Statika 1 - 6. prednáťka Prosté prípady pružnosti Prostý...

Statika 1

M. Vokác

Metody posuzováníspolehlivosti

Prut v prostoru - vnitrnísíly a napetí v prurezu

Podmínky ekvivalence

Prosté prípadypružnosti

Prostý tah & tlakProstý tah

Prostý tlak

Hookeuv zákon

Staticky neurcitý tah & tlak

Teplotní roztažnost prutu

Prostý smykNýty & šrouby

Koutový svar

Kontrolní otázky

Statika 16. prednáška

Prosté prípady pružnostiProstý tah & tlak

Prostý smyk

Miroslav Voká[email protected]

CVUT v Praze, Fakulta architektury

19. kvetna 2014

Statika 1

M. Vokác






Prostý tlak

Hookeuv zákon




Koutový svar

Kontrolní otázky

Metody posuzování spolehlivosti stavebníchkonstrukcí

Vývoj metod pro posuzování spolehlivosti stavebníchkonstrukcí:

1. Historické a empirické metody

2. Teorie dovolených namáhání – budeme ji používat privýkladu teorie pružnosti a pevnosti

3. Stupen bezpecnosti

4. Metoda dílcích soucinitelu – dnes používaná metodav normových predpisech

5. Pravdepodobnostní metody – použití u významnýchkonstrukcí nebo pro kalibraci norem

Statika 1

M. Vokác






Prostý tlak

Hookeuv zákon




Koutový svar

Kontrolní otázky

Vnitrní síly v prurezu prutuv prostoru

Vnitrní síly na prutu

t

x

y

z

Vy

Mx

Mz

Vz

N

My

Osa x je ve smeru stredniceprutu a osy y a z jsou hlavnítežišt’ové osy setrvacnostiprurezu.

V prostoru je definováno 6vnitrních sil:

� 2 posouvající síly vesmeru osy z a y : Vz , Vy

� 2 ohybové momenty kolemos y a z: My, Mz

� Normálová síla ve smeruosy x : N

� Krouticí moment kolemosy x : Mx

Pro vektory momentu platípravidlo pravé ruky: Palec vesmeru šipky – prsty ukazujísmer otácení.

Statika 1

M. Vokác






Prostý tlak

Hookeuv zákon




Koutový svar

Kontrolní otázky

Mechanické napetí v prurezu prutuv prostoru

Mechanické napetí v prurezuMechanické napetí je síla najednotku plochy.

t

x

y

z

σx(y, z)τxy(y, z)

τxz(y, z)

[y, z]

Osa x je ve smeru stredniceprutu a osy y a z jsou hlavnítežišt’ové osy setrvacnostiprurezu.

Základní jednotka je Pa = Nm2 .

Odvozené jednotky: kPa = kNm2 ,

MPa = MNm2 = N

mm2 .

V libovolném bodu prurezu[y, z] lze definovat 3 složkynapetí:

� Normálové napetí vesmeru x : σx

� Tecné (smykové) napetí vesmeru z: τxz

� Tecné (smykové) napetí vesmeru y : τxy

Statika 1

M. Vokác






Prostý tlak

Hookeuv zákon




Koutový svar

Kontrolní otázky

Podmínky ekvivalences tecným napetím

Tecné napetí v prurezu jefunkcí 2 promenných y a z.

t

x

y

z

σx(y, z)τxy(y, z)

τxz(y, z)

[y, z]

t

x

y

z

Vy

MxVz

N

My

Mz

Podmínky ekvivalence:

Vz =

∫

A

τxz dA

Vy =

∫

A

τxy dA

Mx =

∫

A

(τxz y − τxy z) dA

Statika 1

M. Vokác






Prostý tlak

Hookeuv zákon




Koutový svar

Kontrolní otázky

Podmínky ekvivalences normálovým napetím

Normálové napetí v prurezu jefunkcí 2 promenných y a z.

t

x

y

z

σx(y, z)τxy(y, z)

τxz(y, z)

[y, z]

t

x

y

z

Vy

MxVz

N

My

Mz

Podmínky ekvivalence:

N =

∫

A

σx dA

My =

∫

A

σx z dA

Mz = −∫

A

σx y dA

Statika 1

M. Vokác






Prostý tlak

Hookeuv zákon




Koutový svar

Kontrolní otázky

Prosté prípady pružnostiProstý prípad pružnosti nastává, jestliže je jen jediná vnitrnísíla v prurezu nenulová.Osy y a z musí být hlavní centrální osy setrvacnosti prurezu.

Potom rozlišujeme:� Prostý tah & tlak:

N �= 0 ∧ Mx = My = Mz = Vy = Vz = 0� Prostý ohyb:

My �= 0 ∧ N = Mx = Mz = Vy = Vz = 0 ∨Mz �= 0 ∧ N = Mx = My = Vy = Vz = 0

� Prostý smyk:Vz �= 0 ∧ N = Mx = My = Mz = Vy = 0 ∨Vy �= 0 ∧ N = Mx = My = Mz = Vz = 0

� Prosté kroucení:Mx �= 0 ∧ N = My = Mz = Vy = Vz = 0

Kombinace namáhání se reší superponováním (sectením)jednotlivých prípadu pružnosti.

Pro prostý tlak a prostý smyk musí platit další podmínky nebozjednodušující predpoklady, viz podrobnejší popis danéhoprípadu pružnosti.

Statika 1

M. Vokác






Prostý tlak

Hookeuv zákon




Koutový svar

Kontrolní otázky

Prostý tah & tlakNormálové napetí v prurezu

� U prostého tahu a tlaku je normálové napetí rovnomernerozdeleno na celou plochu prurezu A.

x

z

t N

y

z

tx

z

t σx

� Prubeh normálového napetí v prurezu σx (y , z) je dánvztahem:

σx (y , z) = σx =NA

� Pro prostý TAH platí: N > 0 a σx > 0� Pro prostý TLAK platí: N < 0 a σx < 0

Statika 1

M. Vokác






Prostý tlak

Hookeuv zákon




Koutový svar

Kontrolní otázky

Prostý tahPodmínka spolehlivosti pro prostý tah podle teorie dovolených namáhání

� Podmínka spolehlivosti podle teorie dovolených namáhání:

σx =NA

≤ σdov

� σdov . . . je dovolené namáhání (napetí) v prostém tahu,materiálová charakteristka, která byla uvedena v norme.

� Z podmínky spolehlivosti lze prímo urcit nutnou plochuprurezu:

A ≥ Nσdov

� Podmínku spolehlivosti pro prostý tah je možné použít promasivní i štíhlý prut.

F F F F

Statika 1

M. Vokác






Prostý tlak

Hookeuv zákon




Koutový svar

Kontrolní otázky

Prostý tahPríklad

Pro dané zatížení navrhnete dolní pás ocelového príhradovéhovazníku. Uvažujte dovolené namáhání σdov = 130 MPa.

F = 50 kN F = 50 kN F = 50 kN F = 50 kN F = 50 kN

Ay = 125 kN B = 125 kN

2m 2m 2m 2m 2m 2m

1,5m

c

N

1. Vnitrní síly: (prusecnou metodou)�

c : −N . 1,5 + Ay . 4 − F . 2 = 0 ⇒ N = 266,67 kN2. Návrh prurezu:Nutná plocha prurezu: A ≥ N

σdov= 266,67

130.103 = 2 051.10−6 m2

y

z NÁVRH L 100.100.10 A = 2 120 mm2

3. Posouzení prurezu:σ = N

A = 266,672 120.10−6 = 125 786 kPa < σdov = 130.103 kPa

NÁVRH VYHOVUJE

Statika 1

M. Vokác






Prostý tlak

Hookeuv zákon




Koutový svar

Kontrolní otázky

Prostý tlakPodmínka spolehlivosti pro prostý tlak

� Podmínka spolehlivosti podle teorie dovolených namáhání:

|σx | =|N|A

≤ σdov

� σdov . . . je dovolené namáhání v prostém tlaku, materiálovácharakteristka, která byla uvedena v norme.

� Z podmínky spolehlivosti lze prímo urcit nutnou plochuprurezu:

A ≥ |N|σdov

� Podmínku spolehlivosti pro prostý tlak je možné použítpouze pro masivní prut, resp. posouzení kontaktníhonapetí, kde nerozhoduje stabilita (vzper).

F F F Fmax = Aσdov

vybocı pri Fmax � Aσdov

VZPER!

Prosty tlak

Statika 1

M. Vokác






Prostý tlak

Hookeuv zákon




Koutový svar

Kontrolní otázky

Prostý tlakPríklady použití prostého tlaku

Základ

F

Gz

σdov,b = 2MPa

σdov,z = 0,3MPa

I200

B 135

� Kontaktní napetí podpatním plechem nadovolené namáháníbetonu σdov ,b.

� Kontaktní napetív základové spáre nadovolené namáhánízeminy σdov ,z .

Úložný práh

� Kontaktní napetí podložiskem na dovolenénamáhání kamene.

� Kontaktní napetí podúložným prahem nadovolové namáhání zdiva.

Statika 1

M. Vokác






Prostý tlak

Hookeuv zákon




Koutový svar

Kontrolní otázky

Prostý tah & tlakDovolená namáhání vybraných materiálu - orientacní hodnoty:

Materiál

plávkové železolitinaocel ložisek a kloububetonárská výztuž (zatíženíhlavní)beton prostý (zatížení hlavní)beton železový (zatížení hlavní)zdivo z tesaného kamene -pískoveczdivo z tesaného kamene - žulazdivo smíšenézdivo cihelné na maltuobycejnouzdivo cihelné na maltucementovou

v tlakuσdov [MPa]85 − 13590140108 − 235

1,2 − 3,53,5 − 10,02,0 − 2,5

50,50,5 − 0,7

0,7 − 1,0

v tahuσdov [MPa]85 − 13590140108 − 235

0,15 − 0,350,5 − 0,9

Podrobneji viz odpovídající historické standardy.

Statika 1

M. Vokác






Prostý tlak

Hookeuv zákon




Koutový svar

Kontrolní otázky

Hookeuv zákonHookeuv zákon: Normálové napetí σ je prímo úmerné pomernédeformaci ε. Konstantou úmernosti je modul pružnosti E .

σ = E ε

� E . . . je modul pružnosti, materiálová charakteristika,základní jednotka je Pa = N

m2

� ε. . . je pomerná deformace (pomerné pretvorení) ε = Δ LL ,

bezrozmerné císlo (casto se udává v %, mm/m neboμm/m)

N N

ΔLL

� Podle Hookeova zákona lze urcit protažení (σ > 0, ε > 0,ΔL > 0), resp. zkrácení (σ < 0, ε < 0, ΔL < 0), prutunamáhaného tlakem nebo tahem.

ΔL =N LE A

Statika 1

M. Vokác






Prostý tlak

Hookeuv zákon




Koutový svar

Kontrolní otázky

Hookeuv zákon

Moduly pružnosti vybraných materiálu - orientacní hodnoty:

Materiál

mekká ocelbeton (dle pevnosti)hliníksklo (sodno-vápenaté)drevo (rovnobežne s vlákny, dle druhu)drevo (kolmo na vlákna, dle druhu)cihlárský strep

E [GPa]

21025 − 427074∼ 10∼ 0,315 − 30

Podrobneji viz odpovídající standardy nebo specifikace dlevýrobce.

Statika 1

M. Vokác






Prostý tlak

Hookeuv zákon




Koutový svar

Kontrolní otázky


� Normálové síly ani reakce nelze urcit jen ze statickýchpodmínek rovnováhy.

� Pro 2 neznámé je treba sestavit 2 lineární rovnice.

Cy

By

F1

F2

A1E1

A2E2

A3E3

L

L1

L2

L3

1. Statická podmínka rovnováhy:↑: Cy − F1 − F2 + By = 0

2. Pretvárná podmínka:ΔL = ΔL1 +ΔL2 +ΔL3 = 0

N1 L1E1 A1

+ N2 L2E2 A2

+ N3 L3E3 A3

= 0

(−Cy ) L1

E1 A1+

(−Cy+F1) L2

E2 A2+

(−Cy+F1+F2) L3

E3 A3= 0

Statika 1

M. Vokác






Prostý tlak

Hookeuv zákon




Koutový svar

Kontrolní otázky


Cy

By

F1

F2

A1E1

A2E2

A3E3

L

L1

L2

L3

� Soucin modulu pružnosti a plochyprurezu EA nazýváme tuhost prurezuv tlaku a tahu.

� Výraz EA/L je tuhost prutu v tlakua tahu.

� Normálové síly se rozdelí v pomerutuhostí prutu EA/L.

� U staticky neurcitého tahu a tlaku neseprut s vyšší tuhostí EA/L vetší dílnamáhání, tj. vetší absolutní hodnotunormálové síly N.

� U staticky neurcitých konstrukcí platíobecne, že tužší cást konstrukceprenáší vyšší absolutní hodnotyvnitrních sil.

� U staticky neurcitých konstrukcímusíme statické podmínky rovnováhydoplnit pretvárnými podmínkami.

Statika 1

M. Vokác






Prostý tlak

Hookeuv zákon




Koutový svar

Kontrolní otázky


Urcete, jaké napetí bude od pusobící síly F podle teorielineární pružnosti pusobit v betonu a jaké v betonárské výztuži.

AsAc

F Fc = Acσc je síla prenášená betonemFs = Asσs je síla prenášená výztuží

1. Podmínka ekvivalence:F = Fc + Fs

2. Pretvárná podmínka:ε = εc = εs = ΔL/L

εc = εs

σcEc

= σsEs

FcEcAc

= FsEsAS

Statika 1

M. Vokác






Prostý tlak

Hookeuv zákon




Koutový svar

Kontrolní otázky

Teplotní délková roztažnost prutu

ΔT

ΔLTL

� Pri rovnomerné zmene teploty prutu o hodnotu ΔT dojdek protažení prutu:

ΔLT = LαT ΔT

� αT . . . je koeficient teplotní délkové roztažnosti [K−1],materiálová charakteristika.

� Pomernou deformaci od zmeny teploty lze vyjádrit:

εT = αT ΔT

Statika 1

M. Vokác






Prostý tlak

Hookeuv zákon




Koutový svar

Kontrolní otázky

Teplotní délková roztažnost prutu

Soucinitelé teplotní roztažnosti vybraných materiálu -orientacní hodnoty:

Materiál

mekká ocelbeton (dle kameniva)železový betonhliníksklo (sodno-vápenaté)drevo (rovnobežne s vlákny, dle druhu)drevo (kolmo na vlákna, dle druhu)cihlárský strep

αT [K−1]

12.10−6

6.10−6 − 14.10−6

12.10−6

23.10−6

8,5.10−6

∼ 5.10−6

∼ 34.10−6

4.10−6 − 8.10−6

Podrobneji viz odpovídající standardy nebo specifikace dlevýrobce.

Statika 1

M. Vokác






Prostý tlak

Hookeuv zákon




Koutový svar

Kontrolní otázky

Teplotní roztažnost prutuPríklady zatížení prutu rovnomernou zmenou teploty

Dilatace je umožnenaΔT

ΔLTL

εT = αT ΔTε = εσ + εT = εT

Jedná se o volnou deformaci.ε = σ

E + αT ΔT = εT

σ = 0 MPaN = 0 kN

Dilataci je zabránenoΔT

ΔLTL

εT = αT ΔTε = εσ + εT = 0Jedná se o vázanou deformaci.ε = σ

E + αT ΔT = 0σ = −E εT

N = σ A

U staticky urcité konstrukce jsou vnitrní síly od rovnomernéhozatížení teplotou nulové.

Statika 1

M. Vokác






Prostý tlak

Hookeuv zákon




Koutový svar

Kontrolní otázky

Prostý smykTecné napetí v prurezu a podmínka spolehlivosti podle teorie dovolenýchnamáhání

� U prostého smyku je tecné napetí rovnomerne rozdelenona celou plochu prurezu A.

x

z

t

Vz

y

z

tx

z

t

τxz

� Velikost tecného napetí τ a podmínka spolehlivosti:

τ =VA

≤ τdov

� τdov . . . je dovolené namáhání materiálu ve smyku.� Prostý smyk je možné uvažovat jen pro spojovací

prostredky, jako jsou šrouby, nýty, svary, svorníky,hreby atd. jedná se o zjednodušující predpoklad.

Statika 1

M. Vokác






Prostý tlak

Hookeuv zákon




Koutový svar

Kontrolní otázky

Nýtový (šroubový) spoj

Strih – prostý smyk

F F

m = 2

F

F

m = 1

F F

m = 4

d

e!

Ad

τ =F

n m Ad≤ τdov ,s

n. . . je pocet nýtu, resp. šroubum. . . je strižnostAd . . . je plocha dríku (pro nýtplocha otvoru, pro šroubplocha dle tabulek)τdov ,s. . . je dovolené namáháníve strihu

Pri návrhu spoje se obvyklevolí d a dopocte se nutný pocetšroubu nebo nýtu.

Statika 1

M. Vokác






Prostý tlak

Hookeuv zákon




Koutový svar

Kontrolní otázky


Otlacení – prostý tlak

F

t1

t21 t22

t2 = t21 + t22

d

σ =F

n d min(t1, t2)≤ σdov ,o

n. . . je pocet nýtu, resp. šroubud . . . je prumer dríku (pro nýtprumer otvoru)t1 a t2. . . je soucet tlouštekzákladního materiálu z jednéa z druhé strany spoje(optimální je t1 = t2)σdov ,o. . . je dovolené namáhánízákladního materiálu v otlacení

Pri návrhu spoje se obvykle volí d a dopocte se nutný pocetšroubu nebo nýtu.

Statika 1

M. Vokác






Prostý tlak

Hookeuv zákon




Koutový svar

Kontrolní otázky

Nýtový (šroubový) spojPosouzení oslabeného prurezu u taženého prutu – prostý tah

F

t1

t21 t22

t2 = t21 + t22

d

A = 2AU

Aosl = 2AU − t2 d

Aosl2 xU

σ =F

Aosl≤ σdov

Aosl . . . je oslabená plocha prurezuσdov . . . je dovolené namáhání základního materiálu v tahu

Oslabená plocha prurezu se posuzuje jen pro tažené pruty.

Statika 1

M. Vokác






Prostý tlak

Hookeuv zákon




Koutový svar

Kontrolní otázky


Poznámky k nýtovému (šroubovému) spoji

� V normách jsou uvedeny doporucené roztece pro nosnénýty a šrouby.

� Standardy také uvádejí maximální prumery otvorua roztece pro ruzné válcované ocelové profily.

� Šroubové spoje je také možno navrhovat jako trecí spoj,kdy predpetí šroubu zajistí prenesení síly smykemv kontaktních plochách základního materiálu. Trecí spojese posuzují jiným zpusobem.

� Únosnosti šroubu bývají tabelovány – jsou vytvorenypomucky pro snadný návrh šroubu namáhaných smykemi trecích spoju.

Statika 1

M. Vokác






Prostý tlak

Hookeuv zákon




Koutový svar

Kontrolní otázky

Koutový svar namáhaný prostým smykem

Plocha svaru

t

Lwa a

Awa2 + a2 = t2

a =√

22 t .

= 0,7 t

Aw = 0,7 t Lw

t . . . je tloušt’ka svaruLw . . . je celková délka svaru

Únosnost svaru ve smyku

Lw1

6− dl.100mm

Ft = 6mm

Lw = 4Lw1 = 400mm

τ =FAw

≤ τdov ,w

τdov ,w . . . je dovolené namáhánísvaru ve smyku

Pri návrhu volíme tloušt’ku ta dopocteme délku svaru Lw .

Statika 1

M. Vokác






Prostý tlak

Hookeuv zákon




Koutový svar

Kontrolní otázky

Koutový svar

Poznámky ke svarovému prípoji prutu

� Svar je v prípade excentricity mezi težištem prurezua plochou svaru namáhán také ohybem a nejedná seo prostý smyk.

� Pro zajištení protikorozní ochrany se svar casto provádíkolem celého obvodu kontaktní plochy.

� U uzavrených dutých prurezu, jako jsou trubky, se zestejného duvodu v cele prutu provádí vzduchotesnéuzavrení dutiny prurezu.

� Vývoj technologie svarování vytlacil používání nýtovýchspoju, které byly predtím nejdokonalejším zpusobemspojování ocelových konstrukcních prvku (viz nýtovanétlakové nádoby nebo parní kotle lokomotiv).

Statika 1

M. Vokác






Prostý tlak

Hookeuv zákon




Koutový svar

Kontrolní otázky

Kontrolní otázka

Zmena délky prutu ΔL, který má pocátecní délku L, pri zatíženítahovou osovou silou F je:

a) ΔL = FEAL2

b) ΔL = FEAL

c) ΔL = FLEA

Statika 1

M. Vokác






Prostý tlak

Hookeuv zákon




Koutový svar

Kontrolní otázky

Kontrolní otázka

U prutu délky L s koeficientem teplotní délkové roztažnosti α jezabráneno v jeho dilataci. Pri zmene teploty o ΔT bude v prutunormálové napetí:

a) σ = +E αΔT

b) σ = −E αΔT

c) σ = −EAαΔT

Statika 1

M. Vokác






Prostý tlak

Hookeuv zákon




Koutový svar

Kontrolní otázky

Kontrolní otázka

Ocelový válcovaný nosník pocátecní délky L = 4 ms koeficientem délkové teplotní roztažnosti α = 12.10−6 K−1 prizmene teploty ΔT = 40 ◦C zmení svoji délku o:

a) ΔL = 0,48 mm

b) ΔL = 0,96 mm

c) ΔL = 1,92 mm

Statika 1

M. Vokác






Prostý tlak

Hookeuv zákon




Koutový svar

Kontrolní otázky

Kontrolní otázka

Pri zkoušce modulu pružnosti betonu na vzorku100/100/400 mm byla pri zmene normálového napetíΔσ = 12 MPa namrena zmena pomerné deformaceΔε = 340.10−6. Modul pružnosti betonu u zkoušeného vzorkuje:

a) E = 35,3 GPa

b) E = 22,3 GPa

c) E = 28,8 GPa

Statika 1

M. Vokác






Prostý tlak

Hookeuv zákon




Koutový svar

Kontrolní otázky

Kontrolní otázka

Prostý smyk mužeme uvažovat:

a) Kdykoli je posouvající síla nenulová.

b) Jen u ohýbaných nosníku.

c) Jen u spojovacích prostredku jako jsou nýty, šrouby, svary,hreby atd.

Statika 1

M. Vokác






Prostý tlak

Hookeuv zákon




Koutový svar

Kontrolní otázky

Kontrolní otázka

Uvažujme šroub M16 s plochou dríku Ad = 157 mm2, strižnostje rovna 4, dovolené namáhání ve strihu je τdov = 120 MPa.Únosnost jednoho šroubu na strih je potom rovna:

a) 4,710 kN

b) 75 360 N

c) 18,840 kN

Statika 1

M. Vokác






Prostý tlak

Hookeuv zákon




Koutový svar

Kontrolní otázky

Konec prednášky

Dekuji za pozornost.

Vysázeno systémem LATEX.Obrázky vytvoreny v systému ��.

Date post:	11-Mar-2019
Category:	Documents
Upload:	doankhuong
View:	216 times
Download:	0 times

Statika 1 - 6. prednáťka Prosté prípady pružnosti Prostý...

Documents