dyferenciální rovnice

1. Diferenciální rovnice

1

1. DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

1.1. Základní pojmy

Obyčejnou diferenciální rovnicí nazýváme rovnici, v níž se vyskytuje derivace hledané funkce jedné proměnné.

Parciální diferenciální rovnicí nazýváme rovnici, v níž se vyskytují parciální derivace hledané funkce dvou a více proměnných.

Řádem diferenciální rovnice označujeme řád nejvyšší derivace neznámé funkce, který se v rovnici vyskytuje.

( ) 0,, =′yyxF nebo ( )yxfy ,=′ je označení pro DR .1 řádu

( )( ) 0,...,,,, =′′′ nyyyyxF nebo ( )( )1,...,,, −′=′ nyyyxfy je označení pro DR n -tého řádu

1.2. Druhy řešení diferenciálních rovnic

Řešením DR n -tého řádu na množině M nazýváme každou n -krát spojitě diferencovatelnou funkci na této množině, která dané rovnici vyhovuje.

Křivku, která znázorňuje některé řešení rovnice, nazýváme integrální křivkou této DR.

Řešení DR n -tého řádu nazýváme

• obecným řešením, jestliže obsahuje n konstant nCCCC ,...,,, 321 ,

• partikulárním (částečným) řešením, lze-li je získat z obecného řešení pro konkrétní hodnoty konstant, které vypočteme nebo zvolíme,

• výjimečným řešením, nelze-li je získat z obecného řešení pro žádný výběr konstant

nCCCC ,...,,, 321 (existuje pouze u některých diferenciálních rovnic)

� Cauchyho úloha

Cauchyho úlohou pro DR 1. řádu ( ) 0,, =′yyxF rozumíme určení partikulárního řešení této

rovnice, které vyhovuje podmínce ( ) 00 yxy = .


2

� Piccardovy aproximace

Jedná se o jeden z klasických postupů řešení Cauchyho úlohy ( )yxfy ,=′ , ( ) 00 yxy = .

Piccardovy aproximace definujeme jako posloupnost funkcí

( ) 00 yxy = ,

( ) ( )( ) dttytfyxy

x

x

∫+=

0

001 , ,

KKK ,

( ) ( )( ) dttytfyxy

x

x

nn ∫ −+=

0

10 , , atd.


3

1.3. Metody řešení diferenciálních rovnic prvního řádu

� DR se separovanými proměnnými

Diferenciální rovnicí se separovanými proměnnými rozumíme každou rovnici tvaru

( ) ( ) 0=′⋅+ yyQxP .

• Nahradíme-li y′ podílem diferenciálů dx

dy, potom rovnici můžeme zapsat ve tvaru

( ) ( ) 0=+ dyyQdxxP ,

odtud integrací dostaneme ( ) ( ) CdyyQdxxP =+ ∫∫ .

• Můžeme se také setkat s tzv. separovatelným tvarem:

( ) ( ) ( ) ( ) 0=′⋅⋅+⋅ yyQxSyRxP .

Tuto rovnici lze za předpokladů ( ) ( ) 0,0 ≠≠ yRxS upravit na tvar

( )( )

( )( )

0=′⋅+ yyR

yQ

xS

xP,

což je DR se separovanými proměnnými.

Její obecné řešení lze zapsat ve tvaru

( )( )

( )( )

CdyyR

yQdx

xS

xP=+ ∫∫ .


4

☺☺☺☺ Řešený příklad

• Najděte řešení diferenciální rovnice 01

1

122

=′⋅++

yyx

.

Řešení

01

1

122

=⋅++ dx

dy

yx

01

1

122

=++ ∫∫ dy

ydx

x

Cy

x =−1

arctan

• Najděte řešení diferenciální rovnice ( ) ( ) 022 =−++ dyyxydxxxy .

Řešení

( ) ( ) 011 22 =−++ dyxydxyx

2011 22

⋅=+

+− ∫∫ dy

y

ydx

x

x

01

2

1

222

=+

+− ∫∫ dy

y

ydx

x

x

Cyx =++−− 22 1ln1ln

Cx

y=

−

+2

2

1

1ln

Cx

y=

−

+2

2

1

1

( )22 11 xCy −⋅=+

( ) 11 22 −−⋅= xCy


5

• Najděte řešení diferenciální rovnice yxy =⋅′2 .

Řešení

yxdx

dy=⋅2

∫∫⋅

=x

dx

y

dy

2

Cxy lnln +=

Ceyx lnlnln +=

xeCy ⋅= lnln

xeCy ⋅=

• Najděte řešení Cauchyho úlohy ( )2

1

4,cot12 =

+=′

πyxyy .

Řešení

( ) xydx

dycot12 +=

( ) ∫∫ =+

dxxy

dycot

12

( ) Cxy lnsinln12ln2

1+=+

( ) xCy sinln212ln ⋅=+

( ) ( )2sin12 xCy =+

Do obecného řešení dosadíme počáteční podmínku.

2

4sin1

2

12

⋅=+⋅

πC

2

2

2

22

⋅= C

22

2C

=

2=C

Partikulární řešení DR dostaneme dosazením konstanty.

( )1sin42

1 2 −= xy


6

• Najděte řešení Cauchyho úlohy ( )4

0,sincoscossinπ

== yxdxyxdyy .

Řešení

( )1cos

sin

cos

sin−⋅= ∫∫ dx

x

xdy

y

y

∫∫ −=− dxx

xdy

y

y

cos

sin

cos

sin

Cxy lncoslncosln +=

xCy coscos ⋅=

Do obecného řešení dosadíme počáteční podmínku.

0cos4

cos ⋅= Cπ

2

2=C

Partikulární řešení DR dostaneme dosazením konstanty.

xy cos2

2cos ⋅=

• Najděte řešení diferenciální rovnice yxyxyyxy 32 −′=+′ .

Řešení

yyxyxyxy −−=′−′ 32

( ) ( )11 32 +−=− xydx

dyyx

( ) ( )∫∫

+=

−dx

x

xdy

y

y 11 32

Cxxy

y lnln32

ln32

++=−

23lnlnln

23yx

Cxy +=+−

23ln

23yx

x

yC +=


7

• Najděte řešení diferenciální rovnice 23 2

2

xx

xy

−

+=′ .

Řešení

∫∫ −

+= dx

xx

xdy

23 2

2 Na pravé straně bude nutný rozklad na parciální zlomky.

22

2223 −

++=−

+

x

C

x

B

x

A

xx

x

( ) ( ) 2222 CxxBxAxx +−+−=+

1220 −=⇒−== BBx

1442 =⇒== CCx

144802 −=⇒+−=−= ACBAx

∫

−+−−= dx

xxxy

2

1112

Cxx

xy ln2ln1

ln +−++−=

x

xC

xy

2ln

1 −+=

• Najděte řešení diferenciální rovnice yxyyxyy +++=′ 22.

Řešení

( ) ( )112 +++=′ xyxyy

( )( )12 ++= xyydx

dy

( )( ) xdx

yy

dy∫∫ +=

+1

2 Na levé straně provedeme rozklad na parciální zlomky.

( )Cx

xdy

yyln

21

11 2

++=

+−∫

1

12 +

+=+ y

B

y

A

yy

( ) Cxx

yy ln2

1lnln2

++=+− ( ) ByyA ++= 11

xx

eCy

y +

⋅=+

2

2

ln1

ln Ay == 10

xx

eCy

y +

⋅=+

2

2

1 111 −=⇒−=−= BBy


8

� Homogenní diferenciální rovnice

Diferenciální rovnice ( ) 0,, =′yyxF se nazývá homogenní, lze-li ji pro 0≠x upravit na tvar

=′

x

yy ϕ .

Homogenní DR převedeme substitucí uxy = , kde ( )xuu = je funkce proměnné x , na DR se

separovanými proměnnými pro novou neznámou funkci ( )xu .

Pozn.: Nesmíme zapomenout nahradit derivaci y′ . Derivováním uxy = dostaneme uxuy +′=′ .


9


• Řešte DR yxyyx ′=+ 222.

Řešení

222 :2 xyxyyx ′=+

yx

y

x

y′=+

21

2

2

Substituce: uxy =

uxuy +′=′

x

yu =

( )uxuuu +′=+ 21 2 SEPAROVATELNÁ DR

22 221 uxuuu +′=+

dx

duuxu 21 2 =−

∫ ∫=−

dxx

duu

u 1

1

22

Cxu lnln1ln 2 +=−−

Cxu

=− 21

1

Cx

x

y=

−

2

1

1

Cxyx

x=

− 22

2

( )22 yxCx −=


10

• Najděte řešení DR xyyy −=′ 2 .

Řešení

xxyyy :2 −=′

12 −=′⋅x

yy

x

y Substituce: uxy =

uxuy +′=′

x

yu =

( ) 12 −=+′ uuxuu

122 −=+′ uuxuu

122 −+−= uudx

duxu

∫∫ =−+− x

dxdu

uu

u


( ) ( )22 111 −

+−

=−

−

u

B

u

A

u

u

( ) BuAu +−=− 1

Bu =−= 11

100 −=⇒+−== ABAu

( )∫ +=

−−

−

−Cxdu

uulnln

1

1

1

12

Cxu

u ln1

11ln =

−+−−

Cxxy

x

xy

xlnln =

−+

−

xy

xCx

xy

x

−−=

−lnln

( )xyCxy

x−=

−ln

( )xyCe xy

x

−=−


11

• Najděte řešení DR ( ) 22 yxyyxyx +=+′ .

Řešení

( ) 22 :2 xyxyyxyx +=+′

2

2

2x

y

x

y

x

yy +=

+′ Substituce: uxy =

uxuy +′=′

x

yu =

( ) ( ) 22 uuuuxu +=+⋅+′

( ) 2222 uuuuuxu +=+++′

( ) udx

duux −=+2

( )∫∫ −=

+

x

dx

u

duu2

Cxuu lnlnln2 +−=+

x

C

x

y

x

ylnln

2

2

=+

x

Ce

x

yx

y

lnlnln2

2

=+

x

Ce

x

yx

y

lnln2

2

=⋅

x

Ce

x

yx

y

=⋅2

2

xCey x

y

⋅=⋅2


12

• Řešte DR xx

yy

x

yyx −=′ coscos .

Řešení

xxx

yy

x

yyx :coscos −=′

1coscos −=′x

y

x

y

x

yy Substituce: uxy =

uxuy +′=′

x

yu =

( ) 1coscos −=+′ uuuuxu

1coscoscos −=+′ uuuuuxu

1cos −=dx

duux

∫∫ −= dxx

udu1

cos

Cxu lnlnsin +−=

x

C

x

ylnsin =


13

• Řešte DR 222 2xyyx −=′ .

Řešení

2222 :2 xxyyx −=′

22

2

−=′x

yy Substituce: uxy =

uxuy +′=′

x

yu =

22 −=+′ uuxu

22 −−= uudx

dux

∫∫ =−− x

dx

uu

du


( ) ( ) 2121

1

−+

+=

−⋅+ u

B

u

A

uu

( ) ( )121 ++−= uBuA

3

1311 −=⇒−=−= AAu

3

1312 =⇒== BBu

∫ +=

−+

+

−Cxdu

uulnln

2

1

1

1

3

1

( ) ( )( ) Cxuu ln2ln1ln3

1=−++−

( )3ln1

2ln Cx

u

u=

+

−

3

1

2Cx

x

yx

y

=

+

−

32Cx

xy

xy=

+

−


14

• Najděte řešení DR ( ) yxyyx +=′− .

Řešení

( ) xyxyyx :+=′−

x

yy

x

y+=′

− 11 Substituce: uxy =

uxuy +′=′

x

yu =

( ) ( ) uuxuu +=+′⋅− 11

( ) uuuuxu +=−+′− 11 2

( ) 211 udx

duxu +=−

( )∫∫ =

+

−dx

xu

duu 1

1

12

( ) Cxuu lnln1ln2

1arctan 2 +=+−

Cxx

xy

x

ylnln

2

1arctan

2

22

=+

−

( ) Cxyx

ylnln

2

1arctan 22 =+−


15

� Lineární diferenciální rovnice I. řádu

Lineární diferenciální rovnicí I. řádu nazýváme každou diferenciální rovnici tvaru

( ) ( )xqyxpy =⋅+′ ,

kde ( ) ( )xqxp , jsou spojité funkce na intervalu ba, .

Je-li ( ) 0≡xq , hovoříme o zkrácené LDR. (Ta má separované proměnné.)

Je-li ( ) 0≠xq , hovoříme o úplné LDR.

Metody řešení

Lagrangeova metoda variace konstant

1. Určíme obecné řešení příslušné zkrácené LDR ( ) 0=⋅+′ yxpy , ozn. ( )∫⋅=

− dxxp

eCy~ .

2. Obecné řešení úplné LDR hledáme ve tvaru

( )( )∫⋅=

− dxxp

exCy , kde ( )xC je funkce.

( )( )

( )( )

( )xpexCexCydxxpdxxp

⋅∫⋅−∫⋅′=′−−

Dosadíme do zadání ( ) ( )xqyxpy =⋅+′

( )( )

( )( )

( ) ( ) ( )( )

( )xqexCxpxpexCexCdxxpdxxpdxxp

=∫⋅⋅+⋅∫⋅−∫⋅′−−−

( )( )

( )xqexCdxxp

⋅∫=′

( )( )

( ) KdxxqexCdxxp

+⋅∫= ∫

( )

( )( )∫⋅

+⋅∫=−

∫dxxpdxxp

eKdxxqey


16

Bernoulliova substituce

Předpokládáme, že obecné řešení LDR ( ) 0=⋅+′ yxpy má tvar ( ) ( ) ( )xvxuxy ⋅= .

Toto obecné řešení a jeho derivaci vuvuy ′⋅+⋅′=′ dosadíme do zadání

( ) ( )xqxpvuvuvu =⋅⋅+′⋅+⋅′

( )[ ] ( )xqxpvuvuvu =⋅⋅+′⋅+⋅′

( )[ ] ( )xqxpvvuvu =⋅+′⋅+⋅′

Zavádí se volitelná podmínka ( ) 0=⋅+′ xpvv .

( )∫=

− dxxp

ev

Dosadíme do rovnice a dostaneme ( )

( )xqeudxxp

=∫⋅′−

( )

( ) Kdxxqeudxxp

+⋅∫= ∫

( )

( )( )∫⋅

+⋅∫=−

∫dxxpdxxp

eKdxxqey

Pozn.: Všimněte si, že integrály, které počítáme jsou v obou postupech stejné.


17


• Řešte DR 1tan =−′ yxy .

Řešení

1. 0tan =−′ yxy SEPAROVATELNÁ DR

yxy =′ tan

∫ ∫= dxx

x

y

dy

sin

cos

Cxy lnsinlnln +=

xCy sin~ ⋅=

2. ( ) xxCy sin⋅=

( ) ( ) xxCxxCy cossin ⋅+⋅′=′

( ) ( )( ) ( ) 1sincos

sincossin =⋅−⋅⋅+⋅′ xxC

x

xxxCxxC

( ) 1cos

sin 2

=′x

xxC

( ) Kx

dxx

xxC +−== ∫ sin

1

sin

cos2

1sinsinsin

1−=⋅

+−= xKxK

xy


18

• Řešte DR xyy 42 =+′ .

Řešení

vuy .=

vuvuy ′+′=′ ..

xvuvuvu 4.2.. =+′+′

( ) xvuvuvu 4.2.. =+′+′

( ) xvvuvu 42. =+′⋅+′

Volitelná podmínka 02 =+′ vv .

vv 2−=′

vdx

dv2−=

∫∫ −= dxv

dv2

xv 2ln −=

xev

2−=

xeux 42 =⋅′ −

∫∫ +−=−===′

=′=== Cexedxexe

eba

ebxadxxeu

xxxxx

x

x 22222

2

2 2222

14

44

( ) 12.2 2222 −+=+−= −− xCeeCexey xxxx


19

• Najděte řešení DR xxyxy 2cossincos +=′ .

Řešení

xxyxy 2cossincos =−′

1. 0sincos =−′ xyxy

xyxy sincos =′

∫ ∫= dxx

x

y

dy

cos

sin

Cxy lncoslnln +−=

x

Cy

cos~ =

2. ( )

x

xCy

cos=

( ) ( )x

xxCxxCy

2cos

sincos +′=′

( ) ( ) ( )xx

x

xCx

x

xxCxxC 22

cossincos

coscos

sincos=⋅−⋅

+′

( ) xxC 2cos=′

( ) ∫ ++=+

= Kxxdxx

xC 2sin4

1

2

1

2

2cos1

x

Kx

x

x

xKxxy

cos2

sin

cos2cos

1.2sin

4

1

2

1++=

++=


20

• Řešte Cauchyho úlohu ( ) 11,322 =−−=−′ yxyyx .

Řešení

vuy .=

vuvuy ′+′=′ ..

( ) 3..2..2 −=−′+′ vuxvuvux

( ) 3..2.. 22 −=−′+′ vuxvuxvux

( ) 3.2. 22 −=−′⋅+′ vxvxuvux

Volitelná podmínka 0.22 =−′ vxvx .

vvx 2. =′

∫∫ =x

dx

v

dv2

xv ln2ln =

2xv =

34 −=′ux

∫ +=−

= Cx

dxx

u34

13

xCxxC

xy

11 223

+=⋅

+= OBECNÉ ŘEŠENÍ

( ) 21

111 2

=⇒−

+−= CC

xxy

12 2 += PARTIKULÁRNÍ ŘEŠENÍ


21

• Řešte DR ( ) ( )222 121 xxyyx +=−′+ .

Řešení

( ) 021 2 =−′+ xyyx

( ) xydx

dyx 21 2 =+

∫ ∫ += dx

x

x

y

dy21

2

( ) Cxy ln1lnln 2 ++=

( )21~ xCy +=

( ) ( )21 xxCy +⋅=

( ) ( ) ( )xxCxxCy 21 2 ++⋅′=′

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )22222 112211 xxxxCxxCxxCx +=+⋅−++⋅′+

( ) 1=′ xC

( ) KxxC +=

( ) ( )21 xKxy +⋅+=

Pozn.: Zkuste si vyřešené rovnice vypočítat znova druhou metodou řešení.


22

� Bernoulliova diferenciální rovnice

Bernoulliovou diferenciální rovnicí nazýváme každou rovnici tvaru

( ) ( )xqyyxpy m=+′ ,

kde 1,0, ≠≠∈ mmm R , funkce ( ) ( )xqxp , jsou spojité na intervalu ba, , přičemž ( ) 0≠xq .

Bernoulliovu DR převádíme substitucí myz −= 1 na lineární diferenciální rovnici.

Je-li 0>m , potom funkce 0=y je řešením BDR.

Podobně jako v LDR můžeme řešení hledat ve tvaru vuy ⋅= .


23


• Řešte DR. 3xyyyx =+′− .

Řešení

33 : yxyyyx =+′−

xyy

yx =+

′−

23

1 Substituce:

2

1

yz =

yy

z ′⋅−=′3

2

32 y

yz ′−=

′

xzz

x =+′

⋅2

LINEÁRNÍ DR

02

=+′

⋅ zz

x

∫ ∫−= dxxz

dz 2

Cxz lnln2ln +−=

2~

x

Cz =

( )2

x

xCz =

( ) ( )4

2 2

x

xxCxxCz

−⋅′=′

( ) ( ) ( )x

x

xC

x

xxCxxCx =+

−⋅′⋅

24

2 2

2

1

( )x

x

xC=

′

2

( ) KxdxxxC +== ∫32

3

22

23 1

3

2

xKxz ⋅

+=

xx

Ky 3

21122

+⋅=


24

• Najděte řešení DR xyyyx ln2=+′ .

Řešení

Použijeme Bernoulliovu substituci vuy .=

vuvuy ′+′=′ ..

( ) xvuvuvuvux ln... 22=+′+′

( ) xvuvuvuxvux ln..... 22=+′+′

( ) xvuvvxuvux ln... 22=+′⋅+′

Volitelná podmínka 0. =+′ vvx

∫∫ −=x

dx

v

dv

xv lnln −=

xv

1=

2

2 ln1.

x

xu

xux =⋅′

∫ ∫= dxx

x

u

du22

ln

xx

xdx

xx

x

xb

xa

xbxa 1ln1ln

11

1ln

2

2−−=+−=

−==′

=′=

∫

Kxx

x

u−−−=−

1ln1

Kxx

x

u++=

1ln1

xvx

v =⇒=11

vuyvuy

111. ⋅=⇒=

1ln1ln1

++=⋅

++= xKxxK

xx

x

y


25

• Najděte řešení DR yxyyx24 =−′ .

Řešení

yyxyyx :4 2=−′

24 xyy

yx =−

′⋅ Substituce yz =

y

yz

2

′=′

y

yz

′=′2

242 xzzx =−′ LDR

042 =−′ zzx

zzx 42 =′

∫ ∫=x

dx

z

dz 2

Cxz lnln2ln +=

2~ Cxz =

( ) 2xxCz ⋅=

( ) ( ) xxCxxCz 22 ⋅+⋅′=′

( ) ( )( ) ( ) 222 422 xxxCxxCxxCx =⋅−⋅+⋅′

( ) xKKxdxx

xC lnlnln2

1

2

1=+== ∫

xKxz ln2=

xKxy ln2=


26

• Najděte řešení DR 1322 =+′ xyyyx .

Řešení

Zadaná rovnice je Bernoulliova již po vydělení pravé strany výrazem 3

1

y.

Použijeme Bernoulliovu substituci vuy .=

vuvuy ′+′=′ ..

( ) 1.. 33222 =+′+′ vxuvuvuvux

( ) 133232322 =+′+′ vxuvvuxuvux

( ) 123322 =+′+′ vvxvxuuvux

Volitelná podmínka 0=+′ vvx

∫ ∫−=x

dx

v

dv

xv lnln −=

xv

1=

11

322 =′

u

xux

∫∫ = xdxduu 2

Cxu

+=23

23

Cxu += 23

2

3

33 11

xv

xv =⇒=

xx

C

xCxy

2

31

2

333

23 +=⋅

+=

Pozn.: Zkuste si vyřešené rovnice vypočítat znova druhou metodou řešení.


27

� Exaktní diferenciální rovnice

Diferenciální rovnici tvaru

( ) ( ) 0,, =+ dyyxQdxyxP

nazýváme exaktní, je-li její levá strana totálním diferenciálem funkce ( )yxF , , kterou nazýváme kmenová funkce.

Diferenciální rovnice ( ) ( ) 0,, =+ dyyxQdxyxP je exaktní, je-li dx

dQ

dy

dP= .

Určení kmenové funkce:

( ) ( ) ( )ydxyxPyxF ϕ+= ∫ ,,

ozn. ( ) ( )∫= dxyxPyxU ,,

( ) ( ) ( )yyxUyxF ϕ+= ,,

( )dy

d

dy

dU

dy

dFyxQ

ϕ+==,

( )dy

dUyxQ

dy

d−= ,

ϕ


28


• Řešte DR 0=+ dyydxx .

Řešení

00 ===dx

dQ

dy

dP Jedná se o exaktní DR.

Toto ověření je nutné u každé rovnice, o které si myslíme, že je exaktní.

( )yx

dxx ϕ+=∫ 2

2

ydy

d=

ϕ

( )2

2y

y =ϕ

( ) Cyx

yxF =+22

:,22

• Najděte řešení DR ( ) ( ) 04663 3222 =+++ dyyyxdxxyx .

Řešení

xydx

dQxy

dy

dP1212 === Jedná se o exaktní DR.

Ukážeme si jiný postup při výpočtu. Vypočítáme dva integrály

( ) 22322 363 yxxdxxyx +=+∫

( ) 42232 346 yyxdyyyx +=+∫

Do kmenové funkce nyní napíšeme každý člen, který nám vyšel, pokud se opakuje v obou výsledcích, napíšeme ho jen jednou.

( ) CyyxxyxF =++ 4223 3:,


29

• Najděte řešení DR 0324

22

3=

−+ dy

y

xydx

y

x.

Řešení

44

66

y

x

dx

dQ

y

x

dy

dP−==−= Jedná se o exaktní DR.

3

2

3

2

y

xdx

y

x=∫

∫ +−=−

3

2

4

22 13

y

x

ydy

y

xy

( ) Cyy

xyxF =−

1:,

3

2

• Najděte řešení DR ( ) ( ) 0sinsincoscos =−++ dyyxxdxxyy .

Řešení

yxdx

dQxy

dy

dPsincoscossin −==+−= Jedná se o exaktní DR.

( ) xyyxdxxyy sincoscoscos +=+∫

( )∫ +=− yxxydyyxx cossinsinsin

( ) CxyyxyxF =+ sincos:,


30

� Integrační faktor

Pro diferenciální rovnici tvaru

( ) ( ) 0,, =+ dyyxQdxyxP ,

kde levá strana není totálním diferenciálem funkce ( )yxF , , zavedeme funkci ( )yx,µµ = a nazveme ji integrační faktor.

Aby byla ( )xµµ = funkcí pouze proměnné x , musí být splněna nutná podmínka Q

QP xy′−′

je funkcí

proměnné x .

Potom je dxQ

QPd xy′−′

=µ

µ.

Po úpravě dostaneme dxQ

QP xy

∫′−′

=µln .

Aby byla ( )yµµ = funkcí pouze proměnné y , musí být splněna nutná podmínka P

QP xy

−

′−′ je funkcí

proměnné y .

Potom je dyP

QPd xy

−

′−′=

µ

µ.

Po úpravě dostaneme dyP

QP xy

∫ −

′−′=µln .

Integračním faktorem vynásobíme zadanou DR a dále postupujeme jako u exaktní DR.


31


• Řešte DR ( ) 0sincos =++ dyyedxy x.

Řešení

xedx

dQy

dy

dP=≠−= sin Nejedná se o exaktní DR, pokusíme se najít integrační

faktor.

dxdxye

eydx

Q

QPdx

xxy

−=+

−−=

′−′=

sin

sin

µ

µ

x−=µln

xe−=µ

Vynásobíme zadanou rovnici a dostaneme ( ) 0sin1cos =++ −− dyyedxye xx

yedx

dQye

dy

dP xx sinsin −− −==−=

A máme exaktní DR.

yedxye xx coscos −− −=∫

( )∫−− −=+ yeydyye xx cossin1

( ) CyeyyxF x =− − cos:,


32

• Řešte DR ( ) 0cotsin31 2 =−+ dyyxdxyx .

Řešení

ydx

dQyx

dy

dPcotcos3 2 −=≠= Nejedná se o exaktní DR, pokusíme se najít

integrační faktor.

( )dyydy

yx

yxydy

yx

yyxdy

P

QPd xy cotsin31

sin31cot

sin31

cotcos32

2

2

2

−=+

+−=

+

+−=

−

′−′=

µ

µ

ysinlnln −=µ

ysin

1=µ

Vynásobíme zadanou rovnici a dostaneme 0sin

cos3

sin

12

2 =−

+ dy

y

yxdxx

y.

y

y

dx

dQ

y

y

dy

dP22 sin

cos

sin

cos−==−=

A máme exaktní DR.

32

sin3

sin

1x

y

xdxx

y+=

+∫

y

xdy

y

yx

sinsin

cos2∫ =−

( ) Cxy

xyxF =+ 3

sin:,


33

1.4. Lineární diferenciální rovnice vyšších řádů s konstantními koeficienty

Lineární diferenciální rovnicí vyšších řádů s konstantními koeficienty nazýváme rovnici tvaru ( ) ( ) ( )xByayayaya

n

n

n

n =+′+++ −

− 011

1 K .

Je-li ( ) 0≡xB , mluvíme o zkrácené LDR.

Je-li ( ) 0≠xB , mluvíme o úplné LDR.

� Řešení zkrácené LDR

011

1 =+⋅++⋅+⋅ −

− arararan

n

n

n K CHARAKTERISTICKÁ ROVNICE

1. Má-li charakteristická rovnice n různých reálných kořenů nrrrr ,,,, 321 K , potom fundamentální

systém řešení je xr

n

xrxrxr neyeyeyey ==== ,,,, 321321 K .

2. Má-li rovnice k -násobný reálný kořen r , pak tomuto kořenu odpovídá k lineárně nezávislých

řešení této rovnice rxk

k

rxrxrxexyexyxeyey

12321 ,,,, −==== K .

3. Má-li rovnice komplexní kořen biar ±= , pak mu odpovídají dvě lineárně nezávislá řešení

bxeybxey axax sin,cos 21 == .

4. Má-li rovnice k -násobný komplexní kořen biar ±= , pak mu odpovídá k lineárně nezávislých

řešení bxexybxexybxxeybxey

bxexybxexybxxeybxey

axk

k

ax

k

ax

k

ax

k

axk

k

axaxax

sin,,sin,sin,sin

cos,,cos,cos,cos1

22

321

12321

−

+++

−

====

====

K

K.

OBECNÉ ŘEŠENÍ LDR nn yCyCyCyCy ++++= K332211 .

Pozn.: Jedná-li se o Cauchyho úlohu, musí obsahovat n počátečních podmínek ( ) 00 yxy = ,

( ) 00 yxy ′=′ , ( ) 00 yxy ′′=′′ ,…,( ) ( ) ( )

01

01 −− = nn

yxy .


34


• Řešte DR 04 =−′′ yy .

Řešení

042 =−r Charakteristická rovnice

( )( ) 022 =+− rr

2,2 21 −== rr

xx eyey 22

21 , −== Fundamentální systém řešení

xx eCeCy 22

21

−+= Obecné řešení

• Řešte DR 04 =+′′ yy .

Řešení

042 =+r Charakteristická rovnice

ir 22,1 ±=

xyxy 2sin,2cos 21 == Fundamentální systém řešení

xCxCy 2sin2cos 21 += Obecné řešení

• Řešte Cauchyho úlohu ( ) ( ) 150,00,0294 =′==+′+′′ yyyyy .

Řešení

02942 =++ rr Charakteristická rovnice

ir 522,1 ±−=

xeyxey xx 5sin,5cos 22

21

−− == Fundamentální systém řešení

xeCxeCy xx 5sin5cos 22

21

−− += Obecné řešení

( ) ( )xexeCxexeCy xxxx 5cos55sin25sin55cos2 222

221

−−−− +−+−−=′

00sin0cos0 10

20

1 =⇒+= CeCeC

( ) 30cos50sin215 200

2 =⇒+−= CeeC

xey x 5sin3 2−=


35

• Řešte DR 08 =−′′′ yy .

Řešení


( )( ) 0422 2 =++− rrr

irr 31,2 3,21 ±−==

xeyxeyeyxxx 3sin,3cos, 32

21

−− === Fundamentální systém řešení

xeCxeCeCy xxx 3sin3cos 322

1−− ++=

Obecné řešení

• Řešte Cauchyho úlohu ( ) ( ) ( ) 10,10,30,0 =′′−=′==′−′′′ yyyyy .

Řešení

03 =− rr Charakteristická rovnice

1,1,0 321 −=== rrr

xxeyeyy

−=== 321 ,,1 Fundamentální systém řešení

xxeCeCCy

−++= 321 Obecné řešení

xxeCeCy

−−=′ 32

xxeCeCy

−+=′′ 32

3213 CCC ++=

321 CC −=−

321 CC +=

2,1,0 132 === CCC

xey −+= 2


36

� Řešení úplné LDR – METODA VARIACE KONSTANT

Mějme LDR ( )xByayaya =+′+′′ 012 .

Nejprve vyřešíme zkrácenou DR 0012 =+′+′′ yayaya .

Její řešení je ( ) ( )xyCxyCy 2211~ ⋅+⋅= .

Obecné řešení úplné LDR má tvar ( ) ( ) ( ) ( )xyxCxyxCy 2211 += .

Derivujeme ho a dostaneme ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xyxCxyxCxyxCxyxCy 22221111 ′+′+′+′=′ .

Vhodná volitelná podmínka ( ) ( ) ( ) ( ) 02211 =′+′ xyxCxyxC .

Potom je ( ) ( ) ( ) ( )xyxCxyxCy 2211 ′+′=′ .

Opěr derivujeme ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xyxCxyxCxyxCxyxCy 22221111 ′′+′′+′′+′′=′′ .

Derivace yy ′′′ , a y dosadíme do zadané DR a po úpravě dostaneme

( ) ( ) ( ) ( )xByCyCAyAyAyACyAyAyAC =′′+′′++′+′′++′+′′

==

22112

0

2021222

0

1011121 444 3444 21444 3444 21

( ) ( )xByCyCA =′′+′′ 22112

( ) ( )

22211

A

xByCyC =′′+′′

Dostane soustavu dvou rovnic o dvou neznámých

( ) ( ) ( ) ( ) 02211 =′+′ xyxCxyxC

( ) ( ) ( )

22211

A

xByxCyxC =′′+′′

Soustavu řešíme Cramerovým pravidlem.


37


• Řešte LDR s pravou stranou x

yy2cos

14 =+′′ .

Řešení

Nejdříve vyřešíme zkrácenou LDR 04 =+′′ yy .

042 =+r

ir 22,1 ±=

xCxCy 2sin2cos~21 +=

Nyní sestavíme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých a vyřešíme ji Cramerovým pravidlem.

xxCxC

xCxC

2cos

12cos22sin2

02sin2cos

21

21

=′+′−

=′+′

22cos22sin2

2sin2cos=

−=

xx

xxW

x

x

xx

xW

2cos

2sin2cos2

2cos

12sin0

1 −==

12cos

12sin2

02cos2 =

−=

xx

xW

Determinanty 21 ,, WWW nazýváme Wronskiány.

11 2cosln4

1

2cos2

2sinKxdx

x

xC +=−= ∫

22 2

1

2

1KxdxC +== ∫

Dosadíme do xCxCy 2sin2cos~21 += a dostaneme

xKxxKxy 2sin2

12cos2cosln

4

121

++

+=

Upravíme

xxxxxKxKy 2sin2

12cos2cosln

4

12sin2cos 21 +⋅++=


38

• Řešte LDR s pravou stranou x

eyy

+=′+′′

1

1.

Řešení

0=′+′′ yy

02 =+ rr

1,0 21 −== rr

xeCCy −+= 21~

x

x

x

eeC

eCC

+=′−

=′+′

−

−

1

1

0

2

21

x

x

x

ee

eW

−

−

−

−=−

=0

1

x

x

x

x

x

e

e

ee

eW

+−=

−+

=−

−

−

11

10

1

xx e

e

W+

=

+

=1

1

1

10

012

( ) 11 1ln1

1

1

1Kexdx

e

eedx

eC

x

x

xx

x++−=

+

−+=

+= ∫ ∫

( ) 22 1ln1

Kedxe

eC

x

x

x

++−=+

−= ∫

( ) ( )( ) xxx eeKKexy −+−+++−= 1ln1ln 21

( ) ( )xxxx eeexeKKy +−+−++= −− 1ln1ln21


39

� Řešení úplné LDR – METODA NEURČITÝCH KOEFICIENTŮ

Speciální pravá strana ( ) ( ) ( )[ ]bxxQbxxPexB mn

ax sincos ⋅+⋅⋅= .

Pravá strana ( )xB Kořeny charakteristické rovnice

Partikulární řešení ( )xu

0,0, == baPn 0 není kořen char. rovnice

0 je k -násobný kořen char. rovnice

nP

k

n xP ⋅

0,0, =≠⋅ baePax

n a není kořen char. rovnice

a je k -násobný kořen char. rovnice

ax

n eP ⋅

kax

n xeP ⋅⋅

( ) ( ) bxxQbxxP mn sincos ⋅+⋅

0,0 ≠= ba

bi± není kořen char. rovnice

bi± je k -násobný kořen char. rovnice

( ) ( ) bxxQbxxP ss sincos ⋅+⋅

( ) ( )( ) k

ss xbxxQbxxP sincos ⋅+⋅

( ) ( )[ ]bxxQbxxPe mn

ax sincos ⋅+⋅⋅

0,0 ≠≠ ba

bia ± není kořen char. rovnice

bia ± bia ± je k -násobný kořen char. rovnice

( ) ( )[ ]bxxQbxxPe ss

ax sincos ⋅+⋅⋅

( ) ( )[ ] k

ss

axxbxxQbxxPe ⋅⋅+⋅⋅ sincos

[ ]nms ,max=

Předpokládané řešení se dá vyjádřit ve tvaru ( )xuyy += ~ , kde y~ je řešení zkrácené LDR a ( )xu je nějaké partikulární řešení úplné LDR. To můžeme odhadnout ze vzhledu pravé strany.


40


• K dané pravé straně a kořenům charakteristické rovnice určete partikulární řešení.

1. ( ) xxxB 63 3 += 1,2,0 321 −=== rrr ( ) ( )xDCxBxAxxu +++= 23

2. ( ) 14 −= xxB ir 32,1 ±= ( ) EDxCxBxAxxu ++++= 234

3. ( ) xexB 3= 2,3 21 =−= rr ( ) xAexu 3=

4. ( ) xxexB = 1,1 21 −== rr ( ) ( ) xeBAxxu x ⋅+=

5. ( ) xxxB 3cos= ir 312,1 ±= ( ) ( ) ( ) xDCxxBAxxu 3sin3cos +++=

6. ( ) xxxB 5sin5cos −= 3,0 21 == rr ( ) xBxAxu 5sin5cos +=

7. ( ) xexB x 2sin2= ir 222,1 ±= ( ) ( ) xxBxAexu x ⋅+= 2sin2cos2

8. ( ) xxxB cos+= 2,0 21 == rr ( ) ( ) xDxCxBAxxu sincos +++=

• Řešte DR 384 xyy =−′′ .

Řešení

Nejprve řešíme zkrácenou LDR 04 =−′′ yy .


( )( ) 022 =+− rr

2,2 21 −== rr

xx eyey 22

21 , −== Fundamentální systém řešení

xx eCeCy 22

21

~ −+= Obecné řešení

Nyní provedeme odhad partikulárního řešení ( )xu podle tvaru pravé strany úplné LDR.

( ) 38xxB = , jedná se o polynom třetího stupně, v tabulce je to první řádek, ( )xu bude mít

také tvar polynomu třetího stupně ( ) DCxBxAxxu +++= 23 . Protože kořenem charakteristické rovnice není nula, je tento odhad celý.

Protože ( ) DCxBxAxxu +++= 23 je řešení LDR, dosadíme ho do zadání a provedeme „zkoušku“. Budeme potřebovat ještě druhou derivaci.

( ) CBxAxxu ++=′ 23 2

( ) BAxxu 26 +=′′

Dosadíme ( ) 323 8426 xDCxBxAxBAx =+++−+ a porovnáme koeficienty u stejných mocnin x .

284:3 −=⇒=− AAx


41

004:2 =⇒=− BBx

3046: −=⇒=− CCAx

0042:0 =⇒=− DDBx

( ) xxxu 32 3 −−=

Sečteme xx eCeCy 22

21

~ −+= a ( ) xxxu 32 3 −−= .

xxeCeCy xx 32 322

21 −−+= −

• Řešte DR xxyy sin4=+′′ .

Řešení

0=+′′ yy

012 =+r

ir ±=2,1

xCxCy sincos~21 +=

Nyní provedeme odhad partikulárního řešení ( )xu .

( ) ( ) ( )[ ] xxDCxxBAxxu ⋅+++= sincos

Upravíme a derivujeme

( ) ( ) ( ) xDxCxxBxAxxu sincos 22 +++=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xDxCxxDCxxBxAxxBAxxu cossin2sincos2 22 +++++−+=′

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) xDxCxxDCxxDCxxC

xBxAxxBAxxBAxxAxu

sincos2cos2sin2

cossin2sin2cos22

2

+−+++++

++−+−+−=′′

Dosadíme do zadané LDR a dostaneme

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) xxxDxCxxBxAxxDxCx

xDCxxCxBxAxxBAxxA

sin4sincossin

cos22sin2cossin22cos2222

2

=+++++−

−+⋅+++−+⋅−

Porovnáme koeficienty u

xBAxCx 4242:sin =−− 144: −=⇒=− AAx

0022:0 =⇒=− BBCx

0422:cos =++ CxDAx 004: =⇒= CCx

1022:0 =⇒=+ DDAx

( ) xxxxxu sincos2 +−=

xxxxxCxCy sincossincos 221 +−+=


42

• Řešte DR xeyyy x 3cos223 −=+′+′′ .

Řešení

023 =+′+′′ yyy

0232 =++ rr

2,1 21 −=−= rr

xx eCeCy 221

~ −− +=

Partikulární řešení se bude skládat ze dvou částí, protože na pravé straně máme součet exponenciální a goniometrické funkce, jedná se vlastně o dvě pravé strany.

( ) xAexu =1

( ) xCxBxu 3sin3cos2 +=

Oba odhady sečteme, výsledek derivujeme a dosadíme do zadání LDR.

( ) xCxBAexu x 3sin3cos ++=

( ) xCxBAexu x 3cos33sin3 +−=′

( ) xCxBAexu x 3sin93cos9 −−=′′

( )( ) xexCxBAe

xCxBAexCxBAe

xx

xx

3cos23sin3cos2

3cos33sin333sin93cos9

−=+++

++−+−−

3

126: =⇒= AAe

x

1299:3cos −=++− BCBx

0299:3sin =+−− CBCx

130

9,

130

7−== CB

( ) xxexux 3sin

130

93cos

130

7

3

1−+=

xxeeCeCyxxx 3sin

130

93cos

130

7

3

1221 −+++= −−


43

• Řešte DR xeyyy −=+′−′′ 944 .

Řešení

044 =+′−′′ yyy

0442 =+− rr

22,1 =r

xx xeCeCy 22

21

~ +=

( ) xAexu −=

( ) xAexu −−=′

( ) xAexu −=′′

199944 =⇒=⇒=++ −−−− AAeAeAeAe xxxx

( ) xexu −=

xxx exeCeCy −++= 22

21


44

1.5. Eulerova diferenciální rovnice

Eulerovou diferenciální rovnicí nazýváme rovnici tvaru ( ) ( ) ( )xByayxayxayxa

nn

n

nn

n =+′+++ −−

− 0111

1 K .

Je-li ( ) 0≡xB , mluvíme o zkrácené EDR.

Je-li ( ) 0≠xB , mluvíme o úplné EDR.

Řešení této rovnice vede pomocí substituce na LDR s konstantními koeficienty stejného řádu, jako je EDR.

Substituce tex = xt ln=

dtedxt=

te

dx

dt −=

yedx

dt

dt

dy

dx

dyy

t &−=⋅==′

( ) ( )yyeeyeyedx

dt

dt

yd

dx

ydy

tttt &&&&&& −=+−=⋅′

=′

=′′ −−−− 2

( ) ( )( ) ( )yyyeeyyeyyedx

dt

dt

yd

dx

ydy

tttt &&&&&&&&&&&&&& 23*2 322 +−=−+−=⋅′′

=′′

=′′′ −−−−

Pozn.: V rovnici nahradíme vše na levé straně pomocí výše uvedené substituce a nezapomeneme

nahradit také funkce na straně pravé.


45


• Řešte EDR 03 =−′+′′′ yyxyx .

Řešení

tex = xt ln=

dtedxt=

te

dx

dt −=

yedx

dt

dt

dy

dx

dyy

t &−=⋅==′

( ) ( )yyeeyeyedx

dt

dt

yd

dx

ydy

tttt &&&&&& −=+−=⋅′

=′

=′′ −−−− 2

( ) ( )( ) ( )yyyeeyyeyyedx

dt

dt

yd

dx

ydy

tttt &&&&&&&&&&&&&& 23*2 322 +−=−+−=⋅′′

=′′

=′′′ −−−−

Dosadíme

( ) 02333 =−⋅++−⋅ −− yyeeyyyee tttt &&&&&&&

Vykrátíme a sečteme

033 =−+− yyyy &&&&&& máme LDR

Charakteristická rovnice

0133 23 =−+− rrr

( ) 101 3,2,13

=⇒=− rr

tttetCteCeCy

2321

~ ++=

Vrátíme se k původním proměnným

xxCxxCxCy2

321 lnln ++=

• Řešte EDR 0222 =−′+′′ yyxyx .

Řešení

Použijeme stejnou substituci jako v předchozím případě a dostaneme rovnici

( ) 02222 =−⋅+−⋅ −− yyeeyyee tttt &&&&

02 =−− yyy &&&

2,102 212 −==⇒=−− rrrr

tt eCeCy 221

~ −+=

221

−+= xCxCy


46

• Řešte EDR xyyxyx 22 ln22 =+′−′′

Řešení


( ) 222 22 tyyeeyyee tttt =+⋅−−⋅ −− &&&&

2222 tyyy =+− &&& LDR s pravou stranou

022 =+− yyy &&& LDR bez pravé strany

irrr ±=⇒=+− 1022 2,12

teCteCy tt sincos~21 +=

Pro pravou stranu provedeme odhad partikulárního řešení

( ) CBtAttu ++= 2

( ) BAttu += 2&

( ) Atu 2=&&

( ) ( ) 22 22222 tCBtAtBAtA =++++−

122:2 =⇒= AAt

2024: =⇒=+− BBAt

10222:0 =⇒=+− CCBAt

( ) ( )22 112 +=++= ttttu

( )221 1sincos~ +++= tteCteCy tt


( ) ( ) ( )221 1lnlnsinlncos +++= xxxCxxCy


47

• Řešte EDR xyyxyx lnsin22 =+′+′′

Řešení


( ) tyyeeyyee tttt sin222 =+⋅+−⋅ −− &&&&

tyy sin2=+&& LDR s pravou stranou

0=+ yy&& LDR bez pravé strany

irr ±=⇒=+ 2,12 01

tCtCy sincos~21 +=

Pro pravou stranu provedeme odhad partikulárního řešení

( ) ( )ttBtAtu cossin +=

( ) ( ) ( )tBtAttBtAtu cossinsincos ++−=&

( ) ( ) ( )tBtAttBtAtu sincos2cossin −+−−=&&

( ) ( ) ( ) tttBtAtBtAttBtA sin2cossinsincos2cossin =++−+−−

122:sin −=⇒=− BBt

002:cos =⇒= AAt

( ) tttu cos−=

tttCtCy cossincos~21 −+=


( ) ( ) ( )xxxCxCy lncoslnlnsinlncos 21 ⋅−+=


48

1.6. Soustavy diferenciálních rovnic

Soustavou diferenciálních rovnic 1. řádu v normálním tvaru pro neznámé funkce ( )tx1 ,

( )tx2 , …, ( )txn rozumíme soustavu rovnic

( )( )

( ),,,,,

,,,,,

,,,,,

21

2122

2111

txxxfx

txxxfx

txxxfx

nnn

n

n

K&

M

K&

K&

=

=

=

popřípadě její vektorový zápis ( )t,xfx =& .

V tomto zápise jsou ( ) ( ) ( )( ) ( )T

n

T

n ffftxtxtx ,,,,,,, 2121 KK == fx sloupcové vektory, tečkou

je značena derivace podle nezávisle proměnné t .

� Metoda postupné integrace

Soustava je zadána tak, že alespoň jedna z rovnic je diferenciální rovnice prvního řádu, tu vyřešíme a výsledek dosadíme do další rovnice, postupně tak získáme řešení celé soustavy.


• Řešte soustavu DR

yzz

x

yy

2=′

=′.

Řešení

První rovnice soustavy je separovatelná, vyřešíme ji a výsledek dosadíme do druhé rovnice.

xCy

Cxy

x

dx

y

dy

x

y

dx

dy

x

yy

1

1lnlnln

=

+=

=

=

=′

∫ ∫

21

2

22

1

1

1

1

lnln

2

2

2

2

xCeCz

CxCz

xdxCz

dz

xzCdx

dz

xzCz

yzz

=

+=

=

=

=′

=′

∫ ∫

Řešení soustavy je 21

2

1

xCeCz

xCy

=

=.


49

� Eliminační metoda

Vyloučením 1−n proměnných převedeme soustavu n rovnic na LDR n -tého řádu s konstantními koeficienty.


• Řešte soustavu DR yxy

yxx

620

3

+−=

+−=

&

&.

Řešení

Vybereme si jednu rovnici a zderivujeme ji.

yxx &&&& +−= 3 ( ) ( )yxyxx 62033 +−++−−=&&

Z rovnic yxx +−= 3& a yxx 311 +−=&& vyloučíme y .

xxy 3+= & ( )xxxx 3311 ++−= &&&

023 =+− xxx &&& LDR s konstantními koeficienty

tt eCeCxrrrr 22

1212 1,2023 +=⇒==⇒=++

Do rovnice xxy 3+= & dosadíme tt eCeCx 22

1 += a její derivaci tt eCeCx 22

12 +=& .

( )tttt eCeCeCeCy 22

122

1 32 +++=

tt eCeCy 22

1 45 +=

Obecné řešení soustavy tt eCeCx 22

1 += ,

tt eCeCy 22

1 45 += .


50

• Řešte soustavu DR zyz

zyy

43

34

+=

−=

&

&.

Řešení

Vybereme si jednu rovnici a zderivujeme ji.

zyy &&&& 34 −= ( ) ( )zyzyy 433344 +−−=&&

Z rovnic zyy 34 −=& a zyy 245 −=&& vyloučíme z .

( )yyz &−= 43

1 ( )yyyy &&& −⋅−= 4

3

1247

0258 =+− yy &&& LDR s konstantními koeficienty

teCteCyirrrtt 3sin3cos340258 4

24

12,12 +=⇒±=⇒=+−

Do rovnice ( )yyz &−= 43

1 dosadíme teCteCy tt 3sin3cos 4

24

1 += a její derivaci

teCteCteCteCy tttt 3cos33sin43sin33cos4 42

42

41

41 ++−=& .

( ) ( )( )teCteCteCteCteCteCztttttt 3cos33sin43sin33cos43sin3cos4

3

1 42

42

41

41

42

41 ++−−+=

teCteCz tt 3cos3sin 42

41 −=

Obecné řešení soustavy teCteCy tt 3sin3cos 42

41 += ,

teCteCz tt 3cos3sin 42

41 −= .

Date post:	29-Oct-2015
Category:	Documents
Upload:	honza-honzicek
View:	76 times
Download:	7 times

dyferenciální rovnice

Documents