Téma 2 - vsb.czfast10.vsb.cz/konecny/files/sme/sme_02.pdf · Katedra stavební mechaniky Fakulta...

Katedra stavební mechanikyFakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

Stavební mechanika, 2.ročník bakalářského studia AST

Téma 2Deformace staticky určitých prutových konstrukcí - pokračování

2 / 65

Osnova přednášky

Osnova přednášky

• Deformace nosníku v osové úloze

• Deformace rovinně lomeného nosníku v rovinné úloze

• Deformace rovinného kloubového příhradového nosníku

• Deformace přímého nosníku v krutové úloze

• Deformace rovinně zakřiveného nosníku v rovinné úloze

3 / 65

Deformační zatížení, způsobené oteplením

Princip virtuálních prací

Rovnoměrné oteplení a rozklad lineárně proměnného oteplení po výšce průřezuObr. 2.7. / str. 29

Silový princip virtuálních prací:

D

D

D

l

tztyt

l

ty

yy

z

zz

z

zz

y

yy xb

tM

h

tMtNx

GI

TT

GA

VV

GA

VV

EI

MM

EI

MM

EA

NN

0

210

0

dd**

aaad

dxtdu

h

etttt

t

zhdh

D

DDDD

0

0 )(

a h

dxtd

ttt

ty

hd

D

DDD

1

1

aj

4 / 65

Deformace nosníku v osové úloze


Deformace nosníku v osové úlozeObr. 2.11. / str. 33

l

e xA

NN

Eu

0

d1

d

Nt

l

te AtxNtu 0

0

0 d DD aad

Silové zatížení

Oteplení

EA

AxNN

EAu N

l

e

0

d1

dStálý průřez

Proměnný průřez

Simpsonovo pravidlo

324d 42310

0

dfffffxxf

l

5 / 65

Příklad 2.1

xN

R

R

ax

ax

.4,813

kN13

085,2.4,8


Zadání a řešení příkladu 2.1Obr. 2.12. / str. 34

A = 64 mm2,

E = 2,1.108 kPa, at = 1,2.10-5K-1

Nutno určit pro silový zatěžovací stav i rovnoměrné ochlazení vodorovný posun uc

Silový zatěžovací stav:

m000685,010.4,6.10.1,2

2,9

d

58

0

l

Nc

EA

Ax

EA

NNu

6 / 65

Příklad 2.1



mm48,0m00048,02).20.(10.2,1

dd

5

0

0

0

0

0

DDD

c

Nt

l

t

l

tc

u

AtxNtxtNu aaa

Posun způsobený ochlazením:

7 / 65

Deformace přímého nosníku v příčné úloze

Deformace přímého nosníku v příčné úloze (ve svislé hlavní rovině xz)

Druhy přímých nosníků v příčné úlozeObr. 2.14. / str. 36

ll

xA

VV

Gx

I

MM

E0

*

0

d1

d1

d

Dl

t xM

t0

1 dh

ad

Silové zatížení

Oteplení

ll

xVVGA

xMMEI

0

*

0

d1

d1

dStálý průřez

AA

kruh pro 27/53

obdélník pro 1,2 *

Redukovaná plocha

8 / 65

Vereščaginovo pravidlo


Vereščaginovo pravidloObr. 2.15. / str. 37

TM

l

MAxMM .d0

Pomůcka pro výpočet integrálu

Integrál ze součinu dvou momentových funkcí, z nichž první M je hladká a spojitá a druhá M je lineární, je roven součinu plochy AM prvního momentového obrazce a pořadnice MT druhého momentové obrazce v místě těžiště TM prvního momentového obrazce.

9 / 65

Vereščaginovo pravidlo


Poloha těžiště parabolické části momentovýchobrazců pro použití Vereščaginova pravidlaObr. 2.16. / str. 38

10 / 65

Příklad 2.3



Železobetonová konzola

E = 2,2.107 kPa

S využitím Vereščaginova pravidla určete svislý průhyb d = wa.

Možno zanedbat práci posouvajících sil.

11 / 65

Příklad 2.3



3

3

1

0

33

3

2

2

1

22

3

1

1

0

11

3

321

2

0

23

37

3

kNm667,21)667,1.(13

d

kNm15)5,1.(10

d

kNm5,2)75,0.(333,3

d

m005407,010.24416,7

667,21155,2

)(1

d

kNm1024416,7

12

28,0.18,0.10.2,2

12

MAxMMS

MAxMMS

MAxMMS

SSSEI

xEI

MMw

bhEEI

M

M

M

a

12 / 65

Příklad 2.4


Reálné a virtuální posouvající síly konzoly z příkladu 2.3Obr. 2.18. / str. 39

Železobetonová konzola

G = 9,24.106 kPa

Výpočet příkladu 2.3 s uvažováním práce posouvajících sil.

00

´

5

5

´

2,2

1,1

56*

2*

21*

2

0

*

´

7,1100.407,5

093,0100.

mm093,0m10.276,910.8808,3

2610

kNm26)1.(1.26

kNm10)1.(2

1.20

kN10.8808,3042,0.10.24,9

m042,02,1

28,0.18,0

)(1

w

w

w

VAS

VAS

GA

bhA

SSGA

dxGA

VVw

c

c

V

V

c

13 / 65

Tabulka 2.2


Vzorce pro výpočet integrálů l

xMM0

d

str. 41

14 / 65

Tabulka 2.3


Lokální deformace konzoly a prostého nosníku stálého průřezu str. 42

15 / 65

Příklad 2.6



Mt

l

t Ah

txM

h

t 1

0

1 dD

D

aa

dOcel at = 1,2.10-5 K-1

Lineární oteplení po výšce průřezu.

Nutno určit průhyb wc a ws.

h = 0,24 m

16 / 65

Příklad 2.6



cMttt

c Ah

txM

h

tx

h

Mtw 1

9

0

9

0

11 ddD

D

D

aaa

92

2.9

cMA

mm2,7m0072,024,0

)9.(16.10.2,1 5

cw

sMt

s Ah

tw 1D

a125,6

2

75,1.7

sMA mm9,4m0049,0

24,0

125,6.16.10.2,1 5

sw

17 / 65

Deformace přímého nosníku v krutové úloze


Deformace nosníku v krutové úlozeObr. 2.22. / str. 45

t

T

l

t

l

t

cGI

AxTT

GIx

GI

TT

00

d1

d

Krutové pootočení

Silový virtuální stav

G modul pružnosti ve smyku

It moment tuhosti průřezu v kroucení

AT plocha obrazce kroutících momentů na části nosníku s T= ±1

18 / 65

Příklad 2.8



Metodou jednotkových sil nutno určit krutové pootočení pravého konce b

Ocel - G = 8,1.107 kPa

o

2

00

277

4544

41

42

20,2rad0384,08466,60

336,2

kNm336,26,0.72,0.2

11).52,172,2.(

2

1

d1

d

kNm8466,6010.5119,7.10.1,8

mm10.5119,7)2430.(2

)(2

b

T

t

T

l

t

l

t

t

pt

A

GI

AxTT

GIx

GI

TT

GI

rrII

19 / 65

Deformace rovinně lomeného nosníku v rovinné úloze


m

j

l

j

j

l

j

j

l

j

j

jjj

xA

VV

Gx

I

MM

Ex

A

NN

E1 0

*

00

d1

d1

d1

d

Tři lokální složky deformace: u, v a j

m

j

l

j

j

j

xI

MM

E 1 0

d1

d

U staticky určitých případů se zanedbává práce posouvajících a normálových sil

22ccc uw dV bodě c

c

c

w

uatan

Oteplení

DDm

j

l

j

j

j

l

jjt

jj

xh

MtxNt

1 0

,1

0

,0 ddad

Stálý průřez

m

j

l

j

j

j

xMMIE 1 0

d11

d

20 / 65

Příklad 2.9



Nutno určit

ud , wd , a a dd

Ocel

I1 = 16.10-5 m4

I2 = 3,8.10-5 m4

I3 = 9,2.10-5 m4

E = 2,1.108

kPa

Délky prutů:

ml

ml

ml

162,31013

2,1

8,2

22

3

2

1

21 / 65

Příklad 2.9, výpočet Vereščaginovým pravidlem

mu

Eu

dxI

MMdx

I

MM

Edx

EI

MMu

mw

Ew

dxI

MMdx

I

MM

Edx

EI

MMw

d

d

ll

jj

l

j

d

d

d

ll

jj

l

j

d

j

j

3

558

55

3

0 3

33

1

0 1

113

1 0

3

558

55

3

0 3

33

1

0 1

113

1 0

10462,6102,9

087,26

1016

763,171

101,2

1

102,9

13

2

2

162,3181

4

3

3

162,39

10162

18,38,256,251

1

10441,10102,9

26,78

1016

704,217

101,2

1

102,9

33

2

2

162,3183

4

3

3

162,39

1016

38,256,251

1

31

31



o

d

d

ddd

w

u

mwu

75,316189,010441,10

10462,6tan

10279,1210462,6441,10

3

3

332222

aa

d

704214,

22 / 65

Rámová ocelová konstrukce průmyslové haly

Ukázky konstrukcí rovinně lomeného nosníku

Rozpětí 20,5 m

23 / 65

Hala pro výrobu komponent jaderných elektráren, Vítkovice


• Půdorys 130 x 320 m• Jeřáby o nosnosti 80 a 200 t• Poddolované území

24 / 65

Železniční most, Polanecká spojka

Ukázky kloubových příhradových konstrukcí

Most přes železniční trať v Polance z r.1964

25 / 65

Tribuna fotbalového stadiónu na Bazalech, Ostrava


• Poddolované území

26 / 65

Deformace rovinného kloubového příhradového nosníku


p

j j

jjjp

j

l

j

j

jjp

j

l

j

j

jj

A

lNN

Ex

A

NN

Ex

EA

NN jj

11 01 0

.1d

1dd

Oteplení

Virtuální práce pouze normálových sil

DDDp

jjjt

p

j

l

jjt

p

j

l

jjt ltNxtNxtNjj

1,0

1 0

,01 0

,0 dd aaad

27 / 65

Příklad 2.11



Nutno určit wc

A1 = 24.10-4 m4

A2 = 12.10-4 m4

A3 = 18.10-4 m4

A4 = 18.10-4 m4

A5 = 12.10-4 m4

A6 = 12.10-4 m4

A7 = 18.10-4 m4

l2 = l3 = l6 = 2,236 m

Tabulkový výpočet

28 / 65

Příklad 2.11 Tabulkový výpočet

mm62,5m1062,5101,2

10192,11801 3

8

37

1

j j

jjj

cA

lNN

Ew

j Aj [m2] lj [m] Nj [kN] Nj [1] (NjNjlj/Aj).10-3 [kN/m]

1 0,0024 2,000 -90,000 -1,000 75,000

2 0,0012 2,236 134,164 2,236 559,017

3 0,0018 2,236 -67,082 0,000 0,000

4 0,0018 2,000 -60,000 -2,000 133,333

5 0,0012 1,000 0,000 0,000 0,000

6 0,0012 2,236 67,082 2,236 279,508

7 0,0018 2,000 -60,000 -2,000 133,333

1180,192


29 / 65

Deformace rovinně zakřiveného nosníku v rovinné úloze


Tvar a podepření rovinného zakřiveného nosníku v rovinné úlozeObr. 2.25. / str. 48

Rozpětí l, vzepětí f, poměrné vzepětí Fl

fΦ

30 / 65



Vzepětí f a poměrná vzepětí F rovinných zakřivených nosníkůObr. 2.26. / str. 49

Rozpětí l, vzepětí f, poměrné vzepětí Fl

fΦ

31 / 65



Silové zatížení

L jLL

sGA

VVs

EI

MMs

EA

NNddd

*d

Teplotní zatížení

DDL

t

L

t sh

MtsNt dd 10 aad

ycos

dd

xs Řešení Po úpravě:

Silové zatížení b

a

b

a

b

a

x

x

x

x

x

x

xA

VV

Gx

I

MM

Ex

A

NN

Ed

cos

1d

cos

1d

cos

1* yyy

d

Teplotní zatížení

DDb

a

b

a

x

x

t

x

x

t xh

Mtx

Nt d

cosd

cos10

ya

yad

Použití metody jednotkových sil

32 / 65


Výpočet přetvoření

Numerická integrace

Simpsonovo pravidlo

Obdélníková metoda

3))...(2)...(4(d)( 2421310

0

dffffffffxxf nnn

l

DD

DD

n

ii

i

iin

ii

i

ii

n

ii

ii

iin

ii

ii

ii

x

x

x

x

sI

MM

Es

A

NN

E

xI

MM

Ex

A

NN

Ex

I

MM

Ex

A

NN

E

b

a

b

a

11

11

11

cos

1

cos

1d

cos

1d

cos

1

d

yyyyd


33 / 65

Příklad 2.10



2.xkxz

1

22208,0

5

2 mx

z

x

zk

b

b

a

a

Parabolická střednice

xxkxkx

z16,0..2.

d

dtg 2

y

22 0256,01

1

tan1

1cos

x

yy

22 0256,01

16,0

tan1

tgsin

x

x

y

yy

Nutno určit ub

EI = 6,72.104 kNm2

22 08,0. xxkxz

34 / 65

Příklad 2.10



)(1

0

0

5,1110

4075

10

585,256

0585,25610

5,2610

40225

10

585,756

058)5,210(5610

ax

azaz

bxax

az

bz

az

az

R

RR

RR

kNR

R

kNR

RVýpočet reakcí:

Výpočet ohybových momentů po délce oblouku – viz obr.

35 / 65

Příklad 2.10, výpočet posunutí ub Simpsonovým pravidlem



25,18 / 10/ 8

3))(2)(4( S )(

S

864275310

0

0

1

cos

1

nldn

dfffffffffdxxfS

dxdsu

l

L

l

bEI

MM

EIEI

MM

y

i x [m] tgy cosy M[kNm] M[kNm] MM/ cosy [kNm2]

0 -5,00 -0,8 0,78087 0,0000 0,0000 0,000

1 -3,75 -0,6 0,85749 28,4375 0,875 29,018

2 -2,50 -0,4 0,92848 47,5000 1,500 76,739

3 -1,25 -0,2 0,98058 57,1875 1,875 109,350

4 +0,00 +0,0 1,00000 57,5000 2,000 115,000

5 +1,25 +0,2 0,98058 43,1250 1,875 82,461

6 +2,50 +0,4 0,92848 28,7500 1,500 46,447

7 +3,75 +0,6 0,85749 14,3750 0,875 14,668

8 +5,00 +0,8 0,78087 0,0000 0,000 0,000

mmmu

S

b79,81079,8

106,72

590,984

590,984kNm0)1,25/346,447)115,002(76,739

)668,14146,8235,109018,29(40(

3

4

3

36 / 65

Příklad 2.10, výpočet posunutí ub, obdélníková metoda



)2(1

x105 pro 8)5,2(56)5(5,26)(

5x0 pro )5(3)5(5,26)(

110

x 01

2

i

n

1i

1

z(x)M

xxxxM

xxxM

lnxMMdsu

iii

L

bEIEI

MM

DD

mmmuxMMb

n

i

77,81077,8106,72

589,618 589,618kNm 3

4

3

1

D

i x [m] z [m] tgy cosy M[kNm] M[kNm] MMDx/ cosy [kNm2]

1 -4,5 1,62 -0,72 0,811534 12,5 0,38 5,85311

2 -3,5 0,98 -0,56 0,872506 33,0 1,02 38,5785

3 -2,5 0,50 -0,40 0,928477 47,5 1,50 76,7386

4 -1,5 0,18 -0,24 0,972387 56,0 1,82 104,8142

5 -0,5 0,02 -0,08 0,996815 58,5 1,98 116,2000

6 +0,5 0,02 +0,08 0,996815 51,75 1,98 102,7924

7 +1,5 0,18 +0,24 0,972387 40,2500 1,82 75,3352

8 +2,5 0,05 +0,40 0,928477 28,75 1,5 46,4470

9 +3,5 0,98 +0,56 0,872506 17,25 1,02 20,1660

10 +4,5 1,62 +0,72 0,811534 5,75 0,38 2,6924

37 / 65

Rovinně zakřivený nosník

Gateway Arch, rozpětí a vzepětí ocelového oblouku z roku 1966 192,5 m, Saint Louis, Missouri.

Ukázky konstrukcí rovinně zakřiveného nosníku v rovinné úloze

38 / 65

Gateway Arch, rozpětí a vzepětí ocelového oblouku z roku 1966 192,5 m, Saint Louis, Missouri.

Ukázky konstrukcí rovinně zakřiveného nosníku v rovinné úloze


39 / 65Ukázky konstrukcí rovinně zakřiveného nosníku v rovinné úloze


Rovinně zakřivený vazník, Výzkumné energetické centrum VŠB-TU Ostrava

40 / 65

Most přes řeku Odru z r.1964, Polanecká spojka, Ostrava – Zábřeh

Železniční most, Polanecká spojka


41 / 65

Silniční most, Ostrava - Hrabová


Příhradový most přes řeku Ostravici

Date post:	10-Mar-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	7 times
Download:	0 times

Téma 2 - vsb.czfast10.vsb.cz/konecny/files/sme/sme_02.pdf · Katedra stavební mechaniky Fakulta...

Documents