GEODETICKÉ VÝPOČTY I....• Těžnice se protínají v jednom bodě, který se nazývá...

GEODETICKÉ VÝPOČTY I.

SPŠS Č.BudějoviceObor Geodézie a Katastr nemovitostí

2.ročník

TROJÚHELNÍK

PYTHAGOROVA VĚTA

PODOBNOST TROJÚHELNÍKŮ

TROJÚHELNÍK• trojúhelník je geometrický rovinný útvar určený třemi

body, neležícími v jedné přímce.

• má 3 vrcholy, 3 strany a 3 vnitřní úhly

• vrcholy se označují velkým tiskacím písmenem, strany se označují malým písmenem příslušným protějšímu vrcholu, úhly se označují malým řeckým písmenem.

Geodetické výpočty I.PYTHAGOROVA VĚTA, PODOBNOST TROJÚHELNÍKŮ

úhly se označují malým řeckým písmenem.

• typy:

• podle stran

• podle úhlů

ZÁKLADNÍ PRAVIDLA V TROJÚHELNÍKU

A, B, C – 3 vrcholy, , - 3 vnitřní úhly (vnější úhly ´,´,´,´´,´´,´´ )a, b, c – 3 strany

PLATÍ:• trojúhelníkové nerovnosti a + b > c, b + c > a a c + a > b - součet


• trojúhelníkové nerovnosti a + b > c, b + c > a a c + a > b - součet dvou libovolných stran trojúhelníku je vždy delší než strana třetí

• + + = 180° - součet všech vnitřních úhlů je v každém trojúhelníku 180°,

• ’ + ’ + ’ = 360° - součet všech vnějších úhlů je v každém trojúhelníku 360° ,

• + ’ = + ’ = + ’ = 180° - součet vnitřního a příslušného vnějšího úhlu je 180°,

• + = ’, + = ’, + = ’ - součet dvou vnitřních úhlů se rovná vnějšímu úhlu u zbývajícího vrcholu


DŮLEŽITÉ ÚSEČKY V TROJÚHELNÍKU• Výška je kolmice spuštěná z

vrcholu na protější stranu.

• pro výšky platí

• Těžnice je úsečka, jejímiž krajními body jsou střed strany a protilehlý vrchol trojúhelníku

• Těžnice se protínají v jednom bodě, který se nazývá těžiště.

• Těžiště rozděluje každou těžnici na dva díly v poměru 2 : 1

• trojúhelníky (ABT, ACT, CBT), všechny tři mají stejný obsah.


OBVOD A OBSAH TROJÚHELNÍKU

• Obvod trojúhelníku o se vypočte jako součet všech jeho stran

• Obsah trojúhelníku S se vypočte

o = a + b + c

• Obsah trojúhelníku S se vypočte

• jako polovina součinu libovolné strany a k ní příslušné výšky:

• podle Heronova vzorce

S = (a · va) / 2 = (b · vb) / 2 = (c · vc) / 2

kde s = o / 2


PYTHAGOROVA VĚTA

• Obsah čtverce nad přeponou pravoúhlého rovinného trojúhelníku je roven součtu obsahů čtverců nad jeho odvěsnami

c2 = a2 + b2

a, b jsou délky odvěsenc je délka přepony


PYTHAGOROVA VĚTA

c2 = a2 + b2

Zadání: Přední strana stanu typu „áčko“ měří u země 150 cm. Boční stěna stanu od země k vrcholu stanu měří 180 cm. Jak vysoký je stan?

ca

b


PYTHAGOROVA VĚTA

c2 = a2 + b2

Zadání: Čtverci o straně 5,00 cm je opsána a vepsána kružnice. Určete poloměry obou kružnic

a = 5 cmR = a / 2

Rv

Ro

Rv = a / 2

Rv = 5,00 / 2 = 2,50 cm..

Rv


PYTHAGOROVA VĚTA

c2 = a2 + b2

Zadání: Určete vzdálenost s mezi body A a B, pokud znáte souřadnice Y a X obou bodů.

+Y 5 2YA = 5 m XA = 1 mYB = 2 m XB = 5 m

+X

1

5

A

B

YB = 2 m XB = 5 m

s?

kontrola výsledku: S = 5 m



• dva Δ jsou si podobné, shodují-li se v úhlech, které si navzájem odpovídají – postačí shodují-li se ve dvou úhlech

VĚTA UU


PODOBNOST TROJÚHELNÍKŮ• Každé dva trojúhelníky, které mají sobě rovné poměry

délek dvou odpovídajících si stran a shodují se v úhlu jimi sevřeném, jsou podobné.

VĚTA SUS



• každé dva trojúhelníky, které mají sobě rovné poměry délek všech tří dvojic odpovídajících si stran, jsou podobné

VĚTA SSS



Zadání: Zapište podobnost a zkratku uvedené věty pro odvození podobnosti Δ – UU, SUS, SSS



Zadání: Zapište podobnost a zkratku uvedené věty pro odvození podobnosti Δ – UU, SUS, SSS

ABC ~ MKL (uu)ABC ~ MKL (uu)ABC ~ MKL (uu)

ABC ~ PQO ~ MKL ~ EFG

EFG ~ MKL (sus; k = 1/2)

OPQ ~ GEF (sss; k = 2/3)

ABC ~ MKL (uu)

OPQ ~ GEF (sss; k = 2/3)

EFG ~ MKL (sus; k = 1/2)



• platí, že

• stejnolehlé strany a příčky v podobných Δ jsou úměrné,

• obsahy podobných Δ se mají k sobě jako čtverce

jeden trojúhelník je zvětšení druhého

• obsahy podobných Δ se mají k sobě jako čtverce stejnolehlých stran nebo příček,

• dva Δ jsou podobné, jsou-li jejich odpovídající si strany rovnoběžné, nebo navzájem kolmé,

• dva pravoúhlé Δ jsou podobné, shodují-li se v jednom ostrém úhlu nebo v poměru dvou odpovídajících si stran,

• dva rovnoramenné Δ jsou podobné, shodují-li se v úhlu při základně nebo v úhlu při vrcholu,

• každé dva rovnostranné trojúhelníky jsou si podobné.



b

a

A

C

d

M

O

n

p m

c

A

BD

MNP

o

CA : CB = OM : ON

AB : DB = MN : PN

b : c = n : o

PΔ ABC : PΔ MNO = AB2 : MN2



bA B

y S

Zadání: Určete hodnotu y = AS na základě podobnosti Δ. a = 15,65 mb = 85,62 mx = 11,98 my = ?

podobné Δ jsou : Δ ABB´ = Δ ASS´

b : a = y : x

b

B´S´

ax

y : b = x : anebo

=>> y = 65,54 m



Zadání : Grafická interpolaceRozdělte úsečku AB neznámé délky na dvě části v poměru 3:2



Zadání : Vypočtěte polohu (staničení) průsečíku S spojnice AB s měřickou přímkou

15

,25

A

15

,25

45

,84

98

,76

11

,87

B

S

staničení kolmicesA = 45,84 m kA = -15,25 msB = 98,76 m kB = 11,87 msS = ? kS = ?



Zadání : Vypočtěte polohu (staničení) průsečíku S spojnice AB s měřickou přímkou

sB – sA : x1 = kA + kB : kA

52,92 : x = 27,12 : 15,25

staničení kolmicesA = 45,84 m kA = -15,25 msB = 98,76 m kB = 11,87 msS = ? kS = ?

52,92 : x1 = 27,12 : 15,25

sS = 45,84 + 29,76 = 75,60 mkS = 0,00 m

Ověřte výpočet sS za pomocí trojúhelníka s x2 .

Geodetické výpočty I.ÚVOD, ZÁKLADNÍ POČETNÍ ÚKONY A ZKOUŠKY

REKAPITULACE

TROJÚHELNÍK, PYTHAGOROVA VĚTA, PODOBNOST TROJÚHELNÍKŮ

• ZÁKLADNÍ PRAVIDLA V TROJÚHELNÍKU• ZÁKLADNÍ PRAVIDLA V TROJÚHELNÍKU

• DŮLEŽITÉ ÚSEČKY – VÝŠKA, TĚŽNICE

• OBVOD A OBSAH TROJÚHELNÍKU

• PYTHAGOROVA VĚTA

• PODOBNOST TROJÚHELNÍKŮ – UU, SUS, SSS

• Domácí úkol č.2 Trojúhelník

• Následuje: ÚHLOVÉ JEDNOTKY, PŘEVODY, OBLOUKOVÁ MÍRA

Date post:	02-Dec-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	17 times
Download:	0 times

GEODETICKÉ VÝPOČTY I....• Těžnice se protínají v jednom bodě, který se nazývá...

Documents