1. Chyby měření

Systematika chyb:Systematika chyb:

chyby chyby hrubé hrubé -- vznikají hrubým zásahem do vznikají hrubým zásahem do procesu měření, procesu měření, jejich velikost významně jejich velikost významně převyšuje rozptyl převyšuje rozptyl chyby statistické chyby statistické

systematickésystematické - - vznikají v důsledku chybných vznikají v důsledku chybných kalibrací, kalibrací, interpretacíinterpretací a pod., zatěžují a pod., zatěžují stejným způsobem stejným způsobem výsledek každého výsledek každého nezávisle opakovaného měření nezávisle opakovaného měření

statistickéstatistické - jsou důsledkem náhodných fluktuací, - jsou důsledkem náhodných fluktuací, které které se popisujíse popisují metodami matematické metodami matematické statistiky statistiky

Nejistota Nejistota (výsledku) měření - uncertainty(výsledku) měření - uncertainty

CIMP -CIMP - Comité International des Poinds et Mesures (1981, 1985)Comité International des Poinds et Mesures (1981, 1985)ISO (Mezinárodní Organisace pro Normalisaci) – ISO (Mezinárodní Organisace pro Normalisaci) –

Guide to the Expression of Uncertainty in Measurements (1993) Guide to the Expression of Uncertainty in Measurements (1993)

US National Institute of Standards and Technology , Technical Note 1297 US National Institute of Standards and Technology , Technical Note 1297

Grafická ilustraceGrafická ilustrace

0

5

10

15

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

k

Y [

a.u

.]

výsledky opakovaných mì øení

nejistota statistickánejistota statistická

chyba systematickáchyba systematická

chyba hrubáchyba hrubá

(error balk)(error balk)

1.1. Základní pojmy metody zpracování výsledků měřenímetody zpracování výsledků měření - - statistické statistické (typu A)(typu A)

ostatní ostatní (typu B)(typu B)

- kombinovaná standardní nejistota - kombinovaná standardní nejistota 2 2 2c A Bu u u

2 2Au s2Bu

- - standardní odchylka (statistické standardní odchylka (statistické zpracování)zpracování)- odhad - odhad

- odhad správné hodnoty měřené - odhad správné hodnoty měřené veličinyveličiny

,( )x c xx u x výsledek měření ve tvaru:výsledek měření ve tvaru:

,c xu - absolutní chyba (nejistota) ,- absolutní chyba (nejistota) ,

,c x

x

u

- relativní chyba (nejistota)- relativní chyba (nejistota)

x

- označení jednotky - veličiny - označení jednotky - veličiny základnízákladní

SI – m, kg, s, A,SI – m, kg, s, A,

K, mol, cdK, mol, cd

- veličiny pojmenované (v daném - veličiny pojmenované (v daném systému)systému)

SI - N, J, C, F, SI - N, J, C, F, , T.., T..

- rozměr - rozměr - vyjádření jednotky veličiny odvozené vyjádření jednotky veličiny odvozené jednotkamijednotkami

veličin základních veličin základních

- rozměr mohou mít i univerzální konstanty rozměr mohou mít i univerzální konstanty

SISI 1v ,ms 2a ,ms 2F ,kgms 2 2J ,kg m s

1 4 1 ,kg m s v SI:v SI:

x

2 1 3 40 A kg m s

Rozměrová analýza:

k

k

lT

m 1 1 1 1

2 2 2 2, k kP T s L l m m kg L P

Příklady:Příklady:

Ad b) Těleso hmotnosti Ad b) Těleso hmotnosti se pohybuje rovnoměrně zrychleně, přímočaře. se pohybuje rovnoměrně zrychleně, přímočaře. PočátečníPočáteční rychlost je nulová. Zrychlení tělesa je rychlost je nulová. Zrychlení tělesa je aa . Užitím rozměrové analýzy  . Užitím rozměrové analýzy odvoďte odvoďte vztah pro rychlost tělesa po uražení dráhy vztah pro rychlost tělesa po uražení dráhy xx ? ?

pomocná metoda - srovnání rozměrů pravé a levé strany fyzikálních rovnicpomocná metoda - srovnání rozměrů pravé a levé strany fyzikálních rovnica) Kontrola odvozených rovnic, b) hledání správného tvaru a) Kontrola odvozených rovnic, b) hledání správného tvaru rovnicrovnic

ad a) nechť jsme odvodili (chybně) vztah pro dobu kyvu ad a) nechť jsme odvodili (chybně) vztah pro dobu kyvu matematickéhomatematického kyvadla ve tvaru:kyvadla ve tvaru:

vzorec je tedy vzorec je tedy špatně !!!!špatně !!!!

návod: předpokládáme:návod: předpokládáme: v a x 1 2,L ms P m s m

srovnáním exponentů:srovnáním exponentů: 1, 1 2 , 1 1,

2 2

v axsprávný vzorec:správný vzorec:

Seminární úloha 1.1.(1.3):Seminární úloha 1.1.(1.3): Užitím rozměrové analýzy odvoďte vztah pro odpor prostředí Užitím rozměrové analýzy odvoďte vztah pro odpor prostředí hustoty hustoty působící na automobil pohybující se rovnoměrněpůsobící na automobil pohybující se rovnoměrně rychlostí vrychlostí v. Maximální plocha příčného průřezu automobilu je . Maximální plocha příčného průřezu automobilu je SS. . ((aerodynamické efekty zanedbejteaerodynamické efekty zanedbejte)). . Návod: předpokládáme Návod: předpokládáme F F S S vv

Seminární úloha 1.2.(1.5):Seminární úloha 1.2.(1.5): Užitím rozměrové analýzy stanovte vzorec pro dobu oběhu Užitím rozměrové analýzy stanovte vzorec pro dobu oběhu planety v gravitačním poli slunce.planety v gravitačním poli slunce.Návod: předpokládáme Návod: předpokládáme T T RR M M

Seminární úloha 1.3.:Seminární úloha 1.3.: Užitím rozměrové analýzy stanovte vzorec pro dobu kyvu Užitím rozměrové analýzy stanovte vzorec pro dobu kyvu matematického kyvadla.matematického kyvadla.Návod: předpokládáme Návod: předpokládáme T T l l gg

Seminární úloha 1.4Seminární úloha 1.4(1.4)(1.4)::Užitím rozměrové analýzy stanovte vztah pro odporovou sílu Užitím rozměrové analýzy stanovte vztah pro odporovou sílu působící na kuličku poloměrupůsobící na kuličku poloměru r pohybující se rychlostí v ve viskozním kapalině popsané dynamickou viskozitou viskozním kapalině popsané dynamickou viskozitou . .Návod: předpokládáme: F Návod: předpokládáme: F r r v v

Normou (ČSN 01 1300) povolené desetinné Normou (ČSN 01 1300) povolené desetinné předponypředpony

Šindelář V., Smrž L.: Nová soustava jednotek, SPN Praha Šindelář V., Smrž L.: Nová soustava jednotek, SPN Praha 1968 1968

Zásady pro formu zápisu výsledků měření:

Příklady:Příklady:

a) nejistotu (chybu) měření uvádíme na a) nejistotu (chybu) měření uvádíme na nejvýše nejvýše dvě platné číslice dvě platné číslice

P = (8.706 0.054) mW

B = 4.56(5) T

PoznámkaPoznámka: Pokud se chyba měření ve výsledku neudává, : Pokud se chyba měření ve výsledku neudává, ppředpokládá se implicitně, že ředpokládá se implicitně, že je menší, než polovina řádu za poslední platnou číslicí výsledku: je menší, než polovina řádu za poslední platnou číslicí výsledku:

v = 3.5 ms-1 (3.45 v 3.55) ms-1

v = (3.86 0.03) ms-1

I = (2.3 0.1). 10-3 A

Platnými číslicemiPlatnými číslicemi se nazývají všechny číslice zaokrouhleného čísla s se nazývají všechny číslice zaokrouhleného čísla s výjimkou nul na začátku přibližné hodnoty.výjimkou nul na začátku přibližné hodnoty.

b) ve výsledku b) ve výsledku zaokrouhlujemezaokrouhlujeme v řádu poslední platné číslice nejistoty v řádu poslední platné číslice nejistoty (chyby)(chyby)

Příklad:Příklad: a = 0.001234 4 platné číslice

a = 0.6070120 7 platných číslic

1.2. Odhad maximální chyby (nepřímých měření)

Základní pravidla pro práci s neúplnými čísly

c,R c,a c,bu = u + u

metoda mezí, maximální odhadmetoda mezí, maximální odhad

nechť:nechť: a c,a b c,ba u , b u

potom:potom: součetsoučet b c,a c,b( + ) (u u )aS a b

c,S c,a c,bu =u +u

c,a c,bs

a b

u +uη =

u +u

rozdílrozdíl a b c,a c,bR=a-b=(μ -μ )±(u + u )

c,a c,bR

a b

u + uη =

u -u

PozorPozor na možnost enormního zvýšení relativní chyby při rozdílu téměř stejných na možnost enormního zvýšení relativní chyby při rozdílu téměř stejných hodnot !!!!!!!!hodnot !!!!!!!!

součin

2

2

.( )

.

a a a b

b b b

a a bP

b b

u uaP

b

u uu

. ( . . )

( . . )

( . . )

a b a b b a

N a b b a

a b b aN a b

a b

N a b u u

u u u

u u

podílpodíl 2

.( ).a a b b

P a bb b a

u u

mocninmocninaa

.M an

-1

-1

.

.

.

n n na a a

naM a

M a

M a n u

u n u

n

Seminární úloha 1.5Seminární úloha 1.5: Dokažte výše uvedené vztahy pro : Dokažte výše uvedené vztahy pro maximálnímaximální absolutní a relativní int absolutní a relativní inteerval nejistoty podílurval nejistoty podílu a mocniny. a mocniny.

Seminární úloha 1.6.: Seminární úloha 1.6.: Hustota kovového materiálu byla stanovena Hustota kovového materiálu byla stanovena vážením a změřením objemu při pokojové teplotě. Byly zjištěny vážením a změřením objemu při pokojové teplotě. Byly zjištěny následující hodnoty: následující hodnoty: m = (8.930 m = (8.930 0.002) kg , V = (1.002 0.002) kg , V = (1.002 0.001) . 100.001) . 10-3-3 m m33 . Stanovte . Stanovte maximálnímaximální interval nejistoty měření interval nejistoty měření (absolutní a relativní). Srovnáním s tabulkovými hodnotami stanovte o (absolutní a relativní). Srovnáním s tabulkovými hodnotami stanovte o jaký materiál se jedná?jaký materiál se jedná?

Seminární úloha 1.7.: Seminární úloha 1.7.: Při měření průřezu (kruhového) kovového Při měření průřezu (kruhového) kovového drátu byl měřením mikrometrem na několika místech stanoven drátu byl měřením mikrometrem na několika místech stanoven průměr vlákna: průměr vlákna: d = (1.26 d = (1.26 0.02) mm 0.02) mm. Stanovte . Stanovte maximálnímaximální absolutní a relativní interval nejistoty průřezu. absolutní a relativní interval nejistoty průřezu.

1.3. Chyby měřidel, chyba metody

A

R V

U

chyba metody chyba metody - -

korekcekorekce na vnitřní odpor na vnitřní odpor přístrojůpřístrojů

posouzení využívaných jevů a posouzení využívaných jevů a zákonitostí zákonitostí

obvykle chyba systematickáobvykle chyba systematická

posouzení kvality použitých přístrojů posouzení kvality použitých přístrojů

stanovení odhademstanovení odhademmožnosti možnosti korekce korekce

xx

Příklad:Příklad: měření odporu metodou přímouměření odporu metodou přímou

Elektromechanické (ručkové) měřící přístroje - Elektromechanické (ručkové) měřící přístroje - třída třída přesnostipřesnosti::

Třída přesnosti je údajem výrobce, který je získán statistickým šetřením na seriích hotových výrobků (měřících přístrojů):

0 i iX X

,max .100% i

Rp

2 22,max ,max(2 )(2 )2 2

12 12 3i ia

p Bu

p - třída přesnosti (udává se v procentech)

R - použitý rozsah měřícího přístroje

2.103

B

pRu

Rovnoměrné rozdělení pravděpodobnostiRovnoměrné rozdělení pravděpodobnosti v intervalu v intervalu (-a,a):(-a,a):dispersedisperse::

Poznámka: v intervalu (_uPoznámka: v intervalu (_uBB, u, uBB) kolem odhadnuté hodnoty měřené veličiny se skutečná ) kolem odhadnuté hodnoty měřené veličiny se skutečná (správná) hodnota měřené veličiny nachází s pravděpodobností P = 0.58(správná) hodnota měřené veličiny nachází s pravděpodobností P = 0.58

Příklad:Příklad: rozsah ampérmetru je rozsah ampérmetru je R = 3 AR = 3 A , třída přesnosti je p = , třída přesnosti je p = 1.5.1.5. Absolutní nejistota (chyba) měření proudu na tomto Absolutní nejistota (chyba) měření proudu na tomto rozsahu je:rozsahu je: 2

,

1,5 .10.3 0,026

3B Iu A A

p Kategorie

0.1 etalony, normály

0.2 cejchovní

0.5 laboratorní

1 laboratorní

1.5 provozní

2.5 provozní

Dělení přístrojů podle třídy Dělení přístrojů podle třídy přesnosti:přesnosti:

2.103

B

pRu

Poznámka: Poznámka: je zřejmé, že z důvodů je zřejmé, že z důvodů minimalisace relativní nejistoty minimalisace relativní nejistoty (chyby)(chyby) měření je nutno měřit v horní polovině stupnice ručkového měřícího měření je nutno měřit v horní polovině stupnice ručkového měřícího přístrojepřístroje

3d

Bu

Pojem třídy přesnosti je možno Pojem třídy přesnosti je možno zobecnitzobecnit i na jiné měřící i na jiné měřící přístroje. přístroje.

Někdy je možno Někdy je možno odhadnoutodhadnout absolutní chybu měření z dělení absolutní chybu měření z dělení stupnice. stupnice.

Volíme: max = d (dílek nejjemnějšího dělení stupnice)

Předpokládejme Předpokládejme rovnoměrné rozdělenírovnoměrné rozdělení v v intervalu (-a,a)intervalu (-a,a)

Potom:Potom:

PříkladPříklad::

Při měření posuvným měřítkem je Při měření posuvným měřítkem je = 0.1 mm. Nejistotu = 0.1 mm. Nejistotu měření odhadneme:měření odhadneme:

0.13 3

0.05dBu mm mm

Seminární úloha 1.8. (příloha 6.2):Seminární úloha 1.8. (příloha 6.2):Měření odporu metodou přímou (viz schema) bylo provedeno s Měření odporu metodou přímou (viz schema) bylo provedeno s přístroji třídy přesnosti 1. Byly naměřeny následující hodnoty: I = přístroji třídy přesnosti 1. Byly naměřeny následující hodnoty: I = 210 mA (rozsah 0.3 A), U = 18.5 V (rozsah 30 V). Vnitřní odpor 210 mA (rozsah 0.3 A), U = 18.5 V (rozsah 30 V). Vnitřní odpor voltmetru je 10voltmetru je 1055 a vnitřní odpor ampérmetru je 7 a vnitřní odpor ampérmetru je 7 . Stanovte . Stanovte velikost měřeného odporu a velikost měřeného odporu a odhadnodhadněěte te maximálnímaximální chybu měření. chybu měření. Diskutujte možné alternativy zapojení a nutné korekce s ohledem Diskutujte možné alternativy zapojení a nutné korekce s ohledem na chybu metody.na chybu metody.

A

R V

U

1.4. Značení elektrických měřících přístrojů

Brož J., a kol.: Základy Brož J., a kol.: Základy fyzikálních měření I,fyzikálních měření I, SPN Praha 1967, SPN Praha 1967, tab.1.1 a tab. 1.2 str.208 tab.1.1 a tab. 1.2 str.208

Seminární úloha 1.9 (2.2):Seminární úloha 1.9 (2.2):

Jaká bude maximální nejistota aritmetického průměru Jaká bude maximální nejistota aritmetického průměru āā veličiny veličiny aa při při nn-krát-krát

nezávisle opakovaném měření? Maximální nejistota měření veličiny nezávisle opakovaném měření? Maximální nejistota měření veličiny a a je je uuc,a c,a . .

a

Seminární úloha 1.10. (2.6):Seminární úloha 1.10. (2.6):Proud v měřeném obvodu se pohybuje v rozmezí od 0 do 3 A. Proud v měřeném obvodu se pohybuje v rozmezí od 0 do 3 A. Potřebujeme ho změřit s přesností Potřebujeme ho změřit s přesností 10 mA. Stanovte jaká je 10 mA. Stanovte jaká je

minimální podmínka na třídu přesnosti použitého ampérmetru.minimální podmínka na třídu přesnosti použitého ampérmetru.

Seminární úlohy 1.11. (2.7)Seminární úlohy 1.11. (2.7)::Napětí na měřeném prvku se pohybuje okolo 1.5 V. Je lepší použít pro měření Napětí na měřeném prvku se pohybuje okolo 1.5 V. Je lepší použít pro měření přístroj třídy přesnosti 0.5 s rozsahem (0-5) V a nebo přístroj třídy přesnosti 1 přístroj třídy přesnosti 0.5 s rozsahem (0-5) V a nebo přístroj třídy přesnosti 1 s rozsahy (0-2) V nebo (0-10) V? s rozsahy (0-2) V nebo (0-10) V?