IK,J. - STA VA,P.: Mechanika tekutinJANALIK,J. - STA VA,P.: Mechanika tekutin 3 2. Zakladnı pojmy...

JANALIK,J. - STA VA,P.: Mechanika tekutin 1

VYSOKA SKOLA BA NSKA í TECHNICKA UNIVERZITA OSTRAVA

Fakulta strojnıkatedra hydromechaniky a hydraulickych zarızenı

MECHANIKA TEKUTIN

Jaroslav Janalık í Pavel Sá ava

Ostrava

VSB-TU Ostrava, katedra hydromechaniky a hydraulickych zarızenı2

1. UvodMechanika kapalin a plynu je castı obecne mechaniky, stejnš jako mechanika tuhych tšles.

Zabyva se rovnovahou sil za klidu a pohybu tekutin. Pr i vys etrovanı tohoto pohybu se pouzıva mnoha

poznatku a zakonitostı z mechaniky tuhych tšles. Neprihlızı se pr i tom k “mikrostruktureú pohybu

skutecne tekutiny, tj. k pohybu jejıch molekul, ktery je predmštem kineticke teorie kapalin a plynu.

Vlastnı mechanika kapalin a plynu vyuzıva nškterych experimentalnıch a statistickych hodnot vysledku

kineticke teorie.

Obdobnš jako je v obecne mechanice zaveden pojem hmotneho bodu, vystupuje v ňlohach

hydromechaniky pojem “elementarnı objemú nebo plynu rozumıme objem velmi maly proti rozmšrum

proudu kapaliny, ale dostatecnš velky vzhledem k delce volne drahy molekuly, ze pro pocet molekul

obsazenych v tomto objemu platı statisticke strednı hodnoty kineticke teorie. Pro tento objem se

odvozujı tzv. bilancnı rovnice umoznujıcı definovat zakladnı zakony tj. zakon zachovanı hmoty resp.

energie. Jestlize objem je tak maly, ze nenı splnšn poslednı predpoklad, je nutno pr i res enı jevu

probıhajıcıch v tšchto “tenkych vrstvachú vychazet z kineticke teorie kapalin a plynu.

Zakladnım rozdılem mezi tekutinou a tuhym tšlesem je pohyblivost molekul kapalin a plynu.

Kapaliny a plyny tecou v proudu omezenem pevnymi stšnami nebo tvorı rozhranı tekutin. Tuhe tšleso

naproti tomu se pohybuje jako tuhy celek hmotnych bodu, neprihlızıme-li k nepatrnym deformacım.

Kapalina podleha znacnš všts ım volnym deformacım.

K urcenı zakladnıch rovnic rovnovahy za klidu a pohybu tekutin jsou postacujıcı dvš vlastnosti,

a to spojitost a stejnorodost (izotropie).

Hydromechanika res ı všts inu svych ňkolu na elementarnıch objemech tekutiny, pro nšz

sestavuje rovnice rovnovahy. Tyto zakladnı diferencialnı rovnice integruje a pouzitım okrajovych,

prıpadnš pocatecnıch, podmınek zıskava res enı. K urcenı rovnovahy pouzıva vs eobecnš platnych všt

z mechaniky.

Zıskany matematicky model se pak res ı buť exaktnš ci hlavnš v poslednıch letech numericky.

Pokud exaktnı res enı bylo z hlediska slozitosti rovnic nedostupne a tez z potreby verifikace

numerickeho res enı se pristupuje k experimentu ze ktereho vyplyva empiricke ci poloempiricke

res enı.

Recenzent: Prof.Ing. Jaroslav Kopacek, CSc.


2. Zakladnı pojmy

2.1. Tekutina

Pri res enı ňloh v hydromechanice se vychazı z predstavy tekutiny jako spojiteho, stejnorodeho

prostredı. Stejnorodostı neboli izotropiı rozumıme stejne vlastnosti vs ech castecek kapaliny nezavisle

na jejich poloze a smšru pusobenı sil. Tento predpoklad umoznuje vyhodnš res it ňlohy mechaniky

kapalin na zvolenem ,velmi malem objemu kapaliny, a odvozene zakonitosti rozs ır it na cely objem.

Pri pohybu kapaliny vnımame jen jejı strednı pohyby. Ve skutecnosti jejı pohyb je slozitšjs ı a

porus uje tım izotropii tekutiny, ktera se vs ak neustalymi zmšnami molekularnı struktury znovu

obnovuje.

V hydromechanice je zaveden pojem idealnı neboli dokonale tekutiny, ktera nema vnitrnı trenı

(bez vazkosti) a je nestlacitelna. Tento pojem, ac nevystihuje skutecnost, si vytvoril clovšk, nebo–

dovoluje odvodit jednodus eji nšktere zakonitosti. Dokonala tekutina muze by t namahana jen tlakem,

zatım co vazka (skutecna) tekutina muze by t vedle toho namahana jistou smykovou silou (za pohybu).

Tekutina je latka, ktera se na rozdıl od tuhych tšles vzdy nevratnš deformuje. Nema vlastnı

tvar a za pusobenı nepatrnych tecnych sil se castice tekutiny snadno uvedou do pohybu (vy jimkou

jsou nšktere anomalnı Ú nenewtonske kapaliny).

Tekutiny se dšlı na

1. nestlacitelne, ktere pusobenım tlaku, normalnych sil, jen nepatrnš mšnı svuj objem Ú sem patrı

kapaliny. Male objemy kapalin tvorı kapky. Kapaliny zaujımajı tvar nadoby, vyplnujı jejı spodnı cast

a vytvarejı volnou hladinu

2. stlacitelne tedy i rozpınave, ktere vyplnujı vzdy cely objem nadoby. Podle toho zda jejich stav je

blızko ci daleko bodu zkapalnšnı jsou to buť pary nebo plyny. Spolecny nazev je vzdus iny.

Stav tekutiny nachazejıcı se v rovnovaze muze by t urcen tlakem, hustotou a teplotou.

a) Mšrny tlak p (v praxi zpravidla oznacovan jen tlak) je roven pomšru elementarnı tlakove sıly Fd

pusobıcı kolmo na elementarnı plos ku Sd (viz obr.2.1):

][Paddp

SF

=

y

z

x

dS

dFdS

p=dF

Obr.2.1 Urcenı lokalnı hodnoty tlaku

Mens ı hodnoty tlaku lze mšrit pomocı sloupce kapaliny piezometrickou trubicı (obr.2.2)


pa

ρ

pb

ap

hh

pnp

pb

pb

podtlak

ppretlak

pa

pa

barometricky tlak

Obr.2.2 Mšrenı tlaku

Obr. 2a Mšrenı tlaku piezometrickou trubicı, je-li v nadobš tlak všts ı nez je tlak barometricky

Obr. 2b Schema mšrenı barometrickeho tlaku pb rtu–ovym barometrem, pnp je tlak nasycenych par

Obr. 2c Absolutnı tlak par pa, pretlak a podtlak se odecıtajı od barometrickeho tlaku.

Je-li nad hladinou kapaliny v uzavrene nadobš tlak pa všts ı nez barometricky tlak pb, ktery

pusobı na hladinu kapaliny v otevrenem konci piezometricke trubice, pak hladina v trubici se ustalı ve

vys ce h. Pusobı-li na kapalinu jen gravitacnı zrychlenı, vytvorı se vodorovna hladina, coz je soucasnš

geometricke mısto bodu se stejnym tlakem rovnym barometrickemu tlaku. Vs echny vodorovne roviny

budou take izobaricke plochy, ale protoze na castice nıze polozene bude pusobit svou tıhou castice

kapaliny nadchazejıcı se nad nimi, bude tlak s hloubkou narustat. Na vodorovne rovinš prochazejıcı

hladinou v nadobš, obr.2.2a, je vs ude tlak roven pa soucasnš je tento tlak i v piezometricke trubici

v hloubce h pod hladinou, tj. v mıstech, kde zmınšna vodorovna rovina protına. Zde je mozno

definovat podmınky rovnovahy. Uvolnšme si nynı tento sloupec kapaliny. Z rovnovahy sil pusobıcıch

na sloupec kapaliny o vys ce h a o prurezu S nachazejıcı se v trubici:

SphSgSp ab =+ ρ

plyne, ze absolutnı tlak

hgpp ba ρ+= ( 2.1 )

resp. pretlak

hgppp ba ρ=−= ( 2.2 )

Absolutnı tlak se odecıta od nulove hodnoty tlaku, pretlak a podtlak se odecıtajı od

barometrickeho tlaku (obr.2.2c). Na obr.2.2b je naznaceno mšrenı barometrickeho tlaku rtu–ovym

barometrem: vzduch pusobı na hladinu rtuti v nadobce manometru tlakem a vytlacı do vakuovane

trubice rtu–ovy sloupec do vys e h. Nad hladinou rtuti v trubici je tlak roven jejımu tlaku nasycenych par.

b) Hustota ρ (mšrna hmotnost) je rovna pomšru hmotnosti elementarnı castice tekutiny dm k jejımu

elementarnımu objemu dV, obklopujıcımu bod, v nšmz hustotu urcujeme

dVdm

=ρ [kg.m-3]( 2.3 )

Prevratna hodnota hustoty je mšrny objem v

dmdVv ==

ρ1

[m3.kg-1]


Hustota kapalin se mšnı s tlakem a teplotou jen nepatrnš a budeme ji povazovat za konstantnı:

ρ = konst.

Hustota plynu je funkcı stavovych velicin tj. tlaku p a teploty T ( K). Pro jejı vypocet se bude pouzıvat

jednoducha stavova rovnice idealnıho plynu

Trppv ⋅==ρ ( 2.4 )

kde r (J.kg-1.K-1) je mšrna plynova konstanta, jejız velikost zavisı na druhu plynu.

c) Teplota T (°C, K). V nas em prıpadš se proudšnı bude povazovat vzdy za izotermnı T=konst. Udaj

teploty bude slouzit jen pro presne urcenı parametru tekutiny jako je hustota a viskozita.

2.2. Fyzikalnı vlastnosti tekutin

Kvantitativnı vztahy v hydromechanice se vyjadrujı rovnicemi, grafy, diagramy apod. Veliciny a

jejich mšrove jednotky jsou urceny Mezinarodnı mšrovou soustavou SI (Systeme International

dČUnites), kterou uvadı C SN 01 1300, C SN 01 1301 a dals ı. Zakladnımi velicinami jsou delka,

hmotnost, cas, elektricky proud, termodynamicka teplota, latkove mnozstvı, svıtivost a doplnkove

veliciny rovinny ňhel a prostorovy ňhel. Zakladnımi jednotkami jsou (C SN 01 1300) metr, kilogram,

sekunda, amper, kelvin, mol, kandela a doplnkove jednotky radian a steradian. V mechanice, a tım i

hydromechanice, se vystacı pri formulaci poznatku s tšmito zakladnımi velicinami: delka L [m],

hmotnost m [kg], cas t [s]. Ostatnı veliciny jsou odvozene veliciny na zakladš definicnıch rovnic (C SN

01 1310). Zakladnı a odvozene veliciny zalozene na soustavš definicnıch rovnic tvorı soustavu velicin.

Veliciny, ktere urcujı fyzikalnı vlastnosti kapalin a s nimiz se v hydromechanice nejcastšji

pocıta jsou tyto:

Objemova stlacitelnost je vlastnost tekutin a tšles zmens ovat svuj objem pri zvys ovanı

tlaku. Stlacitelnost se vyjadruje soucinitelem stlacitelnosti , kdy ňbytek objemu vyvolany stlacenım

splnuje rovnici

pV

V∆

∆=

1δ

kde ∆V je ňbytek objemu V zpusobeny tlakem ∆p.

Prevracena hodnota objemove stlacitelnosti κ je modul objemove pruznosti kapaliny

dVdpVK −==

δ1

( 2.5 )

Z predchazejıcıch rovnic vyplyva vztah pro objem kapaliny po stlacenı

∆

−=KpVV 10

( 2.6 )

Pri stlacovanı kapaliny se jejı hmotnost nemšnı, proto lze psat m = ρ V = konst.

Diferencovanım se dostane ρ.dV + V.dρ = 0, z cehoz pro mšrnou objemovou zmšnu vyplyva vztah

ρρd

VdV

−= . Modul objemove pruznosti kapaliny lze tedy vyjadrit takto


ρρ

ddpK =

Rozmšr modulu objemove pruznosti kapalin pripomına modul pruznosti v tahu tuhych latek, tj.

tlak, ktery za predpokladu, ze stlacitelnost je konstantnı, nezavisı na tlaku a platı neomezenš, zmens ı

puvodnı objem kapaliny na polovinu (analogie Hookeova zakona). Pro vodu je modul objemove

pruznosti K ≅ 2,1⋅109 Pa

Stlacitelnost lze rovnšz charakterizovat rychlostı zvuku a, to je z rychlostı, kterou se ve

stlacitelnem prostredı s ırı male zmšny tlaku. Za predpokladu izoentropicke (adiabaticke) stavove

zmšny pro rychlost zvuku platı

rTpddpKa κ

ρκ

ρρ====

( 2.7 )

κ je izotermicky exponent 1,4

Teplotnı roztaznost tekutin charakterizuje zmšnu objemu a hustoty tekutin. Soucinitel

objemove roztaznosti je

konstptV

V =

∆∆

=1

β , kde ∆V je Vo-V( 2.8 )

Z teto rovnice vyplyva vztah pro objem po zahratı

( )tVV ∆+= β10( 2.9 )

Viskozita tekutin se projevuje za pohybu skutecnych kapalin. Pohybujı-li se sousednı vrstvy

kapaliny ruznymi rychlostmi, vznika na jejich rozhranı smykove trenı, ktere branı pohybu. Pomalejs ı

vrstva je zrychlovana a naopak zase rychlejs ı zbrzťovana. Zmens enı rychlosti je zpusobeno tecnou

silou, ktera je vyvolana vnitrnım trenım nebo viskozitou ci vazkostı kapaliny.

Poznamka: vazkost lze vysvštlit pomocı kineticke teorie kapalin. Molekuly, kterou se pohybujı

postupnou rychlostı, konajı vedle hlavnıho pohybu vlastnı pohyby velmi rychle a v ruznych smšrech.

Drahy, ktere probšhnou molekuly sekundarnım pohybem jsou velmi male, ale postacujı k tomu, aby

pronikly mys lenou dšlıcı rovinou mezi vrstvami kapaliny. Dals ı sıly, ktere se pri tšchto pohybech

uplatnujı jsou mezimolekularnı. Tyto sıly brzdı popsany pohyb.

U plynu, jejichz tepelny pohyb molekul prevlada nad silami mezimolekularnımi, vzrusta

zvys enım teploty rychlost tepelneho pohybu molekul a tım vzroste i viskozita plynu. Tento poznatek je

ve shodš se skutecnostı.

U kapalin je tomu obracenš. U nich jsou jes tš dosti vyrazne mezimolekularnı sıly proti

tepelnemu pohybu molekul. Zvys enım teploty dochazı k intenzivnšjs ı vymšnš hybnostı castic

v pohybujıcıch se vrstvach kapalin a tecne napštı se zmens uje. U kapalin klesa vazkost s rostoucı

teplotou.

Smykove napštı (tecne) od vazkosti nebo zkracenš vazke napštı je urceno klasickou formulı

podle Newtona

dydv

ητ =( 2.10 )


kde η je dynamicka vazkost

dydv

je gradient rychlosti ve smšru kolmem na smšr pohybu

V soustavš SI je rozmšr koeficientu dynamicke vazkosti

[ ] sPasm

kgm

sN⋅=

⋅=

⋅= 2η

( 2.11 )

Ve vy poctech se velmi casto vyskytuje vy raz ρη

, ktery je oznacovan

jako kinematicka vazkost.

ρη

=v( 2.12 )

Rozmšr kinematicke viskozity vyplyva z definice

[ ] 123

−⋅=⋅

= smkgm

smkg

υ ( 2.13 )

Rozmšr kinematicke viskozity neobsahuje jednotky hmotnosti ani sıly.

Rozmšr dynamicke vazkosti obsahuje jednotku sıly, proto byla tato vazkost oznacena jako

dynamicka, nebo– v dynamice se vys etrujı prıciny pohybu, tj. sıly.

Dynamicka a kinematicka vazkost zavisı na druhu tekutiny. Jejich hodnoty jsou pro všts inu

tekutin tabelovany. Vazkost kazde tekutiny zavisı na teplotš a tlaku, tedy na stavovych velicinach. Tyto

zavislosti jsou dany poloempirickymi rovnicemi, tyto jsou uvadšny v odborne literature.

Vazkost kapalin se mšrı viskozimetry, z nichz nejbšznšjs ı jsou kapilarnı, vy tokove,prutokove, rotacnı,

tšlıskove a jine.

Jako vy tokovy viskozimetr se v Evropš nejcastšji pouzıva viskozimetr Engleruv. Mšrıtkem

vazkosti jsou Englerovy stupnš E se urcı jako pomšr vytoku τ zkoumane kapaliny o objemu 200 cm3

pri urcite teplotš t k vy tokove dobš τv vody pri 20 °C z tehoz viskozimetru Ú neboli v

Eττ

= . Vy tokova

doba musı byt v rozmezı (50 az 52)s, velikost a tvar Englerova viskozimetru jsou dany normou. Pro

prepocet Englerovych stupnu slouzı empiricke vzorce, napr.

61031.631.7 −⋅

−=

EEν ; [ ]

sm2

=ν( 2.14 )

dy

v+dv

vτ−τ

Obr.2.3 Smykove napštı od

gradientu rychlosti


Povrchove napů tı. Kapalina na rozhranı se vyznacuje odlis nymi

vlastnostmi, prıznacnymi pro ostatnı objem kapaliny. Rozhranı kapaliny

se jevı jako potazene velmi tenkou a napjatou vrstvou. Prıcinou

povrchoveho napštı jsou sıly pusobıcı mezi molekulami kapaliny. Uvnitr

kapaliny je kazda molekula obklopena ostatnımi ze vs ech stran, takze

se jejich pritazlive sıly vyrovnavajı. U rozhranı jsou molekuly obklopeny

jen z jedne strany, jejich sıly se nevyrovnavajı z druhe strany, a proto

na molekulu pusobı sıla R smšrujıcı dovnitr kapaliny. Ponšvadz

pusobenı jednotlivych molekul je omezeno na velmi malou oblast, projevuje se tato nerovnovaha

mezimolekularnıch sil jen v nepatrne vrstvš kapaliny na hladinš. Pri premıstšnı castecky kapaliny na

rozhranı, se vykona silou R prace. Molekuly na rozhranı majı vys s ı potencialnı energie proti

molekulam uvnitr kapaliny. Povrchove napštı je pomšr povrchove energie k plos e rozhranı SEa=σ .

Povrchove napštı se definuje tez jako sıla, ktera pusobı na jednotku delky rozhranı , a to kolmo k teto

delce, a v rovinš povrchu.

Sıla, kterou je napr. mydlinkova blana roztahovana v ramecku s posuvnymi tyckami AB a CD

(kazda delky l), je dana vy razem lF ⋅= σ , neboé de lka namahaneho povrchu je l a povrchove napštı

je σ. Zvšts ı-li se povrch blany roztazenım o delku dx, vykona se prace dA = F dx = σ l dx. Touto

pracı se zvšts ı povrchova energie kapaliny. Na jednotku delky rozhranı pripada tedy sıla

σσ

===dxlldx

dxldA

lF

[N.m-1] ( 2.15 )

Povrchove napštı urcite kapaliny zavisı na druhu latek,

ktere tvorı rozhranı. Kapalina se muze stykat s pevnou latkou,

kapalinou nebo plynem. Vznik povrchoveho napštı byl vysvštlen

nerovnovahou molekularnıch sil za predpokladu, ze kapalina

s nicım nesousedı. Ve skutecnosti je vzdy obklopena jinou

latkou, a– pevnou, kapalnou, ci plynnou, a proto

mezimolekularnı sıly od vlastnı kapaliny se budou vyrovnavat s

kvalitativnš stejnymi silami sousednıho prostredı. Vysledne

povrchove napštı bude dano vektorovym souctem obou slozek.

Kapilarita se vyskytuje u trubicek velmi maleho prumšru Ú

kapilar, nebo v poreznım prostredı. Kdyz adheznı sıly jsou všts ı

nez koheznı, vystupuje kapalina v kapilare do vys ky h. V opacnem prıpadš, kdy koheznı sıly jsou všts ı

nez adheznı, zustava kapalina v kapilare o vys ku h nıze nez je hladina okolnı kapaliny. Prıslus ne

vys ky h se dajı spocıtat z podmınky rovnovahy mezi gravitacnımi silami a povrchovymi silami:

ghdd ρπ

σπ 24

= z cehoz gdh

ρσ4=

( 2.16 )

R=0 R≠0

Obr. 2.4 Sıly uvnitr kapaliny

a poblız rozhranı

B`

B

dx

DC

A`

A

l

F

F

obr. 2.5 K definici povrchoveho

napštı


Poslednı vztah se da pouzıt tez k urcenı povrchoveho napštı σ .

Povrchove napštı vody je σ = 0,072 Nm-1 = 0,072 kg s-2.

Tlak nasycenych par je hodnota tlaku par nad hladinou

kapaliny, pr icemz nastava rovnovaha mezi poctem molekul

opous tšjıcıch kapalinu a vracejıcıch se zpšt. U jednoslozkovych

kapalin zavisı pouze na teplotš a roste s teplotou. C ım je tlak

nasycenych par kapaliny pri dane teplotš vys s ı, tım je kapalina

tškavšjs ı. Tlak nad hladinou kapaliny musı by t vys s ı, nez je tlak

nasycenych par, jinak by mohlo dojıt k prudkemu odparenı

(varu). Klesne-li tlak uvnitr kapaliny pod hodnotu tlaku nasycenych par, dochazı ke vzniku kavitace.

Tlak nasycenych par pro vodu se da odecıst z parnych tabulek.

2H O

dF Fka >

h

aF F

H g

h

< kd

Obr. 2.6 Kapilarnı elevace a

deprese


3. Tlakove pomů ry v kapalinů za klidu

3.1. Tlak a jeho pu sobenı

Hydrostatika se zabyva rovnovahou sil pusobıcıch na kapalinu za klidu. Rovnovaha kapaliny

za klidu nastane tehdy, kdyz jejı castice se vuci sobš nepohybujı, to znamena, ze tvar objemu

kapaliny se nemšnı. V tom prıpadš je u skutecne kapaliny smykove napštı od vazkosti nulove a

vs echny rovnice platı i pro skutecnou kapalinu. Do hydrostatiky patrı i prıpady relativnıho klidu, kdy

kapalina vuci stšnam je v klidu, ale cela soustava (nadrz + kapalina) konajı pohyb. Sıly, ktere mohou

pusobit na kapalinu lze rozdšlit obecnš do dvou skupin, a to sıly plos ne a hmotnostnı (neboli

objemove).

Plos ne sıly (tez povrchove) pusobı na povrch uvazovaneho objemu kapaliny, proto jejich

velikost zavisı na velikosti plochy Fp =p. S. Plos ne sıly jsou napr. tlak kapaliny, trenı od vazkosti

pohybujıcı se kapaliny, apod. Hmotnostnı sıly jsou ňmšrny hmotnosti, (ktera je ňmšrna objemu

kapaliny), Fm =a. m=aρ V. Jsou to napr. tıha kapaliny, setrvacna sıla, odstrediva sıla apod.

Tlak kapaliny je tlakova sıla, pusobıcı na jednotku plochy. Je-li tlak rovnomšrnš rozlozen, je

dan pomšrem

SFp =

Pri nerovnomšrnem rozlozenı tlaku je dan obecnš

dSdFp = .

Tlak pusobı vzdy kolmo na plochu a v urcitem mıstš je ve vs ech smšrech stejny , nezavisı tedy

na sklonu plos ky, na kterou pusobı. Toto tvrzenı si nynı dokazeme. Kdyby pusobila na plos ku sıla dFnikoliv ve smšru normaly, dala by se rozlozit na slozku normalnou a tecnou. Tecna slozka tlaku by si

vynutila pohyb castecek kapaliny, ktere nekladou vzajemnemu posunutı odpor. Protoze tekutina je

v klidu, musı tlak pusobit kolmo na plochu.

Z toho plyne, ze na tekutinu nachazejıcı se ve stavu

rovnovaznem mohou pusobit jen sıly normalne, resp. napštı.

V technicke praxi se bude jednat vzdy o tlak, nebo– jen dokonale ciste a

odvzdus nšne kapaliny mohou odolavat tahu. Pevnost v tahu specialnš

neupravenych kapalin je pr ibliznš rovna nule a ve vypoctech

predpokladame, ze k porus enı kontinuity kapaliny dojde v mıstech, kde

tlak klesne pod hodnotu tlaku nasycenych par a dojde zde k varu Ú

zmšnš faze.

Velikost tlaku v urcitem mıstš uvnitr kapaliny, tj. hydrostaticky

tlak ph, nezavisı na smšru a je tedy skalarnı velicinou.

Pri odvozovanı tohoto tvrzenı se predpoklada, ze tlak na stšnach ctyrstšnu ( obr. 3.2) je ruzny

(px , py , pz). Na s ikmou stšnu pusobı tlak p a tudız tlakova sıla dF = p dS. Tento tlak pusobı ve smšru

dF

dFn

dFtdS

Obr.3.1 Pusobenı tlakovych

sil na stšnu nadoby


normaly plochy dS , jez svıra s osami x, y, z ňhly α, β, γ . Ponšvadz tekutina je v klidu, musı by t

splnšny staticke podmınky rovnovahy sil:

∑ ∑ ∑ === ;0;0;0 zyx FFF ∑ ∑ ∑ === 0;0;0 zyx MMM

Ponšvadz tlaky na plochu ctyrstšnu jsou konstantnı, pusobı vysledne tlakove sıly v tšzis tıch

trojňhelnıku. Plochy trojňhelnıku dSx , dSy a dSz jsou prumšty plochy dS , coz platı i o jejıch tšzis tıch.

Take vysledne tlakove sıly se protınajı v jednom bodš a momentove podmınky rovnovahy jsou

splnšny. Stacı tedy uvazovat jen zbyvajıcı podmınky rovnovahy sil. Ve smšru osy x pusobı tlakova sıla

dFx a slozka tlakove sıly dF do smšru osy x, tj. dF cosα . Ostatnı sıly jsou kolme na osu x , a proto

jejich slozky jsou nulove.

Prvnı podmınka staticke rovnovahy sil je dana v nas em prıpadš rovnicı

0cos =− αdFdFx( 3.1)

Po dosazenı drıve uvedenych vyrazu dostaneme

0cos =− αdSpdSp xx

O plochach dS a dSx bylo uvedeno, ze dSx je

prumštem plochy dS , pro ktery platı dSx = dS cosα .

Podmınka rovnovahy sil se upravı pomocı poslednı rovnice

a dostane se pro smšr osy

xpp = ( 3.2 )

Podobnš druhe dvš podmınky rovnovahy sil jsou dany

rovnicemi

βββ cos;cos;0cos dSdSdSpdSpdFdF yyyy =−=−

cili ypp =

γγγ cos;cos;0cos dSdSdSpdSpdFdF zzzz =−=− cili zpp =

Vyplyva tedy z podmınek staticke rovnovahy sil rovnost tlaku na plochach ctyrstšnu

zyx pppp === ( 3.3 )

S ikma plocha dS byla zvolena libovolnš. Vysledek lze zevs eobecnit: Tlak pusobı v danem

mıstš kapaliny vs emi smšry stejnš a nezavisı na sklonu plochy, tzn., ze tlak je skalarnı velicina. Tento

zakon platı obecnš. Je treba poznamenati, ze v jinem mıstš kapaliny bude hodnota tlaku obecnš jina,

matematicky vyjadreno

p = p(x, y, z)

x

y

z

dFx

dSx px

dSy py

dS p

dF α, β, γ

dFy

dSz pz

dFz

Obr.3.2 K odvozenı zakona o s ırenı

tlaku


3.2. Eulerova rovnice hydrostatiky

Obecnym ňkolem hydrostatiky je

urcenı tlaku v libovolnem mıstš tekutiny, ktera

je v rovnovaze, tj. stanovenı skalarnıho pole

p = p(x, y, z). Ukol rozlozıme do etap.

Pomocı Eulerovy rovnice hydrostatiky urcıme

prırustek tlaku v nekonecnš blızkem bodš a

integracı tšchto rovnic podel krivkoveho

integralu stanovıme pak konecny rozdıl tlaku

mezi pocatecnım a konecnym bodem krivky.

Eulerova rovnice hydrostatiky je obecna

podmınka rovnovahy sil pusobıcıch na

kapalinu v klidu. Na kapalinu nech– pusobı

obecnš hmotnostnı sıla Fo a vyslednice tlakovych sil Fp. Rovnovaha sil je vyjadrena rovnicı

0=+ pFF . Na jednotku hmotnosti kapaliny pusobı z vnšjs ku sıla aF=

mo , coz je zrychlenı, ktere se

da rozepsat pomocı slozek zyx kajaia ++=a . Zvolı se elementarnı objem kapaliny ve tvaru

hranolku o stranach dx, dy a dz rovnobšznych se zvolenymi osami x, y, z. Tlakove sıly zpusobene Fo

pusobı na povrchu hranolku, a to ve trech kolmych smšrech. Protoze plos ky jsou nekonecnš male, je

mozne povazovat tlak za konstantnı. Na plos ku dydz pusobı tlakova sıla ve smšru osy x, a proto je

oznacena dFx. Podobnš v ostatnıch smšrech pusobı tlakove sılu dFy na plos ku dxdy a tlakova sıla dFz

na plos ku dxdz. Podmınka rovnovahy vyplyva opšt z obecnych podmınek staticke rovnovahy sil.

Protoze vs echny sıly pusobıcı na hranolek prochazejı jednım bodem (tšzis tšm hranolku), jsou splnšny

momentove podmınky. Ve smšru osy x pusobı na zvoleny hranolek plos ne sıly dFx1 a dFx2 na dvš

plos ky dydz, jejıchz normaly jsou rovnobšzne s osou x. Tlakova sıla na levou plos ku dSx1 je urcena

velikostı plos ky dSx1 a tlakem p, cili platı vztah dFx1 = p dy dz. Na pravou plos ku dydz, ktera je

vzdalena od leve plos ky o delku dx, pusobı tlak p + dpx, nebo– obecnš je tlak kapaliny funkcı polohy p

= p(x, y, z), a tlakova sıla je urcena vztahem dFx2 = (p + dpx) dy dz. Tlak dFx2 pusobı opacnym

smyslem nez je kladny smysl osy x, proto vyslednice uvedenych tlaku je dFpx = dFx1 ř dFx2. Ostatnı

plos ne sıly majı smšr kolmy na osu x, proto jejich slozky jsou nulove a vypocıtana sıla dFpx je

vyslednicı vs ech vodorovnych slozek tlakovych sil. Kromš plos nych sil (tlakovych) pusobı na zvoleny

hranolek kapaliny hmotnostnı sıla. Jejı slozka ve smšru osy x bude dana vztahem dFox = dm ax, kde

dm je hmotnost hranolku kapaliny a ax je slozka zrychlenı (hmotnostnı sıla na jednotku hmoty) ve

smšru osy x. Hmotnost dm se da vyjadrit pomocı objemu hranolku dm = ρ dV = ρ dx dy dz, takze

objemova sıla dFox = ρ ax dx dy dz. Pro rovnovahu sil ve smšru osy x musı tedy platit

0=+ oxpx dFdF , 021 =+− oxxx dFdFdF

( ) 0=++− dzdydxadzdydppdzdyp xx ρ

( 3.4 )

a po ňpravš

p p+dpxdx

dy

axdFx1 dFx2

x

z

y

dxdy

dz

dFx1 dFx2

dFy1

dFy2

x, y, z

dFz1

dFz2

σxσy σz

0

Obr.3.3 K odvozenı Eulerovy rovnice hydrostatiky


0=− xx dpdxaρ ( 3.5 )

Protoze tlak kapaliny je obecnš funkcı polohy, platı p = p(x, y, z) a prırustek tlaku je

dzzpdy

ypdx

xpdp

∂∂

+∂∂

+∂∂

=( 3.6 )

Kazdy clen prave strany poslednı rovnice udava zmšnu tlaku pri diferencialnı zmšnš prıslus nych

souradnic. Jejich fyzikalnı vyznam je tedy prırustek tlaku pri posunutı ve smšru naprıklad osy x, takze

dxxpdpx ∂

∂= . Podobnš v ostatnıch smšrech platı dy

ypdp y ∂

∂= a dz

zpdp z ∂

∂= . Pomocı poslednıch

vztahu se upravı odvozena rovnice rovnovahy sil dosazenım za dpx takto:

0=∂∂

− dxxpdxaxρ

01=

∂∂

−xpax ρ

( 3.7 )

coz je hledana obecna podmınka rovnovahy sil ve smšru osy x.

Pro slozky ve smšru os y a z lze psat zcela analogicky rovnice

01=

∂∂

−ypa y ρ

( 3.8 )

01=

∂∂

−zpa z ρ

( 3.9 )

Poslednı tri rovnice vyjadrujıcı podmınky rovnovahy kapalin za klidu jsou Eulerovy rovnice

hydrostatiky.

Jestlize poslednı rovnice napıs eme vektorovš a secteme, dostaneme jednu rovnici

01=− gradp

ρa

( 3.10 )

kde a je vysledne zrychlenı vnšjs ıho siloveho pole

zyx aaa kjia ++= ( 3.11 )

a gradient tlaku urceny vztahem

zp

yp

xpgradp

∂∂

+∂∂

+∂∂

= kji( 3.12 )

Eulerova rovnice hydrostatiky je zakladnı rovnicı k urcenı tlaku v poli tlakovych sil. Z Eulerovy

rovnice vyplyva, ze tlak v kapalinš zavisı na hmotnostnıch silach. Obecnš lze psati pro zmšnu tlaku

drıve uvedenou rovnici

dzzpdy

ypdx

xpdp

∂∂

+∂∂

+∂∂

=

Ponšvadz gradienty tlaku ve vs ech smšrech se dajı vyjadrit hmotnostnımi silami z Eulerovych rovnic

xaxp

ρ=∂∂

, yayp

ρ=∂∂

, zazp

ρ=∂∂

, je hledana obecna diferencialnı rovnice pro tlak dana vztahem


( )dzadyadxadp zyx ++= ρ ( 3.13 )

Toto je obecna diferencialnı rovnice tlakove funkce p(x, y, z).C leny v zavorce jsou souciny hmotnostnıch sil a prıslus nych posunutı ve stejnem smšru, takze

jejich fyzikalnı vyznam je prace pripadajıcı na jednotku hmotnosti. Integracı poslednı diferencialnı

rovnice se urcı tlakove funkce

( ) ( )zyxpdzadyadxap zyx ,,=++= ∫ ρ( 3.14 )

3.3. Hladinove plochy

Hladinove plochy jsou mısta s konstantnı hodnotou skalarnı veliciny, poprıpadš s tlakem

p = konst.. Prırustek tlaku mezi dvšma body lezıcımi na stejne hladinš musı by t roven nule, coz platı i

pro soumezne body, dp = 0. Dosazenım do (rov.3.13) dostaneme obecnou rovnici hladinovych ploch

v diferencialnım tvaru

0=++ dzadyadxa zyx( 3.15 )

Hladinove plochy jsou vzdy kolme k vektoru intenzity hmotnostnıch sil a . Platı zde dp=0

Dosazenım do (3.13) dp = 0 = ρ a cosψ dr plyne, ze cosψ = 0, a tedy ψ =2π

,S a dr jsou od nuly

rozdılne. Tım je dokazano, ze tlakove plochy jsou kolme na vysledne zrychlenı, tedy na vyslednou

hmotnostnı sılu.

Ve smšru vektoru a , ktery je shodny se smšrem normaly k hladinove roste tlak nejrychleji, nebo–

s

a

ds

a

p = konstλ λ

λ = 90 o

as

Obr.3.4 Rez soumeznymi hladinovymi plochami

bdrdp

dndp

⟩ .( 3.16 )

Hladinove plochy majı v ňlohach hydrostatiky velky vyznam, predevs ım vs ak hladinova

plocha rozhranı mezi okolnım ovzdus ım a kapalinou.

3.4. Rozlozenı tlaku v kapalinů

Na kapalinu v nadobš pusobı z hmotnostnıch sil jen tıze zemska. V libovolnem mıstš kapaliny

bude tlak p(x, y, z) urcen diferencialnı rovnicı (3.13) odvozenou v predchozıch odstavcıch

( )dzadyadxadp zyx ++= ρ .


Za pusobenı jen tıze zemske je ay = -g , ax = az = 0. Zrychlenı tıze zemske je nutno dosadit se

zapornym znamenkem, ponšvadz tıze pusobı opacnym smyslem nez je zvoleny smysl osy y.

Diferencialnı rovnice se tedy zjednodus ı

gdydp ρ−=

a integral je

.konstgyp +−= ρ ( 3.17 )

Integracnı konstanta se urcı z okrajove podmınky. Na rozhranı kapaliny je tlak ovzdus ı.

Pro tuto hladinu platı y = h0 , p = p0. Dosazenım do poslednı rovnice se vypocte integracnı konstanta:

konstghp +−= 00 ρ

z cehoz

00 ghpkonst ρ+=

a hledana zavislost tlaku je

( )yhgpghpgyp −+=++−= 0000 ρρρ

a dosazenım h = y0 ř y se dostane

ghpp ρ+= 0( 3.18 )

kde h je svisla vzdalenost uvazovaneho mısta v kapalinš od hladiny tlaku ovzdus ı. Jestlize uvazovany

bod lezı pod hladinou, je h > 0 (kladne); kdyz je bod vys e nez hladina tlaku ovzdus ı je h < 0(zaporne). Uvedeny vztah platı pro kapaliny, na nšz pusobı tıze zemska, a to nestlacitelne, nebo– pr i

integraci byla mšrna hmotnost povazovana za konstantu.

Tlakove hladiny v kapalinš za

pusobenı tıze zemske jsou vodorovne

roviny. Pri odvozenı rovnic tlakovych hladin

se predpoklada, ze nadoba s tekutinou nenı

rozlehla tak, aby bylo nutne prihlızet

k zakrivenı povrchu zemskeho. Pro nadoby

s malymi plochami vzhledem k zemskemu

povrchu se tedy predpoklada, ze gravitace

pusobı svisle dolu, a to ve vs ech mıstech

nadoby. Za tohoto predpokladu je rovnice tlakovych hladin

Odyg =− , ( 3.19 )

coz vyplyva z obecne diferencialnı rovnice pro tlakove hladiny po dosazenı hmotnostnıch sil

uvazovaneho prıpadu ay = -g , ax = az = 0. Integracı se dostane rovnice tlakovych hladin gy = konst,

coz jsou rovnice vodorovnych ploch: y = konst.Tlak se da vyjadrit absolutnı nebo relativnı hodnotou. Absolutnı tlak je vztazen k absolutnı

nule, tj. k vakuu, zatımco relativnı tlak je vztazen od smluvene hodnoty tlaku, kterym je tlak ovzdus ı.

Platı tedy

y

p0

h

yg

h

0 p

ghρ

x h0

p0

p0

h0

Obr.3.5 Kapalina pri pusobenı sıly tıze zemske


ra ppp += 0 ,

kde pa je absolutnı tlak, pr je relativnı tlak, p0 je tlak ovzdus ı.

Porovnanım s odvozenym vy razem p = p0 + ρgh, vyplyva, ze je to absolutnı tlak. Relativnı tlak

vyvolany ňcinkem sloupce kapaliny je dan vyrazem p = ρgh. K oznacenı absolutnı a relativnı hodnoty

tlaku se nepouzıva indexu a a r, avs ak je treba ňdaj doplnit, o ktery tlak jde. Napr. p = 8. 105 Pa abs.;

p = 7,1. 104 Pa pr. Ponšvadz tlak kapaliny zavisı na vys ce sloupce kapaliny a jejı mšrne hmotnosti:

p = ρgh, lze tlak vyjadrit vys kou kapalinoveho sloupce, tj. stanovit tlakovou vys ku.gph

ρ=

3.5. Pascalu v zakon

Beztızny stav je charakterizovan hodnotou 0=a . Z rovnice ( 3.13 ) dp = 0 a po integraci p =

konst. tj. tlak uvnitr kapaliny je vs ude stejny . U kapalin Ú kapicek Ú to neplatı presnš, nebo– se uplatnı

povrchove napštı.

Obr.3.6 Princip hydraulickeho lisu.

Zvys ımeÚli v urcitem mıstš tlak, treba na

rozhranı kapaliny s jinou fazı zvys ı se i v celem

objemu kapaliny, coz je obsahem Pascalova

zakona: tlak v kapalinš se s ırı rovnomšrnš vs emi

smšry. Toho se vyuzıva napr. u hydraulickych

zvedaku a lisu. Pusobıme-li na maly pıst silou F1,

vyvolame na velkem pıstu sılu F2 > F1. Tlak

v celem objevu kapalin je konstantnı. obecnš vs ak ( )zyxpp ,,=

2

2

1

2

1

2

2

1

121

1

1 .

======

dd

FF

SF

SFFSpp

SF

v

d2

d 1

F2

F1

p = konsthρg << p


4. Tlakove sıly

4.1. Vodorovne rovinne plochy

Tlak v kazdem bodš vodorovneho dna nadoby je stejny p = ρ g h. Je tedy rovnomšrnš rozlozen po

cele plos e a vysledna tlakova sıla je rovna F = p S = ρ g h S. Tlakova sıla pusobı kolmo na plochu.

Soucin h S v poslednı rovnici predstavuje objem kapaliny vyznaceny

v obrazku s rafovanš, protoze Sh⊥ . Lze tedy psat tez rovnici F = ρ g V = Fg.

Vyraz ρ g V predstavuje tıhu objemu V naplnšneho

kapalinou o mšrne hmotnosti ρ. Zatšzuje tedy tıhova sıla Fg = ρ g V plochu S.

TΔleso o objemu V predstavuje tedy zatšzovacı obrazec, ktery je omezen

tšmito plochami:

1) plochou S, na nız pocıtame tlakovou sılu F

2) tlakovou hladinou tlaku ovzdus ı p0= konst3) plas tšm (valce nebo hranolu) vzniklym opsanım prımky rovnobšzne s vyslednicı tlaku F okolo

obrysu plochy S.

Jestlize nadoba ma bocnı stšny jine nez svisle, je vysledna tlakova sıla na dno dana stejnym vyrazem,

nebo– svisla vzdalenost h plochy od hladiny je konstantnı, a tudız tlak na dnš je

p = ρgh =& konst. Podobnš objem zatšzovacıho obrazce uvedene definice bude ve vs ech prıpadech

stejny , takze vysledna tlakova sıla je rovnšz stejna. Nezavisı na tvaru bocnıch stšn nadoby, coz je

hydrostaticke paradoxon.

4.2. S ikme rovinne plochy

Na rozdıl od vodorovnych ploch je na s ikme rovinne stšnš nadoby tlak promšny . Vyslednice

tlakovych sil se urcı integracı elementarnı tlakove sıly na plos ce dS . Na zvolenou plos ku dS pusobı

tlakova sıla dF = ρ g h dS . Vyslednice je pak dana integralem

dShgFS∫= ρ ( 4.1 )

p0

vF

S

h

Obr.4.1 Sıla na dno

vodorovne nadoby

hV V V V

S S S S

p0 p0 p0 p0

Obr.4.2 Hydrostaticke paradoxon a zatšzovacı obrazec


x tpx ( y )

y

yp

xx

y

ST

P

S

h t

p0

F T

dS

α

Obr.4.3 Sıla na s ikmou rovinnou plochu

Pro ňsecky h a x platı na cele plos e S vztah αsin=xh

a po dosazenı do rovnice pro tlakovou

sılu je

yS

MgdSxgF αραρ sinsin == ∫ , nebo– ∫=S

y dSxM je staticky moment plochy S k ose

y. Osa y je urcena prusecnicı hladiny

p0 = konst a bocnı stšny nadoby. Staticky moment plochy S k ose y je tedy urcen vztahem My = S xt

takze vyraz pro tlakovou sılu se upravı

F = ρ g sinα S xt ; nebo– xt sinα = ht , vysledna tlakova sıla na s ikmou rovinnou plochu dana vztahem

SpSghF tt == ρ ( 4.2 )

V poslednı rovnici je ht svisla

vzdalenost tšzis tš plochy S od tlakove

hladiny tlaku ovzdus ı ; podobnš pt je tlak

v tšzis ti plochy. Tlak pt predstavuje strednı

hodnotu tlaku na plos e S. Smšr vyslednice

tlakove sıly F je kolmy na plochu S, to

znamena, ze je totozny se smšrem

normaly k plos e S. Pusobis tš tlakove sıly

na s ikmou plochu je vys etrovano pozdšji.

Drıve se odvodı vyraz pro tlakovou sılu na

rovinnou s ikmou plochu pomocı objemu

zatšzovacıho obrazce. Tlakova sıla na element s ikme roviny je dF = ρ g h dS, jak bylo uvedeno drıve.

Aby soucin h dS predstavoval elementarnı objem dV, musı by t h kolme na dS. Sklopenım vys ky h do

smšru normaly plochy S se dostane hranolek o zakladnš dS a vys ce h, jehoz objem je dV. Soucet

vs ech objemovych elementu nad celou plochou S urcuje objem V, nebo–

gVdVgdShgF ρρρ =∫=∫= Sklopene vys ky h urcujı sklopenou hladinu (p0), ktera je rovinna. K

jejımu urcenı stacı sklopit vy s ku h v libovolnem bodš pod hladinou do smšru normaly k plos e. Spojnice

0

S

h

V

90o

h

PF dS

p0

( p 0 )

Obr.4.4 Definice zatšzovacıho obrazce


tohoto bodu s prusecıkem hladiny a s ikme roviny urcuje sklopenou hladinu x. Plas – zatšzovacıho

objemu tšlesa. V je vytvoren prımkami rovnobšznymi s normalou k plos e S, jenz opıs ı obrys plochy S.

Pro tlakovou sılu na s ikmou rovinnou plochu je tedy mozno psat F = ρgV .

Objem zatšzovacıho obrazce V se vypocte jako objem skoseneho valce nebo hranolu a je urcen

tšmito plochami:

1) plochou S

2) hladinovou plochou (p0 = konst) sklopenou (sestrojı se sklopenım vys ky h libovolneho bodu plochy

S po hladinou do smšru normaly, tj. do smšru vyslednice tlaku, a spojenım jejıho konce

s prusecıkem 0)

3) plas tšm vytvorenym prımkami rovnobšznymi s tlakovou sılou F nad obrysem plochy S

Objem V skoseneho hranolu se urcı jako soucin zakladny S a vys ky ht v tšzis ti plochy S, neboli

V = S ht.

Pusobis tš P tlakove sıly se da urcit pocetnš. Moment elementarnıch tlakovych sil k ose y je dan

rovnicı dMy = x dF. Vysledny moment tšchto elementarnıch tlakovych sil musı byt stejny jako moment

vyslednice tlakove sıly. Platı tedy

∫ ∫∫ =====S S

yS

ypy JgdSxgxdFdMFxM αραρ sinsin 2 ,

z cehoz

y

y

y

yyp M

JgSgJ

FgJ

x ===αρ

αραρ

sinsinsin ( 4.3 )

Jy moment setrvacnosti plochy S k ose y

My staticky moment plochy S k ose y

Podle Steinerovy všty je Jy = Jyt + Sxt2, takze

y

ytt

t

tyt

y

tytp M

Jx

SxSx

SyJ

MSxJ

x +=+=+

=22

Vzdalenost pusobis tš P tlakove sıly od tšzis tš plochy je

y

yttp M

Jxxx =−=∆

( 4.4 )

Protoze prava strana rovnice je vzdy kladna, je 0⟩px . To znamena, ze pusobis tš P tlakove sıly na

s ikmou rovinnou plochu je vzdy pod tšzis tšm T.

Podobnš se urcı druha souradnice pusobis tš tlakovych sil z momentu k ose x:

∫ ∫∫ =====S S

xyS

xpx JgxydSgydFdMFyM αραρ sinsin

y

xy

y

xyxyp S

JgSgJ

FgJ

y ===αρ

αραρ

sinsinsin ( 4.5 )

Jxy je deviacnı moment plochy S k osam x, y,

My staticky moment plochy S k ose y.


Nškdy je treba urcit slozky tlakove sıly na s ikmou rovinnou plochu, a to ve vodorovnem a

svislem smšru. Tyto slozky se mohou urcit rozkladem vyslednice Fx = Fsinα a podobnš Fy = Fcosα

nebo se urcı prımo, aniz se pocıta vyslednice.

Pro elementarnı svislou slozku dFy platı

yyy gdVghdSghdS ρραρ === cosdF ( 4.6 )

Integracı se dostane Fy = ρgVy, kde objem Vy zatšzovacıho obrazce je podle obrazku urcen:

1) plochou S

2) hladinovou plochou p0 = konst

3) plas tšm vytvorenym svislymi prımkami (= rovnobšznymi se slozkou tlakove sıly Fy) nad obrysem

plochy

Zatšzovacı obrazec Vy je zkosene tšleso. Pusobis tš svisle slozky tlakove sıly Fy je dano tšzis tšm

objemu Vy zatšzovacıho obrazce. Podobnš pro elementarnı vodorovnou slozku tlakove sıly dFx platı

xx gdVghdSghdS ρραρ === sindFx( 4.7 )

Aby soucin hdSx predstavoval elementarnı objem dVx, musı byt vys ka h a plos ka dSx na sobš kolme.

Proto se vys ky sklapšjı do vodorovneho smšru (tj. do smšru uvazovane slozky Fx).

Vx

dVx

Sx

(p )0V

xS

dVx

(p )0

p 0p 0p 0

dVyV

y

S

αα

dSy

dSx

dS αβ

Obr.4.5 Zatšzovacı obrazec pro slozky tlakove sıly

4.3. Tlakova sıla na krive plochy

Na krive plos e je tlak kapaliny v libovolnem mıstš urcen vyrazem p = ρgh. Na zvoleny plos ny

prvek pusobı tlakova sıla dF = ρghdS ve smšru kolmem na dS. Vektorovym souctem tšchto

elementarnıch tlakovych sil po cele krive plos e se dostane vyslednice tlakove sıly na krivou plochu.

K integraci je zapotrebı analytickeho vyjadrenı ploch a rovnšz zavislost pro vys ku, coz vede zpravidla

ke zdlouhavym vypoctum.

Vx

dVx

Sx

(p )0V

xS

dVx

(p )0

p 0p 0p 0

dVyV

y

S

Obr. 4.6 Slozkova metoda urcenı zatšzovacıho obrazce


Pri vypoctu tlakovych sil na krive plochy se pouzıvajı dvš metody, a to slozkova a metoda nahradnıch

ploch.

Slozkova metoda spocıva v tom, ze se urcı nejdrıve slozky ve zvolenych smšrech, zpravidla svisla a

vodorovna. Na zvoleny plos ny prvek dS pusobı elementarnı svisla slozka tlakove sıly dFy = dFcosβ =

ρghdScosβ = ρghdSy = ρgdVy. Vysledna svisla slozka tlakove sıly Fy se dostane integracı

yS

yS

yy gVdVghdSgF ρρρ === ∫∫ ( 4.8 )

Svisla slozka Fy je urcena tıhou zatšzovacıho obrazce Vy.

Jak je patrne z obrazku, objem Vy je urcen stejnym zpusobem jako u s ikme roviny s tım rozdılem, ze

mısto nı je kriva plocha.

Objem Vy je tedy omezen tšmito plochami:

1) krivou plochou S

2) tlakovou hladinou tlaku ovzdus ı p0 = konst

3) plas tšm vytvorenym svislymi prımkami (= rovnobšznymi se slozkou tlakove sıly Fy) nad obrysem

plochy

Pusobis tš svisle slozky tlakove sıly na krivou plochu je v tšzis ti objemu Vy zatšzovacıho obrazce.

Podobnš lze urcit vodorovnou slozku tlakove sıly Fx

xS

xS

xSS

xx gVdVghdSghdSgdFF ρρραρ ===== ∫∫∫∫ cos ( 4.9 )

Soucin hdSx predstavuje objem dVx, jestlize vys ka h je kolma na prumšt plochy dSx. Proto se v kazdem

bodš krive plochy sklopı svisla vys ky h (= svisla vzdalenost od tlakove hladiny tlaku ovzdus ı) do

vodorovneho smšru, cımz je xdSh⊥ . Aby vypocet objemu Vx byl snadnšjs ı, posunou se elementarnı

objemy dVx do libovolnš zvolene svisle roviny. Ponšvadz posunutım se objemy nemšnily co do

velikosti, je takto upraveny objem Vx stejnš velky jako puvodnı. Zatšzovacı obrazec tvorı skoseny

valec nebo hranol. Jejich zakladnou je prumšt krive plochy do svisle roviny. Tım se dospšlo k velmi

dulezitemu poznatku o tlakove sıle na krive plochy:

Vysledna vodorovna slozka tlakove sıly na s ikmou rovinnou plochu je dana integracı, cili

Fx = ρg ∫s

xhdS = ρgVx , kde objem Vx zatšzovacıho obrazce je dan tšlesem skosenym dvšma

nerovnobšznymi rovinami. Posunutım elementarnıch objemu do libovolnš zvolene svisle roviny

premšnı se tvar tšlesa, aniz by se zmšnila jeho velikost. Je to skosene tšleso, jehoz zakladnou je

prumšt Sx s ikme roviny do roviny kolme na smšr vyslednice. Objem skoseneho tšlesa se urcı jako

soucin zakladny a vys ky v jejım tšzis ti. Vodorovna slozka tlakove sıly na s ikmou rovinu se rovna

tlakove sıle na jejı prumšt do roviny kolme na uvazovanou slozku.

Pusobis tš vodorovne slozky tlaku je v tšzis ti zatšzovacıho obrazce o objemu Vx.

Vyslednice tlakove sıly na krivou plochu se dostane vektorovym souctem vodorovne a svisle slozky.

Ponšvadz jsou slozky na sobš kolme, platı v prostoru


222zyx FFFF ++= prıpadnš pro rovinnou ňlohu 22

yx FFF += . ( 4.10 )

Smšr vyslednice tlakovych sil je dan vztahem x

y

FF

tg =α . Vyslednice tlakove sıly F prochazı

prusecıkem jejıch slozek Fx, Fy.

Sn

F

S

G

Fn

p0

n2S

Sn1

Gá

F

Fn

Fn1

Fn2

-G

-G'

G

Fn

F

p0

S

Sn

G

Fn

F

Obr. 4.7 Metoda nahradnıch ploch

Metoda nahradnıch ploch spocıva v tom, ze se kriva plocha nahradı jednou nebo vıce rovinnymi

plochami, a to tak, aby s krivou plochou uzavıraly objem V. Vypocıta se tlakova sıla na nahradnı

plochu Fn. Nahrazenım krive plochy rovinnymi plochami se pridal objem kapaliny V, takze tıhovy

ňcinek tohoto objemu kapaliny je zahrnut v tlakove sıle na nahradnı plochu.

Ve skutecnosti tıha kapaliny G = ρgV nepusobı na krivou plochu, a proto je treba ji odecıst od

vysledne tlakove sıly na nahradnı plochu Fh. V opacnem prıpadš, kdy se nahradnı plochou ubral od

zatšzujıcıho obrazce objem kapaliny V, jehoz tıha pusobı na krivou plochu, je nutno k vyslednici

tlakove sıly na nahradnı plochu Fh pr icıst tıhovy ňcinek kapaliny G.

Vyslednice tlakove sıly je dana vektorovym souctem tlakove sıly na nahradnı plochu Fn a tıhy G:

GFF += n .

Aby objem V (pridany nebo ubrany) a tım tıha kapaliny G byla jednoznacnš urcena, je treba

spravnš volit nahradnı plochu, aby s krivou plochou uzavıraly obrazec o objemu V.

Nahradnı plochy je mozno volit libovolne, jednu nebo vıce. Volı se tak, aby vypocet slozek nahradnıch

tlakovych sil byl co nejjednodus s ı.

4.4. Sıly na tů lesa ponorena do kapaliny

Na tšleso ponorene do kapaliny pusobı obecnš sıly ve trech na sobš kolmych smšrech, tj.

napr. ve svislem smšru a ve dvou smšrech vodorovnych na sebe kolmych. Ponšvadz vodorovne

slozky tlakove sıly na tšleso se vypoctou stejnš jako vodorovne slozky tlakove sıly na krivou plochu,

urcı se nejdrıve prumšty povrchu ponoreneho tšlesa. Protoze se dostane dvojnasobny prumšt z obou


stran tšlesa, bude vyslednice vodorovnych tlakovych sil na tšleso z obou stran stejnš velka, stejneho

smšru, ale opacneho smyslu, takze se tuhostı tšlesa rus ı. To platı o obou vodorovnych slozkach

tlakovych sil. Ve svislem smšru bude pusobit na zvoleny objem dV tšlesa, jez je valecek, svisla slozka

tlakove sıly, jejız velikost je dana souctem tlakovych sil na plos ky dSy (zakladny valecku dV). Na hornı

cast valecku pusobı tlakova sıla dF1 = ρgh1dSy, podobnš na spodnı cast dF2 = ρgh2dSy, takze

vyslednice svisle tlakove sıly je dFy = dF2 ř dF1 = ρg(h2 ř h1)dSy = ρghdSy = ρgdV = dGk, z cehoz je

patrno, ze tlakova sıla kapaliny ve svislem smšru na prvek tšlesa o objemu dV se rovna tıze kapaliny,

ktera je tımto elementem vytlacena. Vysledna tlakova sıla na cele tšleso se dostane integracı, coz je

soucet elementarnıch tlakovych sil, neboli Fv = ρgV = Gk.

Vysledek je znamy Archimeduv zakon: Na tšleso ponorene do kapaliny pusobı vztlakova sıla

rovna tıze kapaliny tšlesem vytlacene.

Na tšleso ponorene do kapaliny pusobı dvš sıly, a to

vztlakova sıla Fv v tšzis ti objemu vytlacene kapaliny, a vlastnı

tıha tšlesa G, pusobıcı v tšzis ti tšlesa.

Podle vyslednice F = Fv ř G, ktera pusobı na tšleso

ponorene v kapalinš, mohou nastat obecnš tri prıpady:

G > Fv Ú tıha tšlesa je všts ı nez vztlakova sıla, takze

vyslednice pusobı ve smšru svislem dolu a tšleso klesa ke

dnu.

G = Fv Ú tıha tšlesa je v rovnovaze se vztlakovou silou,

vyslednice je nulova a tšleso setrvava v libovolne poloze Ú vznas ı se v kapalinš.

G < Fv Ú vlastnı tıha tšlesa je mens ı nez vztlakova sıla, takze vyslednice pusobı svisle nahoru a

tšleso vznas ı k hladinš. Vynorenım tšlesa se zmens ı vztlakova sıla az nastane

rovnovaha s vlastnı tıhou tšlesa, ktere plave.

dVV

dF2

dF1

h

p0

hh

2

1

Obr. 4.8 Vztlak tšlesa


5. Relativnı pohyb kapalinyPri pohybu nadoby s kapalinou mohou nastat prıpady, kdy kapalina je vuci stšnam nadoby

v klidu. Na kapalinu pusobı dals ı hmotnostnı sıly, a to setrvacna od vlastnıho pohybu nadoby s

kapalinou, ktere je nutno zahrnovat do podmınek hydrostaticke rovnovahy. V dals ım jsou probrany

dva jednoduche prıklady relativnıho klidu kapaliny.

a

x

p0

p0

V

0

g

-a

y

-x 0,5 ll

α'

αh

λ

λ = 90 o V = konst

h'

h''

y

h0

Obr.5.1 Kapalina v relativnım klidu, prımocary, rovnomšrnš

zrychleny pohyb

5.1. Pohyb prımocary, rovnomů rnů zrychleny

Nadoba se s kapalinou pohybuje prımocare rovnomšrnš zrychlenš ve vodorovne rovinš. Na

kazdou castecku kapaliny v nadobš pusobı ve svislem smšru tıze zemska ay = - g a ve vodorovnem

smšru setrvacne zrychlenı ax = - a. Diferencialnı rovnice hladinovych ploch je v tomto prıpadš

0=−− gdyadx ( 5.1 )

a jejı integral

konstgyax =+ ⇒ αxtgkonstxgakonsty −=−= .

( 5.2 )

Hladinove plochy jsou roviny sklonšne, svırajıcı s vodorovnou rovinou (kladna poloosa) ňhel

α. Z rovnice hladinovych ploch je

( ) ααα tgtggatg −=−°−=−= '180' neboli ( )°=+= 180', ααα

gatg

( 5.3 )

Z poslednıho vyrazu vyplyva rovnšz, ze hladinove plochy jsou kolme na vyslednici

hmotnostnıch sil pusobıcıch na kapalinu. Pro stanovenı tlaku v kapalinš je treba znat aspon v jednom

mıstš (tj. alespon na jedne hladinove plos e) velikost tlaku. Zpravidla jım byva rozhranı kapaliny

s ovzdus ım (p0 = konst), jehoz poloha je zavisla na objemu kapaliny v nadobš. Nenı-li nadoba zcela

naplnšna a nevytece-li kapalina bšhem pohybu ani castecnš, musı byt jejı objem Vk v nadobš za

pohybu stejny jako pred pohybem(Vk = konst). Sklonšnım hladiny v jedne casti (prave) nadoby ubude


kapalina, ve druhe (leve) zase pr ibude. Celkova zmšna objemu kapaliny musı by t nulova, proto ňbytek

a prırustek objemu musı byt stejnš velky. V prıpadech, kdy nadoba je valcova nebo ma tvar hranolu

se zakladnou symetrickou k ose kolme na smšr pohybu, protına se rozhranı kapaliny s ovzdus ım

v polovinš delky nadoby. Poloha hladinove plochy tlaku ovzdus ı se tedy urcı z podmınky Vk = konst.

V prıpadš, kdy zrychlenı je velke, vystoupı

rozhranı kapaliny s ovzdus ım (p0 = konst) nad okraj

nadoby a cast kapaliny vytece z nadoby. To vyvola

klesanı hladiny. Pokles hladiny ustane az hladina bude

prochazet hranou, pres nız kapalina zacala vytekat.

Hladinova plocha tlaku ovzdus ı prochazı tedy v tomto

prıpadš mıstem, pres ktere kapalina zacala vytekat

(Vk ≠ konst).Tlak kapaliny v libovolnem mıstš se vypocte

z diferencialnı rovnice tlakova funkce, do nız se dosadı

drıve uvedene podmınky ax = -a ; ay = -g

( ) ( ) konstgyaxpgdyadxdp +−−=−−= ρρ ; ( 5.4 )

Pro zvoleny pocatek souradnic (uprostred dna nadoby) je integracnı konstanta dana touto

okrajovou podmınkou: v mıstš y = h0 ; x ≠ 0, je relativnı tlak p = 0; je tedy konst = ρgh0 a tlak

v libovolnem mıstš nadoby je urcen tlakovou funkcı

−−= x

gayhgp 0ρ

( 5.5 )

Protoze

yhhxgaxtgh −=′′−=−=′ 0;α

je

( ) ghhhgp ρρ =′+′′= ( 5.6 )

Tento vyraz je formalnš shodny s tlakem v kapalinš, na niz pusobı jen tıze zemska. Avs ak

velicina h je svisla vzdalenost uvazovaneho bodu od hladiny tlaku ovzdus ı, coz je sklonšna rovina.

Tento poznatek se da zobecnit. Vys etrenım hladiny tlaku ovzdus ı (rozhranı kapaliny a ovzdus ı) stava

se relativnı klid kapaliny prıpadem hydrostatickym, a lze proto pouzıt vs echny drıve odvozene

poznatky o vypoctu tlaku, tlakove sıle na plochy apod.

5.2. Pohyb rovnomů rny, otacivy

Valcova nadoba naplnšna zcasti kapalinou se otacı rovnomšrnš kolem svisle osy.

Predpoklada se, ze vs echny castecky kapaliny se pohybujı unas ivou rychlostı odpovıdajıcı polomšru,

na kterem se nachazı. Pri otacivem pohybu pusobı na kazdou castecku kromš tıze zemske odstredive

zrychlenı(u = rω). I kdyz jde o prostorovy pohyb, lze res it tento relativnı klid kapaliny v rovinš, protoze

V = konst

p0

aα α

Obr. 5.2 Hladinova plocha a jejı poloha


je stejny ve vs ech rovinach, ktere prochazejı osou rotace. Odstredive zrychlenı pusobıcı na castecku

kapaliny na polomšru r je ac = r ω2. Jeho velikost se mšnı s polomšrem, a proto vyslednice zrychlenı

bude na ruznych valcovych plochach ruzna jak co do velikosti, tak i smšru. Je snadne odhadnout, ze

v tomto prıpadš hladinove plochy nebudou rovinami.

Protoze zrychlenı jsou2ωrar = , ay = -g ( 5.7 )

je diferencialnı rovnice hladinovych ploch

rω2dr ř gdy = 0. Jejı integral je

konstgyr=−

2

22ω;

( 5.8 )

K urcenı integracnı konstanty je okrajova

podmınka

r = 0 , y = h0 , cili konst = - gh0 a rovnice

hladinovych ploch pro zvoleny pocatek

souradnic je

( ) 02 0

22

=−− hygr ω ( 5.9 )

coz je rovnice paraboly. Hladinove plochy jsou rotacnı paraboloidy. Vys ka paraboloidu H mšrena na

plas ti valcove nadoby, tj. na polomšru r = R se urcı z poslednı rovnice

gu

gRhyH R

R 22

222

0 ==−=ω (5.10)

Z teze rovnice se dostane vys ka paraboloidu hr na libovolnem polomšru r

Vk

Vp

Vk

Vp

HH

H

22

-

Obr. 5.4 K urcenı polohy hladinove plochy

gu

grhyh r

r 22

222

0 ==−=ω ( 5.11)

Vys ka rotacnıho paraboloidu na urcitem polomšru je rovna rychlostnı vys ce na tomtez

polomšru. Hladinova plocha tlaku ovzdus ı se urcı stejnš jako v predchazejıcım prıpadš. Jestlize

z nadoby nemuze kapalina vytekat, musı by t objem kapaliny pred pohybem a za pohybu stejny . Pred

pohybem je v nadobš objem kapaliny Vk = SH0 . Za pohybu je objem Vk = S(h0+H) ř Vp , kde Vp znacı

y

p0

r

H0

ho

H

H2

H2

y

h'

g

r 2

h

rD = 2R

hr

ar

ω

Obr. 5.3 Relativnı klid, rovnomšrne otacenı kol

osy nadoby


objem rotacnıho paraboloidu, ktery se rovna polovicnımu objemu opsaneho valce, cili Vp = 21

SH .

Z poslednıch rovnic vyplyva pri rovnosti objemu

( ) SHHhSSH21

00 −+=

HhH21

00 =−( 5.12 )

To znamena, ze puvodnı hladina tlaku ovzdus ı za klidu pulı vys ku paraboloidu H,

predstavujıcıho novou hladinu tlaku ovzdus ı.

Tlak v kapalinš se urcı z diferencialnı rovnice tlakove funkce

dp = ρ (rω2dr ř gdy)

Po integraci je tlakova funkce

+−= konsty

grgp2

22ωρ

( 5.13 )

Okrajova podmınka, ktera se stanovı po urcenı nove hladinove plochy tlaku ovzdus ı, pro r =

0, y = h0 je p = 0, cili integracnı konstanta je konst = h0. Tlakova funkce je tedy

+−=

gryhgp2

22

0ω

ρ( 5.14 )

Protoze vys ka paraboloidu na polomšru r je hr = g

r2

22ω a hč = h0 ř y , upravı se tlak rovnice pro tlak

kapaliny

( ) ghhhgp r ρρ =′+= ( 5.15 )

kde h je opšt svisla vzdalenost daneho mısta od hladinove plochy tlaku ovzdus ı za rotace. Tento

vysledek je shodny jako v predchazejıcım prıpadš pohybu.

Rovnici p = ρgh je mozno povazovat za obecny integral diferencialnı rovnice pro tlak funkci.

Pro velicinu h platı drıve uvedena definice. K jejımu spravnemu urcenı je nutno vys etr it hladinove

plochy (odpovıdajıcı relativnımu klidu) hlavnš hladinovou plochu tvorıcı rozhranı kapaliny s ovzdus ım

(p0 = konst). Z toho vyplyva prakticky vyznam hladinovych ploch. Je treba pripomenout, ze pri vypoctu

tlakovych sil omezuje tataz hladinova plocha zatšzovacı obrazec.

Muze-li kapalina bšhem pohybu zcasti vyteci z nadoby, nalezne se poloha hladinove plochy

tlaku ovzdus ı stejnš jak bylo urceno drıve: musı prochazet mıstem, kde kapalina zacala pretekat, tj.

hornım okrajem nadoby.

5.3. Potencial intenzity objemovych sil

Chceme-li stanovit tlak v bodš B, pri znamem tlaku v bodš A, pak integrujeme Eulerovu rovnici

hydrostatiky podle krivky spojujıcı body A a B:


( )∫∫ ++=−=B

AzyxAB

B

A

dzadyadxappdp ρ

Z teorie vıme, ze vysledek integrace nezavisı na draze, je-li vyraz v zavorce ňplnym

diferencialem skalarnı funkce U(x,y,z)

ρdpdzadyadxadU zyx =++= dz

zUdy

yUdx

xUdU

∂∂

+∂∂

+∂∂

=( 5.16 )

Tuto funkci nazyvame potencialem intenzity objemovych sil (resp. potencialem relativnıho zrychlenı).

a) Je-li dana potencialnı funkce U = U(x,y,z), pak lze prırustek stanovit snadno jako prırustek

potencialu nasobeny hustotou, aniz bychom museli res it krivkovy integral, nebo–

( )AB

U

UAB

pB

pA

UUdUppdpB

A

−==−= ∫∫ ρρ( 5.17 )

Pricemz se predpoklada, ze objemove sıly se nahradı potencial fci U, pro niz platı

zUa

yUa

xUa zyx ∂

∂=

∂∂

=∂∂

= ;; neboli a = gradU( 5.18 )

nebo– platı

dU = ρdp

= axdx + aydy + azdz

Rovnice ( 5.18 ) dostaneme porovnanım obou poslednıch rovnic.

b) Jsou-li dany slozky vektoru intenzity hmotovych sil

ax = ax(x,y,z), ay = ay(x,y,z), az = az(x,y,z)ptame se, zda v tomto prıpadš existuje potencial U(x,y,z). Je-li dU ňplnym diferencialem, pak pro

smıs ene derivace platı rovnice

zxU

xzU

yzU

zyU

xyU

yxU

∂∂∂

=∂∂

∂∂∂

∂=

∂∂∂

∂∂∂

=∂∂

∂ 222222

;;( 5.19 )

Vezmeme-li v ňvahu rov. ( 5.18 ) dostavame pro existenci potencialu i relativnı rovnovahy tyto

tri podmınky:

za

xa

ya

za

xa

ya xzzyyx

∂∂

=∂∂

∂∂

=∂

∂

∂

∂=

∂∂

;;( 5.20 )


HydrodynamikaHydrodynamika se zabyva pohybem kapalin neboli proudšnım. Hydrodynamika v uzs ım

smyslu slova res ı teoreticky proudšnı kapalin matematickymi metodami. Aplikovana hydrodynamika

prihlızı vıce na skutecne pomšry, opıra se o vysledky experimentalnıch pracı a vyuzıva teoreticke

poznatky a je nazyvana tez hydraulikou.

6. Klasifikace proudů nı a zakladnı pojmy

6.1. Zakladnı pojmy

Proudšnı se vys etruje v prostoru, rovinš nebo po krivce buť sledovanım pohybu urcite castice

kapaliny jako hmotneho bodu, nebo se sleduje cely proud v urcitem casovem okamziku.

Draha neboli trajektorie je obecnš carou, kterou probıha castice tekutiny. Za ustaleneho

proudšnı se drahy castic nemšnı s casem, zatım co u neustaleneho proudšnı mohou by t v kazdem

casovem okamziku odlis ne Ú obr.6.1.

S1

S2

S3

p

v

t

v = 0n

x0

y dydx = v x

v y

dx dy

v y

v x

p

Obr.6.1 Draha castice pri

neustalenem proudšnı

Obr.6.2 Proudnice Obr. 6.3 Proudnice a slozky

rychlosti

Proudnice p obr. 6.2 jsou obalkou vektoru rychlostı a jejich tecny udavajı smšr vektoru

rychlosti. U neustaleneho prudšnı vytvarejı proudnice ruzne castice a nejsou totozne s drahami castic.

U ustaleneho proudšnı se nemšnı rychlosti s casem, a proto majı proudnice stale stejny tvar a jsou

totozne s drahami castic. Matematicke vys etrenı proudnice je mozne res enım diferencialnı rovnice,

zyx vyvdzdydx :::: = ( 6.1)

ktera vyplyva z podobnosti trojňhelnıku slozek rychlosti a elementarnıch drah ve smšru prıslus nych os

obr.6.3.

Proudova trubice je tvorena svazkem proudnic, ktere prochazejı zvolenou uzavrenou krivkou

k. Plas – proudove trubice ma stejne vlastnosti jako proudnice Úobr. 6.4. Protoze smšr rychlosti je dan

tecnami k proudnicım, je v kazdem bodš plas tš proudove trubice normalova slozka rychlosti nulova

vn=0. Nemuze tedy zadna castice projıt proudovou trubici. Proudova trubice rozdšluje prostorove

proudove pole na dvš casti.


Jednu tvorı vnitrek proudove

trubice. C astice tekutiny nemohou

pretekat z jedne casti proudoveho pole do

druheho, a proto platı, ze vs echny castice

protekajıcı prurezem S proudove trubice,

musı protekat libovolnymi prurezy S1, S2,

teze proudove trubice. Jestlize prurez

proudove trubice S→0, dostane se

proudove vlakno. Proudova trubice

predstavuje pomyslne potrubı.

6.2. Rozdů lenı proudů nı

Proudšnı kapalin je mozno rozdšlit podle nškolika hledisek:

A) Podle fyzikalnıch vlastnostı kapalin

1. proudšnı idealnı (dokonale) kapaliny:

a) potencialnı proudšnı (nevırive) Ú obr. 6.5 Ú castice se pohybujı prımocare nebo krivocare

po drahach tak, ze vuci pozorovateli se neotacejı kolem vlastnı osy. Natocenı castice na

krive draze je kompenzovano stejnš velkym natocenem castice kolem vlastnı osy, ale

v opacnem smyslu. Mezi potencialnı proudšnı patrı rovnšz potencialnı vır, u nšhoz

castice krouzı kolem vıroveho vlakna potencialnš s vy jimkou castice, ktera tvorı vlakno.-

obr- 6.6.

b) vırive proudšnı Ú castice se vuci pozorovateli natacejı kolem vlastnıch os Ú obr 6.7

s s

Obr.6.5 Potencialnı proudšnı Obr. 6.6 Potencialnı vır Obr.6.7 Vırive proudšnı

2. proudšnı skutecnych (vazkych) kapalin:

a) laminarnı proudšnı Ú castice se pohybujı ve vrstvach (deskach), aniz se premıs–ujı po

prurezu Ú obr. 6.8

b) turbulentnı proudšnı, kde castice majı kromš postupne rychlosti turbulentnı (fluktuacnı)

rychlost, jız se premıs–ujı po prurezu.- obr. 6.9

p

pk

k1

k2

S

S1

S2

Qv0

Qv

Qv0

Qv0

Qv

Qv0

Obr.6.4 Proudova trubice


S2

S1

v1'v1

v2 v2'

Obr.6.8 Laminarnı proudšnı Obr.6.9 Turbulentnı proudšnı

B) Podle kinematickych hledisek:

1. podle usporadanı proudšnı v prostoru:

a) proudšnı trırozmšrne neboli prostorove Ú 3D- veliciny, napr. rychlost, jsou urceny polohou

v prostoru v=v(x,y,z)

b) proudšnı dvourozmšrne neboli rovinne Ú 2 D - v=v(x,y)

c) proudšnı jednorozmšrne Ú 1D - v=v(s) Ú proudšnı po krivce s

2. podle zavislosti na case:

a) proudšnı ustalene (stacionarnı) , ktere je nezavisle na case v ≠ v (t); 0=∂∂t

b) neustalene proudšnı (nestacionarnı ), u nšhoz veliciny jsou zavisle na case Ú v= (x,y,z,t);

v = v(s,t); v = v(t).

6.3. Druhy proudů nı skutecnych tekutin

Jak jiz bylo uvedeno drıve, skutecna tekutina muze proudit buť laminarnš nebo turbulentnš.

Existenci obou proudšnı nazornš ukazuje Reynoldsuv pokus Ú obr. 6.10. Do proudıcı tekutiny

v kruhovem potrubı se privadı tenkou trubickou obarvena tekutina. Pri malych rychlostech proudu

zustane barevne vlakno neporus eno, z cehoz vyplyva, ze pohyb se dšje ve vrstvach a castice

tekutiny se nepromıchavajı.

Zvšts ı-li se rychlost nad jejı kritickou hodnotu, dochazı k intenzivnımu mıs enı castic

nasledkem jejich podruznych (turbulentnıch) pohybu ve vs ech smšrech. C astice tekutiny neustale

prechazejı z jedne vrstvy do druhe, pricemz dochazı k vymšnš kineticke energie a jejich rychlosti po

prurezu se znacnš vyrovnavajı. Takove proudšnı je turbulentnı. Protoze pri premıstšnı castic

laminarnı turbulentnı

Re < Rek = 2320 Re > Rek = 2320Barvivo Barvivo

Obr. 6.10. Reynoldsuv pokus


dochazı tez ke zmšnš hybnosti, coz se projevuje brzdıcım ňcinkem, bude vysledny odpor proti

pohybu všts ı nez odpovıda smykovemu napštı od vazkosti pr i laminarnım proudšnı.

Oba druhy proudšnı se lis ı jak rychlostnım profilem tak i velikostı hydraulickych ztrat. U

laminarnıho proudšnı v potrubı je rychlostnı profil rotacnı paraboloid. U turbulentnıho proudšnı se

rychlosti castic vyrovnavajı intenzivnım premıs–ovanım spojenym s vymšnou kineticke energie.

Rychlostnı profil turbulentnıho proudu v potrubı se proto vıce podoba obdelnıku, a to tım vıce, cım

všts ı je turbulence, tj. cım všts ı je Re cıslo Ú obr. 6.11.

laminarnı turbulentnı

v v

0 v

pz

l

t

~ v

~ v 2

Obr. 6.11 Rychlostnı profil v potrubı Obr. 6.12 Zavislost pz = f (v)

U laminarnıho proudšnı je hydraulicky odpor proti pohybu linearnš zavisly na rychlosti, u

turbulentnıho prudšnı je zavisly na druhe mocninš rychlosti Ú obr. 6.12.

Pomšry, pri nız dochazı ke kvalitativnım zmšnam rychlostnıho profilu a zavislosti odporu, tj. pri

prechodu laminarnıho proudšnı v turbulentnı, jsou pro urcite potrubı a tekutiny dany kritickou

rychlostı. Z pokusu i teorie podobnosti vyplyva, ze prechod laminarnıho proudšnı v turbulentnı je

urceno Reynoldsovym kritickym cıslem. Reynoldsovo cıslo jak bude odvozeno v kap. 18 je

definovano vztahem υvd

=Re , kde v je strednı rychlost tekutiny, d je charakteristicky rozmšr (napr.

pri proudšnı v potrubı jeho prumšr) υ je kinematicka vazkost proudıcı tekutiny. Pro proudšnı

v kruhovem potrubı kriticka hodnota Reynoldsova cısla je Re = 2320.

Pri proudšnı skutecne tekutiny mezi dvšma rovinnymi deskami (obr. 6.13) z nichz jedna se

pohybuje rychlostı u a druha stojı, majı castice lpıcı na povrchu desek jejich rychlosti. To znamena,

ze na pohybujıcı se desce ma castice kapaliny rychlost u, zatımco na stojıcı je rychlost castice

nulova. Pro ostatnı castice kapaliny, ktere proudı v mezere mezi deskami, jsou rychlosti rozlozeny

linearnš. Pohybujıcı se castice strhava sousednı castice do pohybu v dusledku vazkeho trenı.

Rychlost castice ve vzdalenosti y od stojıcı desky bude hyuv = . Smykove napštı od vazkosti je

podle Newtona vyjadreno vztahem

hu

dydv

ηητ == ( 6.2)


v

u

ydyh

dv

u

0

y

vτs

ϕtg ϕ = ( )dv

dy y=0

v

Obr. 6.13 Rozlozenı rychlosti pr i laminarnım

proudšnı mezi dvšmi deskamiObr. 6.14 Rychlostnı profil a tecne napštı

Trecı sıla Ft, kterou pusobı vazka kapalina desku o plos e St, a kterou je nutno pr i pohybu

desky prekonat, je urcena vztahem Ft=Stτ . V obecnem prıpadš je rychlost tekutiny urcena funkcı v =

v(y), a smykove napštı v libovolne vzdalenosti od stšny Newtonovym vyrazem. Graficke znazornšnı

prubšhu rychlosti v = v(y) je rychlostnım profilem - obr. 6.13.

Ucinek vazke kapaliny na obtekane plochy je zavisly na smykovem napštı od vazkosti

tekutiny 0=

=

ys dy

dvητ . Derivace

0=

ydydv

je smšrnicı tecny k rychlostnımu profilu na obtekanem

povrchu. Pr i tomto proudšnı se predpoklada, ze nekonecnš tenke vrstvy kapaliny klouzajı jedna po

druhe, takze se pohybujı ve vrstvach Ú laminarnš (lamina-vrstva).

Zavislost smykoveho napštı od vazkosti τ v zavislosti na

gradientu rychlosti v kolmem smšru na pohyb je vyjadrena

v grafu

=

dydvfτ -obr.6.15. Sklon udava dynamickou

vazkost kapaliny. Vs echny kapaliny, ktere vyhovujı

Newtonovu zakonu viskozity, se nazyvajı newtonske.

V technicke praxi se dosti casto vyskytujı latky, jejichz

zavislost smykoveho napštı na gradientu rychlosti se neda

vyjadrit Newtonovym vztahem. Rıka se jim nenewtonske

kapaliny ci anomalnı a jejich reologicke vlastnosti jsou

vyjadreny krivkami v diagramu a popsany matematickymi

modely. Pro idealnš plastickou latku je znam Binghamuv vztah

dydv

Bp µττ += ( 6.3)

Pro prubšhy nelinearnı se pouzıvajı mocninove vztahyn

p dydvK

+= ττ ;

n

dydvK

=τ

( 6.4)

kde K - soucinitel konzistence

n Ú index toku

dv

τ

dy0

τp

τp

idealnıtekutina

newtonska n = 1idealni plasticka-Binghamska

skutecna plasticka n < 1

dilatantnı n >1

pseudoplasticka n < 1pru z

na

latk

a n = 1

Obr.6.15. Reologicke vlastnosti kapalin


7. Proudů nı idealnı tekutiny

7.1. Rovnice kontinuity í spojitosti

Rovnice kontinuity, casto nazyvana take

rovnice spojitosti, vyjadruje obecny fyzikalnı

zakon o zachovanı hmotnosti. Pro kontrolnı

objem, kterym proudı kapalina, musı by t hmotnost

tekutiny konstantnı, a tedy jejı celkova zmšna

nulova. U kontrolnıho objemu mohou vzniknout

dvš zmšny hmotnosti, a to lokalnı v kontrolnım

objemu samem (tekutina se stlacuje nebo

rozpına) a konvektivnı zmšna hmotnosti,

zpusobena rozdılem v pritekle a vytekle hmotnosti

z kontrolnıho objemu. Obš zmšny musı davat

nulovou zmšnu hmotnosti, coz je mozne jen tehdy, kdyz jsou obš dılcı zmšny stejnš velke, ale

opacneho znamenka, tj. jedna znamena zvšts enı a druha zmens enı hmotnosti. Rovnici kontinuity je

mozne definovat take tak, ze rozdıl vstupujıcı hmotnosti do kontrolnıho objemu a vystupujıcı hmotnosti

z kontrolnıho objemu je roven hmotnosti, ktera se v tomto kontrolnım objemu akumuluje. V technicke

praxi se nejcastšji vyskytujı prıpady jednorozmšrneho proudšnı, menš caste je pak proudšnı rovinne

ci prostorove.

Rovnice kontinuity pro jednorozme rnč proude nı

Uvazuje se jednorozmšrne neustalene proudšnı stlacitelne tekutiny proudovou trubicı

s promšnnym prurezem - obr.7.1. Z nı se vytkne elementarnı cast ohranicena vstupnım prurezem S a

elementarnı delkou ds. Elementarnı kontrolnı objem tvorı valecek, jehoz zakladnami proteka tekutina.

Plas – kontrolnıho objemu je tvoren proudnicemi, a proto tok touto castı kontrolnı plochy je nulovy ,

nebo– platı vn = 0 na celem plas ti. Rozlozenı rychlosti po prurezu proudove trubice uvazujeme

rovnomšrne. Pri nerovnomšrnem rozlozenı rychlosti po prurezu uvazujeme jejı strednı rychlost.

Na draze ds se puvodnı rychlost v zmšnila na velikost )( dssvv

∂∂

+ , podobnš se zmšnila i

hustota )( dss∂

∂+

ρρ a prurez proudove trubice )( ds

sSS

∂∂

+ .

Hmotnost kapaliny, ktera pritece do kontrolnıho objemu za cas dt, je urcena vztahem

dms1 = ρSvdt

Hmotnost kapaliny, ktera vytece z kontrolnıho objemu za cas dt druhou zakladnou valecku, tj. ve

vzdalenosti ds, je

dsSvdts

Svdtdtdssvvds

sSSds

sdms )())()((2 ρρ

ρρ

∂∂

+=∂∂

+∂∂

+∂∂

+=

ρ

ρ2S

S1

S2v2

v1

1ρ

ds

v

Obr. 7.1 Prutocny prurez a rychlost


Rozdıl pritekle a odtekle hmotnosti z elementarnıho objemu je konvektivnı zmšna hmotnosti v case

dt, ktera je urcena vztahem

dsSvdts

dmdmdm sss )()( 12 ρ∂∂

=−=∆

Na pocatku sledovanych zmšn hmotnosti je v kontrolnım valecku hmotnost tekutiny

Sdsdmt ρ=1 .

Tato hmotnost tekutiny v kontrolnım objemu za cas dt se zmšnı. Protoze se jedna o lokalnı zmšnu,

pro jejı velikost platı vztah

( ) ( )dtSvt

dmt ρ∂∂

=∆

Pro splnšnı zakona o zachovanı hmotnosti (m = konst) musı byt celkova zmšna hmotnosti dmnulova, proto platı

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0=∂∂

+∂∂

=+= dtSdst

dsSvdts

dmdmdm ts ρρ∆∆∆

V obecnem prıpadš jednorozmšrneho proudšnı tekutiny se predpoklada stlacitelna tekutina

ρ = ρ(s, t), promšnny prurez proudove trubice S = S(s, t) (napr. pruzna trubice, proudšnı v kanalech

apod.) a neustalene proudšnı v = v(s, t).

Protoze casova zmšna dt a posunutı ds nejsou na sobš zavisle (s, t jsou nezavisle promšnne),

upravı se poslednı rovnice takto

( ) ( ) 0=∂∂

+∂∂ S

tSv

sρρ . ( 7.1 )

Toto je obecna rovnice kontinuity pro jednorozmšrne proudšnı. Pro tuhe potrubı platı S = S(s) a

rovnice (7.1) se dale upravı

( ) 0=∂∂

+∂∂

tSSv

sρ

ρ( 7.2 )

Dals ı zjednodus enı rovnice je pro ustalene proudšnı, kdy platı 0=∂∂t

. V tomto prıpadš je

hustota, prurez a rychlost jen funkcı souradnice s: ρ = ρ(s); S = S(s); v = v(s) a rovnice kontinuity se

zjednodus ı

( ) ( ) 0==∂∂ Sv

dsdSv

sρρ

Po integraci platı pro jednu a tutez proudovou trubici

konstSvQm == ρ . ( 7.3 )

Velicina Qm je hmotnostnı prutok. Udava hmotnost tekutiny protekle za jednotku casu Ú kgs-1.

Protoze rovnice ( 7.3 ) musı platit pro vs echny body proudove trubice, pro rovnici kontinuity proto platı

ρ1S1v1 = ρ2S2v2 = ρSv = konst ( 7.4 )

Pro nestlacitelne kapaliny je hustota konstantnı (ρ = konst), takze rovnice se zjednodus ı na

znamy tvar


Qv = Sv = konst.Velicina Qv je objemovy prutok a udava objem kapaliny protekly za jednotku casu Ú m3/s.

Pri nerovnomšrnem rozlozenı rychlosti po prurezu se dosazujı do rovnice kontinuity strednı rychlosti

podle prutoku, urcene vztahem

∫=S

s vdSS

v 1

Rovnice kontinuity pro prostorovč proude nı

Pri odvozenı rovnice kontinuity pro prostorove

proudšnı se vytkne v proudovem poli tekutiny kontrolnı

oblast ve tvaru hranolku o stranach dx, dy, dz, jehoz

objem je dV = dx dy dz obr.7.2. Tımto hranolem

proteka tekutina rychlostı, jez ma slozky ve smšru trı

souradnych os x, y, z, ktere jsou kolme na elementarnı

plos ky zvoleneho hranolu. Kontrolnı objem se zvolil

velmi maly - diferencialnıch rozmšru, aby se rychlosti

prutoku elementarnımi plos kami mohly uvazovat

konstantnı.

Zmšny hmotnosti pri pruchodu elementarnım

kontrolnım objemem se vys etrı postupnš ve smšrech os x, y, z. Plochy hranolku jimiz proteka kapalina

ve smšru osy x, jsou stejne, a to dSx = dy dz. Tekutina o hustotš ρ vteka do hranolku z leve strany

rychlostı vx a vyteka z nšho na prave stranš o hustotš

∂∂

+ dxxp

ρ rychlostı )( dxxvv x

x ∂∂

+ . Pritece

tedy do hranolku za cas dt ve smšru osy x hmotnost tekutiny

dtdSvdm xxsx ρ=1

a vytece

( )dxdtdSvx

dtdSvdtdSdxxvvdx

xpdm xxxxx

xxx ρρρ

∂∂

+=

∂∂

+

∂∂

=2

Rozdıl pritekle a vytekle hmotnosti kapaliny z hranolu ve smšru osy x je

( ) ( ) dVdtxvdxdtdSv

xdmdmdm x

xxsxsxsx ∂∂

=∂∂

=−=ρ

ρ )(12∆ ,

coz platı za predpokladu, ze prurez dSx nezavisı na souradnici x.

Obdobne vyrazy se dostanou pro prutok tekutiny ve smšru os y, z:

( ) ( ) ( ) ( ) dVdtzvdmdVdt

yv

dm zsz

ysy ∂

∂=

∂

∂=

ρρ∆∆ ; ,

takze rozdıl pritekle a vytekle hmotnosti tekutiny plochami kontrolnıho hranolku je dan souctem

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dVdtzvdVdt

yv

dVdtxvdmdmdmdm zyx

szsysxs ∂∂

+∂

∂+

∂∂

=++=ρρρ

∆∆∆∆

0z

y

x

dS

dx dzx, y, z

v +dvy y

v +dvx x

v +dvz z

dSz

y

dydSx

vy

vx

vz

x+dx, y, z

Obr.7.2 Elementarnı kontrolnı objem


Je-li hmotnost tekutiny v elementarnım objemu (hranolu) dmt1 = ρdV , potom za cas dt se tato

hmotnost zmšnı a tato zmšna je

( ) ( ) ( ) dVdtt

dtt

dmdmt ∂∂

=∂

∂=

ρ∆

Jak jiz bylo receno, musı by t celkova zmšna hmotnosti v kontrolnım objemu rovna nule

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∂

∂+

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=+= dVdtt

dVdtzvdVdt

yv

dVdtxvdmdmdm zyx

tsρρρρ

∆∆∆

Po kracenı vyrazem dVdt se dostane rovnice

( ) ( ) ( ) ( ) 0=∂

∂+

∂∂

+∂

∂+

∂∂

tzv

yv

xv zyx ρρρρ ( 7.5 )

To je obecna rovnice kontinuity pro neustalene prostorove proudšnı stlacitelne tekutiny. Protoze platı

( ) ( ) ( ) ( )i

izyx

xv

zv

yv

xvdiv

∂∂

=∂

∂+

∂

∂+

∂∂

=ρρρρ

ρ )( v ,

da se prepsat rovnice kontinuity na tvar

0)( =+∂∂ vρρ divt

( 7.6 )

Stejna rovnice v tenzorovem zapisu ma tvar

( )0=

∂∂

+∂∂

i

i

xv

tρρ ( 7.7 )

Takto vyjadrena rovnice kontinuity platı v pevnem kontrolnım objemu, ktery se vzhledem ke

zvolenemu pravoňhlemu souradnemu systemu x, y, z nepohybuje.

Rovnice kontinuity se upravuje i do jineho tvaru. Za tım ňcelem rozepıs eme derivace ve

vyrazu pro divergenci a dostaneme

zvv

zyv

vyx

vvx

div zz

yy

xx ∂

∂+

∂∂

+∂

∂+

∂∂

+∂∂

+∂∂

= ρρ

ρρ

ρρ

ρ )( v

Dale napıs eme substancialnı derivaci hustoty podle casu

zyx vz

vy

vxtDt

D∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=ρρρρρ

pomocı nız se rovnice kontinuity upravit takto:

0=+=

∂∂

+∂

∂+

∂∂

+ vdivDtD

zv

yv

xv

DtD zyx ρ

ρρρρ

ρ ( 7.8 )

Toto je druhy tvar rovnice pro neustalene prostorove proudšnı stlacitelne tekutiny, tedy prıpad,

kdy se kontrolnı objem vzhledem ke zvolenemu souradnemu systemu x, y, z pohybuje.

Pro ustalene proudšnı se uvedene rovnice zjednodus ı. Pri ustalenem proudšnı se nemšnı

veliciny v case, proto musı by t 0=∂∂

tρ

a rovnice kontinuity ( 7.6 ) ma tvar


.0)( =vρdiv ( 7.9 )

Tato rovnice platı pro proudšnı stlacitelne i nestlacitelne tekutiny v prostoru.

Dals ı zjednodus enı se dostane u nestlacitelnych kapalin (ρ = konst). Rovnice kontinuity je pak

vyjadrena vztahem

0=∂∂

+∂

∂+

∂∂

=zv

yv

xvdiv zyxv

( 7.10 )

Stejna rovnice zapsana v tenzorovem zapisu ma tvar

0=∂∂

i

i

xv ( 7.11 )

7.2. Eulerova rovnice hydrodynamiky

Eulerova rovnice hydrodynamiky vyjadruje rovnovahu sil hmotnostnıch (objemovych), ktere

pusobı na tekutinu z vnšjs ku, tlakovych (pusobıcıch v tekutinš) a setrvacnych od vlastnıho pohybu

castic dokonale tekutiny. V proudıcı skutecne tekutinš

vznikajı vedle normalovych napštı, tj. tlaku, i tecna napštı,

a to vs ude tam, kde se tekutina nepohybuje jako tuhe

tšleso a dochazı tedy k deformaci castic tekutiny, tj.

castice se vuci sobš posouvajı. Zanedbame-li tato tecna

napštı vzhledem k tlakum, hovorıme pak o proudšnı

dokonale (idealnı) tekutiny (tj. model tekutiny s nulovou

viskozitou).

V proudu dokonale tekutiny zvolıme elementarnı

objem dV ve tvaru hranolku Ú obr.7.3 o stranach dx, dy,

dz. Na tento objem tekutiny pusobı stejnš jako v hydrostatice tlakova dıla dFp a vnšjs ı tlakova sıla dFm.

Podle Newtonova zakona vyslednice tšchto sil se rovna setrvacne sıle

Spm FFF =+ ( 7.12 )

V kapitole 3 pro sılu tlakovou a hmotnostnı pro 1 kg hmotnosti byly odvozeny tyto vyrazy:

0

1

aF

F

=

−=

m

p pgradρ

Setrvacna sıla pohybujıcı se castice tekutiny je

DtDms

vF =

Pri proudšnı 1 kg tekutiny se tato rovnice zjednodus ı

DtD

svF =

Dosadıme-li vyrazy pro sıly do rovnice ( 7.12 ), bude rovnovaha sil

y

x

dx

dy p+dpxp

0

a xv x

Obr. 7.3 Elementarnı hranolek


pgradDtD

ρ1

−= 0av ( 7.13 )

Substancialnı derivaci Dv/Dt je mozne upravit takto:

Rychlost v je obecnš funkcı polohy castice a casu, tedy t)z, y, (x, vv = . Jejı diferencial je

dttvdz

zvdy

yvdx

xvdv

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=

a zrychlenı castice tekutiny se vyjadrı rovnicı

tvv

zvv

yvv

xv

dtdt

tv

dtdz

zv

dtdy

yv

dtdx

xv

DtDv

zyx ∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=

Prvnı tri cleny predstavujı konvektivnı zrychlenı a je mozno je vyjadrit pomocı gradientu jako

skalarnı soucin rychlosti v a jejıho gradientu, nebo–

( ) zyxzyx vzvv

yvv

xv

zv

yv

xvvvvgrad

∂∂

+∂∂

+∂∂

=

∂∂

+∂∂

+∂∂

++= kjikjivv .

C len tv

∂∂

predstavuje lokalnı (mıstnı) zrychlenı.

Eulerova rovnice hydrodynamiky ma pak tvar

pgradgradtDt

Dρ1

0 −=+∂∂

= avvvv ( 7.14 )

Stejna rovnice uvedena v tenzorovem zapisu ma tvar

ii

j

ij

i

xpa

xv

vtv

∂∂

−=∂∂

+∂∂

ρ1 ( 7.15 )

Tuto pohybovou rovnici dokonalych tekutin odvodil poprve Leonard Euler v r. 1755.

Rozepsanım poslednı rovnice pro slozky ve smšru os x, y a z se dostanou tyto rovnice

zpav

zvv

yvv

xv

tv

ypav

zv

vyv

vxv

tv

xpav

zv

vyv

vxv

tv

zzz

yz

xzz

yzy

yy

xyy

xzx

yx

xxx

∂∂

−=∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂

∂∂∂

−=∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂∂∂

−=∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂

∂

ρ

ρ

ρ

1

1

1

V rozepsanych Eulerovych rovnicıch hydrodynamiky je celkem pšt neznamych, a to slozky

rychlosti vx, vy, vz, hustota ρ a tlak p. K urcenı pšti neznamych je treba pšti rovnic, z nichz tri jsou

Eulerovy rovnice (pro tri smšry os) a dals ımi rovnicemi jsou rovnice kontinuity a stavova rovnice ρ =

f(p) u stlacitelne tekutiny, poprıpadš u nestlacitelne tekutiny je ρ = konst. Vs ech pšt uvedenych velicin

zavisı na poloze proudıcı castecky tekutiny a na case. Pro urcenı soustavy rovnic je treba zadat

okrajove a pocatecnı podmınky.

Eulerova rovnice hydrodynamiky je nelinearnı parcialnı diferencialnı rovnice, jejı integrace je

obtızna i casovš narocna, v soucasne dobš se res ı numericky. Eulerova rovnice hydrodynamiky slouzı

k odvozenı Bernoulliho rovnice.


7.3. Bernoulliho rovnice pro dokonalou tekutinu

Pri proudšnı dokonale tekutiny pusobı na jejı castecky sıly,

ktere pri posunutı po elementarnı draze ds konajı elementarnı praci

(obr.7.4). Sectenım tšchto elementarnıch pracı na konecne delce po

proudnici, tj. integracı, zıska se vztah pracı neboli energiı proudıcı

tekutiny. Aby bylo mozno provest integraci, predpoklada se, ze vnšjs ı

hmotnostnı sıla na jednotku hmotnosti (neboli vnšjs ı zrychlenı), ktere

pusobı na proudıcı tekutinu, je potencialnı. Pak se da vyjadr it

potencialem U a platı gradU=0a

zU

yU

xUUgrad

∂∂

+∂∂

+∂∂

== kjia0

( 7.16 )

Protoze a0 = (iax + jay + kaz), potom z predchazejıcı rovnice jsou slozky zrychlenı urceny vztahy

zUa

yUa

xUa zyx ∂

∂=

∂∂

=∂∂

= ,,

kde potencial vnšjs ıch sil (na jednotku hmotnosti) neboli zrychlenı je funkcı polohy.

Dosadı-li se tento vyraz do Eulerovy rovnice hydrodynamiky a urcı se elementarnı prace skalarnım

soucinem sil a posunutı ds, dostane se

sssvvsv dpgraddUgraddgraddt ρ

1−=+

∂∂ ( 7.17 )

Pro dals ı ňpravu teto rovnice odvoťme velikost skalarnıho soucinu gradientu a diferencialu drahy

ds =idx +jdy +kdz.

( )

dUdzzUdy

yUdx

xU

dzdydxzU

yU

xUdUgrad

=∂∂

+∂∂

+∂∂

=

=++

∂∂

+∂∂

+∂∂

= kjikjis .( 7.18 )

Podobnš pro ostatnı veliciny platı

dvvdgraddpdgradp == svvs ;1ρρ

Integral upravene rovnice ( 7.17 )

∫∫∫∫ −=+∂∂ 2

1

2

1

2

1

2

1 ρdpdUdvd

tvsv ( 7.19 )

pro libovolny prurez proudove trubice je

konstdt

UPv

=∂∂

+−+ ∫ sv2

1

2

2

( 7.20 )

Tato rovnice platı pro neustalene proudšnı, a to pro urcity casovy okamzik. Konstanta ma obecnš

v kazdem case jinou hodnotu.

y

x0U = 0

1

2a

p

p+dps

s

ds

v

Obr. 7.4 Elementarnı prace pri

proudšnı dokonale tekutiny


Pro ustalene proudšnı se poslednı rovnice zjednodus ı, protoze 0=∂∂

tv

. Integral Eulerovy

rovnice hydrodynamiky po draze ma v tomto prıpadš tvar

konstUPv

=−+2

2 ( 7.21 )

coz je zakladnı Bernoulliho rovnice pro dokonalou tekutinu.

Velicina P je tlakova funkce, jiz urcıme integracı vyrazu ∫ ρdp

, kdyz zname stavovou zmšnu a

jejı rovnici ρ = f(p). Pro nestlacitelnou kapalinu je ρ =konst a tlakova funkce konstpP +=ρ

. Pusobı-li

na tekutinu jen tıhove zrychlenı, je vnšjs ı zrychlenı ay = -g. Znamenko zaporne je uvedeno proto, ze

kladny smysl zvolene osy je opacny nez smysl pusobenı tıhoveho zrychlenı. Prıslus ny potencial

siloveho pole (pro tıhove zrychlenı) je tedy gyUa y −=

∂∂

= . Potencial tıhove sıly je funkcı jen jedne

promšnne U = U(y), pak platı dydU

yU

=∂∂

, neboli dU = -g dy. Integracı se urcı potencialnı funkce U =

- gy + konst = - gh + konst.Pro nestlacitelnou kapalinu za pusobenı tıhoveho zrychlenı a pro ustalene proudšnı je

Bernoulliho rovnice vyjadrena vztahem

konstghpv=++

ρ2

2 ( 7.22 )

Tato rovnice predstavuje zakon zachovanı energie. Prvnı clen 2

2v je kineticka energie , druhy clen

ρp

odpovıda tlakove energii, tretı clen gh je roven polohove energii hmotnostnı jednotky kapaliny.

Soucet kineticke, tlakove, a polohove energie prestavuje celkovou mechanickou energii kapaliny.

Energie vztazene na jednotku hmotnosti se nazyvajı mšrne energie mEe = .

Jestlize se rovnice dšlı tıhovym zrychlenım g, dostane se

konsthgp

gv

=++ρ2

2 ( 7.23 )

Tuto rovnici uvedl poprve v roce 1738 Daniel Bernoulli. Kazdy clen rovnice ( 7.23 ) predstavuje

energii vztazenou na tıhovou jednotku kapaliny a formalnš ma rozmšr vys ky. Prvnı clen je znam jako

rychlostnı vys ka, druhy clen je tlakova vys ka a tretı urcuje polohovou (potencialnı) vys ku.

Vynasobı-li se rovnice ( 7.23 ) soucinem ρg, dostane se

konstghpv=++ ρρ

2

2 ( 7.24 )

Kazdy clen rovnice prestavuje tlak (kineticky , staticky, polohovy).


Soucet vs ech energiı, tj. kineticke, tlakove a polohove je celkova mechanicka energie

kapaliny, ktera podle Bernoulliho rovnice je v kazdem prurezu jedne a teze trubice konstantnı.

Bernoulliho rovnice vyjadruje zakon o zachovanı energie pr i proudšnı dokonale tekutiny za pusobenı

tıhoveho zrychlenı.-obr 7.5

Jednotlive cleny rovnice je mozno znazornit jako ňsecky. Soucet vys ek od libovolnš zvolene

vodorovne roviny urcuje v diagramu caru mechanicke energie a je roven konstantš v Bernoulliho

rovnici ( 7.17 ).

1

23

gH

v 2

v 2

v 2 2

322

21

cara energie

p1ρ

gh1

gh2 gh3

ρp2

ρp3

U 0

Obr. 7.5 Graficke znazornšnı Bernoulliho rovnice

konstYgHghpvghpvghpv

===++==++=++ρρρ 2

...22

2

22

22

11

21

( 7.25 )

Bernoulliho rovnice platı pro proudovou trubici, v jejıchz prurezech je rychlost rovnomšrnš

rozlozena. Pr i nerovnomšrnem rozlozenı rychlosti je nutno volit proudovou trubici velmi malych

prurezu, aby rozdıl rychlostı po prurezu proudove trubice byl zanedbatelny . Jinak je nutno prihlızet k

nerovnomšrnemu prubšhu rychlosti, coz vyjadruje strednı rychlost podle kineticke energie.

Do Bernoulliho rovnic je mozno dosadit absolutnı tlaky nebo relativnı tlaky, avs ak na obš

strany rovnice shodnš. Budiz znovu zduraznšno, ze rovnice ( 7.23 ) az ( 7.25 ) platı pro dokonalou

kapalinu, tedy bez vnitrnıho trenı a nestlacitelnou. Bernoulliho rovnice pro dokonalou kapalinu psana

pro dva prurezy jedne a teze proudove trubice obsahuje s est velicin: p1, v1, h1, p2, v2, h2. Hustota

kapaliny ρ se povazuje za znamou. Aby se pomocı Bernoulliho rovnice urcily parametry proudšnı,

musı by t pocet neznamych a pocet rovnic stejny . Pri res enı nejjednodus s ıho prıpadu lze tedy z

Bernoulliho rovnice vypocıst jednu neznamou. Ostatnı veliciny musı by t zname. To je dulezite pro

prakticke pouzitı Bernoulliho rovnice, nebo– v proudove trubici se musı nalezt jeden prurez, v nšmz

jsou vs echny veliciny (p1, v1, h1) zname. Druhy prurez je nutno volit v teze proudove trubici tam, kde je

hledana velicina (napr. rychlost v2) a ostatnı veliciny (p2, h2) jsou zname. Pri teto volbš prurezu

proudove trubice lze vypocıst neznamou velicinu. Bude-li vıce neznamych velicin, je nutno pouzıt

rovnici kontinuity, poprıpadš dals ı Bernoulliho rovnici pro jiny ňsek proudove trubice.


Polohova (potencialnı) energie proudu kapaliny se urcuje k libovolnš zvolene vodorovne

rovinš. Zpravidla se volı ekvipotencialnı plocha nuloveho potencialu (U = 0) tak, aby prochazela nıze

polozenym prurezem. Jeho vys ka je pak nulova. Pro body nad rovinou U = 0 je polohova vys ka kladna

(pro body pod rovinou U = 0 je zaporna).

Pro prakticke pouzitı Bernoulliho rovnice pro dokonalou kapalinu je mozno shrnout postup do

tšchto pravidel:

1. V proudove trubici se zvolı dva prurezy. V jednom prurezu je nutno znat vs echny veliciny (p1, v1,

h1). Druhy prurez se volı v proudove trubici v mıstš, kde je hledana velicina, pricemz ostatnı dvš

veliciny jsou zname.

2. Rozhodne se o zpusobu dosazovanı tlaku, a to jejich absolutnı nebo relativnı hodnoty, avs ak do

jedne a teze rovnice se dosazujı oba tlaky shodnš.

3. Zvolı se libovolna vodorovna rovina, ktera se povazuje za ekvipotencialnı plochu nuloveho

potencialu. Zpravidla se volı tak, aby prochazela jednım z vybranych prurezu, a to nejcastšji nıze

polozenym. Polohove vys ky se urcı ke zvolene vodorovne rovinš.

Nynı se napıs e Bernoulliho rovnice a vypocte neznama velicina.

Pro plyny, ktere majı v porovnanı s kapalinami malou hustotu, prevlada tlakova a kineticka

energie, polohova energie se da vuci nim zanedbat. U plynu je nutno urcit tlakovou energii

s prihlednutım ke stlacitelnosti tekutiny. Pro rychle dšje je nejblizs ı adiabaticka zmšna, pri nız

nedochazı k vymšnš tepla tekutiny s okolım.

Stavova rovnice adiabaticke zmšny

κρp

= konst = C; κρCp =( 7.26)

se diferencuje

ρρκ κ dCdp 1. −=

a dosadı do tlakove funkce2

1

2

1

112

1 11

2

1ρκ

κρ

κκ

ρρκρ

κρ

ρ

κ pCdCdpP−

=−

=== −−∫∫

Bernoulliho rovnice pro adiabaticke proudšnı dokonaleho plynu pak je

.1212 2

222

1

121 konstpvpv

=−

+=−

+ρκ

κρκ

κ ( 7.27)

Pomocı stavove rovnice rTp=

ρse Bernoulliho rovnice na tvar

.1212 2

22

1

21 konstrTvrTv

=−

+=−

+κ

κκ

κ ( 7.28)

Zavede-li se dale rychlost zvuku

rTa κ=2

potom Bernoulliho rovnice nabyva dals ı tvar


.1212

22

22

221 konstavav

=−

+=−

+κκ

( 7.29)

7.4. Mů renı mıstnı rychlosti

Uvazujeme proudšnı kapaliny ve vodorovnem potrubı podle

obr.7.6. Je-li v potrubı staticky tlak sp , pak kapalina vystoupı

v piezometricke trubici pripojene k otvoru, navrtanemu kolmo ke stšnš

a bez otrepu, do vys ky g

ps

ρ. Hladina v Pitotovš trubici (trubice

zahnuta proti smšru proudšnı potrubı) bude vys e a jejı poloha bude

zavisla jak na pretlaku v potrubı sp , tak i na rychlosti proudıcı

kapaliny v . V ňstı Pitotovy trubice je mıstnı rychlost 01 =v , a tedy

tlak 1p bude roven tlaku celkovemu cp . Rozdıl tšchto tlaku

dsc ppp =− .Je roven tlaku dynamickemu pd, popr. u kapalin

qpd = tlaku kinetickemu 2

21 vq ρ= ,

Z Bernoulliho rovnice psanı pro mısta 0 a 1

( )0;22 1

1211

2

===+=+ vppvpvp cs

ρρρρ

Pro rychlost kapaliny v mıstš 0 odvodıme rovnici

hgpppv dsc ∆==−

= 222ρρ

( 7.30)

0.3 dd

3d (8-10)d

0.1dpcps

0 x

ps

pd

pc

ρ

v pc

ps

1p

1Lp

1P

ρ ρm

∆h1

h0

Obr. 7.7 Prandtlova trubice Obr. 7.8 Mšrenı tlakove diference

Pitotova trubice mšrı celkovy tlak a je nutno staticky tlak mšrit piezometrickou trubicı. Prandtl

navrhl trubici, jez mšrı celkovy i staticky tlak (obr.7.7). Prandtlova trubice je tvorena valcovym tšlesem

pc

v1= 01

PitotovapiezometrickaTrubice

psρg

∆h

ps

pcρg

v

Obr. 7.6 Princip mšrenı mıstnı

rychlosti Pitotovou trubici


s pulkulovym ukoncenım. V ose trubice je otvor pro odbšr celkoveho tlaku cp , ktery je vyveden vnitrnı

trubicı. Staticky tlak sp se snıma v drazce nebo otvoru na plas ti vnšjs ı trubice a je vyveden druhou

trubicı. Aby tlak sp byl roven tlaku nerozrus eneho proudu, je odbšr statickeho tlaku umıstšn ve

vzdalenosti rovnajıcı se trem prumšrum trubice od jejıho ňstı. Pro Prandtlovu trubici pro rychlost platı

stejna rovnice jako pro Pitotovu trubici. Ú (7.31).

Pri mšrenı rychlosti v potrubı s všts ım pretlakem se pouzije diferencnı tlakomšr, napr. U-

trubice, ktera je naplnšna mšricı kapalinou o hustotš ρρ ⟩m . Dynamicky tlak scd ppp −= se urcı

z mšrenı na U-trubici, tj. tlakovou vys kou h∆ (obr. 7.8). Pro rovinu 1-1 platı, ze tlaky v levem i pravem

ramenu U-trubice jsou stejne PL pp 11 = , takze platı

( )hhgphgghp ocmos ∆++=∆++ ρρρ

z cehoz pro rozdıl tlaku platı

( )ρρ −∆=− msc hgpp

Rychlost tekutiny je pak urcena vztahem

ρρρ

ρ−

∆=−

= msc hgppv 22( 7.30)

Jestlize ,1⟩⟩ρ

ρm (napr. pr i proudšnı plynu) pak se rychlost tekutiny vypocte ze zjednodus eneho vztahu

ρρmhgv ∆= 2 ( 7.31)

Odklon Pitotovy trubice od smšru proudšnı do + 6o nema na vysledek mšrenı v podstatš vliv.

Prandtlova trubice umoznuje odklon od spravneho smšru do + 15o. Pr i spravnem natocenı osy trubice

do smšru vektoru mšrene rychlosti je z rovnice vypoctena rychlost s presnostı všts ı nez 1%.

d

1 32

v

4

2 13

5

Obr.7.9 Schema valcove sondy

Obr. 7.10 Schema kulove sondy


Pri mšrenı rychlosti u dvourozmšrneho proudšnı se pouzıva valcova sonda Ú obr. 7.9, ktera

ma tri otvory umıstšne symetricky v jedne rovinš. Rovina otvoru musı by t totozna s rovinou proudšne.

Otacenım sondy se nalezne poloha, pri nız je v otvorech 2 a 3 stejny tlak ( )32 pp = . Na stupnici ňhlu

se odecte otocenı sondy z vychozı polohy a urcı smšr rychlosti vzhledem ke zvolene souradne

soustavš. Z tlaku 1p , ktery je roven celkovemu tlaku cp , se urcı rychlost tekutiny. Sonda musı by t

cejchovana, nebo– otvory 2 a 3 nemšrı presnš staticky tlak. Jsou zpravidla odklonšny o 45o od osy

hlavnıho otvoru1.

Kulova sonda obr. 7.10 slouzı k mšrenı rychlosti proudu. Ma pšt otvoru symetricky umıstšnych

v kulovitem tšlese. Vzdy dva pary otvoru jsou umıstšny soumšrnš vzhledem ke strednımu otvoru, a to

ve dvou kolmych rovinach. Natacenım sondy kolem jejı osy (1-4-5) se nalezne poloha, pr i nız je ve

dvou symetricky umıstšnych otvorech 2 a 3 stejny tlak. Z hodnoty tlaku ve strednım otvoru a rozdılu

tlaku v otvorech 4 a 5 se z cejchovnı krivky odecte velikost rychlosti a jejı ňhel s rovinou 2-1-3. Pro

mšrenı mıstnı rychlosti slouzı rada dals ıch sond. Pro mšrenı okamzitych hodnot rychlosti je treba

pouzıt metod s malou setrvacnosti, nejrozs ırenšjs ı je metoda zhaveho dratku, nebo opticky

anemometr take nazyvany Laser Doplerovsky anemometr (LDA).

Pri jednorozmšrnem proudšnı napr. v uzavrenych kanalech nebo potrubıch, pri obtekanı tšles

skutecna tekutina na stšnš lpı a nasledkem viskozity je rychlost na stšnš nulova. V ostatnım prurezu

je rychlost nerovnomšrnš rozlozena po prutocnem prurezu. Pitotovou, popr. Prandtlovou trubicı se

urcuje rychlost v mıstš, v nšmz je celo trubice. Posouvanım trubice se zmšrı rychlosti, ktere jsou

zavisle na souradnici. Graficke znazornšnı prubšhu rychlostı po prutocnem prurezu se nazyva

rychlostnı profil.

1 2 3 41

1 2 3 4dc

ab

v1av1b

v1d1cv

vs1

v svv s3s2vs1v s4

d

d

21 v1v21 2

p2

p1

∆h

ρ ρm

ρv1

ρ

Obr. 7.11 Urcenı strednı rychlosti z rychlostnıho

profilu

Obr. 7.12 Princip Venturiho trubice

Ma-li se z namšreneho rychlostnıho profilu vypocıtat strednı rychlost, zvolı se v prutocnem

prurezu vhodny pocet bodu Ú obr. 7.11, ve kterych se zmšrı rychlost. Strednı rychlost se pak stanovı

integracı pres cely prutocny prurez

∫=Ss vdS

Sv 1 ( 7.32)


Volba poctu bodu nebo rovin je zavisla na konkretnıch podmınkach a nenı mozno proto dat

univerzalnı navod. Je-li rychlostnı profil nesymetricky, prıpadnš vznika zpštne proudšnı, volı se pocet

bodu obvykle všts ı.

7.5. Mů renı strednı rychlosti a pru toku (pru rezova mů ridla)

Velmi casto se mšrenı prutoku nebo strednı rychlosti prevadı na mšrenı tlakoveho rozdılu

mezi dvšma prurezy, z nichz jeden je zňzen. Klasickym predstavitelem tšchto mšridel je Venturiho

trubice -obr. 7.12 skladajıcı se ze vstupnıho konfuzoru, kratke valcove casti se zňzenym prurezem a

z dels ıho difuzoru. Zňzenı prutocneho prurezu zpusobuje zvšts enı rychlosti a tım se vyvola pokles

statickeho tlaku. Tlakovy rozdıl je zavisly na prutokove rychlosti (nebo prutoku) a da se jednodus e

mšrit.

Napis me Bernoulliho rovnici mezi prurezy 1 a 2 Venturiho trubice s vodorovnou osou pri

prutoku dokonale kapaliny.

22

222

211 vpvp

+=+ρρ

Dale napıs eme rovnici spojitosti222

2112211 ; dvdvSvSv ==

Pro diferencialnı manometr platı, ze rozdıl dvou tlaku ∆p=p1-p2 je urcen vztahem

( )ρρ −∆=−=∆ mhgppp 21

Res enım tšchto trı rovnic pro strednı rychlost 1v dostaneme vyraz

hK

dd

hgv vm ∆=

−

−

∆=

ρρρ

1

24

2

1

1

( 7.33 )

Pro prutok platı rovnice

hK

dd

hgddvSvQ Qm ∆=

−

−

∆===

ρρρππ

1

244 4

2

1

21

21

111

( 7.34 )

v2d d1 2v1

p2p1

1vd 1

p1

v2

p2

d 2

Obr. 7.13 Schema clony Obr. 7.14 Schema dyzy


Pri prutoku skutecne tekutiny bude nasledkem hydraulickych odporu skutecna rychlost mens ı.

Tento vliv se zahrne v soucinitelıch Qv KK , . Prakticke provedenı Venturiho trubice se provadı podle

C SN ISO 5167-1, kde jsou uvedeny hodnoty soucinitelu Qv KK , v zavislosti na zňzenı 21 / SSm = a

velikosti Reynoldsova cısla Re.

Vedle Venturiho trubice se castšji pro mšrenı strednı rychlosti nebo prutoku pouzıva clona Ú

obr.7.13 nebo dyza Ú obr- 7.14, jejichz podrobny vypocet uvadı C SN ISO 5167-1

7.6. Stacionarnı proudů nı idealnı tekutiny potrubım

Pri vy toku kapaliny z uzavrene nadrze potrubım

konstantnıho prurezu je treba vypocıtat vy tokovou

rychlost. Tato se urcı z Bernoulliho rovnice. Kineticka

energie na hladinš v tlakove nadobš je nulova, coz muze

by ti splnšno za dvou predpokladu. Buť do nadoby priteka

stejne mnozstvı jako odteka, nebo je nadoba tak rozlehla,

ze vytekle mnozstvı kapaliny zpusobı prakticky

zanedbatelny pokles hladiny. Potencialnı energie se

vztahuje vuci vodorovne rovinš, prochazejıcı tšzis tšm

vy tokoveho otvoru. To ma vyhodu, ze pro tento prurez je potencialnı vys ka nulova. (jinak je mozno

volit libovolnou vodorovnou rovinu za hladinu nuloveho potencialu).

Na hladinš v nadrzi je tlak p1 rychlost v1=0. Ve vy tokovem prurezu je rychlost 2v , tlak ovzdus ı

2p a polohova vys ka 02 =h . Pro prurez 1 a 2 napıs eme Bernoulliho rovnici

2

222

11 vpghp

+=+ρρ

Z poslednı rovnice je mozno vypocıst vy tokovou rychlost

−+==

gpphgvv

ρ21

2 2( 7.35)

Za tlak p1 a p2 se dosadı pretlak nebo absolutnı tlak.

Kdyz tlakovy rozdıl 21 pp − bude roven nule, je vy tokova rychlost dana vyrazem

ghv 2= ( 7.36)

coz je Torricelliho vzorec, ktery je zvlas tnım prıpadem Bernoulliho rovnice a byl odvozen drıve nez

obecnšjs ı rovnice Bernoulliho.

Z rovnice kontinuity se ucı objemovy nebo hmotnostnı prutok kapaliny potrubım

vmv QvSQvSQ ρρ === ; ( 7.37)

Poznamka: v uvedenem prıpadš je uvazovana dokonala kapalina (bez vnitrnıho trenı Ú vazkost). U

skutecne kapaliny se v dusledku vazkosti spotrebuje cast energie kapaliny na trecı praci. Skutecna

vy tokova rychlost bude proto mens ı. Blıze je o tom pojednano v dals ı stati o vy toku skutecnych kapalin

z nadob.

p

hv U = 0

p 1

1

1

1

2 2

v 1 0

Obr.7.15 Vy tok tekutiny u uzavrene

nadrze


8. Proudů nı vazke tekutiny

8.1. Navierova-Stokesova rovnice

Rovnovaha sil pri proudšnı skutecne tekutiny je vyjadrena Navierovymi-Stokesovymi rovnicemi.

Kromš sil vnšjs ıch, tlakovych a setrvacnych spojenych s vlastnım pohybem castic tekutiny, pristupujı u

skutecne tekutiny trecı sıly, ktere jsou zpusobeny viskozitou tekutiny. Pro matematicke vyjadrenı

trecıch sil se pouzije Newtonuv vztah dydv

ητ = .

Rovnovaha sil pri proudšnı skutecne tekutiny lze zapsat ve tvaru

tps FFFF ++= 0

Pri vzajemnem pohybu castic vznikajı ve skutecne tekutinš tecna napštı, ktera zpusobujı ňhlovou

deformaci castic. Na elementarnı objem skutecne tekutiny v podobnš hranolku o stranach dx, dy, dz

pusobı na jeho plochach smykova i normalova napštı Ú obr. 8.1

x

y

z

dz

dx

dy

σx

τxz

τxy τyz

τyx

σy

σz

τzy

τzx

σz

σz dzz+

zyτ + zy

zτ dz

dyτ +yzτyyz

+σyσyy dy

τyx+τ dyyyx

dzτzxz+τ

zx

+xyxyτ

x dxτ

τxz+

xzτx dx

x xdx

σx+σ

Obr. 8.1 Napštı na elementarnım objemu tekutiny

Stanovı-li se rovnovaha vs ech sil pusobıcıch na elementarnı objem, dostane se Navierova-

Stokesova rovnice, ktera ve vektorovem zapise pro nestlacitelnou tekutinu v pravoňhlem souradnem

systemu ma tvar

vavvv0 ∆+−=+

∂∂

υρ

gradpgradt

1.( 8.1)

Tato rovnice se od Eulerovy rovnice hydrodynamiky lis ı poslednım clenem na prave stranš.

Tento clen predstavuje sılu potrebnou k prekonanı viskoznıho trenı tekutiny.

Pri res enı proudoveho pole se zpravidla urcuje rozlozenı rychlostı a tlaku. Vedle pohybove

rovnice (8.1) se uplatnı i rovnice spojitosti.


V systemu diferencialnıch Navierovych-Stokesovych rovnic a rovnice spojitosti jsou ctyri

nezname veliciny, tj. slozky rychlosti vx,vy,,vz a tlak p. Pro res enı tšchto rovnic musı by t zname vnšjs ı

zrychlenı ao, hustota tekutiny ρ a okrajove podmınky.

Navierovy-Stokesovy rovnice patrı mezi parcialnı diferencialnı rovnice nelinearnı a nejsou

obecnš res itelne. Analyticke res enı je dostupne pro jednodus s ı prıpady laminarnıho proudšnı.

V soucasne dobš i slozite prıpady laminarnıho proudšnı jsou res itelne numerickymi metodami napr.

metodou konecnych objemu (metoda sıtı).

8.2. Bernoulliho rovnice pro skutecnou kapalinu

1

23

H

v

v v 2g

23

22

21

energeticky horizont

p1

h1

h2 h3

p2

ρgp3

U 0

ρg

ρg

2g

2g0

v1

v2 v3

cara energie

h z13

h z12

Obr. 8.2 Bernoulliho rovnice pro skutecnou tekutinu

Rovnovaha sil pri proudšnı skutecnych kapalin je vyjadrena Navierovou-Stokesovou rovnicı

vavvv0 ∆+−=+

∂∂

υρ

pgradgradt

1 ( 8.2)

Vynasobıme-li tuto rovnici skalarnš vektorem drahy dzdydxd kjis ++= a za predpokladu ze

gradUao = , rovnice energie ma tvar

svssasvvsv0 ddpgradddgradd

t..1.. ∆+−=+

∂∂

υρ

Jejı integracı obdrzıme pro ustalene proudšnı, kdy 0=∂∂

tv

Bernoulliho rovnici pro skutecnou tekutinu

..2

2

1

2

konstdsUpv=∆+++ ∫ vν

ρ

Vyraz

zed =∫ sv..2

1

∆ν( 8.3)

predstavuje praci trecıch sil na jednotku hmotnosti proudıcı tekutiny, coz je rozpty lena (disipovana

mšrna energie, nebo tez mšrna ztratova energie spotrebovana na prekonanı hydraulickych odporu na


ňseku 1 Ú 2 proudove trubice. Tato mšrna ztratova energie zmens uje mechanickou energii

(tlakovou+kinetickou+polohovou) kapaliny a mšnı se v teplo.

Bernoulliho rovnice pro proudšnı skutecne kapaliny, na kterou pusobı pouze tıhove zrychlenı -

U=-g.h ma tedy tvar

zeghvpghvp+++=++ 2

222

1

211

22 ρρ

Mšrna ztratova energie ze se muze vyjadrit jako nasobek kineticke energie 2

2vez ζ= nebo tlakove

energii ρ

zz

pe = , poprıpadš ztratovou vys kou zz ghe = . Srovnanım uvedenych vztahu se dostane

ρζρ2

2vghp zz == ( 8.4)

Poslednı rovnice vyjadruje hydraulicky odpor tlakovym rozdılem pz, kteremu se tradicnš rıka

tlakova ztrata. Podobnš velicina zh , je oznacena jako ztratova vys ka i kdyz nejde o ztratu, ale

nezadanou premšnu mechanicke energie v tepelnou. Obš veliciny zh a zp jsou mırou rozpty lene

(ztratove) energie. Soucinitel ζ je ztratovy soucinitel a zavisı na druhu hydraulickeho odporu ci ztraty.

Bernoulliho rovnice pro skutecnou kapalinu psana pro prurezy 1,2 proudove trubice (obr. 9.1)

pomocı mšrne ztratove energie zz ghe = je

zghghvpghvp+++=++ 2

222

1

211

22 ρρ

( 8.5)

Kapalina proudı od prurezu 1 k prurezu 2. Ztratova vys ka zh zahrnuje vs echny hydraulicke

ztraty na ňseku mezi prurezy 1-2.

Podobnš jako pri proudšnı dokonale tekutiny (obr. 6.5) je mozne znazornit graficky take

Bernoulliho rovnici pro skutecnou tekutinu. Odectenım ztratove energie pro jednotlive prurezy od

konstanty Bernoulliho rovnice ( )0gHYo = se urcı mechanicka energie kapaliny, tj.soucet tlakove,

kineticke a polohove energie v uvazovanych prurezech, ktera je znazornšna v diagramu (obr.8.2)

prıslus nou carou. Rozdıl mezi carou celkove energie a carou mechanicke energie predstavuje

rozpty lenou (ztratovou) energii. V tepelnš izolovane proudove trubici se ves kera rozpty lena energie

jako tepelna predava tekutinš, cımz vzrusta jejı vnitrnı energie a stoupa teplota tekutiny.

C len se ztratovou vys kou v rovnici ( 8.5) narus uje symetrii rovnice. Pro spravne napsanı

Bernoulliho rovnice pro skutecnou kapalinu je treba se rıdit rovnšz tremi pravidly (odst. 6.3), k nimz

pribyva dals ı:

4. mšrna ztratova energie zz ghe = zahrnuje soucet vs ech hydraulickych ztrat na ňseku mezi

prurezy 1-2, pro nšz se pıs e Bernoulliho rovnice, a pricte se na te stranš rovnice, ktera platı pro

prurez proudove trubice ve smšru proudšnı vzdalenšjs ı.


9. Laminarnı proudů nı

Laminarnı proudšnı je podstatnš jednodus s ı nez turbulentnı, v technicke praxi se vyskytuje tam,

kde jsou male prutocne kanaly, všts ı viskozita kapaliny a mens ı prutokove rychlosti. Laminarnı

proudšnı lze res it integracı Navierovych-Stokesovych rovnic, slozitšjs ı prıpady proudšnı se res ı

numerickymi metodami. Jednodus s ı prıpady proudšnı se dajı res it exaktnš a jsou probrany v dals ıch

kapitolach. Pri res enı laminarnıho proudšnı se uplatnuje Newtonuv vztah dydv

ητ = , ktery odpovıda

skutecnosti, a proto se dosahuje dobra shoda s experimentalnımi vysledky.

9.1. Laminarnı prudů nı v kruhovem potrubı

Ve vodorovnem

kruhovem potrubı zvolıme

elementarnı objem ve tvaru

souoseho valecku, viz obr. 9.1.

Na takto zvoleny objem kapaliny

pusobı sıly plos ne a to trecı a

tlakove. Objemove sıly se

neuplatnı, protoze potrubı je

vodorovne a proudšnı je

ustalene. Na celnı plochu

zvoleneho valecku pusobı tlak p ,

ktery na draze dx se zmšnı na (p+dp). Tšmto tlakum odpovıda tlakova sıla2

1 .. rpFp π= a ( ) 22 .rdppFp π+= .

Na plas ti valecku pusobı trecı sıla dxrFt ..2. πτ= . Vs echny uvedene sıly musı by t za ustaleneho

proudšnı v rovnovaze, nebo– setrvacna sıla je nulova. Pro rovnovahu sil platı

021 =−− tpp FFF

Dosazenım vyrazu za jednotlive sıly dostaneme

( ) 0.2.. 22 =−+− rdxrdpprp πτππ

Z cehoz

rLpr

dxdp z

21

21

−=−=τ ( 9.1 )

Predpoklada se ,ze platı Lp

dxdp z=

Z poslednı rovnice je zrejme, ze smykove napštı je u laminarnıho proudšnı rozlozeno linearnš viz obr.

9.1.

τ = f (r)r v = f (r)max

maxτ vs

vRr

v

p (p+dp)

dx

dx

0

2 1

Obr.9.1 Laminarnı proudšnı v potrubı


Dosazenım Newtonova vztahu pro smykove napštı drdv

ητ = do predchazejıcı rovnice odvodıme

diferencialnı rovnici rychlostnıho profilu

η2.drr

Lpdv z=

a po integracı obdrzıme rovnici pro rychlost

KrLpv z +−= 2

41η

Integracnı konstanta se urcı z okrajovych podmınek na stšnš trubice, kde rychlost castic kapaliny je

nulova. Pro 2dr = je v=0, z cehoz integracnı konstanta 2

161 d

LpK z

η=

Po dosazenı do obecneho res enı je rychlostnı profil laminarnıho proudšnı v kruhove trubici

vyjadren vztahem

−

= 2

2

241 rd

Lpv z

η

( 9.2 )

Maximalnı rychlost je v ose potrubı (r = 0), a to

2max 16

1 dLpv z

η=

( 9.3 )

Graficke znazornšnı rovnice rychlostnıho profilu v rovinš rezu prochazejıcıho osou trubice je

kvadraticka parabola. V prostotu predstavuje rychlostnı profil rotacnı paraboloid. Ú obr. 9.1

Prutok trubicı se urcı integracı elementarnıho prutoku kapaliny rvdrdQv π2= , ktery proteka

elementarnım mezikruzım na polomšru r o s ırce dr tlakovym rozdılem pz na delce trubice L

∫∫ ∫ =

−

===

22

0

42

22

0 128.

22..2.

dd

Ldpdrrrd

LpdrvrdSvQ z

Sv η

πη

ππ

( 9.4 )

Tuto rovnici odvodil v roce 1840-1841 Poiseuille, francouzsky lekar, ktery studoval proudšnı krve

v zılach. Uvedeny vyraz platı presnš pro laminarnı proudšnı. Experimentalnš ovšril tento zakon

proudšnım vody ve sklenšnych kaplilarach. Nezavisle na nšm odvodil uvedeny vyraz tez Nšmec

Hagen v roce 1839. Proto se oznacuje tato rovnice dosti casto jako Hagen-Poiseuilleova.

Strednı rychlost podle prutoku se vypocıta ze vztahu

,128

.4

.42

LdpvdQ z

sV ηπ

π ==

z cehoz

Ldpv z

s η32

2

=( 9.5 )

Porovnanım strednı rychlosti (9.5) a maximalnı (9.3) vyplyva vztah

21

max

=vvs


Je treba pripomenout, ze

laminarnı proudšnı v potrubı nastane pr i

2320ReRe =⟨ k , coz je soucasnš

podmınkou platnosti Hagen-Poiseuillova

zakona.

Zakon Poiseuilleuv platı jen pro

ustalenı laminarnı proudšnı, kdy

rychlostnı profil v jednotlivych prurezech je stejny , coz nastava po urcite draze od pocatku trubice-

obr.9.2.Tekutina po vstupu do trubice ma rychlostnı profil odpovıdajıcı dokonale tekutinš. V prvem

okamziku majı castecky kapaliny u stšny rychlost stejnou jako v ostatnım proudu kapaliny. Teprve

stykem kapaliny se stšnou jsou castecky zbrzdšny, cımz vznikajı rozdıly v rychlostech castic a

vznikajı tecna napštı od vazkosti mezi jednotlivymi vrstvami proudu. Tak jsou postupnš zbrzťovany

dals ı castice, v jadru proudu jsou castice naopak urychlovany. Draha na nız se vyvıjı rychlostnı profil,

se nazyva rozbšhovou drahou laminarnıho proudu. Pro rozbšhovou drahu uvadı Boussinesq vyraz

Re065,0≥dxr , Schiller 025,0≥

dxr Re.

Je zrejme, ze k ustalenı rychlostnıho profilu dojde dosti daleko od vstupnıho prurezu, takze

v kratkych trubkach se laminarnı rychlostnı profil nevyvine, a proto u nich zakon Hagen-Poiseuilleuv

neplatı.

9.2. Laminarnı proudů nı mezi rovnobů znymi deskami

Mezi rovnobšznymi stšnami je tlakovym

spadem 21 ppp −=∆ vyvolano laminarnı

proudšnı ve vodorovnem smšru (obr. 9.3).

Predpoklada se izotermicke proudšnı (t= konst),

a tedy i izoviskoznı (η = konst.). Vertikalnı

vzdalenost desek je h. Rovnovaha sil je

vyjadrena obdobnš jako v predchazejıcım

prıpadš tlakovymi a trecımi silami. Na hranolek

o jednotkove s ırce b=1 a rozmšrech dx, dy

pusobı elementarnı tlakova sıla.

( )bdydppdypbdFp +−= .

a elementarnı trecı sıly

( )bdxdbdxdFt τττ +−= .

Rovnovaha sil je vyjadrena rovnicı 0=+ tp dFdF , takze po dosazenı za sıly se dostane

0=+− dxdbdydpb τ

a po ňpravš je

v v vv

x r

d

Obr.9.2 Rozbšhova draha laminarnıho profilu

τ = f (y)

y

v = f (y)max

maxτ vs

v

R

v

p (p+dp)

x

v

dxy

dyτ

τ+dτh

0

L

2 1

Obr.9.3 Laminarnı proudšnı mezi deskami


idxdp

dyd

==τ

Z Newtonova vztahu dydv

ητ = se urcı derivovanım ( ).konst=η

idy

vddyd

== 2

2

ητ

Porovnanım poslednıch dvou vyrazu obdrzıme diferencialnı rovnici pro rychlostnı profil

dxdp

dyvd

=2

2

η( 9.6 )

Tlakovy ňbytek bude prımo ňmšrny delce L, proto platı

iLp

Lpp

Lpp

dxdp z ==

−−=

−= 2112

Po dvojı integraci rovnice( 9.6) se dostane

212

2KyKy

Lpv z ++−=η

( 9.7 )

Integracnı konstanty se urcı z okrajovych podmınek. Na stšnach desek castice kapaliny lpı, a proto

majı nulovou rychlost. Pro y=0 a y=h je v=0, z toho K2 = 0

Po dosazenı za K2 =0 do rovnice (9.7) dostaneme

02 1 =+− hK

Lhp z

z

η

odkud pro K1 platı

LhpK z

η21 =

Po dosazenı do obecneho res enı se pro rychlost dostane

( )yyhL

pv z −=η2

( 9.8 )

Rychlostnı profil je kvadraticka parabola. Maximalnı rychlost se urcı z podmınky pro maximum, tj.

.0=dydv

Maximalnı rychlost je uprostred vzdalenosti desek h, cili 2hy =

Lphv z

η8

2

max =( 9.9 )

Prutok se urcı integracı elementarnıho prutoku dybvdQv = , ktery proteka elementarnı

plos kou b.dy

( ) 3

0

2

0 122h

Lpbdyyhy

LpbdyvbQ z

hz

h

v ∫∫ =−==ηη

Strednı rychlost podle prutoku je


Lph

bhQ

SQv zvv

s η12

2

===( 9.10)

Pomšr strednı a maximalnı rychlostı je

32

max

=vvs

Proudšnı v mezere muze by t ovlivnšno kromš tlakoveho spadu tez pohybem jedne ze stšn

rychlostı ±u (obr. 9.4). Pro tento prıpad se odvodı rychlostnı profil z rovnice (9.7) pro okrajove

podmınky uvhyvy ±==== ,,0,0 . Pak integracnı konstanty jsou

2221 82

, hL

puKhuK

η+±=±= a po dosazenı do rovnice (9.7) je rychlostnı profil urcen vztahem

+±

−=

21

41

2

22

hyu

hyh

Lpv z

η

( 9.11 )

Rychlostnı profily jsou znazornšny pro oba smysly unas ive rychlosti u na obr. 9.4.

Jestlize je proudšnı vyvolano jen

unas enım, pak 0=Lp z a rychlostnı

profil je linearnı

+±=

21

hyuv

( 9.12 )

Rychlostnı profil slozeneho proudšnı (vyvolaneho tlakovym spadem a unas enım stšny) urceny

rovnicı (9.11) je sectenım rychlostnıch profilu pro dılcı proudšnı.- rov (9.8) a (9.12)

Prutok pri slozenem proudšnı, jehoz rychlostnı profil je urcen rovnicı (9.9), se urcı integracı

bhuhL

pbuhhL

pdyvbQ zzh

hv

±=

±== ∫

− 21

1221

1223

2/

2/ ηη

( 9.13 )

Strednı rychlost slozeneho proudšnı v mezere je

uhL

pbhQ

v zvs 2

112

2 ±==η

( 9.14 )

9.3. Laminarnı proudů nı ve valcove mezere-mezikruzı

V hydraulickych strojıch a zarızenıch se casto setkavame s prıpady, kdy kapalina proudı

valcovou mezerou (prutocny prurez je mezikruzı)-obr.9.5. Tak je tomu u cerpadel, turbin, s oupatek,

ventilu, kluznych lozisek apod. Proudšnı ve valcove rovinš lze res it pro male hodnoty 1/ ds jako

rozvinutou valcovou mezeru do roviny, cımz se prıpad pr ivede na proudšnı mezi dvšma

rovnobšznymi.- viz kap. 9.2. Valcove mezery slouzı k tšsnšnı nejruznšjs ıch castı hydraulickych stroju

y (+) u

v

x

y(-) u

v

x

Obr.9.4 Rychlostnı profily slozeneho proudšnı


a zarızenı, z nichz jedna kona vuci druhe relativnı pohyb. Nejjednodus s ı prıpad nastane, kdyz obš

casti jsou v relativnım klidu. Vzajemna poloha obou castı muze by t buť souosa nebo vystrednı. Prutok

valcovou mezerou lze urcit jako prutok mezi dvšma deskami. Sırka mezery v tomto prıpadš se rovna

obvodu kruznice, tedy db π= a vzdalenost desek h odpovıda tlous –ka valcove mezery, cili sh = . Po

dosazenı se dostane prutok:

3.12

hdLpQ z

v ηπ

=( 9.15 )

a strednı rychlost

Lph

SQv zv

s η12

2

== ,( 9.16 )

kde prutocna plocha valcove mezery je dsS π= .

Protekle mnozstvı valcovou mezerou

zavisı na tretı mocninš jejı tlous –ky, proto je

snahou konstrukteru docılit co nejmens ı vule, aby objemove ztraty byly minimalnı.

Podobny vliv ma vystrednost. Na prutok ma tez vliv vystrednost mezery, ktera nastane, jestlize osy

obou valcovych ploch o prumšrech d a 1d nebudou totozne. Maximalnı vystrednost je

21

maxdde −

= . Prutok mezerou s maximalnı vystrednostı je 2,5x všts ı nez u souose valcove mezery.

9.4. Stekanı po svisle stů nů

Viskoznı kapalina, ktera ulpıva na svisle stšnš, steka po nı vlivem tıhoveho zrychlenı (obr.

9.6). Predpoklada se izotermicke proudšnı (t = konst), ktere je take izoviskoznı (η = konst). Na

elementarnı casticı kapaliny o s ırce b a rozmšrech dx, dy pusobı tıhove a trecı sıly ve smšru osy y.

Predpoklada se ustalene rovnomšrne proudšnı. Vyslednice sil ve smšrech os x , z jsou nulove. Na

rozhranı stekajıcı vrstvy kapaliny o tlous –ce h s ovzdus ım je tlak ovzdus ı op . Tlak ve stekajıcı vrstvš

je konstantnı. Rovnovaha sil na zvoleny elementarnı hranolek je vyjadrena rovnicı

( ) 0=+−+− dybddybdydxgb τττρ

a po ňpravš se dostane diferencialnı rovnice

gdxd

ρτ

−=

jejız res enı je

oKgx +−= ρτ

p1

p2

L

d1

dv

h

1d d

Obr.9.5 Valcova mezera


Tecne napštı na rozhranı kapaliny s ovzdus ım je temšr nulove, tedy pro

hx = je 0=τ , cili ghK o ρ= . Prubšh smykoveho napštı ve stekajıcı

vrstvš je dan rovnicı

( )xhg −= ρτ ( 9.17 )

Tecne napštı se vyjadrı Newtonovym vztahem dxdv

ητ = a integracı se urcı

rychlostnı profil

12Kxxh

vgv +

−=

Na stšnš je rychlost nulova, pak pro 0=x je 0=v a integracnı konstanta

01 =K .

Rychlostnı profil stekajıcı vrstvy kapaliny po stšnš je urcen rovnicı

xxhvgv

−=

2

( 9.18 )

Prubšh rychlosti ve vrstvš je parabolicky (9.6). Maximalnı rychlost je na rozhranı vrstvy s ovzdus ım a

vypocte se z podmınky pro hx = je maxvv = , cili

ν2

2

maxghv =

( 9.19 )

Prutok vrstvou kapaliny o s ırce b se urcı integracı elementarnıho prutoku plos kou bdxdS = rychlostı

v dle rovnice (9.16)

∫∫ =

−==

hh

v vgbhxdxxh

vgbvdxbQ

0

3

0 32

( 9.20 )

Pro dany prutok Qv se urcı tlous –ka vrstvy

33

gbvQh v=

( 9.21 )

Strednı rychlost ve vrstvš je

vgh

bhQv v

s 3

2

==( 9.22 )

Porovnanım strednı rychlosti s maximalnı rychlostı vyplyva vztah

max32 vvs =

( 9.23 )

v = f(y)y

τ

τ+dτ

0 x

dyy

dx

h

Obr. 9.6 Stekanı po

svisle stšnš


10. Turbulentnı proudů nı

10.1. Vznik turbulence

Jiz v polovinš minuleho stoletı Reynolds zjistil a formuloval, ze se tekutina muze pohybovat

dvšma kvalitativnš zcela odlis nymi typy proudšnı, ktere pak byly nazvany laminarnı a turbulentnı.

Rozhranı mezi obšma druhy proudšnı nam udava Reynoldsovo kriticke cıslo. Jeho hodnota je zavisla

na radš parametru napr. na geometrii proudu, tlakovem spadu, atd. Pro potrubı kruhoveho prurezu je

spodnı mez asi 2 000. Pro ustalene laminarnı proudšnı je charakteristicke, ze se castice tekutiny

pohybujı po paralelnıch drahach, jednotlive vrstvy se navzajem nemısı (neuvazujeme molekularnı

difuzi). Laminarnı proud vytekajıcı z vodovodu ma hladky povrch jako sklenšna tyc. Pro turbulentnı

proudšnı jsou typicke pulsace vs ech velicin napr. rychlostı. Trajektorie castic tekutiny jsou

nepravidelne, dochazı k intenzivnımu promıchavanı celeho objemu proudıcı tekutiny. Povrch

turbulentnıho proudu vody vytekajıcıho z vodovodu je proto nepravidelny , "drsny" a proud je

nepruhledny . Okamzite hodnoty vs ech velicin neustale kolısajı kolem strednı hodnoty. Pro technicke

vypocty v praxi jsou všts inou dulezite strednı hodnoty zjis tšne za dostatecnš dlouhy casovy interval

jako napr. rychlostnı profil - tj. zavislost strednı rychlosti na vzdalenosti od stšny potrubı - pro vypocet

prutoku. Odchylky okamzitych hodnot od strednıch muzeme rozdšlit na periodicke a nahodile, ktere

nazyvame fluktuace. Napr. fluktuace rychlosti pri vyvinutem turbulentnım proudšnı v potrubı dosahuje

asi 10 % strednı rychlosti.

Prechod laminarniho proudšnı do turbulentnıho je jes tš stale studovany , neuzavreny problem.

Za prıcinu vzniku turbulentnıho proudšnı se povazuje nestabilita laminarnıho proudšnı pr i vys s ıch

Reynoldsovych cıslech. Je-li Reynoldsovo cıslo proudu Re všts ı nez Re, kriticke neznamena to vs ak

jes tš, ze by laminarnı proudšnı nemohlo existovat, ale je nestabilnı a i male poruchy proudšnı,

vznikajıcı napr. ve vstupnım prurezu temšr neustale, mohou by t prıcinou zhroucenı laminarnıho

proudu (analogicky jev je s tıhla tyc namahana na vzpšr), nebo– tyto odchylky od strednı hodnoty

exponencialnš narustajı. Je-li Reynoldsovo cıslo mens ı nez Re kriticke, jsou tyto poruchy viskozitou

tekutiny utlumeny.

Pri postupnem zvys ovanı Reynoldsova cısla, napr. zvys ovanım rychlosti proudšnı v potrubı,

nedochazı zpravidla ke zmšnš proudšnı nahle Ú skokem, nybrz v urcitem, i kdyz relativnš malem

intervalu Reynoldsovych cısel - v potrubı kruhoveho prurezu asi od 2 000 do 4 000. Pri urcitych

hodnotach Reynoldsova cısla se v potrubı objevujı zprvu kratke ňseky turbulentnıho proudu vystrıdane

dels ımi ňseky laminarnıho proudšnı (turbulentnı zatky).Tento typ proudšnı se nazyva intermitentnı

proudšnı. S rostoucım Re jsou ňseky turbulentnıho proudu stale dels ı a laminarnıho krats ı az

postupnš laminarnı ňseky zcela zmizı. Pri prutoku potrubım se celo turbulentnı zatky pohybuje rychleji

nez jejı ty l a zatka se s rostoucı vzdalenostı od vstupnıho prurezu stale vıce prodluzuje, az se v

dostatecne vzdalenosti od vstupu do potrubı objevuje jen turbulentnı proudšnı, i kdyz se Reynoldsovo

cıslo proudšnı nemšnı.

Pri turbulentnım proudšnı je pak propustnost potrubı mens ı nez by mohla teoreticky by t pri

laminarnım rezimu. Avs ak turbulentnı proudšnı je stabilnšjs ı.


S laminarnım a turbulentnım proudšnım se setkame nejen pri prutoku tekutin potrubım, tj. pri vnitrnıch

ňlohach mechaniky tekutin, nybrz i pr i obtekanı tšles, tj. pr i vnšjs ıch ňlohach mechaniky tekutin.

10.2. Charakteristiky turbulentnıho proudů nı

Slovo turbulence znamena zmatek, nepokoj, neukaznšnost, nepravidelnost, nahodilost, divokost,

bourlivost. Zatım nenı jednotna definice turbulentnıho proudšnı, v jednotlivych definicıch se zduraznujı

zpravidla jen nšktere znaky. Turbulentnı proudšnı je trojrozmšrny , casovš promšnny pohyb tekutiny,

pn nšmz kazda velicina napr. rychlost, tlak, hustota, teplota ap. (pokud nenı z nškterych duvodu

konstantnı) se mšnı vıce menš nahodile. Nahodne (chaoticke, stochasticke) rysy turbulentnıho

proudšnı jsou dominantnı. Nelze vs ak asi definovat turbulentnı proudšnı za "zcela nahodile", jednak i

turbulentnı proudšnı je popisovano zakladnımi rovnicemi pro prostorove proudšnı, viz kap. 19, jednak

turbulentnı proudšnı obsahuje usporadane skupiny vıru zvane "koherentnı struktury". K tšmto

poznatkum se dospšlo bšhem poslednıch nškolika desıtek let, dıky stale se zdokonalujıcım

experimentalnım metodam. Vyvstava nynı otazka, zda je nahodilost fluktuacı postacujıcı k tomu, aby

turbulentnı proudšnı bylo popisovano statistickymi metodami, nebo zda Ize najıt, jine vhodnšjs ı

metody. V praxi se mohou vyskytnout proudšnı, u kterych budeme na rozpacıch, zda je zaradit do

kategorie turbulentnıho nebo neturbulentnıho proudšnı. Periodicka proudšnı (napr. vlny na vodnı

hladinš) se nepovazujı za turbulentnı proudšnı.

Pro turbulentnı proudšnı jsou, strucnš shrnuto, charakteristicke:

1) Fluktuace rychlosti, tlaku a prıpadnš dals ıch velicin.

2) Vıry o ruznych velikostech, od nejvšts ıch s rozmšry srovnatelnymi s velikostı proudu tekutiny jako

napr. polomšrem potrubı, jez se deformujı, promıchavajı a rozpadajı az po nejmens ı o prumšru

setin mm, jez jsou silnš tlumeny viskozitou tekutiny a jejichz kineticka energie se premšnuje ve

vnitrnı tepelnou energiı.

3) Nahodilost (stochasticnost, chaoticnost) zmšn je dominantnı, i kdyz i ve vyvinutem turbulentnım

proudšnı bylo prokazano, ze existujı usporadane skupiny vırovych struktur, vyznacujıcı se

nahodnymi fluktuacemi fazoveho posunu.

4) Samobuzenı. Jednou vznikle turbulentnı proudšnı se dale udrzuje samo tım, ze vytvarı nove vıry,

ktere nahrazujı vıry, jez jsou vlivem viskozity disipovany.

5) Promıchavanı (difuzivita) je mnohem intensivnšjs ı nez pr i laminarnım proudšnı (smšs ovanı

zpusobene pohybem molekul), nebot' turbulentnı smšs ovanı je zpusobeno velkymi vıry,

pohybujıcımi se ve vs ech trech smšrech na mnohem všts ı vzdalenosti, nez je strednı volna draha

molekul.

Pro mšrenı casovš promšnnych velicin bylo treba vyvinout specialnı prıstroje s malou

setrvacnostı, nebo– spektrum fluktuacı se pohybuje od 1 Hz do 100 kHz. Napr. pro mšrenı okamzitych

rychlostı, resp. slozek, nelze pouzıt Prandtlovu trubici (mšrı strednı hodnotu), nybrz termoanemometr

se zhavenym dratkem, nebo laserovy anemometr. Tyto prıstroje prevadšjı rychlost na elektricky

mšritelne veliciny. Na oscilografu pak zıskame napr. zaznam okamzitych hodnot slozek rychlostı ve

smšru x a y v urcitem mıstš jako funkci casu. Prubšh vx a vy povazujeme za nahodny Ú obr. 10.1 a

muzeme ho charakterizovat tšmito velicinami:


Strednı hodnotou vx resp. vy za cas T napr.

∫=T

xx dtvT

v0

1 (10.1)

Okamzitou hodnotu vx lze pak vyjadr it jako soucet hodnoty

strednı xv a fluktuacnı xv′ (nynı povazujeme periodickou

slozku rovnu nule)

xxx vvv ′+= . ( 10.2 )

Z rovnice (10.1) plyne, ze strednı hodnota strednı hodnoty je

rovna strednı hodnotš xx vv = a pak strednı hodnota fluktuacı je rovna nule

∫ =′=′T

xx dtvT

v0

01 ( 10.3 )

Intenzita turbulence charakterizuje relativnı velikost amplitud fluktuacı rychlosti vzhledem ke

strednı hodnotš rychlosti napr. pro smšr x

x

xx v

v 2′=ε .

( 10.4 )

Intenzita turbulence pri vyvinutem proudšnı v potrubı kruhoveho prurezu je zavisla na smšru - podelne

fluktuace jsou všts ı nez prıcne, v ose majı minimum, maximum je v tšsne blızkosti stšny a na stšnš

jsou rovny nule. Intenzita turbulence je definovana stejnš jako variacnı koeficienty v matematicke

statistice Ú obr. 10.2.

U stochastickych jevu nenı jednoznacna zavislost mezi

dvšma nebo vıce velicinami, jako je tomu u

deterministickych zavislostı, coz se projevuje jako v

detailech odlis ne vysledky opakovanych experimentu.

Existuje vs ak urcita pravdšpodobnost, ze hodnotš jedne

veliciny odpovıda urcita hodnota druhe veliciny. Tato

zavislost muze by t tšsna nebo volna, prıpadnš zadna.

Stupen zavislosti udava korelacnı soucinitel. Z prubšhu

korelacnıch soucinitelu lze pak urcit ruzna mšrıtka

turbulence. Napr. delkove makromšrıtko charakterizuje

efektivnı rozmšr vıru, atd.

10.3. Matematicky popis turbulentnıho proudů nı

Prıme modelovanı s vyuzitım Navier-Stokesovych rovnic, viz kap. 19, bude jes tš dlouho kabinetnı

zalezitost. Pro prakticke pouzitı se vyuzıvajı

1) Statisticke teorie. Prenosove jevy v turbulentnım proudu majı dominantnı nahodny charakter a

bylo pr irozene pouzıt k jejich popisu nastroje matematicke statistiky. Jiz v minulem stoletı

t

v

x

T

v

váx

vy

vx

Obr.10.1 C asovy prubšh rychlosti

osa

potr

ubı

sten

a

2468

1012

ε [%]

r

xε

εy

Obr.10.2 Rozlozenı turbulence v potrubı,

x-ova slozka je podelna Ú axialnı, y-ova

je radialnı


Reynolds upravil Navierovy - Stokesovy rovnice pro turbulentnı proudšnı tak, ze nahradil okamzite

hodnoty velicin jejich strednımi hodnotami a fluktuacemi. Dostal tak tri nove rovnice, nazyvane po

nšm Reynoldsovy rovnice, se s esti novymi neznamymi typu

jiij vv ′′= ρτ ( 10.5 )

kde indexy i a j postupnš nahradıme symboly pro souradne osy x, y, zŽ Vyraz ( )jivv ′′ je strednı

hodnota soucinu fluktuacnıch slozek rychlostı. Prave strany rovnice ( 10.5 ) majı rozmšr napštı a

nazyvajı se Reynoldsova (zdanliva) turbulentnı napštı. Protoze nynı pocet neznamych prevys uje pocet

rovnic, nenı soustava rovnic uzavrena, a hledajı se stale nove moznosti uzavrenı soustavy. Tımto

smšrem se zde nebudeme vıce zabyvat.

2) Semiempiricke modelovanı strednıch turbulentnıch velicin. Tento smšr se soustreťuje na

stanovenı velicin jez majı vyznam pro inzenyrskou praxi, jako napr. pole strednıch rychlostı, tecna

napštı, ap. Prvnı pokus res enı turbulentnıho proudšnı predlozil Boussinesq (1877), ktery zavedl

zdanlivou (vırovou) viskozitu A , jez je analogiı dynamicke viskozity tekutiny. Na rozdıl od nı nenı

zdanliva viskozita latkovou vlastnostı, nybrz je funkcı souradnic a je zavisla na geometrii a dals ıch

charakteristikach proudoveho pole. Pro rovinne turbulentnı proudšnı lze pak zdanlive tecne napštı

vyjadrit rovnicı

dyvd

A xt =τ

( 10.6 )

a vysledne tecne napšti v turbulentnım proudu bude rovno souctu

( )dyvd

A x+= ητ .

Ve sve dobš mšl velky vyznam model prenosu hybnosti (Prandtl, 1925), vychazejıcı z analogie s

kinetickou teoriı plynu. Analogiı strednı volne drahy molekul byla tzv. smšs ovacı delka, kterou bylo

nutno urcit experimentalnš. I tato velicina byla funkcı souradnic, resp. geometrie proudoveho pole.

Fluktuace rychlostı, resp. zdanlive tecne napštı, bylo ňmšrne soucinu smšs ovacı delky a mıstnıho

gradientu strednı rychlosti. I pres velmi hrube predpoklady byl zıskan vyznamny a dodnes uznavany

vysledek - logaritmicky rychlostnı profil, obr. 10.3.

1* ln Kyvvz +=

κ ,

( 10.7 )

kde ρτ 0* =v = konst pro dany prıpad proudšnı. τ0 je tecne napštı na stšnš, ρ je hustota tekutiny.

Druha odmocnina z podılu tšchto dvou velicin ma rozmšr rychlosti a nazyva se trecı rychlost v* , y je

odlehlost od stšny potrubı, κ je tzv. Karmanova konstanta, jejız hodnota se pohybuje kolem 0,4 a K1 je

integracnı konstanta. Tento tzv. logaritmicky zakon neplatı v blızkosti stšny, nebo– na stšnš, pro

y = 0, dava nekonecnš velikou rychlost. Ani integracnı konstantu nemuzeme jako obvykle stanovit

z podmınky, ze na stšnš tekutina lpı a rychlost je nulova. Prandtl a Karman proto pozdšji rozdšlili

turbulentnı proud v blızkosti stšny na tri oblasti, t.j.- obr. 3.10.

a) vazkou podvrstvu, v tšsne blızkosti hladke stšny, kde prevazuje viskoznı tecne napštı nad

zdanlivym turbulentnım napštım, nebot' prıcne slozky fluktuacnıch rychlostı jsou stšnou tlumeny.


Tato vrstva byla puvodnš nazyvana laminarnı podvrstvou, ale experimenty bylo prokazano, ze se

v nı vyskytujı fluktuace. Tato vrstva je velmi tenka, zlomky milimetru, ale ma velky vyznam pri

prestupu tepla. Rychlostnı profil je prımkovy .

b) turbulentnı jadro proudu, v urcite vzdalenosti od stšny uz tecne napštı zpusobene viskozitou

tekutiny je zanedbatelnš male ve srovnanı se zdanlivym turbulentnım napštım. V teto oblasti platı

logaritmicky zakon, v teto formš zvany zakon stšny.

c) prechodova vrstva je ta cast proudu, kde obš tecna napštı zpusobena viskozitou nebo

turbulentnım smšs ovacım pohybem jsou radovš stejnš velika a rychlost plynule prechazı z

prımkoveho na logaritmicky zakon.

Na zakladš experimentu provedenych v hladkych trubicıch byly stanoveny i nezname

konstanty v logaritmickem zakonš:

5,5log75,5 *

*

+=ν

yvvvx .

( 10.8 )

V literature zabyvajıcı se turbulencı se zavadı bezrozmšrna rychlost

*vv

v x=+( 10.9 )

a bezrozmšrna odlehlost od stšny

vyvy *=+ .

( 10.10 )

Logaritmicky zakon ma pak tvar

5,5log75,5 += ++ yv

a je znazornšn v semilogaritmickych

souradnicıch na obr.10.3.

Jestlize integracnı konstantu K1 v rovnici (

10.7 ) urcıme z podmınky pro osu trubice, pro

nız je odlehlost od stšny rovna polomšru

trubice y = r0 a rychlost je zde rovna

maximalnı rychlosti maxvvx = , dostaneme po

ňpravš rovnici pro tzv. deficit rychlosti (take

defekt rychlosti) xvv −max coz je ňbytek

rychlosti vzhledem k rychlosti v ose:

yr

vvv x 0

*

max log75,5=−

.( 10.11 )

Z rovnice vidıme, ze deficit rychlosti nezavisı na drsnosti, coz bylo potvrzeno i experimentalnš.

Zname-li rovnice rychlostnıho profilu strednıch rychlostı ( )rv a dokazeme-li integracı po

prurezu stanovit objemovy prutok Qv, strednı objemovou rychlost po prurezu SQv v= a pomšr

maximalnı rychlosti na ose prurezu ku strednı objemove rychlosti v, tj. rychlost, kterou jsme dosazovali

do rovnice kontinuity a do Bernoulliovy rovnice a stejnš jako drıve ji budeme oznacovat prostym

log y +

v+

v = 5.75 log y + 5.5+

v =+ f(y ) +

+

20

15

10

50

1 5 10 30 100

turbulentnı jadroprechodova vrstva

laminarnı podvrstva*v =+

v v x

νv y

y =+*

τρ v = 0*

Obr.10.3 Turbulentnı rychlostnı profil


pısmenem v, pak muzeme teoreticky odvodit i soucinitele trecıch ztrat pri turbulentnım proudšnı. Z

podmınky rovnovahy psane pro elementarnı castici tekutiny ve tvaru valecku o prumšru rovnem

prumšru potrubı d a delce dx.

4

4

0ddpddx π

πτ =( 10.12 )

(odkud muzeme vypocıtat i trecı rychlost jako funkci tlakoveho spadu dp/dx) a z upraveneho

Weisbachova vzorce

dv

dxdp

2

2

λρ= ,( 10.13 )

kde v je strednı objemova rychlost po prurezu, obdrzıme vyraz udavajıcı zavislost soucinitele trecıch

ztrat na velicinach jez zavisı na tvaru rychlostnıho profilu

2*

2

0

88

==

vv

vρτ

λ

( 10.14 )

Poznamka: Mısto logaritmickeho zakona se v turbulentnım proudšnı pouzıva take stars ıho

empirickeho mocninoveho zakona, obr.10.4n

x

ry

vv

1

0max

= ,

( 10.15 )

kde maxv je maximalnı rychlost tj. rychlost v ose potrubı, jehoz polomšr je ro. Exponent n nenı

konstanta, ale mšnı se s Reynoldsovym cıslem od 7 do 10 a s drsnostı potrubı.

Vys e uvedene dva modely turbulence mohou

poskytnout pouze strednı hodnoty slozek rychlostı, prıpadnš

soucinitel turbulentnıch trecıch ztrat. Nedokazı stanovit dals ı

dulezite veliciny, jez charakterizujı turbulenci jako jsou napr.

Reynoldsova napštı, kineticka energie turbulentnıch fluktuacı

( )2222/1 zyx vvvk ′+′+′= atd. Tyto veliciny vs ak spıs e spadajı

do problematiky statistickych modelu a bude o nich pojednano

v kap. 19.

y [m]

osa

0

vx

vmax

r 0

vmaxvstr= 0.8 v [m/s]stena

Obr.10.4 Turbulentnı rychlostnı profil

v obycejnych souradnicıch.


11. Hydraulicky vypocet potrubıHydraulicky vypocet potrubı je zalozen na aplikaci rovnice kontinuity, Bernoulliho rovnice pro

skutecnou kapalinu na urcenı hydraulickych odporu, neboli hydraulickych ztrat.

11.1. Hydraulicke odpory (ztraty)

Pri proudšnı skutecnych tekutin vznikajı nasledkem viskozity hydraulicke odpory, tj. sıly, ktere

pusobı proti pohybu castic tekutiny. Mechanismus hydraulickych odporu je slozity jev, ktery se dosud

nepodarilo exaktnš vyres it az na jednodus s ı prıpady laminarnıho proudšnı. Proto se v hydraulickych

vypoctech uplatnuje rada poloempirickych metod.

Prace trecıch sil (tecnych napštı

od viskozity) pri proudšnı skutecnych

tekutin zpusobuje rozptyl (disipaci)

energie, coz snizuje mechanickou energii

proudıcı tekutiny. Rozpty lena energie se

mšnı v teplo (zvšts ı se vnitrnı energie

tekutiny, poprıpadš okolı), coz je

nezvratna zmšna. Tradicnš se proto

rozpty lena energie nazyva ztratova, i kdyz

nazev neodpovıda zakonu o zachovanı

energie. Rozpty lenou (ztratovou) energii

vztahujeme obvykle na jednotku hmotnosti, tıhy nebo objemu a platı vztah

2

2vghpYe zz

zz ζρ

==== (11.1 )

Pod pojem hydraulicke odpory zahrnujeme pri proudšnı skutecne tekutiny vs echny ňcinky,

ktere zpusobujı rozptyl energie. Rozpty lena (ztratova) energie na hydraulickych odporech se projevı

buť jako tlakovy ňbytek (vynucene proudšnı v potrubı apod.), nebo ňbytkem kineticke energie (vy tok

z nadob otvory apod., anebo snızenım polohove energie (proudšnı v korytech, gravitacnı potrubı

apod.) Ú obr. 11.1.

Hydraulicke odpory se dšlı na odpory trecı a mıstnı. Trecı odpory jsou charakteristicke tım, ze

zavisı na delce potrubı, kanalu, apod. Ztratovy soucinitel trecıho odporu je prımo ňmšrny delce potrubı

L. Mıstnı odpory vznikajı v mıstech, kde se mšnı velikost rychlosti (zmšna prutocneho prurezu), smšr

rychlosti (zakrivene potrubı), poprıpadš velikost i smšr rychlosti (armatury) a dochazı pritom k odtrzenı

proudu a vzniku vır ive oblasti.

Ztratovy soucinitel ζ mıstnıho odporu zavisı na geometrii uvazovaneho mısta (zmšny

prurezu, zakrivenı apod.) a na proudšnı (druh kapaliny, rychlost). Tlakova ztrata zp je rozdıl tlaku na

delce potrubı l (u trecıho odporu) nebo rozdıl pred mıstnım odporem a za nım. Fyzikalnš predstavuje

rozpty lenou energii objemove jednotky proudıcı tekutiny. Ztratova vys ka zh predstavuje rozpty lenou

energii vztazenou na tıhovou jednotku proudıcı tekutiny.

hz

p1 p2

1 2

p1

p 2

x

p dpdx = k

τ0τ0τ021 d

lp1 p2

z 1p -p2p =

Obr.11.1 Tlakovy spad a tecne napštı


11.2. Trecı ztraty v potrubı

Laminarnı proudů nı. U laminarnıho proudšnı pro Re<2320 se velikost tlakove ztraty ci ztratove vys ky

da odvodit analyticky. Pri res enı vyjdeme z rovnice (9.2) pro strednı rychlost

Ldpv z

s η.32

2

=

Z rovnice vypocıtame tlakovou ztratu a provedeme ňpravu

ρρ

ν

η2Re

642

6432 22

2

vdLv

dL

vddLvp z ===

kde νvd

=Re ; ρνη =

Potom tlakovy spad je urcen rovnicı

ρλ2

2vdLp z =

( 11.2 )

kde trecı soucinitel je urcen vztahem

Re64

=λ( 11.3 )

Pro ztratovou vys ku platı

gv

dL

gph z

z 2

2

λρ

==( 11.4 )

Vys e uvedene rovnice platı pro newtonske tekutiny a s dostatecnou presnostı i pro potrubı

s pomšrnou drsnostı do 05,0≤ε . Jak dokazaly experimenty je odchylka od vypoctenych hodnot

mens ı nez 1%. To ovs em predpoklada vyvinuty rovnomšrny rychlostnı profil. Pri nerovnomšrnem

rychlostnım profilu, ktery je zpusoben napr. mıstnım odporem, jsou trecı ztraty všts ı, a to o 10 az 30%,

pro trecı soucinitel platı modifikovana rovnice

ReA

=λ( 11.5 )

kde A = 70 az 85. V tšchto prıpadech je Rek = 1600.

Turbulentnı proudů nı. U turbulentnıho proudšnı je tecne napštı všts ı a proto jsou ztraty trenım všts ı

nez u laminarnıho proudšnı. Vyjadruji se stejnym zpusobem, tj. ztratovou vys kou hz nebo tlakovou

ztratou pz jako u laminarnıho proudšnı ( tzv. Darcy-Weisbachova rovnice)

ρλ2

2vdLp z =

( 11.6 )

gv

dL

gph z

z 2

2

λρ

==( 11.7 )

Soucinitel trenı λ je zavisly na velikosti Reynoldsova cısla Re a relativnı drsnosti dk

=ε


( )ελ Re,f= ( 11.8 )

kde v

vd=Re - Reynoldsovo cıslo

dk

=ε - relativnı drsnost stšny

k Ú je absolutnı drsnost stšny potrubı

Rovnice pro trecı soucinitel se neda res it analyticky, proto musela by t stanovena experimentalnš. Pro

hladke potrubı 0=k , v roce 1913 odvodil Blasius empiricky vztah

4 Re3164,0

=λ ( 410.8ReRe ≤≤k )( 11.9 )

Nikuradse pro hladke potrubı udava podle vysledku pokusu vzorec

( )[ ]28,0Relog2

1

−=

λλ ( )410.6Re⟩

( 11.10 )

Vliv drsnosti potrubı vys etroval

Nikuradse v letech 1930 az 1933.

V experimentech pouzil bronzove potrubı

kruhoveho prurezu o ruznych prumšrech.

Nejprve provedl mšrenı v hladkem potrubı.

Potom mšnil drsnost potrubı nalepenım

trıdšnych pıskovych zrn. Vysledky mšrenı jsou

uvedeny v diagramu na obr. 11.2. Krivky pro

ruzne pomšrne drsnosti kr se odpoutavajı od

prımky Blasiovy, ktera predstavuje prubšh

soucinitele trenı pro hladke potrubı.

S rostoucım Reynoldsovym cıslem prechazejı

v soustavu car rovnobšznych s vodorovnou osou. Z obr. je patrne, ze od urciteho Reynoldsova cısla,

ktere zavisı na pomšrne drsnosti, ma soucinitel trenı hodnotu stalou a nezalezı na Re.

V teto oblasti Ú zvane vyvinute turbulentnı proudšnı Ú vyjadril Nikuradse soucinitel trenı

vztahem

2

138,1log2

1

+

=

kd

λ

⟩ 2,191Re λ

dk ( 11.11 )

Mezi oblastı hydraulickych hladkych potrubı a oblasti vyvinuteho turbulentnıho proudšnı je

oblast prechodova, v nız soucinitel trenı λ zavisı jak na Reynoldsovš cısle, tak na pomšrne drsnosti.

Pro tuto oblast bylo ruznymi autory odvozeno nškolik desıtek rovnic, nejcastšji se vs ak pouzıva

vzorec, ktery odvodil Colebrook

Obr.11.2 Nikuradseho diagram λ =(Re,ε)


2

2 27,0Re

51,2log21;

27,0Re

51,2log2

1

+

=

+

=

dk

dk λλ

λ

λ( 11.12 )

Tato rovnice je implicitnı a λ se musı res it iteracı. Proto byly v poslednıch letech mnoha autory

odvozeny pro λ explicitnı vzorce. Jako prıklad je uvedena rovnice odvozena Churchillem

( )121

5,1

12 1Re88

++

=

baλ

16169,0

Re3753027,0

Re7ln457,2

=

+

−= ba ε

( 11.13 )

Absolutnı drsnost potrubı k zavisı na druhu materialu, zpracovanı a provoznıch podmınkach

(koroze, eroze). Podle zkus enostı ruznych autoru jsou v tab 1.11 uvedeny drsnosti vybranych

materialu.

Tabulka 1.11 Absolutnı drsnost materialu potrubı

Absolutnı drsnost potrubı kMaterial potrubı Puvodnı stav (mm) Korodovany stav (mm)

Tazene trubky mosazne, mšdšne, hlinıkove 0,0015 az 0,003 0,003 az 0,1

Bezes ve trubky ocelove 0,04 az 0,1 0,1 az 0,9

Tazene trubky ocelove 0,03 az 0,12 0,12 az 0,9

Svarovane trubky ocelove 0,05 az 0,1 0,1 az 0,9

Pozinkovane trubky ocelove 0,15 az 0,5 0,5 az 3,5

Vodovodnı potrubı po 20-ti a vıce letech v provozu 0,6 az 3,0

Sklenšne trubky, trubky z plastu 0,001 5 az 0,01

Pryzove hadice 0,01 az 0,03

Betonove potrubı 0,3 az 6,0

Zdrsnšnı vnitrnıch stšn potrubı vytvarel Nikuradse umšle trıdšnym pıskem. Tato umšla

drsnost, ktera je temšr rovnomšrna, se vs ak lis ı od skutecne drsnosti, ktera je nerovnomšrna. Proto

prubšh soucinitele trenı v prechodove oblasti se u prirozene drsnosti odlis uje od prubšhu pro umšlou

drsnost, jak to potvrdily Colebrookovy experimenty. Ú obr. 11.3.


log Re

log λ

hladkč potrubıumela

prirozena drsnost

ε =dk = konst

ostra drsnost vlnita drsnost

v v

Obr. 11.3 Trecı odpor v potrubı s prirozenou a

umšlou drsnostı

Obr. 11.4 Druhy drsnostı

Kromš absolutnı velikosti vystupku nerovnosti k ma velikost soucinitele trenı podstatny vliv

tez tvar tšchto vystupku. Rozlis ujı se dvš drsnosti, a to drsnost, ktera je zpusobena ostrymi a kratkymi

vystupky a druha vlnita drsnost, ktera je zpusobena zaoblenymi nerovnostmi tvaru dlouhych vln Ú obr.

11.4. U drsnosti prvnıho druhu zavisı soucinitel trenı vıce na pomšrne drsnosti a menš na Re-cısle. U

vlnite drsnosti zavisı soucinitel vıce na Re-cısle a menš na pomšrne drsnosti.

Vysledky mšrenı trecıho soucinitele λ ruznymi autory, predevs ım Colebrooka, jsou na obr

11.5.

Obr.11.5 Moody-Colebrook diagram λ= f(Re, kr)

Z diagramu ( )rkf Re,=λ je patrne, ze pro turbulentnı proudšnı se krivky pro ruzne drsnosti

primykajı pri nizs ıch cıslech Re k Blasiovš prımce.

Od urcite hodnoty Re se odpoutavajı a priblizujı se vodorovne prımce. V turbulentnım

proudšnı se u stšny potrubı vytvorı vazka podvrstva , ktera prikryva nerovnosti povrchu Ú obr. 11.6.


Z hlediska vlivu drsnosti na soucinitel trenı λ se

rozdšluje turbulentnı proudšnı na tri oblasti

3. Hydrodynamicky hladka stšna Ú v tomto prıpadš

vazka podvrstva zakryje nerovnosti povrchu, tyto nemajı

vliv na ztratu trenım a v potrubı jsou hydraulicke odpory

trenı jako v hladkem potrubı. Takovy obtekany povrch se

nazyva hydrodynamicky hladky (obr. 11.6) - pk δ⟨ .

2. Oblast prechodova Ú v nı nerovnosti povrchu zacınajı

vycnıvat z vazke podvrstvy. Tato oblast je

charakterizovana tım, ze soucinitel trenı je zavisly na Re a pomšrne drsnosti - ( )( )ελ Re,f= .Tato

oblast podle obr. 11.5 lezı mezi Blasiovou prımkou a vodorovnymi prımkami pro ruzne drsnosti.

3. Oblast vyvinuteho turbulentnıho prudšnı Ú v tomto prıpadš je tlous –ka laminarnı podvrstvy mala,

takze nezakryje nerovnosti obtekaneho povrchu. Trecı soucinitel λ je zavisly na pomšrne drsnosti ε.

V obr. 11.5 je tato oblast charakterizovana vodorovnymi prımkami pro ruznou pomšrnou drsnost.

Nekruhove pru tocne pru rezy. Laminarnı proudšnı (vzhledem k platnosti Newtonova zakona pro

tecne napštı od viskozity) v nekruhovych potrubıch se da res it matematicky. U laminarnıho proudšnı

se trenım o stšny potrubı zbrzdı castice v celem prutocnem prurezu. “Meznı vrstvaú vyplnuje cely

prutocny prurez a jeho tvar ma vliv na rozlozenı rychlosti neboli rychlostnı profil. Proto je nutno pro

kazdy prurez odvodit vztah pro trecı ztraty a nelze je prepocıtat z jednoho prurezu na druhy .

U turbulentnıho proudšnı v potrubı se vliv trecıch sil na obtekanych stšnach omezı na

podstatnš mens ı vrstvu, ktera ve srovnanı s charakteristickymi rozmšry prutocneho prurezu je velmi

mala. Tlous –ka meznı vrstvy u turbulentnıho proudu zavisı predevs ım na Re cısle. Jestlize tvar

prutokoveho prurezu potrubı nema v podstatš vliv na soucinitel trenı, jsou ztraty trenım turbulentnıho

proudšnı v potrubı nekruhoveho prurezu urceny stejnymi vzorci jako pro kruhove potrubı. Mısto

prumšru d kruhoveho potrubı je vs ak treba dosadit ekvivalent pro nekruhove prurezy, pomocı nšhoz

se vypocte Re-cıslo, soucinitel trenı a ztratova vys ka. Tento ekvivalent se nazyva hydraulicky prumšr

Ú dh a je urcen vztahem

OSkonstd h =

Konstantu ňmšrnosti je mozno zvolit. Vyhodnš se stanovı z podmınky, aby hydraulicky prumšr

kruhoveho potrubı dh byl roven jeho prumšru d cili dh=d. Protoze OSkd h = a u kruhoveho potrubı je

prutocny prurez 2

4dS π

= a omoceny obvod dO π= je

44

2

dkd

dkd h ==

π

π

Z rovnosti dd h =0 vyplyva konstanta 4=k . Je tedy hydraulicky prumšr definovan vztahem

y v = f (y)

k

δ >k p

0

Obr. 11.6 Hydrodynamicky hladky

povrch


OSd h 4=

( 11.14 )

Ve vyrazu je S prutocna plocha a O je omoceny obvod prurezu. Hydraulicky prumšr hd je

tedy ekvivalent nekruhoveho prurezu a predstavuje kruhove potrubı o svštlosti hdd = , v nšmz jsou

stejne hydraulicke ztraty jako v nekruhovem prurezu. Hydraulicky prumšr se muze dosadit do vyrazu

pro pomšrnou drsnost, do Reynoldsova cısla a do vyrazu pro ztratovou vys ku

( )h

rh

rh

z dkk

vvdkf

gv

dh ==== ;Re;Re,;

21 2

λλ( 11.15 )

Z toho je patrne, ze vypocet ztraty trenım v nekruhovem potrubı (turbulentnı proudšnı) je shodny

s vypoctem teze ztraty v kruhovem potrubı. Pro prechod laminarnıho proudšnı v turbulentnı

v nekruhovych prurezech se uvazuje kRe stejne jako u kruhoveho potrubı.

11.3. Mıstnı odpory (ztraty)

V kazdem potrubı byvajı vedle rovnych ňseku i ruzna kolena, odbocky, armatury, mšrıcı

zarızenı, cistice, chladice apod., kromš toho se muze mšnit prurez potrubı. V tšchto castech potrubı

dochazı ke zmšnš velikosti i smšru rychlosti proudšnı, coz vyvola vırenı, poprıpadš odtrzenı proudu

kapaliny spojene s rozptylem energie. Energie proudıcı kapaliny se rozptyluje v mıstš potrubı, kde

dochazı ke zmšnš vektoru rychlosti, proto je rozptyl nazvan mıstnımi ztratami.

Velikost mıstnıch ztrat se vyjadruje obdobnš jako ztrata trenım rychlostnı vys kou a ztratovym

soucinitelem

gvh mzm 2

2

ζ=( 11.16 )

nebo jako mšrnou ztratovou energiı

2

2vghe mzz ζ==( 11.17 )

Ztratovy soucinitel mζ zavisı na druhu mıstnı ztraty, konstrukcnıch parametrech, drsnosti

stšn, tvaru rychlostnıho profilu a na rezimu proudšnı. Vliv Re-cısla se projevuje Ú obdobnš jako u

trecıch odporu Ú predevs ım pri malych hodnotach Re-cısla.

Pri velkych Re-cıslech je ztratovy soucinitel odporu konstantnı. Slozitost jevu spojenych

s vırenım v mıstnıch odporech zpusobuje to, ze teoreticke stanovenı ztratoveho soucinitele mıstnıch

odporu je nedostupne (kromš jednoduchych prıpadu). Proto se ztratovy soucinitel ζ urcuje

experimentalnš. Takto urcena zavislost ztratoveho soucinitele platı jen ve stejnych podmınkach, za

nichz byl mšren, nebo ve fyzikalnš podobnych prıpadech.

Mıstnı odpory v potrubı se mohou vyjadrit ekvivalentnı delkou el potrubı, v nšmz je ztrata

trenım stejna jako mıstnı ztrata. Z rovnosti ztratovych vys ek

gv

dl

gv e

22

22

λζ =


se urcı ekvivalentnı delka potrubı

dle λζ

=( 11.18 )

Za soucinitel trenı a prumšr se dosadı hodnoty platne pro rovny ňsek potrubı. Pri zmšnach

prurezu se mšnı prutocna rychlost a mıstnı ztraty se mohou vyjadr it v zavislosti na prıtokove 1v nebo

odtokove rychlosti 2v - obr. 11.7.

gv

gvhz 22

22

2

21

1 ζζ ==( 11.19 )

Z teto rovnice vyplyva vztah pro prepocet ztratovych soucinitelu2

2

12

2

1

221

=

=

SS

vv

ζζζ( 11.20 )

Upraveny pomocı rovnice kontinuity 2211 vSvS = . Pro kruhove prurezy platı

1

4

1

222

4

2

11 ; ζζζζ

=

=

dd

dd ( 11.21 )

Ztrata nahlym rozsırenım pru rezu.Pri nahlem rozs ırenı prurezu se odtrhne

proud kapaliny od stšn a vytvorı se vıry obr. 11.7.

Na delce rozs ıreneho potrubı se proud kapaliny

rozs ırı znovu po celem prurezu. Se zmšnou

rychlostı je pojena zmšna tlaku. Pri rozs ırenı

prurezu klesa strednı rychlost, a proto musı

stoupnout tlak. Pro dokonalou tekutinu, ktera by

nemšla ztraty trenım ani vırenım, je dan tlakovy

rozdıl Bernoulliho rovnicı

( )22

2112 2

vvpp t −=−ρ

Teoreticky tlak v prurezu 2 je oznacen tp2 a je mens ı o tlakovou ztratu spojenou s rozs ırenım

prurezu. Pr i proudšnı skutecne tekutiny v potrubı a kanalech nenı rozlozenı po prurezu rovnomšrne, a

proto kineticka energie takoveho proudu je všts ı, nez odpovıda hodnotš vypocıtane ze strednı

rychlosti podle prutoku, jak bylo odvozeno drıve.

Pri nerovnomšrnem rozdšlenı rychlostı jsou ztraty pri nahlem rozs ırenı prurezu všts ı nez pri

rovnomšrnem. Nasledujıcı vypocet se provede pro rovnomšrny rychlostnı profil. K vypoctu hybnosti je

treba spravnš volit kontrolnı objem, ktery musı zahrnovat celou oblast, v nız se mšnı rychlost proudu.

V uvazovanem prıpadš tvorı kontrolnı objem valec omezeny prurezy 1 a 2. Brzdicı sıla ve smšru

proudu je dana rozdılem tlakovych sil v prurezech 1 a 2. Protoze tlak v prurezu je konstantnı, je brzdicı

sıla, ktera vyvola zmšnu hybnosti, dana vyrazem

( ) 22 1SppF −=

1

1

2

2

S 1 p1v1

p2

2

v2

S

Obr.11.7 Nahle rozs ırenı prurezu


Tlak v prurezu 1 tšsnš za rozs ırenım je stejny jako tšsnš pred rozs ırenım, protoze proud

kapaliny se nerozs ır il, a tım i tlak se tedy nezmšnil. Brzdicı sıla F se rovna zmšnš hybnosti kapaliny

protekle v jednotce casu. Hybnost v prurezu 1 je dana vyrazem 1211 SvH ρ= , podobnš v prurezu 2 je

2222 SvH ρ= . Prutok kapaliny prurezy 1 a 2 je stejny . Hybnostnı všta vQF m∆= ma tvar

( ) ( )2122212 vvvSSpp −=− ρ

Tlakovy rozdıl je urcen Bernoulliho rovnicı pro skutecnou kapalinu,

( ) zghvvpp ρρ

−−=− 22

2112 2

Odectenım poslednıch dvou rovnic se dostane po ňpravš vyraz pro ztratou vys ku nahlym rozs ırenım

prurezu pri uzitı rovnice spojitosti 2211 SvSv =

gv

vvv

SShz 2

2122

22

22

21

2

1

2

−−−

=

Dals ı pravou dostaneme

( )gvv

gv

SS

gv

SShz 22

12

12

2121

2

2

122

2

1

2 −=

−=

−=

( 11.22 )

Tento vzorec byva nazyvan Borduv (1766) nebo Carnotuv. Ztratovy soucinitel pro nahle rozs ırenı je

urcen pro prutokovou rychlost 1v (oznacen 1ξ ) a odtokovou rychlost 2v (oznacen 2ξ ) tšmito vyrazy:

22

2

1

2

2

11 11

−=

−=

dd

SS

ζ

22

1

2

2

1

22 11

−

=

−=

dd

SS

ζ ( 11.23 )

Ztrata nahlym rozs ırenım prurezu je zpusobena vıry v oblasti mezi odtrzenou proudnicı a

stšnami. Pri velkem pomšru prurezu 1

2

SS

je ztrata všts ı nez vypoctena hodnota, nebo– se muze

rozpty lit cela rychlostnı vys ka. Vteka-li kapalina rychlostı 1v z potrubı do velke nadrze, v nız je rychlost

2v zanedbatelna, rozpty lı se cela kineticka energie kapaliny.

Ztrata nahlym zňzenım pru rezu.K teto ztratš dochazı v mıstš nahleho zňzenı prurezu, kde se zňzenım vyvola zrychlenı

kapaliny. Proud kapaliny nemuze nasledkem setrvacnosti sledovat tvar stšn potrubı. Matematicke

res enı ztraty zňzenım vychazı ze zmšny hybnosti kapaliny. Postup odvozenı je obdobny jako pro

nahle rozs ırenı. Pro ztratovou vys ku se odvodı rovnice


gv

gv

gv

SS

gv

SS

SS

gvv

gpphz 222

12

12

22

2

21

1

22

1

221

2

1

2

122

2121 ζζ

ρ==

−=

−=

−+

−= ( 11.24 )

Ztratovy soucinitel ζ vztazeny na prıtokovou rychlost 1v nebo odtokovou rychlost v2 je

2

1

2

11 1

SS

SS

−=ζ

−=

1

22 1

SS

ζ

Ztraty v difuzorech. Pr i ztratš nahlym rozs ırenım bylo dokazano, ze dochazı ke znacnym ztratam

zpusobenym odtrzenım proudu a vırenım. Ztraty mohou by t podstatnš zmens eny, jestlize prechod

z mens ıho prurezu na všts ı bude pozvolny , jak je tomu u difuzoru. Difuzor se pouzıva hlavnš tam, kde

je treba premšnit kinetickou energii proudu na tlakovou (u podzvukovych rychlostı) s nejmens ımi

ztratami. Je znamo, ze velmi malym rozs ırenım prurezu se mšnı znatelnš proudšnı, a to zejmena

rychlostnı profil, ktery je tım vıce protazen ve smšru proudšnı, cım je ňhel rozs ırenı všts ı (obr. 11.9).

Do ňhlu rozs ırenı o6=α az 8o zustava protazeny rychlostnı profil symetricky k ose difuzoru. Pri

dals ım zvšts enı ňhlu se proud ňcinkem tlakoveho gradientu odtrhne od stšny a symetrie proudu se

porus ı.

Pri ňhlech rozs ırenı α = 10o az 50o

nastava odtrzenı proudu zpravidla od jedne

stšny, na nız je rychlost mens ı. Proto

nemuze dojıt k odtrzenı proudu na protšjs ı

stšnš. Rychlostnı profil se stane

nesymetrickym. Nesoumšrnost proudu je

casto doprovazena nestabilnım odtrhavanım,

coz vyvola kmitanı proudu (pulsace) a

tvorenı vıru.

V difuzorech s všts ımi ňhly rozs ırenı nez 50o az 60o nemuze proud sledovat stšny difuzoru a

odtrhava se po celem prurezu. Odtrhavanı od stšny je doprovazeno mens ımi pulsacemi proudu.

V rozs irujıcı se troubš nebo kanale vzrusta smykove napštı nasledkem zvys enı turbulence, coz

zpusobuje zvys enı ztrat. Rovnšz pulsace prispıvajı ke zvys enı ztrat. Nastava-li odtrzenı proudu

v difuzoru, jsou ztraty zpusobeny prevaznš vzniklymi vıry. Vs echny ztraty mohou doprovazet ztratu

trenım v difuzoru. Celkove ztraty v difuzoru je mozno rozepsat na ztratu trenım a ztratu spojenou se

zmšnou prurezu, takze zrztzd hhh += .

Skutecny tlakovy rozdıl na difuzoru je dan rozdılem tlaku v rozs ırenem a pocatecnım prurezu a

musı splnovat Bernoulliho rovnici pro skutecnou tekutinu cili

A

A

C

C

B

B

S 2mv1 v2

p2p1

S 1

S 2

p'

Obr.11.8 Nahle zňzenı prurezu

α

lk ld

S1 v1

v2

S 2

Obr.11.9 Kuzelove potrubı (difuzor)


zghpvpv++=+

ρρ2

221

21

22 zdghvvpp ρρ −

−=−

2

22

21

12

Protoze ztratova vys ka se da vyjadrit rychlostnı vys kou v prurezu 1, je ztratovy soucinitel difuzoru dan

vyrazem

21

12

2

2

121

12

2

1

2

2

1

221

1 21

2

11

2v

ppSS

vpp

vv

vv

gvhzd

d ρρ

ζ−

−

−=

−−

−=

−==

Podobnš se urcı ztratovy soucinitel difuzoru vztazeny na odtokovou rychlost 2v :

22

12

2

1

222

12

2

2

122

2 2121

2v

ppSS

vpp

vv

gvhzd

d ρρζ

−−−

=

−−=

==

Pro dokonalou tekutinu (bez ztrat) je tlakovy rozdıl mezi prurezy 1 a 2 všts ı,

2

22

21

12vvpp −

=−′ ρ

Ucinnost difuzoru, s nız se mšnı kineticka energie na tlakovou, je dana pomšrem skutecneho rozdılu

tlaku k teoretickemu, to je

22

122

1

2

21

122

2

1

22

21

12

12

12

1

2

1

2

2v

pp

SSv

pp

SSvv

pppppp

d ρρρ

η−

−

=

−

−

=−

−=

−′−

= ( 11.25 )

Hydraulicke ztraty v difuzoru jsou spojeny se zmšnou prurezu, a proto je lze vyjadrit v pomšru ke

ztratš nahlym rozs ırenım Ú rov. 11.22.

( )gvv

hhh zd

zn

zdr

2

221 −

==ζ

Soucinitel rζ se nazyva stupen razu. Pr i rostoucım ňhlu rozevrenı difuzoru, kdy zmšna prurezu

prechazı v nahlou zmšnu, se stupen razu blızı hodnotš jedna.

Hydraulicke ztraty v difuzorech se dajı vyjadrit tremi zpusoby:

( )gvv

gv

gvh rddzd 222

221

22

2

21

1−

=== ζζζ( 11.26 )

Ztratove soucinitele 21 , dd ζζ a stupen razu rζ se urcı mšrenım. Pro vzajemny prepocet soucinitelu

21, dd ζζ , rζ slouzı rovnice

rdd SS

SS

SS

ζζζ2

2

12

2

1

2

2

2

11 12

−=+

−

−=

( 11.27 )

nebo


rd SS

SS

SS

ζζζ2

1

21

2

1

2

2

2

12 2

=+−

+

=

( 11.28 )

Kuzelove potrubı. Pri zuzovanı prurezu je hydraulicka ztrata zpusobena rovnšz trenım a lze ji urcit

integracı na elementarnı delce kuzeloveho potrubı. Ú obr. 11.10. Ztrata trenım na elementarnım ňseku

dx urcena vztahem

gv

ddxdhz 2

2

λ=

Celkova ztrata se urcı integracı diferencialnı rovnice, pricemz je nutno uvazovat zmšnu

prumšru a rychlosti po delce kuzeloveho potrubı. Rovnšz soucinitel trenı λ se mšnı s Re-cıslem,

avs ak v malem rozmezı, takze se uvazuje strednı hodnota sλ jako konstanta. Prumšr d se mšnı se

souradnicı x podle vztahu

xldx

ldd

1

1

2

2 == ; 21

22

1

2

1

2 ;dd

dll

dd

ll

−==

ktery vyplyva z podobnosti trojňhelnıku (obr. 11.10). Z rovnice kontinuity vyplyva pro rychlost2

22

22

2

=

=

xlv

ddvv

Dosazenım do vyrazu pro zdh se dostane

∫=1

2

5

22

2

52

2

l

lsz x

dxg

vdldh λ

a po integraci je ztratova vys ka v kuzelovem potrubı

−= 4

1

42

22

2

2 124

1ll

gv

dlh sz λ =

gv

gv

dd

ddl

s 221

41 2

22

22

41

42

21

ζλ =

−

−

( 11.29 )

Z poslednı rovnice vyplyva vyraz pro ztratovy soucinitel ztraty v kuzelovem potrubı

−=

−

−=

4

1

24

1

42

212 1

28

141

dd

tgdd

ddl s

αλ

λζ( 11.30 )

Zmů na smů ru proudů nı. V kazdem potrubnım systemu se zpravidla vyskytuje prvek, v nšmz se mšnı

smšr rychlosti tekutiny. Tento prvek tvorı zakrivene potrubı, oblouky, kolena a take kombinace

oblouku. V tšchto prvcıch dochazı k rozptylu energie, ktera se vyjadruje mıstnı ztratou zmšnou smšru

proudšnı.

α

12

vv1v2

d 2

dx xl l 2

l 1

d 1

Obr.11.10 Kuzelove potrubı (konfuzor)


R

1

dϕdFp

r

dr

vds

dFc

p + dp

v

pds

dϕ

rdr

1v

1

Obr.11.11 Sıly na elementarnı casti proudu v zakrivenem potrubı

K vytvorenı predstavy proudšnı v zakrivenem potrubı je uzitecne si povs imnout proudšnı

dokonale kapaliny v kruhovem oblouku. Predpoklada se, ze kapalina priteka ke kolenu konstantnı

rychlostı rozlozenou po celem prurezu 1 Ú1 rovnomšrnš (obr. 11.11).

Nasledkem zakrivenı drah pusobı na castice kapaliny odstrediva sıla, ktera musı byt

v rovnovaze s tlakovou silou. Aby vznikla tlakova sıla pusobıcı do stredu krivosti, musı na všts ım

polomšru r pusobit všts ı tlak. Toto lze dosahnout v souladu s Bernoulliho rovnicı tım, ze se rychlost

castice snızı. Pro elementarnı casticı kapaliny o rozmšrech drds, , ktera se pohybuje ve vodorovne

rovinš na polomšru r a ma jednotkovou s ırku, je rovnovaha tlakove a odstredive sıly cp dFdF =

vyjadrena rovnicı

dmr

vdpds2

=

Hmotnost elementarnı castice je drdsdm ρ= . Pro vs echna vlakna na ruznych polomšrech

r , ktera vychazejı z prurezu 1-1, kde rychlosti a tlaky jsou rovnomšrnš rozlozeny, platı Bernoulliho

rovnice

konstvp=+

2

2

ρ 0=+ dvvdp

ρ

z cehoz dvvdp ρ−= .

Dosazenım vyrazu pro diferencialy dp a dm do rovnice vyjadrujıcı rovnovahu sil se po ňpravš

dostane

0=+rdr

vdv

Integracı se dostane krv lnlnln =+ neboli .konstvr =To je zakon potencialnıho vıru. Zavislost rychlosti v a polomšru r je graficky znazornšna

rovnoosou hyperbolou. Ú obr. 11.12. V provedene ňvaze a vypoctech nejsou zahrnuty trecı sıly od

viskozity, ktere se budou uplatnovat pri prutoku skutecne kapaliny. Z hyperbolickeho rozlozenı

rychlostı je patrne, ze mezi casticemi kapaliny jsou relativnı rychlosti, ktere u skutecnych kapalin

vyvolavajı tecne napštı ňmšrne rozdılum rychlostı. Skutecna tekutina nemuze tedy protekat kolenem

jako dokonala kapalina, pro niz byly odvozeny uvedene vyrazy. C astice pomalejs ı budou brzdit castice


rychlejs ı, pr icemz u skutecne kapaliny se castice

premis–ujı na všts ı nebo mens ı polomšr. Vznika slozity

(spiralovy) prostorovy pohyb. Soucastı tohoto proudšnı je

vırive proudšnı v prıcnem rezu, charakteristicke dvšma

vıry opacneho smyslu. Proud na vnitrnı hranš kanalu se

muze odtrhnout, takze vznikajı vıry i u stšn (obr. 11.13).

Prubšh tlaku na vnitrnı a vnšjs ı stšnš kolena je vyznacen

na obr. 11.13. C arkovana prımka znazornuje prubšh

tlaku v prımem potrubı. V diagramu je vyznacena tlakova

ztrata zp a jejı slozky odpovıdajıcı trecım ztratam ( ztp ) a

vırenı ( zvp ).

Obecnš je tedy zavislost ztratoveho soucinitele vyjadrena funkcı

= var.Re,,, tgeom

dRfo εζ

d

z

z

d

δ

d

δd

δd

SOUPA TKO VENTIL KOHOUT KLAPKY

Obr.11.14 Schema armatur

C etne vysledky mšrenı ztratoveho soucinitele jsou uvedeny v literature. Jejich vysledky se

dosti rozchazejı, protoze v zakrivenem potrubı ma vliv mnoho parametru, ktere nejsou stejnš dodrzeny

ve vs ech experimentech.

Odpory v armaturach. Armatury (ventily, s oupatka, kohouty a klapky) slouzı k uzavrenı potrubı nebo

k regulaci prutoku ci tlaku (obr. 11.14). Pri zcela otevrenych uzavšrkach majı byt ztraty co nejmens ı.

Pri plnem otevrenı majı nejmens ı odpor s oupatka a kohouty. U ventilu jsou ztraty všts ı (az 25 krat) a

zavisı na zakrivenı proudnic ve ventilovem tšlese. Hydraulicky odpor je zpusoben jednak trenım, ale

vr

Obr. 11.12 Rychlostnı profil v oblouku

A-A2

2R ϕ

1 1v

d

A

1 2

vnitrnı stena

dč lka kolena

vnejsı stena

l

pz

pzt

pzv

p

Obr.11.13 Proudšnı v zakrivenem potrubı


hlavnš vırenım. Deskou s oupatka, ventilu, klapky nebo tšlesem kohoutu se zuzuje prutocny prurez.

Proud kapaliny nesleduje okrajovymi proudnicemi presnš zmšny prurezu a dochazı k odtrzenı

proudnic a vniku vırivych oblastı. Tyto jevy vyvolavajı hydraulicky odpor spojeny s rozptylem energie.

Ztratovy soucinitel se zjis –uje mšrenım. Obecnš zavisı na konstrukcnım provedenı armatury, na jejım

pomšrnem otevrenı a na Re-cısle. Charakteristicky prubšh ztratoveho soucinitele je znazornšn

v diagramu na obr. 11.15. pro s oupatko.

Protoze armatury predstavujı promšnny odpor Ú obr. 11.15,

pouzıvajı se velmi casto v technicke praxi pro regulaci prutoku

tekutin.

11.4. Gravitacnı potrubı

Gravitacnı potrubı obr. 11.16 spojuje dvš nadrze A,B

se spadem h. Potrubı se predpoklada dlouhe, a proto

prevladajı hydraulicke ztraty trenım, ztraty mıstnı se

zanedbajı. Uvazuje se potrubı jednoduche s konstantnım

prumšrem d a delky l. Nadrze jsou rozlehle, rychlosti na

hladinach jsou velmi male, spad h je tedy konstantnı. Obš

nadrze a gravitacnı potrubı tvorı proudovou trubici, pro kterou

muzeme napsat Bernoulliho rovnici, ktera napsana pro

prurezy 1 a 2 ma tvar

zo gh

pgh

p+=+

ρρ0

neboli zhh =

Toto je rovnice pro gravitacnı potrubı, u ktereho se

potencialnı energie spotrebuje na prekonanı hydraulickych

ztrat. Protoze prevladajı hydraulicke ztraty trenım, s vyuzitım

Darcy-Weisbachovy rovnice se predchazejıcı rovnice upravı

hg

vdlhz ==

2

2

λ

Pomšrny spad je urcen pomšrem

5

2

2

22 822 d

QgS

Qgdg

vdl

hi v

πλλλ

=

===

( 11.31)

Protoze pomšrny spad je maly , proto platı lh

Lhi == & , nebo– pro male ňhly α je ααα == && sintg .

Pokud nenı vliv mıstnıch ztrat zanedbatelny , potom Bernoulliho rovnice mezi prurezy 1 a 2 se

zapıs e ve tvaru

( )g

vd

llg

vdlhh e

z 22

22 ∑+=

+== ∑ λζλ

Zde le je ekvivalentnı delka potrubı nahrazujıcı mıstnı ztraty (viz kap. 11.3)

obdč lnıkovy

kruhovy prurez

v

d Sz

1.21.00.60.40.2 0.800

4

8

12

16

20

24

zd

ξ

Obr.11.15 Ztratovy soucinitel

s oupatka

1

hd

l

p0

p

2 p0

B

A

L

α

v

Obr.11.16 Gravitacnı potrubı


11.5. Jednoduche potrubı s nadrzı

Pro jednoduche potrubı Ú (obr. 11. 17) delky l,

prumšru d, pro prurez 1 a 2 za predpokladu , ze nadrz

je rozmšrna Ú v1→0 platı Bernoulliho rovnice

( )czv

dlvghvgh ζζλ +=

++=+= ∑ 1

21

22

222 ( 11.32)

V rovnici jsou uvazovany ztraty trenım i ztraty mıstnı -∑ζ . Celkovy ztratovy soucinitel

dll

dl e

c∑∑

+=+= λζλζ

zahrnuje ztraty trenım a vs echny ztraty mıstnı (vtok do potrubı, oblouky, armatury apod). Mıstnı ztraty

je mozne vyjadrit take pomocı ekvivalentnı delky Ú lek.

Jednoduche potrubı je urceno pro hydraulicky vypocet ctyrmi velicinami: delkou potrubı l,

prumšrem potrubı d , spadem h a rychlostı v nebo prutokem Q . Soucasnš jsou zname fyzikalnı

vlastnosti tekutiny, absolutnı drsnost stšny potrubı, trecı soucinitel λ a ztratovy soucinitel vs ech

mıstnıch ztrat. Jedna ze ctyr velicin vhdl −−− nebo Q muze by t urcena res enım rovnice (11.33)

pri cemz pro trecı soucinitel je vhodne volit explicitnı rovnici, aby nebylo nutne λ pocıtat iteracı.

Pri navrhu potrubı je nutne vzhledem ke spolehlive cinnosti potrubı dodrzet dulezitou

podmınku a sice, ze osa potrubı vzdy lezı pod carou tlaku. Pro definovanı cary tlaku predpokladejme

vodorovne potrubı s nadrzı Ú obr. 11.18.

Odecteme-li od hladiny v nadrzi

rychlostnı vys ku g

v2

2

a spojıme-li takto

vznikly bod s koncem potrubı dostaneme

caru tlaku. Protoze u potrubı obvykle

hg

v⟨⟨

2

2

pak caru tlaku dostaneme, jako

spojnici hladiny v nadrzi s koncem potrubı Ú obr. 11.19.

Obr. 11.18 uvadı caru tlaku u potrubı s mıstnı ztratou napr. armaturou situovanou v obecnem mıstš

potrubı.

p 0

p 0

1

2v

hd

l

Obr. 11.17Jednoduche potrubı

p0

h 2gv 2

v 2

2gcara tlaku

cara energie

cara tlaku

Obr. 11.18 C ara tlaku pro jednoduche potrubı


11.6. Slozene potrubı

V technickych aplikacıch se uzıva velmi

casto i potrubnı slozenı Ú tzv. potrubnı sı– - obr.

11.20. Slozenı potrubı mohou by t vštvena nebo

okruznı. Okruznı potrubı vznikne tak, ze ve

vštvene sıti se dva uzly spojı tzv. diagonalou. U

potrubnı sıtš se predpoklada, ze odbšry budou

pouze v uzlech sıtš.

Pro kazdy uzel slozeneho potrubı musı

platit rovnice spojitosti -∑ = 0iQ . pro kazdy

ňsek (vštev) je mozne napsat rovnici pro

tlakovy spad (pro jednoduchost se uvazujı

vs echny ňseky vodorovnš)

gv

dL

gvp ii

c 22 1

21

∑+==∆ ζλζ

Pro kazdy okruh platı 0=∆∑ p . Ma-li potrubnı sı– i ňseku, j uzlu a k okruhu, potom celkovy

pocet rovnic popisujıcıch potrubı je

kjin ++= ( 11.33 )

Jedna se o soustavu linearnıch a kvadratickych rovnic. Jejich res enı je nutne provest numericky

s vyuzitım pocıtace. Je vhodne pripomenout, ze pro numericke res enı se hledajı vhodne algoritmy,

ktere zarucujı rychlou konvergenci res enı.

11.7. Charakteristika potrubı

U jednoduchych prıpadu vypoctu potrubı je vyhodne pouzıt graficke res enı pomocı charakteristik,-

( )vQfH = , ktere pro rozvinute turbulentnı proudšnı jsou vyjadreny kvadratickou parabolou. U

slozitych potrubnıch sıtı bude naopak vyhodne uzitı numerickych metod pomocı pocıtace.

Uvazujeme vodorovne potrubı staleho prurezu obr. 11.21. Pro

pocatecnı prurez 1 a konecny prurez 2 napıs eme Bernoulliho rovnici

2

222

211

22ghvpvp

++=+ρρ

protoze predpokladame potrubı konstantnıho prurezu, potom z rovnice

spojitosti platı 21 vv = a rovnice se zjednodus ı. Po ňpravš dostaneme.

vvQvQvc

c QQkQkQdgg

vg

ppH ==

==

−= 22

2

2

221 4

22 πζ

ζρ

( 11.34 )

h

0

cara tlaku2g

2

v

p

v

ζ

Obr. 11.19 C ara tlaku potrubı s armaturou

p0

1A

B

2

37

6

5

4

F

G

H

C

D

8 Diagonala

Obr. 11.20 Schema potrubnı sıtš

p1 p21 2L

v1 v2d

Obr. 11.21 Schema

vodorovneho potrubnıho

ňseku


kde ∑+= ζλζdL

c

Tlakova vys ka H udava rozdıl tlakovych vys ek na pocatku a na konci potrubı, ktery je potrebny pro

prutok Q. Zavislost ( )vQfH = je kvadraticka parabola a jejı graficke znazornšnı je charakteristika

potrubı Ú obr. 11.22

Je-li na zacatku potrubı zpštna klapka,

ktera branı prutoku v opacnem smyslu, potom

charakteristika potrubı ve tretım kvadrantu splyne

se zapornou osou H. Pro potrubı se stoupanım (se

spadem)- obr. 11.23 obdobnym zpusobem

odvodıme rovnici pro tlakovou vys ku.

vvQvQ QQkhQkhg

ppH +±=+±=−

= 221

ρ

( 11.35)

hv2

1

1

2

v h

Schema potrubnıho ňseku se stoupanım Schema potrubnıho ňseku se spadem

Obr. 11.23

Charakteristika potrubı se stoupanım (klesanım) je rovnšz kvadraticka parabola, ktera ma

vrchol paraboly posunut nahoru (dolu) o vys ku h.-obr. 11.24.

H

-H

-Qv Qv0

H

-H

0 Qv

h

zpetna klapka

h

H

-H

v Qv0

H

-H

0 Qv-h

zpetna klapka

-h

Charakteristiky potrubı se stoupanım Charakteristiky potrubı se spadem

Obr. 11.24

Useky potrubı mohou by t razeny seriovš (za sebou) nebo paralelnš (vedle sebe). Pri seriovem

razenı potrubnıch ňseku je prutok kazdeho ňseku stejny , tlakove vys ky vs ech ňseku se scıtajı. Pri

paralelnım razenı potrubnıch ňseku jsou tlakove vys ky pro vs echny ňseky stejne a prutoky ve vs ech

ňsecıch se scıtajı.

-H

H

Qv-Qv0 Qv

H

-H

zpetna klapka

H Q2

vH Qv

2

Qv1

H1

Obr. 11.22 Charakteristiky vodorovneho

potrubı


12. Vytok kapaliny z nadob, prepady

12.1. Vytok malym otvorem

Uvazujeme vy tok kapaliny otvorem ve dnš podle obr.12.1

Protoze polohova vys ka je pro cely otvor konstantnı, potom rychlost

v otvoru je rovnomšrnš rozlozena. Vy tokova rychlost v tomto prıpadš se

vypocıta z Bernoulliho rovnice. V obecnem prıpadš se uvazuje v nadrzi

tlak p , ktery je odlis ny od tlaku ovzdus ı 0p , do nšhoz vyteka kapalina

otvorem o prurezu 0S . Nadoba ma konstantnı prurez nS (valec, hranol)

a je naplnšna do vys ky h (obr. 12.1). Pro skutecnou kapalinu platı

Bernoulliho rovnice psana pro hladinu v nadrzi a pro vy tokovy prurez

ρρ0

220

22pghvghvp

z ++=++( 12.1)

Predpokladame, ze prurez vy tokoveho otvoru 0S je ve srovnanı a

prurezem nadrze nS velmi maly potom rychlost poklesu hladiny 0→ov

Pro ztratovou vys ku platı znama rovnice

gvhz 2

.2

ζ=

Potom z rovnice (12.1) pro vy tokovou rychlost platı

−+=

−+

+=

ρϕ

ρζ00 22

11 ppghppghv

( 12.2)

Pro teoretickou vy tokovou rychlost ( )0=ζ dostaneme

−+=

ρ02

ppghvt

Pomšr skutecne a teoreticke rychlosti je rychlostnı soucinitel

111

⟨+

==ζ

ϕtv

v ( 12.3)

Pri stejnem tlaku v nadrzi a ve vy tokovem otvoru je vy tokova rychlost urcena rovnicı

ghv 2ϕ= ( 12.4)

Pro 1=ϕ je teoreticka rychlost

ghvt 2= ( 12.5)

coz je znamy Torricelliho vyraz.

p

S0

Sn

h

p0 S

v

v0

Obr.12.1 Vy tok z nadoby

otvorem ve dnš


Pri vy toku z nadoby nevyplnuje proud kapaliny zpravidla cely vy tokovy otvor, nebo– proudnice

se nemohou nahle zakrivit podle hran otvoru. Setrvacnosti castic kapaliny je zpusobeno zňzenı nebo

kontrakce paprsku. Vyjadruje se soucinitelem kontrakce

10

⟨=SS

ε( 12.6)

Soucinitel zňzenı zavisı obecnš na tvaru vy tokoveho otvoru, jeho umıstšnı vuci bocnım stšnam a na

Re-cısle.

Skutecny vy tok kapaliny otvorem po dosazenı rovnice (12.4) a (12.6) je

ghSghSSvQ ov 22... 0 µϕε === ( 12.7)

kde

1. ⟨== ϕεµtv

v

QQ

je vy tokovy soucinitel, ktery rovnšz zavisı na tvaru otvoru ci natrubku a Re-cısle.

Zavislost ( )Re,, f=µεϕ pro ostrohranny otvor podle vysledku mšrenı je uveden na obr. 12.2.

12.2. Vytok velkym otvorem v bocnı stů nů

SdS

b

dhh2

1h

p0

h

Obr.12.2 Rychlostnı, kontrakcnı a vy tokovy soucinitel

maleho otvoru

Obr.12.3 Vy tok velkym otvorem obecneho

tvaru

Pri relativnš velkem otvoru ve svisle stšnš je nutno respektovat zavislost vy tokove rychlosti

kapaliny na hloubce uvazovaneho mısta pod hladinou tlaku ovzdus ı. Skutecna vy tokova rychlost

kapaliny je urcena vztahem (12.2) nebo (12.4). Vy tok kapaliny z nadoby se urcı integracı. Elementem

vy tokoveho otvoru bdhdS = (obr. 12.3) vyteka elementarnı skutecny prutok kapaliny

dhghbdSvdQv .2... µµ ==

Vy tok rozmšrnym otvorem je urcen obecnš integralem

∫ ∫==S

h

hv dhghbdQQ

2

1

2µ( 12.8)


Ma-li otvor obdelnıkovy prurez Ú .konstb = , potom vy tok urcıme integracı rovnice (12.8)

( )23

23

122.32 hhgbQv −= µ

( 12.9)

12.3. Vytok ponorenym otvorem

Kapalina vyteka otvorem do prostredı vyplnšneho rovnšz

kapalinou (obr.12.4). Jde v podstatš o prutok otvorem mezi dvšma

nadobami. Otvor je pod obšma hladinami v nadrzıch, proto je

oznacovan jako ponoreny . Vy tokova rychlost otvorem zavisı na

rozdılu hladin v nadobach.

K odvozenı vztahu pro vy tokovou rychlost se pomyslnš

otvor zakryje deskou. Tlak kapaliny pusobıcı na desku z obou stran

je prımo ňmšrny hloubce uvazovaneho mısta do hladiny tlaku

ovzdus ı. Jejich prubšh je vyznacen v obrazku prımkami. Tlaky

pusobı proti sobš, proto vysledny tlak je dan jejich rozdılem, ktery je po cele stšnš smocene z obou

stran konstantnı ghp ρ=∆ .

Po odkrytı otvoru zacne kapalina pretekat teoretickou vy tokovou rychlostı

ghvt 2=

Tento vyraz je formalnš totozny s Torricelliho vyrazem. Protoze tlakovy rozdıl je po celem prurezu

ponoreneho otvoru stejny , je vy tokova rychlost ve vs ech mıstech stejna a nezavisla na tvaru otvoru

S .

Pro objemovy prutok proto platı rovnice

ghSQv 2.µ= ( 12.10)

12.4. Vytok pri soucasnem prıtoku

Z otevrene nadoby vyteka kapalina ( )vQ otvorem 0S (obr. 12.5) a soucasnš pr iteka vpQ ,

pricemz vvp QQ ≠ . Vy tok pri libovolne vys ce h hladiny je urcen vztahem

ghSQv 20µ=

Kdyz vvp QQ ≠ ., pak se poloha hladiny v nadobš bude mšnit. Pri vvp QQ ⟩ hladina stoupa, pri

vvp QQ ⟨ hladina klesa.

Stoupanı, poprıpadš klesanı hladiny trva tak dlouho, az se dosahne rovnovahy vvp QQ = .

Tomuto ustalenemu stavu odpovıda vys ka hk, pro nız platı

p0h

S v

p0

h

Obr.12.4 Vy tok ponorenym

otvorem


kvvp ghSQQ 20µ==

Vys etrıme zmšnu polohy hladiny v zavislosti na

case t . Predpoklada se, ze v rovnovaznem stavu v case

0=t je hladina ve vys ce 0h . Skokem se zmšnı prıtok

kapaliny na hodnotu .konstQvp = , napr. se vpQ zvšts ı.

V libovolnem casovem okamziku t zpusobı rozdıl pr itekle a

vytekle kapaliny za elementarnı cas dt zvys enı dh hladiny

0p v nadobš o prurezu nS .

( )hhgSdhS

QQdhS

dtk

n

vvp

n

−=

−=

20µ

( 12.11)

Integracı teto rovnice se stanovı cas za ktery hladina stoupne nebo klesne z puvodnı hodnoty 0h na

hodnotu h . V obecnem prıpadš je treba take uvazit, ze

( )hfSn = a ( )tfQvp =

12.5. Vyprazdnovanı nadob

Jestlize do nadoby nepriteka kapalina a tedy 0=vpQ , hladina klesa, az se nadoba vyprazdnı

( )0=h . C as potrebny k vyprazdnšnı nadoby se vypocte z diferencialnı rovnice (12.11) do nız se

dosadı 0=vpQ neboli 0=kh . Pak platı

ghSdhS

dto

n

2µ−=

( 12.12)

Z otevrene nadoby s konstantnım prurezem nS se dostane integracı doba t potrebna ke snızenı

hladiny 0p z vys ky 0h na h

( )hhgS

SdhhgS

St nh

h

n −=−= ∫ −0

00 22

20

21

µµ

Pri ňplnem vyprazdnšnı nadoby je konecna vys ka hladiny rovna 0=h a potrebna doba

vyprazdnšnı nadoby se vypocte ze vzorce

vovov Q

VQSh

ghSSh

t 00

00

0 222

2===

µ

( 12.13)

kde 0V Ú objem nadrze

000 2ghSQv µ= je vy tok na zacatku vyprazdnovanı

Vypocıtana doba ňplneho vyprazdnšnı nadoby pri mens ıch vys kach hladiny h0 se muze lis it od

skutecne doby vyprazdnšnı. To je zpusobeno kvalitativnımi zmšnami ve vy toku kapaliny otvorem,

nebo– pri urcite vys ce hladiny nad otvorem vznikne nalevkovity vır.

S0

Sn

p0

Qv

Qvp

h h 0

kh

v

Obr.12.5 Vy tok pri soucasnem prıtoku


12.6. Prepady

Prepad je vy tok nezaplnšnym otvorem nebo otvorem s neuzavrenym obrysem. (obr. 12.6)

Nejnizs ı mısto vy tokoveho otvoru je korunou prepadu. Vys ka hornı hladiny 0p (pred prepadem) nad

korunou prepadu je prepadova vys ka h .

S prepadem se setkavame na prehradach, kde zajis –ujı propus tšnı pri maximalnıch prutocıch

a udrzenı hladiny v nadrzi pod maximalnı ňrovnı. Prepady majı vyznam rovnšz pro mšrenı velkych

prutoku, napr. v laboratorıch.

Podle polohy spodnı hladiny se rozlis ujı prepady dokonale a nedokonale. Dokonaly prepad je

takovy , pri nšmz spodnı hladina neovlivnuje prutok prepadem. U dokonaleho prepadu je spodnı

hladina pod korunou prepadu (obr. 12.6.) Nedokonaly prepad ma ovlivnšn prutok spodnı hladinou,

ktera je vys e nez koruna prepadu (obr. 12.6). Prepadova stšna muze by t pomšrnš tenka nebo tlusta,

poprıpadš se zaoblenım.

Prutok dokonalym prepadem s volnym proudem se stanovı jako vy tok velkym otvorem ve

stšnš nadoby Úrov. (12.8).

∫=S

v dhhbgQ 2µ

Tato rovnice je rovnice Dubuatova pro obecny tvar

prepadu. Soucinitel prepadu µ je obdobny vy tokovemu

souciniteli. Je zavisly na prepadove vys ce h a

vlastnostech prepadu - var).(Re, tgeom=µ

Pro obdelnıkovy prepad (obr. 12.6) se s ırkou

koruny prepadu b je prutok urcen vzorcem pro rozmšrny otvor ve svisle stšnš (obr. 12.9). Jestlize se

dosadı 01 =h a hh =2 , pak

ghbhQv 232

µ=( 12.14)

Pro prepad s ostrou hranou a pro volny proud, ktery je dobre zavzdus nšn (vzduch ma prıstup pod

prepadajıcı proud), je strednı hodnota soucinitele prepadu 65,0=µ , pokud s ırka prepadu b je rovna

s ırce celeho kanalu 0b . Pro prepady jinych prurezu vztahy pro prutok je mozne najıt v odborne

literature. Pro mšrenı prutoku se velmi casto pouzıva prepad trojňhelnıkovy .

Dokonaly prepad

p0

p0

h

(3-10)h

Nedokonaly prepad

hp

0p

0

Obr.12.6 Dokonaly a nedokonaly prepad


13. Proudů nı v rotujıcım kanale

13.1. Bernoulliho rovnice pro rotujıcı kanal

Pri prutoku kapaliny kanalem, ktery se

pohybuje, se zmšnı energie kapaliny, nebo– na

ni pusobı sıly od pohybu kanalu. (obr. 13.1)

Napr. pr i rovnomšrne rotaci ( ).konst=ω pusobı

na kapalinu odstrediva sıla. Prace, kterou tato

sıla vykona pr i proudšnı kapaliny, ma vliv na jejı

energii. Bernoulliho rovnice jak byla drıve

odvozena v obecnem tvaru

konstUvp=−+

2

2

ρ

zahrnuje v potencialu U praci vs ech

objemovych sil, ktere pusobı na proudıcı

kapalinu, tedy i odstredive sıly pr i rotaci kanalu.

Na castici kapaliny v rotujıcı proudove trubici

pusobı slozky zrychlenı

0;;2 =−== zyr agara ω

Uvazıme-li, ze platı drıve odvozena rovnice, lze zapsat

zUa

yUa

xUagradUa zyx ∂

∂=

∂∂

=∂∂

=⇒= ;;0

pri cemz platı

( )dyadyadxadU zyx ++=

Potom pro svislou osu rotace s vyuzitım vys e uvedenych rovnic se urcı potencial integracı

( )∫ ∫∫∫ ++−=+−=+== konstrghrdrdygdyadxadUU yx 2

222 ω

ω

Dosazenım do obecne Bernoulliho rovnice dostane se pro rotujıcı kanal tato rovnice

konstughvp=−++

22

22

ρ

( 13.1)

Rychlost v je relativnı rychlost kapaliny, jız proudı v rotujıcım kanale, rychlost u je obvodova neboli

unas iva rychlost v uvazovanem mıstš rotujıcıho kanalu. Ostatnı veliciny jsou stejne jako v zakladnı

Bernoulliho rovnici.

1

h 1 r1

U 0

p0

ω g

rω2h

r

v1

av2

r2

h 2

2

c

v

u

Obr.13.1 Rotujıcı kanal


Pri odstredivem prutoku rotujıcım kanalem se unas iva rychlost u zvšts uje a energie kapaliny

se zvys uje. Tak je tomu napr. v odstredivych cerpadlech. Obdobnš pri dostredivem prutoku unas iva

rychlost se zmens uje a energie kapaliny se snizuje. To je prıpad vodnıch turbin (napr. Francisovych).

Prihlızı-li se k hydraulickym odporum pri ustalenem proudšnı skutecnı kapaliny rotujıcım

kanalem, platı pro dva prurezy jedne a tez proudove trubice Bernoulliho rovnice

zghughvpughvp+−++=−++

2222

22

2

222

21

1

211

ρρ

13.2. Odstredive cerpadlo

C erpadlo dodava kapalinš energii, ktera je obecnš vyuzıvana na:

a) zvedanı kapaliny (zvys ovanı polohove energie),

b) zvys ovanı tlakove energie (premıstšnı kapaliny do prostoru s vys s ım tlakem)

c) dopravu kapaliny (premıstšnı kapaliny z jednoho mısta do druheho).

VP

VN

SN

SPC

β1

β2

α2

ω

β2α2

c2v2

u2c2u

αc

β1u1 1

v1c 1

u1

1

32

pv

c3

c1

p00

h sh v

gh

Obr.13.2 Schema cerpacıho zarızenı Obr.13.3 Odstredive cerpadlo

Na cerpadlo C ř obr.13.2. je napojeno sacı SP a vy tlacne potrubı VP, ktera propojujı sacı SN

a vy tlacnou nadrz VN. Podle obr. 13.3 celou drahu kapaliny je mozno rozdšlit na ctyr i casti :

1. sacı nadrz a potrubı Ú kapalina proudı ve stojıcım potrubı z nadrze k cerpadlu, zpravidla vys e

polozenemu,

2. obšzne kolo Ú kapalina proudı v rotujıcım kanale

3. difuzor nebo spirala Ú kapalina proudı ve stojıcım kanale,

4. vy tlacne potrubı a nadrz Ú kapalina proudı z cerpadla do nadrze vy tlacnym potrubım, pro ktere

platı Bernoulliho rovnice pro stojıcı kanal.

Bernoulliho rovnice pro sacı potrubı Ú ňsek 0,1, psana pro hladinu ve spodnı nadrzi a vstup do

obšzneho kola je

zss ghcghpp+++=

2

2110

ρρ


V rovnici jsou tyto veliciny: sh je geodeticka sacı vys ka, zsh jsou hydraulicke odpory v sacım potrubı

cerpadla, 0p je tlak na hladinu v sacı nadrzi. Veliciny oznacene indexem l se vztahujı na vstup do

obšzneho kola cerpadla.

Pro obšzne kolo platı Bernoulliho rovnice pro rotujıcı kanal Ú ňsek 1,2, ktera je pro vstupnı a

vystupnı prurez

zoghuvpuvp+−+=−+

2222

22

222

21

211

ρρ

Rychlosti 21 ,vv jsou relativnı. Rychlosti 21 ,uu jsou unas ive, index 1 znacı vstup do obšzneho kola,

index 2 vystup z obšzneho kola. Ztratova vys ka 0zh zahrnuje ztraty spojene s prutokem kapaliny

obšznym kolem (hydraulicke). Mezi rychlostmi absolutnı, relativnı a unas ivou platı pro vstup i vystup z

obšzneho kola vztah uvc += . Absolutnı rychlostı 2c vystupuje kapalina z obšzneho kola a vstupuje

do difuzoru, kde se kineticka energie mšnı v tlakovou.

Pro difuzor (nebo spiralu) jako stojıcı kanal platı Bernoulliho rovnice psana pro vstupnı a

vystupnı prurez Ú ňsek 2,3.

zdghcpcp++=+

22

233

222

ρρ

Ztraty trenım v difuzoru vcetnš vstupnıch a vystupnıch mıstnıch ztrat jsou zahrnuty ztratovou vys kou

v difuzoru zdh . Rychlost 3c a tlak 3p jsou shodne s tlakem a rychlostnı ve vy tlacnem hrdle cerpadla,

na ktere je pripojeno vy tlacne potrubı nadrze

Bernoulliho rovnice pro vy tlacne potrubı Ú ňsek 3-VN

zvvv ghghpcp

++=+ρρ 2

233

Celkove ztraty ve vy tlacnem potrubı jsou vyjadreny ztratovou vys kou zvh . Veliciny oznacene indexem

v se vztahujı na vy tlacnou nadrz.

Sectenım vs ech ctyr rovnic se dostane

( ) ( ) ( )21

22

21

22

21

222

1 ccvvuuhhhhgpp

hhgY zdzozvzsov

vst −++−−=++++−

++=ρ

( 13.2)

Toto je vyraz pro teoretickou mšrnou energii cerpadla tY , prıpadnš teoretickou dopravnı vys ku

cerpadla tH . Mšrna energie tY predstavuje energii, ktera je predana v cerpadle kazdemu kg

hmotnosti kapaliny. C ast teto energie se spotrebuje v cerpadle, a to ( ) zczdzo ghhhg =+ , coz

predstavuje hydraulicke odpory v obšznem kole a difuzoru cerpadla.

Skutecna mšrna energie cerpadla dY je

( ) ( ) zctddzvzsv

vszctd hHHgHhhgpp

hhgghYY −==++−

++=−= ;0

ρ

( 13.3)


V rovnici pro skutecnou mšrnou energii cerpadla dY je zahrnuta energie potrebna na zvedanı kapaliny

( )vs hhg + , zvys enı tlakove energie ρ

0ppv − a dopravu kapalin, ktera je spojena s prekonanım

hydraulickych odporu v sacım a vy tlacnem potrubı ( )zvzs hhg + .

Pomšr skutecne a teoreticke mšrne energie cerpadla je hydraulicka ňcinnost cerpadla, ve

ktere jsou zahrnuty hydraulicke ztraty spojene s prutokem kapaliny pracovnımi prostory cerpadla.

Dals ı ztraty v cerpadle jsou zpusobeny zpštnym prutokem kapaliny z vy tlaku do sanı, netšsnostmi

mezi rotujıcımi a stojıcımi castmi cerpadla (objemova ňcinnost cerpadla 0η ) a ztratami v loziskach a

ucpavkach (mechanicka ňcinnost cerpadla mη ). Celkova ňcinnost cerpadla je

mhc ηηηη .. 0= ( 13.4)

Uzitecny vykon cerpadla je

dvdm HgQYQP .. ρ== ( 13.5)

Prıkon cerpadla se urcı pomocı celkove ňcinnosti cη ze vztahu

c

vd

c

vd

c

dv

cp

QYQpHgQPPη

ρηη

ρη

..====

( 13.6)

Q v

vQ

char. cerpadla

char. potrubı

provoznı bod

H ,Yd

h + hs v

0

0P, η, ∆h

η ∆hP

d

Obr.13.4 Charakteristika odstrediveho cerpadla

Skutecne pomšry na cerpadle se zjis –ujı experimentalnš na zkus ebnš a z vysledku se

sestavuje charakteristika cerpadla, tj. zavislost mšrne energie dY na prutoku vQ . Charakteristika

cerpadla byva doplnšna tez krivkami prıkonu, celkove ňcinnosti, prıpadnš kavitacnı deprese h∆ - obr.

13.4.

Teoreticka mšrna energie tY , jak vyplyva z odvozenych rovnic, je dana rychlostnımi pomšry

na vstupu a vystupu z obšzneho kola, tj. rychlostmi 2,12121 ,,,, uuccvv 1v v1. ktere urcujı rychlostnı

trojňhelnıky na vstupu a vystupu z obšzneho kola Ú obr. 13.3. Kapalina se pohybuje v obšznem kole


relativnı rychlostı v , ktera svıra s unas ivou rychlostı u ňhel β . Aby nedochazelo k razu, musı lopatky

obšzneho kola mıt smšr relativnı rychlosti. Urcuje tedy ňhel 1β a 2β sklon lopatek na vstupu a

vystupu cerpadla. Podobnš ňhly lopatek v difuzoru jsou dany smšrem absolutnıch rychlostı 2c a 3c ,

jimiz proudı kapalina stojıcım difuzorem. Podle kosinove všty platı pro vstupnı rychlostnı trojňhelnık Ú

obr. 13.3.

11121

21

21 cos2 αcucuv −+=

a podobnš pro vystupnı rychlostnı trojňhelnık Ú obr. 13.3.

22222

22

22 cos2 αcucuv −+=

Dosazenım do vyrazu pro teoretickou mšrnou energii cerpadla tY , se dostane po ňpravš

( ) uutt cucucucuYgH 1122111222 coscos −=−== αα ( 13.7)

kde uc1 a uc2 jsou slozky absolutnı rychlosti do smšru unas ive rychlosti u . Pro skutecnou mšrnou

energii dY platı vyrazy

( )uuhthdd cucugHgHY 1122 −=== ηη ( 13.8)

Je-li ňhel o901 =α tzv. kolmy vstup, potom predchazejıcı rovnice se zjednodus ı uhd cuY 22 ..η=


14. Neustalene proudů nı

14.1. Bernoulliho rovnice pro neustalene proudů nı

Integracı Eulerovy rovnice hydrodynamiky byla zıskana pro dokonalou kapalinu (nestlacitelnou

a bez vnitrnıho trenı) rovnice Bernoulliho

konstt

ghpv

l

=∂∂

+++ ∫ dsvρ2

2

,

ρ = konst

p0

v0

1

20

a, vE 8s l

h

Obr.14.1 Neustaleny proud v potrubı

ktera platı obecnš pro neustalene proudšnı. Pro nejjednodus s ı prıpad neustaleneho proudšnı, kdy

kapalina je nestlacitelna (ρ = konst, K ∞→ ) a potrubı je tuhe (E ∞→ ) a staleho prurezu, je rychlost

proudšnı jen funkcı casu v = v(t) a integral v poslednı rovnici se da vycıslit

aldsadsdtdvds

tv

lll

===∂∂

∫∫∫

Bernoulliho rovnice pro neustalene proudšnı nestlacitelne kapaliny v tuhem potrubı je

konstalghvp=+++

2

2

ρ,

( 14.1 )

kde a je zrychlenı sloupce kapaliny v potrubı o delce l. Ostatnı veliciny majı stejny vyznam jako drıve.

Pro prurezy 1 v nadrzi a 2 na konci potrubı, jımz proteka skutecna kapalina nestacionarnš, platı

Bernoulliho rovnice

zghalvpghvp+++=++

22

22

200

ρρ.

Kdyz se prurez potrubı mšnı, je v kazdem ňseku potrubı jina rychlost a zrychlenı proudu kapaliny. Pro

kazdy casovy okamzik platı rovnice kontinuity pro libovolne prurezy S1v1 = S2v2 = Sv = konst. Po

uplynutı doby dt se zmšnı rychlosti na v1 + dv1, v2 + dv2, v + dv, pro ktere platı obdobnš rovnice

kontinuity S1(v1 + dv1) = S2(v2 + dv2) = S1(v + dv). Z obou rovnic spojitosti se dostane odectenım

S1dv1 = S2dv2 = Sdv a po dšlenı dt je );;( 22

11 a

dtdva

dtdva

dtdv

===

konstSaaSaS === 2211 , ( 14.2 )

coz je druha rovnice kontinuity pro neustalene proudšnı nestlacitelne kapaliny v tuhem potrubı.


14.2. Hydraulicky raz

Odvozenı se provede opšt na nejjednodus s ım prıpadš, kdy potrubı je napojeno na velkou

nadrz, v nız je hladina kapaliny v konstantnı vys i a na konci potrubı je uzavıracı ci regulacnı armatura.

Predpokladejme nahle uzavrenı armatury, cımz se okamzitš zastavı vy tok kapaliny. C astice kapaliny

tšsnš u armatury se zastavı. Jejich kineticka energie se spotrebuje na stlacenı. Tım se vytvorı prostor,

do ktereho dals ı castice vtekajı. Pri narazu na zastavenou kapalinu dochazı k premšnš kineticke

energie na deformacnı praci spojenou se stlacenım zastaveneho sloupce kapaliny. Rozhranı mezi

zastavenou (a stlacenou) kapalinou a pohybujıcı se kapalinou se s ırı od mısta vzniku razu, tj.

armatury, rychlostı zvuku a (= rychlost s ırenı tlakovych vln). Zastavena kapalina ma všts ı tlak o

hodnotu ∆p. Tlakova (razova) vlna, ktere se rıka prıma, se pohybuje rovnomšrnš, takze za cas alt =

probšhne cely ňsek potrubı az k nadrzi a sloupec kapaliny v potrubı je stlacen Ú ma vys s ı tlak o ∆p.

Razova vlna se nemuze s ırit dale do nadrze, kde je volna hladina. Na pocatku potrubı je

v tomto okamziku rozhranı stlacene a nestlacene kapaliny, coz je nerovnovazny stav. Proto stlacena

kapalina zacne expandovat do nadrze, deformacnı energie se premšnı opšt v kinetickou (kapalina

“odpruzıú) a rozbšhne se v opacnem smyslu (od uzavšru do nadrze). Stoupnutı tlaku ∆p se tım zrus ı a

celo teto vlny, zvane odrazena vlna, se s ırı rychlostı zvuku zpšt ke konci potrubı (k armature). Pri

expanzi poslednıch castic na konci potrubı vznikne snızenı tlaku o hodnotu ∆p (castice kapaliny majı

snahu se odtrhnou od zavreneho uzavšru). Tato tlakova vlna (snızenı tlaku o ∆p) se opšt s ırı od

uzavšru k nadrzi, kde se odrazı. Pritom se snızenı tlaku ∆p zrus ı a kapalina se rozbšhne od uzavšru

k nadrzi. Tato odrazena vlna dobšhne k uzavšru, na ktery kapalina narazı, takze dojde opšt

k zastavenı a zvys enı tlaku. Ale to se jiz cely proces s ırenı tlakove vlny opakuje. U kapaliny bez

vnitrnıho trenı nedochazı k ňtlumu a razove vlny by se neustale opakovaly. Ve skutecnych kapalinach

se vnitrnım trenım razove vlny utlumı az prakticky zaniknou. Doba, ve ktere razova vlna se vratı do

mısta vzniku, tj. k uzavšru, se nazyva doba bšhu vlny T a vypocıta se ze vztahu

alT 2

=( 14.3 )

kde l je delka potrubı

a je rychlost zvuku.

V kapalinach je rychlost s ırenı tlakovych vln (zvuku) urcena vyrazem

ρKat =

(14.4 )

Je to teoreticka rychlost zvuku, ktera by se dosahla v dokonale tuhem potrubı. Vzhledem

k pruznosti potrubı je skutecna rychlost mens ı

taa κ= , (14.5 )

kde pro tenkostšnne potrubı je


p0

0

∆x

v

t = 0 va

v = 0

v = 0

0 < t < = T2

la

t = = T2

la

av

vt = T

< t < T = T2

2la

v

v = 0

v = 0a

v

v = 0a

v

t = 2T(t = 0)

T < t < 2T32

32 Tt =

32 TT < t <

∆h

h

lx

v = 0h0

∆h∆h

∆h

h0

h0

∆h

h0

0h

h0

0h

∆h∆

h

Obr.14.7 Pohyb prıme a odrazene vlny a jemu odpovıdajıcı tlakove pomšry v potrubı

EsKd

+=

1

1κ

(14.6 )

kde K je modul stlacitelnosti kapaliny d je prumšr potrubı

E je modul pruznosti materialu potrubı s je tlous –ka stšn potrubı

Pro tlustostšnne potrubı je

22

22

21

1

dDdD

EK

−+

+

=κ ,

kde d je vnitrnı polomšr potrubı

D je vnšjs ı polomšr potrubı.


Stoupnutı tlaku pri hydraulickem razu se dostane z rovnosti kineticke energie a deformacnı prace

pri stlacenı kapaliny v potrubı. Za urcity cas po uzavrenı armatury se dostane razova vlna do

vzdalenosti x od uzavšru.- obr. 14.8 Sloupec kapaliny o delce x se zastavı a jeho kineticka energie

222

21

21

21 VvSxvmvEk ρρ ===

( 14.7 )

se premšnı na deformacnı praci potrebnou ke stlacenı sloupce x o x∆

VpSxFEd ∆∆=∆=21

21 ( 14.8 )

Z rovnosti dk EE = se dostane

VpVv ∆∆=21

21 2ρ neboli

pv

VV

∆=

∆ 2ρ

Pomšrne objemove stlacenı je dano modulem stlacitelnosti kapaliny

pVV

K ∆∆

=11

neboli Kp

VV ∆

=∆

Z porovnanı obou pomšrnych objemovych zmšn dostane

pv

Kp

∆=

∆ 2ρ ( 14.9 )

a stoupnutı tlaku pri hydraulickem razu je

vavKKvp tρρ

ρρ ===∆ 2( 14.10 )

Tento vyraz odvodil poprve N.E. Zukovskij (1897 Ú 1898).

Skutecne zvys enı tlaku pri hydraulickem razu se vypocte se skutecnou rychlostı zvuku a , takze platı

vaavp tκρρ ==∆ ( 14.11 )

V tomto prıpadš se ves kera kineticka energie premšnila v deformacnı praci. Takovemu hydraulickemu

razu se rıka ňplny nebo totalnı. Nastane v tšch prıpadech, kdy doba uzavıranı xt je krats ı nebo rovna

dobš bšhu vlny T , cili

Tt z ≤ ( 14.12 )

Hydraulicky raz predstavuje znacne zvys enı tlaku. Napr. pri zmšnš rychlosti vody smv 1=∆ je pri

totalnım hydraulicke razu stoupnutı tlaku

MPavKvap 4,1104,1110210 693 =⋅=⋅⋅⋅=∆=∆=∆ &ρρ

Pruznostı potrubı je hydraulicky raz snızen.

Bude-li cas uzavıranı Tt ⟨2 jedna se o castecny hydraulicky raz, jehoz res enı vede na

parcialnı diferencialnı rovnice druheho radu, tzv. vlnove rovnice.


15. Vů ta o zmů nů hybnostiVedle bilance hmotnosti, to je rovnice kontinuity a bilance energie pro 1 kg proudıcı kapaliny Ú

Bernouliho rovnice, lze urcit jes tš impulzovou vštu Ú vštu o zmšnš hybnosti. V inzenyrske praxi se

s vyhodou pouzıva vs ude tam, kde se sleduje jen vysledny silovy ňcinek tekutiny na stšnu pevneho

tšlesa. Jejı aplikace na celou radu prıpadu bude uvedena dale.

Odvozenı impulzove všty je nasledujıcı.

Zmšna hybnosti ∫1

2

v

v

mdv je rovna impulsu sıly ∫1

2

t

t

dtF , coz je znamo z mechaniky

∫∫ =2

10

v

v

t

mddt vF( 15.1 )

Pro konstantnı sılu (F = konst) a hmotnost (m = konst) se dostane po integraci

( ) vvvF ∆=−= mmt 12( 15.2 )

Upravou teto rovnice (dšlenım t ) se zıska rovnice

( ) � HHHvvv� vF 1212 =−=−=== mm QQtm �

( 15.3 )

ktera slouzı k vypoctu sil (reakce), kterymi pusobı obtekane plochy na proud kapaliny. Soucin

vQH .m= je prutokova hybnost. Sıla F vyvolana proudıcı kapalinou (akce) je rovna zmšnš

prutokove hybnosti 12 HH − .

Kapalina, ktera vteka do kontrolnıho objemu V rychlostı 1v a vyteka z nšho rychlostı 2v

vyvola pri prutoku vQ sılu F (obr.15.1).

FQv

v2

v1

Qv

∆v

v1

v2 V

V

Qv

v1 v2

v1Fs

s

Qv

v1s

v2

v2s

Obr.15.1 Všta o zmšnš hybnosti pri interakci

proudu kapaliny s tšlesem

Obr.15.2 Urcenı sıly ve smšru s

Pro vypocet slozky sıly ve smšru s platı hybnostnı všta

( ) s2s1ss HvvvF ∆=−=∆= mm QQ ( 15.4 )

kde 21 ,vv jsou slozky rychlostı 21 ,vv do smšru s .

Hybnostnı všta v hydromechanice slouzı k vypoctu sil, ktere by bylo nutno urcit integracı

z Eulerovych rovnic hydrodynamiky.

Prıkladem aplikace hybnostı v hydrodynamice je vypocet silovych ňcinku paprsku kapalin na desky a

tšlesa.


Paprsek kapaliny dopadajıcı kolmo na rovinnou desku zmšnı smšr proudšnı (obr.15.3).

Zmšnou hybnosti se vyvola sıla F . Kontrolnı objem V se volı tak, aby ve vstupnım prurezu proudu

kapaliny byla nenarus ena rychlost 1v , podobnš ve vystupnım prurezu musı proud mıt smšr odtokove

rychlosti shodny s povrchem desky. Protoze paprsek kapaliny proudı v ovzdus ı, je tlakova energie

konstantnı. Rovnšz polohova energie vodorovneho paprsku se nemšnı. Neuvazujı-li se hydraulicke

odpory (po dopadu na desku), musı byt odtokova rychlost 2v stejna jako prıtokova 1v

( vvv == 21 vyplyva z Bernoulliho rovnice).

FQ v

v2

v2

Vv

1S

αv = ϕ v

v2

F

α

v2

v1S

2 1

Obr.15.3 Ucinek paprsku na kolmou desku Obr.15.4 Ucinek paprsku na obecnou rotacnı

plochu

Zmšna rychlosti ve smšru sıly F je 01 −=∆ vvF , nebo– slozka ( )Fv 2 −= 02Fv . Hmotnostnı prutok

mQ je mm QQ ρ= , takze

2SvQv ρρ == vF ( 15.5 )

Aby odtokova rychlost byla rovnobšzna s povrchem desky, musı by t deska rozmšrna. Pr i male desce

se proud kapaliny castecnš odklonı.

Paprsek kapaliny dopadajıcı na rotacnı plochu ve smšru jejı osy vyvolava sılu (obr.15.4)

vF ∆= mQ ,

kde ( )αϕαϕα cos1coscos 11121 −=−=−=∆ vvvvvv

1SvQm ρ=

( )αϕρ cos121 −= SvF ( 15.6 )

Soucinitel ϕ (rychlostnı) vyjadruje vliv hydraulickych odporu (trenı) pri obtekanı rotacnı plochy na

rychlost, ktera se snizuje.

Na unas enou desku pri kolmem dopadu paprsku kapaliny pusobı sıla (obr.15.5)

vF ∆= mQ ( 15.7)

kde zmšna rychlosti je urcena relativnı rychlostı dopadu ( )uv − . Odtokova rychlost ma ve smšru sıly

F nulovou slozku. Je tedy


( ) uvuvv −=−−=∆ 0 ( 15.8)

Hmotnostnı prutok kapaliny, ktera dopadne na desku je

( ).uvSQm −= ρ Silovy ňcinek je tedy

( )2uvSF −= ρ ( )vu⟨ ( 15.9)

Poznamka: Rozdıl mezi hmotnostnım prutokem SvQm ρ=1 ,

ktery vyteka z trysky a hmotnostnım

prutokem ( )avSQm −= ρ , ktery dopada na desku je

roven SuQQQ mmm ρ=−= 12 a spotrebuje se na prodlouzenı

paprsku.

Pohybujıcı se deska muze konat silovym ňcinkem praci. Jejı vykon je urcen vyrazem

( ) uuvSFuP 2−== ρ ( )vu⟨ ( 15.10)

Z rovnice vyplyva, ze pro 0=u a vu = je vykon P nulovy . Musı tedy existovat aspon jeden extrem

pro rychlost v intervalu .0 uv⟨⟨ Z derivace ( ) ( )[ ] ( )( ) 032 2 =−−=−+−−= uvuvSuvuuvSdudP

ρρ

vyplyva 31

=vu

. Protoze ( )vuSdu

Pd 2322

2

−= ρ , je pro 32

⟨vu

zaporne, jde o maximum. Maximalnı

vykon desky je

32

max 274

33SvvvvSP ρρ =

−=

(15.11)

Podobnym zpusobem lze urcit silovy ňcinek na Peltonovo kolo (obr.15.6), ktere sestava z korecku, na

nšz dopada paprsek vody. Na korecku mšnı proud kapaliny smšr proudšnı a tım vyvolava silovy

ňcinek. Voda dopada na korecek (pohybujıcı se unas ivou rychlostı u ) relativnı rychlostı ( )uv − .

V idealnım prıpadš se zmšnı smšr proudšnı o 180o takze z korecku odteka relativnı rychlostı

( )uv −− . Neuvazujı se hydraulicke ztraty. Zmšna rychlosti v∆ po prutoku koreckem je ve smšru sıly

F (totozny s unas ivou rychlostı u ) urcena vztahem

( ) ( )[ ] ( )uvuvuvv −=−−−−=∆ 2 ( 15.12)

Na vs echny korecky Peltonova kola dopadne ves kera voda vytekajıcı z trysky, jejız

hmotnostnı prutok je SvQm ρ= . Silovy ňcinek na Peltonovo kolo je

( )uvSvvQF m −=∆= ρ2 ( 15.13)

a vykon

( )uuvSvFuP −== ρ2 ( 15.14)

I tato funkce ma extrem

Sv

Q Vv

F

v

v

v > uu

2

Obr.15.5 Ucinek paprsku na

pohybujıcı se desku


3max 2

122

2 SvvvvSvP ρρ =

−=

(15.15)

Silove ňcinky proudu kapaliny na potrubı (obr.15.7) se

skladajı z nškolika sil. Na ňsek potrubı (mezi prurezy 1 a

2) pusobı sıla vyvolana zmšnou prutokove hybnosti

kapaliny, a to jak smšrem, tak i velikostı rychlosti

( ) h2h2121h FFvvHHF1

−=−=−= mQ ( 15.16)

kde

2h2

1h1

vFvF

m

m

QQ

==

( 15.17)

Dale pusobı na zvoleny ňsek potrubı tlakove sıly.

Ucinek kapaliny v pomyslnš odstranšnem potrubı v prurezu 1 vyjadruje tlakova sıla

11Sp=p1F ( 15.18)

Podobnš v prurezu 2 pusobı sıla 2pF .

K urcenı vyslednice sil na zvoleny ňsek

potrubı se pricte tıha kapaliny kF , ktera

zaplnuje ňsek potrubı a vlastnı tıha potrubı

gF . Vektorovy soucet sil

gkph FFFF ,,, dava vyslednici sil, ktere

pusobı na ňsek potrubı 1-2:

gkph FFFFF +++= (15.19)

Vyslednici sil F musı prenest uchycenı

nebo zakotvenı potrubı.

Poznamka: Vliv hydraulickych odporu pri proudšnı skutecne kapaliny je zahrnout v tlakove sıle pF ,

neboŠt jejı slozka 2pF zavisı na tlaku 2p v prurezu 2, ktery je ovlivnšn hydraulickymi odpory, jak

vyplyva z Bernoulliho rovnice:

zghghvpghvp+++=++ 2

222

111

22 ρρ

vu

ω

-(v-u)(v-u)

-(v-u)Fuv

Obr. 15.6 Pomšry u Peltonovy turbıny

h 2

h

1

2

S1

p1

S2 p2

1

U = 0

v1

v2

F

FFFk

ghp

FgFk

Fp1

-Fp2

Fp

Fh

Fhp

Fh1

-Fh2

F

Obr. 15.7 Ucinek proudu kapaliny na potrubı

JANALIK,J. - STA VA,P.: Mechanika tekutin

101

16. Obtekanı tů lesPri obtekanı tšles ci pohybu tšlesa v tekutinš vznikajı sıly a momenty. Vyslednou sılu a

moment lze rozlozit obecnš na tri slozky: odpor xF , vztlak yF a bocnı sılu zF a moment klopivy Mz,

klonivy xM a zatacivy yM , obr.16.1

zx

y

My

Mx

Mz

F y

FxFz v

Obr.16.1 Sıly a momenty pusobıcı na obtekane tšleso

Pri symetrickem obtekanı tšles pak budou nšktere z tšchto slozek rovny nule (bocnı sıla a

klonivy a zatacivy moment).

Nachazı-li se tšleso v rozlehlem proudu tekutiny, nelze jiz tak snadno urcit rychlostnı a tlakove pole

kolem tšlesa a teoreticke stanovenı napr. odporu a vztlaku je velmi obtızna ňloha. Jestlize provadıme

vypocet s modelem nevazke tekutiny, dostavame nulovy odpor, coz je v rozporu s nas ı zkus enostı

(D'Alembertuv paradox), nebo– i pri obtekanı tšles vzduchem, ktery ma velmi malou viskozitu, vznika

vzdy odpor, tj. slozka paralelnı s vektorem rychlosti. Experimentalnš bylo zjis tšno, ze pr i velkych

Reynoldsovych cıslech saha vliv viskozity jen do male vzdalenosti od povrchu tšlesa a tato cast

proudu se nazyva meznı vrstva; ňplav je odplavovana meznı vrstva, obr.16.2.

16.1. Meznı vrstva

Uvazujme nejjednodus s ı prıpad - meznı vrstvu na tenke desce paralelnı s proudem tekutiny.

Tlak je v celem objemu tekutiny konstantnı. Tekutina na stšnš lpı 00 =v . Vlivem viskozity se zabrzdı

nejblizs ı vrstvy tekutiny u povrchu desky. Rychlost s odlehlostı od stšny narusta az na hodnotu

rychlosti nenarus eneho proudu ∞v . Tato tlous –ka "zabrzdšne" tekutiny xδ je u nabšzne hrany nulova

a na odtokove hranš je maximalnı. V meznı vrstvš a oblasti kolem desky nejsou proudnice paralelnı

prımky, ale tvorı mırnš se rozbıhajıcı svazek. Slozka rychlosti kolma k desce vy ± ∞v a lze ji zanedbat.

Hranice meznı vrstvy nenı shodna s proudnicemi. Mimo meznı vrstvu je vs ude rychlost temšr

konstantnı, tedy δv / δy = 0 a proto i tecne napštı je zde rovno nule, bez ohledu na viskozitu tekutiny.

Mimo meznı vrstvu muzeme tedy pocıtat s Bernoulliovou rovnicı pro idealnı tekutiny. V meznı vrstvš

vs ak musıme viskozitu uvazovat a proudšnı zde muze by t buť laminarnı nebo turbulentnı.

Odvoťme pomocı všty o zmšnš hybnosti vztah udavajıcı rust tlous –ky meznı vrstvy xδ se

vzdalenostı od nabšzne hrany x ,


Zvolme kontrolnı oblast OAB, ohranicenou deskou, hranicı meznı vrstvy a ňseckou AB.

Uvazujme jednotkovou s ırku desky b. Pro zjednodus enı se volı rychlostnı profil jako prımka, jez da pro

laminarnı meznı vrstvu vcelku vyhovujıcı vysledek:

x

y

0

v 8

v 8

A

LdxB

δx

b = 1

v 8p = konst.8

x

v 8

y

x u plavm.v.

v 8

dvdy = 0 τ = 0

Obr.16.2 Meznı vrstva Ú m.v. na tenke desce. Obr.16.3 Idealizovana meznı vrstva na desce.

Uplav je odplavena meznı vrstva.

x

yvvδ∞= .

( 16.1 )

Ve smšru proudšni pusobı na tekutinu v uvazovane oblasti pouze trenı o stšnu:

∫=x

x dxF0

0τ ,( 16.2 )

kde 0τ je tecne napštı na stšnš

xy

vdydv

δηητ ∞

=

=

=

00 .

( 16.3 )

Z kontrolnı oblasti vyteka prurezem AB

20

xM

vvdyQ

x δρρ

δ∞== ∫ .

( 16.4 )

Toto mnozstvı tekutiny priteka do kontrolnı oblasti plochou OA konstantnı rychlostı ∞v , takze hybnost

pritekajıcı tekutiny je

xM vvQH δρ 21 2

1∞∞ == .

( 16.5 )

Hybnost tekutiny vytekajıcı prurezem AB z kontrolnı oblasti

xM vdyvvdQHxx

δρρδδ

2

0

2

02 3

1∞=== ∫∫ .

( 16.6 )

Dosadıme-li rov. ( 16.2 ), ( 16.3 ), ( 16.5 ), ( 16.6 ) do všty o zmšnš hybnosti napsane pro

elementarnı cast meznı vrstvy o delce dx :

( ) ( )dxHHHHddFx

2121 −=−=δδ

,

dxx

vdxvdx x

x ∂∂

== ∞∞ δ

ρδ

ητ 20 6

1.


103

Protoze xx ddx

xδ

δ=

∂∂

,upravı se diferencialnı rovnice separacı promšnnych na tvar ∞

=v

d xx ρη

δδ6

a po integraci

Kxvx +=

∞

νδ 122 ,

( 16.7 )

coz je parabola druheho stupnš, kde 0=K nebo– pro 0=x je 0=xδ . Zavedeme-li do rovnice

( 16.7 ) Reynoldsovo cıslo, v nšmz charakteristickou delkou bude vzdalenost od nabšzne hrany x :

νxv

x∞=Re ,

( 16.8 )

bude

xx

xRe46,3

=δ .( 16.9 )

Pomocı presnšjs ıch vypoctu potvrzenych experimenty dostaneme stejny vyraz, jen konstanta je

vys s ı: 5,8.

Chceme-li vypocıtat odpor, dosadıme z rov. ( 16.3 ) za pouzitı rov. ( 16.7 )

2Re15,1 2

00

∞== ∫vbLdxbF

L

L

x ρτ ,( 16.10 )

tj. odpor jedne strany desky, jejız plocha LbS .= . Prvy zlomek se zpravidla oznacuje soucinitel

odporu xc a presnšjs ım vypoctem dostaneme opšt stejny vztah s vys s ı konstantou

Lxc

Re33,1

= .( 16.11 )

Odpor desky se pak pocıta z rovnice

2

2∞=

vScF xx ρ ,( 16.12 )

kde dpv =∞ 2/2ρ ,tj. dynamicky (resp. kineticky) tlak.

Jestlize nabıhajıcı proud tekutiny je turbulentnı, nebo jestlize je proud laminarnı, ale pred

desku umıstıme turbulizator, napr. sıto, drat, pak tlous –ka meznı vrstvy bude narustat rychleji a odpor

bude vys s ı:

5 Re074,0

Lxc =

( 16.13 )

5 Re37,0

Lx

x=δ

( 16.14 )

(tj. strednı hodnota tlous –ky, nebo– xδ kolısa s casem), viz obr. 16.4

Ale i kdyz je proud laminarnı a nepouzijeme turbulizator, pak laminarnı meznı vrstva po dosazenı

urcite tlous –ky se stane nestabilnı a v urcite vzdalenosti od nabšzne hrany se zmšnı v turbulentnı a

dostane se tzv. smıs ena meznı vrstva, obr.16.4.


turb.lam.

v 8

10 5 10 6 107 10 8 10 9

103

RekRe

1

246

10

cxL T

S

drsnost

Obr.16.4 Smıs ena meznı vrstva na desce. Obr.16.5 Zavislost soucinitele odporu tenke desky na

Reynoldsovš cısle: L - laminarnı meznı vrstva, S -

smıs ena meznı vrstva, T - turbulentnı meznı vrstva.

V prednı casti je meznı vrstva laminarnı, v zadnı turbulentnı, mezi nimi prechodova oblast.

Okamzita hranice turbulentnı meznı vrstva Ú plna nepravidelna krivka - se s casem mšnı. Strednı

tlous –ka turbulentnı meznı vrstvy je zakreslena carkovanš.

Kriterium pro stanovenı tohoto prechodu je opšt kriticke Reynoldsovo cıslo, jehoz hodnota se

mšnı se stupnšm turbulence proudu. Zpravidla se udava

5105Re ⋅== ∞

υk

kxv

,

ale muze by t všts ı (az 2.106) i mens ı. Soucinitel odporu pro smıs enou meznı vrstvu lze vyjadrit

LLx

AcReRe

074,05

−= ,( 16.15 )

kde pro 510.5Re =L je 1700=A .

Zavislost soucinitele odporu xc tenke desky na Reynoldsovš cısle je na obr.16.5. Protoze je

diagram vynesen v logaritmickych souradnicıch, je zavislost soucinitele odporu laminarnı meznı

vrstvy,rov. ( 16.11 ) , znazornšna prımkou L stejnš jako soucinitele odporu turbulentnı meznı vrstvy

pro hladkou desku, rov. (14.13) carkovanou prımkou T s mens ım sklonem. Skutecne hodnoty

soucinitele odporu v turbulentnı meznı vrstvš budou pr i vys s ıch hodnotach Re (nad 107) vys s ı a jsou v

znazornšny plnou krivkou. V turbulentnı oblasti je odpor zavisly i na drsnosti desky a s rostoucı

drsnostı roste i soucinitel odporu. Krivky pro smıs enou vrstvu S (je jich vıce podle velikosti Rek) se

asymptoticky blızı krivkam soucinitele odporu turbulentnı meznı vrstvy, nebo– pri rostoucıch

Reynoldsovych cıslech je cast plochy desky s laminarnı meznı vrstvou stale mens ı.

16.2. Odpor tů les Fx

Pri obtekanı realnych tšles konecne tlous –ky, symetrickych k vektoru rychlosti ∞v , jsou

vs echny slozky sil kromš odporu nulove:

2

2∞=

vScF xx ρ .( 16.16 )


105

Pri obtekanı tšles mens ımi rychlostmi (aby se neuplatnil vliv stlacitelnosti), si celkovy odpor

rozkladame na odpor trecı (vliv viskozity) dany integralem tecnych sil po povrchu a tlakovy , zpusobeny

nesymetrickym rozlozenım tlaku po povrchu tšlesa. Podle toho, ktera slozka odporu prevlada, coz

zavisı na tvaru, muzeme tšlesa rozdšlit do trı skupin: deskovita a paralelnı s proudem, deskovita a

kolma k proudu a spojitš zakrivena s relativnš velikou tlous –kou nebo dobre a s patnš obtekana:

a) ocasnı plochy letadel a.p. jsou typickymi prıklady profilovanych desek, u nichz prevlada trecı odpor.

Do rov. ( 16.16 ) se vs ak obycejnš nedosazuje smocena plocha, jako u tenke desky, nybrz plocha

pudorysu, nebo– se urcı snadnšji.

Soucinitel odporu zavisı na tvaru profilu desky, Reynoldsovš cısle, drsnosti povrchu a

turbulenci proudu. Prubšh soucinitele odporu v zavislosti na Reynoldsovš cısle je podobny jako pro

tenkou desku, jen o nšco všts ı vlivem maleho tlakoveho odporu. Uplav je maly. Protoze prechod

laminarnıho proudšnı v turbulentnı je silnš zavisly na tlakovem spadu, lze vhodnym tvarovanım snızit

odpor v urcite oblasti Re. Jedna se o tzv. laminarnı profily, u nichz je maximalnı tlous –ka posunuta do

vzdalenosti 40 az 60% od nabšzne hrany, zatımco u klasickych profilu byla asi 30%, obr.16.7

v 8

10

101

10 3 c4

2x

6

5 10 6 10 7 Re

pminb

pmin

p = konst.a

c

Obr. 16.6 Obtekanı desky kolme k proudu Obr.16.7 Srovnanı hodnot soucinitele odporu pri

ruznych Re pro: a) tenkou desku (soucinitel

odporu vztazen na plochu pudorysu desky), b)

klasicky profil c) laminarnı profil.

b) U deskovitych tšles postavenych kolmo k proudu, obr.16.7, nebo u tšles s ostrymi hranami na zadnı

casti, dochazı k odtrzenı proudu na hranach. Proto bod odtrzenı nemšnı svou polohu.

Pred tšlesem je pretlak, za tšlesem podtlak (nevhodne rozlozenı tlaku). Uplav je veliky Soucinitel

odporu zavisı hlavnš na tvaru tšlesa, jen pro mala Reynoldsova cısla Re < 103 je zavisly i na Re,

nebot' roste vliv viskozity, obr.16.8.

Hodnoty soucinitelu pri Re > 103 jsou

Obr.16.8 Zavislost soucinitele odporu ruznych

tšles na Reynoldsovš cısle:

koule, valec,

elipsoid, deska.10

10.1

c

1

x

10 10 2 10 3 10 4 Re10 5 10 6

kouledeska valec

elipsoid

ld

8

1ab

8

5


zavisle hlavnš na tvaru, napr. kruhova a ctvercova deska majı cx = 1,1 ; obdelnıkova deska (s

teoreticky nekonecnym rozpštım) cx= 2. Jako charakteristickou plochu A dosazujeme v tomto prıpadš

do rov. ( 16.12 ) plochu prumštu do roviny kolme k rychlosti ∞v - celnı prumšt.

c) pro tšlesa spojitš zakrivena (koule, elipsoidy, valce a p.) je charakteristicke, ze pri urcitych

hodnotach Reynoldsovych cısel dochazı k pronikavym zmšnam soucinitele odporu cx napr. na

obr.16.8, pr i Re ≈ 105. Prıcinou je posunutı bodu odtrzenı meznı vrstvy smšrem dozadu pr i prechodu

proudšnı v meznı vrstvš z laminarnıho na turbulentnı. To ma za nasledek zmens enı ňplavu i odporu.

K odtrzenı meznı vrstvy dochazı zpravidla tehdy, kdyz tekutina proudı do mıst s vys s ım tlakem napr.

na zadnı casti koule, valce, ale i v difuzoru a podobnš. Tlakove a trecı sıly pusobıcı proti pohybu

castice jsou prekonavany setrvacnostı castice tekutiny, jejı rychlost proto klesa, az v urcitem mıstš na

povrchu tšlesa ma rychlost nulovou, obr.16.9.

Rychlostnı profil v tomto mıstš ma inflexnı bod. Za tımto mıstem majı rychlosti u stšny opacny smysl,

nez je tomu u hlavnıho proudu. U stšny vznika zpštnš proudšnı .

inflexnı bod

Obr.16.9 Proudšnı v okolı bodu odtrzenı

V turbulentnı meznı vrstvš majı castice u stšny všts ı kinetickou energii, protoze rychlostnı

profil je plnšjs ı nez pri laminarnım proudšnı. To je prıcina posunu bodu odtrzenı dozadu a zmens enı

ňplavu pri prechodu laminarnıho proudšnı v meznı vrstvš v proudšnı turbulentnı. Proto pri

Reynoldsovš kritickem cısle dojde k poklesu soucinitele odporu, jak jsme drıve uvedli. (obr.16.8).

Pri velmi malych Reynoldsovych cıslech, mens ıch nez 1, prevlada vliv vazkych sil nad

tlakovymi. U koule a valce je bod odtrzenı posunut daleko dozadu - nedochazı temšr k odtrzenı.

Soucinitel odporu je silnš zavisly na Re. Pro kouli odvodil Stokes vztah dvFx ∞= πν3 . Srovnanım s

rov. ( 16.12 ) pri dosazenı 42dS π= dostaneme Re24=xc . Pr i tšchto obtekanıch (tzv. plızive

proudšnı) nelze hovorit o meznı vrstvš, nebo– vliv viskozity saha velmi daleko od tšlesa.

U valcu dochazı v oblasti 40 < Re < 500 k pravidelnemu, strıdavemu odtrhavanı vıru a za

valcem vznika tzv. Karmanova vırova stezka. Tento jev je nutno respektovat u ruznych stavebnıch

konstrukcı, a dbat na to, aby nedos lo k rezonanci frekvence odtrhavanı vıru a vlastnı frekvence

konstrukce. Tento jev je take prıcinou "zpıvanı" telefonnıch dratu - tzv. Strouhalovych trecıch tonu. Do

Reynoldsova kritickeho cısla, jez pro kouli nabyva hodnot

( ) 51045,1Re ⋅== ∞ azdvk ν

je proudšnı v meznı vrstvš laminarnı - podkriticke, bod odtrzenı meznı vrstvy je jes tš pred maximalnım

prurezem, obr.16.10a. Pri nadkritickem obtekanı je bod odtrzenı za maximalnım prurezem,

obr.16.10b.


107

82�

120�

Lam.

Turb.

a,

b,

Obr.16.10 Odtrzenı proudu pr i obtekanı koule

podkriticke obtekanı - laminarnı meznı vrstva,

nadkriticke obtekanı - turbulentnı meznı vrstva.

17. Proudů nı v korytech

17.1. Rovnomů rny pru tok

Pri prutoku koryty je kapalina vedena stšnami, ktere neohranicujı cely prutocny prurez, jen

cast, takze vznika volna hladina. Na teto hladinš se styka proud kapaliny s ovzdus ım. Muze jıt o

prutok neplnym potrubım, stokami, umšlymi otevrenymi kanaly nebo prirozenymi koryty potoku a rek.

Zpravidla jde v tšchto prıpadech o turbulentnı proudšnı.

Pri ustalenem prutoku mohou nastat dva prıpady, a to pohyb rovnomšrny, pr i nšmz se rychlost

proudu nemšnı po delce koryta a pohyb nerovnomšrny pri nšmz se rychlost proudu a tım i prutocny

prurez (hloubka proudu) po delce koryta, tj. v zavislosti na vzdalenosti mšnı, avs ak nemšnı se

s casem t .

Rovnomšrny prutok nastane v korytš staleho prurezu, jestlize spad dna z na delce l je

v rovnovaze se ztratovou vys kou zhz = , coz vyplyva z Bernoulliho rovnice

( ) zghghvpzhgvp+++=+++

22

20

20

ρρ

Hladina vody je v tomto prıpadš

rovnobšzna se dnem koryta.

Pro ztraty trenım platı vzorec

zg

vdlhz ==

2

2

λ

Pomšrny spad koryta je

gv

dlzi

2

2λ==

Prurez korytem je zpravidla nekruhovy , proto se zavadı mısto prumšru d hydraulicky polomšr

oSrh = . (je treba upozornit na rozdıl s drıve uvedenym hydraulickym prumšrem hd , ktery je

l

zhH

S ov

v = v2

y

2 gv2

sϕ

Hh

2gh

=h

z2

z

2v1

Obr.17.1 Rovnomšrny proud v korytš


definovan jako 4-nasobek hydraulickeho polomšru hr a nikoliv 2- nasobek). Dosazenım

hh rdd 4== se upravı rovnice pro rovnomšrny prutok korytem takto:

hrv

gi

2

8λ

=( 17.1 )

Rychlost rovnomšrneho prutoku v korytš je

hh irCirgv ==λ

8 ( 17.2 )

coz je Chezyho rovnice. Rychlostnı soucinitel C pro strednı rychlost rovnomšrneho proudu v korytech

je vazan se soucinitelem trenı vztahem

λgC 8

=( 17.3 )

z cehoz plyne, ze ( )εRe,fC =

Odborna literatura uvadı celou radu empirickych vztahu pro stanovenı rychlostnıho soucinitele

C , ktere byly stanoveny na zakladš mšrenı. U prirozenych toku byva pomšrny spad i velmi maly. U

horskych rek je napr. 0,002, u velkych rek v nızinach jen 0,0002.

Pri navrhu koryt, stok pod. byva obvykle zadan prutok vQ a volı se rychlost, z cehoz se

vypocıta prurez S a pomšrny spad i . Aby pomšrny spad i , ktery je ňmšrny ztratam, byl co nejmens ı,

je treba volit profil nejmens ıho odporu, tj. s co nejvšts ım hydraulickym polomšrem.

17.2. Nerovnomů rny pru tok

V mıstech, kde se spad koryta mšnı, takze zhz ≠ , vznika pohyb nerovnomšrny . Pri

promšnnem spadu se prutocna rychlost v a tım i hloubka h mšnı po delce koryta, nikoliv vs ak

v zavislosti na case Ú obr. 17.2.

l

v2

v1

12

1

2z

1

2

hh

hz

-z1

z z1 2

2 gv2

2g22

v

hSo

b

dh

Obr.17.2 Nerovnomšrny proud v korytš Obr.17.3 Prutocny prurez koryta

Pro zmšnu vys ky hladiny je mozne odvodit diferencialnı rovnici ve tvaru, oznacenı velicin je

patrne z obr. 17.3.

dx

gSbQ

rCSQ

idh

v

h

v

3

2

22

2

1−

−=

(17.4 )


109

K integraci poslednı rovnice je treba znat tvar koryta a stanovit funkce:

( ),hSS = ( );hfoSrh == ( );hCC = ( )hbb = . Res enı se da provest jen

v jednoduchych prıpadech exaktnš, u slozitšjs ıch profilu koryt se s vyhodou pouzije numericke

metody.

v1v2

v1 v2

ϕ2

ϕ1

>ϕ1 2ϕ>

Obr.17.4 Vodnı skok

Pri zvšts enı pomšrneho spadu koryta se proud zrychluje a jeho hloubka klesa. V opacnem

prıpadš pri zmens enı pomšrneho spadu se proud zpomaluje a jeho hloubka stoupa. V druhem

prıpadš muze dojıt k nahle zmšnš rychlosti a tım hloubky, cemuz se rıka vodnı skok.-obr. 17.4.


18. Fyzikalnı podobnost a teorie modelovanı

18.1. Hydrodynamicka podobnost pri proudů nı tekutin

Experimentalnı prace v hydraulicke laboratori je velmi vyznamnou slozkou vyzkumne prace.

Zkoumajı se modely nejruznšjs ıch stroju a zarızenı, aby se poznaly jejich zakladnı vlastnosti nebo

zjistily a opravily vady, ovšrujı se teoreticke predpoklady navrhu ci projektu a velmi casto se pokusnš

zjis –ujı vzajemne zavislosti zňcastnšnych velicin.

Vysledky zıskane na modelu se pak prepocıtavajı na skutecne zarızenı, tzv. dılo. Prozkoumanı

jevu na modelu umoznuje take zavest opravne soucinitele do teoreticky odvozenych rovnic, jejichz

res enı bylo zalozene na zjednodus ujıcıch predpokladech (aby se matematicke res enı usnadnilo nebo

zjednodus ilo), ktere se vs ak od skutecnych pomšru castecnš odchylujı. V nškterych slozitych

prıpadech, ktere nejsou dosud teoreticky res itelne, se experimentem zıskavajı pro praxi potrebne

vztahy velicin.

Model se zhotovuje temšr vzdy mens ı nez dılo, proto je levnšjs ı, lehcı, manipulace s nimi je

snadnšjs ı, vyroba modelu krats ı a lze s nım experimentovat v laboratorıch. Mens ı naklady umoznujı

vys etrovat na modelu nškolik alternativ a provadšt ňpravy bšhem experimentovanı.

Vysledky mšrenı na modelu, majı-li splnit svuj ňkol, je nutno prepocıtat na skutecne provedenı

Ú dılo, coz se provadı na zakladš poznatku teorie fyzikalnı podobnosti. Fyzikalnı podobnost stanovı

podmınky, za kterych je zkoumany jev na modelu fyzikalnš podobny jevu ve skutecnem provedenı Ú

dıle. Uplna fyzikalnı podobnost je splnšna tehdy, kdyz jsou soucasnš splnšny nasledujıcı tri podmınky:

1. geometricka podobnost. Tato vyzaduje, aby pomšr odpovıdajıcıch delek na modelu a na dıle byl

konstantnı a ňhly stejne

konstLL

LL

DıleModel

=

=

2

1

2

1( 18.1)

2. kinematicka podobnost. Tato podobnost vyzaduje, aby pomšr odpovıdajıcıch rychlostı a zrychlenı

na modelu a dıle byl konstantnı

konstvv

vv

DM

=

=

2

1

2

1( 18.2)

3. dynamicka podobnost. Proudšnı tekutin je pohyb hmotnych castic. Podle klasicke Newtonovy

mechaniky jsou prıcinou pohybu sıly. Proto dynamicka podobnost vyzaduje, aby pomšr odpovıdajıcıch

sil na modelu a na dıle byl konstantnı

konstFF

FF

DM

=

=

2

1

2

1( 18.3)

Splnšnı podmınek geometricke a kinematicke podobnosti je obvykle snadne, slozitšjs ı byva splnšnı

dynamicke podobnosti.

V mechanice tekutin se vyskytuje mnoho sil, vyberme ze vs ech pouze ty, ktere se nejcastšji

vyskytujı a tyto nech– jsou:

Sıla tlakova 2. plSpFp ≈=


111

Sıla trecı lvSFt ητ ≈= .

Sıla setrvacna 22. vlamFS ρ≈=

Tıhova sıla 3glmgFS ρ≈=

Pro n sil je mozno sestavit

2n

kriteriı fyzikalnı podobnosti (pomšr dvou sil), z cehoz polovina je na

sobš nezavisla.

Kriterium fyzikalnı podobnosti proudšnı, ve kterem budou hlavnı (dominantnı) sıly setrvacne Ú

sF a trecı Ú tF je podle rovnice (16.3) pomšr konstFF

FF

tD

tM

SD

SM == , odkud

Dt

S

Mt

S

FF

FF

=

Po dosazenı za jednotlive sıly je-li νρη

= dostaneme

DM lvvl

lvvl

=

η

ρη

ρ 2222

DM

vlvl

=

νν DM ReRe = ( 18.4 )

Vyraz na leve stranš je Reynoldsovo cıslo na modelu a na prave stranš pak Reynoldsovo cıslo na

dıle. Podobnost je v tomto prıpadš splnšna tehdy, jsou-li stejna Reynoldsova cısla na modelu a na

dıle. DM ReRe =

Podobnš lze odvodit i dals ı kriteria podobnosti:

Pro hlavnı sıly Ú tlakova pF a setrvacna sF se dostane

DS

p

MS

p

FF

FF

=

Po dosazenı za jednotlive sıly a po ňpravš

DM vllp

vlpl

=

22

2

22

2 .ρρ

DM v

pvp

=

22 ρρ

DM EuEu = (18.5)

Zlomek 2vpEu

ρ= je Eulerovo cıslo

Podobnost v tomto prıpadš je splnšna, jsou-li stejna Eulerova cısla na modelu a na dıle DM EuEu = .

Jsou-li hlavnı sıly sF sıla setrvacna a gF sıla tıhova se dostane

Dg

S

Mg

S

FF

FF

=

Po dosazenı za jednotlive sıly a ňpravš


DM glvl

glvl

=

3

22

3

22

ρρ

ρρ

DM gl

vglv

=

22

DM FrFr = ( 18.6 )

Zlomek glvFr

2

= je Froudovo cıslo

Podobnost v tomto prıpadš je splnšna, jsou-li stejna Froudova cısla na modelu a na dıle DM FrFr = .

18.2. Dimenzionalnı analyza (π-teorem)

Aplikace π-teoremu bude nazornšjs ı vysvštlena na nasledujıcım prıkladš.

Pro soucinitel trenı λ v potrubı muzeme na zakladš zkus enostı psat, ze je funkcı ctyr fyzikalnıch

velicin

( )kDvf ,,, νλ = .Tzn. ze pocet promšnnych velicin n=4. Tyto ctyr i veliciny se dajı vyjadrit pomocı

dvou zakladnıch rozmšru a sice delka M a cas t.

Pocet zakladnıch rozmšru tedy je r = 2.

Pocet bezrozmšrnych velicin je

224 =−=−= rnπ

Mohou to by t tato bezrozmšrna podobnostnı cısla:

νπ

vD== Re1 - cıslo Reynoldsovo

Dk

== επ 2 - relativnı drsnost

Zavislost trecıho soucinitele se zapıs e ve tvaru

( )ελ Re,f=

Pomocı π-teovemu, se tedy snızil pocet nezavisle promšnnych z puvodnıch 4 pouze na 2, coz

predstavuje vyznamne zjednodus enı problemu.


113

19. Rovinne potencialnı proudů nı

19.1. U vodnı poznamky

Od 18. stoletı je snaha najıt matematicke modely pro predevs ım rovinne ňlohy elektrickeho

pole, z nichz se vyvinula teorie elektrickeho potencialu, ktera s vyuzitım teorie funkce komplexnı

promšnne umoznila res it pole pro elektricky proud a napštı v dosti slozitych rovinnych ňtvarech.

Vysledky byly prevzaty pro analogickou ňlohu, tj. pro stacionarnı rovinne prıpady proudšnı nevazke

kapaliny. S vyuzitım konformnıho zobrazenı byly res eny slozite ňlohy obtekanı rovinnych ňtvaru jako

leteckych profilu, lopatkovych mrızı ci prıpadu proudšnı u slozitš tvarovanych kanalu v hydraulickych

strojıch. Analyzou matematickych modelu a vysledku se ukazalo, ze model nevazke tekutiny

neodpovıda vzdy skutecnosti. Jeden ze zavaznych dopadu je v tom, ze obtekane objekty nevykazujı

odpor. To je dusledek toho, ze zakladnı velicina proudoveho pole, tj. rychlostnı potencial Φ a s nım

spojene proudove funkce jsou rızeny Laplaceovou rovnicı a platı tudız, ze rotace rychlosti je u takto

definovaneho pole nulova

0=∇ vv rr xrot ( 19.1 )

Znamena to take, ze matematicky model, z nšhoz byl v pohybove rovnici vypus tšn vazky clen,

nemuze vytvorit v proudovem poli vır, takze v tom se odchyluje od fyzikalnı reality. Nicmenš u s tıhlych,

dobre obtekanych tšles se vysledky zıskane z potencialnıho proudšnı prılis neodchylujı skutecnosti a

byly dobre pouzitelne pro prakticke ňvahy.

19.2. Zakladnı rovnice

Pro ustalene proudšnı nestlacitelne kapaliny platı rovnice kontinuity

0=∂∂

=i

i

xv

vdivr ( 19.2 )

Pro rovinne proudšnı platı

0=+dydv

dxdv yx

( 19.3 )

K ňplnemu modelu proudšnı je treba pridat jes tš dals ı rovnici. Je to pohybova rovnice,

Eulerova rovnice hydrodynamiky, ktera se zıska vypus tšnım clenu s vazkostı z rovnice Navier

Stokesovy, tedy

ii

j

ij

i

xpa

xv

vtv

∂∂

−=∂∂

+∂∂

ρ1 ( 19.4 )

Jak plyne z dals ıho, v teorii potencialoveho proudšnı se k urcenı rychlostnıho pole pracuje

pouze s rovnicı kontinuity a rovnice Eulerova slouzı k urcenı tlaku.

Dals ı dulezitou velicinou je cirkulace rychlosti. Vyjde se z kinematickych vztahu dle obr.19.1


dy

dx

v +x

vx

y 2dy

v +x

vx

x dx

v +y

y

xv

2dx

dyyvyv +

y

v -y

y

xv

2dx

2yv -x

vx dy v y

v x

c

ds v

α

= v cos α ds

Obr.19.1 Kinematika elementu proudıcı kapaliny Obr. 19.2 Definice cirkulace

a definuje se cirkulace rychlosti Γ jako krivkovy integral na uzavrene krivce viz obr.19.2

Rychlost otacenı elementarnıho objemu dle obr.19.1 lze charakterizovat cirkulacı Γ definovanou

∫=Γ sv dαcosr ( 19.5 )

Kladny smysl obıhanı je takovy , aby plocha uzavrena krivkou c byla po leve ruce.

Cirkulace pro elementarnı objem dle obr.19.2 je

dSdxdyyv

xv

dydxxv

v

dxdyyv

vdydxxv

vdxdyyv

vd

xyyy

xx

yy

xx

ω22

222

=

∂∂

−∂

∂=

∂

∂−−

−

∂∂

+−

∂

∂++

∂∂

−=Γ(19.6 )

Poslednı vyraz v rovnici ( 19.5 ) je dan Stokesovou vštou Sω2=Γ

V literature se odvozuje, ze cirkulace podel uzavrene krivky v proudovem poli je nulova 0=Γ∫ svd .

Proto je nulovy i vyraz

02 ==

∂∂

−∂

∂ϖ

yv

xv xy

( 19.7 )

Tento vyraz charakterizuje otacenı castice kol sve osy, cili jejı vırivost.

Potencialovč funkce

V analogii k teorii elektrickeho pole zavadı se funkce rychlostnıho potencialu, ktery splnuje tyto

podmınky

yv

xv yx ∂

Φ∂=

∂Φ∂

=( 19.8 )

Dosadı-li se tyto vztahy do rovnice kontinuity ( 19.2 ) dostane se Laplaceova rovnice pro funkci Φ

02

2

2

2

=∂

Φ∂+

∂Φ∂

yx

( 19.9 )

Pozn.: Pokud se vyuzije cylindrickych souradnic (r,ϑ), definuje se


115

ϑϑ ∂Φ∂

=∂Φ∂

= vr

vr

( 19.10 )

C ary Φ = konst. se nazyvajı ekvipotencialami.

Proudovč funkce

Definuje-li se analogicky k predchozımu odstavci proudova funkce Ψ jako

xv

yv yx ∂

Ψ∂−=

∂Ψ∂

= ,( 19.11 )

pak rovnšz i proudova funkce splnuje Laplaceovu rovnici

02

2

2

2

=∂

Ψ∂+

∂Ψ∂

yx

( 19.12 )

Diferencial proudove funkce

dyvdxvdyy

dxx

d xy +−=∂Ψ∂

+∂Ψ∂

=Ψ( 19.13 )

umoznı definovat caru Ψ = konst. z podmınky dΨ = 0.

Tım se definuje proudnice, neboli obalka vektoru rychlosti

Φ=≠− dyvdxv xy( 19.14 )

z podmınky tecny k proudnici

x

y

vv

dxdy

= .( 19.15 )

Je mozno analogicky definovat pro caru konstantnıho potencialu

y

x

vv

dxdy

−= .( 19.16 )

Z toho plyne, ze cary stejneho potencialu a proudnice jsou vzajemnš kolme. Dosazenım vztahu pro Φ

a Ψ do rovnice ( 19.15 ) a ( 19.16 ) dostanou se Cauchy-Riemannovy podmınky pro Φ a Ψ.

xyv

yxv yx ∂

Ψ∂−=

∂Φ∂

=∂Ψ∂

=∂Φ∂

= ;( 19.17 )

Jsou tedy Φ a Ψ vzajemnš zavisle a z jedne funkce lze zıskat druhou.

Pro technickou praxi je dulezitšjs ı funkce proudova Ψ, ktere se vyuzıva i u skutecnych kapalin.

19.3. Vyuzitı teorie potencialoveho proudů nı, skladanı proudu .

Uvedenou teorii je mozno rozvıjet dvojım zpusobem. Je to predevs ım res enı proudoveho pole

v zadane oblasti res enım Laplaceovy rovnice buť pro proudovou nebo nškdy tez pro potencialovou

funkci. 0bš tyto funkce umoznujı definovat slozky rychlosti a naslednš tlakove pole v oblasti, pomocı

Eulerovy rovnice hydrodynamiky. V dnes nı dobš se res ı tyto ňlohy numericky. Integracnı oblast je

obvykle zadavana tak, ze je omezena 2-mi pevnymi hranicemi a dvšmi protekanymi. Pro tyto hranice


je nutno zadat okrajove podmınky Ú na stšnš v = 0, na protekane hranici se zadava buť rychlostnı

profil nebo podmınka pro tlak.

V soucasnosti se tyto ňlohy res ı numericky

vhodnymi softwarovymi programy. V minulosti byly tyto

ňlohy predevs ım vzhledem k tvaru hranice res eny

analogovymi metodami pomocı analogie s odporovymi

papıry respektive v elektrolyticke vanš. Druha metoda je

metoda skladanı proudšnı.

Spocıva v tom, ze se definujı matematicky

jednoduche proudove ňtvary. Vychazı se pak z teze, ze pro

ustaleny stav platı

∑=

Ψ=Ψn

ii

1

resp.( 19.18 )

∑=

Φ=Φn

ii

1

Scıtanım proudovych funkcı v dane oblasti je mozne urcit caru Ψ = 0, ktera vytvarı za jistych

podmınek obrys potencialovš obtekaneho objektu a z okolnıch vnšjs ı proudovych car je mozne ucinit

ňsudek o proudovem poli takovehoto tšlesa.

Zakladnı prıpady potencialnıho proudšnı jsou:

a) paralelnı proud

b) zdroj a propad

c) potencialnı vır

a) Paralelnı proud, obr.20.4, je charakterizovan rychlostı a stejnou co do velikosti a smšru ve vs ech

bodech proudoveho pole.

x

y

2

10-1-2210-1-2

ψa

o

Proudova funkce

ay=Ψ1 , a potencial rychlosti ax=Φ1 . (19.19 )

Rychlost je tedy rovnobšzna s osu x, protoze platı

vstup v y stup

pevna stenaObr.19.3 Oblast pro res enı

potencialoveho proudšnı.

ProudniceEkvipotencialnı cary

Obr.19.4 Paralelnı proud rovnobšzny s osou x. (a= 1)


117

.konstayx

vx ==∂Ψ∂

=∂Φ∂

= , 0=yv .

Tedy xv=vr

Pote i proudnice Ψ= konst. jsou prımky paralelnı s osou x , ekvipotencialnı cary Φ = konst.

jsou prımky paralelnı s osou y .

Kterakoli proudnice muze predstavovat tuhou stšnu (normalna slozka rychlosti je rovna nule).

b) Rovinny pramen (zdroj, zrıdlo), obr. 19.5, predstavuje radialnı proudšnı tekutiny z bodu do roviny.

Pramen je charakterizovan vydatnostı (mohutnostı) Q, coz je objem

tekutiny vytekly za jednotku casu

Q = 2πvrr = konst., ( 19.20 )

odkud plyne pro rozlozeni rychlosti

.2

konstQrvr ==π

,( 19.21 )

Rychlostnı potencial Φ a proudova funkce Ψ pramenu:

rQ ln2π

=Φ , ϕπ2Q

=Ψ .( 19.22 )

Proudnice jsou radialnı prımky ϕ = konst., ekvipotencialnı cary jsou soustredne kruznice.

Tangencialnı slozka vt = 0 a radialnı slozka rychlosti

,2

1r

Qrr

vr πϕ=

∂Ψ∂

=∂Φ∂

=( 19.23 )

Poznamka: Centralnı bod pramene je singularnı bod, rychlost je tu nekonecnš velika.

Rovinny propad (nor) se od pramene lis ı opacnym smšrem proudšnı tekutiny.

c) Potencialnı vır, obr.19.6 (vırove vlakno).

C astice tekutiny se posouvajı po kruhovych drahach (soustrednych kruznicıch), aniz by se otacely

kolem sve osy. C astice konajı translacnı pohyb, pri kterem se deformujı.

C astice tekutiny se po kruhovych drahach posouvajı (translace a deformace),

aniz by se otacely kolem sve osy (s vy jimkou jadra).

Rychlost otacenı je charakterizovana cirkulacı Γ, definovanou rovnicı

(198.5), ktera je u potencialnıho vıru rovna

.2 konstrvt ==Γ π ( 19.24 )

odtud dostaneme vztah

.2

konstrvt =Γ

=π

( 19.25 )

V ose vıru vychazı opšt rychlost nekonecnš velika (singularnı bod).

Zavadıme proto jadro vıru o polomšru r0, v nšmz se tekutina otacı jako tuhe

y

x

ψ

r vr

ϕ

o

Obr.19.5 Rovinny pramen.

y

x

ψ

r

vt

ϕ

o

vr

rro

Obr.19.6 Potencialnı

vır


tšleso, obr.19.6. Rychlostnı potencial Φ a proudova funkce potencialnıho viru Ψ:

ϕπ2Γ−

=Φ , rln2πΓ

−=Ψ .( 19.26 )

Proudnice, jak jsme jiz rekli, jsou soustredne kruznice, ekvipotencialnı cary jsou radialnı

prımky. Tangencialnı slozka rychlosti, v oblasti mimo jadro vıru, ubyva s polomšrem

rrrvt πϕ 2

1 Γ=

∂Ψ∂

−=∂Φ∂

=( 19.27 )

a radialnı slozka rychlosti vr = 0.

Rychlostnı potencial Φ a proudovou funkci Ψ lze u rovinneho

potencialnıho proudšnı navzajem zamšnit (jak o tom svšdcı

poslednı dva prıpady), nebo– obš musı vyhovovat Laplaceovš

rovnici.

Skladanı proude nı

Rovinne potencialnı proudšnı je popsano diferencialnı

Laplaceovou rovnicı. Zname-li dvš res enı teto diferencialnı

rovnice 1Φ a 2Φ , bude i jejich soucet 21 Φ+Φ novym

res enım. Tımto zpusobem lze nalezt res enı slozitšjs ıch

prıpadu proudšnı.

a) Rovinne polotšleso (deska.). Slozenım paralelnıho

proudu a pramene dostaneme obtekanı desky rozprostırajıcı

se az do nekonecna, obr.19.7.

Proudova funkce je v zakladnım tvaru dana jako

ϕπ

⋅+=+=221QayΨΨΨ .

(19.28 )

Prechodem do kartezskeho systemu dostaneme vztahy pro vx a vy. Proudova cara Ψ= 0

udava obrys obtekaneho polotšlesa.

b) Rovinny , dipol, obr.19.8, dostaneme tak, ze slozıme pramen a propad stejne mohutnosti Q,

jestlize se vzdalenost mezi nimi 2l blızı nule a mohutnost k nekonecnu tak, aby moment dipolu mšl

konecnou hodnotu QlM 2= .

Proudnice jsou kruznice se stredy na ose y a dotykajı se pocatku.

Proudova funkce dipolu

rM

yxyM ϕ

ππsin

22 22 −=+

−=Ψ .( 19.29 )

xy

AQ

U (max) = 1.26as

a

Ψ = 0

Obr.19.7 Rovinne polotšleso,

rozprostırajıcı se do nekonecna. Na

obrazku je nakresleno obtekanı male

casti tšlesa


119

y

-Q+Qx

-l +l

Obr.19.8 Zmens ovanım vzdalenosti 2l mezi pramenem a propadem jez jsou symetricky umıstšny

vzhledem k pocatku dostaneme dipol jehoz proudnice jsou na obrazku zakresleny.

c) Valec kruhoveho prurezu. Slozenım paralelnıho proudu a rovinneho dipolu dostavame prakticky

velmi dulezity prıpad obtekanı valce kruhoveho prurezu.

Proudova funkce je rovna aMR π2/2 =

ϕsin2

−=Ψ

rRra .

( 19.30 )

Polozıme-li Ψ= 0 dostavame ϕ = 0 tj. osa x a rovnici kruznice r = R obr.19.9.

.Slozky rychlosti

−= 2

2

1cosrRavr ϕ ,

( 19.31 )

+−= 2

2

1cosrRavr ϕ .

( 19.32 )

Na povrchu valce Rr = je radialnı slozka nulova a tangencialnı

ϕsin2avt −= ( 19.33 )

pro ϕ = 0 a π je vt = 0 (stagnacnı body A a C) maximalnı rychlosti

vt = 2± jsou v bodech ϕ = Γ π/2 tj. body B a D.

Stanovme rozlozenı tlaku na povrchu valce (v nevazke tekutinš jsou trecı sıly rovny nule).

Napis me Bernoulliovu rovnici mezi bodem v nekonecnu a bodem na povrchu valce

22

22tvpap ρρ +=+∞ .

( 19.34 )

Rozlozenı tlakoveho soucinitele pc (bezrozmšrneho tlaku) dostaneme dosazenım za tv z rov (19.33)

ϕρ

22

2 sin411

2

−=

−=

−= ∞

av

appc t

p

( 19.35 )

CPa

8

B

RA

D

θx

y

vt

vr

vr

Obr.19.9 Potencialnı obtekanı

valce kruhoveho prurezu


Ve stagnacnıch bodech A a C je tlak nejvšts ı 1=pc . V bodech B a D je nejmens ı

tlak 3−=pc . Rozlozenı tlaku je symetricke vzhledem k osam x a y . Integracı tlakovych sil po

povrchu valce dostaneme 0== yx FF a vysledna sıla je rovna nule (D'Alembertuv paradox).

Obtekanı valce realnou tekutinou souhlası s potencialnım obtekanım pouze na prednı stranš valce.

d) Rotujıcı valec. Slozenım paralelnıho proudu, dipolu a potencialnıho vıru dostavame rovnšz

prakticky dulezity prıpad obtekanı rotujıcıho valce, obr.19.10

Potencialnı vır ma zde opacny smysl otacenı nez na obr.19.6 a proto se u proudove funkce vıru mšnı

znamenko Ú na +.

Proudova funkce

rr

Rra ln2

sin2

πϕ

ΓΨ +

−=

( 19.36 )

Analogicky jako v predchazejıcım prıpadš urcıme slozky rychlostı

−= 2

2

1cosrRavr ϕ ,

( 19.37 )

rrRavr π

ϕ2

1cos 2

2 Γ−

+−= .

( 19.38 )

Na povrchu valce Rr = je radialnı slozka vr = 0 a tangencialnı slozka

Ravvt π

ϕ2

sin2 Γ−−== .

( 19.39 )

Body nulove rychlosti (stagnacnı body A, C) lezı nynı pod osou x , viz obr.19.10 (pro Raπ4⟨Γ ).

Cirkulace Γ narus uje symetrii proudšnı vzhledem k ose x nad osou x , kde jsou vysledne rychlosti

dane vektorovym souctem rychlosti paralelnıho proudu a potencialnıho vıru všts ı nez v symetricky

lezıcıch bodech pod osou x , budou vzhledem k Bernoulliovš rovnici tlaky mens ı. Tım vznika tlakova

sıla, jez pusobı na rotujıcı valec ve smšru kolmem k rychlosti a tj. vztlak yF . Abychom mohli vypocıtat

jeho velikost stanovme nejprve pomocı Bernoulliovy rovnice rozlozenı tlaku na povrchu valce:22

2sin2

22

Γ

−−−+= ∞ Raapp

πϕ

ρρ .

( 19.40 )

B

AD

x

Fy

C

Obr.19.10 Obtekanı rotujıcıho

valce.Vznik vztlaku.


121

Na povrchu valce o jednotkove delce vytkneme elementarnı plos ku,

obr.19.11 ϕRddA =

a vyslednou tlakovou sılu na ni pusobıcı pdAdF −= rozlozıme na slozky

ϕϕϕ dpRdFdFx coscos −== (19.41)

ϕϕϕ dpRdFdFy sinsin −==

Integracı po povrchu valce dostaneme po dosazenı za p z rov. (19.41)

0cos2

0

=−== ∫∫∫π

ϕϕdpRFF xx ,( 19.42 )

tj. nulovy odpor, nebo– proudšnı je symetricke vzhledem k ose y a vztlak

0sin2

0

=−== ∫∫∫π

ϕϕdpRFF yy .( 19.43 )

Po dosazenı za p z rov. ( 19.401 )

∫∫

Γ

−−+

+−= ∞

ππ

ϕϕπ

ϕρ

ϕϕρ2

0

22

0

2

sin2

sin22

sin2

dR

aRdapRFy ,

protoze

πϕϕϕϕϕϕπππ

=== ∫∫∫2

0

22

0

32

0

sin;0sin;0sin ddd

dostavame pro vztlak tzv. Kutta-Zukovskeho vzorec

Γ= aFy ρ , ( 19.44 )

ktery tvorı zaklad teoreticke aerodynamiky.

R x

y

ϕ

dF

dF

dF

x

y

ϕ

dϕ

Obr.19.11 Elementarnı

tlakova sıla pusobıcı na

povrch valce.


20. Prehled pouzitych oznacenıOznacenı Mšrıcı jednotka Vyznam

A J praceA Pa.s vırova, zdanliva viskozitaC m1/2. s Ú1 Chezyho soucinitelE N . m Ú2 modul objemove pruznosti v tahuE J energieF N = kg . m . s Ú2 sılaF0 N objemova sıla ( = Fm )Fp N tlakova sıla Ú plos na sılaFs N setrvacna sılaFt N tecna sıla, trecı sılaG N tıha ( = Fg )H kg . m . s Ú1 hybnostH m tlakova vys kaJx m 4 moment setrvacnosti prurezu k ose xJxy m4 deviacnı moment prurezuJy m4 moment setrvacnosti prurezu k ose yK N . m Ú 2 modul objemove pruznosti tekutinyM m4 . s Ú1 moment dipoluMy m3 staticky moment plochy k ose yP W vykonQ J teploQm kg . s Ú1 hmotnostnı prutokQv m3 . s Ú1 objemovy prutokR m polomšrS m2 plochaT K absolutnı teplotaT s doba bšhu vlnyU J . kg Ú1 potencial vnšjs ıch silV m3 objemW J = N . m praceY J . kg Ú1 mšrna energieYd J . kg Ú1 skutecna mšrna energie cerpadlaYt J . kg Ú1 teoreticka mšrna energie cerpadlaa m . s Ú2 zrychlenıa m . s Ú1 rychlost zvukuc m . s Ú1 rychlostcx 1 soucinitel odporud m prumšrdh m hydraulicky prumšre J . kg Ú1 mšrna energieez J . kg Ú1 ztratova mšrna energie ( = er = Yz )g m . s Ú2 tıhove zrychlenıh m vys ka, svisla vzdalenost, hloubkahz m ztratova vys kai Pa.m-1 spad tlakui,j,k 1 jednotkove vektoryk m absolutnı drsnost stšnyl m smšs ovacı delkal m delka, vzdalenostle m ekvivalentnı delka potrubım kg hmotnostn 1 index tokup Pa = N . m Ú2 tlak, hydrostaticky tlakpc Pa celkovy tlakpd Pa dynamicky tlak


123

ps Pa staticky tlakpz Pa tlakova ztrataq J . kg Ú1 mšrne teplor J . kg Ú1 . K Ú1 mšrna plynova konstantar m polomšrrh m hydraulicky polomšrs m drahat oC teplotat s castz s doba uzavıranı armaturyu m . s Ú1 unas iva, obvodova rychlostv m . s Ú1 rychlost, relativnı rychlostv m 3 . kg Ú1 mšrny objemvmax m . s Ú1 maximalnı rychlostvs m . s Ú1 strednı rychlost z prutokuv* m. s-1 trecı rychlostw m . s Ú1 rychlostx m souradnicey m souradnicez m souradnice

Φ m 2 . s Ú1 cirkulace rychlostiΨ m 2 . s Ú1 rychlostnı potencialβ m 2 . s Ú1 proudova funkceα rad ňhel, smšrovy ňhelδ rad ňhel, smšrovy ňhelδ K Ú1 soucinitel teplotnı objemove roztaznostiγ rad ňhel, smšrovy ňhelγ N . m Ú3 mšrna tıhaε m tlous –ka meznı vrstvyε m 2 . N Ú1 soucinitel stlacitelnostiζ rad . s Ú1 ňhlova deformaceζ 1 soucinitel kontrakce proudε 1 relativnı drsnost stšny trubkyε 1 intenzita turbulenceη 1 ztratovy soucinitelλ Pa . s dynamicka viskozitaλ c 1 celkova ňcinnost cerpadlaλ h 1 hydraulicka ňcinnost cerpadlaλ m 1 mechanicka ňcinnost cerpadlaλ v 1 objemova ňcinnost cerpadlaκ 1 soucinitel ( vliv pruznosti potrubı )κ 1 izoentropicky exponentμ 1 soucinitel trenıµ 1 vy tokovy soucinitelv m 2 . s Ú1 kinematicka viskozitaπ 1 stupen razuρ 1 bezrozmšrovy parametrσ kg . m Ú3 hustota ( mšrna hmotnost )φ Pa normalove napštıφ N . m Ú1 povrchove napštıτ Pa, N . m Ú2 tecne ( smykove napštı )τp Pa, N . m Ú2 pocatecnı smykove napštıω rad ňhelω 1 rychlostnı soucinitelÝ s Ú1 ňhlova rychlost

Bezrozmšrna cısla:Eu - EulerovoFr - FroudovoGu - Gumbelovo


Ma - MachovoNe - NewtonovoRe - ReynoldsovoSh - StrouhalovoWe - Weberovo

Poznamka:- strednı hodnoty znaceny pruhem- fluktuacnı hodnoty znaceny carkou- vektory znaceny tucnš

21. LITERATURA

BIRD,B.R, STEWART,W.E, LIGHTFOOT,E.N.:Prenosove jevy. Academia 1968JEZEK,J.,VA RADIOVA ,B.: Mechanika tekutin pro pí tilete obory. C VUT Praha,1983, 1991JEZEK,J.: Hydromechanika v prıkladech. C VUT Praha, 1975, 1988KOZUBKOVA ,M.,DRA BKOVA , S.: Cvic enı s Mechaniky tekutin. Sb. prıkladu. VSB-TU Ostrava 2001MASTOVSKY ,O.: Hydromechanika. SNTL Praha 1956, 1963NOSKIEVIC ,J. A KOL.: Mechanika tekutin. SNTL/ALFA Praha 1990NOSKIEVIC ,J.: Hydromechanika. Skriptum. ES VSB Ostrava, 1980NOZIC KA,J.: Mechanika a termodynamika. C VUT, Praha 1991NOZISKA,J.: Analogove metody v proudí nı. Praha, Academia 1967SMETANA,J.: Hydraulika, 1. a 2. dıl. N C SAV Praha, 1957TESAR,V.: Meznı vrstvy a turbulence. C VUT, Praha 1984

v nšmcinšALBRING,W.: Angewandte Stro mungslehre, Steinkopf. Dresden 1961, 1966, 1970PRANDTL,L., OSWATITSCH,K, WIEGHARDT,K.: Fuhrer durch die Stro mungslehre Vieweg.Braunschweig, 1969SPURK,J.H.: Stro mungslehre, Springer, Berlin 1989

v anglictinšFOX,R.W.,MC DONALD,A.T.: Introduction to Fluid Mechanics, J. Wiley & sons, New York, 1994SCHLICHTING,H.: Grenzschittheorie. Krlsruhe, Verlag A. Braun 1965STREETER, V.L.: Fluid Mechanics, Mc Graw-Hill, New York, 1971WHITE, F.M.: Fluid Mechanics, Mc Graw-Hill, New York, 1986

v rus tinšHINZE,J.O.: Turbulentnosž (preklad z anglictiny). Moskva, 1963KOC IN,N.E., KIBEL,I.A, ROZE,N.V.: Teoretic eskaja gidromechanika. Izd. tech.-teor. lit. Moskva, 1948LOJCJANSKIJ, L.G.: Mechanika zidkosti i gaza. Moskva, Nauka 1987LOJCJANSKIJ,J.G.: Laminarnyj pogranic nyj sloj. Moskva, 1962

v pols tinšGRYBOS, R.: Postavy mechaniky plynow. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1998


125

22. OBSAH:1. Uvod.....................................................................................................................................................2

2. Zakladnı pojmy.....................................................................................................................................3

2.1. Tekutina.........................................................................................................................................3

2.2. Fyzikalnı vlastnosti tekutin.............................................................................................................5

3. Tlakove pomšry v kapalinš za klidu...................................................................................................10

3.1. Tlak a jeho pusobenı ...................................................................................................................10

3.2. Eulerova rovnice hydrostatiky .....................................................................................................12

3.3. Hladinove plochy.........................................................................................................................14

3.4. Rozlozenı tlaku v kapalinš...........................................................................................................14

3.5. Pascaluv zakon ...........................................................................................................................16

4. Tlakove sıly ........................................................................................................................................17

4.1. Vodorovne rovinne plochy...........................................................................................................17

4.2. S ikme rovinne plochy ..................................................................................................................17

4.3. Tlakova sıla na krive plochy ........................................................................................................20

4.4. Sıly na tšlesa ponorena do kapaliny ...........................................................................................22

5. Relativnı pohyb kapaliny....................................................................................................................24

5.1. Pohyb prımocary, rovnomšrnš zrychleny ....................................................................................24

5.2. Pohyb rovnomšrny , otacivy .........................................................................................................25

5.3. Potencial intenzity objemovych sil...............................................................................................27

Hydrodynamika ......................................................................................................................................29

6. Klasifikace proudšnı a zakladnı pojmy ..............................................................................................29

6.1. Zakladnı pojmy............................................................................................................................29

6.2. Rozdšlenı proudšnı .....................................................................................................................30

6.3. Druhy proudšnı skutecnych tekutin.............................................................................................31

7. Proudšnı idealnı tekutiny ...................................................................................................................34

7.1. Rovnice kontinuity Ú spojitosti .....................................................................................................34

7.2. Eulerova rovnice hydrodynamiky ................................................................................................38

7.3. Bernoulliho rovnice pro dokonalou tekutinu ................................................................................40

7.4. Mšrenı mıstnı rychlosti ................................................................................................................44

7.5. Mšrenı strednı rychlosti a prutoku (prurezova mšridla) ..............................................................47

7.6. Stacionarnı proudšnı idealnı tekutiny potrubım ..........................................................................48

8. Proudšnı vazke tekutiny.....................................................................................................................49

8.1. Navierova-Stokesova rovnice .....................................................................................................49

8.2. Bernoulliho rovnice pro skutecnou kapalinu................................................................................50

9. Laminarnı proudšnı ............................................................................................................................52

9.1. Laminarnı prudšnı v kruhovem potrubı .......................................................................................52

9.2. Laminarnı proudšnı mezi rovnobšznymi deskami ......................................................................54

9.3. Laminarnı proudšnı ve valcove mezere-mezikruzı .....................................................................56

9.4. Stekanı po svisle stšnš ...............................................................................................................57

10. Turbulentnı proudšnı........................................................................................................................59


10.1. Vznik turbulence ........................................................................................................................59

10.2. Charakteristiky turbulentnıho proudšnı .....................................................................................60

10.3. Matematicky popis turbulentnıho proudšnı ...............................................................................61

11. Hydraulicky vypocet potrubı .............................................................................................................65

11.1. Hydraulicke odpory (ztraty)........................................................................................................65

11.2. Trecı ztraty v potrubı..................................................................................................................66

11.3. Mıstnı odpory (ztraty).................................................................................................................71

11.4. Gravitacnı potrubı ......................................................................................................................79

11.5. Jednoduche potrubı s nadrzı .....................................................................................................80

11.6. Slozene potrubı..........................................................................................................................81

11.7. Charakteristika potrubı ..............................................................................................................81

12. Vy tok kapaliny z nadob, prepady .....................................................................................................83

12.1. Vy tok malym otvorem ................................................................................................................83

12.2. Vy tok velkym otvorem v bocnı stšnš .........................................................................................84

12.3. Vy tok ponorenym otvorem.........................................................................................................85

12.4. Vy tok pri soucasnem prıtoku .....................................................................................................85

12.5. Vyprazdnovanı nadob................................................................................................................86

12.6. Prepady .....................................................................................................................................87

13. Proudšnı v rotujıcım kanale .............................................................................................................88

13.1. Bernoulliho rovnice pro rotujıcı kanal ........................................................................................88

13.2. Odstredive cerpadlo ..................................................................................................................89

14. Neustalene proudšnı ........................................................................................................................93

14.1. Bernoulliho rovnice pro neustalene proudšnı............................................................................93

14.2. Hydraulicky raz ..........................................................................................................................94

15. Všta o zmšnš hybnosti................................................................................................................97

16. Obtekanı tšles ................................................................................................................................101

16.1. Meznı vrstva ............................................................................................................................101

16.2. Odpor tšles Fx..........................................................................................................................104

17. Proudšnı v korytech .......................................................................................................................107

17.1. Rovnomšrny prutok .................................................................................................................107

17.2. Nerovnomšrny prutok ..............................................................................................................108

18. Fyzikalnı podobnost a teorie modelovanı ......................................................................................110

18.1. Hydrodynamicka podobnost pri proudšnı tekutin ....................................................................110

18.2. Dimenzionalnı analyza (π-teorem) ..........................................................................................112

19. Rovinne potencialnı proudšnı ........................................................................................................113

19.1. Uvodnı poznamky....................................................................................................................113

19.2. Zakladnı rovnice ......................................................................................................................113

19.3. Vyuzitı teorie potencialoveho proudšnı, skladanı proudu. ......................................................115

20. Prehled pouzitych oznacenı ......................................................................................................122

21. LITERATURA ............................................................................................................................124

22. OBSAH: .....................................................................................................................................125

Date post:	12-Jan-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	21 times
Download:	0 times

IK,J. - STA VA,P.: Mechanika tekutinJANALIK,J. - STA VA,P.: Mechanika tekutin 3 2. Zakladnı pojmy...

Documents