1

Kvantové vlastnosti záření

Světlo jsme popsali jako vlnu, která má vlnovou délku , frekvenci f a rychlost c spojené

vztahem

c = f.

Na základě Maxwellových rovnic jsme ukázali, že světelná vlna je vzájemně provázaná

kombinace elektrického a magnetického pole.

Fotoelektrický jev

Elmg. teorie záření vysvětluje dobře mnohé jevy v optice – interference, difrakci, polarizaci.

Nelze jí ale vysvětlit např. fotoelektrický jev, Comptonův jev rozdělení energie ve spektru

absolutně černého tělesa atd.

Max Planck proto vyslovil domněnku (1900), že emise a absorpce světla se děje po

kvantech, která odpovídají rozdílům energetických hladin v atomech, přičemž každému

pohlcenému nebo vyzářenému kvantu odpovídá určitá vlnová délka.

E = hν (hf)

h = 6,625.10-34

J.s …Planckova konstanta (základní, univerzální konstanta)

Často se používá také tzv. redukovaná Planckova konstanta

ħ ≡ h/2π = 1,054 .10−34

J.s

Na základě tohoto předpokladu vysvětlil Einstein tzv. vnější fotoefekt, kterým byla platnost

tohoto vztahu povrzena.

Vnější fotoelektrický jev

Ozařujeme-li svazkem světla s dostatečně krátkou vlnovou délkou čistý kovový povrch,

vyráží světlo z tohoto povrchu elektrony.

Einstein (1905) použil hypotézu fotonu pro vysvětlení tohoto jevu, který nemůže být

jednoduše pochopen pomocí klasické fyziky.

Uspořádání experimentu

-Ve vakuu je umístěna kovová destička (1), kterou

osvětlíme monochromatickým světlem, které prochází

křeměnným okénkem (2).

- Mezi druhou elektrodou - anodou (3) a kovovou

destičkou - katodou (1) je napětí U, které měříme

volmetrem V.

- Je-li destička osvětlena, mezi destičlami (1) a (3)

prochází proud, který měříme galvanometrem (G).

- V baňce je vakuum, proud je tvořen elektrony.

2

Princip měřicí metody: Je-li ozařovaná elektroda kladná vůči elektrodě sběrné, jsou

emitované elektrony polem mezi nimi brzděny. Posunováním pohyblivého kontaktu K

proměnného odporu R od jeho středu směrem doprava [viz obr. 5a] dochází k plynulému

zvyšování brzdícího napětí mezi oběma elektrodami a v důsledku toho také k postupnému

poklesu fotoproudu procházejícího ampérmetrem.

Co bylo pozorováno:

1) Pro každý kov (katodu) existuje nejmenší hraniční (mezní) frekvence ν0 dopadajícího

světla, od které je možné jev pozorovat (tj. naměříme proud). Pro ν ν0 fotoefekt nenastává.

Příklad

Pro zlato ν0 = 9,22.1014

Hz, pro wolfram ν0 = 13,0.1014

Hz (frekvence světla jsou v intervalu

cca 3,9 – 7,9. 1014

Hz – většinou leží mezní frekvence v ultrafialové oblasti, jen u alkalických

kovů (Na, Cs, Zn, Ag…) je v oblasti viditelného světla).

2) Při dopadu světla ν ν0, nabývají elektrony rychlost v, kterou určuje Einsteinův vztah pro

fotoefekt

1

2𝑚v2 + A = hν

m hmotnost elektronu,

A výstupní práce elektronu z kovu, tj. energie, kterou musí elektron dostat, aby mohl opustit

kov (v němž je vázán)

𝐴 = ℎ𝜈0.

3) Při konstantní frekvenci 𝜈 rychlost elektronů nezávisí na intenzitě světla.

4) Při konstantní frekvenci 𝜈 je počet uvolněných fotoelektronů úměrný intenzitě světla.

Při dopadu světla (fotonů) na povrch kovu může vždy jeden foton předat energii jednomu

elektronu. Energie fotonu (který zaniká) se spotřebuje částečně na výstupní práci a na

kinetickou energii elektronu.

3

Práh fotoefektu – fotony musí mít dostatečnou energii (prahovou (mezní) frekvenci 𝑓0)

k překonání výstupní práce.

Elektron má v kovu zápornou celkovou energii, proto ho nemůže opustit (“sám od sebe”).

Co nedovedla vysvětlit klasická vlnová elektromagnetická teorie

1) Předpokládala rozkmitání elektronů vlivem střídavého elektrického pole dopadající vlny

(po určitou dobu od osvětlení k výletu elektronů). Při zvýšení intensity světla se zvýší

amplituda střídavého el. pole, elektron se rozkmitá více, získá tak větší energii pro své

uvolnění (větší rychlost), (resp. při malých intenzitách by se musela nahromadit energie

potřebná k překonání výstupní práce, přičemž by muselo vzniknout zpoždění emise elektronů

za dopadajícím zářením) – to ale pozorováno nebylo (“čekací doba” je méně než 10-9

s, tj.

elektron nemusí “sát” energii po určitou dobu, ale pohltí tuto energii celou naráz v jediné

interakci s elektronem).

2) Klasická teorie nedovedla vůbec vysvětlit práh fotoefektu – pokud totiž světlo považujeme

za elmg. vlnu, musíme předpokládat, že nezávisle na tom, jak nízká je její frekvence, mohou

být elektrony emitovány vždy, pokud jim dodáme dost energie, tj. pokud použijeme dost

intenzivní zdroj. To se ale nestane.

Podle kvantové teorie (Einstein): elektrony neabsorbují energii tak, že by byly urychlovány

elektrickou složkou dopadající elektromagnetické vlny, ale energii získávají po kvantech,

jejichž velikost je úměrná frekvenci záření (E = konst . f).

4

Na vnějším fotoefektu je založen princip fotonky elektronka s velkou plochou katody

(kovový terčík) a anodou ve tvaru vlákna. Při osvětlení katody vyletují elektrony a dopadají

na anodu.

V- A charakteristika

2 základní vlastnosti VA charakteristiky

1) Při zvyšování urychlujícího napětí se proud I nasytí, proud In je nasycen, když všechny

elektrony z katody dopadnou na anodu.

2) Existuje takové brzdicí napětí Ub, při kterém proud I zaniká.

Při U = 0 je proud I 0, protože světlo vyráží stale elektrony a část z nich dopadá na anodu I

bez urychlujícího potenciálu.

Proud I prochází i při záporných hodnotách potenciálu (viz část křivky ab) – světlem se

z katody uvolňují elektrony, které mají jistou počáteční rychlost. Elektrony přestanou dopadat

na anodu (tj. I = 0), jestliže se práce brzdícího pole eUb rovná počáteční energii elektronů

(napětí působí proti pohybu k anodě a zabrzdí je na nulovou rychlost – pak se vrátí na

katodu).

eUb = 1

2𝑚𝑣2, odtud 𝑣 = √

2𝑒𝑈𝑏

𝑚0,

kde v je počáteční rychlost elektronů, m0 klidová hmotnost elektronů.

Rychlost uvolněných elektronů závisí pouze na frekvenci světla a kinetická energie roste

lineárně s kmitočtem světla 𝜈.

5

Fotony

Einstein doplnil kvantovou hypotézu tím, že světlo se nejen vyzařuje a pohlcuje po kvantech,

ale také se tak šíří. Tzn. že energie není rovnoměrně rozložena po vlnoploše. Shluky energie

se šíří rychlostí světla a chovají se současně jako hmotné částice, které Einstein nazval

fotony.

Z Einsteinova vztahu mezi hmotností a energií

E = mc2

plyne, že energie má setrvačné vlastnosti a podléhá působení gravitačních sil.

Foton má tedy hmotnost a hybnost.

𝑚 =𝐸

𝑐2 =ℎ𝑓

𝑐2 =ℎ

𝑇𝑐.𝑐=

ℎ

𝑐 ,

𝑝 = 𝑚𝑐 =ℎ

𝑐=

ℎ

.

Důkaz hmotného charakteru fotonů – ohyb paprsků v gravitačním poli (např. Slunce) – viz

přednáška https://www.youtube.com/watch?v=VZbktQ7K-hc.

Rozdíl mezi elektronem a fotonem

Z relativistického vzorce pro závislost hmotnosti na rychlosti

𝑚 =𝑚0

√(1 −𝑣2

𝑐2 )

vyplývá, že těleso (např. elektron), jehož klidová hmotnost m0 0 je nenulová, nemůže

dosáhnout rychlosti světla, protože při 𝑣 → 𝑐 by m→ .

Pro fotony však platí, že v = c, tedy m0 = 0.

Fotony tedy mají nulovou klidovou hmotnost, a proto se buď pohybují rychlostí světla, nebo

vůbec neexistují.

Příklad

Vypočtěte hmotnost fotonu pro rozhlasovou vlnu = 30 m, pro žluté světlo = 5,7 . 10-7

m a

pro kosmické záření = 2 .10-16

m. Porovnejte hmotnosti fotonů s hmotnostmi elementárních

částic (elektronu a protonu).

Vnitřní fotoelektrický jev

Při ozařování některých polovodičů se uvolňují v krystalické struktuře polovodiče elektrony a

díry. Energie potřebná k uvolnění nosičů je zpravidla menší než výstupní práce u kovů. Proto

stačí světlo s nižší frekvencí → mezní vlnová délka je větší než u vnějšího fotoefektu a

zasahuje většinou až do infračervené oblasti.

Využití: Závislosti vodivosti na ozáření se využívá ve fotoodporech (vyžadují ale vnější

elektrický zdroj).

Fotodiody – zdroj elektromotorického napětí (sluneční baterie).

K fotoelektrickému jevu viz článek http://www.physics.muni.cz/kof/clanky/fotoefekt.pdf

6

Fotoefekt - příklady

1. Nalezněte výstupní práci sodíku na základě dat vynesených na obrázku.

2. Hledáte látku pro fotočlánek, který bude pracovat na principu fotoelektrického jevu

s viditelným světlem. Který materiál bude vyhovovat (výstupní práce jsou uvedeny

v závorce): tantal (4,2 eV), wolfram (4,5 eV), hliník (4,2 eV), baryum (2,5 eV), lithium

(2,3 eV)?

3. Nalezněte nejvyšší kinetickou energii elektronů emitovaných z materiálu o výstupní práci

2,3 eV pro frekvenci dopadajícího záření 3,0 . 1015

Hz.

4. Družice na oběžné dráze se může nabíjet v důsledku fotoefektu, protože světlo Slunce

vyráží elektrony z jejího vnějšího povrchu. Družice se musí navrhovat tak, aby se toto

nabíjení minimalizovalo. Předpokládejme, že povrch družice pokryjeme platinou,kovem o

velmi vysoké výstupní práci (A = 5,32 eV). Najděte nejdelší vlnovou délku dopadajícího

slunečního světla, které může vyrazit elektrony z platiny.

5. Při fotoelektrickém pokusu na sodíkovém povrchu najdeme brzdný potenciál 1,85 V pro

vlnovou délku 300 nm a brzdný potenciál 0,820 V pro vlnovou délku 400 nm. Pomocí těchto

hodnot určete: a) hodnotu Planckovy konstanty, b) výstupní práci pro sodík, c) prahovou

vlnovou délku (vlnovou délku odpovídající prahové frekvenci) pro sodík.

7

Comptonův jev

Compton zkoumal v letech 1922-23 spektrální složení rentgenového záření po ohybu pomocí

rentgenového spektrografu. Svými pokusy podpořil názor, že jak hybnost, tak energie světla

jsou předávány fotony. Comptonův jev je natolik přesvědčivým projevem kvantového

charakteru interakce mezi elektromagnetickým zářením a látkou, že byl záhy po svém objevu

a vysvětlení uznán za průkazné svědectví o reálné existenci fotonů.

Uspořádání pokusu

V pokusu dopadal svazek rentgenového záření o vlnové délce na uhlíkový terč. Compton

měřil vlnové délky a intenzity rentgenových paprsků rozptýlených tímto terčem do různých

směrů.

Zjistil, že v rozptýlených paprscích jsou kromě původních paprsků o vlnové délce i paprsky

s vlnovou délkou ´ . Kromě rozptylu s nezměněnou vlnovou délkou tedy existuje

rozptylové záření s větší vlnovou délkou. Nový druh rozptylu se nazývá Comptonův jev.

Rozdíl vlnových délek = ´ - se nazývá Comptonův posuv – roste pro rostoucí úhel

rozptylu.

Comptonovo experimentální zjištění

= 2,4262.10−12(1 − cos 𝜑).

≠ f ( )

8

Vysvětlení:

Z pohledu klasické fyziky – pokud považujeme dopadající svazek rentgenového záření za

elmg. vlnu, elektrony v uhlíkovém terči kmitají pod vlivem střídavého el. pole a stejnou

frekvenci budou i vyzařovat, tedy = ´. Vlnová koncepce při popisu tohoto jevu je však

nepoužitelná.

Z pohledu kvantové fyziky jde o srážku fotonu dopadajícího záření s elektronem látky, který

je slabě vázán k atomu.

Předpokládejme, že k interakci dochází mezi jedním fotonem o energii E = h a jedním

elektronem. Po interakci se směr rentgenového záření změní a elektron při tom získá

kinetickou energii.

Rozptýlený foton má menší energii E = h´ a má tedy nižší frekvenci (delší vlnovou délku).

Hledáme výraz pro Comptonův posuv rozptýleného rentgenového záření = ´ - .

Platí zákon zachování energie:

h f = h f´+ Ek

h f …energie dopadajícího fotonu

h f´…energie rozptýleného fotonu

Ek … kinetická energie elektronu po srážce

Protože elektrony mohou získat rychlost srovnatelnou s rychlostí světla, musíme pro

kinetickou energii elektronu použít relativistický vzorec

𝐸𝑘 = 𝑚𝑐2(𝛾 − 1),

kde m je hmotnost elektronu a 𝛾 je Lorentzův koeficient

𝛾 =1

√1−(𝑣

𝑐)2

.

Dosadíme za 𝐸𝑘 do Z.Z.E.

h f = h f´+ 𝑚𝑐2(𝛾 − 1).

Dosadíme c/ = f a c/ = f´ a rovnici vydělíme c:

ℎ

=

ℎ

´+ 𝑚𝑐(𝛾 − 1).

9

Dále aplikujeme zákon zachování hybnosti (vektorově)

složky ve směru osy x: ℎ

=

ℎ

´cos 𝜑 + 𝛾𝑚𝑣 cos 𝜃,

složky ve směru osy y: : 0 =ℎ

´sin 𝜑 − 𝛾𝑚𝑣 sin 𝜃.

Z rovnic pro Z.Z.E. a Z.Z.H. vyloučíme proměnné v a 𝜃, které se vztahují jen k elektronu po

srážce. Po složitějších úpravách dostaneme závislost Comptonova posuvu na úhlu rozptylu 𝜑.

= ´ − =ℎ

𝑚𝑐(1 − cos 𝜑),

kde konstantní veličina 𝐶 =ℎ

𝑚𝑐 = 2,4262.10

-12 se nazývá Comptonova vlnová délka.

Další informace viz v článku http://www.physics.muni.cz/kof/clanky/comptonuvjev.pdf

Závěr

Části pole interagující s jednotlivými elektrony mají energii E = hf a hybnost p =h

.

„BALÍČKY ZÁŘENÍ“ ~ SVĚTELNÁ KVANTA ~ FOTONY

Lasery

Halliday, 5. díl, s. 1096-1099

Záznam přednášky Unikátní lasery v ČR (Pavel Bakule)

https://www.youtube.com/watch?v=6FQmTFQXPcg

Podrobněji viz na http://fyzika.jreichl.com/main.article/view/775-lasery a na

http://lasery.wz.cz/

10

Příklady

1. Rentgenové záření o vlnové délce = 22 pm (energie fotonu 56 keV) se rozptyluje na

uhlíkovém terči pod úhlem 85 vůči dopadajícímu svazku.

a) Jaký je Comptonův posuv rozptýleného svazku?

b) Jaká část z počáteční energie rentgenového fotonu je při tomto rozptylu předána

elektronu?

2. Záření o vlnové délce 2,4 pm dopadá na terč obsahující volné elektrony.

a) Najděte vlnovou délku světla rozptýleného do úhlu 30 vůči směru dopadajícího záření.

b) Opakujte pro úhel rozptylu 120.

3. Jaká procentuální změna vlnové délky vede ke ztrátě 75 % energie fotonu při srážce

s volným elektronem?

4. Do jakého úhlu se musí rozptýlit foton o energii 200 keV na volném elektronu, aby ztratil

10 % své energie?