1
MÝTUSNEKONEČNA
Jeden pojem ruší a bortí všechny jiné.
Ne, nemluvím o zlu, jehož doménou je etika.
Mluvím o nekonečnu.
J. L. Borghes
2
Vše, co si představujeme, je konečné. ...
Pravíme-li, že je něco nekonečné, chceme
tím jen naznačit, že nejsme s to pomyslit si
toho konec ... Nemáme ponětí o té věci,
nýbrž jen o své nedostatečnosti.
Užíváme-li slova Bůh, není to proto, že
bychom se snažili představit si jej - neboť
Bůh je nepochopitelný a jeho velikost a
moc je nepředstavitelná - ale proto,
abychom se mu klaněli.
Thomas Hobbes (Leviathan)
Nikdy se nebudeme mořit bádáním o
nekonečnu, neboť by bylo zjevně
nesmyslné, kdybychom je my, jsouce
koneční, nějak vymezovali, snažili se je
ohraničit a pojmout.
Rene Descartes
3
Grandhotel
NekonečnoHilbert, Gamow, Lem,
Vilenkin, Vopěnka, Barrow …
1 Lze se v něm ubytovat, přestože je zaplněný. Stačí, aby se všichni hosté
přestěhovali do pokoje s číslem o jednotku vyšším.
2 Do hotelu se můžeme přistěhovat i s přáteli, kterých je nekonečný
počet. Přemístíme hosty do pokojů dvojnásobného čísla.
3 Majitel hotelu má nekonečně vysoké příjmy, má ale i nekonečné daně.
Zbude mu nějaký zisk? Pokud by se zisk počítal jako příjmy
s odečtením daňových výdajů, vyjde ∞ - ∞ = ?, tj. neurčitý,
nedefinovaný výraz. Pokud se však daně počítají procentem ze zisku,
získá majitel i daňový úřad nekonečnou sumu.
4 Majitel hotelu požádá správce, aby vypracoval seznam všech možných
způsobů, jak lze hotel obsadit (seznam kombinací plných a prázdných
pokojů). Tuto úlohu ale splnit nelze, a to ani za předpokladu, že
požadovaný seznam by byl nekonečně dlouhý. (?)
4
• ∞ + X = ∞
• ∞ - X = ∞
• ∞ + ∞ = ∞
• A x ∞ = ∞
• ∞ : A = ∞
• A : ∞ = 0
• ∞ - ∞ = ?
• ∞ : ∞ = ?
• ∞ X = ∞ (speciálně třeba √∞ = ∞½ = ∞)
• pokud je X > 1 je X∞ = ∞,
• 1∞ = 1,
• pro X < 1 je X∞ = 0
PŘIROZENÉ NEKONEČNO – VELMI VELIKÉ ČÍSLO
5
6
PŘIROZENÉ NEKONEČNO
– VELMI VELIKÉ ČÍSLO
Ale, co je „velmi veliké“?
„Plovoucí“ horizont,
Vopěnka (fenomenologie)
7
Archaické koncepce
nekonečna
EGYPT:
HEH (Hah, Huh) – nekonečno = milion
(„přirozené nekonečno“, metafora?)
„Chrámy miliónů let“
INDIE:
PURNAM (všechno, úplnost, plnota…),
ANANTA
8
ŘECKO:
APEIRONArchaický
(pseudo)pojem
(Homér, Hésiodos)
– neznalost,
neohraničenost, síť,
kruh, prsten, chaos. Anaximandros
• (TO) APEIRON - ARCHÉ vydělováním protikladů kosmos – nebo jen atribut něčeho?
• HÝLÉ, MATÉRIE, božství? (sporné: Aristotelés, Theofrastos, Aitios, Hegel) …
9
Precizace pojmu
PýthagorejciFiloláos – APEIRON v matematickém smyslu
LOGOS – racionální číslo, apeirofobie?
Iracionální číslo, „vnitřní“ nekonečno
smrt Hippasa (oceán = APEIRON?)
Archýtás z Tarentu (asi 430–345 př. n. l.)
Kdybych se ocitnul co nejdále, třeba v nebi stálic, mohl bych dál natáhnout ruku nebo hůl ven -nebo nemohl? To, že bych nemohl, je nemožné. Pokud však natáhnu, pak bude vně buď těleso, nebo místo [prostor]....
A 24 = Eudémos, Physica 30
Simplikios, Physica 467, 26
10
Zénón z Eleje (asi 490–430 př.n.l.)
Aporie
Poukazují na spornost (paradoxnost?) pojmů nekonečna a mnohosti
• Letící šíp
• Půlení (bisekce) úsečky
• Achilles (a želva)
Atomisté a epikúrejciVyhnali nekonečno z mikrosvěta do vesmíru
Vesmír je nekonečný rozlohou i věkem.
11
Pozdní epikúreismus
Nekonečný vesmír (argumentace gravitací?)
Kdyby byla rozloha celého světa konečná a
ze všech stran sevřena v určité hráze,
zásoba hmoty by se svou tíhou už
odevšad sesedla dolů a žádná věc by se
nemohla pod Sluncem dít… Lucretius (cca 50 př.n.l.), O přírodě, str. 55
12
Časově neomezený, ale konečný (uzavřený,
opakující se) vesmír
rozdíl neomezenost – nekonečnost
Egypt
lineární čas (věčnost) - „džet“,
čas cyklické obnovy - “neheh“
„Tep sepej“ - počátek světa (jednoho z řady cyklů?)
V Textech rakví (i v Knize mrtvých) představa, že „v nekonečně vzdálené budoucnosti“ se vše navrátí do počátečního chaosu.
Pythagorejci, Hérakleitos, stoikové – ekpyróze:
Lucretius (1. st. př.n.l.) – nemůžeme si pamatovat nic
z minulého cyklu
13
Vesmír ve skořápce
… neboť matematikové nemají zapotřebí neomezena
ve skutečnosti a neužívají ho. Jim dostačuje, že
neomezená čára jest libovolně veliká.Aristotelés, Fyzika III.7.33
14
Nekonečno potenciální a aktuální
Potencialita a aktualita
… se nesmí pojímat v tom smyslu, že je-li například kov v možnosti sochou tak, že bude jednou také sochou, tak také je v možnosti APEIRA, že jednou bude APEIREM ve skutečnosti.
Aristotelés, Fyzika III.7.15
15
Svatý Augustin (354 – 430 n.l.)
I buď daleka od nás všeliká pochybnost, že by Bohu všechny počty neměly známi býti ... ... i kdož jsme my nebožátka, jenžto opovažujeme se meze klásti vševědoucnosti jeho ...
sv. Augustin, O obci Boží (překlad F. L. Čelakovský)------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
JAHVE SEBAOTH - „pán zástupů, armád“
PANTOKRATOR – vševládnoucí (z toho neplyne, že by měl být schopen všeho)
OMNIPOTENS – všehoschopný
--------------------------------------------------------------------
Bůh filosofů a matematiků x theologický Bůh
Křesťanský Bůh není původce
geometrických pravd a řádu živlů (to je věc
pohanů a epikurejců). Bůh Abrahámův,
Izákův, Jákobův, Bůh křesťanů je Bůh
lásky a útěchy.
Blaise Pascal (1623–1662)
16
Tomáš Akvinský (1225–1274)
Úprava Aristotela, racionalizace křesťanství, tomismus
Aristotelsko – ptolemaiovský kosmos časově i prostorově konečný
„Kdyby Bůh chtěl, mohl stvořit vesmír věčný“
Věčnost – „imaginární čas“ (Stephen Hawking)
Mikuláš Kusánský (1407?-1464)
O vědoucím nevědění (De docta ignorantia) – proti
konečnosti vesmíru
17
Thomas Digges 1576
nekonečný vesmír …
Giordano Bruno (1548–1600)
O Aristotelově poslední sféře stálic:
Takovou nedůstojnou věc si mohou představovat jen dětičky. Ty si mohou myslet, že kdyby hvězdy nebyly k plechové klenbě přilepeny dobrým klihem nebo přitlučeny tuze trvanlivými hřebíky, padaly by nám na hlavu nejinak než jako kroupy ze vzduchu nad zemí.
Takto je rozmnožena znamenitost Boží a zjevena velikost jeho říše. Není oslavován jedním, nýbrž nespočetnými slunci, nikoli jedinou zemí a jedním světem, ale tisícem tisíců, co pravím, nekonečností světů.
(O nekonečnu, vesmíru a světech)
18
G. Bruno:
„Mohu si představit nekonečný počet světů jako je naše Země, s Rajskými zahradami na každém z nich. Ve všech těchto Rajských zahradách polovina Adamů a Ev nesní ovoce poznání a polovina ho sní. Avšak polovina nekonečna je nekonečno, takže nekonečný počet světů pozbude Boží milosti a bude následovat i nekonečný počet ukřižování ...“
(O příčině, principu a jednotě, 5. dialog)
19
Galileo Galilei
(1564 – 1642)
Návrat stoického vesmíru
Přirozených čísel není ani
stejně, ani více než jejich
čtverců.
Pojmy „více“ a „méně“ jsou pro
nekonečná množství
nepoužitelné…”
paradox reflexivity
20
Rodrigo de Arriaga (1592–1667)
1. nekonečno, co do množství, nelze spočítat tak, aby počítání skončilo
2. nekonečno co do rozlehlosti (extenzivní, např. přímka)
3. nekonečno co do intenzity (síla, rychlost, ale i láska)
…
Uznání aktuálního nekonečna
Aristotelské pojetí kontinua se od pojetí atomistického liší pouze tím, že těch bodů je nekonečně mnoho. Body, dotýkajíce se, leží vedle sebe tak těsně, že mezi ně není možno vložit bod další. Bod může ležet vedle bodu, i z bezrozměrných bodů lze složit kontinuum…
21
René Descartes (1596–1650)
Nikdy se nebudeme mořit bádáním o
nekonečnu, neboť by bylo zjevně
nesmyslné, kdybychom je my,
jsouce koneční, nějak vymezovali,
snažili se je ohraničit a pojmout.
Nebudeme se tedy starat o odpověď
pro ty, kteří se ptají, zda, když je
dána nekonečná přímka, bude její
polovina také nekonečná, či zda je
nekonečné číslo sudé či liché.“
(Principy filosofie)
„infinitum“ – jen Bůh, jinak „indefinitum“
(aktuální a potenciální nekonečno)
22
John Wallis
(1616 – 1703)
a líná osmička
„lemniskáta“,
z latinského
LEMNISCUS – stuha,
pásek
23
Isaac Newton (1642/3–1727)
a nekonečnost vesmíru
Stoický vesmír → epikúrejský
(protože gravitace)
Časová konečnost vesmíru:
Ale: Ve 4. dopise Bentleyovi:
…před naším světem mohly být jiné
„systémy světa“, a před nimi zase
jiné, a tato posloupnost světů se
mohla táhnout z nekonečné
minulosti. (připomíná to Aristotela Fyz. III,4)
24
Nekonečno co do počtu
množiny
Bernard Bolzano (1781 - 1848)
Menge – množina
Wisenshaftlehre (1837),
bijekce
Paradoxy nekonečna (1851)
Všechny pravdy, nekonečno
potenciální → v mysli Boží
aktuální
Bolzanova říše pravd
25
Georg Cantor (1845 – 1918)
a množiny
1882, o Bolzanově knize
“Chybí v ní to hlavní,
co by tam mělo být.“
Paradoxy, které jsou s nekonečnými množinami spojeny, nejsou nic „nepěkného“, nic, co by se mělo odstraňovat. Naopak, jsou tím, co odlišuje nekonečné množiny od konečných, tím, co vytváří svéráz nekonečna.
26
Celek menší než část (Eukleidés)
xVzájemně jednoznačné zobrazení
(bijekce) → stejný počet
Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem
různých předmětů našeho nazírání nebo myšlení (které
nazýváme prvky) do jediného celku. G. Cantor
27
Spočetné nekonečno – přirozená čísla,
racionální čísla …algebraická čísla …
„malé“ spočetné a „velké“ nespočetné (mohutnost kontinua).
Všechna spočetná nekonečna mají stejný počet prvků: sudých čísel je
stejně jako všech (přirozených) čísel, stejně tolik je i prvočísel, druhých
mocnin, racionálních čísel atd.
28
Nespočetné nekonečno
(není už „co do počtu“)
reálná čísla
Cantorův
diagonální
důkaz
29
“Vidím to, ale nemohu tomu uvěřit”
Richard Dedekind (1831-1916):
… vzájemně jednoznačné zobrazení mezi
čtvercem a úsečkou neexistuje, protože:
„je zřejmé, že dvě nezávisle proměnné
veličiny nelze převést na jedinou“.
x
Cantor ale dokázal opak → ve čtverci stejně
bodů jako na úsečce, jako v prostoru …
30
Cantorův “zip”
a = 0, a1 a2 a3 ...
b = 0, b1 b2 b3 ...
--------------
x = 0,a1b1a2b2a3b3 ....
(„Opravdový zip“ patentován v USA 1851 E. Howem.)
1 2 3 4
----------------------------------------------------------------
a 0,3 0,34 0,345 0,345 1
b 0,7 0,72 0,721 0,721 80
------------------------------------------------------------------
x 0,37 0,374 2 0,374 251 0,374 251 18
31
∞ = ∞2 = ∞3 = ∞4 = ∞5 = ∞6 = ... Nikdo nás nebude moci vyhnat z ráje,
který pro nás vytvořil Cantor.David Hilbert, Über das Unendliche, Math. Ann. 95
Paradox:Body na úsečce lze přeskupit tak, že vytvoří celou přímku,
body ze čtverce jde seřadit do úsečky (a naopak),
body z celého viditelného vesmíru mohu natěsnat na malou úsečku a podobně.
„možnosti“ udělat z koule úsečku, z úsečky celý prostor a pod. jsou čistě teoretické, fyzickému světu nenáležející.
Paradox Banachův a Tarského (1924): kouli je možné rozdělit na pět dílů tak, že jejich jiným složením (posunem a otočením) vzniknou dvě koule stejně veliké.
32
Babylonská věž nekonečen
Potenční množina
Počet prvků: P(X) = 2X
Kombinatorická explozepočet prvků potenční množina
X P(X)
1 2
2 4
3 8
10 1024
20 4 194 304
40 18 bilionů
Cantorova věta: platí to i pro nekonečné množiny
N <P(N) <P(P(N)) < P(P(P(N))) < ...
33
• Cantorův paradox:
Představme si množinu všech množin. Pak tato množina musí obsahovat jako prvek nejen sama sebe ale i všechny své podmnožiny. Ale jak už víme, mohutnost množiny všech podmnožin je vyšší než původní množiny. Takže by měla obsahovat část, která je mohutnější než je sama, což je spor.
• Russellův paradox:
Představme si množinu všech množin takových, že neobsahují samy sebe jako prvek. Ptáme se: obsahuje tato množina sama sebe? Jestliže neobsahuje, pak by se měla obsahovat, jestli obsahuje, tak by se obsahovat neměla. Opět neřešitelný spor.
Ne paradoxy, ale vnitřní spory!
Axiomatizace• ZF, GB
• Vyloučení “podivných množin”, třídy
Teorie množin “židovská věda” (Cantor byl katolík)
34
Konec
nekonečna