1Katedra stavební mechaniky
Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava
Statika stavebních konstrukcí II., 3.ročník bakalářského studia
Téma 2Analýza přímého prutu
• Lokální a globální souřadnicová soustava• Primární (zatěžovací) vektor prutů různě uložených• Lokální matice tuhosti prutů různě uložených• Výpočet koncových sil
2
Analýza prutu, souřadné systémy
aaa wu x
z*x*z
ab
abb wu
x, z .. globální souřadný systém GSS
x*, z* lokální souřadný systém LSS
GSS platí pro celou konstrukciLSS platí pro jeden prutPro ab = 0 souřadné systémy
totožnéSměr otáčení ab pravotočivý !
3
Analýza prutu, koncové síly prutu
abM
baMabX
abZbaX
baZVýsledný
stav
abM
baMabX
abZ baX
baZPrimární
stav
bababaababab
bababaababab
bababaababab
MMMMMM
ZZZZZZ
XXXXXX
abM
baMabX
abZ
baX
baZ
Sekundární stav
a
b
aw
au
bwbu
4
Primární stavPro různá zatížení (silová) prutu odvodíme primární koncové síly v lokálním souřadném systému.Primární koncové síly jsou důsledkem zatížení prutu po jeho upnutí, sestavujeme je do sloupcového vektoru Globální primární vektor prutu a-b v GSS
Tbababaabababab MZXMZXR*******
Tbababaabababab MZXMZXR
Lokální primární vektor prutu a-b v LSS
5
Primární stavZatížení prutu lze rozdělit na:a) zatížení působící v ose prutu (osové zatížení) – vznikají koncové síly
b) zatížení působící kolmo na osu prutu (příčné zatížení) – vznikají koncové síly
**, baab XX
****,,, baabbaab MMZZ
a b*abX
*baX
a b*abZ
*abM *
baZ
*baM
6
Primární stav, osové zatížení
Zatížení v ose prutu řešíme silovou metodoua b ´b
100. stav
1a b ´b
111. stav
Deformační podmínka 11
10*
1011
*0
baba XX
R … výslednice osového zatížení
11
10****0
RXRXRXX baabbaab
Poznámka: platí pro všechny typy uložení prutu bránící posunutí ve směru osy x
a b*abX
*baX
a b*abX
*baX
a ba b*abX
*baX
7
Primární stav, osové zatížení, příklad 1
EAll
EAEAnllnl
EA
111
21
21
11
2
10
a bn
EA = konst.
a b
nlH a
nl
0N0. stav a b
1
1N1. stav
1
22
220
**
2
11
10**
1110
nlnlnlXRX
nllEA
EAnlXX
baab
baba
8
Primární stav, osové zatížení, příklad 2
EAl
EAFx
1110
lxF
lFxFXRX
lxFX
baab
ba
´**
11
10*
a bF EA = konst.x ´xxl
a b1
1N1. stav
1
a b
FH a
F0N
0. stav
9
Primární stav, příčné zatížení, oboustranně monoliticky připojený prut
a b
0. stav*z
*xab ba
a b
1. stavab
1
1a b
2. stav ba
Deformační podmínky 0
0**
**
bababaab
abbaabab
MM
MM
Řešení
2
*
2
*
baab
abbaabba
baab
babaabab
M
M
a b*abZ
*abM *
baZ
*baM
10
Primární stav, příčné zatížení, oboustranně monoliticky připojený prut
a b*abZ
*abM *
baZ
*baM
a b
*0,abZ
*0,baZ
*abM
*baM
a b
*abZ *
baZ+
MZl
MMZZMZl
MMZZ
Ml
MMZMl
MMZ
MMlZMMlZ
MZZZZMZZZZ
ba
ab
baabbabaab
ab
baababab
ab
baab
baab
baab
ab
baababbabaababab
babababaabababab
*0,
***
0,**
0,
***
0,*
**
*
**
*
******
*0,
**0,
**0,
**0,
*
0- 0
11
Primární stav, příčné zatížení, oboustranně monoliticky připojený prut, příklad 3
82ql
0M
a b
2qlRa
2qlRb
0. stav
a b1 1
1. stav1
1M
a b EI = konst. l=lab
EIll
EIEIqllql
EI 2
11
32
10 1112
183
21
120
2
11
10***
1110
qlMMM baabab
2*
0,**
0,* qlMZZZZ abababab
2*
0,**
0,* qlMZZZZ babababa
0**
ab
baab
lMMM
12
Primární stav, příčné zatížení, levostranně kloubově připojený prut
a b*abZ
*baZ
*baM
a b
0. stavab ba
1a b
1. stav ba
ba
bababababa MM
**0
13
Primární stav, příčné zatížení, levostranně kloubově připojený prut
a b*abZ
*baZ
*baM
*baM+a b
*0,abZ *
0,baZ
a b
*abZ
*baZ
Ml
MZ
MlZ
MZZZZ
ab
baab
baabab
abababab
**
**
*0,
**0,
*
0
Ml
MZ
MlZ
MZZZZ
ab
baba
baabba
babababa
*
*
**
*0,
**0,
*
0
14
Primární stav, příčné zatížení, pravostranně kloubově uložený prut
a b*abZ
*abM *
baZ
a b
0. stavab ba
a b
1. stavab
1
ab
ababababab MM
**0
15
Primární stav, příčné zatížení, pravostranně kloubově uložený prut
a b*abZ
*abM *
baZ*abM+a b
*0,abZ
*0,baZ
a b
*abZ
*baZ
Ml
MZ
MlZ
MZZZZ
ab
abab
ababab
abababab
**
**
*0,
**0,
*
0
Ml
MZ
MlZ
MZZZZ
ab
abba
ababba
babababa
**
**
*0,
**0,
*
0
16
Primární stav, příčné zatížení, pravostr.kloub. připojený prut, příklad 4
EIll
EIEIqllql
EI 332
211
2421
8321
11
32
10
80
2
11
10*
111110qlMXX ab
85
82
2 **0,
* qll
qlqlZZZ ababab qll
qlqlZZZ bababa83
82
2 **0,
*
a b EI = konst. lab=l
82ql
0M
a b
2qlRa
2qlRb
0. stav
a b1
1. stav1
1M
17
Primární vektory koncových sil prutu konstantního a neměnného průřezu
a) Plné spojité zatížení
ba*abX
*abZ
*baX
*baZ
*abM
*baM
l
ba*abX
*abZ
*baX
*baZ
*abM
*baM
l
a*abX
*abZ
*baX
*baZ
*abM
*baM
*abX
*abZ
*baX
*baZ
*abM
*baM
l
q
na b
*
*
*
*
*
*
*
ba
ba
ba
ab
ab
ab
ab
MZXMZX
R
12/2/2/
12/2/2/
2
2
qlqlnl
qlqlnl
08/32/8/8/52/
2
qlnl
qlql
nl
8/8/52/
08/32/
2qlql
nl
qlnl
02/2/
02/2/
qlnl
qlnl
Připojení prutu
18
Primární vektory koncových sil prutu konstantního a neměnného průřezu
b) Plné lichoběžníkové zatížení
ba*abX
*abZ
*baX
*baZ
*abM
*baM
l
ba*abX
*abZ
*baX
*baZ
*abM
*baM
l
a*abX
*abZ
*baX
*baZ
*abM
*baM
*abX
*abZ
*baX
*baZ
*abM
*baM
l
*
*
*
*
*
*
*
ba
ba
ba
ab
ab
ab
ab
MZXMZX
R
Připojení prutu
60/)32(
20/)73(
6/)2(
60/)23(
20/)37(
6/)2(
221
21
21
221
21
21
lqq
lqq
lnn
lqq
lqq
lnn
0
40/)114(
6/)2(
120/)78(
40/)916(
6/)2(
21
21
221
21
21
lqq
lnn
lqq
lqq
lnn
120/)87(
40/)169(
6/)2(
0
40/)411(
6/)2(
221
21
21
21
21
lqq
lqq
lnn
lqq
lnn
0
6/2
6/)2(
0
6/2
6/)2(
21
21
21
21
lqq
lnn
lqq
lnn
1q 2q
1n2n
19
Primární vektory koncových sil prutu konstantního a neměnného průřezu
c) Osamělá síla
ba*abX
*abZ
*baX
*baZ
*abM
*baM
l
ba*abX
*abZ
*baX
*baZ
*abM
*baM
l
a*abX
*abZ
*baX
*baZ
*abM
*baM
*abX
*abZ
*baX
*baZ
*abM
*baM
l
*
*
*
*
*
*
*
ba
ba
ba
ab
ab
ab
ab
MZXMZX
R
Připojení prutu
F
a ba b
2
32
322
2/
2/)3(
/
0
2/)3(
/
lalabF
lalaF
laF
lblbF
lbF
z
z
x
z
x
0
/
/
0
/
/
laF
laF
lbF
lbF
z
x
z
x
0
2/)3(
/
2/
2/)3(
/
322
2
32
lalaF
laF
lblabF
lblbF
lbF
z
x
z
z
x
22
32
22
32
/
/)2(
/
/
/)2(
/
lbaF
lblaF
laF
labF
lalbF
lbF
z
z
x
z
z
x
20
Primární vektory koncových sil prutu konstantního a neměnného průřezu
d) Osamělý moment
ba*abX
*abZ
*baX
*baZ
*abM
*baM
l
ba*abX
*abZ
*baX
*baZ
*abM
*baM
l
a*abX
*abZ
*baX
*baZ
*abM
*baM
*abX
*abZ
*baX
*baZ
*abM
*baM
l
*
*
*
*
*
*
*
ba
ba
ba
ab
ab
ab
ab
MZXMZX
R
Připojení prutu
M
a ba b
2
3
2
3
/)32(
/6
0
/)32(
/6
0
lalMa
lMab
lblMb
lMab
0
2/3
0
2/)3(
2/3
0
322
222
322
lblM
lblM
lblM
222
322
322
2/)3(
2/3
0
0
2/3
0
lalM
lalM
lalM
0
/
0
0
/
0
lM
lM
21
Primární vektory koncových sil prutu konstantního průřezu [1]
22
Sekundární stavV sekundárním stavu dochází v koncových bodech prutů k přetvoření, která se podílejí na splnění podmínek rovnováhy v uzlech. Přetvoření způsobují deformační zatížení prutů.
23
Sekundární stav, oboustranně monoliticky připojený prut
a b
*au
*aw *
a*bu
*bw
*b
*
abM *
baM
*
abX
*
abZ
*
baX
*
baZ
a b
V sekundárním stavu je prut osově a příčně deformačně zatíženOsové zatížení způsobují posunutí aPříčné zatížení způsobují posunutí a a pootočení aKoncové síly sekundárního stavu řešíme silovou metodou
*au *
bu*aw *
bw *a *
b
24
Sekundární stav, oboustranně monoliticky připojený prut, osové deformační zatížení
11
*
11
*
11
******
11
**
11101
*
**10
*1
11011
*
10
11
bababaabbaab
abba
aa
b
ba
uuuuXXXX
uudX
uuud
dX
1a b
1. stav
1aH
*au
a b
0. stav*au
a b
*au
*aw *
a*bu
*bw
*b
*ˆabX
b´a ´ba *au *
bu *ˆbaX
25
Sekundární stav, oboustranně monoliticky připojený prut,příčné deformační zatížení
a b
2. stav
ab 1
abl1
abl1
1a b
3. stav
ba
abl1
abl1
33033
*
32
*
22023
*
22
*
dMM
dMM
baab
baab
ba
ab
ab
baa
aba
abb
ab
bab
aba
aba
lwww
lw
ld
lwww
lw
ld
3323
2322
****
303
****
202
11
11*bw
20
a b
0. stav*aw
30
a b
*au
*aw *
a*bu
*bw
*b
26
Sekundární stav, oboustranně monoliticky připojený prut, pokračování
a b
2. stavab
1
abl1
abl1
1a b
3. stav ba
abl1
abl1
*****
*****
bab
bababaab
aab
babaabab
lwwMM
lwwMM
27
Sekundární stav, oboustranně monoliticky připojený prut, výpočet
a b
2. stavab
1
abl1
abl1
1a b
3. stav ba
abl1
abl1
*****
*****
bab
bababaab
aab
babaabab
lwwMM
lwwMM
****1*
****1
***
***
1
2
bbab
baa
baa
ab
baab
bab
babbaa
ab
baa
bab
babaa
ab
ba
baab
Dw
DlDw
DlDDM
lw
lwD
lww
lwwD
D
*
abM
28
Sekundární stav, oboustranně monoliticky připojený prut, výpočet
a b
2. stavab
1
abl1
abl1
1a b
3. stav ba
abl1
abl1
*****
*****
bab
bababaab
aab
babaabab
lwwMM
lwwMM
****2*
****2
****
2
2
bab
bab
abaa
ab
abba
abbab
abbb
ab
aba
aab
baabb
ab
ba
baab
Dw
DlDw
DlDDM
lw
lwD
lww
lwwD
D
*
baM
29
Sekundární stav, oboustranně monoliticky připojený prut, pokračování výpočtu
a b*ˆabZ
*ˆabM
*ˆbaZ
*ˆbaM
a b
0ˆ *0, abZ 0ˆ *
0, baZ
*ˆabM *ˆ
baMa b
*ˆabZ *ˆ
baZ+
ab
baab
babaab
baababab
baababbabaababab
bababaabababab
lMMZZ
lMMZZ
MMlZMMlZ
ZZZZZZZ
**
****
**
******
**0,
****0,
*
ˆ ˆ ˆˆˆˆ
0ˆˆˆ- 0ˆˆˆ
ˆˆˆ ˆˆˆˆ
30
Sekundární stav, oboustranně monoliticky připojený prut, pokračování výpočtu
**2
**2
*
***
**2
**2
*
***
22
1
22
1
bab
abb
ab
baaba
ab
baa
ab
baabba
baabba
bab
abb
ab
baaba
ab
baa
ab
baabab
baab
ab
ab
Dlw
DlDlw
DlZ
MMl
Z
Dlw
DlDlw
DlZ
MMl
Z
31
Sekundární stav, pravostranně kloubově připojený prut
0ˆ * baM
****
****
****
111
1
babab
aab
aabab
ab
aab
ba
ab
ab
aab
baabab
wl
wl
M
lwwM
lwwM
*2
**2
**
*2
**2
**
1111
1111
babab
aabab
aabab
ab
ab
ba
babab
aabab
aabab
ab
ab
ab
wll
wl
Ml
Z
wll
wl
Ml
Z
*
abM
*
abX
*
abZ
*
bsX
*
baZ
a b
32
Sekundární stav, levostranně kloubově připojený prut
0ˆ * abM
****
****
****
111
1
babba
aba
aabba
ab
bab
ba
ba
ba
bab
bababa
wl
wl
M
lwwM
lwwM
*2
**2
**
*2
**2
**
1111
1111
babba
aabba
aabba
ba
ab
ba
babba
aabba
aabba
ba
ab
ab
wll
wl
Ml
Z
wll
wl
Ml
Z
*
baM
*
abX
*
abZ
*
baX
*
baZ
a b
33
Sekundární stav, koncové síly prismatického prutu (konstantního a neměnného průřezu) oboustranně připojeného
**2
**2
*
*****
*2
*3
*2
*3
*
**2
**2
*
**
11
*
11
**
2211
2646
612612
22
121 6
3
bbaaab
bbba
aba
aba
ab
bbaaab
bab
bbaab
aba
abaab
ab
baba
ab
baabbaabab
lEJw
lEJ
lEJw
lEJM
Dw
Dllw
DlM
lEJw
lEJ
lEJw
lEJZ
Dlw
DlDlw
DlZ
ul
EAul
EAuuX
lEJD
EIl
EIl
EAlll
34
Sekundární stav, koncové síly prismatického prutu (konstantního a neměnného průřezu) oboustranně připojeného, pokračování
**2
**2
*
*****
*2
*3
*2
*3
*
**2
**2
*
**
11
*
11
**
4626
612612
22
bbaaba
bab
bab
aaab
ba
bbaaba
bab
bbaab
aba
abaab
ba
baba
ba
lEJw
lEJ
lEJw
lEJM
Dw
Dllw
DlM
lEJw
lEJ
lEJw
lEJZ
Dlw
DlDlw
DlZ
ul
EAul
EAuuX
35
Maticový zápis
*
*
*
*
*
*
*
ˆˆˆˆˆˆ
ˆ
ab
ab
ab
ab
ab
ab
ab
MZXMZX
R
lEI
lEI
lEI
lEI
lEI
lEI
lEI
lEI
lEA
lEA
lEI
lEI
lEI
lEI
lEI
lEI
lEI
lEI
lEA
lEA
460260
61206120
0000
260460
61206120
0000
22
2323
22
2323
***
ababab rkR
*
*
*
*
*
*
b
b
b
a
a
a
wu
wu
36
Maticový zápis**
*
ababab rkR
*abk
*
abR
*abr
… sekundární vektor koncových sil v LSS
… lokální matice tuhosti prismatického prutu
… lokální vektor parametrů deformace prutu v LSS
37
Maticový zápisPro oboustranně monoliticky připojený prut je
lEI
lEI
lEI
lEI
lEI
lEI
lEI
lEI
lEA
lEA
lEI
lEI
lEI
lEI
lEI
lEI
lEI
lEI
lEA
lEA
kab
460260
61206120
0000
260460
61206120
0000
22
2323
22
2323
*
Tbbbaaaab wuwur *******
38
Výsledné lokální koncové síly***
***
abababababab rkRRRR
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
ba
ba
ba
ab
ab
ab
ba
ba
ba
ab
ab
ab
ba
ba
ba
ab
ab
ab
MZXMZX
MZXMZX
MZXMZX
39
Lokální matice tuhosti prutu konstantního průřezu [1]
40
Použitá literatura
[1] Kadlčák, J., Kytýr, J., Statika stavebních konstrukcí II. Staticky neurčité prutové konstrukce. Učebnice, druhé vydání. VUTIUM, Brno 2004.
41
Testační příklad 1Určete primární koncové síly prutu a-b v LSS, je-li zatížen dle obr.: kNF 10
30 ba6 4
ml 10
42
Testační příklad 1Určete primární koncové síly prutu a-b v LSS, je-li zatížen dle obr.: kNF 10
30 ba6 4
ml 10
Řešení:
Tab
T
bababaabababab
zx
R
MZXMZXR
FFFF
03196,502464,3
55,010sin 66,8866,010cos
*
*******
Dále aplikujeme a) silovou metodu nebo b) použijeme tabulky
