Probabilidades

Prof.: Christian Lorca CruzProbabilidad y Estadísticas

Métodos EstadísticosEstadísticas para la Investigación Psicológica IEstadísticas para la Investigación Psicológica II

Departamento de Matemáticas Universidad de La Serena

Definición

• Idea Frecuentista: La probabilidad es la proporción de ocurrencia en la

población.

• Idea subjetivista: La probabilidad es una medida de incertidumbre con

respecto a una afirmación.

Definiciones

• Experimento: se denomina al proceso de observación o medición de un proceso aleatorio cualquiera ejemplo: lanzar dos monedas y anotar los resultados.

• Espacio muestral (Ω): Es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento– Ej.: En el espacio muestral del lanzamiento de 2 dados,

son todos los pares ordenados posibles en relación al experimento.

– Ω=(1,1);(1,2);(1,3);(1,4);(1,5)……(6,6) en total 36 pares.

• Evento Elemental: Es un elemento del espacio muestral

• Evento: Es un subconjunto del espacio muestral. Son elementos del espacio muestral que cumplen alguna condición dada.

• Ej.: “Que la suma de las puntuaciones de dos dados sea 7” • Los pares ordenados que cumplen esta condición son: (2,5);

(5,2);(3,4);(4,3);(1,6);(6,1)• Los eventos se anotan con las letras mayúsculas del

abecedario.

• Evento Contrario: Se llama suceso contrario al complemento de un suceso A y lo denotaremos Ac.

Eventos mutuamente excluyentes• Dos o mas eventos son mutuamente

excluyentes si no pueden ocurrir al mismo tiempo. Es decir, la ocurrencia del evento A impide automáticamente la ocurrencia de un evento B – Ej: Al extraer una carta de un naipe ingles de 52

cartas, sea A: sacar un as; B: sacar un rey podemos observar que al sacar una carta, esta

carta solo puede ser un as o un rey.

Dependencia de eventos

• Eventos independientes: Dos eventos son independientes cuando la ocurrencia de un evento no tiene ningún efecto en la ocurrencia de otro. La probabilidad de un evento no influye en la probabilidad del otro

• Eventos dependientes: Dos eventos, A y B, son dependientes cuando la probabilidad de que suceda A se ve afectada porque haya sucedido o no B.

Unión de Eventos

• La unión de los eventos A ó B (AUB) es un eventos formado por los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B.– Notación: AUB y se lee “A o B”

𝐴∪𝐵= ሼ𝑥 | 𝑥∈𝐴 ∨𝑥∈𝐵ሽ

Unión de Eventos

• Ejemplo: Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado. Se definen los siguientes eventos: A = "sacar par" y B = "sacar múltiplo de 3". Calcular AUB.

• Ω=1, 2, 3, 4, 5, 6 # Ω=6• A = 2, 4, 6 B = 3, 6 (AUB)=2,3,4,6

Propiedades para la Unión de eventos• 𝐶𝑜𝑛𝑚𝑢𝑡𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 ሺ 𝐴 ∪ 𝐵ሻ= ሺ𝐵 ∪ 𝐴ሻ 𝐷𝑒𝑚: ሺ𝐴∪𝐵ሻ = ሼ𝑥 | 𝑥∈𝐴 ∨𝑥∈𝐵ሽ = ሼ𝑥 | 𝑥∈𝐵 ∨𝑥∈𝐴ሽ = ሺ𝐵∪𝐴ሻ • 𝐴𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 ሺ𝐴 ∪ 𝐵ሻ∪ 𝐶 = 𝐴 ∪ ሺ𝐵 ∪ 𝐶ሻ 𝐷𝑒𝑚: ሺ𝐴∪𝐵ሻ∪𝐶 = ሼ𝑥 |ሺ 𝑥∈𝐴 ∨𝑥∈𝐵ሻ ∨ 𝑥∈𝐶ሽ = ሼ𝑥 | 𝑥∈𝐴 ∨ሺ𝑥∈𝐵 ∨ 𝑥∈𝐶ሻሽ = 𝐴 ∪ ሺ𝐵 ∪ 𝐶ሻ • 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡𝑖𝑣𝑎 𝐴 ∪ ሺ𝐵∩𝐶ሻ = ሺ𝐴∪𝐵ሻ ∩ሺ𝐴∪𝐶ሻ

Intersección de Eventos

• La intersección de eventos A y B, es el evento formado por todos los elementos que pertenecen simultáneamente a los conjunto A y B. 𝑁𝑜𝑡𝑎𝑐𝑖ó𝑛: 𝐴∩𝐵 𝑦 𝑠𝑒 𝑙𝑒𝑒 “𝐴 𝑦 𝐵”

𝐴∩𝐵= ሼ𝑥 | 𝑥∈𝐴 ∧𝑥∈𝐵ሽ

Intersección de Eventos

• Ejemplo: Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado. Se definen los siguientes eventos: A = "sacar par" y B = "sacar múltiplo de 3". Calcular A B.

• Ω=1, 2, 3, 4, 5, 6 # Ω=6 • A = 2, 4, 6 B = 3, 6 (A B)=6

U

U

Propiedades para la Intersección de eventos• 𝐶𝑜𝑛𝑚𝑢𝑡𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 ሺ 𝐴 ∩ 𝐵ሻ= ሺ𝐵 ∩ 𝐴ሻ 𝐷𝑒𝑚: ሺ𝐴∩𝐵ሻ = ሼ𝑥 | 𝑥∈𝐴 ∧𝑥∈𝐵ሽ = ሼ𝑥 | 𝑥∈𝐵 ∧𝑥∈𝐴ሽ = ሺ𝐵∩𝐴ሻ • 𝐴𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 ሺ𝐴 ∩ 𝐵ሻ∩ 𝐶 = 𝐴 ∩ ሺ𝐵 ∩ 𝐶ሻ 𝐷𝑒𝑚: ሺ𝐴∩𝐵ሻ∩𝐶 = ሼ𝑥 |ሺ 𝑥∈𝐴 ∧𝑥∈𝐵ሻ ∧ 𝑥∈𝐶ሽ = ሼ𝑥 | 𝑥∈𝐴 ∧ሺ𝑥∈𝐵 ∧ 𝑥∈𝐶ሻሽ = 𝐴 ∩ ሺ𝐵 ∩𝐶ሻ • 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡𝑖𝑣𝑎 𝐴 ∩ ሺ𝐵∪𝐶ሻ = ሺ𝐴∩𝐵ሻ ∪ሺ𝐴∩𝐶ሻ

Diferencia de Eventos

• La diferencia de eventos A-B, es el evento formado por los elementos que pertenecen al conjunto A, pero no al conjunto a B.𝑁𝑜𝑡𝑎𝑐𝑖ó𝑛: 𝐴− 𝐵 𝑦 𝑠𝑒 𝑙𝑒𝑒 “𝐴 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 𝐵”

𝐴− 𝐵= ሼ𝑥 | 𝑥∈𝐴 ∧𝑥∉𝐵ሽ 𝐴− 𝐵= 𝐴∩𝐵𝑐

Intersección de Eventos

• Ejemplo: Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado. Se definen los siguientes eventos: A = "sacar par" y B = "sacar múltiplo de 3". Calcular A-B.

• Ω=1, 2, 3, 4, 5, 6 # Ω=6 • A = 2, 4, 6 B = 3, 6 (A - B)=2, 4

Leyes de DeMorgan

ሺ𝐴∪𝐵ሻ𝑐 = 𝐴𝑐 ∩𝐵𝑐 → ൬ራ 𝐴𝑖𝑛𝑖=1 ൰

𝑐 = ሩ 𝐴𝑖𝑐𝑛

𝑖=1

ሺ𝐴∩𝐵ሻ𝑐 = 𝐴𝑐 ∪𝐵𝑐 → ൭ሩ 𝐴𝑖𝑛

𝑖=1 ൱

𝑐 = ራ 𝐴𝑖𝑐𝑛𝑖=1

𝜎− 𝑎𝑙𝑔𝑒𝑏𝑟𝑎 Una colección de eventos 𝓕 de Ω es un σ− algebra si cumple con los siguientes axiomas: 𝑖) ∅ ∈ 𝓕 𝑖𝑖) 𝑆𝑖 𝐴∈𝓕,𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐴𝑐 ∈𝓕

𝑖𝑖𝑖) 𝑆𝑖 ሼ𝐴𝑖ሽ𝑖=1∞ + ∈ 𝓕 ,𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ራ 𝐴𝑖∞+

𝑖=1 ∈𝓕

Al par ordenadoሺΩ ,𝓕ሻ 𝑆𝑒 𝑙𝑒 𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎 𝐸𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑦 𝑎 𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝓕 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠

• Demostrar por medio de Sigma-algebra:

– Evento Seguro.– La unión finita de una colección de eventos.– La intersección de eventos

Probabilidad Frecuentista

• Para eventos equiprobables:– Se define un evento A pertenciente a un espacio

muestral Ω, entonces se define P(A):

𝑝ሺ𝐴ሻ= 𝑛° 𝑑𝑒 𝐶𝑎𝑠𝑜𝑠 𝐹𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑛° 𝑑𝑒 𝐶𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠

𝑝ሺ𝐴ሻ= #𝐴#Ω

Ley de Los Grandes Números

𝑃ሺ𝐴ሻ= lim𝑛→∞ 𝑛ሺ𝐴ሻ𝑛

𝑛ሺ𝐴ሻ∶ 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑜𝑐𝑢𝑟𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐴 𝑛 ∶ 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠

Probabilidad Axiomática

• Sea Ω un espacio muestral, una colección de eventos de Ω, y el espacio medible es un , entonces se define, la probabilidad como una función que asigna a cada evento, un real comprendido en el intervalo cerrado [0,1]

ebraa lg𝒜

ሺΩ ,𝒜ሻ

𝑃:𝒜− −−→ℝሾ0,1ሿ 𝒜~~~~→𝑃ሺ𝐴ሻ

Axiomas de probabilidad

𝐴𝑥𝑖𝑜𝑚𝑎 1: 𝑝൬ራ 𝐴𝑖𝑛𝑖=1 ൰= 𝑝(𝐴𝑖) 𝑛

𝑖=1 → 𝐴𝑖 ∩𝐴𝑗 = ∅ ሺ𝑖 ≠ 𝑗ሻ 𝐴𝑥𝑖𝑜𝑚𝑎 2: 𝑃ሺΩሻ= 1

𝐴𝑥𝑖𝑜𝑚𝑎 3: 𝑃ሺ𝐴ሻ ≥ 0 ∀𝐴∈𝒜

Teoremas de Probabilidad

𝑆𝑒𝑎 ሺΩ,𝒜,𝑃ሻ 𝑢𝑛 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑,𝑦 𝐴,𝐵,𝐶∈𝒜 𝑇𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 1 ∶ 𝑃ሺ∅ሻ= 0 𝑇𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 2 ∶ 𝑃ሺ𝐴ሻ≤ 1 𝑇𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 3 ∶ 𝑃ሺ𝐴𝑐ሻ= 1− 𝑃ሺ𝐴ሻ 𝑇𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 4 ∶ 𝐴⊆ 𝐵→𝑃ሺ𝐴ሻ≤ 𝑃ሺ𝐵ሻ

Teoremas de Probabilidad

𝑇𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 5 ∶ 𝑃ሺ𝐴∪𝐵ሻ= 𝑃ሺ𝐴ሻ+ 𝑃ሺ𝐵ሻ− 𝑃ሺ𝐴∩𝐵ሻ 𝑇𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 6 ∶ 𝑃ሺ𝐴− 𝐵ሻ= 𝑃ሺ𝐴∩𝐵𝑐ሻ= 𝑃ሺ𝐴ሻ− 𝑃ሺ𝐴∩𝐵ሻ

𝑇𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 7 ∶ 𝑃ሺ𝐴𝐵ሻ= 𝑃ሺ𝐴− 𝐵ሻ∪𝑃ሺ𝐵− 𝐴ሻ 𝑃ሺ𝐴𝐵ሻ= 𝑃ሺ𝐴ሻ+ 𝑃ሺ𝐵ሻ− 2𝑃ሺ𝐴∩𝐵ሻ