Slovní úlohy řešené Slovní úlohy řešené rovnicí II.rovnicí II.

1.1. Úlohy o pohybuÚlohy o pohybu

2.2. Úlohy o společné práciÚlohy o společné práci

1. Úlohy o pohybu1. Úlohy o pohybu

1. Za chodcem jdoucím průměrnou rychlostí 5 km/h 1. Za chodcem jdoucím průměrnou rychlostí 5 km/h vyjel z téhož místa o 3 hodiny později cyklista vyjel z téhož místa o 3 hodiny později cyklista průměrnou rychlostí 20 km/h. Za jak dlouho průměrnou rychlostí 20 km/h. Za jak dlouho dohoní cyklista chodce?dohoní cyklista chodce?

2. Z kasáren vyjela kolona vojenských aut rychlostí 2. Z kasáren vyjela kolona vojenských aut rychlostí 40 km/h. Za 1 h 30min byla za kolonou vyslána 40 km/h. Za 1 h 30min byla za kolonou vyslána motospojka jedoucí průměrnou rychlostí 70 km/h. motospojka jedoucí průměrnou rychlostí 70 km/h. Za jak dlouho a v jaké vzdálenosti od kasáren Za jak dlouho a v jaké vzdálenosti od kasáren dohoní motospojka kolonu?dohoní motospojka kolonu?

3. Za cyklistou, který jel rychlostí 16 km/h, vyjel o 3 3. Za cyklistou, který jel rychlostí 16 km/h, vyjel o 3 hodiny později motocyklista rychlostí 48 km/h. hodiny později motocyklista rychlostí 48 km/h. Kdy motocyklista dohonil cyklistu?Kdy motocyklista dohonil cyklistu?

4. Z vesnice vyjel traktor rychlostí 20 km/h. Za 10 4. Z vesnice vyjel traktor rychlostí 20 km/h. Za 10 minut jel za ním motocyklista rychlostí 60 km/h. Za minut jel za ním motocyklista rychlostí 60 km/h. Za jakou dobu a v jaké vzdálenosti od vesnice dohoní jakou dobu a v jaké vzdálenosti od vesnice dohoní motocyklista traktoristu?motocyklista traktoristu?

5. Etapa cyklistického závodu se jela průměrnou 5. Etapa cyklistického závodu se jela průměrnou rychlostí 45 km/h. Jeden závodník ztratil defektem 4 rychlostí 45 km/h. Jeden závodník ztratil defektem 4 minuty. Jak dlouho a jak daleko musel jet rychlostí 50 minuty. Jak dlouho a jak daleko musel jet rychlostí 50 km/h, aby opět dostihl peloton?km/h, aby opět dostihl peloton?

6. V 8:30 vyjela skupinka dětí z tábora na celodenní 6. V 8:30 vyjela skupinka dětí z tábora na celodenní cyklistický výlet. Po deváté se prudce zhoršilo počasí cyklistický výlet. Po deváté se prudce zhoršilo počasí a vedoucí tábora se rozhodl poslat za dětmi po stejné a vedoucí tábora se rozhodl poslat za dětmi po stejné trase autobus, který vyjel v 10:30. Za jak dlouho a v trase autobus, který vyjel v 10:30. Za jak dlouho a v jaké vzdálenosti od tábora dojede autobus děti, jaké vzdálenosti od tábora dojede autobus děti, jestliže děti ujedou za 1 hodinu průměrně 15 km a jestliže děti ujedou za 1 hodinu průměrně 15 km a autobus jede rychlostí 75 km/h.autobus jede rychlostí 75 km/h.

7. Z míst A a B, vzdálených od sebe 210 km, vyjely 7. Z míst A a B, vzdálených od sebe 210 km, vyjely současně proti sobě dva kamióny rychlostmi 40 km/h současně proti sobě dva kamióny rychlostmi 40 km/h a 30 km/h. Kdy a kde se potkají? a 30 km/h. Kdy a kde se potkají?

8. Dva turisté, z nichž jeden ujde za hodinu 5 km, 8. Dva turisté, z nichž jeden ujde za hodinu 5 km, druhý 6 km, vyjdou v 7 hodin ráno proti sobě z míst K druhý 6 km, vyjdou v 7 hodin ráno proti sobě z míst K a L, vzdálených od sebe 38,5 km. V kolik hodin se a L, vzdálených od sebe 38,5 km. V kolik hodin se potkají?potkají?

9. Z města A jelo do města B osobní auto průměrnou 9. Z města A jelo do města B osobní auto průměrnou rychlostí 56 km/h. Současně vyjelo z města B do rychlostí 56 km/h. Současně vyjelo z města B do města A nákladní auto rychlostí 40 km/h. Vzdálenost města A nákladní auto rychlostí 40 km/h. Vzdálenost obou měst je 144 km. Kdy se obě auta setkají a v jaké obou měst je 144 km. Kdy se obě auta setkají a v jaké vzdálenosti od města A?vzdálenosti od města A?

10. Za jak dlouho se potkají dva vlaky, které vyjely 10. Za jak dlouho se potkají dva vlaky, které vyjely současně proti sobě ze stanic vzdálených 80 km, je-li současně proti sobě ze stanic vzdálených 80 km, je-li rychlost prvního vlaku 75 km/h a druhého 45 km/h.rychlost prvního vlaku 75 km/h a druhého 45 km/h.

11. Cesta vedoucí z vesnice na vrchol hory je 12 km 11. Cesta vedoucí z vesnice na vrchol hory je 12 km dlouhá. Z vrcholu i z vesnice vyjdou současně dva dlouhá. Z vrcholu i z vesnice vyjdou současně dva turisté, z nich vystupující urazí 60 m a sestupující 90 turisté, z nich vystupující urazí 60 m a sestupující 90 m za minutu. Za jak dlouho se potkají?m za minutu. Za jak dlouho se potkají?

12. Pánové A a B bydlí ve vzdálenosti 224 km. 12. Pánové A a B bydlí ve vzdálenosti 224 km. Vyjedou-li v autech současně ze svých obydlí proti Vyjedou-li v autech současně ze svých obydlí proti sobě, setkají se po 2 hodinách. Pán A ujede za sobě, setkají se po 2 hodinách. Pán A ujede za hodinu o 4 km víc než pán B. Kolik km urazí každý z hodinu o 4 km víc než pán B. Kolik km urazí každý z nich za hodinu?nich za hodinu?

13. Ze dvou míst vzdálených od sebe 190 km 13. Ze dvou míst vzdálených od sebe 190 km vyrazili proti sobě automobilista a motocyklista. vyrazili proti sobě automobilista a motocyklista. Automobilista jel rychlostí o 10 km/h větší než Automobilista jel rychlostí o 10 km/h větší než motocyklista a vyjel o 30 min později. Za 1 h 30 min motocyklista a vyjel o 30 min později. Za 1 h 30 min potkal motocykl. Určete jejich rychlost.potkal motocykl. Určete jejich rychlost.

14. Z měst A a B, která jsou vzdálena 230 km, 14. Z měst A a B, která jsou vzdálena 230 km, vyjedou proti sobě nákladní auto (prům. rychlost vyjedou proti sobě nákladní auto (prům. rychlost 40 km/h) a osobní auto (60 km/h). Osobní auto 40 km/h) a osobní auto (60 km/h). Osobní auto vyjelo o 2 h později než nákladní. Za jak dlouho a vyjelo o 2 h později než nákladní. Za jak dlouho a kde se potkají?kde se potkají?

15. V 7 hodin vyjede z města A nákladní auto 15. V 7 hodin vyjede z města A nákladní auto rychlostí 40 km/h. Proti němu z města B vyjede v rychlostí 40 km/h. Proti němu z města B vyjede v 8 h 30 min osobní auto průměrnou rychlostí 70 8 h 30 min osobní auto průměrnou rychlostí 70 km/h. Vzdálenost míst A a B je 225 km. Kdy a km/h. Vzdálenost míst A a B je 225 km. Kdy a kde se obě auta potkají?kde se obě auta potkají?

2. Úlohy o společné práci2. Úlohy o společné práci

1. Jeden dělník vykoná určitou práci za 10 hodin, 1. Jeden dělník vykoná určitou práci za 10 hodin, druhý za 15 hodin. Za jak dlouho vykonají tuto druhý za 15 hodin. Za jak dlouho vykonají tuto práci, když budou oba pracovat společně?práci, když budou oba pracovat společně?

2. Vyučený pracovník vykoná jistou práci za 4 hodiny, 2. Vyučený pracovník vykoná jistou práci za 4 hodiny, učeň potřebuje na tutéž práci 6 hodin. Za kolik učeň potřebuje na tutéž práci 6 hodin. Za kolik hodin by tuto práci vykonali, kdyby pracovali hodin by tuto práci vykonali, kdyby pracovali společně?společně?

3. Dva zedníci omítají zeď. První by ji omítl za 8 dní, 3. Dva zedníci omítají zeď. První by ji omítl za 8 dní, druhý za 12 dní. Za kolik dní budou hotovi s prací, druhý za 12 dní. Za kolik dní budou hotovi s prací, budou-li pracovat společně?budou-li pracovat společně?

4. První traktorista poseče pole sám za 6 hodin, druhý 4. První traktorista poseče pole sám za 6 hodin, druhý traktorista poseče stejné pole za dobu o 3 hodiny traktorista poseče stejné pole za dobu o 3 hodiny delší. Za jak dlouho posečou celé pole společně?delší. Za jak dlouho posečou celé pole společně?

5. Nádrž se naplní jedním kohoutkem za 8 minut, 5. Nádrž se naplní jedním kohoutkem za 8 minut, druhým za 12 minut. Za kolik minut se naplní, když druhým za 12 minut. Za kolik minut se naplní, když jsou oba kohoutky otevřeny současně?jsou oba kohoutky otevřeny současně?

6. Nádrž se naplní větším čerpadlem za 12 hodin, 6. Nádrž se naplní větším čerpadlem za 12 hodin, menším za 15 hodin. Za jak dlouho se nádrž naplní, menším za 15 hodin. Za jak dlouho se nádrž naplní, zapneme-li obě čerpadla současně?zapneme-li obě čerpadla současně?

7. Kohoutkem se nádrž naplní za 5 minut, 7. Kohoutkem se nádrž naplní za 5 minut, odpadovým otvorem se plná nádrž vyprázdní za 7 odpadovým otvorem se plná nádrž vyprázdní za 7 minut. Za jakou dobu se naplní prázdná nádrž, minut. Za jakou dobu se naplní prázdná nádrž, bude-li současně otevřen kohoutek i otvor pro bude-li současně otevřen kohoutek i otvor pro výtok.výtok.

8. Přítokem A se naplní bazén za 10 hodin, přítokem 8. Přítokem A se naplní bazén za 10 hodin, přítokem B za 12 h, přítokem C za 15 h. Za kolik hodin se B za 12 h, přítokem C za 15 h. Za kolik hodin se bazén naplní, budou-li otevřeny všechny tři přítoky bazén naplní, budou-li otevřeny všechny tři přítoky současně?současně?

9. V tepelné elektrárně je vytvořena určitá zásoba 9. V tepelné elektrárně je vytvořena určitá zásoba uhlí. Bude-li v činnosti pouze 1. elektrárenský blok, uhlí. Bude-li v činnosti pouze 1. elektrárenský blok, vystačí zásoba uhlí 24 dní. Bude-li v činnosti jen 2. vystačí zásoba uhlí 24 dní. Bude-li v činnosti jen 2. blok, vystačí zásoba na 30 dní, bude-li v činnosti jen blok, vystačí zásoba na 30 dní, bude-li v činnosti jen 3. blok, vystačí zásoba na 20 dní. Určete, na kolik dní 3. blok, vystačí zásoba na 20 dní. Určete, na kolik dní vystačí zásoba uhlí, budou-li v činnosti současně vystačí zásoba uhlí, budou-li v činnosti současně všechny tři elektrárenské bloky.všechny tři elektrárenské bloky.

10. Vodní nádrž se naplní jedním čerpadlem za 4 dny, 10. Vodní nádrž se naplní jedním čerpadlem za 4 dny, druhým za 9 dní. Odtokovým kanálem se celá nádrž druhým za 9 dní. Odtokovým kanálem se celá nádrž vypustí za 12 dní. Za jak dlouho se nádrž naplní, když vypustí za 12 dní. Za jak dlouho se nádrž naplní, když jsou spuštěna obě čerpadla, ale omylem není uzavřen jsou spuštěna obě čerpadla, ale omylem není uzavřen odtokový kanál?odtokový kanál?

11. Závod A je schopen splnit zakázku za 12 dní, 11. Závod A je schopen splnit zakázku za 12 dní, závod B tutéž zakázku za 18 dní. Za kolik dní bude závod B tutéž zakázku za 18 dní. Za kolik dní bude splněna zakázka, jestliže první dva dny na ní pracuje splněna zakázka, jestliže první dva dny na ní pracuje jen závod A, zbývající dny pak oba závody?jen závod A, zbývající dny pak oba závody?

12. Prvním kombajnem lze sklidit obilí z určitého lánu za 12. Prvním kombajnem lze sklidit obilí z určitého lánu za 24 h, druhým, výkonnějším, za 16 h. Za kolik hodin bylo 24 h, druhým, výkonnějším, za 16 h. Za kolik hodin bylo sklizeno obilí z tohoto lánu, jestliže se sklízelo současně sklizeno obilí z tohoto lánu, jestliže se sklízelo současně oběma kombajny, ale druhý kombajn začal pracovat o oběma kombajny, ale druhý kombajn začal pracovat o čtyři hodiny později?čtyři hodiny později?

13. Čerpadlem A se naplní nádrž za 12 min, čerpadlem B 13. Čerpadlem A se naplní nádrž za 12 min, čerpadlem B za za 24 min. Za jakou dobu se naplní nádrž, pracuje-li 3 min 24 min. Za jakou dobu se naplní nádrž, pracuje-li 3 min jen jen čerpadlo A a potom obě čerpadla.čerpadlo A a potom obě čerpadla.

14. Na vyčištění mýtiny potřebuje lesní dělník 12 hodin, 14. Na vyčištění mýtiny potřebuje lesní dělník 12 hodin, druhý lesní dělník 8 hodin. Druhý začal pracovat, když druhý lesní dělník 8 hodin. Druhý začal pracovat, když měl první dělník dvě hodiny práce za sebou. Jak brzy měl první dělník dvě hodiny práce za sebou. Jak brzy skončili společnou práci?skončili společnou práci?

15. První dělník by sám splnil úkol za 8 hodin, druhý za 6 15. První dělník by sám splnil úkol za 8 hodin, druhý za 6 hodin. Po dvou hodinách společné práce odešel první hodin. Po dvou hodinách společné práce odešel první dělník k lékaři dělník k lékaři a druhý dělník dokončil práci sám. Kolik hodin pracoval a druhý dělník dokončil práci sám. Kolik hodin pracoval druhý dělník sám?druhý dělník sám?

16. Dva dělníci společně vykonají určitou práci za 10 dní. 16. Dva dělníci společně vykonají určitou práci za 10 dní. První dělník by ji vykonal sám za 20 dní. Za kolik dní by ji První dělník by ji vykonal sám za 20 dní. Za kolik dní by ji vykonal sám druhý dělník?vykonal sám druhý dělník?

17. Dva dělníci splnili jistý úkol při společné práci za 4 dny. 17. Dva dělníci splnili jistý úkol při společné práci za 4 dny. První, pracuje-li sám, splní tento úkol za 12 dní. Za kolik První, pracuje-li sám, splní tento úkol za 12 dní. Za kolik dní by splnil úkol druhý dělník, kdyby pracoval sám? dní by splnil úkol druhý dělník, kdyby pracoval sám?

18. Dělník a učeň vykonají společně práci za 6 hodin. 18. Dělník a učeň vykonají společně práci za 6 hodin. Dělník ji sám vykoná za 10 hodin. Za kolik hodin by ji Dělník ji sám vykoná za 10 hodin. Za kolik hodin by ji vykonal učeň?vykonal učeň?

19. Rybník se vyprázdní za dvacet dní, jsou-li otevřena dvě 19. Rybník se vyprázdní za dvacet dní, jsou-li otevřena dvě stavidla. Větším stavidlem by se vyprázdnil za 30 dní. Za stavidla. Větším stavidlem by se vyprázdnil za 30 dní. Za kolikkolik dní by se vyprázdnil jen menším stavidlem? dní by se vyprázdnil jen menším stavidlem?

20. Dělník A by splnil daný úkol za 12 hodin, dělník B za 10 20. Dělník A by splnil daný úkol za 12 hodin, dělník B za 10 hodin. Protože práce měla být hotova za 4 hodiny, museli hodin. Protože práce měla být hotova za 4 hodiny, museli přibrat ještě dělníka C. Za kolik hodin by splnil daný úkol přibrat ještě dělníka C. Za kolik hodin by splnil daný úkol jen dělník C?jen dělník C?

Řešení a výsledkyŘešení a výsledky1. doba jízdy cyklisty (t2) … x (h), rychlosti obou známe; chodec vyšel o 3 hodiny dřív, proto jeho čas je o 3 hodiny větší, tedy t1 = x+3

Rovnici sestavíme z vlastnosti drah – oba musí ujet stejnou dráhu – tedy s1 = s2 : s1 = s2

v1 * t1 = v2 * t2

5 *(x+3) = 20*x … x = 1 (h)

Cyklista dohoní chodce za 1 hodinu.

v1 = 5 km/h, t1 = x+3 (h)v2 = 20 km/h, t2 = x (h)

místo setkán

í

chodec

cyklista

2. doba jízdy motospojky (t2) … x (h), rychlosti obou známe; kolona vyjela o 1,5 hodiny dřív, proto její čas je o 1,5 hodiny větší, tedy t1 = x+1,5

Rovnici sestavíme z vlastnosti drah – oba musí ujet stejnou dráhu – tedy s1 = s2

s1 = s2

v1 * t1 = v2 * t2

40*(x+1,5) = 70* x … x = 2 (h)

s1 = s2 = 70 * 2 = 40*(2+1,5) = 140 km

Motospojka dohoní kolonu za 2 hodiny ve vzdálenosti 140 km od kasáren.

v1 = 40 km/h, t1 = x+1,5 (h)v2 = 70 km/h, t2 = x (h)

místo setkání

kolona

Moto-spojka

3. doba jízdy cyklisty (t1) … x (h), rychlosti obou známe; motocykl vyjel o 3 hodiny později, proto jeho čas je o 3 hodiny menší, tedy t2 = x-3

Rovnici sestavíme z vlastnosti drah – oba musí ujet stejnou dráhu – tedy s1 = s2

s1 = s2

v1 * t1 = v2 * t2

16*x = 48*(x-3) … x = 4,5 (h) = t1 , t2 = x-3=1,5 h

s1 = s2 = 16*1,5 = 24 km

Motocyklista dohoní cyklistu za 1,5 hodiny.

v1 = 16 km/h, t1 = x (h)

v2 = 48 km/h, t2 = x-3 (h)

místo setkání

cyklista

Motocykl

4. doba jízdy motocyklu (t2) … x (h), rychlosti obou známe; traktor vyjel o 10 minut dříve, proto jeho čas je o 1/6 hodiny větší, tedy t1 = x+1/6 (h) … 10 min = 1/6 h

Rovnici sestavíme z vlastnosti drah – oba musí ujet stejnou dráhu – tedy s1 = s2

s1 = s2

v1 * t1 = v2 * t2

20*(x+1/6)= 60*x … x = 1/12 h = t2 =5 min t1 = 1/12+1/6 =3/12 h = 15 mins1 = s2 = 60*1/12 = 5 km

Pojede 5 minut a ujede 5 km.

v1 = 20 km/h, t1 = x+1/6 (h)v2 = 60 km/h, t2 = x (h)

místo setkání

traktor

motocykl

5. doba jízdy závodníka (t2) … x (h), rychlosti obou známe; od okamžiku defektu peloton jel 4 minuty, než vyrazil i závodník, proto čas pelotonu je o 4 min větší, tedy t1 =

x+1/15 (h) …

4 min = 4/60 h = 1/15 h

s1 = s2

v1 * t1 = v2 * t2

45*(x+1/15)= 50*x … x = 3/5 h = t2 = 36 min t1 = 3/5+1/15 = 10/15 h = 2/3 =40 mins1 = s2 = 50*3/5 = 30 km

Pojede 36 minut a ujede 30 km.

v1 = 45 km/h, t1 = x+1/15(h)v2 = 50 km/h, t2 = x (h)

místo setkání

traktor

motocykl

6. doba jízdy autobusu (t2) … x (h), rychlosti obou známe; od autobus vyjel za dětmi o 2 hodiny později (830- 1030), proto čas dětí je o 2 hodiny větší, tedy t1 = x+2 (h)

s1 = s2

v1 * t1 = v2 * t2

15*(x+2)= 75*x … x = 0,5 h = t2 = 30 min t1 = 0,5+2 = 2,5 hs1 = s2 = 75*0,5 = 37,5 km

Pojede 30 minut a ujede 37,5 km.

v1 = 15 km/h, t1 = x+2 (h)

v2 = 75 km/h, t2 = x (h)

místo setkání

děti

autobus

7. doba jízdy obou kamiónů (t1 =t2) … x (h), rychlosti obou známe; při jízdě proti sobě musí být součet drah obou kamiónů roven jejich celkové vzdálenosti (210 km) – odtud vzniká rovnice

s1 + s2 = 210 v1 * t1 + v2 * t2 = 210

40x + 30x = 210 … x = 3 h = t1 = t2

s1 = v1 * t1 = 40*3 = 120 km

s2 = v2 * t2 = 30*3 = 90 km

Potkají se za 3 hodiny ve vzdálenosti 120 km od místa A.

místo setkánív1 = 40 km/h, t1 = x (h)

v2 = 30 km/h, t2 = x (h)

A

B210 km

s1

s2

ZK: s1 + s2= 120+90 = 210

km

8. doba chůze obou turistů (t1 =t2) … x (h), rychlosti obou známe; při chůzi proti sobě musí být součet drah obou turistů roven jejich celkové vzdálenosti (38,5 km) – odtud vzniká rovnice

s1 + s2 = 38,5 v1 * t1 + v2 * t2 = 38,5 5x + 6x = 38,5 … x = 3,5 h = t1 = t2

s1 = v1 * t1 = 5*3,5 = 17,5 km

s2 = v2 * t2 = 6*3,5 = 21 km

Potkají se za 3,5 hodiny, tj. v 10 h 30 minut (vyšli v 7 hodin).

místo setkánív1 =5 km/h, t1 = x (h)

v2 = 6 km/h, t2 = x (h)

K

L38,5 km

s1

s2

ZK: s1 + s2= 17,5+21 = 38,5

km

9. doba jízdy (t1 =t2) … x (h), rychlosti obou známe;

s1 + s2 = 144 v1 * t1 + v2 * t2 = 144 56x + 40x = 144 … x =1,5 h = t1 = t2

s1 = v1 * t1 = 56* 1,5 = 84 km

s2 = v2 * t2 = 40* 1,5 = 60 km

Potkají se za 1,5 hodiny ve vzdálenosti 84 km od místa A.

v1 =56 km/h, t1 = x (h)

v2= 40 km/h, t2 = x (h)

A

B144 km

s1

s2

ZK: s1 + s2= 84+60 = 144 km

místo setkání

10. doba jízdy (t1 =t2) … x (h), rychlosti obou známe;

s1 + s2 = 80 v1 * t1 + v2 * t2 = 80 75x + 45x = 80 … x =2/3 h = 40 min = t1 = t2

s1 = v1 * t1 = 75*2/3 = 50 km

s2 = v2 * t2 = 45*2/3 = 30 km

Potkají se za 40 minut.

B

ZK: s1 + s2= 50+30 = 80 km

v1 = 75 km/h, t1 = x (h)

v2= 45 km/h, t2 = x (h)

A

80 km

s1

s2

místo setkání

11. setkali se za čas (t1 =t2) … x (h), rychlosti obou známe“

90 m/min = (90*60 )5400 m/h = 5,4 km/h

60 m/min = 3 600 m/h = 3,6 km/h

s1 + s2 = 12 v1 * t1 + v2 * t2 = 12 5,4x + 3,6x = 12 … x =4/3 h = 1h 20 min = t1 = t2

nebo řešíme v metrech za minutu a metrech s1 + s2 = 1200 90x + 60x = 1200 … x = 80 min = 1h 20 min

Potkají se za 1 hodinu a 20 minut.

s2

v1 = 5,4 km/h, t1 = x (h)

v2= 3,6 km/h, t2 = x (h)

A

B12 km

s1

místo setkání

12. doba jízdy t1 =t2= 2 h, rychlosti vyjádříme: pan B… x km/h, pan A … x+ 4 km/h ;

s1 + s2 = 224 v1 * t1 + v2 * t2 = 224 (x+4)*2 + 2x = 224 … x =54 km/h = v2

v1 =x+4 = 54+ 4 = 58 km/h

Rychlost pana A je 58 km/h a pana B je 54 km/h.

s2

v1 = x+4 km/h, t1 = 2 (h)

v2= x km/h, t2 = 2 (h)

A

B224 km

s1

místo setkání

13. Auto jelo do místa setkání 1,5 h (t1) ; motocykl vyjel o 0,5 hodiny dřív, tedy t2 = 1,5+ 0,5 = 2 h

s1 + s2 = 190 v1 * t1 + v2 * t2 = 190 1,5*(x+10) + 2x = 190 … x = 50 km/h = v2

v1 =x+ 10 = 50+ 10 = 60 km/h

Rychlost auta je 60 km/h a motocyklu je 50 km/h.

v1 = x+10 km/h, t1 = 1,5 (h)

v2= x km/h, t2 = 2 (h)

auto

motocykl190 km

s1

s2

místo setkání

14. Osobní auto vyjelo o 2 hodiny později než nákladní, tj.

doba jízdy nákladního a. … x(h), čas osobního a. … x-2 (h)

s1 + s2 = 230 v1 * t1 + v2 * t2 = 230 60*(x-2) + 40x = 230 … x = 3,5 h = t2

t1 = x - 2 = 1,5 hs1 = v1 * t1 = 60*1,5 = 90 kms2 = v2 * t2 = 40*3,5 = 140 km Rychlost auta je 60 km/h a motocyklu je 50 km/h.

v1 = 60 km/h, t1 = x-2 (h)

v2= 40 km/h, t2 = x (h)

osobn

í B

nákladní

A

230 km

s1

s2

místo setkání

15. doba jízdy nákladního auta… t1= x (h), osobní auto vyjelo o 1,5 hodiny později, proto t2 = x -1,5 (h)

s1 + s2 = 225 v1 * t1 + v2 * t2 = 225 40x + 70(x-1,5) = 225 … x = 3 h = t1 (setkání v

7+3=10 h)

s1 = v1 * t1 = 40 * 3 = 120 km (vzdálenost od místa A)

s2 = v2 * t2 = 70 * 1,5= 105 km

Potkají se v 10 h a ve vzdálenosti 120 km od místa A.

s2

v1 = 40 km/h, t1 = x (h)

v2= 70 km/h, t2 = x-1,5 (h)

A-7h

B -830

h225 km

s1

místo setkání

2. Úlohy o společné práci - řešení2. Úlohy o společné práci - řešení1. Dělníci vykonají společně práci za x hodin. Vyjádříme, jakou část společné práce každý z dělníků vykoná za 1 hodinu a potom za x hodin:

za 1 hodinu za x hodin

1. dělník … 1/10 x/10

2. dělník … 1/15 x/15

A protože dohromady vykonají celou práci – celek = 1, sestavíme rovnici:

x/10 + x/15 = 1 /*30

3x + 2x = 30

x = 6

Dělníci vykonají danou práci společně za 6 hodin.

2. společně za x hodin

za 1 hodinu za x hodin

vyučený pr. … 1/4 x/4

učeň … 1/6 x/6

Dohromady vykonají celou práci – celek = 1, sestavíme rovnici:

x/4 + x/6 = 1 /*12

3x + 2x = 12

5x = 12

x = 12 :5

x = 2,4

Společně vykonají práci za 2,4 hodiny.

3. společně za x hodin

za 1 hodinu za x hodin

1. zedník … 1/8 x/8

2. zedník … 1/12 x/12

Společně vykonají celou práci – celek = 1, sestavíme rovnici:

x/8 + x/12 = 1 /*24

3x + 2x = 24

5x = 24

x =24 :5

x = 4,8

Společně vykonají práci za 4,8 hodiny.

4. společně za x hodin, druhý sám - za 9 hodin

za 1 hodinu za x hodin

1. traktorista … 1/6 x/6

2. traktorista … 1/9 x/9

x/6 + x/9 = 1 /*18

x = 3,6

Společně vykonají práci za 3,6 hodiny.

5. společně naplní kohouty nádrž za x hodin

x/8 + x/12 = 1 … x = 4,8

Oběma kohouty se nádrž napustí za 4,8 hodiny.

6. společně čerpadla naplní nádrž za x hodin

x/12 + x/15 = 1 /*60 … x = 20/3 = 6 h

Obě čerpadla napustí nádrž za 6 hodin a 40 minut .

7. voda, která odtéká, se musí v rovnici odečíst

společně za x hodin

x/5 - x/7 = 1 /*35 … x = 17,5 h

8. společně za x hodin

x/10 + x/12 + x/15 = 1 /*60 … x = 4 h

32

9. při společné činnosti všech bloků vystačí zásoba na x dní

spotřeba uhlí za: za 1 den za x dní

1. blok … 1/24 x/24

2. blok … 1/30 x/30

3. blok … 1/20 x/20

x/24 + x/30 + x/20 = 1 … x = 8 dní

Při společné činnosti všech bloků vystačí zásoba na 8 dní.

10. voda, která odtéká, se musí v rovnici odečíst

obě čerpadla i odtok společně za x dní

x/4 + x/9 - x/12 = 1 /*36 … x = 3,6

Při zapojených čerpadlech i otevřeném odtoku se naplní nádrž za 3,6 dne, tj. 3 dny a 14,4 hodiny , tj. 3 dny a 14 hodin a 24 minut.

11. společně za x hodin

za 1 den za 2 dny za x dní

závod A … 1/12 2/12=1/6 x/12

závod B … 1/18 x/18

1/6 + x/12 + x/18 = 1 … x = 6 dní (společná práce)

NEBO

(x+2)/12 + x/18 = 1 /*36

POZOR: y = společná práce (6 dní) + 2 dny práce závodu A = 6 + 2 = 8

Zakázka bude splněna celkem za 8 dní.

závod A – nejdříve 2 h sám, potom x hodin společně

závod B - pouze x hodin spol. práce

12. lán bude sklizen celkem za x hodin

za 1 hod za x hodin

1. kombajn …1/24 x/24

2. kombajn … 1/16 x/16

1. kombajn pracuje celou dobu - tedy x hodin, druhý pracuje o 4 hodiny méně - tedy x- 4 hodin.

x/24 + (x- 4)/16 = 1 … x = 12 hodin

Zakázka bude splněna za12 hodin.

13. první čerpadlo pracuje celou dobu – x minut, druhé o 3 minuty méně - tedy x-3 minut.

x/12 + (x-3)/24 = 1 … x =9 minut

Nádrž se naplní za 9 minut.

14. společně pracovali x hodin

první dělník pracuje o 2 hodiny déle – x+2 hodiny, druhý pracuje pouze po dobu společné práce - tedy x hodin.

( x+2)/12 + x/8 = 1 … x =4 hodiny

Společnou práci skončili za 4 hodiny (první pracoval 6 hodin).

15. druhý dokončí za x hodin

za 1 hodinu za 2 hodiny za x hodin

1. dělník … 1/8 2/8 x/10

2. dělník … 1/6 2/6 x/15

2/8 + 2/6 + x/6 = 1 … x = 2,5 hodiny

Druhý dělník pracoval sám 2,5 hodiny.

16. druhý dělník sám za x dní

za 1 den za 10 dní

1. dělník … 1/20 10/20 = 1/2

2. dělník … 1/x 10/x

1/2 + 10/x = 1 … x = 20 dní

Druhý dělník sám vykoná práci za 20 dní.

17. druhý dělník sám za x dní

za 1 den za 4 dny

1. dělník … 1/12 4/12 = 1/3

2. dělník … 1/x 4/x

1/3 + 4/x = 1 … x = 6 dní

Druhý dělník sám vykoná práci za 6 dní.

18. učeň sám za x hodin

za 1 hodinu za 6 hodin

dělník … 1/10 6/10 = 3/5

učeň … 1/x 6/x

3/5 + 6/x = 1 … x = 15 hodin

Učeň sám vykoná práci za 15 hodin.

19. menším stavidlem za x dní

za 1 den za 20 dní

větší stavidlo … 1/30 20/30 = 2/3

menší stavidlo … 1/x 20/x

2/3 +20/x = 1 … x = 60 dní

Menším stavidlem se vyprázdní rybník za 60 dní.

20. dělník C sám - za x hodin, společná práce = 4 hodiny

za 1 hodinu za 4 hodin

dělník A … 1/12 4/12 = 1/3

dělník B … 1/10 4/10 = 2/5

dělník C … 1/x 4/x

1/3 + 2/5 + 4/x = 1 … x = 15 hodin

Dělník C sám splní úkol za 15 hodin.

Prezentace byla vytvořena v rámci projektu CZ.1.07/1.1.08/01.0025 Podpora realizace počítačového zaměření ŠVP ZŠ Valašská Bystřice.

Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.

I N V E S T I C E D O R O Z V OJ E V Z D Ě L Á V Á N Í