Statistika

STATISTIKAIng Jan Popelka PhDodbornyacute asistentKatedra informatiky a geoinformatikyUniverzita Jana Evangelisty Purkyně v Uacutestiacute nad Labememail janpopelkaujepczWWW httpmostujepcz~popelka

PRAVDĚPODOBNOST

3

STATISTIKA ndash 3HODINA

Zaacutekladniacute pojmy Zaacutekladniacute pravidla pro počiacutetaacuteniacute s pravděpodobnostmi Definice pravděpodobnosti Diskreacutetniacute naacutehodnaacute veličina Vybranaacute diskreacutetniacute rozděleniacute Spojitaacute naacutehodnaacute veličina Vybranaacute spojitaacute rozděleniacute

4

PRAVDĚPODOBNOST

PRAVDA a PODOBNOST

Pravděpodobnyacute = podobnyacute pravdě

= podobnyacute skutečnosti

= do jakeacute miacutery je pravdivyacute

5

PRAVDĚPODOBNOST - JEVY

Hromadneacute naacutehodneacute jevy (stochastickeacute jevy)

Jsou hromadneacute ndash opakujiacute se I když probiacutehajiacute ve stejnyacutech podmiacutenkaacutech

nemajiacute stejnyacute průběh Vyacutesledek nemůžeme s jistotou

předpovědět lze jen vyjmenovat množinu očekaacutevanyacutech vyacutesledků

Lze vyčiacuteslit pravděpodobnost s jakou lze očekaacutevat vyacutesledek z vyacuteše uvedeneacute množiny

Přiacuteklad hod kostkou ndash jeden hod je naacutehodnyacutem pokusem pokud hod opakuji viacutecekraacutet jde o hromadnyacute jev Vyacutesledkem je počet ok na kostce (podmiacutenky pokusu musejiacute byacutet vždy stejneacute = stejnaacute kostka)

Biologickeacute jevy ekonomickeacute jevy sociaacutelniacute jevy vyacuteskyt poruch

Chemickeacute fyzikaacutelniacute nebo astronomickeacute jevy

6

Hromadneacute nenaacutehodneacute jevy (deterministickeacute jevy) Majiacute stejnyacute průběh pokud probiacutehajiacute ve stejnyacutech podmiacutenkaacutech Vyacutesledek jevu můžeme s jistotou předpovědět Fyzikaacutelniacute jevy astronomickeacute jevy chemickeacute procesy

Přiacuteklad

Hod kostkou ndash hod je deterministickyacutem pokusem pokud sleduji zda padne směrem k zemi (podmiacutenky pokusu musejiacute byacutet vždy stejneacute)

7

Hromadneacute naacutehodneacute a nenaacutehodneacute jevyRozvoj vědy a lidskeacuteho myšleniacute vede k předefinovaacuteniacute řady jevů z kategorie naacutehodnyacutech do kategorie nenaacutehodnyacutech

Přiacuteklad Nemoc ndash dřiacuteve mohlo byacutet infekčniacute onemocněniacute braacuteno jako naacutehoda (někdo onemocniacute a někdo ne) dnes umiacuteme určit podmiacutenky kdy člověk onemocniacute a kdy ne (vliv imunitniacuteho systeacutemu)

Přiacuteklad Pohyb planet ndash dřiacuteve byl pohyb planet po obloze považovaacuten naacutehodnyacute již od starověkyacutech civilizaciacute viacuteme že se řiacutediacute přesnyacutemi pravidly

Přiacuteklad Hod kostkou ndash dnes jej považujeme za ideaacutelniacute přiacuteklad naacutehodneacuteho jevu v budoucnu třeba bude znaacutem přesnyacute model kteryacute předpoviacute vyacutesledek hodu

8

Naacutehodnyacute (stochastickyacute) jev je vyacutesledkem naacutehodneacuteho pokusu (značiacute se A B C hellip )

Hod kostkou je naacutehodnyacutem pokusem a počet ok na kostce je vyacutesledek neboli naacutehodnyacute jev

Jednoducheacute (elementaacuterniacute) jevy ndash jsou všechny možneacute vyacutesledky naacutehodneacuteho pokusu nelze je rozložit na jevy jednoduššiacute

Přiacuteklad Na kostce padne čiacuteslo 2

Složeneacute jevy ndash lze je rozložit na jevy jednoducheacute

Přiacuteklad Na kostce padne čiacuteslo sudeacute Jev lze rozložit na jednoducheacute jevy - padne čiacuteslo 2 4 nebo 6

9

Prostor elementaacuterniacutech jevů (E) je množina všech vyacutesledků naacutehodneacuteho pokusu tedy všech elementaacuterniacutech jevů Prostor může byacutet konečnyacute spočetnyacute nebo nespočetnyacute

Přiacuteklad Na šestistěnneacute kostce jsou elementaacuterniacute jevy hodnoty 123456 Prostor elementaacuterniacutech jevů lze zapsat E = (1)(2)(3)(4)(5)(6)

Přiacuteklad Hod dvěma mincemi

E=(orelorel)(pannapanna)(orelpanna) (pannaorel)

Přiacuteklad Ve Sportce je 13 983 816 elementaacuterniacutech jevů Pokud vsadiacuteme takovyacuteto počet různyacutech tiketůvyhrajeme prvniacute cenu

49

6

10

Jistyacute jev - za danyacutech podmiacutenek nastane vždy

Přiacuteklad Na šestistěnneacute kostce vždy padne nějakeacute čiacuteslo od 1 do 6

Přiacuteklad Na šestistěnneacute kostce vždy padne buď čiacuteslo sudeacute nebo čiacuteslo licheacute

Nemožnyacute jev - za danyacutech podmiacutenek nenastane nikdy

Přiacuteklad Na šestistěnneacute kostce nikdy nepadne čiacuteslo 0

11

PRAVDĚPODOBNOST - OPERACE S JEVY

Opačnyacute jev (Ā) ndash je jev kteryacute nastane pouze tehdy když nenastane jev A

sjednoceniacute opačnyacutech jevů je jistyacute jev opačneacute jevy jsou jevy neslučitelneacute (disjunktniacute) - nemohou

nastat zaacuteroveň (buď nastane jeden nebo druhyacute)

Přiacuteklad Při hodu minciacute nikdy nepadne panna a orel zaacuteroveň Vždy padne jen jedna možnost

12

Pravidla sjednoceniacute opačnyacutech jevů je jistyacute jev opačneacute jevy jsou jevy neslučitelneacute (disjunktniacute) - nemohou

Např Při hodu minciacute nikdy nepadne panna a orel zaacuteroveň Vždy padne jen jedna možnost

13

PRAVDĚPODOBNOST - DEFINICE

Klasickaacute definice (Laplaceova)

Přiacuteklad Jakaacute je pravděpodobnost hlavniacute vyacutehry ve Sportce

Ve Sportce je 13 983 816 možnyacutech přiacutepadů (možnyacutech kombinaciacute šesti čiacutesel ze 49 možnyacutech)

Hlavniacute vyacutehra je jen jedinaacute šestice (počet přiacuteznivyacutech kombinaciacute šesti čiacutesel je jedna jedinaacute) Pravděpodobnost hlavniacute vyacutehry je podle klasickeacute definice pravděpodobnosti

P(A) = přiacutezniveacute možneacute

P(A) = 113 983 816 = 0000 000 072 tj 0000 007 2

14

Naacutehodnyacute pokus maacute konečnyacute počet n elementaacuterniacutech jevů ktereacute mohou nastat se stejnou možnostiacute (n tzv možnyacutech přiacutepadů)

Sledovanyacute naacutehodnyacute jev A je určen jako sjednoceniacute určiteacuteho počtu (m) z těchto možnyacutech el jevů tedy jev A nastaacutevaacute při m přiacutepadech z n možnyacutech (m je počet tzv přiacuteznivyacutech přiacutepadů)

Za těchto okolnostiacute pravděpodobnost jevu A je rovna

P(A) = mn

15

Matematickaacute definice (Kolmogorovova)

Pravděpodobnost je definovaacutena jako funkce kteraacute přiřazuje naacutehodneacutemu jevu reaacutelneacute čiacuteslo a pro toto přiřazeniacute platiacute tři axiomy

1 Pravděpodobnost naacutehodneacuteho jevu A je nezaacuteporneacute čiacuteslo P(A) ge 0

2 Pravděpodobnost jisteacuteho jevu E je jedna P(E) = 1

3 Pravděpodobnost sjednoceniacute dvou vzaacutejemně neslučitelnyacutech (disjunktivniacutech) jevů A a B je rovna součtu jejich pravděpodobnostiacuteplatiacute-li pak 0 BA P(A B) = P(A) + P(B)

16

Statistickaacute definice (von Misessova)Přiacuteklad Jakaacute je pravděpodobnost narozeniacute holčičky

Statistickaacute definice odvozuje pravděpodobnost na zaacutekladě pokusu Pokusem mohou byacutet porody na uacutezemiacute Českeacute republiky za uplynulyacute rok kdy se narodilo 61 483 chlapců a 58 359 diacutevek

Pravděpodobnost narozeniacute holčičky je přibližně 58 359 119 842 = 0486 tedy 4869 Pro porovnaacuteniacute za rok 2003 45 55493 658 = 0486 tedy 4864

S rostouciacutem počtem sledovanyacutech naacutehodnyacutech pokusů se zjištěnaacute relativniacute četnost bude přibližovat odhadovaneacute pravděpodobnosti

17

Statistickaacute definice (von Misessova)

Provedli jsme n-kraacutet naacutehodnyacute pokus V teacuteto seacuterii pokusů nastal naacutehodnyacute jev A m-kraacutet

Relativniacute četnost pokusu A (tj poměr mn) se přibližuje (konverguje) k pravděpodobnosti tohoto jevu pro velkyacute počet naacutehodnyacutech pokusů

( )P(A) limn

m A

n

18

Statistickaacute definice (von Misessova) Pravděpodobnost jisteacuteho jevu E je jedna P(E) = 1 Pravděpodobnost nemožneacuteho jevu Oslash je nula P(Oslash) = 0 Pravděpodobnost libovolneacuteho naacutehodneacuteho jevu A je

0 le P(A) le 1

19

Pravděpodobnost uacutemrtiacute v Uacutesteckeacutem kraji podle věku (2009-2010)

Věk Muži Ženy0 044 044

10 003 001 20 008 002 30 009 003 40 022 009 50 063 030 60 187 084 70 424 214 80 954 636 90 2371 2212

100 5354 6253 105 10000 10000

20

Statistickaacute definice (von Misessova) Pravděpodobnost smrti uacuterazem Pravděpodobnost smrti sebevraždou Pravděpodobnost smrti vraždou

Pravděpodobnost smrti uacuterazem sebevraždou a vraždou (konec 18 stoletiacute)

Pravděpodobnost smrti uacuterazem sebevraždou a vraždou (normalizace)

4

13

01

1 1 01

5 16 01

21

NAacuteHODNAacute VELIČINA

Naacutehodnaacute veličina je kvantitativniacute zobrazeniacute vyacutesledků naacutehodneacuteho pokusu Naacutehodnaacute veličina se značiacute X (velkeacute X) a konkreacutetniacute hodnoty kteryacutech může nabyacutevat xi

Diskreacutetniacute naacutehodnaacute veličina nabyacutevaacute konečneacuteho nebo spočetneacuteho počtu hodnot

Spojitaacute naacutehodnaacute veličina nabyacutevaacute libovolnyacutech hodnot z konečneacuteho nebo nekonečneacuteho intervalu

počet ok na kostce počet poruch stroje za rok počet zaacutekazniacuteků na pokladně za hodinu počet mrtvyacutech stromů na 1 ha lesa

Vyacuteška člověka ve 20 letech porodniacute vaacuteha vyacuterobniacute odchylka doba životnosti vyacuterobku cena akcie

22

DISKREacuteTNIacute ROZDĚLENIacute

Diskreacutetniacute naacutehodnaacute veličina nabyacutevaacute konečneacuteho nebo spočetneacuteho počtu

hodnot

23

Pravděpodobnost že naacutehodnaacute veličina nabyla konkreacutetniacute hodnoty xi zapisujeme

P(X = xi) = P(xi) = pi

Rozděleniacute pravděpodobnostiacute je vztah mezi hodnotami resp intervaly naacutehodneacute veličiny X a jejich pravděpodobnostmi pi

24

Přiacuteklad Popište rozděleniacute pravděpodobnostiacute naacutehodneacute veličiny počet narozenyacutech chlapců mezi třemi novorozenci Pravděpodobnost narozeniacute chlapce je 052Popis rozděleniacute prostřednictviacutem tabulkyNaacutehodnaacute veličina X nabyacutevaacute hodnot 0123 (kolik chlapců může byacutet mezi třemi novorozenci)

Počet chlapců (xi) Pravděpodobnost P(X=xi)Pravděpodobnost P(X= xi)

0 (tři diacutevky) = 048∙048∙048 = 011

1 (chlapec dvě diacutevky) = 052∙048∙048∙3 = 012∙3 = 036

2 (dva chlapci a diacutevka) = 052∙052∙048∙3 = 013∙3 = 039

3 (tři chlapci) = 052∙052∙052 = 014

Celkem 100 100

25

PRAVDĚPODOBNOSTNIacute FUNKCE P(x)

Pravděpodobnostniacute funkce pro nespojitou naacutehodnou veličinu udaacutevaacute pravděpodobnost že naacutehodnaacute veličina X nabude hodnoty x

P(x) = P(X = x)

Vlastnosti pravděpodobnostniacute funkce

bull funkce je omezenaacute 0 le P(x) le 1

bull pravděpodobnostniacute funkce diskreacutetniacute naacutehodneacute veličiny je nespojitaacute

26

Přiacuteklad Popište rozděleniacute pravděpodobnostiacute naacutehodneacute veličiny počet narozenyacutech chlapců mezi třemi novorozenci Popis rozděleniacute prostřednictviacutem grafu pravděpodobnostniacute fce P(x)

Rozděleniacute počtu chlapců mezi třemi novorozenci

000501

01502

02503

03504

045

0 1 2 3 4

Počet chlapců (naacutehodnaacute veličina X)

Pra

vděp

od

ob

no

st p

(x)

Přiacuteklad Popište rozděleniacute pravděpodobnostiacute naacutehodneacute veličiny počet narozenyacutech chlapců mezi třemi novorozenci

27

Popis rozděleniacute funkčniacutem zaacutepisem pravděpodobnostniacute fce P(x)

Počet chlapců (x) Pravděpodobnost P(X=x) Funkčniacute zaacutepis

0 (tři diacutevky) = 048∙048∙048 = 1∙0520∙(1-052)3

1 (chlapec dvě diacutevky) = 052∙048∙048∙3 = 3∙0521∙(1-052)2

2 (dva chlapci a diacutevka) = 052∙052∙048∙3 = 3∙0522∙(1-052)1

3 (tři chlapci) = 052∙052∙052 = 1∙0523∙(1-052)0

Celkem 100 100

( ) 1n xxn

P xx

Pravděpodobnostniacute funkci přiacutekladu lze obecně zapsat

)(

Pozn

xnx

n

x

n

28

DISTRIBUČNIacute FUNKCE F(x)

Distribučniacute funkce (někdy takeacute kumulativniacute distribučniacute funkce) pro nespojitou naacutehodnou veličinu udaacutevaacute pravděpodobnost že naacutehodnaacute veličina X nabude hodnoty menšiacute než je zvolenaacute hodnota x nebo stejně velkeacute

F(x) = P(X le x)Vlastnosti distribučniacute funkce

bull 0 le F(x) le 1 omezenaacute funkce

bull pro a lt b platiacute F(a) le F(b) neklesajiacuteciacute funkce

bull P(a lt X le b) = F(b) - F(a)

bull distribučniacute funkce diskreacutetniacute naacutehodneacute veličiny je nespojitaacute

bull F(x) = P(X le x) = ΣP(x)

29

Popis rozděleniacute prostřednictviacutem tabulky(bude doplněn sloupec distribučniacute funkce) Hodnoty F(x) vyjadřujiacute pravděpodobnost že se narodiacute x nebo meacuteně chlapců

Počet chlapců (x) P(x) = P(X=x) F(x) = P(Xlex)

0 (tři diacutevky) 011 011

1 (chlapec dvě diacutevky) 036 011+036 = 047

2 (dva chlapci a diacutevka) 039 011+036+039 = 086

3 (tři chlapci) 014 011+036+039+014 = 1

Celkem 100 -

30

Popis rozděleniacute prostřednictviacutem grafu distribučniacute funkce F(x)

0 1 2 3 40

02

04

06

08

1

12

F(x

)

31

BINOMICKEacute BI(n)

Graf pravděpodobnostniacute funkce P(x)

x

p(x)

0 2 4 6 8 100

005

01

015

02

025

03

x

F(x

)

0 2 4 6 8 100

02

04

06

08

1

Graf distribučniacute funkce F(x)

32

Aplikace Naacutehodnyacute vyacuteběr s vraceniacutem prvkůPravděpodobnost že se v seacuterii n nezaacutevislyacutech naacutehodnyacutech pokusů objeviacute sledovanyacute jev praacutevě x kraacutet Např bdquohod viacutece kostkamildquo

Pravděpodobnostniacute funkce x = 012n 0ltπlt1

Parametryπ pravděpodobnost naacutehodneacuteho jevu n počet opakovaacuteniacute

Středniacute hodnota

Rozptyl

MS Excel = BINOMDIST(počet uacutespěšnyacutech pokusů - x celkovyacute počet pokusů - n pravděpodobnost uacutespěchu ndash π pravděpodobnostniacute fce - 0 nebo distribučniacute funkce - 1)

( ) 1n xxn

P xx

nXE )(

)1()( nXD

33

Přiacuteklad Jakaacute je pravděpodobnost že při hodu pěti kostkami padne třikraacutet čiacuteslo sudeacute

5 335(3) 1 05 1 05 0313 tj 313

3n xxn

Px

52505)( nXE

251)501(505)1()( nXD

Vyacutepočet

Rozptyl

MS Excel = BINOMDIST(3 5 05 0)

Parametryπ = 05 (pravděpodobnost naacutehodneacuteho jevu ndash padne sudeacute čiacuteslo)n = 5 (počet opakovaacuteniacute ndash počet hodů) x = 3 (uacutespěšneacute pokusy)

34

Přiacuteklad Konkreacutetniacute student FŽP maacute pravděpodobnost zaspaacuteniacute na vyacuteuku 03 4x v tyacutednu je vyacuteuka od 800 Jakaacute je pravděpodobnost že zaspiacute 2x v tyacutednu

4 224(2) 1 03 1 03 0264 tj 264

2n xxn

Px

( ) 4 03 12E X n

( ) (1 ) 4 03 (1 03) 036D X n

Vyacutepočet

Rozptyl

Parametryπ = 03 (pravděpodobnost naacutehodneacuteho jevu = zaspiacute)n = 4 (počet opakovaacuteniacute = počet dnů) x = 2 (uacutespěšneacute pokusy = zaspaacuteniacute)

35

0 05 1 15 2 25 3 35 4 450

005

01

015

02

025

03

035

04

045

Binomickeacute rozděleniacute Bi(403)

Počet zaspaacuteniacute za tyacuteden (x)

P(x

)

P(2) = 0264

36

Přiacuteklad Konkreacutetniacute student FŽP maacute pravděpodobnost zaspaacuteniacute na vyacuteuku 03 4x v tyacutednu je vyacuteuka od 800 Jakaacute je pravděpodobnost že zaspiacute alespoň 1x

( 1) (1) (2) (3) (4) 1 (0)

1 024 076 tj 76

P X P P P P P

( ) 4 03 12E X n

( ) (1 ) 4 03 (1 03) 036D X n

Vyacutepočet

Rozptyl

MS Excel = 1-BINOMDIST(0 4 03 0)

Parametryπ = 03 (pravděpodobnost naacutehodneacuteho jevu ndash zaspiacute)n = 4 (počet opakovaacuteniacute ndash počet dnů) alespoň 1x tzn x ge 1(zaspaacuteniacute)

37

POISSONOVO PO()

Graf pravděpodobnostniacute funkce P(x) Graf distribučniacute funkce F(x)

104

x

p(x)

0 5 10 15 20 25 300

004

008

012

016

02

104

x

p(x)

0 5 10 15 20 25 300

02

04

06

08

1

= 10λ

= 4λ

λ = 10

λ = 4

38

POISSONOVO PO()

Aplikace Počet udaacutelostiacute v časoveacute jednotce počet čaacutestic v jednotce plochy nebo objemu Např bdquodoba obsluhyldquo bdquochybovost vyacuterobkůldquo

Pravděpodobnostniacute funkce k = 012

Parametry středniacute počet udaacutelostiacute v časoveacute jednotce jednotce plochy nebo objemu

Rozptyl

MS Excel = POISSON (počet udaacutelostiacute - k průměrnyacute počet udaacutelostiacute - pravděpodobnostniacute fce - 0 nebo distribučniacute funkce - 1)

)(XE

)(XD

( )

x

P x ex

39

POISSONOVO PO()

Vyacutepočet

Rozptyl

MS Excel = POISSON (15 10 0)

10)( XE

10)( XD

151010

(15) 0035 tj 35 15

x

P e ex

Za hodinu přijede k čerpaciacute stanici 30 automobilů Jakaacute je pravděpodobnost že za 20 minut jich přijede 15

Parametry = 10 = (3060)20 (počet aut za 20 minut)

400 5 10 15 20 25 300

002

004

006

008

01

012

014

Poissonovo rozděleniacute Po(10)

Počet naacutevštěvniacuteků za 20 minut (x)

P(x

)

POISSONOVO PO()

P(15) = 0035

41

HYPERGEOMETRICKEacute HY(NMn)

Aplikace Naacutehodnyacute vyacuteběr bez vraceniacute prvků (počet prvků vyacuteběruse snižuje) Např bdquotahaacuteniacute barevnyacutech kuličekldquo bdquozjišťovaacuteniacute vadnyacutech vyacuterobků při přejiacutemce zbožiacuteldquo

Pravděpodobnostniacute funkce

max(0n-N+M) le x le min(M n)

ParametryN počet jednotek v zaacutekladniacutem souboruM počet jednotek se sledovanou vlastnostiacuten počet naacutehodně vybranyacutech jednotek (vyacuteběr)

( )

M N M

x n xP x

N

n

42

Středniacute hodnota rozptyl

MS Excel = HYPGEOMDIST (počet uacutespěšnyacutech pokusů - k počet naacutehodně vybranyacutech jednotek - n počet jednotek se sledovanou vlastnostiacute ndash M počet jednotek v souboru - N)

11)()(

N

nN

N

M

N

MnXD

N

MnXE

43

Vyacutepočet

Rozptyl

MS Excel =HYPGEOMDIST(22412)

( ) 1 04041

M M N nD X n

N N N

Ze 12 studentů se průběžně připravujiacute 4 Jakaacute je pravděpodobnost že při dotaacutezaacuteniacute 2 naacutehodně vybranyacutech studentů budou oba vědět

ParametryN = 12 (studentů ve třiacutedě) M = 4 (se připravujiacute) n = 2 (vybraniacute)

4 12 4

2 2 2(2) 0091 tj 91

12

2

M N M

x n xP

N

n

( ) 0667M

E X nN

44

0 05 1 15 2 250

01

02

03

04

05

06

Hypergeometrickeacute rozděleniacute Hy(1242)

Počet připravenyacutech studentů (x)

P(x

)

P(2) = 0091

45

CHARAKTERISTIKY ROZDĚLENIacute

Obecnyacute způsob vyacutepočtu středniacute hodnoty diskreacutetniacute naacutehodneacute veličiny

Obecnyacute způsob vyacutepočtu rozptylu diskreacutetniacute naacutehodneacute veličiny1

( )n

i ii

E X x p

2 2 2

1

( ) ( ) ( ) ( )n

i ii

D X x E X p E X E X

46

SPOJITAacute ROZDĚLENIacute

Spojitaacute naacutehodnaacute veličina nabyacutevaacute libovolnyacutech hodnot

z konečneacuteho nebo nekonečneacuteho intervalu

47

Diskreacutetniacute rozděleniacute

Spojiteacute rozděleniacute

48

Distribučniacute funkce (někdy takeacute kumulativniacute distribučniacute funkce) pro spojitou naacutehodnou veličinu udaacutevaacute pravděpodobnost že naacutehodnaacute veličina X nabude hodnoty menšiacute než je zvolenaacute hodnota x nebo stejně velkeacute

F(x) = P(X le x)

Vlastnosti distribučniacute funkcebull 0 le F(x) le 1 omezenaacute funkcebull pro a lt b platiacute F(a) le F(b) neklesajiacuteciacute funkcebull P (a lt X le b) = F(b) - F(a)bull distribučniacute funkce spojiteacute naacutehodneacute veličiny je spojitaacute

49

HUSTOTA PRAVDĚPODOBNOSTI f(x)

Pravděpodobnostniacute funkce pro spojitou naacutehodnou veličinu

neexistuje

Pravděpodobnost že se trefiacuteme praacutevě do určiteacute hodnoty z nekonečneacuteho počtu možnyacutech hodnot spojiteacute veličiny je nulovaacute

Paradox nuloveacute pravděpodobnosti P(X = x) = 0

50

Kvůli paradoxu nuloveacute pravděpodobnosti je zavedena novaacute funkce

hustota pravděpodobnosti ndash f(x)

bull f(x) ge 0 pro všechna x

bull v oblasti - infin a + infin se jejiacute hodnota bliacutežiacute nule

lim ( ) 0

x

f x

Přiacuteklady hustoty pravď

00

51

Hustota pravděpodobnosti ndash f(x)

bull obsah plochy pod křivkou hustoty pravděpodobnosti je 1

a jde o pravděpodobnost

( ) 1f x dx

( ) 1P X

Obsah = 1

52

bull obsah plochy mezi hodnotami a b se vypočte pomociacute určiteacuteho integraacutelu

( )b

a

f x dx

( )P a X b

a b

53

Vztah mezi hustotou f(x) a distribučniacute funkciacute F(x)

)()()(

x

dttfxXPxFd ( )

( ) ( )d

F xf x F x

x

Distribučniacute funkce F(x) je integraacutelem hustoty f(x) Hustota f(x) je derivaciacute distribučniacute funkce F(x)

Hustota pravděpodobnosti a distribučniacute funkce

54

(GAUSS-LAPLACEOVO)NORMAacuteLNIacute ROZDĚLENIacute N(2)

Graf hustoty pravděpodobnosti f(x) Graf distribučniacute funkce F(x)

55

(GAUSS-LAPLACEOVO)NORMAacuteLNIacute N(2)

Aplikace V přiacutepadech kdy na koliacutesaacuteniacute naacutehodneacute veličiny působiacute velkyacute počet nepatrnyacutech a vzaacutejemně nezaacutevislyacutech jevů Např bdquovyacuteška a vaacuteha v populacildquo bdquochyby měřeniacuteldquo

Distribučniacute funkce F(x)

Hustotniacute funkce f(x)

Parametryμ středniacute hodnota σ2 rozptyl

Rozptyl

MS Excel = NORMDIST (hodnota sledovaneacuteho jevu ndash x středniacute hodnota ndash μ směrodatnaacute odchylka ndash σ hustota pravď ndash 0 nebo distribučniacute funkce ndash 1)

dzexFx z

2

)(

2

1)(

)(XE2)( XD

2

)(

2

1)(

x

exf x

56

Vlastnosti normaacutelniacuteho rozděleniacute

Pravidlo třiacute sigma v rozmeziacute plusmn 1 ležiacute 683 všech možnyacutech hodnotv rozmeziacute plusmn 2 ležiacute 955 všech možnyacutech hodnotv rozmeziacute plusmn 3 ležiacute 997 všech možnyacutech hodnot

57

Řešeniacute P(Xgt125) = 1- P(Xle125) = 1 ndash F(125)

MS Excel = 1 - NORMDIST (125 100 15 1)

Vyacutesledek P(Xgt125) = 1 ndash 0952 = 0048

Pravděpodobnost ziacuteskaacuteniacute viacutece než 125 bodů je 48

Pozn Protože P(X=125) = 0 pak P(Xgt125) = 1- P(Xle125) =1- P(Xlt125)

Počet bodů z testu inteligence maacute normaacutelniacute rozděleniacute se středniacute hodnotou 100 a směrodatnou odchylkou 15 Jakaacute je pravděpodobnost ziacuteskaacuteniacute viacutece jak 125 bodů

Parametryμ = 100 σ2 = 152 = 225 Naacutehodnaacute veličina maacute normaacutelniacute rozděleniacute N(100 225)

58

Řešeniacute P(X le x) = F(x) = 05 kolik je x

MS Excel = NORMINV(05 100 15)

Vyacutesledek N(100 225)05 = = 100

Polovina osob dosaacutehne nejvyacuteše 100 bodů

Pozn Excel maacute vlastniacute funkce pro počiacutetaacuteniacute kvantilů spojityacutech rozděleniacuteMS Excel = NORMINV (kvantil ndash p středniacute hodnota ndash μ směrodatnaacute odchylka ndash σ)

Počet bodů z testu inteligence maacute normaacutelniacute rozděleniacute se středniacute hodnotou 100 a směrodatnou odchylkou 15 Jakyacute je mediaacuten rozděleniacute

Znaacuteme pravděpodobnost ale neznaacuteme hodnotu Počiacutetaacuteme mediaacuten tedy 50 kvantil rozděleniacute

x~

59

NORMOVANEacute NORMAacuteLNIacute U

Pozn Normovaneacute normaacutelniacute rozděleniacute je zeleneacute (μ = 0 σ2 = 1)

60

Aplikace Usnadněniacute vyacutepočtů pravděpodobnosti a kvantilů normaacutelniacuteho rozděleniacute Statistickaacute indukce

Libovolneacute normaacutelniacute rozděleniacute lze převeacutest na normovaneacute pomociacute vzorce

Parametryμ = 0σ2 = 1

Rozptyl

MS Excel = NORMSDIST (hodnota sledovaneacuteho jevu ndash x)

0)( XE1)( XD

X

U

61

Vyacutepočet kvantilů normovaneacuteho normaacutelniacuteho rozděleniacute up

u095 hellip je 95 kvantil normovaneacuteho normaacutelniacutehorozděleniacute

Tedy hodnota kteraacute je většiacute nebo rovna jak 95 hodnot rozděleniacute

Aplikace Kvantily se velmi často využiacutevajiacute ve statistickeacute indukci a jsou uvedeny ve statistickyacutech tabulkaacutechMS Excel = NORMSINV (kvantil ndash p)

164

u095 = 164

62

(PEARSONOVO) CHIacute-KVADRAacuteT χ2(n)

Pozn V grafu je parametr n značen jako k

63

Aplikace Kvantily se velmi často využiacutevajiacute ve statistickeacute indukci

Odvozeneacute z normovaneacuteho normaacutelniacuteho rozděleniacute jako

S = X12 + X2

2 + X12 + hellip + Xn

2 kde X1X2 hellip Xn ~ N(01)

Parametryn hellip počet stupňů volnosti

Rozptyl

MS Excel = CHIDIST (hodnota sledovaneacuteho jevu ndash x počet stupňů volnosti ndash n)

nXE )(

nXD 2)(

Vyacutepočet kvantilů chiacute-kvadraacutet rozděleniacute χ2p

(n)

χ2090

(12) hellip je 90 kvantil chiacute-kvadraacutet rozděleniacute

Tedy hodnota kteraacute je většiacutenebo rovna jak 90 hodnot rozděleniacute

Aplikace Kvantily se velmi často využiacutevajiacute ve statistickeacute indukci a pro různeacute stupně volnosti n jsou uvedeny ve statistickyacutech tabulkaacutechMS Excel = CHIINV (upravenyacute kvantil ndash 1-p počet stupňů volnosti ndash n)

χ2090

(12) = 1855

1855

65

STUDENTOVO t(n)

Graf hustoty pravděpodobnosti f(x)

66

STUDENTOVO t(n)

kde X1~ N(01) a X2 ~ χ2(n)

MS Excel = TDIST (hodnota sledovaneacuteho jevu ndash x počet stupňů volnosti ndash n)

nX

XT

2

1

67

Vyacutepočet kvantilů rozděleniacute t(n)

t099 (9) hellip je 99 kvantil

Studentova t rozděleniacute

Aplikace Kvantily se velmi často využiacutevajiacute ve statistickeacute indukci a jsou pro různeacute stupně volnosti n uvedeny ve statistickyacutech tabulkaacutechMS Excel = TINV (upravenyacute kvantil ndash 2(1-p) počet stupňů volnosti ndash n) pokud p gt05= -1TINV (upravenyacute kvantil ndash 1-p počet stupňů volnosti ndash n) pokud p lt05

STUDENTOVO t(n)

t099(9) = 282

282

68

FISHER-SNEDECORF-ROZDĚLENIacute F(mn)

Odvozeneacute z chiacute-kvadraacutet rozděleniacute jako

kde X1 ~ χ2(n) a X2 ~ χ2(m)

Parametryn hellip počet stupňů volnostim hellip počet stupňů volnosti

MS Excel = FDIST (hodnota sledovaneacuteho jevu ndash x počet stupňů volnosti ndash n)

mXn

X

T2

1

70

Vyacutepočet kvantilů rozděleniacute F(mn)

F06 (1012) hellip je 60 kvantil

F rozděleniacute

Aplikace Kvantily se velmi často využiacutevajiacute ve statistickeacute indukci a jsou pro různeacute stupně volnosti m a n uvedeny ve statistickyacutech tabulkaacutechMS Excel = FINV (upravenyacute kvantil ndash 1-p počet stupňů volnosti ndash n)

115

F06 (1012) = 115

71

BETA ROZDĚLENIacute B(αβ)

72

SPOJITAacute ROZDĚLENIacute V MS EXCEL

Rozděleniacute Distribučniacute funkce Kvantil Funkce kvantilu

Normaacutelniacute N(μσ2)

=NORMDIST (xμσ1) 1

1pro vyacutepočet hustotniacute funkce se zadaacute parametr 0

Np(μσ2) =NORMINV(pμσ)

Normovaneacute normaacutelniacute N(01)

=NORMSDIST(x) up =NORMSINV(p)

Chiacute-kvadraacutet 2(v) =CHIDIST(xv) p2(v) =CHIINV(1-pv)

Studentovo t(v) =TDIST(xv) tp(v)

=TINV(2(1-p)v) pro p gt05=-1TINV(2pv) pro p lt 05

F rozděleniacute F(v1 v2)

=FDIST(xv1v2) Fp(v1v2) =FINV(1-pv1v2)

73

KVANTILY ROZDĚLENIacute V ONLINE KALKULAacuteTORECH

Vyacutepočty kvantilů zaacutekladniacutech i řady dalšiacute rozděleniacute lze provaacutedět i pomociacute online kalkulaacutetorů Vyacutepočet může byacutet i jednoduššiacute než pomociacute funkciacute MS Excel

bull Quantile Calculator (wwwsolvemymathcom) 13 spojityacutech a 4 nespojitaacute rozděleniacute

bull SOCR Distributome (socruclaedu)přes 70 spojityacutech a nespojityacutech rozděleniacute s grafickyacutem rozhraniacutem pro zobrazeniacute pravděpodobnostniacutech funkciacute a hustot pravděpodobnostiacute a vyacutepočet kvantilů

74

Naacutehodnyacute jev a nenaacutehodnyacute jev Klasickaacute definice pravděpodobnosti Statistickaacute definice pravděpodobnosti Diskreacutetniacute naacutehodnaacute veličina Pravděpodobnostniacute funkce Distribučniacute funkce Spojitaacute naacutehodnaacute veličina Hustota pravděpodobnosti Normaacutelniacute rozděleniacute Kvantily

PRAVDĚPODOBNOSTDŮLEŽITEacute POJMY ndash 3 PŘEDNAacuteŠKA

Statistika
Pravděpodobnost
Statistika ndash 3hodina
Pravděpodobnost (2)
Pravděpodobnost - jevy
Pravděpodobnost - jevy (2)
Pravděpodobnost - operace s jevy
Pravděpodobnost - operace s jevy (2)
Pravděpodobnost - definice
Pravděpodobnost - definice (2)
Naacutehodnaacute veličina
Diskreacutetniacute Rozděleniacute
Diskreacutetniacute rozděleniacute (2)
Pravděpodobnostniacute Funkce P(x)
Pravděpodobnostniacute Funkce P(x) (2)
Distribučniacute Funkce F(x)
Distribučniacute Funkce F(x) (2)
Binomickeacute Bi(n)
Binomickeacute Bi(n) (2)
Poissonovo Po()
Poissonovo Po() (2)
Poissonovo Po() (3)
Poissonovo Po() (4)
Hypergeometrickeacute Hy(NMn)
Hypergeometrickeacute Hy(NMn) (2)
Charakteristiky Rozděleniacute
Spojitaacute Rozděleniacute
Slide 47
Hustota Pravděpodobnosti f(x)
Hustota Pravděpodobnosti f(x) (2)
(Gauss-Laplaceovo) Normaacutelniacute rozděleniacute N(2)
(Gauss-Laplaceovo) Normaacutelniacute N(2)
(Gauss-Laplaceovo) Normaacutelniacute N(2) (2)
Normovaneacute Normaacutelniacute U
Normovaneacute Normaacutelniacute U (2)
(Pearsonovo) Chiacute-kvadraacutet χ2(n)
(Pearsonovo) Chiacute-kvadraacutet χ2(n) (2)
Studentovo t(n)
Studentovo t(n) (2)
Studentovo t(n) (3)
Fisher-Snedecor F-rozděleniacute F(mn)
Fisher-Snedecor F-rozděleniacute F(mn) (2)
Beta rozděleniacute B(αβ)
Spojitaacute rozděleniacute v MS Excel
Kvantily rozděleniacute v Online kalkulaacutetorech
Slide 74

PRAVDĚPODOBNOST

3

4

PRAVDĚPODOBNOST

PRAVDA a PODOBNOST

5

6

Přiacuteklad

7

8

9

49

6

10

11

12

13

P(A) = 113 983 816 = 0000 000 072 tj 0000 007 2

14

P(A) = mn

15

16

17

( )P(A) limn

m A

n

18

0 le P(A) le 1

19

10 003 001 20 008 002 30 009 003 40 022 009 50 063 030 60 187 084 70 424 214 80 954 636 90 2371 2212

100 5354 6253 105 10000 10000

20

4

13

01

1 1 01

5 16 01

21

22

hodnot

23

24

0 (tři diacutevky) = 048∙048∙048 = 011

3 (tři chlapci) = 052∙052∙052 = 014

Celkem 100 100

25

P(x) = P(X = x)

26

000501

01502

02503

03504

045

0 1 2 3 4

Pra

vděp

od

ob

no

st p

(x)

27

0 (tři diacutevky) = 048∙048∙048 = 1∙0520∙(1-052)3

3 (tři chlapci) = 052∙052∙052 = 1∙0523∙(1-052)0

Celkem 100 100

( ) 1n xxn

P xx

)(

Pozn

xnx

n

x

n

28

29

3 (tři chlapci) 014 011+036+039+014 = 1

Celkem 100 -

30

0 1 2 3 40

02

04

06

08

1

12

F(x

)

31

x

p(x)

0 2 4 6 8 100

005

01

015

02

025

03

x

F(x

)

0 2 4 6 8 100

02

04

06

08

1

32

Rozptyl

( ) 1n xxn

P xx

nXE )(

)1()( nXD

33

5 335(3) 1 05 1 05 0313 tj 313

3n xxn

Px

52505)( nXE

251)501(505)1()( nXD

Vyacutepočet

Rozptyl

34

4 224(2) 1 03 1 03 0264 tj 264

2n xxn

Px

( ) 4 03 12E X n

( ) (1 ) 4 03 (1 03) 036D X n

Vyacutepočet

Rozptyl

35

0 05 1 15 2 25 3 35 4 450

005

01

015

02

025

03

035

04

045

P(x

)

P(2) = 0264

36

( 1) (1) (2) (3) (4) 1 (0)

1 024 076 tj 76

P X P P P P P

( ) 4 03 12E X n

( ) (1 ) 4 03 (1 03) 036D X n

Vyacutepočet

Rozptyl

37

POISSONOVO PO()

104

x

p(x)

0 5 10 15 20 25 300

004

008

012

016

02

104

x

p(x)

0 5 10 15 20 25 300

02

04

06

08

1

= 10λ

= 4λ

λ = 10

λ = 4

38

POISSONOVO PO()

Rozptyl

)(XE

)(XD

( )

x

P x ex

39

POISSONOVO PO()

Vyacutepočet

Rozptyl

10)( XE

10)( XD

151010

(15) 0035 tj 35 15

x

P e ex

400 5 10 15 20 25 300

002

004

006

008

01

012

014

P(x

)

POISSONOVO PO()

P(15) = 0035

41

( )

M N M

x n xP x

N

n

42

11)()(

N

nN

N

M

N

MnXD

N

MnXE

43

Vyacutepočet

Rozptyl

( ) 1 04041

M M N nD X n

N N N

4 12 4

2 2 2(2) 0091 tj 91

12

2

M N M

x n xP

N

n

( ) 0667M

E X nN

44

0 05 1 15 2 250

01

02

03

04

05

06

P(x

)

P(2) = 0091

45

( )n

i ii

E X x p

2 2 2

1

( ) ( ) ( ) ( )n

i ii

D X x E X p E X E X

46

47

48

F(x) = P(X le x)

49

neexistuje

50

lim ( ) 0

x

f x

00

51

( ) 1f x dx

( ) 1P X

Obsah = 1

52

( )b

a

f x dx

( )P a X b

a b

53

)()()(

x

dttfxXPxFd ( )

( ) ( )d

F xf x F x

x

54

55

Rozptyl

dzexFx z

2

)(

2

1)(

)(XE2)( XD

2

)(

2

1)(

x

exf x

56

57

58

x~

59

60

Rozptyl

0)( XE1)( XD

X

U

61

164

u095 = 164

62

63

S = X12 + X2

Rozptyl

nXE )(

nXD 2)(

(n)

χ2090

(12) = 1855

1855

65

STUDENTOVO t(n)

66

STUDENTOVO t(n)

kde X1~ N(01) a X2 ~ χ2(n)

nX

XT

2

1

67

STUDENTOVO t(n)

t099(9) = 282

282

68

kde X1 ~ χ2(n) a X2 ~ χ2(m)

mXn

X

T2

1

70

F rozděleniacute

115

F06 (1012) = 115

71

72

73

74

Statistika
Pravděpodobnost
Poissonovo Po()
Poissonovo Po() (2)
Poissonovo Po() (3)
Poissonovo Po() (4)
Slide 47
Studentovo t(n)
Studentovo t(n) (2)
Studentovo t(n) (3)
Slide 74

3

4

PRAVDĚPODOBNOST

PRAVDA a PODOBNOST

5

6

Přiacuteklad

7

8

9

49

6

10

11

12

13

P(A) = 113 983 816 = 0000 000 072 tj 0000 007 2

14

P(A) = mn

15

16

17

( )P(A) limn

m A

n

18

0 le P(A) le 1

19

10 003 001 20 008 002 30 009 003 40 022 009 50 063 030 60 187 084 70 424 214 80 954 636 90 2371 2212

100 5354 6253 105 10000 10000

20

4

13

01

1 1 01

5 16 01

21

22

hodnot

23

24

0 (tři diacutevky) = 048∙048∙048 = 011

3 (tři chlapci) = 052∙052∙052 = 014

Celkem 100 100

25

P(x) = P(X = x)

26

000501

01502

02503

03504

045

0 1 2 3 4

Pra

vděp

od

ob

no

st p

(x)

27

0 (tři diacutevky) = 048∙048∙048 = 1∙0520∙(1-052)3

3 (tři chlapci) = 052∙052∙052 = 1∙0523∙(1-052)0

Celkem 100 100

( ) 1n xxn

P xx

)(

Pozn

xnx

n

x

n

28

29

3 (tři chlapci) 014 011+036+039+014 = 1

Celkem 100 -

30

0 1 2 3 40

02

04

06

08

1

12

F(x

)

31

x

p(x)

0 2 4 6 8 100

005

01

015

02

025

03

x

F(x

)

0 2 4 6 8 100

02

04

06

08

1

32

Rozptyl

( ) 1n xxn

P xx

nXE )(

)1()( nXD

33

5 335(3) 1 05 1 05 0313 tj 313

3n xxn

Px

52505)( nXE

251)501(505)1()( nXD

Vyacutepočet

Rozptyl

34

4 224(2) 1 03 1 03 0264 tj 264

2n xxn

Px

( ) 4 03 12E X n

( ) (1 ) 4 03 (1 03) 036D X n

Vyacutepočet

Rozptyl

35

0 05 1 15 2 25 3 35 4 450

005

01

015

02

025

03

035

04

045

P(x

)

P(2) = 0264

36

( 1) (1) (2) (3) (4) 1 (0)

1 024 076 tj 76

P X P P P P P

( ) 4 03 12E X n

( ) (1 ) 4 03 (1 03) 036D X n

Vyacutepočet

Rozptyl

37

POISSONOVO PO()

104

x

p(x)

0 5 10 15 20 25 300

004

008

012

016

02

104

x

p(x)

0 5 10 15 20 25 300

02

04

06

08

1

= 10λ

= 4λ

λ = 10

λ = 4

38

POISSONOVO PO()

Rozptyl

)(XE

)(XD

( )

x

P x ex

39

POISSONOVO PO()

Vyacutepočet

Rozptyl

10)( XE

10)( XD

151010

(15) 0035 tj 35 15

x

P e ex

400 5 10 15 20 25 300

002

004

006

008

01

012

014

P(x

)

POISSONOVO PO()

P(15) = 0035

41

( )

M N M

x n xP x

N

n

42

11)()(

N

nN

N

M

N

MnXD

N

MnXE

43

Vyacutepočet

Rozptyl

( ) 1 04041

M M N nD X n

N N N

4 12 4

2 2 2(2) 0091 tj 91

12

2

M N M

x n xP

N

n

( ) 0667M

E X nN

44

0 05 1 15 2 250

01

02

03

04

05

06

P(x

)

P(2) = 0091

45

( )n

i ii

E X x p

2 2 2

1

( ) ( ) ( ) ( )n

i ii

D X x E X p E X E X

46

47

48

F(x) = P(X le x)

49

neexistuje

50

lim ( ) 0

x

f x

00

51

( ) 1f x dx

( ) 1P X

Obsah = 1

52

( )b

a

f x dx

( )P a X b

a b

53

)()()(

x

dttfxXPxFd ( )

( ) ( )d

F xf x F x

x

54

55

Rozptyl

dzexFx z

2

)(

2

1)(

)(XE2)( XD

2

)(

2

1)(

x

exf x

56

57

58

x~

59

60

Rozptyl

0)( XE1)( XD

X

U

61

164

u095 = 164

62

63

S = X12 + X2

Rozptyl

nXE )(

nXD 2)(

(n)

χ2090

(12) = 1855

1855

65

STUDENTOVO t(n)

66

STUDENTOVO t(n)

kde X1~ N(01) a X2 ~ χ2(n)

nX

XT

2

1

67

STUDENTOVO t(n)

t099(9) = 282

282

68

kde X1 ~ χ2(n) a X2 ~ χ2(m)

mXn

X

T2

1

70

F rozděleniacute

115

F06 (1012) = 115

71

72

73

74

Statistika
Pravděpodobnost
Poissonovo Po()
Poissonovo Po() (2)
Poissonovo Po() (3)
Poissonovo Po() (4)
Slide 47
Studentovo t(n)
Studentovo t(n) (2)
Studentovo t(n) (3)
Slide 74

4

PRAVDĚPODOBNOST

PRAVDA a PODOBNOST

5

6

Přiacuteklad

7

8

9

49

6

10

11

12

13

P(A) = 113 983 816 = 0000 000 072 tj 0000 007 2

14

P(A) = mn

15

16

17

( )P(A) limn

m A

n

18

0 le P(A) le 1

19

10 003 001 20 008 002 30 009 003 40 022 009 50 063 030 60 187 084 70 424 214 80 954 636 90 2371 2212

100 5354 6253 105 10000 10000

20

4

13

01

1 1 01

5 16 01

21

22

hodnot

23

24

0 (tři diacutevky) = 048∙048∙048 = 011

3 (tři chlapci) = 052∙052∙052 = 014

Celkem 100 100

25

P(x) = P(X = x)

26

000501

01502

02503

03504

045

0 1 2 3 4

Pra

vděp

od

ob

no

st p

(x)

27

0 (tři diacutevky) = 048∙048∙048 = 1∙0520∙(1-052)3

3 (tři chlapci) = 052∙052∙052 = 1∙0523∙(1-052)0

Celkem 100 100

( ) 1n xxn

P xx

)(

Pozn

xnx

n

x

n

28

29

3 (tři chlapci) 014 011+036+039+014 = 1

Celkem 100 -

30

0 1 2 3 40

02

04

06

08

1

12

F(x

)

31

x

p(x)

0 2 4 6 8 100

005

01

015

02

025

03

x

F(x

)

0 2 4 6 8 100

02

04

06

08

1

32

Rozptyl

( ) 1n xxn

P xx

nXE )(

)1()( nXD

33

5 335(3) 1 05 1 05 0313 tj 313

3n xxn

Px

52505)( nXE

251)501(505)1()( nXD

Vyacutepočet

Rozptyl

34

4 224(2) 1 03 1 03 0264 tj 264

2n xxn

Px

( ) 4 03 12E X n

( ) (1 ) 4 03 (1 03) 036D X n

Vyacutepočet

Rozptyl

35

0 05 1 15 2 25 3 35 4 450

005

01

015

02

025

03

035

04

045

P(x

)

P(2) = 0264

36

( 1) (1) (2) (3) (4) 1 (0)

1 024 076 tj 76

P X P P P P P

( ) 4 03 12E X n

( ) (1 ) 4 03 (1 03) 036D X n

Vyacutepočet

Rozptyl

37

POISSONOVO PO()

104

x

p(x)

0 5 10 15 20 25 300

004

008

012

016

02

104

x

p(x)

0 5 10 15 20 25 300

02

04

06

08

1

= 10λ

= 4λ

λ = 10

λ = 4

38

POISSONOVO PO()

Rozptyl

)(XE

)(XD

( )

x

P x ex

39

POISSONOVO PO()

Vyacutepočet

Rozptyl

10)( XE

10)( XD

151010

(15) 0035 tj 35 15

x

P e ex

400 5 10 15 20 25 300

002

004

006

008

01

012

014

P(x

)

POISSONOVO PO()

P(15) = 0035

41

( )

M N M

x n xP x

N

n

42

11)()(

N

nN

N

M

N

MnXD

N

MnXE

43

Vyacutepočet

Rozptyl

( ) 1 04041

M M N nD X n

N N N

4 12 4

2 2 2(2) 0091 tj 91

12

2

M N M

x n xP

N

n

( ) 0667M

E X nN

44

0 05 1 15 2 250

01

02

03

04

05

06

P(x

)

P(2) = 0091

45

( )n

i ii

E X x p

2 2 2

1

( ) ( ) ( ) ( )n

i ii

D X x E X p E X E X

46

47

48

F(x) = P(X le x)

49

neexistuje

50

lim ( ) 0

x

f x

00

51

( ) 1f x dx

( ) 1P X

Obsah = 1

52

( )b

a

f x dx

( )P a X b

a b

53

)()()(

x

dttfxXPxFd ( )

( ) ( )d

F xf x F x

x

54

55

Rozptyl

dzexFx z

2

)(

2

1)(

)(XE2)( XD

2

)(

2

1)(

x

exf x

56

57

58

x~

59

60

Rozptyl

0)( XE1)( XD

X

U

61

164

u095 = 164

62

63

S = X12 + X2

Rozptyl

nXE )(

nXD 2)(

(n)

χ2090

(12) = 1855

1855

65

STUDENTOVO t(n)

66

STUDENTOVO t(n)

kde X1~ N(01) a X2 ~ χ2(n)

nX

XT

2

1

67

STUDENTOVO t(n)

t099(9) = 282

282

68

kde X1 ~ χ2(n) a X2 ~ χ2(m)

mXn

X

T2

1

70

F rozděleniacute

115

F06 (1012) = 115

71

72

73

74

Statistika
Pravděpodobnost
Poissonovo Po()
Poissonovo Po() (2)
Poissonovo Po() (3)
Poissonovo Po() (4)
Slide 47
Studentovo t(n)
Studentovo t(n) (2)
Studentovo t(n) (3)
Slide 74

5

6

Přiacuteklad

7

8

9

49

6

10

11

12

13

P(A) = 113 983 816 = 0000 000 072 tj 0000 007 2

14

P(A) = mn

15

16

17

( )P(A) limn

m A

n

18

0 le P(A) le 1

19

10 003 001 20 008 002 30 009 003 40 022 009 50 063 030 60 187 084 70 424 214 80 954 636 90 2371 2212

100 5354 6253 105 10000 10000

20

4

13

01

1 1 01

5 16 01

21

22

hodnot

23

24

0 (tři diacutevky) = 048∙048∙048 = 011

3 (tři chlapci) = 052∙052∙052 = 014

Celkem 100 100

25

P(x) = P(X = x)

26

000501

01502

02503

03504

045

0 1 2 3 4

Pra

vděp

od

ob

no

st p

(x)

27

0 (tři diacutevky) = 048∙048∙048 = 1∙0520∙(1-052)3

3 (tři chlapci) = 052∙052∙052 = 1∙0523∙(1-052)0

Celkem 100 100

( ) 1n xxn

P xx

)(

Pozn

xnx

n

x

n

28

29

3 (tři chlapci) 014 011+036+039+014 = 1

Celkem 100 -

30

0 1 2 3 40

02

04

06

08

1

12

F(x

)

31

x

p(x)

0 2 4 6 8 100

005

01

015

02

025

03

x

F(x

)

0 2 4 6 8 100

02

04

06

08

1

32

Rozptyl

( ) 1n xxn

P xx

nXE )(

)1()( nXD

33

5 335(3) 1 05 1 05 0313 tj 313

3n xxn

Px

52505)( nXE

251)501(505)1()( nXD

Vyacutepočet

Rozptyl

34

4 224(2) 1 03 1 03 0264 tj 264

2n xxn

Px

( ) 4 03 12E X n

( ) (1 ) 4 03 (1 03) 036D X n

Vyacutepočet

Rozptyl

35

0 05 1 15 2 25 3 35 4 450

005

01

015

02

025

03

035

04

045

P(x

)

P(2) = 0264

36

( 1) (1) (2) (3) (4) 1 (0)

1 024 076 tj 76

P X P P P P P

( ) 4 03 12E X n

( ) (1 ) 4 03 (1 03) 036D X n

Vyacutepočet

Rozptyl

37

POISSONOVO PO()

104

x

p(x)

0 5 10 15 20 25 300

004

008

012

016

02

104

x

p(x)

0 5 10 15 20 25 300

02

04

06

08

1

= 10λ

= 4λ

λ = 10

λ = 4

38

POISSONOVO PO()

Rozptyl

)(XE

)(XD

( )

x

P x ex

39

POISSONOVO PO()

Vyacutepočet

Rozptyl

10)( XE

10)( XD

151010

(15) 0035 tj 35 15

x

P e ex

400 5 10 15 20 25 300

002

004

006

008

01

012

014

P(x

)

POISSONOVO PO()

P(15) = 0035

41

( )

M N M

x n xP x

N

n

42

11)()(

N

nN

N

M

N

MnXD

N

MnXE

43

Vyacutepočet

Rozptyl

( ) 1 04041

M M N nD X n

N N N

4 12 4

2 2 2(2) 0091 tj 91

12

2

M N M

x n xP

N

n

( ) 0667M

E X nN

44

0 05 1 15 2 250

01

02

03

04

05

06

P(x

)

P(2) = 0091

45

( )n

i ii

E X x p

2 2 2

1

( ) ( ) ( ) ( )n

i ii

D X x E X p E X E X

46

47

48

F(x) = P(X le x)

49

neexistuje

50

lim ( ) 0

x

f x

00

51

( ) 1f x dx

( ) 1P X

Obsah = 1

52

( )b

a

f x dx

( )P a X b

a b

53

)()()(

x

dttfxXPxFd ( )

( ) ( )d

F xf x F x

x

54

55

Rozptyl

dzexFx z

2

)(

2

1)(

)(XE2)( XD

2

)(

2

1)(

x

exf x

56

57

58

x~

59

60

Rozptyl

0)( XE1)( XD

X

U

61

164

u095 = 164

62

63

S = X12 + X2

Rozptyl

nXE )(

nXD 2)(

(n)

χ2090

(12) = 1855

1855

65

STUDENTOVO t(n)

66

STUDENTOVO t(n)

kde X1~ N(01) a X2 ~ χ2(n)

nX

XT

2

1

67

STUDENTOVO t(n)

t099(9) = 282

282

68

kde X1 ~ χ2(n) a X2 ~ χ2(m)

mXn

X

T2

1

70

F rozděleniacute

115

F06 (1012) = 115

71

72

73

74

Statistika
Pravděpodobnost
Poissonovo Po()
Poissonovo Po() (2)
Poissonovo Po() (3)
Poissonovo Po() (4)
Slide 47
Studentovo t(n)
Studentovo t(n) (2)
Studentovo t(n) (3)
Slide 74

6

Přiacuteklad

7

8

9

49

6

10

11

12

13

P(A) = 113 983 816 = 0000 000 072 tj 0000 007 2

14

P(A) = mn

15

16

17

( )P(A) limn

m A

n

18

0 le P(A) le 1

19

10 003 001 20 008 002 30 009 003 40 022 009 50 063 030 60 187 084 70 424 214 80 954 636 90 2371 2212

100 5354 6253 105 10000 10000

20

4

13

01

1 1 01

5 16 01

21

22

hodnot

23

24

0 (tři diacutevky) = 048∙048∙048 = 011

3 (tři chlapci) = 052∙052∙052 = 014

Celkem 100 100

25

P(x) = P(X = x)

26

000501

01502

02503

03504

045

0 1 2 3 4

Pra

vděp

od

ob

no

st p

(x)

27

0 (tři diacutevky) = 048∙048∙048 = 1∙0520∙(1-052)3

3 (tři chlapci) = 052∙052∙052 = 1∙0523∙(1-052)0

Celkem 100 100

( ) 1n xxn

P xx

)(

Pozn

xnx

n

x

n

28

29

3 (tři chlapci) 014 011+036+039+014 = 1

Celkem 100 -

30

0 1 2 3 40

02

04

06

08

1

12

F(x

)

31

x

p(x)

0 2 4 6 8 100

005

01

015

02

025

03

x

F(x

)

0 2 4 6 8 100

02

04

06

08

1

32

Rozptyl

( ) 1n xxn

P xx

nXE )(

)1()( nXD

33

5 335(3) 1 05 1 05 0313 tj 313

3n xxn

Px

52505)( nXE

251)501(505)1()( nXD

Vyacutepočet

Rozptyl

34

4 224(2) 1 03 1 03 0264 tj 264

2n xxn

Px

( ) 4 03 12E X n

( ) (1 ) 4 03 (1 03) 036D X n

Vyacutepočet

Rozptyl

35

0 05 1 15 2 25 3 35 4 450

005

01

015

02

025

03

035

04

045

P(x

)

P(2) = 0264

36

( 1) (1) (2) (3) (4) 1 (0)

1 024 076 tj 76

P X P P P P P

( ) 4 03 12E X n

( ) (1 ) 4 03 (1 03) 036D X n

Vyacutepočet

Rozptyl

37

POISSONOVO PO()

104

x

p(x)

0 5 10 15 20 25 300

004

008

012

016

02

104

x

p(x)

0 5 10 15 20 25 300

02

04

06

08

1

= 10λ

= 4λ

λ = 10

λ = 4

38

POISSONOVO PO()

Rozptyl

)(XE

)(XD

( )

x

P x ex

39

POISSONOVO PO()

Vyacutepočet

Rozptyl

10)( XE

10)( XD

151010

(15) 0035 tj 35 15

x

P e ex

400 5 10 15 20 25 300

002

004

006

008

01

012

014

P(x

)

POISSONOVO PO()

P(15) = 0035

41

( )

M N M

x n xP x

N

n

42

11)()(

N

nN

N

M

N

MnXD

N

MnXE

43

Vyacutepočet

Rozptyl

( ) 1 04041

M M N nD X n

N N N

4 12 4

2 2 2(2) 0091 tj 91

12

2

M N M

x n xP

N

n

( ) 0667M

E X nN

44

0 05 1 15 2 250

01

02

03

04

05

06

P(x

)

P(2) = 0091

45

( )n

i ii

E X x p

2 2 2

1

( ) ( ) ( ) ( )n

i ii

D X x E X p E X E X

46

47

48

F(x) = P(X le x)

49

neexistuje

50

lim ( ) 0

x

f x

00

51

( ) 1f x dx

( ) 1P X

Obsah = 1

52

( )b

a

f x dx

( )P a X b

a b

53

)()()(

x

dttfxXPxFd ( )

( ) ( )d

F xf x F x

x

54

55

Rozptyl

dzexFx z

2

)(

2

1)(

)(XE2)( XD

2

)(

2

1)(

x

exf x

56

57

58

x~

59

60

Rozptyl

0)( XE1)( XD

X

U

61

164

u095 = 164

62

63

S = X12 + X2

Rozptyl

nXE )(

nXD 2)(

(n)

χ2090

(12) = 1855

1855

65

STUDENTOVO t(n)

66

STUDENTOVO t(n)

kde X1~ N(01) a X2 ~ χ2(n)

nX

XT

2

1

67

STUDENTOVO t(n)

t099(9) = 282

282

68

kde X1 ~ χ2(n) a X2 ~ χ2(m)

mXn

X

T2

1

70

F rozděleniacute

115

F06 (1012) = 115

71

72

73

74

Statistika
Pravděpodobnost
Poissonovo Po()
Poissonovo Po() (2)
Poissonovo Po() (3)
Poissonovo Po() (4)
Slide 47
Studentovo t(n)
Studentovo t(n) (2)
Studentovo t(n) (3)
Slide 74

7

8

9

49

6

10

11

12

13

P(A) = 113 983 816 = 0000 000 072 tj 0000 007 2

14

P(A) = mn

15

16

17

( )P(A) limn

m A

n

18

0 le P(A) le 1

19

10 003 001 20 008 002 30 009 003 40 022 009 50 063 030 60 187 084 70 424 214 80 954 636 90 2371 2212

100 5354 6253 105 10000 10000

20

4

13

01

1 1 01

5 16 01

21

22

hodnot

23

24

0 (tři diacutevky) = 048∙048∙048 = 011

3 (tři chlapci) = 052∙052∙052 = 014

Celkem 100 100

25

P(x) = P(X = x)

26

000501

01502

02503

03504

045

0 1 2 3 4

Pra

vděp

od

ob

no

st p

(x)

27

0 (tři diacutevky) = 048∙048∙048 = 1∙0520∙(1-052)3

3 (tři chlapci) = 052∙052∙052 = 1∙0523∙(1-052)0

Celkem 100 100

( ) 1n xxn

P xx

)(

Pozn

xnx

n

x

n

28

29

3 (tři chlapci) 014 011+036+039+014 = 1

Celkem 100 -

30

0 1 2 3 40

02

04

06

08

1

12

F(x

)

31

x

p(x)

0 2 4 6 8 100

005

01

015

02

025

03

x

F(x

)

0 2 4 6 8 100

02

04

06

08

1

32

Rozptyl

( ) 1n xxn

P xx

nXE )(

)1()( nXD

33

5 335(3) 1 05 1 05 0313 tj 313

3n xxn

Px

52505)( nXE

251)501(505)1()( nXD

Vyacutepočet

Rozptyl

34

4 224(2) 1 03 1 03 0264 tj 264

2n xxn

Px

( ) 4 03 12E X n

( ) (1 ) 4 03 (1 03) 036D X n

Vyacutepočet

Rozptyl

35

0 05 1 15 2 25 3 35 4 450

005

01

015

02

025

03

035

04

045

P(x

)

P(2) = 0264

36

( 1) (1) (2) (3) (4) 1 (0)

1 024 076 tj 76

P X P P P P P

( ) 4 03 12E X n

( ) (1 ) 4 03 (1 03) 036D X n

Vyacutepočet

Rozptyl

37

POISSONOVO PO()

104

x

p(x)

0 5 10 15 20 25 300

004

008

012

016

02

104

x

p(x)

0 5 10 15 20 25 300

02

04

06

08

1

= 10λ

= 4λ

λ = 10

λ = 4

38

POISSONOVO PO()

Rozptyl

)(XE

)(XD

( )

x

P x ex

39

POISSONOVO PO()

Vyacutepočet

Rozptyl

10)( XE

10)( XD

151010

(15) 0035 tj 35 15

x

P e ex

400 5 10 15 20 25 300

002

004

006

008

01

012

014

P(x

)

POISSONOVO PO()

P(15) = 0035

41

( )

M N M

x n xP x

N

n

42

11)()(

N

nN

N

M

N

MnXD

N

MnXE

43

Vyacutepočet

Rozptyl

( ) 1 04041

M M N nD X n

N N N

4 12 4

2 2 2(2) 0091 tj 91

12

2

M N M

x n xP

N

n

( ) 0667M

E X nN

44

0 05 1 15 2 250

01

02

03

04

05

06

P(x

)

P(2) = 0091

45

( )n

i ii

E X x p

2 2 2

1

( ) ( ) ( ) ( )n

i ii

D X x E X p E X E X

46

47

48

F(x) = P(X le x)

49

neexistuje

50

lim ( ) 0

x

f x

00

51

( ) 1f x dx

( ) 1P X

Obsah = 1

52

( )b

a

f x dx

( )P a X b

a b

53

)()()(

x

dttfxXPxFd ( )

( ) ( )d

F xf x F x

x

54

55

Rozptyl

dzexFx z

2

)(

2

1)(

)(XE2)( XD

2

)(

2

1)(

x

exf x

56

57

58

x~

59

60

Rozptyl

0)( XE1)( XD

X

U

61

164

u095 = 164

62

63

S = X12 + X2

Rozptyl

nXE )(

nXD 2)(

(n)

χ2090

(12) = 1855

1855

65

STUDENTOVO t(n)

66

STUDENTOVO t(n)

kde X1~ N(01) a X2 ~ χ2(n)

nX

XT

2

1

67

STUDENTOVO t(n)

t099(9) = 282

282

68

kde X1 ~ χ2(n) a X2 ~ χ2(m)

mXn

X

T2

1

70

F rozděleniacute

115

F06 (1012) = 115

71

72

73

74

Statistika
Pravděpodobnost
Poissonovo Po()
Poissonovo Po() (2)
Poissonovo Po() (3)
Poissonovo Po() (4)
Slide 47
Studentovo t(n)
Studentovo t(n) (2)
Studentovo t(n) (3)
Slide 74

8

9

49

6

10

11

12

13

P(A) = 113 983 816 = 0000 000 072 tj 0000 007 2

14

P(A) = mn

15

16

17

( )P(A) limn

m A

n

18

0 le P(A) le 1

19

10 003 001 20 008 002 30 009 003 40 022 009 50 063 030 60 187 084 70 424 214 80 954 636 90 2371 2212

100 5354 6253 105 10000 10000

20

4

13

01

1 1 01

5 16 01

21

22

hodnot

23

24

0 (tři diacutevky) = 048∙048∙048 = 011

3 (tři chlapci) = 052∙052∙052 = 014

Celkem 100 100

25

P(x) = P(X = x)

26

000501

01502

02503

03504

045

0 1 2 3 4

Pra

vděp

od

ob

no

st p

(x)

27

0 (tři diacutevky) = 048∙048∙048 = 1∙0520∙(1-052)3

3 (tři chlapci) = 052∙052∙052 = 1∙0523∙(1-052)0

Celkem 100 100

( ) 1n xxn

P xx

)(

Pozn

xnx

n

x

n

28

29

3 (tři chlapci) 014 011+036+039+014 = 1

Celkem 100 -

30

0 1 2 3 40

02

04

06

08

1

12

F(x

)

31

x

p(x)

0 2 4 6 8 100

005

01

015

02

025

03

x

F(x

)

0 2 4 6 8 100

02

04

06

08

1

32

Rozptyl

( ) 1n xxn

P xx

nXE )(

)1()( nXD

33

5 335(3) 1 05 1 05 0313 tj 313

3n xxn

Px

52505)( nXE

251)501(505)1()( nXD

Vyacutepočet

Rozptyl

34

4 224(2) 1 03 1 03 0264 tj 264

2n xxn

Px

( ) 4 03 12E X n

( ) (1 ) 4 03 (1 03) 036D X n

Vyacutepočet

Rozptyl

35

0 05 1 15 2 25 3 35 4 450

005

01

015

02

025

03

035

04

045

P(x

)

P(2) = 0264

36

( 1) (1) (2) (3) (4) 1 (0)

1 024 076 tj 76

P X P P P P P

( ) 4 03 12E X n

( ) (1 ) 4 03 (1 03) 036D X n

Vyacutepočet

Rozptyl

37

POISSONOVO PO()

104

x

p(x)

0 5 10 15 20 25 300

004

008

012

016

02

104

x

p(x)

0 5 10 15 20 25 300

02

04

06

08

1

= 10λ

= 4λ

λ = 10

λ = 4

38

POISSONOVO PO()

Rozptyl

)(XE

)(XD

( )

x

P x ex

39

POISSONOVO PO()

Vyacutepočet

Rozptyl

10)( XE

10)( XD

151010

(15) 0035 tj 35 15

x

P e ex

400 5 10 15 20 25 300

002

004

006

008

01

012

014

P(x

)

POISSONOVO PO()

P(15) = 0035

41

( )

M N M

x n xP x

N

n

42

11)()(

N

nN

N

M

N

MnXD

N

MnXE

43

Vyacutepočet

Rozptyl

( ) 1 04041

M M N nD X n

N N N

4 12 4

2 2 2(2) 0091 tj 91

12

2

M N M

x n xP

N

n

( ) 0667M

E X nN

44

0 05 1 15 2 250

01

02

03

04

05

06

P(x

)

P(2) = 0091

45

( )n

i ii

E X x p

2 2 2

1

( ) ( ) ( ) ( )n

i ii

D X x E X p E X E X

46

47

48

F(x) = P(X le x)

49

neexistuje

50

lim ( ) 0

x

f x

00

51

( ) 1f x dx

( ) 1P X

Obsah = 1

52

( )b

a

f x dx

( )P a X b

a b

53

)()()(

x

dttfxXPxFd ( )

( ) ( )d

F xf x F x

x

54

55

Rozptyl

dzexFx z

2

)(

2

1)(

)(XE2)( XD

2

)(

2

1)(

x

exf x

56

57

58

x~

59

60

Rozptyl

0)( XE1)( XD

X

U

61

164

u095 = 164

62

63

S = X12 + X2

Rozptyl

nXE )(

nXD 2)(

(n)

χ2090

(12) = 1855

1855

65

STUDENTOVO t(n)

66

STUDENTOVO t(n)

kde X1~ N(01) a X2 ~ χ2(n)

nX

XT

2

1

67

STUDENTOVO t(n)

t099(9) = 282

282

68

kde X1 ~ χ2(n) a X2 ~ χ2(m)

mXn

X

T2

1

70

F rozděleniacute

115

F06 (1012) = 115

71

72

73

74

Statistika
Pravděpodobnost
Poissonovo Po()
Poissonovo Po() (2)
Poissonovo Po() (3)
Poissonovo Po() (4)
Slide 47
Studentovo t(n)
Studentovo t(n) (2)
Studentovo t(n) (3)
Slide 74

9

49

6

10

11

12

13

P(A) = 113 983 816 = 0000 000 072 tj 0000 007 2

14

P(A) = mn

15

16

17

( )P(A) limn

m A

n

18

0 le P(A) le 1

19

10 003 001 20 008 002 30 009 003 40 022 009 50 063 030 60 187 084 70 424 214 80 954 636 90 2371 2212

100 5354 6253 105 10000 10000

20

4

13

01

1 1 01

5 16 01

21

22

hodnot

23

24

0 (tři diacutevky) = 048∙048∙048 = 011

3 (tři chlapci) = 052∙052∙052 = 014

Celkem 100 100

25

P(x) = P(X = x)

26

000501

01502

02503

03504

045

0 1 2 3 4

Pra

vděp

od

ob

no

st p

(x)

27

0 (tři diacutevky) = 048∙048∙048 = 1∙0520∙(1-052)3

3 (tři chlapci) = 052∙052∙052 = 1∙0523∙(1-052)0

Celkem 100 100

( ) 1n xxn

P xx

)(

Pozn

xnx

n

x

n

28

29

3 (tři chlapci) 014 011+036+039+014 = 1

Celkem 100 -

30

0 1 2 3 40

02

04

06

08

1

12

F(x

)

31

x

p(x)

0 2 4 6 8 100

005

01

015

02

025

03

x

F(x

)

0 2 4 6 8 100

02

04

06

08

1

32

Rozptyl

( ) 1n xxn

P xx

nXE )(

)1()( nXD

33

5 335(3) 1 05 1 05 0313 tj 313

3n xxn

Px

52505)( nXE

251)501(505)1()( nXD

Vyacutepočet

Rozptyl

34

4 224(2) 1 03 1 03 0264 tj 264

2n xxn

Px

( ) 4 03 12E X n

( ) (1 ) 4 03 (1 03) 036D X n

Vyacutepočet

Rozptyl

35

0 05 1 15 2 25 3 35 4 450

005

01

015

02

025

03

035

04

045

P(x

)

P(2) = 0264

36

( 1) (1) (2) (3) (4) 1 (0)

1 024 076 tj 76

P X P P P P P

( ) 4 03 12E X n

( ) (1 ) 4 03 (1 03) 036D X n

Vyacutepočet

Rozptyl

37

POISSONOVO PO()

104

x

p(x)

0 5 10 15 20 25 300

004

008

012

016

02

104

x

p(x)

0 5 10 15 20 25 300

02

04

06

08

1

= 10λ

= 4λ

λ = 10

λ = 4

38

POISSONOVO PO()

Rozptyl

)(XE

)(XD

( )

x

P x ex

39

POISSONOVO PO()

Vyacutepočet

Rozptyl

10)( XE

10)( XD

151010

(15) 0035 tj 35 15

x

P e ex

400 5 10 15 20 25 300

002

004

006

008

01

012

014

P(x

)

POISSONOVO PO()

P(15) = 0035

41

( )

M N M

x n xP x

N

n

42

11)()(

N

nN

N

M

N

MnXD

N

MnXE

43

Vyacutepočet

Rozptyl

( ) 1 04041

M M N nD X n

N N N

4 12 4

2 2 2(2) 0091 tj 91

12

2

M N M

x n xP

N

n

( ) 0667M

E X nN

44

0 05 1 15 2 250

01

02

03

04

05

06

P(x

)

P(2) = 0091

45

( )n

i ii

E X x p

2 2 2

1

( ) ( ) ( ) ( )n

i ii

D X x E X p E X E X

46

47

48

F(x) = P(X le x)

49

neexistuje

50

lim ( ) 0

x

f x

00

51

( ) 1f x dx

( ) 1P X

Obsah = 1

52

( )b

a

f x dx

( )P a X b

a b

53

)()()(

x

dttfxXPxFd ( )

( ) ( )d

F xf x F x

x

54

55

Rozptyl

dzexFx z

2

)(

2

1)(

)(XE2)( XD

2

)(

2

1)(

x

exf x

56

57

58

x~

59

60

Rozptyl

0)( XE1)( XD

X

U

61

164

u095 = 164

62

63

S = X12 + X2

Rozptyl

nXE )(

nXD 2)(

(n)

χ2090

(12) = 1855

1855

65

STUDENTOVO t(n)

66

STUDENTOVO t(n)

kde X1~ N(01) a X2 ~ χ2(n)

nX

XT

2

1

67

STUDENTOVO t(n)

t099(9) = 282

282

68

kde X1 ~ χ2(n) a X2 ~ χ2(m)

mXn

X

T2

1

70

F rozděleniacute

115

F06 (1012) = 115

71

72

73

74

Statistika
Pravděpodobnost
Poissonovo Po()
Poissonovo Po() (2)
Poissonovo Po() (3)
Poissonovo Po() (4)
Slide 47
Studentovo t(n)
Studentovo t(n) (2)
Studentovo t(n) (3)
Slide 74

10

11

12

13

P(A) = 113 983 816 = 0000 000 072 tj 0000 007 2

14

P(A) = mn

15

16

17

( )P(A) limn

m A

n

18

0 le P(A) le 1

19

10 003 001 20 008 002 30 009 003 40 022 009 50 063 030 60 187 084 70 424 214 80 954 636 90 2371 2212

100 5354 6253 105 10000 10000

20

4

13

01

1 1 01

5 16 01

21

22

hodnot

23

24

0 (tři diacutevky) = 048∙048∙048 = 011

3 (tři chlapci) = 052∙052∙052 = 014

Celkem 100 100

25

P(x) = P(X = x)

26

000501

01502

02503

03504

045

0 1 2 3 4

Pra

vděp

od

ob

no

st p

(x)

27

0 (tři diacutevky) = 048∙048∙048 = 1∙0520∙(1-052)3

3 (tři chlapci) = 052∙052∙052 = 1∙0523∙(1-052)0

Celkem 100 100

( ) 1n xxn

P xx

)(

Pozn

xnx

n

x

n

28

29

3 (tři chlapci) 014 011+036+039+014 = 1

Celkem 100 -

30

0 1 2 3 40

02

04

06

08

1

12

F(x

)

31

x

p(x)

0 2 4 6 8 100

005

01

015

02

025

03

x

F(x

)

0 2 4 6 8 100

02

04

06

08

1

32

Rozptyl

( ) 1n xxn

P xx

nXE )(

)1()( nXD

33

5 335(3) 1 05 1 05 0313 tj 313

3n xxn

Px

52505)( nXE

251)501(505)1()( nXD

Vyacutepočet

Rozptyl

34

4 224(2) 1 03 1 03 0264 tj 264

2n xxn

Px

( ) 4 03 12E X n

( ) (1 ) 4 03 (1 03) 036D X n

Vyacutepočet

Rozptyl

35

0 05 1 15 2 25 3 35 4 450

005

01

015

02

025

03

035

04

045

P(x

)

P(2) = 0264

36

( 1) (1) (2) (3) (4) 1 (0)

1 024 076 tj 76

P X P P P P P

( ) 4 03 12E X n

( ) (1 ) 4 03 (1 03) 036D X n

Vyacutepočet

Rozptyl

37

POISSONOVO PO()

104

x

p(x)

0 5 10 15 20 25 300

004

008

012

016

02

104

x

p(x)

0 5 10 15 20 25 300

02

04

06

08

1

= 10λ

= 4λ

λ = 10

λ = 4

38

POISSONOVO PO()

Rozptyl

)(XE

)(XD

( )

x

P x ex

39

POISSONOVO PO()

Vyacutepočet

Rozptyl

10)( XE

10)( XD

151010

(15) 0035 tj 35 15

x

P e ex

400 5 10 15 20 25 300

002

004

006

008

01

012

014

P(x

)

POISSONOVO PO()

P(15) = 0035

41

( )

M N M

x n xP x

N

n

42

11)()(

N

nN

N

M

N

MnXD

N

MnXE

43

Vyacutepočet

Rozptyl

( ) 1 04041

M M N nD X n

N N N

4 12 4

2 2 2(2) 0091 tj 91

12

2

M N M

x n xP

N

n

( ) 0667M

E X nN

44

0 05 1 15 2 250

01

02

03

04

05

06

P(x

)

P(2) = 0091

45

( )n

i ii

E X x p

2 2 2

1

( ) ( ) ( ) ( )n

i ii

D X x E X p E X E X

46

47

48

F(x) = P(X le x)

49

neexistuje

50

lim ( ) 0

x

f x

00

51

( ) 1f x dx

( ) 1P X

Obsah = 1

52

( )b

a

f x dx

( )P a X b

a b

53

)()()(

x

dttfxXPxFd ( )

( ) ( )d

F xf x F x

x

54

55

Rozptyl

dzexFx z

2

)(

2

1)(

)(XE2)( XD

2

)(

2

1)(

x

exf x

56

57

58

x~

59

60

Rozptyl

0)( XE1)( XD

X

U

61

164

u095 = 164

62

63

S = X12 + X2

Rozptyl

nXE )(

nXD 2)(

(n)

χ2090

(12) = 1855

1855

65

STUDENTOVO t(n)

66

STUDENTOVO t(n)

kde X1~ N(01) a X2 ~ χ2(n)

nX

XT

2

1

67

STUDENTOVO t(n)

t099(9) = 282

282

68

kde X1 ~ χ2(n) a X2 ~ χ2(m)

mXn

X

T2

1

70

F rozděleniacute

115

F06 (1012) = 115

71

72

73

74

Statistika
Pravděpodobnost
Poissonovo Po()
Poissonovo Po() (2)
Poissonovo Po() (3)
Poissonovo Po() (4)
Slide 47
Studentovo t(n)
Studentovo t(n) (2)
Studentovo t(n) (3)
Slide 74

11

12

13

P(A) = 113 983 816 = 0000 000 072 tj 0000 007 2

14

P(A) = mn

15

16

17

( )P(A) limn

m A

n

18

0 le P(A) le 1

19

10 003 001 20 008 002 30 009 003 40 022 009 50 063 030 60 187 084 70 424 214 80 954 636 90 2371 2212

100 5354 6253 105 10000 10000

20

4

13

01

1 1 01

5 16 01

21

22

hodnot

23

24

0 (tři diacutevky) = 048∙048∙048 = 011

3 (tři chlapci) = 052∙052∙052 = 014

Celkem 100 100

25

P(x) = P(X = x)

26

000501

01502

02503

03504

045

0 1 2 3 4

Pra

vděp

od

ob

no

st p

(x)

27

0 (tři diacutevky) = 048∙048∙048 = 1∙0520∙(1-052)3

3 (tři chlapci) = 052∙052∙052 = 1∙0523∙(1-052)0

Celkem 100 100

( ) 1n xxn

P xx

)(

Pozn

xnx

n

x

n

28

29

3 (tři chlapci) 014 011+036+039+014 = 1

Celkem 100 -

30

0 1 2 3 40

02

04

06

08

1

12

F(x

)

31

x

p(x)

0 2 4 6 8 100

005

01

015

02

025

03

x

F(x

)

0 2 4 6 8 100

02

04

06

08

1

32

Rozptyl

( ) 1n xxn

P xx

nXE )(

)1()( nXD

33

5 335(3) 1 05 1 05 0313 tj 313

3n xxn

Px

52505)( nXE

251)501(505)1()( nXD

Vyacutepočet

Rozptyl

34

4 224(2) 1 03 1 03 0264 tj 264

2n xxn

Px

( ) 4 03 12E X n

( ) (1 ) 4 03 (1 03) 036D X n

Vyacutepočet

Rozptyl

35

0 05 1 15 2 25 3 35 4 450

005

01

015

02

025

03

035

04

045

P(x

)

P(2) = 0264

36

( 1) (1) (2) (3) (4) 1 (0)

1 024 076 tj 76

P X P P P P P

( ) 4 03 12E X n

( ) (1 ) 4 03 (1 03) 036D X n

Vyacutepočet

Rozptyl

37

POISSONOVO PO()

104

x

p(x)

0 5 10 15 20 25 300

004

008

012

016

02

104

x

p(x)

0 5 10 15 20 25 300

02

04

06

08

1

= 10λ

= 4λ

λ = 10

λ = 4

38

POISSONOVO PO()

Rozptyl

)(XE

)(XD

( )

x

P x ex

39

POISSONOVO PO()

Vyacutepočet

Rozptyl

10)( XE

10)( XD

151010

(15) 0035 tj 35 15

x

P e ex

400 5 10 15 20 25 300

002

004

006

008

01

012

014

P(x

)

POISSONOVO PO()

P(15) = 0035

41

( )

M N M

x n xP x

N

n

42

11)()(

N

nN

N

M

N

MnXD

N

MnXE

43

Vyacutepočet

Rozptyl

( ) 1 04041

M M N nD X n

N N N

4 12 4

2 2 2(2) 0091 tj 91

12

2

M N M

x n xP

N

n

( ) 0667M

E X nN

44

0 05 1 15 2 250

01

02

03

04

05

06

P(x

)

P(2) = 0091

45

( )n

i ii

E X x p

2 2 2

1

( ) ( ) ( ) ( )n

i ii

D X x E X p E X E X

46

47

48

F(x) = P(X le x)

49

neexistuje

50

lim ( ) 0

x

f x

00

51

( ) 1f x dx

( ) 1P X

Obsah = 1

52

( )b

a

f x dx

( )P a X b

a b

53

)()()(

x

dttfxXPxFd ( )

( ) ( )d

F xf x F x

x

54

55

Rozptyl

dzexFx z

2

)(

2

1)(

)(XE2)( XD

2

)(

2

1)(

x

exf x

56

57

58

x~

59

60

Rozptyl

0)( XE1)( XD

X

U

61

164

u095 = 164

62

63

S = X12 + X2

Rozptyl

nXE )(

nXD 2)(

(n)

χ2090

(12) = 1855

1855

65

STUDENTOVO t(n)

66

STUDENTOVO t(n)

kde X1~ N(01) a X2 ~ χ2(n)

nX

XT

2

1

67

STUDENTOVO t(n)

t099(9) = 282

282

68

kde X1 ~ χ2(n) a X2 ~ χ2(m)

mXn

X

T2

1

70

F rozděleniacute

115

F06 (1012) = 115

71

72

73

74

Statistika
Pravděpodobnost
Poissonovo Po()
Poissonovo Po() (2)
Poissonovo Po() (3)
Poissonovo Po() (4)
Slide 47
Studentovo t(n)
Studentovo t(n) (2)
Studentovo t(n) (3)
Slide 74

12

13

P(A) = 113 983 816 = 0000 000 072 tj 0000 007 2

14

P(A) = mn

15

16

17

( )P(A) limn

m A

n

18

0 le P(A) le 1

19

10 003 001 20 008 002 30 009 003 40 022 009 50 063 030 60 187 084 70 424 214 80 954 636 90 2371 2212

100 5354 6253 105 10000 10000

20

4

13

01

1 1 01

5 16 01

21

22

hodnot

23

24

0 (tři diacutevky) = 048∙048∙048 = 011

3 (tři chlapci) = 052∙052∙052 = 014

Celkem 100 100

25

P(x) = P(X = x)

26

000501

01502

02503

03504

045

0 1 2 3 4

Pra

vděp

od

ob

no

st p

(x)

27

0 (tři diacutevky) = 048∙048∙048 = 1∙0520∙(1-052)3

3 (tři chlapci) = 052∙052∙052 = 1∙0523∙(1-052)0

Celkem 100 100

( ) 1n xxn

P xx

)(

Pozn

xnx

n

x

n

28

29

3 (tři chlapci) 014 011+036+039+014 = 1

Celkem 100 -

30

0 1 2 3 40

02

04

06

08

1

12

F(x

)

31

x

p(x)

0 2 4 6 8 100

005

01

015

02

025

03

x

F(x

)

0 2 4 6 8 100

02

04

06

08

1

32

Rozptyl

( ) 1n xxn

P xx

nXE )(

)1()( nXD

33

5 335(3) 1 05 1 05 0313 tj 313

3n xxn

Px

52505)( nXE

251)501(505)1()( nXD

Vyacutepočet

Rozptyl

34

4 224(2) 1 03 1 03 0264 tj 264

2n xxn

Px

( ) 4 03 12E X n

( ) (1 ) 4 03 (1 03) 036D X n

Vyacutepočet

Rozptyl

35

0 05 1 15 2 25 3 35 4 450

005

01

015

02

025

03

035

04

045

P(x

)

P(2) = 0264

36

( 1) (1) (2) (3) (4) 1 (0)

1 024 076 tj 76

P X P P P P P

( ) 4 03 12E X n

( ) (1 ) 4 03 (1 03) 036D X n

Vyacutepočet

Rozptyl

37

POISSONOVO PO()

104

x

p(x)

0 5 10 15 20 25 300

004

008

012

016

02

104

x

p(x)

0 5 10 15 20 25 300

02

04

06

08

1

= 10λ

= 4λ

λ = 10

λ = 4

38

POISSONOVO PO()

Rozptyl

)(XE

)(XD

( )

x

P x ex

39

POISSONOVO PO()

Vyacutepočet

Rozptyl

10)( XE

10)( XD

151010

(15) 0035 tj 35 15

x

P e ex

400 5 10 15 20 25 300

002

004

006

008

01

012

014

P(x

)

POISSONOVO PO()

P(15) = 0035

41

( )

M N M

x n xP x

N

n

42

11)()(

N

nN

N

M

N

MnXD

N

MnXE

43

Vyacutepočet

Rozptyl

( ) 1 04041

M M N nD X n

N N N

4 12 4

2 2 2(2) 0091 tj 91

12

2

M N M

x n xP

N

n

( ) 0667M

E X nN

44

0 05 1 15 2 250

01

02

03

04

05

06

P(x

)

P(2) = 0091

45

( )n

i ii

E X x p

2 2 2

1

( ) ( ) ( ) ( )n

i ii

D X x E X p E X E X

46

47

48

F(x) = P(X le x)

49

neexistuje

50

lim ( ) 0

x

f x

00

51

( ) 1f x dx

( ) 1P X

Obsah = 1

52

( )b

a

f x dx

( )P a X b

a b

53

)()()(

x

dttfxXPxFd ( )

( ) ( )d

F xf x F x

x

54

55

Rozptyl

dzexFx z

2

)(

2

1)(

)(XE2)( XD

2

)(

2

1)(

x

exf x

56

57

58

x~

59

60

Rozptyl

0)( XE1)( XD

X

U

61

164

u095 = 164

62

63

S = X12 + X2

Rozptyl

nXE )(

nXD 2)(

(n)

χ2090

(12) = 1855

1855

65

STUDENTOVO t(n)

66

STUDENTOVO t(n)

kde X1~ N(01) a X2 ~ χ2(n)

nX

XT

2

1

67

STUDENTOVO t(n)

t099(9) = 282

282

68

kde X1 ~ χ2(n) a X2 ~ χ2(m)

mXn

X

T2

1

70

F rozděleniacute

115

F06 (1012) = 115

71

72

73

74

Statistika
Pravděpodobnost
Poissonovo Po()
Poissonovo Po() (2)
Poissonovo Po() (3)
Poissonovo Po() (4)
Slide 47
Studentovo t(n)
Studentovo t(n) (2)
Studentovo t(n) (3)
Slide 74

13

P(A) = 113 983 816 = 0000 000 072 tj 0000 007 2

14

P(A) = mn

15

16

17

( )P(A) limn

m A

n

18

0 le P(A) le 1

19

10 003 001 20 008 002 30 009 003 40 022 009 50 063 030 60 187 084 70 424 214 80 954 636 90 2371 2212

100 5354 6253 105 10000 10000

20

4

13

01

1 1 01

5 16 01

21

22

hodnot

23

24

0 (tři diacutevky) = 048∙048∙048 = 011

3 (tři chlapci) = 052∙052∙052 = 014

Celkem 100 100

25

P(x) = P(X = x)

26

000501

01502

02503

03504

045

0 1 2 3 4

Pra

vděp

od

ob

no

st p

(x)

27

0 (tři diacutevky) = 048∙048∙048 = 1∙0520∙(1-052)3

3 (tři chlapci) = 052∙052∙052 = 1∙0523∙(1-052)0

Celkem 100 100

( ) 1n xxn

P xx

)(

Pozn

xnx

n

x

n

28

29

3 (tři chlapci) 014 011+036+039+014 = 1

Celkem 100 -

30

0 1 2 3 40

02

04

06

08

1

12

F(x

)

31

x

p(x)

0 2 4 6 8 100

005

01

015

02

025

03

x

F(x

)

0 2 4 6 8 100

02

04

06

08

1

32

Rozptyl

( ) 1n xxn

P xx

nXE )(

)1()( nXD

33

5 335(3) 1 05 1 05 0313 tj 313

3n xxn

Px

52505)( nXE

251)501(505)1()( nXD

Vyacutepočet

Rozptyl

34

4 224(2) 1 03 1 03 0264 tj 264

2n xxn

Px

( ) 4 03 12E X n

( ) (1 ) 4 03 (1 03) 036D X n

Vyacutepočet

Rozptyl

35

0 05 1 15 2 25 3 35 4 450

005

01

015

02

025

03

035

04

045

P(x

)

P(2) = 0264

36

( 1) (1) (2) (3) (4) 1 (0)

1 024 076 tj 76

P X P P P P P

( ) 4 03 12E X n

( ) (1 ) 4 03 (1 03) 036D X n

Vyacutepočet

Rozptyl

37

POISSONOVO PO()

104

x

p(x)

0 5 10 15 20 25 300

004

008

012

016

02

104

x

p(x)

0 5 10 15 20 25 300

02

04

06

08

1

= 10λ

= 4λ

λ = 10

λ = 4

38

POISSONOVO PO()

Rozptyl

)(XE

)(XD

( )

x

P x ex

39

POISSONOVO PO()

Vyacutepočet

Rozptyl

10)( XE

10)( XD

151010

(15) 0035 tj 35 15

x

P e ex

400 5 10 15 20 25 300

002

004

006

008

01

012

014

P(x

)

POISSONOVO PO()

P(15) = 0035

41

( )

M N M

x n xP x

N

n

42

11)()(

N

nN

N

M

N

MnXD

N

MnXE

43

Vyacutepočet

Rozptyl

( ) 1 04041

M M N nD X n

N N N

4 12 4

2 2 2(2) 0091 tj 91

12

2

M N M

x n xP

N

n

( ) 0667M

E X nN

44

0 05 1 15 2 250

01

02

03

04

05

06

P(x

)

P(2) = 0091

45

( )n

i ii

E X x p

2 2 2

1

( ) ( ) ( ) ( )n

i ii

D X x E X p E X E X

46

47

48

F(x) = P(X le x)

49

neexistuje

50

lim ( ) 0

x

f x

00

51

( ) 1f x dx

( ) 1P X

Obsah = 1

52

( )b

a

f x dx

( )P a X b

a b

53

)()()(

x

dttfxXPxFd ( )

( ) ( )d

F xf x F x

x

54

55

Rozptyl

dzexFx z

2

)(

2

1)(

)(XE2)( XD

2

)(

2

1)(

x

exf x

56

57

58

x~

59

60

Rozptyl

0)( XE1)( XD

X

U

61

164

u095 = 164

62

63

S = X12 + X2

Rozptyl

nXE )(

nXD 2)(

(n)

χ2090

(12) = 1855

1855

65

STUDENTOVO t(n)

66

STUDENTOVO t(n)

kde X1~ N(01) a X2 ~ χ2(n)

nX

XT

2

1

67

STUDENTOVO t(n)

t099(9) = 282

282

68

kde X1 ~ χ2(n) a X2 ~ χ2(m)

mXn

X

T2

1

70

F rozděleniacute

115

F06 (1012) = 115

71

72

73

74

Statistika
Pravděpodobnost
Poissonovo Po()
Poissonovo Po() (2)
Poissonovo Po() (3)
Poissonovo Po() (4)
Slide 47
Studentovo t(n)
Studentovo t(n) (2)
Studentovo t(n) (3)
Slide 74

14

P(A) = mn

15

16

17

( )P(A) limn

m A

n

18

0 le P(A) le 1

19

10 003 001 20 008 002 30 009 003 40 022 009 50 063 030 60 187 084 70 424 214 80 954 636 90 2371 2212

100 5354 6253 105 10000 10000

20

4

13

01

1 1 01

5 16 01

21

22

hodnot

23

24

0 (tři diacutevky) = 048∙048∙048 = 011

3 (tři chlapci) = 052∙052∙052 = 014

Celkem 100 100

25

P(x) = P(X = x)

26

000501

01502

02503

03504

045

0 1 2 3 4

Pra

vděp

od

ob

no

st p

(x)

27

0 (tři diacutevky) = 048∙048∙048 = 1∙0520∙(1-052)3

3 (tři chlapci) = 052∙052∙052 = 1∙0523∙(1-052)0

Celkem 100 100

( ) 1n xxn

P xx

)(

Pozn

xnx

n

x

n

28

29

3 (tři chlapci) 014 011+036+039+014 = 1

Celkem 100 -

30

0 1 2 3 40

02

04

06

08

1

12

F(x

)

31

x

p(x)

0 2 4 6 8 100

005

01

015

02

025

03

x

F(x

)

0 2 4 6 8 100

02

04

06

08

1

32

Rozptyl

( ) 1n xxn

P xx

nXE )(

)1()( nXD

33

5 335(3) 1 05 1 05 0313 tj 313

3n xxn

Px

52505)( nXE

251)501(505)1()( nXD

Vyacutepočet

Rozptyl

34

4 224(2) 1 03 1 03 0264 tj 264

2n xxn

Px

( ) 4 03 12E X n

( ) (1 ) 4 03 (1 03) 036D X n

Vyacutepočet

Rozptyl

35

0 05 1 15 2 25 3 35 4 450

005

01

015

02

025

03

035

04

045

P(x

)

P(2) = 0264

36

( 1) (1) (2) (3) (4) 1 (0)

1 024 076 tj 76

P X P P P P P

( ) 4 03 12E X n

( ) (1 ) 4 03 (1 03) 036D X n

Vyacutepočet

Rozptyl

37

POISSONOVO PO()

104

x

p(x)

0 5 10 15 20 25 300

004

008

012

016

02

104

x

p(x)

0 5 10 15 20 25 300

02

04

06

08

1

= 10λ

= 4λ

λ = 10

λ = 4

38

POISSONOVO PO()

Rozptyl

)(XE

)(XD

( )

x

P x ex

39

POISSONOVO PO()

Vyacutepočet

Rozptyl

10)( XE

10)( XD

151010

(15) 0035 tj 35 15

x

P e ex

400 5 10 15 20 25 300

002

004

006

008

01

012

014

P(x

)

POISSONOVO PO()

P(15) = 0035

41

( )

M N M

x n xP x

N

n

42

11)()(

N

nN

N

M

N

MnXD

N

MnXE

43

Vyacutepočet

Rozptyl

( ) 1 04041

M M N nD X n

N N N

4 12 4

2 2 2(2) 0091 tj 91

12

2

M N M

x n xP

N

n

( ) 0667M

E X nN

44

0 05 1 15 2 250

01

02

03

04

05

06

P(x

)

P(2) = 0091

45

( )n

i ii

E X x p

2 2 2

1

( ) ( ) ( ) ( )n

i ii

D X x E X p E X E X

46

47

48

F(x) = P(X le x)

49

neexistuje

50

lim ( ) 0

x

f x

00

51

( ) 1f x dx

( ) 1P X

Obsah = 1

52

( )b

a

f x dx

( )P a X b

a b

53

)()()(

x

dttfxXPxFd ( )

( ) ( )d

F xf x F x

x

54

55

Rozptyl

dzexFx z

2

)(

2

1)(

)(XE2)( XD

2

)(

2

1)(

x

exf x

56

57

58

x~

59

60

Rozptyl

0)( XE1)( XD

X

U

61

164

u095 = 164

62

63

S = X12 + X2

Rozptyl

nXE )(

nXD 2)(

(n)

χ2090

(12) = 1855

1855

65

STUDENTOVO t(n)

66

STUDENTOVO t(n)

kde X1~ N(01) a X2 ~ χ2(n)

nX

XT

2

1

67

STUDENTOVO t(n)

t099(9) = 282

282

68

kde X1 ~ χ2(n) a X2 ~ χ2(m)

mXn

X

T2

1

70

F rozděleniacute

115

F06 (1012) = 115

71

72

73

74

Statistika
Pravděpodobnost
Poissonovo Po()
Poissonovo Po() (2)
Poissonovo Po() (3)
Poissonovo Po() (4)
Slide 47
Studentovo t(n)
Studentovo t(n) (2)
Studentovo t(n) (3)
Slide 74

15

16

17

( )P(A) limn

m A

n

18

0 le P(A) le 1

19

10 003 001 20 008 002 30 009 003 40 022 009 50 063 030 60 187 084 70 424 214 80 954 636 90 2371 2212

100 5354 6253 105 10000 10000

20

4

13

01

1 1 01

5 16 01

21

22

hodnot

23

24

0 (tři diacutevky) = 048∙048∙048 = 011

3 (tři chlapci) = 052∙052∙052 = 014

Celkem 100 100

25

P(x) = P(X = x)

26

000501

01502

02503

03504

045

0 1 2 3 4

Pra

vděp

od

ob

no

st p

(x)

27

0 (tři diacutevky) = 048∙048∙048 = 1∙0520∙(1-052)3

3 (tři chlapci) = 052∙052∙052 = 1∙0523∙(1-052)0

Celkem 100 100

( ) 1n xxn

P xx

)(

Pozn

xnx

n

x

n

28

29

3 (tři chlapci) 014 011+036+039+014 = 1

Celkem 100 -

30

0 1 2 3 40

02

04

06

08

1

12

F(x

)

31

x

p(x)

0 2 4 6 8 100

005

01

015

02

025

03

x

F(x

)

0 2 4 6 8 100

02

04

06

08

1

32

Rozptyl

( ) 1n xxn

P xx

nXE )(

)1()( nXD

33

5 335(3) 1 05 1 05 0313 tj 313

3n xxn

Px

52505)( nXE

251)501(505)1()( nXD

Vyacutepočet

Rozptyl

34

4 224(2) 1 03 1 03 0264 tj 264

2n xxn

Px

( ) 4 03 12E X n

( ) (1 ) 4 03 (1 03) 036D X n

Vyacutepočet

Rozptyl

35

0 05 1 15 2 25 3 35 4 450

005

01

015

02

025

03

035

04

045

P(x

)

P(2) = 0264

36

( 1) (1) (2) (3) (4) 1 (0)

1 024 076 tj 76

P X P P P P P

( ) 4 03 12E X n

( ) (1 ) 4 03 (1 03) 036D X n

Vyacutepočet

Rozptyl

37

POISSONOVO PO()

104

x

p(x)

0 5 10 15 20 25 300

004

008

012

016

02

104

x

p(x)

0 5 10 15 20 25 300

02

04

06

08

1

= 10λ

= 4λ

λ = 10

λ = 4

38

POISSONOVO PO()

Rozptyl

)(XE

)(XD

( )

x

P x ex

39

POISSONOVO PO()

Vyacutepočet

Rozptyl

10)( XE

10)( XD

151010

(15) 0035 tj 35 15

x

P e ex

400 5 10 15 20 25 300

002

004

006

008

01

012

014

P(x

)

POISSONOVO PO()

P(15) = 0035

41

( )

M N M

x n xP x

N

n

42

11)()(

N

nN

N

M

N

MnXD

N

MnXE

43

Vyacutepočet

Rozptyl

( ) 1 04041

M M N nD X n

N N N

4 12 4

2 2 2(2) 0091 tj 91

12

2

M N M

x n xP

N

n

( ) 0667M

E X nN

44

0 05 1 15 2 250

01

02

03

04

05

06

P(x

)

P(2) = 0091

45

( )n

i ii

E X x p

2 2 2

1

( ) ( ) ( ) ( )n

i ii

D X x E X p E X E X

46

47

48

F(x) = P(X le x)

49

neexistuje

50

lim ( ) 0

x

f x

00

51

( ) 1f x dx

( ) 1P X

Obsah = 1

52

( )b

a

f x dx

( )P a X b

a b

53

)()()(

x

dttfxXPxFd ( )

( ) ( )d

F xf x F x

x

54

55

Rozptyl

dzexFx z

2

)(

2

1)(

)(XE2)( XD

2

)(

2

1)(

x

exf x

56

57

58

x~

59

60

Rozptyl

0)( XE1)( XD

X

U

61

164

u095 = 164

62

63

S = X12 + X2

Rozptyl

nXE )(

nXD 2)(

(n)

χ2090

(12) = 1855

1855

65

STUDENTOVO t(n)

66

STUDENTOVO t(n)

kde X1~ N(01) a X2 ~ χ2(n)

nX

XT

2

1

67

STUDENTOVO t(n)

t099(9) = 282

282

68

kde X1 ~ χ2(n) a X2 ~ χ2(m)

mXn

X

T2

1

70

F rozděleniacute

115

F06 (1012) = 115

71

72

73

74

Statistika
Pravděpodobnost
Poissonovo Po()
Poissonovo Po() (2)
Poissonovo Po() (3)
Poissonovo Po() (4)
Slide 47
Studentovo t(n)
Studentovo t(n) (2)
Studentovo t(n) (3)
Slide 74

16

17

( )P(A) limn

m A

n

18

0 le P(A) le 1

19

10 003 001 20 008 002 30 009 003 40 022 009 50 063 030 60 187 084 70 424 214 80 954 636 90 2371 2212

100 5354 6253 105 10000 10000

20

4

13

01

1 1 01

5 16 01

21

22

hodnot

23

24

0 (tři diacutevky) = 048∙048∙048 = 011

3 (tři chlapci) = 052∙052∙052 = 014

Celkem 100 100

25

P(x) = P(X = x)

26

000501

01502

02503

03504

045

0 1 2 3 4

Pra

vděp

od

ob

no

st p

(x)

27

0 (tři diacutevky) = 048∙048∙048 = 1∙0520∙(1-052)3

3 (tři chlapci) = 052∙052∙052 = 1∙0523∙(1-052)0

Celkem 100 100

( ) 1n xxn

P xx

)(

Pozn

xnx

n

x

n

28

29

3 (tři chlapci) 014 011+036+039+014 = 1

Celkem 100 -

30

0 1 2 3 40

02

04

06

08

1

12

F(x

)

31

x

p(x)

0 2 4 6 8 100

005

01

015

02

025

03

x

F(x

)

0 2 4 6 8 100

02

04

06

08

1

32

Rozptyl

( ) 1n xxn

P xx

nXE )(

)1()( nXD

33

5 335(3) 1 05 1 05 0313 tj 313

3n xxn

Px

52505)( nXE

251)501(505)1()( nXD

Vyacutepočet

Rozptyl

34

4 224(2) 1 03 1 03 0264 tj 264

2n xxn

Px

( ) 4 03 12E X n

( ) (1 ) 4 03 (1 03) 036D X n

Vyacutepočet

Rozptyl

35

0 05 1 15 2 25 3 35 4 450

005

01

015

02

025

03

035

04

045

P(x

)

P(2) = 0264

36

( 1) (1) (2) (3) (4) 1 (0)

1 024 076 tj 76

P X P P P P P

( ) 4 03 12E X n

( ) (1 ) 4 03 (1 03) 036D X n

Vyacutepočet

Rozptyl

37

POISSONOVO PO()

104

x

p(x)

0 5 10 15 20 25 300

004

008

012

016

02

104

x

p(x)

0 5 10 15 20 25 300

02

04

06

08

1

= 10λ

= 4λ

λ = 10

λ = 4

38

POISSONOVO PO()

Rozptyl

)(XE

)(XD

( )

x

P x ex

39

POISSONOVO PO()

Vyacutepočet

Rozptyl

10)( XE

10)( XD

151010

(15) 0035 tj 35 15

x

P e ex

400 5 10 15 20 25 300

002

004

006

008

01

012

014

P(x

)

POISSONOVO PO()

P(15) = 0035

41

( )

M N M

x n xP x

N

n

42

11)()(

N

nN

N

M

N

MnXD

N

MnXE

43

Vyacutepočet

Rozptyl

( ) 1 04041

M M N nD X n

N N N

4 12 4

2 2 2(2) 0091 tj 91

12

2

M N M

x n xP

N

n

( ) 0667M

E X nN

44

0 05 1 15 2 250

01

02

03

04

05

06

P(x

)

P(2) = 0091

45

( )n

i ii

E X x p

2 2 2

1

( ) ( ) ( ) ( )n

i ii

D X x E X p E X E X

46

47

48

F(x) = P(X le x)

49

neexistuje

50

lim ( ) 0

x

f x

00

51

( ) 1f x dx

( ) 1P X

Obsah = 1

52

( )b

a

f x dx

( )P a X b

a b

53

)()()(

x

dttfxXPxFd ( )

( ) ( )d

F xf x F x

x

54

55

Rozptyl

dzexFx z

2

)(

2

1)(

)(XE2)( XD

2

)(

2

1)(

x

exf x

56

57

58

x~

59

60

Rozptyl

0)( XE1)( XD

X

U

61

164

u095 = 164

62

63

S = X12 + X2

Rozptyl

nXE )(

nXD 2)(

(n)

χ2090

(12) = 1855

1855

65

STUDENTOVO t(n)

66

STUDENTOVO t(n)

kde X1~ N(01) a X2 ~ χ2(n)

nX

XT

2

1

67

STUDENTOVO t(n)

t099(9) = 282

282

68

kde X1 ~ χ2(n) a X2 ~ χ2(m)

mXn

X

T2

1

70

F rozděleniacute

115

F06 (1012) = 115

71

72

73

74

Statistika
Pravděpodobnost
Poissonovo Po()
Poissonovo Po() (2)
Poissonovo Po() (3)
Poissonovo Po() (4)
Slide 47
Studentovo t(n)
Studentovo t(n) (2)
Studentovo t(n) (3)
Slide 74

17

( )P(A) limn

m A

n

18

0 le P(A) le 1

19

10 003 001 20 008 002 30 009 003 40 022 009 50 063 030 60 187 084 70 424 214 80 954 636 90 2371 2212

100 5354 6253 105 10000 10000

20

4

13

01

1 1 01

5 16 01

21

22

hodnot

23

24

0 (tři diacutevky) = 048∙048∙048 = 011

3 (tři chlapci) = 052∙052∙052 = 014

Celkem 100 100

25

P(x) = P(X = x)

26

000501

01502

02503

03504

045

0 1 2 3 4

Pra

vděp

od

ob

no

st p

(x)

27

0 (tři diacutevky) = 048∙048∙048 = 1∙0520∙(1-052)3

3 (tři chlapci) = 052∙052∙052 = 1∙0523∙(1-052)0

Celkem 100 100

( ) 1n xxn

P xx

)(

Pozn

xnx

n

x

n

28

29

3 (tři chlapci) 014 011+036+039+014 = 1

Celkem 100 -

30

0 1 2 3 40

02

04

06

08

1

12

F(x

)

31

x

p(x)

0 2 4 6 8 100

005

01

015

02

025

03

x

F(x

)

0 2 4 6 8 100

02

04

06

08

1

32

Rozptyl

( ) 1n xxn

P xx

nXE )(

)1()( nXD

33

5 335(3) 1 05 1 05 0313 tj 313

3n xxn

Px

52505)( nXE

251)501(505)1()( nXD

Vyacutepočet

Rozptyl

34

4 224(2) 1 03 1 03 0264 tj 264

2n xxn

Px

( ) 4 03 12E X n

( ) (1 ) 4 03 (1 03) 036D X n

Vyacutepočet

Rozptyl

35

0 05 1 15 2 25 3 35 4 450

005

01

015

02

025

03

035

04

045

P(x

)

P(2) = 0264

36

( 1) (1) (2) (3) (4) 1 (0)

1 024 076 tj 76

P X P P P P P

( ) 4 03 12E X n

( ) (1 ) 4 03 (1 03) 036D X n

Vyacutepočet

Rozptyl

37

POISSONOVO PO()

104

x

p(x)

0 5 10 15 20 25 300

004

008

012

016

02

104

x

p(x)

0 5 10 15 20 25 300

02

04

06

08

1

= 10λ

= 4λ

λ = 10

λ = 4

38

POISSONOVO PO()

Rozptyl

)(XE

)(XD

( )

x

P x ex

39

POISSONOVO PO()

Vyacutepočet

Rozptyl

10)( XE

10)( XD

151010

(15) 0035 tj 35 15

x

P e ex

400 5 10 15 20 25 300

002

004

006

008

01

012

014

P(x

)

POISSONOVO PO()

P(15) = 0035

41

( )

M N M

x n xP x

N

n

42

11)()(

N

nN

N

M

N

MnXD

N

MnXE

43

Vyacutepočet

Rozptyl

( ) 1 04041

M M N nD X n

N N N

4 12 4

2 2 2(2) 0091 tj 91

12

2

M N M

x n xP

N

n

( ) 0667M

E X nN

44

0 05 1 15 2 250

01

02

03

04

05

06

P(x

)

P(2) = 0091

45

( )n

i ii

E X x p

2 2 2

1

( ) ( ) ( ) ( )n

i ii

D X x E X p E X E X

46

47

48

F(x) = P(X le x)

49

neexistuje

50

lim ( ) 0

x

f x

00

51

( ) 1f x dx

( ) 1P X

Obsah = 1

52

( )b

a

f x dx

( )P a X b

a b

53

)()()(

x

dttfxXPxFd ( )

( ) ( )d

F xf x F x

x

54

55

Rozptyl

dzexFx z

2

)(

2

1)(

)(XE2)( XD

2

)(

2

1)(

x

exf x

56

57

58

x~

59

60

Rozptyl

0)( XE1)( XD

X

U

61

164

u095 = 164

62

63

S = X12 + X2

Rozptyl

nXE )(

nXD 2)(

(n)

χ2090

(12) = 1855

1855

65

STUDENTOVO t(n)

66

STUDENTOVO t(n)

kde X1~ N(01) a X2 ~ χ2(n)

nX

XT

2

1

67

STUDENTOVO t(n)

t099(9) = 282

282

68

kde X1 ~ χ2(n) a X2 ~ χ2(m)

mXn

X

T2

1

70

F rozděleniacute

115

F06 (1012) = 115

71

72

73

74

Statistika
Pravděpodobnost
Poissonovo Po()
Poissonovo Po() (2)
Poissonovo Po() (3)
Poissonovo Po() (4)
Slide 47
Studentovo t(n)
Studentovo t(n) (2)
Studentovo t(n) (3)
Slide 74

18

0 le P(A) le 1

19

10 003 001 20 008 002 30 009 003 40 022 009 50 063 030 60 187 084 70 424 214 80 954 636 90 2371 2212

100 5354 6253 105 10000 10000

20

4

13

01

1 1 01

5 16 01

21

22

hodnot

23

24

0 (tři diacutevky) = 048∙048∙048 = 011

3 (tři chlapci) = 052∙052∙052 = 014

Celkem 100 100

25

P(x) = P(X = x)

26

000501

01502

02503

03504

045

0 1 2 3 4

Pra

vděp

od

ob

no

st p

(x)

27

0 (tři diacutevky) = 048∙048∙048 = 1∙0520∙(1-052)3

3 (tři chlapci) = 052∙052∙052 = 1∙0523∙(1-052)0

Celkem 100 100

( ) 1n xxn

P xx

)(

Pozn

xnx

n

x

n

28

29

3 (tři chlapci) 014 011+036+039+014 = 1

Celkem 100 -

30

0 1 2 3 40

02

04

06

08

1

12

F(x

)

31

x

p(x)

0 2 4 6 8 100

005

01

015

02

025

03

x

F(x

)

0 2 4 6 8 100

02

04

06

08

1

32

Rozptyl

( ) 1n xxn

P xx

nXE )(

)1()( nXD

33

5 335(3) 1 05 1 05 0313 tj 313

3n xxn

Px

52505)( nXE

251)501(505)1()( nXD

Vyacutepočet

Rozptyl

34

4 224(2) 1 03 1 03 0264 tj 264

2n xxn

Px

( ) 4 03 12E X n

( ) (1 ) 4 03 (1 03) 036D X n

Vyacutepočet

Rozptyl

35

0 05 1 15 2 25 3 35 4 450

005

01

015

02

025

03

035

04

045

P(x

)

P(2) = 0264

36

( 1) (1) (2) (3) (4) 1 (0)

1 024 076 tj 76

P X P P P P P

( ) 4 03 12E X n

( ) (1 ) 4 03 (1 03) 036D X n

Vyacutepočet

Rozptyl

37

POISSONOVO PO()

104

x

p(x)

0 5 10 15 20 25 300

004

008

012

016

02

104

x

p(x)

0 5 10 15 20 25 300

02

04

06

08

1

= 10λ

= 4λ

λ = 10

λ = 4

38

POISSONOVO PO()

Rozptyl

)(XE

)(XD

( )

x

P x ex

39

POISSONOVO PO()

Vyacutepočet

Rozptyl

10)( XE

10)( XD

151010

(15) 0035 tj 35 15

x

P e ex

400 5 10 15 20 25 300

002

004

006

008

01

012

014

P(x

)

POISSONOVO PO()

P(15) = 0035

41

( )

M N M

x n xP x

N

n

42

11)()(

N

nN

N

M

N

MnXD

N

MnXE

43

Vyacutepočet

Rozptyl

( ) 1 04041

M M N nD X n

N N N

4 12 4

2 2 2(2) 0091 tj 91

12

2

M N M

x n xP

N

n

( ) 0667M

E X nN

44

0 05 1 15 2 250

01

02

03

04

05

06

P(x

)

P(2) = 0091

45

( )n

i ii

E X x p

2 2 2

1

( ) ( ) ( ) ( )n

i ii

D X x E X p E X E X

46

47

48

F(x) = P(X le x)

49

neexistuje

50

lim ( ) 0

x

f x

00

51

( ) 1f x dx

( ) 1P X

Obsah = 1

52

( )b

a

f x dx

( )P a X b

a b

53

)()()(

x

dttfxXPxFd ( )

( ) ( )d

F xf x F x

x

54

55

Rozptyl

dzexFx z

2

)(

2

1)(

)(XE2)( XD

2

)(

2

1)(

x

exf x

56

57

58

x~

59

60

Rozptyl

0)( XE1)( XD

X

U

61

164

u095 = 164

62

63

S = X12 + X2

Rozptyl

nXE )(

nXD 2)(

(n)

χ2090

(12) = 1855

1855

65

STUDENTOVO t(n)

66

STUDENTOVO t(n)

kde X1~ N(01) a X2 ~ χ2(n)

nX

XT

2

1

67

STUDENTOVO t(n)

t099(9) = 282

282

68

kde X1 ~ χ2(n) a X2 ~ χ2(m)

mXn

X

T2

1

70

F rozděleniacute

115

F06 (1012) = 115

71

72

73

74

Statistika
Pravděpodobnost
Poissonovo Po()
Poissonovo Po() (2)
Poissonovo Po() (3)
Poissonovo Po() (4)
Slide 47
Studentovo t(n)
Studentovo t(n) (2)
Studentovo t(n) (3)
Slide 74

19

10 003 001 20 008 002 30 009 003 40 022 009 50 063 030 60 187 084 70 424 214 80 954 636 90 2371 2212

100 5354 6253 105 10000 10000

20

4

13

01

1 1 01

5 16 01

21

22

hodnot

23

24

0 (tři diacutevky) = 048∙048∙048 = 011

3 (tři chlapci) = 052∙052∙052 = 014

Celkem 100 100

25

P(x) = P(X = x)

26

000501

01502

02503

03504

045

0 1 2 3 4

Pra

vděp

od

ob

no

st p

(x)

27

0 (tři diacutevky) = 048∙048∙048 = 1∙0520∙(1-052)3

3 (tři chlapci) = 052∙052∙052 = 1∙0523∙(1-052)0

Celkem 100 100

( ) 1n xxn

P xx

)(

Pozn

xnx

n

x

n

28

29

3 (tři chlapci) 014 011+036+039+014 = 1

Celkem 100 -

30

0 1 2 3 40

02

04

06

08

1

12

F(x

)

31

x

p(x)

0 2 4 6 8 100

005

01

015

02

025

03

x

F(x

)

0 2 4 6 8 100

02

04

06

08

1

32

Rozptyl

( ) 1n xxn

P xx

nXE )(

)1()( nXD

33

5 335(3) 1 05 1 05 0313 tj 313

3n xxn

Px

52505)( nXE

251)501(505)1()( nXD

Vyacutepočet

Rozptyl

34

4 224(2) 1 03 1 03 0264 tj 264

2n xxn

Px

( ) 4 03 12E X n

( ) (1 ) 4 03 (1 03) 036D X n

Vyacutepočet

Rozptyl

35

0 05 1 15 2 25 3 35 4 450

005

01

015

02

025

03

035

04

045

P(x

)

P(2) = 0264

36

( 1) (1) (2) (3) (4) 1 (0)

1 024 076 tj 76

P X P P P P P

( ) 4 03 12E X n

( ) (1 ) 4 03 (1 03) 036D X n

Vyacutepočet

Rozptyl

37

POISSONOVO PO()

104

x

p(x)

0 5 10 15 20 25 300

004

008

012

016

02

104

x

p(x)

0 5 10 15 20 25 300

02

04

06

08

1

= 10λ

= 4λ

λ = 10

λ = 4

38

POISSONOVO PO()

Rozptyl

)(XE

)(XD

( )

x

P x ex

39

POISSONOVO PO()

Vyacutepočet

Rozptyl

10)( XE

10)( XD

151010

(15) 0035 tj 35 15

x

P e ex

400 5 10 15 20 25 300

002

004

006

008

01

012

014

P(x

)

POISSONOVO PO()

P(15) = 0035

41

( )

M N M

x n xP x

N

n

42

11)()(

N

nN

N

M

N

MnXD

N

MnXE

43

Vyacutepočet

Rozptyl

( ) 1 04041

M M N nD X n

N N N

4 12 4

2 2 2(2) 0091 tj 91

12

2

M N M

x n xP

N

n

( ) 0667M

E X nN

44

0 05 1 15 2 250

01

02

03

04

05

06

P(x

)

P(2) = 0091

45

( )n

i ii

E X x p

2 2 2

1

( ) ( ) ( ) ( )n

i ii

D X x E X p E X E X

46

47

48

F(x) = P(X le x)

49

neexistuje

50

lim ( ) 0

x

f x

00

51

( ) 1f x dx

( ) 1P X

Obsah = 1

52

( )b

a

f x dx

( )P a X b

a b

53

)()()(

x

dttfxXPxFd ( )

( ) ( )d

F xf x F x

x

54

55

Rozptyl

dzexFx z

2

)(

2

1)(

)(XE2)( XD

2

)(

2

1)(

x

exf x

56

57

58

x~

59

60

Rozptyl

0)( XE1)( XD

X

U

61

164

u095 = 164

62

63

S = X12 + X2

Rozptyl

nXE )(

nXD 2)(

(n)

χ2090

(12) = 1855

1855

65

STUDENTOVO t(n)

66

STUDENTOVO t(n)

kde X1~ N(01) a X2 ~ χ2(n)

nX

XT

2

1

67

STUDENTOVO t(n)

t099(9) = 282

282

68

kde X1 ~ χ2(n) a X2 ~ χ2(m)

mXn

X

T2

1

70

F rozděleniacute

115

F06 (1012) = 115

71

72

73

74

Statistika
Pravděpodobnost
Poissonovo Po()
Poissonovo Po() (2)
Poissonovo Po() (3)
Poissonovo Po() (4)
Slide 47
Studentovo t(n)
Studentovo t(n) (2)
Studentovo t(n) (3)
Slide 74

20

4

13

01

1 1 01

5 16 01

21

22

hodnot

23

24

0 (tři diacutevky) = 048∙048∙048 = 011

3 (tři chlapci) = 052∙052∙052 = 014

Celkem 100 100

25

P(x) = P(X = x)

26

000501

01502

02503

03504

045

0 1 2 3 4

Pra

vděp

od

ob

no

st p

(x)

27

0 (tři diacutevky) = 048∙048∙048 = 1∙0520∙(1-052)3

3 (tři chlapci) = 052∙052∙052 = 1∙0523∙(1-052)0

Celkem 100 100

( ) 1n xxn

P xx

)(

Pozn

xnx

n

x

n

28

29

3 (tři chlapci) 014 011+036+039+014 = 1

Celkem 100 -

30

0 1 2 3 40

02

04

06

08

1

12

F(x

)

31

x

p(x)

0 2 4 6 8 100

005

01

015

02

025

03

x

F(x

)

0 2 4 6 8 100

02

04

06

08

1

32

Rozptyl

( ) 1n xxn

P xx

nXE )(

)1()( nXD

33

5 335(3) 1 05 1 05 0313 tj 313

3n xxn

Px

52505)( nXE

251)501(505)1()( nXD

Vyacutepočet

Rozptyl

34

4 224(2) 1 03 1 03 0264 tj 264

2n xxn

Px

( ) 4 03 12E X n

( ) (1 ) 4 03 (1 03) 036D X n

Vyacutepočet

Rozptyl

35

0 05 1 15 2 25 3 35 4 450

005

01

015

02

025

03

035

04

045

P(x

)

P(2) = 0264

36

( 1) (1) (2) (3) (4) 1 (0)

1 024 076 tj 76

P X P P P P P

( ) 4 03 12E X n

( ) (1 ) 4 03 (1 03) 036D X n

Vyacutepočet

Rozptyl

37

POISSONOVO PO()

104

x

p(x)

0 5 10 15 20 25 300

004

008

012

016

02

104

x

p(x)

0 5 10 15 20 25 300

02

04

06

08

1

= 10λ

= 4λ

λ = 10

λ = 4

38

POISSONOVO PO()

Rozptyl

)(XE

)(XD

( )

x

P x ex

39

POISSONOVO PO()

Vyacutepočet

Rozptyl

10)( XE

10)( XD

151010

(15) 0035 tj 35 15

x

P e ex

400 5 10 15 20 25 300

002

004

006

008

01

012

014

P(x

)

POISSONOVO PO()

P(15) = 0035

41

( )

M N M

x n xP x

N

n

42

11)()(

N

nN

N

M

N

MnXD

N

MnXE

43

Vyacutepočet

Rozptyl

( ) 1 04041

M M N nD X n

N N N

4 12 4

2 2 2(2) 0091 tj 91

12

2

M N M

x n xP

N

n

( ) 0667M

E X nN

44

0 05 1 15 2 250

01

02

03

04

05

06

P(x

)

P(2) = 0091

45

( )n

i ii

E X x p

2 2 2

1

( ) ( ) ( ) ( )n

i ii

D X x E X p E X E X

46

47

48

F(x) = P(X le x)

49

neexistuje

50

lim ( ) 0

x

f x

00

51

( ) 1f x dx

( ) 1P X

Obsah = 1

52

( )b

a

f x dx

( )P a X b

a b

53

)()()(

x

dttfxXPxFd ( )

( ) ( )d

F xf x F x

x

54

55

Rozptyl

dzexFx z

2

)(

2

1)(

)(XE2)( XD

2

)(

2

1)(

x

exf x

56

57

58

x~

59

60

Rozptyl

0)( XE1)( XD

X

U

61

164

u095 = 164

62

63

S = X12 + X2

Rozptyl

nXE )(

nXD 2)(

(n)

χ2090

(12) = 1855

1855

65

STUDENTOVO t(n)

66

STUDENTOVO t(n)

kde X1~ N(01) a X2 ~ χ2(n)

nX

XT

2

1

67

STUDENTOVO t(n)

t099(9) = 282

282

68

kde X1 ~ χ2(n) a X2 ~ χ2(m)

mXn

X

T2

1

70

F rozděleniacute

115

F06 (1012) = 115

71

72

73

74

Statistika
Pravděpodobnost
Poissonovo Po()
Poissonovo Po() (2)
Poissonovo Po() (3)
Poissonovo Po() (4)
Slide 47
Studentovo t(n)
Studentovo t(n) (2)
Studentovo t(n) (3)
Slide 74

21

22

hodnot

23

24

0 (tři diacutevky) = 048∙048∙048 = 011

3 (tři chlapci) = 052∙052∙052 = 014

Celkem 100 100

25

P(x) = P(X = x)

26

000501

01502

02503

03504

045

0 1 2 3 4

Pra

vděp

od

ob

no

st p

(x)

27

0 (tři diacutevky) = 048∙048∙048 = 1∙0520∙(1-052)3

3 (tři chlapci) = 052∙052∙052 = 1∙0523∙(1-052)0

Celkem 100 100

( ) 1n xxn

P xx

)(

Pozn

xnx

n

x

n

28

29

3 (tři chlapci) 014 011+036+039+014 = 1

Celkem 100 -

30

0 1 2 3 40

02

04

06

08

1

12

F(x

)

31

x

p(x)

0 2 4 6 8 100

005

01

015

02

025

03

x

F(x

)

0 2 4 6 8 100

02

04

06

08

1

32

Rozptyl

( ) 1n xxn

P xx

nXE )(

)1()( nXD

33

5 335(3) 1 05 1 05 0313 tj 313

3n xxn

Px

52505)( nXE

251)501(505)1()( nXD

Vyacutepočet

Rozptyl

34

4 224(2) 1 03 1 03 0264 tj 264

2n xxn

Px

( ) 4 03 12E X n

( ) (1 ) 4 03 (1 03) 036D X n

Vyacutepočet

Rozptyl

35

0 05 1 15 2 25 3 35 4 450

005

01

015

02

025

03

035

04

045

P(x

)

P(2) = 0264

36

( 1) (1) (2) (3) (4) 1 (0)

1 024 076 tj 76

P X P P P P P

( ) 4 03 12E X n

( ) (1 ) 4 03 (1 03) 036D X n

Vyacutepočet

Rozptyl

37

POISSONOVO PO()

104

x

p(x)

0 5 10 15 20 25 300

004

008

012

016

02

104

x

p(x)

0 5 10 15 20 25 300

02

04

06

08

1

= 10λ

= 4λ

λ = 10

λ = 4

38

POISSONOVO PO()

Rozptyl

)(XE

)(XD

( )

x

P x ex

39

POISSONOVO PO()

Vyacutepočet

Rozptyl

10)( XE

10)( XD

151010

(15) 0035 tj 35 15

x

P e ex

400 5 10 15 20 25 300

002

004

006

008

01

012

014

P(x

)

POISSONOVO PO()

P(15) = 0035

41

( )

M N M

x n xP x

N

n

42

11)()(

N

nN

N

M

N

MnXD

N

MnXE

43

Vyacutepočet

Rozptyl

( ) 1 04041

M M N nD X n

N N N

4 12 4

2 2 2(2) 0091 tj 91

12

2

M N M

x n xP

N

n

( ) 0667M

E X nN

44

0 05 1 15 2 250

01

02

03

04

05

06

P(x

)

P(2) = 0091

45

( )n

i ii

E X x p

2 2 2

1

( ) ( ) ( ) ( )n

i ii

D X x E X p E X E X

46

47

48

F(x) = P(X le x)

49

neexistuje

50

lim ( ) 0

x

f x

00

51

( ) 1f x dx

( ) 1P X

Obsah = 1

52

( )b

a

f x dx

( )P a X b

a b

53

)()()(

x

dttfxXPxFd ( )

( ) ( )d

F xf x F x

x

54

55

Rozptyl

dzexFx z

2

)(

2

1)(

)(XE2)( XD

2

)(

2

1)(

x

exf x

56

57

58

x~

59

60

Rozptyl

0)( XE1)( XD

X

U

61

164

u095 = 164

62

63

S = X12 + X2

Rozptyl

nXE )(

nXD 2)(

(n)

χ2090

(12) = 1855

1855

65

STUDENTOVO t(n)

66

STUDENTOVO t(n)

kde X1~ N(01) a X2 ~ χ2(n)

nX

XT

2

1

67

STUDENTOVO t(n)

t099(9) = 282

282

68

kde X1 ~ χ2(n) a X2 ~ χ2(m)

mXn

X

T2

1

70

F rozděleniacute

115

F06 (1012) = 115

71

72

73

74

Statistika
Pravděpodobnost
Poissonovo Po()
Poissonovo Po() (2)
Poissonovo Po() (3)
Poissonovo Po() (4)
Slide 47
Studentovo t(n)
Studentovo t(n) (2)
Studentovo t(n) (3)
Slide 74

22

hodnot

23

24

0 (tři diacutevky) = 048∙048∙048 = 011

3 (tři chlapci) = 052∙052∙052 = 014

Celkem 100 100

25

P(x) = P(X = x)

26

000501

01502

02503

03504

045

0 1 2 3 4

Pra

vděp

od

ob

no

st p

(x)

27

0 (tři diacutevky) = 048∙048∙048 = 1∙0520∙(1-052)3

3 (tři chlapci) = 052∙052∙052 = 1∙0523∙(1-052)0

Celkem 100 100

( ) 1n xxn

P xx

)(

Pozn

xnx

n

x

n

28

29

3 (tři chlapci) 014 011+036+039+014 = 1

Celkem 100 -

30

0 1 2 3 40

02

04

06

08

1

12

F(x

)

31

x

p(x)

0 2 4 6 8 100

005

01

015

02

025

03

x

F(x

)

0 2 4 6 8 100

02

04

06

08

1

32

Rozptyl

( ) 1n xxn

P xx

nXE )(

)1()( nXD

33

5 335(3) 1 05 1 05 0313 tj 313

3n xxn

Px

52505)( nXE

251)501(505)1()( nXD

Vyacutepočet

Rozptyl

34

4 224(2) 1 03 1 03 0264 tj 264

2n xxn

Px

( ) 4 03 12E X n

( ) (1 ) 4 03 (1 03) 036D X n

Vyacutepočet

Rozptyl

35

0 05 1 15 2 25 3 35 4 450

005

01

015

02

025

03

035

04

045

P(x

)

P(2) = 0264

36

( 1) (1) (2) (3) (4) 1 (0)

1 024 076 tj 76

P X P P P P P

( ) 4 03 12E X n

( ) (1 ) 4 03 (1 03) 036D X n

Vyacutepočet

Rozptyl

37

POISSONOVO PO()

104

x

p(x)

0 5 10 15 20 25 300

004

008

012

016

02

104

x

p(x)

0 5 10 15 20 25 300

02

04

06

08

1

= 10λ

= 4λ

λ = 10

λ = 4

38

POISSONOVO PO()

Rozptyl

)(XE

)(XD

( )

x

P x ex

39

POISSONOVO PO()

Vyacutepočet

Rozptyl

10)( XE

10)( XD

151010

(15) 0035 tj 35 15

x

P e ex

400 5 10 15 20 25 300

002

004

006

008

01

012

014

P(x

)

POISSONOVO PO()

P(15) = 0035

41

( )

M N M

x n xP x

N

n

42

11)()(

N

nN

N

M

N

MnXD

N

MnXE

43

Vyacutepočet

Rozptyl

( ) 1 04041

M M N nD X n

N N N

4 12 4

2 2 2(2) 0091 tj 91

12

2

M N M

x n xP

N

n

( ) 0667M

E X nN

44

0 05 1 15 2 250

01

02

03

04

05

06

P(x

)

P(2) = 0091

45

( )n

i ii

E X x p

2 2 2

1

( ) ( ) ( ) ( )n

i ii

D X x E X p E X E X

46

47

48

F(x) = P(X le x)

49

neexistuje

50

lim ( ) 0

x

f x

00

51

( ) 1f x dx

( ) 1P X

Obsah = 1

52

( )b

a

f x dx

( )P a X b

a b

53

)()()(

x

dttfxXPxFd ( )

( ) ( )d

F xf x F x

x

54

55

Rozptyl

dzexFx z

2

)(

2

1)(

)(XE2)( XD

2

)(

2

1)(

x

exf x

56

57

58

x~

59

60

Rozptyl

0)( XE1)( XD

X

U

61

164

u095 = 164

62

63

S = X12 + X2

Rozptyl

nXE )(

nXD 2)(

(n)

χ2090

(12) = 1855

1855

65

STUDENTOVO t(n)

66

STUDENTOVO t(n)

kde X1~ N(01) a X2 ~ χ2(n)

nX

XT

2

1

67

STUDENTOVO t(n)

t099(9) = 282

282

68

kde X1 ~ χ2(n) a X2 ~ χ2(m)

mXn

X

T2

1

70

F rozděleniacute

115

F06 (1012) = 115

71

72

73

74

Statistika
Pravděpodobnost
Poissonovo Po()
Poissonovo Po() (2)
Poissonovo Po() (3)
Poissonovo Po() (4)
Slide 47
Studentovo t(n)
Studentovo t(n) (2)
Studentovo t(n) (3)
Slide 74

23

24

0 (tři diacutevky) = 048∙048∙048 = 011

3 (tři chlapci) = 052∙052∙052 = 014

Celkem 100 100

25

P(x) = P(X = x)

26

000501

01502

02503

03504

045

0 1 2 3 4

Pra

vděp

od

ob

no

st p

(x)

27

0 (tři diacutevky) = 048∙048∙048 = 1∙0520∙(1-052)3

3 (tři chlapci) = 052∙052∙052 = 1∙0523∙(1-052)0

Celkem 100 100

( ) 1n xxn

P xx

)(

Pozn

xnx

n

x

n

28

29

3 (tři chlapci) 014 011+036+039+014 = 1

Celkem 100 -

30

0 1 2 3 40

02

04

06

08

1

12

F(x

)

31

x

p(x)

0 2 4 6 8 100

005

01

015

02

025

03

x

F(x

)

0 2 4 6 8 100

02

04

06

08

1

32

Rozptyl

( ) 1n xxn

P xx

nXE )(

)1()( nXD

33

5 335(3) 1 05 1 05 0313 tj 313

3n xxn

Px

52505)( nXE

251)501(505)1()( nXD

Vyacutepočet

Rozptyl

34

4 224(2) 1 03 1 03 0264 tj 264

2n xxn

Px

( ) 4 03 12E X n

( ) (1 ) 4 03 (1 03) 036D X n

Vyacutepočet

Rozptyl

35

0 05 1 15 2 25 3 35 4 450

005

01

015

02

025

03

035

04

045

P(x

)

P(2) = 0264

36

( 1) (1) (2) (3) (4) 1 (0)

1 024 076 tj 76

P X P P P P P

( ) 4 03 12E X n

( ) (1 ) 4 03 (1 03) 036D X n

Vyacutepočet

Rozptyl

37

POISSONOVO PO()

104

x

p(x)

0 5 10 15 20 25 300

004

008

012

016

02

104

x

p(x)

0 5 10 15 20 25 300

02

04

06

08

1

= 10λ

= 4λ

λ = 10

λ = 4

38

POISSONOVO PO()

Rozptyl

)(XE

)(XD

( )

x

P x ex

39

POISSONOVO PO()

Vyacutepočet

Rozptyl

10)( XE

10)( XD

151010

(15) 0035 tj 35 15

x

P e ex

400 5 10 15 20 25 300

002

004

006

008

01

012

014

P(x

)

POISSONOVO PO()

P(15) = 0035

41

( )

M N M

x n xP x

N

n

42

11)()(

N

nN

N

M

N

MnXD

N

MnXE

43

Vyacutepočet

Rozptyl

( ) 1 04041

M M N nD X n

N N N

4 12 4

2 2 2(2) 0091 tj 91

12

2

M N M

x n xP

N

n

( ) 0667M

E X nN

44

0 05 1 15 2 250

01

02

03

04

05

06

P(x

)

P(2) = 0091

45

( )n

i ii

E X x p

2 2 2

1

( ) ( ) ( ) ( )n

i ii

D X x E X p E X E X

46

47

48

F(x) = P(X le x)

49

neexistuje

50

lim ( ) 0

x

f x

00

51

( ) 1f x dx

( ) 1P X

Obsah = 1

52

( )b

a

f x dx

( )P a X b

a b

53

)()()(

x

dttfxXPxFd ( )

( ) ( )d

F xf x F x

x

54

55

Rozptyl

dzexFx z

2

)(

2

1)(

)(XE2)( XD

2

)(

2

1)(

x

exf x

56

57

58

x~

59

60

Rozptyl

0)( XE1)( XD

X

U

61

164

u095 = 164

62

63

S = X12 + X2

Rozptyl

nXE )(

nXD 2)(

(n)

χ2090

(12) = 1855

1855

65

STUDENTOVO t(n)

66

STUDENTOVO t(n)

kde X1~ N(01) a X2 ~ χ2(n)

nX

XT

2

1

67

STUDENTOVO t(n)

t099(9) = 282

282

68

kde X1 ~ χ2(n) a X2 ~ χ2(m)

mXn

X

T2

1

70

F rozděleniacute

115

F06 (1012) = 115

71

72

73

74

Statistika
Pravděpodobnost
Poissonovo Po()
Poissonovo Po() (2)
Poissonovo Po() (3)
Poissonovo Po() (4)
Slide 47
Studentovo t(n)
Studentovo t(n) (2)
Studentovo t(n) (3)
Slide 74

24

0 (tři diacutevky) = 048∙048∙048 = 011

3 (tři chlapci) = 052∙052∙052 = 014

Celkem 100 100

25

P(x) = P(X = x)

26

000501

01502

02503

03504

045

0 1 2 3 4

Pra

vděp

od

ob

no

st p

(x)

27

0 (tři diacutevky) = 048∙048∙048 = 1∙0520∙(1-052)3

3 (tři chlapci) = 052∙052∙052 = 1∙0523∙(1-052)0

Celkem 100 100

( ) 1n xxn

P xx

)(

Pozn

xnx

n

x

n

28

29

3 (tři chlapci) 014 011+036+039+014 = 1

Celkem 100 -

30

0 1 2 3 40

02

04

06

08

1

12

F(x

)

31

x

p(x)

0 2 4 6 8 100

005

01

015

02

025

03

x

F(x

)

0 2 4 6 8 100

02

04

06

08

1

32

Rozptyl

( ) 1n xxn

P xx

nXE )(

)1()( nXD

33

5 335(3) 1 05 1 05 0313 tj 313

3n xxn

Px

52505)( nXE

251)501(505)1()( nXD

Vyacutepočet

Rozptyl

34

4 224(2) 1 03 1 03 0264 tj 264

2n xxn

Px

( ) 4 03 12E X n

( ) (1 ) 4 03 (1 03) 036D X n

Vyacutepočet

Rozptyl

35

0 05 1 15 2 25 3 35 4 450

005

01

015

02

025

03

035

04

045

P(x

)

P(2) = 0264

36

( 1) (1) (2) (3) (4) 1 (0)

1 024 076 tj 76

P X P P P P P

( ) 4 03 12E X n

( ) (1 ) 4 03 (1 03) 036D X n

Vyacutepočet

Rozptyl

37

POISSONOVO PO()

104

x

p(x)

0 5 10 15 20 25 300

004

008

012

016

02

104

x

p(x)

0 5 10 15 20 25 300

02

04

06

08

1

= 10λ

= 4λ

λ = 10

λ = 4

38

POISSONOVO PO()

Rozptyl

)(XE

)(XD

( )

x

P x ex

39

POISSONOVO PO()

Vyacutepočet

Rozptyl

10)( XE

10)( XD

151010

(15) 0035 tj 35 15

x

P e ex

400 5 10 15 20 25 300

002

004

006

008

01

012

014

P(x

)

POISSONOVO PO()

P(15) = 0035

41

( )

M N M

x n xP x

N

n

42

11)()(

N

nN

N

M

N

MnXD

N

MnXE

43

Vyacutepočet

Rozptyl

( ) 1 04041

M M N nD X n

N N N

4 12 4

2 2 2(2) 0091 tj 91

12

2

M N M

x n xP

N

n

( ) 0667M

E X nN

44

0 05 1 15 2 250

01

02

03

04

05

06

P(x

)

P(2) = 0091

45

( )n

i ii

E X x p

2 2 2

1

( ) ( ) ( ) ( )n

i ii

D X x E X p E X E X

46

47

48

F(x) = P(X le x)

49

neexistuje

50

lim ( ) 0

x

f x

00

51

( ) 1f x dx

( ) 1P X

Obsah = 1

52

( )b

a

f x dx

( )P a X b

a b

53

)()()(

x

dttfxXPxFd ( )

( ) ( )d

F xf x F x

x

54

55

Rozptyl

dzexFx z

2

)(

2

1)(

)(XE2)( XD

2

)(

2

1)(

x

exf x

56

57

58

x~

59

60

Rozptyl

0)( XE1)( XD

X

U

61

164

u095 = 164

62

63

S = X12 + X2

Rozptyl

nXE )(

nXD 2)(

(n)

χ2090

(12) = 1855

1855

65

STUDENTOVO t(n)

66

STUDENTOVO t(n)

kde X1~ N(01) a X2 ~ χ2(n)

nX

XT

2

1

67

STUDENTOVO t(n)

t099(9) = 282

282

68

kde X1 ~ χ2(n) a X2 ~ χ2(m)

mXn

X

T2

1

70

F rozděleniacute

115

F06 (1012) = 115

71

72

73

74

Statistika
Pravděpodobnost
Poissonovo Po()
Poissonovo Po() (2)
Poissonovo Po() (3)
Poissonovo Po() (4)
Slide 47
Studentovo t(n)
Studentovo t(n) (2)
Studentovo t(n) (3)
Slide 74

25

P(x) = P(X = x)

26

000501

01502

02503

03504

045

0 1 2 3 4

Pra

vděp

od

ob

no

st p

(x)

27

0 (tři diacutevky) = 048∙048∙048 = 1∙0520∙(1-052)3

3 (tři chlapci) = 052∙052∙052 = 1∙0523∙(1-052)0

Celkem 100 100

( ) 1n xxn

P xx

)(

Pozn

xnx

n

x

n

28

29

3 (tři chlapci) 014 011+036+039+014 = 1

Celkem 100 -

30

0 1 2 3 40

02

04

06

08

1

12

F(x

)

31

x

p(x)

0 2 4 6 8 100

005

01

015

02

025

03

x

F(x

)

0 2 4 6 8 100

02

04

06

08

1

32

Rozptyl

( ) 1n xxn

P xx

nXE )(

)1()( nXD

33

5 335(3) 1 05 1 05 0313 tj 313

3n xxn

Px

52505)( nXE

251)501(505)1()( nXD

Vyacutepočet

Rozptyl

34

4 224(2) 1 03 1 03 0264 tj 264

2n xxn

Px

( ) 4 03 12E X n

( ) (1 ) 4 03 (1 03) 036D X n

Vyacutepočet

Rozptyl

35

0 05 1 15 2 25 3 35 4 450

005

01

015

02

025

03

035

04

045

P(x

)

P(2) = 0264

36

( 1) (1) (2) (3) (4) 1 (0)

1 024 076 tj 76

P X P P P P P

( ) 4 03 12E X n

( ) (1 ) 4 03 (1 03) 036D X n

Vyacutepočet

Rozptyl

37

POISSONOVO PO()

104

x

p(x)

0 5 10 15 20 25 300

004

008

012

016

02

104

x

p(x)

0 5 10 15 20 25 300

02

04

06

08

1

= 10λ

= 4λ

λ = 10

λ = 4

38

POISSONOVO PO()

Rozptyl

)(XE

)(XD

( )

x

P x ex

39

POISSONOVO PO()

Vyacutepočet

Rozptyl

10)( XE

10)( XD

151010

(15) 0035 tj 35 15

x

P e ex

400 5 10 15 20 25 300

002

004

006

008

01

012

014

P(x

)

POISSONOVO PO()

P(15) = 0035

41

( )

M N M

x n xP x

N

n

42

11)()(

N

nN

N

M

N

MnXD

N

MnXE

43

Vyacutepočet

Rozptyl

( ) 1 04041

M M N nD X n

N N N

4 12 4

2 2 2(2) 0091 tj 91

12

2

M N M

x n xP

N

n

( ) 0667M

E X nN

44

0 05 1 15 2 250

01

02

03

04

05

06

P(x

)

P(2) = 0091

45

( )n

i ii

E X x p

2 2 2

1

( ) ( ) ( ) ( )n

i ii

D X x E X p E X E X

46

47

48

F(x) = P(X le x)

49

neexistuje

50

lim ( ) 0

x

f x

00

51

( ) 1f x dx

( ) 1P X

Obsah = 1

52

( )b

a

f x dx

( )P a X b

a b

53

)()()(

x

dttfxXPxFd ( )

( ) ( )d

F xf x F x

x

54

55

Rozptyl

dzexFx z

2

)(

2

1)(

)(XE2)( XD

2

)(

2

1)(

x

exf x

56

57

58

x~

59

60

Rozptyl

0)( XE1)( XD

X

U

61

164

u095 = 164

62

63

S = X12 + X2

Rozptyl

nXE )(

nXD 2)(

(n)

χ2090

(12) = 1855

1855

65

STUDENTOVO t(n)

66

STUDENTOVO t(n)

kde X1~ N(01) a X2 ~ χ2(n)

nX

XT

2

1

67

STUDENTOVO t(n)

t099(9) = 282

282

68

kde X1 ~ χ2(n) a X2 ~ χ2(m)

mXn

X

T2

1

70

F rozděleniacute

115

F06 (1012) = 115

71

72

73

74

Statistika
Pravděpodobnost
Poissonovo Po()
Poissonovo Po() (2)
Poissonovo Po() (3)
Poissonovo Po() (4)
Slide 47
Studentovo t(n)
Studentovo t(n) (2)
Studentovo t(n) (3)
Slide 74

26

000501

01502

02503

03504

045

0 1 2 3 4

Pra

vděp

od

ob

no

st p

(x)

27

0 (tři diacutevky) = 048∙048∙048 = 1∙0520∙(1-052)3

3 (tři chlapci) = 052∙052∙052 = 1∙0523∙(1-052)0

Celkem 100 100

( ) 1n xxn

P xx

)(

Pozn

xnx

n

x

n

28

29

3 (tři chlapci) 014 011+036+039+014 = 1

Celkem 100 -

30

0 1 2 3 40

02

04

06

08

1

12

F(x

)

31

x

p(x)

0 2 4 6 8 100

005

01

015

02

025

03

x

F(x

)

0 2 4 6 8 100

02

04

06

08

1

32

Rozptyl

( ) 1n xxn

P xx

nXE )(

)1()( nXD

33

5 335(3) 1 05 1 05 0313 tj 313

3n xxn

Px

52505)( nXE

251)501(505)1()( nXD

Vyacutepočet

Rozptyl

34

4 224(2) 1 03 1 03 0264 tj 264

2n xxn

Px

( ) 4 03 12E X n

( ) (1 ) 4 03 (1 03) 036D X n

Vyacutepočet

Rozptyl

35

0 05 1 15 2 25 3 35 4 450

005

01

015

02

025

03

035

04

045

P(x

)

P(2) = 0264

36

( 1) (1) (2) (3) (4) 1 (0)

1 024 076 tj 76

P X P P P P P

( ) 4 03 12E X n

( ) (1 ) 4 03 (1 03) 036D X n

Vyacutepočet

Rozptyl

37

POISSONOVO PO()

104

x

p(x)

0 5 10 15 20 25 300

004

008

012

016

02

104

x

p(x)

0 5 10 15 20 25 300

02

04

06

08

1

= 10λ

= 4λ

λ = 10

λ = 4

38

POISSONOVO PO()

Rozptyl

)(XE

)(XD

( )

x

P x ex

39

POISSONOVO PO()

Vyacutepočet

Rozptyl

10)( XE

10)( XD

151010

(15) 0035 tj 35 15

x

P e ex

400 5 10 15 20 25 300

002

004

006

008

01

012

014

P(x

)

POISSONOVO PO()

P(15) = 0035

41

( )

M N M

x n xP x

N

n

42

11)()(

N

nN

N

M

N

MnXD

N

MnXE

43

Vyacutepočet

Rozptyl

( ) 1 04041

M M N nD X n

N N N

4 12 4

2 2 2(2) 0091 tj 91

12

2

M N M

x n xP

N

n

( ) 0667M

E X nN

44

0 05 1 15 2 250

01

02

03

04

05

06

P(x

)

P(2) = 0091

45

( )n

i ii

E X x p

2 2 2

1

( ) ( ) ( ) ( )n

i ii

D X x E X p E X E X

46

47

48

F(x) = P(X le x)

49

neexistuje

50

lim ( ) 0

x

f x

00

51

( ) 1f x dx

( ) 1P X

Obsah = 1

52

( )b

a

f x dx

( )P a X b

a b

53

)()()(

x

dttfxXPxFd ( )

( ) ( )d

F xf x F x

x

54

55

Rozptyl

dzexFx z

2

)(

2

1)(

)(XE2)( XD

2

)(

2

1)(

x

exf x

56

57

58

x~

59

60

Rozptyl

0)( XE1)( XD

X

U

61

164

u095 = 164

62

63

S = X12 + X2

Rozptyl

nXE )(

nXD 2)(

(n)

χ2090

(12) = 1855

1855

65

STUDENTOVO t(n)

66

STUDENTOVO t(n)

kde X1~ N(01) a X2 ~ χ2(n)

nX

XT

2

1

67

STUDENTOVO t(n)

t099(9) = 282

282

68

kde X1 ~ χ2(n) a X2 ~ χ2(m)

mXn

X

T2

1

70

F rozděleniacute

115

F06 (1012) = 115

71

72

73

74

Statistika
Pravděpodobnost
Poissonovo Po()
Poissonovo Po() (2)
Poissonovo Po() (3)
Poissonovo Po() (4)
Slide 47
Studentovo t(n)
Studentovo t(n) (2)
Studentovo t(n) (3)
Slide 74

27

0 (tři diacutevky) = 048∙048∙048 = 1∙0520∙(1-052)3

3 (tři chlapci) = 052∙052∙052 = 1∙0523∙(1-052)0

Celkem 100 100

( ) 1n xxn

P xx

)(

Pozn

xnx

n

x

n

28

29

3 (tři chlapci) 014 011+036+039+014 = 1

Celkem 100 -

30

0 1 2 3 40

02

04

06

08

1

12

F(x

)

31

x

p(x)

0 2 4 6 8 100

005

01

015

02

025

03

x

F(x

)

0 2 4 6 8 100

02

04

06

08

1

32

Rozptyl

( ) 1n xxn

P xx

nXE )(

)1()( nXD

33

5 335(3) 1 05 1 05 0313 tj 313

3n xxn

Px

52505)( nXE

251)501(505)1()( nXD

Vyacutepočet

Rozptyl

34

4 224(2) 1 03 1 03 0264 tj 264

2n xxn

Px

( ) 4 03 12E X n

( ) (1 ) 4 03 (1 03) 036D X n

Vyacutepočet

Rozptyl

35

0 05 1 15 2 25 3 35 4 450

005

01

015

02

025

03

035

04

045

P(x

)

P(2) = 0264

36

( 1) (1) (2) (3) (4) 1 (0)

1 024 076 tj 76

P X P P P P P

( ) 4 03 12E X n

( ) (1 ) 4 03 (1 03) 036D X n

Vyacutepočet

Rozptyl

37

POISSONOVO PO()

104

x

p(x)

0 5 10 15 20 25 300

004

008

012

016

02

104

x

p(x)

0 5 10 15 20 25 300

02

04

06

08

1

= 10λ

= 4λ

λ = 10

λ = 4

38

POISSONOVO PO()

Rozptyl

)(XE

)(XD

( )

x

P x ex

39

POISSONOVO PO()

Vyacutepočet

Rozptyl

10)( XE

10)( XD

151010

(15) 0035 tj 35 15

x

P e ex

400 5 10 15 20 25 300

002

004

006

008

01

012

014

P(x

)

POISSONOVO PO()

P(15) = 0035

41

( )

M N M

x n xP x

N

n

42

11)()(

N

nN

N

M

N

MnXD

N

MnXE

43

Vyacutepočet

Rozptyl

( ) 1 04041

M M N nD X n

N N N

4 12 4

2 2 2(2) 0091 tj 91

12

2

M N M

x n xP

N

n

( ) 0667M

E X nN

44

0 05 1 15 2 250

01

02

03

04

05

06

P(x

)

P(2) = 0091

45

( )n

i ii

E X x p

2 2 2

1

( ) ( ) ( ) ( )n

i ii

D X x E X p E X E X

46

47

48

F(x) = P(X le x)

49

neexistuje

50

lim ( ) 0

x

f x

00

51

( ) 1f x dx

( ) 1P X

Obsah = 1

52

( )b

a

f x dx

( )P a X b

a b

53

)()()(

x

dttfxXPxFd ( )

( ) ( )d

F xf x F x

x

54

55

Rozptyl

dzexFx z

2

)(

2

1)(

)(XE2)( XD

2

)(

2

1)(

x

exf x

56

57

58

x~

59

60

Rozptyl

0)( XE1)( XD

X

U

61

164

u095 = 164

62

63

S = X12 + X2

Rozptyl

nXE )(

nXD 2)(

(n)

χ2090

(12) = 1855

1855

65

STUDENTOVO t(n)

66

STUDENTOVO t(n)

kde X1~ N(01) a X2 ~ χ2(n)

nX

XT

2

1

67

STUDENTOVO t(n)

t099(9) = 282

282

68

kde X1 ~ χ2(n) a X2 ~ χ2(m)

mXn

X

T2

1

70

F rozděleniacute

115

F06 (1012) = 115

71

72

73

74

Statistika
Pravděpodobnost
Poissonovo Po()
Poissonovo Po() (2)
Poissonovo Po() (3)
Poissonovo Po() (4)
Slide 47
Studentovo t(n)
Studentovo t(n) (2)
Studentovo t(n) (3)
Slide 74

28

29

3 (tři chlapci) 014 011+036+039+014 = 1

Celkem 100 -

30

0 1 2 3 40

02

04

06

08

1

12

F(x

)

31

x

p(x)

0 2 4 6 8 100

005

01

015

02

025

03

x

F(x

)

0 2 4 6 8 100

02

04

06

08

1

32

Rozptyl

( ) 1n xxn

P xx

nXE )(

)1()( nXD

33

5 335(3) 1 05 1 05 0313 tj 313

3n xxn

Px

52505)( nXE

251)501(505)1()( nXD

Vyacutepočet

Rozptyl

34

4 224(2) 1 03 1 03 0264 tj 264

2n xxn

Px

( ) 4 03 12E X n

( ) (1 ) 4 03 (1 03) 036D X n

Vyacutepočet

Rozptyl

35

0 05 1 15 2 25 3 35 4 450

005

01

015

02

025

03

035

04

045

P(x

)

P(2) = 0264

36

( 1) (1) (2) (3) (4) 1 (0)

1 024 076 tj 76

P X P P P P P

( ) 4 03 12E X n

( ) (1 ) 4 03 (1 03) 036D X n

Vyacutepočet

Rozptyl

37

POISSONOVO PO()

104

x

p(x)

0 5 10 15 20 25 300

004

008

012

016

02

104

x

p(x)

0 5 10 15 20 25 300

02

04

06

08

1

= 10λ

= 4λ

λ = 10

λ = 4

38

POISSONOVO PO()

Rozptyl

)(XE

)(XD

( )

x

P x ex

39

POISSONOVO PO()

Vyacutepočet

Rozptyl

10)( XE

10)( XD

151010

(15) 0035 tj 35 15

x

P e ex

400 5 10 15 20 25 300

002

004

006

008

01

012

014

P(x

)

POISSONOVO PO()

P(15) = 0035

41

( )

M N M

x n xP x

N

n

42

11)()(

N

nN

N

M

N

MnXD

N

MnXE

43

Vyacutepočet

Rozptyl

( ) 1 04041

M M N nD X n

N N N

4 12 4

2 2 2(2) 0091 tj 91

12

2

M N M

x n xP

N

n

( ) 0667M

E X nN

44

0 05 1 15 2 250

01

02

03

04

05

06

P(x

)

P(2) = 0091

45

( )n

i ii

E X x p

2 2 2

1

( ) ( ) ( ) ( )n

i ii

D X x E X p E X E X

46

47

48

F(x) = P(X le x)

49

neexistuje

50

lim ( ) 0

x

f x

00

51

( ) 1f x dx

( ) 1P X

Obsah = 1

52

( )b

a

f x dx

( )P a X b

a b

53

)()()(

x

dttfxXPxFd ( )

( ) ( )d

F xf x F x

x

54

55

Rozptyl

dzexFx z

2

)(

2

1)(

)(XE2)( XD

2

)(

2

1)(

x

exf x

56

57

58

x~

59

60

Rozptyl

0)( XE1)( XD

X

U

61

164

u095 = 164

62

63

S = X12 + X2

Rozptyl

nXE )(

nXD 2)(

(n)

χ2090

(12) = 1855

1855

65

STUDENTOVO t(n)

66

STUDENTOVO t(n)

kde X1~ N(01) a X2 ~ χ2(n)

nX

XT

2

1

67

STUDENTOVO t(n)

t099(9) = 282

282

68

kde X1 ~ χ2(n) a X2 ~ χ2(m)

mXn

X

T2

1

70

F rozděleniacute

115

F06 (1012) = 115

71

72

73

74

Statistika
Pravděpodobnost
Poissonovo Po()
Poissonovo Po() (2)
Poissonovo Po() (3)
Poissonovo Po() (4)
Slide 47
Studentovo t(n)
Studentovo t(n) (2)
Studentovo t(n) (3)
Slide 74

29

3 (tři chlapci) 014 011+036+039+014 = 1

Celkem 100 -

30

0 1 2 3 40

02

04

06

08

1

12

F(x

)

31

x

p(x)

0 2 4 6 8 100

005

01

015

02

025

03

x

F(x

)

0 2 4 6 8 100

02

04

06

08

1

32

Rozptyl

( ) 1n xxn

P xx

nXE )(

)1()( nXD

33

5 335(3) 1 05 1 05 0313 tj 313

3n xxn

Px

52505)( nXE

251)501(505)1()( nXD

Vyacutepočet

Rozptyl

34

4 224(2) 1 03 1 03 0264 tj 264

2n xxn

Px

( ) 4 03 12E X n

( ) (1 ) 4 03 (1 03) 036D X n

Vyacutepočet

Rozptyl

35

0 05 1 15 2 25 3 35 4 450

005

01

015

02

025

03

035

04

045

P(x

)

P(2) = 0264

36

( 1) (1) (2) (3) (4) 1 (0)

1 024 076 tj 76

P X P P P P P

( ) 4 03 12E X n

( ) (1 ) 4 03 (1 03) 036D X n

Vyacutepočet

Rozptyl

37

POISSONOVO PO()

104

x

p(x)

0 5 10 15 20 25 300

004

008

012

016

02

104

x

p(x)

0 5 10 15 20 25 300

02

04

06

08

1

= 10λ

= 4λ

λ = 10

λ = 4

38

POISSONOVO PO()

Rozptyl

)(XE

)(XD

( )

x

P x ex

39

POISSONOVO PO()

Vyacutepočet

Rozptyl

10)( XE

10)( XD

151010

(15) 0035 tj 35 15

x

P e ex

400 5 10 15 20 25 300

002

004

006

008

01

012

014

P(x

)

POISSONOVO PO()

P(15) = 0035

41

( )

M N M

x n xP x

N

n

42

11)()(

N

nN

N

M

N

MnXD

N

MnXE

43

Vyacutepočet

Rozptyl

( ) 1 04041

M M N nD X n

N N N

4 12 4

2 2 2(2) 0091 tj 91

12

2

M N M

x n xP

N

n

( ) 0667M

E X nN

44

0 05 1 15 2 250

01

02

03

04

05

06

P(x

)

P(2) = 0091

45

( )n

i ii

E X x p

2 2 2

1

( ) ( ) ( ) ( )n

i ii

D X x E X p E X E X

46

47

48

F(x) = P(X le x)

49

neexistuje

50

lim ( ) 0

x

f x

00

51

( ) 1f x dx

( ) 1P X

Obsah = 1

52

( )b

a

f x dx

( )P a X b

a b

53

)()()(

x

dttfxXPxFd ( )

( ) ( )d

F xf x F x

x

54

55

Rozptyl

dzexFx z

2

)(

2

1)(

)(XE2)( XD

2

)(

2

1)(

x

exf x

56

57

58

x~

59

60

Rozptyl

0)( XE1)( XD

X

U

61

164

u095 = 164

62

63

S = X12 + X2

Rozptyl

nXE )(

nXD 2)(

(n)

χ2090

(12) = 1855

1855

65

STUDENTOVO t(n)

66

STUDENTOVO t(n)

kde X1~ N(01) a X2 ~ χ2(n)

nX

XT

2

1

67

STUDENTOVO t(n)

t099(9) = 282

282

68

kde X1 ~ χ2(n) a X2 ~ χ2(m)

mXn

X

T2

1

70

F rozděleniacute

115

F06 (1012) = 115

71

72

73

74

Statistika
Pravděpodobnost
Poissonovo Po()
Poissonovo Po() (2)
Poissonovo Po() (3)
Poissonovo Po() (4)
Slide 47
Studentovo t(n)
Studentovo t(n) (2)
Studentovo t(n) (3)
Slide 74

30

0 1 2 3 40

02

04

06

08

1

12

F(x

)

31

x

p(x)

0 2 4 6 8 100

005

01

015

02

025

03

x

F(x

)

0 2 4 6 8 100

02

04

06

08

1

32

Rozptyl

( ) 1n xxn

P xx

nXE )(

)1()( nXD

33

5 335(3) 1 05 1 05 0313 tj 313

3n xxn

Px

52505)( nXE

251)501(505)1()( nXD

Vyacutepočet

Rozptyl

34

4 224(2) 1 03 1 03 0264 tj 264

2n xxn

Px

( ) 4 03 12E X n

( ) (1 ) 4 03 (1 03) 036D X n

Vyacutepočet

Rozptyl

35

0 05 1 15 2 25 3 35 4 450

005

01

015

02

025

03

035

04

045

P(x

)

P(2) = 0264

36

( 1) (1) (2) (3) (4) 1 (0)

1 024 076 tj 76

P X P P P P P

( ) 4 03 12E X n

( ) (1 ) 4 03 (1 03) 036D X n

Vyacutepočet

Rozptyl

37

POISSONOVO PO()

104

x

p(x)

0 5 10 15 20 25 300

004

008

012

016

02

104

x

p(x)

0 5 10 15 20 25 300

02

04

06

08

1

= 10λ

= 4λ

λ = 10

λ = 4

38

POISSONOVO PO()

Rozptyl

)(XE

)(XD

( )

x

P x ex

39

POISSONOVO PO()

Vyacutepočet

Rozptyl

10)( XE

10)( XD

151010

(15) 0035 tj 35 15

x

P e ex

400 5 10 15 20 25 300

002

004

006

008

01

012

014

P(x

)

POISSONOVO PO()

P(15) = 0035

41

( )

M N M

x n xP x

N

n

42

11)()(

N

nN

N

M

N

MnXD

N

MnXE

43

Vyacutepočet

Rozptyl

( ) 1 04041

M M N nD X n

N N N

4 12 4

2 2 2(2) 0091 tj 91

12

2

M N M

x n xP

N

n

( ) 0667M

E X nN

44

0 05 1 15 2 250

01

02

03

04

05

06

P(x

)

P(2) = 0091

45

( )n

i ii

E X x p

2 2 2

1

( ) ( ) ( ) ( )n

i ii

D X x E X p E X E X

46

47

48

F(x) = P(X le x)

49

neexistuje

50

lim ( ) 0

x

f x

00

51

( ) 1f x dx

( ) 1P X

Obsah = 1

52

( )b

a

f x dx

( )P a X b

a b

53

)()()(

x

dttfxXPxFd ( )

( ) ( )d

F xf x F x

x

54

55

Rozptyl

dzexFx z

2

)(

2

1)(

)(XE2)( XD

2

)(

2

1)(

x

exf x

56

57

58

x~

59

60

Rozptyl

0)( XE1)( XD

X

U

61

164

u095 = 164

62

63

S = X12 + X2

Rozptyl

nXE )(

nXD 2)(

(n)

χ2090

(12) = 1855

1855

65

STUDENTOVO t(n)

66

STUDENTOVO t(n)

kde X1~ N(01) a X2 ~ χ2(n)

nX

XT

2

1

67

STUDENTOVO t(n)

t099(9) = 282

282

68

kde X1 ~ χ2(n) a X2 ~ χ2(m)

mXn

X

T2

1

70

F rozděleniacute

115

F06 (1012) = 115

71

72

73

74

Statistika
Pravděpodobnost
Poissonovo Po()
Poissonovo Po() (2)
Poissonovo Po() (3)
Poissonovo Po() (4)
Slide 47
Studentovo t(n)
Studentovo t(n) (2)
Studentovo t(n) (3)
Slide 74

31

x

p(x)

0 2 4 6 8 100

005

01

015

02

025

03

x

F(x

)

0 2 4 6 8 100

02

04

06

08

1

32

Rozptyl

( ) 1n xxn

P xx

nXE )(

)1()( nXD

33

5 335(3) 1 05 1 05 0313 tj 313

3n xxn

Px

52505)( nXE

251)501(505)1()( nXD

Vyacutepočet

Rozptyl

34

4 224(2) 1 03 1 03 0264 tj 264

2n xxn

Px

( ) 4 03 12E X n

( ) (1 ) 4 03 (1 03) 036D X n

Vyacutepočet

Rozptyl

35

0 05 1 15 2 25 3 35 4 450

005

01

015

02

025

03

035

04

045

P(x

)

P(2) = 0264

36

( 1) (1) (2) (3) (4) 1 (0)

1 024 076 tj 76

P X P P P P P

( ) 4 03 12E X n

( ) (1 ) 4 03 (1 03) 036D X n

Vyacutepočet

Rozptyl

37

POISSONOVO PO()

104

x

p(x)

0 5 10 15 20 25 300

004

008

012

016

02

104

x

p(x)

0 5 10 15 20 25 300

02

04

06

08

1

= 10λ

= 4λ

λ = 10

λ = 4

38

POISSONOVO PO()

Rozptyl

)(XE

)(XD

( )

x

P x ex

39

POISSONOVO PO()

Vyacutepočet

Rozptyl

10)( XE

10)( XD

151010

(15) 0035 tj 35 15

x

P e ex

400 5 10 15 20 25 300

002

004

006

008

01

012

014

P(x

)

POISSONOVO PO()

P(15) = 0035

41

( )

M N M

x n xP x

N

n

42

11)()(

N

nN

N

M

N

MnXD

N

MnXE

43

Vyacutepočet

Rozptyl

( ) 1 04041

M M N nD X n

N N N

4 12 4

2 2 2(2) 0091 tj 91

12

2

M N M

x n xP

N

n

( ) 0667M

E X nN

44

0 05 1 15 2 250

01

02

03

04

05

06

P(x

)

P(2) = 0091

45

( )n

i ii

E X x p

2 2 2

1

( ) ( ) ( ) ( )n

i ii

D X x E X p E X E X

46

47

48

F(x) = P(X le x)

49

neexistuje

50

lim ( ) 0

x

f x

00

51

( ) 1f x dx

( ) 1P X

Obsah = 1

52

( )b

a

f x dx

( )P a X b

a b

53

)()()(

x

dttfxXPxFd ( )

( ) ( )d

F xf x F x

x

54

55

Rozptyl

dzexFx z

2

)(

2

1)(

)(XE2)( XD

2

)(

2

1)(

x

exf x

56

57

58

x~

59

60

Rozptyl

0)( XE1)( XD

X

U

61

164

u095 = 164

62

63

S = X12 + X2

Rozptyl

nXE )(

nXD 2)(

(n)

χ2090

(12) = 1855

1855

65

STUDENTOVO t(n)

66

STUDENTOVO t(n)

kde X1~ N(01) a X2 ~ χ2(n)

nX

XT

2

1

67

STUDENTOVO t(n)

t099(9) = 282

282

68

kde X1 ~ χ2(n) a X2 ~ χ2(m)

mXn

X

T2

1

70

F rozděleniacute

115

F06 (1012) = 115

71

72

73

74

Statistika
Pravděpodobnost
Poissonovo Po()
Poissonovo Po() (2)
Poissonovo Po() (3)
Poissonovo Po() (4)
Slide 47
Studentovo t(n)
Studentovo t(n) (2)
Studentovo t(n) (3)
Slide 74

32

Rozptyl

( ) 1n xxn

P xx

nXE )(

)1()( nXD

33

5 335(3) 1 05 1 05 0313 tj 313

3n xxn

Px

52505)( nXE

251)501(505)1()( nXD

Vyacutepočet

Rozptyl

34

4 224(2) 1 03 1 03 0264 tj 264

2n xxn

Px

( ) 4 03 12E X n

( ) (1 ) 4 03 (1 03) 036D X n

Vyacutepočet

Rozptyl

35

0 05 1 15 2 25 3 35 4 450

005

01

015

02

025

03

035

04

045

P(x

)

P(2) = 0264

36

( 1) (1) (2) (3) (4) 1 (0)

1 024 076 tj 76

P X P P P P P

( ) 4 03 12E X n

( ) (1 ) 4 03 (1 03) 036D X n

Vyacutepočet

Rozptyl

37

POISSONOVO PO()

104

x

p(x)

0 5 10 15 20 25 300

004

008

012

016

02

104

x

p(x)

0 5 10 15 20 25 300

02

04

06

08

1

= 10λ

= 4λ

λ = 10

λ = 4

38

POISSONOVO PO()

Rozptyl

)(XE

)(XD

( )

x

P x ex

39

POISSONOVO PO()

Vyacutepočet

Rozptyl

10)( XE

10)( XD

151010

(15) 0035 tj 35 15

x

P e ex

400 5 10 15 20 25 300

002

004

006

008

01

012

014

P(x

)

POISSONOVO PO()

P(15) = 0035

41

( )

M N M

x n xP x

N

n

42

11)()(

N

nN

N

M

N

MnXD

N

MnXE

43

Vyacutepočet

Rozptyl

( ) 1 04041

M M N nD X n

N N N

4 12 4

2 2 2(2) 0091 tj 91

12

2

M N M

x n xP

N

n

( ) 0667M

E X nN

44

0 05 1 15 2 250

01

02

03

04

05

06

P(x

)

P(2) = 0091

45

( )n

i ii

E X x p

2 2 2

1

( ) ( ) ( ) ( )n

i ii

D X x E X p E X E X

46

47

48

F(x) = P(X le x)

49

neexistuje

50

lim ( ) 0

x

f x

00

51

( ) 1f x dx

( ) 1P X

Obsah = 1

52

( )b

a

f x dx

( )P a X b

a b

53

)()()(

x

dttfxXPxFd ( )

( ) ( )d

F xf x F x

x

54

55

Rozptyl

dzexFx z

2

)(

2

1)(

)(XE2)( XD

2

)(

2

1)(

x

exf x

56

57

58

x~

59

60

Rozptyl

0)( XE1)( XD

X

U

61

164

u095 = 164

62

63

S = X12 + X2

Rozptyl

nXE )(

nXD 2)(

(n)

χ2090

(12) = 1855

1855

65

STUDENTOVO t(n)

66

STUDENTOVO t(n)

kde X1~ N(01) a X2 ~ χ2(n)

nX

XT

2

1

67

STUDENTOVO t(n)

t099(9) = 282

282

68

kde X1 ~ χ2(n) a X2 ~ χ2(m)

mXn

X

T2

1

70

F rozděleniacute

115

F06 (1012) = 115

71

72

73

74

Statistika
Pravděpodobnost
Poissonovo Po()
Poissonovo Po() (2)
Poissonovo Po() (3)
Poissonovo Po() (4)
Slide 47
Studentovo t(n)
Studentovo t(n) (2)
Studentovo t(n) (3)
Slide 74

33

5 335(3) 1 05 1 05 0313 tj 313

3n xxn

Px

52505)( nXE

251)501(505)1()( nXD

Vyacutepočet

Rozptyl

34

4 224(2) 1 03 1 03 0264 tj 264

2n xxn

Px

( ) 4 03 12E X n

( ) (1 ) 4 03 (1 03) 036D X n

Vyacutepočet

Rozptyl

35

0 05 1 15 2 25 3 35 4 450

005

01

015

02

025

03

035

04

045

P(x

)

P(2) = 0264

36

( 1) (1) (2) (3) (4) 1 (0)

1 024 076 tj 76

P X P P P P P

( ) 4 03 12E X n

( ) (1 ) 4 03 (1 03) 036D X n

Vyacutepočet

Rozptyl

37

POISSONOVO PO()

104

x

p(x)

0 5 10 15 20 25 300

004

008

012

016

02

104

x

p(x)

0 5 10 15 20 25 300

02

04

06

08

1

= 10λ

= 4λ

λ = 10

λ = 4

38

POISSONOVO PO()

Rozptyl

)(XE

)(XD

( )

x

P x ex

39

POISSONOVO PO()

Vyacutepočet

Rozptyl

10)( XE

10)( XD

151010

(15) 0035 tj 35 15

x

P e ex

400 5 10 15 20 25 300

002

004

006

008

01

012

014

P(x

)

POISSONOVO PO()

P(15) = 0035

41

( )

M N M

x n xP x

N

n

42

11)()(

N

nN

N

M

N

MnXD

N

MnXE

43

Vyacutepočet

Rozptyl

( ) 1 04041

M M N nD X n

N N N

4 12 4

2 2 2(2) 0091 tj 91

12

2

M N M

x n xP

N

n

( ) 0667M

E X nN

44

0 05 1 15 2 250

01

02

03

04

05

06

P(x

)

P(2) = 0091

45

( )n

i ii

E X x p

2 2 2

1

( ) ( ) ( ) ( )n

i ii

D X x E X p E X E X

46

47

48

F(x) = P(X le x)

49

neexistuje

50

lim ( ) 0

x

f x

00

51

( ) 1f x dx

( ) 1P X

Obsah = 1

52

( )b

a

f x dx

( )P a X b

a b

53

)()()(

x

dttfxXPxFd ( )

( ) ( )d

F xf x F x

x

54

55

Rozptyl

dzexFx z

2

)(

2

1)(

)(XE2)( XD

2

)(

2

1)(

x

exf x

56

57

58

x~

59

60

Rozptyl

0)( XE1)( XD

X

U

61

164

u095 = 164

62

63

S = X12 + X2

Rozptyl

nXE )(

nXD 2)(

(n)

χ2090

(12) = 1855

1855

65

STUDENTOVO t(n)

66

STUDENTOVO t(n)

kde X1~ N(01) a X2 ~ χ2(n)

nX

XT

2

1

67

STUDENTOVO t(n)

t099(9) = 282

282

68

kde X1 ~ χ2(n) a X2 ~ χ2(m)

mXn

X

T2

1

70

F rozděleniacute

115

F06 (1012) = 115

71

72

73

74

Statistika
Pravděpodobnost
Poissonovo Po()
Poissonovo Po() (2)
Poissonovo Po() (3)
Poissonovo Po() (4)
Slide 47
Studentovo t(n)
Studentovo t(n) (2)
Studentovo t(n) (3)
Slide 74

34

4 224(2) 1 03 1 03 0264 tj 264

2n xxn

Px

( ) 4 03 12E X n

( ) (1 ) 4 03 (1 03) 036D X n

Vyacutepočet

Rozptyl

35

0 05 1 15 2 25 3 35 4 450

005

01

015

02

025

03

035

04

045

P(x

)

P(2) = 0264

36

( 1) (1) (2) (3) (4) 1 (0)

1 024 076 tj 76

P X P P P P P

( ) 4 03 12E X n

( ) (1 ) 4 03 (1 03) 036D X n

Vyacutepočet

Rozptyl

37

POISSONOVO PO()

104

x

p(x)

0 5 10 15 20 25 300

004

008

012

016

02

104

x

p(x)

0 5 10 15 20 25 300

02

04

06

08

1

= 10λ

= 4λ

λ = 10

λ = 4

38

POISSONOVO PO()

Rozptyl

)(XE

)(XD

( )

x

P x ex

39

POISSONOVO PO()

Vyacutepočet

Rozptyl

10)( XE

10)( XD

151010

(15) 0035 tj 35 15

x

P e ex

400 5 10 15 20 25 300

002

004

006

008

01

012

014

P(x

)

POISSONOVO PO()

P(15) = 0035

41

( )

M N M

x n xP x

N

n

42

11)()(

N

nN

N

M

N

MnXD

N

MnXE

43

Vyacutepočet

Rozptyl

( ) 1 04041

M M N nD X n

N N N

4 12 4

2 2 2(2) 0091 tj 91

12

2

M N M

x n xP

N

n

( ) 0667M

E X nN

44

0 05 1 15 2 250

01

02

03

04

05

06

P(x

)

P(2) = 0091

45

( )n

i ii

E X x p

2 2 2

1

( ) ( ) ( ) ( )n

i ii

D X x E X p E X E X

46

47

48

F(x) = P(X le x)

49

neexistuje

50

lim ( ) 0

x

f x

00

51

( ) 1f x dx

( ) 1P X

Obsah = 1

52

( )b

a

f x dx

( )P a X b

a b

53

)()()(

x

dttfxXPxFd ( )

( ) ( )d

F xf x F x

x

54

55

Rozptyl

dzexFx z

2

)(

2

1)(

)(XE2)( XD

2

)(

2

1)(

x

exf x

56

57

58

x~

59

60

Rozptyl

0)( XE1)( XD

X

U

61

164

u095 = 164

62

63

S = X12 + X2

Rozptyl

nXE )(

nXD 2)(

(n)

χ2090

(12) = 1855

1855

65

STUDENTOVO t(n)

66

STUDENTOVO t(n)

kde X1~ N(01) a X2 ~ χ2(n)

nX

XT

2

1

67

STUDENTOVO t(n)

t099(9) = 282

282

68

kde X1 ~ χ2(n) a X2 ~ χ2(m)

mXn

X

T2

1

70

F rozděleniacute

115

F06 (1012) = 115

71

72

73

74

Statistika
Pravděpodobnost
Poissonovo Po()
Poissonovo Po() (2)
Poissonovo Po() (3)
Poissonovo Po() (4)
Slide 47
Studentovo t(n)
Studentovo t(n) (2)
Studentovo t(n) (3)
Slide 74

35

0 05 1 15 2 25 3 35 4 450

005

01

015

02

025

03

035

04

045

P(x

)

P(2) = 0264

36

( 1) (1) (2) (3) (4) 1 (0)

1 024 076 tj 76

P X P P P P P

( ) 4 03 12E X n

( ) (1 ) 4 03 (1 03) 036D X n

Vyacutepočet

Rozptyl

37

POISSONOVO PO()

104

x

p(x)

0 5 10 15 20 25 300

004

008

012

016

02

104

x

p(x)

0 5 10 15 20 25 300

02

04

06

08

1

= 10λ

= 4λ

λ = 10

λ = 4

38

POISSONOVO PO()

Rozptyl

)(XE

)(XD

( )

x

P x ex

39

POISSONOVO PO()

Vyacutepočet

Rozptyl

10)( XE

10)( XD

151010

(15) 0035 tj 35 15

x

P e ex

400 5 10 15 20 25 300

002

004

006

008

01

012

014

P(x

)

POISSONOVO PO()

P(15) = 0035

41

( )

M N M

x n xP x

N

n

42

11)()(

N

nN

N

M

N

MnXD

N

MnXE

43

Vyacutepočet

Rozptyl

( ) 1 04041

M M N nD X n

N N N

4 12 4

2 2 2(2) 0091 tj 91

12

2

M N M

x n xP

N

n

( ) 0667M

E X nN

44

0 05 1 15 2 250

01

02

03

04

05

06

P(x

)

P(2) = 0091

45

( )n

i ii

E X x p

2 2 2

1

( ) ( ) ( ) ( )n

i ii

D X x E X p E X E X

46

47

48

F(x) = P(X le x)

49

neexistuje

50

lim ( ) 0

x

f x

00

51

( ) 1f x dx

( ) 1P X

Obsah = 1

52

( )b

a

f x dx

( )P a X b

a b

53

)()()(

x

dttfxXPxFd ( )

( ) ( )d

F xf x F x

x

54

55

Rozptyl

dzexFx z

2

)(

2

1)(

)(XE2)( XD

2

)(

2

1)(

x

exf x

56

57

58

x~

59

60

Rozptyl

0)( XE1)( XD

X

U

61

164

u095 = 164

62

63

S = X12 + X2

Rozptyl

nXE )(

nXD 2)(

(n)

χ2090

(12) = 1855

1855

65

STUDENTOVO t(n)

66

STUDENTOVO t(n)

kde X1~ N(01) a X2 ~ χ2(n)

nX

XT

2

1

67

STUDENTOVO t(n)

t099(9) = 282

282

68

kde X1 ~ χ2(n) a X2 ~ χ2(m)

mXn

X

T2

1

70

F rozděleniacute

115

F06 (1012) = 115

71

72

73

74

Statistika
Pravděpodobnost
Poissonovo Po()
Poissonovo Po() (2)
Poissonovo Po() (3)
Poissonovo Po() (4)
Slide 47
Studentovo t(n)
Studentovo t(n) (2)
Studentovo t(n) (3)
Slide 74

36

( 1) (1) (2) (3) (4) 1 (0)

1 024 076 tj 76

P X P P P P P

( ) 4 03 12E X n

( ) (1 ) 4 03 (1 03) 036D X n

Vyacutepočet

Rozptyl

37

POISSONOVO PO()

104

x

p(x)

0 5 10 15 20 25 300

004

008

012

016

02

104

x

p(x)

0 5 10 15 20 25 300

02

04

06

08

1

= 10λ

= 4λ

λ = 10

λ = 4

38

POISSONOVO PO()

Rozptyl

)(XE

)(XD

( )

x

P x ex

39

POISSONOVO PO()

Vyacutepočet

Rozptyl

10)( XE

10)( XD

151010

(15) 0035 tj 35 15

x

P e ex

400 5 10 15 20 25 300

002

004

006

008

01

012

014

P(x

)

POISSONOVO PO()

P(15) = 0035

41

( )

M N M

x n xP x

N

n

42

11)()(

N

nN

N

M

N

MnXD

N

MnXE

43

Vyacutepočet

Rozptyl

( ) 1 04041

M M N nD X n

N N N

4 12 4

2 2 2(2) 0091 tj 91

12

2

M N M

x n xP

N

n

( ) 0667M

E X nN

44

0 05 1 15 2 250

01

02

03

04

05

06

P(x

)

P(2) = 0091

45

( )n

i ii

E X x p

2 2 2

1

( ) ( ) ( ) ( )n

i ii

D X x E X p E X E X

46

47

48

F(x) = P(X le x)

49

neexistuje

50

lim ( ) 0

x

f x

00

51

( ) 1f x dx

( ) 1P X

Obsah = 1

52

( )b

a

f x dx

( )P a X b

a b

53

)()()(

x

dttfxXPxFd ( )

( ) ( )d

F xf x F x

x

54

55

Rozptyl

dzexFx z

2

)(

2

1)(

)(XE2)( XD

2

)(

2

1)(

x

exf x

56

57

58

x~

59

60

Rozptyl

0)( XE1)( XD

X

U

61

164

u095 = 164

62

63

S = X12 + X2

Rozptyl

nXE )(

nXD 2)(

(n)

χ2090

(12) = 1855

1855

65

STUDENTOVO t(n)

66

STUDENTOVO t(n)

kde X1~ N(01) a X2 ~ χ2(n)

nX

XT

2

1

67

STUDENTOVO t(n)

t099(9) = 282

282

68

kde X1 ~ χ2(n) a X2 ~ χ2(m)

mXn

X

T2

1

70

F rozděleniacute

115

F06 (1012) = 115

71

72

73

74

Statistika
Pravděpodobnost
Poissonovo Po()
Poissonovo Po() (2)
Poissonovo Po() (3)
Poissonovo Po() (4)
Slide 47
Studentovo t(n)
Studentovo t(n) (2)
Studentovo t(n) (3)
Slide 74

37

POISSONOVO PO()

104

x

p(x)

0 5 10 15 20 25 300

004

008

012

016

02

104

x

p(x)

0 5 10 15 20 25 300

02

04

06

08

1

= 10λ

= 4λ

λ = 10

λ = 4

38

POISSONOVO PO()

Rozptyl

)(XE

)(XD

( )

x

P x ex

39

POISSONOVO PO()

Vyacutepočet

Rozptyl

10)( XE

10)( XD

151010

(15) 0035 tj 35 15

x

P e ex

400 5 10 15 20 25 300

002

004

006

008

01

012

014

P(x

)

POISSONOVO PO()

P(15) = 0035

41

( )

M N M

x n xP x

N

n

42

11)()(

N

nN

N

M

N

MnXD

N

MnXE

43

Vyacutepočet

Rozptyl

( ) 1 04041

M M N nD X n

N N N

4 12 4

2 2 2(2) 0091 tj 91

12

2

M N M

x n xP

N

n

( ) 0667M

E X nN

44

0 05 1 15 2 250

01

02

03

04

05

06

P(x

)

P(2) = 0091

45

( )n

i ii

E X x p

2 2 2

1

( ) ( ) ( ) ( )n

i ii

D X x E X p E X E X

46

47

48

F(x) = P(X le x)

49

neexistuje

50

lim ( ) 0

x

f x

00

51

( ) 1f x dx

( ) 1P X

Obsah = 1

52

( )b

a

f x dx

( )P a X b

a b

53

)()()(

x

dttfxXPxFd ( )

( ) ( )d

F xf x F x

x

54

55

Rozptyl

dzexFx z

2

)(

2

1)(

)(XE2)( XD

2

)(

2

1)(

x

exf x

56

57

58

x~

59

60

Rozptyl

0)( XE1)( XD

X

U

61

164

u095 = 164

62

63

S = X12 + X2

Rozptyl

nXE )(

nXD 2)(

(n)

χ2090

(12) = 1855

1855

65

STUDENTOVO t(n)

66

STUDENTOVO t(n)

kde X1~ N(01) a X2 ~ χ2(n)

nX

XT

2

1

67

STUDENTOVO t(n)

t099(9) = 282

282

68

kde X1 ~ χ2(n) a X2 ~ χ2(m)

mXn

X

T2

1

70

F rozděleniacute

115

F06 (1012) = 115

71

72

73

74

Statistika
Pravděpodobnost
Poissonovo Po()
Poissonovo Po() (2)
Poissonovo Po() (3)
Poissonovo Po() (4)
Slide 47
Studentovo t(n)
Studentovo t(n) (2)
Studentovo t(n) (3)
Slide 74

38

POISSONOVO PO()

Rozptyl

)(XE

)(XD

( )

x

P x ex

39

POISSONOVO PO()

Vyacutepočet

Rozptyl

10)( XE

10)( XD

151010

(15) 0035 tj 35 15

x

P e ex

400 5 10 15 20 25 300

002

004

006

008

01

012

014

P(x

)

POISSONOVO PO()

P(15) = 0035

41

( )

M N M

x n xP x

N

n

42

11)()(

N

nN

N

M

N

MnXD

N

MnXE

43

Vyacutepočet

Rozptyl

( ) 1 04041

M M N nD X n

N N N

4 12 4

2 2 2(2) 0091 tj 91

12

2

M N M

x n xP

N

n

( ) 0667M

E X nN

44

0 05 1 15 2 250

01

02

03

04

05

06

P(x

)

P(2) = 0091

45

( )n

i ii

E X x p

2 2 2

1

( ) ( ) ( ) ( )n

i ii

D X x E X p E X E X

46

47

48

F(x) = P(X le x)

49

neexistuje

50

lim ( ) 0

x

f x

00

51

( ) 1f x dx

( ) 1P X

Obsah = 1

52

( )b

a

f x dx

( )P a X b

a b

53

)()()(

x

dttfxXPxFd ( )

( ) ( )d

F xf x F x

x

54

55

Rozptyl

dzexFx z

2

)(

2

1)(

)(XE2)( XD

2

)(

2

1)(

x

exf x

56

57

58

x~

59

60

Rozptyl

0)( XE1)( XD

X

U

61

164

u095 = 164

62

63

S = X12 + X2

Rozptyl

nXE )(

nXD 2)(

(n)

χ2090

(12) = 1855

1855

65

STUDENTOVO t(n)

66

STUDENTOVO t(n)

kde X1~ N(01) a X2 ~ χ2(n)

nX

XT

2

1

67

STUDENTOVO t(n)

t099(9) = 282

282

68

kde X1 ~ χ2(n) a X2 ~ χ2(m)

mXn

X

T2

1

70

F rozděleniacute

115

F06 (1012) = 115

71

72

73

74

Statistika
Pravděpodobnost
Poissonovo Po()
Poissonovo Po() (2)
Poissonovo Po() (3)
Poissonovo Po() (4)
Slide 47
Studentovo t(n)
Studentovo t(n) (2)
Studentovo t(n) (3)
Slide 74

39

POISSONOVO PO()

Vyacutepočet

Rozptyl

10)( XE

10)( XD

151010

(15) 0035 tj 35 15

x

P e ex

400 5 10 15 20 25 300

002

004

006

008

01

012

014

P(x

)

POISSONOVO PO()

P(15) = 0035

41

( )

M N M

x n xP x

N

n

42

11)()(

N

nN

N

M

N

MnXD

N

MnXE

43

Vyacutepočet

Rozptyl

( ) 1 04041

M M N nD X n

N N N

4 12 4

2 2 2(2) 0091 tj 91

12

2

M N M

x n xP

N

n

( ) 0667M

E X nN

44

0 05 1 15 2 250

01

02

03

04

05

06

P(x

)

P(2) = 0091

45

( )n

i ii

E X x p

2 2 2

1

( ) ( ) ( ) ( )n

i ii

D X x E X p E X E X

46

47

48

F(x) = P(X le x)

49

neexistuje

50

lim ( ) 0

x

f x

00

51

( ) 1f x dx

( ) 1P X

Obsah = 1

52

( )b

a

f x dx

( )P a X b

a b

53

)()()(

x

dttfxXPxFd ( )

( ) ( )d

F xf x F x

x

54

55

Rozptyl

dzexFx z

2

)(

2

1)(

)(XE2)( XD

2

)(

2

1)(

x

exf x

56

57

58

x~

59

60

Rozptyl

0)( XE1)( XD

X

U

61

164

u095 = 164

62

63

S = X12 + X2

Rozptyl

nXE )(

nXD 2)(

(n)

χ2090

(12) = 1855

1855

65

STUDENTOVO t(n)

66

STUDENTOVO t(n)

kde X1~ N(01) a X2 ~ χ2(n)

nX

XT

2

1

67

STUDENTOVO t(n)

t099(9) = 282

282

68

kde X1 ~ χ2(n) a X2 ~ χ2(m)

mXn

X

T2

1

70

F rozděleniacute

115

F06 (1012) = 115

71

72

73

74

Statistika
Pravděpodobnost
Poissonovo Po()
Poissonovo Po() (2)
Poissonovo Po() (3)
Poissonovo Po() (4)
Slide 47
Studentovo t(n)
Studentovo t(n) (2)
Studentovo t(n) (3)
Slide 74

400 5 10 15 20 25 300

002

004

006

008

01

012

014

P(x

)

POISSONOVO PO()

P(15) = 0035

41

( )

M N M

x n xP x

N

n

42

11)()(

N

nN

N

M

N

MnXD

N

MnXE

43

Vyacutepočet

Rozptyl

( ) 1 04041

M M N nD X n

N N N

4 12 4

2 2 2(2) 0091 tj 91

12

2

M N M

x n xP

N

n

( ) 0667M

E X nN

44

0 05 1 15 2 250

01

02

03

04

05

06

P(x

)

P(2) = 0091

45

( )n

i ii

E X x p

2 2 2

1

( ) ( ) ( ) ( )n

i ii

D X x E X p E X E X

46

47

48

F(x) = P(X le x)

49

neexistuje

50

lim ( ) 0

x

f x

00

51

( ) 1f x dx

( ) 1P X

Obsah = 1

52

( )b

a

f x dx

( )P a X b

a b

53

)()()(

x

dttfxXPxFd ( )

( ) ( )d

F xf x F x

x

54

55

Rozptyl

dzexFx z

2

)(

2

1)(

)(XE2)( XD

2

)(

2

1)(

x

exf x

56

57

58

x~

59

60

Rozptyl

0)( XE1)( XD

X

U

61

164

u095 = 164

62

63

S = X12 + X2

Rozptyl

nXE )(

nXD 2)(

(n)

χ2090

(12) = 1855

1855

65

STUDENTOVO t(n)

66

STUDENTOVO t(n)

kde X1~ N(01) a X2 ~ χ2(n)

nX

XT

2

1

67

STUDENTOVO t(n)

t099(9) = 282

282

68

kde X1 ~ χ2(n) a X2 ~ χ2(m)

mXn

X

T2

1

70

F rozděleniacute

115

F06 (1012) = 115

71

72

73

74

Statistika
Pravděpodobnost
Poissonovo Po()
Poissonovo Po() (2)
Poissonovo Po() (3)
Poissonovo Po() (4)
Slide 47
Studentovo t(n)
Studentovo t(n) (2)
Studentovo t(n) (3)
Slide 74

41

( )

M N M

x n xP x

N

n

42

11)()(

N

nN

N

M

N

MnXD

N

MnXE

43

Vyacutepočet

Rozptyl

( ) 1 04041

M M N nD X n

N N N

4 12 4

2 2 2(2) 0091 tj 91

12

2

M N M

x n xP

N

n

( ) 0667M

E X nN

44

0 05 1 15 2 250

01

02

03

04

05

06

P(x

)

P(2) = 0091

45

( )n

i ii

E X x p

2 2 2

1

( ) ( ) ( ) ( )n

i ii

D X x E X p E X E X

46

47

48

F(x) = P(X le x)

49

neexistuje

50

lim ( ) 0

x

f x

00

51

( ) 1f x dx

( ) 1P X

Obsah = 1

52

( )b

a

f x dx

( )P a X b

a b

53

)()()(

x

dttfxXPxFd ( )

( ) ( )d

F xf x F x

x

54

55

Rozptyl

dzexFx z

2

)(

2

1)(

)(XE2)( XD

2

)(

2

1)(

x

exf x

56

57

58

x~

59

60

Rozptyl

0)( XE1)( XD

X

U

61

164

u095 = 164

62

63

S = X12 + X2

Rozptyl

nXE )(

nXD 2)(

(n)

χ2090

(12) = 1855

1855

65

STUDENTOVO t(n)

66

STUDENTOVO t(n)

kde X1~ N(01) a X2 ~ χ2(n)

nX

XT

2

1

67

STUDENTOVO t(n)

t099(9) = 282

282

68

kde X1 ~ χ2(n) a X2 ~ χ2(m)

mXn

X

T2

1

70

F rozděleniacute

115

F06 (1012) = 115

71

72

73

74

Statistika
Pravděpodobnost
Poissonovo Po()
Poissonovo Po() (2)
Poissonovo Po() (3)
Poissonovo Po() (4)
Slide 47
Studentovo t(n)
Studentovo t(n) (2)
Studentovo t(n) (3)
Slide 74

42

11)()(

N

nN

N

M

N

MnXD

N

MnXE

43

Vyacutepočet

Rozptyl

( ) 1 04041

M M N nD X n

N N N

4 12 4

2 2 2(2) 0091 tj 91

12

2

M N M

x n xP

N

n

( ) 0667M

E X nN

44

0 05 1 15 2 250

01

02

03

04

05

06

P(x

)

P(2) = 0091

45

( )n

i ii

E X x p

2 2 2

1

( ) ( ) ( ) ( )n

i ii

D X x E X p E X E X

46

47

48

F(x) = P(X le x)

49

neexistuje

50

lim ( ) 0

x

f x

00

51

( ) 1f x dx

( ) 1P X

Obsah = 1

52

( )b

a

f x dx

( )P a X b

a b

53

)()()(

x

dttfxXPxFd ( )

( ) ( )d

F xf x F x

x

54

55

Rozptyl

dzexFx z

2

)(

2

1)(

)(XE2)( XD

2

)(

2

1)(

x

exf x

56

57

58

x~

59

60

Rozptyl

0)( XE1)( XD

X

U

61

164

u095 = 164

62

63

S = X12 + X2

Rozptyl

nXE )(

nXD 2)(

(n)

χ2090

(12) = 1855

1855

65

STUDENTOVO t(n)

66

STUDENTOVO t(n)

kde X1~ N(01) a X2 ~ χ2(n)

nX

XT

2

1

67

STUDENTOVO t(n)

t099(9) = 282

282

68

kde X1 ~ χ2(n) a X2 ~ χ2(m)

mXn

X

T2

1

70

F rozděleniacute

115

F06 (1012) = 115

71

72

73

74

Statistika
Pravděpodobnost
Poissonovo Po()
Poissonovo Po() (2)
Poissonovo Po() (3)
Poissonovo Po() (4)
Slide 47
Studentovo t(n)
Studentovo t(n) (2)
Studentovo t(n) (3)
Slide 74

43

Vyacutepočet

Rozptyl

( ) 1 04041

M M N nD X n

N N N

4 12 4

2 2 2(2) 0091 tj 91

12

2

M N M

x n xP

N

n

( ) 0667M

E X nN

44

0 05 1 15 2 250

01

02

03

04

05

06

P(x

)

P(2) = 0091

45

( )n

i ii

E X x p

2 2 2

1

( ) ( ) ( ) ( )n

i ii

D X x E X p E X E X

46

47

48

F(x) = P(X le x)

49

neexistuje

50

lim ( ) 0

x

f x

00

51

( ) 1f x dx

( ) 1P X

Obsah = 1

52

( )b

a

f x dx

( )P a X b

a b

53

)()()(

x

dttfxXPxFd ( )

( ) ( )d

F xf x F x

x

54

55

Rozptyl

dzexFx z

2

)(

2

1)(

)(XE2)( XD

2

)(

2

1)(

x

exf x

56

57

58

x~

59

60

Rozptyl

0)( XE1)( XD

X

U

61

164

u095 = 164

62

63

S = X12 + X2

Rozptyl

nXE )(

nXD 2)(

(n)

χ2090

(12) = 1855

1855

65

STUDENTOVO t(n)

66

STUDENTOVO t(n)

kde X1~ N(01) a X2 ~ χ2(n)

nX

XT

2

1

67

STUDENTOVO t(n)

t099(9) = 282

282

68

kde X1 ~ χ2(n) a X2 ~ χ2(m)

mXn

X

T2

1

70

F rozděleniacute

115

F06 (1012) = 115

71

72

73

74

Statistika
Pravděpodobnost
Poissonovo Po()
Poissonovo Po() (2)
Poissonovo Po() (3)
Poissonovo Po() (4)
Slide 47
Studentovo t(n)
Studentovo t(n) (2)
Studentovo t(n) (3)
Slide 74

44

0 05 1 15 2 250

01

02

03

04

05

06

P(x

)

P(2) = 0091

45

( )n

i ii

E X x p

2 2 2

1

( ) ( ) ( ) ( )n

i ii

D X x E X p E X E X

46

47

48

F(x) = P(X le x)

49

neexistuje

50

lim ( ) 0

x

f x

00

51

( ) 1f x dx

( ) 1P X

Obsah = 1

52

( )b

a

f x dx

( )P a X b

a b

53

)()()(

x

dttfxXPxFd ( )

( ) ( )d

F xf x F x

x

54

55

Rozptyl

dzexFx z

2

)(

2

1)(

)(XE2)( XD

2

)(

2

1)(

x

exf x

56

57

58

x~

59

60

Rozptyl

0)( XE1)( XD

X

U

61

164

u095 = 164

62

63

S = X12 + X2

Rozptyl

nXE )(

nXD 2)(

(n)

χ2090

(12) = 1855

1855

65

STUDENTOVO t(n)

66

STUDENTOVO t(n)

kde X1~ N(01) a X2 ~ χ2(n)

nX

XT

2

1

67

STUDENTOVO t(n)

t099(9) = 282

282

68

kde X1 ~ χ2(n) a X2 ~ χ2(m)

mXn

X

T2

1

70

F rozděleniacute

115

F06 (1012) = 115

71

72

73

74

Statistika
Pravděpodobnost
Poissonovo Po()
Poissonovo Po() (2)
Poissonovo Po() (3)
Poissonovo Po() (4)
Slide 47
Studentovo t(n)
Studentovo t(n) (2)
Studentovo t(n) (3)
Slide 74

45

( )n

i ii

E X x p

2 2 2

1

( ) ( ) ( ) ( )n

i ii

D X x E X p E X E X

46

47

48

F(x) = P(X le x)

49

neexistuje

50

lim ( ) 0

x

f x

00

51

( ) 1f x dx

( ) 1P X

Obsah = 1

52

( )b

a

f x dx

( )P a X b

a b

53

)()()(

x

dttfxXPxFd ( )

( ) ( )d

F xf x F x

x

54

55

Rozptyl

dzexFx z

2

)(

2

1)(

)(XE2)( XD

2

)(

2

1)(

x

exf x

56

57

58

x~

59

60

Rozptyl

0)( XE1)( XD

X

U

61

164

u095 = 164

62

63

S = X12 + X2

Rozptyl

nXE )(

nXD 2)(

(n)

χ2090

(12) = 1855

1855

65

STUDENTOVO t(n)

66

STUDENTOVO t(n)

kde X1~ N(01) a X2 ~ χ2(n)

nX

XT

2

1

67

STUDENTOVO t(n)

t099(9) = 282

282

68

kde X1 ~ χ2(n) a X2 ~ χ2(m)

mXn

X

T2

1

70

F rozděleniacute

115

F06 (1012) = 115

71

72

73

74

Statistika
Pravděpodobnost
Poissonovo Po()
Poissonovo Po() (2)
Poissonovo Po() (3)
Poissonovo Po() (4)
Slide 47
Studentovo t(n)
Studentovo t(n) (2)
Studentovo t(n) (3)
Slide 74

46

47

48

F(x) = P(X le x)

49

neexistuje

50

lim ( ) 0

x

f x

00

51

( ) 1f x dx

( ) 1P X

Obsah = 1

52

( )b

a

f x dx

( )P a X b

a b

53

)()()(

x

dttfxXPxFd ( )

( ) ( )d

F xf x F x

x

54

55

Rozptyl

dzexFx z

2

)(

2

1)(

)(XE2)( XD

2

)(

2

1)(

x

exf x

56

57

58

x~

59

60

Rozptyl

0)( XE1)( XD

X

U

61

164

u095 = 164

62

63

S = X12 + X2

Rozptyl

nXE )(

nXD 2)(

(n)

χ2090

(12) = 1855

1855

65

STUDENTOVO t(n)

66

STUDENTOVO t(n)

kde X1~ N(01) a X2 ~ χ2(n)

nX

XT

2

1

67

STUDENTOVO t(n)

t099(9) = 282

282

68

kde X1 ~ χ2(n) a X2 ~ χ2(m)

mXn

X

T2

1

70

F rozděleniacute

115

F06 (1012) = 115

71

72

73

74

Statistika
Pravděpodobnost
Poissonovo Po()
Poissonovo Po() (2)
Poissonovo Po() (3)
Poissonovo Po() (4)
Slide 47
Studentovo t(n)
Studentovo t(n) (2)
Studentovo t(n) (3)
Slide 74

47

48

F(x) = P(X le x)

49

neexistuje

50

lim ( ) 0

x

f x

00

51

( ) 1f x dx

( ) 1P X

Obsah = 1

52

( )b

a

f x dx

( )P a X b

a b

53

)()()(

x

dttfxXPxFd ( )

( ) ( )d

F xf x F x

x

54

55

Rozptyl

dzexFx z

2

)(

2

1)(

)(XE2)( XD

2

)(

2

1)(

x

exf x

56

57

58

x~

59

60

Rozptyl

0)( XE1)( XD

X

U

61

164

u095 = 164

62

63

S = X12 + X2

Rozptyl

nXE )(

nXD 2)(

(n)

χ2090

(12) = 1855

1855

65

STUDENTOVO t(n)

66

STUDENTOVO t(n)

kde X1~ N(01) a X2 ~ χ2(n)

nX

XT

2

1

67

STUDENTOVO t(n)

t099(9) = 282

282

68

kde X1 ~ χ2(n) a X2 ~ χ2(m)

mXn

X

T2

1

70

F rozděleniacute

115

F06 (1012) = 115

71

72

73

74

Statistika
Pravděpodobnost
Poissonovo Po()
Poissonovo Po() (2)
Poissonovo Po() (3)
Poissonovo Po() (4)
Slide 47
Studentovo t(n)
Studentovo t(n) (2)
Studentovo t(n) (3)
Slide 74

48

F(x) = P(X le x)

49

neexistuje

50

lim ( ) 0

x

f x

00

51

( ) 1f x dx

( ) 1P X

Obsah = 1

52

( )b

a

f x dx

( )P a X b

a b

53

)()()(

x

dttfxXPxFd ( )

( ) ( )d

F xf x F x

x

54

55

Rozptyl

dzexFx z

2

)(

2

1)(

)(XE2)( XD

2

)(

2

1)(

x

exf x

56

57

58

x~

59

60

Rozptyl

0)( XE1)( XD

X

U

61

164

u095 = 164

62

63

S = X12 + X2

Rozptyl

nXE )(

nXD 2)(

(n)

χ2090

(12) = 1855

1855

65

STUDENTOVO t(n)

66

STUDENTOVO t(n)

kde X1~ N(01) a X2 ~ χ2(n)

nX

XT

2

1

67

STUDENTOVO t(n)

t099(9) = 282

282

68

kde X1 ~ χ2(n) a X2 ~ χ2(m)

mXn

X

T2

1

70

F rozděleniacute

115

F06 (1012) = 115

71

72

73

74

Statistika
Pravděpodobnost
Poissonovo Po()
Poissonovo Po() (2)
Poissonovo Po() (3)
Poissonovo Po() (4)
Slide 47
Studentovo t(n)
Studentovo t(n) (2)
Studentovo t(n) (3)
Slide 74

49

neexistuje

50

lim ( ) 0

x

f x

00

51

( ) 1f x dx

( ) 1P X

Obsah = 1

52

( )b

a

f x dx

( )P a X b

a b

53

)()()(

x

dttfxXPxFd ( )

( ) ( )d

F xf x F x

x

54

55

Rozptyl

dzexFx z

2

)(

2

1)(

)(XE2)( XD

2

)(

2

1)(

x

exf x

56

57

58

x~

59

60

Rozptyl

0)( XE1)( XD

X

U

61

164

u095 = 164

62

63

S = X12 + X2

Rozptyl

nXE )(

nXD 2)(

(n)

χ2090

(12) = 1855

1855

65

STUDENTOVO t(n)

66

STUDENTOVO t(n)

kde X1~ N(01) a X2 ~ χ2(n)

nX

XT

2

1

67

STUDENTOVO t(n)

t099(9) = 282

282

68

kde X1 ~ χ2(n) a X2 ~ χ2(m)

mXn

X

T2

1

70

F rozděleniacute

115

F06 (1012) = 115

71

72

73

74

Statistika
Pravděpodobnost
Poissonovo Po()
Poissonovo Po() (2)
Poissonovo Po() (3)
Poissonovo Po() (4)
Slide 47
Studentovo t(n)
Studentovo t(n) (2)
Studentovo t(n) (3)
Slide 74

50

lim ( ) 0

x

f x

00

51

( ) 1f x dx

( ) 1P X

Obsah = 1

52

( )b

a

f x dx

( )P a X b

a b

53

)()()(

x

dttfxXPxFd ( )

( ) ( )d

F xf x F x

x

54

55

Rozptyl

dzexFx z

2

)(

2

1)(

)(XE2)( XD

2

)(

2

1)(

x

exf x

56

57

58

x~

59

60

Rozptyl

0)( XE1)( XD

X

U

61

164

u095 = 164

62

63

S = X12 + X2

Rozptyl

nXE )(

nXD 2)(

(n)

χ2090

(12) = 1855

1855

65

STUDENTOVO t(n)

66

STUDENTOVO t(n)

kde X1~ N(01) a X2 ~ χ2(n)

nX

XT

2

1

67

STUDENTOVO t(n)

t099(9) = 282

282

68

kde X1 ~ χ2(n) a X2 ~ χ2(m)

mXn

X

T2

1

70

F rozděleniacute

115

F06 (1012) = 115

71

72

73

74

Statistika
Pravděpodobnost
Poissonovo Po()
Poissonovo Po() (2)
Poissonovo Po() (3)
Poissonovo Po() (4)
Slide 47
Studentovo t(n)
Studentovo t(n) (2)
Studentovo t(n) (3)
Slide 74

51

( ) 1f x dx

( ) 1P X

Obsah = 1

52

( )b

a

f x dx

( )P a X b

a b

53

)()()(

x

dttfxXPxFd ( )

( ) ( )d

F xf x F x

x

54

55

Rozptyl

dzexFx z

2

)(

2

1)(

)(XE2)( XD

2

)(

2

1)(

x

exf x

56

57

58

x~

59

60

Rozptyl

0)( XE1)( XD

X

U

61

164

u095 = 164

62

63

S = X12 + X2

Rozptyl

nXE )(

nXD 2)(

(n)

χ2090

(12) = 1855

1855

65

STUDENTOVO t(n)

66

STUDENTOVO t(n)

kde X1~ N(01) a X2 ~ χ2(n)

nX

XT

2

1

67

STUDENTOVO t(n)

t099(9) = 282

282

68

kde X1 ~ χ2(n) a X2 ~ χ2(m)

mXn

X

T2

1

70

F rozděleniacute

115

F06 (1012) = 115

71

72

73

74

Statistika
Pravděpodobnost
Poissonovo Po()
Poissonovo Po() (2)
Poissonovo Po() (3)
Poissonovo Po() (4)
Slide 47
Studentovo t(n)
Studentovo t(n) (2)
Studentovo t(n) (3)
Slide 74

52

( )b

a

f x dx

( )P a X b

a b

53

)()()(

x

dttfxXPxFd ( )

( ) ( )d

F xf x F x

x

54

55

Rozptyl

dzexFx z

2

)(

2

1)(

)(XE2)( XD

2

)(

2

1)(

x

exf x

56

57

58

x~

59

60

Rozptyl

0)( XE1)( XD

X

U

61

164

u095 = 164

62

63

S = X12 + X2

Rozptyl

nXE )(

nXD 2)(

(n)

χ2090

(12) = 1855

1855

65

STUDENTOVO t(n)

66

STUDENTOVO t(n)

kde X1~ N(01) a X2 ~ χ2(n)

nX

XT

2

1

67

STUDENTOVO t(n)

t099(9) = 282

282

68

kde X1 ~ χ2(n) a X2 ~ χ2(m)

mXn

X

T2

1

70

F rozděleniacute

115

F06 (1012) = 115

71

72

73

74

Statistika
Pravděpodobnost
Poissonovo Po()
Poissonovo Po() (2)
Poissonovo Po() (3)
Poissonovo Po() (4)
Slide 47
Studentovo t(n)
Studentovo t(n) (2)
Studentovo t(n) (3)
Slide 74

53

)()()(

x

dttfxXPxFd ( )

( ) ( )d

F xf x F x

x

54

55

Rozptyl

dzexFx z

2

)(

2

1)(

)(XE2)( XD

2

)(

2

1)(

x

exf x

56

57

58

x~

59

60

Rozptyl

0)( XE1)( XD

X

U

61

164

u095 = 164

62

63

S = X12 + X2

Rozptyl

nXE )(

nXD 2)(

(n)

χ2090

(12) = 1855

1855

65

STUDENTOVO t(n)

66

STUDENTOVO t(n)

kde X1~ N(01) a X2 ~ χ2(n)

nX

XT

2

1

67

STUDENTOVO t(n)

t099(9) = 282

282

68

kde X1 ~ χ2(n) a X2 ~ χ2(m)

mXn

X

T2

1

70

F rozděleniacute

115

F06 (1012) = 115

71

72

73

74

Statistika
Pravděpodobnost
Poissonovo Po()
Poissonovo Po() (2)
Poissonovo Po() (3)
Poissonovo Po() (4)
Slide 47
Studentovo t(n)
Studentovo t(n) (2)
Studentovo t(n) (3)
Slide 74

54

55

Rozptyl

dzexFx z

2

)(

2

1)(

)(XE2)( XD

2

)(

2

1)(

x

exf x

56

57

58

x~

59

60

Rozptyl

0)( XE1)( XD

X

U

61

164

u095 = 164

62

63

S = X12 + X2

Rozptyl

nXE )(

nXD 2)(

(n)

χ2090

(12) = 1855

1855

65

STUDENTOVO t(n)

66

STUDENTOVO t(n)

kde X1~ N(01) a X2 ~ χ2(n)

nX

XT

2

1

67

STUDENTOVO t(n)

t099(9) = 282

282

68

kde X1 ~ χ2(n) a X2 ~ χ2(m)

mXn

X

T2

1

70

F rozděleniacute

115

F06 (1012) = 115

71

72

73

74

Statistika
Pravděpodobnost
Poissonovo Po()
Poissonovo Po() (2)
Poissonovo Po() (3)
Poissonovo Po() (4)
Slide 47
Studentovo t(n)
Studentovo t(n) (2)
Studentovo t(n) (3)
Slide 74

55

Rozptyl

dzexFx z

2

)(

2

1)(

)(XE2)( XD

2

)(

2

1)(

x

exf x

56

57

58

x~

59

60

Rozptyl

0)( XE1)( XD

X

U

61

164

u095 = 164

62

63

S = X12 + X2

Rozptyl

nXE )(

nXD 2)(

(n)

χ2090

(12) = 1855

1855

65

STUDENTOVO t(n)

66

STUDENTOVO t(n)

kde X1~ N(01) a X2 ~ χ2(n)

nX

XT

2

1

67

STUDENTOVO t(n)

t099(9) = 282

282

68

kde X1 ~ χ2(n) a X2 ~ χ2(m)

mXn

X

T2

1

70

F rozděleniacute

115

F06 (1012) = 115

71

72

73

74

Statistika
Pravděpodobnost
Poissonovo Po()
Poissonovo Po() (2)
Poissonovo Po() (3)
Poissonovo Po() (4)
Slide 47
Studentovo t(n)
Studentovo t(n) (2)
Studentovo t(n) (3)
Slide 74

56

57

58

x~

59

60

Rozptyl

0)( XE1)( XD

X

U

61

164

u095 = 164

62

63

S = X12 + X2

Rozptyl

nXE )(

nXD 2)(

(n)

χ2090

(12) = 1855

1855

65

STUDENTOVO t(n)

66

STUDENTOVO t(n)

kde X1~ N(01) a X2 ~ χ2(n)

nX

XT

2

1

67

STUDENTOVO t(n)

t099(9) = 282

282

68

kde X1 ~ χ2(n) a X2 ~ χ2(m)

mXn

X

T2

1

70

F rozděleniacute

115

F06 (1012) = 115

71

72

73

74

Statistika
Pravděpodobnost
Poissonovo Po()
Poissonovo Po() (2)
Poissonovo Po() (3)
Poissonovo Po() (4)
Slide 47
Studentovo t(n)
Studentovo t(n) (2)
Studentovo t(n) (3)
Slide 74

57

58

x~

59

60

Rozptyl

0)( XE1)( XD

X

U

61

164

u095 = 164

62

63

S = X12 + X2

Rozptyl

nXE )(

nXD 2)(

(n)

χ2090

(12) = 1855

1855

65

STUDENTOVO t(n)

66

STUDENTOVO t(n)

kde X1~ N(01) a X2 ~ χ2(n)

nX

XT

2

1

67

STUDENTOVO t(n)

t099(9) = 282

282

68

kde X1 ~ χ2(n) a X2 ~ χ2(m)

mXn

X

T2

1

70

F rozděleniacute

115

F06 (1012) = 115

71

72

73

74

Statistika
Pravděpodobnost
Poissonovo Po()
Poissonovo Po() (2)
Poissonovo Po() (3)
Poissonovo Po() (4)
Slide 47
Studentovo t(n)
Studentovo t(n) (2)
Studentovo t(n) (3)
Slide 74

58

x~

59

60

Rozptyl

0)( XE1)( XD

X

U

61

164

u095 = 164

62

63

S = X12 + X2

Rozptyl

nXE )(

nXD 2)(

(n)

χ2090

(12) = 1855

1855

65

STUDENTOVO t(n)

66

STUDENTOVO t(n)

kde X1~ N(01) a X2 ~ χ2(n)

nX

XT

2

1

67

STUDENTOVO t(n)

t099(9) = 282

282

68

kde X1 ~ χ2(n) a X2 ~ χ2(m)

mXn

X

T2

1

70

F rozděleniacute

115

F06 (1012) = 115

71

72

73

74

Statistika
Pravděpodobnost
Poissonovo Po()
Poissonovo Po() (2)
Poissonovo Po() (3)
Poissonovo Po() (4)
Slide 47
Studentovo t(n)
Studentovo t(n) (2)
Studentovo t(n) (3)
Slide 74

59

60

Rozptyl

0)( XE1)( XD

X

U

61

164

u095 = 164

62

63

S = X12 + X2

Rozptyl

nXE )(

nXD 2)(

(n)

χ2090

(12) = 1855

1855

65

STUDENTOVO t(n)

66

STUDENTOVO t(n)

kde X1~ N(01) a X2 ~ χ2(n)

nX

XT

2

1

67

STUDENTOVO t(n)

t099(9) = 282

282

68

kde X1 ~ χ2(n) a X2 ~ χ2(m)

mXn

X

T2

1

70

F rozděleniacute

115

F06 (1012) = 115

71

72

73

74

Statistika
Pravděpodobnost
Poissonovo Po()
Poissonovo Po() (2)
Poissonovo Po() (3)
Poissonovo Po() (4)
Slide 47
Studentovo t(n)
Studentovo t(n) (2)
Studentovo t(n) (3)
Slide 74

60

Rozptyl

0)( XE1)( XD

X

U

61

164

u095 = 164

62

63

S = X12 + X2

Rozptyl

nXE )(

nXD 2)(

(n)

χ2090

(12) = 1855

1855

65

STUDENTOVO t(n)

66

STUDENTOVO t(n)

kde X1~ N(01) a X2 ~ χ2(n)

nX

XT

2

1

67

STUDENTOVO t(n)

t099(9) = 282

282

68

kde X1 ~ χ2(n) a X2 ~ χ2(m)

mXn

X

T2

1

70

F rozděleniacute

115

F06 (1012) = 115

71

72

73

74

Statistika
Pravděpodobnost
Poissonovo Po()
Poissonovo Po() (2)
Poissonovo Po() (3)
Poissonovo Po() (4)
Slide 47
Studentovo t(n)
Studentovo t(n) (2)
Studentovo t(n) (3)
Slide 74

61

164

u095 = 164

62

63

S = X12 + X2

Rozptyl

nXE )(

nXD 2)(

(n)

χ2090

(12) = 1855

1855

65

STUDENTOVO t(n)

66

STUDENTOVO t(n)

kde X1~ N(01) a X2 ~ χ2(n)

nX

XT

2

1

67

STUDENTOVO t(n)

t099(9) = 282

282

68

kde X1 ~ χ2(n) a X2 ~ χ2(m)

mXn

X

T2

1

70

F rozděleniacute

115

F06 (1012) = 115

71

72

73

74

Statistika
Pravděpodobnost
Poissonovo Po()
Poissonovo Po() (2)
Poissonovo Po() (3)
Poissonovo Po() (4)
Slide 47
Studentovo t(n)
Studentovo t(n) (2)
Studentovo t(n) (3)
Slide 74

62

63

S = X12 + X2

Rozptyl

nXE )(

nXD 2)(

(n)

χ2090

(12) = 1855

1855

65

STUDENTOVO t(n)

66

STUDENTOVO t(n)

kde X1~ N(01) a X2 ~ χ2(n)

nX

XT

2

1

67

STUDENTOVO t(n)

t099(9) = 282

282

68

kde X1 ~ χ2(n) a X2 ~ χ2(m)

mXn

X

T2

1

70

F rozděleniacute

115

F06 (1012) = 115

71

72

73

74

Statistika
Pravděpodobnost
Poissonovo Po()
Poissonovo Po() (2)
Poissonovo Po() (3)
Poissonovo Po() (4)
Slide 47
Studentovo t(n)
Studentovo t(n) (2)
Studentovo t(n) (3)
Slide 74

63

S = X12 + X2

Rozptyl

nXE )(

nXD 2)(

(n)

χ2090

(12) = 1855

1855

65

STUDENTOVO t(n)

66

STUDENTOVO t(n)

kde X1~ N(01) a X2 ~ χ2(n)

nX

XT

2

1

67

STUDENTOVO t(n)

t099(9) = 282

282

68

kde X1 ~ χ2(n) a X2 ~ χ2(m)

mXn

X

T2

1

70

F rozděleniacute

115

F06 (1012) = 115

71

72

73

74

Statistika
Pravděpodobnost
Poissonovo Po()
Poissonovo Po() (2)
Poissonovo Po() (3)
Poissonovo Po() (4)
Slide 47
Studentovo t(n)
Studentovo t(n) (2)
Studentovo t(n) (3)
Slide 74

(n)

χ2090

(12) = 1855

1855

65

STUDENTOVO t(n)

66

STUDENTOVO t(n)

kde X1~ N(01) a X2 ~ χ2(n)

nX

XT

2

1

67

STUDENTOVO t(n)

t099(9) = 282

282

68

kde X1 ~ χ2(n) a X2 ~ χ2(m)

mXn

X

T2

1

70

F rozděleniacute

115

F06 (1012) = 115

71

72

73

74

Statistika
Pravděpodobnost
Poissonovo Po()
Poissonovo Po() (2)
Poissonovo Po() (3)
Poissonovo Po() (4)
Slide 47
Studentovo t(n)
Studentovo t(n) (2)
Studentovo t(n) (3)
Slide 74

65

STUDENTOVO t(n)

66

STUDENTOVO t(n)

kde X1~ N(01) a X2 ~ χ2(n)

nX

XT

2

1

67

STUDENTOVO t(n)

t099(9) = 282

282

68

kde X1 ~ χ2(n) a X2 ~ χ2(m)

mXn

X

T2

1

70

F rozděleniacute

115

F06 (1012) = 115

71

72

73

74

Statistika
Pravděpodobnost
Poissonovo Po()
Poissonovo Po() (2)
Poissonovo Po() (3)
Poissonovo Po() (4)
Slide 47
Studentovo t(n)
Studentovo t(n) (2)
Studentovo t(n) (3)
Slide 74

66

STUDENTOVO t(n)

kde X1~ N(01) a X2 ~ χ2(n)

nX

XT

2

1

67

STUDENTOVO t(n)

t099(9) = 282

282

68

kde X1 ~ χ2(n) a X2 ~ χ2(m)

mXn

X

T2

1

70

F rozděleniacute

115

F06 (1012) = 115

71

72

73

74

Statistika
Pravděpodobnost
Poissonovo Po()
Poissonovo Po() (2)
Poissonovo Po() (3)
Poissonovo Po() (4)
Slide 47
Studentovo t(n)
Studentovo t(n) (2)
Studentovo t(n) (3)
Slide 74

67

STUDENTOVO t(n)

t099(9) = 282

282

68

kde X1 ~ χ2(n) a X2 ~ χ2(m)

mXn

X

T2

1

70

F rozděleniacute

115

F06 (1012) = 115

71

72

73

74

Statistika
Pravděpodobnost
Poissonovo Po()
Poissonovo Po() (2)
Poissonovo Po() (3)
Poissonovo Po() (4)
Slide 47
Studentovo t(n)
Studentovo t(n) (2)
Studentovo t(n) (3)
Slide 74

68

kde X1 ~ χ2(n) a X2 ~ χ2(m)

mXn

X

T2

1

70

F rozděleniacute

115

F06 (1012) = 115

71

72

73

74

Statistika
Pravděpodobnost
Poissonovo Po()
Poissonovo Po() (2)
Poissonovo Po() (3)
Poissonovo Po() (4)
Slide 47
Studentovo t(n)
Studentovo t(n) (2)
Studentovo t(n) (3)
Slide 74

kde X1 ~ χ2(n) a X2 ~ χ2(m)

mXn

X

T2

1

70

F rozděleniacute

115

F06 (1012) = 115

71

72

73

74

Statistika
Pravděpodobnost
Poissonovo Po()
Poissonovo Po() (2)
Poissonovo Po() (3)
Poissonovo Po() (4)
Slide 47
Studentovo t(n)
Studentovo t(n) (2)
Studentovo t(n) (3)
Slide 74

70

F rozděleniacute

115

F06 (1012) = 115

71

72

73

74

Statistika
Pravděpodobnost
Poissonovo Po()
Poissonovo Po() (2)
Poissonovo Po() (3)
Poissonovo Po() (4)
Slide 47
Studentovo t(n)
Studentovo t(n) (2)
Studentovo t(n) (3)
Slide 74

71

72

73

74

Statistika
Pravděpodobnost
Poissonovo Po()
Poissonovo Po() (2)
Poissonovo Po() (3)
Poissonovo Po() (4)
Slide 47
Studentovo t(n)
Studentovo t(n) (2)
Studentovo t(n) (3)
Slide 74

72

73

74

Statistika
Pravděpodobnost
Poissonovo Po()
Poissonovo Po() (2)
Poissonovo Po() (3)
Poissonovo Po() (4)
Slide 47
Studentovo t(n)
Studentovo t(n) (2)
Studentovo t(n) (3)
Slide 74

73

74

Statistika
Pravděpodobnost
Poissonovo Po()
Poissonovo Po() (2)
Poissonovo Po() (3)
Poissonovo Po() (4)
Slide 47
Studentovo t(n)
Studentovo t(n) (2)
Studentovo t(n) (3)
Slide 74

74

Statistika
Pravděpodobnost
Poissonovo Po()
Poissonovo Po() (2)
Poissonovo Po() (3)
Poissonovo Po() (4)
Slide 47
Studentovo t(n)
Studentovo t(n) (2)
Studentovo t(n) (3)
Slide 74

Date post:	06-Feb-2016
Category:	Documents
Upload:	mikkel
View:	48 times
Download:	0 times

Statistika

Documents