Zopakujte si základní informace ke zkoušce:

n Test obsahuje 30 úloh a na jeho řešení máte 90 minut čistého času.

n V průběhu testu můžete používat přiložené vzorce, prázdný sloupec je určen na vaše poznámky.

n U každé úlohy je jen jedna správná odpověď.

n Za každou správnou odpověď získáte bod, za špatnou 1/4 bodu ztrácíte.

n Nejlepší je řešit nejdříve snadné úlohy a k náročnějším se vrátit.

n Nebuďte nervózní z toho, že nevyřešíte všechno, to se povede málokomu

MatematikaNÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY

T��� � KVĚTNA 2019

Datum konání zkoušky: 1. května 2019 Počet řešitelů testu: 830Počet úloh: 30

Průměrná vynechanost: 21,1 %

Správné odpovědi jsou vyznačeny.

Max. možné skóre: 30 Max. dosažené skóre: 30 Min. možné skóre: -7,5 Min. dosažené skóre: -5,0 Průměrné skóre: 12,5

PŘEHLED VZORCŮ

© Scio® 2018 Matematika

Kvadratická rovnice: 2 0ax bx c ; 2

1,2

4

2

b b acx

a

; x1 + x2 =

b

a ;

1 2

cx x

a ; 0a

Goniometrické funkce:

2 2sin cos 1x x

tg cotg 1,2

x x x k

sin 2 2 sin cosx x x ; 2 2cos2 cos sinx x x

xx cos2

πsin

;

πcos sin

2x x

cos

tg cotg ,2 sin

xx x x k

x

π sin π

cotg tg , 2 12 cos 2

xx x x k

x

sin sin cos cos sinx y x y x y

cos cos cos sin sin x y x y x y

2

cos1

2sin

xx ;

2

cos1

2cos

xx

x 0 6

π

4

π

3

π

2

π

sin x 0 1

2

1

22

1

23 1

cos x 1 1

23

1

22

1

2 0

Trigonometrie: sinová věta:

sin

sin

b

a;

sin

sin

c

b;

sin

sin

a

c

kosinová věta: 2 2 2 2 cosa b c b c ; 2 2 2 2 cosb a c a c ; 2 2 2 2 cosc a b a b

Logaritmus: log log logz z zx y x y ; log log logz z z

xx y

y ; log logk

z zx k x ; log y

z x y x z

Aritmetická posloupnost: 1 1na a n d ; 12

n n

ns a a

Geometrická posloupnost: 1

1

n

na a q ; 1

1, 1

1

n

n

qs a q

q

Geometrická řada: 1

1, 1

1s a q

q

Rozklad na součin: 1 2 3 2 2 1( )( ... ) n n n n n n na b a b a a b a b a b b

Kombinatorika: ( ) !P n n ;

V k nn

n k( , )

!

!

;

!,

! !

n nC k n

k k n k

;

1; =

1 1

n n n n n

k n k k k k

1 2

1 2

1 2

( ... )!’( , , ..., )

! !... !

k

k

k

n n nP n n n

n n n

; ’ , kV k n n ;

1 1’ ,

1

n k n kC k n

k n

Binomická věta: 1 2 2 1....1 2 1

n n n n n nn n n

a b a a b a b a b bn

Analytická geometrie: velikost vektoru: 1 2( ; )u u u je: 2 2

1 2u u

Kosinus odchylky přímek 1 1 1 1: 0p a x b y c a

2 2 2 2: 0p a x b y c je 1 2 1 2

2 2 2 2

1 1 2 2

cosa a b b

a b a b

Vzdálenost bodu M[m1;m2] od přímky p: ax + by + c = 0 je 1 2

2 2

a m b m cMp

a b

Středový tvar rovnice kružnice: 2 2 2x m y n r ; elipsy:

2 2

2 21

x m y n

a b

; e

2 = a

2 – b

2

Středový tvar rovnice hyperboly:

2 2

2 21

x m y n

a b

;

1

2

2

2

2

b

ny

a

mx; e

2 = a

2 + b

2

Vrcholová rovnice paraboly: 2

2 , ;2

py n p x m F m n

;

22 , ;

2

px m p y n F m n

Objemy a povrchy těles:

Kvádr Válec Jehlan Kužel Koule

Objem a b c 2r v 1

3S v

21π

3r v

34π

3r

Povrch 2(ab+ac+bc) 2π r r v S+Q π r r s 24π r

Matematika

© Scio 2019 3

1.

Které číslo je třeba dosadit za proměnnou x, aby platila rovnost

3 0,546

x

= ?

(A) 8 (B) 6 (C) 3 (D) 1 (E) žádné z předchozích 2.

Uvedený graf znázorňuje hodnocení všech žáků jedné třídy v testu z matematiky. Kolik žáků mělo známku horší, než byl průměr této třídy? (A) 3 (B) 6 (C) 8 (D) 9 (E) 12 3.

Martin má dvakrát víc peněz než Tomáš. Radek má naopak třikrát méně peněz než Tomáš. A když se všichni tři složí dohromady, mají přesně na pizzu za 120 korun. Kolik peněz má Radek?

(A) 12 korun (B) 14 korun (C) 15 korun (D) 18 korun (E) 24 korun

Matematika

© Scio 2019 4

4.

Počet nezáporných celých čísel n splňujících rovnici 2 1 3n nn n+ +=

je roven: (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) Rovnice má nekonečně mnoho nezáporných celočíselných

řešení. 5.

V rovině je dán rovnostranný trojúhelník ABC o straně délky a. Necháme-li tro júhelník ABC rotovat kolem přímky AB, vznikne těleso, jehož objem je roven:

(A) 21 π6

a

(B) 33 π4

a

(C) 31 π4

a

(D) 31 π2

a

(E) 2 31 π2

a

6.

Řešením rovnice

x log 6 – x log 3 = x log 2

je pouze jediné číslo: (A) 0 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) Řešením rovnice je libovolné reálné číslo.

Matematika

© Scio 2019 5

7.

Mnohoúhelník na obrázku vznikl složen ím šesti shodných čtverců. Abychom ho rozdělili na dvě části o shodném obsahu, musíme bod X spojit úsečkou s bodem:

(A) A (B) B (C) C (D) D (E) S žádným z výše uvedených bodů. 8.

Auto má spotřebu x litrů benzínu na 100 kilometrů, lit r benzínu stojí y korun. Cena benzínu, který auto spotřebuje na ujetí z kilometrů, je v korunách:

(A) 100 xy z⋅⋅

(B) 100

x yz

⋅⋅

(C) 100

x zy

⋅⋅

(D) 100

x y z⋅ ⋅

(E) 100 x y z⋅ ⋅ ⋅ 9.

V posloupnosti ( )na je 22na n n= + . Jde o posloupnost:

(A) současně aritmetickou i geometrickou (B) pouze aritmet ickou s kladnou diferencí (C) pouze aritmet ickou se zápornou diferencí (D) pouze geometrickou s kvocientem větším než 1 (E) ani aritmetickou ani geometrickou

Matematika

© Scio 2019 6

10.

Nejmenší počet stejných čtverců, jejichž strana má délku vyjádřenou přirozeným číslem a jimiž můžeme úplně a bez přesahu pokrýt obdélník o rozměrech 48 cm x 60 cm, je:

(A) 20 (B) 60 (C) 80 (D) 180 (E) 320 11.

Trojciferných přirozených čísel takových, že jejich ciferný součin je číslo 8, je: (A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9 (E) 10 12.

Počet všech podmnožin X množiny { }1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 , pro

něž plat í { } { }3, 5, 7 1, 2, 3, 5, 7X ∪ = , je roven:

(A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 6 (E) 8 13.

Zahrádkář přikoupil ke své obdélníkové parcele sousední pozemek. Délka krátké strany parcely tak byla zvětšena o 20 % a délka delší strany zůstala nezměněna. Její výměra vzrostla o:

(A) 20 % (B) 28 % (C) 34 % (D) 40 % (E) 44 % 14.

Jsou-li k , l, m celá čísla taková, že k je dělitelné třiceti, l je dělitelné dvanácti a m je dělitelné osmnácti, pak číslo k + l + m je určitě dělitelné číslem: (A) 5 (B) 6 (C) 8 (D) 10 (E) 60

Matematika

© Scio 2019 7

15.

Rovnice

( ) 21 2 3 3 0− + − + − =p x x p p ,

kde p je reálný parametr, má právě jedno řešení v oboru reálných čísel. Pak o čísle p platí: (A) 2p = − (B) 1p = nebo 1p = − (C) 3p =

(D) )1; 2p∈ (E) 4p > 16.

Kladný zlomek má čitatele o jedna většího než jmenovatele. Vynásobíme-li čitatele čtyřmi a ke jmenovateli přičteme devět, hodnota zlomku se nezmění. Zlomek má tvar:

(A) 65

(B) 54

(C) 43

(D) 32

(E) 21

17.

Na obrázku je část grafu funkce 2( ) 1f x x= − .

Počty řešení rovnice 2 1x p− = v závislosti na reálném

parametru p tvoří množinu:

(A) {0, 2, 4} (B) {0, 1, 2, 4} (C) {0, 1, 3, 4} (D) {0, 2, 3, 4} (E) {0, 1, 2, 3, 4}

Matematika

© Scio 2019 8

18.

Rozklad výrazu 4x x+ na součin je pro každé x∈ roven:

(A) ( )( )21 1x x x x− − +

(B) ( )( )21 1x x x+ +

(C) ( )( )21 1x x x x+ + +

(D) ( )( )21 1x x x− −

(E) ( )( )21 1x x x x+ − +

19.

Jestliže ( ) ( ) ( )0;1 , 1; 2 , 2; 3 ,a b c∈ ∈ ∈ pak výraz ⋅a bc

určitě

patří do množiny:

(A) 10;2

(B) ( )0;1

(C) 1 ;12

(D) ( )1; 2

(E) ( )2; +∞ 20.

Číslo

314

314

16 22

4−

⋅

⋅

lze také zapsat jako :

(A) 232

−

(B) 1

(C) 1

122

(D) 732

(E) 2 21.

22 2 2 9x x+ ≤ −

9x > −

Počet celých čísel x, která současně splňují oba výše uvedené vztahy, je:

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) větší než 4

Matematika

© Scio 2019 9

22.

Grafy funkcí

: 1 sin 2f y x= − ,

( )2g : sin cosy x x= −

mají v intervalu 0; π tento počet společných bodů:

(A) žádný (B) právě jeden (C) právě dva (D) právě čtyři (E) nekonečně mnoho 23.

Počet řešení soustavy nerovnic

cos 2 1≤ −x ,

2 8x + ≤ ,

3 5x− ≤

v oboru reálných čísel je roven: (A) 0 (soustava nemá řešení) (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4 24.

Posloupnost ( )na je zadána rekurentním vzorcem

1 3 2n na a+ = − , 4 10a = . Hodnota 1a je rovna:

(A) 12

(B) 1

(C) 43

(D) 32

(E) 3

Matematika

© Scio 2019 10

25.

Divadlo Járy Cimrmana uvádělo v minulosti hru Hospoda Na mýtince v obsazení, které udává následující tabulka:

Role Herec

Hostinský Zdeněk Svěrák nebo Jan Hraběta

Hrabě Zeppelin Miloň Čepelka nebo Lad islav Smoljak

Vězeň Kulhánek Petr Brukner nebo Petr Reidinger nebo Ladislav Smoljak

Z tohoto obsazení se do představení vždy náhodně vybírali herci, na každou roli právě jeden herec, a každý herec hraje nejvýše jednu roli. Pravděpodobnost, že Zdeněk Svěrák a Lad islav Smoljak společně účinkovali v témže představení, byla:

(A) 310

(B) 13

(C) 38

(D) 25

(E) 12

26.

Tři různé přímky procházejí společným bodem, čtyři jiné různé přímky procházejí jiným společným bodem. Každé dvě z těchto sedmi přímek se protínají právě v jednom bodě. Počet průsečíků všech těchto přímek je:

(A) 12 (B) 14 (C) 18 (D) 20 (E) 24 27.

Počet všech čtyřciferných přirozených čísel dělitelných pěti, v jejichž dekadickém zápisu se každá z deseti číslic vyskytuje nejvýše jednou, je roven: (A) 946 (B) 948 (C) 950 (D) 952 (E) 954

Matematika

© Scio 2019 11

28.

Host v restauraci při čekání na oběd odtrhl ze čtvercového ubrousku roh ve tvaru pravoúhlého rovnoramenného trojúhelníku s rameny, která měla délky rovné dvěma třetinám strany původního čtverce. Poměr obsahů odtrženého trojúhelníku a zbylého pětiúhelníku byl:

(A) 1:3 (B) 2:3 (C) 2:7 (D) 2:9 (E) 4:9 29.

Přímka, která prochází bodem [ ]2; 4− kolmo k přímce

: 2 3 , 1 ,p x t y t t= + = − ∈ , má rovnici 3 0x by c+ + = , kde: (A) 2, 5b c= = (B) 2, 5b c= − = −

(C) 1, 10b c= − = −

(D) 1, 5b c= − = − (E) 1, 10b c= = − 30.

Hyperbola 2 22 4 0x y y− − = má střed v bodě:

(A) [ ]2 ; 0

(B) [ ]0; 2

(C) [ ] 0; – 2

(D) [ ] – 2; 0

(E) [ ]2 ; 2