ZÁKLADNÍ POJMY A VZTAHY V TECHNICKÉ PRUŽNOSTI

Napětí velikost vnitřní síly na jednotku plochy konečné podíly elementů vnitřních sil a ploch

Podle směru vnitřních sil zavádíme:

napětí celkové dAdS

r =σ v obecném

směru k ploše

φ N(σ)

S(σr)

T(τ)

tn

napětí normálové dAdN

=σ ve směru

normály k ploše

napětí tangenciální dAdT

=τ ve směru

tečném k ploše.

Označíme-li úhel mezi paprskem celkového napětí a normálou k ploše jako ϕ , bude platit:

σ = 22 sin cos τσσϕστϕσ +=⋅=⋅ rrr

Můžeme-li pokládat sílu S a její složky n, t za rovnoměrně rozložené po ploše velikosti A, určujeme napětí podílem vnitřní síly a plochy

TNSAAAr === τσσ , ,

Napětí má rozměr síla lomeno plochou, tady [ ]2N/m . Tato jednotka má v mezinárodní soustavě jednotek SI označení pascal.

2-1-2 skgm1N/m 1 Pa1 ==Platí tedy . V praxi se obvykle užívá jejích násobků. Jsou povoleny násobky:

kPa ( kilopascal ) a MPa ( megapascal ), tedy 1 Pa = 103 kPa = 106 Pa.

Působení normálových sil mění rozměry tělesa. - rozměr ve směru síly před deformací l - po deformaci l´

ll −′=∆- rozdíl l skutečné ( absolutním ) protažení tělesa ve směru l. Protažení má rozměr délky:

lll −′=∆- je kladné - protažení - lll −′=∆ záporné - nazýváme je zkrácením

Protažení tělesa Rovnovážná soustava normálových sil, působících na těleso

- těleso ve směru působících sil se protahuje - v příčném směru se stlačuje

Tažená tyč se tedy ve směru tahu prodlužuje, v příčném směru zužuje, tlačená se naopak ve směru působících sil zkracuje, v příčných směrech rozšiřuje.

Ze spojitosti pružného prostředí předpokládáme, že se podobně deformuje účinkem normálových sil i libovolně malý prvek tělesa. Označujeme skutečným protažením veličinu danou rozdílem původní délky prvku ds a délky elementu po přetvoření ds´

sds ′=∆ ds−

Častěji než se skutečným protažením tělesa nebo elementu počítáme s poměrným protažením ε , které je poměrem skutečného protažení a původní délky, tedy

l∆l

=ε nebo dsds∆

=ε ,

které má znaménko shodné se skutečným protažením a jako poměr dvou délek je to veličina bezrozměrná.

Tangenciální ( smyková ) napětí způsobují posunutí bodů v rovině průřezu. Tím se mění původní pravé úhly v kosé.

Relativní zkosení

Označíme-li jako rozdíl posunutí dvou koncových bodů úsečky

∆ab kolmé před

deformací k průřezu a délku úsečky ab jako l, potom poměr rozdílu posunutí k délce kolmého vlákna

l∆

=γ nebo dsd∆

=γ

je poměrné zkosení. Je to obdobně jako relativní protažení hodnota bezrozměrná. Značí tangentu úhlu, o nějž se změnil úhel vlákna k průřezu. Protože se jedná o velmi malý úhel, lze ho zaměnit tangentou.

Tahová zkouška

Tahová zkouška

Vložíme ocelovou tyč poměrně značné délky l a malé průřezové plochy A do čelistí trhacího stroje a zvyšujeme tah F. Předpokládá se, že napětí je po průřezu rozděleno rovnoměrně a má hodnotu

FA

=σ .

- Měříme-li délku l´ tyče mezi dvěma značkami vzdálenými před zkouškou

l, pozorujeme, že tato délka se vzrůstem síly F roste. - S rostoucím napětím vzrůstá proto také poměrné protažení. - Závislost normálového napětí σ na poměrném protažení ε - tzv. pracovní

diagram. Tvar pracovního diagramu závisí na materiálu i jeho zpracování.

- konvenční nebo jmenovité napětí. - skutečné napětí

σdεd

E =

- modul pružnosti, přesněji modul pružnosti v tahu nebo tlaku. σ- M mez úměrnosti.

- eσ mez pružnosti (elasticity) - obor plasticity σPracovní diagram oceli - p mez pevnosti.

V technické praxi jsou používána normová označení jednotlivých charakteristik v pracovním diagramu oceli:

Rm je mez pevnosti, Ry je mez kluzu, Rpr je mez úměrnosti

Pracovní diagramy různých látek se od sebe značně liší. Některé látky se chovají odlišně v tahu a v tlaku.

Pracovní diagramy pro různé materiály: a)litina, b) bronz, c) mramor,

d) beton, e) dřevo,f) kůže

Obor plasticity

Odlehčování v plastickém oboru

Výpočet za stavu plasticity:

a) bez zpevnění b) b) se zpevněním

Výpočet konstrukcí v praxi zjednodušujeme předpokladem, že jde o látky: - stejnorodé čili homogenní, tj. stejné struktury a stejných vlastností ve všech bodech tělesa - izotropní, tj. takové, které mají ve všech směrech stejné materiálové vlastnosti. Ve skutečnosti se hmoty řídí těmito předpoklady jen přibližně, avšak pro výpočty podle nauky o pružnosti a pevnosti předpoklady homogenity a izotropie materiálu prakticky vyhovují. Většinou namáháme materiál z různých důvodů ( bezpečnost, vyloučení větších deformací apod.) jen po mez úměrnosti. Můžeme tudíž materiál idealizovat jako homogenní, izotropní a dokonale lineárně pružný – modul pružnosti je konstantní. Matematicky tento vztah vyjádříme rovnicí, tzv. Hookův zákon

εσ ⋅= E nebo Eσε =

kde E je modul pružnosti, σ normálové napětí a ε relativní protažení. Rovnice vyjadřuje základní vztah teorie pružnosti,.

Hookův zákon platí, jen pokud jsou splněny dva předpoklady: - napětí nepřestoupí mez úměrnosti - nepůsobí normálové napětí v příčných směrech.

Normálové napětí xσ ve směru osy x vyvolává kromě protažení ve směru svého působení také zkrácení ve směrech y, z ( záporné protažení ). Příčný rozměr se zkracuje ( relativně ) m – krát méně, než se prodlužuje délka ve směru tahových sil. Číslo m se nazývá Poissonova konstanta a vždy musí být větší než 2. Převrácená hodnota Poissonovy konstanty se nazývá Poissonovo číslo a značí se µ ( v cizí literatuře také ν ).

σNapětí xtedy vyvolává relativní deformace σεσEmE

xxzy

xx µεεε −=−=== ,

obdobně napětí yσ samotné vyvolává relativní deformace

EEy

zxy

y

σµεε

σε −=== ,

a napětí zσ samotné vyvolává relativní deformace σσEE

zyx

zz µεεε −=== ,

Sečteme-li účinky všech tří napětí na protažení ve směru x , dostaneme výsledné poměrné protažení

1 ( )zyxx Eµσµσσε −−=

a v ostatních směrech 1 ( ) ( )yxzzzxyy EE

µσµσσεµσµσσε −−=−−=1

Tyto závislosti udávají tzv. rozšířený Hookův zákon , jenž stanoví deformaci za současného působení normálových napětí ve třech kolmých směrech na zatěžovaný prvek.

Mezi relativním zkosením a tangenciálním napětím platí vztah obdobný Hookovu zákonu

Gτγ =

kde γ je relativní zkosení, τ tangenciální napětí a G je tzv. modul pružnosti ve smyku. Modul pružnosti v tahu E , modul pružnosti ve smyku G a Poissonovo číslo µ jsou tři materiálové konstanty, které v pružném oboru plně charakterizují daný materiál. Ovšem jen dvě materiálové konstanty jsou na sobě nezávislé, protože mezi nimi platí vztah

( )µ+=

12EG

Přetvoření vzniká

- působením zatížení - změna teploty - relativní protažení Tzyx ∆⋅=== αεεε - smršťování (např. betonu)

Prosté případy pružnosti Prut je konstrukční prvek, jehož jeden rozměr ( délka ) převládá nad ostatními rozměry ( průřez ). Střednice prutu spojuje ve směru délky těžiště všech podélných průřezů daného prutu. Na myšlený řez v zatíženém prutu působí vnitřní síly – ohybový moment, normálná síla, posouvající síla. Prostorovou soustavu sil ( zatížení, reakce ) lze nahradit jedinou silou v těžišti průřezu a statickým momentem – tzv. redukce síly k bodu.

střednice M M

T

T

N N

R

R

A B

F3

Ay

Ax

F2 F1

Vnitřní síly nosníku

V rovině průřezu může ještě působit kroutící moment. Působí-li na průřez jen jediná složka vnitřních sil jedná se o prostý případ pružnosti

1. Prostý tah a tlak Jedinou působící vnitřní silou na průřez prutu je normálná síla. V příčném směru nepůsobí žádná.

Platí Navierova hypotéza: 1. Osa prutu zůstane po

přetvoření přímá.

Tahové napětí A

y z

dA

y

z

x Ν

σx

2. Všechny body dvou sousedních rovnoběžných průřezů kolmých k ose prutu zůstanou po deformaci rovinné a kolmé k ose prutu.

Z této hypotézy vyplývá, že poměrná deformace je konstantní po celém průřezu.

konstdxdx

dxdxdxdx

x =∆

=−∆+

=ε

a z ní dále vyplývá podle Hookova zákona .konstE xx =⋅= εσ Oba vztahy platí pro celý průřez. Součtová podmínka rovnováhy mezi napětím a vnitřní silou:

NA

dANdANA

xA

x =⇒=−⇒=− ∫∫ x 0 0 σσσ

Normálové napětí je při prostém tahu a tlaku po celém průřezu konstantní a je rovno normálové síle dělené plochou. Momentová podmínka rovnováhy k ose y :

00 ⇒=⋅⋅−⋅ ∫∫ dAdAzN σσ 0x =AA

x

xσ je konstanta, je statický moment průřezu k těžišti, vyplývá z

momentové podmínky, že normálná síla musí procházet těžištěm ( statický moment průřezu k těžišti je nulový ).

∫A

dA

Při excentrickém působení vyvolává normálová síla k těžišti průřezu ještě ohybový moment a nejedná se o prostý tah či tlak. Použití a) pro návrh průřezu

dovnutnédov

nutnédovx

NA

AN

σσσσ ≥⇒≤⇒≤

V praxi je rozdílné u skutečných materiálů dovσ v tahu a tlaku. tlakNtahN ()( −

ddovnutné

tdovnutné AA

,,

) σσ

≥≥

b) velikost deformace l

∫=∆ x dxl0

ε , a protože AE

NE

xx ⋅

== x , εσ

ε potom

∫ ⋅=∆

l

dxAE

Nl0

a pro prut stálého průřezu EA

lNdxEANl

l ⋅=⋅=∆ ∫

0

2. Staticky neurčitý tah nebo tlak Pro určení neznámých nám chybí tolik podmínek, kolikrát je soustava staticky neurčitá. Statické podmínky rovnováhy se musí doplnit podmínkami deformačními.

3. Prostý ohyb Jedinou vnitřní silou je ohybový moment, který působí v hlavní centrální rovině setrvačnosti průřezu. Navierova hypotéza: Rovinné řezy kolmé ke střednici nosníku před deformací zůstanou i po deformaci rovinné a kolmé k deformované střednici.

hσ

( )zxσ

hσ

z

z

y y zh

zd

z M M

Ohybové napětí v průřezu nosníku

Proto se mění lineárně též relativní přetvoření zDyCB ⋅+⋅+=ε x , kde B, C, D jsou pro směr osy x konstanty.

Statické podmínky rovnováhy

dAN ∫= σA

x v tomto výrazu ( )zDyCBEE xx ⋅+⋅+== εσ

Potom −=M ∫∫ ⋅⋅−=⋅⋅

Axz

Axy dAyMdAz σσ

Normálná síla při čistém ohybu je nulová, moment působí jen k jedné hlavní ose průřezu, potom

== ∫∫ EdAN σ ( ) 0=⋅+⋅+AA

x dAzDyCB

( ) ( )∫∫ =⋅+⋅+⋅−=⋅+⋅+⋅−=AA

zy dAzDyCByEMdAzDyCBzEM 0

Po úpravě těchto rovnic dostaneme 0=++ ∫∫∫ zdADydACdAB

321321321yz S

A

S

A

A

A

, kde yx SS , jsou statické momenty průřezu,

které jsou k hlavním centrálním osám nulové, a z toho dostaneme podmínku 0 0 =⇒=⋅ BAB ;

EM

dAzDdAyzCdAzB y

I

A

D

A

S

A

yyzy

−=⋅+⋅+⋅ ∫∫∫434214342143421

2 a z toho

y

yyy EI

MD

EM

ID −=⇒−=⋅ ;

02 =⋅+⋅+⋅ ∫∫∫434214342143421

yzzz D

A

I

A

S

A

dAyzDdAyCdAyB a z toho 0 0 =⇒=⋅ CIC z

( pozn.: jsou-li osy y, z hlavní centrální osy setrvačnosti, je Dyz = 0 ).

Potom

y

yx

y

yx I

zMIE

zM ⋅−=⇒

⋅

⋅−= σε

Neutrální osa je množina bodů, v nichž je normálové napětí nulové. Návrh průřezu Napětí v nejvíce namáhaných vláknech průřezu nesmí přestoupit návrhovou hodnotu.

ddovy

hytdov

y

dy

IzM

IzM

,, σσ ≤⋅

≤⋅

Označíme-li ,, ddov

y

h

zh

tdov

y

d

yd

IzI

WI

zI

Wσσ⋅===

potom ddovh

ytdov

d

y

WM

WM

,, σσ ≤≤

kde Wd , Wh průřezový modul dolní a horní. Pak nutný průřezový modul pro dané namáhání ohybovým momentem je

dov

ynutné

MW

σ±≥

Tangenciální napětí za ohybu

Zvětšení únosnosti slepením

Vytvoříme nosník tím způsobem, že na sebe položíme pět prken: - tloušťky h mezi sebou vzájemně nespojených. Únosnost průřezu je úměrná průřezovému modulu, pět prken bude mít průřezový modul

51 225 66

5 bhbhW =⋅⋅=

- vzájemně spojených, takže vznikne jeden nosník o výšce . Průřezový modul tohoto nosníku bude

h5

251 ( ) 221 6

56

bhhbW ==

Spojením prken se průřezový modul nosníku zvětšil pětkrát. Je to tím, že lepidlo brání posunování prken vzájemně po sobě. Při ohybu nosníku vznikají mimo normálových napětí také napětí tangenciální.

Grashofova hypotéza Předpokládáme, že u symetrického průřezu zatíženého v rovině souměrnosti je složka tangenciálního napětí xzτ stálá v celé vrstvě vláken rovnoběžných s neutrální osou. Při označování tangenciálních napětí používáme dvojitého indexu. Oba indexy u tangenciálního napětí je možno zaměnit, neboť platí věta o vzájemnosti složek tangenciálního napětí, podle které jiij ττ = .

Kladné směry tangenciálních napětí

Oddělme z nosníku část omezenou dvěma sousedními průřezy x, x+dx a z horní části element až po vlákna vzdálená z od neutrální osy. Ve směru osy X působí na element v rovinách sousedních průřezů normálová napětí, která jsme vyšetřili z účinku ohybového momentu ( kladná jako tahy) a na spodní elementu konstantní tangenciální napětí zxτ (kladné proti směru osy x).

Výpočet tangenciálního napětí podle Grashofovy hypotézy

Ohybový moment M , vyvolává ve vzdálenosti ξ od neutrální osy napětí M ξ⋅

yx I

σ −=

Na základnu elementu v průřezu x působí ve směru záporné osy X kladná výslednice normálových napětí

ee M

y

ze

zyzxx I

SMdA

IdAN

⋅−=⋅−== ∫∫ ξσ

Vyloučíme-li elementy, kde se plocha průřezu náhle mění nebo kde je působiště osamělého zatěžovacího momentu, mění se xN mezi x a x+dx spojitě. Na uvažovanou část sousedního průřezu o souřadnici x+dx působí ve směru kladné osy X výslednice normálových napětí

SMN ⋅∂dx

IxNdx

xNN

y

zex

xxx

∂

∂+=

∂+=′

Tangenciální napětí zxτ dávají na spodní plošku elementu výslednici, která má při kladném zxτ směr záporné osy X , a protože na této plošce je zxτ konstantní, je velikost výslednice tangenciálních napětí zxτ rovna

dx⋅⋅ ητ 2zx Součtová podmínka rovnováhy ve směru osy X má tvar

′ 02 =⋅⋅−− dxNN zxxx ητ odkud po dosazení za Nx´ dostáváme po úpravě

⋅ SM

∂

∂⋅=

y

zezx Ixη

τ21 .

Prizmatický nosník ( nosník s konstantním průřezem ) - moment setrvačnosti průřezu Iy je konstantní - ve směru podélné osy nosníku se nemění statický moment Sze pro libovolná

vlákna z.

Potom dx

dMI

S

y

zezx ⋅

⋅=

ητ

2

Schwedlerova věta dx

dMT =

Pro prizmatický nosník pro tangenciální napětí za ohybu platí STη

ττ2

ze

yzxxz I==

Na horním i spodním okraji je statický moment nulový je na horním i spodním okraji průřezu tangenciální napětí nulové. Na obvodě průřezu musí mít výsledné tangenciální napětí směr tečny k průřezu.

Vysvětlení: Ze zákona o vzájemnosti tangenciálních napětí. Pokud by se totiž vyskytovala nenulová složka nτ ve směru normály k obrysu, musela by dle tohoto zákona existovat i stejně veliká složka v kolmé rovině, tedy tangenciální napětí mezi nosníkem a „vzduchem“. A protože takové napětí na nezatíženém okraji nemůže existovat, musí být nulová i složka nτ tangenciálního napětí na obvodu.

Uvažujeme průřezy symetrické podle svislé osy Z. Na ose symetrie má tangenciální napětí směr osy symetrie. Vektory tangenciálního napětí ve všech bodech průřezu, stejně vzdálených od neutrální osy, se protínají v témž bodě na ose symetrie. Označíme-li úhel mezi osou souměrnosti a spojnicí obecného bodu a průsečík vektorů tangenciálních napětí jako ω , bude závislost výsledného napětí τ obecném bodě a jeho svislým průmětem xzτ

τω

τcos

xz=

- Složka napětí xzτ je ve vláknech se stejnou souřadnicí z konstantní. ωcos- Největší výsledné napětí je tam, kde je nejmenší a tedy úhel ωnejvětší,

to je na obvodě průřezu. - Úhel mezi tečnou k obrysu a svislou osou symetrie ϕ .

τ- Výsledné tangenciální napětí 0na obvodu průřezu po dosazení rovno ST

ϕητ

cos20 ⋅⋅= ze

yI

- Napětí na obvodu je ze všech napětí ve vláknech se stejnou souřadnicí největší, stačí posoudit v průřezu největší tangenciální napětí vůbec.

T- Podíl yI

je na celém průřezu konstantní a proto největší tangenciální

napětí v průřezu bude na jeho obvodu v místě, kde Sd 0

cos2=

⋅ ϕη

ze

dz