1− z) u

(q, s

′)u (p, s)



Pripomenme Gordonovu identitu

u(q, s′) (p + q)µ u (p, s) = 2mu(q, s

′)

[γµ − i σ

µν (q − p)ν

2m

]u (p, s)

Nakonec tedy


eff= 2m2u(q, s

′)γµu (p, s)

[2z − (1− z)2

]−4m2z (1− z) u(q, s ′)

[iσµν (q − p)ν

2m

]u (p, s)

−2r2(1− x)(1− y)u(q, s ′)γµu (p, s)



Jednosmyckový Diracuv formfaktor je tedy s uzitím ephys = Z1/23 e

F1(r2)= Z2 +Π

(r2)−Π (0)

+α

2πµ−2ε

∫[dxdydz ]

[(1− ε)2 Γ (ε)

(4πµ2

C

)ε

− 1ε

m2(2z − (1− z)2

)− r2(1− x)(1− y)C

kde

C = (1− z)2m2 − xyr2

z = 1− x − y



Podobne pro Pauliho formfaktor máme

F2(r2)=

α

π

∫[dxdydz ]

m2z (1− z)C

Platí ∫[dxdydz ] =

∫ 1

0dz∫ 1−z

0dy

a tak

F2(r2)=

α

π

∫ 1

0dz∫ 1−z

0dy

m2z (1− z)(1− z)2m2 − xyr2



Substitucí

y = (1− z)w , w ∈ 〈0, 1〉x = 1− z − x = (1− z) (1− w)

máme

F2(r2)=

α

π

∫ 1

0dz∫ 1

0dw

m2z (1− z)2

(1− z)2m2 − (1− z)2 w (1− w) r2

=α

π

∫ 1

0dz∫ 1

0dw

m2zm2 − w (1− w) r2

=α

2π

∫ 1

0dw

m2

m2 − (1− w)wr2



Poznamenejme, ze na úrovni jedné smycky lze v predchozíchformulích nahradit

m→ mphys , α→ αphys = e2phys/4π

Speciálne

F2 (0) =α

2π

∫ 1

0dw

m2

m2 − (1− w)wr2 |r 2=0 =αphys2π

Tedy anomální magnetický moment na úrovni jedné smycky je

g − 2 = αphysπ

coz je slavná Schwingerova korekce


Date post:	08-Oct-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	1 times
Download:	0 times

KvantovÆ teorie pole I, II (NJSF 145, 146)novotny/prednaska.pdfKvantovÆ teorie pole I, II (NJSF...

Documents