Slovní úlohy o společné práci

Jak při řešení rovnic postupovat?

1. Pozorně si přečti text úlohy (raději několikrát).

2. Mezi neznámými údaji zvol jeden, o kterém nevíš vůbec nic, jako neznámou.

3. Pomocí zvolené neznámé a zadaných podmínek vyjádři všechny ostatní údaje z textu.

4. Vyjádři logickou rovnost plynoucí z textu úlohy a na jejím základě sestav rovnici a vyřeš ji.

5. Proveď zkoušku, kterou ověříš, že získané výsledky vyhovují všem podmínkám úlohy.

6. Napiš odpovědi na otázky zadané úlohy.

Slovní úloha o společné práciÚlohy o společné práci jsou si velice podobné a počítají se v podstatě pořád stejně. Takže:• Pracovat mohou dvě, tři, ale i více těles, osob najednou.

• Práci začnou i ukončí většinou naráz (stejná doba společné práce, stejný čas).• Můžeme však počítat i příklady, kdy tělesa, osoby nepracují naráz, ale jeden začne a druhý se k němu přidá, či naopak začnou společně a jeden skončí dříve (pak doba, čas společné práce stejný není).• Celá společná práce se rovná jedné (ať pracují 2, 3, 4 nebo i více, to, na čem společně „makají“, je vždy rovno 1).• Při výpočtech vycházíme vždy z toho, jakou část společné práce udělá každé těleso, každá osoba za časovou jednotku (hodinu, den, minutu…).• Celá společná práce je tvořena součtem částí společné práce, vykonaných jednotlivými tělesy, osobami, které se na společné práci podílejí.

• Někdy nemusí pracovat společně, ale mohou pracovat proti sobě, např. jednou rourou voda přitéká, druhou odtéká. Pak není společná práce tvořena součtem, ale rozdílem.

Tak

si to

pojď

me

ukáz

at

na k

onkr

étní

ch

přík

lade

ch.

Slovní úloha o společné práci

Jedním přítokem se bazén naplní za 20 hodin, druhým za 30 hodin. Za jak dlouho se bazén naplní oběma přítoky současně?

Ukázka zadání takové úlohy:

Slovní úloha o společné práci

Jedním přítokem se bazén naplní za 20 hodin, druhým za 30 hodin. Za jak dlouho se bazén naplní oběma přítoky současně?

1. přítokem by se bazén naplnil za 20

hodin, což znamená, že za 1 hodinu by se naplnila 1/20 bazénu,za 2 hodiny pak 2/20 a za x hodin společné

práce x/20 bazénu.

20

x

2. přítokem by se bazén naplnil za 30

hodin, což znamená, že za 1 hodinu by se naplnila 1/30 bazénu,za 2 hodiny pak 2/30 a za x hodin společné

práce x/30 bazénu.

30

x 1

hodinza 30

bazénu30

1

...prácespolečnéhodinxza

Příklad: Jedním přítokem se bazén naplní za 20 hodin, druhým za 30 hodin. Za jak dlouho se bazén naplní oběma přítoky současně?

Tak ještě jednou a pomaleji.

...bazéncelý hodinza 20

...hodinuza 1 bazénu20

1

...hodinyza 2 bazénu20

2

...prácespolečnéhodinxza bazénux

20

...bazéncelý

...hodinuza 1

bazénux

30

1. přítok:

2. přítok:

1 celý bazén

...prácespolečnéhodinxza

Příklad: Jedním přítokem se bazén naplní za 20 hodin, druhým za 30 hodin. Za jak dlouho se bazén naplní oběma přítoky současně?

...prácespolečnéhodinxza

bazénux

20

bazénux

30

13020

xx

2. přítok:

1. přítok:

...prácespolečnéhodinxza

Příklad: Jedním přítokem se bazén naplní za 20 hodin, druhým za 30 hodin. Za jak dlouho se bazén naplní oběma přítoky současně?

...prácespolečnéhodinxza

bazénux

20

bazénux

30

13020

xx

Typická rovnice slovních úloh o společné práci

Doba práce

prvního

Doba práce

druhého

Doba společné

práce

Jedna celá společná

práce

1. přítok:

2. přítok:

...prácespolečnéhodinxza

Příklad: Jedním přítokem se bazén naplní za 20 hodin, druhým za 30 hodin. Za jak dlouho se bazén naplní oběma přítoky současně?

...prácespolečnéhodinxza bazénux

20

bazénux

30

13020

xx

60/

Zbavíme se zlomků

vynásobením celé rovnice společným

jmenovatelem

6023 xx

605 x

560 :x

hx 12Oběma přítoky současně se bazén naplní za 12 hodin.

2. přítok:

1. přítok:

Příklad: Jeden kopáč by vykopal příkop pro telefonní vedení za 6 hodin. Druhý by vykopal tentýž příkop za 3 hodiny. Jak dlouho by jim vykopání příkopu trvalo, kdyby pracovali společně?

Příklad: Jeden kopáč by vykopal příkop pro telefonní vedení za 6 hodin. Druhý by vykopal tentýž příkop za 3 hodiny. Jak dlouho by jim vykopání příkopu trvalo, kdyby pracovali společně?

...prácespolečnéhodinxza

...prácespolečnéhodinxza příkopux

6

příkopux

3

136

xx

6/

62 xx63 x

36 :x

hx 2Kdyby kopáči pracovali společně, vykopali by příkop za 2 hodiny.

1. kopáč:

2. kopáč:

Příklad: První čerpadlo vyčerpá vodu z nádrže za 3 hodiny, druhé čerpadlo za 7 hodin. Za jak dlouho se vyčerpá voda z nádrže, když budou obě čerpadla pracovat společně?

Příklad: První čerpadlo vyčerpá vodu z nádrže za 3 hodiny, druhé čerpadlo za 7 hodin. Za jak dlouho se vyčerpá voda z nádrže, když budou obě čerpadla pracovat společně?

...prácespolečnéhodinxza

...prácespolečnéhodinxza nádržex

3

nádržex

7

173

xx

21/

2137 xx2110 x

1021:x

Oběma čerpadly se voda z nádrže vyčerpá za 2 hodiny a 6 minut.

1. čerpadlo:

2. čerpadlo:

x = 2,1 h = 2 h 6 min

Příklad: Jeden kombajn poseká obilí na poli za 15 hodin, druhý kombajn poseká totéž pole za 10 hodin. Za kolik hodin by bylo obilí z tohoto pole sklizeno, jestliže by pracovaly oba kombajny společně?

Příklad: Jeden kombajn poseká obilí na poli za 15 hodin, druhý kombajn poseká totéž pole za 10 hodin. Za kolik hodin by bylo obilí z tohoto pole sklizeno, jestliže by pracovaly oba kombajny společně?

...prácespolečnéhodinxza

...prácespolečnéhodinxza polex

15

polex

10

11015

xx

30/

3032 xx305 x

530 :x

hx 6

Oběma kombajny by pole bylo sklizeno za 6 hodin.

1. kombajn:

2. kombajn:

Příklad: Jeden zedník nahodí dům za 12 dní, druhý zedník nahodí tentýž dům za 20 dní. Za jak dlouho nahodí tentýž dům, jestliže budou pracovat společně?

Příklad: Jeden zedník nahodí dům za 12 dní, druhý zedník nahodí tentýž dům za 20 dní. Za jak dlouho nahodí tentýž dům, jestliže budou pracovat společně?

...prácespolečnédníxza

...prácespolečnédníxza domux

12

domux

20

12012

xx

60/

6035 xx608 x

860 :x

dnex 57,

Oba zedníci společně nahodí dům za 7,5 dne.

1. zedník:

2. zedník:

Příklad: Bazén se naplní prvním přívodem vody za 2 hodiny, druhým přívodem za 3 hodiny a třetím přívodem za 4 hodiny. Za jak dlouho se naplní, když jsou otevřeny všechny tři přívody?

Příklad: Bazén se naplní prvním přívodem vody za 2 hodiny, druhým přívodem za 3 hodiny a třetím přívodem za 4 hodiny. Za jak dlouho se naplní, když jsou otevřeny všechny tři přívody?

...prácespolečnéhodinxza

...prácespolečnéhodinxza bazénux

2

bazénux

3

1432

xxx

12/

12346 xxx1213 x

1312 :x

hx13

12

Všemi třemi přívody se bazén naplní za 12/13 hodiny.

...prácespolečnéhodinxza bazénux

43. přívodem …

2. přívodem …

1. přívodem …