Katedra stavební mechanikyFakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava
Stavební statika, 1.ročník bakalářského studia
Průřezové charakteristiky
• Kvadratické momenty složených průřezů
• Těžiště složených obrazců nehomogenních průřezů
2
Kvadratické momenty obdélníku k rovnoběžně posunutým osám
2,
2,
bd
hczxTO TTZvoleno:
AcIItxx .2
AdcDDtt zxxz ..
Steinerova věta
AdIItzz .2
c… vertikální rameno těžiště –vzdálenost posunuté osy x od osy těžištní
d… horizontální rameno těžiště –vzdálenost posunuté osy z od osy těžištní
Txt
zt
x
z
o
c
d
b
h
Moment setrvačnosti rovinného obrazce k libovolné (mimotěžištní) ose je roven momentu setrvačnosti k rovnoběžné s těžištní osou zvětšenému o součin plošného obsahu a čtverce vzdálenosti obou os.
3
Kvadratické momenty obdélníku k rovnoběžně posunutým osám
2,
2,
bd
hczxTO TT
Zvoleno:
AcIItxx .2
AdcDDtt zxxz ..
Steinerova věta
c… vertikální rameno k těžišti d… horizontální rameno k těžišti
A
x AzI d.2
Důkaz:
> IxtT
xt
zt
x
z
o
c
d
b
h
> 0
AdIItzz .2 > Izt
xI
xzD
5
Centrální kvadratické momenty válcováných I profilů
V tabulkách jsou uvedeny: hmotnost průřezu na jednotku délky, potřebné geometrické rozměry a průřezové charakteristiky průřezů.
Hodnoty jsou vztaženy k osám y-z(v rovině y-z…více v předmětu Pružnost a plasticita)
Nepočítají se - viz tabulky.
6
Centrální kvadratické momenty válcováných U profilů
Pokud budete v předmětu Stavební statika počítat průřezové charakteristiky složených válcovaných průřezů, budou základní tabulkové hodnoty zadané.
7
Centrální kvadratické momenty složených průřezů
Využití kvadratických momentů k rovnoběžně posunutým osámPostup výpočtu:
a) zvolit pomocnou souřadnicovou soustavu x ,z(výhodné zvolit počátek v levém horním rohu nebo na ose symetrie)
b) rozdělit složený obrazec na n základních prvků i=1, …, n
c) pro každý prvek určit Ai a souřadnice jeho těžiště [xTi ; zTi] v pomocné
souřadnicové soustavě
d) určit souřadnice těžiště [xT ; zT] celého obrazce, kterým proložit centrální osy setrvačnosti průřezu xt , zt rovnoběžné s osami x, z.
e) pro každý prvek určit ramena těžiště Ti: ,TTii zzc TTii xxd
f) s využitím Steinerovy věty vypočítat centrální kvadratické momenty celého obrazce:
n
iiixx AcII
i
1
2.
n
iiizz AdII
i
1
2.
n
iiiizxxz AdcDD
ii
1
..
(Otvory mají plochy i momenty setrvačnosti se znaménkem mínus, deviační momenty s opačným znaménkem než plné prvky)
8
Příklad -Těžiště složeného obrazce : x-ová souřadnice
m 3,522
4,5.108.34.2... 332211
A
xAxAxAx TTT
T
A
xAx Tii
T
TiiT xAAx
9
m 3,922
6.108.34.0,5
T
TiiTTiiT
z
A
zAzzAAz
Příklad -Těžiště složeného obrazce : z-ová souřadnice
10
Příklad – Centrální moment setrvačnosti Ix
Centrální moment setrvačnosti Ix
Ix = S(Ixi + Ai . ci2) =
A1 = 4.1 = 4,0 m2
A2 = 2.4 = 8,0 m2
A3 = 2.5 =10,0 m2
T=[3,5;3,9]
Ramena dílčích těžišť
c1 = zT1 – zT =
c2 =
c3 =
Momenty setrvačnosti dílčích obrazců
Ix,1 =
Ix,2 =
Ix,3 =
12
Příklad – Centrální moment setrvačnosti Iz
Centrální moment setrvačnosti Iz
Iz = S(Izi + Ai . di2) =
A1 = 4.1 = 4,0 m2
A2 = 2.4 = 8,0 m2
A3 = 2.5 =10,0 m2
T=[3,5;3,9]
Ramena dílčích těžišť
d1 = xT1 – xT =
d2 =
d3 =
Momenty setrvačnosti dílčích obrazců
Iz,1 =
Iz,2 =
Iz,3 =
14
Příklad – Deviační moment Dxz
Deviační moment dílčích průřezů
Dxz1= Dxz2 = Dxz3 = 0 m4
(2-ose symetrický průřez)
Deviační moment Dxz celého průřezu
Dxz = S(Dxzi + Ai . ci . di) =
Ramena dílčích těžišť
c1 = -3,4 m d1 = -1,5 m
c2 = -0,9 m d2 = -0,5 m
c3 = 2,1 m d3 = 1,0 m
A1 = 4.1 = 4,0 m2
A2 = 2.4 = 8,0 m2
A3 = 2.5 =10,0 m2
T=[3,5;3,9]
16
Kvadratické momenty k pootočeným osám
aaa 2sin.sin.cos. 22xzzxx DIII
Změnou úhlu a, se mění hodnoty kvadratických momentů k pootočeným osám. Existuje úhel
pootočení os a0, při kterém nabývají momenty setrvačnosti k těmto osám extrémních hodnot a deviační moment je nulový.
zx
xz
II
D
2tg2 0a
aaa 2sin.cos.sin. 22xzzxz DIII
aa 2cos.2sin.2
1xzxzzx DIID
Osy pootočené o úhel a0 → hlavní osy setrvačnosti.Momenty setrvačnosti vztažené k hlavním osám
(extrémní momenty setrvačnosti) → hlavní momenty setrvačnosti I1 ,I2
V případě symetrického průřezu (stačí jednoose symetrický), je Dxz=0, α0=0.
Potom momenty setrvačnosti Ix a Iz vztažené osám x,z jsou zároveň hlavní
momenty setrvačnosti. Větší z nich je I1, menší I2. Osy x,z jsou pak zároveň hlavní osy setrvačnosti (viz níže).
Jsou-li známy kvadratické momenty rovinného obrazce pro pravoúhlou dvojici os x,z s počátkem o,
je možno určit hodnoty kvadratických momentů pro jinou dvojici pravoúhlých os x´, z´, pootočenou
od původních os o úhel α:
a
z
xo
x
z
17
Poloměr setrvačnosti
Geometrická charakteristika průřezu:A
Ii x
x A
Ii z
z
Hlavní centrální poloměry setrvačnosti:A
Ii maxmax
A
Ii minmin
Hlavní centrální poloměry setrvačnosti pro obdélníkový průřez :(šířka b, výška h)
Hlavní centrální poloměry setrvačnosti pro čtvercový průřez (strana a):
hhh
hb
hbi .2887,0.
12
1
12..12
. 23
max bi .2887,0min
aii .2887,0minmax
Hlavní centrální poloměry setrvačnosti pro kruhový průřez:
24.π.4
.π 2
2
4
minmax
rr
r
rii
Rozměr [délka], zpravidla m nebo mm
18
Polární moment setrvačnosti
K výkladu polárníhomomentu setrvačnosti
Polární moment setrvačnosti vztažený k bodu (pólu):(p je vzdálenost od pólu)
d.2
A
p ApI
Kvadratický moment, rozměr [délka4], zpravidla m4 nebo mm4
zxxz
AAA
p IIIIAzAxAzxI d.d.d. 2222
;
Poučka:
Polární moment setrvačnosti k pólu (bodu) O je roven součtu momentů setrvačnosti vztažených k jakýmkoli dvěma vzájemně kolmým osám setrvačnosti, které tímto bodem (pólem) procházejí.
Ve stavařské praxi:pólem je výhradně těžiště průřezu, centrální polární moment setrvačnosti, využití u rotačně symetrických průřezů.
Rozměr [délka4], zpravidla m4 nebo mm4
zxp III
19
Průřezové charakteristiky obrazce složeného z válcovaných tyčí
x
z
oPříklad č.1 k procvičení(budete potřebovat):
Dle postupu u předešlého příkladu spočítejte všechny průřez. char., které jsme na této přednášce probírali.
Průřez je složen z válcovaných
U160 a I240 profilů..
UPN 160
IPN 240
Zadané hodnoty konkrétně pro tento průřez:
I 240:
mmhmmbmmA
mmImmI zx
240,106,10.61,4
10.2,2,10.4,4223
4646
U 160:
mme
mmhmmbmmA
mmImmI zx
4,18
160,65,10.4,2
10.25,9,10.85023
4643
kóty b,h – viz snímky,na kterých jsou tabulky průřezů
Poznámka (pro vaši případnou kontrolu tabulkových hodnot):Pozor na uložení válcovaného U profilu. Osy jsou oproti osám v tabulkách vzájemně přehozené.
… poloha těžiště U profilu
20
Průřezové charakteristiky obrazce složeného z válcovaných tyčí
x
z
PU
R
zT
T [xT ,zT]
xT
PI
zU
zIcU
cI
xt
zt
o
Nápověda:Ix = 7,3482.10-5 m4 (nutno Steiner)Iz = Iz1 + Iz2 (není třeba Steiner)Průřez je symetrický k ose z → Dxz=0,
21
Shrnutí základních pojmů
Statické momenty plochy [m3] :
k ose z :
k bodu o:
Tx zAS
Tz xAS
TTo zAxAS
Kvadratické momenty plochy [m4] :
setrvačnosti k ose x : A
x AzI d.2
A
z AxI d.2
A
xz AzxD d..
setrvačnosti k ose z :
deviační k osám xz : polární k bodu (pólu) p : A
p ApI d.2
k ose x :
Momenty setrvačnosti (MS) včetně deviačního:
k libovolným osám x,z : obecně MS - Ix , Iz , Dx,z
k těžištním osám xt,zt : centrální MS, je-li symetrie alespoň k jedné ose Dxz=0
k pootočeným vzájemně kolmým osám : obecně - Ix´ , Iz´ , Dx´z´
k pootočeným vzájemně kolmým osám - osy neprocházejí těžištěm
– extrémní hodnoty MS (I1 ,I2) : hlavní MS, I1= max, I2= min Dx´z´=0
k pootočeným vzájemně kolmým osám - osy procházejí těžištěm
– extrémní hodnoty MS (I1 ,I2) : hlavní centrální MS, I1= max, I2= min Dx´z´=0
22
Těžiště nehomogenní rovinné prutové konstrukce
+x
+z
R
T
Konstrukce představuje složený rovinný obrazec – několik spojených úseček.
Řešení výpočet xT :
• V těžištích jednotlivých prutů zavedeme dílčí tíhové síly
• těžiště T [xT ; zT] představuje statický střed soustavy rovnoběžných sil
Pi
xi
xT
i
iiiiT
iiT
P
xP
R
xPx
xPxR
Příhradová konstrukce s n pruty (i=1, …, n ) stejného materiálu (γ = konst) o různých průřezech → pruty o stejných délkách mají rozdílné tíhové síly.
Tíhová síla prutu:
iiiiii lAlAgVP .....
o
23+z
Pi
R
zT zi
T
i
iiiiT
iiT
P
zP
R
zPz
zPzR
+x
Tíhová síla prutu:
o
iiiiii lAlAgVP .....
Těžiště nehomogenní rovinné prutové konstrukce
Řešení výpočet xT :
• V těžištích jednotlivých prutů zavedeme dílčí tíhové síly
• těžiště T [xT ; zT] představuje statický střed soustavy rovnoběžných sil
25
Okruhy problémů k ústní části zkoušky
1. Centrální kvadratické momenty složených průřezů
2. Polární momenty setrvačnosti
3. Poloměry setrvačnosti
