Katedra stavební mechanikyFakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

Stavební statika, 1.ročník kombinovaného studia

Rovinné nosníkové soustavy

• Složené rovinné nosníkové soustavy• Statická ur čitost a neur čitost rovinných soustav• Gerberův nosník• Trojkloubový rám • Trojkloubový rám s táhlem

2

Staticky neur čité konstrukce

Rám:

Přímý staticky neurčitý nosník podepřený na více než dvou podporách, z nichž pouze jedna je pevná a ostatní posuvné

ad

cb

d

b c

a

Spojitý nosník:

b c

a

3

Rovinné složené nosníkové soustavy

Rám:

Vzniknou spojením tuhých desek (prutů) navzájem klouby nebo táhly.

ad

cb

d

b c

a

Spojitý nosník:

b c

4

Klouby spojující dv ě tuhé desky -zabraňují vzájemnému posunu konců připojených tuhých prutů v ose x a z. (→ dvě silové vazby = interakce). Klouby nezabraňují vzájemnému natočení konců prutů (moment = 0).

Jednoduché klouby – vnit řní vazba dvojnásobná

+x

+z

Počet tuhých prutů spojených kloubem: np = 2

c

tuhý prut

Vnitřní kloub, spojující navzájem dva tuhé pruty

tuhý prut

Složky interakcí ve vnitřní vazbě, spojující navzájem dva tuhé pruty

Rcz

Rcx

Rcz

Rcx

vi= 2

5

Klouby spojující více než dv ě tuhé desky

c

tuhý prut

tuhýprut

tuhý prut

Kloub spojující tři tuhé desky (np =3) ruší soustavě 4 stupně volnosti (4násobná vnitřní vazba)

Obecně: vi= 2.(np - 1)

+x

+z

Vnitřní vazba, spojující navzájem tři tuhé pruty

S každým přidaným prutem přibývají soustavě dvě vnitřní silové vazby (nebo-li přidáme soustavě jeden stupeň volnosti – moment)

6

Název vazby

Násobnost vazby

Označení vazby a reakce

Kyvný prut

Posuvná kloubová podpora

Pevná kloubová podpora

Posuvné vetknutí

Dokonalé vetknutí

Raz

Raz

Raz

Rax

Raz

Rax

Ma

Raz

Ma

1

2

2

3

1

nebo

nebo

Raz

Raz

Rax

Název vazby

Násobnost vazby

Označení vazby

kloub 2

kloub 4

kloub 6

táhlo 1

kloub 2

VNĚJŠÍ VAZBY VNITŘNÍ VAZBY

7

nv = vnv < vnv > v

staticky i kinematicky určitá soustavastaticky neurčitá, kinematicky přeurčitá soustavastaticky přeurčitá, kinematicky neurčitá soustava

Stupeň statické neur čitosti složené soustavy v rovin ě

pnv .3=

Stupeň statické neurčitosti vnvs −=

Tuhá deska v rovině – 3° volnosti

Soustava tuhých desek (p) navzájem spojených klouby → celkem p . 3° volnosti

0=s

Vazby - ve - vnější (reakce v podporách) - vi - vnitřní (vazby v kloubech, spojení prutů táhlem)

Počet stup ňů volnosti složené soustavy v rovin ě:

Celkový po čet vazeb = celkový po čet odebraných stup ňů volnosti soustav ě: ie vvv +=

Příklady – ur čete stupe ň statické neur čitosti

pnv .3=

vnvs −=

ie vvv +=

Příklady – stupe ň statické neur čitosti

11

Základní typy staticky ur čitých nosníkových soustav v rovin ě xz

Základní typy kinematicky určitých rovinných kloubových soustav

(a)

(b)

a) Spojitý nosníks vloženými klouby(tzv. Gerberův nosník)

b) Trojkloubový rámnebo oblouk

Heinrich Gerber(1832 - 1912)významný německýkonstruktérocelových mostů

Vložením kloubů do spojitého nosníku tak, že vznikne nosník staticky určitý→ Gerberův nosník . Vnitřní klouby nelze vkládat libovolně.

12

Raz

Rax a

Rdz

d

F3F2F1 e

Rcz

c

Rbz

b

f

Raz

Rcxa

Rcz

c

F3F1d

Rbz

b

Mc

F4

eF2

a

pnv .3=

vnvs −=ie vvv +=

ev sečtěte vnější reakce

iv spočtěte klouby avynásobte dv ěma

vn spočtěte počet tuhých desek a vynásobte t řemi

=ev

=iv

=vn

=ev

=iv

=vn

=v

=v

Gerberův nosník - stupe ň statické neur čitosti

13

Raz

Rax a

Rdz

d

F3F2F1 e

Rcz

c

Rbz

b

f

Raz

Rcxa

Rcz

c

F3F1d

Rbz

b

Mc

F4

eF2

a

pnv .3=

vnvs −=ie vvv +=

ev sečtěte vnější reakce

iv spočtěte klouby avynásobte dv ěma

vn spočtěte počet tuhých desek a vynásobte t řemi

5=ev

422 =⋅=iv

9=vn

9=v

Gerberův nosník - stupe ň statické neur čitosti

9225 =⋅+=+= ie vvv 933.3 =⋅== pnv.....0 určsnvs v =−=

9225 =⋅+=+= ie vvv 933.3 =⋅== pnv .....0 určsnvs v =−=

5=ev

422 =⋅=iv

9=vn

9=v

14

Správné rozvržení kloub ů na spojitého nosníku

Platí následující pravidla:

a) v krajním poli s kloubově podepřeným nebo převislým koncem smí býtnejvýše 1 kloub

ad

k1 cb k2

b) v krajním poli s vetknutým koncem musí být alespoň 1 a smí býtnejvýše 2 klouby

a

cb

dk3k1 k2

d

b c

ak1 k3k2

15

Správné rozvržení kloub ů na spojitého nosníku

c) ve vnitřním poli smí být nejvýše 2 kloubya

dk1 cb k2

d) ve dvojici sousedních polí musí být alespoň 1 kloub(nesmí sousedit 2 pole bez vložených kloubů)

a

cb

dk3k1 k2

d

b c

ak1 k3k2

e) ve dvojici sousedních polí, z nichž jedno je krajní s vetknutým koncem,musí být alespoň 2 klouby

a dk1 cb k2

16

Pohyblivý mechanismus – výjimkové p řípady

Pohyblivý mechanizmusObr. 9.3. / str. 146

Na nosníku nesmí vzniknout nestabilní část – pohyblivý mechanismus .

adk1

cbk2

ad

cb k1k2

k3

ad

cb k1k2

k3

Vzniká v důsledku nedodržení předchozích pravidel.

17

Typické zp ůsoby rozvržení kloub ů v konstrukci

a k1b k2

ad

k1 cb k2

ad

k1 cb k2

a) krajní pole bez kloubů, vnitřní pole s 2 klouby

b) krajní pole s 1 kloubem, vnitřní bez kloubů

c) první (krajní) pole bez kloubu, v ostatních polích po 1 kloubu

Nosníky nesoucí (červená tlustá čára) a nesené (černá tenká čára).

dc

18

Typické zp ůsoby rozvržení kloub ů v konstrukci

Spojitý nosník s vloženými klouby

Tři typické způsoby rozvržení vložených kloubů ve spojitém nosníkuObr. 9.4. / str. 147

(a)

(b)

(c)

Nesoucí nosníky (červená tlustá čára) – dostatečně podepřeny vnějšími vazbami, nosná funkce zachována i při odstranění nesených nosníků.

Nesené nosníky (černá tenká čára) – podepřeny také konci nosníků nesoucích

Případ (c) nedoporučuje, při vyřazení jediného nesoucího nosníku hrozí řetězové zhroucení celé konstrukce.

20

Postup p ři řešení spojitého nosníku s vloženými klouby

Rozklad spojitého nosníku s klouby na nosníky nesoucí a nesené - příčná úloha

(a)

(b)

e) Výpo čet začít vždy na neseném nosníku. Z momentových podmínek rovnováhy k podporovým bodům určit reakce v podporách a interakce v kloubech daného pole.

f) Přejít s výpočtem do dalšího pole nosníku, nesoucí nosník zatížit akcemi nesených nosníků (silou stejně velkou a opačně orientovanou), a opět z podmínek rovnováhy určit reakce a interakce.

c) Odhad směrů svislých vnějších reakcí v podporách a vnitřních interakcí v kloubech.

b) Rozdělení spojitého nosníku na dílčí pole - nosníky nesoucí a nesené. (Postup montáže x postup výpočtu reakcí).

a) Nejdříve vyřešit osovou úlohu – veškeré vodorovné zatížení přebírá jediná vodorovná složka reakce v pevné podpoře.

21

Příklad 1 – ov ěření statické ur čitosti soustavy

a k1 b k2 cd e f

3 2 3 3 4

1 2 2 2

q = 5 kN m–1 F = 8 kN M = 7 kN m

α = 70°

Fz

FxRcx

RczRaz

Mc

Rbz

=ev

=iv

=vn

=v

=s

Dokažte, že je úloha staticky ur čitá

22

Fx = F · cos α = 2,736 kNFz = F · sin α = 7,518 kN

a k1 b k2 cd e f

3 2 3 3 4

1 2 2 2

q = 5 kN m–1 F = 8 kN M = 7 kN m

α = 70°

Fz

FxRcx

ΣΣΣΣFx = 0:–Fx + Rcx = 0Rcx = FxRcx = 2,736 kN (→)Průběh normálových sil:

Příklad - Výpočet vodorovné reakce Rcx a normálové síly

(+)

+2,736

0N

[kN]

a k1 b k2 cd

Příklad – rozklad na nesoucí a nesené nosníkyI II III

Řešíme nejprve reakce nesených nosníků.

Uplatní se 3. Newtonův zákon – akce a reakce .

ad

Raz

Raz

Rbz

Rcz

Mc

k1 b

Rbz

k2 c

Rcz

Mc

….. snažíme odhadnou správný sm ěr reakcí

Příklad – výpo čet reakcí v p říčné úloze

II

III

= 6,25 kN31,25 kN =

= 3,756 kN (↑)

= 3,756 kN

= 22,023 kNm

=5,012 kN

4

2 2k2 c

Rcz

McM = 7 kN mRk2 = 3,756 kNopačným směremnež reakce na II f

I

adRaz Rk1

q = 5 kN m–1

k1

3 2

Reakce z podmínek rovnováhy odd ělených nosník ů

Rk2

k1 bRbz

q = 5 kN m–1 Fz = 7,518 kN

3 3

1 2

Rk1 = 6,25 kNopačným směremnež reakce na I

k2e

kontrola: ∑Fiz = 0Σ Mi,a = 0, Σ Mi,k1 = 0,

kontrola: ∑Fiz = 0

Σ Mi,b = 0, Σ Mi,k2 = 0,

kontrola: ∑Fiz = 0Σ Mi,c = 0, Σ Mi,k2 = 0,

a k1 b k2 cd f

3 2 3 3 41 2 2 2

q = 5 kN m–1M = 7 kNm

Příklad – řešení p říčné úlohyFz = 7,518 kN

Raz = 31,25 kN Rbz = 5,012 kNRcz = 3,756 kN

Mc = 22,023 kNme

n

xn xn = 1,225 m–15

+16,25

0

+6,25

–1,25

+3,762

–3,756

2°

–

++

–

Kontrola ohyb. moment ů:Ověřte, že hodnoty ohybovýchmomentů v kloubech vyšly nulové .

Kontrola posouvajících sil:Ověřte, že hodnotyposouvajících sil v kloubechodpovídají interakcím Rk1 a Rk2.

Kontrola reakcí: nutná !!!:Ověřte rovnováhu sil

ve svislém směru. ΣFiz = 0

V

M

–22,5–22,023

+4,771 +3,75 +7,512

–7,512

–14,5122°

2°

3°

– –

+

–8,75

0-5,625

1°

Příklad– výpo čet extrému M pod trojúhelníkovým zatížením– ze všech sil zprava

qn = 2,042 kNm–1

MnP = – Mc + Rcz · (7+xn) +M – Fz ·(1+xn)+ Rbz · xn – Qn · (xn / 3)

nebo – Mc + Rcz · (7+xn) +M – Fz ·(1+xn)+ Rbz · xn – q · (xn3 / 6·Ltrojúh)

MnP = +4,771 kNm

a k1 b k2 cd e f

3 2 3 3 4

1 2 2 2

q = 5 kN m–1 F = 8 kN M = 7 kN m

α = 70°

Fz

FxRcx

xn

n

Qn = 1,25 kN

xn / 3Rcz

Raz

Rbz

Mc

27

Příklad 1 – výpo čet extrému M pod trojúhelníkovým zatížením- jiná možnost - uvoln ění prutu v kloubu k2

q = 5 kNm–1

k1 b

3

xn

n

Směr šipek je podlekonvence pro vnitřní síly(v tomto případě zprava).

Nk2

Mk2=0

Vk2

qn = 2,042 kNm–1

Qn = 1,25 kN

xn / 3

MnP =– Vk2 · (3+xn) – Fz ·(1+xn)+ Rbz · xn– Qn · (xn / 3)

nebo – Vk2 · (3+xn) – Fz ·(1+xn)+ Rbz · xn– q · (xn3 / 6·3)

MnP = +4,771 kNm

=5,012 kNRbz

Fz = 7,518 kN

3

1k2e

28

Příklad 1 – výpo čet V a M, pro x =1m

q = 5 kNm–1

k1 b

3

x = 1

xNb

Mb

Vbk1

qX

QX

x / 3

VxP = +Vbk1+ QX = +Vbk1+ q · (x2 / 2·3) = -0,417 kN

MxP = +Mb – Vbk1 · x – Qx · (x / 3)

nebo +Mb – Vbk1 · x – q · (x3 / 6·3)

MnP = +3,75 – (–1,25) · 1,0 – 0,833 · (1,0 / 3)

MnP = +4,722 kNm

Pozor – Vb není Rbz !!!

kNl

xqxqQ x

xxx 338,0.2

.21

..2

===

mkNl

xqqx /66,1==

22

29

Trojkloubový rám nebo oblouk

Základní typy kinematicky určitýchrovinných kloubových soustav

(a)

(b)

Staticky neurčitý rovinně lomenýnebo zakřivený nosník v rovinnéúloze se dvěma kloubovýmivodorovně i svisle neposuvnými(pevnými) podporami →dvojkloubový rám nebo oblouk .

Vložením 1 kloubu vzniknestaticky určitý trojkloubový rám nebo oblouk .

Klouby nesmí být v jedné p římce!

b c

30

Stupeň statické neur čitosti trojkloubového nosníku v rovin ě

nv = v staticky i kinematicky určitá soustava

623.3 =⋅== pnv

Stupeň statické neurčitosti vnvs −=

0=s

Vazby - ve - vnější (reakce v podporách) - vi - vnitřní (vazby v kloubech, spojení prutů táhlem)

Počet stup ňů volnosti složené soustavy v rovin ě:

Celkový po čet vazeb: 624 =+=+= ie vvv

b c

31

→ Rbx , Rbz

Postup p ři výpo čtu složek reakcí trojkloubového rámu nebo oblouku

(a) (b)

Výpočet čtyř složek reakcí: 3 podmínky rovnováhy + podmínka 0== Pc

Lc MM

Postup: 0=∑ aiM

0=PcM

1.

2.

→ Rax , Raz

0=∑ ibM

0=LcM

3.

4.

Kontrola: 0=∑ ixF5.

6. 0=∑ izF

Podmínky rovnováhy, v níž vystupují pouze reakce v podporovém bodě b.

Podmínky rovnováhy, v níž vystupují pouze reakce v podporovém bodě a.

Výpočet vede na soustavy dvou rovnic o dvou neznámých

32

→ Rbx , Rbz

Postup p ři výpo čtu složek reakcí trojkloubového rámu nebo oblouku

(a) (b)

Výhodnější pořadí rovnic 1.varianta

Postup: 0=∑ aiM

0=PcM

1.

2.

→ Rax

0=∑ ibM

0=LcM

3.

4.

Kontrola:

0=∑ ixF

5.

6. 0=∑ izF

Podmínky rovnováhy, v níž vystupují pouze reakce v podporovém bodě b.

→ Raz

33

→ Rbx

Postup p ři výpo čtu složek reakcí trojkloubového rámu nebo oblouku

(a) (b)

Postup:

0=∑ aiM

0=PcM

1.

2.→ Rax , Raz

0=∑ ibM

0=LcM

3.

4.

Kontrola:

0=∑ ixF

5.

6. 0=∑ izF

Podmínky rovnováhy, v níž vystupují pouze reakce v podporovém bodě a.

Výhodnější pořadí rovnic 2.varianta

0=∑ ibM → Rbz

34

Vnit řní vazby

Složky reakcí a interakce trojkloubového rámu

(a) (b)

Složky interakce ve vnitřních vazbách kloubu Rcx, Rcz

z podmínek rovnováhy levé nebo pravé části rámu (oblouku). (Vysvětleno na Gerberově nosníku)

↓

Příklad 1 - reakce

:0, =∑ xiF:0, =∑ ziF

:0.2 , =∑ aiM

:0.3 , =∑ biM

Kontrola:

2 4

3

1

P = 2kN

q = 2kN/m

a

b

cd e

f

Q2 = 8kN

Raz

Rbz

Rax

Q1 = 4kN

Rbx

:0.1 =PcM

:0.4 =LcM

Q1 .1 – Q2 . 2 – Rbx. 1 + Rbz .4 = 0

Rbx . 4 – P.3 = 0

Q1 .5 + Q2 . 2 + Rax. 1 – Raz .4 – P.1 = 0

Q1 .5 + Q2 . 2 – Rax. 3 – Raz .4 = 0

= 1,5kN, = 3,375kN

= 0,5kN, Raz

Rbz

Rax = 8,625kN

Rbx

Řešení vede na soustavu 2 rovnic o 2 neznámých .

U trojkloubových rám ů nutné 2 kontrolní rovnice

=ev

=iv

=vn

=v =s

Ověřte, že zadaná konstrukce je staticky ur čitá:

Příklad 1 - reakce

bzai RM →=∑ 0.3 ,

2 4

3

1

P = 2kN

q = 2kN/m

a

b

cd e

f

Q2 = 8kN

Raz

Rbz

Rax

Q1 = 4kN

Rbx

bxPc RM →= 0.1

Q1 .1 – Q2 . 2 – Rbx. 1 + Rbz .4 = 0

Rbx . 4 – P.3 = 0

Q1 .5 + Q2 . 2 + Rax. 1 – Raz .4 – P.1 = 0

– Rax + P= 0

= 1,5kN,

= 3,375kN

= 0,5kN,

= 8,625kN

axxi RF →=∑ 0.2 ,

azbi RM →=∑ 0.4 ,

0, =∑ ziF

0=LcM

U trojkloubových rám ů nutné 2 kontrolní rovnice

Konstrukce tohoto trojkloubového nosníku umožňuje výhodnější řešení. Důvodem je uložení kloubu na nositelce jedné ze složek reakcí (tady Rbz), tudíž z každé podmínky rovnováhy spočítáme jednu reakci přímo. Není třeba řešit soustavy 2 rovni o 2 neznámých.

9

Pořadí 2. a 3. rovnice možno zaměnit

a

b

e c

f

-8,625

0,50,5

-3,375

N

d

Raz

Rax

= 8,625kN

= 3,375kN

= 0,5kN

2 4

3

1

P = 2kN

q = 2kN/m

a

b

cd e

f

Q2 = 8kN

Rbz

Q1 = 4kN

= 1,5kNRbx

Příklad 1 - normálové síly

[kN]

Vxn

xn´

a

b

ed c

f

n

0,5

-3,375

-0,5

4,625

-4

1,5

Vn = 0 Vec - q.x n = 0

Vn = 0 Vce + q.x n´ = 0

xn = 2,312 m xn´= 1,688 m

Raz

Rax

= 8,625kN

= 3,375kN

= 0,5kN

2 4

3

1

P = 2kN

q = 2kN/m

a

b

cd e

f

Q2 = 8kN

Rbz

Q1 = 4kN

= 1,5kNRbx

Příklad 1 - posouvající síly

[kN]

kontrola momentů v trojném styčníku e:

Mec = -Q1 .1 + Rax . 3

Mea = Rax . 3Med = -Q1 .1

e4

1,5

2,5

ed c

f

-4-2,5

-1,5

1,5

2,85

xn =2,312 xn´=1,688

2°

a

b

n

MnL = Vec . xn + Mec – q.xn

2/2

MnP = - Vce . x´n + Mc – q.x́ n

2/2

xn =2,312 xn´=1,688

Vec = 4,625

-2,5 = Mec

Vce = -3,375

Mc =0

n

M

2°

Raz

Rax

2 4

3

1

P = 2kN

q = 2kN/m

a

b

cd e

f

Q2 = 8kN

Rbz

Q1 = 4kN

Rbx

Momenty v polovinách úseků: M0,5ec= 2,75kNm, M0,5ed= -1kNm

Příklad 1 - ohybové momenty

12

Uvolněný prut ec (příčná úloha):

ve styčníku c musí být moment nulový – je tam kloub !

[kNm]

42

Stupeň statické neur čitosti trojkloubového rámu s táhlem

táhlo → jednonásobná vnitřní vazba

nv = v staticky i kinematicky určitá soustava

623.3 =⋅== pnv

Stupeň statické neurčitosti 066 =−=−= vnvs

0=s

Vazby - ve - vnější (reakce v podporách) - vi - vnitřní (vazby v kloubech, spojení prutů táhlem)

Počet stup ňů volnosti složené soustavy v rovin ě:

Celkový po čet vazeb: 6123 =++=+= ie vvv

Raz

Raxa

Rbz

b

c

F3F2F1

táhlo

43

Raz

Rax a

Rbz

b

c

F3F2F1

Stupeň statické neur čitosti trojkloubového rámu s táhlem

954 =+=+= ie vvv9.3 == pnv..0 určsnvs v →=−=

Rcz

c

44

Raz

Rax a

Rbz

b

c

F3F2F1

Kontrola statické ur čitosti nosníku s táhlem

1055 =+=+= ie vvv9.3 == pnv .1

1

neurčstatickyx

nvs v

→

=−=

Rcz

Rcxc

45

Trojkloubový rám a oblouk s táhlem

Trojkloubový rám a oblouk s táhlem

(a)

(b)

(c)

Postup výpo čtu:

Vnější vazby (reakce):statické podmínky rovnováhy.

Vnitřní vazba (Nt v táhle):odstranit táhlo a nahradit jej interakcí v kladném směru (táhlo tažené).Velikost Nt

z momentové podmínky:

0== Pc

Lc MM

(působí větší Nt)Vnitřní síly:další postup shodný jakou rámu(oblouku) bez táhla.Do výpočtu je nutno zahrnout působení Nt .

46

Okruhy problém ů k ústní části zkoušky

• Složené rovinné soustavy, výpočet stupně statické neurčitosti, podmínka statické určitosti složených rovinných soustav

• Gerberův nosník, způsoby rozvržení vložených kloubů

• Postup výpočtu reakcí a vnitřních sil Gerberova nosníku

• Trojkloubový rám, postup výpočtu reakcí a vnitřních sil

• Trojkloubový rám s táhlem, postup výpočtu reakcí, síly v táhle a vnitřních sil

Program

1

P = N2k

b

32

2

a

q =20kN/m

M=0,5kNm

c

d

e f

21 2 0,5

g