Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Daniel HanzlíkObchodní akademie a Střední odborná škola logistická, Opava, příspěvková organizace.Materiál byl vytvořen v rámci projektu OP VK 1.5 – EU peníze středním školám,registrační číslo CZ.1.07/1.5.00/34.0809.
Pravděpodobnost náhodného jevu – II. část26. března 2013 VY_32_INOVACE_110217_Pravdepodobnost_nahodneho_jevu_II.cast_DUM
obr. 1
Pravděpodobnost náhodného jevu• V minulém výukovém materiálu jsme si zavedli základní pojmy z teorie pravděpodobnosti: náhodný pokus, náhodný jev, jistý jev a nemožný jev.• Všechny jevy označujeme velkými tiskacími písmeny.• Pravděpodobnost náhodného jevu značíme symbolem , kde značí daný náhodný jev.• Praktická část předchozího výukového materiálu se týkala čtyř matematických úloh zabývajících se především problematiky hodu hrací kostkou.
obr. 2
Klasická definice pravděpodobnostiPřipomeňme si znovu klasickou definici pravděpodobnosti, pomocí níž budeme řešit matematické úlohy i v tomto výukovém materiálu.Pravděpodobnost jevu v náhodném pokusu s konečnou množinou všech výsledků, které jsou stejně možné, je rovna podílu počtu výsledků příznivých jevu a počtu všech možných výsledků pokusu:
• Pravděpodobnost libovolného jevu je nezáporné číslo nejvýše rovno jedné: Poznámka: Někdy se vyjadřuje pravděpodobnost v procentech, např. výrobek I. jakosti se vyskytuje v sérii s pravděpodobností , tj. .
Pravděpodobnost náhodného jevu – praktická část
Druhá část výukového materiálů „Pravděpodobnost náhodného jevu“ se zabývá čtyřmi matematickými úlohami z různých sfér praktického života. Například budeme určovat pravděpodobnost výhry v tombole nebo pravděpodobnost výhry v loterijní hře Sportka.Úlohy jsou znovu uváděny společně s řešením. obr. 2
Nabídka úloh a jejich řešeníÚloha 1 Řešení úlohy 1
ShrnutíÚloha 2Řešení úlohy 2
Úloha 4 Řešení úlohy 4
Řešení úlohy 3
Úloha 3
Úloha 1 V tombole je 200 losů, z nichž pouze deset vyhrává. Určete pravděpodobnost, že pan Novák, který si koupil deset losů, vyhraje právě jednu cenu.
zpět do nabídky úloh
obr. 3
Řešení úlohy 1
zpět do nabídky úlohNejprve určíme počet všech možných výsledků. Z celkového počtu 200 losů vybereme 10 výherních losů, tj. jedná se o 10-ti členné kombinace z 200 prvků. Platí tedy:Počet výsledků příznivých jevu , „z deseti losů koupených panem Novákem bude právě jeden výherní“ , bude dán součinem jednočlenných kombinací z deseti prvků (losy koupené panem Novákem) a devítičlenných kombinací ze 190 prvků (ostatní losy, z nichž právě devět je výherních). Vycházíme přitom z kombinatorického pravidla součinu. Platí:Pravděpodobnost je dána definicí:Pravděpodobnost, že z deseti losů zakoupených panem Novákem bude právě jeden výherní, je obr. 3
Úloha 2Máme k dispozici 16 dobrých výrobků a 4 zmetky. Vybereme namátkou 7 výrobků. Jaká je pravděpodobnost, že: a) vybereme pouze dobré výrobky b) mezi vybranými výrobky budou 2 zmetky?
zpět do nabídky úloh
obr. 4
Řešení úlohy 2 pokračovánía) Počet všech možných výsledků je roven počtu všech sedmičlenných neuspořádaných skupin vybraných ze dvaceti výrobků, tj. počtu všech sedmičlenných kombinací ze dvaceti prvků. Tyto sedmičlenné skupiny vybíráme náhodně, takže výběr každé je stejně možný. Platí:Počet výsledků příznivých jevu „všechny vybrané výrobky jsou dobré“ je dán součinem dvou kombinačních čísel (z 16 dobrých výrobků vybíráme všech 7, ze 4 zmetků žádný). Vycházíme opět z kombinatorického pravidla součinu:Pro pravděpodobnost náhodného jevu platí:Pravděpodobnost, že vybereme pouze dobré výrobky, je .obr. 4
Řešení úlohy 2b)Počet všech možných výsledků je stejný jako v předešlém případě.Platí:Počet výsledků příznivých jevu „mezi vybranými výrobky budou dva zmetky“ je dán součinem dvou kombinačních čísel (z 16 dobrých výrobků vybereme pět, ze 4 zmetků vybereme dva) :Pro pravděpodobnost náhodného jevu platí:Pravděpodobnost, že mezi vybranými výrobky budou 2 zmetky, je .
zpět do nabídky úloh
obr. 4
Úloha 3Při hře s 32 kartami bylo čtyřem hráčům rozdáno po 8 kartách. Jaká je pravděpodobnost, že jeden z hráčů dostane 4 esa?
zpět do nabídky úloh
obr. 5
Řešení úlohy 3 zpět do nabídky úlohPočet všech možných výsledků je roven počtu všech osmičlenných neuspořádaných skupin z 32 karet . Jedná se proto o osmičlenné kombinace z 32 prvků. Tyto skupiny jsou vybírány náhodně, jejich výběr je stejně možný. Platí:Počet výsledků příznivých jevu „jeden z hráčů dostane 4 esa“ ,(ze 4 es dostane hráč všechny 4 esa, z 28 ostatních karet obdrží 4 karty), je podle kombinatorického pravidla dán součinem dvou kombinačních čísel:Pro pravděpodobnost náhodného jevu platí:Pravděpodobnost, že jeden z hráčů obdrží 4 esa, je .obr. 5
Úloha 4Jaká je pravděpodobnost, že vyhrajeme ve Sportcea) 1. cenu (tj. všech 6 čísel ze 49 uhodneme)b) 5. cenu (tj. pouze 3 ze šesti tažených čísel uhodneme, 3 neuhodneme)?
zpět do nabídky úloh
obr. 6
Řešení úlohy 4
pokračovánía)Počet všech možných výsledků ve Sportce je roven počtu všech šestičlenných neuspořádaných skupin ze 49 čísel . Jedná se proto o šestičlenné kombinace ze 49 prvků. Tyto skupiny jsou vybírány náhodně, jejich výběr je stejně možný. Platí:Počet výsledků příznivých jevu ,„vyhrajeme ve Sportce 1. cenu“ ,(ze šesti tažených čísel uhodneme resp. vybereme všechna čísla, ze 43 ostatních netažených čísel nevybereme žádné číslo), je podle kombinatorického pravidla dán součinem dvou kombinačních čísel:Pro pravděpodobnost náhodného jevu platí:Pravděpodobnost, že vyhrajeme ve Sportce 1.cenu, je obr.6
Řešení úlohy 4b)Počet všech možných výsledků je stejný jako v předešlém případě. Znovu platí:Počet výsledků příznivých jevu , „vyhrajeme ve Sportce 5. cenu“ , (ze šesti tažených čísel uhodneme , resp. vybereme tři čísla, ze 43 ostatních netažených čísel vybereme taky tři čísla), je dán součinem dvou kombinačních čísel. Vycházíme opět z kombinatorického pravidla součinu:Pro pravděpodobnost náhodného jevu B platí:Pravděpodobnost, že ve Sportce vyhrajeme 5. cenu, je .
zpět do nabídky úloh
obr. 6
ShrnutíČtyři matematické úlohy z praktického života zabývající se pojmem pravděpodobnost náhodného jevu uzavírají dvoudílný výukový materiál. Teorii pravděpodobnosti dále rozvineme ve výukových materiálech, které budou pojednávat o pravděpodobnosti opačného jevu, pravděpodobnosti sjednocení jevů nebo pravděpodobnosti vzájemně nezávislých jevů.
obr. 1
CITACE ZDROJŮPoužitá literatura:1) HUDCOVÁ, Milada a Libuše KUBIČÍKOVÁ. Sbírka úloh z matematiky pro střední odborné školy, střední odborná učiliště a nástavbové studium. Havlíčkův Brod: Prometheus, spol. s. r. o., 2000, s. 211, 214. ISBN 80-7196-165-5. 2) CALDA, Emil. Matematika pro netechnické obory SOŠ a SOU, 3. díl. Havlíčkův Brod: Prometheus, spol. s r. o., 2000, s. 207-208, 213. ISBN 80-7196-109-4.
CITACE ZDROJŮ Použité obrázky:1) KARWATH, André. File:Cube Animation.gif - Wikimedia Commons [online]. 15 February 2005 [cit. 2013-03-26]. Dostupné pod licencí Creative Commons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Cube_Animation.gif 2) File:Dado castanho com o número 6 visível.jpg - Wikimedia Commons [online]. 8 December 2008 [cit. 2013-03-26]. Dostupné pod licencí Creative Commons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Dado_castanho_com_o_n%C3%BAmero_6_vis%C3%ADvel.jpg 3) File:Tombola.jpg - Wikimedia Commons [online]. 27 December 2005 [cit. 2013-03-26]. Dostupné pod licencí Creative Commons z:http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tombola.jpg 4) File:Product range.jpg - Wikimedia Commons [online]. 27 October 2009 [cit. 2013-03-26]. Dostupné pod licencí Creative Commons z:http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Product_range.jpg
CITACE ZDROJŮ Použité obrázky: 5) ELSNER, Gerhard. File:Bridgerunde.jpg - Wikimedia Commons [online]. 3 April 2006 [cit. 2013-03-26]. Dostupné pod licencí Creative Commons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Bridgerunde.jpg 6) GONCHARUK, Anastasia. File:Ticket Sportka.jpg - Wikimedia Commons [online]. 15 December 2009 [cit. 2013-03-26]. Dostupné pod licencí Creative Commons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Ticket_Sportka.jpg Všechny úpravy psaného textu byly prováděny v programu MS PowerPoint.
Konec prezentace. Děkuji Vám za pozornost.
Mgr. Daniel Hanzlík
