34
12. Elektrotechnika 1 Stejnosměrné obvody Kirchhoffovy zákony
12. Elektrotechnika 1Stejnosměrné obvody
Kirchhoffovy zákony
12. Elektrotechnika 1 – Kirchhoffovy zákony
Při řešení elektrických obvodů, tedy různě propojených sítí tvoře-ných zdroji, odpory (kapacitami a indukčnostmi) se opíráme o dva základní fyzikální zákony, Kirchhoffovy zákony.
a) Proudový Kirchhoffův zákon (1.zákon) říká, že algebraický součet proudů ve větvích spojených v libovolném uzlu je roven nule. Jinými slovy: součet proudů do uzlu přitékajících je roven součtu proudů z uzlu odtékajících. Vžila se dohoda, že proudy tekoucíz uzlu se označují kladným znaménkem, proudy tekoucí do uzlu záporným znaménkem. b) Napěťový Kirchhoffův zákon (2.zákon) říká, že algebraický součet napětí ve větvích tvořících libovolnou smyčku je roven nule. Zna-ménka napětí orientovaných souhlasně se smyčkou se berou klad-ně, opačně orientovaná napětí se berou se záporným znaménkem. Pojmy smyč-ka a uzel budou zřejmé z následujícího obrázku.
12. Elektroetechnika1 – Kirchhoffovy zákony 2
Obvod na obrázku má dvě smyčky (označené I a II) a jeden uzel. Pro smyčku I platí podle Kirchhoffova zákona pro napětí ve smyčce I :
- U1 + R1.I1 + R2.I1 + U2 + R3.I3 + U3 = 0
Pro napětí ve smyčce II dostaneme rovnici :
- U2 – R3.I3 - U3 + R5.I2 + R4.I2 = 0
Pro proudový uzel platí :
I2 + I3 – I1 = 0
Známe-li některé obvodové veličiny, můžeme pomocí Kirchhoffových zákonů vypočítat ostatní.
Konvence značení napětí a proudů !
12. Elektrotechnika 1 – Kirchhoffovy zákony 3
Ukažme si použití Kirchhoffových zákonů na příkladu sériového a paralelního řazení odporů. Sériově řazenéodpory jsou zapojeny podle obrázku:Všemi odpory protéká stejný proud I a bude tedy platit:U = R1.I + R2.I + R3.I a tedy U/I = R = R1 + R2 + R3Tedy celkový odpor několika sériově řazených odporů je roven součtu jejich hodnot.
Zapojíme-li odpory paralelně dostaneme uspořádánípodle dalšího obrázku:
12. Elektrotechnika 1 – Kirchhoffovy zákony 4
Pro proudový uzel platípodle Kirchhoffova zákona:I = I1 + I2 + I3Na všech paralelně zapoje-ných odporech je stejné na-pětí U a pro jednotlivéproudy dostaneme:I1 = U/ R1, I2 = U/R2, I3 = U/R3 a odtud
321 R1
R1
R1
R1
UI
++==
Tedy při paralelním řazení odporů se sčítají jejich převrácené hodnoty, nebo jinak řečeno sčítají se jejich vodivosti.
12. Elektrotechnika 1 – Kirchhoffovy zákony 5
Je užitečné si pamatovat , že výsledný odpor dvou paralelně řazených odporů je dán vztahem:
21
2121 RR
.RRR||RR+
==
Jedním z nejdůležitějších stejno-směrných obvodů je odporový dělič, který slouží pro získánímenšího napětí U2 z vyššího napětí U1. Pro proud protékající celým děličem platíI = U1/ (R1 +R2)Napětí na odbočce děliče U2 = R2.I, tedy pro U2 dostaneme výsledný vztah 21
212 RR
RUU+
=
12. Elektrotechnika 1 – Kirchhoffovy zákony 6
Pokud by dělič nebyl naprázdno, ale byl zatížen něja-kým zatěžovacím odporem Rz, museli bychom místo samotného R2 počítat s paralelní kombinací R2 || Rz, kde Rz je odpor zatěžovací a symbolem || označujeme paralelní kombinaci.Nižší napětí u zatíženého akumulátoru je způsobeno vlastně tím, že výstupní napětí je napětí na odbočce děliče tvořeného vnitřním odporem akumulátoru a odporu zatěžovacího.
Zapojíme-li dva děliče proti sobě dostaneme velmi uži-tečné zapojení, které slouží k měření odporů a v mírněpozměněné podobě obecně k měření impedancí, kterése označuje jako Wheatstoneův můstek. Toto můstkovézapojení je znázorněno na dalším obrázku.
12. Elektrotechnika 1 – Wheatstoneův můstek
Pro přibližné měření odporu se používánejčastěji Ohmova metoda. To zname-názměříme proud protékající odporem a napětí na odporu a z toho podle Ohmova zákona vypočítáme odpor. Pro přesnéměření odporu a pro případy, kdy je obtížné použít Ohmovu metodu (např. při měření velmi malých či velmi vysokých odporů používáme právě můstkovémetody.
Existuje velké množství různých modifikací Wheatstoneova můstkupro měření nejrůznějších elektrických veličin. Základní princip je ale všude stejný. Odpor Rx v obrázku je neznámý odpor, který chceme změřit. Odpor R3 bývá odpor jehož hodnotu známe s velkou přesnostítzv. normál. Odpory R1 a R2 jsou tvořeny kalibrovaným děličem či dvěma dekádami, přepínatelnými sadami velmi přesných odporů.
12. Elektrotechnika 1- Wheatstoneův můstek 2
Měření provádíme tak, že měníme kombinaci odporů R1 a R2 tak dlouho, až napětí U2 v diagonále můstku je rovno nule. V tom případě jsou dělicí poměry obou děličů stejné a platí tedy:
x
3
2
1RR
RR
= 32
1x R
RR R =
V diagonále můstku nepotřebujeme žádné příliš přesné měřidlo, stačí pouhá indikace minimálního napětí ( např. v mV).
12. Elektrotechnika – Příklad 1 – Kirch.z.
Příklad 1 na Kirchhoffovy zákony:
1. Kirch. z. Σ Ii = 0,
tedy součet proudůvstupujících do plochy S a vystupujících z plochy S je roven 0 :
- I1 - I7 + I4 + I5 + I6 = 0
Ale též to platí o jednotli-vých uzlech :
- I1 + I2 + I4 = 0
- I2 + I3 + I5 = 0
- I3 + I6 – I7 = 0
12. Elektrotechnika 1 – Příklad 1 – Kirch.z.
2. Kirch. z. součet napětí ve smyč-kách je roven 0.
- U1 + R1I1 + R4I4 = 0
- R4I4 + R2I2 + R5I5 = 0
- R5I5 + R3I3 + R6I6 = 0
- R1I1 – R2I2 – R3I3 + R7I7 = 0
12. Elektrotechnika 1 – ekvivalence trojúh. - hvězda
Pro řadu situací se hodí využít pravidla ekvivalence zapojenírezistorů (impedancí) do trojúhelníka (∆) a do hvězdy(Y).
Této ekvivalenci se říká transfigurace trojúhelník – hvězda.
12. Elektrotechnika 1 – ekvivalence trojúh. - hvězda
Obě zapojení budou ekvivalentní právě tehdy, když pro libovolnou kombinaci proudů i1, i2 a i3 vstupujících do daného zapojení z vnějších obvodů budou napětí mezi stejnolehlými uzly 1, 2, 3 stejná(proud vstupující z vnějších obvodů do uzlu 0 musí být samozřejměnulový, tj. uzel 0 zůstává nepřipojen.
Naopak při napájení obvodu ze zdrojů napětí u12, u23 a u31 musí být i proudy i1, i2, i3 vstupující do obou obvodů navzájem shodné.
Mají-li být obě zapojení ekvivalentní pro libovolné vstupní proudy, pak musí platit ekvivalence v případě, že jeden z proudů je nulový (např. i3), tj. v případě, že svorka 3 je od vnějších obvodů odpojena.
Z rovnosti odporů mezi uzly 1 – 2 pro obě zapojení plyne
2010312312
312312 R R R R R
)R (RR+=
+++
12. Elektrotechnika 1- ekvivalence trojúh. - hvězda
1030312312
231231 R R R R R
)R (RR+=
+++
3020312312
123123 R R R R R
)R (RR+=
+++
10312312
3112 R 2 R R R R R 2
=++
Obdobně můžeme napsat rovnost odporů mezi uzly 2 - 3
A taktéž bude platit pro uzly 3 - 1
Odečteme-li od prvé rovnice rovnici druhou a dále pak přičteme rovnici třetí, vyruší se nám rezistory R20 a R30 a úpravou dostaneme
10312312
3112 R R R R R R
=++
12. Elektrotechnika 1 – ekvivalence trojúh. - hvězda
20312312
1223 R R R R R R
=++
Obdobně můžeme získat vztahy pro R20 a R30
30312312
3123 R R R R R R
=++
Pro odvození vztahů ekvivalence hvězda – trojúhelník je nutnépředpokládat, že některá z napětí u12, u23 nebo u31 bude nulové(tj. příslušné uzly jsou zkratované). Vodivost mezi zbylým uzlem a zkratovanou dvojicí uzlů lze pak vyjádřit pomocí vodivostípříslušných kombinací. Předpokládáme-li, že jsou zkratovány např. uzly 2 a 3, pak lze vodivost mezi uzlem 1 a spojenými uzly 2 a 3 zapsat jako
12. Elektrotechnika 1 – ekvivalence hvězda – trojúh.
G G G G G
)G (G G1223
302010301020 +=
+++
G G G G G
)G (G G3112
302010302010 +=
+++
Obdobně získáme vztah pro vodivosti mezi uzlem 2 a zkratovanými uzly 1 a 3
G G G G G
)G (G G2331
302010201030 +=
+++
A podobně pro vodivosti mezi uzlem 3 a zkratovanými uzly 1 a 2
12. Elektrotechnika 1 – ekvivalence hvězda – trojúh.
G G G
G G G302010
201012 ++
=30
2010201012
12 RR R R R R
G1
++==
G G G
G G G302010
302023 ++
=
Podobně jako v předchozí ekvivalenci, tak i nyní můžeme provést sečtení prvé a druhé rovnice a pak odečíst třetí rovnici a dostane-me následující vztahy pro G12
Dále pak podobně pro obdržíme vztahy pro G23 a G31
G G G
G G G302010
301031 ++
=
103020
30202323 R
R R R R R G
1++==
203010
30103131 R
R R R R R G
1++==
12. Elektrotechnika 1 – příklad na transfiguraci ∆ Υ
Příklad zatíženého Wheastonova můstku
Úkolem je zjistit obecně napětí a proudy na všech prvcích obvodu – můstku. Použijeme vlastní můstek s pootočenými větvemi, cožse nám bude lépe hodit pro transfiguraci ∆ na Υ.
12. Elektrotechnika 1 – příklad na transfiguraci
53131
A R R RR R R++
=531
31A R R R
R R R++
=
53131
A R R RR R R++
=
Po transfiguraci ∆ na Υ bude platit pro ekvivalentní odpory :
53153
R R RR R
B R ++=531
51C R R R
R R R++
=
12. Elektrotechnika 1 – příklad na transfiguraci
Dále lze pokračovat v tomto zjednodušeném schématu za pomocípravidel o sériovém a paralelním řazení prvků:
a) Předně rezistory RC a R2 , jakož i rezistory RB a R4 tvořísériovou kombinaci a lze je jednoduše sečíst. Ve zjednoduše-ném zapojení je možné stanovit jen některé napětí a proudy –tedy ne všechny. V této situaci je možné vypočítat celkový proud I a proudy tekoucí rezistory R2 a R4 – zůstaly zachovány z původního schématu.
b) Pomocí 2. Kirchhoffova zákona pak je možné vyjádřit napětí na rezistorech R1, R3 a R5 a to z napětí na rezistorech RA, RB a RC . To znamená, že v obvodu po transfiguraci počítáme napětí mezi body , mezi kterými jsou v původním obvodu zapojeny rezistory R1, R3 a R5. proudy v rezistorech R1, R3 a R5 poté můžeme vypočítat pomocí Ohmova zákona.
12. Elektrotechnika 1 – příklad na transfiguraci 2
Je také možní použít opačnou transfiguraci Υ - ∆. Zapojení do Y může tvořit trojice rezistorů R1, R2 a R5 nebo R3, R4 a R5. Použijme prvou trojici., kterou můžeme nahradit ekvivalentním zapojením do trojúhelníka, tvořeným rezistory RD, RE a RF .
12. Elektrotechnika 1 – příklad na transfiguraci 2
521
21D RR R R R R ++=
251
51E RR R R R R ++=
Pro odpory rezistorů ekvivalentního zapojení do trojúhelníka platí
152
52F RR R R R R ++=
Dále lze rovněž zjednodušovat pomocí pravidel o sériovém a paralelním řazení komponent. Odpory RE a R3 , jakož i odpory RF a R4 tvoří paralelní spojení. Potom z veličin vystupujících v původním obvodu můžeme přímo určit pouze napětí a proudy rezistorů R3 a R4 , které zůstaly zachovány z původního obvodu a celkový odebíraný proud I ze zdroje.
12. Elektrotechnika 1 – příklad na transfiguraci 2
Dále je možné pomocí Kirchhoffova zákona vyjádřit proudy proté-kající rezistory R1, R2 a R5 v původním obvodu a to z proudůrezistorů RD, RE a RF. To znamená, že v obvodu po transfiguraci počítáme proudy vývodů resp. svorek náhradního trojpólu, kterémusí být shodné s proudy vývodů původního trojpólu R1, R2 a R5. Poté vypočítáme napětí na rezistorech R1, R2 a R5 pomocíOhmova zákona.
12. Elektrotechnika 1 – metoda postupného zjednodušování
Metoda analýzy se zakládá na postupném nahrazování sériových a paralelních kombinací rezistorů ekvivalentními výslednými prvky.
V každém kroku metody nalezneme v obvodu skupinu (nebo i více skupin) rezistorů spojených sériově nebo paralelně a nahradíme ji rezistorem jedním s příslušnou výslednou hodnotou odporu. Postupně tak dospíváme ke stále jednoduššímu obvodu.
Jednoduchý ukázkový obvod:
12. Elektrotechnika 1 – metoda postupného zjedn.
3232
-1
3223 R R
R R R1
R1 R
+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
V prvém kroku stanovíme ekvivalentní rezistor R23
V dalším kroku stanovíme výsledný rezistor jako součet R1 a R23
3232
1231 R RR R R R R R +
+=+=
Tímto jsme dostali elementární obvod, který obsahuje nezávislý zdroj napětí U a jediný výsledný rezistor R.
K určení napětí a proudů rezistorů původního obvodu musíme postupovat zpětně po jednotlivých krocích směrem k ménězjednodušeným obvodům.
12. Elektrotechnika 1 – metoda postupného zjedn.
RU =I
I I 23211 R U R U ==
1. Výpočet proudu I
2. Výpočet dalších velečin – návrat o krok zpět a můžeme vypočítat dílčí napětí na rezistorech R1 a R23 jako úbytky napětí vyvolané průchodem proudu I.
Napětí U2 na rezistoru R23 bylo možné stanovit také z jižznámého napětí U1 na rezistoru R1 a napětí zdroje U pomocí2. Kirchhoffova zákona, tedy
12. Elektrotechnika 1 – metoda postupného zjedn.
22
2322
2
32
322
2
RU
RU nebo
RU
RU
-I I -I I I
I I
===
==
3. Nyní zbývá určit ještě proudy I2 a I3 v původně zadaném obvodu. Výpočet můžeme provést buď pomocí Ohmova zákona nebo pomocí Ohmova zákona a 1. zákona Kirchhoffova.
I I 11211 R - U U - U U R U ===
K urychlení výpočtů je možné použít znalosti o vztahů pronezatížený napěťový dělič a pro nezatížený proudový dělič. Toto je výhodné tehdy, pokud nepotřebujeme znát všechny obvodové veličiny.
12. Elektrotechnika 1 – metoda postupného zjedn.
23123
2 R RR U U+
=
Např. je-li úkolem určit velikost napětí U2 na rezistoru R2, stačíprovést pouze první krok zjednodušení a hledané napětí počítat pomocí vztahu pro napěťový dělič tvořený rezistory R1 a R23 a není třeba zjišťovat výsledný odpor R ani celkový proud Inalájecího zdroje.
Nebo nás jindy může zajímat jen velikost proudu I3. V tom případě provedeme zjednodušení až na konečný elementárníobvod a vypočítáme proud I odebíraný ze zdroje U a použijeme vtah pro poudový dělič tvořený rezistory R2 a R3
322
R1
R1
R1
3 R RR
32
3+
==+
I I I
12. Elektrotechnika 1 – příklad na metodu post. zjedn.
Mějme daný složitější obvod, ve kterém je třeba vypočítat proud I1a napětí U6
1) V tomto zadaném obvodu nalezneme hned 2 kombinace, kterélze zjednodušit v prvém kroku - R1 a R2 v levé části paralelníkombinace a R5 a R6 v pravé části zapojení se sériovou kombinací. Na dalším obrázku a) je obvod překreslený.
12. Elektrotechnika 1 – příklad na metodu zjedn. 2
Ekvivalentní rezistor R12 a R56 je roven
655621
2112 R R R
R RR R R +=+
=
2) Ve druhém kroku lze opět provést zjednodušení dvou kombinací – sériovou kombinaci odporů R12 a R3 rezistorem R123a dále paralelní kombinaci R4 a R56 rezistorem R456.
12. Elektrotechnika 1 – příklad na metodu zjedn. 3
R - U R R
R R R 456123
456123 I=+
=
3) Posledním krokem je výpočet hodnoty rezistoru R
R R
R R R R R R564
564456312123 +
=+=
12. Elektrotechnika 1 – příklad na metodu zjedn. 4
Tak jsme obdrželi výsledný elementární obvod, ve kterém můžeme začít řešit zpětnou část postupu. Jako první vypočteme napětí U vzniklé průchodem proudu I na rezistoru R. Vzhledem ke zdrojovéorientaci (tedy vzájemně opačné) napětí U a proudu I na rezistoru R musíme psát příslušný Ohmův zákon se znaménkem minus.
Alternativně by bylo možné ve druhém kroku provést zjednodušeníjen sériové kombinace R12 a R3 a paralelně řazené rezistory R4 a R56ponechat. V posledním kroku pak nahradit 3 paralelní rezistory R123, R4 a R56 rezistorem R
R R R R R R
R R R R
1 R1
R1 R
412356123564564123
1-
564123 ++=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++=
Dosazením do těchto vztahů hodnoty původních rezistorů R1 až R6obdrželi bychom stejné výsledky jako v prvém postupu.
12. Elektrotechnika 1 – příklad – výsledné řešení
Výpočet kupř. proudu I1 a napětí U6 (mimo jiné veličiny) stanovíme zpětným postupem. Lze použít několika způsobů s různou mírou elegance.
Proud I1 lze např. vypočítat jako proud jedné větvě děliče proudu tvořeného paralelní kombinací R1 a R2 , kterým protéká celkový proud I3 . Proud I3 bude nutným mezivýsledkem, který musí být vypočítán nejprve. Lze použít vztah pro dělič proudu tvořený rezistory R123 a R456, ve kterém se proud I větví na složky I3 a I456 .
212
31456123
4563 R R
R R R
R +
=+
= II II
Pro výpočet I1 nebylo v podstatě nutné zjednodušování až na elementární obvod, ale stačilo by provést prvé dva kroky.
12. Elektrotechnika 1 – příklad – výsledné řešení 2
Hledané napětí U6 se může vypočítat jako úbytek napětí na rezistoru R6 , který vznikne průchodem proudu I5. Proud I5 je proudem jedné z větví proudového děliče tvořeného rezistory R4 a R56. Celkový proud děliče lze určit z proudu zdroje I a již vypočíta-ného proudu I3 pomocí Kirchhoffova zákona.
566564
445653456 R U
R RR I I - I I -I =+
==I
