POJIŠŤOVNICTVÍ A POJISTNÁ MATEMATIK - vspj.cz - VŠPJ/Učebnice pojišťovnictví a pojistná...

VYSOKÁ ŠKOLA POLYTECHNICKÁ JIHLAVA

POJIŠŤOVNICTVÍ

A POJISTNÁ MATEMATIKA

STUDIJNÍ MATERIÁL

LENKA LÍZALOVÁ, RADEK STOLÍN

2014

Katedra matematiky a katedra ekonomických studií

Recenzovali: RNDr. Ing. Hana Kotoučková, Ph.D.

Ing. Jiří Novotný

Za jazykovou a věcnou správnost obsahu díla odpovídají autoři.

Text neprošel jazykovou ani redakční úpravou.

© Radek Stolín a Lenka Lízalová, 2014

ISBN 978-80-88064-05-3

Obsah

Předmluva ................................................................................................................................................ 4

1 Smysl pojištění ................................................................................................................................ 6

2 Vývoj pojištění ................................................................................................................................ 9

3 Základní pojmy .............................................................................................................................. 11

3.1 Riziko .................................................................................................................................... 11

3.2 Risk management .................................................................................................................. 12

3.3 Postoj podnikatelů a managementu k riziku .......................................................................... 14

3.4 Možnosti finančního krytí následků rizik .............................................................................. 14

4 Pojistný vztah ................................................................................................................................ 18

4.1 Zájem o pojištění ................................................................................................................... 20

5 Klasifikace pojištění ...................................................................................................................... 23

5.1 Klasifikace pojištění podle formy vzniku pojištění ............................................................... 23

5.2 Klasifikace pojištění podle způsobu tvorby rezerv................................................................ 24

5.3 Klasifikace pojištění podle předmětu pojištění ..................................................................... 25

6 Zajištění ......................................................................................................................................... 26

6.1 Zajištění a jeho úkoly ............................................................................................................ 26

6.2 Formy zajištění ...................................................................................................................... 28

6.3 Soupojištění ........................................................................................................................... 29

6.4 Zajišťovací smlouva .............................................................................................................. 30

6.5 Pojišťovací pooly................................................................................................................... 30

7 Úvod do problematiky pojistného práva ....................................................................................... 31

7.1 Zákon o pojišťovnictví .......................................................................................................... 31

7.1.1 Dohled v pojišťovnictví ................................................................................................. 34

7.1.2 Solventnost pojišťoven a zajišťoven ............................................................................. 34

7.1.3 Odpovědný pojistný matematik ..................................................................................... 35

7.2 Občanský zákoník ................................................................................................................. 35

7.3 Zákon o poj. zprostředkovatelích a samostatných likvidátorech poj. událostí ..................... 38

7.3.1 Pojišťovací zprostředkovatelé ....................................................................................... 38

8 Pojišťovací činnost komerční pojišťovny ...................................................................................... 42

9 Sjednání pojištění .......................................................................................................................... 46

9.1 Pojistná smlouva .................................................................................................................... 46

9.2 Pojistná částka ....................................................................................................................... 47

9.3 Pojistné .................................................................................................................................. 48

9.4 Pojistné plnění ....................................................................................................................... 49

9.5 Práva a povinnosti účastníků pojistného vztahu .................................................................... 49

10 Pojišťovnictví jako odvětví ekonomiky .................................................................................... 51

11 Úvod do problematiky pojistného trhu ...................................................................................... 52

11.1 Segmentace pojistného trhu ................................................................................................... 53

11.2 Nabídka pojistných produktů na českém pojistném trhu ....................................................... 54

11.3 Neživotní pojištění ................................................................................................................ 54

11.3.1 Pojištění majetku ........................................................................................................... 55

11.3.2 Pojištění odpovědnosti za škodu ................................................................................... 59

11.3.3 Pojištění osob ................................................................................................................ 63

11.4 Životní pojištění .................................................................................................................... 65

12 Úmrtnostní tabulky .................................................................................................................... 69

12.1 Popis a konstrukce úmrtnostních tabulek .............................................................................. 69

12.2 Odlišnosti v úmrtnosti mužů a žen ........................................................................................ 74

12.3 Střední délka života při narození ........................................................................................... 77

12.4 Pravděpodobnosti úmrtí a dožití a jejich určení z úmrtnostních tabulek............................... 78

12.5 Použití úmrtnostních tabulek v pojistné praxi ....................................................................... 82

12.6 Komutační čísla ..................................................................................................................... 83

13 Určení čistého pojistného a rizika pojištění ............................................................................... 87

13.1 Princip ekvivalence ............................................................................................................... 87

13.2 Kapitálové pojištění placené jednorázově ............................................................................. 89

13.2.1 Pojištění na dožití .......................................................................................................... 90

13.2.2 Pojištění pro případ smrti .............................................................................................. 92

13.2.3 Dočasné pojištění pro případ smrti ................................................................................ 95

13.2.4 Odložené pojištění pro případ smrti .............................................................................. 96

13.2.5 Smíšené pojištění ........................................................................................................... 99

13.3 Důchodové pojištění placené jednorázově .......................................................................... 101

13.3.1 Současná hodnota důchodu ......................................................................................... 102

13.3.2 Pojištění ročního doživotního důchodu ....................................................................... 103

13.3.3 Pojištění dočasného ročního životního důchodu ......................................................... 107

13.3.4 Pojištění odloženého ročního doživotního důchodu .................................................... 110

13.3.5 Další typy ročního důchodového pojištění .................................................................. 112

13.3.6 Področní důchodové pojištění ..................................................................................... 117

13.4 Určení běžného pojistného .................................................................................................. 120

13.5 Určení hrubého pojistného .................................................................................................. 123

14 Určení čistého pojistného ........................................................................................................ 129

14.1 Tarifní skupiny .................................................................................................................... 129

14.2 Princip určení čistého pojistného......................................................................................... 129

14.3 Určení čistého pojistného v systémech bonus-malus .......................................................... 133

15 Pojistné rezervy ....................................................................................................................... 139

15.1 Vývojové trojúhelníky ......................................................................................................... 139

15.2 Metoda Chain-Ladder .......................................................................................................... 140

Glosář .................................................................................................................................................. 144

Literatura ............................................................................................................................................. 153

Pojišťovnictví

4

Předmluva

Pojišťovnictví je jednou z nejzajímavějších částí finančního trhu. V současné době se v České

republice živí, či v některých případech vhodněji vyjádřeno přiživuje, relativně velké

množství finančních poradců. Jejich znalost příslušné problematiky je velmi rozdílná. Existuje

nemálo takových, jejichž vzdělání v oblasti finančního poradenství je takřka nulové a přesto

(anebo možná právě proto) se odvažují radit, do čeho investovat nemalé finanční obnosy.

Vyjdeme-li ze snad obecně přijímaného předpokladu, že každá práce by měla být vykonávána

odborníky, je jedním z kroků ke zlepšení situace v oblasti finančního poradenství nabízet

možnost příslušného vzdělávání pro ty, kteří v oboru pracují, či pracovat hodlají. Vysoká

škola polytechnická Jihlava nabízí již řadu let studentům oboru Finance a řízení v prezenční

i kombinované formě specializaci Finanční poradenství. Specializace je tvořena třemi

předměty: Finanční matematika, Cenné papíry a finanční poradenství, Pojišťovnictví

a pojistná matematika. Studentům posledně jmenovaného předmětu je primárně určena tato

publikace.

Předložený učební text si klade za cíl představit studentům oblast pojišťovnictví jako

významnou součást finančního sektoru, která pomáhá krýt rizika ekonomických

i neekonomických činností člověka. Seznamuje studenty se základními matematickými

postupy užívanými pro stanovení výše pojistného v životním i neživotním pojištění,

s problematikou kvantitativního odhadu rizika pojištění a tvorby pojistných rezerv.

Součástí učebnice je glosář, který obsahuje stručné vysvětlení nejpoužívanějších pojmů

v oblasti pojišťovnictví. Tento glosář vychází z Encyklopedického slovníku pojmů z oblasti

pojišťovnictví, který je k dispozici na portálu České asociace pojišťoven. Kapitola 2, v části

učebnice Pojišťovnictví, byla zpracována s použitím učebnice (Ducháčková, 2009), kapitoly

1, 3–11 byly zpracovány s použitím studijních textů VUT pro kombinovanou formu studia,

viz literatura Martinovičová (2006). Materiály byly upraveny a aktualizovány dle nové právní

úpravy roku, která začne platit od 1. 1. 2015.

Autoři věří, že učební text bude kromě funkční e-learningové opory další užitečnou

pomůckou, která pomůže studentům zvládnout tento, ne zcela jednoduchý, předmět. Přejí

všem čtenářům hodně radosti a vzrušení při objevování tajů pojišťovnictví a pojistné

matematiky.

Jihlava, prosinec 2014

autoři

Pojišťovnictví

5

ČÁST I.

POJIŠŤOVNICTVÍ

Pojišťovnictví

6

1 Smysl pojištění

Původní myšlenka, filosofie a obsah pojištění byla pomoc v nouzi. Tento humánní obsah

pojištění se v průběhu vývoje pojištění často opomíná a vytrácí.

Myšlenky o pojištění vznikly, jak se dočtete v kapitole o vývoji pojištění, na zásadách

vzájemnosti s cílem pomáhat v situacích, kdy se jednotlivec nemůže ubránit vzniku škody

a krýt její následky. Po celý život nás provází pojištění. Provází nás i od prvních úvah

o podnikatelské činnosti až po její zakončeni. O úlohách a významu pojištění se ví velmi

málo. Poznatky se přenáší spíše mluveným slovem jako zkušenost jednotlivců, často ve velice

zkreslené podobě.

Pojištění a pojišťovnictví přímo nebo nepřímo zasahuje do všech činností, týká se každého

občana, firmy, podniku a společnosti. Rozvoj pojištění a pojišťovnictví v ekonomice vytváří

vznik nových pracovních příležitostí. Bez dobrého fungování nezávislého pojišťovnictví není

možné vytvořit volné a svobodné tržní hospodářství. Pojištění představuje v tržní ekonomice

také peněžní vztahy, prostřednictvím kterých se tvoří a rozdělují peněžní pojistné rezervy.

Pojištění se v zásadě vztahuje na události, jejichž vznik závisí na náhodě, je neurčitý, ale

pravděpodobný. To, co platí u jednotlivce a jednotlivého rizika, se vstupem do pojištění ve

velkém vzorku populace mění na statistickou zákonitost.

Z právního hlediska je pojištění závazkovým právním vztahem, v němž mají účastníci rovné

postavení. Pojištění je zároveň vztah, ve kterém pojišťovna na sebe přebírá závazek, že

pojištěnému uhradí újmu, která mu vznikla ve smyslu pojistných podmínek. Právní vztah

vzniká mezi pojistníkem či pojištěným a pojistitelem.

Ekonomický obsah pojištění znamená, že u komerční pojišťovny i u pojištěného subjektu má

pojištění peněžní povahu, je zřejmé, že věcný základ pojištění má ekonomickou či peněžní

povahu. Proto bývá také pojištění definováno jako efektivní způsob tvorby a rozdělování

peněžních rezerv k úhradě potřeb, jež vznikají z nahodilých událostí. Rezervy jsou

vytvářeny z příspěvků osob a jsou spravovány institucemi, k tomuto účelu zvlášť

vytvořenými, komerčními pojišťovnami. Tak se rozděluje riziko majetkové újmy

z nepříznivých událostí nahodilé povahy na okruh účastníků, kteří se podílejí nejen na tvorbě

těchto prostředků, ale i na jejich poskytování, a to podle předem stanovených pravidel.

Realizace ekonomických základů pojištění ve společenském měřítku lze však dosáhnout jen

prostřednictvím právních vztahů vznikajících mezi komerční pojišťovnou a účastníky

pojištění, upravených obecně závaznými právními předpisy nebo na jejich základě uzavřenou

pojistnou smlouvou - ty stanoví práva a povinnosti, jež účastníkům z pojištění vznikají.

O pojištění tedy hovoříme jako o kategorii ekonomické i právní.

Z pohledu podnikatelského subjektu je možné pojištění charakterizovat jako ekonomickou

kategorii a právní institut, jež tvoří součást finančních a právních vztahů, prostřednictvím

kterého se vytvářejí technické (pojistné) rezervy. Tyto rezervy potom slouží na předcházení

a náhradu škod způsobených náhodnými událostmi.

Rezervy je možno všeobecně vymezit jako účelné vytváření dočasně volných (materiálních,

peněžních) prostředků, kapacit a práce na úhradu náhodných potřeb. Pojistné potřeby mohou

Pojišťovnictví

7

být v zásadě hrazeny dvěma způsoby, a to použitím pojistných rezerv, nebo na úkor jiných

potřeb příslušného subjektu.

» Pojistné rezervy - všechny peněžní prostředky určené na náhradu škod v případě realizace

rizika. Jinak řečeno, existenci rezerv determinuje existence rizika, jeho druhy a rozsah.

V tržní ekonomice se pojištění stalo zbožím a pojistné rezervy kapitálem sloužícím

k podpoře rozvoje podnikání a ochraně soukromého vlastnictví.

V případě pojistné události se z pojištění poskytne dohodnutý rozsah peněžních prostředků,

který by měl stačit na odstranění vzniklé ztráty. Znamená to, že komerční pojišťovna nahradí

na základě dojednaných pojistných podmínek ztrátu v takovém rozsahu, jak byl dojednán

v pojistné smlouvě. Tento postup realizuje komerční pojišťovna bez ohledu na to, zda

pojištěný subjekt vytvořil placením pojistného dostatečnou finanční rezervu.

Pojištění samo o sobě nezabrání vzniku škody, ale přispěje alespoň finančně k

odstranění vzniklé ztráty v případě škodní události.

Ze základní funkce přenosu (transferu) rizika na komerční pojišťovnu vyplývají

následující výhody:

peněžní prostředky k vyrovnání způsobených ztrát jsou okamžitě k dispozici; náklady

na pojistné jsou obvykle nižší než předpokládaná ztráta;

peněžní prostředky jsou k dispozici při splnění stanovených povinností z pojistné

smlouvy a není důležité, kolikrát vznikla událost a zda bylo pojistné uhrazeno

komerční pojišťovně ve výši vzniklé ztráty nebo ne;

komerční pojišťovna vyvíjí tlak na realizaci přiměřených bezpečnostních opatření,

které chrání pojištěné hodnoty před neočekávanými událostmi, formou prevenčních

opatření.

V podmínkách tržního mechanismu plní pojišťovnictví, se svojí pojišťovací činností, roli

stabilizátoru ekonomické úrovně podniků a životní úrovně obyvatelstva v případě

neočekávané (náhodné) události. Kromě toho se pojišťováním posiluje odpovědnost

fyzických osob za jejich ekonomickou a sociální oblast. Stát podporuje rozvoj pojišťovnictví

i cestou daní a uplatňováním smluvně povinných a zákonných forem pojištění. To mu pak

umožňuje přesouvat odpovědnost za sociální situaci a ekonomickou stabilitu na firmy,

podniky, obyvatelstvo, pojištěnce, pojistníky a pojišťovny. Zájemcům o pojistnou ochranu

umožňuje pojištění rozložit náklady a tím udržovat jejich pravidelnost, míru zisku i zisk

samotný. U občanů pojištění podporuje stabilitu jejich životní úrovně, ale také zabraňuje

jejímu poklesu v případě náhodné pojistné události.

Nejvyšší možná dobrá víra

Všechny obchodní transakce by měly být podnikány s dobrým úmyslem. Nikdy by nemělo

jít o podvod nebo o podvodný úmysl. Neznamená to však, že by měl prodávající jakoukoli

povinnost upozornit na nedostatky zboží, které prodává. Tvrdí-li však něco nebo odpoví-li

na otázku, musí být tvrzení pravdivé.

Pojišťovnictví

8

Pojišťovací transakce se však od tohoto všeobecného pravidla liší, protože pouze jedna osoba

zná všechny skutečnosti týkající se věci, která má být pojištěna. Touto osobou je osoba

navrhující pojištění a její povinností je tyto skutečnosti prozradit.

Zásada, kterou je proto třeba dodržet při pojišťovacích transakcích, je zásada nejvyšší možné

dobré víry a musí být přiznány i závady. Informace, jejichž sdělení pojistitel vyžaduje, se

nazývají závažné skutečnosti.

» Závažná skutečnost je jakákoli skutečnost, která by obezřetného pojistitele ovlivnila při

rozhodování, zda má přijmout riziko pro účely pojištění a za jakých podmínek.

Pojistitel se obvykle táže navrhovatele (zájemce o pojištění), zda existují nějaké další závažné

informace, které si výslovně nevyžádal. Nepřizná-li navrhovatel závažné skutečnosti, mohou

pojistitelé odmítnout vyplatit náhradu škody v případě škodní události.

Další problém, s nímž se setká navrhovatel pojištění, vznikne, existuje-li povinnost

informovat o všech závažných skutečnostech. V případě pojištění podnikatelských rizik

existuje tato povinnost během období, které vede k vlastnímu vzniku smlouvy. A tato

povinnost vzniká znovu při obnovení a tehdy, dojde-li k nějaké změně, kterou pojištěný

oznamuje.

Pojišťovnictví

9

2 Vývoj pojištění

Nahodilé události jako živelní katastrofy, osobní neštěstí jako úrazy, ztráta živitele vedly

odedávna k úvahám o různých způsobech vyrovnávání se s těmito nahodilými událostmi,

ovlivňujícími jejich životy.

První úvahy o pojištění jsou velice staré (již kolem roku 2 000 před n. l.) a byly spojeny

především se vzájemným krytím ztrát (označuje se jako vzájemnostní pojištění), hlavně

v souvislosti s krytím výdajů na pohřby a také v souvislosti s přepravou zboží pomocí karavan

(krytí ztrát mezi majiteli karavan na plánovaných cestách). Často je těžké odlišit pojišťovací

činnost od činnosti podpůrné a charitativní v tomto období. U těchto prvních pojištění lze

vysledovat následující rysy:

pojištění bylo soustředěno v uzavřených skupinách osob,

pojištění zahrnovalo druhořadou část obyvatelstva, především řemeslníky, kupce,

ale ne obyvatelstvo zabývající se zemědělstvím, které svým počtem v té době

převažovalo,

při pojišťování nebyl důsledně oddělen pojistitel a pojistník,

pojištění mělo převážně vzájemnostní charakter, i když můžeme pozorovat některé

prvky komerčního pojištění (například tzv. námořní půjčka, což byla vlastně

kombinace pojištění a úvěru, neboť obchodník při přepravě zboží si vzal námořní

půjčku ve výši ceny zboží, pokud loď s nákladem doplula do místa určení, obchodník

vrátil vypůjčený obnos s vysokými úroky - až 36 %, v případě že obchodník zboží

nedopravil, půjčku nevracel).

Během dlouhého vývoje pojištění v tomto období (až do konce 18. století) lze ve vývoji

pozorovat dvě základní tendence:

vývoj od všeobecně formulované vzájemné pomoci k určité konkretizaci vzájemné

pomoci s upřesněním okruhu pojistných událostí,

vývoj od následného rozvrhu výdajů na pojistná plnění (po vzniku pojistných událostí)

k praxi pravidelných pevně stanovených příspěvků pro členy spolků (postupně byly

oddělovány prostředky na úhradu pojistných událostí od ostatních prostředků

příslušných spolků).

Pro druhou polovinu 18. století je pro pojišťování typická institucionalizace pojišťovnictví,

tzn., vznikají pojišťovny, a to především ve formě vzájemných pojišťoven. Na našem území

vznikla První česká vzájemná pojišťovna roku 1827). Hlavními pojistnými odvětvími, která

se v tomto období uplatňují je pojištění požární, pojištění námořní a pojištění životní.

Pojišťovnictví jako významné odvětví ekonomiky se utvářelo nejdříve v přímořských

státech a s určitým zpožděním ve vnitrozemských státech. Od počátku 19. století je pro

pojištění typické, že se stává předmětem podnikání, tedy pojištění je chápáno jako užitečný

druh obchodní činnosti. V tomto období se začínají prosazovat pojišťovny ve formě akciové,

i když vzájemné pojišťovny nadále fungují.

Pojištění se začíná prosazovat v širších vrstvách obyvatelstva, než tomu bylo v předchozím

období. Pojištění se poměrně rychle rozvíjí. Rozšiřují se provozované druhy pojištění, i když

dominantní postavení stále zaujímají pojištění námořní, požární a životní. Rozšiřují se

Pojišťovnictví

10

vědecké základy pojištění, zejména pojistná matematika. Rovněž se začíná v souvislosti

s pojišťováním velkých rizik uplatňovat zajištění. Takto shrnuje nejstarší vývoj pojišťovnictví

Ducháčková (2009).

K dalšímu vývoji Ducháčková (2009) stručně uvádí, že ke konci 19. století se začíná

projevovat nezbytnost státních zásahů do hospodářství, což je důsledek rozvoje

hospodářství a monopolizace. V pojišťovnictví se státní zásahy projevují ve dvou směrech:

1. dochází postupně ke vzniku a uplatnění sociálního pojištění v jednotlivých

zemích,

2. dochází k regulaci komerčního pojištění.

Státy používají k regulaci komerčního pojištění řadu nástrojů:

uplatňují tzv. koncesní princip, tzn., že k založení nových pojišťovacích institucí je

třeba schválení státního orgánu,

zavádějí povinnost tvorby tzv. zabezpečovacích fondů pojišťovacími institucemi,

provádějí materiální dohled, tzn. kontrolují hospodaření pojišťoven na základě

výkazů o jejich činnosti,

sledují úrokové míry užívané při kalkulaci tarifu pojistného,

užívají tzv. kvótování aktiv, tzn., stanovují kvóty pro jednotlivé způsoby uložení

aktiv pojišťoven (např. mohou stanovit povinnost uložení 20 % aktiv pojišťoven ve

státních cenných papírech).

Státní dozor nad pojišťovnictvím se posiluje zejména po druhé světové válce (v pojetí státního

dozoru v jednotlivých zemích se projevují značné odlišnosti). V pojištění se projevují tři cesty

rozvoje:

1. specializace již existujících druhů a odvětví pojištění,

2. sdružování (kombinování) již existujících pojistných druhů,

3. vznik zcela nových druhů pojištění.

Dochází ke změně poměru mezi majetkovým a životním pojištěním ve prospěch pojištění

životního, které bývá v jednotlivých zemích státy zvýhodňováno zejména prostřednictvím

daňového zvýhodnění, neboť životního pojištění se využívá jako jednoho z vestavěných

stabilizátorů a stále více jako nástroje krytí potřeb ve stáří.

K aktuální situaci v odvětví portál Finanční vzdělávání (2014) konstatuje, že se české

pojišťovnictví vyvíjí v tržním prostředí v souladu s normami EU. Značné kompatibility se

podařilo dosáhnout v ekonomice pojištění (účetnictví, technické rezervy, solventnost).

Obecně se rozšířila mezinárodní spolupráce jak na úrovni států, tak i České asociace

pojišťoven.

Podle výroční zprávy ČNB provozovalo v roce 2014 pojišťovací činnost na českém trhu 51

pojišťoven, z toho 33 tuzemských pojišťoven a 18 poboček pojišťoven ze zemí EU. Mimo

výše uvedené tuzemské pojišťovny a pobočky zahraničních pojišťoven s licencí ČNB mohou

na českém pojistném trhu poskytovat služby i pojišťovny a pobočky pojišťoven z jiných

členských států EU a EHP na základě svobody dočasně poskytovat služby, jedná se o 734

pojišťoven, které působí zejména na trhu neživotního pojištění.

Pojišťovnictví

11

3 Základní pojmy

Základem pojištění je objektivní existence rizika, která se může projevit určitou peněžní

ztrátou. Pokud by riziko objektivně neexistovalo, potom by pojištění bylo zřejmě úplně

zbytečné. Protože však riziko objektivně existuje, a to nejen v lidské činnosti, ale i v přírodě

samé, existuje i přirozená lidská snaha o snižování rizika a pravděpodobnosti ztrát, které

mohou být způsobeny. Je samozřejmé, že součástí tohoto snažení je i vytváření podmínek pro

krytí rizika, přičemž jednou z forem tohoto krytí je pojištění.

Pojištění se nám zdá komplikované a často ho nazíráme a vyhodnocujeme ho, pro náš život,

nevhodným způsobem. V životě (ať již soukromém nebo v podnikání) může být člověk

nešťastnou náhodou postižen škodou, která zapříčiní ztrátu celého majetku, ztrátu schopnosti

vydělat si na živobytí nebo ztrátu zdraví a tím i zabezpečení celé rodiny. Finančním dopadům

takovéto skutečnosti však lze účinně předcházet, a to vhodným pojištěním. Složitost pojištění

vyplývá mnohokrát z neznalosti pojistných vztahů, které jsou založeny na ekonomicko-

právním základě.

Předchozí řádky neberte jako doporučení odstranit všemožná rizika ze svého života, je

potřeba vyhodnocovat, co je rizikem, které je potřeba pojistit a které riziko lze nést. Čím je

společnost bohatší, tím menší je ochota brát na sebe riziko. Roste touha mít všechno, ale

neplatit ničím jiným, než penězi (nikoli třeba i tím, že akceptujeme jistou míru rizika). Přitom

uvědomit si riziko a adekvátně se podle toho chovat, je nejlepší ochrana před tím, aby se

riziko převrátilo v nebezpečí.

3.1 Riziko

V první řadě je nutné odlišit pojmy nejistota a riziko, protože v praxi se mezi těmito pojmy

nedělá příliš velký rozdíl.

» Nejistota - jedná se o situaci, kdy nedovedeme určit pravděpodobnost očekávané události,

a proto výsledné stavy nelze popsat rozdělením pravděpodobnosti.

» Riziko - jedná se o situaci, kdy určitý jev nastává s jistou pravděpodobností, resp. kdy

kvantitativní rozsah určitého jevu podléhá jistému rozdělení pravděpodobností.

Objektivní realitou života, každé lidské činnosti i přírody je existence rizik, které neustále

ohrožují jejich stav i výsledek. Riziko z tohoto pohledu může představovat jak zápornou, tak

kladnou odchylku od předpokládaného vývoje nějakého parametru.

Slovo riziko obsahuje pochybnost o budoucnosti, vědomí, že vývoj nás může dostat do horší

situace, než jakou momentálně očekáváme.

Za stejných podmínek v životě i v podnikání se předpokládá stejné riziko. To se projevuje

mimo jiné i tím, že existuje skupina lidí vystavená v určitém období stejným podmínkám

a tedy i stejnému riziku. Jedná se o tzv. členy jednoho rizikového společenství.

Jak už bylo popsáno v předchozí kapitole, odjakživa se lidé v rámci různých společenství

sdružovali a vytvářeli si k ochraně před některými riziky vhodné nástroje. Sem patřily

především fondy určené k náhradě potenciálních škod. V podstatě se jedná o počáteční formy

pojištění.

Činitelům, které mohou výsledek ovlivnit, říkáme rizikové. Tyto faktory nejsou samy o sobě

příčinou škody, mohou však zvýšit nebo snížit následek, pokud by nebezpečí působilo.

Pojišťovnictví

12

Riziko a jeho realizace ovlivňují vznik ztráty. Ztráta je tedy majetková, zdravotní, finanční

či morální újma, která může ale i nemusí být peněžně vyčíslitelná.

V souvislosti s rizikem se často objevuje další pojem, a to je hazard. Jako příklad je možné

použít rizika spojená s technikou. Tato rizika ohrožují člověka daleko méně než přírodní

živly. Největší škody jsou však způsobené selháním lidského faktoru. Jedná se často o hrubé

zanedbání bezpečnostních předpisů, podcenění nebezpečí, které hrozí a podobně.

» Hazard - jedná se o snahu co nejrychleji a s nejnižšími náklady zvládnout stanovený úkol

a dosáhnout stanovený cíl.

Praxe ukazuje, že lidé, kteří jsou soustavně vystavováni rizikům, mají vypěstovaný a naučený

systém předcházení těmto rizikům. Jejich konání je často automatické a podvědomé. Toto je

například vidět u řidičů motorových vozidel, pilotů apod.

3.2 Risk management

Rizika v podnikání, či rizika podnikatelských subjektů jsou kategorizována z různých

hledisek, například na riziko interní a externí, riziko ovlivnitelné a neovlivnitelné, rizika dle

jejich velikosti, riziko skutečné a spekulativní, riziko systematické a riziko nesystematické,

riziko subjektivní a objektivní, riziko fyzické a morální, riziko elementární a specifické.

V následujícím textu se budeme podrobněji věnovat pouze těm klasifikacím, které jsou pro

podnikatelské subjekty nejdůležitější.

Riziko interní a riziko externí

Schopnost podniků nakládat s riziky tak, aby škody, které rizika podnikům způsobí, byly

minimalizovány, je ovlivněna i mírou ovlivnitelnosti toho kterého rizika z úrovně podniku. Ta

je mimo jiné dána i tím, zda je podnik vystaven internímu riziku i externímu riziku.

Mezi interní rizika se řadí ta, která se projevují uvnitř podniku a která je podnikatel schopen

víceméně řídit a ovlivňovat. Jako příklady je možné uvést velikost organizace, finanční síla

organizace, zaměstnanci, výrobky, výrobní procesy. Faktory interních rizik jsou ve vzájemné

interakci a vytvářejí celkové vnitřní riziko.

Externí rizika jsou faktory prostředí, ve kterém podnik musí fungovat, a které jsou vně přímé

kontroly a řízení podniku. Zejména se jedná o obchodní podmínky, legální požadavky

zákazníků, změny u konkurence, ochranu životního prostředí, bezpečnostní situaci, daně,

zaměstnaneckou legislativu, úrokové míry.

Klasifikace rizik podle jejich velikosti

Rizika je možné klasifikovat podle jejich velikosti, a to na základě závažnosti a četnosti,

přičemž závažnost může být charakterizována například velikostí nákladů na škodní událost.

Na rizika je možné se dívat také podle jiných kritérií, kterými mohou být například vliv škody

na výrobní proces, vliv závažnosti škody na celkové náklady podniku, nutnost čerpání

finančních rezerv. Na následujícím obrázku je uvedeno členění rizik podle jejich velikosti.

Jedná se o pětistupňový model, ve kterém je rozlišováno pět velikostí rizika. V praxi je

používán třístupňový model, ale i osmistupňový.

Pojišťovnictví

13

Obrázek 3.2.1 Členění rizik dle jejich velikosti

M - minimální riziko

S - malé riziko

V - střední riziko

Z - velké riziko

K - katastrofální riziko

Riziko pojistitelné a riziko nepojistitelné

Toto členění se uplatňuje při pojišťování a při uvažování o možné pojistné ochraně

v komerčních pojišťovnách.

Riziko pojistitelné je z hlediska komerční pojišťovny takové, na které může komerční

pojišťovna sjednat pojistnou smlouvu, a to na základě pojistně-technických podmínek.

Komerční pojišťovna nepojistí každé riziko, ale jenom ta rizika, při kterých existuje možnost

stanovení pravděpodobnosti škody a její ocenění rizikového vyrovnání v rámci dostatečně

velkého pojistného kmene, či rizikového společenství.

Pojistitelná rizika musí splňovat následující kritéria:

» kritérium identifikovatelnosti - představuje jednoznačné určení příčiny událostí, jejímž

výsledkem byla ztráta, krytá pojištěním; v pojistné smlouvě musí být jednoznačně

charakterizováno každé riziko a pojistná událost;

» kritérium vyčíslitelnosti - pokud by nebylo možné vyčíslit ztráty, potom se vlastní

pojištění nemůže po ekonomické stránce realizovat a nemá smysl; nejlepší jsou vyčíslitelné

přímé věcné ztráty, horší ztráty následné, které vyžadují náročné prokazování a v podstatě

nevyčíslitelné jsou například ztráty morální, které vysloveně závisí na subjektivním

pohledu jedince;

» kritérium ekonomické přijatelnosti rizika - je dáno tím, že pojišťovna přijme do

pojištění jen takové riziko, jež jí nepřinese ztrátu, je ekonomicky vyrovnané;

» kritérium nahodilosti projevu rizika - je jednou z rozhodujících podmínek pojištění;

pokud by byla jistota, že riziko resp. negativní událost skutečně nastane, potom je možné

krytí ztrát jiným způsobem a ne pojištěním.

Riziko, které tyto podmínky nesplňuje, je nepojistitelné riziko. Teoreticky je možné

uvažovat o tom, že neexistuje riziko, které by nebylo pojistitelné a jeho pojistitelnost je

ovlivněna jedině cenou pojistného produktu. Prakticky však musíme připustit, že komerční

pojišťovna přece jen jakékoliv riziko nepojistí a samotné pojištění rizika musí důkladně

zvažovat.

četn

ost

5 S V Z Z K

4 M S V Z K

3 M S V Z Z+K

2 M S V Z Z+K

1 M S V Z Z

1 2 3 4 5

závažnost

Pojišťovnictví

14

3.3 Postoj podnikatelů a managementu k riziku

Postoj podnikatele či manažera k riziku určuje jeho odvahu nést podnikatelské riziko nebo

neochotu k přijetí určitého rizika, která může vést k vyhýbání se podnikatelskému riziku.

Podnikatel může mít:

averzi k riziku - subjekt s averzí k riziku se snaží vyhnout volbě značně rizikových

podnikatelských projektů a vyhledává projekty, které se značnou jistotou zaručují

dosažení výsledků, jež jsou pro ně přijatelné;

sklon k riziku - subjekt se sklonem k riziku vyhledává značně rizikové podnikatelské

projekty (které mají naději na dosažení zvláště dobrých hospodářských výsledků, ale

jsou spojeny i s vyššími ztrátami) a preferuje je před projekty málo rizikovými;

neutrální postoj k riziku - u subjektu s neutrálním postojem jsou sklon a averze

k riziku ve vzájemné rovnováze.

Ochota nést podnikatelské riziko nebo naopak vyhýbání se riziku jsou závislé na více

faktorech. K nejdůležitějším faktorům patří:

osobní založení subjektu - je možné říci, že úspěšným podnikatelem či manažerem

nemůže být osoba s výraznou neochotou nést podnikatelské riziko;

kapitálová síla a velikost podniku - vliv velikosti a kapitálové síly podniku na postoj

jejích manažerů k riziku není jednoznačný; na jedné straně platí, že zatímco pro malý

podnik může realizace určitého podnikatelského projektu představovat nepřijatelné

riziko, pak pro kapitálově silný podnik, který může současně realizovat více projektů,

může být riziko téhož podnikatelského rozhodnutí přijatelné; na druhé straně jsou však

malé a začínající podniky nuceny jít do značných rizik, neboť jinak by nezískaly své

místo na trhu; existence těchto podniků totiž závisí většinou na úspěchu či neúspěchu

jediného podnikatelského projektu;

systém podnikového řízení a podnikové klima - tyto faktory mohou buď podporovat

přípravu a realizaci dosti rizikových podnikatelských projektů, nebo pro ně mohou

vytvářet překážky; důležitý může být například systém motivace a zainteresovanosti.

3.4 Možnosti finančního krytí následků rizik

Mezi možnosti finančního krytí rizik patří samopojištění a dále rozložení rizika na více

subjektů, kam se řadí dohody o vzájemné pomoci mezi podniky, vytvoření společných

finančních fondů, vytvoření družstev, založení kaptivní pojišťovny a v neposlední řadě

komerční pojištění.

Samopojištění

Samopojištění představuje vytvoření takových předpokladů, aby byla každá předpokládaná

ztráta krytá z vlastních zdrojů, přičemž může jít o vlastní prostředky, úvěr nebo kombinaci

těchto dvou forem.

» Vlastní zdroje - představují vytvoření vlastních materiálních nebo peněžních rezerv pro

případ náhrady neočekávané ztráty. Základní podmínkou pro všechny peněžní prostředky

použité pro krytí rizika je jejich okamžitá disponibilita a přiměřenost předpokládané

ztráty.

» Úvěr - je realizován až po vzniku ztráty. Nevyžaduje vytvářet rezervu z vlastních peněžních

zdrojů a tyto je možné použít na jiné účely. Tento přístup však nevede k systematickému

řízení rizika. Nedostatkem tohoto způsobu krytí rizika je, že se podnik začíná o krytí rizika

Pojišťovnictví

15

zajímat až tehdy, kdy vznikne samotná ztráta, čímž se výrazně podceňuje preventivní činnost.

Neexistuje jistota, že bude úvěr poskytnut právě v období, kdy je nevyhnutelné mít

k dispozici prostředky, případně, zda bude poskytnut v požadované výšce. Finanční krytí

rizika prostřednictvím úvěru je drahé a představuje úhradu nejen samotné ztráty, která

vznikla, ale i úroku, který představuje cenu poskytnutého úvěru.

Výhody samopojištění jsou následující

existuje přímá zainteresovanost na snižování a na kontrole rizika ztráty,

rozhodnutí o samopojištění se bude zřejmě omezovat na velké organizace, které mají

mezi svými zaměstnanci kvalifikovaný personál schopný fond spravovat,

zisky z fondu plynou podnikateli nebo občanu, který je jeho vlastníkem,

pravidelně odkládané prostředky mohou být nižší než pojistné, protože nevznikají

náklady na provize makléřů, správu pojištění a zisk pojišťovny,

úrok z investic fondu patří jeho majiteli a může být použit na zvýšení fondu nebo

na snížení jeho tvorby dalšími příspěvky,

náklady na tvorbu vlastních prostředků na krytí případných rizik se nezvyšují kvůli

nepříznivé škodovosti jiných podniků,

nedochází ke sporům s pojistitelem ohledně škod.

Mezi nevýhody samopojištění je možné zařadit

i když je událost z hlediska pravděpodobnosti velmi vzdálená, může škoda vzniknout

kdykoliv, a to i ve formě katastrofální škody, která může způsobit, že se firma natolik

finančně vyčerpá, že výsledkem bude likvidace její činnosti,

i když by firma byla schopna zaplatit každou jednotlivou ztrátu, souhrnný efekt

několika škod za rok by mohl mít stejný dopad jako jedna katastrofální škoda,

zejména v prvních letech vytvořeni fondu,

kapitál musí být krátkodobě vázaný, aby byla zabezpečena jeho okamžitá

disponibilita,

může vzniknout potřeba zvýšit počet zaměstnanců zabývajících se existujícími riziky

za cenu dodatečných nákladů,

účastníci samopojištění ztrácejí možnost získat technické poradenství od pojistitelů

na zábranu rizika,

statistiky o škodovosti firmy vychází z příliš úzkého základu na to, aby se mohly dělat

spolehlivé předpovědi, pokud jde o budoucí škodové náklady a nevytváří se

dostatečná míra plošného a časového vyrovnání rizika,

může dojít ke kritice ze strany akcionářů, že se váží velké částky kapitálu, a to za cenu

dividend apod.,

v dobách krize může vzniknout velký tlak na půjčení si prostředků z fondu a tím

ke zmaření bezpečnosti, kterou tento vytvořil,

může se vytvářet tlak na správce fondu, aby zaplatili ztráty, které jsou mimo původní

účel krytí případných ztrát, a výsledkem toho je snížení fondu pro jeho zamýšlené

účely,

nemůže se uplatnit tzv. „rozptyl rizika“,

příspěvky vložené do fondu se z daňového hlediska ve většině zemí nekvalifikují jako

daňový náklad, na rozdíl od platby pojistného.

Dohoda o vzájemné pomoci mezi podniky

Jedná se o nejstarší způsob řešení finančního krytí rizika. V podstatě jde o dohodu mezi

partnery, dodavateli, přáteli apod., ve které se účastníci zavazují, že se budou spolupodílet

Pojišťovnictví

16

na škodách, které kterýkoli z nich utrpí, anebo že si vzájemně pomohou při jejich

odstraňování. V jednoduché podobě to může být pomoc manuální prací při odstraňování

způsobených škod, pomoc s dodávkou potřebného materiálu, převzetí zboží, poskytnutí

služeb nebo výroby ve jménu poškozeného od dodavatelů apod.

Tato dohoda vyžaduje vysokou míru sounáležitosti a důvěry partnerů, kteří dohodu dojednali.

Do určitého momentu (například při malých a středních rizicích) je nejefektivnějším

způsobem finančního krytí rizika. Neřeší však problém ztrát většího rozsahu, na které nestačí

sousedská výpomoc. Vzhledem k velké konkurenci je tento způsob krytí rizika možné

realizovat snad pouze mezi živnostníky a drobnými podnikateli, a to v České republice i ve

světě.

Vytvoření společných finančních zdrojů (fondů) nebo družstev

Pro případ možnosti větších ztrát se více podnikatelů sdružuje a ukládají společné prostředky

do speciálních fondů. Podle dohodnutých pravidel se tyto prostředky přerozděluji těm členům

sdružení, které postihne nějaká ztráta. Fond může být určen pro jakékoli ztráty, ale ve většině

případů je určen pro přesně definované ztráty.

Toto řešení je výhodné pro malá a střední rizika. Použití těchto prostředků je obyčejně vázáno

dohodnutou maximální výškou pomoci, protože takto sdružené prostředky nejsou dostatečně

velké na řešení mimořádně velkých ztrát. Závažným problémem, který nemůže být

zanedbatelný, je to, že pro případ neočekávaných událostí je možné použít jen tolik

prostředků, kolik společníci do společného fondu vloží. Obvykle se nepočítá s opakováním

událostí a ty potom nejsou finančně kryté.

Při vytvoření družstev se sdružují určité skupiny podnikatelů, kteří jsou ohrožováni stejným

nebo podobným rizikem. Prostředky na krytí případných škodních událostí se získávají ze

dvou různých zdrojů, a to:

z členských příspěvků, které jsou závislé na míře rizika každého člena, nebo

častěji na objemu porovnatelných výkonových ukazatelů jako jsou například tržby,

objem výroby, počet pracovníků,

z podnikatelské činnosti tohoto spolku nebo družstva, která je orientovaná

na rozvoj zdrojů pro potřeby krytí očekávaných ztrát a na náklady, které jsou

nevyhnutelné na správu a činnost sdružení nebo družstva.

Družstva jsou obvykle otevřené společnosti, které přijímají za členy každého, kdo splňuje

podmínky stanov a má zájem být zúčastněný na takovém společném sdružení. Získané

prostředky se rozdělují na základě předem schválených stanov a společníci se stejně podílejí

na zisku a případně i na ztrátě.

Vytvoření kaptivních pojišťoven

Velké společnosti s přiměřeně rozloženým rizikem mohou vytvářet kaptivní pojišťovny jako

dceřiné společnosti, jejichž účelem je realizovat pojištění a pojišťování pro mateřskou

společnost, případně později se kaptivní pojišťovna v oblasti pojišťovací činnosti otvírá i další

klientele. Výhodou je to, že mateřská společnost vloží prostředky, které by jinak vložila do

Pojišťovnictví

17

pojištění (ve formě pojistného) v jiné pojišťovně, do vytvoření kaptivní pojišťovací

společnosti. Přebytek prostředků je pak investován a současně poskytuje mateřské společnosti

pojistnou ochranu.

Otevření kaptivní společnosti pro další klienty zvyšuje možnost dosažení zisku a tím

efektivnosti uložení těchto prostředků. Ve skutečnosti je motivací vytváření kaptivních

společností ze strany mnoha velkých průmyslových koncernů skutečnost, že pojistný trh

nebyl nebo není všeobecně ochotný přebírat zvláštní rizika nebo poskytovat jejich plné krytí.

Soukromé pojištění

Historické zkušenosti a praxe ukazují, že pro finanční uspořádání ztrát je přijatelnější formou

rozložení rizika mezi více subjektů. Sem patří i pojištění jako organizovaná, efektivní forma

vytváření a využívání finančních rezerv, jež se tvoří z pojistného. Pojištěný nemusí mít vlastní

peněžní zdroje na krytí ztrát vzniklých neočekávanou událostí v momentě realizace rizika.

Pojištění se v zásadě vztahuje na události, jejichž vznik závisí na náhodě, je neurčitý, ale

pravděpodobný. Tento fakt platí u jednotlivce a jednotlivého rizika, ale vstupem do pojištění

se mění na statistickou zákonitost.

Problematikou soukromého pojištění se zabývá celá tato studijní opora, tedy všechny

následující kapitoly.

Pojišťovnictví

18

4 Pojistný vztah

Pojištění se uskutečňuje prostřednictvím pojistné smlouvy nebo na základě právního předpisu

tak vznikne pojistný vztah.

Pojistný vztah vzniká mezi pojistiteli a pojistníky, resp. pojištěnými. Pojistitelem může být

právnická osoba, která vykonává pojišťovací činnost například komerční pojišťovna.

Pojistitel musí hospodařit tak, aby byl schopen neustále a trvale plnit své závazky.

Ten, kdo uzavírá pojistnou smlouvu s pojistitelem, je pojistník a jeho povinností je platit

pojistné.

Ten, na jehož rizika se pojištění sjednává, je pojištěný a má právo obdržet od pojišťovny

pojistné plnění v případě vzniku pojistné události. Ve většině případů je pojistník a pojištěný

jedna a táž osoba, ale tato zásada neplatí vždy.

Oprávněnou osobou na převzetí pojistného plnění může být i osoba v době pojištění

neznámá. Například v pojištěních odpovědnosti za škodu, ve kterých pojistitel poskytne (za

pojištěného) pojistné plnění tomu, kdo byl pojištěným poškozen (tj. poškozenému).

V pojištění osob mohou například vystupovat

- osoba, která sjednává pojistnou smlouvu - pojistník,

- osoba, na jejíž zdraví nebo život je pojistná smlouva sjednaná - pojištěný,

- osoba, ve prospěch které se pojistná smlouva sjednává - oprávněná osoba nebo osoba

výhodou poctěná nebo obmyšlený. Osoba, v jejíž prospěch se pojištění sjednává, má

nárok na pojistné plnění, i když není pojištěno její riziko.

Výsledky jakékoliv hospodářské a jiné činnosti odedávna ohrožují a často mění rizika či

nebezpečí, jejichž původ dělíme do třech skupin:

1. síly nezávislé na lidské vůli,

2. činnost jiných lidí,

3. činnost a nedbalost samotných subjektů pojištění.

Znalosti člověka asi nikdy nepřevýší jeho neznalosti o živé a neživé přírodě. Proto bude sotva

kdy možné odstranit všechna rizika spojená s lidskou existencí, společenskou, vědeckou

a hospodářskou činností.

Pojistný vztah je určitá forma společenského spojení osob nebo hospodářských subjektů

a pojistitelů, která má ekonomický charakter. Obsahem je pojistná ochrana klienta.

Pojistný vztah vede k právnímu zabezpečení pojistného plnění. Jde o vztah, který je věcný, dá

se přesně definovat a v rámci něhož existují obchodní partnerské vztahy. Tento pojistný vztah

vzniká na obou stranách s cílem zabezpečit a ochránit hospodářství, zdraví a zájmy

podnikatelů, jednotlivců, firem, organizací a podniků. Jde o vztah, který vzniká mezi

pojištěným a pojistitelem na základě dobrovolné nebo zákonem nařízené okolnosti pro případ

realizace rizika, jehož nebezpečí se jeví pojistiteli jako únosné. Vztahy mezi klienty,

komerčními pojišťovnami, tvorbou pojistných rezerv, výplatou pojistných plnění, resp.

pojistných plnění a finančním podnikáním je vidět na následujícím obrázku.

Pojišťovnictví

19

Obrázek 3.4.1 Schéma pojistných vztahů

Do pojistných rezerv přispívají všichni pojištěnci, avšak pouze ten, u kterého vznikla pojistná

událost, dostane vyplacenou pojistnou náhradu (podle pojistné smlouvy). Získané peněžní

prostředky z pojistného vkládá pojišťovna do pojistných rezerv, které slouží k poskytování

pojistných náhrad v budoucím období. Z pojistných rezerv vyplácí pojistná plnění a též hradí

vlastní náklady a vytváří zisk. Platí přitom zásada, že pojištěný nemůže dostat více, než jaká

je jeho újma (ztráta či škoda), kterou utrpěl pojistnou událostí.

Pojistné rezervy se tvoří z pojistného, jsou nezbytným předpokladem k realizaci pojistného

vztahu a výplatě pojistných plnění při vzniku pojistné události. Tvoří také základ pro tvorbu

peněžně-pojišťovacích vztahů mezi pojišťovnou a jejími klienty. Pojistné vztahy jsou

podstatou pojištění jako ekonomické kategorie a uplatňují se při tvorbě, rozdělení a použití

pojistných rezerv.

Pojistné rezervy, tvořené z pojistného od fyzických a právnických osob, jsou akumulovány

v komerční pojišťovně, která je spravuje a rozděluje. Pojistná metoda tvorby rezerv je

založená na rozvržení nebezpečí vzniku škody mezi všechny pojištěné členy rizikového

společenství.

Pojišťovací způsob rozdělování pojistných rezerv vytváří pojistné vztahy, které jsou

charakteristické určitými typickými principy pojištění:

Solidárnost - znamená, že pojistníci společně přispívají pojistnými příspěvky, tj. pojistným

do pojistných rezerv. Respektují zároveň to, že pojistné náhrady či pojistná plnění jsou

poskytovány jenom těm členům společenství, kteří měli pojistnou událost.

Podmíněná návratnost vložených prostředků - znamená, že pojistné plnění se poskytne

pojištěnému pouze v případě, pokud nastane pojistná událost, která byla předem dohodnutá

v pojistné smlouvě a v pojistných podmínkách.

Neekvivalentnost - znamená, že pojistné náhrady nejsou závislé na výši zaplaceného

pojistného. Pojistné náhrady či pojistná plnění tedy mohou být větší nebo menší než je

pojistné, které bylo doposud zaplaceno.

Jednotlivec, občan i podnikatel musí s určitou pravděpodobností počítat s přímo

katastrofickým vývojem událostí, a tedy i s vytvořením tomuto očekávání přiměřené rezervy.

Pojištění naopak počítá s určitou vyrovnaností rizika v prostoru i čase. Takový postup

Komerční pojišťovna

Klienti (obyvatelstvo, podnikatelé)

Pojistka Pojistné

Pojistné rezervy

Pojistná plnění

Finanční trh

Podíl na výnosech

Pojišťovnictví

20

umožňuje z výpočtů vyloučit extrémní případy a zprůměrovat celkový vývoj možných

škodových případů a rozsah možných škod. Na tom pak lze postavit i výši pojistného.

Povinnosti z pojištění obecně začínají plynout nultou hodinu následujícího dne po dni

uzavření pojistné smlouvy. Je však možné dohodnout i jiný termín, nebo je dohodnut způsob,

jakým bude termín určen

Podmínky vzniku a zániku pojištění jsou uvedeny v právním předpise (zákoně), ve

všeobecných pojistných podmínkách nebo v pojistné smlouvě uzavřené s komerční

pojišťovnou.

4.1 Zájem o pojištění

Zájem o pojištění představuje reálné právo pojistit se a znamená to, že osoba dojednávající

pojištění má určitý, právně uznávaný vztah k předmětu pojištění. Proto se hovoří o:

vztahu vlastníka - vlastní-li osoba dům nebo auto, má na nich pojistný zájem, protože

budou-li jakýmkoli způsobem poškozeny (nebo ztraceny), utrpí ztrátu ve výši této

škody;

půjčce předmětu - osoba má pojistný zájem na předmětu, který si vypůjčila, protože jej

bude muset nahradit, bude-li zničen nebo ukraden; příkladem může být auto či

sekačka na trávu; půjčí-li takový předmět někomu, zůstane její, takže pojistný zájem

na něm mají obě strany.

Jednotlivec má neomezený pojistný zájem na svém vlastním životě a může jej pojistit

na jakoukoli částku, pokud si může dovolit platit pojistné. Má pojistný zájem na životě své

manželky (manžela) a obráceně.

Nemá pojistný zájem na životě svých dětí nebo kterýchkoli dalších příbuzných, kromě

skromného krytí, které by uhradilo výdaje spojené s pohřbem.

Pojistit lze také život osoby, která dluží jiné osobě peníze, třebaže obvyklá praxe je taková, že

se na této osobě požaduje, aby uzavřela pojištění svého života na dlužnou částku a postoupila

právo na výnosy z pojistky (tzn., postoupila právo na pojistné plnění), dokud nebude půjčka

splacena. Postup práv znamená podpis dokumentu, kterým převádí práva na výplatu peněz

z pojistky na osobu, které pojištěná osoba dluží peníze.

Pojištění cizího pojistného rizika

Podle nového občanského zákoníku (dále jen NOZ) ten, kdo s pojistitelem uzavírá pojistnou

smlouvu (pojistník), nemusí být ve všech případech současně pojištěným, tj. osobou, na jejíž

život, zdraví, věc, právo, odpovědnost za škodu nebo jinou hodnotu pojistného zájmu se

pojištění vztahuje. Pojistník je pak povinen seznámit pojištěného s obsahem pojistné smlouvy

týkající se pojištění jeho pojistného rizika.

Právo na pojistné plnění může pojistník uplatnit pouze tehdy, jestliže prokáže, že seznámil

pojištěného s obsahem pojistné smlouvy týkající se pojištění jeho pojistného rizika a jestliže

prokáže, že mu byl k přijetí pojistného plnění dán souhlas pojištěného, popřípadě zákonného

zástupce takové osoby, není-li zákonným zástupcem pojistník sám.

Pojistný zájem je výrazně ovlivněn nejen objektivní existencí konkrétního rizika, ale také

pojistným, jež představuje cenu pojišťovací služby. Komerční pojišťovna musí vždy počítat

s tím, že riziko, které do pojištění převzala, bude mít jiný škodní průběh, než je odhad ceny

rizika.

Nebezpečí nesprávného ohodnocení rizika spočívá v možnosti nesprávného odhadu doby,

rozsahu a nezávislosti vzniku pojistné události. V případě komerční pojišťovny je míra

Pojišťovnictví

21

nebezpečí závislá i na tom, zda se jí podaří v jednotlivých pojistných druzích nebo odvětvích

dosáhnout rizikové vyrovnání (získat dostatečný počet pojištění).

Každý z partnerů pojišťování má jinou představu o pojištění a jeho výsledcích. Pojištěný má

snahu z pojištění získat nejméně tolik, kolik do něho vložil na pojistném a pojišťovna chce při

splnění svých závazků vyplývajících ze spravovaných pojištění dosáhnout zisk. Pojistný

zájem je kromě přímé existence rizika ovlivňovaný závažností rizika, četnosti událostí,

výškou ztráty a cenou pojištění.

Svou úlohu zde sehrávají i zvyklosti a zkušenosti klientů, přičemž v určité etapě ekonomicko-

sociálního vývoje je rozhodujícím kritériem často právě cena pojištění. Čím je četnost

událostí a závažnost rizika vyšší, tím je i pojistný zájem vyšší a naopak. Tuto skutečnost

je možné promítnout v už známém pětistupňovém systému hodnocení rizika dle jeho

velikosti. Na následujícím obrázku je znázorněn vztah četnosti a závažnosti rizika k jeho

pojistitelnosti.

Obrázek 4.1.1 Vztah četnosti a závažnosti rizika k jeho pojistitelnosti

Pokud rizika spadají do katastrofálního pásma nebo velmi nepříznivého klasifikačního

pásma spočívají opatření k omezení rizika ve stanovení postupů pro případ nepředvídaných

událostí a na řízení krizových situací. Jedná se o poslední opatření, která dovolují subjektu

zvládnout katastrofu a snížit její dopad v případě, že zavedená opatření selhala.

Jde o rizika s vysokou četností a vysokou závažností, což vede k možnosti jejich plánování

na straně jedné a na straně druhé vytváří nevyhnutelnost výrazněji se zaobírat otázkou

prevence. Jde také o velmi vysoké riziko ve vykonávané činnosti a vzniká otázka, zda je

vůbec možné takovou rizikovou činnost vykonávat. Komerční pojišťovny v tomto případě

postupují velmi opatrně a pojištění sjednávají jen za vysoké pojistné nebo pojištění

nesjednávají vůbec. V neposlední řadě tato rizika vytvářejí ekonomickou nevyrovnanost

pojištění a jsou pro komerční pojišťovnu ekonomicky neúnosná.

Ve středním pásmu, které často přesahuje do okolních klasifikačních pásem, leží většina

rizik, se kterými se může podnikatel potkat. Horní část středního pásma představuje rizika

s vysokou četností jejich vzniku a jde tedy o rizika plánovatelná, na něž je možné vytvořit si

vlastní zdroje. Tato rizika nesplňuji základní podmínku pojistitelnosti, kterou je nahodilost.

četn

ost

5 S V Z Z K

4 M S V Z K

3 M S V Z Z+K

2 M S V Z Z+K

1 M S V Z Z

1 2 3 4 5

závažnost

Není nutné pojistit

Samopojištění

Kombinace

samopojištění

a pojištění

Pojištění

Nerealizovat

Pojišťovnictví

22

Střední část středního pásma představuje rizika se střední hodnotou četnosti a závažnosti ztrát.

To předurčuje využít kombinaci samopojištění a pojištění, přičemž postupně střední pásmo

přechází ve spodní části do pojištění.

Dolní pásmo mírných a malých rizik ukazuje nízkou úroveň vystavení riziku. V těchto

případech bývají nejefektivnější školení, motivace a praktické kroky, protože opatření nemají

investiční charakter a vyžadují jen čas a angažování pracovníků. Pojištění je zde vlastně

nepotřebné. Malá četnost a malá závažnost vytváří předpoklady pro to, aby podnikatel snášel

případné ztráty sám bez toho, aby to ohrozilo jeho hospodářskou situaci. Jiný pohled ukazuje

následující obrázek.

Obrázek 4.1.1 Vztah pojistného zájmu k četnosti a závažnosti rizika

Tmavě vyznačená oblast A

Světle vyznačená oblast B

M - minimální riziko

S - malé riziko

V - střední riziko

Z - velké riziko

K - katastrofální riziko

Plocha „A" představuje malý pojistný

zájem, který vyplývá z toho, že se jedná o:

- možnost vzniku malých ztrát s malou až střední četností událostí;

- vznik ztrát se střední a velkou závažností, ale malou četností.

Tyto události jsou pro podnikatelské subjekty velmi vzdálené a tím se zdají být jako málo

pravděpodobné, přičemž každá událost může vzniknout v každém okamžiku. Tento přístup,

který představuje podcenění rizika, je velmi nebezpečný zejména v oblasti, kde se přibližuje

velké a katastrofické závažnosti rizika.

Plocha „B" představuje pojistný zájem, který je orientovaný na řešení událostí s poměrně

vysokou četností vzniku škodních událostí. Jestliže se má realizovat pojištění, potom se musí

projevit snaha obou partnerů pojistného vztahu, aby se při dodržení ekonomických pravidel

pojištění přiblížili v pojistném zájmu. Cena pojištění musí rozhodně odpovídat finančním

možnostem klienta, jinak je pojištění z dlouhodobého hlediska nestabilní.

Z pohledu komerční pojišťovny jsou do pojištění nepřijatelná zejména rizika

s vysokou škodovostí, kdy je pojištění ekonomicky nevyrovnané a jeho vyrovnanost

by způsobila zvýšení ceny pojištění nad možnosti pojistníka;

s vysokou četností událostí, kdy události postupně ztrácejí charakter náhodnosti a tím

nesplňují základní podmínku pro pojištění; současně musí komerční pojišťovna

vynaložit vysoké náklady na likvidaci drobných škod, čímž není pojistné ekonomicky

vyrovnané.

četn

ost

5 S V Z Z K

4 M S V Z K

3 M S V Z Z+K

2 M S V Z Z+K

1 M S V Z Z

1 2 3 4 5

závažnost

Pojišťovnictví

23

5 Klasifikace pojištění

Pojišťovny nabízejí a realizují množství pojištění, které je třeba třídit, rozdělovat

a klasifikovat podle různých kritérií. Klasifikace a třídění umožňují lepší orientaci

v pojistných produktech, pojistných odvětvích a jednotlivých pojištěních. Názory ekonomů

v teorii i hospodářské praxi na klasifikaci a třídění pojištění nejsou jednotné. Existují různé

klasifikace pojištění, z nichž si ty nejpoužívanější uvedeme v následujícím textu.

5.1 Klasifikace pojištění podle formy vzniku pojištění

Pojištění může vznikat v několika formách jako

• smluvní pojištění

- dobrovolné

- povinné

• zákonné pojištění

Smluvní dobrovolné pojištění

Pojistný vztah vzniká dobrovolně, na základě vlastního projevu vůle určitého subjektu

zabezpečit se pojištěním. Pojistný vztah mezi pojištěným a pojišťovnou vzniká uzavřením

pojistné smlouvy.

Pro pojistníka vzniká:

povinnost platit pojistné v dohodnutých splátkách;

povinnost oznámit pojišťovně všechny důležité skutečnosti, které mají vliv na průběh

pojištění a jeho správu;

právo na pojistné plnění, pro oprávněnou osobu, jestliže pojistnou událost, ve

stanoveném termínu ohlásí pojišťovně.

Pro komerční pojišťovnu (pojistitele) vzniká:

právo na pojistné,

povinnost pojištění spravovat a poskytnout pojistné plnění (resp. pojistnou náhradu)

v případě vzniku pojistné události.

Toto pojištění je nejstarším a nejobvyklejším způsobem vzniku pojistného právního vztahu

mezi pojistitelem a pojištěným, resp. pojistníkem. Zde je v plném rozsahu respektována

smluvní volnost jeho účastníků i jejich rovné postavení. V případě pojistného zájmu má

pojistník možnost vybrat si pojistitele, který je požadované pojištění oprávněn provozovat

a jehož pojistné podmínky mu nejlépe vyhovují.

S dobrovolností tohoto pojištění souvisí i možnost získání určitých modifikací ve vztahu

ke škodnímu průběhu sjednaného pojištění (tj. malus či bonus) a zároveň i možnost

stanoveným způsobem v případě potřeby tento vztah ukončit pokud nezanikne přímo ze

zákona.

Zákonodárce však má někdy zájem, aby některá rizika byla pojištěna bez ohledu na to, zda to

subjekty pojištění chtějí nebo nechtějí. Jde o případy rizika s možností vzniku i vyšších škod,

kde se obyčejně pojištěním chrání ten, který na vznik rizika, resp. jeho následků, nemá žádný

vliv. Takto se ustanovují smluvní povinná pojištění a zákonná pojištění.

Pojišťovnictví

24

Smluvní povinné pojištění

Vznik smluvního povinného pojištění je daný právním předpisem, který určuje činnosti, kde

je povinnost hospodářských subjektů nebo občanů sjednat s pojišťovnou pojistnou smlouvu.

Není-li pojistná smlouva na pojistné riziko uzavřená, nepovolí příslušný státní orgán výkon

této činnosti. Pojištění je zaměřené na odpovědnost za škodu, která může touto činností

vzniknout. Jedná se například o výkon lovecké či myslivecké činnosti, provoz vozidel, provoz

civilní letecké dopravy a podobně. Rozvojem tržního hospodářství se tato forma vzniku

pojištění rozšiřuje i na další skupiny činností, jako je činnost lékařů, auditorů, daňových

poradců, licenčních zástupců, zvěrolékařů, pojišťovacích zprostředkovatelů a podobně.

Smluvní povinné pojištění má obdobnou úlohu jako zákonné pojištění. Tato úloha spočívá

především v ochraně proti následkům a škodám z činností, které mohou být zdrojem

zvýšeného rizika. Zabezpečují se tak poškození, a to možností úhrady škod tímto rizikem

způsobených, a to i v případě, kdy škůdce, tj. odpovědná osoba by sama neměla dostatek

peněžních prostředků k úhradě. V poslední době došlo ke zvýšení počtu těchto smluvních

povinných pojištění, zejména v oblasti soukromého podnikání. Jde hlavně o vybrané profese,

kde povinnost sjednat příslušnou pojistnou smlouvu ukládají právní předpisy upravující

i podmínky těchto profesí.

Na rozdíl od zákonného pojištění je tato forma pružnější, dává možnost určitého výběru

pojistitelů a rizik a umožňuje i využití některých stimulů, jako je například bonus a malus,

neboť je založeno na konkrétní pojistné smlouvě.

Zákonné pojištění

Při zákonném pojištění vzniká pojistný vztah na základě právního předpisu a pojistná smlouva

se neuzavírá. Právní předpis určuje všechny náležitosti pojistného vztahu včetně pojišťovny,

která pojištění vykonává, výši pojistného, pojistné podmínky a podobně, pojištění je dále

v platnosti bez ohledu na to, jestli bylo nebo nebylo zaplacené pojistné na příslušné období.

Nezaplacením pojistného se porušuje zákon se všemi důsledky, které z toho vznikají a jsou

uvedeny v právním předpise. V moderním hospodářství se od této formy pojištění ustupuje,

protože jde o příkazovou formu, která omezuje rozhodování pojištěného i pojistitele. Z tohoto

důvodu se zákonná pojištění přetransformovávají na smluvní povinná pojištění.

Zákonné pojištění vzniká automaticky přímo ze zákona, dojde-li ke skutečnosti, s níž zákon

vznik tohoto pojištění spojuje a trvá po celou dobu existence této skutečnosti bez Pojistné

smlouvy a bez ohledu na vůli jeho účastníků. Tato forma byla zavedena v těch případech, kde

zájem na existenci pojištění vyžaduje, aby působilo bez ohledu na vůli subjektů, s jejichž

činností je spojeno zvýšené riziko vzniku škod, a není jisté, zda by vždy byla zaručena

náhrada škody z jejich peněžních prostředků.

5.2 Klasifikace pojištění podle způsobu tvorby rezerv

Podle způsobu tvorby rezerv se rozlišují:

Riziková či neživotní pojištění » pojištění, ve kterém pojistitel neví jednoznačně, jestli

pojistná událost vznikne nebo ne, jestli bude poskytovat pojistné plnění a v jaké výši.

Jedná se o všechna pojištění majetku, odpovědnosti za škodu, úrazu, léčebných výloh aj.

Pojišťovnictví

25

Pojistná rezerva se stanoví podle rozsahu pojištěného rizika a pravděpodobnosti vzniku

pojistných událostí a také podle rozsahu způsobených škod.

Rezervotvorná či životní pojištění » pojištění, ve kterém se vytváří vždy pojistná rezerva

na pojistné události. Jde o pojistné události, které jednoznačně v budoucnosti vzniknou.

Je to hlavně pojištění osob (životní a důchodové), kde se vyplatí pojistné plnění při dožití

se konce pojistného období nebo při úmrtí po dobu platnosti pojištění.

Tato klasifikace se používá v České republice, a to podle zákona o pojišťovnictví č. 277/2009

5.3 Klasifikace pojištění podle předmětu pojištění

Podle této klasifikace se rozlišuje:

pojištění majetku » pojištění majetku pro případ realizace rizik poškození, zničení,

ztráty a odcizení nebo jiných škod, které na něm vzniknou,

pojištění osob » pojištění fyzické osoby pro případ jejího tělesného poškození, smrti,

dožití určitého věku nebo pro případ jiné pojistné události související se životem osob,

pojištění odpovědnosti za škodu » pojištění odpovědnosti za škodu vzniklou

na životě a zdraví nebo na věci, případně odpovědnosti za jinou majetkovou škodu.

Tato klasifikace se také používá v České republice, a to podle občanského zákoníku.

Pojišťovnictví

26

6 Zajištění

Zajištění představuje opakované nebo druhé pojištění, což znamená, že se jedná o pojištění

pojišťovny.

Zajištění má poměrně dlouhou tradici, ale jeho skutečný význam je spojený s industrializací.

V posledních desetiletích v důsledku silné industrializace vznikl obrovský potenciál větších

rizik, i mezinárodního významu, u velkých komplexů a zdrojů nebezpečí, která často

přesahují možnosti jediného pojistitele a v některých případech možnosti celého pojistného

trhu příslušného regionu.

Je možné vzpomenout například koncentraci velkých materiálních hodnot na malých

plochách, kde se pojistné částky pohybují v rozsahu několika miliard eur, na které se pojišťují

světoznámé automobilky, velkokapacitní tankery a letadla.

Napojení mezinárodního zajišťovacího trhu při rozšiřování kapacity pojišťoven sehrává

důležitou úlohu z hlediska kvantitativního a zároveň umožňuje lehčí a rychlejší zavedení

nových pojistných produktů. V současných, neustále se měnících, mezinárodních pojistných

podmínkách je čím dál obtížnější nabízet a prodávat pojišťovací služby v jejich tradičních

formách. Na tuto situaci mají vliv i různé faktory, jako například prodej na dlouhodobý úvěr,

restriktivní právní předpisy v různých zemích, mezinárodní konkurence a vliv prudkého

technického rozvoje ve světě. Pojišťovny jsou v plné míře vystavené těmto nepříznivým

faktorům, a jestliže chtějí i nadále poskytovat pojišťovací služby odpovídající potřebám

podnikatelů, organizací zahraničního obchodu, jednotlivcům, musí najít adekvátní formy

pojistného krytí.

Problematika zajištění je tedy velice významná v souvislosti s rozvíjejícím se pojistným trhem

v každé tržní ekonomice. V České republice je právně zakotvena úprava týkající se zajištění

a zajišťoven v zákoně o pojišťovnictví.

Základ zajišťovací činnosti

Smyslem je vertikální rozklad rizika, jehož hlavním zájmem je zmenšování dopadu

pojistně-technických rizik. Samotná zajišťovací činnost nemá za následek zmenšení rozsahu

škod, ale činí již vzniklé škody pro pojišťovnu ekonomicky únosnější.

Zajištění tedy představuje vztah mezi pojistitelem a zajistitelem. Při zajišťovací činnosti se

používá tzv. několikanásobné zajištění v zájmu diverzifikace rizika.

6.1 Zajištění a jeho úkoly

S činností každé pojišťovací společnosti souvisí riziko nepříznivého výsledku finančního

hospodaření, je to tzv. pojistně-technické riziko. V praxi se projevuje jako potenciální

možnost vzniku negativní odchylky od očekávaných výsledků, tzv. technické ztráty.

Jednou z možností snižování působení pojistně-technického rizika je tedy zajištění.

Charakteristika zajištění

souhrn pojistných vztahů, při kterých se riziko rozděluje vertikálně;

samostatná oblast pojišťovnictví, která je charakterizována přerozdělováním

technických rezerv, především v zájmu snižování pojistně technického rizika;

někdy se označuje jako pojištění v tom smyslu, že se jedná o další pojištění rizika

převzatého pojistitelem, u zajistitele;

při zajištění odpovídá za závazky uvedené v pojistné smlouvě výhradně první

pojistitel;

Pojišťovnictví

27

vztah výhradně mezi pojistitelem (zajistníkem) a zajistitelem (viz následující obrázek);

zajistitel může přitom část převzatého rizika postoupit dalšímu zajistiteli.

Obrázek 6.1.1 Vztahy subjektů pojištění a zajištění

Zajistné je odměna zajistiteli za převzetí rizika. Zajišťovací provize je pak část zajistného,

která se vrací pojistiteli. Představuje příspěvek zajistitele na úhradu správních nákladů

pojistitele. Zajišťovací provize se pohybuje zpravidla v rozpětí od 5 – 35 %. Procento

zajišťovací provize je většinou pevné, vyskytuje se však i pohyblivá sazba, a to v závislosti

na škodním průběhu.

Zajištění se projevuje jak po stránce technické, která spočívá v rozdělování rizik, tak i po

stránce peněžní.

Technická stránka zajištění

chrání pojišťovny před nadměrným růstem škodovosti, ať už v důsledku sporadických

velkých škod, nebo nahromaděním velkého počtu běžných škod; oba jevy způsobují

značnou odchylku od průměrné škodovosti;

umožňuje pojistiteli přijímat do pojištění i rizika, která převyšují jeho kapacitu;

přispívá pojistiteli k vyššímu zisku ve formě zajišťovací provize, obdržené

od zajistitele.

Peněžní stránka zajištění

vede k opětovnému přesunu prostředků od zajistitele k pojistiteli v případě pojistné

události, a to v míře odpovídající vzniklým škodám;

má navazovat na záruky, které poskytuje zajistitel a na jejich důsledky; jde o snášení

větší nebo menší části náhrad, které se dostávají k dispozici cedentům, tj. pojistitelům

od zajistitelů.

Zajištění plní několik významných úloh, z kterých jsou nejdůležitější:

• Pojištěný

pojistná smlouva

• Prvopojistitel

zajišťovací smlouva

• Zajistitel

Pojišťovnictví

28

- rozdrobení rizika - zajištěním se pojistitel zbavuje části rizika, jehož pojistná částka

je vyšší než chce pojistit, nebo udržet na vlastní vrub; zajištění takto rozdrobí pojištěná

rizika a rozloží náhradu škody tak, že pojistitel ani zajistitel nebudou mít problémy

s výplatou pojistného plnění, každý z nich tak zaplatí ve výši svého podílu uvedeného

ve smlouvě o zajištění;

- homogenita pojistného kmene - je dána možnost pojistný kmen homogenizovat co

do vlastností rizika, po stránce kvalitativní i kvantitativní;

- stabilizační úloha - zajištění zmírňuje účinek kolísání škodního průběhu, a tím slouží

jako stabilizační činitel; na krytí výkyvů ve škodním průběhu slouží jednak pojistné

rezervy a také zajištění;

- zvyšování kapacity komerční pojišťovny - pojišťovna prostřednictvím zajišťovacích

smluv má možnost přijmout do pojištění vyšší částky a další rizika; částky, které by

převýšily limit pro její vlastní vrub, odevzdá do zajištění;

- kontakty se zahraničními pojistnými trhy - zajištění má totiž mezinárodní

charakter; umožňuje sledovat vývoj pojistného a tarifní politiky zahraničních

pojistitelů a konfrontovat ji s domácí praxí a zkušenostmi;

- psychologická úloha - zajištění má velký psychologický význam tím, že jiné

komerční pojišťovny, smluvně zainteresované prostřednictvím zajištění, mají stejné

zájmy - například při nakládání, přepravě, překládání a vykládání pojištěného zboží,

při jeho montáži a podobně.

I když je zajištění pojištěním pojistitele, existuje mezi zajištěním a normálním pojištěním řada

odlišností, a to například:

- pojistitel odpovídá za velký počet majetkových předmětů patřících mnoha majitelům,

- pojistitel uzavírá pojistné smlouvy s velkým počtem pojistníků, s každým osobně,

- povinnost pojistitele uhradit pojištěnému pojistné plnění závisí na výši škody a dohodnuté

částce pojistné smlouvy,

- zajistitel se svou odpovědností dotýká jen majetkových zájmů pojistitele,

- zajistitel uzavírá zajišťovací smlouvu jen s daným pojistitelem a tato smlouva může

obsahovat ne jedno, ale všechna rizika určitých pojištění, případně pojistného kmene,

- povinností zajistitele je uhradit pojistiteli část realizovaných pojistných plnění, které

závisí na výši jím přijatého podílu,

- mezi pojistníkem a zajistitelem nevzniká právní vztah a pojistník nemá vůči zajistiteli

žádné nároky.

V tržním hospodářství představují pojišťovny a zajišťovny, společně s bankami, místa, kde se

dá výhodně uložit kapitál. Zajištění je neodmyslitelnou činností pojišťoven a pojišťovnictví,

tato činnost je realizovaná na základě odevzdání určitého podílu rizika pojišťovnou

zajišťovně. Zajišťovna proto není konkurencí pojišťovny.

6.2 Formy zajištění

Zajištění dělíme prvotně na aktivní (též převzaté), kde jde o přijímání rizika do zajištění,

a pasivní (též odevzdané), kde jde o odevzdávání rizika do zajištění.

Pojišťovnictví

29

V závislosti na vztazích, do nichž vstupují pojistitel a zajistitel, se uplatňují různé typy

zajištění. Liší se především ve vztahu mezi prvopojistitelem a zajistitelem.

Zajištění mezi prvopojistitelem a zajistitelem se může uskutečňovat ve formě:

fakultativně - fakultativní či nepovinná - znamená pro oba (obě strany partnerství) úplnou

volnost: prvopojistitel se volně rozhoduje, které riziko a jakou jeho část odevzdá do zajištění

a zajistitel se podle konkrétních podmínek rozhodne, zda riziko, resp. jeho část do zajištění

přijme, každá zajistná smlouva se uzavírá jednotlivě;

fakultativně - obligatorní - je závazná jen pro jednu stranu, a to pro zajistitele; prvopojistitel,

tak jako při předcházející formě, se volně rozhoduje pro zajištění; zajistitel je povinen převzít

do zajištění každé riziko, které mu prvopojistitel odevzdá (ceduje); tato forma je však pro

zajistitele nevýhodná, a proto se v praxi nepoužívá;

obligatorně - obligatorní či povinné - je zajištění smluvní, při němž se sjednává rámcová

smlouva o zajišťování všech obchodů stejného rizika pro řadu stále se opakujících případů

zajištění; tato forma zavazuje oba partnery; jeden je povinen odevzdat do zajištění

dohodnutou část rizika a druhý je povinen tuto část rizika přijmout;

obligatorně - fakultativní - pojistitel se zavazuje cedovat část z každého převzatého rizika

a zajistitel může, ale nemusí takto nabízenou část rizika převzít.

6.3 Soupojištění

Zajištění není jediným prostředkem rozdrobení rizika. Dalším způsobem, z historického

hlediska dokonce starším, je soupojištění:

- podstatou je horizontální členění rizika mezi více pojišťovacích institucí (pojistitelů), kteří

odpovídají za své podíly z celkového rizika;

- někdy se uzavírá i více pojistných smluv;

- platí zásada pojišťovny Lloyd's: „každý za sebe, nikdo za druhého“.

Soupojištění představuje primární rozdělení rizika. Pojistník uzavírá pojistnou smlouvu

přímo se všemi pojistiteli, kteří se převzatou částkou zúčastňují na riziku. Smluvní vztah,

který vzniká při soupojištění, je znázorněn na dalším obrázku.

Obrázek 6.3.1 Soupojištění - dělení rizika mezi více pojistitelů

Při takovéto formě smluvního partnerství může nastat situace, a nic nemění na původním

vztahu, že jeden z pojistitelů za zvláštní prémii či odměnu bude dělat zprostředkovatele mezi

pojistníkem a ostatními pojistiteli, kteří se zúčastňují na rozložení daného pojistného rizika.

Pojis

tník

Pojistitel 1

Pojistitel 2

Pojistitel 3

Pojistitel 4

Pojistitel 5

Pojišťovnictví

30

6.4 Zajišťovací smlouva

Zajišťovací smlouvu je možné definovat jako aleatorní (tj. odvážnou), protože obsahuje

závazky budoucích plnění, které není možné přesně stanovit v době jejího uzavření. Musí mít

vždy písemnou podobu.

Zajišťovací smlouva představuje na mezinárodních zajišťovacích trzích zboží, které má do

jisté míry specifické vlastnosti. Toto zboží je nabízené i, obrazně řečeno, nakupované.

Na rozdíl od ostatního zboží je však zajišťovací smlouva trvale pod dohledem a kontrolou

zúčastněných stran, které mohou i společně působit na její další vývoj dohodou o úpravách

jejího smluvního obsahu. Zajištění se na rozdíl od pojištění vykonává jen na základě smlouvy,

tj. dohody mezi pojistitelem a zajistitelem.

Ustanovení zajišťovací smlouvy je možné rozčlenit na ustanovení hospodářsko-

administrativní. Souhrn těchto ustanovení vymezuje dopředu stanovené parametry zajišťovací

smlouvy jednak technického rázu a jednak hospodářského rázu. U zajišťovacích smluv

klasických způsobů zajištění jsou tato ustanovení uspořádána ve stylizačně ustálené formě.

Uzavřením zajišťovací smlouvy se hovoří o realizaci nákupu a prodeje zajistné ochrany za

určitých, dopředu stanovených podmínek.

Kvalitu zajišťovacích smluv je možné posuzovat ze dvou hledisek

z hlediska cedenta - je považovaná za kvalitní taková zajišťovací smlouva, která

vykazuje nízké náklady na zajištění, při technicky dokonalém působení zajistné

ochrany poskytované zajišťovatelem;

z hlediska zajistitele - je považovaná za kvalitní a atraktivní taková zajišťovací

smlouva, která mu po jeho intervencích z titulu náhrad v případě velkých škod přináší

v dalších dostatečně dlouhých obdobích zisk.

Pro posuzování zajišťovací smlouvy z obou uvedených hledisek jsou důležité hodnotové

ukazatele vyjadřující působnost zajišťovací smlouvy v podobě tzv. technických výsledků ze

zajištění. Tyto kvantitativní parametry zajišťovacích smluv poskytují možnost uskutečnění

hlubších průzkumů zajišťovacích smluv.

Předmětem zajišťovací smlouvy je převzetí rizika nebo jeho části, které je pojištěné

pojistitelem. Tento je povinen vést statistiku o škodách za účelem správného odhadu rizika,

pojistného fondu, frekvence škod a podobně. Kromě toho se pojistitel zúčastňuje zábranné

činnosti a zajištění.

6.5 Pojišťovací pooly

Pro pojištění devastačních škod typu jaderné nebezpečí jsou vytvářeny pojišťovací pooly.

Více pojistitelů, uzavírá vzájemnou dohodu o společném postupu při soukromém pojištění

určitých pojistných rizik, a to jménem a na účet všech pojistitelů. Tato dohoda určuje

vedoucího pojistitele nebo vytváří orgán k plnění společných povinností atd. Důvodem pro

založení poolu může být například docílení dostatečné kapacity pro pojištění velkých rizik

(atomové elektrárny) nebo pojištění rizik, která by byla jednotlivými pojistiteli v některých

zemích nepojistitelná, např. pojištění nových rizik (terorismu).

Pojišťovnictví

31

7 Úvod do problematiky pojistného práva

Pojistné právo představuje souhrn právních norem obsažených v obecně závazných

předpisech, týkajících se pojištění a pojišťovnictví a člení se na veřejné a soukromé. V tomto

základním rozdělení, obvyklém ve všech vyspělých státech, se podle rozsahu rozlišuje širší

a užší pojetí.

Širší pojetí pojistného práva

- představuje souhrn všech právních norem, které tuto sféru upravují komplexně, tedy

uvedená specifika se zahrnutím obecně závazných právních předpisů platných i pro

jiná odvětví práva;

- pojištění a pojišťovnictví je jedním z mála oborů, kterého se týkají všechna právní

odvětví, přičemž svým rozsahem, složitostí a rozmanitostí je tato vazba s jiným obory

téměř nesrovnatelná;

- z celkového rozsahu právních norem je účelné upozornit alespoň na obecná ustanovení

občanského zákoníku, ustanovení o obchodních korporacích v zákoně o obchodních

korporacích, devizové a daňové předpisy, předpisy o správním řízení, ale i trestní

právo.

Užší pojetí pojistného práva

- představuje souhrn právních norem upravujících specifika pojištění a pojišťovnictví,

tedy odlišnosti nad rámec obecné právní úpravy.

Zájmy státu vyjadřuje a zabezpečuje veřejnoprávní úprava, která se týká zejména

pojišťovnictví, jako systému a pravidel provozování činností patřících do tohoto odvětví

a podmínek podnikání v pojišťovnictví včetně státního dozoru v této oblasti. Základem této

právní úpravy je v současnosti

- zákon č. 277/2009 Sb., o pojišťovnictví, ve znění pozdějších předpisů;

- zákon č. 89/2012 Sb., občanský zákoník. Součástí tohoto nového občanského

zákoníku (dále jen NOZ) je úprava pojistné smlouvy v § 2758 až 2872. (Zákon č.

37/2004 Sb., o pojistné smlouvě se 1. ledna 2014, zrušuje.);

- zákon č. 38/2004 Sb., o pojišťovacích zprostředkovatelích a samostatných

likvidátorech pojistných událostí a o změně živnostenského zákona (zákon

o pojišťovacích zprostředkovatelích a pojistných likvidátorech).

7.1 Zákon o pojišťovnictví

V následujícím textu si stručně popíšeme základní ustanovení daného zákona.

» Předmět úpravy zákona o pojišťovnictví

Zákon upravuje:

provozování pojišťovací a zajišťovací činnosti pojišťovnou nebo zajišťovnou se

sídlem na území České republiky,

provozování pojišťovací činnosti na území České republiky pojišťovnou se sídlem

na území jiného členského státu Evropské unie a na území států Evropského

hospodářského prostoru,

Pojišťovnictví

32

provozování pojišťovací činnosti na území České republiky pojišťovnou se sídlem

na území jiného státu, než je uveden v písmenech a) a b), a

výkon státního dozoru v pojišťovnictví.

Zákon o pojišťovnictví se však nevztahuje na pojištění poskytovaná na veřejnoprávním

základě. Ta jsou upravena zvláštními zákony. Jedná se o provádění nemocenského pojištění,

důchodového pojištění a sociálního zabezpečení.

Zákon o pojišťovnictví upravuje specifické podmínky podnikání v pojišťovnictví jen

částečně, neboť podnikání jako celek je upraveno zejména zákonem o obchodních

korporacích, živnostenským zákonem, daňovými zákony, zákonem o účetnictví atd.

Pojišťovací a zajišťovací činnost nemusí provozovat vždy podnikatelský subjekt. Provozování

pojišťovací činnosti v právní formě družstva se může dít i na neziskovém principu na principu

vzájemnosti. V tomto případě taková činnost není podnikáním, jak je vymezuje zákon

o obchodních korporacích.

» Výklad základních pojmů

Vymezení základních pojmů má zásadní význam pro správnou aplikaci zákona

o pojišťovnictví. V minulosti vyvolávala absence jednoznačných pojmů v zákoně

o pojišťovnictví řadu problémů. Vymezeny jsou především jednotlivé činnosti směřující

k naplnění účelu zákona o pojišťovnictví:

Pojišťovací činnost pojišťovny zahrnuje uzavírání pojistných smluv pojišťovnou, správu

pojištění a poskytování plnění z pojistných smluv, poskytování asistenčních služeb

a zpracování osobních údajů s těmito činnostmi souvisejících; součástí pojišťovací činnosti je

nakládání s aktivy, jejichž zdrojem jsou technické rezervy pojišťovny (dále jen finanční

umístění), uzavírání smluv pojišťovnou se zajišťovnami o zajištění závazků pojišťovny

vyplývajících z jí uzavřených pojistných smluv (pasivní zajištění) a činnost směřující

k předcházení vzniku škod a zmírňování jejich následků (zábranná činnost).

Zajišťovací činnost - jedná se o uzavírání smluv, kterými se zajišťovna zavazuje poskytnout

pojišťovně ve sjednaném rozsahu plnění, nastane-li nahodilá událost ve smlouvě blíže

označená, a pojišťovna se zavazuje platit zajišťovně ve smlouvě určenou část pojistného

z pojistných smluv uzavřených pojišťovnou, které jsou předmětem této smlouvy (dále jen

zajišťovací smlouva), uzavírání zajišťovacích smluv mezi zajišťovnami, správa zajištění

a poskytování plnění ze zajišťovacích smluv. Součástí zajišťovací činnosti je nakládání

s aktivy, jejichž zdrojem jsou technické rezervy zajišťovny.

Činnosti související s pojišťovací nebo zajišťovací činností - zákon za tyto činnosti považuje

zprostředkovatelskou činnost prováděnou v souvislosti s pojišťovací nebo zajišťovací

činností, poradenská činnost související s pojištěním fyzických a právnických osob a šetření

pojistných událostí prováděné samostatnými likvidátory pojistných událostí na základě

smlouvy s pojišťovnou a další činnosti se souhlasem ministerstva.

» Provozování činnosti v pojišťovnictví

Mezi subjekty podnikající v pojišťovnictví patří dle zákona:

komerční pojišťovny,

zajišťovny,

pobočky komerčních pojišťoven z jiného členského státu,

Pojišťovnictví

33

pobočky komerčních pojišťoven z třetího státu,

jiné právnické a fyzické osoby (zprostředkovatelské, poradenské a jiné provozující

související činnosti).

Zákon upravuje také právní formu komerčních pojišťoven, a to jako akciovou společnost nebo

družstvo. Existuje však potenciální alternativa, ve které zákon připouští možnost vykonávat

pojišťovací činnost i jinou právnickou osobou, než je akciová společnost nebo družstvo (na

základě zvláštního právního předpisu). Zákon nezohledňuje specifika v činnosti zajišťoven.

Právní forma zajišťoven je omezena na akciovou společnost.

Nestanoví-li zákon o pojišťovnictví jinak, řídí se právní postavení pojišťovny a zajišťovny

zákonem o obchodních korporacích.

Technické rezervy pojišťovny a zajišťovny

Zákon o pojišťovnictví klade značný důraz na úpravu problematiky tvorby a použití

technických rezerv, neboť se jedná o jednu z nejdůležitějších povinností pojišťoven

a zajišťoven a současně o jeden z nejvíce sledovaných ukazatelů jejich činnosti.

Zákon podává úplný výčet technických rezerv, které pojišťovna musí vytvářet, provozuje-li

životní pojištění nebo neživotní pojištění. Současně připouští, aby pojišťovna vytvářela jiné

rezervy, pokud jsou schváleny Ministerstvem financí.

Tvorba a použití rezerv

Pojišťovny jsou povinny vytvářet technické rezervy, které jsou určeny k plnění závazků

vzniklých z pojištění, a to v závislosti na povaze provozované pojišťovací činnosti. Jedná se

přitom o závazky, u nichž je na jedné straně jejich vznik jistý či alespoň pravděpodobný,

na druhé straně však není jistá jejich výše nebo okamžik vzniku.

Skladba finančního umístění

Skladba, podle níž pojišťovna nebo zajišťovna umisťuje aktiva, jejichž zdrojem jsou

technické rezervy, musí sledovat skladbu stanovenou zákonem o pojišťovnictví a současně

odpovídat zásadám bezpečnosti, rentability, likvidity a diverzifikace. Tyto zásady nemohou

být porušeny ani v případě souhlasu Ministerstva financí s jinou skladbou finančního

umístění. Finanční umístění v rámci členských států zahrnuje

dluhopisy vydané členským státem nebo jeho centrální bankou a dluhopisy, za které

převzal záruku členský stát,

dluhopisy vydané bankami a obdobnými úvěrovými institucemi členských států,

kotované dluhopisy vydané obchodními společnostmi, pokladniční poukázky,

kotované komunální dluhopisy,

půjčky, úvěry a jiné pohledávky, jejichž splnění je zajištěno bankovní zárukou,

směnky, jejichž splnění je zajištěno bankovním směnečním rukojemstvím nebo

bankovním avalem,

nemovitosti na území členských států, hypoteční zástavní listy,

kotované akcie,

vklady a vklady potvrzené vkladovým certifikátem, vkladním listem či jiným

obdobným dokumentem u bank, které mají povolení působit na území členských států

jako banka,

Pojišťovnictví

34

předměty a díla umělecké kulturní hodnoty oceněná nejméně 2 znalci, za podmínky

jejich pojištění pro případ poškození, zničení, ztráty nebo odcizení u jiné pojišťovny,

dluhopisy vydané Evropskou investiční bankou, Evropskou centrální bankou,

Evropskou bankou pro obnovu a rozvoj nebo Mezinárodní bankou pro obnovu

a rozvoj,

cenné papíry vydané jednotkou kolektivního investování,

zahraniční cenné papíry, s nimiž se obchoduje na regulovaném trhu členských států

Organizace pro ekonomickou spolupráci a rozvoj,

půjčky pojištěným, kteří uzavřeli s pojišťovnou smlouvu na životní pojištění,

zajišťovací deriváty,

pohledávky za zajišťovnami.

7.1.1 Dohled v pojišťovnictví

Dohled v pojišťovnictví vykonává zejména v zájmu ochrany spotřebitele Česká národní

banka (ČNB).

Dohledu v pojišťovnictví podléhají pojišťovny, které na území ČR provozují pojišťovací

činnost, tuzemské pojišťovny, zajišťovny a právnické a fyzické osoby, které na tomto území

provozují zprostředkovatelskou činnost v pojišťovnictví, činnost samostatných likvidátorů

pojistných událostí a další činnosti související s pojišťovací a zajišťovací činností.

Předmět kontrolní činnosti ČNB je vymezen v zákoně o pojišťovnictví vůči příslušným

osobám takto:

dodržování tohoto zákona a ustanovení zvláštních právních předpisů, která se vztahují

k provozování pojišťovací a zajišťovací činnosti a činností s nimi souvisejících,

soulad provozovaných činností s uděleným povolením,

hospodaření pojišťovny nebo zajišťovny z hlediska zabezpečení splnitelnosti jejích

závazků,

způsob tvorby a použití technických rezerv, finanční umístění aktiv, jejichž zdrojem

jsou technické rezervy, a solventnost pojišťovny,

plnění opatření uložených ČNB,

způsob vedení administrativních a účetních postupů a vnitřní kontroly.

ČNB vykonává též dohled nad činností pojišťovny ve skupině.

K výkonu dohledu potřebuje ČNB řadu dokladů, výkazů a informací, které jí musí na základě

zákona pojišťovna dodávat. Pojišťovně nebo zajišťovně, která znemožní nebo závažně ztíží

výkon dohledu zejména tím, že neposkytne potřebnou součinnost, může ČNB uložit

pořádkovou pokutu. Při zjištění nedostatků v hospodaření pojišťovny má ČNB možnost

nařídit pojišťovně předložit ke schválení ozdravný plán. ČNB může například zavést

nucenou správu, pozastavit oprávnění k uzavírání smluv a rozšiřování závazků, nařídit

převod pojistného kmene apod.

7.1.2 Solventnost pojišťoven a zajišťoven

Solventnost je základním kritériem pro posuzování finanční stability pojišťovny nebo

zajišťovny. Úprava způsobu vykazování solventnosti a hodnoty, na základě kterých

pojišťovny kalkulují minimální a skutečnou míru solventnosti je zákonem delegována

na vyhlášku Ministerstva financí, která umožňuje včasné přijímání nezbytných opatření

v případech, kdy výsledky solventnosti nasvědčují o narušení finanční stability pojišťovny.

Pojišťovnictví

35

7.1.3 Odpovědný pojistný matematik

K finanční stabilitě komerčních pojišťoven a zajišťoven přispívá i institut odpovědného

pojistného matematika. Pojišťovnám a zajišťovnám se ukládá povinnost nechat si

odpovědným pojistným matematikem potvrdit správnost

výpočtu sazeb pojistného, výše technických rezerv,

rozdělení výnosů z finančního umístění v životním pojištění mezi pojištěným

a pojišťovnou,

výpočtu požadované míry solventnosti,

pojistně-matematické metody používané při provozované pojišťovací činnosti.

7.2 Občanský zákoník

Součástí nového zákona č. 89/2012 Sb., občanský zákoník, je úprava pojistné smlouvy

v § 2758 až 2872. Zákon upravuje vztahy účastníků pojištění vzniklého na základě pojistné

smlouvy.

Pojistná smlouva je smlouvou o finančních službách, ve které se pojistitel zavazuje v případě

vzniku nahodilé události poskytnout ve sjednaném rozsahu plnění a pojistník se zavazuje

platit pojistiteli pojistné.

Pojistná smlouva obsahuje vždy:

určení pojistitele a pojistníka,

určení oprávněné osoby,

určení, zda se jedná o pojištění škodové nebo obnosové,

vymezení pojistného nebezpečí a pojistné události, výši pojistného, jeho splatnost

a údaj o tom, zda se jedná o pojistné běžné nebo jednorázové,

vymezení pojistné doby a doby, na kterou byla pojistná smlouva uzavřena,

v případě pojištění osob, bylo-li dohodnuto, že se oprávněná osoba bude podílet

na výnosech pojistitele, způsob, jakým se oprávněná osoba na těchto výnosech bude

podílet

Součástí pojistné smlouvy jsou pojistné podmínky vydané pojistitelem, nejsou-li uvedeny

přímo v pojistné smlouvě. Pojistník s nimi musí být před uzavřením pojistné smlouvy

prokazatelně seznámen a bez jeho souhlasu nelze tyto pojistné podmínky měnit. Pojistné

podmínky zejména obsahují:

1. vymezení podmínek vzniku, trvání a zániku pojištění,

2. vymezení pojistné události,

3. stanovení podmínek, za kterých nevzniká pojistiteli povinnost poskytnout pojistné

plnění (výluky z pojištění),

4. způsob určení rozsahu pojistného plnění a jeho splatnost.

Pojistná smlouva musí mít písemnou formu, s výjimkou případů, kdy zakládá pojištění

s pojistnou dobou kratší než 1 rok (krátkodobé pojištění).

Pojistné je v zákoně definováno jako úplata za soukromé pojištění. Běžným pojistným je pak

pojistné stanovené za pojistné období. Na žádost pojistníka je pojistitel povinen sdělit zásady

pro stanovení výše pojistného.

Pojišťovnictví

36

Právo pojistitele na pojistné vzniká dnem uzavření pojistné smlouvy nebo dnem dohodnutým

v pojistné smlouvě, nestanoví-li tento zákon jinak. Běžné pojistné je splatné prvního dne

pojistného období a jednorázové pojistné dnem počátku pojištění.

Zánik soukromého pojištění

Zákon taxativně stanovuje způsoby zániku soukromého pojištění.

Patří mezi ně:

uplynutí doby,

nezaplacení pojistného,

dohoda,

výpověď,

odstoupení,

jiné důvody zániku soukromého pojištění - soukromé pojištění zaniká dnem, kdy

zaniklo pojistné riziko nebo pojištěná věc nebo jiná majetková hodnota, nebo dnem,

kdy došlo ke smrti pojištěné fyzické osoby nebo zániku pojištěné právnické osoby bez

právního nástupce,

kromě výše uvedených lze v pojistné smlouvě dohodnout i jiné způsoby zániku.

Ustanovení o škodovém pojištění

V zákoně se objevuje klasifikace pojištění, a to pojištění škodové a pojištění obnosové (o

pojištění obnosovém později).

Pojištění škodové je soukromé pojištění, jehož účelem je náhrada škody vzniklé v důsledku

pojistné události.

Pojistné plnění pojistitele je obvykle omezeno horní hranicí. Horní hranice se určí pojistnou

částkou nebo limitem pojistného plnění.

Jedná-li se o soukromé pojištění majetku, jehož pojistnou hodnotu lze určit v době uzavření

pojistné smlouvy, je horní hranice pojistného plnění určena pojistnou částkou. Pojistná

částka se na návrh pojistníka stanoví v pojistné smlouvě tak, aby odpovídala pojistné hod-

notě pojištěného majetku v době uzavření pojistné smlouvy. Pojistitel má právo při uzavření

pojistné smlouvy přezkoumat hodnotu pojištěného majetku.

Není-li možné v době uzavření pojistné smlouvy určit pojistnou hodnotu, stanoví se na návrh

pojistníka horní hranice pojistného plnění limitem pojistného plnění. Limit pojistného plnění

se v pojistné smlouvě stanoví i v případě, že se soukromé pojištění vztahuje pouze na část

hodnoty pojištěného majetku (zlomkové pojištění). Horní hranici pojistného plnění lze však

také určit limitem pojistného plnění, jestliže tomu odpovídá pojistný zájem. Hranice

pojistného plnění se obvykle vztahuje na jednu škodnou událost.

Vztahují-li se dvě nebo více soukromých pojištění na totéž pojistné riziko pojištěné pro stejné

období, vzniká množné pojištění.

Množné pojištění může vzniknout jako:

1. soupojištění - vzniká uzavřením pojistné smlouvy mezi pojistníkem a více pojistiteli

zastoupenými vedoucím pojistitelem, a to za jediné pojistné,

Pojišťovnictví

37

2. souběžné pojištění - souhrn pojistných částek nepřesahuje pojistnou hodnotu

pojištěného majetku, nebo souhrn limitů pojistného plnění nepřesáhne skutečnou výši

vzniklé škody,

3. vícenásobné pojištění - souhrn pojistných částek přesahuje pojistnou hodnotu

pojištěného majetku nebo souhrn limitů pojistného plnění přesáhne skutečnou výši

vzniklé škody.

Zachraňovací náklady - jsou účelně vynaložené náklady, které pojistník vynaložil

na odvrácení vzniku bezprostředně hrozící pojistné události, vynaložil na zmírnění následků

již nastalé pojistné události, byl povinen vynaložit z hygienických, ekologických či

bezpečnostních důvodů při odklízení poškozeného pojištěného majetku nebo jeho zbytků.

Pojistník má právo na náhradu zachraňovacích nákladů a na náhradu škody, kterou utrpěl

v souvislosti s odvrácením či zmírněním následků.

Ustanovení o obnosovém pojištění

Obnosové pojištění je soukromé pojištění, jehož účelem je získání obnosu, tj. dohodnuté

finanční částky v důsledku pojistné události ve výši, která je nezávislá na vzniku nebo rozsahu

škody.

V případě pojistné události je pojistitel povinen poskytnout jednorázové nebo opakované

pojistné plnění v rozsahu stanoveném pojistnou smlouvou.

Základem pro stanovení výše pojistného a pro výpočet pojistného plnění je částka určená

pojistníkem v pojistné smlouvě, která má být v případě vzniku pojistné události pojistitelem

vyplacena (pojistná částka), nebo výše a četnost vyplácení důchodu.

Informace, které musí být zájemci oznámeny před uzavřením pojistné smlouvy

Zájemci musí být před uzavřením pojistné smlouvy oznámeny následující informace

o pojistiteli:

obchodní firma a právní forma pojistitele,

název členského státu, kde má pojistitel svoje sídlo, a tam, kde to přichází v úvahu,

adresa agentury nebo pobočky pojistitele, která uzavírá pojistnou smlouvu,

adresa sídla pojistitele, popřípadě agentury nebo pobočky, která uzavírá pojistnou

smlouvu,

a jedná-li se o pojistnou smlouvu uzavíranou na dálku, také místo registrace pojistitele

v obchodním nebo obdobném veřejném registru, jeho registrační číslo nebo

odpovídající prostředek identifikace v takovém registru a informace o názvu a sídle

orgánu odpovědného za výkon státního dozoru nad jeho činností.

Informace, které musí být pojistníkovi oznámeny během trvání pojistné smlouvy

Pojistníkovi musí být během trvání pojistné smlouvy oznámeny následující informace:

o jakékoliv změně obchodní firmy pojistitele, změně jeho právní formy nebo adresy

jeho sídla a tam, kde to přichází v úvahu, i o změně adresy agentury nebo pobočky,

která uzavřela pojistnou smlouvu,

týkající se jakékoliv změny pojistných podmínek nebo při změně právního předpisu,

kterým se řídí vztahy vzniklé z pojistné smlouvy,

o každoročním stavu bonusů.

Pojišťovnictví

38

7.3 Zákon o pojišťovacích zprostředkovatelích a samostatných likvidátorech pojistných událostí

Tímto zákonem se v souladu s právem Evropských společenství:

upravují podmínky podnikání pojišťovacích zprostředkovatelů a samostatných

likvidátorů pojistných událostí,

upravují podmínky zahájení činnosti pojišťovacích zprostředkovatelů na základě práva

zřizovat pobočky nebo svobody dočasně poskytovat služby,

zřizuje registr pojišťovacích zprostředkovatelů a samostatných likvidátorů pojistných

událostí (dále jen registr),

upravuje výkon státního dozoru nad činností pojišťovacích zprostředkovatelů

a samostatných likvidátorů pojistných událostí.

Vymezení základních pojmů má zásadní význam pro správnou aplikaci zákona. Pro účely

tohoto zákona se rozumí zprostředkovatelskou činností v pojišťovnictví odborná činnost,

která spočívá v

• předkládání návrhů na uzavření pojistných smluv nebo zajišťovacích smluv,

• provádění přípravných prací směřujících k uzavření pojistných nebo zajišťovacích

smluv,

• uzavírání pojistných nebo zajišťovacích smluv jménem a na účet pojišťovny nebo

zajišťovny, pro kterou je tato činnost vykonávána,

• pomoci při správě pojištění a vyřizování nároků z pojistných nebo zajišťovacích

smluv.

Pojišťovacím zprostředkovatelem je právnická nebo fyzická osoba, která za úplatu

provozuje zprostředkovatelskou činnost v pojišťovnictví.

7.3.1 Pojišťovací zprostředkovatelé

Zprostředkovatelskou činnost v pojišťovnictví může za podmínek provozovat na území České

republiky právnická nebo fyzická osoba jako

Vázaný pojišťovací zprostředkovatel

• vykonává zprostředkovatelskou činnost v pojišťovnictví jménem a na účet jedné

nebo více pojišťoven, neinkasuje pojistné a nevyplácí plnění z pojistných nebo

zajišťovacích smluv; v případě nabídky pojistných produktů více pojišťoven nesmí

být tyto produkty vzájemně konkurenční;

• je ve své činnosti vázán písemnou smlouvou s pojišťovnou, jejímž jménem

a na jejíž účet jedná, a jejími pokyny; pojišťovna, jejíž pojistný produkt nabízí,

odpovídá za škodu jim způsobenou při výkonu zprostředkovatelské činnosti

v pojišťovnictví.

Podřízený pojišťovací zprostředkovatel

• spolupracuje s pojišťovacím agentem nebo pojišťovacím makléřem na základě

písemné smlouvy, neinkasuje pojistné a nezprostředkovává plnění z pojistných

nebo zajišťovacích smluv;

• je vázán pokyny a je odměňován pojišťovacím zprostředkovatelem, jehož jménem

a na jehož účet jedná;

Pojišťovnictví

39

• musí být zapsán do registru, splňovat podmínky důvěryhodnosti a podmínky

stanovené zákonem pro základní kvalifikační stupeň odborné způsobilosti;

• pojišťovací zprostředkovatel, jehož jménem a na jehož účet jedná, odpovídá za

škodu jím způsobenou při výkonu zprostředkovatelské činnosti v pojišťovnictví.

Pojišťovací agent

• vykonává zprostředkovatelskou činnost v pojišťovnictví na základě písemné

smlouvy, jménem a na účet jedné nebo více pojišťoven; v případě nabídky

pojistných produktů více pojišťoven mohou být tyto produkty vzájemně

konkurenční;

• je ve své činnosti vázán vnitřními předpisy pojišťovny, jejímž jménem a na jejíž

účet jedná, bylo-li tak dohodnuto, je oprávněn přijímat pojistné nebo

zprostředkovávat plnění z pojistných smluv;

• je odměňován pojišťovnou, jejímž jménem a na jejíž účet jedná;


stanovené zákonem pro střední kvalifikační stupeň odborné způsobilosti;

• musí být po celou dobu výkonu dané činnosti pojištěn pro případ odpovědnosti za

škodu způsobenou výkonem této činnosti účinnou na celém území Evropského

hospodářského prostoru, s limitem pojistného plnění nejméně ve výši odpovídající

hodnotě 1 000 000 eur na každou pojistnou událost v případě souběhu více

pojistných událostí v jednom roce nejméně ve výši odpovídající hodnotě 1 500 000

eur, pokud se pojišťovna, jejímž jménem, na jejíž účet pojišťovací agent jedná,

písemně nezavázala převzít odpovědnost za škody způsobené touto jeho činností.

Pojišťovací makléř

• je ve své činnosti vázán obsahem smlouvy uzavřené se zájemcem o pojištění nebo

zajištění (dále jen klient);

• v závislosti na obsahu smlouvy s klientem zpracovává komplexní analýzy

pojistných rizik, zpracovává návrhy pojistných nebo zajistných programů,

• poskytuje konzultační a poradenskou činnost,

• provádí správu uzavřených pojistných nebo zajišťovacích smluv,

• sleduje lhůty k jejich revizi,

• spolupracuje při likvidaci pojistných událostí;


stanovené tímto zákonem pro vyšší kvalifikační stupeň odborné způsobilosti;

• musí být po celou dobu výkonu dané činnosti pojišťovacího zprostředkovatele

pojištěn pro případ odpovědnosti za škodu způsobenou výkonem této činnosti

účinnou na celém území Evropského hospodářského prostoru, s limitem pojistného

plnění nejméně ve výši odpovídající hodnotě 1 000 000 eur na každou pojistnou

událost, v případě souběhu více pojistných událostí v jednom roce nejméně ve výši

odpovídající hodnotě 1 500 000 eur;

• je obvykle odměňován pojišťovnou nebo zajišťovnou.

Pojišťovnictví

40

Pojišťovací zprostředkovatel, jehož domovským členským státem není ČR

• může na území České republiky provozovat zprostředkovatelskou činnost

v pojišťovnictví v rozsahu, v jakém je tuto činnost oprávněn provozovat

v domovském členském státě, a to po splnění informačních povinností.

Pro pojišťovacího agenta a pojišťovacího makléře platí ještě následující podmínka

• byl-li pojišťovací makléř či pojišťovací agent zmocněn přijímat od pojistníka pojistné

nebo od pojišťovny výplaty pojistného plnění, je povinen udržovat trvale likvidní

finanční jistinu ve výši 4 % z ročního objemu jím inkasovaného pojistného, nejméně

však ve výši odpovídající hodnotě 15 000 eur, nebo

• používat pro převody pojistného a pojistného plnění výhradně zvlášť k tomu zřízené

a od vlastního hospodaření oddělené bankovní účty

Samostatný likvidátor pojistných událostí

Samostatný likvidátor pojistných událostí provádí na základě smlouvy uzavřené

s pojišťovnou, jejím jménem a na její účet, šetření nutné ke zjištění rozsahu její povinnosti

plnit ze sjednaného pojištění.

Smlouva samostatného likvidátora pojistných událostí s pojišťovnou obsahuje vždy:

• vymezení pojistných událostí, kterých se smlouva týká, a to ve vztahu k pojistným

odvětvím podle zvláštního právního předpisu,

• vymezení rozsahu dohodnutých činností,

• vymezení pravomocí smluvních stran při likvidaci pojistných událostí včetně možnosti

využití při likvidaci pojistných událostí i součinnosti dalších osob a podmínek této

součinnosti.

Odborná způsobilost

Pojišťovací zprostředkovatel a samostatný likvidátor pojistných událostí jsou povinni

prokázat odbornou způsobilost, což je získání všeobecných a odborných znalostí nezbytných

pro výkon jeho činnosti.

Všeobecné znalosti se prokazují dokladem o dokončení střední školy. Odborné znalosti se

prokazují dokladem o absolvování odborného studia na střední nebo vysoké škole nebo

složením odborné zkoušky. Odborné studium je středoškolské nebo vysokoškolské studium,

zaměřené na problematiku pojišťovnictví, finančních služeb a s tím souvisejících oblastí.

Odborná praxe je činnost v pojišťovně nebo zajišťovně související s uzavíráním pojistných

smluv nebo v oblasti zprostředkovatelské činnosti v pojišťovnictví.

V případě vázaného pojišťovacího zprostředkovatele, podřízeného pojišťovacího

zprostředkovatele a samostatného likvidátora pojistných událostí lze odbornou zkoušku

vykonat v instituci, která je oprávněna poskytovat vzdělávací programy zaměřené na dosažení

odborné způsobilosti a je uvedena ve vyhlášce ministerstva, a způsobem stanoveným touto

vyhláškou.

V případě pojišťovacího agenta a pojišťovacího makléře lze odbornou zkoušku vykonat

pouze před zkušební komisí, která je složena nejméně z 3 členů jmenovaných ministrem

financí. Členem zkušební komise může být pouze osoba plně způsobilá k právním úkonům,

která má odpovídající odborné znalosti a praktické zkušenosti z oblasti pojišťovnictví.

Pojišťovnictví

41

Osoba, která je podle zákona povinna prokázat svoji odbornou způsobilost ukončeným

odborným studiem nebo odbornou zkouškou, je povinna si průběžně doplňovat svoje odborné

znalosti. Po 5 letech od ukončení odborného studia nebo od vykonání odborné zkoušky a poté

po každých 5 následujících letech je povinna absolvovat doškolovací kurs.

Povinnosti pojišťovacích zprostředkovatelů a samostatných likvidátorů pojistných

událostí

- jsou povinni svoji činnost vykonávat s odbornou péčí, chránit zájmy spotřebitele,

zejména nesmí uvádět nepravdivé, nedoložené, neúplné, nepřesné, nejasné nebo

dvojsmyslné údaje a informace, anebo zamlčet údaje o charakteru a vlastnostech

poskytovaných služeb;

- jsou na požádání povinni předložit klientovi, pojišťovně nebo zajišťovně osvědčení

o svém zápisu do registru podle tohoto zákona; na žádost klienta jsou povinni sdělit

způsoby svého odměňování; nesmí klientovi poskytovat neoprávněné výhody

finanční, materiální či nemateriální povahy;

- jsou povinni zabezpečit veřejnou dostupnost údajů o svém zápisu v registru, zejména

číslo, pod kterým byli podle tohoto zákona zapsáni v registru rozsah

zprostředkovatelské činnosti podle pojistných odvětví a území, na kterém může být

tato činnost provozována, a den zahájení této činnosti;

- odpovídají za škodu způsobenou při provozování své činnosti; odpovědnosti se

zprostí, jestliže prokáží, že vzniku škody nemohlo být zabráněno ani při vynaložení

veškerého úsilí, které na něm lze požadovat;

- jsou povinni podle zákona o pojišťovnictví zachovávat mlčenlivost o všech

skutečnostech, které se dozvěděli v souvislosti s výkonem své činnosti, a nesmí je

zneužít ve svůj prospěch nebo ve prospěch jiného.

Státní dozor nad provozováním činnosti pojišťovacích zprostředkovatelů

a samostatných likvidátorů pojistných událostí

- s bydlištěm nebo sídlem na území České republiky nebo třetího státu a nad činností

samostatných likvidátorů pojistných událostí vykonává Ministerstvo financí,

- s domovským členským státem jiným, než je Česká republika, působících na území

České republiky vykonává příslušný úřad domovského členského státu pojišťovacího

zprostředkovatele v součinnosti s ministerstvem.

Pojišťovací agent a pojišťovací makléř je povinen ve lhůtě do 31. března kalendářního roku

předkládat ministerstvu roční výkaz činnosti.

Pojišťovnictví

42

8 Pojišťovací činnost komerční pojišťovny

Pojištění můžeme charakterizovat jako specifický druh produktu, který má fiktivní

charakter. Tento produkt je na pojistném trhu nabízen, a kupující za něj musí platit. Je jisté,

že kupující dostane svoji protihodnotu až po realizaci pojištěného rizika. Jde tedy o velmi

neurčitou a rizikovou návratnost jeho peněžních prostředků.

Přechod na tržní hospodářství otevřel prostor pro vznik nových komerčních pojišťoven. V této

souvislosti se změnila i legislativa, která upravuje právní postavení komerčních pojišťoven

a zajišťoven, předmět jejich činnosti a pojistné vztahy. Podnikání v oblasti pojišťovnictví

upravuje v současné době zákon č. 277/2009 Sb., o pojišťovnictví.

Zákon o pojišťovnictví také upravuje, v jakém pojistném odvětví může komerční pojišťovna

provozovat svoji činnost. Komerční pojišťovny pak členíme na:

• životní pojišťovny,

• neživotní pojišťovny,

• univerzální pojišťovny.

Vyjdeme-li ze stávající právní úpravy, můžeme označit za předmět podnikání v komerční

pojišťovně pojišťovací činnost, která zahrnuje:

1. uzavírání pojistných smluv,

2. správa pojištění a poskytování plnění z pojistných smluv,

3. poskytování asistenčních služeb,

4. zpracování osobních údajů s předcházejícími činnostmi souvisejících,

5. nakládání s aktivy, jejichž zdrojem jsou technické rezervy pojišťovny,

6. uzavírání smluv pojišťovnou se zajišťovnami (jedná se o zajištění závazků

pojišťovny vyplývajících z jí uzavřených pojistných smluv),

7. činnost směřující k předcházení vzniku škod a zmírňování jejich následků

(zábranná činnost).

Úkoly komerční pojišťovny vyplývají z předmětu podnikání a jsou následující

• technický (náhradový) úkol - v současnosti prvotní postavení, náhrada části škody

pojistným plněním, a to pokud jde o občany nebo podnikatelské subjekty,

• preventivní (zábranný) úkol - realizace preventivních opatření, které směřují

ke snižování vzniku rizika a rozsahu škod,

• investiční úkol - též finanční podnikání pojišťoven, jedná se o možnost vstupu

komerčních pojišťoven na finanční a pojistný trh v rámci jejich dalších aktivit.

Komerční pojišťovny vyvíjí celou řadu činností se snahou široké nabídky a uspokojení

klienta. Jedná se o marketingové činnosti, kam patří tvorba nových produktů, propagace

a prodej. V případě prodeje pojištění a tedy i sjednání pojistné smlouvy jsou tyto smlouvy

aktualizované na úseku správy pojištění, který je součástí provozu pojištění. V případě vzniku

pojistných událostí je třeba vykonat jejich likvidaci s cílem poskytnutí pojistného plnění.

Marketingová činnost

Marketingová činnost se stala neoddělitelnou součástí činností každé komerční pojišťovny

která:

• pramení z vývoje potřeb a požadavků trhu,

Pojišťovnictví

43

• se zaměřuje na trh, zákazníka či klienta,

• si klade za cíl dosáhnout na něm maximální efekt, tj. zisk.

Marketingová strategie komerční pojišťovny musí zahrnovat

1. vývoj pojistných produktů (tvorba nových pojištění);

2. výběr cílového trhu (pro jakou skupinu zákazníků je daný produkt vytvořen);

3. propagace produktů (komunikace se spotřebitelem);

4. obchodní služba (distribuční cesty k zákazníkovi).

Správa pojištění

Předmětem činnosti komerční pojišťovny je především pojišťovací činnost. Tuto činnost

můžeme dále podrobněji členit do oblastí obchodní činnost, správa pojištění, likvidace

pojistných událostí, marketing, zábranná činnost atd. Návaznost těchto činnosti je znázorněna

na následujícím obrázku.

Obrázek 8.0.1 Návaznost jednotlivých činností v komerční pojišťovně

Správa pojištění je souhrn činností související s evidencí a správou pojistných smluv

a zabezpečením inkasa pojistného:

• v užším slova smyslu zahrnuje činnosti související bezprostředně s pojistnou

smlouvou; za tyto činnosti považujeme:

- evidence pojistných smluv, jejich údržba, aktualizace jejich stavu a obsahu,

- shromažďování údajů o rozsahu pojišťovaných rizik,

- zabezpečení inkasa pojistného, inkasní a neinkasní intervence v rámci

upomínacího režimu, vymáhání pohledávek pojistného na stornovaných

pojistných smlouvách

- zúčtování (spárování) došlých plateb pojistného s předpisem pojistného,

- provedení storna pojištění v důsledku nezaplacení pojistného ve stanovené lhůtě

podle zákona nebo v důsledku konce pojištění,

- archivace pojistných smluv.

v širším slova smyslu zahrnuje také činnosti související s výše uvedenými, ale

spadající do oblastí činnosti jiných úseků; za tyto činnosti lze považovat:

- výpočet výše a druhu provize pro zprostředkovatele i pro správce pojistné smlouvy

a všechny, kteří se procesu získání a správy pojistné smlouvy účastní,

- taxace (věcná kontrola správného a úplného vyplnění pojistných smluv),

- zpracování požadovaných statistických přehledů pro reportovací potřeby určené

regulatorní legislativou

Zábranná

činnost

Zábranná

činnost

Marketing

Obchodní

činnost Správa

pojištění

Likvidace

pojistných

událostí

Pojišťovnictví

44

Likvidace pojistných událostí

Likvidace pojistných událostí je souhrn pracovních postupů, jejichž cílem je určit výši škody

a poskytnout pojištěnému nebo poškozenému přiměřenou peněžní náhradu, které říkáme

pojistné plnění (pojistná náhrada).

Likvidací pojistné události dochází k uspokojení nároků pojištěného, které vyplývají

z dohodnuté pojistné smlouvy nebo jiného právního předpisu.

Úsek likvidace škod je vizitkou každé komerční pojišťovny. Zákazník totiž právě pro případ

pojistné události uzavírá pojistnou smlouvu, a jen proto platí pojistné. Až v případě škody se

ukáže, zda pojištění, které si sjednal, je dobré nebo špatné.

Likvidace škod je podstatně odlišná v každém druhu pojištění a rizika, ale u všech druhů

pojištění probíhá podle určitého základního schématu, které má čtyři základní fáze:

1. fáze - zákazník škodu ohlásí

2. fáze - komerční pojišťovna škodu zaregistruje

3. fáze - pojistný likvidátor škodu prověří a ručí za její výši

4. fáze - likvidace škody (poskytnutí nebo odmítnutí pojistného plnění)

Každou z těchto fází lze ještě dále rozčlenit. Některé fáze se také často opakují nebo se

prolínají. Pro základní schéma však vždy platí výše uvedený postup. První tři fáze zahrnují

proces zajišťování škody. Čtvrtá fáze je poslední a zahrnuje poskytnutí pojistného plnění, což

je pro zákazníka nejdůležitější fází likvidace škody. Tato fáze se může zvrátit po případném

nesouhlasu klienta s rozhodnutím pojišťovny, lze provést revizi rozhodnutí, která následuje po

nesouhlasu se zamítnutím či s výší pojistného plnění.

Zábranná činnost

Zábrannou činnost tvoří všechny technické, ekonomické, právní a ostatní opatření, která mají

sloužit k předcházení vzniku náhodných škod, zabraňovat jejich rozšíření a současně

i omezovat jejich důsledky. Zábranná činnost se orientuje zejména na protipožární opatření,

bezpečnost silničního provozu, protiúrazová opatření, na ochranu živočišné a rostlinné

produkce a jiná opatření.

Zajišťovací činnost

Každá komerční pojišťovna na sebe přebírá značná rizika, která kryje svými aktivitami

a současně má snahu, aby její kapacitní možnosti byly co největší. Ty jsou dány především

výší základního kapitálu.

Menší pojišťovny by tak neměly možnost pojišťovat větší rizika, než je jejich pojišťovací

kapacita. Pojišťovny ale pojišťují rizika jakéhokoliv rozsahu. Umožňuje to zajištění, které

značně zvyšuje flexibilitu a kapacitu pojišťoven.

Činnost komerční pojišťovny související se zajištěním a zajišťováním se nazývá zajišťovací

činnost.

Finanční podnikání a sponzorská činnost

Podnikatelskou činností se komerční pojišťovny snaží upevňovat si své postavení tím, že se

dostávají do povědomí široké veřejnosti včetně ekonomických sfér, čímž dokumentují svou

opodstatněnost a zájem o rozvoj pojistného a finančního trhu.

Pojišťovnictví

45

Finanční podnikání komerční pojišťovny znamená finanční aktivity související s využíváním

dočasně volných peněžních prostředků. Jedná se o časový rozpor mezi získáváním přijatého

pojistného a jeho použitím formou pojistného plnění, tedy o pojistné inkasované od klientů

a proto se pojišťovny musí snažit je co nejlépe zhodnotit. Cílem této činnosti je dosažení

efektu, a to ve formě zisku.

V současnosti se velmi rozvíjí i sponzorská činnost. Tou se podporují určité vybrané

činnosti, jako je podpora zdravotnictví (jednotlivci, nadace), sport, kultura a školství.

Komerční pojišťovna získává těmito aktivitami na své image.

Pojišťovnictví

46

9 Sjednání pojištění

Výběr vhodného druhu pojištění, tedy pojistného produktu, je závažným rozhodnutím, jehož

podcenění by se v budoucnu mohlo vymstít. Proto je nezbytné velmi pečlivě posoudit rizika,

kterým je podnikatelský subjekt vystaven a pro která si chce vzít na pomoc pojištění a také

zvážit částku, kterou při škodě může zaplatit ze své kapsy.

Při uskutečnění nabídky pojistných produktů vybrané komerční pojišťovny konkrétnímu

podnikateli dochází zpravidla v první fázi obchodního jednání k diskusi právě o pojistné

hodnotě pojišťované věci. Správné stanovení výše pojistné částky má za následek dostatečné

plnění komerční pojišťovnou danému podnikateli v případě vzniku pojistné události. Od výše

pojistné částky se samozřejmé odvíjí i cena pojištění, tedy pojistné.

V obchodním jednání účastníků pojištění existují dvě protichůdné tendence. Většina

komerčních pojišťoven je vedena snahou kvalitně a dostatečně zajistit pojistné krytí svého

klienta, a proto téměř vždy navrhuje vyšší pojistné částky. Naproti tomu je klient veden

snahou ušetřit na pojistném a usiluje o co nejnižší pojistné, ale současně s tím vyžaduje

vysoké pojistné plnění v případě pojistné události.

Ve vzájemném vztahu mezi komerční pojišťovnou a klientem není nikdo vítězem ani

poraženým. V každém případě by se mělo jednat o rovnocenný vztah, který je založen

na spokojenosti obou účastníků pojistného vztahu.

V následujícím textu si uvedeme, které skutečnosti je nutné posoudit při výběru vhodného

pojištění a při uzavírání pojistné smlouvy.

9.1 Pojistná smlouva

Pojištění se uskutečňuje prostřednictvím pojistné smlouvy nebo na základě právního předpisu

tak vznikne pojistný vztah. Vzniká mezi pojistiteli a pojistníky, resp. pojištěnými. Pojistitelem

může být právnická osoba, která vykonává pojišťovací činnost (například komerční

pojišťovna). Pojistitel musí hospodařit tak, aby byl schopen neustále a trvale plnit své

závazky.

Pojistná smlouva je doklad o pojištění. Vymezuje rámec pro pojištění. Je tedy určitou

formou hospodářské smlouvy, konkretizuje podmínky, podle kterých se komerční pojišťovna

a pojistník, resp. pojištěný, dohodli na realizaci pojištění.

Podle nového občanského zákoníku je typem pojistné smlouvy také smlouva uzavřená

formou obchodu na dálku v souladu s právem Evropské unie, tj. pojistná smlouva uzavřená

s výhradním použitím jednoho nebo více prostředků komunikace na dálku, např. telefon,

elektronická pošta, faxový přístroj, veřejná komunikační síť, například internet.

V pojistné smlouvě je možné si dohodnout podmínky pojištění odlišné od všeobecných

pojistných podmínek komerční pojišťovny. Potom se jedná o smluvní ujednání specifické

pojistné podmínky. Toto platí pro smluvní pojištění. V případě zákonného pojištění zákon

stanovuje podmínky, podle kterých se pojištění realizuje a pojistná smlouva uzavírá.

Při sjednávání pojistné smlouvy na konkrétní pojistný produkt je, v zájmu klienta

(pojištěného či pojistníka), velmi vhodné se co nejdříve obeznámit se všeobecnými

pojistnými podmínkami v komerční pojišťovně. Seznamovat se s nimi po podpisu

pojistné smlouvy je již pozdě.

Pojišťovnictví

47

Vznik a zánik pojištění

Zákon upravuje způsob a formy vzniku a zániku pojištění v České republice.

Pojištění vzniká uzavřením pojistné smlouvy anebo splněním podmínek upravených

příslušným právním předpisem, a to:

• dnem určeným v právním předpise (zákoně),

• dnem dohodnutým v pojistné smlouvě.

Povinnosti z pojištění obecně začínají plynout nultou hodinu následujícího dne po dni

uzavření pojistné smlouvy. Je však možné dohodnout i jiný termín.

Za důvod zániku pojištění jsou obvykle považovány následující skutečnosti:

• nezaplacení pojistného,

• odstoupení od smlouvy,

• odmítnutí plnění,

• zánik rizika,

• změna vlastníka,

• výpovědí pojistné smlouvy

- vypovědět pojištění má právo jak pojišťovna, tak pojištěný;

- jde o jednostranný právní úkon a druhá strana nemůže prohlásit, že s výpovědí

nesouhlasí;

- výpověď musí být dána písemně a před lhůtou šesti týdnů od výročí musí být

doručena druhé straně;

- nemusí být odůvodňována,

• dohodou mezi pojistníkem a pojistitelem (dohoda musí být písemná),

• skončením doby, na kterou bylo pojištění dohodnuté.

Jestliže dojde k zániku pojištění, má komerční pojišťovna právo, aby pojištěný zaplatil

pojistné za dobu do zániku pojištění. I když pojištěný nezaplatil pojistné, pojištění nezaniklo.

Kdyby v této době došlo k pojistné události, musela by ji pojišťovna uhradit.

Podmínky vzniku a zániku pojištění jsou uvedeny v novém občanském zákoníku a ve

všeobecných pojistných podmínkách.

9.2 Pojistná částka

Pojistná hodnota představuje hodnotu předmětu pojištění v daném okamžiku doby trvání

pojištění. Znamená to tedy, že se výše této hodnoty mění, a to v závislosti na tržních

podmínkách. Pojistná hodnota je hodnota pojištěné věci, která je rozhodná pro stanovení tzv.

pojistné částky.

Peněžní hodnotu ztraceného nebo poškozeného majetku je ve většině případů stanovit

jednoduché a na základě podmínek pojistné smlouvy je možné poskytnout náhradu. Určení

pojistné hodnoty přímo navazuje na způsob poskytnutí pojistného plnění a na stanovení

pojistné částky. V zásadě platí, že pojistná hodnota je i pojistnou částkou, jež představuje

výšku maximálního pojistného plnění.

Pojistná částka je částka určená v pojistné smlouvě jako nejvyšší hranice plnění komerční

pojišťovny. Pojistnou částku si určuje klient komerční pojišťovny sám a současně nese

také důsledky svých rozhodnutí v otázkách pojistných hodnot i pojistných částek.

Stanovení pojistné hodnoty se liší podle toho, zda se jedná o věc nemovitou či movitou.

U věcí nemovitých, tedy u budov a staveb, se pojištění sjednává na:

Pojišťovnictví

48

• novou hodnotu - jedná se obvykle o částku, kterou je nutné vynaložit k vybudování

novostavby téhož druhu, rozsahu a kvality v daném místě, včetně nákladů

na zpracování projektové dokumentace;

• časovou hodnotu - jedná se obvykle o částku, kde je nová hodnota snížená o částku

odpovídající stupni opotřebení nebo jiného znehodnocení budovy či stavby.

U věcí movitých se pojištění sjednává na

• novou hodnotu - jedná se obvykle o částku, kterou je třeba vynaložit

na znovupořízení věci, nebo o částku, kterou je třeba vynaložit na výrobu věci

stejného druhu a kvality v daném místě v novém stavu;

• časovou hodnotu - jedná se obvykle o novou hodnotu věci, která je snížená o částku

odpovídající stupni opotřebení nebo jiného znehodnocení věci.

Pojistnou hodnotu movitých věcí nelze stanovovat tak, že se stanoví hodnota vedená

v účetnictví. V konkrétním případě vždy musí klient zvážit, jaká je skutečná pojistná hodnota

pojišťovaných věcí. Na rozdíl od budov a jiných staveb si movité věci neuchovávají svoji

30% novou hodnotu po celou dobu své životnosti a to i v případě, že jsou běžně udržovány

a běžně používány.

Podpojištění

Může se stát, že pojistná částka je stanovena nižší, než je ve skutečnosti pojistná hodnota.

V tomto případě dochází k tzv. podpojištění. V praxi to znamená, že je-li v době pojistné

události jako pojistná částka stanovená pojištěným nižší než pojistná hodnota věci, pak

komerční pojišťovna poskytne pojistné plnění, které je ve stejném poměru ke škodě, jako

k pojistné hodnotě. To neplatí u pojištění prvního rizika.

Pojištění prvního rizika

Při sjednání pojištění na první riziko je pojistná částka po dohodě obou smluvních stran

vědomě snížena pod pojistnou hodnotu pojišťované věci nebo souboru věcí. Tato hodnota

je horní hranicí pro pojistné plnění z jedné a ze všech pojistných událostí nastalých

v jednom pojistném roce, není-li v pojistné smlouvě sjednáno jinak. Je tedy nutností

aktualizace pojistných částek v průběhu pojištění ve vztahu k vývoji inflace anebo k nárůstu

majetku pojištěného. Aktualizace může být formou automatické indexace nebo obchodní

nabídka pojišťovny nebo poptávka pojistníka.

9.3 Pojistné

Důležitou úlohou komerční pojišťovny je výpočet výšky pojistného. Pojistné placené

pojištěným představuje jeho příspěvek do společného fondu. Příspěvek musí být spravedlivý

a musí odrážet stupeň rizika, který konkrétní pojištěný do sdružení přináší. Pojistné musí být

dostatečné, aby pokrývalo nároky v průběhu pojistného období, umožnilo vytvořit rezervu pro

nevybavené škody, umožnilo vytvořit technické rezervy, dále aby umožnilo pokrýt všechny

výdaje komerční pojišťovny, umožnilo vytvořit zisk, a aby umožnilo vytvořit fond na zábranu

škod. Výpočet pojistného však musí zahrnovat i další faktory, mezi které patří inflace,

úrokové míry i konkurence.

Výšku pojistného můžeme běžně stanovit tak, že se využívá stanovený matematický model,

přičemž se pojistné vypočítává pomocí sazby pojistného. Sazba může být stanovena

v procentech nebo v promile a je aplikovaná k pojistné částce.

Výpočet pojistného je možné znázornit tímto kalkulačním vzorcem

Pb = Pn + ZŠ + Nv + Z + Př (9.3.1)

Pojišťovnictví

49

Pb je brutto pojistné,

Pn je netto pojistné,

ZŠ je příspěvek do fondu na zábranu škod,

Nv jsou vlastní náklady (náklady na provoz),

Z je zisková přirážka,

Př jsou jiné přirážky.

Podcenění rizika - při výpočtu pojistného může dojít k tzv. podcenění rizika, což znamená,

že sazba pojistného je stanovena nízká a pojištění se dostává do ekonomické

nevyrovnanosti. Podcenění rizika je charakteristické také i vysokou škodovostí. Samotná

vysoká škodovost nemusí být jen signálem nízkých sazeb. Může odrážet i malý zájem

o pojištění, resp. nedostatečné proniknutí pojištění mezi klientelu vinou slabé propagace

a reklamy.

Přecenění rizika - v případě přecenění rizika může sice pojišťovna v prvopočátku získat

vyšší příjmy a tedy i zisky, ale to jen za předpokladu, že o pojištění bude zájem. Tento zájem,

ale rozhodně v krátké době opadne, protože pojištěný nebude mít požadovanou

pravděpodobnost získat adekvátní pojistnou službu. Přecenění rizika je charakteristické

vysokými sazbami a nízkou škodovostí (škodovost je % ukazatel, který vyjadřuje poměr

mezi výškou poskytnutých pojistných plnění a výškou předepsaného pojistného).

9.4 Pojistné plnění

Pojistnou smlouvou se komerční pojišťovna zavazuje, že v případě nepředvídatelné události

nebo při naplnění předem stanovené podmínky (pojistná událost), vyplatí pojišťovna

smluvenou částku (pojistné plnění). Výše pojistného plnění vychází z právních předpisů,

všeobecných pojistných podmínek a konkrétní pojistné smlouvy.

Pojistná událost - jedná se o nahodilou skutečnost blíže označenou v pojistné smlouvě nebo

ve zvláštním právním předpisu, na který se pojistná smlouva odvolává, se kterou je spojen

vznik povinnosti pojistitele poskytnout pojistné plnění.

Podnikatelské subjekty i občané velmi často uvažují, nač jim je pojištění, když stejnou službu

jim při neočekávaných škodních událostech splní i spoření. Spoření pomůže jen do výše

našetřených peněz. Pojištění naproti tomu kalkuluje s rizikem a výplata pojistného plnění

není u rizikových pojištění omezena množstvím vložených peněz. Například při škodě

na majetku nebo na zdraví v důsledku úrazu může vzniknout nárok na příslušné pojistné

plnění už druhý den po podpisu pojistné smlouvy. Poskytnout příslušnou částku bez ohledu

na to, kolik peněz bylo od nového klienta na pojistném vybráno, je podstatou pojištění.

Je nezbytné si také uvědomit, že pojištění může poskytnout pouze finanční náhradu. Nikdy

nelze ocenit oblibu odcizeného nebo zničeného předmětu či jiný osobní vztah k němu.

Pojistné plnění se obvykle poskytuje v tuzemské měně, pokud pojišťovna nerozhodne

o naturálním plnění. Může se jednat například o opravu ve smluvní opravně, o výměnu věci.

Pojistné plnění je splatné do 15 dnů, jakmile komerční pojišťovna skončila šetření nutné

ke zjištění rozsahu škody.

9.5 Práva a povinnosti účastníků pojistného vztahu

Práva a povinnosti z pojištění jsou obecně vymezeny v novém občanském zákoníku

a v pojistných podmínkách příslušných k danému druhu pojištění. V následujícím textu jsou

práva a povinnosti rozlišeny podle toho, zda se týkají pojištěného či pojistitele.

Pojišťovnictví

50

Základní práva a povinnosti pojištěného:

• Právo být seznámen s rozsahem a obsahem pojištění.

• Informační povinnost pojistníka.

• Povinnost pojistníka odpovědět pravdivě a úplně na všechny písemné dotazy

pojistitele týkající se sjednávaného pojištění. Stejně tak je tomu i při změně pojištění.

Nutno ještě upozornit nato, že při plnění informační povinnosti není pro budoucího

pojistníka rozhodující, zda považuje položené dotazy za zbytečné.

• Právo na pojistné plnění splatné do 15 dnů po skončení šetření nutného k zjištění

rozsahu škod při pojistné události.

• Právo vyžadovat přiměřenou zálohu na pojistné plnění, pokud šetření nemůže být

skončeno do 3 měsíců.

• Povinnost platit pojistné ve sjednaných lhůtách.

• Povinnost nahlásit pojistnou událost bez zbytečného odkladu, dát pravdivé vysvětlení

o jejím vzniku a rozsahu a předložit potřebné doklady, které si pojistitel vyžádá.

Základní práva a povinnosti pojistitele:

• Právo na pojistné.

• Povinnost poskytnout plnění v případě pojistné události.

• Právo na postih a snížení pojistného plnění.

• Právo na náhradu částek vyplacených z pojištění odpovědnosti za škody.

• Povinnost poskytnout pojištěnému na požádání přiměřenou zálohu na pojistné plnění,

pokud nemůže skončit potřebné šetření nutné ke zjištění rozsahu škod do 3 měsíce.

Promlčení

Právní úprava promlčení prošla v souvislosti s přijetím NOZ výraznou úpravou. Nově se

právo na pojistné plnění promlčí za jeden rok od vzniku pojistné události (subjektivní lhůta).

U životního pojištění se promlčí nárok na pojistné plnění za 10 let od vzniku pojistné události.

Obecná promlčecí doba sice bude i nadále 3 roky, ale bude potřeba brát v úvahu rozdílné

délky promlčecí doby týkající se náhrady škody nebo újmy a rozdílný počátek běhu lhůt

z toho odvozený.

Pojišťovnictví

51

10 Pojišťovnictví jako odvětví ekonomiky

Pojišťovnictví je odvětvím ekonomiky, které se zabývá pojišťovací činností. Pojišťovací

činností se rozumí uzavírání pojistných smluv, správa pojištění a poskytování plnění

z pojistných smluv. Součástí pojišťovací činnosti je nakládání s aktivy z technických rezerv,

uzavírání smluv se zajišťovnami a zábranná činnost. V zahraničí se pojišťovnictví označuje

jako pojišťovací průmysl. Podle právních předpisů tedy mohou pojišťovny vykonávat i jinou

podnikatelskou či investiční činnost.

Pojišťovnictví chápeme, jako specifické odvětví v tržní ekonomice, které je zaměřené

na pojistnou ochranu a tvorbu technických rezerv, jejich správu a užití. Pojišťovnictví

zahrnuje všechny pojistitele (tj. pojišťovací instituce), zajistitele, zprostředkovatele pojištění

a asociace, případně i další subjekty v daném státu nebo regionu. Je součástí finanční

a úvěrové soustavy, je speciálním odvětvím peněžních služeb, které poskytuje občanům,

podnikatelům a společnostem.

Pojišťovnictví - odvětví národního hospodářství, které se zabývá poskytováním pojistné

ochrany a úhradou škod vzniklých na základě nahodilých událostí. Pojišťovnictví tak plní roli

stabilizátoru ekonomické úrovně podniků a životní úrovně obyvatelstva.

Pojišťovnictví zaujímá přední postavení v tržní ekonomice každého státu. Je nepostradatelnou

součástí moderní společnosti a jejího ekonomického života, ve kterém plní řadu významných

úkolů. Kromě jiného neutralizuje realizaci rizik občanů, domácností a podnikatelů.

Obrázek 10.0.1 Struktura pojišťovnictví

Pojišťovnictví

Státní dozor v pojišťovnictví

Komerční pojišťovny

Družstevní pojišťovny

Zprostředkovatelé pojištění

Asociace (svazy) pojišťoven

Asociace zprostředkovatelů

Asociace pojišťovacích makléřů

Zajišťovny

Pojišťovnictví

52

11 Úvod do problematiky pojistného trhu

Pojistný trh funguje na principu shromažďování a rozdělování peněžních prostředků, a to

do rezerv, které se v pojišťovnictví vytváří pro případ úhrady náhodných potřeb a nelze tudíž

předem určit, zda budou použity na spotřebu či akumulaci. Pro rezervy je typický nárok

na jejich čerpání při splnění příslušných podmínek obsažených v zákoně, vyhlášce, pojistných

podmínkách, pojistné smlouvě apod.

Rezervy hrají u pojistného trhu velmi specifickou úlohu a mají zřejmě větší význam než

peněžní fondy u jiných segmentů finančního trhu. Vztahy tvorby, rozdělování a používání

rezerv vymezují pojištění jako samostatnou ekonomickou kategorii.

U rezerv není rozhodující počet subjektů, který se na jejich tvorbě podílí. Nerozhoduje též,

kdo a jak přispívá k tvorbě rezerv. Stačí, když celková výše tvorby rezerv závisí na riziku tím,

že je v přiměřeném rozsahu zabezpečena úhrada pojistných potřeb. Důležitá je tedy

ekvivalence mezi nároky jednotlivců na čerpání z rezerv a výší tvorby rezerv.

Pro pojistný trh je charakteristické, že se na něm střetává nabídka a poptávka po pojistné

ochraně. Předmětem obchodů na pojistném trhu je pojištění a zajištění. Pojišťovnictví jako

jedno z důležitých odvětví tržní ekonomiky nabízí na pojistném trhu své zboží, resp. své

služby, tj. pojištění a zajištění.

Pojistný trh se jeví trhem, na kterém převládá nabídka. O své budoucí klienty se tady uchází

pojistitelé, zajistitelé a zprostředkovatelé. Převládá-li nabídka, stává se zároveň zárukou

soutěže, ovlivňované tvorbou cen a pojistných produktů, jako je tomu u jiných segmentů

finančního trhu. Částečně je tato soutěživost ovlivňována dozorem v pojišťovnictví a jeho

nástroji, což částečně tržní soutěž a konkurenci omezuje.

Stranu poptávky představuje na pojistném trhu různorodá skupina fyzických osob,

právnických osob a sdružení. Pojistný trh se podstatně liší od jiných segmentů finančního trhu

tím, že mnohé subjekty si nejsou své poptávky po pojistné ochraně plně vědomy. Je to z toho

důvodu, že nemají jasnou představu o existující rizikové situaci. Když například nahlédneme

na obyvatelstvo jako na základní subjekt trhu, zjistíme, že na jeho osobní „stupnici spotřeby“

stojí pojištění často na nejnižším stupni. A to i přesto, že zabezpečení jistoty zdrojů příjmů

a hodnoty majetku má mít stejný stupeň jako základní potřeby, tj. potrava, bydlení a odívání.

Dalším specifikem pojistného trhu je i to, že na rozdíl od ostatních trhů nebývá soustředěný

na určité místo, ale jde spíše o síť komerčních pojišťoven, pojišťovacích zprostředkovatelů

a zajistitelů na různých místech ekonomiky.

Na pojistném trhu působí stát a ovlivňuje jej prostřednictvím právních norem a dozoru

v pojišťovnictví. Dále na něm působí:

pojistitelé,

pojistníci a pojištění,

zprostředkovatelé pojištění,

zajistitelé,

samostatní likvidátoři pojistných událostí.

Významné místo zde zaujímají také asociace pojišťoven, které svou činností významně

ovlivňují chování členských pojišťoven. Pojistný trh se velmi dynamicky rozvíjí a díky

obrovskému kapitálu, kterým disponuje, je jedním z nejdůležitějších segmentů finančního

trhu. Jeho význam roste i s pokračující globalizací. Většina pojišťoven a zajišťoven je

napojena na mezinárodní finanční trhy, což jim umožňuje realizovat obchody ve všech

finančních centrech světa a ovlivňovat tak jejich vývoj.

Pojišťovnictví

53

11.1 Segmentace pojistného trhu

Pojistný trh je možné členit podle více kritérií. Rozhodujícím kritériem tohoto členění

a segmentace je předmět činnosti pojistitele, dalšími mohou být pojistné riziko, předmět

pojištění, pojistné produkty, subjekty pojištění, pojistitelé a podobně. Členění pojistného trhu

je ovlivňováno mnoha faktory a zahrnuje více hledisek.

Podle předmětu činnosti pojistitele je možné rozdělit pojistný trh na dva relativně samostatné

segmenty, kterými jsou:

investování dočasně volných peněžních prostředků pojistitele (tzv. investiční pojistný

trh),

nabídka a poptávka po pojištění a zajištění (tzv. věcný pojistný trh).

Obrázek 11.1.1 Členění či segmentace pojistného trhu

Pojistný trh je poněkud atypickým trhem, ale platí na něm stejná ekonomická pravidla jako

na kterémkoli jiném trhu. Jedna z podstatných odlišností spočívá v tom, že realizace

prodaných služeb se často projeví až po delším období od uzavření obchodu, a někdy se

nemusí projevit vůbec. To umožňuje komerčním pojišťovnám poměrně rozsáhlou investiční

činnost.

V tržním hospodářství je každý pojistitel nucen se chovat tržně, protože musí podnikat

v podmínkách konkurence. Komerční pojišťovny by měly podnikat a realizovat jak

pojišťovací tak i zajišťovací činnost. Kromě toho mohou realizovat i další podnikatelskou

činnost, tj. investovat dočasně volné peněžní prostředky spravovaných technických rezerv,

také část základního jmění a zhodnocovat je na finančním trhu.

Faktory ovlivňující pojistný trh

Pojistný trh je ovlivňován mnoha faktory. Jedná se především o vnější a vnitřní faktory.

Vnější faktory ovlivňují pojistný trh zvenčí a patří mezi ně:

fáze hospodářského cyklu

vývoj a objem hrubého domácího produktu,

vývoj inflace,

Pojistný trh

Nabídka pojištění a zajištění

a poptávka po pojištění a zajištění

Investování dočasně volných peněžních prostředků

Pojišťovnictví

54

vývoj nezaměstnanosti,

počet obyvatel (jejich věková struktura, střední délka života mužů a žen),

peněžní příjmy obyvatelstva, jejich průměrná mzda,

objem výdajů domácností a jejich struktura,

situace u ostatních segmentů finančního trhu, a další faktory.

Vnitřní faktory ovlivňují pojistný trh zevnitř a řadí se mezi ně:

pojišťovací a zajišťovací činnost a jiná související činnost, kterou vykonávají

komerční pojišťovny a zajišťovny,

zájem o pojištění vytvářený pojistníky, resp. pojištěnými,

chápání významu pojištění ze strany pojistníků, resp. pojištěných,

zprostředkovatelská činnost zprostředkovatelů pojištění,

regulace pojistného trhu dozorem v pojišťovnictví,

činnost asociace pojišťoven, a další faktory.

Každý z uvedených faktorů má určitý vliv na pojistný trh a jeho další rozvoj. Je třeba si

uvědomit, že riziko je objektivní skutečnost v činnosti podnikatelů i v soukromém životě

občanů. Právě existence rizika vytváří pojistné potřeby, zájem o pojištění a o pojistnou

ochranu, která se realizuje právě na pojistném trhu.

Investování dočasně volných peněžních prostředků je typická činnost všech peněžních

institucí. Mnozí pojistitelé vstupují na finanční trh s cílem dobře umístit peněžní prostředky,

aby se zhodnotily a byly bezpečně investovány. Pojišťovny na finančním trhu jednají za svoje

klienty, kteří se takto nepřímo zúčastňují transakcí na finančním trhu.

11.2 Nabídka pojistných produktů na českém pojistném trhu

Nabídka pojistných produktů na českém pojistném trhu je velice široká. V kapitole týkající se

klasifikace pojištění jsme rozdělili pojistná odvětví například:

» podle tvorby rezerv

• životní pojištění,

• neživotni pojištění,

» podle předmětu pojištění

• pojištění majetku,

• pojištění odpovědnosti za škodu,

• pojištění osob,

» podle formy vzniku pojištění

• zákonná pojištění,

• smluvní pojištění (povinná a dobrovolná).

Tyto klasifikace nyní využijeme při stručném zmapování nabídky pojistných produktů

komerčních pojišťoven působících na českém pojistném trhu.

11.3 Neživotní pojištění

Do odvětví neživotního pojištění jsou zařazeny pojistné produkty, které patří jak do pojištění

majetku a pojištění odpovědnosti za škodu, tak i do pojištění osob. Současně s tímto členěním

Pojišťovnictví

55

je nutné zdůraznit, že se do odvětví neživotního pojištění řadí pojištění zákonná i pojištění

smluvní, a to dobrovolná i povinná.

11.3.1 Pojištění majetku

Pojištění majetku se specializuje na pojišťování rizik a škod, které mohou vzniknout

na majetku fyzických nebo právnických osob. Toto pojištění se dělí na:

• pojištění věcí movitých a nemovitých,

• pojištění zájmů například pohledávek, úvěrů, vkladů, zisků.

V pojištění majetku je možné pozorovat dvě základní tendence:

1. maximální specializace pojišťovaných rizik

- má přednost zvláště při oceňování škody a výpočtu její náhrady,

2. slučování rizik do jedné pojistné smlouvy kombinovaná či sdružená pojištění

- je pro pojistníky atraktivnější, jednodušší a levnější umožňuje snižovat režijní náklady

komerční pojišťovny tak, že v rámci jedné pojistné smlouvy je zahrnuto více

pojistných rizik.

V současné době si tvoří skupiny pojištění majetku samostatně každá komerční pojišťovna

provozující tato pojištění. Přitom do jeho rámce, tj. do pojištění majetku, je v podstatě

zahrnováno i pojištění jiných majetkových hodnot či práv, než jsou věci, a na nichž může

vzniknout majetková újma.

Věc - je ovladatelný hmotný předmět či ovladatelná přírodní síla (všechny druhy

energie), které slouží potřebám lidí. Věci jsou movité a nemovité s tím, že

nemovitostmi jsou pozemky a stavby spojené se zemí pevným základem. Ostatní věci

jsou pak movité.

Součásti věci - je vše, co k ní podle její povahy náleží a nemůže být odděleno, aniž by

se tím věc neznehodnotila. Stavba není součástí pozemku. Věc i součást tvoří celek,

podrobený jedinému právnímu režimu. Součást věci přechází na nabyvatele věci bez

dalšího, i když není výslovně uvedena ve smlouvě o převodu věci.

Příslušenství věci - od součásti je třeba odlišit příslušenství věci, které tvoří věci

samostatné, ale náleží vlastníku věci hlavní a jsou jím určeny k tomu, aby byly

s hlavní věcí trvale užívány.

Vymezení pojmů věc, součásti věci a příslušenství věci má pro pojištění velký význam, a to

z hlediska určení, na které majetkové hodnoty se vztahuje.

Předmět pojištění - jsou to věci nemovité i movité, jež jsou v pojistné smlouvě jednotlivě

určeny nebo jsou součástí souboru věcí vymezeného ve smlouvě. Tyto věci má pojištěný ve

vlastnictví nebo má právo hospodaření. Pojištěný však může věci oprávněně užívat nebo je

převzít od fyzické či právnické osoby na základě smlouvy.

Soubor věcí - tvoří jej věci, které mají podobný nebo stejný charakter nebo jsou určeny

ke stejnému hospodářskému účelu. Je-li pojištěn soubor věcí, vztahuje se pojištění na všechny

věci, které k souboru právě náleží. Věci, které přestaly být součástí souboru, přestávají být

pojištěny. Pojištění se vztahuje i na věci, jež se staly součástí pojištěného souboru po

uzavření pojistné smlouvy.

Pojišťovnictví

56

Pojištění se vztahuje i na věci osobní potřeby zaměstnanců, které jsou pro pojištěné místo

obvyklé nebo které se nacházejí na místě pojištění v souvislosti s výkonem povolání v zájmu

zaměstnavatele nebo se tam nacházejí na výslovnou žádost zaměstnavatele. Musí to však být

uvedeno v pojistné smlouvě.

Pokud pojistná smlouva nestanoví jinak, pojištění se nevztahuje například na:

platné tuzemské i cizozemské státovky,

bankovky a oběžné mince,

vkladní a šekové knížky,

platební karty,

cenné papíry a ceniny,

písemnosti, plány, kartotéky,

výdejní peněžní automaty,

umělecká díla a sbírky.

Pojištění se vztahuje jen na předmět pojištění uvedený a vymezený v pojistné smlouvě.

V pojištění jsou obvyklé také tzv. obecné výluky z pojištění. Znamená to tedy, že pojištění se

nevztahuje na škody, které vzniknou:

1. následkem válečných událostí, jinými ozbrojenými konflikty a vnitrostátními

nepokoji, jakož i s tím spojenými vojenskými, policejními a úředními opatřeními;

2. následkem vzpoury, povstání, stávky;

3. v důsledku teroristických aktů a jiných násilných jednání motivovaných politicky,

sociálně, ideologicky nebo nábožensky.

Kromě specifických druhů pojištění, které se orientují na úzký okruh rizik, je majetek

v zásadě pojištěn na živelné události s případným připojištěním dalších rizik. Jednotlivá

rizika musí být přesně charakterizována, stejně jako události, které jsou jejich realizací

způsobeny. Mezi živelní rizika řadí komerční pojišťovny obvykle:

Krupobití

Náraz nebo zřícení letícího letadla, jeho části nebo nákladu

Pád stromů a stožárů

Povodeň

Požár

Sesouvání půdy, zřícení skal nebo zemin

Sesouvání nebo zřícení lavin

Tíha sněhu a námrazy

Úder blesku

Vichřice

Výbuch

Záplava

Zemětřesení

Mezi základní skupiny pojištění majetku například patří:

• pojištění pro případ poškození věci živelní událostí - pojištění smluvní dobrovolné,

• pojištění staveb - pojištění smluvní dobrovolné, pojištění domácnosti - pojištění

smluvní dobrovolné,

• pojištění strojů a zařízení - pojištění smluvní dobrovolné,

Pojišťovnictví

57

• pojištění pro případ poškození věci vodou z vodovodních zařízení - pojištění smluvní

dobrovolné,

• pojištění věcí pro případ škod způsobených atmosférickými srážkami - pojištění


• dopravní pojištění - pojištění smluvní dobrovolné,

• pojištění pro případ poškození, zničení nebo odcizení motorového vozidla - pojištění


• pojištění pro případ odcizení věcí - pojištění smluvní dobrovolné,

• pojištění pro případ uhynutí, nutného poražení nebo utracení hospodářského zvířete

nebo pro případ trvalé ztráty plemenitby (též pojištění zemědělských rizik) - pojištění


• pojištění ztrát způsobených přerušením provozu (šomážní pojištění) - pojištění


• pojištění úvěrů pojištění smluvní dobrovolné.

V následujícím textu budeme charakterizovat vybrané pojistné produkty patřící do pojištění

majetku.

Pojištění pro případ poškození nebo zničení věcí živelnou událostí

Jedná se o všeobecná pojištění movitých a nemovitých věcí, které jsou pojištěny na živelná

rizika. Mezi živelní rizika se řadí požár, výbuch, blesk, povodeň a záplava, lavina a sesuv

půdy (s výjimkou sesuvu způsobeného průmyslovým podnikáním), vichřice, krupobití, tíha

sněhu, pád cizích předmětů a skal (nejsou-li součástí pojištěné věci), zemětřesení.

Protože jde o pojištění zdrojů rizik, která majetek ohrožují nejčastěji, považuje se toto

pojištění za základ pojistné ochrany majetku a je obsažené v převážné části pojistných smluv.

Pojištění se může týkat všech živelných rizik nebo, dle pojistné smlouvy, jen skupiny rizik.

V zahraničí se uplatňuje jako základní riziko požár.

Pojištění staveb

Pojištění budov se orientuje buď na rizika živelních událostí, nebo je koncipováno jako

sdružené pojištění obsahující i další rizika, která mohou ohrožovat pojištěnou stavbu.

Realizuje se podle určení a využití pojištěné stavby, které vlastně určuje její vybavení a tím

i úroveň rizika (jiná je situace v pojištění obytné budovy, obytného činžáku, jiná v pojištění

chaty, garáže, hospodářské budovy a podobně). Riziko ovlivňuje i materiál, ze kterého je

budova postavená, a její vybavení (například železná konstrukce má menší riziko vzniku

škody např. požárem, než konstrukce ze dřeva). Těmto podmínkám odpovídají i sazby

pojištění. Zastavěná plocha, výška budovy (počet podlaží), materiál, ze kterého je budova

postavená a její vybavení určují cenu budovy jako základnu pro stanovení pojistného.

Uvedeným pojištěním jsou kryté pouze škody způsobené pojištěnými riziky na vlastní budově

a zařízení, které je součástí budovy. Proto se toto pojištění může kombinovat s dalšími

pojištěními a riziky, jako jsou například pojištění domácnosti, pojištění oplocení a ohrad,

elektromotorů apod.

Pojištění strojů a strojních zařízení

Jedná se o široké pojištění strojů a strojních zařízení, které se v praxi označuje jako „lom

strojů“. Zahrnuje v sobě jakékoliv poškození strojů a strojních zařízení, způsobené jejich

provozem. Pojištění se vztahuje i na jejich poškození nesprávnou obsluhou, údržbou nebo

opravou, při přepravě na místo montáže, při montáži apod. V tomto pojištění není tedy

zahrnuté pojištění v důsledku živelních událostí (avšak lze připojistit). Z pojištění jsou

vyloučena poškození způsobená běžným užíváním těchto zařízení, zvláště korozí, poškození

Pojišťovnictví

58

těsnění automatických praček, audiovizuální techniky a podobně. Pojištění se konstruuje

podle jednotlivých druhů strojů a strojních zařízení.

Pojištění pro případ poškození nebo zničení věcí vodou z vodovodních zařízení

Pojištění se vztahuje na všechny škody způsobené na pojištěných věcech vodou unikající

z vodovodního zařízení nebo z nádrže, jinou kapalinou nebo párou unikající z ústředního,

etážového nebo dálkového topení, vodou unikající z odváděcího potrubí, stejně jako i náplní

(nejen vodou) vytékající ze samočinného zařízení. V rámci pojištění se kryjí i škody

na pojištěných budovách, které vzniknou v důsledku přetlaku kapaliny nebo páry nebo

zamrznutí vody v potrubích patřících k budově. Toto pojištění může být součástí pojištění

budovy nebo domácnosti. U podnikatelů se uplatňuje zvláště v oblasti skladového

hospodářství na pojistnou ochranu zásob.

Pojištění věcí pro případ škod způsobených atmosférickými srážkami

Pojištění se obvykle koncipuje jako součást některého pojištění, případně samostatně.

Zahrnuje poškození věci v důsledku atmosférických srážek, zvláště zatečením. Zvláštním

pojistným typem je újma, která vznikne pořadateli sportovní, kulturní nebo jiné akce, na zisku

nebo jiných nákladech navíc, protože akce se v důsledku změny počasí konala v menším

rozsahu nebo se neuskutečnila vůbec. V poslední době se projevuje na pojistném trhu

požadavek krýt takovéto náklady i v případě dovolené, kterou narušilo neočekávané

nepříznivé počasí.

Dopravní pojištění

Dopravní pojištění je pojištění škod, které mohou vznikat jednak na dopravním prostředku,

nebo na přepravovaném zboží. Rizika na přepravovaném zboží existují po dobu trvání

přepravy nebo přípravy na přepravu. Dopravní pojištění dělíme podle více hledisek

podle druhu pojistné potřeby

• pojištění dopravního prostředku (kasko),

• pojištění přepravovaného zboží (kargo),

• pojištění ostatních potřeb, jako jsou například imaginární zisk, nájemné, dopravné, clo

apod.

podle způsobu přepravy

• pojištění námořní a říční dopravy,

• pojištění vnitrostátní dopravy,

• pojištění letecké dopravy,

• pojištění kombinované dopravy, je-li třeba na přepravu zboží nebo pasažérů použít

více na sebe navazujících způsobů dopravy,

podle doby trvání pojištění

• pojištění jedné cesty nebo určitého času, který se nemusí shodovat s dobou trvání

cesty,

• běžné pojištění.

Pojištění motorových vozidel

Pojištění motorových vozidel - havarijní pojištění (kasko) má za úkol poskytnout pojistné

plnění majiteli nebo držiteli vozidla v případě pojistné události, tj. v případě poškození,

zničení nebo odcizení motorového vozidla. Může jít o škody, které vzniknou v důsledku:

Pojišťovnictví

59

- jakékoliv živelní události,

- krádeže, loupeže, vandalství, poškození, zničení nebo odcizení motorového vozidla,

neoprávněného používání vozidla,

- dopravní nehodou, způsobenou jakoukoliv událostí, včetně nesprávného jednání řidiče

motorového vozidla.

Pojištění pro případ odcizení věcí

Pojištění se vztahuje na věci, jestliže byly odcizené způsobem, při kterém musel pachatel

překonat překážky nebo opatření chránící věc před odcizením. Některé předměty pojistné

ochrany, jako jsou například peníze, ceniny, drahé kovy apod., si vyžadují, aby byly chráněné

před odcizením zvláštními bezpečnostními opatřeními (musí být například uzamčeny

v pancéřové skříňce nebo způsobem stanoveným v pojistné smlouvě). Z pojištění jsou

hrazeny i škody způsobené loupeží, což znamená, že pachatel použil násilí nebo prostředky

bezprostředního násilí, aby věc odcizil.

Pojištění zemědělských rizik

Toto pojištění se realizuje v zemědělství jako pojištění plodin a pojištění hospodářských zvířat

a jiná pojištění zemědělských rizik.

Pojištění plodin se vztahuje na různá, zvláště živelní rizika, která mohou ohrozit jednotlivé

pěstované plodiny a rostliny. Pojistit je možné jednotlivá rizika, stejně jako jednotlivé

plodiny, jako jsou obilí, tabák, chmel, zelenina, vinná réva, ovocné stromy a podobně.

Pojištění důsledků vyplývajících z přerušení provozu (šomážní pojištění)

Přímé materiální škody způsobené jednotlivými pojištěnými riziky, bývají často nižší, než

celkové ztráty způsobené přerušením provozu. Tyto ztráty z velké části kryje pojištění škod

způsobených přerušením provozu. Pojistná ochrana se vztahuje na majetkové či peněžní

újmy, které nejsou zahrnuté do žádného věcného pojištění.

Šomážní pojištění se vztahuje na případy úplného nebo částečného přerušení provozu

u podnikatele, a to v důsledku některé pojištěné živelné události, nebo poškození strojů

a strojních zařízení které jsou na tento účel pojištěny, při kterém nemůže pojištěný produkovat

a vytvářet zisk. Z pojištění bývají tedy uhrazené ztráty na zisku a nezbytné náklady, které se

vynakládají po dobu úplného nebo částečného zastavení provozu v důsledku události uvedené

v pojistné smlouvě.

Velikost způsobených škod závisí například na velikosti podniku, jeho rentabilitě a velikosti

přímých materiálových škod i na době potřebné k opětovnému obstarávání zničených nebo

poškozených pojištěných věcí, na vzájemné závislosti jednotlivých útvarů na výrobě,

na místní koncentraci výroby a také na účinnosti opatření ke snížení rozsahu škody

a urychlení obnovy provozu. Komerční pojišťovna má zájem na urychleném zahájení

provozu, a proto z pojištění hradí i náklady spojené s jeho urychleným obnovením.

Pojištění úvěrů

Pojištění úvěrů můžeme charakterizovat jako majetkové pojištění pro případ ztráty

z obchodního styku. Jde o pojistný druh, jehož předmětem je riziko nezaplacení úvěru

dlužníkem v případech dohodnutých v pojistných podmínkách. V podstatě je pojištění úvěrů

rozdělené na pojištění vnitrostátních a exportních úvěrů.

11.3.2 Pojištění odpovědnosti za škodu

Pojištění odpovědnosti za škodu se vztahuje na škody způsobené pojištěným na majetku

a zdraví nebo zájmech jiných osob a organizací (tzv. třetích osob). Potřeba pojištění

Pojišťovnictví

60

odpovědnosti za škodu je daná kulturním a technickým rozvojem lidstva a jeho ekonomiky

a také jeho sociálních potřeb. Pojištění zákonné odpovědnosti odráží moderní vývoj práva

v myšlence, že každý, kdo vykonává činnost, kterou může ohrozit osobu nebo majetek

třetího, bezpodmínečně ručí za škody vzniklé touto činností. Pojištění na sebe přebírá tíhu

všech druhů zákonných náhrad a zbavuje pojištěného povinnosti zaplatit škody v případě, že

by pro něj v oblasti pojistné ochrany vyplynuly povinnosti náhrady škody. Základní úlohou

pojištění občanské odpovědnosti je zabezpečit majetkové újmy poškozených občanů

a organizací, kterým byla způsobena škoda. To je hlavní důvod, proč má toto pojištění

odpovědnosti za škodu velký ekonomický a zvláště sociální význam.

Pojistnou události v pojištění odpovědnosti za škodu je událost, při které vznikla škoda

na majetku, zdraví a životě třetí osoby (poškozeného) a za tuto událost pojištěný podle

právních norem nese odpovědnost. Pojištění odpovědnosti za škodu je vlastně pojištění

následků vyplývajících z nedokonalé činnosti lidí.

V pojištění odpovědnosti za škodu se předpokládá skutek

• který zapříčinil škodu třetí osobě,

• za který pojištěná osoba nese objektivní odpovědnost,

• na základě kterého vznese poškozený (třetí osoba) nárok vůči pojištěné osobě.

Prvotní škodová či pojistná událost nastává v cizí majetkové sféře (poškozená je třetí osoba)

a až vznesením nároku se vrací zpětnými účinky do majetkové sféry pojistníka. Pro pojištění

odpovědnosti není rozhodující škoda vznikající v cizí sféře, ale pouze ta část škody, která

hrozí pojištěnému, že ji bude snášet jako následek nároků na úhradu vyplývající z právních

předpisů.

Škoda - jakákoliv újma, která postihne majetek, osobu nebo práva třetí osoby - rozsah újmy

může být velmi intenzívní.

Obsahem pojištění odpovědnosti za škodu je právo pojištěného, aby pojistitel za něho uhradil

škody, za které odpovídá a které by jinak musel uhradit sám. Povinnost uhradit různé škody,

které občan způsobil jinému a za které odpovídá, je dána různými právními předpisy.

Základní členění odvětví pojištění odpovědnosti za škodu v zásadě odráží strukturu

a vymezení jednotlivých pojistných druhů odpovědnosti tak, jak vyplývá z právních předpisů

zejména z občanského zákoníku, například obecná odpovědnost a dále případy zvláštní

odpovědnosti. Pracovněprávní odpovědnost upravuje zákoník práce, a to jak odpovědnost

zaměstnavatele vůči zaměstnanci, tak i odpovědnost zaměstnance vůči zaměstnavateli.

Pojištění odpovědnosti za škodu pak může být koncipováno široce, tj. když jeho rozsah

zahrnuje veškerou odpovědnost pojištěného subjektu, nebo mohou být některé druhy

odpovědnosti tohoto subjektu z pojištění vyloučeny, popř. může jít o specifické pojištění

pouze vybraného druhu odpovědnosti. Přísně vymezený druh odpovědnosti je vždy

předmětem zákonného či smluvního povinného pojištění. Tyto druhy odpovědnosti jsou pak

přesně specifikovány v příslušných právních předpisech, upravujících tato pojištění.

V oblasti smluvního dobrovolného pojištění odpovědnosti za škodu lze pojistit jakýkoliv druh

odpovědnosti mající charakter nahodilosti. Konkrétní pojištění pak závisí na příslušných

pojistných podmínkách pojistitele a dalších smluvních ujednáních či specifických pojistných

podmínkách. V každé tržní ekonomice tak existují různá pojištění odpovědnosti za škodu

provozovaná jednotlivými pojistiteli.

Vzhledem k různorodým oblastem odpovědnosti za škodu je toto pojištění velmi variabilní.

Jedná se například o následující pojištění

• odpovědnosti za škodu při pracovním úraze nebo nemoci z povolání » zákonné pojištění,

Pojišťovnictví

61

• odpovědnosti za škodu způsobenou provozem vozidla » smluvní povinné pojištění,

• odpovědnosti z provozu organizace » smluvní dobrovolné pojištění,

• odpovědnosti organizace za škodu způsobenou zaměstnancům » smluvní dobrovolné

pojištění,

• odpovědnosti z výkonu povolání » smluvní dobrovolné pojištění,

• odpovědnosti za škodu z provozu letadla » smluvní povinné pojištění,

• odpovědnosti za škodu při výkonu lovecké činnosti » smluvní povinné pojištění,

• odpovědnosti za škodu způsobenou vadným výrobkem » smluvní dobrovolné pojištění,

• odpovědnosti za škody způsobené na životním prostředí (environmentální pojištění) »

smluvní dobrovolné pojištění,

• odpovědnosti za škodu v občanském životě » smluvní dobrovolné pojištění,

• odpovědnosti za škodu způsobenou činností lékařů » smluvní povinné pojištění,

• odpovědnosti za škodu způsobenou činností auditorů » smluvní povinné pojištění,

• odpovědnosti za škodu způsobenou činností komerčních právníků » smluvní povinné

pojištění.

V následujícím textu jsou charakterizována vybraná pojištění odpovědnosti za škodu.

Pojištění odpovědnosti za škodu při pracovním úraze nebo nemoci z povolání

Od 1. 1. 1993 existuje v České republice zákonné pojištění odpovědnosti za škodu při

pracovním úraze nebo nemoci z povolání. Přímo ze zákona je organizace (právnická i fyzická

osoba), zaměstnávající alespoň jednoho pracovníka, pojištěna pro případ své odpovědnosti za

škodu při pracovním úraze nebo nemoci z povolání. Pojištění se nevztahuje na organizace,

které mají postavení státního orgánu.

U České pojišťovny, a.s. jsou pojištěny organizace, které s ní měly sjednáno toto pojištění

k 31. 12. 1992. Ostatní organizace byly pojištěny podle sídla v příslušném okrese bud'

u České Kooperativy, a.s. nebo u Moravskoslezské Kooperativy, a.s., v současnosti po

sloučení obou pojišťoven u Kooperativa pojišťovny, a.s.

Z uvedeného rozsahu pojištění vyplývá, že se týká pouze odpovědnosti za škodu při

pracovních úrazech a nemocích z povolání, jak je vyjádřena v zákoníku práce, v § 190

a následujících. Významné je zejména ustanovení § 193 zákoníku práce, upravující nároky

pracovníka, tj. ztrátu na výdělku, bolest a ztížení společenského uplatnění, účelně vynaložené

náklady spojené s léčením a věcnou škodu.

Vyhlášku, kterou se stanoví podmínky a sazby pojistného, vydalo Ministerstvo financí pod

číslem 125/1993 Sb.

Pojištění odpovědnosti za škodu způsobenou provozem vozidla

Uvedené pojištění kryje v České republice za pojištěného všechny škody, které jsou

způsobené provozem vozidla (kterého je vlastníkem) jiným, třetím osobám. Zároveň

pojišťovna pojištěnému poskytuje právní ochranu při soudním projednávání způsobené újmy

v trestním řízení. Pojištění se vztahuje na způsobené škody i tehdy, když je nezpůsobil

pojištěný vlastník motorového vozidla, ale jiná osoba, případně řidič, který vozidlo odcizil.

V případě odcizení pojišťovna vymáhá od pachatele všechna vyplacená pojistná plnění.

Pojištění má v České republice charakter smluvního povinného pojištění, které vzniká

sjednáním pojistné smlouvy. Toto pojištění se vztahuje na všechna vozidla bez ohledu na to,

Pojišťovnictví

62

zda bylo nebo nebylo zaplacené pojistné. Otázka vymáhání pojistného je věcí komerční

pojišťovny, tj. ve smyslu zákona musí vymáhat nezaplacené pojistné včetně škod, které

pojištěný nesplněním zákonné povinnosti způsobil a dalších zákonem stanovených sankcí.

Poškozený v porovnání se smluvními dobrovolnými pojištěními, která uzavře na svá rizika,

dostane z odpovědnostního pojištění v případě majetkové škody pouze skutečnou škodu, která

mu vznikla.

V České republice je od 1. 1. 2000 smluvním povinným pojištěním. Pojištění provozuje více

pojistitelů, kteří plní podmínky k tomu stanovené. Byl vytvořen garanční fond s účastí těchto

pojistitelů, z něhož se poskytují odškodnění v případech, kdy není možné plnit dle pojistné

smlouvy např., pokud škoda byla způsobena provozem nezjištěného vozidla nebo pokud

vozidlo nebylo pojištěno aj. V České republice je koncipována „Česká kancelář pojistitelů",

jejímiž členy jsou pojišťovny provozující toto pojištění (dle zákona č. 168/1999 Sb.,

o pojištění odpovědnosti za škodu způsobenou provozem vozidla).

Pojištění odpovědnosti za škodu způsobenou provozem organizace

Pojištění se realizuje jako smluvní dobrovolné pojištění podnikatelských subjektů a jiných

organizací za škodu, kterou může způsobit organizace svým provozem třetím osobám.

Využívá se zvláště v oblasti služeb, kde se pojišťují škody, které mohou vzniknout

na opravovaných věcech při jejich uskladnění a opravě, na odložených svršcích například

u kadeřníka, holiče, v hotelu, restauraci apod. Může se však jednat i o škody, za které

odpovídá výrobce při výrobním procesu, např. škody způsobené návštěvníkům a exkurzím ve

výrobních halách; poškození okolních budov při výbuchu v továrně; škody, které jsou

způsobeny nepovolenými skládkami apod.

Pojištění odpovědnosti za škodu způsobenou při výkonu povolání

Pojištění se realizuje jako smluvní dobrovolné pojištění zaměstnanců. Vztahuje se na škody

uvedené v pojistných podmínkách, které způsobí zaměstnanec svému zaměstnavateli svojí

činností vykonávanou v souvislosti s pracovní činností. Jedná se zvláště o neúmyslné

poškození majetku zaměstnavatele a způsobení jiné majetkové újmy. Pojištění se zpravidla

nevztahuje na věci, které jsou zaměstnanci svěřené do užívání a za které odpovídá na základě

hmotné odpovědnosti. Pojištění se původně uzavíralo s odborovou organizací pro její členy.

V současnosti jde o individuální pojištění.

Pojištění odpovědnosti za škodu způsobenou vadným výrobkem

Pojištění odpovědnosti za škodu způsobenou vadným výrobkem nabývá stále většího

významu. Na začátku století ho zavedli v USA zvláště pro výrobce a distributory

potravinářských výrobků (zvláště konzervy), které nedostatečnou a nekvalitní dopravou

a technologickým zpracováním způsobovaly zdravotní těžkosti svým spotřebitelům.

V současnosti se toto pojištění uplatňuje na všechny druhy výrobků.

V České republice je toto pojištění nabízeno zatím jako smluvní dobrovolné pojištění, a to

více komerčními pojišťovnami, přičemž některé uplatňují princip loss occurence a některé

princip claims made. Rozdíl mezi oběma principy je značný a je vysvětlen následovně:

princip loss occurence, kde pojištění odpovědnosti za výrobek chrání pojištěného proti

možným následkům odpovědnosti za škody, které výrobek způsobí v době platnosti pojistné

smlouvy,

Pojišťovnictví

63

princip claims made, kde pojištění odpovědnosti za výrobek kryje škody, které mohly nastat

v minulosti, ale i jejich následky, to znamená uplatnění nároku na náhradu škody, se projeví

až v průběhu pojistného období platné pojistné smlouvy; pojistnou událostí tak není datum,

kdy vadný výrobek způsobil škodu, ale datum, kdy poškozený písemně uplatnil nárok

na náhradu škody u pojištěného.

Je velmi obtížné rozhodnout, který z obou principů je výhodnější. Ve světě však začíná

převažovat princip loss occurence. U pojištění odpovědnosti za výrobek je pojistné zpravidla

kalkulováno jako určitý díl z předpokládaného obratu, přičemž se přihlíží k rizikovosti

výrobků, pojištěnému rozsahu zeměpisného krytí, dosavadnímu škodnímu průběhu a zvolené

výši limitu pojistné náhrady.

Pojištění odpovědnosti za škodu manažerů, ředitelů a členů představenstev

Pojištění odpovědnosti za škodu manažerů se vztahuje na ředitele, člena představenstva nebo

jiného statutárního orgánu či kteréhokoliv manažera uvedeného jmenovitě v pojistné smlouvě

v souvislosti s výkonem jejich vedoucí funkce ve společnosti a stanoveného zákonného ručení

za škodu vzniklou třetím osobám, pokud pojištěný za ni odpovídá v důsledku

• svého jednání nebo nečinností jednání, jakým je například opomenutí, přehlédnutí

a podobně, nebo jednání uskutečněná při poskytování odborných služeb;

• porušením zásad nebo pokynů schválených orgány společnosti, zejména valnou

hromadou, členskou schůzí apod.;

• porušení rozsahu svého jednatelského oprávnění nebo vztahu z doby trvání pojištění.

Pojistnou událostí je vznik povinnosti pojištěného nahradit během doby pojištění vzniklou

škodu, za kterou pojištěný odpovídá a je povinen ji uhradit.

Pojistníkem bývá většinou právnická osoba, které může být způsobena škoda a je možné

sjednat pojištění jak pro jednotlivce tak i skupinový orgán.

11.3.3 Pojištění osob

Pojištění osob slouží ke krytí předpokládaných rizik podnikatele, jeho rodiny i jeho

zaměstnanců v občanském životě. Finanční prostředky získané z dané pojistky pak mohou být

použity k zabezpečení rodinných příslušníků i podnikatele samotného, protože v důsledku

trvalých následků může dojít ke změně pracovní schopnosti a tím i možnému omezení příjmů.

Pojistné produkty, které se řadí do pojištění osob, je možné rozdělit na pojištění

• riziková - tedy ta, u nichž se neví, zda dojde k pojistné události, což znamená, že je

nějaká pravděpodobnost pro vyplacení pojistného plnění,

• rezervotvorná - jedná se o pojištění, u nichž bude pojistné plnění vyplaceno vždy, a to

pojištěnému či pozůstalým.

Pojištění léčebných výloh v zahraničí (cestovní pojištění)

Pojištění léčebných výloh v zahraničí je nejdynamičtěji se rozvíjející pojistný druh v pojištění

osob. Předmětem pojištění je úhrada z lékařského hlediska nezbytných nákladů na ošetření

pojištěného, kterému se musel během svého pobytu podrobit v důsledku nemoci nebo úrazu.

Toto pojištění je provozováno s devizovým zahraničním soupojistitelem vzhledem k nutnosti

devizového pojistného plnění.

Pojišťovnictví

64

Pojištění začíná obyčejně v okamžiku, kdy pojištěný překročil hranice České republiky,

ovšem nikoliv před datem uvedeným v pojistce jako den počátku pojištění. Při sjednávání

pojištění v den výjezdu do zahraničí se k datu připojí rovněž hodina, kdy byla pojistka

uzavřena.

Základem cestovního pojištění je pojištění nákladů, které jsou v souvislosti s pojistnou

událostí z lékařského hlediska nezbytné, tj. lékařské ošetření, pobyt v nemocnici, léky

předepsané lékařem, náklady na převoz do nejbližšího lékařského zařízeni popřípadě zpět do

České republiky, i náklady na nezbytný doprovod, náklady na převoz tělesných ostatků do

místa trvalého bydliště apod.

Pojištění příjmů v době pracovní neschopnosti

Relativně novým pojistným produktem je pojištění příjmů v době pracovní neschopnosti.

V dřívějších dobách mzdové nivelizace, kdy příspěvky ze sociálního zabezpečení v době

nemoci byly adekvátní v poměru k většině příjmů, nebylo toto pojištění nutné. V současné

době však maximální limit tzv. nemocenského způsobuje, že příjem v nemocnici je pro

zaměstnance nebo podnikatele s vyššími příjmy pouze zlomkem jejich obvyklého příjmu.

Nemocnost těchto příjmových kategorií je také podstatně nižší, protože nemoc často řeší

čerpáním dovolené nebo přecházením nemoci.

Zejména pro déle trvající nemoci je skutečným řešením sjednání pojištění příjmu pro případ

pracovní neschopnosti. Pojištění se sjednává na výplatu určité denní částky. Sjednaná pojistná

částka je vyplácena po dobu pracovní neschopnosti, obvykle se však stanoví, že k výplatě

dochází až po uplynutí určité doby. Příbuzným pojištěním je sjednání výplaty denní částky při

pobytu v nemocnici, případně zajištění nadstandardního pobytu v nemocnici.

Úrazové pojištění

Obsahem úrazového pojištění je finanční zabezpečení pojištěné osoby v případě, kdy

v důsledku úrazu u ní dojde k přechodnému nebo trvalému poškození nebo k smrti.

U úrazového pojištění je nutné rozlišovat dva základní pojmy:

• doba nezbytného léčení - doba, která je třeba ke zhojení nebo ustálení poškození;

podle této doby se stanoví procento z pojistné částky;

• trvalé následky úrazu - zjišťuji se zpravidla rok po úrazu, kdy je zdravotní stav ustálen

a jde zjistit, jak se tyto následky podílí na zdravotním stavu; částka vyplacená jako

pojistné plnění bývá vyšší při trvalých následcích úrazu než u doby nezbytného léčení.

Pojistnou událostí v úrazovém pojištění je úraz pojištěného. Úrazem se rozumí neočekávané

a náhlé působení zevních sil, kterými bylo poškozenému nezávisle na jeho vůli způsobeno

tělesné poškození nebo smrt. Za úraz se považuje i stav, kdy v důsledku zvýšené svalové síly

vyvinuté na končetiny nebo páteř dojde k vymknutí kloubu nebo přetržení svalů, šlach, vazů

nebo pouzder.

Pojištění se týká pojistných událostí, které nastanou během trvání pojištění, a jeho územní

platnost není omezena. Povinností pojištěného je bez zbytečného odkladu vyhledat po úrazu

lékařskou pomoc a léčit se podle pokynů lékaře.

Úrazové pojištění je provozováno jako pojištění na pojistnou částku. Výše pojistného plnění

nemůže být dána výší škody, ta je v těchto případech velmi obtížně ohodnotitelná. Úrazové

pojištění bývá nejčastěji kombinováno s dalšími pojištěními, a to životním pojištěním. Může

Pojišťovnictví

65

být tedy sjednáno bud' samostatně pro různé věkové kategorie nebo jako důležitá složka

sdružených pojištění anebo jako doplňkové pojištění k životnímu pojištění.

11.4 Životní pojištění

Životní pojištění má poměrně dlouhou tradici, je spojeno se vznikem pojištění. Historicky

bylo v popředí riziko smrti, dále zabezpečení pohřbu a podpory pro pozůstalé. Soudobé

pojištění představuje souhrn různých skupin pojištění, která kombinují, resp. sdružují dvě

základní rizika

• riziko smrti - pojištěný v pojistné smlouvě určí osobu, které má pojistnou událostí

vzniknout právo na plnění,

• riziko dožití - představuje dlouhodobý proces spoření a pojištění formou placení

pojistného; tuto část pojistného komerční pojišťovna ukládá do rezerv životního

a důchodového pojištění; takto vytvořené rezervy jsou velmi vhodné k tomu, aby jich

bylo použito na investiční činnost a umístění na finančním trhu.

Životní pojištění je pojistné odvětví, které se orientuje na pojištění rizika dožití nebo úmrtí.

Jeho charakteristickým rysem je, že v každém případě pojišťovna vyplatí pojistné plnění.

Základním principem pojištění je vyplatit dohodnutou pojistnou částku v případě, že se

pojištěný dožije data konce pojištění, resp. data zvlášť dohodnutého v pojistné smlouvě, nebo

při předčasném úmrtí. Pojištění může být navíc kombinované s podílem pojištěného

na přebytcích pojištění nebo na zisku z investovaných prostředků. Tento podíl se často

realizuje ve formě prémie, případně i valorizace pojistných částek. V případě osvobození

od placení zase pojišťovna zaručuje, že všechny nároky vyplývající z pojištění budou

zachovány přesto, že pojištěný nebude platit pojistné. Osvobození od placení pojistného se

realizuje v případech, kdy se pojištěný stane trvale invalidním a uplatňuje se po celou dobu

jeho invalidity. Životní pojištění mají širokou variabilitu. Mezi tato pojištění se zařazují

i důchodová pojištění.

U všech životních pojištění, hlavně u pojištění pro případ smrti nebo pojištění pro případ

invalidity, resp. důchodovém pojištění je uzavření smlouvy závislé na zdravotním stavu

pojišťovaného. Návrh na pojištění obsahuje obvykle otázky na zdravotní stav pojištěného.

Pojišťovaná osoba je povinna je pravdivě zodpovědět, v některých pojištěních je předepsaná

lékařská prohlídka a sjednání pojištění je vázáno na výsledek lékařské prohlídky.

Podmínkami pro sjednání pojistné smlouvy v životním pojištění je vstupní věk, pojistná doba,

doba placení pojistného a druh pojistné události. Nejnižší vstupní věk u životního pojištěni

v České republice je 15 let, nejvyšší vstupní věk je potom 65 let. Limitní termín pro pojistné

plnění (tj. dokdy je pojišťovna povinna plnit) je obvykle 85 let.

V rámci životního pojištění lze u komerčních pojišťoven v ČR sjednat

• Pojištění pro případ smrti nebo dožití.

• Pojištění pro případ smrti.

• Trvalé pojištění pro případ smrti.

• Kapitálové životní pojištění.

• Pojištění pro děti a mládež.

• Investiční životní pojištění.

• Důchodové pojištění.

Pojišťovnictví

66

Životní pojištění je jedním ze základních pojistných odvětví. Toto pojistné odvětví výrazným

způsobem přispívá k sociální jistotě i těch, kteří se pojistili nebo sjednali pojištění pro někoho

jiného. Komerční pojišťovny se při nabídkách svých pojistných produktů zaměřují na různé

vrstvy obyvatelstva. V následujícím textu si vysvětlíme některé pojistné produkty z odvětví

životního pojištění.

Pojištění pro případ smrti nebo dožití

Pojištění pro případ smrti nebo dožití je životní pojištění, u něhož je možné uzavřít pojištění

na libovolné vysokou pojistnou částku s dobou placení 10, 15 a více let. Pojistná částka je

plněna v případě smrti v době platnosti pojištění nebo při dožití konce pojištění. V případě

přiznání plného invalidního důchodu je pojištěný zproštěn dalšího placení pojistného, přičemž

pojištění pokračuje v původním rozsahu až do konce původně sjednané doby.

Pojistné plnění je zvyšované valorizací, tj. každoročním podílem pojištěného na výnosech

rezerv životního a důchodového pojištění. Kromě valorizace jsou vložené prostředky

zhodnocovány základním úročením a zvláštními prémiemi. Při valorizaci jednotlivých druhů

pojištění se přihlíží k tomu, jaký byl jejich podíl na tvorbě rezerv. Při dodržování veškerých

stanovených podmínek pojistné smlouvy se sečtené valorizované hodnoty za všechna léta

trvání životního pojištění vyplatí pojištěnému spolu s původně sjednanou pojistnou částkou

zvýšenou o zvláštní prémii po skončení daného pojištění (tj. při dožití určitého věku).

Zvláštní prémie jsou zaručeny smluvně. Pojištěný dostává navíc formou zvláštních prémií

nad pojistnou částku 15 - 50 % výše smluvené pojistné částky v závislosti na době trvání

pojištění. V budoucnu by měly být valorizace a zvláštní prémie sloučeny do formy podílu

na zisku. U již sjednaných pojištění však zůstanou zvláštní prémie zachovány.

Pojištění pro případ smrti

Nejčastěji je toto pojištění využíváno podnikateli, neboť některé bankovní instituce podmiňují

poskytnutí úvěru uzavřením tohoto pojištění. Pojištění lze sjednat na dobu 5, 10, 15 let a déle.

Nejvyšší pojistná částka není omezena.

Trvalé pojištění pro případ smrti

Trvalé pojištění pro případ smrti je druh pojištění, který se sjednává pouze pro určitý počet

let. Pojistná částka bude vyplacena v případě smrti pojištěného i po uplynutí doby placení

pojistného, resp. v případě dožití se určitého sjednaného věku.

Kapitálové životní pojištění

Tento pojistný produkt poskytuje výhodné moderní životní pojištění a též dobrou finanční

investici. Poskytuje také nejvyšší pojistnou ochranu s nárůstem kapitálové hodnoty. Vložené

peněžní prostředky přináší i podíly na zisku, které jsou připisovány k produktům kapitálového

životního pojištění. Toto pojištění zahrnuje kombinaci pojistné ochrany s různými variantami

investování a s různou dobou výplaty pojistných plnění a možností připojištění dalších rizik.

Investiční životní pojištění

Tento pojistný produkt představuje spojení pojištění a dlouhodobého spoření. Poskytuje

účinnou ochranu před individuálními riziky a umožňuje připojištění dalších rizik. Peněžní

prostředky z tohoto pojištění se v průběhu pojistné doby zhodnocují prostřednictvím různých

nástrojů a finančních fondů na finančním trhu.

Pojišťovnictví

67

Důchodové pojištění

Důchodové pojištění je vlastně pojištění na dožití se sjednaného věku s postupnou výplatou

pojistné částky. V rámci důchodového pojištění se uskutečňuje výplata různých druhů

důchodů starobní, invalidní, sirotčí, vdovský, vdovecký, důchod rodičů, důchod druha

a družky, důchod sourozenců apod. O tom, jaký důchod se v rámci důchodového pojištění

uplatní, rozhoduje pojistník tím, že volí ve prospěch koho důchodové pojištění sjedná. Pouze

v případě, že pojistník neurčuje ve prospěch koho se bude vyplácet nebo jeho volbu nelze

realizovat, určuje zákon pořadí osob majících nárok na pojistná plnění.

Při důchodovém pojištění je možné získat jistotu a zabezpečení pro případ složitých životních

situací, jakou je například plná invalidita. Je to jistota nejen pro sebe, ale v případě odchodu

ze života i pro celou rodinu nebo nejbližší. Současně se však vytváří finanční rezerva, která po

odchodu na zasloužený odpočinek přispívá doživotně podstatným způsobem k udržení

dosaženého životního standardu klienta.

Důchodové pojištění má doplnit důchody poskytované jako dávky sociálního zabezpečení ze

systému sociálního pojištění řízeného státem. Pojistné plnění se může vyplácet bud' formou

pravidelného důchodu nebo jednorázově od určitého sjednaného věku pojištěného. Výše

ročního doživotního důchodu musí být sjednána v pojistné smlouvě. Důchod se vyplácí

zpravidla od výročního dne v roce, kdy se pojištěný dožije věku uvedeného v pojistné

smlouvě.

Matematika životního pojištění

68

ČÁST II.

MATEMATIKA ŽIVOTNÍHO

POJIŠTĚNÍ


69

12 Úmrtnostní tabulky

12.1 Popis a konstrukce úmrtnostních tabulek

Předmětem životního pojištění jsou pojistné události, které se týkají lidského života.

Konkrétně spočívá pojistná událost v úmrtí nebo dožití se určitého věku. Oba tyto jevy mají

náhodný charakter, a mohou být tedy popsány jen s použitím pravděpodobnostních nástrojů.

Pojistné smlouvy životního pojištění se zpravidla uzavírají na delší časová období a navíc

s tím, že pojišťovna nemůže od smlouvy odstoupit. Proto je z hlediska pojišťovny žádoucí mít

co nejlepší odhad rizika, které na sebe uzavřením pojistné smlouvy bere. To je také důvodem

toho, že pojištěný často musí před sepsáním pojistné smlouvy absolvovat zdravotní prohlídku.

Odhad rizika úmrtí z přirozených příčin je však potom možné získat relativně přesně.

Základem pro odhady rizika úmrtí jsou tzv. úmrtnostní tabulky.

Úmrtnostní tabulka je popisem vývoje hypotetické populace založeným na informacích

o úmrtnosti obyvatel daného státu v jednoletých či víceletých věkových třídách podle údajů

z běžné evidence obyvatelstva a posledního sčítání lidu. Tabulka popisuje tzv. dekrementní

řád vymírání populace podle věku v daném prostoru a čase.

U nás publikuje celostátní úplné (jednoleté) i krajské zkrácené (víceleté) úmrtnostní tabulky

každoročně Český statistický úřad (ČSÚ), zvlášť pro muže a zvlášť pro ženy. Tyto tabulky

jsou konstruovány na základě úmrtnostních zkušeností určitého roku nebo krátkého (např.

tříletého) období. Někteří autoři proto charakterizují takové úmrtnostní tabulky jakožto jakýsi

„snímek“ vývoje hypotetické populace a v klasifikaci úmrtnostních tabulek se označují často

přívlastkem běžné, někdy také průřezové či okamžikové. Běžné úmrtnostní tabulky tedy

neobsahují úmrtnostní charakteristiky vztahující se k celému životu téhož průměrného

jedince. Pokud např. máme běžnou úmrtnostní tabulku za rok 2013, budou pro jedince, který

se narodil v roce 1963 v průměru platit pravděpodobnosti úmrtí a dožití 50leté osoby. Bude-li

nás zajímat, jaké budou pravděpodobnosti úmrtí či dožití pro uvažovaného jedince např. po

dovršení 70 let, dozvíme se to až z běžných úmrtnostních tabulek za rok 2033. Tyto

pravděpodobnosti budou pochopitelně obecně odlišné od pravděpodobností plynoucí

z úmrtnostních tabulek za rok 2013 pro 70letou osobu.

Skutečný záznam průběhu života konkrétní generace současně narozených jedinců (např.

ročníku 1940) představují tzv. generační (kohortní) úmrtnostní tabulky, které ovšem vyžadují

provádění odhadů budoucího vývoje úmrtnosti.

V dalším výkladu se budeme držet struktury i způsobu, kterým konstruuje běžné úplné

úmrtnostní tabulky ČSÚ. Tato struktura a konstrukce jednotlivých veličin je vždy v úvodu

příslušné publikace stručně popsána. Konkrétní tvar běžné úplné úmrtnostní tabulky ukazuje

tabulka 12.1.1.


70

Tabulka 12.1.1 Úmrtnostní tabulka mužů ČR v roce 2013

x Dx Px qx lx dx Lx Tx ex

0 158 55152 0,002888 100000 289 99761 7522771 75,23

1 19 55901 0,000340 99711 34 99694 7423011 74,45

2 6 58701 0,000102 99677 10 99672 7323317 73,47

3 9 61650 0,000146 99667 15 99660 7223645 72,48

4 5 62436 0,000084 99653 8 99648 7123985 71,49

5 6 61694 0,000094 99644 9 99639 7024336 70,49

6 6 58202 0,000100 99635 10 99630 6924697 69,50

7 5 54389 0,000112 99625 11 99619 6825067 68,51

8 8 51674 0,000109 99614 11 99608 6725448 67,52

9 4 49512 0,000106 99603 11 99597 6625840 66,52

10 5 48235 0,000121 99592 12 99586 6526243 65,53

11 6 47537 0,000128 99580 13 99574 6426656 64,54

12 8 47061 0,000116 99567 12 99562 6327083 63,55

13 5 46455 0,000109 99556 11 99550 6227521 62,55

14 2 46136 0,000117 99545 12 99539 6127971 61,56

15 10 46505 0,000162 99533 16 99525 6028432 60,57

16 13 46694 0,000274 99517 27 99503 5928907 59,58

17 21 48369 0,000511 99490 51 99464 5829403 58,59

18 35 52871 0,000688 99439 68 99405 5729939 57,62

19 59 59260 0,000798 99371 79 99331 5630534 56,66

20 47 63108 0,000829 99291 82 99250 5531203 55,71

21 46 65445 0,000746 99209 74 99172 5431953 54,75

22 51 67715 0,000720 99135 71 99099 5332781 53,79

23 46 67834 0,000793 99064 79 99024 5233682 52,83

24 67 69070 0,000816 98985 81 98945 5134658 51,87

25 56 70551 0,000802 98904 79 98865 5035713 50,92

26 51 71420 0,000776 98825 77 98787 4936848 49,96

27 54 73083 0,000748 98748 74 98711 4838062 48,99

28 58 74242 0,000780 98674 77 98636 4739350 48,03

29 67 74690 0,000825 98598 81 98557 4640714 47,07

30 59 75582 0,000855 98516 84 98474 4542157 46,11

31 69 76661 0,000855 98432 84 98390 4443683 45,14

32 72 79517 0,000907 98348 89 98303 4345294 44,18

33 80 86022 0,001027 98259 101 98208 4246990 43,22

34 108 91362 0,001088 98158 107 98104 4148782 42,27

35 110 93327 0,001123 98051 110 97996 4050678 41,31

36 102 95220 0,001115 97941 109 97886 3952682 40,36

37 107 97073 0,001184 97832 116 97774 3854796 39,40

38 121 98416 0,001217 97716 119 97656 3757022 38,45

39 150 96129 0,001363 97597 133 97530 3659366 37,49

40 111 88715 0,001491 97464 145 97391 3561836 36,55

41 148 81686 0,001671 97319 163 97237 3464444 35,60

42 146 77582 0,002006 97156 195 97058 3367207 34,66

43 179 74647 0,002405 96961 233 96844 3270149 33,73

44 206 71428 0,002617 96728 253 96601 3173304 32,81

45 193 69577 0,002909 96475 281 96334 3076703 31,89

46 212 69925 0,003178 96194 306 96041 2980369 30,98

47 261 71525 0,003591 95888 344 95716 2884328 30,08

48 302 74506 0,003932 95544 376 95356 2788612 29,19

49 333 74534 0,004311 95168 410 94963 2693256 28,30

50 293 69207 0,004593 94758 435 94540 2598292 27,42

51 342 64547 0,005070 94323 478 94084 2503752 26,54

52 348 63029 0,005536 93845 519 93585 2409668 25,68

53 402 61929 0,006360 93325 594 93028 2316084 24,82

54 432 63336 0,007225 92731 670 92396 2223055 23,97

55 577 67704 0,008091 92061 745 91689 2130659 23,14


71

Tabulka 12.1.1 Úmrtnostní tabulka mužů ČR v roce 2013 (pokračování)


56 655 70796 0,009050 91317 826 90903 2038970 22,33

57 691 71760 0,010091 90490 913 90034 1948066 21,53

58 819 71775 0,010945 89577 980 89087 1858033 20,74

59 876 71595 0,012251 88597 1085 88054 1768946 19,97

60 972 71910 0,013715 87511 1200 86911 1680892 19,21

61 1118 71632 0,015065 86311 1300 85661 1593981 18,47

62 1180 70334 0,016774 85011 1426 84298 1508320 17,74

63 1258 68053 0,018611 83585 1556 82807 1424022 17,04

64 1400 67337 0,020221 82029 1659 81200 1341215 16,35

65 1548 68488 0,022224 80370 1786 79477 1260015 15,68

66 1604 67010 0,024283 78584 1908 77630 1180538 15,02

67 1563 57880 0,026116 76676 2002 75675 1102908 14,38

68 1480 51458 0,028338 74674 2116 73615 1027233 13,76

69 1539 50768 0,030146 72557 2187 71464 953617 13,14

70 1528 45846 0,031994 70370 2251 69244 882154 12,54

71 1392 40868 0,034832 68119 2373 66932 812909 11,93

72 1484 38399 0,037347 65746 2455 64518 745977 11,35

73 1457 34306 0,040596 63291 2569 62006 681459 10,77

74 1299 30092 0,044681 60721 2713 59365 619453 10,20

75 1401 27472 0,049181 58008 2853 56582 560088 9,66

76 1408 25028 0,053992 55155 2978 53666 503507 9,13

77 1467 23583 0,058911 52177 3074 50640 449840 8,62

78 1462 22433 0,064065 49103 3146 47531 399200 8,13

79 1470 21238 0,070216 45958 3227 44344 351670 7,65

80 1582 20288 0,077159 42731 3297 41082 307326 7,19

81 1685 18910 0,084552 39434 3334 37767 266243 6,75

82 1709 17068 0,092673 36099 3345 34427 228477 6,33

83 1622 15035 0,101586 32754 3327 31090 194050 5,92

84 1577 12861 0,111356 29427 3277 27788 162960 5,54

85 1593 10761 0,122056 26150 3192 24554 135172 5,17

86 1390 8921 0,133759 22958 3071 21423 110618 4,82

87 1305 7388 0,146540 19887 2914 18430 89195 4,49

88 1102 5989 0,160479 16973 2724 15611 70765 4,17

89 1027 4773 0,175655 14249 2503 12998 55154 3,87

90 852 3672 0,192146 11746 2257 10618 42156 3,59

91 720 2628 0,210030 9489 1993 8493 31539 3,32

92 495 1786 0,229379 7496 1719 6636 23046 3,07

93 377 1124 0,250260 5777 1446 5054 16410 2,84

94 177 568 0,272732 4331 1181 3740 11356 2,62

95 106 272 0,296841 3150 935 2682 7615 2,42

96 67 203 0,322616 2215 715 1858 4933 2,23

97 72 154 0,350067 1500 525 1238 3075 2,05

98 65 120 0,379179 975 370 790 1838 1,88

99 46 94 0,409909 605 248 481 1047 1,73

100 37 64 0,442179 357 158 278 566 1,59

101 15 36 0,475870 199 95 152 288 1,45

102 3 24 0,510821 104 53 78 136 1,30

103 3 13 0,546825 51 28 37 58 1,14

104 0 7 0,583624 23 14 16 21 0,92

105 4 19 1,000000 10 10 5 5 0,50

Popišme si nejprve význam jednotlivých veličin uvedených v úmrtnostní tabulce:

x … věk;

Dx … absolutní počet zemřelých ve věku x na daném území během daného období;

Px … absolutní počet obyvatel k 1. 7. daného roku na daném území ve věku x;


72

qx … odhad pravděpodobnosti úmrtí x-leté osoby před dosažením věku x + 1;

lx … hypotetický počet osob, které se dožijí věku x let z 100 000 narozených osob (tzv.

kořen tabulky - l0) při odhadnuté úmrtnosti v jednotlivých obdobích;

dx … hypotetický počet zemřelých osob ve věkové třídě x;

Lx … hypotetický průměrný počet žijících ve věku x let, k výpočtu L0 je třeba použít statistik

kojenecké úmrtnosti v daném roce, protože se v této věkové třídě většinou jedná

o kojenecká úmrtí, platí L0 = l0 – d0, (pro muže ČR 2013 lze z tabulky 12.1.1 určit, že

je přibližně 0,829);

Tx … počet let života, které má celá tabulková generace v daném věku x ještě před sebou;

ex … střední délka života x-leté osoby neboli počet let, které má naději ještě prožít x-letá

osoba ve sledovaném období.

Z posledního řádku tabulky 12.1.1 je zřejmé, že pro účely konstrukce úmrtnostních tabulek za

rok 2013 zvolil ČSÚ 105 let jako horní věkovou hranici. Předpokládá se tedy, že nejdéle žijící

z výchozího počtu 100 000 osob v hypotetické populaci zemřou ve věku 105 let a 106.

narozenin se již nedožijí. Tento předpoklad sice realitě neodpovídá, nicméně dožití se věku

106 let či vyššího je v daném období již jen velmi málo pravděpodobné.

Čísla v úmrtnostní tabulce jsou počínaje sloupcem pravděpodobností úmrtí zaokrouhlená

na příslušný počet desetinných míst.

Východiskem pro výpočet hodnot jednotlivých veličin uváděných v úmrtnostní tabulce jsou

pravděpodobnosti úmrtí qx ve věku 105...,,2,1,0x , které vyjadřují pravděpodobnost, že

právě x-letá osoba zemře před dosažením věku x + 1. Hodnoty qx jsou odhadovány podle

vztahu

,e1 xu

xq

(12.1.1)

kde se za ux dosazuje tzv. specifická míra úmrtnosti získaná z empirických dat uvedených

v prvních sloupcích tabulky 12.1.1. Platí

.x

x

xP

Du (12.1.2)

Příklad 12.1.1

Pomocí údajů v tabulce 12.1.1 určíme pravděpodobnost úmrtí 53letého muže.

Řešení

Nejprve dosazením do (12.1.2) vypočítáme specifickou míru úmrtnosti 53u pro 402

53D a

.9296153P Máme

491006,092961

402

53

53

53

P

Du

a dosazením do (12.1.1) dostáváme

.470006,011491006,0

5353

eeq

u

Hledaná úmrtnost činí zhruba 0,647%.

Porovnáme-li výsledek získaný v příkladu 12.1.1 s tabulkovou hodnotou (0,636 %), vidíme,

že se trochu liší. Je to způsobeno tím, že se při konstrukci úmrtnostních tabulek hodnoty qx


73

vypočtené podle (12.1.1) vyrovnávají, aby se eliminovaly (vyhladily) nesystematické

nepravidelnosti, které nemají racionální vysvětlení.

Další veličiny v úmrtnostní tabulce se odvozují z odhadů pravděpodobností úmrtí qx. Platí

postupně:

,11 xxx

qll (12.1.3)

,11 xxxxxxxx

qlqlllld (12.1.4)

,2

1

xx

x

llL (12.1.5)

,105

xj

jxLT (12.1.6)

.x

x

xl

Te (12.1.7)

Příklad 12.1.2

Pomocí údajů z tabulky 12.1.1 ověříme podle výše uvedených vztahů některé tabulkové

hodnoty pro padesátiletého muže.

Řešení

Máme

.42,2775894

2925982

,292598251637...0849454094

,540942

3239475894

2

,435593004,075894

,75894)311004,01(168951

50

50

50

105

50

50

5150

50

505050

494950

l

Te

LT

llL

qld

qll

j

j

Poslední číslo kupříkladu udává, že český muž, který v roce 2013 oslaví 50. narozeniny, má

před sebou v průměru ještě 27,42 let života.

Pečlivý čtenář jistě zjistí, že při výpočtu L50 s uvedenými počty dožívajících dosazenými

podle úmrtnostní tabulky 12.1.1 vychází 94 540,5, což by po zaokrouhlení mělo správně být

94 541. Tato hodnota se liší od hodnoty uvedené v úmrtnostní tabulce a v našem výsledku.

Vysvětlením je již zmíněné zaokrouhlování čísel v úmrtnostních tabulkách. Další výpočty

v nich se totiž pochopitelně provádějí pomocí přesných hodnot a nikoliv zaokrouhlených.

Tato skutečnost způsobuje, že v některých případech je výsledech vypočítaný ze

zaokrouhlených hodnot drobně odlišný. Při všech výpočtech, ve kterých se používají

úmrtnostní tabulky, budeme v dalším textu také počítat s přesnými hodnotami (viz úmrtnostní

tabulky ČR 2013 ve formátu xls v e-learningové opoře), a proto ke zmíněnému jevu může

občas dojít.


74

12.2 Odlišnosti v úmrtnosti mužů a žen

Jak bylo konstatováno v minulé části, zveřejňuje ČSÚ všechny úmrtnostní tabulky zvlášť pro

muže a zvlášť pro ženy. Pro úplnost uvádíme i ženskou úmrtnostní tabulku.

Tabulka 12.2.1 Úmrtnostní tabulka žen ČR v roce 2013


0 107 52611 0,002056 100000 206 99819 8113340 81,13

1 9 53254 0,000169 99794 17 99786 8013521 80,30

2 8 55676 0,000144 99778 14 99770 7913735 79,31

3 4 58832 0,000068 99763 7 99760 7813964 78,33

4 6 59726 0,000103 99756 10 99751 7714205 77,33

5 9 58954 0,000090 99746 9 99742 7614453 76,34

6 3 55375 0,000097 99737 10 99732 7514712 75,35

7 3 51479 0,000076 99728 8 99724 7414979 74,35

8 5 48912 0,000063 99720 6 99717 7315255 73,36

9 2 46767 0,000066 99714 7 99710 7215539 72,36

10 3 45665 0,000051 99707 5 99704 7115828 71,37

11 1 44985 0,000021 99702 2 99701 7016124 70,37

12 1 44174 0,000029 99700 3 99698 6916423 69,37

13 1 43727 0,000052 99697 5 99694 6816724 68,37

14 5 43766 0,000080 99692 8 99688 6717030 67,38

15 6 44095 0,000110 99684 11 99678 6617342 66,38

16 5 44308 0,000186 99673 19 99663 6517664 65,39

17 10 45846 0,000214 99654 21 99644 6418001 64,40

18 17 50370 0,000227 99633 23 99622 6318357 63,42

19 9 56623 0,000234 99610 23 99599 6218736 62,43

20 12 60136 0,000237 99587 24 99575 6119137 61,45

21 16 62198 0,000231 99563 23 99552 6019562 60,46

22 20 64809 0,000260 99540 26 99527 5920010 59,47

23 14 65457 0,000243 99515 24 99502 5820482 58,49

24 15 66549 0,000250 99490 25 99478 5720980 57,50

25 16 67356 0,000237 99465 24 99454 5621502 56,52

26 23 67417 0,000283 99442 28 99428 5522048 55,53

27 16 68921 0,000324 99414 32 99398 5422621 54,55

28 28 69955 0,000347 99381 35 99364 5323223 53,56

29 25 70223 0,000313 99347 31 99331 5223859 52,58

30 21 71351 0,000321 99316 32 99300 5124528 51,60

31 17 72540 0,000309 99284 31 99269 5025228 50,61

32 30 74642 0,000342 99253 34 99236 4925959 49,63

33 32 80686 0,000372 99219 37 99201 4826723 48,65

34 34 86274 0,000404 99182 40 99162 4727522 47,66

35 34 88398 0,000437 99142 43 99121 4628360 46,68

36 45 90203 0,000470 99099 47 99076 4529239 45,70

37 55 92282 0,000532 99052 53 99026 4430164 44,73

38 49 93545 0,000636 99000 63 98968 4331138 43,75

39 66 90606 0,000682 98937 68 98903 4232169 42,78

40 70 83431 0,000758 98869 75 98832 4133267 41,81

41 58 77282 0,000880 98794 87 98751 4034435 40,84

42 73 73636 0,000938 98707 93 98661 3935684 39,87

43 77 70670 0,001022 98615 101 98564 3837023 38,91

44 73 67628 0,001166 98514 115 98456 3738459 37,95

45 85 66127 0,001291 98399 127 98335 3640002 36,99

46 100 66669 0,001435 98272 141 98201 3541667 36,04

47 112 68494 0,001615 98131 159 98052 3443465 35,09

48 126 71305 0,001866 97972 183 97881 3345414 34,15

49 152 71832 0,002175 97790 213 97683 3247533 33,21


75

Tabulka 12.2.1 Úmrtnostní tabulka žen ČR v roce 2013 (pokračování)


50 173 67272 0,002371 97577 231 97461 3149849 32,28

51 167 63099 0,002549 97345 248 97221 3052388 31,36

52 153 61714 0,002787 97097 271 96962 2955167 30,44

53 188 60763 0,003103 96827 300 96677 2858205 29,52

54 232 63343 0,003430 96526 331 96361 2761528 28,61

55 263 68639 0,003730 96195 359 96016 2665168 27,71

56 273 72475 0,003933 95836 377 95648 2569152 26,81

57 315 74329 0,004341 95459 414 95252 2473504 25,91

58 374 75052 0,004975 95045 473 94809 2378252 25,02

59 445 75513 0,005650 94572 534 94305 2283443 24,14

60 484 76545 0,006314 94038 594 93741 2189138 23,28

61 527 77818 0,007046 93444 658 93115 2095397 22,42

62 603 77290 0,007500 92786 696 92438 2002282 21,58

63 646 75427 0,008276 92090 762 91709 1909844 20,74

64 644 75444 0,009243 91328 844 90906 1818135 19,91

65 831 77894 0,010238 90484 926 90021 1727229 19,09

66 902 77965 0,011184 89557 1002 89057 1637209 18,28

67 855 69190 0,012550 88556 1111 88000 1548152 17,48

68 830 62959 0,013418 87444 1173 86858 1460152 16,70

69 972 62741 0,014676 86271 1266 85638 1373294 15,92

70 900 57690 0,015863 85005 1348 84331 1287657 15,15

71 940 52425 0,017684 83656 1479 82917 1203326 14,38

72 961 50080 0,019619 82177 1612 81371 1120409 13,63

73 1073 46284 0,021947 80565 1768 79681 1039038 12,90

74 1036 42102 0,024563 78797 1935 77829 959358 12,18

75 1073 39364 0,027462 76861 2111 75806 881529 11,47

76 1182 37268 0,030586 74750 2286 73607 805723 10,78

77 1258 36208 0,034229 72464 2480 71224 732116 10,10

78 1408 35462 0,039198 69984 2743 68612 660892 9,44

79 1528 34636 0,044654 67240 3003 65739 592280 8,81

80 1845 34104 0,050878 64238 3268 62604 526541 8,20

81 1971 33197 0,058393 60970 3560 59190 463937 7,61

82 2169 31587 0,066952 57409 3844 55488 404747 7,05

83 2394 28828 0,075900 53566 4066 51533 349260 6,52

84 2424 25750 0,086227 49500 4268 47366 297727 6,01

85 2418 23060 0,097481 45232 4409 43027 250361 5,54

86 2491 20269 0,110228 40823 4500 38573 207333 5,08

87 2418 17754 0,125166 36323 4546 34050 168761 4,65

88 2356 15261 0,142037 31776 4513 29520 134711 4,24

89 2300 12938 0,161038 27263 4390 25068 105191 3,86

90 2053 10429 0,182372 22873 4171 20787 80123 3,50

91 1780 8053 0,206237 18701 3857 16773 59336 3,17

92 1379 5712 0,232825 14844 3456 13116 42564 2,87

93 1053 3652 0,262304 11388 2987 9895 29447 2,59

94 556 1874 0,294810 8401 2477 7163 19553 2,33

95 324 1023 0,330428 5924 1958 4946 12390 2,09

96 280 763 0,369173 3967 1464 3235 7444 1,88

97 218 604 0,410970 2502 1028 1988 4210 1,68

98 241 523 0,455628 1474 672 1138 2222 1,51

99 169 384 0,502818 802 403 601 1083 1,35

100 130 252 0,552057 399 220 289 483 1,21

101 64 154 0,602686 179 108 125 194 1,09

102 43 83 0,653881 71 46 48 69 0,97

103 17 36 0,704658 25 17 16 21 0,87

104 11 19 0,753916 7 5 5 5 0,75

105 14 35 1,000000 2 2 1 1 0,50


76

Rozdělení úmrtnostních tabulek podle pohlaví se provádí proto, že úmrtnost žen je ve všech

věkových třídách dlouhodobě odlišná (takřka vesměs nižší) než u mužů. Tento jev se netýká

jen České republiky, ale je běžný ve všech evropských a v drtivé většině mimoevropských

zemí. Společné úmrtnostní tabulky pro obě pohlaví se sestavují pouze tam, kde nejsou

k dispozici údaje pro jednotlivá pohlaví (např. některé rozvojové země) nebo v případě, že

chceme porovnat úmrtnost s takovými oblastmi. Míru odlišnosti úmrtnosti mužů a žen

v České republice a částečně časový vývoj těchto úmrtností ilustrují obrázky 12.2.1 a 12.2.2.

Obrázek 12.2.1 Porovnání pravděpodobností úmrtí mužů a žen ČR v roce 2013

v závislosti na věku

Obrázek 12.2.2 Porovnání pravděpodobností úmrtí mužů a žen ČR v roce 1973

v závislosti na věku

0,00001

0,0001

0,001

0,01

0,1

1

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105

ženy

muži

0,00001

0,0001

0,001

0,01

0,1

1

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100

ženy

muži


77

12.3 Střední délka života při narození

Je zřejmé, že délka života jedince je náhodná veličina, a tudíž lze její typickou hodnotu

charakterizovat běžnými charakteristikami úrovně známými z popisné statistiky: průměrem,

mediánem a modem.

Nejčastěji používanou charakteristikou je průměr. Této charakteristice se v souvislosti

s délkou života většinou říká střední délka života při narození, občas také naděje dožití (při

narození). Pomocí tohoto ukazatele se např. porovnává úmrtnost v jednotlivých oblastech.

Patří také k často používaným ukazatelům úrovně života v jednotlivých státech. Střední délka

života při narození je přímo uvedena v úmrtnostní tabulce. Jedná se o hodnotu ,0

e kterou

nalezneme vpravo nahoře. Pro muže narozené v ČR v roce 2013 je tedy střední délka života

při narození 75,23 let a pro ženy 81,13 let.

Jako každý průměr má však střední délka života jednu nectnost. Započítává všechny, tedy

i extrémní hodnoty. Do střední délky života jsou tedy zahrnuta i kojenecká úmrtí a vůbec

úmrtí v časném věku, čímž je hodnota střední délky života oproti obecně chápanému smyslu

tohoto pojmu zkreslena.

Méně často uváděné charakteristiky úrovně délky života medián (tzv. pravděpodobná délka

života při narození) a hlavně modus (tzv. normální délka života při narození) vystihují lépe

obecnou představu o průměrné délce života. V případě modu i sám přívlastek „normální“

podsouvá představu, že je to věk, ve kterém by lidé za normálních okolností nejčastěji

umírali. Jak medián, tak modus lze pomocí úmrtnostních tabulek a detailní znalosti jejich

konstrukce vypočítat (např. Koschin, 1997).

Velmi zajímavý je vývoj střední délky života při narození na našem území za posledních

necelých 100 let, jak ukazuje tabulka 12.3.1.

Tabulka 12.3.1 Vývoj naděje dožití na území ČR

Rok Naděje dožití





Muži Ženy Muži Ženy Muži Ženy Muži Ženy Muži Ženy

1920 47,05 49,60 1940 57,10 61,29 1960 67,92 73,40 1980 66,81 73,86 2000 71,65 78,35

1921 49,66 52,38 1941 56,70 60,71 1961 67,63 73,56 1981 67,18 74,30 2001 72,07 78,41

1922 50,14 53,08 1942 55,87 60,19 1962 66,95 72,89 1982 67,31 74,39 2002 72,07 78,54

1923 53,30 56,13 1943 56,80 60,33 1963 67,44 73,55 1983 67,05 74,26 2003 72,03 78,51

1924 52,92 56,05 1944 56,93 61,03 1964 67,54 73,66 1984 67,35 74,45 2004 72,55 79,04

1925 53,30 56,35 1945 50,96 58,96 1965 67,13 73,39 1985 67,51 74,72 2005 72,88 79,10

1926 53,05 56,09 1946 58,34 63,25 1966 67,26 73,75 1986 67,48 74,62 2006 73,45 79,67

1927 52,16 55,27 1947 60,49 65,16 1967 67,15 73,70 1987 67,86 75,12 2007 73,67 79,90

1928 53,45 57,01 1948 61,59 66,18 1968 66,59 73,40 1988 68,14 75,28 2008 73,96 80,13

1929 52,77 56,35 1949 61,44 66,41 1969 66,05 73,17 1989 68,12 75,39 2009 74,19 80,13

1930 54,22 58,04 1950 62,31 67,00 1970 66,13 73,02 1990 67,58 75,36 2010 74,37 80,60

1931 54,72 58,33 1951 63,04 67,84 1971 66,25 73,37 1991 68,25 75,72 2011 74,69 80,74

1932 55,03 58,54 1952 64,68 69,28 1972 66,92 73,68 1992 68,44 76,14 2012 75,00 80,88

1933 55,49 58,79 1953 65,38 69,97 1973 66,66 73,72 1993 69,20 76,41 2013 75,23 81,13

1934 56,05 59,81 1954 65,72 70,65 1974 66,85 73,61 1994 69,54 76,58 2014

1935 55,91 59,86 1955 66,60 71,63 1975 67,05 73,97 1995 69,72 76,63 2015

1936 56,42 59,99 1956 66,96 72,03 1976 67,08 74,16 1996 70,37 77,27 2016

1937 56,70 60,57 1957 66,57 71,70 1977 67,17 74,15 1997 70,50 77,49 2017

1938 56,49 60,78 1958 67,42 72,59 1978 67,22 74,24 1998 71,13 78,06 2018

1939 56,73 60,55 1959 67,38 72,74 1979 67,38 74,30 1999 71,40 78,13 2019


78

Za povšimnutí stojí zvláště trend ve střední délce života při narození od roku 1990. Ukazuje

se, že je jak pro muže, tak pro ženy takřka lineární. Koeficient determinace činí v obou

případech 0,99 s tím, že směrnice trendové přímky pro muže (0,32) je vyšší než směrnice

trendové přímky pro ženy (0,24), viz obrázek 12.3.1. Pokud bychom se odvážně pustili do

extrapolací a předpovědí, zjistíme, že např. v roce 2020 by se při zachování trendu měli ženy

dožívat v průměru 82,95 let a muži 77,71. K vyrovnání střední délky života při narození mužů

a žen, opět za předpokladu zachování trendu, by došlo v roce 2090 při průměrném věku obou

pohlaví 99,99 let.

Takové optimistické předpovědi je však nutno brát se značnou rezervou i přesto, že koeficient

determinace je tak lákavě blízko jedné. Existují totiž naopak i vyloženě pesimistické

předpovědi budoucího vývoje úmrtnosti, podle kterých se stále zhoršující vnější vlivy

(nedostatek pitné vody, zemědělské půdy a nerostných surovin, nové civilizační choroby

apod.) projeví v blízké budoucnosti snižováním střední délky života. V současnosti však

většina odborníků na demografii u nás soudí, že se bude v nejbližší budoucnosti s poměrně

velkou mírou pravděpodobnosti průměrný věk v ČR se nadále prodlužovat jak u žen, tak

u mužů.

Obrázek 12.3.1 Trend vývoje naděje dožití v ČR od roku 1990 do roku 2013

12.4 Pravděpodobnosti úmrtí a dožití a jejich určení z úmrtnostních tabulek

Jak bylo uvedeno v části 12.1, je pojistnou událostí v životním pojištění úmrtí pojištěného

nebo dožití se určitého věku pojištěným. Klíčovou roli v pojistných výpočtech tedy hrají

nejrůznější pravděpodobnosti úmrtí a dožití, které určujeme na základě údajů v úmrtnostních

tabulkách. Pravděpodobnosti úmrtí qx vyjadřující pravděpodobnost úmrtí ve věkovém

intervalu 1, xx jsou uvedeny v úmrtnostních tabulkách přímo. V praxi však často

potřebujeme znát i pravděpodobnosti úmrtí a dožití v jiném věkovém intervalu, jehož krajní

60

65

70

75

80

85

1990 1995 2000 2005 2010

ženy

muži


79

body dokonce ani nemusejí být celočíselné. Odvodíme si postupně vztahy pro výpočty

pravděpodobností úmrtí a dožití v různých věkových intervalech pomocí čísel lx z úmrtnostní

tabulky, která vyjadřují počet osob dožívajících se věku x v uvažované hypotetické populaci.

Z takového vyjádření bude totiž možné vysledovat určité zákonitosti výpočtů

pravděpodobností úmrtí a přežití.

Pravděpodobnost úmrtí x-leté osoby před dožitím se věku (x + 1) je podle (12.1.3)

.1

x

xx

xl

llq

(12.4.1)

Doplňková pravděpodobnost přežití x-leté osoby do věku (x + 1) je potom

.11 11

x

x

x

xx

xxl

l

l

llqp

(12.4.2)

Pravděpodobnost, že x-letá osoba bude žít do věku (x + n) je

,......12

3

1

21

121

x

nx

nx

nx

x

x

x

x

x

x

nxxxxxnl

l

l

l

l

l

l

l

l

lppppp

(12.4.3)

přičemž jsme použili znalosti základních pravidel o počítání s podmíněnými

pravděpodobnostmi.

Doplňková pravděpodobnost, že se x-letá osoba nedožije věku (x + n) je

.1x

nxx

x

nx

x

x

xnxnl

ll

l

l

l

lpq

(12.4.4)

Pravděpodobnost, že se x-letá osoba dožije věku (x + m), ale zemře v průběhu následujících n

let je

x

nmxmx

mx

nmxmx

x

mx

mxnxmxnml

ll

l

ll

l

lqpq

(12.4.5)

a speciálně pro pravděpodobnost, že x-letá osoba zemře ve věku x + m máme

.1

1

x

mxmx

mxxmxmxml

llqpqq

(12.4.6)

Příklad 12.4.1

Podle dříve zavedeného značení platí, že:

q20 … je pravděpodobnost, že 20letá osoba zemře před dosažením věku 21 let;

p18 … je pravděpodobnost, že se osoba právě 18letá dožije věku 19 let;

5p18… je pravděpodobnost, že 18letá osoba bude žít ještě nejméně 5 let;

5q20… je pravděpodobnost, že 20letá osoba zemře před dosažením 25 let;

5|10q20 … je pravděpodobnost, že 20letá osoba zemře poté, co dosáhla 25 let, ale před

dosažením 35 let;

5| q20 … je pravděpodobnost, že 20letá osoba zemře ve svých 25 letech.


80

Příklad 12.4.2

Pomocí vzorců (12.4.1) až (12.4.6) a počtu dožívajících se věku x z tabulky 12.2.1 (pro ženy)

určíme hodnoty pravděpodobností z předchozího příkladu.

Řešení

.237000,058799

4429946599

,245003,058799

1429946599

,220001,058799

4659958799

,812998,063399

51599

,773999,063399

61099

,237000,058799

5639958799

20

2625

205

20

3525

20105

20

2520

205

18

23

185

18

19

18

20

2120

20

l

llq

l

llq

l

llq

l

lp

l

lp

l

llq

Interpretace výsledků je zřejmá. Např. pravděpodobnost, že 20letá žena zemře mezi 25. a 35.

rokem svého života je 0,32 %.

Příklad 12.4.3

Uvažujme 40letou matku a jejího 15letého syna. Určíme pravděpodobnost, že za 20 let

a) budou oba naživu;

b) bude žít pouze syn;

c) bude žít pouze matka;

d) budou oba po smrti.

Řešení

Jelikož budeme při výpočtech používat jak ženské, tak mužské úmrtnostní tabulky, bude

vhodné v tomto příkladu odlišit označení jednotlivých veličin. Řekněme, že veličiny týkající

se matky budou označeny čárkou. Pomocí (12.4.4), doplňkové pravděpodobnosti a příslušné

úmrtnostní tabulky máme

.892014,0108985,011,1108985,053399

05198

,865048,014951,011,135951,086998

03894

15201520

15

35

1520

40204020

40

60

4020

pql

lp

pql

lp

Hledané pravděpodobnosti určíme použitím známého pravidla o pravděpodobnosti průniku

nezávislých jevů. Dostáváme

a) ,971936,0108985,0135951,015204020

pp

b) ,137048,0108985,0865048,015204020

pq

c) ,164014,0892014,0135951,015204020

qp

d) .728000,0892014,0865048,015204020

qq


81

Je zřejmé, že nepravděpodobnější je varianta, při které budou za dvacet let oba naživu

(93,70 %). Jako kontrola může posloužit skutečnost, že součet všech určovaných

pravděpodobností je roven jedné (úplná pravděpodobnost sjednocení disjunktních jevů).

Při odvození pravděpodobností úmrtí a dožití v neceločíselných věkových intervalech, které

se obvykle nazývají področní pravděpodobnosti úmrtí a dožití, vyjdeme z poměrně

přijatelného předpokladu, že úmrtí uvnitř každé věkové třídy jsou rozložena rovnoměrně.

Jinými slovy přepokládáme, že v každého intervalu s celočíselnými krajními body 1, xx

klesá hodnota ,1,0,

tltx tj. počet dožívajících se věku x + t, lineárně, viz obrázek

12.4.1.

Obrázek 12.4.1 Předpoklad rovnoměrného rozdělení úmrtí uvnitř věkové třídy

Z obrázku 12.4.1 je zřejmé, že trojúhelníky ABC a AB´C´ jsou podobné, a platí tedy

.1BC

AB

CB

BA1

xxtxx

ll

t

ll

Odtud plyne, že

.)1(1

xxtx

tlltl (12.4.7)

Pomocí (12.1.3) můžeme tento vztah přepsat do tvaru

),1()1()1(xxxxtx

qtlltql

ze kterého už snadno odvodíme, že

.xxt

tqq (12.4.8)

Pro obecné področní pravděpodobnosti dožití resp. úmrtí pak máme


82

x

x

xs

xts

sxtsq

qts

p

pp

1

)(1 (12.4.9)

resp.

.1

1x

x

sxtsxtsq

tqpq

(12.4.10)

Konečně s využitím (12.4.10) platí, že

,1

1x

x

x

xsxtxsxtstq

sq

tqsqqpq

(12.4.11)

přičemž v posledních třech vzorcích je .1,0, tsts

Příklad 12.4.4

Pomocí vzorců (12.4.8) až (12.4.11) určíme pravděpodobnost, že

a) 50letá žena zemře během následujícího čtvrtroku,

b) žena, které je 36,5 let, bude naživu následující 2 roky,

c) muž, kterému je 52,6 let, do tří měsíců zemře,

d) 70letý muž bude půl roku naživu a potom během měsíce zemře.

Řešení

Pro určení první dvou pravděpodobností použijeme hodnoty z tabulky 12.2.1 (čárkované

veličiny), druhé dvě pravděpodobnosti vypočteme pomocí tabulky 12.1.1.

a) ,593000,0371002,025,025,0505025,0

qq

b)

)5,01()1(

5,01

5,05,013837

36

36

385,0375,365,05,362qq

q

qpppp

,915998,0)636000,05,01()532000,01(470000,05,01

470000,01

c) ,389001,0536005,06,01

536005,025,0

6,01

25,0

52

52

6,5225,0

q

qq

d) .666002,0994031,012

1

12

17070

12

15,0

qq

12.5 Použití úmrtnostních tabulek v pojistné praxi

I když jsme si v minulé části ukázali, že z úmrtnostních tabulek je teoreticky možné určit

pravděpodobnosti úmrtí či dožití pro jakýkoliv věk pojišťované osoby, pojišťovny v praxi

nepracují s přesnými věky svých pojištěných. Pro účely výpočtu pojistného se v praxi používá

tzv. vstupní věk pojištěného, který je definován jako rozdíl kalendářního roku uzavření

pojištění a roku narození pojištěného. Například pojištěný narozený dne 17. listopadu 1978,

který uzavřel pojištění dne 17. února 2004, má vstupní věk 2004 – 1978 = 26 let, i když

matematicky vzato v okamžiku uzavření pojištění je jeho věk pouze 25,25 let. V této

souvislosti také uveďme, že budeme-li mluvit např. o 40leté osobě, která uzavírá pojištění,

budeme mít na mysli, že její vstupní věk je 40 let (a nemusela se tudíž ještě věku 40 let dožít).


83

Z toho, co bylo napsáno v části 12.2, která se zabývala porovnáním úmrtnosti mužů a žen, je

jednoznačné, že logické a spravedlivé by bylo, kdyby pojišťovny při stanovení výše

pojistného přihlíželi k pohlaví pojištěného. Takový postup skutečně donedávna naše

i zahraniční pojišťovny v praxi aplikovaly. Většinou sice vycházely pro jednoduchost pouze

z jedněch úmrtnostních tabulek, ale odlišnosti v úmrtnosti obou pohlaví řešily tzv. věkovým

posunem. Konkrétně u nás byla běžná praxe, že se používaly úmrtnostní tabulky pro muže

a pokud byla pojištěným žena, snižoval se její vstupní věk pro účely výpočtu pojistného o pět

let.

Vše však změnila směrnice Rady 2004/113/ES ze dne 13. prosince 2004, která zaručuje

zásadu rovného zacházení s muži a ženami v přístupu ke zboží a službám a jejich

poskytování, tzv. genderová směrnice. Podle této směrnice není možné účtovat jiné pojistné

mužům a jiné ženám. Směrnice měla být uplatněna pro všechny smlouvy s počátkem

od 21. prosince 2007.

Česká republika, Slovenská republika i mnoho dalších států si tehdy prosadilo výjimku, podle

které se členské státy mohou od tohoto pravidla odchýlit v případě stanovování pojistného,

pokud mohou zajistit, že pojistně matematické a statistické údaje, ze kterých výpočty

pojistného vycházejí, jsou spolehlivé, pravidelně aktualizované a veřejně dostupné. Druhá

podmínka byla, že výjimka musí být pět let po účinnosti směrnice přezkoumána

a odůvodněna. I když všechny pojišťovny i členské státy EU očekávaly, že

k 21. prosinci 2012 výjimku odůvodní a prodlouží její platnost, nestalo se tak.

Evropský soudní dvůr vynesl totiž dne 1. března 2011 překvapivý rozsudek, ve kterém

rozhodl, že případné prodloužení platnosti výše uvedené výjimky by bylo v rozporu se

základním unijním právem, a tudíž výjimka nesmí být prodloužena. K 21. prosinci 2012 došlo

tedy na tuzemském pojistném trhu k zákonnému sjednocení sazeb životního pojištění pro

muže a ženy právě na základě rozhodnutí Evropského soudního dvora. Sjednocené sazby se

týkají nových smluv, které byly uzavřené po 21. prosinci 2012 a platí i pro staré smlouvy,

na kterých bude po tomto datu provedena změna s vlivem na pojistné.

Podle aktuálního stavu na českém pojistném trhu doplatily na novou úpravu především ženy.

Sjednocení sazeb pojistného totiž v praxi znamená, že se pojistka pro ženy v průměru výrazně

zdražila, naopak pro muže se cena pojistky v průměru mírně zlevnila. Záleží samozřejmě

na druhu pojištění.

V současnosti je tedy každá pojišťovna nucena při výpočtu pojistného vycházet z úmrtnostní

tabulky nezávislé na pohlaví (tzv. unisex úmrtností tabulka), která nějakým způsobem

kombinuje úmrtnost obou pohlaví. Praxe je taková, že každá pojišťovna má svoji úmrtnostní

tabulku, jejíž obsah a způsob konstrukce si většinou bedlivě střeží. Pro sestavení takové

tabulky existují v zásadě dvě východiska. Pojišťovna si svoji úmrtnostní tabulku může

sestavit na základě kompilace mužských a ženských celonárodních úmrtnostních tabulek, ve

kterých provede další úpravy podle svých specifických potřeb. Druhou možností je sestavení

úmrtnostních tabulek na základě dat o úmrtnosti ve svém pojistném kmeni.

12.6 Komutační čísla

Pomocí počtu dožívajících se věku x a počtu zemřelých ve věku x z úmrtnostních tabulek se

konstruují tzv. komutační čísla, která pojišťovny používají prakticky pro všechny

matematické výpočty prováděné v rámci životního pojištění. Mimo jiné lze s jejich pomocí

relativně jednoduše vyjádřit velikost pojistného. Pojišťovny tyto vzorce většinou zveřejňují ve

všeobecných podmínkách pojištění. Komutační čísla vznikají, řečeno mluvou finanční

matematiky, diskontováním dvou zmíněných veličin z úmrtnostních tabulek. Rozlišujeme


84

komutační čísla nultého, prvního a druhého řádu. Mezi komutační čísla nultého řádu patří

diskontovaný počet dožívajících se věku x, který se označuje Dx a je definován jako

.x

xxvlD (12.6.1)

Dalším komutačním číslem nultého řádu je diskontovaný počet zemřelých ve věkové třídě x

označovaný Cx a definovaný

.1

x

xxvdC (12.6.2)

Komutační čísla prvního řádu pak jsou

,...1051

105

0

DDDDNxx

x

j

jxx

(12.6.3)

....1051

105

0

CCCCMxx

x

j

jxx

(12.6.4)

Tuto čtveřici budeme standardně používat. Komutační čísla druhého řádu

,...1051

105

0

NNNNSxx

x

j

jxx

1051

105

0

... MMMMRxx

x

j

jxx

se používají u produktů s proměnným pojistným plněním, které nejsou předmětem těchto

skript. Zvídavý čtenář se může o této problematice dozvědět více např. v (Cipra, 1999).

Veličina v, která se objevuje ve výpočtu komutačních čísel, je z finanční matematiky známý

diskontní faktor. Tedy

,1

1

iv

(12.6.5)

kde se za i dosazuje tzv. technická úroková míra. Je to roční efektivní úroková míra, kterou

pojišťovna používá při pojistně-technických výpočtech (stanovení výše pojistného, rizika

pojištění, pojistných rezerv, …).

Vyhláška České národní banky č. 434/2009 Sb. ze dne 24. listopadu 2009 upravila s účinností

od 1. ledna 2010 postup pro výpočet horní hranice technické úrokové míry: „Maximální výše

technické úrokové míry se stanoví v rozsahu maximálně 60 % váženého aritmetického

průměru průměrných výnosů státních dluhopisů v korunách českých s dobou splatnosti

nejméně 5 let vydaných v průběhu posledních 36 kalendářních měsíců bezprostředně

předcházejících měsíci, kdy bude zveřejněna maximální výše technické úrokové míry.“

Horní hranice technické úrokové míry je určována úředním sdělením ČNB.

Od 21. července 2013 činí její hodnota 0,019. V současnosti (rok 2014) používá většina

pojišťoven právě tuto horní hranici technické úrokové míry.

Z komutačních čísel se sestavují při dané technické úrokové míře tzv. tabulky komutačních

čísel. Jako příklad může sloužit tabulka 12.6.1.


85

Tabulka 12.6.1 Tabulka komutačních čísel mužů ČR, 2013, TÚM 1,9 %

x lx dx Dx Nx Cx Mx

0 100000 289 100 000,0 4 017 113,9 283,5 25 098,0

1 99711 34 97 852,0 3 917 113,9 32,6 24 814,5

2 99677 10 95 994,8 3 819 261,9 9,6 24 781,9

3 99667 15 94 195,3 3 723 267,1 13,5 24 772,3

4 99653 8 92 425,5 3 629 071,8 7,7 24 758,8

5 99644 9 90 694,5 3 536 646,4 8,4 24 751,1

6 99635 10 88 995,0 3 445 951,9 8,8 24 742,7

7 99625 11 87 326,9 3 356 956,9 9,6 24 734,0

8 99614 11 85 689,0 3 269 630,0 9,2 24 724,3

9 99603 11 84 082,1 3 183 941,0 8,7 24 715,2

10 99592 12 82 505,5 3 099 859,0 9,8 24 706,4

11 99580 13 80 957,4 3 017 353,4 10,2 24 696,6

12 99567 12 79 437,7 2 936 396,0 9,1 24 686,4

13 99556 11 77 947,4 2 856 958,4 8,4 24 677,4

14 99545 12 76 485,7 2 779 011,0 8,8 24 669,0

15 99533 16 75 050,8 2 702 525,3 11,9 24 660,2

16 99517 27 73 639,5 2 627 474,5 19,8 24 648,3

17 99490 51 72 246,6 2 553 835,1 36,2 24 628,5

18 99439 68 70 863,3 2 481 588,5 47,8 24 592,2

19 99371 79 69 494,2 2 410 725,2 54,4 24 544,4

20 99291 82 68 144,0 2 341 231,0 55,5 24 490,0

21 99209 74 66 817,9 2 273 087,0 48,9 24 434,6

22 99135 71 65 523,2 2 206 269,1 46,3 24 385,7

23 99064 79 64 255,1 2 140 746,0 50,0 24 339,4

24 98985 81 63 007,1 2 076 490,8 50,4 24 289,4

25 98904 79 61 781,8 2 013 483,8 48,6 24 238,9

26 98825 77 60 581,2 1 951 702,0 46,1 24 190,3

27 98748 74 59 405,5 1 891 120,7 43,6 24 144,2

28 98674 77 58 254,3 1 831 715,2 44,6 24 100,6

29 98598 81 57 123,5 1 773 461,0 46,2 24 056,0

30 98516 84 56 012,1 1 716 337,5 47,0 24 009,8

31 98432 84 54 920,7 1 660 325,3 46,1 23 962,8

32 98348 89 53 850,6 1 605 404,6 47,9 23 916,7

33 98259 101 52 798,6 1 551 554,0 53,2 23 868,7

34 98158 107 51 760,9 1 498 755,4 55,2 23 815,5

35 98051 110 50 740,6 1 446 994,5 55,9 23 760,3

36 97941 109 49 738,5 1 396 253,9 54,4 23 704,4

37 97832 116 48 756,7 1 346 515,4 56,6 23 649,9

38 97716 119 47 790,9 1 297 758,7 57,1 23 593,3

39 97597 133 46 842,8 1 249 967,8 62,7 23 536,2

40 97464 145 45 906,7 1 203 125,0 67,2 23 473,6

41 97319 163 44 983,6 1 157 218,3 73,8 23 406,4

42 97156 195 44 071,1 1 112 234,7 86,8 23 332,6

43 96961 233 43 162,6 1 068 163,6 101,9 23 245,9

44 96728 253 42 255,9 1 025 001,1 108,5 23 144,0

45 96475 281 41 359,4 982 745,2 118,1 23 035,4

46 96194 306 40 470,2 941 385,8 126,2 22 917,4

47 95888 344 39 589,4 900 915,6 139,5 22 791,2

48 95544 376 38 711,7 861 326,2 149,4 22 651,6

49 95168 410 37 840,5 822 614,5 160,1 22 502,3

50 94758 435 36 974,9 784 773,9 166,7 22 342,2

51 94323 478 36 118,8 747 799,1 179,7 22 175,5

52 93845 519 35 265,6 711 680,3 191,6 21 995,8

53 93325 594 34 416,5 676 414,7 214,8 21 804,2

54 92731 670 33 560,0 641 998,2 238,0 21 589,4

55 92061 745 32 696,2 608 438,3 259,6 21 351,5

56 91317 826 31 827,0 575 742,0 282,7 21 091,9


86

Tabulka 12.6.1 Tabulka komutačních čísel mužů ČR, 2013, TÚM 1,9 % (pokračování)

x lx dx Dx Nx Cx Mx

57 90490 913 30 950,9 543 915,0 306,5 20 809,2

58 89577 980 30 067,3 512 964,1 323,0 20 502,7

59 88597 1085 29 183,7 482 896,8 350,9 20 179,8

60 87511 1200 28 288,7 453 713,1 380,7 19 828,9

61 86311 1300 27 380,5 425 424,4 404,8 19 448,1

62 85011 1426 26 465,2 398 043,9 435,7 19 043,3

63 83585 1556 25 536,0 371 578,7 466,4 18 607,7

64 82029 1659 24 593,5 346 042,7 488,0 18 141,3

65 80370 1786 23 646,9 321 449,2 515,7 17 653,3

66 78584 1908 22 690,3 297 802,3 540,7 17 137,5

67 76676 2002 21 726,5 275 112,0 556,8 16 596,8

68 74674 2116 20 764,5 253 385,5 577,5 16 040,0

69 72557 2187 19 799,9 232 621,0 585,8 15 462,5

70 70370 2251 18 845,0 212 821,1 591,7 14 876,7

71 68119 2373 17 901,9 193 976,2 611,9 14 285,1

72 65746 2455 16 956,2 176 074,3 621,5 13 673,1

73 63291 2569 16 018,5 159 118,1 638,2 13 051,7

74 60721 2713 15 081,7 143 099,6 661,3 12 413,5

75 58008 2853 14 139,2 128 017,9 682,4 11 752,2

76 55155 2978 13 193,1 113 878,7 699,0 11 069,8

77 52177 3074 12 248,1 100 685,5 708,1 10 370,8

78 49103 3146 11 311,6 88 437,4 711,2 9 662,7

79 45958 3227 10 389,6 77 125,8 715,9 8 951,5

80 42731 3297 9 479,9 66 736,2 717,8 8 235,6

81 39434 3334 8 585,3 57 256,3 712,4 7 517,8

82 36099 3345 7 712,9 48 670,9 701,5 6 805,4

83 32754 3327 6 867,6 40 958,1 684,6 6 103,9

84 29427 3277 6 054,9 34 090,4 661,7 5 419,3

85 26150 3192 5 280,3 28 035,5 632,5 4 757,6

86 22958 3071 4 549,4 22 755,2 597,2 4 125,1

87 19887 2914 3 867,4 18 205,7 556,2 3 527,9

88 16973 2724 3 239,1 14 338,3 510,1 2 971,8

89 14249 2503 2 668,6 11 099,2 460,0 2 461,7

90 11746 2257 2 158,8 8 430,6 407,1 2 001,6

91 9489 1993 1 711,5 6 271,8 352,8 1 594,6

92 7496 1719 1 326,8 4 560,3 298,7 1 241,8

93 5777 1446 1 003,4 3 233,4 246,4 943,1

94 4331 1181 738,3 2 230,0 197,6 696,7

95 3150 935 526,9 1 491,7 153,5 499,1

96 2215 715 363,6 964,8 115,1 345,6

97 1500 525 241,7 601,2 83,0 230,5

98 975 370 154,2 359,5 57,4 147,5

99 605 248 93,9 205,4 37,8 90,1

100 357 158 54,4 111,4 23,6 52,3

101 199 95 29,8 57,0 13,9 28,7

102 104 53 15,3 27,3 7,7 14,8

103 51 28 7,4 12,0 3,9 7,1

104 23 14 3,3 4,6 1,9 3,2

105 10 10 1,3 1,3 1,3 1,3


87

13 Určení čistého pojistného a rizika pojištění

13.1 Princip ekvivalence

Tento princip, který se používá jako základní spravedlivé východisko k určování pojistného

i rizika pojištění, budeme demonstrovat na následujícím příkladu.

Příklad 13.1.1

Dva kamarádi A, B se domluvili, že společně uloží na spořicí účet úročený roční složenou

úrokovou mírou 1,3 % částku 50 000 Kč a zahrají si následující hru. Jeden z nich, řekněme A,

si vybere libovolnou číslici (0, 1, …9) a druhý ji bude hádat. První pokus se uskuteční rok

od založení účtu a další vždy po roce. Pokaždé když B neuhodne, vybere si A z účtu

5 000 Kč. Hra končí v okamžiku, kdy B uhodne a vybere si celý zůstatek na účtu. Ukážeme,

kolik by měl každý z nich na účet uložit, aby byla hra spravedlivá.

Řešení

Je zřejmé, že hra bude spravedlivá v případě, když budou výdaje a příjmy obou hráčů

v rovnováze. Výdaje a příjmy hráčů se uskuteční v různých časech, takže k jejich porovnání

bude třeba odpovídající nominální hodnoty přepočítat k jednomu zvolenému časovému

okamžiku. Nechť je to okamžik založení účtu. Vzhledem k tomu, že příjmy (výhry) obou

hráčů mohou být různé v závislosti na průběhu hry, jedná se obecně o náhodné veličiny

a jejich typickou velikost reprezentuje střední hodnota.

Označme W náhodnou veličinu současná hodnota výhry hráče A. Dále označme F hledanou

spravedlivou částku, kterou by měl hráč A na účet vložit. Podle definice střední hodnoty

náhodné veličiny zřejmě platí, že

,E1

n

j

jjpwWF (13.1.1)

kde njwj

...,,2,1, jsou hodnoty, kterých může náhodná veličina W nabývat a jp jsou

pravděpodobnosti toho, že jwW .

Současná hodnota výhry hráče a může nabývat celkem 10 různých hodnot, protože hráč B

může zřejmě myšlenou číslici uhodnout nejdříve na první a nejpozději na desátý pokus.

S použitím základní rovnice složeného úrokování lze vypočítat současné hodnoty

jednotlivých výher hráče A. Vyplývá z ní, že pro diskontovanou hodnotu K0 částky Kn splatné

za n let při roční úrokové míře i platí:

,1

0

n

nn

n vKi

KK

(13.1.2)

kde jsme k úpravě použili (12.6.5). Součtem těchto jednotlivých diskontovaných výher potom

dostaneme současnou hodnotu celé výhry wj. Za roční úrokovou míru budeme přirozeně brát

hodnotu 0,013, tedy úrokovou míru, kterou je úročen uvažovaný účet. Máme postupně

.013,1

0005...

013,1

0005

013,1

0005...,,

013,1

0005

013,1

0005

013,1

0005

013,1

0005

,013,1

0005

013,1

0005

013,1

0005,

013,1

0005

013,1

0005,

013,1

0005,0

92104325

3242321

ww

wwww

Náhodná veličina W tedy může obecně nabývat hodnot


88

.10...,,2,1,013,0

)013,1(10005

013,1

0005...

013,1

0005

013,1

00051

12

jw

j

jj

Při vyjádření j-tého členu jedním výrazem jsme použili známý vzorec pro součet prvních n

členů geometrické posloupnosti. Platí, že

.1

11

q

qas

n

n

(13.1.3)

V našem případě je zřejmě .1a013,1

1,

013,1

00051

jnqa

Jednoduchou úvahou dále dospějeme k závěru, že pravděpodobnost každé výhry je 10 %.

Můžeme tedy sestavit tabulku rozdělení pravděpodobností náhodné veličiny W (viz tabulka

13.1.1).

Tabulka 13.1.1 Rozdělení pravděpodobností náhodné veličiny W

j Hodnota W (wj) Pravděpodobnost (pj)

1 0 0,1

2 4 935,83 0,1

3 9 808,33 0,1

4 14 618,29 0,1

5 19 366,52 0,1

6 24 053,82 0,1

7 28 680,97 0,1

8 33 248,74 0,1

9 37 757,88 0,1

10 42 209,17 0,1

Po dosazení do (13.1.1) dostáváme

.96,46721F

Aby byla hra spravedlivá, musí hráč A vložit na účet částku 21 467,96 Kč, a hráč B částku

28 532,04 Kč.

Označme dále písmenem R riziko hry hráče A. Toto riziko se v matematice běžně vyjadřuje

směrodatnou odchylkou příslušné náhodné veličiny. Podle definice směrodatné odchylky

diskrétní náhodné veličiny máme

.E1

2

n

j

jjpWwWR (13.1.4)

Po příslušném dosazení a výpočtech získáme

.43,47013R

Riziko hry hráče a tedy činí 13 470,43 Kč.

Při výpočtu pojistného se vychází z právě demonstrovaného spravedlivého principu.

Hovoříme o tzv. principu ekvivalence. Ten vyjadřuje zřejmý „férový“ požadavek, aby příjmy

a výdaje pojišťovny byly v rovnováze. U čistého pojistného bereme za výdaje pojišťovny

pouze částky pojistného plnění. Jelikož, jak už bylo uvedeno, se v životním pojištění uzavírají

pojistné smlouvy většinou na delší časová období a příjmy či výdaje pojišťovny mohou být

rozloženy po celou dobu tohoto období, je třeba při výpočtech pojistného uvažovat časovou


89

hodnotu peněz. Finanční toky související s danou pojistnou smlouvou je tedy třeba vztahovat

a porovnávat k vybranému časovému okamžiku, kterým bude při našich výpočtech okamžik

uzavření pojistné smlouvy. Vzhledem k tomu, že se všechny finanční toky související

s pojistnou smlouvou uskutečňují při jejím podpisu nebo později, budeme pracovat s jejich

současnými (diskontovanými) hodnotami. Předpokládejme tedy dále, že čas měříme v letech

počínaje uzavřením pojistné smlouvy. Označíme-li platby pojistného v časech

Nmkkkm

,...,,,21 jako

mkkkAAA ...,,,

21 a platby pojistného plnění v časech

Nnllln

,...,,,21 jako

nlllBBB ...,,,

21, lze princip ekvivalence matematicky zapsat ve tvaru

.11 11

n

jl

lm

jk

k

j

j

j

j

i

B

i

A (13.1.5)

K diskontování v rovnici (13.1.5) používáme pochopitelně dříve zavedenou technickou

úrokovou míru i.

V životním pojištění však musíme vzít v úvahu ještě jeden faktor, a tím je náhodný charakter

finančních toků. Placení pojistného často končí úmrtím klienta, takže počet plateb m ve

vztahu (13.1.5) není dopředu znám. Na druhé straně je pojistné plnění při důchodovém

pojištění vázáno na dobu, po kterou je pojištěný naživu, takže ani počet plateb n není předem

jistý. Při kapitálovém pojištění zase pojišťovna obecně předem neví, kdy a zda vůbec bude

platit pojistné plnění. Na obě strany v rovnici (13.1.5) je tedy obecně třeba pohlížet jako

na náhodné veličiny a platnost rovnosti požadovat pro jejich střední (očekávané) hodnoty, tj.

střední současná hodnota pojistného =

= střední současná hodnota pojistného plnění. (13.1.6)

Je zřejmé, že konkrétní hodnoty, kterých nabývají uvažované náhodné veličiny, se mohou

od vypočítaných středních hodnot značně lišit. Pro pojišťovnu tedy existuje reálné nebezpečí

(riziko), že ve skutečnosti nebudou její celkové příjmy a celkové výdaje za dané období

v rovnováze a vybrané pojistné od klientů nebude stačit na výplaty pojistného plnění a pokrytí

dalších výdajů. Tomuto riziku se říká pojistně-technické riziko pojistitele (podrobněji viz

část Pojišťovnictví) a jeho velikost se obvykle vyjadřuje směrodatnou odchylkou náhodné

veličiny, která je definována jako rozdíl mezi příjmy a výdaji pojišťovny za dané období.

V praxi je ovšem její výpočet většinou obtížný, a proto se redukuje na výpočet směrodatné

odchylky náhodné veličiny současná hodnota pojistného plnění (Cipra, 1999), která je

hlavním zdrojem pojistně-technického rizika a nazývá se zjednodušeně riziko pojištění. Je

pochopitelné, že čím větší množství pojistných smluv pojišťovna uzavře, tím víc se její

pojistně-technické riziko snižuje.

13.2 Kapitálové pojištění placené jednorázově

Začneme tímto, výpočetně nejjednodušším, případem. Jednorázové pojistné plnění se platí při

uzavření pojistné smlouvy. Je to tedy platba jistá, kterou navíc není potřeba diskontovat,

protože se uskutečňuje přímo ve zvoleném referenčním okamžiku. Pojistné plnění vyplácí

pojišťovna při kapitálovém pojištění nanejvýš jednou. Stačí tedy určit střední hodnotu

diskontovaného pojistného plnění pro konkrétní druh kapitálového pojištění placeného

jednorázově a podle principu ekvivalence se bude jednat přímo o hledané čisté pojistné.

V celém tomto odstavci budeme dále předpokládat, že pojistné plnění je jednotkové (1 Kč),

což našim úvahám na obecnosti nikterak zásadně neubere. Získanou hodnotu čistého

pojistného na jednotkové pojistné plnění (tzv. jednotkové čisté pojistné) totiž stačí vynásobit

dohodnutým pojistným plněním a dostaneme skutečnou hodnotu čistého pojistného.


90

13.2.1 Pojištění na dožití

Při pojištění na dožití vyplatí pojišťovna sjednané pojistné plnění, jestliže se osoba pojištěná

ve vstupním věku x let dožije konce dohodnuté pojistné doby n let. Pokud pojištěný zemře

před koncem pojistné doby, zanikne pojištění bez náhrady. Tento typ pojištění uzavírají

například rodiče ve prospěch svých dětí, které pak při dožití určitého věku dostanou

vyplacenou sjednanou částku. Schematicky vyjadřuje situaci při pojištění na dožití obrázek

13.2.1, kde Nnlkx ,,, , přičemž .lnk Na obrázku jsou znázorněny dvě alternativy

úmrtí pojištěného. Pokud se dožije maximálně k-tého výročí uzavření pojistné smlouvy,

pojišťovna neplatí nic. V případě, že se dožije maximálně l-tého výročí uzavření pojistné

smlouvy, vyplatí pojišťovna pojistné plnění.

Obrázek 13.2.1 Pojistné plnění při pojištění na dožití

plnění 0 0 0 † 0 0

věk x x+1 … x+k x+k+1 … x+n … x+l x+l+1

plnění 0 0 0 0 1 0 † 0

Označíme-li výši hledaného jednotkového čistého pojistného při pojištění na dožití nEx a

náhodnou veličinu současná hodnota jednotkového pojistného plnění P1, lze rovnici

ekvivalence (13.1.6) psát ve tvaru:

,E 1PE xn (13.2.1)

kde E(P1) je střední hodnota náhodné veličiny P1. Tato náhodná veličina má alternativní

rozdělení pravděpodobností podle tabulky 13.2.1. Pomocný sloupeček Čas reprezentuje čas

výplaty pojistného plnění v letech počínaje uzavřením pojistné smlouvy.

Tabulka 13.2.1 Rozdělení pravděpodobností náhodné veličiny P1

Čas Hodnota P1 Pravděpodobnost

0 nqx

n vn npx

Příklad 13.2.1

Určíme, jaké je čisté jednorázové pojistné a riziko pojištění v případě, že 40letý muž uzavírá

pojištění na dožití dvaceti let na pojistnou částku 100 000 Kč?

Řešení

Máme x = 40, n = 20 a i = 0,019. Dále označme hodnotu pojistného plnění f = 100 000.

Pravděpodobnost, že se pojištěný nedožije 20. výročí pojistné smlouvy a pojišťovna nebude

platit pojistné plnění je podle (12.4.4) a tabulky 12.6.1

.115102,046497

5118746497

40

6040

4020

l

llq

Pravděpodobnost, že se naopak dožije 20. výročí pojistné smlouvy a pojišťovna bude platit

pojistné plnění je podle (12.4.3) a tabulky 12.6.1


91

.885897,046497

51187

40

60

4020

l

lp

Podle předpokladu se v tomto případě vyplácí pojistné plnění ve výši 1 Kč a jeho

diskontovaná hodnota k okamžiku uzavření pojistné smlouvy je zřejmě podle (13.1.2)

a (12.6.5)

.304686,0019,1

1

1

12020

20

iv

Rozdělení pravděpodobností pak ilustruje tabulka 13.2.2.

Tabulka 13.2.2 Rozdělení pravděpodobností náhodné veličiny P1 z příkladu 13.2.1


0 0,102115

20 0,686304 0,897885

Z této tabulky a s využitím (13.1.1) máme

.222616,0885897,0304686,0115102,00E1

PExn

Pomocí (13.1.4) pak určíme jednotkové riziko pojištění, pro které dostáváme

.813207,0885897,0)222616,0304686,0(115102,0)222616,00(22

1P

Je tedy zřejmé, že na každou korunu pojistného plnění činí čisté pojistné zhruba 62 haléřů

a riziko pojištění zhruba 21 haléřů. Pokud činí pojistné plnění 100 000 Kč, bude pochopitelně

jak čisté pojistné, tak i riziko pojištění 100 000krát větší. Označíme-li tedy čisté pojistné F

a riziko pojištění R, dostáváme

.26,78120813207,0000100

,16,62261222616,0000100

1

PfR

EfFxn

Čisté jednorázové pojistné tedy činí 61 622,16 Kč a riziko pojištění 20 781,26 Kč.

Výpočet čistého pojistného resp. rizika pojištění z tabulky rozdělení pravděpodobností se

poměrně jednoduše provádí v Excelu, kdy je velmi efektivní použít funkci skalární součin

vektorů (sloupců) hodnot a pravděpodobností resp. vektorů kvadratických odchylek

a pravděpodobností.

Pro výpočet jednotkového čistého pojistného pro daný typ pojištění lze odvodit i obecný

vzorec, a to

a) z obecné tabulky rozdělení pravděpodobností;

b) jednoduchou úvahou.

Podle tabulky 13.2.1, definice střední hodnoty a (12.6.1) máme

.0E1

x

nx

x

x

nx

nx

x

nxn

xn

n

xnxnD

D

lv

lv

l

lvpvqPE

(13.2.2)

Uvažujme lx osob ve věku x let, kteří společně vytvoří pojistný fond investovaný při roční

úrokové míře i. Z fondu se má za n let po jeho vytvoření vyplatit koruna každému

pojistníkovi, který bude naživu. Je zřejmé, že vklad každého bude vlastně jednotkové pojistné

na dožití n let, které splňuje rovnici


92

,1

n

nx

xxn

i

llE

z níž vyplývá, že

.x

nx

x

nxn

xnD

D

l

lvE

Příklad 13.2.2

Čisté pojistné z příkladu 13.2.1 určíme pomocí komutačních čísel.

Řešení

Podle vztahu (13.2.2) a použitím příslušných komutačních čísel z tabulky 12.6.1 lze psát

.16,622617,90645

7,28828000100

40

60

D

Df

D

DfEfF

x

nx

xn

Pojištění na dožití by teoreticky mělo být o něco výhodnější než uložení peněz na účet

úročený technickou úrokovou mírou, protože vyplacená částka může být vyšší o částky, jež

pojišťovna „ušetří“ v případech, kdy se pojištěný sjednaného věku nedožije. To potvrzuje

následující příklad.

Příklad 13.2.3

Ukážeme, jak se za dvacet let zhodnotí vklad 61 622,16 Kč při roční úrokové míře 1,9 %.

Řešení

Je tedy dáno: K0 = 61 622,16, i = 0,019, n = 20. Ze základní rovnice složeného úročení

(13.1.2) máme

.48,78889019,01622,16 61120

0

n

niKK

Splatná částka je tedy opravdu menší než v případě pojištění na dožití. Je třeba si ovšem

uvědomit, že výpočet byl proveden na základě velikosti čistého pojistného, které pojistník

v praxi neplatí.

13.2.2 Pojištění pro případ smrti

V rámci tohoto pojištění vyplatí pojišťovna sjednané pojistné plnění na konci toho pojistného

roku, v němž osoba pojištěná ve vstupním věku x zemře. V praxi se toto pojištění často

používá například pro hrazení nákladů na pohřeb. Schematicky lze situaci vyjádřit jako

na obrázku 13.2.2, kde Nkx , .

Obrázek 13.2.2 Pojistné plnění při pojištění pro případ smrti

plnění 0 0 0 † 1

věk x x+1 … x+k x+k+1


93

Označíme-li výši jednotkového čistého pojistného pro případ smrti Ax a náhodnou veličinu

současná hodnota jednotkového pojistného plnění P2, lze rovnici ekvivalence (13.1.6) psát ve

tvaru:

,E 2PA x (13.2.3)

kde E(P2) je střední hodnota náhodné veličiny P2. Rozdělení pravděpodobností náhodné

veličiny P2 ukazuje tabulka 13.2.3.



1 v qx = 0|qx

2 v2 1|qx

3 v3 2|qx

… … …

106 - x v106-x 105-x|qx

Řádků tabulky (různých hodnot náhodné veličiny P2) je tolik, kolik je různých časových

okamžiků možných výplat pojistného plnění. Nejdříve může vyplácet pojišťovna pojistné

plnění rok po uzavření příslušné smlouvy a to v případě, že pojištěný zemře do roka

od uzavření smlouvy. Na druhé straně se teoreticky může pojištěný dožít až 105 let, takže

poslední možná výplata pojistného plnění je (106 – x) let od uzavření pojistné smlouvy.

Připomínáme, že x označuje vstupní věk pojištěného.

Ve sloupečku pravděpodobností vystupují pochopitelně jednoleté pravděpodobnosti úmrtí

odložené o příslušný počet let a sloupeček Čas opět udává čas výplaty pojistného plnění

v letech počínaje uzavřením pojistné smlouvy.

Příklad 13.2.4

Určíme čisté jednorázové pojistné a riziko pojištění pro 60letého klienta, který uzavírá

pojištění pro případ smrti na 100 000 Kč.

Řešení

Máme x = 60, f = 100 000, i = 0,019. Tabulku rozdělení pravděpodobností pro tento příklad

získáme použitím vztahů (12.6.5), (12.4.6) a doplněním vypočtených hodnot do tabulky

13.2.3. Protože je (106 – 60) = 46, může náhodná veličina P2 nabývat teoreticky 46 různých

hodnot. Vyplácí se sice pokaždé jedna koruna, ale diskontuje se přes různý počet ročních

období.


94


Čas Hodnota P2 Pravděpodobnost Čas Hodnota P2 Pravděpodobnost

1 0,981354 0,013715 24 0,636531 0,038022

2 0,963056 0,014859 25 0,624662 0,037445

3 0,945099 0,016295 26 0,613015 0,036472

4 0,927477 0,017776 27 0,601585 0,035091

5 0,910184 0,018954 28 0,590368 0,033302

6 0,893213 0,020411 29 0,579360 0,031125

7 0,876558 0,021806 30 0,568558 0,028601

8 0,860214 0,022883 31 0,557956 0,025791

9 0,844175 0,024181 32 0,547553 0,022774

10 0,828434 0,024995 33 0,537343 0,019649

11 0,812988 0,025727 34 0,527324 0,016520

12 0,797829 0,027113 35 0,517492 0,013498

13 0,782953 0,028058 36 0,507843 0,010684

14 0,768354 0,029360 37 0,498374 0,008165

15 0,754028 0,031003 38 0,489081 0,006002

16 0,739968 0,032600 39 0,479962 0,004225

17 0,726171 0,034029 40 0,471013 0,002836

18 0,712631 0,035125 41 0,462230 0,001805

19 0,699343 0,035948 42 0,453612 0,001084

20 0,686304 0,036875 43 0,445154 0,000610

21 0,673507 0,037676 44 0,436854 0,000319

22 0,660949 0,038100 45 0,428708 0,000154

23 0,648625 0,038229 46 0,420715 0,000110

Výpočtem střední hodnoty a směrodatné odchylky náhodné veličiny P2 a jejich vynásobením

pojistným plněním f dostaneme hledané čisté pojistné a riziko pojištění. Je

.67,45412547124,0000100

,73,09470947700,0000100E

2

2

PfR

PffAFx

Cena čistého pojistného je tedy 70 094,73 Kč a riziko pojištění činí 12 454,67 Kč.

Použitím definice střední hodnoty, tabulky 13.2.3 a vztahů (12.4.6), (12.1.4), (12.6.2),

(12.6.4) a (12.6.1) postupně máme

.

105

0

105

0

1105

0

1105

0

1

x

x

x

x

x

k

kxx

k

x

x

kx

kx

x

k x

kxkx

k

xk

k

xD

M

vl

C

vl

vd

l

dvqvA

(13.2.4)

Příklad 13.2.5

Ověříme čisté jednorázové pojistné získané v řešení minulého příkladu pomocí (13.2.4).

Řešení

Máme

.73,094707,28828

9,82819000100

60

60 D

Mf

D

MffAF

x

x

x


95

13.2.3 Dočasné pojištění pro případ smrti

V rámci tohoto pojištění vyplatí pojišťovna dohodnuté pojistné plnění na konci pojistného

roku, v němž osoba pojištěná ve vstupním věku x zemře, pokud navíc k úmrtí dojde před

uplynutím pojistné doby n let. Jestliže se pojištěný dožije konce pojistné doby, zanikne

pojištění bez náhrady. V praxi se toto pojištění často používá v souvislosti s úvěrem. Banka

totiž může poskytnutí úvěru (např. hypotečního) podmínit právě tímto typem životního

pojištění, kdy se v případě úmrtí klienta z pojistky dorovná dluh bance (případný zbytek

připadne dalším oprávněným osobám). Situaci si opět nejprve znázorníme schematicky ve

dvou variantách úmrtí pojištěného, viz obrázek 13.2.3, kde Nnlkx ,,, , přičemž .lnk

Obrázek 13.2.3 Pojistné plnění při dočasném pojištění pro případ smrti

plnění 0 0 0 † 1


plnění 0 0 0 0 0 0 † 0

Výši jednotkového pojistného dočasného pojištění pro případ smrti x-leté osoby na n let

označíme symbolem 1

: nxA a náhodnou veličinu současná hodnota jednotkového pojistného

plnění pro tento typ pojištění P3. Rovnice ekvivalence (13.1.6) má tvar:

,E 3

1

:PA

nx

(13.2.5)


veličiny P3 ukazuje tabulka 13.2.5. Porovnáním s tabulkou 13.2.3 je zřejmé, že prvních n

řádků je totožných a poslední řádek tabulky 13.2.5 vlastně shrnuje zbývající řádky tabulky

13.2.3 s nulovou hodnotou P3.



1 v qx = 0|qx

2 v2 1|qx

3 v3 2|qx

… … …

n n-1|qx

0 npx

Příklad 13.2.6

Vypočítáme čisté jednorázové pojistné a pojistné riziko dočasného pojištění pro případ smrti,

které uzavírá 60letá osoba na 5 let a na pojistnou částku 100 000 Kč?

Řešení

Máme x = 60, n = 5, i = 0,019 a f = 100 000. Prvních pět řádků vyplníme stejně jako

v příkladu 13.2.4. Poslední šestý řádek bude odpovídat situaci, kdy se pojištěný dožije konce

pojistné doby, a pojišťovna tudíž nebude muset platit pojistné plnění vůbec. Pravděpodobnost

v posledním řádku určíme pomocí vztahu (12.4.3).


96



1 0,981354 0,013715

2 0,963056 0,014859

3 0,945099 0,016295

4 0,927477 0,017776

5 0,910184 0,018954

0,000000 0,918401

Tato tabulka rozdělení pravděpodobností nám opět umožní vypočítat střední hodnotu

a posléze i směrodatnou odchylku náhodné veličiny P3. Vynásobením pojistným plněním f

dostaneme hledané čisté pojistné a riziko pojištění. Je

.43,81125114258,0000100

,81,6907908076,0000100E

3

3

1

:

PfR

PffAFnx

Čisté pojistné je tedy 7 690,81 Kč a riziko pojištění činí 25 811,43 Kč.

I zde odvodíme vyjádření jednotkového čistého pojistného pomocí komutačních čísel.

Použitím definice střední hodnoty, tabulky 13.2.5 a vztahů (12.4.6), (12.1.4), (12.6.2),

(12.6.4) a (12.6.1) získáme postupně

.

105

0

105

0

1

0

1

0

11

0

11

0

11

:

x

nxx

x

x

nx

k

knx

x

k

kx

x

x

n

k

kx

n

k

x

x

kx

kx

n

k x

kxkn

k

xk

k

nx

D

MM

vl

CC

vl

C

vl

vd

l

dvqvA

(13.2.6)

Příklad 13.2.7

Ověříme čisté jednorázové pojistné získané v řešení minulého příkladu pomocí právě

odvozeného vztahu (13.2.6).

Řešení

Máme

.81,69077,28828

3,653179,82819000100

60

65601

:

D

MMf

D

MMffAF

x

nxx

nx

13.2.4 Odložené pojištění pro případ smrti

V rámci tohoto pojištění vyplatí pojišťovna dohodnuté pojistné plnění na konci pojistného

roku, v němž osoba pojištěná ve vstupním věku x zemře, pokud navíc k úmrtí nedojde před

uplynutím sjednané doby odkladu n let. Z této definice je zřejmé, že se jedná o jakýsi doplněk

dočasného pojištění pro případ smrti. Tento typ pojištění je relativně nevýhodný pro

pojistníka, protože ten ušetří odkladem poměrně malou částku a vystavuje se riziku, že

pojistné v případě předčasné smrti pojištěného propadne pojišťovně. Takový typ pojištění

bude tedy spíše diktován pojišťovnou v případech, kdy má důvod se domnívat, že z nějakého


97

důvodu dojde k brzkému úmrtí pojištěného (např. osoby s velkým rizikem onemocnění

vážnou chorobou, zadlužený podnikatel atd.). Možnosti, které mohou při odloženém pojištění

pro případ smrti nastat, jsou na obrázku 13.2.4, pro Nnlkx ,,, taková, že .lnk

Obrázek 13.2.4 Pojistné plnění při odloženém pojištění pro případ smrti

plnění 0 0 0 † 0


plnění 0 0 0 0 0 0 † 1

Výši čistého jednotkového čistého pojistného odloženého pojištění pro případ smrti x-leté

osoby na n let označíme symbolem xnA a náhodnou veličinu současná hodnota jednotkového

pojistného plnění pro tento typ pojištění P4. Rovnice ekvivalence (13.1.6) má v tomto případě

tvar:

4E PAxn , (13.2.7)


veličiny P4 ukazuje tabulka 13.2.7. Pokud pojištěný zemře během doby odkladu, neplatí

pojišťovna pojistné plnění vůbec. Jakmile doba odkladu uplyne, funguje odložené pojištění

pro případ smrti stejně jako (obyčejné) pojištění pro případ smrti, takže tabulky 13.2.7

a 13.2.3 jsou počínaje časem (n + 1) totožné.



0 nqx

n + 1 vn+1 n| qx

n + 2 vn+2 n+1| qx

… … …

106 - x v-x x|qx

Příklad 13.2.8

Určíme čisté jednorázové pojistné a riziko pojištění pro 60letého muže, který uzavírá

odložené pojištění pro případ smrti na 5 let na částku 100 000 Kč?

Řešení

Máme x = 60, n = 5, i = 0,019 a f = 100 000. Rozdělení pravděpodobností je uvedeno

v tabulce 13.2.8. Pravděpodobnost v prvním řádku, která odpovídá nulovému pojistnému

plnění, určíme pomocí (12.4.4). Čísla ve zbývajících řádcích vypočítáme stejně jako

v příkladu 13.2.4.


98



0,000000 0,081599 26 0,613015 0,036472

6 0,893213 0,020411 27 0,601585 0,035091

7 0,876558 0,021806 28 0,590368 0,033302

8 0,860214 0,022883 29 0,579360 0,031125

9 0,844175 0,024181 30 0,568558 0,028601

10 0,828434 0,024995 31 0,557956 0,025791

11 0,812988 0,025727 32 0,547553 0,022774

12 0,797829 0,027113 33 0,537343 0,019649

13 0,782953 0,028058 34 0,527324 0,016520

14 0,768354 0,029360 35 0,517492 0,013498

15 0,754028 0,031003 36 0,507843 0,010684

16 0,739968 0,032600 37 0,498374 0,008165

17 0,726171 0,034029 38 0,489081 0,006002

18 0,712631 0,035125 39 0,479962 0,004225

19 0,699343 0,035948 40 0,471013 0,002836

20 0,686304 0,036875 41 0,462230 0,001805

21 0,673507 0,037676 42 0,453612 0,001084

22 0,660949 0,038100 43 0,445154 0,000610

23 0,648625 0,038229 44 0,436854 0,000319

24 0,636531 0,038022 45 0,428708 0,000154

25 0,624662 0,037445 46 0,420715 0,000110



.01,18421840211,0000100

,92,40362039624,0000100E

4

4

PfR

PfAfFxn

Cena čistého pojistného je tedy 62 403,92 Kč a riziko pojištění činí 21 184,01 Kč.

Pomocí tabulky 13.2.7 určíme jednotkové čisté pojistné odloženého pojištění pro případ smrti

obecně jako střední hodnotu náhodné veličiny P4. Máme

.

105

105 11051

1051

x

nx

x

x

x

nk

kxx

nk

x

x

kx

kx

x

nk x

kxkx

nk

xk

k

xnD

M

vl

C

vl

vd

l

dvqvA

(13.2.8)

Při odvození jsme postupně použili definici střední hodnoty, tabulku 13.2.7 a vztahy (12.4.6),

(12.1.4), (12.6.2), (12.6.4) a (12.6.1).

Vztahy (13.2.4), (13.2.6) a (13.2.8) matematicky dokreslují skutečnost, že pojištění pro případ

smrti lze rozdělit na dočasné a odložené pojištění pro případ smrti se stejnou dobou trvání

dočasného pojištění a dobou odkladu. Pro příslušné hodnoty jednotkového čistého pojistného

totiž platí, že

.1

: xnnxxAAA

(13.2.9)


99

Příklad 13.2.9

Ověříme vypočtenou hodnotu čistého pojistného z předchozího příkladu pomocí výsledků

příkladů 13.2.4 a 13.2.6 a vztahu (13.2.9).

Řešení

Máme x = 60, n = 5, f = 100 000, F2.2.4= 70 094,73 a F2.2.6 = 7 690,81. S použitím (13.2.9)

dostáváme

.92,40362690,81 7094,73 70 -2.2.64.2.2

1

:

1

:

FFfAfAAAfAfF

nxxnxxxn

13.2.5 Smíšené pojištění

V rámci smíšeného pojištění vyplatí pojišťovna sjednané pojistné plnění na konci toho

pojistného roku, v němž osoba pojištěná ve vstupním věku x zemře, nejpozději ale při dožití

konce sjednané pojistné doby n let. Toto pojištění, které je vlastně kombinací dočasného

pojištění pro případ smrti a pojištění pro případ dožití, patří k nejoblíbenějším produktům

životního pojištění. Jedná se tedy o jakési spořící pojištění, protože máme jistotu, že pojistné

plnění bude vyplaceno. Schematicky lze situaci vyjádřit jako na obrázku 13.2.5, kde jsou

Nnlkx ,,, , přičemž .lnk Z tohoto obrázku je také zřejmé, že při smíšeném pojištění

platí pojišťovna v každém případě.

Obrázek 13.2.5 Pojistné plnění při smíšeném pojištění

plnění 0 0 0 † 1

věk x x+1 … x+k x+k1+1 … x+n … x+l x+l+1

plnění 0 0 0 0 1 0 † 0

Označíme-li výši jednotkového čistého pojistného smíšeného pojištění nx

A:

a náhodnou

veličinu současná hodnota jednotkového pojistného plnění P5, lze rovnici ekvivalence (13.1.6)

psát ve tvaru:

,E 5:PA

nx

(13.2.10)


veličiny P5 ukazuje tabulka 13.2.9. Z ní je dobře patrné, že smíšené pojištění je složeno

z dočasného pojištění pro případ smrti a pojištění na dožití.



1 v qx = 0|qx

2 v2 1|qx

3 v3 2|qx

… … …

n vn n-1|qx+npx


100

Příklad 13.2.10

Určíme čisté jednorázové pojistné a riziko pojištění v případě 35leté osoby, která uzavírá

smíšené pojištění na 20 let na 100 000 Kč.

Řešení

Máme x = 35, n = 20, i = 0,019 a f = 100 000. Pro výpočty hodnot příslušné náhodné veličiny

v tabulce rozdělení pravděpodobností 13.2.10 jsme použili vztah (12.6.5), odpovídající

pravděpodobnosti pak určili dosazením do (12.4.6) a (12.4.3). Z tabulky je zřejmé, že s takřka

95% pravděpodobností bude pojišťovna v tomto případě vyplácet pojistné plnění až při

dvacátém výročí uzavření pojistné smlouvy ( 768945,0351935203519 ppq ).



1 0,981354 0,001123 11 0,812988 0,002863

2 0,963056 0,001114 12 0,797829 0,003118

3 0,945099 0,001181 13 0,782953 0,003512

4 0,927477 0,001213 14 0,768354 0,003831

5 0,910184 0,001357 15 0,754028 0,004185

6 0,893213 0,001482 16 0,739968 0,004439

7 0,876558 0,001659 17 0,726171 0,004877

8 0,860214 0,001988 18 0,712631 0,005298

9 0,844175 0,002379 19 0,699343 0,006053

10 0,828434 0,002582 20 0,686304 0,945748



.12,9202201029,0000100

,41,18569854691,0000100E

5

5:

PfR

PffAFnx

Cena čistého pojistného je tedy 69 185,41 Kč a riziko pojištění činí pouze 2 920,12 Kč.

Obecné vyjádření jednotkového čistého pojistného pro smíšené pojištění odvodíme opět

pomocí definice střední hodnoty náhodné veličiny P5, jejíž rozdělení je v tabulce 13.2.9.

Použitím (13.2.6) a (13.2.2) máme

.1

:

1

0

1

:

x

nxnxx

xnnx

n

k

xn

n

xk

k

nxD

DMMEApvqvA

(13.2.11)

Příklad 13.2.11

Pomocí komutačních čísel ověříme získanou hodnotu čistého pojistného z předchozího

příkladu.

Řešení

Máme x = 35, n = 20 a f = 100 000. Čisté pojistné podle (13.2.11) bude

.41,185696,74050

2,696325,351213,76023000100

35

555535

:

D

DMMf

D

DMMffAF

x

nxnxx

nx


101

Pojišťovny smíšené pojištění nejrůznějším způsobem modifikují. Většinou tak, že dávají

různou váhu jednotlivým částem, ze kterých je smíšené pojištění složeno. Může to být např.

smíšené pojištění s trojnásobným pojistným plněním v případě smrti, které je určeno

přednostně pro zabezpečení pozůstalých. Čisté pojistné se v tom případě vyjádří pomocí

zlomku

.3

x

nxnxx

D

DMM

(13.2.12)

Na druhé straně např. smíšené pojištění s dvojnásobným pojistným plněním v případě dožití

preferuje spořící účel pojištění a výši čistého pojistného získáme jako

,2

x

nxnxx

D

DMM

(13.2.13)

tedy odlišnou modifikací pravé strany (13.2.11).

Příklad 13.2.12

Určíme, jaké by bylo čisté pojistné pro pojištěného z příkladu 13.2.10, jestliže by pojistná

smlouva zaručovala v případě dožití se 20. výročí pojistné smlouvy dvojnásobné pojistné

plnění ve výši 200 000 Kč.

Řešení

Podle zadání příkladu 13.2.10 máme x = 35, n = 20 a f = 100 000. Čisté pojistné dostaneme

použitím (13.2.13) jako

.49,6231336,74050

2,6963225,351213,76023000100

22

35

555535

D

DMMf

D

DMMfF

x

nxnxx

Čisté pojistné bude nyní činit 133 623,49 Kč.

13.3 Důchodové pojištění placené jednorázově

Důchodové pojištění se liší od kapitálového tím, že se pojistné plnění nevyplácí jednorázově,

ale formou opakovaných periodických plateb stejné velikosti, důchodů. Počet platebních

období takového důchodu je náhodná veličina, protože výplata pojistného plnění je obvykle

vázána na život pojištěného. Výpočty čistého jednorázového pojistného a rizika pojištění

budeme provádět na roční jednotkový důchod, tj. na důchod, při kterém se během roku vyplatí

1 Kč s tím, že podobně jako u kapitálových pojištění stačí výsledky vynásobit skutečným

ročním pojistným plněním.

Výdaje pojišťovny v rovnici ekvivalence (13.1.6) bude tedy reprezentovat střední hodnota

náhodné veličiny diskontovaná (současná, počáteční) hodnota příslušného důchodu. Příjem

pojišťovny v rovnici ekvivalence je podobně jako v předchozí části nominální hodnota čistého

pojistného, protože se jedná o platbu jistou, inkasovanou v okamžiku uzavření pojistné

smlouvy.


102

13.3.1 Současná hodnota důchodu

Jak jsme již konstatovali, důchodem budeme rozumět posloupnost pravidelně se opakujících

plateb stejné velikosti. Časový interval mezi dvěma po sobě jdoucími platbami se nazývá

výplatní období. Podle délky výplatního období hovoříme např. o ročním, čtvrtletním,

měsíčním důchodu.

Hodnotou důchodu obecně rozumíme jeho ocenění vztažením všech důchodových plateb

k vybranému časovému okamžiku s použitím určité úrokové míry a určitého způsobu

zhodnocování peněz. V souvislosti s pojistnými výpočty používáme tzv. současnou hodnotu

důchodu, kdy všechny důchodové platby vztahujeme buď k okamžiku výplaty první z nich

(hovoříme o současné hodnotě předlhůtního důchodu), nebo k okamžiku, který je jedno

výplatní období před první platbou (současná hodnota polhůtního důchodu). Pro určování

současné hodnoty v pojistných výpočtech budeme používat dříve zavedenou roční technickou

úrokovou míru a složené úrokování.

Ukažme nejprve výpočet současné hodnoty ročního předlhůtního důchodu skládajícího se z n

plateb o velikosti 1 Kč. Uvažujeme-li okamžik, ke kterému vztahujeme všechny platby, za

počátek měření času s roční jednotkou, potom se platby uskuteční v časech 0, 1, …, n – 1. Pro

současnou hodnotu takového důchodu podle (13.1.2) a (13.1.3) platí

.1

1...1

1

1...

1

1

1

11

12

12v

vvvv

iiia

n

n

nn

(13.3.1)

Pro současnou hodnotu polhůtního ročního důchodu s n jednotkovými platbami, které se

uskuteční v časech 1, 2, …, n, máme

.1

1

1...

1

1...

1

1

1

1 2

2i

v

v

vvvvv

iiia

nn

n

nn

(13.3.2)

Důchody se ovšem v praxi vyplácejí obvykle častěji než jedenkrát do roka. V tom případě se

mluví o področních důchodech. Předpokládejme, že področní důchod je vyplácen m krát do

roka po dobu n let a že každá platba má velikost 1/m, tedy každý rok se vyplatí nominálně

celkem 1 Kč. Pro současnou hodnotu takového předlhůtního (při zachování roční časové

jednotky a počátku měření času se jedná o platby v časech m

nm

mm

1...,,

2,

1,0

) důchodu

platí

.1

1...1

1

1

1...

1

1

1

11

/1

/1/2/1

/1/2/1

)(

m

n

mmnmm

mnmmm

m

n

vm

vvvv

m

imimimma

(13.3.3)

Pro polhůtní variantu področního důchodu (platby v časech )...,,2

,1

nmm

máme

.1

1...

1

1

1...

1

1

1

1

/1

/1/2/1

/2/1

)(

m

n

mnmm

nmm

m

n

vm

vvvvv

m

imimima

(13.3.4)

Vztahy (13.3.3) a (13.3.4) lze alternativně vyjádřit pomocí tzv. roční nominální úrokové míry

aplikované m-krát do roka, kterou obvykle označujeme i(m). Úroková míra i(m) je definována

tak, že úročení úrokovou mírou i(m)/m vždy po uplynutí m-tiny roku přinese stejný efekt jako


103

úročení úrokovou mírou i po uplynutí celého roku. V této souvislosti se i říká efektivní roční

úroková míra. Je tedy s využitím (13.1.2)

.11

mm

m

ii

(13.3.5)

Odtud lze odvodit, že

.1

1)1(/1

/1

/1)(

m

m

mm

v

vmimi

Vztahy (13.3.3) resp. (13.3.4) můžeme tudíž zapsat ve tvaru

)(/1

)( 11m

n

m

m

ni

v

va

(13.3.6)

resp.

.1

)(

)(

m

n

m

ni

va

(13.3.7)

13.3.2 Pojištění ročního doživotního důchodu

V případě pojištění ročního doživotního důchodu vyplácí pojišťovna důchod sjednané výše

vždy na počátku (předlhůtní) nebo na konci (polhůtní) pojistného roku za předpokladu, že

osoba pojištěná ve vstupním věku x ještě žije. Situaci pro jednotlivé varianty ukazují obrázky

13.3.1 a 13.3.2 kde Nkx , . Jako obvykle reprezentuje číslo k poslední výročí pojistné

smlouvy, kterého se pojištěný ještě dožije.

Obrázek 13.3.1 Pojistné plnění při předlhůtním ročním doživotním důchodu

plnění 1 1 1 † 0


Obrázek 13.3.2 Pojistné plnění při polhůtním ročním doživotním důchodu

plnění 0 1 1 † 0


Výši hledaného pojistného (jednotkové čisté pojistné předlhůtního resp. polhůtního

doživotního důchodu) x-leté osoby označíme symbolem xa resp. x

a a náhodnou veličinu

současná hodnota jednotkového pojistného plnění pro odpovídající typ pojištění R1i resp. R1d

(písmenka u indexů jsou odvozena z anglických názvů předlhůtního důchodu – annuity

immediate resp. polhůtního důchodu – annuity due). Rovnice ekvivalence (13.1.6) má tvar:

ix

Ra1

E (13.3.8)

resp.


104

dx

Ra1

E , (13.3.9)

kde jsou na pravých stranách střední hodnoty náhodných veličin R1i resp. R1d.

Rozdělení pravděpodobností obou náhodných veličin ukazuje tabulka 13.3.1 s tím, že symbol

na (

na ) představuje počáteční hodnotu jednotkového ročního předlhůtního (polhůtního)

důchodu vypláceného po dobu n let s technickou úrokovou mírou i. Pomocný sloupeček Čas

představuje čas posledního vyplaceného pojistného plnění v letech počínaje uzavřením

pojistné smlouvy.

Tabulka 13.3.1 Rozdělení pravděpodobností náhodných veličin R1i a R1d

Čas Hodnota R1i Pravděpodobnost Čas Hodnota R1d Pravděpodobnost

0

11 a qx = 0|qx 0 qx = 0|qx

1

21 av 1|qx 1

1

av 1|qx

2

3

21 avv 2|qx 2

2

2avv 2|qx

… … … … … …

105-x

x

xavv

106

105...1

x|qx 105-x

x

xavv

105

105... x|qx

Z obrázku 13.3.1 i z tabulky 13.3.1 je zřejmé, že střední hodnota jednotkového ročního

předlhůtního doživotního důchodu je vždy přesně o jedničku větší než střední hodnota

odpovídajícího jednotkového ročního polhůtního důchodu. Je to tím, že se v prvním případě

platí navíc jednotková platba v čase 0. Tato platba je jistá a nemusí se nikam diskontovat.

Ostatní platby jsou totožné, stejně jako příslušné pravděpodobnosti. Platí tedy

.1xx

aa (13.3.10)

Příklad 13.3.1

Určíme čisté pojistné a riziko pojištění 66leté osoby na roční doživotní důchod ve výši

100 000 Kč, jestliže se první výplata důchodu uskuteční

a) při uzavření pojistné smlouvy;

b) rok po uzavření pojistné smlouvy.

Řešení

Máme x = 66, i = 0,019 a f = 100 000. Náhodná veličina R1i může v tomto případě nabývat

celkem 40 různých hodnot (důchod se bude skládat minimálně z jedné platby a maximálně ze

106 – 66 = 40 plateb). Náhodná veličina R1d může nabývat také 40 různých hodnot

odpovídajících počtu plateb 0 až 39. Pro výpočty hodnot příslušných náhodných veličin

použijeme (13.3.1) a (13.3.2). Výpočty odložených jednoletých pravděpodobností úmrtí

provedeme dosazením do (12.4.6). Výsledky výpočtů jsou uvedeny v tabulkách 13.3.2

a 13.3.3.


105

Tabulka 13.3.2 Rozdělení pravděpodobností náhodné veličiny R1i z příkladu 13.3.1 a)

Čas Hodnota R1i Pravděpodobnost Čas Hodnota R1i Pravděpodobnost

0 1,000000 0,0242834 20 17,510333 0,0390770

1 1,981354 0,0254819 21 18,183840 0,0370847

2 2,944410 0,0269278 22 18,844789 0,0346609

3 3,889510 0,0278342 23 19,493414 0,0318503

4 4,816987 0,0286498 24 20,129945 0,0287206

5 5,727171 0,0301935 25 20,754608 0,0253615

6 6,620383 0,0312455 26 21,367623 0,0218806

7 7,496942 0,0326951 27 21,969208 0,0183966

8 8,357156 0,0345247 28 22,559576 0,0150312

9 9,201330 0,0363037 29 23,138936 0,0118980

10 10,029765 0,0378948 30 23,707494 0,0090926

11 10,842753 0,0391150 31 24,265450 0,0066833

12 11,640581 0,0400312 32 24,813003 0,0047049

13 12,423534 0,0410637 33 25,350347 0,0031576

14 13,191888 0,0419555 34 25,877671 0,0020100

15 13,945916 0,0424283 35 26,395163 0,0012066

16 14,685884 0,0425716 36 26,903006 0,0006789

17 15,412055 0,0423410 37 27,401380 0,0003555

18 16,124686 0,0416985 38 27,890461 0,0001719

19 16,824030 0,0406155 39 28,370423 0,0001227

Tabulka 13.3.3 Rozdělení pravděpodobností náhodné veličiny R1d z příkladu 13.3.1 b)

Čas Hodnota R1d Pravděpodobnost Čas Hodnota R1d Pravděpodobnost

0,000000 0,0242834 20 16,510333 0,0390770

1 0,981354 0,0254819 21 17,183840 0,0370847

2 1,944410 0,0269278 22 17,844789 0,0346609

3 2,889510 0,0278342 23 18,493414 0,0318503

4 3,816987 0,0286498 24 19,129945 0,0287206

5 4,727171 0,0301935 25 19,754608 0,0253615

6 5,620383 0,0312455 26 20,367623 0,0218806

7 6,496942 0,0326951 27 20,969208 0,0183966

8 7,357156 0,0345247 28 21,559576 0,0150312

9 8,201330 0,0363037 29 22,138936 0,0118980

10 9,029765 0,0378948 30 22,707494 0,0090926

11 9,842753 0,0391150 31 23,265450 0,0066833

12 10,640581 0,0400312 32 23,813003 0,0047049

13 11,423534 0,0410637 33 24,350347 0,0031576

14 12,191888 0,0419555 34 24,877671 0,0020100

15 12,945916 0,0424283 35 25,395163 0,0012066

16 13,685884 0,0425716 36 25,903006 0,0006789

17 14,412055 0,0423410 37 26,401380 0,0003555

18 15,124686 0,0416985 38 26,890461 0,0001719

19 15,824030 0,0406155 39 27,370423 0,0001227

S využitím (13.1.1) a (13.1.4) máme

.76,787611878117,6000100

,76,787611878117,6000100

,33,4672121673124,12000100E

,33,4673121673124,13000100E

1

1

1

1

db

ia

dxb

ixa

RfR

RfR

RffaF

RfafF


106

Čisté pojistné v případě, že první výplata pojistného plnění se uskuteční při uzavření pojistné

smlouvy je tedy 1 312 467,33 Kč a riziko pojištění činí 611 787,76 Kč. V případě, že první

výplata pojistného plnění se uskuteční až rok po uzavření pojistné smlouvy, bude hodnota

pojistného 1 212 467,33 Kč (tedy o 100 000 Kč nižší než při předlhůtní variantě) a riziko

pojištění bude stejné jako při předlhůtním doživotním důchodu.

Obecný vzorec pro jednotkové čisté pojistné ročního předlhůtního doživotního důchodu xa

tentokrát odvodíme úvahou o vytvoření imaginárního pojišťovacího fondu.

Představme si, že se lx osob ve věku x domluví a vytvoří pojišťovací fond, z něhož bude

každý dostávat doživotně 1 Kč na začátku každého roku, kterého se dožije s tím, že první

výplata se uskuteční okamžitě. V tom případě bude příjem tohoto fondu roven součinu ,xx

al

kde xa je hledaná hodnota příspěvku jednoho každého pojistníka. Tento součin je podle

principu ekvivalence roven celkovým výdajům tohoto fondu, což je vlastně součet

diskontovaných hodnot počtů pojištěnců dožívajících se jednotlivých výplat důchodů.

Můžeme tedy psát, že

....105

105

2

21

x

xxxxxvlvlvllal

Odtud už vyjádříme xa a upravíme použitím vztahů (12.6.3) a (12.6.1) na jednoduchý

výpočetní tvar:

.

105

0

105

0

x

x

x

x

x

k

kx

kx

x

x

k

k

kx

xD

N

vl

vl

l

vl

a

(13.3.11)

Analogickou úvahou (vypuštěním prvního členu v sumaci) bychom dostali, že

.1

x

x

xD

Na (13.3.12)

Příklad 13.3.2

Pomocí komutačních čísel ověříme hodnoty čistého pojistného vypočtené v minulém

příkladu.

Řešení

Máme x = 66 a f = 100 000. Čisté pojistné bude podle (13.3.11), (13.3.12) a s použitím

tabulky komutačních čísel 12.6.1

.33,46721213,69022

0,112275000100

,33,46731213,69022

3,802297000100

66

671

66

66

D

Nf

D

NffaF

D

Nf

D

NfafF

x

x

xb

x

x

xa


107

13.3.3 Pojištění dočasného ročního životního důchodu

V případě pojištění dočasného předlhůtního (polhůtního) ročního životního důchodu vyplácí

pojišťovna důchod sjednané výše vždy na počátku (konci) pojistného roku za předpokladu, že

osoba pojištěná ve vstupním věku x ještě žije a neuplynula sjednaná pojistná doba n let.

Takovéto pojištění může být vhodné pro zajištění dětí po určité období, např. studií. Situaci

znázorňují obrázky 13.3.3 (13.3.4) pro Nnlkx ,,, taková, že .lnk

Obrázek 13.3.3 Pojistné plnění při dočasném předlhůtním ročním životním důchodu

plnění 1 1 1 † 0

věk x x+1 … x+k x+k+1 … x+n-1 x+n … x+l x+l+1

plnění 1 1 1 1 1 0 0 † 0

Obrázek 13.3.4 Pojistné plnění při dočasném polhůtním ročním životním důchodu

plnění 0 1 1 † 0

věk x x+1 … x+k x+k+1 … x+n x+n+1 … x+l x+l+1

plnění 0 1 1 1 1 0 0 † 0

Výši pojistného, tj. jednotkovou počáteční hodnotu dočasného předlhůtního resp. polhůtního

životního důchodu x-leté osoby, označíme symbolem nx

a:

resp. nx

a:

a náhodnou veličinu

současná hodnota jednotkového důchodového pojistného plnění pro tento typ pojištění R2i

resp. R2d. Rovnice ekvivalence (13.1.6) má tvar:

inx

Ra2:

E

(13.3.13)

resp.

dnx

Ra2:

E

(13.3.14)

kde E(R2i) resp. E(R2d) je střední hodnota náhodné veličiny R2i resp. R2d. Rozdělení

pravděpodobností obou náhodných veličin je uvedeno v tabulce 13.3.4.

Tabulka 13.3.4 Rozdělení pravděpodobností náhodných veličin R2i a R2d


0

11 a qx = 0|qx 0 qx = 0|qx

1

21 av 1|qx 1

1

av 1|qx

2

3

21 avv 2|qx 2

2

2avv 2|qx

… … … … … …

n - 1

n

navv 1

...1

n|qx+npx n - 1

1

1...

n

navv n|qx

n

n

nnavvv

1... npx


108

Ve sloupečku nazvaném Čas je opět čas posledního vyplaceného pojistného plnění v letech

počínaje uzavřením pojistné smlouvy. Náhodná veličina R2d může nabývat (n + 1) různých

hodnot, zatímco náhodná veličina R2i může nabývat pouze n různých hodnot. Je to tím, že při

polhůtní variantě pojišťovna neplatí, na rozdíl od varianty předlhůtní, první jistou platbu,

a tudíž se může stát, že neplatí žádné pojistné plnění. Pokud pojištěný zemře během n let

od uzavření pojistné smlouvy, bude pojišťovna vyplácet o jednu platbu víc při předlhůtní

variantě. Pokud se ovšem pojištěný dožije n. výročí uzavření pojistné smlouvy, obdrží stejný

počet výplat důchodů při obou variantách.

Rozdíl mezi jednotkovým čistým pojistným u předlhůtního a polhůtního dočasného

doživotního důchodu je dán na jedné straně první jednotkovou jistou platbou v okamžiku

uzavření pojistné smlouvy u předlhůtní varianty a na druhé straně diskontovanou hodnotou

jednotkové platby při n-tém výročí uzavření pojistné smlouvy u polhůtní varianty. Tato platba

ovšem jistá není a uskuteční se pouze v případě, že bude pojištěný naživu, tedy

s pravděpodobností npx. Odtud máme

,.1:: xn

n

nxnxpvaa

(13.3.15)

Příklad 13.3.3

Určíme čisté pojistné a riziko pojištění 66leté osoby na roční dočasný doživotní důchod ve

výši 100 000 Kč na 15 let, jestliže se první výplata důchodu uskuteční

a) při uzavření pojistné smlouvy;

b) rok po uzavření pojistné smlouvy.

Řešení

Máme x = 66, n = 15, i = 0,019 a f = 100 000. Náhodná veličina R2i může v tomto případě

nabývat celkem 15 různých hodnot (důchod se bude skládat minimálně z jedné platby

a maximálně z 15 plateb). Náhodná veličina R2d může nabývat celkem 16 různých hodnot

odpovídajících počtu plateb 0 až 15. Pro výpočty hodnot příslušných náhodných veličin

použijeme (13.3.1) a (13.3.2). Výpočty odložených jednoletých pravděpodobností úmrtí

provedeme dosazením do (12.4.6) a pravděpodobnosti přežití v posledních řádcích tabulky

13.3.5 vypočítáme pomocí (12.4.3).

Tabulka 13.3.5 Rozdělení pravděpodobností náhodných veličin R2i a R2d z příkladu

13.3.3


0 1,000000 0,0242834 0,000000 0,0242834

1 1,981354 0,0254819 1 0,981354 0,0254819

2 2,944410 0,0269278 2 1,944410 0,0269278

3 3,889510 0,0278342 3 2,889510 0,0278342

4 4,816987 0,0286498 4 3,816987 0,0286498

5 5,727171 0,0301935 5 4,727171 0,0301935

6 6,620383 0,0312455 6 5,620383 0,0312455

7 7,496942 0,0326951 7 6,496942 0,0326951

8 8,357156 0,0345247 8 7,357156 0,0345247

9 9,201330 0,0363037 9 8,201330 0,0363037

10 10,029765 0,0378948 10 9,029765 0,0378948

11 10,842753 0,0391150 11 9,842753 0,0391150

12 11,640581 0,0400312 12 10,640581 0,0400312

13 12,423534 0,0410637 13 11,423534 0,0410637

14 13,191888 0,5437557 14 12,191888 0,0419555

15 12,945916 0,5018003


109


.55,496395966954,3000100

,47,956367565679,3000100

,87,965997659979,9000100E

,74,1280601287601,10000100E

2

2

2:

2:

db

ia

dnxb

inxa

RfR

RfR

RffaF

RfafF

Čisté pojistné v případě, že první výplata pojistného plnění se uskuteční při uzavření pojistné

smlouvy je tedy 1 060 128,74 Kč a riziko pojištění 367 956,47 Kč. V případě, že první

výplata pojistného plnění se uskuteční až rok po uzavření pojistné smlouvy, bude hodnota

pojistného 997 956,87 Kč a riziko pojištění 395 496,55 Kč.

Při odvození obecných vyjádření pomocí komutačních čísel si opět pomůžeme úvahou

založenou na principu „fiktivního“ souboru pojištěnců. Zopakujeme tedy ještě jednou celý

postup pro předlhůtní variantu. Představme si, že se lx osob ve věku x domluví a vytvoří

pojišťovací fond, z něhož bude každý dostávat na začátku každého roku (kterého se dožije)

1 Kč, nejdéle však n let. V tom případě bude celková současná (počáteční) hodnota příjmů

fondu rovna součinu ,: nxx

al kde nx

a:

je hodnota pojistného jednoho každého pojistníka.

Tento součin je podle principu ekvivalence vlastně součtem diskontovaných hodnot počtů

pojištěnců dožívajících se jednotlivých výplat důchodů. Můžeme tedy psát, že

....1

1

2

21:

n

nxxxxnxxvlvlvllal

Odtud už vyjádříme nx

a:

a upravíme použitím vztahů (12.6.3) a (12.6.1) na jednoduchý

výpočetní tvar:

.

105

0

1051

0

1

0

:

x

nxx

x

x

x

k

x

nk

kx

kx

kx

kx

x

x

n

k

kx

kx

x

n

k

k

kx

nxD

NN

vl

vlvl

vl

vl

l

vl

a

(13.3.16)

Analogicky bychom odvodili, že pro polhůtní variantu platí:

.11

:

x

nxx

nxD

NNa

(13.3.17)

Příklad 13.3.4

Ověříme hodnoty čistého pojistného získané v řešení předchozího příkladu dosazením do

vyjádření pomocí komutačních čísel.

Řešení

Máme x = 66, n = 15 a f = 100 000. Čisté pojistné bude podle (13.3.11), (13.3.12)

a s použitím tabulky komutačních čísel 12.6.1

.87,9659973,69022

9,670480,112275000100

,74,12806013,69022

3,256573,802297000100

66

826711

:

66

8166

:

D

NNf

D

NNffaF

D

NNf

D

NNfafF

x

nxx

nxb

x

nxx

nxa


110

13.3.4 Pojištění odloženého ročního doživotního důchodu

V tomto případě se odkládá první výplata důchodu o n let od okamžiku, kdy osoba ve

vstupním věku x uzavře pojištění. Jestliže pojištěný zemře dříve, než uplyne doba, o kterou

bylo vyplácení důchodu odloženo, nevyplácí pojišťovna nic. Schematické znázornění viz

obrázek 13.3.5, pro Nnlkx ,,, taková, že .lnk I zde bychom teoreticky mohli

rozlišovat mezi předlhůtním a polhůtním odloženým důchodem, ale vzhledem k definici

tohoto typu pojištění uvedené na začátku odstavce to nemá u ročního důchodu praktický

význam. Naopak bychom mohli konstatovat, že polhůtní roční doživotní důchod je vlastně

roční doživotní důchod odložený o jeden rok. Budeme tedy nadále uvažovat pouze

„předlhůtní“ variantu odloženého doživotního důchodu.

Obrázek 13.3.5 Pojistné plnění při odloženém ročním doživotním důchodu

plnění 0 0 0 † 0

věk x x+1 … x+k x+k+1 … x+n x+n+1 … x+l x+l+1

plnění 0 0 0 0 1 1 1 † 0

Výši čistého jednotkového pojistného pro x-letou osobu na doživotní důchod odložený o n let

označíme symbolem xn

a a náhodnou veličinu současná hodnota jednotkového pojistného

plnění pro tento typ pojištění R3i. Rovnice ekvivalence (13.1.6) má tvar:

.E3ixn

Ra (13.3.18)

Jako obvykle je E(R3i) střední hodnota náhodné veličiny R3i, jejíž rozdělení pravděpodobností

je v tabulce 13.3.6.

Tabulka 13.3.6 Rozdělení pravděpodobností náhodné veličiny R3i

Čas Hodnota R3i Pravděpodobnost

0 nqx

n

1

avvnn n|qx

n + 1

2

1avvv

nnn n+1|qx

n + 2

3

21avvvv

nnnn n+2|qx

… … …

105-x

x

nxnnavvvv

106

1051...

x|qx

I v tomto případě je v prvním sloupečku uveden čas výplaty posledního pojistného plnění

měřený od uzavření pojistné smlouvy v letech. Pro výpočet diskontovaných hodnot důchodů

lze opět použít vztah (13.3.1) pro současnou hodnotu důchodu, ale navíc je třeba tuto

současnou hodnotu ještě diskontovat zpátky přes celou dobu odkladu (tedy n let) k okamžiku

uzavření pojistné smlouvy vynásobením výrazem vn. Z tabulky je dále zřejmé, že v případě

úmrtí pojištěného během doby odkladu neplatí pojišťovna nic.

Příklad 13.3.5

Určíme čisté pojistné a riziko pojištění 66leté osoby na roční doživotní důchod ve výši

100 000 Kč odložený o 15 let.


111

Řešení

Máme x = 66, n = 15, i = 0,019 a f = 100 000. Náhodná veličina R3i může v tomto případě

nabývat celkem 26 různých hodnot, protože buď se nevyplácí nic, nebo důchod čítající

maximálně 25 plateb. Pro výpočty hodnot příslušných náhodných veličin použijeme (12.6.5)

a (13.3.1). Pravděpodobnost v prvním řádku určíme pomocí (12.4.4) a výpočty ve zbývajících

řádcích, kde jsou odložené jednoleté pravděpodobnosti úmrtí, provedeme dosazením do

(12.4.6). Výsledky výpočtů jsou uvedeny v tabulce 13.3.7.

Tabulka 13.3.7 Rozdělení pravděpodobností náhodné veličiny R3i z příkladu 13.3.5


0,000000 0,4981997 27 8,777320 0,0183966

15 0,754028 0,0424283 28 9,367688 0,0150312

16 1,493996 0,0425716 29 9,947048 0,0118980

17 2,220167 0,0423410 30 10,515606 0,0090926

18 2,932798 0,0416985 31 11,073562 0,0066833

19 3,632141 0,0406155 32 11,621115 0,0047049

20 4,318445 0,0390770 33 12,158458 0,0031576

21 4,991952 0,0370847 34 12,685783 0,0020100

22 5,652901 0,0346609 35 13,203274 0,0012066

23 6,301526 0,0318503 36 13,711117 0,0006789

24 6,938057 0,0287206 37 14,209491 0,0003555

25 7,562719 0,0253615 38 14,698572 0,0001719

26 8,175735 0,0218806 39 15,178534 0,0001227


.55,862328626288,3000100

,59,338252386523,2000100E

3

3

i

ixn

RfR

RfafF


Provedeme-li podobnou úvahu jako při odvození (13.3.11), dostaneme, že

.x

nxxn

D

Na

(13.3.19)

Příklad 13.3.6

Ověříme hodnotu čistého pojistného vypočtenou v příkladu 13.3.5 pomocí vzorce (13.3.19).

Řešení

Máme x = 66, n = 15 a f = 100 000. Čisté pojistné bude podle (13.3.19) a s použitím tabulky

komutačních čísel (tabulka 12.6.1)

.59,3382523,69022

3,25657000100

66

81

D

Nf

D

NfafF

x

nx

xn

Je zřejmé, že doživotní důchod můžeme rozložit na dočasný doživotní důchod na n let

a doživotní důchod s odkladem o n let. Vyjádřeno matematicky máme

.: xnnxx

aaa

(13.3.20)


112

Vyjádření (13.3.11), (13.3.16) a (13.3.19) tuto rovnost dokazují obecně. Vztah (13.3.20) může

sloužit i k ověření výsledků příkladů 13.3.1, 13.3.3 a 13.3.5, ve kterých nám postupně vyšlo,

že

.386523,2,287601,10,673124,13661515:6666

aaa

13.3.5 Další typy ročního důchodového pojištění

V tomto odstavci se budeme zabývat důchodovými pojištěními, která jsou určitou modifikací

či kombinací důchodových pojištění zavedených dříve. Popíšeme si tři případy, další jistě

hloubavé čtenáře napadnou.

Jako první uvedeme odložený dočasný doživotní důchod. V rámci tohoto důchodu bude

pojišťovna vyplácet x-leté osobě pojistné plnění po dobu 1

n let (pokud bude uvažovaná osoba

naživu) s tím, že první výplata se uskuteční 2

n let po uzavření pojistné smlouvy.

Předpokládáme, že Nmlknnx ,,,,,21

tak, že .212

mnnlnk Situace, které

mohou nastat, jsou znázorněny na obrázku 13.3.6. Pokud pojištěný zemře do 2

n let

od uzavření pojistné smlouvy, neplatí pojišťovna žádné pojistné plnění. Jestliže pojištěný

přežije dobu odkladu, ale zemře dříve, než uplyne (21

nn ) let od uzavření pojistné smlouvy,

bude pojišťovna vyplácet důchod při každém výročí pojistné smlouvy, kterého se pojištěný

ještě dožije. Poslední možností je, že pojištěný bude žít i po uplynutí (21

nn ) let od uzavření

pojistné smlouvy, a přežije tak dobu platnosti pojistné smlouvy.

Obrázek 13.3.6 Pojistné plnění při odloženém dočasném ročním doživotním důchodu

plnění 0 0 † 0

plnění 0 0 0 1 1 † 0

věk x … x+k x+k+1 … x+n2 … x+l x+l+1 … x+n2+n1-1 x+n2+n1 … x+m

plnění 0 0 0 1 1 1 1 0 0 †

Jednotkové čisté pojistné pro tento typ důchodového pojištění označme 12 :nxn

a a náhodnou

veličinu diskontovaná hodnota jednotkového důchodového pojistného plnění označme R4i.

Zřejmě platí, že

,

)(E

212221

22112 ::4:

x

nnxnx

x

nxx

x

nnxx

nxnnxinxn

D

NN

D

NN

D

NN

aaRa

(13.3.21)

kde jsme při úpravě použili (13.3.16).

Příklad 13.3.7

Pomocí tabulky rozdělení pravděpodobností určíme čisté pojistné a riziko pojištění 52letého

klienta, který chce uzavřít takové životní důchodové pojištění, které mu umožní pobírat roční

důchod ve výši 25 000 Kč po dobu 15 let. První platbu si přeje vyplatit za 8 let od uzavření

pojistné smlouvy.


113

Řešení

Máme x = 52, 151n , 8

2n , i = 0,019 a f = 25 000. Možné diskontované hodnoty a jejich

pravděpodobnosti jsou uvedeny v tabulce 13.3.8. První pomocný sloupeček opět představuje

čas poslední výplaty důchodu (pojistného plnění). Doporučujeme čtenáři, aby si hodnoty

v tabulce ověřil vlastními výpočty v Excelu.

Tabulka 13.3.8 Rozdělení pravděpodobností náhodné veličiny R4i z přikladu 13.3.7

Čas Hodnota R4i Pravděpodobnost

0,000000 0,06748639

8 0,860214 0,01278950

9 1,704389 0,01385583

10 2,532823 0,01519529

11 3,345811 0,01657671

12 4,143640 0,01767478

13 4,926593 0,01903352

14 5,694947 0,02033463

15 6,448974 0,02133824

16 7,188943 0,02254902

17 7,915114 0,02330804

18 8,627745 0,02399096

19 9,327088 0,02528366

20 10,013392 0,02616459

21 10,686899 0,02737849

22 11,347848 0,64704034

Dosazením do (13.1.1) a (13.1.4) máme

.20,25690248610,300025

,32,877230493235,900025E

4

4: 12

i

inxn

RfR

RfafF


Hodnotu čistého pojistného lze ověřit pomocí 13.3.21. Máme

.32,8772306,26535

9,0171281,71345300025

52

7560

15:528: 12

D

NNfafafF

nxn

Například pro zajištění dětí po několik prvních let po smrti živitele v případě jeho brzkého

úmrtí se používá tzv. doživotní důchod zaručený na dobu n let. Je to vlastně doživotní

důchod, který při úmrtí během prvních n let přechází na oprávněnou osobu, takže je důchod

v každém případě vyplácen alespoň n let, jak ukazuje obrázek 13.3.7 pro Nnlkx ,,,

taková, že .lnk Pojistné plnění je pro pojišťovnu totožné, jestliže pojištěný zemře

kdykoliv před n-tým výročím uzavření pojistné smlouvy. Pokud žije ještě n let po uzavření

pojistné smlouvy, výplaty pojistného plnění pokračují při každém výročí uzavření pojistné

smlouvy, kdy je pojištěný naživu.


114

Obrázek 13.3.7 Pojistné plnění při předlhůtním doživotním důchodu zaručeném na n

let

plnění 1 1 1 † 1 1 0

věk x x+1 … x+k x+k+1 … x+n-1 x+n … x+l x+l+1

plnění 1 1 1 1 1 1 1 † 0

Jednotkové čisté pojistné pro tento typ důchodového pojištění označme xn

a

a náhodnou

veličinu diskontovaná hodnota jednotkového důchodového předlhůtního pojistného plnění

označme R5i. Zřejmě platí, že

,1

1)(E

5

x

nx

n

xnnixnD

N

v

vaaRa

(13.3.22)

kde jsme při úpravě použili (13.3.1) a (13.3.19).

Příklad 13.3.8


klienta, který chce uzavřít doživotní roční důchod ve výši 70 000 Kč s tím, že prvních šest

výplat je jistých (první platba se uskuteční okamžitě) a budou vyplaceny jeho vnukovi.

Řešení

Máme x = 75, n = 6, i = 0,019 a f = 70 000. Možné diskontované hodnoty a jejich


čas poslední výplaty důchodu (pojistného plnění). Sestavení tabulky rozdělení

pravděpodobností by tentokrát nemělo být složité. Jedná se vlastně o tabulku rozdělení

pravděpodobností předlhůtního doživotního důchodu s tím, že prvních pět řádků v ní není

a příslušné pravděpodobnosti jsou přičteny do prvního řádku tabulky 13.3.9 (řádek s časem

5).



5 5,727171 0,32021 18 16,124686 0,02492

6 6,620383 0,05748 19 16,824030 0,02036

7 7,496942 0,05767 20 17,510333 0,01612

8 8,357156 0,05736 21 18,183840 0,01232

9 9,201330 0,05649 22 18,844789 0,00905

10 10,029765 0,05502 23 19,493414 0,00637

11 10,842753 0,05294 24 20,129945 0,00428

12 11,640581 0,05024 25 20,754608 0,00272

13 12,423534 0,04696 26 21,367623 0,00163

14 13,191888 0,04315 27 21,969208 0,00092

15 13,945916 0,03891 28 22,559576 0,00048

16 14,685884 0,03436 29 23,138936 0,00023

17 15,412055 0,02964 30 23,707494 0,00017



115

.12,316282087033,400070

,00,365684643776,900070E

5

5

i

ixn

RfR

RfafF


Hodnotu čistého pojistného ještě ověříme pomocí vztahu (13.3.22). Po dosazení diskontního

faktoru a příslušných komutačních čísel dostáváme

.00,3656842,13914

3,25657

981354,01

981354,0100070

1

1

1

1

6

75

81

6

D

N

v

vf

D

N

v

vfafF

x

nx

n

xn

U doživotního důchodu zaručeného na n let má smysl uvažovat i polhůtní variantu.

S využitím (13.3.2) a (13.3.19) zřejmě platí, že

.1

)(E 1

15

x

nx

n

xnndxnD

N

i

vaaRa

(13.3.23)

Na závěr této části si popišme ještě jeden důchod, a sice tzv. doživotní důchod prodloužený

o n let. Ten se po smrti pojištěného, ke které dojde mezi k-tým a následujícím výročím

uzavření pojistné smlouvy, vyplácí ještě po dobu n let oprávněné osobě, viz obrázek 13.3.8,

kde .,, Nnkx

Obrázek 13.3.8 Pojistné plnění při předlhůtním doživotním důchodu prodlouženém o n

let

plnění 1 1 1 † 1 1 0

věk x x+1 … x+k x+k+1 … x+k+n x+k+n+1

Jednotkové čisté pojistné pro tento typ důchodového pojištění označme nxa

a náhodnou

veličinu diskontovaná hodnota předlhůtního důchodového pojistného plnění ve výši 1 Kč za

rok označme R6i. Platí, že

.1

1

)(E105

0

1

6

x

n

xx

n

x

k

xk

k

xinxD

v

vMN

aqvaRa

(13.3.24)

K doživotnímu důchodu je totiž třeba připočíst jistý důchod po dobu n let, ale ten, protože

začne být vyplácen až (k + 1) let po smrti pojištěného, je třeba diskontovat

s pravděpodobností k|qx o (k + 1) období zpět, přičemž k je náhodná veličina, která může

nabývat hodnot od nuly do (105 – x), viz obrázek 13.3.8. k další úpravě jsme pak použili

(13.3.11), (13.2.4) a (13.3.2).

Příklad 13.3.9


klienta, který chce uzavřít předlhůtní doživotní roční důchod ve výši 70 000 Kč s tím, že

pojišťovna vyplatí ještě šest důchodových výplat po smrti klienta jeho vnukovi.


116

Řešení

Máme x = 75, n = 6, i = 0,019 a f = 70 000. Možné diskontované hodnoty a jejich


čas poslední výplaty pojistného plnění. Pojišťovna v tomto případě vyplatí minimálně 7

(poslední v čase 6) a maximálně 37 důchodových výplat (poslední v čase 36). Při sestavení

tabulky rozdělení pravděpodobností lze vycházet z tabulky 13.3.1 pro předlhůtní doživotní

důchod s tím, že první dva sloupečky (Čas, Hodnota) jsou po vynechání prvních šesti řádků

posunuty nahoru a posledních šest řádků je u nich doplněno.



6 6,620383 0,04918 22 18,844789 0,03436

7 7,496942 0,05134 23 19,493414 0,02964

8 8,357156 0,05299 24 20,129945 0,02492

9 9,201330 0,05423 25 20,754608 0,02036

10 10,029765 0,05563 26 21,367623 0,01612

11 10,842753 0,05684 27 21,969208 0,01232

12 11,640581 0,05748 28 22,559576 0,00905

13 12,423534 0,05767 29 23,138936 0,00637

14 13,191888 0,05736 30 23,707494 0,00428

15 13,945916 0,05649 31 24,265450 0,00272

16 14,685884 0,05502 32 24,813003 0,00163

17 15,412055 0,05294 33 25,350347 0,00092

18 16,124686 0,05024 34 25,877671 0,00048

19 16,824030 0,04696 35 26,395163 0,00023

20 17,510333 0,04315 36 26,903006 0,00017

21 18,183840 0,03891


.94,654306785380,400070

,18,009967417814,1300070E

6

6

i

inx

RfR

RfafF


Hodnotu čistého pojistného ještě ověříme pomocí vztahu (13.3.24). Po dosazení příslušných

komutačních čísel a diskontního faktoru dostáváme

.18,0099672,13914

981354,01

981354,012,752119,017128

00070

1

1

1

1

6

75

6

7575

D

v

vMN

fD

v

vMN

fafFx

n

xx

nx

Také u doživotního důchodu prodlouženého n let má smysl uvažovat i polhůtní variantu.

S využitím (13.3.12), (13.2.4) a (13.3.2) zřejmě platí, že

.1

1

)(E1105

0

1

6

x

n

xx

n

x

k

xk

k

xdnxD

v

vMN

aqvaRa

(13.3.25)


117

13.3.6 Področní důchodové pojištění

Mnohem častěji než roční důchody se v praxi vyplácejí důchody področní (např. měsíční,

čtvrtletní, atd.). Řekněme obecně, že je důchod vyplácen v pravidelných intervalech m-krát do

roka, dokud je pojištěný naživu. Předpokládejme dále, že velikost jedné vyplacené částky je

1/m, tedy celkem jednotka za jeden rok a že se používá področní úročení v souladu

s důchodovými platbami, přičemž za roční efektivní úrokovou míru se bere technická úroková

míra i. Takto vypočtené pojistné budeme nazývat jednotkové. Pro výpočet skutečného čistého

pojistného s důchodovou platbou f stačí, podobně jako u ročních důchodů, vynásobit získané

jednotkové čisté pojistné skutečný pojistným plněním vyplaceným během jednoho roku, což

bude tentokrát vyjádřeno součinem .fm

Uvažujme například področní předlhůtní doživotní důchod, který uzavře osoba ve vstupním

věku x. Schematicky si jej lze představit jako na obrázku 13.3.9, kde ., Nkx

Obrázek 13.3.9 Pojistné plnění při področním předlhůtním doživotním důchodu

plnění m

1 m

1

m

1

m

1

m

1

m

1

m

1

m

1

m

1

m

1

m

1† 0 0


Hledanou výši pojistného, tj. jednotkovou počáteční hodnotu doživotního předlhůtního

důchodu x-leté osoby vypláceného m-krát ročně při kterém se za rok vyplatí 1 Kč, označíme

symbolem mxa a náhodnou veličinu současná hodnota jednotkového pojistného plnění za rok

pro tento typ pojištění m

iR

1 . Rovnice ekvivalence (13.1.5) má tentokrát tvar:

,E1

m

i

m

xRa (13.3.26)

kde m

iR

1E je střední hodnota náhodné veličiny m

iR

1 .

Na tomto místě ještě jednou zdůrazněme, že levá strana rovnice (13.3.26) nepředstavuje

současnou hodnotu důchodu s jednotkovými platbami, ale s platbami o velikosti 1/m. Pokud

bychom chtěli vyjádřit odpovídající současnou hodnotu důchodu s jednotkovými platbami,

použili bychom pochopitelně výraz .

m

xam

Pravou stranu rovnice (13.3.26) můžeme jako obvykle spočítat pomocí definice střední

hodnoty náhodné veličiny (13.1.1) z jejího rozdělení pravděpodobností. Rozdělení

pravděpodobností náhodné veličiny m

iR

1 ukazuje tabulka 13.3.11. Ve sloupečku Čas tabulky

13.3.11 je uveden opět čas posledního vyplaceného pojistného plnění počínaje uzavřením

pojistné smlouvy tentokrát však v m-tinách roku. Vzhledem k předpokladu, že každý

pojištěný zemře před dosažením 106 let, je poslední teoreticky možná výplata pojistného

plnění jednu m-tinu roku před dosažením (106 – x)-tého výročí uzavření pojistné smlouvy.

Pro vyjádření hodnot náhodné veličiny m

iR

1 byl použit vztah (13.3.3)


118

Tabulka 13.3.4 Rozdělení pravděpodobností náhodné veličiny m

iR

1

Čas Hodnota m

iR1 Pravděpodobnost

0 )(

1

1 ma

m x

m

q10

1 )(

2

1

11 mm avm

x

mm

q11

2 )(

3

21

11 mmm avvm

x

mm

q12

… … …

(106 – x)m - 1

)(

106

110621

...11 m

x

m

mx

mm avvvm

x

mm

mxq

11106

Dosazením střední hodnoty m

iR

1 do (13.1.1) a s použitím (13.3.3) dostáváme

.

1

11E

11

1

1106

0

1 x

mm

k

m

m

k

mx

k

m

i

m

xq

v

v

mRa

(13.3.27)

Področní pravděpodobnosti úmrtí, které se objevují v tabulce 13.3.11 a vztahu (13.3.27), jsme

zavedli na závěr části 1.4.

Vzorec (13.3.27) je ovšem příliš složitý a z praktického hlediska pro nás takřka nepoužitelný.

Lze ale odvodit mnohem jednodušší výraz pro výpočet mxa , který však platí pouze přibližně

a to tím lépe, čím menší je hodnota i. Dá se totiž dokázat, že platí:

.2

1

2

1

m

m

D

N

m

maa

x

x

x

m

x

(13.3.28)

Podobné aproximace jako lze odvodit i pro jednotkové počáteční hodnoty zbývajících

základních typů področních důchodů. Platí, že

,2

1

2

1 1

m

m

D

N

m

maa

x

x

x

m

x

(13.3.29)

,12

11

2

1::

x

nx

x

nxx

x

nx

nx

m

nx D

D

m

m

D

NN

D

D

m

maa (13.3.30)

,12

11

2

1 11

::

x

nx

x

nxx

x

nx

nx

m

nxD

D

m

m

D

NN

D

D

m

maa (13.3.31)

,2

1

2

1

x

nx

x

nx

x

nxxn

m

xnD

D

m

m

D

N

D

D

m

maa

(13.3.32)

.

2

1

2

1 1

1

x

nx

x

nx

x

nx

xn

m

xnD

D

m

m

D

N

D

D

m

maa

(13.3.33)

Následující příklad ilustruje způsob, kterým lze nalézt jak přesnou hodnotu čistého pojistného

področního důchodového pojištění, tak její přibližnou hodnotu získanou dosazením do


119

jednoho z právě uvedených vztahů. Současně ilustruje míru nepřesnosti, které se dopustíme

přibližným výpočtem.

Příklad 13.3.10

Určíme čisté pojistné a riziko pojištění na dočasný pětiletý důchod ve výši 6 000 Kč, který má

vyplácet pojišťovna každý měsíc klientovy se vstupním věkem 52 let. První platba se

uskuteční měsíc po podpisu pojistné smlouvy.

Řešení

Označíme x = 52, n = 5, m = 12, i = 0,019 a f = 6 000. Náhodnou veličinu prodaný důchod

označíme symbolem ,

12

3dR protože se podle zadání jedná o dočasný polhůtní důchod placený

12krát do roka. V tabulce 13.3.12 je rozdělení pravděpodobností příslušné náhodné veličiny.

Tabulka 13.3.5 Rozdělení pravděpodobností náhodné veličiny 12

3dR z příkladu 13.3.10

Čas Hodnota 12

3dR Pravděpodobnost Čas Hodnota

12

3dR Pravděpodobnost

0 0,000461 31 2,519557 0,000595

1 0,083203 0,000461 32 2,598811 0,000595

2 0,166275 0,000461 33 2,677941 0,000595

3 0,249217 0,000461 34 2,756947 0,000595

4 0,332029 0,000461 35 2,835829 0,000595

5 0,414712 0,000461 36 2,914587 0,000661

6 0,497264 0,000461 37 2,993222 0,000661

7 0,579688 0,000461 38 3,071734 0,000661

8 0,661982 0,000461 39 3,150122 0,000661

9 0,744147 0,000461 40 3,228388 0,000661

10 0,826184 0,000461 41 3,306531 0,000661

11 0,908092 0,000461 42 3,384551 0,000661

12 0,989871 0,000527 43 3,462450 0,000661

13 1,071523 0,000527 44 3,540226 0,000661

14 1,153046 0,000527 45 3,617880 0,000661

15 1,234442 0,000527 46 3,695413 0,000661

16 1,315710 0,000527 47 3,772824 0,000661

17 1,396850 0,000527 48 3,850114 0,000734

18 1,477864 0,000527 49 3,927282 0,000734

19 1,558750 0,000527 50 4,004330 0,000734

20 1,639510 0,000527 51 4,081257 0,000734

21 1,720143 0,000527 52 4,158063 0,000734

22 1,800650 0,000527 53 4,234749 0,000734

23 1,881031 0,000527 54 4,311315 0,000734

24 1,961286 0,000595 55 4,387761 0,000734

25 2,041414 0,000595 56 4,464087 0,000734

26 2,121418 0,000595 57 4,540293 0,000734

27 2,201296 0,000595 58 4,616380 0,000734

28 2,281048 0,000595 59 4,692348 0,000734

29 2,360676 0,000595 60 4,768197 0,964257

30 2,440179 0,000595

Z tabulky je zřejmé, že se skládá z 61 řádků. V případě, že pojištěný zemře do měsíce

od uzavření pojistné smlouvy, neplatí pojišťovna žádné pojistné plnění. V opačném případě

bude platit minimálně jednu a maximálně 60 důchodových měsíčních plateb. Čas výplaty

poslední platby (měřený v měsících) uvedený v prvním sloupečku tabulky 13.3.12 se shoduje

s počtem vyplacených plateb.


120

Hodnoty náhodné veličiny 12

3dR jsou současné hodnoty področních důchodů počítané podle

vztahu (13.3.7) s tím, že po vyjádření roční nominální úrokové míry, která odpovídá roční

efektivní technické úrokové míře i ze vztahu (13.3.5) máme

.837018,01)019,01(1212/1)12()(

iim

Odpovídající pravděpodobnosti jsou odložené měsíční pravděpodobnosti úmrtí, k jejichž

výpočtu jsme použili vztah (12.4.11). Z tabulky 13.3.12 je zřejmé, že pravděpodobnosti, které

se vejdou i s odkladem do jednoho celého pojistného roku jsou stejné, což odpovídá našemu

předpokladu o rovnoměrném rozložení úmrtí v rámci každého roku. Pravděpodobnost toho, že

pojišťovna bude platit všech 60 důchodových výplat (poslední řádek tabulky 13.3.12)

odpovídá pravděpodobnosti, že se pojištěný dožije pátého výročí uzavření pojistné smlouvy.

K výpočtu této pravděpodobnosti použijeme vztah (12.4.3).


.63,38934634477,0120006

,70,728337676690,4120006E

)(

3

)(

3

)(

:

m

d

m

d

m

nx

RfmR

RfmfmaF


Hodnotu čistého pojistného ještě ověříme pomocí vztahu (13.3.31). Po vynásobení pojistným

plněním vyplaceným za jeden rok a dosazení dostáváme

.23,7463376,26535

9,950301

122

112

6,26535

1,9645127,414676120006

12

111

:

x

nx

x

nxxm

nxD

D

m

m

D

NNfmfmaF

Z porovnání obou výsledků čistého pojistného je zřejmé, že se přibližná hodnota vypočtená

podle (13.3.31) liší od přesné hodnoty získané z tabulky rozdělení pravděpodobností 13.3.12

pouze o necelých 18 Kč.

13.4 Určení běžného pojistného

V praxi dává často pojistník přednost běžnému pojistnému, tj. pojistnému placenému

v pravidelných a konstantních splátkách. Z hlediska výpočtu čistého pojistného se tím pádem

situace zdánlivě zkomplikuje, protože v rovnici ekvivalence (13.1.6) bude třeba i levou stranu

rovnice považovat za klasickou náhodnou veličinu (splátky pojistného obvykle končí úmrtím)

a počítat s její střední hodnotou. Na placení běžného pojistného lze ale pohlížet jako

na dočasný životní důchod nebo doživotní důchod tentokrát vyplácený pojistníkem pojistiteli.

Vzhledem k tomu, že jsme se v předcházejícím textu oběma uvedenými důchody podrobně

zabývali, bude těžiště této části spočívat v odvození vztahů pro výpočet velikosti splátky

běžného pojistného u základních typů kapitálového i důchodového pojištění.

Stejně jako doposud budeme odvozování provádět pro jednotkové pojistné plnění, čímž

budeme rozumět pojistné plnění ve výši 1 Kč při kapitálovém pojištění, důchodové platby ve

výši 1 Kč při ročním důchodovém pojištění a důchodové platby v takové výši, aby byla

během roku vyplacena celkem 1 Kč při področním důchodovém pojištění.

Začneme odvozením ročního běžného pojistného nPxna jednotkovou pojistnou částku pro

pojištění x-leté osoby na dožití se věku (x + n), kde .Nn Dosazením do rovnice ekvivalence

(13.1.6) dostaneme


121

.: xnnxxn

EaP

Odtud použitím (13.2.2) a (13.3.16) snadno získáme

.

: nxx

nx

nx

xn

xnNN

D

a

EP

(13.4.1)

Je zřejmé, že pokud by bylo smlouvou stanoveno, že se první platba pojistného uskuteční až

rok po jejím uzavření, je třeba vztah (13.4.1) patřičným způsobem upravit. Z (13.3.17) plyne,

že úprava by spočívala ve zvýšení obou indexů u komutačních čísel ve jmenovateli (13.4.1).

Pokud by byly platby pojistného področní (a předlhůtní) s frekvencí m plateb ročně, vyšli

bychom z rovnice ekvivalence ve tvaru

.: xn

m

xn

m

nxEPam

Odtud pomocí (13.2.2) a (13.3.30) máme

.

2

1:

nxxnxx

nx

m

nx

xnm

xn

DDm

mNNm

D

am

EP

(13.4.2)

Připomeňme, že součin m

nxam

: je současná hodnota področního předlhůtního dočasného

životního důchodu s m platbami během roku, přičemž každá platba je ve výši 1 Kč.

Čtenář sám jistě bude schopen tento vzorec modifikovat pro případ, že by pojistník platil

polhůtně (první platba až m-tinu roku po uzavření pojistné smlouvy) či pro případ, že by

pojistník neplatil běžné pojistné po celou dobu n, ale jen po její část. Pokud by náhodou

nebyl, nalezne příslušnou modifikaci v řešení příkladu 13.4.2.

Příklad 13.4.1

Určíme, kolik by musel platit dvacetiletý muž na začátku každého pojistného roku, aby

v případě dožití se 65 let (přesněji 45. výročí pojistné smlouvy) dostal rovný milion korun.

Řešení

K výpočtu použijeme (13.4.1) s tím, že x = 20, n = 45 a f = 1 000 000. Dosazením příslušných

komutačních čísel z tabulky 12.6.1 dostáváme

.66,707112,4493210,2313412

6,649230000001

nxx

nx

xnNN

DfPfF

Muž by tedy (v případě dožití se 45. výročí pojistky) zaplatil ve 45 splátkách uskutečněných

vždy na počátku pojistného roku celkem nominálně zhruba 527 845 Kč, aby na konci 45.

pojistného roku obdržel 1 000 000 Kč.

V praxi se příslušná smlouva většinou doplňuje tzv. výhradou, podle níž pojišťovna při

předčasném ukončení tohoto pojištění smrtí pojištěného vrací oprávněným osobám

podstatnou část doposud zaplaceného pojistného.

Příklad 13.4.2

Ukážeme, jak se změní hodnota splátky čistého pojistného v případě, že by si muž z příkladu

13.4.1 přál platit pojistné měsíčně pouze po dobu 40 let a navíc chtěl, aby se první splátka

pojistného uskutečnila až měsíc po uzavření pojistné smlouvy.


122

Řešení

Máme x = 20, n1 = 40, n2 = 45, m = 12, f = 1 000 000. Při výpočtu vyjdeme z upraveného

vztahu (13.4.2):

.08,0561

7,288280,1446824

114,4244250,087273212

6,649230000001

2

111

2

2

11

nxxnxx

nxm

xn

DDm

mNNm

fDPfF

Bude-li tedy 20letý muž platit koncem každého měsíce pojistného roku 1 056,08 Kč po 40 let,

dostane na konci 45. pojistného roku (pokud se toho dožije) 1 000 000 Kč. Celkem v tomto

případě zaplatí na pojistném nominálně přes 506 920 Kč, což je méně než v předchozím

příkladu. Důvodem je skutečnost, že hodnotu pojištění musí uhradit již během prvních

čtyřiceti let.

Podobně lze postupovat i při odvozování vztahů pro výpočet čistého běžného pojistného

u dalších typů životního pojištění. Dále uvedeme pouze přehled vzorců k výpočtům výše

splátek področního běžného pojistného u nejčastěji používaných životních pojištění. Budeme

vždy předpokládat, že pojistník platí pojistné formou předlhůtního důchodu (první splátka při

uzavření pojistné smlouvy). Odvozené vzorce je pochopitelně možno použít také pro výpočet

ročního pojistného tak, že položíme m = 1 i pro nejrůznější modifikace uvedené v pojistné

smlouvě v duchu příkladu 13.4.2.

,

2

1

xx

x

m

x

xm

x

Dm

mNm

M

am

AP

(13.4.3)

,

2

1:

1

:1

:

nxxnxx

nxx

m

nx

nxm

nx

DDm

mNNm

MM

am

AP

(13.4.4)

,

2

1:

:

:

nxxnxx

nxnxx

m

nx

nxm

nx

DDm

mNNm

DMM

am

AP

(13.4.5)

.

2

1

2

1

:

nxxnxx

nxnx

m

nx

m

xnm

xn

DDm

mNNm

Dm

mN

am

aP

(13.4.6)

Poslední z této série vzorců je pojištění odloženého doživotního důchodu, kdy se pojistné platí

během celé doby odkladu n. Pro m = 12 má asi nejblíže k důchodovému pojištění, jak ho

chápe většina lidí. Pojistník platí každý měsíc určitou částku na důchodové pojištění, aby po

odchodu do důchodu mohl naopak každý měsíc určitou částku dostávat.

Příklad 13.4.3

Určíme čisté čtvrtletní pojistné, které musí platit 25letý klient (první platba okamžitě) do

svých 65 let, aby se poté mohl těšit z doživotního důchodu 10 000 Kč, kterýžto bude vyplácen

počátkem každého měsíce, pokud bude klient naživu.


123

Řešení

Máme tedy f = 10 000, m1 = 4, m2 = 12, x = 25, n = 40. K výpočtu použijeme přibližný vzorec

(13.4.6) s drobnou úpravou. Platby pojistníka jsou čtvrtletní, a tedy m1 bude ve jmenovateli,

protože se jedná o příjem pojišťovny (ve výchozím principu ekvivalence na levé straně).

Pojistné plnění je měsíční, a proto m2 bude v čitateli (ve výchozím principu ekvivalence

na pravé straně). Navíc musí být jednotkové pojistné vynásobeno skutečným ročním

pojistným plněním, tedy součinem 2

fm . Dostáváme, že

.12,5545

9,646238,781618

32,4493218,48301324

9,6462324

112,4493211200010

2

1

2

1

1

1

1

2

2

2

:1

2

21

2

nxxnxx

nxnx

m

nx

m

xnm

xn

DDm

mNNm

Dm

mNfm

am

afmPfmF

Klient by tedy měl platit počátkem každého čtvrtletí pojistného roku 5 554,12 Kč čistého

pojistného, aby mohl počínaje 41. pojistným rokem pobírat doživotní měsíční důchod ve výši

10 000 Kč. Na pojistném tedy zaplatí celkově nominálně necelých 889 000 Kč (pokud se

dožije všech plateb pojistného).

13.5 Určení hrubého pojistného

Prozatím jsme se zabývali určováním čistého pojistného (ryzího pojistného, netto pojistného),

které bylo vypočteno tak, aby v průměru pokrylo pojišťovně vyplácená pojistná plnění.

Pojistitel ovšem musí vzít v úvahu, že jeho příjmy i výdaje jsou náhodné veličiny a že

v případě pro něho nepříznivých škodních výchylek může mít problémy dostát svým

závazkům. Navíc publikované úmrtnostní tabulky, pomocí nichž jsme prováděli výpočty,

nemusejí odpovídat skutečné úmrtnosti (vývoj úmrtnosti v čase, pojištění mají jinou úmrtnost

než celá populace atd.). Proto se pojistné ještě zvyšuje o tzv. bezpečnostní přirážku.

V životním pojištění se bezpečnostní přirážka zohledňuje většinou vhodnými věkovými

posuny (ve prospěch pojistitele) v úmrtnostní tabulce, a tak se princip výpočtu vlastně

nezmění. Do pojistného se dále zahrnuje přirážka na pokrytí správních nákladů

a podnikatelského zisku pojišťovny. Takto stanovená částka se nazývá hrubé pojistné (brutto

pojistné, tarifní pojistné, pojistná sazba apod.). V dalším výkladu se soustředíme pouze

na problematiku započítávání správních nákladů do pojistného.

Správní náklady pojišťovny lze rozdělit do následujících čtyř kategorií.

Počáteční náklady … náklady na inzerci, pojišťovací agenty, případná lékařská

vyšetření, tiskopisy, vyhotovení a zavedení pojistné smlouvy atd. Tyto náklady se do

pojistného zakalkulují jednorázově při uzavření pojistné smlouvy jako procento

z pojistné částky event. z ročního důchodu. Jsou-li např. počáteční náklady stanoveny

na 5 % (tj. )05,0 při měsíčním důchodu ve výši 2 000 Kč, bude do pojistného

zakalkulována částka .Kč2001Kč00021205,0

Běžné správní náklady … náklady související s provozem pojišťovny, tj. např.

na evidování a kontrolování pojistných smluv, nájem budov, provoz výpočetní

techniky atd. Tyto náklady se opět počítají jako procento z pojistné částky (ročního


124

důchodu). Zpravidla se dělí na běžné správní náklady 1

, které se účtují vždy

na začátku pojistného roku po celou dobu trvání pojištění, a na běžné správní náklady

2 , které se účtují na začátku pojistného roku během placení pojistného, přičemž

21 . Používá-li např. pojišťovna hodnoty ,001,0a003,0

21 potom

např. při kapitálovém pojištění na dožití s pojistnou částkou 100 000 Kč placeném

jednorázově bude do pojistného účtována částka Kč300Kč000100003,0

na začátku každého pojistného roku.

Inkasní náklady … náklady spojené s vybíráním (inkasem) běžného pojistného.

Jsou započítány jako procenta z ročního hrubého pojistného a účtují se ve shodě

s placením běžného pojistného. Jestliže jsou kupříkladu inkasní náklady stanoveny

na 2 % (tj. )02,0 , je při měsíčním důchodu 1 000 Kč na inkasní náklady ročně

určena částka .Kč240Kč00011202,0 Je tedy v každé platbě pojistného

účtováno 20 Kč na inkasní náklady.

Náklady při výplatě důchodů …náklady se týkají pouze důchodových pojištění

a souvisí s jeho pravidelným vyplácením. Většinou se počítají jako procenta z ročního

důchodu a účtují se ve shodě s jednotlivými výplatami důchodů. Např. při 03,0

(tj. 3 %) a měsíční splátce pojistného plnění ve výši 5 000 Kč je na tyto náklady

určena ročně částka .Kč8001Kč00051203,0

Uvedené rozdělení je nutné brát jako jeden a nikoliv jediný z modelů, který pojišťovny

v praxi používají.

Ukážeme si několik příkladů odvození výpočetních vzorců pro hrubé pojistné s tím, že

jednorázové hrubé pojistné na jednotkovou pojistnou částku či jednotkový důchod se značí JB

a běžné pojistné na jednotkovou pojistnou částku či jednotkový důchod se značí B (vždy

doplníme příslušnými indexy).

Začneme jednoduchým odvozením vztahu pro výpočet jednorázového hrubého pojistného při

smíšeném pojištění placeným jednorázově. Podle principu ekvivalence (13.1.6) máme

.:1::

nxnxnx

aAJB (13.4.7)

K diskontovanému výdaji na pojistné plněnínx

A:

se přičtou jednorázové počáteční náklady,

které v případě jednotkové pojistné částky činí právě , a běžné správní náklady 1

, které

jsou podle předpokladu účtovány vždy na počátku každého pojistného roku (pokud je

pojištěný naživu) a jejichž současná hodnota je zřejmě v případě jednotkové pojistné částky

právě .:1 nx

a Vzhledem k tomu, že s uvažovaným typem pojištění nesouvisí žádné

důchodové platby, neobjevují se ve vzorci zbývající náklady reprezentované koeficienty

.,,,2

Vztah (13.4.7) můžeme s využitím (13.2.11) a (13.3.16) zapsat pomocí

komutačních čísel jako

x

nxxnxnxx

nxD

NNDMMJB

1

:. (13.4.8)

V případě področního běžného pojistného placeného předlhůtně m-krát v každém pojistném

roce, ve kterém je klient naživu, dostaneme využitím principu ekvivalence rovnici

.::::::

m

nx

m

nxnxnx

m

nx

m

nxamBaAamB

(13.4.9)


125

Na levé straně je současná hodnota področního předlhůtního dočasného doživotního důchodu

s výší platby

,:

m

nxB

což je pro nás hledané pojistné na jednotkové pojistné plnění. Na pravé

straně je proti (13.4.7) navíc diskontovaná hodnota inkasních nákladů započítávaných ve

shodě s placením pojistného jako příslušné procento z hrubého pojistného. Místo výrazu

nxa

:1 je na pravé straně výraz ,

: nxa protože běžné správní náklady jsou podle dříve

uvedeného předpokladu započítávány v plné výši a to vždy na začátku pojistného roku bez

ohledu na způsob placení běžného pojistného. Z rovnice (13.4.9) můžeme po použití

aproximace (13.3.30) a po dalších úpravách vyjádřit neznámou

.

2

11

:

nxxnxx

xnxxnxnxxm

nx

DDm

mNNm

DNNDMMB

(13.4.10)

Příklad 13.5.1

Vypočítáme hodnotu ročního hrubého pojistného40letého pojištěného pro smíšené pojištění

na 20 let s pojistnou částkou 1 000 000 Kč, za předpokladu, že se pojistné platí po celou dobu

odkladu a první splátka se uskuteční při uzavření pojistné smlouvy. Použijeme:

.05,0a006,0,05,0

Řešení

Při výpočtu vyjdeme ze vztahu (13.4.10) s tím, že m = 1. Dále máme x = 40, n = 20,

f = 1 000 000, .05,0a006,0,05,0 Podle (13.4.10), který v tomto případě

s ročním běžným pojistným platí přesně, dostáváme

.78,39354

713453125203105,01

9074505,07134531252031006,02892882919474230000001

1:

nxx

xnxxnxnxx

nxNN

DNNDMMffBF

pojištěný by tedy po 20 let (pokud by dříve neumřel) platil na počátku každého pojistného

roku pojistné ve výši 54 393,78 Kč. Po dvaceti letech nebo při předčasném úmrtí na konci

toho pojistného roku, ve kterém by zemřel, by pojišťovna vyplatila 1 000 000 Kč. Čisté

měsíční pojistné by v tomto případě činilo 42 611,25 Kč, což je zhruba 78,3 % měsíčního

hrubého pojistného.

Ukážeme si ještě odvození výše hrubého pojistného v případě pojištění odloženého

doživotního důchodu. Předpokládejme, že pojistné plnění má formu předlhůtního področního

důchodu s výplatami m-krát do roka. Dobu odkladu označme jako obvykle n. Pokud jde

o jednorázově zaplacené pojistné, máme

.2

11

1

1

x

xnxnx

m

xnx

m

xn

m

xn

D

NDm

mN

aaaJB

(13.4.11)

Diskontované výdaje pojišťovny (pravá strana rovnice (13.4.11)) tentokrát reprezentuje

současná hodnota odloženého doživotního předlhůtního področního důchodu (pojistného

plnění). Dále zde máme počáteční náklady účtované jednorázově v okamžiku uzavření


126

pojistné smlouvy, současnou hodnotu běžných správních nákladů účtovaných vždy na začátku

pojistného roku a dále současnou hodnotu nákladů na výplatu důchodů účtovanou ve shodě

s výplatou důchodů. Úprava ve (13.4.11) je pak provedena pomocí (13.3.32) a (13.3.11).

Pro případ, že uvažované pojištění platí pojistník formou dočasného doživotního předlhůtního

področního důchodu s výplatami m-krát do roka po celou dobu odkladu n, můžeme zřejmě

psát rovnici ekvivalence (13.1.6) ve tvaru:

.

::21:

m

xn

m

nx

m

xnnxx

m

xn

m

xn

m

nxBamaaaaBam

(13.4.12)

Na pravé straně jsou navíc dva členy. Oba souvisejí s tím, že příjem pojišťovny není

jednorázový, ale má formu důchodu. V tom případě si pojišťovna do hrubého pojistného

započítává běžné správní náklady související právě s pravidelným příjmem pojistného. Tyto

náklady jsou reprezentovány koeficientem 2

. Současná hodnota těchto nákladů je vyjádřena

členem nx

a:2

, což je vlastně současná hodnota ročního předlhůtního dočasného životního

důchodu s velikostí platby právě 2

. Dále si pojišťovna kalkuluje inkasní náklady

reprezentované koeficientem . Tyto náklady jsou započítávány v souladu s platbami

pojistného a jejich současná hodnota je m

xn

m

nxBam

: .

Úpravou a pomocí (13.3.32) a (13.3.11) lze vyjádřit hledanou výši splátky hrubého pojistného

pomocí komutačních čísel. Platí, že

.

2

11

2

11

21

nxxnxx

xnxxxnxnx

m

xn

DDm

mNNm

DNNNDm

mN

B

(13.4.13)

Příklad 13.5.2

Určíme velikost splátky hrubého měsíčního pojistného, které bude platit 20letý klient do

svých 65 let, aby se poté mohl těšit z doživotního důchodu 15 000 Kč měsíčně.

Předpokládáme, že oba důchody jsou placeny předlhůtně a koeficienty nákladů použijeme

v následující výši: .04,0a05,0,003,0,002,0,035,0 21

Řešení

Do (13.4.13) dosadíme x = 20, n = 45, m = 12, koeficienty zohledňující náklady pojišťovny

a komutační čísla z tabulky 12.6.1 s tím, že k získání hledaného pojistného na dané pojistné

plnění je třeba ještě násobit velikostí skutečného ročního důchodu, tj. součinem

.0001801200015 fm Máme

.73,6542

5,394208,781019295,0

0,14468035,08,7810192003,00,2313412002,00,61131004,100015

2

11

2

11

21

nxxnxx

xnxxxnxnx

m

xn

DDm

mNNm

DNNNDm

mN

fmBfmF

Klient by tedy měl platit počátkem každého měsíce 2 654,73 Kč, aby mohl počínaje 46.

pojistným rokem pobírat doživotní měsíční důchod ve výši 15 000 Kč. Pro porovnání

uveďme, že bez započítání správních nákladů, tj. za předpokladu, že 021


127

by měsíční (čisté) pojistné činilo 2 330,30 Kč, což je zhruba 87,8 % z vypočteného hrubého

pojistného. Pokud bychom ale velikost správních nákladů nastavili např. hodnotami

05,0,03,0,02,0,5,021

a ,04,0 vyšlo by měsíční pojistné 3 668,43 Kč

a čisté pojistné by tvořilo pouze zhruba 63,5 % z hrubého pojistného.

Vzorce pro výpočet hrubého pojistného pro další typy pojištění si po pečlivém prostudování

předcházejícího textu čtenář jistě odvodí sám.

Matematika neživotního pojištění

128

ČÁST III.

MATEMATIKA NEŽIVOTNÍHO

POJIŠTĚNÍ


129

14 Určení čistého pojistného

14.1 Tarifní skupiny

Prvním krokem ke stanovení výše pojistného v neživotním pojištění je rozdělení pojistných

smluv z jednoho pojistného odvětví do skupin, pro které je pojištěné riziko přibližně stejné.

Tomuto procesu se říká tarifování a příslušné skupiny se nazývají tarifní skupiny. Podstatou

tarifování je vytvoření množiny tzv. tarifních proměnných. Každá z tarifních proměnných

nabývá několika různých hodnot, které se liší velikostí rizika.

Příklad 14.1.1

V pojištění odpovědnosti za škodu způsobenou provozem vozidla (povinné ručení) používají

pojišťovny v ČR pro vytvoření tarifních skupin běžně následující tarifní proměnné.

Typ vozidla (osobní automobil, motocykl, nákladní automobil, autobus, přípojné

vozidlo, traktor, sanita, obytný automobil, tahač, …)

Objem motoru (do 1 000 cm3, 1 001 – 1 250 cm3, …)

Způsob použití vozidla (běžný provoz, taxislužba, půjčování, autoškola, nebezpečné

náklady, …)

Některé pojišťovny zohledňují i další faktory (tj. používají i další tarifní proměnné) jako např.

věk řidiče, region atd. V závorce u tarifních proměnných za odrážkami jsou uvedeny příklady

hodnot tarifních proměnných. Každá kombinace hodnot jednotlivých proměnných pak tvoří

jednu tarifní skupinu.

Tarifní skupiny jsou tedy skupiny pojistných smluv v rámci jednoho pojistného odvětví, které

představují přibližně stejné pojištěné riziko, takže je možné v rámci každé tarifní skupiny

aplikovat stejnou pojistnou sazbu, což je vlastně výše pojistného vztažená na určitou jednotku

míry objemu rizika. Jedná se o obdobu jednotkového pojistného při životním pojištění.

Jednotkou míry objemu rizika může být např. 1 000 Kč hodnoty pojištěné věci v majetkovém

pojištění (v takovém případě hovoříme o míře objemu rizika jako o pojistné nebo pojištěné

částce), automobil/rok v havarijním pojištění, „člověkoden“ v pojištění léčebných výloh

v nemocnici atd.

14.2 Princip určení čistého pojistného

Při výpočtu čistého pojistného v neživotním pojištění vycházíme ze stejného principu jako při

výpočtu čistého pojistného v životním pojištění. Podle tohoto principu platí, že příjmy

pojišťovny z pojistného se rovnají výdajům pojišťovny na pojistné plnění.

Jeden ze zásadních rozdílů v kalkulaci životního a neživotního pojištění je dán skutečností, že

v neživotním pojištění se, na rozdíl od pojištění životního, uzavírají smlouvy zpravidla pouze

na jeden rok. Pojistitel tedy může poměrně operativně reagovat na vývoj časové hodnoty

peněz a v případě potřeby pojistné upravit. Z tohoto důvodu nebudeme při určování

pojistného v neživotním pojištění brát časovou hodnotu peněz v úvahu.

Dalším významným rozdílem je způsob určování střední hodnoty náhodné veličiny výše

pojistného plnění. V životním pojištění totiž máme k dispozici úmrtnostní tabulky, pomocí

kterých lze sestavit relativně věrohodné rozdělení pravděpodobností příslušné náhodné

veličiny. Odtud už lze snadno určit její střední hodnotu i další charakteristiky. U neživotního

pojištění podobný nástroj neexistuje a modelování pravděpodobnostního rozdělení náhodné

veličiny výše pojistného plnění je mnohem obtížnější. Používají se pokročilejší matematické


130

modely, které většinou vyžadují hlubší znalosti z oblasti pravděpodobnosti a statistiky

(Mandl, 1999). Částečně je tento způsob ilustrován v části 14.3.

V praxi často pojišťovny při stanovení odhadu střední hodnoty svých výdajů vycházejí

z nashromážděných relevantních statistických údajů o pojištění z let minulých. Pochopitelně

přitom také přihlíží k očekávanému ekonomickému a legislativnímu vývoji.

Uvažujme tarifní skupinu, ve které dojde za uvažované období (např. jeden rok) k N

pojistným událostem s tím, že jednotlivé škodní nároky označíme postupně NXXX ...,,, 21 .

Předpokládejme dále, že celkově pojištěný objem rizika v uvažované tarifní skupině pro dané

období je E. Podle principu ekvivalence lze psát

SXPEN

j

j

1

, (14.2.1)

kde S je tzv. úhrn škod a sazba čistého ročního pojistného je označena jako P. Odtud máme

E

SP . (14.2.2)

Je zřejmé, že veličiny ESXXXN N a)itedya(...,,,, 21 mají všechny náhodný charakter,

a je tudíž nutno pracovat s jejich středními hodnotami. Jak již bylo uvedeno, často se tyto

střední hodnoty odhadují na základě statistických údajů o škodním průběhu z minulých let.

Někdy se při výpočtu postupuje tak, že pravou stranu vztahu (14.2.2) rozložíme na součin

a pro výpočet sazby čistého pojistného používáme vzorec

21

qqP . (14.2.3)

Veličina q1 se nazývá škodní frekvence a je definována jako

,1

n

Nq (14.2.4)

kde n je počet uzavřených pojistek v dané tarifní skupině v daném roce. Škodní frekvenci lze

tedy interpretovat jako průměrný počet škod v jedné pojistce za jeden rok.

Veličina q2 je tzv. škodní stupeň (škodní rozsah) a platí, že

.2

n

E

N

S

q (14.2.5)

Škodní stupeň je tedy definován jako průměrná výše škody vzhledem k průměrně

pojišťovanému objemu rizika v jedné pojistné smlouvě za jeden rok.

Příklad 14.2.1

Předpokládejme, že v jisté tarifní skupině pojištění majetku bylo uzavřeno v jednom roce

8 250 pojištění na celkovou pojistnou částku 360 300 000 Kč. Počet pojistných událostí

(škod) činil 598 a celkově za ně bylo vyplaceno pojistné plnění ve výši 7 345 000 Kč. Určíme

postupně průměrnou pojistnou částku, průměrnou výši škod, škodní frekvenci a škodní

stupeň. Dále určíme sazbu čistého a hrubého pojistného, jestliže na pojistném bylo vybráno

9 750 000 Kč a jednotková pojistná částka je 1 000 Kč.


131

Řešení

Při zavedeném označení máme n = 8 250, E = 360 300 000, N = 598, S = 7 345 000. Podle

(14.2.5) dostáváme průměrnou pojistnou částku

Kč72,67243Kč2508

000300360

n

E

a průměrnou výši škod

Kč61,28212Kč598

0003457

N

S.

Pro výpočet škodní frekvence resp. škodního stupně použijeme (14.2.4) resp. (14.2.5). Máme

.2812,072,67243

61,28212resp.0725,0

2508

59821

n

EN

S

qn

Nq

Sazbu čistého pojistného, tedy čisté pojistné na každých pojištěných 1 000 Kč, určíme pomocí

(14.2.2), kde je nutné dosadit E ve zvolené jednotkové pojistné částce, tedy v 1 000 Kč.

Máme

.39,20300360

0003457

E

SP

Alternativně bychom mohli k výpočtu použít (14.2.3) vzhledem k volbě jednotky objemu

pojišťovaného rizika upravený na tvar:

.39,202812,00725,00001000121

qqP

Sazbu skutečně inkasovaného hrubého pojistného B určíme zřejmě podílem

.06,27300360

0007509B

Pojistník tedy platí 27,06 Kč z každých 1 000 Kč pojistné částky.

Příklad 14.2.2

Ze statistik vedených pojišťovnou v rámci jedné tarifní skupiny pojištění domácnosti byla

odhadnuta škodní frekvence ve výši 3,11 % a škodní stupeň ve výši 12,7 %. Určíme pojistnou

sazbu v uvažované třídě, jestliže jednotkou míry objemu rizika je 1 Kč z pojistné částky. Dále

určíme, jaké čisté pojistné by mělo být předepsáno pro pojistnou částku 1 200 000 Kč?

Řešení

Máme tedy 127,0,0311,021 qq a f = 1 200 000. Podle vztahu (14.2.3) je pojistná sazba

.95003,0127,00311,0 P

Výše čistého ročního pojistného, řekněme F, potom bude

.64,739495003,00002001 fPF

Zjistili jsme tedy, že na každou pojištěnou jednu korunu (jednotka míry objemu rizika)

v našem pojištění domácnosti je třeba zaplatit pojišťovně 0,003 95 Kč, což při pojistné částce


132

1 200 000 Kč činí 4 739,64 Kč. Zdůrazněme ještě jednou, že se jedná o čisté pojistné bez

zakalkulování bezpečnostní přirážky, nákladů a zisku pojišťovny.

Pro určování odhadů středních hodnot jednotlivých náhodných veličin v neživotním pojištění

ze statistických podkladů z minulosti se používají nejrůznější statistické metody. Jednu z nich

(věříme, že studentovi důvěrně známou ze statistiky) ilustruje následující příklad.

Příklad 14.2.3

Ze statistických údajů o jedné tarifní skupině pojištění majetku uvedených v tabulce 14.2.1

z let minulých odhadneme sazbu čistého pojistného na rok 2015.

Tabulka 14.2.1 Statistické údaje

Rok Úhrn škod (tis. Kč) Objem rizika (mil. Kč)

2002 5 321 722

2003 5 413 725

2004 5 498 731

2005 5 605 739

2006 5 754 759

2007 5 822 749

2008 5 974 772

2009 6 025 775

2010 6 214 796

2011 6 348 804

2012 6 582 812

2013 6 789 828

2014 7 056 845

Řešení

Za jednotku objemu míry rizika zvolíme 1 000 Kč. Určíme pro každý rok sazbu čistého

pojistného a takto získanou časovou řadou proložíme regresní přímkou, z jejíž rovnice

odhadneme sazbu čistého pojistného na rok 2015. Hodnoty časové řady i údaje pro výpočet

koeficientů trendové přímky jsou uvedeny v tabulce 14.2.2

Tabulka 14.2.2 Trend časové řady pojistných sazeb z příkladu 14.2.3

Rok Úhrn škod (tis. Kč) Objem rizika (mil. Kč) Pojistná sazba (rt) t t2 trt

2002 5 321 722 7,369806 -6 36 -44,2188

2003 5 413 725 7,466207 -5 25 -37,3310

2004 5 498 731 7,521204 -4 16 -30,0848

2005 5 605 739 7,584574 -3 9 -22,7537

2006 5 754 759 7,581028 -2 4 -15,1621

2007 5 822 749 7,773031 -1 1 -7,7730

2008 5 974 772 7,738342 0 0 0,0000

2009 6 025 775 7,774194 1 1 7,7742

2010 6 214 796 7,806533 2 4 15,6131

2011 6 348 804 7,895522 3 9 23,6866

2012 6 582 812 8,105911 4 16 32,4236

2013 6 789 828 8,199275 5 25 40,9964

2014 7 056 845 8,350296 6 36 50,1018

Součet

101,165922 0 182 13,2721


133

Pro rovnici regresní přímky p platí, že

.7820,70729,013

1659,101

182

2721,13

13:

6

6

6

6

2

6

6

tt

r

t

t

tr

Rp t

t

t

t

t

t

Odtud odhad sazby čistého pojistného pro rok 2015

.29,87820,770729,02015

R

Na každých 1 000 Kč pojistné částky by tedy mělo být v roce 2015 účtováno čisté pojistné ve

výši 8,29 Kč.

14.3 Určení čistého pojistného v systémech bonus-malus

V příkladu 14.1.1 jsme uvedli několik tarifních proměnných, pomocí kterých se provádí

tarifování v pojištění odpovědnosti za škodu způsobenou provozem vozidla. Je zřejmé, že ani

po vytvoření příslušných tarifních skupin nebudou všichni řidiči z jedné tarifní skupiny

představovat pro pojišťovnu stejné riziko. Schopnosti různých řidičů jezdit bez nehody jsou

totiž nepochybně různé. To je jeden z důvodů, proč se provádí ještě další rozdělování

pojištěnců do jakýchsi podskupin v rámci jedné tarifní skupiny. Zohledňuje se předchozí

průběh jejich pojištění a ti, u kterých v minulosti nenastala žádná pojistná událost, jsou

zvýhodněni slevou ze základní sazby pojistného (bonusem). Naopak ti, u kterých se pojistná

událost vyskytla častěji, dostanou přirážku k základní sazbě pojistného (malus). Pokud jsou

taková pravidla v tarifní skupině definovaná, hovoříme o systému bonus-malus (dále BMS).

V současnosti je po celém světě velice rozšířené použití BMS hlavně v pojištění automobilů,

a to jak v pojištění havarijním, tak v pojištění odpovědnosti za škody způsobené provozem

vozidla a české pojišťovny nejsou výjimkou. V takovém systému existuje tedy několik úrovní

pojistného podle velikosti slev či přirážek k základní sazbě pojistného. V této souvislosti

hovoříme o třídách BMS.

České pojišťovny v současnosti (rok 2014) používají BMS, ve kterých je 12 až 21 tříd, a tedy

stejný počet úrovní pojistného. Slovenské pojišťovny používají BMS v rozsahu 6 až 16 tříd

s tím, že řada z nich prozatím malusy vůbec neaplikuje (Stolín, 2014). Tabulka 14.3.1

definuje BMS se sedmi třídami (dříve užívaný v Thajsku – Lemaire, 1995), který je pro

početní ilustraci vhodnější.

Tabulka 14.3.1 Bonus-malus systém

Třída Pojistné (v % ze

základní sazby)

Nová třída bonusu-malusu po

0 1 >1

škodě

1 140 5 4 1

2 130 5 4 1

3 120 5 4 2

4 100 5 4 3

5 80 6 4 3

6 70 7 4 3

7 60 7 4 3

Vstupní třída: 4


134


135

Příklad 14.3.1

Uvažujme klienta, který je v BMS určeném předchozí tabulkou již 10 let a jeho počty

škodních nároků postupně byly: 0, 0, 0, 1, 0, 2, 0, 0, 0, 1. Určíme posloupnost tříd BMS, ve

kterých se postupně nalézal.

Řešení

Podle tabulky 14.3.1 byl uvažovaný klient postupně ve třídách: 4, 5, 6, 7, 4, 5, 3, 5, 6, 7.

Pokud by zůstal v pojišťovně i nadále, bude zařazen v 11. roce své „pojistné kariéry“ do 4.

třídy.

Je zřejmé, že třída, do které je klient zařazen v určitém roce svého pojištění, je dána pouze

dvěma skutečnostmi:

třídou, ve které byl klient umístěn v předcházejícím roce a

počtem škod v předcházejícím roce.

Zdůrazněme, že umístění pojištěného do třídy BMS vůbec neovlivňuje výše škody, ale pouze

jejich počet, a to pouze v předcházejícím roce.

Počet škodních událostí za jeden rok N je náhodná veličina. Předpokládejme, že N má

Poissonovo rozdělení pravděpodobností, což znamená, že platí:

....,1,0,!

)(

nen

nNP

n

(14.3.1)

Připomeňme, že střední hodnota náhodné veličiny N je rovna . Za předpokladu Poissonova

rozložení počtu škod můžeme sestavit matici

sjiijp 1,

P ,

kde s je počet tříd BMS a ijp představuje pravděpodobnost přechodu ze třídy i do třídy j

pojištěného se středním počtem ročních škod .

Příklad 14.3.2

Sestavíme tzv. matici pravděpodobností přechodu z i-té do j-té třídy. Jejími prvky ijp jsou

pravděpodobnosti, že klient s určitou hodnotou parametru bude po uplynutí roku zařazen

z i-té do j-té třídy uvažovaného BMS. Nejprve sestavíme takovou matici obecně a potom pro

klienta, který způsobí jednu škodu v průměru jednou za 10 let, tedy pro případ, že .1,0

Řešení

Z tabulky 14.3.1 použitím vztahu (14.3.1) dostáváme:

eee

eee

eee

eee

eee

eee

eee

001100

001100

001100

001100

000110

000011

000011

P .


136

Dosazením 1,0 máme

905,000090,0005,000

905,000090,0005,000

0905,00090,0005,000

00905,0090,0005,000

00905,0090,00005,00

00905,0090,000005,0

00905,0090,000005,0

1,0P .

Jestliže rjp značí pravděpodobnost, že pojištěný s parametrem bude v r-tém roce svého

pojištění ve třídě j, potom lze zřejmě psát, že

....,,2,1,1

1sjppp kj

s

k

r

k

r

j

(14.3.2)

Předpokládejme dále pro jednoduchost, že v BMS bylo dosaženo stacionárního stavu, tj.

stavu, kdy platí, že

....,,2,1,1

sjppp j

r

j

r

j

V tom případě lze (14.3.2) psát ve tvaru

....,,2,1,1

sjppp kj

s

k

kj

(14.3.3)

Těchto s rovnic, spolu se zřejmou podmínkou, že

s

j

jp1

,1 (14.3.4)

určuje jednoznačně vektor stacionárního rozdělení pravděpodobností obsazení tříd v BMS.

Příklad 14.3.3

Vypočítáme stacionární rozdělení pravděpodobností v našem BMS pro .1,0

Řešení

S využitím matice 1,0P z minulého příkladu dostáváme po dosazení do (14.3.3) a (14.3.4)

následující soustavu osmi rovnic o sedmi neznámých:

7654321

767

56

43215

76543214

76543

32

211

1

905,0905,0

905,0

905,0905,0905,0905,0

090,0090,0090,0090,0090,0090,0090,0

005,0005,0005,0005,0

005,0

005,0005,0

ppppppp

ppp

pp

ppppp

pppppppp

ppppp

pp

ppp


137

Pomocí vhodného matematického programu (Maple, Excel) lze najít právě jedno existující

řešení této soustavy, a tím je vektor

.818740,0;912077,0;106086,0;484090,0;657004,0;022000,0;001000,0p

Tento výsledek lze interpretovat také tak, že ve stacionárním stavu by se z teoretického počtu

1 000 000 klientů v daném BMS jeden z nich nacházel v první třídě, 22 ve druhé třídě atd. až

po nejvyšší bonusovou třídu (7.), kde by jich bylo 740 818.

Jestliže dále relativní výši pojistného v jednotlivých třídách BMS vzhledem k základní třídě

popíšeme vektorem

)...,,( 21 scccc

a sazbu čistého pojistného v základní třídě označíme z

P , bude celkové čisté pojistné vybrané

během jednoho roku od n klientů dáno výrazem (viz konec řešení příkladu 14.3.3)

s

j

jjz

s

j

jzjcpnPcPnp

11

. (14.3.5)

Dá se dokázat, že za určitých (přijatelných) předpokladů je střední výše celkových škodních

nároků jednoho klienta za jeden rok dána jako

,EEE XXN (14.3.6)

kde XE je průměrná výše jedné škody.

Podle principu ekvivalence by se celkové příjmy pojišťovny (14.3.5) měly rovnat jejím

očekávaným celkovým výdajům na pojistném plnění během uvažovaného roku, takže

s pomocí (14.3.6) máme

,E1

XncpnPs

j

jjz

odkud už dostaneme

s

j

jj

z

cp

XP

1

E. (14.3.7)

Zdůrazněme, že odvození vztahu (14.3.7) pro základní sazbu čistého pojistného v BMS jsme

provedli za předpokladu, že v dané tarifní skupině mají všichni řidiči (pojištění) stejný

parametr , který vyjadřuje střední hodnotu počtu způsobených škod během pojistného roku.

V praxi však, jak již bylo uvedeno, tento předpoklad splněn není. V každé tarifní skupině jsou

řidiči s různými hodnotami tohoto parametru, a představují tak pro pojistitele různá rizika

(proto se také parametru často říká rizikový parametr). Náš model je tedy zjednodušený

a pro přesnější výsledky je nutné uvažovat model, ve kterém je hodnota parametru realizací

náhodné veličiny, která má určité rozdělení pravděpodobností. Často se toto rozdělení

modeluje gama rozdělením (Mandl, 1999).

Dále jsme při našem odvození předpokládali, že v BMS bude dosaženo stacionárního stavu ve

smyslu rozdělení řidičů do jednotlivých tříd. Ani to úplně neodpovídá praxi, protože systém

není uzavřený a noví řidiči do něj neustále vstupují a někteří zase vystupují. Při přesnějších

modelech se tato skutečnost zohledňuje tak, že počet let, který je pojištěný v systému, se

chápe jako náhodná veličina s geometrickým rozdělením pravděpodobností (Mandl, 1999).


138

Příklad 14.3.4

Na závěr určíme výše čistého pojistného v jednotlivých třídách v uvažovaném BMS pomocí

vztahu (14.3.7) za předpokladu, že střední výši škody XE odhadneme na 20 000 Kč.

Řešení

Jelikož je v uvažovaném typu pojištění jednotka míry objemu rizika automobil/rok, bude

sazba pojistného totéž co výše pojistného, které platí pojistník ročně z jednoho automobilu.

Z tabulky 14.3.1 určíme vektor )6,0;7,0;8,0;1;2,1;3,1;4,1(c . Můžeme tedy s použitím

výsledku příkladu 14.3.3 dosadit do (14.3.7). Získáme

.98,0113818740,06,0...022000,03,1001000,04,1

000201,0

zP

Základní sazba čistého pojistného, kterou platí pojistník zařazený do 4. třídy, je 3 011,98 Kč.

Výše ročního pojistného ve zbývajících třídách už dostaneme jednoduše tak, že touto částkou

vynásobíme vektor c. Výsledky shrnuje následující tabulka.

Tabulka 14.3.2 Pojistné v BMS definovaném tabulkou 14.3.1

Třída 1 2 3 4 5 6 7

Pojistné (Kč) 4 217 3 916 3 614 3 012 2 410 2 108 1 807


139

15 Pojistné rezervy

15.1 Vývojové trojúhelníky

Tvorba technických rezerv pojišťovně zabezpečuje prostředky potřebné k úhradě závazků

vyplývajících z převzatých rizik. Povinnost vytvářet technické rezervy, jejich druhy, zásady

pro stanovení jejich výše a pro investování prostředků těchto rezerv jsou vymezeny právní

normou, jejíž dodržování podléhá kontrole státního dozoru nad pojišťovnami popsané v části

Pojišťovnictví.

My se budeme v této části zabývat tzv. rezervou na pojistná plnění (škodní rezervou),

kterou je třeba vytvářet v důsledku toho, že zjištění konečné výše škody, a tím i výše

pojistného plnění, může u řady pojištění trvat i několik let. Jako příklad uveďme pojištění

odpovědnosti za škodu z provozu automobilů. Při nehodě může například dojít ke zranění

páteře, které se projeví až po několika měsících a konečná výše odškodného může být

definitivně stanovena až soudem, když pojišťovna mezitím poskytla určitou zálohu na plnění.

Po celou dobu, kdy je případ otevřen, musí pojišťovna provádět a upřesňovat odhad závazku,

který pro ni z dané situace vyplývá.

Rezerva na pojistná plnění zahrnuje obecně odhad tří hodnot.

Výše pojistných plnění zlikvidovaných, ale dosud neuhrazených.

Výše pojistných plnění, která budou ještě vyplacena za škody pojišťovně nahlášené, ale

dosud nezlikvidované (v anglické terminologii je tato hodnota označována zkratkou

RBNS – „Reported But Not Settled“).

Výše pojistných plnění, která budou vyplacena za škody, jež v minulosti vznikly, ale

dosud nebyly pojišťovně hlášeny (pro tuto část rezervy na pojistná plnění se vžil název

IBNR – „Incurred But Not Reported“).

V rezervě na pojistná plnění je zahrnut rovněž odhad nákladů spojených s likvidací pojistných

událostí.

Výpočet rezervy na pojistná plnění se provádí pomocí vývojových trojúhelníků, což jsou

vlastně schémata, ve kterých jsou uvedena doposud vyplacená pojistná plnění podle roku

vzniku pojistné události (řádky) a počtu let, který uplynul od vzniku události (sloupce).

Obecný tvar vývojového trojúhelníku ukazuje tabulka 15.1.1. Veličina jis , označuje

celkovou výši škod, které vznikly v i-tém roce a byly uhrazeny v j-tém roce (počítáno od roku

i).

Tabulka 15.1.1 Nekumulativní vývojový trojúhelník

Rok

pojistné

události

Pojistné plnění vyplacené v jednotlivých

letech uplynulých od roku pojistné události

0 1 … t - 2 t - 1

1 s1, 0 s1, 1 … s1, t - 2 s1, t - 1

2 s2, 0 s2, 1 … s2, t - 2

… … … …

t - 1 st – 1, 0 st – 1, 1

t st, 0

V některých případech se při výpočtu rezervy na pojistná plnění vychází z tzv. kumulativního

vývojového trojúhelníku, jehož obecný tvar ukazuje tabulka 15.1.2.


140

Tabulka 15.1.2 Kumulativní vývojový trojúhelník

Rok

pojistné

události

Celkové pojistné plnění vyplacené během období od roku vzniku

pojistné události po daný počet let uplynulých od roku pojistné události

0 1 … t - 2 t - 1

1 s´1, 0 = s1, 0 s´1, 1 = s1, 0 + s1, 1 … s´1,t – 2 =

2

0

,1

t

j

js s´1,t –1 =

1

0

,1

t

j

js

2 s´2, 0 = s2, 0 s´2, 1 = s2, 0 + s2, 1 … s´2,t – 2 =

2

0

,2

t

j

js

… … … …

t - 1 s´t - 1, 0 = st– 1, 0 s´t - 1, 1 = st - 1, 0 + st - 1, 1

t s´t, 0 = st, 0

V kumulativním vývojovém trojúhelníku jsou tedy jis , celkové výše škod, které vznikly

v roce i a byly uhrazeny do konce roku (i + j). Budeme předpokládat, že poslední sloupec již

vyjadřuje konečný stav, tj. že všechny škody byly nahlášeny a zlikvidovány během t let

od svého vzniku.

15.2 Metoda Chain-Ladder

Jedna z nejčastěji používaných metod pro určení rezervy na pojistná plnění vychází

z předpokladu, že sloupce v tabulce 15.1.2 jsou úměrné, tedy, že platí

.1...,,2,1,2...,,1,0,,1,

jtitjscsjijji (15.2.1)

Konstanty úměrnosti jc se nazývají koeficienty vývoje pojistného plnění a jejich odhady

budeme určovat podle vztahu

.2...,,1,01

1

,

1

1

1,

tj

s

s

cjt

i

ji

jt

i

ji

j (15.2.2)

Trojúhelník v tabulce 15.1.2 doplníme na čtverec postupným násobením odhadnutými

koeficienty jc počínaje od vedlejší diagonály:

.1...,,2,1,...,,3,2,...11,,

tititkticccsskitititiki (15.2.3)

Rezervu na pojistná plnění, kterou je třeba mít k dispozici ke konci roku t, označme rt a

vypočítáme ji jako

t

i

itititssr

2

,1,. (15.2.4)

Při řešení konkrétních příkladů budeme v legendě vývojových trojúhelníků uvádět přímo

letopočty kalendářních let vzniku pojistných událostí a ne jejich pořadová čísla, jako tomu

bylo v obecném modelu. Na postupu ani výsledku se samozřejmě nic nezmění.

V praxi se při výpočtu rezervy na pojistná plnění většinou zohledňuje inflace, takže se ve

vývojových trojúhelnících výše pojistných plnění vyplacených v jednotlivých letech

přepočítávají tak, aby vyjadřovali reálné hodnoty odpovídající cenám z roku, k jehož konci

rezervu hledáme.


141

Existuje i řada dalších metod k určení odhadu rezervy na pojistná plnění. Některé spočívají

v modifikaci popsané metody, kdy se jedná o alternativní stanovení odhadů koeficientů

pojistného plnění. Další možností je například užití tzv. separačních metod, které jsou

založeny na oddělení stabilních faktorů určujících výši pojistných plnění od nestabilních

faktorů (kam patří např. mimo jiné také inflace) a konstrukci jejich odhadů (Cipra, 2006).

Příklad 15.2.1

Metodou Chain-Ladder určíme celkovou výši rezervy na pojistná plnění ke konci roku 2005

se zohledněním inflace, jestliže jsou k dispozici data uvedená v tabulkách 15.2.1 a 15.2.2.

Tabulka 15.2.1 Kumulativní vývojový trojúhelník

Rok

pojistné

události


pojistné události po daný počet let uplynulých od roku pojistné události (v tisících Kč)

0 1 2 3 4

2001 1 593 2 831 4 464 4 890 5 035

2002 1 804 3 158 5 010 5 576

2003 2 013 3 623 5 762

2004 2 433 4 264

2005 2 394

Tabulka 15.2.2 Míry inflace

Rok 2002 2003 2004 2005

Míra inflace 4,9 % 6,2 % 7,1 % 5,2 %

Řešení

První krok spočívá v převedení kumulativního vývojového trojúhelníku na nekumulativní,

abychom oddělili platby uskutečněné v různých letech. Podle vztahů uvedených v tabulce

15.1.2 dostáváme odpovídající nekumulativní vývojový trojúhelník, viz tabulka 15.2.3.

Tabulka 15.2.3 Nekumulativní vývojový trojúhelník

Rok

pojistné

události


letech uplynulých od roku pojistné události (v tisících Kč)

0 1 2 3 4

2001 1593 1238 1633 426 145

2002 1804 1354 1852 566

2003 2013 1610 2139

2004 2433 1831

2005 2394

Dále určíme roční výše pojistného plnění v cenách z roku 2005. Například pojistné plnění za

škody vzniklé v roce 2002 vyplacené v roce 2003 bude mít v cenách z roku 2005 reálnou

hodnotu

.5261)052,01()071,01(3541

Výsledky jsou uvedeny v tabulce 15.2.4.


142

Tabulka 15.2.4 Nekumulativní vývojový trojúhelník se zohledněnou inflací

Rok

pojistné

události


letech uplynulých od roku pojistné události (v tisících Kč)

0 1 2 3 4

2001 1999 1481 1840 448 145

2002 2159 1526 1948 566

2003 2268 1694 2139

2004 2560 1831

2005 2394

Nekumulativní vývojový trojúhelník pomocí vztahů v tabulce 15.1.2 převedeme

na kumulativní, viz tabulka 15.2.5.

Tabulka 15.2.5 Kumulativní vývojový trojúhelník se zohledněnou inflací

Rok

pojistné

události



0 1 2 3 4

2001 1999 3481 5321 5769 5914

2002 2159 3684 5632 6198

2003 2268 3962 6101

2004 2560 4391

2005 2394

Odhady koeficientů vývoje pojistného plnění určíme dosazením do (15.2.2). Máme

.025,17695

9145

,093,163253215

19867695

,533,1962368434813

101663253215

,727,15602268215929991

3914962368434813

3

2

1

0

c

c

c

c

Pomocí těchto koeficientů a s využitím (15.2.3) doplníme tabulku 15.2.5. Je například

.0977025,1093,1533,1727,1394232100,54,5

ccccss

Získáme trojúhelník doplněný na čtverec – tabulka 15.2.6.

Tabulka 15.2.6 Doplněný kumulativní vývojový trojúhelník

Rok

pojistné

události

Celkové pojistné plnění vyplacené a odhadnuté během období od roku vzniku


0 1 2 3 4

2001 1999 3481 5321 5769 5914

2002 2159 3684 5632 6198 6354

2003 2268 3962 6101 6666 6833

2004 2560 4391 6729 7352 7537

2005 2394 4134 6336 6923 7097


143

Konečně dosazením do (15.2.4) dostaneme odhad celkové výše pojistné rezervy ke konci

roku 2005:

.083,7388)39420977()39145377()10168336()19863546(2005

r

Jestliže tedy v našem příkladu předpokládáme, že škody nemohou být hlášeny a zlikvidovány

se zpožděním větším než 4 roky, bude celková výše rezervy na pojistná plnění ke konci roku

2005 představovat 8 738 083 Kč. Pokud bychom inflaci neuvažovali, vyšla by tato rezerva ve

výši 9 624 019 Kč.

Glosář

144

Glosář

V následujícím textu jsou abecedně řazeny základní pojmy z pojišťovnictví, jejichž

podrobnější vysvětlení a vzájemné vazby jsou popsány v této studijní opoře.

All risk pojištění

je pojištění proti všem nebezpečím, všem rizikům. Druh pojištění zaměřený na pojištění všech

rizik, kdy je pojištěním kryta každá událost, pokud není uvedena ve výlukách z pojištění.

Jedná se o moderní typ pojištění majetku, přerušení provozu, stavebně montážní pojištění.

Asistence

je komplexní zabezpečení potřeb klienta pojistitelem při jeho cestách mimo trvalé bydliště,

zejména do zahraničí. Do služeb asistence patří např. odvoz do hotelu po nehodě, obstarání

opravy poškozeného vozidla, zabezpečení zvláštní péče ve zdravotnickém zařízení a další

služby podobného charakteru.

Bonus

je zvýhodnění pojištěného za bezeškodní průběh pojištění, nejčastěji formou slevy

na pojistném na další pojistné období. Opakem bonusu je malus.

Bonifikace

je sleva na pojistném za splnění zadaných podmínek formou vrácení části zaplaceného

pojistného.

Bezeškodní průběh

je takový průběh pojištění, ve kterém nenastala pojistná událost. Pojištěný bývá zvýhodněn

slevou na pojistném v dalším pojistném období – viz „bonus“.

Broker

je zprostředkovatel nebo též technický makléř. Makléř, který provádí pro pojišťovnu veškeré

technické záležitosti uzavíraného pojištění, tedy od zprostředkování, přes vytištění pojistek

a provedení inkasa pojistného až po likvidaci škod. Jeho úlohou je na základě plné moci

poskytovat svému klientovi všestranné poradenské služby v oblasti pojištění a risk

managementu.

Časová cena

je cena, kterou měla věc bezprostředně před pojistnou událostí, tedy v okamžiku vzniku

škody. Určuje se tak, že se od ceny nové věci téhož druhu a téže jakosti (popř. ceny věci s ní

srovnatelné), která platila v době pojistné události, odečte částka odpovídající stupni

opotřebení nebo jinému znehodnocení věci před pojistnou událostí.

ČAP

je Česká asociace pojišťoven. Sdružení na podporu vzájemné pomoci, spolupráce

a zabezpečení zájmu klientů, pojišťoven a zajišťoven a podporu vzájemné spolupráce.

Časová hodnota

je nová cena věci snížená o částku odpovídající stupni opotřebení nebo jiného znehodnocení,

tzn. cena, kterou měla věc bezprostředně před pojistnou událostí.

Glosář

145

Denní odškodné

je náhradou za utrpěný úraz, je pevně stanovena konkrétní částkou za jeden den pracovní

neschopnosti při léčení úrazu.

Dlužné pojistné

jsou nezaplacené částky běžného pojistného za pojistná období, u nichž již nastala splatnost.

Doba trvání pojištění, pojistná doba

je doba, na kterou bylo pojištění sjednáno, tj. od dohodnutého počátku pojištění do data

sjednaného konce pojištění. Pojištění může být sjednáno také na dobu neurčitou.

Dožití

je pojistná událost, ke které dojde, dožije-li se pojištěný dne uvedeného ve smlouvě jako

konec pojištění.

Důchod

je druh pojistného plnění z životního pojištění ve formě:

důchodu základního - je vyplácen od sjednaného termínu doživotně,

důchodu dočasného - je vyplácen na základě dané skutečnosti, např. v případě plné

invalidity,

důchodu pro pozůstalé,

důchodu za závažné onemocnění.

Důchodové pojištění

je životní pojištění s dohodnutou výplatou důchodu. Zajišťuje pojištěnému podle druhu

uzavřené pojistné smlouvy doživotní příjem v důchodovém věku, výplatu důchodu v případě

plné invalidity, příjem pozůstalým po smrti pojištěného apod.

Povinné důchodové pojištění - je státem organizované pojištění zaměstnanců pro případ

invalidity a stáří. Je součástí sociálního zabezpečení.

EGAP

Exportní garanční a pojišťovací společnost, a.s. (EGAP) je specializovaná státní úvěrová

pojišťovna. Jako součást státní podpory exportu poskytuje vývozcům a bankám financujícím

vývoz ochranu před rizikem nezaplacení z komerčních i teritoriálních důvodů.

Franšíza

je dohodnutá peněžní částka, kterou se pojištěný podílí na pojistné události. Stanoví se

pevnou částkou, procentem, anebo jejich kombinací.

Inkasní intervence

je informace pro získatele, že pojistce hrozí storno pro neplacení a je nutno kontaktovat

klienta a vyinkasovat pojistné, případně zajistit placení jiným způsobem. Viz také Neinkasní

intervence

Inkaso, inkasované pojistné

znamená uhrazení (platbu) pojistného. Inkasované pojistné je pojistné skutečně zaplacené

pojistníky, uhrazené v daném časovém období.

Kasko (havarijní pojištění)

je pojištění dopravního prostředku pro případ jeho poškození nebo zničení.

Glosář

146

Karence

je čekací doba, ve které nevzniká v životním pojištění právo na plnění v případě pojistné

události.

Kargo

je pojištění přepravy zboží a věcí proti poškození nebo zničení během přepravy různými

dopravními prostředky.

Kmen pojistek (pojistný kmen)

znamená obecně všechny pojistky spravované příslušnou agenturou, pobočkou, nebo celou

pojišťovnou.

Konec pojištění

je okamžik, který je uveden v pojistné smlouvě a kterým je ukončena pojistná ochrana

a uvedená pojistná smlouva v něm končí.

Likvidace

je soubor činností spojených s vyřizováním pojistné události. Počíná zahájením šetření

nutným ke zjištění povinnosti pojišťovny plnit a rozsahu této povinnosti. Končí stanovením

výše pojistného plnění konané v souvislosti s pojistnou událostí nebo škodní událostí. Jde

zejména o zjištění okolností pro vznik práva na plnění pojistitele, ověření právního základu,

určení rozsahu a výpočet plnění, související projednání, předání k výplatě, vyhotovení

podkladů pro další zpracování z hlediska účetnictví, statistiky a ekonomických informací,

posouzení a vypracování podkladů případných postihů a další související činnosti.

Limity plnění

v pojistné smlouvě mohou být sjednány limity pojistného plnění např. pro jednotlivé věci,

soubory věcí, náklady, pojistná nebezpečí apod.

Makléř

je zprostředkovatel, který na základě plné moci či smlouvy hledá pro svého zákazníka

optimální pojistnou ochranu.

Malus

je znevýhodněním pojištěného za vyšší škodní průběh formou přirážky na pojistném. Opakem

malusu je bonus.

Nadstandardní přirážka

je pojem užívaný v životním pojištění při oceňování zdravotního stavu pojištěného

a v úrazovém pojištění pro pojištění sjednané na pojistné částky nad stanovené limity.

Vyskytuje se např. u životních pojištění, u kterých po objektivním zjištění zdravotního stavu

pojištěného nelze přijmout za pojistné, které odpovídá průměrnému zdravotnímu stavu osob

stejného pohlaví a věku, ale lze je přijmout za pojistné vyšší - nadstandardní pojistné.

Nahodilost

je základním rysem událostí, ze kterých může vznikat právo na pojistné plnění. Jejím

předpokladem je, že událost nebyla pojištěným vyvolána úmyslně. Výplata pojistného plnění

probíhá tehdy, pokud byla událost nahodilá.

Glosář

147

Neinkasní intervence

je informace pro získatele, že je v nově sjednané smlouvě chyba, případně, že je nutné doplnit

ještě další informace. Někdy je využíváno i pro jiné zprávy pro získatele, které je třeba

vyřídit.

Nepravdivá nebo neúplná odpověď

Pokud klient na písemný dotaz pojišťovny týkající se sjednávaného pojištění poskytne

nepravdivou nebo neúplnou odpověď, hrozí mu ze strany pojišťovny odstoupení od smlouvy

nebo snížení či úplné odmítnutí plnění.

Nová hodnota

je pořizovací cena nové věci.

Odbytné

je částka, kterou pojistitel vyplatí v případě, že pojistník písemně požádá o zrušení pojištění,

které splňuje předepsané podmínky.

Odmítnutí plnění pojišťovny

je jednostranný úkon pojišťovny v případě, kdy zjistí po pojistné události, že její příčinou byla

skutečnost, kterou nemohla při sjednávání pojištění zjistit, kvůli vědomě nepravdivé nebo

neúplné odpovědi klienta.

Odstoupení od pojistné smlouvy

nastane, zjistí-li pojistitel vědomě nepravdivé a neúplné odpovědi, při jejichž znalosti v době

uzavření pojistné smlouvy by konkrétní smlouvu neuzavřel.

Omezení plnění pojišťovny

je jednostranný úkon pojišťovny v případě, že k pojistné události došlo například pod vlivem

alkoholu, drogy nebo omamného prostředku, nebo pokud při ní byl pojištěný uznán vinným

trestným činem, nebo uvedl-li při sjednání smlouvy vědomě nepravdivé či neúplné odpovědi

(případy, kdy je možné snížit pojistné plnění, jsou uvedeny v občanském zákoníku nebo

v pojistných podmínkách dané smlouvy).

Oprávněná osoba

Oprávněnou osobou je osoba, které vzniklo právo na pojistné plnění. Oprávněnou osobou

může být pojistník, pojištěný, popř. jiná osoba určená v pojistné smlouvě. U životního

pojištění je to osoba, která má právo na plnění v případě smrti pojištěného a je určená

v pojistné smlouvě.

Oznámení pojistné události

je důležitá povinnost toho, komu vzniklo právo na plnění z pojistné události. Pojistnou

událost je nutné oznámit pojišťovně (zpravidla písemně na příslušném formuláři). Ve většině

případů hlásí pojistnou událost pojištěný, v případě smrti pojištěného oprávněná osoba nebo

dědic. Oznámení je potřeba učinit co nejdříve poté, co pojistná událost nastala, jinak se

pojištěný vystavuje nebezpečí promlčení nároku (viz promlčení).

Počátek pojištění

označuje den, kterým obvykle vzniká povinnost pojistitele plnit z pojistné události.

Glosář

148

Podíl na výnosech z rezerv pojistného

je částka, která se každoročně připisuje k platným pojistným smlouvám životního pojištění

podle zásad a ve výši stanovené pojistitelem.

Podpojištění

je pojištění, u kterého byla pojistná částka stanovena nižší, než která svou hodnotou odpovídá

skutečnosti. Pokud je pojistná částka nižší než pojistná hodnota pojištěné věci nebo souboru

věcí v době bezprostředně před pojistnou událostí, poskytne pojistitel pojistné plnění ve výši,

která je ve stejném poměru ke škodě, jako je pojistná částka k této pojistné hodnotě

(podpojištění). To neplatí u pojištění prvního rizika. Pokud je pojistná částka vyšší, než

pojistná hodnota pojištěné věci nebo souboru věcí v době bezprostředně před pojistnou

událostí, poskytne pojistitel pojistné plnění maximálně ve výši této pojistné hodnoty.

Uplatňuje se u majetkových pojištění.

Pojistitel

je právnická osoba mající oprávnění k pojišťovací činnosti na území ČR. Její činnost, práva

a povinnosti jsou upraveny zvláštními předpisy.

Pojistka

je písemné potvrzení o uzavření pojistné smlouvy, které pojistitel vydává osobě, se kterou

uzavřel pojistnou smlouvu - s uvedením přiděleného čísla pojistné smlouvy a příslušné

agentury správy pojištění (nemá povahu cenného papíru).

Pojistná částka (pojistná hodnota)

je smluvně dohodnutá finanční částka v pojistné smlouvě, která představuje:

u pojištění majetku nejvyšší plnění pojišťovny,

u pojištění osob přímé plnění v této hodnotě nebo se bere jako základ pro výpočet

plnění v případě pojistné události při splnění ustanovení všeobecných pojistných

podmínek a smluvních ujednání pojistné smlouvy.

Pojistná doba

je časový úsek, který je uveden v pojistné smlouvě a po který je poskytována pojištěnému

pojistná ochrana. Je to doba od počátku do konce pojištění. Pojistitel plní z pojistných

událostí, které nastanou v průběhu pojistné doby.

Pojistná matematika

je samostatné odvětví aplikované matematiky, jehož předmětem je hodnocení nejistých

nahodilých skutečností. Užívá teorie počtu pravděpodobnosti, zákona velkých čísel

a výsledků statistických šetření. Je jedním ze základních nástrojů každé pojišťovny. Mezi její

hlavní úkoly patří kalkulace sazeb pojistného a rizika pojištění, kalkulace rezerv nebo

odbytného, výpočet podílu na zisku atd.

Pojistná smlouva

je smlouva uzavřená v písemné formě, kterou se zavazuje pojistitel poskytnout pojistné

plnění, nastane-li nahodilá událost označená ve smlouvě, a druhá smluvní strana (pojistník) se

zavazuje platit pojistné. Součástí pojistné smlouvy jsou všeobecné pojistné podmínky.

Pojistná událost

je nahodilá událost, která je v pojistné smlouvě blíže označena a je s ní spojena povinnost

pojistitele plnit. V majetkových pojištěních se jedná zejména o:

Glosář

149

poškození věci,

zničení věci,

odcizení věci,

ztrátu věci nebo její části.

(Poznámka: základním prvkem pojistné události musí být nahodilost vzniku dané skutečnosti,

např. zlomení hřídele, nikoliv „zákonitost“, např. koroze, opotřebení). V životním a úrazovém

pojištění může být pojistnou událostí smrt, dožití se konce pojištění, resp. počátku výplaty

důchodu, úraz, závažné onemocnění, plná invalidita.

Pojistné

je cena za poskytnutou pojistnou ochranu.

Pojistné období

je časový interval dohodnutý v pojistné smlouvě pro placení pojistného. Délka pojistného

období je jedním z faktorů, na základě kterých jsou poskytovány slevy na pojistném (měsíc,

čtvrtletí, pololetí, rok).

Pojistné plnění (plnění pojišťovny)

je nárok pojištěného vůči pojišťovně, který vznikl v důsledku pojistné události.

Pojistné rezervy

zabezpečují klientům krytí závazků pojišťovny v budoucnu splatných. Finanční prostředky

rezerv se dělí na rezervy pro životní a neživotní pojištění.

Pojistné riziko

Jedná se o riziko, na které může komerční pojišťovna uzavřít pojistnou smlouvu na základě

pojistných podmínek.

Pojistník

je fyzická nebo právnická osoba, která s pojistitelem uzavřela pojistnou smlouvu a v pojistné

smlouvě se zavázala k placení pojistného.

Pojistný kmen

Soubor uzavřených pojistných smluv. Vztahují se k němu i práva a povinnosti, které z těchto

pojistných smluv vyplývají a finanční prostředky ve výši technických rezerv přiměřených

tomuto pojistnému kmenu.

Pojištění (z hlediska práva)

je právní akt na základě zákona nebo založený smlouvou. Základní právní úpravu pojištění

jak fyzických, tak právnických osob určuje obecně občanský zákoník. Jedná se o vztah

závazkový.

Pojištění (z hlediska věcného obsahu)

Forma organizovaného centralizovaného fondu z decentralizovaných zdrojů. Je zaměřeno

na tvorbu rezerv a jejich používání k úhradě potřeb vznikajících v souvislosti s negativními

důsledky nahodilosti. Jedná se o přesun rizika z pojišťovaného subjektu na pojistitele.

Pojištěný

je ten, na jehož majetek, život, zdraví nebo odpovědnost za škodu se pojištění vztahuje.

Glosář

150

Pojišťovna

je právnická osoba mající oprávnění k pojišťovací činnosti na území ČR. Její činnost, práva

a povinnosti jsou upraveny zvláštními předpisy.

Poškozený

je ten, kdo utrpěl škodu, za kterou podle platných právních předpisů odpovídá jiný.

Prolongace

je obnova smluv. Je to prodloužení pojistné smlouvy po ukončení pojistné doby beze změny

pojistné smlouvy. Obchodník má nárok na celou provizi. Platí pro majetkové pojištění.

Promlčení práva na plnění z pojištění

nastává tehdy, nebylo-li právo uplatněno ve lhůtě stanovené zákonem; promlčecí doba pro

právo na plnění z pojištění je tři roky a začíná běžet jeden rok od data, kdy nastala pojistná

událost, to znamená čtyři roky od pojistné události.

Připojištění

je rozšíření základního rozsahu pojištění o další rizika nebo místní platnost pojištění.

Redukce pojištění

znamená takovou změnu pojištění, při níž se v důsledku neplacení pojistného redukují nároky

z pojištění bez dalšího placení pojistného.

Rezervotvorné pojištění

Pojištění, v jehož průběhu se vytváří prostředky, které budou pojištěnému vyplaceny

v budoucnu. U životních pojištění se používá názvu „kapitálové pojištění“.

Rizikové pojištění

Pojištění, které je sjednáno pro případ určitého rizika, které však nemusí nastat. Zaplacené

pojistné se nevrací.

Sazba pojistného

je platba za pojistnou ochranu, která je stanovena metodami pojistné matematiky v souladu

s pojistně technickými zásadami. Sazbou označujeme souhrn konkrétních rizik v pojistné

smlouvě; jednotlivé sazby jsou uvedeny v sazebníku.

Smluvní ujednání

je jednání mezi pojistitelem a pojistníkem, které konkretizuje a doplňuje všeobecné pojistné

podmínky obsažené v návrhu na uzavření pojištění.

Soupojištění

je formou rozložení rizika, které je založeno na principu, že se více pojistitelů podílí na krytí

jednoho rizika.

Vzniká na základě smlouvy mezi pojištěným a více pojistiteli, z nichž jeden je pojistitelem

hlavním. Každý z pojistitelů se podílí na pojistném riziku smluvně dohodnutým procentem.

Smlouva o soupojištění se používá především u velkých rizik.

Spoluúčast

je smluvně dohodnutá částka určená procentuálně nebo pevnou částkou, kterou se pojištěný

podílí na každé škodní události (v majetkovém pojištění).

Glosář

151

Správa pojištění

je soubor činností směřujících k udržení a aktualizaci stavu pojistných smluv.

Storno

Označuje zrušení či zánik pojistné smlouvy, příp. znamená také odúčtování příslušné provize

(storno získatelské provize).

Škodní průběh

je procentuální vyjádření poměru mezi přijatým pojistným za určitou dobu a vyplaceným

pojistným plněním za stejný časový interval.

Škodní událost

skutečnost, ze které vzniká škoda a která by mohla být důvodem vzniku pojistné události.

Technická úroková míra (TÚM)

Zaručený podíl na výnosech z finančního umístění v životním pojištění. Je garantována

zákonem a její maximální výši určuje ČNB.

Technické rezervy

jsou daňově uznané volné peněžní prostředky určené k použití v budoucím účetním období,

resp. v budoucích pojistných obdobích. Smyslem používání technických rezerv je zabezpečit,

aby hospodářské výsledky daného účetního období nebyly zkreslovány náklady nebo výnosy

věcně patřícími do jiného účetního období.

Účastníci pojištění

jsou zejména pojištěný, pojišťovna (pojistitel) a také ten, kdo pojistnou smlouvu sjednal

(pojistník)

Vícenásobné pojištění

je situace, kdy je táž věc pojištěna pro stejný případ u více pojistitelů.

Všeobecné pojistné podmínky (VPP)

obsahují vymezení pojistné události, výluky z pojištění, rozsah a splatnost pojistného plnění,

stanoví povinnosti pojištěného a pojednávají o důsledcích jejich neplnění. Dále vysvětlují

některé základní pojmy (pojistná doba, pojistné období, počátek a konec pojištění, doba

splatnosti, zánik pojištění atd.) i principy, podle kterých se budou pojištění podílet

na případných přebytcích pojistného. VPP tvoří pojistitel, podléhají schválení státního dozoru

nad pojišťovnictvím a jsou součástí pojistné smlouvy.

Výpověď

je jednostranný právní akt směřující k zániku pojistné smlouvy ze strany pojistníka nebo

pojistitele.

Zábrana škod

je činnost směřující k předcházení škodám a jejich minimalizaci (v pojištění majetku).

Zajištění

Zjednodušeně řečeno se jedná o pojištění pojistitele. Rozvržení pojistných rizik na základě

zajišťovacích smluv, které umožňují za úhradu (tzv. zajistné) přenést na zajistitele část

převzatých rizik.

Glosář

152

Základní práva a povinnosti pojistitele

práva: právo na pojistné

právo na snížení pojistného plnění

právo na postih

povinnosti: poskytnout pojistné plnění v případě pojistné události

poskytnout pojištěnému na požádání přiměřenou pojistnou zálohu na pojistné

plnění

Základní práva a povinnosti pojištěného, případně toho, kdo pojistnou smlouvu uzavřel

práva: právo na pojistné plnění v případě pojistné události

případně právo na přiměřenou zálohu na pojistné plnění

právo být seznámen s rozsahem a obsahem pojištění

povinnosti: platit pojistné ve sjednaných lhůtách

pravdivě a úplně odpovědět na písemné dotazy pojistitele

v případě, že nastala pojistná událost, tuto skutečnost bez zbytečného odkladu

písemně oznámit, dát pravdivé vysvětlení o jejím vzniku a rozsahu následků, předložit

potřebné doklady, které si pojistitel vyžádá. Základní práva a povinnosti z pojištění

jsou obsaženy v občanském zákoníku, práva a povinnosti vztahující se ke konkrétní

pojistné smlouvě jsou obsaženy v příslušných všeobecných pojistných podmínkách

a ve smluvních ujednáních, které rovněž tvoří součást pojistné smlouvy.

Zákonný zástupce

je osoba, která je na základě zákona nebo na základě rozhodnutí soudu oprávněna zastupovat

osoby, které např. nejsou způsobilé k právním úkonům. Osoby, které nejsou způsobilé

k právním úkonům, jsou nezletilci a osoby, jejichž způsobilost k právním úkonům byla

omezena nebo které jí byly soudem zbaveny.

Záloha na plnění

je výplata části předpokládaného pojistného plnění před ukončením likvidace.

Zamítnutí plnění

je ukončení likvidace hlášené škody, u které nebylo prokázáno, že se jedná o pojistnou

událost.

Zprostředkovatel

je fyzická nebo právnická osoba s bydlištěm nebo sídlem na území České republiky

oprávněná v rámci své podnikatelské činnosti uzavírat s pojistiteli zprostředkovatelské

smlouvy směřující k tomu, aby třetí osoby uzavřely s pojistitelem pojistnou smlouvu.

Živelní událost

pro účely pojištění je to zejména: požár, výbuch, blesk, vichřice, povodeň, záplava, krupobití,

sesuv půdy, zřícení skal nebo zemin, pád stromů, stožárů a jiných předmětů, zemětřesení.

V některých pojištěních nemusí být zahrnuta všechna tato rizika.

Životní pojištění

je pojištění pro případ smrti pojištěného, pro případ dožití pojištěného určitého věku nebo pro

případ jiné pojistné události.

Glosář

153

Literatura

Cipra, T.: Pojistná matematika: teorie a praxe. Ekopress, Praha 2006. ISBN 80-86929-11-6.

Čejková, V., Nečas, S.: Pojistný trh. 1. vyd. Brno: MU Brno, 2005. 105 s. ISBN 80-210-

3661-3

Čejková, V., Martinovičová, D.: Pojišťovnictví. 1. vyd. Brno: MU Brno, 2004. ISBN 80-

210-3525-0

Daňhel, J. a kol.: Pojistná teorie, Professional publishing. Praha 2005, ISBN 80-86419-84-3

Ducháčková, E.: Principy pojištění a pojišťovnictví. Ekopress, Praha 2009. ISBN 978-80-

86929-51-4

Koschin, F.: Aktuárská demografie (úmrtnost a životní pojištění). VŠE, Praha 1997. ISBN

80-7079-112-8.

Lemaire, J.: Bonus-Malus System in Automobile Insurance. Kluwer Academic Publishers,

Boston/Dordrecht/London 1995. ISBN 978-0-7923-9545-4.

Majtánová, A. a kol.: Pojišťovnictví. Teorie a praxe. Ekopress, Praha 2006. ISBN 80-86929-

19-1

Mandl, P., Mazurová, L.: Matematické základy neživotního pojištění. Matfyzpress, Praha

1999. ISBN 80-85863-42-1.

Stolín, R.: Policyholder's Risk in Czech and Slovak Bonus-Malus Systems. In Quantitative

Methods in Economics: Multiple Criteria Decision Making XVII., Bratislava: EKONÓM.

2014. s. 249-254. ISBN 978-80-225-3868-8.

Internetové zdroje

Český statistický úřad [cit. 2014-12-30]. Dostupné

z <http://www.czso.cz/csu/2014edicniplan.nsf/p/130063-14>.

Český statistický úřad [cit. 2014-12-30]. Dostupné

z <http://www.czso.cz/csu/redakce.nsf/i/obyvatelstvo_hu>.

Encyklopedický slovník pojmů z oblasti pojišťovnictví[online]. [cit. 2015-1-12]. Dostupný

z http://www.cap.cz/odborna-verejnost/on-line-slovniky-a-encyklopedie/encyklopedie-

pojmu/aplikace?start=30

Finančnívzdělávání.cz. Společný vzdělávací projekt finančních asociací a MFCR [online].

2007 [cit. 2014-11-24]. Dostupné z: http://www.financnivzdelavani.cz/webmagazine/

Výroční zpráva ČNB [online]. 2014 [cit. 2015-1-12]. Dostupné z:

https://www.cnb.cz/cs/o_cnb/hospodareni/vyrocni_zpravy/

Date post:	08-Oct-2019
Category:	Documents
Upload:	others
View:	4 times
Download:	0 times

POJIŠŤOVNICTVÍ A POJISTNÁ MATEMATIK - vspj.cz - VŠPJ/Učebnice pojišťovnictví a pojistná...

Documents